i.4. consecinţe cinematice ale teoriei relativităţii ... · pentru stabilirea regulii de...

1/18

I.4. Consecinţe Cinematice ale Teoriei Relativităţii Speciale: Compunerea Vitezelor. Legea Hubble. Universul,

între Expansiune și Cunoaștere

Sunt explorate consecințele cinematice ale transformărilor spațio-temporale relativiste Lorentz

2

2

1

'

c

v

vtxx

−

−= , yy =' , zz =' ,

2

2

2

1

'

c

v

xc

vt

t

−

−=

Pentru stabilirea regulii de compunere a vitezelor vom lucra cu proiecțiile acestora pe axele de coordonate ale două SRI pentru care legile de transformare Lorentz decurg ca mai sus.

Atunci putem scrie pentru raportul diferențelor infinitesimale ale transformărilor de coordonate spațiu-timp

x

xx

uc

vvu

dt

dx

c

v

dt

dtdt

dtv

dt

dx

cvdxdt

vdtdx

dt

dxu

'1

'

'

'

'

''

'

'

'

/''

''

22

2

+

+=

+

+=

++

== ,

x

y

y

uc

v

cvu

dt

dx

c

v

dt

dt

cvdt

dy

cvdxdt

cvdy

dt

dyu

'1

/1'

'

'

'

'

/1'

'

/''

/1'

2

22

2

22

2

22

+

−=

+

−=

+−

== ,

x

zz

uc

vcvu

u'1

/1'

2

22

+

−=

Se observă ușor că aceste formule de compunere a vitezelor, formulate de Einstein în 1905, nu permit existența unei viteze observate mai mare decât

Dr. Mihai V. Putz, FIZICA MEDIULUI- Lecția 4: Universul, între expansiune și cunoaștere

2/18

viteza luminii, văzută/observată din orice SRI. Pentru ilustrare, se arată că în cazul maximal avem

cc

c

vvc

ucu xx =+

+=⇒=

21

'

Figura I.4.1. Schema reprezentativă pentru experimentul Fizeau: v- viteza fluidului, c-viteza luminii, n-indicelel de refracție al lichidului, I-punctul de

interferență (http://en.wikipedia.org/wiki/Fizeau_experiment)

O aplicație ilustră a compunerii vitezelor, și deopotrivă a o confirmare a veridicității acestora, o constituie modelarea matematică a fenomenologie prezente într-un experiment de tip Fizeau, Figura I.4.1, prima dată realizat de Hippolyte Fizeau (in 1851), reluând o idee mai veche de-a lui Fresnel. Inițial experimentul, ca și în cazul celui a lui Michelson, a fost proiectat pentru calculul vitezei relative a luminii față de eterul absolut (imobil): s-a urmărit trecerea unui fascicol luminos printr-un tub în care curge apa (într-un sens sau altul)și măsurarea vitezei luminii prin diferite metode, inclusiv prin aplicarea interferenței. Rezultatul

−±2

11

nv

n

c


3/18

nu a putut fi explicat până la Einstein, care a aplicat regula de compunere relativistă a vitezelor calcul punând pentru viteza luminii în cazul în care mediul lichid de refracție (cu indicele n) este imobil

n

cuu v

xv

LABx == == 00)( '

în acord cu postulatul PS2; de aici rezultă că atunci când mediul e mobil cu viteza v paralelă cu viteza luminii aceasta din urmă are acceași viteză față de sistemul mobil, ncu v

x /' 0 =≠ , dar este măsurată în sistemul laboratorului cu valoarea

cn

v

vn

c

n

c

c

v

vn

c

u vLABx

+

+=

+

+=≠

112

0)(

Dacă se efectuează diferența dintre aceste două viteze (amândouă) măsurate față de sistemul laboratorului

n

cuuu v

LABxv

LABxv

LABx −=− ≠=≠ 0)(

0)(

0)(

−≅+

−

=+

+−+

=−+

+=

2

2 11

1

11

1

1

1 nv

cn

vn

v

cn

vcn

v

n

cv

n

c

n

c

cn

v

vn

c

rezulă că viteza înregistrată (în SRI laborator) cu care se propagă lumina într-un mediu dispersiv (cu indicele de refracție n) se poate re-scrie

−+≅≠2

0)(

11

nv

n

cu v

LABx

demonstrație care aparține lui Jakob Laub și lui Max von Laue în 1907.

O altă consecință cinematică extrem de importantă a teoriei relativității speciale este legată de prelucrarea transformării temporale Lorentziene. Astfel putem scrie imediat lanțul de transformări temporale echivalente


4/18

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

'

c

v

c

vt

c

v

cc

vt

c

v

t

x

c

vt

c

v

xc

vt

t

−

−

=

−

−

=

−

−

=

−

−=

care, în frecvențe t/1=υ , se inversează

cv

cv

c

vc

v

OBSSURSĂ /1

/1

1

1'

2

2

−+

=

−

−= υυυ

relație care se păstrează și la nivelul lungimilor de undă ( υλ /c= ) între sistemul sursă care emite o radiație (sistemul mobil) și sistemul observator care o observă (sistemul fix)

cv

cvSURSĂOBS /1

/1

−+

= λλ

Legea permite calculul vitezelor de deplasare a astrelor cerești (chiar a galaxiilor) când se cunoaște deplasarea în spectru înregistrată pentru atomul de hidrogen, cel mai abundent element al Universului (99.99%). De exemplu, dacă linia verde(n1=2)-albastru(n2=4) a atomului de hidrogen s-a deplasat în spectru spre regiunea roșie la 700nm la observarea unei galaxii atunci avem

( ) nmeV

ch

h

chc

SURSĂSURSĂ

SURSĂ486

4/12/16.13 22=

−===

υυλ

unde s-a considerat h-constanta lui Planck

h=6.626068 × 10-34 [m2 kg / s]

și respectiv legea de tranziție Bohr în spectrul atomului de hidrogen

−=−=

22

21

12

11

nnREEh Hυ

cu eVRH 6.13= - constanta lui Rydberg.


5/18

Revenind, relația relativistă Doppler produce ecuația

cv

cv

SURSĂ

OBS

/1

/1075.2

486

70022

−+

==

=

λλ

cu rezultatul vitezei

cv 35.0−=

ceea ce indică faptul că galaxia se îndepărtează (sensul vitezei v) de observator (la care vine semnalul luminos cu viteza luminii c), ceea ce-i justifică și numele de viteză recesională. Erwin Hubble, studiind mișcarea galaxiilor a observat că toate se departează față de observator, și unele față de altele, vezi Figura I.4.2.

Figura I.4.2. Interpolarea vitezelor recesionale în determinarea legii lui Hubble, după William C. Keel (2007). The Road to Galaxy Formation. Berlin: Springer publicată în asociație cu Praxis Pub., Chichester, UK.

ISB> 3540725342 (http://en.wikipedia.org/wiki/Hubble's_law).

Aceste observații au prilejuit avansarea ipotezei expansiunii universului. Considerând un factor de scală cosmic )(ta care să reprezinte expansiunea relativă a universului, uneori numit factorul de scală Robertson-Walker, cu ajutorul să se poate lega distanța tD la momentul t după momentul caracterizat de distanța 0D

)(0 taDD t=


6/18

De notat că deoarece relația anterioară propune în efect expansiunea spațiului la dimensiunea Dt față de cea anterioară, D0 <(<) Dt, factorul de scală cosmic practic are rolul de a contracta metrica spațiu-timp pe măsura expansiunii, cu alte cuvinte, în aplicații se va considera în variație cu semnul minus

)()( tata t

t

∂−→∂

În aceste condiții, dacă se consideră o galaxie aflată la un moment dat la distanța Dt de observator (aflat în momentul prezent), modificarea distanței în timp generează ecuația vitezei recesionale (legea lui Hubble)

[ ][ ] {

tttt

D

tttt HDD

ta

ta

ta

ta

ta

D

ta

taD

ta

DDv

t

=∂

=∂

=∂−

−=

∂=∂=

)(

)(

)(

)(

)()(

)(

)(0

200

unde s-a introdus parametrul lui Hubble

)(

)()(

ta

tatH t∂=

estimat experimental ca fiind chiar o constantă, în fapt panta interpolărilor de tipul celei prezentate în Figura I.4.2, cu valorile stabilite în Tabelul 4.I.1

Tabelul I.4.1. Valori măsurate pentru constanta Hubble.

Anul Valoarea H0 (km/s)/Mpc Observatorul 2009 74.2±3.6 Hubble Space Telescope 2006 77±11.55 Chandra X-ray Observatory 2001 72±8 Hubble Space Telescope

Considerând unitățile astronomice către unitățile internaționale:

• Unitatea astronomică (AU), 1AU=149 598 871 km, reprezentând distanța medie între Soare și Pământ de-a lungul unei orbite complete a Pămâmtului;

• Un an lumină – distanța parcursă de lumină (cu viteza luminii) într-un an, 1ly≈63 241 AU ;

• Parsecul: distanța la care o unitate astronomică subîntinde o secundă de arc, 1pc≈206 265 AU


7/18

se observă că, deoarece constanta Hubble are în fapt dimensiune temporală inversă, considerând valoarea sa medie observată exprimată în (secunde)-1

H0 ~ 2.29×10−18 s−1

se poate concluziona că inversul ei reprezintă vârsta actuală a Universului

][8.131035.41 17

0

AniMiliardesH

tUnivers =×=≅

Dacă se consideră constanta Hubble cu adevărat constantă, ecuația de expansiune a Universului se scrie simplu

( )tHdDDHdt

dD000 exp=⇒=

cu d0 dimensiunea Universului la un moment dat. De notat că această ecuație are valabilitate pe intervale temporale nu foarte mari, când fenomene complicate de tipul celor prezise de relativitaeta generalizată, energia neagră, inflația, etc. Pentru timpi relativ apropiați cu cel observațional (timpul prezent) se poate stabili cu ajutorul legii Hubble relația directă dintre deplasarea spre roșu și viteza recesională. În aceste condiții, dacă reconsiderăm (generalizăm) relația dintre distanța dintre sursă-observator și factorul de scală cosmologic respectiv pentru fiecare stare, sub forma

321321OBSERVATOR

t

SURSĂ

taDtaD )()( 00 =

atunci, condiția de deplasare spre roșu se poate scrie succesiv

[ ] 1)()()(

)(1

)(

)(

000

00

0

0 −∂−−+

≅−=−

==ttt

t

tattta

ta

ta

ta

D

DDz

[ ] [ ] 1)()(1)(

)(1

)()(

)(1)(

)(

000

0

0

0

0

0

0

−−−

=−

−∂

−

== tHttta

ta

ttta

tata

ta

ttt

)()()()()(1

)()(1

)()(1

1000

00

00

00

tHc

DtHtt

tHtt

tHtt

tHttt≅−≅

−−−

=−−−

=


8/18

de unde rezultă imediat relația de legătură

c

vz ≅

imediat ce se aplică legea lui Hubble de mai sus în ultima relație. Demn de remarcat este faptul că aceeași dependență între deplasarea spre roșu și viteza recesională se poate stabili și direct prin prelucrarea relației Doppler relativiste de mai sus

cv

cvcv

cv

cvz

SURSĂ

SURSĂOBS

SURSĂ /1

/1/11

/1

/1

−

−−+=−

−+

=−

==λ

λλλ

λ∆

( ) cvc

vcv

cvcv

cv

cvcvcv

cv

/12

11

/2

/1/1

/2

/1/1/1

/2

2

222

−+−≅

−+−=

−++−=

c

v

c

v

c

v

c

v

c

v

c

v

cv≅

++≅

−−=

2

1

4

11

2

1

4

11

/2

2

2

2

unde s-a considerat dezvoltarea Taylor în primul ordin de tipul

( ) axx a +≅+ 11

și s-au neglijat în final puterile superioare ale raportului v/c.

Prin aceste două demonstrații echivalente practic se confirmă legătura intimă între legea lui Hubble și efectul Doppler relativist, consecință cinematică a teoriei relativității speciale, fapt confirmat de observațiile experimentale efectuate prin receptările luminoase de la galaxii și clusteri de Galaxii, Figura 4.I.3. De o deosebită importanță filosofică, deplasarea spre roșu și legea lui Hubble avansează ideea că nici măcar Galaxia noastră (Calea Lactee), Figura 4.I.4. nu este “Centrul Universului”, ci ea se situează într-o zonă a Universului, alături de alte galaxii, așa numitul –Grup Local, Figura I.4.5 la rândul său distanțat de alte galaxii și grupuri de galaxii, alcătuind așa numitul Univers Insular (Island Universe)! Această descoperire este similară, și generalizează, descoperirea lui Copernic cum că Pământul nu este în centrul lumii ci orbitează în jurul Soarelui!


9/18

Figura I.4.3. Ilustrarea deplasării spre roșu a clusterelor galactice tot mai depărtate (distanța este în Mega – ani lumină – “light years”, Mly)de

observator (aflat pe Terra); http://astronomy.nmsu.edu/astro/a110labs/labmanual/node17.html.

Mai mult decât atât, prin coroborarea concluziilor legate de expansiunea Universului, corelată cu deplasarea spre roșu, și cu vârsta universului ca inversul constantei (paramentrului) Hubble, Figura I.4.6, se ajunge imediat la ideea existenței unui moment de început al Universului, asociat stării de Big-Bang, cand toată materia era contractată, de unde, în urma exploziei universale Universul se extinde uniform și izotrop (la scară largă), ceea ce se confirmă prin deplasările spre roșu înregistrate sistematic relatv la toate obiectele astrale înregistrate.


10/18

Figura I.4.4. Structura galaxiei noastre, “insula noastră” – Calea Lactee; http://www.euhou.net/index.php?option=com_frontpage&Itemid=1.

Figura I.4.5. Universul Insular: plasamentul Grupului Local de galaxii (ce conține și Calea Lactee) în raport cu Clusterul Virgo de galaxii (pe baza

căreia Hubble a stabilit legea sa – vezi Figura I.4.2) – în stânga, și componența Grupului Local de galaxii – în dreapta;

http://www.pas.rochester.edu/~afrank/A105/LectureXV/LectureXV.html.


11/18

Figura I.4.6. Expansiunea Omogenă și Izotropă a Universului prezisă din momentul Big-Bang-ului,în acord cu Legea Hubble și deplasarea spre roșu prezisă de efectul Doppler relativist. Imaginea din dreapta-jos este preluată din datele navetei spațiale de cercetare Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) și reprezintă imaginea “de bebeluș” a Universului la cca 379000 ani după momentul Big-Bang-ului și corespunde la o temperatură de cca. 3000K a Universului (cu spoturi calde- roșii, și reci- albastre).

În finalul acestei lecții vom expune câteva aspecte colaterale legii lui Hubble, dar legate de aceasta cu privire la structura și proprietățile măsurabile ale Universului.

I. În primul rând se pune problema determinării distanțelor astrale, în special cele până la galaxii îndepărtate. Rezolvarea a fost pentru prima dată sugerată de astronomul american Henrietta Leavit în 1912 prin investigarea Cefeidelor – stele pulsante, Figura I.4.7, foarte strălucitoare (de mii și zeci de mii de ori mai mare decât cea a Soarelui), schimbându-și periodic dimensiunea și temepratuira la suprafață cu o perioadă variind de la câteva zile la câteva luni.


12/18

Figura I.4.7. Stele cefeide (cele marcate prin cerculețe) în Galaxia Spiralată >GG 3021, așa cum a fost preluată de Telescopul Spațial Hubble; credit: >ASA (www.nasa.gov), ESA (www.spacetelescope.org), and A. Riess

(STScI/JHU, www.stsci.edu).

Principiul de determinare a distanțelor astronomice este următorul:

� Se măsoară perioada de pulsație a luminozității unei Cefeide, P0; � Se folosește relația P-L

092.1003.297 P

L

L

S

⋅=

care permite determinarea luminozității unei Cefeide L în funcție de pulasția sa P0 și de luminozitatea Soarelui WLS

261085.3 ×= . � Se măsoară fluxul de energie F primit de la Cefeidă pe unitatea de

suprafață perpendiculară pe direcția de observație a Cefeidei, aflată pe această direcție la distanța D.

� Se determină distanța D până la Cefeidă (și implicit până la galaxia respectivă) prin aplicarea formulei dintre luminozitatea emisă și fluxul de energie primit (receptat) de observator


13/18

24 D

LF

π=

Distanța D poate fi folosită ulterior în legea lui Hubble pentru estimarea vitezei recesionale cu care galaxia respectivă se depărtează de Pământ.

II. În al doilea rând, având viteza recesională a unui corp astral (estimată cu legea Hubble/efectul Doppler relativist) se pune problema determinării masei unui eventual companion al acestuia dacă cele două corpuri formează un sistem binar (o așa numită exoplanetă), precum este exemplul exoplanetei 51-Pegas B, în jurul strului 51-Pegas, Figura I.4.8, descoperit de Mayor și Queloz în 1995, Figura I.4.9.

Figura I.4.8. Locația sistemului 51-Pegas în constelația Pegas, în raport cu Calea Lactee (hașurată), pe bolta cerească;

http://planetquest.jpl.nasa.gov/atlas/images/skymap_51_Pegasi.jpg


14/18

Figura I.4.9. Stânga: schema unei exo-planete (http://www.euhou.net); centru: reprezentarea artistică a exo-planetei 51-Pegas-B

(http://obswww.unige.ch/~udry/planet/Images/pegasi.jpg); stânga: înregistrarea vitezei de rotație față de faza (lunară) a comanionului 51-

Pegas B.

Pașii pentru determinarea masei companionului stelei/planetei centrale se bazează pe Figura 4.I.8 (stanga) și constau în:

� Aplicarea legii a III-a a lui Kepler sub forma

( )EA mMGAE

T

+=

2

3

2 4π

� Aplicarea ecuației distanțelor față de baricentrul sistemului binar

AEmM

mOA

EA

E

+=

� Exprimarea vitezei circulare

T

OAvA

π2=

� Eventuala transformare a vitezei circulare în viteza recesională Hubble

ivv AHubbleA sin=−


15/18

unde i- unghiul dintre direcția de observare a sistemului binar și perpendiculara la planul orbitei astrului în jurul baricentrului; de regulă se ia 1sin =i ;

� Obținerea din combinarea relațiilor de mai sus a ecuației pentru masa exoplanetei

( )2332 AEHubbleAE MmTvGm += −π

� Rescrierea ecuației anterioare în aproximația AE Mm <<

3/23/1AHubbleAE MTKvm −= ,

( ) 3/12

1

GK

π=

de unde reiese ca factor dominant viteza de recesie Hubble, față de celelalte variabile care se află la puteri subunitare;

� Considerarea datelor experimentale (observate): masa stelei/planeteui gigant, viteza radială, perioada de rotație

kgMM SoarePegas30

51 100.2 ⋅=≅− ,

smv HubblePegas /6051 =−−

zileT Pegas 2.451 =−

� Aflarea masei exoplanetei

!45.0101.9 2651 JupiterBPegas mkgm ≅⋅=−−

ceea ce confrimă faptul că si exoplaneta este o planetă gigant!

III. Ultima aplicație deschide și “cutia Pandorei” în ceea ce privește cunoașterea Universului Observat, Figura I.4.10. În speță, se pune problema stabilirii variației vitezei radiale a unei galaxii ce are concentrată o mare parte din masa sa într-o regiune centrală.


16/18

Figura I.4.10. Stânga: reprezentarea variației vitezei de rotație a materiei galactice înfuncție de distanța față de centrul acesteia – cu

evidențierea necesității existenței materiei negre (reci, condensate); în dreapta: reprezentarea “spumei” Universului – cu necesitatea existenței

energiei negre.

Astfel, cu modelul schematic din Figura I.4.10 (stânga) se identifică două regiuni de inters:

(i) prima caracterizată de miscarea nucleului ca un solid rigid cu o viteză aunghiulară constantă; și

(ii) regiunea “gazoasă și de praf” din exteriorul nucleului galaxiei, unde actionează într-o primă aproximație legea atracției universale a lui Newton asupra uneui elșement de masă m aflat la distanta r de nucleul galaxiei (unde se poate considera concentrată toată masa acesteia). Analitic, viteza de rotație pe cele două domenii ale Galaxiei se obține

⋅

=).(..........

)....(..........

iir

GM

ir

vG

Gω

unde relația pe domeniul (ii)-Galaxie a fost obținută din egalitatea forței newtoniene de atracție garvitațională cu forța centripetă a mișcării orbitale


17/18

r

mv

r

mMG G

2

2=

ceea ce permite, distanța până la galaxia respectivă, Dr → , și calculul masei asociate galaxiei

320

2

DG

H

G

DvM Hubble

Galaxie ==

unde s-a considerat legea Huble cu constanta Hubble H0.

Revenind la domeniile vitezei de rotație pentru Galaxia din Figura I.4.10 (stânga) se observă cum, reunind legile de variație se obține o curbă linieară în regiunea (i) și una de tip asimptotic-hiperbolic în regiunea (ii), fapt ce este aspru contrazis de curba observată în regiunea (ii). Cum viteza radială în această regiune este cu atât mai mare cu cât masa Galaxiei (din nucleu alcesteia) este mai mare, rezultă că o cantitate însemnată de masă Galactică este “nevăzută” în interiorul nucleului Galactic – așa numita “masă (rece, conensată) neagră – the dark matter” – în cuantum de cca. 23% din masa Universului. Considerente similare se pot face și referitor la “golurile” intergalactice ce corespund unor energii (câmpuri) ce permit transmirterea semnalelor (gravitatționale, lumionoase) între acestea – avansându-se ideea unui Univers non-izotrop și non-uniform, cu “energia neagră” dintre galaxii corespunzând la cca 73% din materia totală din Univers! Însumate, celel două exitențe “negre”-necunoscute-interzise cunoașterii (deocamdată) se concluzionează că doar 4%! din Univers se poate cunoaște cu legile actuale (Newton, Einstein, Hubble, etc.). Prezentul în cunoașterea universală este deci pesimist; viitorul poate se va schimba!


18/18

Albert Einstein

14 Martie 1879 Ulm, Regatul Württemberg – Imperiul German, - 18 Aprilie 1955 (la 76 ani) Princeton, >ew Jersey SUA; a avut contribuții

în teoria relativității speciale, generale, mecanică cuantică, statistică, cosmologie; a fost asociat la Oficiul de Patente Elvețian din Berna,Universitatea din Zurich (alma mater), Universitatea Charles din Praga, ETH Zurich (alma mater), Academica de Științe Prusacă, Institutul Kaiser Wilhelm (Dahlem-Berlin),

Universitatea din Leiden, Institutul de Studii Avansate (Princeton); Coordonatori academici:

Alfred Kleiner (pentru doctorat) și Heinrich Friedrich Weber; Studenți deveniți celebrii: Ernst G. Strauss, >athan Rosen, Leo Szilard,

Raziuddin Siddiqui; este faimos pentru echivalența masă-energie (energia Einstein), ecuația lui Einstein (în gravitație), statistica Bose-Einstein; premii importante: Premiul

>obel (1921), Medalia Coplet (1925), Medalia Max Planck (1929), Declarat de revista Times –

Personalitatea Secolului XX!

Edwin Powell Hubble

20 >oiembrie 1889 Marshfield – Missouri SUA, - 28 Septembrie 1953 (la 63 ani) San

Marino, California SUA; a avut contribuții în astronomie; a fost asociat la Universitatea din

Chicago, Universitatea Oxford, și Observatorul Mount Wilson; a fost influențat științific de Allan Sandage; este faimos pentru

ipoteza Big Bang,legea Hubble, deplasarea spre roșu a galaxiilor, și secvența Hubble;

laureat al medaliei Bruce în 1938, și desemnat pentru Premiul >obel în anul morții (1953).

i.4. consecinţe cinematice ale teoriei relativităţii ... · pentru stabilirea regulii de...

Documents