COALA DOCTORAL

PROIECT DE CERCETARE TIINIFIC

ANALIZA AVANSAT A STRUCTURILOR N CADRE SPAIALE COMPOZITE OEL BETON

Domeniul de doctorat: Inginerie Civil

Conductor tiinific, Doctorand, Prof. Univ. Dr. Ing. Ludovic KOPENETZ Ing. Ioana V. Marchi

20121. Introducere

Odat cu dezvoltarea tehnologiei pe calculator, utilizarea practic a metodelor avansate devine posibil. Conceptul de analiz avansat este definit ca orice metod de analiz care poate surprinde comportamentul real al unei structure prin modelarea tuturor fenomenelor relevante inclusiv neliniaritile geometrice locale i globale, de material , imperfeciunile geometrice iniiale i tensiunile reziduale, astfel ncat analize suplimentare ale elementelor nu sunt necesare.

n ultimii 20 de ani , numeroase modele analitice au fost dezvoltate pentru analiza inelastic de ordinal al II-lea a structurilor n cadre plane din oel. Cele mai multe dintre aceste modele pot fi clasificate astfel :

Articulaie plastic concentrat Zone plastice ( Plastificare distribuit)

1.1. Modelul plastificarii distribuite

n analiza cu plastificare distribuit efectul plastificarii partiale in lungul elementelor componente ale structurii este considerat prin intermediul relaiilor analitice neliniare moment ncovoietor-efort axial-curbura (M-N- ) ce caracterizeaza comportarea elasto-plastica a seciunilor transversale ale elementelor solicitate la ncovoiere cu sau fara efort axial. In aceasta analiza dezvoltarea gradual a zonelor plastice pe nlimea seciunii transversale i n lungul elementului este surprinsa prin mprtirea barei n mai multe elemente precum i prin discretizarea seciunii transversale n fibre. (Alvarez & Birnstiel 1969; Chu & Pabarcius 1964; White 1985; Vinnakota & Foley 1999; Foley, 2001; Chan& Wong 2000). Chiar dac analiza cu zone plastice este foarte precis i este considerat a fi soluia exact implic un efort computaional mare din moment ce este nevoie de o discretizare fin a seciunii transversale i n lungul elemntului.

1.2. Modelul plastificarii concentrate

n analiza cu articulaii plastice concentrate (Heyman 1957; Porter and Powel 1971) plasticizarea materialului intervine punctual doar n seciunile de bar din jurul combinaiilor de eforturi maxime iar poriunea de bar dintre articulaiile plastice rmne cu comportare integral elastic. Elementele structurii au o comportare perfect elastic, pn la atingerea eforturilor ce produc plastificarea integral a unei seciuni (apariia articulaiei plastice) de la capetele elementului, sectiunile transversale ale elementelor au o comportare perfect plastic (nu se consider reconsolidarea materialului) dup apariia articulaiei plastice. Acest tip de analiza este unul aproximativ, raspunsul structurilor in domeniul elastoplastic avnd o acuratete limitata, depinznd in principal de configuratia structurii si caracteristicile de ncarcare.

Metodele de analiz care au la baz conceptul de articulaie plastic au fost imbuntite considerand dou suprafee de interaciune, cele corespunztoare inierii curgerii respectiv plastificrii totale i aplicarea unor relaii liniare sau neliniare pentru considerarea degradrii rigiditii elementelor (Powel & Chen, 1986; Deierlein et al., 1991; Al-Mashary & Chen, 1991; King et al., 1991; Yau & Chan ,1994; Leu & Tsou 1998; S.E.Kim, et al., 2000) i chiar dac metoda cu articulaii plastice punctuale are tendina de a supraestima rezistena i stabilitatea elementelor, numeroare studii au aratat c rezultate sunt satisfctoare n comparaie cu metoda zonelor plastice dar avnd un efort computaional mult mai mic.

Complexitatea surprinderii plastificrii seciunilor n metoda articulatiilor plastice const n localizarea seciunilor plastificate care pot fi la capetele elementului sau n lungul lui ( Chen & Chan 1995; Wong 1996; Kim et al., 2004; Kim & Choi, 2005), multe din aceste metode implicnd nevoia de a mpri bara n mai multe elemente pentru a putea surprinde apariia articulaiei plastice ceea ce implic un efort computaional mai mare datorit pregtirii datelor de intrare i interpretarea rezultatelor.

2. Surse de neliniaritate

Principalele surse de neliniaritate sunt : Neliniaritatea fizica Neliniaritatea geometrica Imperfectiunile geometrice initiale

2.1. Neliniaritatea fizica

Neliniaritatea fizica sau materiala se manifesta prin modificarea parametrilor curbei caracteristice a materialului, ca uramare a cresterii nivelului de solicitare. Pentru structurile in cadre neliniaritatea fizica se manifesta prin plastificarea locala a sectiunilor si a dezvoltarii acestor zone plastice in lungul barelor, urmarind starea de eforturi existenta.

Criteriul de plastificare

n analiza plastic a unui element ncrcat cu for uniform distribuit se consider c plastificarea materialului intervine punctual ca urmare a unei stri de tensiuni uniaxiale provenite din aciunea concomitent a momentelor ncovoietoare i a efortului axial. Prin urmare ntre mrimile acestor eforturi trebuie s fie ndeplinit o anumita corelaie, care reprezint condiia deplastificare a seciunii. (1)

Unde sunt efortul axial i momentele ncovoietoare ntr-o seciune.

reprezint plastificarea integral a unei seciuni , aceast stare de eforturi nu este permis.

Ecuaia (1) reprezint o suprafa si este denumit suprafa de interaciune plastic.n figura 1 sunt prezentate cteva dintre cele mai utilizate relaii de interaciune pentru seciunile metalice de tip profil I i pentru seciunile de beton armat de form dreptunghiular.Suprafata de plastificare AISC-LRFD ( sectiune metalica) poate fi exprimat:

(2)

Suprafata de plastificare Orbison ( sectiune metalica) poate fi exprimat: (3)

Unde P este fora axial, este efortul axial capabil, A este aria seciunii transversale, reprezint valoarea tensiunii de curgere a materialului, este momentulncovoietor fa deaxa de inerie principal respectiv secundara, este momentul ncovoietor capabil fa deaxa de inerie principala respectiv secundara, estemodulul plasticderezisten pentru axa de inerie principal respectiv secundar.

a) b)

Fig.1 Curbe de interactiune plastica: a) AISC-LRFD, b) Orbison

2.2.1. Efectul neliniaritii geometrice locale

Pentru a surprinde efectul neliniaritii geometrice locale, se pot folosi funcii de stabilitate pentru fiecare element care sunt actualizate la fiecare pas de ncarcare. Unele dintre funciile de stabilitate utilizate in analizele avansate sunt cele menionate n [6]:

(3)

Unde iar P este considerat pozitiv pentru compresiune.

Fig.Soluiile numerice obinute cu ecuaiile (3) sunt nedeterminate cnd fora axial este egal cu 0. Pentru a rezolva aceasta problem Lui si Chen [26] au propus un set de expresii pentru a aproxima funciile de stabilitate cand fora axial se afla ntre .

(4)Unde .

Ecuaiile (4) pot fi aplicate pentru elemente aflate n tensiune ( P pozitiv) sau compresiune ( P negativ) avnd rezultate excelente comparnd cu cele obinute cu ecuaiile (3).

2.2.2. Efectul neliniaritatii geometrice globale

Efectul global al neliniaritii geometrice poate fi surprins riguros n analiz prin considerarea explicit a modificrii configuraiei geometrice ale nodurilor structurii i exprimarea condiiilor de echilibru static n aceste configuraii deformate.

Fig.

2.3. Efectul imperfeciunilor geometrice iniiale

Imperfeciunile geometrice iniiale a elementelelor de metal au o forma aleatoare n realitate[28]. Pentru elemente structurale exist doua tipuri de imperfeciuni iniiale: imperfeciuni geometrice la nivelul elementelor structurale i imperfeciuni generate de operaiunile de montaj, adic imperfeciunile geometrice globale. Codul AISC [3] limiteaz aceste imperfeciuni la L/1000 pentru imperfeciunile locale i L/500 pentru cele globale.

Imperfeciunile geometrice iniiale locale se consider n calcul avnd forma unei funcii sinusoidale , dup cum se poate observa n figura 2.

Fig. 2 Element de bara avnd imperfeciuni geometrice iniiale [9]

n consecin deformaia total poate fi exprimat :

(4)

Unde sunt deformaiile cauzate de forele exterioare i sunt deformaiile cauzate de imperfeciunile geometrice iniiale.

3. Efectul conexiunilor flexibile

Modelarea conexiunilor semirigide se face prin includerea unui resort de rotaie ntre grind i stlp iar efectul lor este inclus n matricea de rigiditate tangent i n vectorul forelor nodale echivalente. Doar efectul resortului de rotaie este considerat n analiza, efectul forei axiale i al forei tietoare sunt neglijate, ele fiind foarte mici comparativ cu cel cauzat de momentul ncovoietor. Conexiunile flexibile pot avea o comportare liniar sau neliniar. Efectul conexiunilor semi-rigide poate fi inclus n analiz adoptand modelul prezentat n [10].

Relaia incremental for-deplasare pentru un element de bar cu conexiuni semi-rigide poate fi scris:

(40)

Unde i sunt matricea de rigiditate tangent i vectorul forelor nodale echivalente pentru un element cu conexiuni flexibile i care pot fi exprimate:

(41)

(42)

Unde si reprezint matricea de rigiditate tangent i vectorul forelor nodale echivalente pentru un element cu conexiuni rigide i care tine cont de efectul neliniaritii de material, geometrice locale, dup cum s-a descris n subcapitolele precedente, unde rndurile i coloanele corespunzatoare deformaiilor axiale i de torsiune au fost ndepartate; reprezint matricea de rigiditate a conexiunilor semi-rigide care poate fi exprimat unde sunt rigiditile conexiunilor pentru axa principal de inerie pentru nodurile i si j.Matricea de rigiditate nu include GDL corespunzatoare forei axiale i momentului de torsiune, ele fiind adaugate n final pentru a rezulta o matricea de rigiditate de 6x6 pentru un element n plan.

Dac conexiunile au o comportare liniar-elastic, atunci rigiditile Ri i Rj ale conexiunilor sunt constante. n cazul n care ns, comportarea este neliniar, atunci aceste rigiditi sunt variabile, depinznd de nivelul de solicitare al conexiunii. Pentru a modela comportarea neliniar a conexiunilor se consider modelul propus in [23,24]. Ecuaia general a modului propus poate fi exprimat:

(43)

Sau

(44)

Unde , este momentul ncovoietor n conexiune , este momentul ultim al conexiunii, n este un parametru de form, este rotirea relativ intre grind i stlp, este rotirea de referin definit i este rigiditatea iniial a conexiunii. Rigiditatea tangent Ri corespunztoare unei valori arbitrare a rotirii se poate evalua fcnd derivata lui M n raport cu :

(45)Utiliznd relaia (44) devine :

(46)

Unde este rigiditate iniial a conexiunii si care poate fi exprimat n funcie de factorul de fixare [27]:

(47)

Iar din ecuaia (47) se poate obine factorul de fixare: (48)

De observat ca n timp ce , coeficientul de "fixare" ia valori ntre 0 i 1 ; 0 pentru o conexiune articulat i 1 pentru o conexiune perfect rigid.n felul acesta, rigiditatea tangent depinznd de valoarea momentului ncovoietor Mi ce solicit conexiunea din nodul i este:

(47)

Unde este un factor de reducere al rigiditii conexiunii.

4. Efectul curbei de interaciune plastic asupra matricei de rigiditate tangent

n cazul ncovoierii uniaxiale, corelaia dintre eforturile axiale i de ncovoiere ce produc plasticizarea integral a seciunii poate fi reprezentat printr-o curb de plasticizare, ca n fig. 4. Pentru a suprinde efectul plastificrii unei seciuni n matricea de rigiditate tangent se folosete formularea matematic prezentat n [10].Relaia incremental ncarcare-deplasare pentru un element de bar care ine cont de plastificare unei seciuni i incluznd forele nodale echivalente poate fi exprimat:

(24)

Unde i sunt matricea de rigiditate tangent i vectorul fortelor nodale echivalente pentru un element cu o articulaie plastic format la capatul i:

(25)

(26)

Unde reprezint matricea de flexibilitate a elementului de bar care ine cont de efectele neliniaritii de material i geometrice locale, dup cum au fost descrise n subcapitolele precedente.Matricea de transformare introduce corelaia necesar ntre eforturi pentru satisfacerea condiiei de plastifcare cand o articulaie plastic este format. (Fig. 4)

, cnd bara este plastificat la capatul i

, cnd bara este plastificat la capatul j

, cnd bara este plastificat la ambele capate (27)

Fig. 3 Un element de bar ncrcat cu for uniform distribuit

Fig. 4 Criteriul de plastificare.

Metoda de analiz descris n [10] poate fi aplicat chiar i dac o articulaie plastic este format n lungul elementului. Dac consideram elementul din Fig. 3 ncrcat cu fora uniform distribuit i presupunnd c n seciunea i in captul j s-au format articulaii plastice, ecuaiile de constrngere impuse sunt:

(28)

Unde n seciunea este calculat cu expresia:

(29)

Ecuaiile de constrngere (28) pot fi scrise simbolic :

(30)

Relaia incremental ncrcare-deplasare pentru un element de bar incluznd i forele nodale echivalente poate fi exprimat:

(31)

Unde i sunt matricea de rigiditate tangent i vectorul fortelor nodale echivalente pentru un element cu o articulaie plastic format la capatul i i n lungul elementului:

(32) (33)

Unde matricea de transformare i vectorul forelor nodale echivalente pot fi exprimate:

Pentru o bar plastificat la capatul i i n lungul elementului:

(34)

(35)

Pentru o bar plastificat la captul j i n lungul elementului:

(36)

(37)

Pentru o bar plastificat n lungul elementului:

(38)

(39)

5. Concluzii

Un program de calcul a fost elaborat de autor, EPASS, pentru determinarea rspunsului neliniar al cadrelor plane din oel, cu considerarea efectelor de ordinal al II-lea, locale i globale ale neliniaritii geometrice, imperfeciunilor geometrice iniiale, ca i comportarea neliniar a conexiunilor flexibile dintre bare. Metoda implementat presupune modelarea structurii utiliznd un singur element/ bar ceea ce reduce numarul gradelor de libertate utilizate n metod i timpul de calcul. Calculul este simplu incremental, rezolvarea fiind condus n metoda pailor controlai de ncrcri cu creterea incremental a forelor exterioare. S-a utilizat o metod de analiz care modeleaz neliniaritatea fizic utiliznd conceptul de articulaie plastic punctual cu formare instantanee, zonele poteniale de plastificare fiind considerate la capetele elementului precum i in lungul lui. O procedur este utilizat cu scopul de a satisface criteriul de plastificare dup formarea unei articulatii plastic, n acest fel vrful vectorului rmne pe curba de plastificare dupa depsirea capacitii elastice a unei seciuni. ncrcri uniform distribuite pe bar pot fi incluse direct n analiz fr a fi necesar divizarea barei n mai multe elemente. Pentru a ine cont de efectul neliniaritii geometrice locale sunt utilizate funcii de stabilitate, pentru fiecare element n parte, care sunt actualizate la fiecare pas de ncrcare. Modelarea conexiunilor semirigide se face prin includerea unui resort de rotaie ntre grind i stlp iar efectul lor este inclus n matricea de rigiditate tangent i n vectorul fortelor nodale echivalente. Efectele tensiunilor reziduale i al reconsolidarii materialului au fost neglijate n analiz.Pentru a verifica eficiena i acurateea programului de calcul au fost prezentate cateva exemple numerice analizate de ctre ali autori ([4],[5], [7], [10], [12], [14], [25], [29], [32], [33], [35], [39], [40], [41]) , rezultatele comparative obinute, confirm performana modelului de calcul i l clasific drept o metod de analiz static avansat pentru structurile n cadre plane din oel.

Bibliografie

[1]Alvarez, R.J., Birnstiel, C., 1969. Inelastic analysis of multistory multibay frames., J. Struct. Div. ASCE, 95(11), 2477-2503[2]Al-Mashary, F., Chen, W.F.,1991. Simplified second-order inelastic analysis for steel frames, Struct. Engrg. 69(23), 359-399[3]American Institute of Steel Construction (AISC,1994, Load and Resistance Factor Design, Manual of Steel Construction, Vol. 1 and 2, 2nd ed., Chicago, IL[4]Barsan, G. M, Chiorean, C. G., 1999. Influence of residual stress on the carrying-capacity of steel framed structures. Numerical investigation. Stability and Ductility of Steel Structures, (D. Dubina & M. Ivniy, editors), Elsevier, London, 317-324 [5] Chan S L, Chui P P T, 2000. Non-linear static and cyclic analysis of steel frames with semi- rigid connections, Elsevier [6] Chen WF, Lui EM., 1992. Stability design of steel frames. Boca Raton, FL: CRC Press; 380 p..[7] Chen, W.F., Toma, S., 1994. Advanced Analysis of Steel Frames, CRC Press London[8] Chen WF, Chan SL., 1995. Second-order inelastic analysis of steel frames using element with midspan and end springs. Journal of Structural Engineering ASCE 121(3): 530541.[9]Chiorean C.G., 2006. Aplicatii software pentru analuza neliniara a structurilor in cadre, U.T. Pres. ISBN (10) 973-662-231-2; ISBN (13) 978-973-662-231-1.[10]Chiorean C.G., 2009. A computer method for nonlinear inelastic analysis of 3D semirigid steel frameworks, Engineering Structures, 31(12): 30163033[11]Chu, K.H., Pabarcius, A. 1964. Elastic and inelastic buckling of portal frames, J. Engrg. Mech. Div., ASCE, 90(5), 221-249[12]Clarke, M.J., 1994. Plastic zone analysis of frames, advanced analysis of steel frames : Theory, Software and applications, W.F. Chen, S. Toma, eds., CRC Press, Boca Raton, Fla., 259-319[13]Deierlein, G.G., Zhao, Y., McGuire, W.,1991. A two surface concentrated plasticity model for analysis of 3D framed structures, Proc., Annu. Tech. Session: Inelastic Behavior and Des. Of Frames, Struct. Stability Res. Concil, Lehigh University, Bethlehem, Pa.,423-423.[14]El-Zanaty M, Murray D, Bjorhovde R.,1980. Inelastic behavior of multistory steel frames. Structural Engineering Report No. 83. Alberta, Canada: University of Alberta. [15] Foley C.M.,2001. Advanced analysis of steel frames using parallel processing and vectorization. Computer- Aided Civil and Infrastructure Eng., 16:305-325,.[16]Heyman, J., 1957. Plastic design of portal frames, Cambridge University Press, Cambridge, England.[17]Kim, S.E.,Kim, M.K. Chen, W.F., 2000. Improved Refined Plastic Hinge Analysis Accounting for Strain Reversal, Engineering Structures,22,15-25[18]Kim SE, Lee JS, Choi SH, Kim CS. 2004. Practical second-order inelastic analysis for steel frames subjected to distributed load. Engineering Structures 26: 5161.[19]Kim SE, Choi SH. 2005. Practical second-order inelastic analysis for three-dimensional steel frames subjected to distributed load. Thin-Wall Structures 43: 125160.[20]King, W.S., White, D.W., Chen, W.F.,1991. A modified plastic hinge method for second order inelastic analysis of steel rigid frames, Struct.Engrg. Rep, CE-STR-90-13, Purdue University, West Lafayette, Ind[21]King, W.S., White, D.W., Chen, W.F., 1992. Second-order inelastic analysis methods for steel-frame design. J. of Struct. Engeg., Vp; 118, No.2, February. ASCE, ISSN 0733-9445/92/0002-0408[22]Leu, L.J. Tsou, C.H., 1998. Second order analysis of planar steel frames considering spread of plasticity, Proc., 6th East Asia-Pacific Conf. On Struct. Engrg. And Constr.,109-114[23]Liew JYR, White DW, Chen WF. 1993. Limit states design of semi-rigid frames using advanced analysis: Part I: Connection modeling and classification. J Construct Res ;26:1-27.[24]Liew JYR, White DW, Chen WF. 1993. Limit states design of semi-rigid frames using advanced analysis: Part II: Analysis and design. J Construct Re, 26:29_57.[25]Liew, J.Y.R., Chen, W.F., 1994. Implications of Using Refined Plastic Hinge Analysis for Load and Resistance Factor Design, Thin Walled Structures, 20, 17-47 [26]Lui EM, Chen WF. 1986. Analysis and behavior of flexibly jointed frames. Eng Struct,;8:10718.[27]Lui EM, Chen WF. 1987. Effects of joint flexibility on the behavior of steel frames. Comput & Structures, 26(5):719-32.[28]McNamee, B. M., and Lu L-W (1972). Inelastic multistory frame buckling, Journal of the Structural Engineering Division, ASCE, 98(7), 161331.[29]Orbison, J.G., McGuire, W., Abel, J.F., 1982. Yield surface applications in nonlinear steel frames analysis, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 33(1), 557-573 [30]Porter,F.L., Powell,G.H.,1971. Static and dynamic analysis of inelastic frame structures. Report No. EERC 71-3, University of California, Berkeley.[31]Powel, G.H., Chen, P.F.S.,1986. 3D beam-column element with generalized plastic hinges, J. Engrg. Mech.,ASCE, 12(7), 627-641[32]Sekulovi, M. , Danilovi M. Nefovska, 2004. Static inelastic analysis of steel frames with exible connections , Theoret. Appl. Mech., Vol.31, No.2, pp.101-134, Belgrade [33]Toma S., Chen W.F., 1992. European calibration frames for second-order inelastic analysis, Engineering Structures, 14(1), (1992):7-14 [34]Vinnakota S. , Foley C.M.,1999. Inelastic behavior of multistory partially restrained steel frames. Parts i and ii. Journal of Structural Engineering ASCE, 125(8):854-868.[35]Vogel, U., 1985. Calibrating frames, Stahlbau, 10,1-7[36]White, D.W., 1985. Material and geometric nonlinear analysis of local planar behavior in steel frames using interactive computer graphics, thesis, presented to Cornell Univ., at Ithaca, N.Y. in partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science.[37]Wong MB. 1996. Effects of linearly varying distributed load on the collapse behaviour of frames. Computers and Structures 61(5): 909914.[38]Yau, C.Y.,Chan, S.L.,1994. Inelastic and stability analysis of flexibility connected steel frames by spring-in-series model, J. Struct. Engrg., ASCE, 120(10), 2803-2820[39]Ziemian, R.D. 1990. Advanced methods of inelastic analysis in the limit states design of steel structures. PhD. dissertation. Cornell Univ. Ithaca, NY. [40]Ziemian, R.D., 1992. A verification Study for Methods of Second-Order Inelastic Analysis, Proc.,1992 Annu. Tech. Session, Struct. Stability Res. Council, Bethleem, PA.,315-326. [41]Ziemian, R.D., Miller, A.R., 1997. Inelastic Analysis and Design: Frames with members in Minor-Axis Bending, , Journal of Structural Engineering, Vol. 123, No.2 , February, ASCE, ISSN 0733-9445/97/0002-0151-0156, Paper No. 12555

16