PROIECT PN2 IDEI 1075

PROTOCOL DE CERCETARE

STRUCTURA SI CINEMATICA ROBOTILOR PARALELI Structura roboţilor paraleli Arhitectura mecanică a roboţilor paraleli, se prezintă din punct de vedere structural

sub forma lanţurilor cinematice închise, este formată din una sau mai multe platforme mobile conectate la platforma fixă sau între ele prin intermediul unor lanţuri cinematice cu structură diversă (Fig. 1).

0

1

2

3

4

11

12

5

6

10

98

7

Fig. 1 Gradul de mobilitate al mecanismelor paralele se poate calcula cu relaţia:

p12345 LC2C3C4C5C6nM −−−−−−= , (1) unde: n - reprezintă numărul elementelor mobile; C i - reprezintă numărul cuplelor de clasa „i”; Lp – reprezintă numărul gradelor de mobilitate de prisos. Sinteza structurală a mecanismelor paralele poate fi făcută, pe baza relaţiei (1)

dacă se fac următoarele ipoteze. Lanţurile cinematice care interconectează platformele mecanismului sunt formate

din două cuple marginale şi respectiv două elemente conectate prin intermediul unei cuple de translaţie (Fig. 2).

Se fac următoarele notaţii: N – numărul platformelor mobile din structura mecanismului; Lc – numărul lanţurilor cinematice care conectează platformele mecanismului; Ku – numărul cuplelor de clasa „u” care eventual conectează nemijlocit

platformele mecanismului.

0

1

2

3

a)

0

1

2

3

b)

0

1

2

3

c)

0

1

2

3

d)

0

1

2

3

e)

0

1

2

3

f)

Fig. 2

Utilizând aceste notaţii şi presupunând că lanţurile cinematice care conectează

platformele sunt numai de tipul celor prezentate în figura.2, relaţia (1) devine:

( ) ( ) p

5

1Muuc LKCuN2L6M −+−+= ∑

=

. (2)

Pentru simbolizarea structurii unui mecanism paralel se fac următoarele notaţii: ■■ – platforma fixă a mecanismului; – platforme mobile ale mecanismului. Utilizând aceste notaţii structura unui mecanism paralel poate fi descrisă în mod

univoc cu ajutorul simbolului prezentat în figura 3, unde: ATC – desemnează tipul lanţului cinematic care interconectează platformele mecanismului; i,j – sunt numărul lanţurilor cinematice care eventual conectează două platforme; m, p - sunt numărul gradelor de mobilitate ale cuplelor care eventual conectează nemijlocit două platforme.

ATCi ATCj

ATCk0 1 n

(p)m

Fig. 3

STS2 STS2

STS10 1 2

23

Fig. 4

Din figura 2 se observă că lanţurile cinematice care conectează platformele pot fi

de tipul: sferă – translaţie – sferă (STS), sferă – translaţie – cardan (STK), sferă – translaţie – rotaţie (STR), cardan – translaţie – cardan (KTK), cardan – translaţie – rotaţie(KTR), rotaţie- translaţie – rotaţie (RTR).

Astfel, în conformitate cu aceste notaţii, simbolul mecanismului din figura 1 este prezentat în figura 4.

În continuare vor fi analizate situaţiile în care lanţurile cinematice care conectează platformele mecanismului au una din configuraţiile prezentate în figura 2.

1) Lanţurile cinematice care conectează platformele mecanismului sunt de tipul (STS). În acest caz se pot face următoarele particularizări:

c5 LC = ; ; 0C4 = c3 2LC = ; cp LL = (3)

Înlocuind relaţiile (3) în (2) rezultă:

345 3k4k5k6NM −−−= (4) Rezolvarea ecuaţiei:

03k4k5k6NM 345 =+++− , (5) în mulţimea numerelor întregi permite evidenţierea tuturor variantelor de

mecanisme paralele de tipul STS. În tabelul 3.1 sunt prezentate soluţiile ecuaţiei (5) obţinute pentru cazul M ≤ 6. 2) Lanţurile cinematice sunt de tipul STK. În acest caz particularizările care se

pot face sunt:

c5 LC = ; ; c4 LC = c3 LC = ; 0Lp = . (6)

În aceste condiţii relaţia (2) devine:

345 3k4k5k6NM −−−= . (7) Rezolvarea ecuaţiei:

03k4k5k6NM 345 =+++− , (8) în mulţimea numerelor întregi permite evidenţierea tuturor variantelor de mecanisme paralele de tipul STK.

Se observă că relaţia (8) este identică cu relaţia (5). Rezultă deci că soluţiile obţinute pentru ecuaţia (8) sunt identice cu cele obţinute pentru ecuaţia (5) prezentate în tabelul 1.

3) Lanţurile cinematice sunt de tipul STR. Particularizările care se fac în acest caz sunt:

c5 2LC = ; 0C4 = ; c3 LC = ; 0Lp = . (9)

Tabelul 1

Cazurile STS şi respectiv KTS

M N K5 K4 K3

6 1 0 0 0 5 2 0 1 1 4 2 1 0 1 4 2 0 2 0 3 1 0 0 1 2 1 0 1 0 1 1 1 0 0 Utilizând relaţiile (9), relaţia (2) devine:

345 3k4k5k6N2M −−−= . (10) Rezolvarea ecuaţiei:

03k4k5k6N2M 345 =+++− , (11)

în mulţimea numerelor întregi permite evidenţierea tuturor variantelor de mecanisme paralele de tipul STR. În tabelul 2 sunt prezentate soluţiile ecuaţiei (11) pentru cazul în care M ≤ 6.

4) Lanţurile cinematice sunt de tipul KTK. Particularizările care se fac în acest caz sunt:

c5 LC = ; ; c4 2LC = 0C3 = ; 0Lp = . (12)

Utilizând relaţiile (12), relaţia (2) devine:

345 3k4k5k6N2M −−−= . (13) Rezolvarea ecuaţiei:

03k4k5k6N2M 345 =+++− , (14) în mulţimea numerelor întregi permite evidenţierea tuturor variantelor de

mecanisme paralele de tipul KTK. Se observă că relaţia (14) este identică cu relaţia (12). Rezultă deci că soluţiile

obţinute pentru ecuaţia (14) sunt identice cu cele obţinute pentru ecuaţia (12) prezentate în tabelul 2.

5) Lanţurile cinematice sunt de tipul KTR. Particularizările care se fac în acest caz sunt:

c5 2LC = ; c4 LC = ; 0C 3 = ; 0Lp = . (15)

Utilizând relaţiile (15), relaţia (2) devine:

345 3k4k5k6N3M −−−= . (16) Rezolvarea ecuaţiei:

03k4k5k6N3M 345 =+++− , (17) în mulţimea numerelor întregi permite evidenţierea tuturor variantelor de

mecanisme paralele de tipul KTR. În tabelul 3 sunt prezentate soluţiile ecuaţiei (17) obţinute pentru cazul în care M ≤ 6.

Tabelul 2

Cazurile STR şi respectiv KTK M N K5 K4 K3

6 2 0 0 0 5 3 1 0 1 0 2 0

4 2 0 1 0 3 1 0 0 0 2 2 0 2 0

1 0 1 1 1 0 1 0 6) Lanţurile cinematice sunt de forma RTR. Particularizările care se fac în acest

caz sunt:

c5 3LC = ; ; 0C4 = 0C3 = ; 0Lp = . (18) Utilizând relaţiile (18), relaţia (2) devine:

345 3k4k5k6N4M −−−= . (19) Rezolvarea ecuaţiei:

03k4k5k6N4M 345 =+++− , (20) în rezolvarea numerelor întregi permite evidenţierea tuturor variantelor de

mecanisme paralele de tipul RTR. În tabelul 4 sunt prezentate soluţiile ecuaţiei (20) obţinute pentru cazul în

care M ≤ 6. Tabelul 3

Cazul KTR

M N K5 K4 K3

6 3 0 0 0 5 3 0 0 1 4 2 0 0 0 3 2 0 0 1 2 1 0 0 0 1 1 0 0 1

Tabelul 4

Cazul RTR

M N K5 K4 K3

3 2 0 0 0 2 2 0 1 0 1 2 0 2 0 După cum se observă în cazul mecanismelor de tipul RTR variantele cu mai mult

de trei grade de mobilitate sunt foarte complicate din punct de vedere structural şi practic nu prezintă interes tehnic.

Se propune, în continuare, notarea mecanismelor paralele cu ajutorul simbolului STSwijk unde: w – exprimă numărul gradelor de mobilitate al mecanismului; i, j, k –

exprimă numărul lanţurilor cinematice de tipul STS care se conectează la platforma fixă, prima platformă mobilă şi respectiv a doua platformă mobilă.

Pe baza datelor prezentate în tabelele 1 –4 se pot concepe diferite variante da mecanisme paralele.

În continuare vor fi prezentate, pentru exemplificare, variantele care se obţin pentru mecanismele de tipul STS, pe baza datelor din tabelul 2.

În figura 3.5 este prezentat simbolic mecanismul STS666.

STS6

0 1

Fig. 5 În figura 6 sunt prezentate simbolic mecanismele paralele de tip STS cu cinci

grade de mobilitate. În figura 7 şi 8 sunt prezentate simbolic mecanismele paralele de tip STS cu patru

grade de mobilitate. În figura 9 este prezentat simbolic mecanismul paralel de tip STS cu trei, două şi

un grad de mobilitate. În figura 10 este prezentat mecanismul paralel de tip STS cu 6 grade de mobilitate. De asemenea în figurile 11 –14 sunt prezentate sub forma schemelor cinematice

mecanismele paralele de tipul STS. De asemenea, pornind de la ipoteze similare, in functie de aplicatia pentru care

sunt concepute, este posibil sa fie dezvoltate si variante de roboti paraleli cu doua platforme mobile, fiecare cu maxim sase grade de mobilitate.

3

STS3 STS2

2a)

3

STS3 STS1

2b)

STS1

3

STS3

2c)

STS2

3

STS22d)

STS3

3

STS1

2e)

STS4

3 2f)STS5

3

STS2 STS22g)

STS1

3

STS1 STS22h)

STS2

3

STS2

2k)

STS3

3

STS2 STS1

2l)

STS2

3

STS1 STS1

2m)

STS3

3

STS1

2m)

STS4

Fig. 6

2

STS2 STS2

2a)

2STS2 STS1

2b)STS1

2STS2

2c)

STS2

2

STS12d)

STS3

2 2e)

STS4

f)

2

STS1

2g)

STS3

2STS1 STS2

2h)

STS1

2

STS22k)

STS2

2

STS1 STS1

2

STS2

Fig. 7

3

STS3 STS1

1a)

3STS3

1b)STS1

3STS2

1c)

STS2

3

STS1

1d)STS3

3 1e)

STS4

f)

3STS1 STS1

1h)

STS2

3

STS1

1k)STS3

3

STS2 STS1

1

STS1

Fig. 8

3a)

STS3

2b)

STS2

1c)

STS1

Fig. 9

0

1

Fig. 10

01

2

a)

1

b) 0

2

c) 0

1

2

d) 0

1

2

e) 0

1

2

f) 0

1

2

Fig. 11

g)

10

2

h)

10

2

k)

10

2

l)

1

0

2

m)

1

0

2

n)

1

0

2

Fig..12

1 0

2

a)

0

21

b)

0

21

c)

0

21

d)

0

21

e)

0

21

f)0

21

f)

0

21

g)

0

21

h)

0

2

1k)

Fig..13

0

1

2

a)

b)0

1

2

c)0

12

d)0

12

e)0

12

0

1

2

f)

0

1

2

h)

k)0

12

Fig. 14

0

1

a)

0

1

b)

0

1

c)

Fig. 15 Cinematica roboţilor paraleli Problema poziţională în cazul roboţilor paraleli presupune existenţa aceloraşi

aspecte ca şi în cazul roboţilor seriali în sensul că se poate evidenţia o problemă directă şi una inversă.

Pentru rezolvarea problemei poziţionale directe în cazul roboţilor paraleli se pot utiliza diverse metode şi anume:

- metoda ecuaţiilor vectoriale - metoda geometrică. Metoda ecuaţiilor vectoriale se bazează pe scrierea ecuaţiilor vectoriale de

închidere a contururilor poligonale pentru fiecare ciclu independent al mecanismului paralel care formează structural robotul.

Ecuaţiile vectoriale obţinute sunt proiectate pe axele sistemului de coordonate fix, obţinându-se ecuaţiile scalare de poziţie. De cele mai multe ori la aceste ecuaţii de poziţie se adaugă ecuaţii care caracterizează geometria mecanismului.

Sistemul de ecuaţii care se obţine este destul de complex şi conţine ca şi necunoscute cosinusurile directoare ale direcţiilor pentru care se scriu ecuaţiile vectoriale.

Pentru determinarea ciclurilor independente ale mecanismului se va utiliza graful asociat mecanismului. Graful asociat unui mecanism poate fi determinat dacă se consideră că fiecărui element din structura mecanismului îi corespunde un nod în graf şi respectiv fiecărei cuple îi corespunde un element în graf. Numărul de cicluri independente ale mecanismului este egal cu numărul interioarelor disjuncte determinate de graf în plan. Frontierele acestor interioare disjuncte sunt contururile ciclurilor independente.

În continuare se va exemplifica aplicarea acestei metode pentru mecanismul paralel din figura 16.

Mecanismul din figura 16 are trei cicluri independente prezentate în figura 17.

0

1

2

3

4

5

7

6

A1A 2

A3

B3

B2

B1

M1

M2

M3

q14

q24

q34

x0

y0

z0

Fig. 16

0 1

4 5

2 3

6 7

Fig. 17 Ecuaţiile vectoriale, scrise pentru cele trei cicluri independente, sunt date de relaţiile:

054321 =++++ lllllrrrrr

,

0lllll 87621 =++++rrrrr

, (21)

0llll 611109 =+++rrrr

,

unde: 121 lMM = ; 232 lMM = ; 31433 lqAB == ; 413 lMA = ;

523 lBM = ; 62422 lqAB == ; 712 lMA = ; (22)

821 lAA = ; 93411 lqBA == ; 1021 lBB = .

Proiectând ecuaţiile (21) pe axele sistemului de coordonate fix se obţin acuaţiile scalare:

0lllll 5544332211 =++++ ααααα ;

0lllll 5544332211 =++++ βββββ ;

0lllll 5544332211 =++++ γγγγγ ;

0lllll 8877662211 =++++ ααααα ;

0lllll 8877662211 =++++ βββββ ; (23)

0lllll 8877662211 =++++ γγγγγ ;

0llll 771111101099 =+++ αααα ;

0llll 771111101099 =+++ ββββ ;

0llll 771111101099 =+++ γγγγ ;

În sistemul de ecuaţii (23) lungimile li (i = 1...11) se consideră cunoscute. De

asemenea se conosc cosinusurile directoare α1, β1, γ1, α5, β5, γ5, α8, β8, γ8, α9, β9, γ9. Necunoscutele sistemului (23) sunt cosinusurile directoare: α2, β2, γ2, α3, β3, γ3, α4, β4,

γ4, α6, β6, γ6, α7, β7, γ7, α10, β10, γ10, α11, β11, γ11. Rezultă deci că pentru rezolvarea sistemului (23) este necesar să mai fie scrise încă

12 ecuaţii:

122

22

22 =++ γβα ;

12

32

32

3 =++ γβα ;

124

24

24 =++ γβα ;

12

62

62

6 =++ γβα ;

127

27

27 =++ γβα ;

12

102

102

10 =++ γβα ;

1211

211

211 =++ γβα ; (24)

( )112112112112 l,lcosrr

=++ γγββαα ;

( )62626262 l,lcosrr

=++ γγββαα ;

( )32323232 l,lcosγγββααrr

=++ ;

( )116116116116 l,lcosrr

=++ γγββαα ;

( )36363636 l,lcosrr

=++ γγββαα . Relaţiile (23) şi (24) definesc un sistem de 21 de ecuaţii cu 21 de necunoscute.

După determinarea cosinusurilor directoare se pot determina atât poziţia punctului M3 cât şi orientarea platformei mobile.

Metoda geometrică se bazează pe observaţia că vârfurile platformei mobile se deplasează pe sfere cu raze variabile. Practica modelării cinematicii roboţilor paraleli a demonstrat că utilizarea acestei metode conduce la obţinerea unor sisteme de ecuaţii mai simple în raport cu cele obţinute prin utilizarea metodei vectoriale.

În continuare sa va exemplifica utilizarea acestei metode pentru mecanismele de tipul STS cu un grad de mobilitate, cu două gradee de mobilitate şi respectiv cu trei grade de mobilitate.

Se consideră mecanismul STS1 (Fig. 18). Se consideră de asemenea sistemul de coordonate (T0) solidar cu elementul „0” (batiul). Se notează cu (xa, ya, za), (xm, ym, zm), (xb, yb, zb) coordonatele punctelor A, M, B în raport cu sistemul (T0) şi cu q1 coordonata generalizată a mecanismului.

Coordonatele absolute ale punctului B sunt date de relaţiile:

( ) 21

2b

2ab qyxx =+− ;

(25) ( ) 2222 bayyx mbb +=−+ .

A

B

0

2

3

x0

y0 b

M 1

a

Fig. 18

Orientarea elementului „1” este caracterizată de unghiul Φ care poate fi determinat cu relaţia:

( )[ ] ( )[ ]m0b0bmbb yy,x2tanayy,x2tana −−−=Φ . (26)

unde (xb0, yb0) sunt coordonatele punctului B la momentul iniţial.

Se consideră mecanismul de tip STS2 (Fig. 19). Se consideră de asemenea sistemul de coordonate (T0) solidar cu batiul. Se alege cupla cardanică dintre platforme astfel încât aceasta permite o mişcare de rotaţie în jurul axei Ox0 şi respectiv una în jurul axei Oy0.

A1

B1

0

2

3

x0

z0 b1

M

1a

y0

A2

B2

b2

O

Fig. 19 Se considera cunoscuti parametrii geometrici ai mecanismului si legile de variatie

ale coordonatelor generalizate q1 si respectiv q2. Coordonatele punctelor B1, B2 pot fi determinate prin rezolvarea sistemului format de ecuatiile:

( ) 21

22 111 qzbyayb =+−

( ) 2222 111 bazmzbyb +=−+ (27)

( ) 22

22 111 qzbxaxb =+−

( ) 2222 211 bazmzbxb +=−+ Orientarea elementului “1" este caracterizata de unghiurile φ si respectiv ψ:

( )[ ] ( )[ ]mbbmbb zzyzzya −−−=Φ 101011 ,2tan,2tan (28)

( )[ ] ( )[ ]m20b20bm2b2b zz,xtanazz,x2tana −−−=Ψ Se consideră mecanismul STS3 (Fig. 20), pentru care se consideră cunoscuţi

parametrii geometrici şi respectiv legile de variaţie ale coordonatelor generalizate q1, q2, q3.

A1

A2

A3

B1

B2

B3

q1

q2

q3

x0 y0

z0

M

M1

B4

y1

x1

z1

O1

k1j1

i1

0

1

2

3

4

5

6

7

Fig. 20

Se fac următoarele notaţii:

121 bBB = ; 232 bBB = ; 331 bBB = ; aMM 1 = ; 111 cMB = ; 212 cMB = ; 313 cMB = (29)

Coordonatele vârfurilor platformei mobile se determină prin rezolvarea

sistemului de ecuaţii: ( ) ( ) ( ) 2

12

1a1b2

1a1b2

1a1b qzzyyxx =−+−+− ;

( ) ( ) ( ) 22

22a2b

22a2b

22a2b qzzyyxx =−+−+− ;

( ) ( ) ( ) 2

32

3a3b2

3a3b2

3a3b qzzyyxx =−+−+− ;

( ) ( ) ( ) 21

22b1b

22b1b

22b1b bzzyyxx =−+−+− ;

( ) ( ) ( ) 2

22

3b2b2

3b2b2

3b2b bzzyyxx =−+−+− ; (30)

( ) ( ) ( ) 23

21b3b

21b3b

21b3b bzzyyxx =−+−+− ;

( ) ( ) ( ) 2

122

m1b2

m1b2

m1b cazzyyxx +=−+−+− ;

( ) ( ) ( ) 22

22m2b

2m2b

2m2b cazzyyxx +=−+−+− ;

( ) ( ) ( ) 2

322

m3b2

m3b2

m3b cazzyyxx +=−+−+− . Prin rezolvarea sistemului (30) se determină coordonatele absolute (în raport cu

sistemul T0) ale punctelor BB1, B2, B3. Pentru a caracteriza orientarea platformei mobile 1 se alege sistemul de coordonate

(T1), solidar cu aceasta, având axele definite după cum urmează: a) axa O1Z 1 normala la planul determinat de punctele BB1, B2, B3; b) axa O1Y 1 definită de punctele O1 şi respectiv B4; c) axa O1 X1 astfel încât sistemul T1să fie drept. Coordonatele punctului O1 se pot determina cu ajutorul relaţiilor:

( ) ( ) ( ) 21

2011b

2011b

2011b dzzyyxx =−+−+− ;

( ) ( ) ( ) 2

22

012b2

012b2

012b dzzyyxx =−+−+− ; (31)

( ) ( ) ( ) 23

2013b

2013b

2013b dzzyyxx =−+−+− .

În mod similar se pot determina coordonatele punctului B4:

( ) ( ) ( ) 21

24b1b

24b1b

24b1b szzyyxx =−+−+− ;

( ) ( ) ( ) 22

24b2b

24b2b

24b2b szzyyxx =−+−+− ; (32)

( ) ( ) ( ) 2

32

4b3b2

4b3b2

4b3b szzyyxx =−+−+− ; unde:

111 sOB = ; 212 sOB = ; 313 sOB = ;

141 dBB = ; 242 dBB = ; 343 dBB = . (33) Rezultă cosinusurile directoare ale axei O1Y1:

( ) ( ) ( )2014b2

014b2

014b

014b1y

zzyyxx

xx

−+−+−

−=α ;

( ) ( ) ( )2014b2

014b2

014b

014b1y

zzyyxx

yy

−+−+−

−=β ; (3.34)

)( ) ( ) ( 2014b

2014b

2014b

014b1y

zzyyxx

zzγ

−+−+−

−= .

Cosinusurile directoare ale axei O1Z1 se determină din condiţia ca aceasta să fie

normala la planul determinat de punctele B1, B2, B3.Ecuaţia acestui plan este dată de relaţia:

[ ] 0Mdet = ; . (35) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1zyx1zyx1zyx1zyx

M

3b3b3b

2b2b2b

1b1b1b

Dezvoltând deteminantul din relaţia (35) rezultă ecuaţia planului determinat de

punctele B1, B2, B3 sub forma:

0VVVV 4z3y2x1 =+++ . (36) Rezulta cosinusurile directoare ale axei O1Z1:

23

22

21

11z

VVV

V

++=α ;

23

22

21

21z

VVV

V

++=β ; (37)

23

22

21

31z

VVV

V

++=γ .

Cosinusurile directoare ale axei O1X1 ( având versorul i1 ) se pot determina din

ecuaţia:

111 jxikrrr

= . (39)

Indiferent de metoda utilizată pentru rezolvarea problemei poziţionale directe, deosebit de utilă pentru practică este determinarea deplasărilor unghiulare în cuplele sferice şi respectiv în cele cardanice. Pentru determinarea acestora se consideră (Fig. 21) unul din lanţurile cinematice care unesc două platforme consecutive ale mecanismului paralel. Cupla sferică şi respectiv cupla sferică cu deget, care conectează elementele acestui lanţ cinematic la cele două platforme, sunt modelate cu ajutorul unor cuple de rotaţie având axele concurente şi perpendiculare două câte două.

Se consideră de asemenea sistemele de coordonate Tji solidare cu elementele lanţului cinematic.

Se notează cu qji coordonatele generalizate ale lanţului cinematic (I) şi respectiv aji parametrii geometrici ai acestuia.

q1

q2

q3q4

q5

q6

Fig. 21 Matricea de transformare Hi06 care caracterizează orientarea elementului „i+1”

în raport cu elementul „i” este dată de relaţia:

∏=

=6

1jiji06 AH , (40)

unde Aij sunt matrice de transformare care caracterizează mişcările relative dintre elementele lanţului cinematic.

Relaţia (40) poate fi transformată după cum urmează:

∏−

− =6

2jiji06

1i1 AHA ;

∏=

−− =6

3jiji06

1i1

1i2 AHAA ; (41)

∏=

−−− =6

4jiji06

1i1

1i2

1i3 AHAAA .

Matricele de transformare Aij au, în funcţie de coordonatele generalizate, expresiile:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

10000c0s00100s0c

A

10000c0s00100s0c

Ai2i2

i2i2

i2i2i2

i2i2

i2 ;

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

1000q10000100001

A

1000010000cs00sc

Ai4

i4i3i3

i3i3

i3 ; (42)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

10000c0s00100s0c

A

1000acs00sc00001

Ai6i6

i6i6

i6i4i5i5

i5i5i5 ;

Rezultă:

3i34i

24i2i1i ah

hatgq

−−

= ;

( ) ( )224i2i2

3i34i

24i2i2i

haah

hatgq

−+−

−= ; (43)

321i221i

122i221i2i321i2i3i hsqhcq

hcqhsqsqhcqsqtgq

+−−

= .

De asemenea, rezultă:

.asqacqacqcqasqhcqcqhsqcqhsqq

4i1i22i31i2i11i

341i2i241i2i142i4i

−+−−−+−=

(44)

si:

i

i5i B

Atgq = ;

321i2i221i2i122ii hcqcqhsqcqhsqA +−= ; (45)

( )( ) ( )1i321i223i1i321i222i122i3ii sqhcqhcqcqhsqhsqhcqsqB +++−= ;

331i2i231i2i132i

311i2i112i211i2i6i hcqcqhsqcqhsq

hcqcqhsqhsqcqtgq

+−−−

= .

Rezolvarea problemei poziţionale inverse în cazul roboţilor paraleli se bazează pe observaţia că vârfurile platformelor mobile se deplasează pe sfere cu raze variabile.

Astfel în cazul mecanismului din figura 20, pentru rezolvarea problemei poziţionale inverse, se utilizează relaţiile:

( ) ( ) ( ) 21

21a1b

21a1b

21a1b qzzyyxx =−+−+− ;

( ) ( ) ( ) 2

22

2a2b2

2a2b2

2a2b qzzyyxx =−+−+− ;

( ) ( ) ( ) 23

23a3b

23a3b

23a3b qzzyyxx =−+−+− ;

( ) ( ) ( ) 2

12

2b1b2

2b1b2

2b1b bzzyyxx =−+−+− ;

( ) ( ) ( ) 22

23b2b

23b2b

23b2b bzzyyxx =−+−+− ; (46)

( ) ( ) ( ) 2

32

1b3b2

1b3b2

1b3b bzzyyxx =−+−+− ;

( ) ( ) ( ) 21

22m1b

2m1b

2m1b cazzyyxx +=−+−+− ;

( ) ( ) ( ) 2

222

m2b2

m2b2

m2b cazzyyxx +=−+−+− ;

( ) ( ) ( ) 23

22m3b

2m3b

2m3b cazzyyxx +=−+−+−