PROIECT LA INFORMATICA

VECTORII IN MATEMATICA

CLASA a x-a A

Ce este un vector ?

• Vectorul este un element geometric, care are un sens, directie si modul (lungime).

• Vectorul este reprezentat geometric printr-un segment de dreapta orientat.

• Modulul sau lungimea vectorului este distanta dintre capetele vectorului ,iar directia vectorului se refera la directia de parcurs de la A la B .

Vectori

• Marimile vectoriale (vectorii) sunt marimile complet caracterizate de modul (valoare absoluta), de directie si de sens.

• Directia si sensul dau orientarea vectorului. Daca una din caracteristilice vectorului se modifica avem de a face cu un alt vector. Elementele unui vector: punct de aplicatie, varful vectorului si dreapta suport.

SEGMENTE ORIENTATE Fie A, B doua puncte diferite in planul P. Cele doua puncte determina pe dreapta d=AB doua semidrepte diferite: s1=(AB

si s2=(BA. Cele doua semidrepte au sensuri diferite.O pereche ordonata (A,B) de puncte ale pla-nului determina in mod unic: Un segment [AB] cu lungimea l=d(A,B) ; O directie in plan, directie daca de dreapta AB; Un sens dat de semidreapta s1 =(AB. Perechea ordonata (B, A) determina acelasi segment [AB],

aceeasi directie ca siperechea (A, B) iar sensul determinat de ea este sensul opus

sensului determinat de perechea (A, B). DEFINITIE: O pereche ordonata de puncte (A, B) din plan se

numeste segment orientat sau vector legat.

Definitii: Punctul A se numeste originea (punctul de aplicatie), iar B

extremitatea (varful) segmentului orientat AB. Lungimea segmentului [AB] se numeste modulul

segmentului orientat AB si se noteaza |AB|. Dreapta AB se numeste suportul segmentului orientat AB,

iar directia ei se numeste directia segmentului orientat AB.

Doua segmente orientate AB si CD sunt egale daca si numai daca A=C si B=D.

Doua segmente orientate AB si CD au aceeasi directie daca dreptele AB si CD au aceeasi

directie. Doua segmente care au aceeasi directie se numesc coliniare.

Doua segmente orientate AB si CD au acelasi sens daca semidreptele (AB si (CD au

acelasi sens. Segmentul orientat pentru care originea coincide cu

extremitatea se numeste segment nul (vector nul) si se noteaza cu 0.

VECTORUL DE POZITIE AL UNUI PUNCT IN PLAN Pentru fixarea pozitiei unui punct in plan sau in spatiu s-

au considerat diferite sisteme de referinta: Axele de coordonate-punctul este determinat prin

coordonatele sale carteziene; Laturile unui triunghi-punctul este determinat prim

coordonatele sale triliniare (normale, baricentrice, etc.); Axa polara si originea-punctul este fixat prin coordonatele

polare (distanta, unghiuri). Folosind calculul vectorial, pozitia unui punct A in plan

este bine determinata daca se alege un punct O al planului si se cunoaste vectorul OA.

Intr-adevar, punctul A este extremitatea vectorului OA, care are originea O. Vectorul Oa care determina pozitia punctului A in plan, se numeste vectorul de pozitie al punctului A si se noteaza cu rA .

Adunarea vectorilor in plan

Adunarea segmentelor orientate Relatia lui Chasles Fie AB si BC doua segmente orientate.Suma

celor doua segmente orientate este segmentul orientat s=AC.

B

A B C A C B

C A

Asadar,pentru oricare puncte A,B,C din plan are loc egalitatea:

AB+BC=AC(relatia lui Chasles) Vom spune ca vectorul s reprezinta suma vectorilor a

si b si vom scrie s=a+b.

Vectorii a si b se numesc componente, iar s vectorul suma sau vectorul rezultant al vectorilor a si b.

Regula de adunare descrisa anterior se numeste regula triunghiului.

B s=a+b A C

Regula paralelogramului: Fie vectorii a, b dati prin reprezentantii lor AB si BC. Considerand punctul D astfel incat AD~BC, se observa ca patrulaterul ABCD este un paralelogram in care AC, reprezentant al vectorului suma s, este diagonala pentru paralelogram.

B C

A D

Inmultirea cu scalari a vectorilor

Definitie: Fie aєR si v un vector din plan. Vectorul α∙v este prin definitie un vector care are aceeasi directie cu v, modulul egal cu lαl∙lvl, acelasi sens cu v daca α>0 sau sens contrar lui v daca α<0 si este vector nul daca α=0.

Proprietati ale inmultirii cu scalari:1. Vectorii v si αv sunt coliniari;2. α∙v=0 daca si numai daca α=0 sau v=0;3.1∙v=v si(-1) ∙v=-v.

Reper cartezian in plan

Un reper cartezian ortogonal in plan este definit de o pereche ordonata de axe perpendiculare, avand aceeasi origine O. Punctul O se numeste originea reperului. Prima axa,notata Ox, se numeste axa absciselor, iar a doua axa, notata Oy, se numeste axa ordonatelor. Notatia uzuala pentru un reper cartezian ortogonal in plan este xOy sau (O,i,j) ,unde I, j sunt versorii (vectorii unitate) pentru cele doua axe. y

Doi vectori a si b sunt coliniari daca si numai daca

coordonatele lor in reperul cartezian ortogonal (O,i,j) sunt proportionale. M1 M

j

O i M2

Descompunerea unui vector dupa doua directii date

Fie (∆1),(∆2) doua directii date de dreptele d1 respectiv d2 si vectorul v dat prin reprezentantul sau AB.

Prin punctele A si B se duc drepte paralele cu d1 si d2 . Se obtine astfel paralelogramul ABCD. Folosind regula paralelogramului se obtine relatia AB=AC+AD.

Vectorii a=AD si b=AC se numesc componentele vectorului v dupa directiile (∆1) si (∆2).

d1 C B A d2 D

Descompunerea unui vector dupa doi vectori necoliniari

Fie a ,b doi vectori necoliniari. A descompune un vector v din plan dupa vectorii a,b inseamna a descompune vectorul v ca suma de doi vectori coliniari cu a si b.

Procedeul descompunerii este asemanator cu cel al descompunerii vectorului v dupa doua directii date.

A

a C O

b B

Tipuri de vectori

Tipurile de vectori sunt : Vectori alunecatori sunt vectorii care au dreapta

suport fixa si punctul de aplicatie poate aluneca pe dreapta suport.

Vectori liberi sunt vectorii la care punctul de aplicatie poate fii oriunde in spatiu.

Vectori legati sunt vectorii a caror punct de aplicatie este fix.

Vectori rotitori sunt vectorii a caror punct de aplicatie este fix dar orientarea se modifica. Vectori concurenti sunt vectorii a caror drepte suport se intalnesc.

Vectori paraleli sunt vectorii a caror drepte suport sunt paralele. Vectori coliniari sunt vectorii care au aceeasi dreapta suport.

Vectori coplanari sunt vectorii a caror drepte suport sunt in acelasi plan.

Bibliografie- Marius Burtea, Georgeta Burtea-Manual de Matematica

Clasa a IX-a, Editura Carminis, Pitesti- www.wikipedia.org- Carmen Mincă-Informatică, Caiet de laborator pentru

clasa a X-a, Editura L&S Infomat, Bucureşti, 2006 Grupa Nr.1 Gheorghe Aura Popescu Patricia Popescu Alina Trandafir Georgiana Vlad Dana Colegiul National “Vladimir

Streinu” Gaesti-Dambovita