NUMERELE COMPLEXE

Elevi : Baciu Maria Buliga Carmen Fluture Ioana Saulea Andra

1. Definitie2. Forma algebrica3. Forma trigonometrica4. Conjugatul unui număr complex5. Modulul unui număr complex6. Puterile lui I7. Operații cu numere complexe8. Ecuații cu numere complexe.9. Cum au aparut numerele complexe?10. Aplicatiile numerelor complexe in viata de zi

cu zi

Cuprins…

Numerele complexe au apărut in literatura matematică din necesitatea construirii unei soluţii a ecuaţiilor de gradul doi cu Δ=b2-4ac< 0. Mulţimea numerelor complexe formează un corp - corpul numerelor complexe, notat cu C . Formal, mulţimea numerelor complexe reprezintă mulţimea tuturor perechilor ordonate de numere reale, (a,b), înzestrată cu operaţiile de adunare și înmulţire definite mai jos:

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d);(a,b) * (c,d) = (ac-bd, bc+ad);

1. Definiţ

ie

Numărul complex (0,1) are proprietatea (0,1)(0,1)=(1,0),  adică  (0,1) 2 =(-1,0) identificat cu numărul real -1 .

Niciun număr real nu are această proprietate; de aceea el a fost denumit "numărul i   " („i” de la „imaginar”).

Numărul complex  este notat cu i și numit „numărul i”. Are proprietatea i 2 = -1. Un număr complex  poate fi scris (1,b)=(a,0)+(b,0)(0,1)= a+bi.Forma algebrică a unui număr complex este z= a+bi , unde a și b sunt numere reale.

Pentru un număr complex, se numește partea reală a lui z și se notează a=Re(z), iar b se numește partea imaginară a lui z și se notează b=Im(z) .• (0,1) = i  numit unitatea imaginară; (0,0)=0 ; (1,0)= 1.• Un număr complex cu partea reală nulă (deci de forma: z= bi ) se mai numește „număr imaginar”.• Egalitatea a două numere complexe z = (a,b) = a+bi  și 

w = (c,d) = c + di  are loc dacă a = c și b = d. Exemplu:

(2,-1)=2+(-1)ˑi=2-i

2. Forma algebrică

Numerele complexe pot fi reprezentate grafic, alegând axa Oy ca axă imaginară şi Ox ca axă reală. Astfel fiecărui număr complex z (x, y) i se poate ataşa un punct M de abscisă x şi de ordonată y. Astfel M se numeşte imaginea lui z, iar z afixul lui M. Poziţia lui M este definită şi de vectorul de poziţie r = OM .

r = xi + yj

3. Forma trigonometrică

Orice numar complex a carui forma algebrica este z=a+bi poate fi scris sub forma trigonometrica, adica sub forma z=r(cosα+i sinα), unde r= este modulul numarului complex z, iar

α = arctg este argumentul acestui numar complex.

Conjugatul complex al unui numar z = a+bi este numarul complex z = a-bi.

Proprietatile conjugatului complex :

4.Conjugatul unui număr complex

5. Modulul unui număr complex

6. Puterile lui i

1. Adunarea este asociativă (Z₁+Z₂)+Z₃=Z₁+ (Z₂+Z₃) ,(∀) Z₁,Z₂,Z₃∊ ℂ

2.Adunarea este comutativă Z₁+Z₂= Z₂ +Z₁ , (∀) Z₁,Z₂ ∊ ℂ 3. Elementul neutru la adunare : 0=0+0i , (∀) Z ∊ ℂ 4.Opusul unui nr complex: (∀) Z ∊ ℂ , ∃ (-z) ∊ ℂ a.î z+(-z)=0 5.Înmulțirea este asociativă (Z₁Z₂)Z₃= Z₁(Z₂Z₃) ,(∀) Z₁,Z₂,Z₃∊ ℂ 6.Înmulțirea este comutativă : Z₁Z₂= Z₂ Z₁ ,(∀) Z₁,Z₂,Z₃∊ ℂ 7. Elementul neutru la adunare : 1=1+0i 8. Distributivitatea față de adunare Z₁(Z₂+Z₃)= Z₁Z₂ + Z₁ Z₃ 9.Egalitatea numerelor complexe: Z₁= a₁ + b₁ i Z₂= a₂ + b₂ i Z₁=Z₂ ⇒ a₁ = a₂

b₁= b₂

7. Operații cu numere complexe

Ecuația are două rădăcini complex conjugate date de formula :

8. Ecuații cu numere complexe

In mijlocul secolului 16, in Europa nu era folosit numarul 0 si nici numerele negative. De asemenea nu se considera ca ecuatiile patrate au doua radacini. Matematicienii din acea vreme stiau ca problema rezolvarii ecuatiilor cubice se putea reduce la rezolvarea a doua cazuri

+mx=n si =mx+n unde m si n erau numere pozitive.

Solutia ecuatiei cubice +ax=b, unde a si b sunt numere pozitive este data de formula:

9. Cum au aparut numerele complexe ?

Cardano a observat ca daca aplica formula de rezolvare ecuatiei

a carei solutie este 4, rezultatul se exprima sub forma

. Aceasta expresie parea sa nu aiba sens deoarece -121 nu avea radacina patrata. Desi Cardano nu intelegea numerele complexe, el opera cu aceata radacina patrata ca si cand

ar fi un numar obisnuit si a observat ca:

Adunand cele doua radacini cubice obtinem = 4 care este solutia ecuatiei

În dinamica fluidelor, functiile complexe sunt folosite pentru a descrie potentialul de curgere în două dimensiuni.

În inginerie electrică, transformarea Fourier este folosita pentru a analiza diferite tensiuni și curenti. Tratamentul de rezistente, condensatori, inductoare și pot fi apoi unite prin introducerea de rezistente imaginare, dependente de frecventă pentru cele două din urmă și care combină toate cele trei într-un număr complex unic numit impedanta. Această abordare se numește calcul phasor.

10. Aplicațiile numerelor complexe în viața de zi cu zi

În matematică, transformarea Fourier (numită astfel după matematicianul și fizicianul Joseph Fourier) este o operatie care se aplică unei functii complexe și produce o altă functie complexă care contine aceeași informatie ca functia originală.

În domeniul fizicii :Numerele complexe au aplicabilitate si in alte domenii, cum ar fi :mecanica, fizica teoretica, hidrodinamica si chimie

Pentru a putea analiza cu succes circuitele de curent alternativ, trebuie să abandonăm numerele scalare şi să luăm în considerare cele complexe, capabile să reprezinte atât amplitudine cât şi faza unei unde în acelaşi timp.

Numerele complexe sunt mai uşor de înţeles dacă sunt trecute pe un grafic. Dacă desenăm o linie cu o anumită lungime (amplitudine) şi unghi (direcţie), obţinem o reprezentare grafică a unui număr complex, reprezentare cunoscută în fizica sub numele de vector.

În formularea matematică a mecanicii cuantice, fiecărui sistem de referință i se asociază un număr complex din spațiul Hilbert, astfel încât, fiecărei stări instantanee a sistemului îi corespunde câte un vector unitate din acel spațiu. Acel vector, numit adeseori și vector de stare al sistemului.

Ecuația Schrödinger

1. z ۰ z’ = ?z=2-3i , z’= -4 +i (1-z)(5-z’)= (1-2+3i) (5-4+i) =(-1+3i) (1+i)=

-1-i+3i ۰i=-1+2i-3 = 2i-4 => a=-4 ; b=22.

Exerciții rezolvate

”The essence of mathematics is not to make simple things complicated,

but to make complicated things simple”. S.

Gudder

S F Â R Ș I T