PROCESE STOCHASTICE

Notă introductivă

Cursul îşi propune să acopere un minim de noţiuni necesare înţelegerii

modelelor matematice dezvoltate pe piaţa de capital. Materialul este structurat în

patru capitole.

Primul capitol are ca obiectiv o trecere în revistă a unor noţiuni

fundamentale din teoria probabilităţilor la care se fac referiri pe parcusul

cursului.

Capitolul doi tratează aspecte legate de mişcarea browniană punând accent

pe caracterul markovian al acesteia.

Capitolul trei este o introducere în calculul stochastic, care ocupă un loc

central atât în formularea matematică a problemelor de pe piaţa obligaţiunilor,

acţiunilor, contractelor futures, opţiunilor cât şi în rezolvarea lor.

In capitolul patru sunt prezentate prin intermediul elementelor de calcul

stochastic o serie de rezultate asociate mişcării browniene.

Noţiunile teoretice abordate sunt însoţite de aplicaţii din domeniul

financiar.

Cursul include şi o secţiune de exerciţii şi proiecte ce urmează a fi

discutate în cadrul orelor de seminar.

2

CUPRINS

Pag.

Capitolul 1 - Noţiuni preliminare 4

1.1. Spaţiu de selecţie 4

1.2. Noţiunea de σ -algebră 4

1.3. Noţiunea de măsură 6

1.4. Noţiunea de probabilitate 8

1.5. Valoarea medie a unei variabile aleatoare 9

1.6. Integrabilitate uniformă 11

1.7. Independenţă 11

1.8. Probabilităţi echivalente 12

1.9. Variabile aleatoare gaussiene 13

1.10. Tipuri de convergenţă 14

1.11. Proces stochastic 17

1.12. Medie condiţionată 19

1.13. Martingale 26

1.14. Timp de oprire 29

1.15. Proces Markov 36

Capitolul 2 - Mişcarea Browniană 38

2.1. Construcţia unei mişcări browniene 39

2.2. Mers aleatoriu 42

2.3. Proprietăţi ale mişcării browniene 44

2.4. Traiectoriile unei mişcări browniene 49

2.5. Proprietatea de martingal 50

2.6. Timp de lovire 52

2.7. Mişcarea browniană multidimensională 54

2.8. Integrala Weiner 55

2.9. Mişcarea browniană geometrică 59

3

Capitolul 3 – Calcul Stochastic 65

3.1. Integrala stochastică 65

3.2. Ecuaţii diferenţiale stochastice 79

3.3. Exemple de porcese Itô 89

Capitolul 4 – Probleme asociate mişcării browniene 103

4.1. Regula de schimbare a probabilităţii 103

4.2. Timp de lovire 112

4.3.Alte probleme asociate mişcării browniene 124

Exerciţii 137

Dicţionar de termeni financiari 142

4

Capitolul 1

Noţiuni preliminare

Capitolul cuprinde noţiuni fundamentale din teoria probabilităţilor ce urmează a

fi utilizate pe parcursul cursului: probabilitate, proces stochastic, martingal, timp de

oprire.

1.1. Spaţiu de selecţie

Definiţia 1. Fie Ω mulţimea tuturor rezultatelor posibile ale unui experiment

aleator oarecare. Elementele mulţimii Ω le numim evenimente elementare iar mulţimea

Ω o numim spaţiu de evenimente elementare sau spaţiu de selecţie.

1.2. Noţiunea de σ -algebră

Definiţia 2. Fie Ω o mulţime nevidă. Familia A de submulţimi din Ω se

numeşte algebră, dacă sunt verificate următoarele axiome:

1. A∈A implică A∈A , unde A reprezintă complementara mulţimii A , mai

precis, A∉Ω∈ ωω , ;

2. A∈BA, implică A∈∪ BA

Observaţie. 1. Din definiţia 2 şi din faptul că AA∪=Ω rezultă A∈Ω . Prin

urmare şi A∈φ , deoarece Ω=φ ; 2. Cum BABA ∪=∩ şi A∈BA, rezultă

A∈∩ BA .

Definiţia 3. Familia F de submulţimi din Ω se numeşte σ -algebră sau câmp

sau corp borelian de evenimente dacă verifică următoarele axiome:

1. ∈φ F

2. ∈Ω F

3. ∈Α F implică ∈Α F

4. pentru orice ∈ΑΑΑ ,....,, 321 F rezultă ∈∞

=U

1iiA F şi ∈

∞

=I

1iiA F .

5

Observaţie. F reprezintă mulţimea evenimentelor asociate experimentului

aleator sau altfel spus, F conţine toate submulţimile lui Ω .

Exemple de σ -algebre. Fie Ω un spaţiu arbitrar de evenimente elementare.

Cea mai “săracă” σ -algebră a spaţiului Ω este submulţimea Ω,φ iar cea mai

“bogată” σ -algebră conţine toate submulţimile spaţiului Ω .

Considerăm experimentul clasic ce constă în aruncarea de două ori a unei

monede perfecte. In acest caz, spaţiul de evenimente elementare este mulţimea

TTTHHTHH ,,,=Ω şi folosind definiţia este uşor de verificat că mulţimea F

formată din toate submulţimile spaţiului Ω şi mulţimea TTTHHTHH ,,,,,Ω= φG

sunt σ -algebre.

σ -algebra poate fi interpretată ca informaţia pe care o avem la un anumit

moment, ne spune ce evenimente cunoaştem. In exemplul nostru F este σ -algebra în

care ştim toate rezultatele obţinute în urma aruncării monedei, în timp ce G este

σ -algebra în care ştim numai rezultatul primei aruncări. Presupunem că moneda a fost

aruncată de două ori dar nu cunoaştem rezultatul aruncării, ştim numai dacă rezultatul se

află sau nu în G . De exemplu, se spune că rezultatul aruncării nu este φ dar este în Ω .

Mai mult se poate spune că rezultatul aruncării nu se află în HTHH , dar se află în

TTTH , , cu alte cuvinte ştim doar că rezultatul primei aruncări este T dar nu ştim

nimic despre rezultatul celei de-a doua aruncări. Se spune că σ -algebra G conţine

informaţia până la momentul unu. Analog, putem spune că F conţine informaţia

completă. σ -algebra trivială Ω,φ nu conţine informaţii, faptul că rezultatul aruncării

este φ sau se află în Ω nu ne spune nimic despre eveniment.

Dacă Ω⊆A atunci familia Ω= ,,, φAAAF este σ -algebra (algebra) generată

de mulţimea A . Această familie reprezintă un caz particular al familiilor generate de

partiţii, altfel spus, dacă ,...,...,, 21 nAAAA = este o partiţie numărabilă a lui Ω adică

,...,....,, 21 nAAA sunt submulţimi nevide ale lui Ω cu proprietăţile:

......21 ∪∪∪∪=Ω nDAA , φ=∩ ji DD , ji ≠ , 1, ≥ji ,

atunci familia formată din mulţimile reprezentate ca reuniuni finite numărabile de

elemente ale partiţiei şi mulţimea vidă este o σ -algebră.

Propoziţia 1. Orice intersecţie de σ -algebre este o σ -algebră.

6

Observaţie. Afirmaţia nu este adevărată pentru reuniunea de σ -algebre. Mai

precis, o reuniune de σ -algebre nu este o întotdeauna o σ -algebră.

Definiţia 4. Fie F şi G două σ -algebre astfel încât FG ⊂ ( G∈A implică

F∈A ), atunci G este o sub-σ -algebră a σ -algebreiF .

Definiţia 5. σ -algebra generată de familia de mulţimi F este intersecţia

tuturor σ -algebrelor ce conţin F .

Definiţia 6. Dacă 1F şi 2F sunt două σ -algebre, notăm prin 21 FF ∨ ,

σ -algebra generată de familia 21 FF ∪ şi reprezintă intersecţia tuturor σ -algebrelor

ce conţin σ - algebrele 1F şi 2F .

Propoziţia 2. Fie F o familie de submulţimi ale lui Ω . Atunci există o

σ -algebră minimală, sau altfel spus σ -algebra generată de familia de mulţimi F ,

notată ( )Fσ , ce conţine toate mulţimile din care este formată familia F .

1.3. Noţiunea de măsură

Definiţia 7. Spaţiul Ω înzestrat cu o σ -algebră F de submulţimi ale lui Ω se

numeşte spaţiu măsurabil sau câmp (borelian) de evenimente şi se notează prin ( )F,Ω .

Definiţia 8. Fie ( )F,Ω şi ( )E,E două spaţii măsurabile. O funcţie f definită

pe Ω cu valori în E este ( )EF, - măsurabilă, sau simplu măsurabilă, dacă ( ) F∈− Af 1

pentru orice A din E, , unde

( ) ( ) AfAfdef

∈Ω∈=− ωω 1 .

Definiţia 9. Fie ( )F,Ω un spaţiu măsurabil. Se numeşte variabilă aleatoare

reală o funcţie măsurabilă X definită pe Ω cu valori în R. Altfel spus o funcţie X

pentru care ( ) F∈− AX 1 oricare ar fi A din RB , unde RB reprezintă σ - algebra

mulţimilor boreliene din R . Faptul că X este măsurabilă poate fi exprimat şi prin

( ) F ∈≥ aX ωω, , pentru orice a real.

Observaţie. Fie TTTHHTHH ,,,,,Ω= φG . Presupunem că pentru fiecare

eveniment din G ştim dacă acesta are loc sau nu. Atunci dacă variabila aleatoare X

este G -măsurabilă putem calcula valoarea lui X .

7

Revenind la exemplul aruncării monedei de două ori considerăm X numărul de

apariţii ale evenimentului H în cele două aruncări. In aceste condiţii X este

F -măsurabilă dar nu este G -măsurabilă. Fie ( ) aXAa ≥Ω∈= ωω , . Atunci rezultatul

experimentului este:

<≤<≤<≤Ω

adacăadacăHHadacăTHHTHHadacă

22110,,0

, , , ,

φ

Dacă 2=a se observă că evenimentul asociat este HH . Cum F conţine toate

submulţimile lui Ω rezultă că evenimentul F∈HH . Se observă că pentru orice

valoare a lui a , evenimentul aA aparţine lui F , deci X este măsurabilă în raport cu

σ -algebra F . Dar, G∉HH , rezultă că există cel puţin o valoare a lui a pentru care

evenimentul aA nu aparţine lui G şi prin urmare X nu este măsurabilă în raport cu

σ -algebra G .

Propoziţia 3. Dacă X este o variabilă aleatoare reală G -măsurabilă şi f este

o funcţie boreliană atunci ( )Xf este G -măsurabilă.

Definiţia 10. σ -algebra generată de o variabilă aleatoare X definită pe

( )F,Ω , notată prin ( )Xσ , este mulţimea părţilor lui Ω , de forma ( )AX 1− , unde

RA B∈ . ( )Xσ este inclusă în F .

Observaţie. O variabilă aleatoare reală X este F măsurabilă dacă ( ) F⊂Xσ .

Definiţia 11. σ -algebra generată de o familie de variabile aleatoare

[ ]( )TtX t ,0, ∈ , notată prin ( )TtX t ≤,σ , este intersecţia σ -algebrelor ce conţin familia

( ) AX t1− pentru orice t din [ ]T,0 şi RA B∈ .

8

1.4. Noţiunea de probabilitate

Definiţia 12. O probabilitate pe ( )F,Ω este o aplicaţie P definită pe

σ -algebra F de submulţimi din Ω cu valori în intervalul [ ]1,0 , care verifică

următoarele axiome:

1. ( ) 1=ΩP

2. ( ) 0=φP

3. ( )∑∞

=

∞

=

=

11 nn

nn APAP U , pentru ,....., 21 AA din F , disjuncte două câte două.

Notaţie: Fie A din F , atunci putem scrie ( ) ∫∫Ω

== dPdPAP AA

1 , unde A1 este o

funcţie definită pe Ω prin ( ) 1=ωA1 dacă A∈ω şi ( ) 0=ωA1 dacă A∉ω .

Din definiţia probabilităţii putem obţine o serie de proprietăţi, cum ar fi:

1. ( ) ( ) 1=+ APAP , pentru orice A din F ( A reprezintă complementara mulţimii

A );

2. dacă BA ⊂ atunci ( ) ( )BPAP ≤ şi ( ) ( ) ( )ABPAPBP −+= , unde

ABAB ∩=− ;

3. dacă nA este un şir crescător (respectiv descrescător) de mulţimi din F şi

Un

nAA = , (respectiv In

nAA = ) atunci A aparţine σ -algebrei F şi

( ) ( )nAPAP lim= .

4. teorema clasei monotone: dacă P şi Q sunt două probabilităţi pe spaţiul

probabilistic ( )PF,,Ω astfel încât ( ) ( )AQAP = pentru orice mulţime A dintr-o

familie C de mulţimi închise la intersecţii finite (dacă C∈21 ,CC atunci

C∈∩ 21 CC ) şi F este σ -algebra generată de C , atunci QP = în raport cu

F .

Definiţia 13. Spunem despre o mulţime A că este neglijabilă dacă ( ) 0=AP .

Definiţia 14. Spunem că o proprietate este adevărată aproape sigur dacă este

adevărată cu excepţia unei mulţimi neglijabile.

Definiţia 15. Un spaţiu ( )PF,,Ω este complet dacă conţine toate mulţimile A

astfel încât ( ) 0,:inf =⊂∈ BABBP F .

9

Definiţia 16. Fie X o variabilă aleatoare definită pe spaţiul probabilistic

( )P,,FΩ . Legea de probabilitate a variabilei aleatoare X este probabilitatea XP

definită pe ( )RR B, prin ( ) ( ) ( )AXPAXPAPX ∈=∈= ωω; , pentru orice A din RB .

Definiţia 17. Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X este o funcţie

crescătoare definită pe R prin ( ) ( )xXPxF ≤= .

Definiţia 18. Densitatea unei variabile aleatoare X , notată ( )xf , este derivata

funcţiei de repartiţie în condiţiile în care această derivată există. Putem scrie

( ) ( )∫=∈A

dxxfAXP .

Definiţia 19. Dacă două variabile aleatoare au aceeaşi lege de probabilitate

sau aceeaşi funcţie de repartiţie sau aceeaşi densitate spunem că sunt egale în lege.

Altfel spus, dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare pentru care are loc relaţia

( ) ( )aYPaXP ≤=≤ , pentru orice a din R atunci X şi Y au aceeaţi lege de

probabilitate. Notăm YXlegeîn

= .

1.5. Valoarea medie a unei variabile aleatoare

Definiţia 20. Valoarea medie a unei variabile aleatoare X , notată ( )XE , este

cantitatea ( )∫∫ =Ω R

X xxdPXdP , în condiţiile în care acestă integrală există.

Observaţie. Există variabile aleatoare pentru care valoarea medie nu poate fi

calculată. Altfel spus, integrala ∫Ω

XdP nu are sens.

Definiţia 21. Spunem că variabila aleatoare X este integrabilă dacă X are

media finită ( ∞<XE ).

Notaţie: Notăm cu ( )Ω1L mulţimea variabilelor aleatoare integrabile.

Definiţia 22. Analog, media unei funcţii boreliane Φ , cu ( )XΦ integrabilă,

este cantitatea ( )( ) ( ) ( ) ( )∫∫ Φ=Φ=ΦΩ R

X xdPxdPXXE .

Dacă variabila aleatoare X admite o densitate f atunci au loc relaţiile:

( ) ( )∫=R

dxxxfXE şi ( )( ) ( ) ( )∫Φ=ΦR

dxxfxXE .

10

Cunoaştem legea de probabilitate a variabilei aleatoare X dacă pentru orice

funcţie boreliană mărginită Φ cunoaştem valoarea medie ( )( )XE Φ . Dacă X şi Y sunt

două variabile aleatoare şi Φ este o funcţie boreliană mărginită atunci egalitatea

( )( ) ( )( )YEXE Φ=Φ implică egalitatea în lege a variabilelor aleatoare X şi Y .

Observaţie. Egalitatea în lege nu implică egalitatea aproape sigură. De exemplu,

dacă X este o variabilă gaussiană a cărei valoare medie este 0, atunci are loc egalitatea

XXlegeîn

−=

dar nu şi egalitatea aproape sigură. Pentru a avea egalitate în lege este

suficient ca egalitatea ( )( ) ( )( )YEXE Φ=Φ să fie verificată pentru o clasă suficient de

mare de funcţii, cum ar fi funcţiile de forma xeλ , unde R∈λ .

Definiţia 23. Funcţia caracteristică a unei variabile aleatoare reale X este

funcţia ( ) ( ) ( )∫==R

XitxitX dxPeeEtψ (transformata Fourier a legii de probabilitate a

lui X ) .

Dacă variabila aleatoare X admite o densitate ( )xf atunci funcţia sa caracteristică este

dată de expresia ( )∫R

itx dxxfe . Funcţia caracteristică descrie legea de probabilitate a unei

variabilei aleatoare . Dacă transformata Fourier ψ aparţine spaţiului ( )dxL1 atunci

densitatea asociată în mod unic este dată de formula ( ) ( )dttexf itx∫∞

∞−

−= 21 φπ

.

Legea unei variabile aleatoare poate fi descrisă şi de transformata Laplace

( ) ( )Xdef

eE λλ =Ψ . Pentru a cunoaşte legea de probabilitate a unei perechi de variabile

( )YX , este suficient să cunoaştem valoarea medie ( )( )YXE µλ +exp pentru orice

pereche ( )µλ, .

Exemplu. X este o variabilă gaussiană a cărei lege de probabilitate este

( )2,σmN dacă şi numai dacă transformata Laplace este dată de expresia

( )

+=

2exp

22σλλλ meE X .

Proprietăţi ale mediei unei variabile aleatoare:

1. ( ) ( ) ( )YbEXaEbYaXE +=+ pentru oricare două constante reale a şi b ;

11

2. Dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare astfel încât YX ≤ aproape sigur

atunci ( ) ( )YEXE ≤ ;

3. Inegalitatea lui Jensen: dacă X este o variabilă aleatoare şi dacă Φ este o

funcţie convexă astfel încât ( )XΦ este integrabilă atunci ( )( ) ( )( )XEXE Φ≥Φ .

1.6. Integrabilitate uniformă

Definiţia 24. O familie de variabile aleatoare ( )IiX i ∈, este uniform

integrabilă dacă 0sup →∫≥aX

ii

i

dPX pentru a tinzând la ∞ .

Dacă există o variabilă aleatoare Y din ( )PL1 astfel încât YX i ≤ , pentru orice

i atunci familia de variabile aleatoare ( )IiX i ∈, este uniform integrabilă.

1.7. Independenţă

Definiţia 25. Două sub-σ -algebre 1F şi 2F sunt independente dacă are loc

egalitatea ( ) ( ) ( )BPAPBAP =∩ , pentru orice A şi B din 1F şi respectiv 2F .

Pentru ca două σ -algebre 1F şi 2F să fie independente este necesar şi suficient să aibă

loc relaţia ( ) ( ) ( )BPAPBAP =∩ pentru orice A din 1C şi B din 2C , unde iC este o

familie de mulţimi închise la intersecţie cu ( ) ii FC =σ .

Definiţia 26. O variabilă aleatoare X şi o sub-σ -algebră G sunt independente

dacă ( )Xσ , σ -algebra generată de X şi G sunt independente.

Propoziţia 4. O variabilă aleatoare X şi o sub-σ -algebră G sunt

independente dacă şi numai dacă are loc egalitatea ( ) ( ) ( )xXPAPxXAP ≤=≤∩

pentru orice x din R şi orice A din G .

Observaţie. Două variabile aleatoare X şi Y sunt independente dacă

σ -algebrele generate ( )Xσ şi respectiv ( )Yσ sunt independente.

Exemplu. Considerăm experimentul aruncării de două ori a unei monede

perfecte şi definim σ -algebrele: TTTHHTHH ,,,,,1 Ω= φF şi

TTHTTHHH ,,,,,2 Ω= φF . Deoarece ( ) ( ) ( ) ( )41

==== TTPTHPHTPHHP

rezultă 1F şi 2F sunt independente.

12

Propoziţia 5. Două variabile aleatoare X şi Y sunt independente dacă şi numai

dacă are loc egalitatea ( ) ( ) ( ) ( )yYPxXPyYxXP ≤≤=≤∩≤ pentru orice x şi y din R .

Proprietăţi:

1. dacă variabilele aleatoare X şi Y sunt independente atunci ( ) ( ) ( )YEXEXYE = .

Reciproca nu este adevărată;

2. dacă variabilele aleatoare X şi Y sunt independente atunci ( )Xf şi ( )Yg sunt

independente;

3. dacă variabile aleatoare X şi Y sunt independente atunci media ( )( )YXE ,ϕ este

dată de relaţia: ( )( ) ( )( ) ( )( )YgEXfEYXE ==,ϕ , unde ( ) ( )( )YxExf ,ϕ= şi

( ) ( )( )yXEyg ,ϕ= .

Propoziţia 6. Două variabile aleatoare X şi Y sunt independente dacă şi numai

dacă este verificată egalitatea ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )YgEXfEYgXfE = pentru orice funcţii f

şi g boreliene mărginite.

Definiţia 27. O familie de sub-σ -algebre ( )Nii ∈,F este independentă dacă

( )∏≤≤≤≤

=

nii

nii APAP

11I , pentru orice iA din iF şi pentru orice n .

1.8. Probabilităţi echivalente

Definiţia 28. Două probabilităţi P şi Q definite pe acelaşi spaţiu ( )F,Ω sunt

echivalente dacă are loc relaţia: ( ) 0=AP ⇔ ( ) 0=AQ .

Dacă P şi Q sunt două probabilităţi echivalente atunci o proprietate adevărată

P -aproape sigur este adevărată Q -aproape sigur.

Propoziţia 7. Dacă P şi Q sunt două probabilităţi echivalente există o variabilă

aleatoare Y , strict pozitivă, F -măsurabilă, cu ( ) 1=YEP numită densitate Radon-

Nikodym, astfel încât YdPdQ = , sau altfel scris ( ) ∫=A

YdPAQ . Reciproc, dacă Y este o

variabilă aleatoare strict pozitivă, F -măsurabilă, pentru care ( ) 1=YEP , atunci relaţia

( ) ( )ZYEZE PQ = defineşte o probabilitate Q , echivalentă cu probabilitatea P . Relaţia

( ) ( )ZYEZE PQ = se poate obţine în urma calculului următor:

13

( ) ( )∫ ∫∫ ==== ZYEZYdPdPdPdQZZdQZE PQ .

Exemplu. 1. Fie P o probabilitate pe ( )F,Ω şi fie X o variabilă aleatoare

repartizată Bernoulli definită prin: ( ) pXP == 1 , ( ) pXP −== 10 . Fie

( )XXY −+= 1µλ o variabilă aleatoare a cărei valoare medie este 1 pentru

( ) 11 =−+ pp µλ , λ ,µ 0> . Fie YdPdQ = atunci ( ) pXQ λ= . In raport cu

probabilitatea Q , X este o variabilă aleatoare cu o repartiţie Bernoulli de parametru

pλ .

2. Fie X o variabilă aleatoare repartizată normal ( )2,σmN în raport cu P şi fie

Y o variabilă aleatoare definită prin expresia ( )

−−= 22

21exp σhmXhY . Dacă

YdPdQ = atunci în raport cu Q , X este o variabilă aleatoare repartizată normal după

legea ( )22 ,σσhmN + .

Demonstraţie. Este suficient să calculăm ( ) ( ) XYEXE PQ λλ expexp = şi să

verificăm relaţia ( ) ( )

++=

2expexp

222 σλσλλ hmXEQ .

1.9. Variabile aleatoare gaussiene

Definiţia 29. O variabilă aleatoare X este gaussiană de lege ( )2,σmN dacă

densitatea sa este dată de expresia:

( ) ( )2

2

2exp

21

σπσmxxf −

−= .

Definiţia 30. Un vector aleator ( )TnXXXX ,....,, 21= se numeşte gaussian dacă

orice combinaţie liniară ∑=

n

iii Xa

1

este o variabilă gaussiană cu valori reale.

Observaţie. Legea de probabilitate a unui vector gaussian X este descrisă de valoarea

medie şi de matricea de covarianţă [ ]njniji ,1;,1, ==

=Γ

σ , unde

( ) ( ) ( )jijiji XEXEXXE −=,σ . Legea de probabilitate a vectorului aleator X admite o

densitate dacă matricea de covarianţă Γ este inversabilă.

14

Propoziţia 8. Dacă două variabile aleatoare X şi Y formează un vector

gaussian de covarianţă 0 atunci cele două variabile aleatoare sunt independente.

Propoziţia 9. Fie ( )YX , un vector gaussian. Există atunci o constantă α astfel

încât variabilele aleatoare X şi YX α− sunt independente.

Propoziţia 10. Dacă X şi Y sunt două variabilele aleatoare gaussiene

independente, atunci bYaX + , unde a şi b sunt constante, este o variabilă gaussiană.

In aceste condiţii vectorul ( )YX , este gaussian. Afirmaţia are loc numai în cazul în

care cele două variabile sunt independente.

Propoziţia 11. Dacă X este o variabilă gaussiană a cărei lege de probabilitate

este ( )2,σmN , atunci pentru orice λ real are loc relaţia ( )

+=

2exp

22σλλλ meE X .

Reciproca este adevărată. Adică, dacă pentru orice λ real are loc egalitatea

( )

+=

2exp

22σλλλ meE X , atunci legea variabilei aleatoare X este ( )2,σmN .

1.10. Tipuri de convergenţă

Fie ( )P,,FΩ un spaţiu probabilistic dat.

Convergenţa aproape sigură

Definiţia 31. Un şir de variabile aleatoare nX converge aproape sigur la X ,

XXas

n → , dacă pentru aproape toţi ω are loc relaţia ( ) ( )ωω XXnn ∞→→ . Altfel spus,

nX converge aproape sigur la X dacă ( ) ( ) ( ) 1lim: == ωωω XXP nn.

Observaţie. 1. Dacă pentru orice ω , ( )ωq este o proprietate a lui ω atunci q are loc

aproape sigur dacă ( ) 1=qP . 2. Acest tip de convergenţă depinde de alegerea

probabilităţii P . Dacă probabilitatea Q este echivalentă cu probabilitatea P şi dacă

XXasP

n

→ atunci XXasQ

n

→ .

Teorema convergenţei monotone: Dacă nX este un şir monoton cresător

( )1+≤ nn XX sau descrescător ( )1+≥ nn XX de variabile aleatoare şi dacă XXas

n →

atunci are loc relaţia ( ) ( )nXEXE lim= .

15

Teorema convergenţei dominante (Lebesgue): Dacă nX este un şir de

variabile aleatoare convergente aproape sigur la X şi dacă există o variabilă

aleatoare Y integrabilă astfel încât YX n ≤ atunci ( )nXE converge la ( )XE .

Legea numerelor mari. Dacă ( )1, ≥iX i este un şir de variabile aleatoare

independente două câte două, identic repartizate cu media finită, atunci ∑=

n

iiX

n 1

1

converge aproape sigur la ( )1XE .

Convergenţa în ( )Ω2L

Definiţia 32. Fie ( )222

XEdPXXdef

== ∫Ω

. Spunem că variabila aleatoare

X este din spaţiului ( )Ω2L dacă ∞<2

X .

Definiţia 33. Fie nX şi X din ( )Ω2L . Şirul de variabile aleatoare ( )nX

converge în ( )Ω2L la X dacă ( ) ( )22

2XXEXX nn −=− tinde la 0 pentru n tinzând

la ∞ .

Observaţie. Convergenţa în 2L depinde de alegerea probabilităţii P .

Propoziţia 12. Dacă ( )nX converge în ( )Ω2L la X atunci ( )2nXE converge la

( )2XE . Reciproca nu este adevărată.

Observaţie. 1. Spaţiul ( )Ω2L este un spaţiu Hilbert înzestrat cu produsul scalar

∫Ω

= XYdPYX , . In particular ( )Ω2L este un spaţiu complet. 2. Dacă un şir converge în

2L există un subşir al său convergent aproape sigur.

Legea numerelor mari poate fi rescrisă astfel: dacă ( )1, ≥iX i este un şir de

variabile aleatoare independente, identic repartizate, de dispersie finită atunci

∑=

n

iiX

n 1

1 converge în 2L la ( )1XE .

Propoziţia 13. Dacă un şir de variabile aleatoare gaussiene este convergent în 2L atunci limita sa este o variabilă gaussiană.

16

Pentru 1>p , notăm cu p

X cantitatea pozitivă definită prin:

( ) ( )ppp

pXEdPXX == ∫

Ω

. Spaţiul ( )ΩpL poate fi înzestrat cu o normă p

X astfel

încât ∞<p

X . Un şir de variabile aleatoare nX din ( )ΩpL este convergent dacă

există variabila aleatoare X astfel încât ( ) 0→− pn XXE .

Observaţie. Convergenţa în pL pentru 1>p implică convergenţa în qL pentru orice q ,

pentru care pq <<1 .

Convergenţa în probabilitate

Definiţia 34. Un şir de variabile aleatoare nX converge în probabilitate la X ,

XXP

n → , dacă pentru orice 0>ε , ( ) 0→≥− εXXP n pentru n tinzând la ∞ .

Proprietăţi:

1. Convergenţa aproape sigură implică convergenţa în probabilitate.

2. Convergenţa în probabilitate implică convergenţa apropape sigură a unui subşir

al său.

3. Convergenţa în 2L implică convergenţa în probabilitate.

Convergenţa în lege

Definiţia 35. Un şir de variabile aleatoare nX converge în lege la variabila

aleatoare X , XX n

L

→ , dacă pentru orice funcţie Φ continuă şi mărginită,

( )( ) ( )( )XEXE n Φ→Φ pentru n tinzând la ∞ .

Fie nΨ şi Ψ funcţiile caracteristice ale variabilelor aleatoare nX şi respectiv X

atunci, pentru orice t convergenţa în lege este definită şi de convergenţa ( ) ( )ttn Ψ→Ψ .

Dacă X este o variabilă aleatoare cu o funcţie de repartiţie F continuă şi dacă

nX este un şir de variabile aleatoare cu funcţiile de repartiţie ( )xFn convergente la

( )xF pentru orice x , atunci nX converge în lege la X şi reciproc.

Proprietate: Convergenţa în probabilitate implică convergenţa în lege.

Teorema limită centrală. Dacă ( )0, ≥iX i este un şir de variabile aleatoare

identic repartizate, independente, cu varianţa finită 2σ atunci are loc relaţia:

17

( )( )1,0

11 N

n

XnEXn

ii L

→−∑

=

σ

1. 11. Proces stochastic

Fie tF o σ -algebră, sau altfel spus informaţia la momentul t .

Definiţia 36. Se numeşte filtrare o familie crescătoare de sub-σ -algebre ale lui

F , adică st FF ⊂ pentru orice st ≤ .

Definiţia 37. Un proces sochastic sau proces aleatoriu este o familie de

variabile aleatoare [ )( )∞∈ ,0; tX t definite pe acelaşi spaţiu de probabilitate.

Deci, un proces stochastic este format dintr-un şir (de obicei infinit) de variabile

aleatoare ,.....,, 321 XXX dependente de parametrul timp.

In general procesele stochastice pot fi împărţite în patru categorii distincte în

funcţie de tipul variabilei aleatoare Xt , adică de starea procesului (dacă este discretă

sau continuă) şi a parametrului timp (dacă este discret sau continuu):

1. Xt discret, t discret

• Considerăm experimentul aruncării unui zar şi notăm cu

,.....,, 321 XXX rezultatele obţinute în urma fiecărei aruncări. Experimentul este

un proces Bernoulli al cărui spaţiu de evenimente este format din stările 1, 2, 3,

4, 5 şi 6. In acest caz variabilele aleatoare sunt independente.

• Considerăm acelaşi proces Bernoulli unde notăm cu ......,.,, 4321 YYYY suma

stărilor obţinute în urma aruncării zarului, astfel: 11 XY = , 212 XXY += ,

3213 XXXY ++= ,.....Spaţiul stare este format din toate numerele întregi

pozitive. Se observă că variabilele aleatoare Y sunt corelate.

• Lanţurile Markov

2. Xt discret, t continuu

• Procesul Poisson – numărul persoanelor care intră într-o bancă din momentul

deschiderii până la momentul t. X(t) are o repartiţie Poisson cu o medie t⋅δ ,

unde δ reprezintă rata sosirilor. X nu sunt independnente iar spaţiul de selecţie

este format din toate numerele întregi nenegative.

18

• Procesul firelor de aşteptare (queuing) – persoanele nu numai intră în bancă dar

şi ies – este necesară cunoaşterea distribuţiei timpului pe care o persoană îl

petrece în bancă.

3. Xt continuă, t continuu

• Mişcarea Browniană (proces de difuzie)

4. Xt continuă, t discret – serii cronologice

• Fluctuaţiile lunare ale ratei inflaţiei

• Fluctuaţiile zilnice ale bursei

• Fluctuaţiile anuale ale PIB

Se pot studia tendinţele (sistematice sau sezoniere) şi se pot construi modele ale căror

parametri urmează a fi estimaţi.

Definiţia 38. Un proces stochastic ( )0, ≥= tXX t este adaptat în raport cu o

filtrare tF dacă pentru orice t , variabila aleatoare tX este tF -măsurabilă .

Definiţia 39. Spunem că un proces stochastic are traiectorii continui sau este

continuu dacă aplicaţiile ( )ωtXt → sunt continue pentru aproape toţi ω .

Definiţia 40. Un proces stochastic este numit càdlàg dacă traiectoriile sale sunt

continui la dreapta şi au limită la stânga. Un proces stochastic este numit càglàd dacă

traiectoriile sale sunt continui la stânga şi au limită la dreapta.

Definiţia 41. Dat un proces stochastic X , îi putem asocia filtrarea naturală X

tF , adică familia crescătoare de σ -algebre tsX sX

t ≤= F ,σ .

Definiţia 42. Un proces stochastic ( )0, ≥= tAA t este crescător dacă 00 =A şi

aplicaţia tAt → este crescătoare, adică ( ) ( )ωω st AA ≤ aproape sigur, pentru orice

st ≤ .

Definiţia 43. Spunem că un proces stochastic ( )0, ≥= tVV t este cu variaţie

mărginită pe [ ]t,0 dacă KVVi

ttt

iii

≤−∑ +1sup ,unde sup este considerat pentru it ,

tttt ii ≤≤≤≤≤ +10 ...0 .

Definiţia 44. Spunem că un proces stochastic ( )0, ≥= tVV t este cu variaţie

19

finită pe [ ]t,0 dacă ∞<−∑ +i

ttt

iii

VV1

sup ,unde sup este considerat pentru it ,

tttt ii ≤≤≤≤≤ +10 ...0 .

Definiţia 45. Un proces stochastic ( )0, ≥= tVV t este cu variaţie finită dacă

este cu variaţie finită pe intervalul [ ]t,0 , pentru orice t .

Definiţia 46. Un proces stochastic X este gaussian dacă orice combinaţie

liniară finită de ( )0, ≥tX t este o variabilă aleatoare gausiană, altfel spus dacă pentru

orice n , orice it cu ni ≤≤1 şi orice ia , ∑=

n

iti i

Xa1

este o variabilă aleatoare reală

gaussiană.

Un proces gaussian este descris de medie şi de matricea de covarianţă.

Un spaţiu gaussian este un sub-spaţiu vectorial închis din ( )Ω2L de variabile

aleatoare reale gaussiene centrate (cu media 0). Spaţiul gaussian generat de un proces

stochastic este sub-spaţiul lui ( )Ω2L generat de variabilele aleatoare reale centrate

( )( )0, ≥− tXEX tt .

1.12. Medie condiţionată

Fie ( )P,,FΩ un spaţiu probabilistic fixat.

Cazul discret

Fie A şi B două evenimente din Ω . Probabilitatea ca un eveniment A să aibă

loc ştiind că are loc evenimentul B este dată de formula ( ) ( )( )BP

BAPBAP ∩= , pentru

orice eveniment B astfel încât ( ) 0≠BP

Proprietate. ( )BP . este o probabilitate pe Ω .

Considerăm cazul unei variabile aleatoare X cu valori în ( )nxxx ,....,, 21 . Fie B

fixat şi ( ) ( )BAPAQ = . QE , media variabilei X în raport cu Q este dată de formula:

( ) ( ) ( )( )∑ ∑

∩====

j j

jjjjQ BP

BxXPxxXQxXE .

20

Putem scrie ( ) ∫ ==∩=B

xXj dPBxXPj

1 unde jxX =1 ia valoarea 1 dacă ( )jxX =∈ω şi 0

în rest. Având în vedere relaţia ∑ ==j

xXj Xxj

1 obţinem:

( )( ) ( ) ∫∑ =

∩=

Bj

jj XdP

BPBPBxXP

x 1 . Mai precis, relaţia poate fi rescrisă astfel:

( ) ( ) ( )∫ ∫==B B

QQ XdPBPXEdPXE .

Notaţie. ( ) ( )XEBXE Q= .

Dacă B este σ - algebra generată de B şi ( )BXE este variabila aleatoare definită prin

( ) ( ) ( ) cBc

B BXEBXEXE 11 ⋅+⋅=B , atunci are loc relaţia ( ) ∫∫ =DD

XdPdPXE B , pentru

orice D din B .

Caz particular: Fie X şi Y variabile aleatoare ale căror valori sunt

( )nxxx ,...,, 21 şi respectiv ( )dyyy ,...,, 21 astfel încât oricare ar fi i , ( ) 0≠= iyYP .

Atunci putem defini ( ) ( )ijij yxyYxXP ;µ=== . Se observă că pentru orice iy ,

( )iy;. µ defineşte o probabilitate pe ( )nxxx ,...,, 21 . Putem defini media variabilei

aleatoare X în raport cu această lege prin:

( ) ( ) ( ) ( ) ∫∑∑==

======iyYij

ijjj

ijji XdPyYP

yxxyYxXPxyYXE 1;µ .

Definim funcţia Ψ astfel încât ( ) ( )ii yYXEy ==Ψ . Este uşor de verificat relaţia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )XEYXEEYEyyYPyYXEyYPi i

iiii ==Ψ=Ψ====∑ ∑ .

Notăm prin ( ) ( )YXEY =Ψ media condiţionată a variabilei aleatoare X ştiind

variabila aleatoare Y . Această funcţie are următoarele caracteristici:

1. ( )YΨ este Y - măsurabilă

2. ( )( ) ( ) ( )( )YYEXYE ΨΦ=Φ ,pentru orice funcţie Φ .

Fie acum, X o variabilă aleatoare reală, integrabilă definită pe spaţiul ( )P,,FΩ

şi G o sub-σ -algebră a lui F .

21

Definiţia 47. Media condiţionată ( )GXE este unica variabilă aleatoare,

G -măsurabilă pentru care are loc egalitatea

( ) ∫∫ =AA

XdPdPXE G , oricare ar fi A din G .

Definiţia 48. Media condiţionată ( )GXE este unica variabilă aleatoare

G -măsurabilă care verifică egalitatea ( )[ ] ( )XYEYXEE =G , pentru orice variabilă

aleatoare Y , mărginită, G -măsurabilă.

Definiţia 49. Media condiţionată a unei variabile aleatoare integrabile X în

raport cu variabila aleatoare Y , notată ( )YXE este o funcţie de Y : ( ) ( )YYXE ψ= ,

unde RR →:ψ este o funcţie boreliană.

Proprietăţi.

1. Media condiţionată ( )YXE este o variabilă ( )Yσ -măsurabilă

2. ( ) ∫∫ =AA

XdPdPYXE , oricare ar fi A din ( )Yσ .

Proprietatea 2 este echivalentă cu egalitatea ( ) ( )( ) ( )( )YXEYYXEE φφ = , pentru orice

funcţie boreliană mărginită φ , sau ( )∫ ∫∈ ∈

=BY BY

XdPdPYXE pentru orice B din B .

Definiţia 50. Fie un şir finit sau numărabil de mulţimi ,.....,, 321 BBB , disjuncte

două câte două, a căror reuniune este spaţiul Ω , cu ( )iBP pozitive. Fie G , σ -algebra

formată din toate reuniunile finite sau numărabile de mulţimi iB . Atunci probabilitatea

condiţionată a lui A cunoscând σ -algebra G este dată de formula

( ) ( )( ) ( )∑ ∩

=i

Bi

iiBP

BAPAP ω1G .

Exemplu. Fie Ω mulţimea tuturor rezultatelor posibile obţinute în urma

aruncării unei monede perfecte de trei ori, aruncările sunt independente.

Fie 3F σ -algebra formată din toate submulţimile lui Ω . Fie 1F σ -algebra formată din

TTTTTHTHTTHHHTTHTHHHTHHH ,,,,,,,,,Ωφ , deci evenimentele ce pot fi

determinate ştiind rezultatul primei aruncări. Fie 2F σ -algebra formată din

evenimentele ce pot fi determinate ştiind rezultatele primelor două aruncări, adică

22

TTTTTHTHTTHHHTTHTHHHTHHH ,,,,,,,,,Ωφ şi toate mulţimile obţinute

din reuniunea acestora.

Fie HHHA = . Calculăm ( )1FAP , ( )2FAP , ( )3FAP .

Fie HTTHTHHHTHHHC ,,,1 = şi TTTTTHTHTTHHC ,,,2 = . Pe mulţimea 1C

probabilitatea condiţionată este dată de formula ( ) ( )( )1

11 CP

CAPCAP ∩= . Prin înlocuiri

corespunzătoare obţinem ( )( ) 4

12181

1

==CP

HHHP . Pe mulţimea 2C probabilitatea

condiţionată este dată de formula ( ) ( )( )2

22 CP

CAPCAP ∩= . Inlocuind obţinem ( )

( ) 02

=CP

P φ .

Prin urmare probabilitatea de apariţie a evenimentului HHHA = ştiind informaţia la

momentul 1 este 41 dacă rezultatul primei aruncări este H şi 0 în caz contrar. Deci

putem scrie ( )14

11 CAP 1=F .

Fie acum HHTHHHD ,1 = , HTTHTHD ,2 = , THTTHHD ,3 = ,

TTTTTHD ,4 = . σ -algebra 2F este formată din toate reuniunile posibile formate cu

mulţimile iD , 4,1=i . Atunci ( ) ( )( ) 2

14181

11 ===

DPHHHPDAP şi ( ) 0=iDAP pentru

4,2=i . Prin urmare ( )12

12 DAP 1=F , altfel spus probabilitatea ca evenimentul

HHHA = să aibă loc cunoscând rezultatul primelor două aruncări este 21 dacă

rezultatul primelor două aruncări este H şi 0 în caz contrar.

Propoziţia 14. ( )GXE este G -măsurabilă, adică dacă ( )GXEY = atunci

( ) G∈> aY pentru orice a real.

Demonstraţie. Prin definiţie ( ) ( )( ) ∑∑ ⋅=⋅∩

==i

BiBi i

iii

bBP

BXEXEY 11G , unde

( ) ( )iii BPBXEb ∩= . Mulţimea ( )aY ≥ este reuniunea mulţimilor iB pentru care

abi ≥ , dar orice reuniune de mulţimi iB este în G .

Exemplu. Fie 4321

4632 BBBBY 1111 ⋅+⋅+⋅+⋅= şi 5,3=a . Atunci

( ) G∈∪=≥ 43 BBaY .

23

Propoziţia 15. Dacă G∈C şi ( )GXEY = atunci ( ) ( )CXECYE ∩=∩

Demonstraţie. Cum ( )( ) iB

i i

i

BPBXE

Y 1⋅∩

= ∑ şi iB sunt disjuncte două câte două atunci,

( ) ( )( ) ( )jB

j

jj BXEE

BPBXE

BYEj

∩=∩

=∩ 1 .

Dacă ..........21

∪∪∪∪=njjj BBBC atunci însumând relaţia de mai sus după kj

obţinem ( ) ( )CXECYE ∩=∩ .

Propoziţia 16. Fie Z o variabilă aleatoare G -măsurabilă şi

( ) ( )AXEAZE ∩=∩ pentru orice G∈A . Atunci ( )GXEZ = .

Demonstraţie. Cum Z este G -măsurabilă rezultă Z este constantă pe fiecare mulţime

iB . Fie iz valoarea lui Z pe iB , atunci putem scrie ∑=i

Bi izZ 1 . Prin urmare, are loc

egalitatea ( ) ( ) ( )iiii BXEBZEBPz ∩=∩= .

Propoziţia 17. 1. Dacă YX ≤ atunci ( ) ( )GG YEXE ≤ . Altfel spus dacă Y este

mai mare decât X atunci valoarea estimată pentru Y este mai mare decât valoarea

estimată pentru X .

2. Fie a şi b două constante atunci ( ) ( ) ( )GGG YbEXaEbYaXE +=+

3. Dacă X este G -măsurabilă, atunci ( ) XXE =G . Altfel spus dacă cunoaştem G şi

X este G -măsurabilă atunci ştim X şi cel mai bun estimator al variabilei aleatoare

X este X .

4. ( )[ ] ( )XEXEE =G , adică media valorii estimate pentru X este valoarea medie a

variabilei aleatoare X .

5. X este independentă de G , ( ) ( )XEXE =G , adică dacă cunoaşterea lui G nu ne

oferă alte informaţii despre X , atunci cea mai bună estimare a variabilei aleatoare X

este EX .

Demonstraţie. Afirmaţiile 1 şi 2 rezultă din definiţie. Pentru a demonstra afirmaţia 3

observăm că dacă XZ = atunci Z este G - măsurabilă şi ( ) ( )CZECXE ∩=∩

pentru orice C din G . Din propoziţia 16 rezultă ( )GXEZ = .

24

Pentru a demonstra afirmaţia 4 considerăm Ω=C şi ( )GXEY = . Atunci au loc

egalităţile ( ) ( ) EXCXECYEEY =∩=∩= . Pentru a demonstra afirmaţia 5,

considerăm EXZ = . Z este constantă deci G -măsurabilă. Din independenţă, dacă

G∈A atunci ( ) ( ) ( )APEXEEXXEAXE AA ⋅=⋅==∩ 11 . Dar cum Z este constantă

rezultă ( ) ( )APEXAZE ⋅=∩ . Propoziţia 16 implică ( )GXEZ = .

Propoziţia 18. Dacă variabila aleatoare Y este G -măsurabilă, atunci

( ) ( )GG XYEXYE = .

Propoziţia 19. Dacă G şi H sunt două σ -algebre astfel încât GH ⊂ atunci

are loc egalitatea ( )( ) ( ) ( )( )HGHGH XEEXEXEE == .

Demonstraţie. ( )HXE este H -măsurabilă şi cum GH ⊂ rezultă ( )HXE este

G -măsurabilă. Prima egalitate rezultă din afirmaţia 3 a propoziţiei 17. Fie acum W

expresia din membrul drept. W este H -măsurabilă şi dacă GH ⊂∈C atunci

( ) ( )( ) ( )CXECXEECWE ∩=∩=∩ G .

Propoziţia 20. Dacă X este o variabilă aleatoare atunci cel mai bun estimator

al său din mulţimea de variabile aleatoare G -măsurabile este ( )GXEY = .

Demonstraţie. Fie Z o variabilă aleatoare G -măsurabilă, arbitrară. Atunci putem

calcula

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+−=+−=− 22222 22 ZXZEXEZEXZEXEZXE GGGGGG

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−++−=−+−=+−= 22222222 22 ZYYXYEXEZYYXEZZYXE GGGG

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )22222 2 ZYYXEZYYEXYEXE −+−=−++−= GGGG .

Se ţine cont de faptul că Y este G -măsurabilă. Din afirmaţia 4 a propoziţiei 16 rezultă

( )( ) ( )( ) ( )( )222 ZYEYXEZXE −+−=− . Membrul drept este mai mare sau egal cu

( )( )2YXE − deoarece ( ) 02 ≥− ZY . Deci eroarea de estimare a variabilei aleatoare X

prin Z este mai mare decât eroarea estimării lui X prin Y , iar aceste erori vor fi egale

dacă şi numai dacă ZY = . Deci Y este estimarea cea mai bună.

Observaţie. Mulţimea variabilelor aleatoare formează un spaţiu liniar iar

mulţimea variabilelor aleatoare G -măsurabile este un subspaţiu al acestuia. Dată

variabila aleatoare X , media condiţionată ( )GXEY = este egală cu proiecţia lui X pe

25

subspaţiul variabilelor aleatoare G -măsurabile. Pentru a demonstra acest lucru

verificăm faptul că Y şi YX − sunt ortogonale, altfel spus produsul scalar dintre Y şi

YX − este 0. Cum ( )YXYX −+= iar produsul scalar dintre Y şi YX − este definit

prin ( )( )YXYE − trebuie să demonstrăm ( )( ) 0=−YXYE . Deoarece

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0=−=−=−=− YYYYXEYYXYEYXYE GGG

rezultă ( )( ) ( )( )( ) 0=−=− GYXYEEYXYE .

Dacă ( )YX , este o pereche de variabile independente şi φ este o funcţie

boreliană mărginită atunci are loc relaţia ( )( ) ( )( )[ ] YyyXEYYXE == ,, φφ .

Varianţa condiţionată este definită prin ( ) ( ) ( )GGG XEXEXVar 22 −= . Fie φ o

funcţie convexă atunci are loc relaţia: ( )( ) ( )( )FF XEXE φφ ≥ .

Propoziţia 21. Fie P o probabilitate şi fie Q o probabilitate echivalentă cu P

definită prin LdPdQ = . Atunci are loc următoarea relaţie: ( ) ( )( )G

GG

LELXE

XEP

PQ = .

Demonstraţie. Trebuie determinată variabila aleatoare Z , G -măsurabilă astfel încât să

aibă loc egalitatea: ( ) ( )XYEZYE QQ = pentru orice variabilă aleatore Y G -măsurabilă.

Având în vedere faptul că variabilele aleatoare Y , Z sunt G -măsurabile putem scrie:

( ) ( ) ( )( )GLZYEELZYEZYE PPPQ == şi ( ) ( ) ( )( )GLXYEELXYEXYE PPPQ == .

Egalitatea fiind verificată pentru orice Y rezultă egalitatea ( ) ( )GG LXELZE PP = .

Definiţia 51. Fie X şi Y două variabile aleatoare reale. Legea condiţionată a

variabilei aleatoare X în raport cu variabila Y este familia de legi definită pe R ,

notată prin ( )dxy,µ astfel încât are loc ( )[ ] ( ) ( )∫∞

∞−

Φ==Φ dxyxyYXE ,µ , pentru orice

funcţie Φ boreliană mărginită.

Dacă se cunoaşte legea condiţionată atunci calcularea mediei şi varianţei

condiţionate se reduce la calcularea mediei şi respectiv varianţei. Prin urmare, expresia

[ ] ( )∫∞

∞−

== dxyxyYXE ,µ

26

reprezintă pentru orice y media unei variabile aleatoare de lege ( )dxy,µ . Dacă ( )yxf ,

este densitatea unei perechi de variabile aleatoare ( )YX , atunci are loc formula

( ) ( )( )∫

=

R

duyufdxyxfdxy

,,,µ .

Cazul gaussian

Dacă perechea de variabile aleatoare reale ( )YX , este gaussiană, densitatea

condiţionată a variabilei X în raport cu variabila Y este o lege gaussiană de medie

liniară în Y şi de varianţă c independentă de Y . Relaţia ( ) baYYXE += implică

( ) ( ) bYaEXE += şi ( ) ( )( ) ( ) ( )YbEaYEYXYEEXYE +== 2 . De unde rezultă relaţiile:

( )VarY

YXCova ,= , ( ) ( )YaEXEb −= , ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2222 baYEXEYXEYXEc +−=−= .

Generalizare: dacă ( )YX , este un vector gaussian densitatea condiţionată a lui X în

raport cu Y este o lege gaussiană cu media liniară în Y şi cu varianţa c independentă

de Y .

1.13. Martingale

Cazul discret

Fie nF o filtrare dată.

Definiţia 52. Un şir de variabile aleatoare ( )NnX n ∈ , formează un

nF -martingal dacă:

1. nX este integrabilă pentru orice n din N

2. nX este adaptată la nF ( nX este nF -măsurabilă pentru orice n )

3. ( ) nnn XXE =+ F1 pentru orice n din N .

Cazul multidimensional: O familie de vectori ( )0, ≥nSn , unde nS iau valori în dR ,

este un martingal, dacă famiile ( )NnS in ∈, sunt martingale pentru orice i , cu di ≤≤1 .

27

Exemple. 1. Fie ,....., 21 XX un şir de variabile aleatoare independente cu media

0 şi fie ( )nn XX ,...,1σ=F , σ -algebra generată de ,....., 21 XX , atunci ∑=

=n

iin XM

1 este

un martingal. Pentru a demonstra acest lucru este suficient să verificăm axiomele din

definiţia 52. Cum ∑∑ ≤==

n

ii

n

iin XEXEME

1

rezultă că axioma 1 este verificată.

Axioma 2 este uşor de verificat. Având în vedere independenţa variabilelor aleatoare

,....., 21 XX verificăm axioma 3. In acest scop calculăm ( )nnME F1+ :

( ) ( ) nnnnnnnn MEXMXEXXXME =+=++++= +++ 11211 ... FF .

2. Fie ,....., 21 XX un şir de variabile aleatoare independente cu media 0 şi varianţa 1. Fie

( )nn XX ,...,1σ=F , σ -algebra generată de ,....., 21 XX . Atunci nSM nn −= 2 , unde

∑=

=n

iin XS

1, este un martingal. Axiomele 1 şi 2 sunt uşor de verificat. Verificăm axioma

3: ( ) ( ) ( )12 211

21 +−++= +++ nXSXSEME nnnnnnn FF . Cum nS este nF -măsurabil rezultă

relaţia ( ) 22nnn SSE =F . Deoarece ( ) ( ) 0222 111 === +++ nnnnnnnn EXSXESSXE FF şi

( ) 121

21 == ++ nnn EXXE F , efectuând înlocuirile corespunzătoare obţinem

( ) nnn MME =+ F1 .

3. Considerăm o serie de aruncări independente ale unei monede perfecte şi fie 1 euro

capitalul iniţial de care dispunem. Considerăm că dacă rezultatul aruncării este

evenimentul H capitalul se dublează iar dacă rezultatul aruncării este evenimentul T

capitalul devine 0. Fie nM capitalul de care dispunem la momentul n . Altfel spus fie

nXXX ,...,, 21 un şir de variabile aleatoare independente, ale căror valori sunt 2 şi

respectiv 0 cu probabilităţi egale cu 21 . Atunci nn XXXM ...21= pentru

care ( )nn XX ,...,1σ=F , σ -algebra generată de ,....., 21 XX , este un martingal. Cum

nnM 20 ≤≤ axioma 1 este verificată. Pentru a verifica axioma 3 ţinem cont de relaţia

11 =+nEX , atunci calculând ( )nnME F1+ obţinem relaţia :

( ) ( ) nnnnnnnn MEXMXEMME === +++ 111 FF .

28

Propoziţia 22. ( ) ( )FF XEXE ≤ .

Demonstraţie. Relaţia XXX ≤≤− implică ( ) ( ) ( )FFF XEXEXE ≤≤− şi cum

( )FXE este nenegativă obţinem inegalitatea căutată.

Propoziţia 23. Fie ,...., 21 FF σ -algebre date şi fie X o variabilă aleatoare

fixată cu ∞<XE . Atunci ( ) nn MXE =F este un martingal.

Demonstraţie. Axioma 1 din definiţia martingalului este verificată deoarece

( )( ) ∞<=≤ XEXEEME nn F iar axioma 2 este evidentă. Verificăm axioma 3:

( ) ( )( ) ( ) nnnnnn MXEXEEME === ++ FFFF 11 .

Propoziţia 24. ( ) nnpn XXE =+ F pentru orice n şi p din N

Cazul continuu

Fie tF o filtrare dată.

Definiţia 53. O familie de variabile aleatoare [ )( )∞∈ ,0, tX t este un martingal

în raport cu filtrarea ( )tF dacă sunt verificate axiomele:

1. tX este integrabilă pentru orice t

2. tX este tF -măsurabilă pentru orice t

3. ( ) sst XXE =F pentru orice ts ≤ .

Observaţie. Spunem că X este un martingal dacă filtrarea de referinţă este

filtrarea naturală a lui X .

Dacă au loc axiomele 1. şi 2. dar în locul axiomei 3. are loc axioma

3’. ( ) sst XXE ≤F pentru orice ts ≤ , atunci familia de variabile aleatoare

[ )( )∞∈ ,0, tX t este un supermartingal în raport cu filtrarea tF .

Dacă au loc axiomele 1. şi 2. dar în locul axiomei 3. are loc axioma

3’’. ( ) sst XXE ≥F pentru orice ts ≤ , atunci familia de variabile aleatoare

[ )( )∞∈ ,0, tX t este un submartingal în raport cu filtrarea tF .

Exemple. 1. Dacă X este un martingal atunci 2X este un submartingal. 2. Dacă

X este un martingal şi A un proces crescător atunci AX + este un submartingal.

29

Propoziţia 25. Dacă X este un martingal atunci are loc relaţia ( ) ( )0XEXE t =

pentru orice t .

Propoziţia 26. Dacă ( )TtX t ≤, este un martingal, procesul este complet

determinat de valoarea sa terminală ( )tTt XEX F= .

Observaţie. Această proprietate este utilizată frecvent în domeniul financiar.

Un martingal continuu cu variaţie mărginită este egal cu o constantă. Prin

urmare, dacă M este un astfel de martingal iar V este variaţia sa atunci are loc relaţia:

( ) ( )( )[ ] [ ] [ ]iiiiii tttttttt MMKEMMVEMMEME −≤−≤−=

+++∑ 111supsup22 ,

unde membrul drept converge aproape sigur la 0 în cazul unei partiţii rafinate.

Inegalitatea lui Doob: Dacă X este un martingal continuu atunci are loc

inegalitatea: ( )22 4sup TsTs

XEXE ≤

≤.

Propoziţia 27. Dacă g este o funcţie convexă atunci are loc inegalitatea:

( )( ) ( )( )GG XgEXEg ≤ , în condiţiile în care valorile medii există.

Propoziţia 28. Dacă nM este un martingal, g este o funcţie convexă şi toate

mediile există, atunci ( )nMg este un submartingal.

Demonstraţie. Din inegalitatea lui Jensen rezultă inegalitatea:

( )( ) ( )( ) ( )nnnnn MgMEgMgE =≥ ++ FF 11 .

1.14. Timp de oprire (stopare)

Considerăm un spaţiu înzestrat cu o filtrare tF . Notăm

=∞ U

ttFF σ .

Definiţia 54. Un timp de oprire, sau regulă de oprire sau variabilă de oprire

este o variabilă aleatoare τ cu valori în ∞+∪R astfel încât tt F∈≤τ pentru orice

t din R .

Exemplu. O constantă pozitivă este un timp de oprire.

Unui timp de oprire τ îi asociem o σ -algebra τF , numită σ -algebra

evenimentelor anterioare lui τ , definiă prin RttAA t ∈∀∈≤∩∈= ∞ ,FFF ττ .

30

Proprietăţi:

1. Dacă T este un timp de oprire, atunci variabila aleatoare T este TF -măsurabilă;

2. Dacă S şi T sunt timpi de oprire atunci TS ∧ este un timp de oprire. In

particular, tT ∧ este timp de oprire.

3. Dacă S şi T sunt timpi de oprire astfel încât TS ≤ atunci are loc

incluziunea TS FF ⊂ .

4. Fie ( )0, ≥tX t un proces stochastic şi T timp de oprire finit. Definim TX prin

( ) ( ) ( )ωω ωTT XX = . Dacă un proces stochastic X este continuu şi adaptat atunci

TX este TF -măsurabilă.

Dacă T este un timp de oprire şi M este un ( )tF -martingal, procesul Z definit

prin Ttt MZ ∧= este un tF -martingal. In particular, ( ) ( )0MEME Tt =∧ .

Teorema de oprire a lui Doob (Optional Sampling Theorem). Dacă M este un

tF -martingal continuu şi S şi T sunt doi timpi de oprire astfel încât KTS ≤≤ , K

fiind o constantă finită atunci TM este integrabil şi are loc relaţia: ( ) SST MME =F .

Propoziţia 29. Dacă pentru orice timp de oprire mărginit are loc relaţia

( ) ( )0XEXE T = atunci, procesul X este un martingal.

Definiţia 55. Un martingal este de pătrat integrabil dacă ( )tt MEM F∞= şi

∞<∞2M .

Definiţia 56. tM este un martingal local dacă există un şir de timpi de oprire

nS convergent la ∞ astfel încât pentru orice n , nStM ∧ este un martingal de pătrat

integrabil.

Definiţia 57. Un proces M adaptat càglàd este un martingal local dacă există

un şir crescător de timpi de oprire nτ astfel încât nτ tinde la ∞ şi ( )0, ≥∧ tMnt τ este un

martingal pentru orice n .

Observaţie. Un martingal local pozitiv este un martingal.

31

Timp de oprire optim

Considerăm experimentul aruncării unei monede perfecte. După fiecare aruncare

trebuie să luăm decizia de a opri sau de a continua experimentul. Fie 1Y , 2Y ,.....

variabile aleatoare independente reprezentând aruncările astfel încât

( ) ( )2111 =−=== ii YPYP , unde prin 1=iY am notat apariţia evenimentului H după

aruncarea i şi prin 1−=iY apariţia evenimentului T după aruncarea i . Dacă ne oprim

după a n -a aruncare obţinem o recompensă ( )nn YYYfX ,...,, 21= . Problema care ne

preocupă este de a determina timpul de oprire pentru care recompensa este maximă.

Reamintim faptul că prin regulă de oprire (sau timp de oprire sau variabilă de oprire)

înţelegem o variabilă aleatoare τ cu valori în mulţimea ,....3,2,1 pentru care

evenimentul n=τ depinde numai de valorile din trecut ale variabilelor nYYY ,...,, 21 şi

nu de valorile viitoare ,...., 21 ++ nn YY . Dacă τ este o regulă de oprire atunci ( )τXE

măsoară recompensa medie asociată regulii de oprire τ . Fie C clasa tuturor regulilor de

oprire pentru care ( ) ∞<τXE . ( )ττ

XEVC∈

= sup valoarea şirului nX şi dacă τ este o

regulă de oprire pentru care ( ) VXE =τ atunci spunem căτ este o regulă de oprire

optimă.

Considerăm funcţia definită prin 1

...,1min 21 +−+++=

nnYYYX nn , pentru

1≥n . Ca regulă de oprire τ considerăm primul întreg 1≥n astfel încât

1...21 =+++ nYYY (1). In aceste condiţii are loc relaţia:

( ) ( ) 01

11

...,1min 21 >

+−=

+−+++=

ττ

ττ

ττ EEYYYEXE (2).

Pentru a arăta că regula de oprire (1) este optimă demonstrăm că pentru orice altă regulă

de oprire valoarea medie ( )τXE este negativă. Pentru a demonstra acest lucru folosim

lema lui Wald.

32

Lema lui Wald. Fie 1Y , 2Y ,..... variabile aleatoare independente, identic

repartizate, astfel încât ( ) ∞<= µiYE . De asemenea fie τ orice timp de oprire al

şirului 1Y , 2Y ,..... pentru care ( ) ∞<τE . Atunci

∑=

τ

1iiYE există întotdeauna şi are loc

relaţia ( )τµτ

EYEi

i =

∑=1

.

Revenind la exemplul nostru aplicăm lema lui Wald variabilelor aleatoare 1Y , 2Y ,.....

reprezentând aruncările succesive ale unei monede perfecte. 1Y , 2Y ,..... sunt variabile

aleatoare independente identic repartizate ce verifică relaţia ( ) ( ) 0211

211 =⋅−+⋅=iYEµ .

Mai mult τ reprezintă orice regulă de oprire pentru care ( ) ∞<τE , deci în particular

dacă C∈τ atunci ( ) 0...21 =+++ τYYYE . Acest lucru implică :

( ) ( )21

1...21 −≤

+−+++≤

ττ

ττ EYYYEXE .

Deci, pentru alte legi de oprire ( ) 0<τXE , iar ( )ττ

XEC∈

sup este dat de relaţia (2).

Considerând τ conform relaţiei (1), adică primul întreg 1≥n astfel încât

1...21 =+++ nYYY şi din faptul că ( )ττ

XEVC∈

= sup rezultă ( ) 0>= τXEV . Prin urmare

regula de oprire (1) este optimă.

Fie acum ∏=

+

+=

n

i

in

nY

nnX

1 21

12 , ,...3,2,1=n funcţia care defineşte recompensa

primită (funcţia obiectiv). Dacă în urma aruncării de n ori a unei monede perfecte

rezultatul obţinut în urma fiecărei aruncări este H atunci recompensa obţinută este

12+n

n n

. In caz contrar recompensa este 0. Presupunem că ne aflăm la pasul n şi

rezultatul obţinut în urma fiecărei aruncări este H , prin urmare recompensa este 1

2+n

n n

.

Care este media condiţionată a recompensei ştiind că înainte de oprire mai are loc o

aruncare? Rezultatul este dat de relaţia:

( ) ( )n

nnn

nn Xn

nn

nnnXXE >

++

=+

+=

+

=+

+ 212

221

21

12 1

1 .

33

Această relaţie sugerează să nu ne oprim deoarece recompensa după încă o aruncare

1+nX condiţionată de nX este mai mare decât recompensa obţinută în absenţa unei alte

aruncări. Dar dacă în urma unei noi aruncări rezultatul este T atunci câştigul final este

0. Deci în acest caz nu există o regulă de orpire optimă dar există totuşi o regulă de

oprire. Considerăm regulile de oprire kτ , ,....3,2,1=k unde kτ impune oprirea după

aruncarea k indiferent de şirul de rezultate obţinute. Pentru o astfel de regulă de oprire

are loc relaţia ( )1

0211

12

21

+=⋅

−+

+⋅=

kk

kkXE k

k

kkτ. Pentru k tinzând la ∞ în relaţia

obţinută şi având în vedere formula ( )ττ

XEVC∈

= sup obţinem 1=V . Prin urmare există

regulă de oprire dar nu există o regulă de oprire optimă.

Fie ( )P,,FΩ un spaţiu probabilistic şi fie ...3,2,1, =nnF un şir crescător de

σ -algebre din F . Fie 1Y , 2Y ,..... variabile aleatoare cu funcţia comună de repartiţie

F definită pe ( )P,,FΩ . Presupunem că variabilele aleatoare 1Y , 2Y ,..... pot fi observate

secvenţial şi notăm prin ,...., 21 XX şirul de recompense coresunzătoare. Dacă ne oprim

la pasul n atunci, ( )nn YYYfX ,....,, 21= . Se presupune că variabilele aleatoare ,...., 21 XX

sunt măsurabile în raport cu σ -algebrele ,...., 21 FF . O regulă de oprire (sau variabilă de

oprire sau timp de oprire) este o variabilă aleatoare ( )ωττ = definită pe ( )P,,FΩ cu

valori întregi pozitive ce verifică următoarele două condiţii:

1. ( )( ) 1: =∞<ωτωP , adică regula de oprire ia valori finite cu probabilitatea 1;

2. ( ) nn F∈=ωτω : pentru orice n , adică decizia de oprire la momentul n

depinde numai de informaţia inclusă în σ - algebra nF .

In general σ -algebra nF este arbitrară dar în unele aplicaţii considerăm

( )nn YYY ,..., 21σ=F . Colecţia tuturor mulţimilor A din F astfel încât nnA F∈=∩ τ

pentru orice întreg n este o σ -algebra în F , notată prin τF . τ şi τX sunt

τF -măsurabile.

Pentru orice regulă de oprire τ , recompensa la momentul τ este variabila aleatoare τX

definită prin

=

== =

∞

=∑ în rest

n dacăXIXX n

nn

n

01

τττ , pentru ,.....2,1=n , unde nI =τ este

34

funcţia indicator ce ia valoarea 1 pe mulţimea ( ) n=ωτω, şi 0 în rest. Ca şi în cazul

precedent valoarea V reprezintă ( )ττ

XEC∈

sup .

Pentru o regulă de oprire τ dată, valoarea medie ( )τXE este finită ( ( ) ∞<τXE ) dacă şi

numai dacă: ( ) ( ) ( ) ∞<===∑∞

=

nPnXEXEn

n τττ1

. Având în vedere aceste lucruri, ne

interesează în ce condiţii există un timp optim de oprire.

Teorema de existenţă a unui timp optim de oprire. Fie ,....,, 321 XXX un şir

de variabile aleatoare pe ( )P,,FΩ astfel încât: (1) relaţia ∞<

nn

XE sup are loc cu

probabilitate 1 şi (2) pentru n tinzând la ∞ , nXlim tinde la ∞− cu probabilitate 1.

Există, atunci o regulă de oprire optimă.

Observaţie. Teorema nu spune nimic despre natura regulii de oprire.

In cazuri particulare putem vorbi despre natura regulii de oprire. Considerăm funcţia de

recompensă definită prin ncYYYX nn −= ,...,,max 21 pentru ,...3,2,1=n şi 0>c , unde c

reprezintă costul fix al fiecărei observaţii.

Propoziţia 30. Fie 1Y , 2Y ,..... un şir de variabile aleatoare pe ( )P,,FΩ

independente, identic repartizate, cu funcţia de repartiţie F . Fie funcţia de recompensă

definită prin relaţia ncYYYX nn −= ,...,,max 21 , pentru ,...3,2,1=n şi 0>c . Dacă

( ) ∞<2nYE pentru ,...3,2,1=n atunci există o regulă de oprire care maximizează

valoarea medie ( )τXE şi care este de forma: dacă VY ≥ atunci se ia decizia de oprire

şi dacă VY < se ia decizia de continuare. V este unica soluţie a ecuaţiei:

( ) ( )∫∞

=−Y

cYdFVY .

Exemplu (Căutarea unui loc de muncă). Considerăm cazul unei persoane care

este în căutarea unui loc de muncă. Presupunem că persoana primeşte o ofertă în fiecare

zi, iar căutarea are loc zilnic până în clipa în care acceptă o ofertă. Fie 0>c costul

generării unei oferte. Există două posibilităţi de selecţie a ofertei: selecţie cu revenire

adică toate ofertele sunt reţinute sau selecţie fără revenire atunci când ofertele care nu

sunt acceptate sunt eliminate. Fie nY variabile aleatoare ce reprezintă ofertele la

momentele ,...3,2,1=n .şi presupunem că persoana cunoaşte parametrii funcţiei de

35

repartiţie F a salariului corespunzător. De asemenea, presupunem că persoana se află

în condiţii de risc neutru şi are ca obiectiv maximizarea câştigului net. Decizia se referă

la oprirea procesului de căutare, deci la acceptarea unei oferte. Funcţia de recompensă

este definită prin:

ncYYYX nn −= ,...,,max 21 pentru ,...3,2,1=n şi 0>c pentru cazul în care

selecţia este cu revenire;

ncYX nn −= pentru cazul în care selecţia este fără revenire, altfel spus,

recompensa este diferenţa dintre oferta curentă şi costul total de căutare.

Considerăm cazul căutării cu revenire.

Propoziţia 31. Fie 1Y , 2Y ,...... un şir de variabile aleatoare identic repartizate,

cu funcţia de repartiţie F . Fie 0>c un număr dat şi definim nn

XZ sup= , unde

ncYYYX nn −= ,...,,max 21 pentru ,...3,2,1=n . Dacă valoarea medie a lui F există,

atunci −∞→nXlim pentru ∞→n , cu probabilitatea 1. Dacă varianţa lui F este

finită, atunci ( ) ∞<ZE .

Observaţie. Propoziţia 31 ne ajută să stablim existenţa unei reguli optime în problema

de căutare a unui loc de muncă. Dacă media şi varianţa lui F există atunci condiţiile

din teorema de existenţă a unui timp optim de oprire au loc. Astfel, dacă

( ) ∞<2nYE atunci propoziţia 31 şi teorema de existenţă a unui timp optim de oprire

implică existenţa unei reguli de optimizare în cazul problemei studiate. Natura regului

de optimizare în modelul căutării unui loc de muncă este descrisă de propoziţia 30. Mai

precis, pentru orice ofertă de salariu Y , regula de oprire optimă este de forma:

1. se acceptă oferta dacă VY ≥ ;

2. se continuă căutarea dacă VY <

valoarea V este cunoscută sub numele de „reservation wage” iar regula de oprire este

cunoscută sub numele de „reservation wage property”.

Considerăm prima observaţie 1Y din şirul de variabile aleatoare independente,

identic repartizate 1Y , 2Y ,...... In acest caz, câştigul mediu ce are la bază „reservation

wage property” este ( ) cYVE −1,max . Din definiţia lui V câştigul mediu optim

satisface relaţia : ( ) cYVEV −= 1,max (3). Dar:

36

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+±=+= ∫ ∫ ∫∫ ∫∞ ∞∞ V

V V

V

V

YYdFYdFVYdFVYYdFYdFVYVE00

1,max

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−+=−++= ∫ ∫∫∫ ∫ ∫∞ ∞∞∞ ∞

00 VV

V

V V

YdFVYYdFVYdFVYYdFYdFVYdFV

( ) ( )∫∞

−+=V

YdFVYV . (4)

Inlocuind relaţia (4) în relaţia (3) obţinem ecuaţia ( ) ( )∫∞

=−Y

cYdFVY (din propoziţia

30).

Fie ( ) ( ) ( )∫∞

−=V

YdFVYVH . Funcţia H este convexă, nenegativă, strict descrescătoare şi

verifică proprietăţile: (1) pentru ∞→V , ( ) 0lim →VH ; (2) pentru 0→V ,

( ) ( )1lim YEVH → ; (3) ( ) ( )( )VFdV

VdH−−= 1 , ( ) 02

2

≥dV

VHd .

Observaţie. Cu cât costul căutării 0>c este mai scăzut cu atât V este mai mare şi

durata căutării este mai lungă.

1.15. Proces Markov

Definiţia 58. Fie X un proces stochastic şi fie ( )tF filtrarea sa canonică.

Spunem că X este un proces Markov dacă pentru orice t şi orice variabilă aleatoare

mărginită Y din ∞F are loc egalitatea ( ) ( )tttt XYEYE θθ oo =F , unde θ este un

operator definit prin susu XX +=θo .

O altă definiţie: pentru orice n , orice funcţie F mărginită definită pe nR şi orice it ,

ni ,...,2,1= astfel încât nttt <<< ...21 are loc egalitatea:

( )( ) ( )( )ststststststs XXXXFEXXXFEnn ++++++ = ,...,,,...,,

2121 sF .

In particular, pentru orice funcţie boreliană mărginită f şi orice st > are loc egalitatea:

( )( ) ( )( )stst XXfEXfE =F .

Definiţia 59. Spunem că X este un proces tare Markov dacă proprietatea de

mai sus este adevărată pentru orice pereche ST , de timpi de oprire finiţi, cu ST > .

37

Observaţie. Un proces stochastic este proces Markov dacă comportamentul său ulterior

poate fi estimat numai pe baza informaţiei din prezent, fără a cunoaşte modul în care s-

a ajuns la ea. De exemplu, este posibil ca pe piaţa de capital evoluţia preţului acţiunilor

să nu fie markoviană dar procesul cumulat să aibă proprietatea Markov.

Bibliografie

G. Grimmett, D. Stirzaker - Probability and Random Processes. Oxford University Press, New-York, 1982.

G. Grimmett, D. Stirzaker - One Thousand Exercises in Probability. Oxford University Press, New-York, 2001.

J. Jacod, P. Protter - Probability Essentials. Springer, Berlin, 1997

J. Neveu - Bases mathématiques du calcul des probabilités. Masson, Paris, 1964

D. Stirzaker - Elementary Probability. Cambridge University Press, Cambridge, 1994

D. Williams - Probability with Martingales. Cambridge University Press, Cambridge, 1991

38

Capitolul 2

Mişcarea Browniană

Mişcarea browniană reprezintă cel mai important proces stochastic ce stă la baza

construirii modelelor matematice de pe piaţa de capital. Asocierea acestui proces cu

evoluţia pieţei a fost făcută la începutul secolului 20 când Bachalier a pus în evidenţă

caracterul markovian al mişcării browniene.

Fie ( )P,,FΩ un spaţiu probabilistic şi fie ( )0, ≥tBt un proces stochastic pe

acest spaţiu.

Definiţia 2.1. Procesul stochastic ( )0, ≥tBt este o mişcare Browniană standard

dacă sunt verificate axiomele :

1. ( ) 100 ==BP ;

2. pentru orice ts ≤ creşterea st BB − este o variabilă aleatoare reală, normal

distribuită după legea ( )stN −,0 ;

3. pentru orice n şi orice it astfel încât nttt ≤≤≤≤ ...0 10 variabilele aleatoare

( )0011

,,....., ttttt BBBBBnn

−−−

sunt independnente.

Altfel spus: ( )ωtt BB = este o mişcare browniană standard dacă:

1. 00 =B aproape sigur;

2. st BB − este o variabilă aleatoare normal distribuită cu media 0 şi varianţa

st − pentru ts < ;

3. st BB − este independentă de σ -algebra generată de srBr ≤; ;

4. cu probabilitate 1, aplicaţia ( )ωtXt → este o funcţie continuă de t .

Observaţie. Dacă ts ≤ atunci din axiomele (1) şi (2) rezultă:

( ) ( ) ( )tstsstst BBCovstBBCovVarBVarBBBVarst ,2,2 −+=−+=−=− .

Deci pentru ts ≤ , ( ) sBBCov ts =, . Atunci pentru tsr << are loc relaţia:

( ) ( ) ( ) 0,,, =−=−=− rrBBCovBBCovBBBCov rsrtrst

39

Dacă, de asemenea, presupunem că variabilele aleatoare tB cumulate sunt gausiene

rezultă st BB − sunt independente de rB şi deci st BB − sunt independente de

σ -algebra generată de srBr ≤; .

Fie ( )RRC ,+=Ω spaţiul funcţiilor continue definite pe +R cu valori în R . Pe

Ω construim funcţiile tB definite prin ( ) ( )tBt ωω = şi înzestrăm acest spaţiu cu o

măsură (măsură Weiner) astfel încât tB să fie o mişcare Browniană.

Filtrarea naturală este tsBst ≤= ,σF .

Definiţia 2.2. Procesul stochastic ( )0, ≥tX t este o mişcare browniană cu

originea în a (cu starea iniţială a ), dacă tt BaX += , unde a este o constantă şi tB o

mişcare browniană standard.

Definiţia 2.3. ( )0, ≥tX t este un proces brownian general sau o mişcare

browniană cu deriva µ dacă tt BtxX σµ ++= şi tB este o mişcare browniană.

Observaţie. 1. tX este o variabilă gaussiană cu media tx µ+ şi varianţa t2σ .

2. Variabilele aleatoare ( )ntt tttXXii

≤≤≤−+

...., 101 sunt independnente.

2.1. Construcţia unei mişcări browniene (Lévy-Cielsieski)

Fie ie funcţii din 2L cu valori în intervalul [ ]1,0 . Funcţiile ie formează un

sistem ortogonal complet dacă 12 =∫ ie pentru ji = şi ∫ = 0jiee pentru ji ≠ .

Combinaţii liniare finite ale acestor funcţii formează o submulţime densă în [ ]1,02L .

Notăm ∫=1

0

, fggf şi 21, fff = .

Propoziţia 2.1. 1. ∑=

n

iieef

11, converge în 2L la f ; 2. ∑

∞

=

=1

22 ,i

ieff ;

Dacă f şi g sunt din 2L atunci ∑∞

=

=1

,,,i

ii egefgf .

40

Demonstraţie. Fie ∑=

−=n

iiin eeffg

1, . Cum ie formează un sistem ortogonal rezultă

∑∑==

=n

ii

n

iii aea

1

22

1. Având în vedere acest lucru obţinem inegalitatea:

=−+=−+=≤ ∑∑∑∑====

n

ii

n

ii

n

iii

n

iiin efeffeeffeeffg

1

2

1

22

1

2

1

22 ,2,,,2,0

∑=

−=n

iieff

1

22 , . Trecem la limită şi pentru ∞→n obţinem inegalitatea lui Bessel:

∑∞

=

≤1

22,i

i fef . Din inegalitatea lui Bessel rezultată că pentru ∞→mn, seria

∑+=

=−n

miimn efgg

1

22 , tinde la 0. Cum 2L este un spaţiu complet rezultă că ng este

convergent în 2L , de exemplu la ∞g . Fie i un indice fixat, atunci pentru in ≥ are loc

relaţia 0,,, =−= iiin efefeg . Relaţia Cauchy-Schwartz implică

0,,, →−≤−=− ∞∞∞ ininini eggeggegeg , pentru ∞→n . Prin urmare

0, =∞ ieg pentru orice i . Cum sistemul ie este complet rezultă 0=∞g , deci are loc

axioma (1).

Axioma (2) rezultă din relaţia ∑=

−=n

iin effg

1

222 , şi din faptul că 0→ng .

Axioma (3) rezultă din egalitatea ( )222

21, gfgfgf −−+= şi din aplicarea

axiomei (2) funcţiilor f , g şi gf + .

Pentru a construi o mişcare browniană considerăm un caz particular de sistem

ortogonal complet, şi anume funcţiile Haar. Fie 100 ≡ϕ . Pentru un indice i întreg

pozitiv şi pentru un indice 12,...,2,1 −= ij definim funcţia ( )xijϕ astfel:

( ) 212 −i pentru ( ) ( ) ii jxj 212222 −<≤− ,

( )xijϕ = ( ) 212 −− i pentru ( ) ii jxj 22212 <≤− ,

0 în rest.

41

Este uşor de verificat faptul că 1, =klij ϕϕ pentru ki = şi lj = şi 0 în rest.

Definim acum o mişcare browniană pentru cazul în care [ ]1,0∈t . Fie atunci

funcţia ( ) ( )∫=t

ijij dsst0

ϕψ . Fie ijY un şir de variabile aleatoare independente, identic

repartizate, cu o repartiţie normală standard. Fie ( ) ( )tYtV 00000 ψ= şi ( ) ( )∑−

=

=12

1

i

jijiji tYtV ψ .

Fie ( )∑∞

=

=0i

it tVX . Atunci tX , cu [ ]1,0∈t este o mişcare browniană.

Demonstrăm mai întâi convergenţa seriei. Fie ( )

≥= −2sup itVA i

ti . Atunci are loc

relaţia:

( ) ( ) [ ]( ) ( )( )≤>≤∃≤∈>≤∃≤ −−−− 221-i-121 2 :2 1,0 :2 iYjPtpentruitYjPAP iji

ijiji

i ψ

( )( ) 4222211 222 iiiij

i i

eiYP −−−+− ≤>≤ ,

din care rezultă că ( )∑ ∞<i

iAP . Având în vedere acest rezultat putem aplica lema

Borel-Cantelli. Prin urmare 01

=

∞

=

∞

=IUj jn

nAP . Deci dat ω , există I cu Ii ≥ pentru

care iA∉ω . Astfel pentru Ii ≥ , ( )( ) 2sup −≤ itVit

ω pentru orice t . Cum seria ∑ −

ii 2

este convergentă rezultă seria ( )( )∑i

i tV ω este uniform convergentă. Cum ( )tVi este

continuă pentru fiecare i rezultă că nu numai seria converge uniform pentru fiecare ω

dar şi limita este o funcţie continuă de t .

Mai departe, cum tX este o combinaţie liniară de variabile ijY rezultă tX este

variabilă gaussiană deci media este 0. Arătăm acum faptul că pentru

ts ≤ , ( ) sXXCov ts =, .

( ) [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑∑ =

=

jitijsij

lktklkl

jisijijts YYEXXCov

,,0,0

,,0

,,0 1,1,1,1,, ϕϕϕϕ .

Din propoziţia 2.1. rezultă că pentru ts < ultimul termen al egalităţii de mai sus este

[ ] [ ] sts =,0,0 1,1 .

42

Pentru a construi o mişcare browniană pentru orice 0≥t procedăm în felul

următor: fie tX şi tX ′ două mişcări browniene independente, unde 1≤t . Fie tt XtY 1′= .

Atunci definim variabila aleatoare tZ astfel: ( )

>−+≤

=1

1

11 tpentruYYXtpentruX

Zt

tt

. Pentru

0≥t , tZ este o mişcare browniană.

2.2. Mers aleatoriu

Fie ( )P,,FΩ un spaţiu probabilistic şi fie pe acest spaţiu o familie de variabile

aleatoare ,....,, 321 XXX independente, identic repartizate, cu o repartiţie Bernoulli

caracterizată prin ( ) ( )2111 =−=== ii XPXP , *Ni∈ . Acestei familii de variabile

aleatoare îi asociem şirul ( )0, ≥nSn definit prin 00 =S , ∑=

=n

iin XS

1(Fig.1). Spunem că

nS este un mers aleatoriu simetric simplu. Printr-un calcul simplu se arată că valoarea

medie şi varianţa sunt egale cu ( ) 0=nSE şi respectiv ( ) nSVar n = .

Fig. 1

Observaţie. Şirurile ( )nmSS nm ≥− , şi ( )nSSS ,...,, 10 sunt independente iar nm SS − şi

nmS − au aceeaşi lege.

43

Fie N fixat. Definim o familie de variabile aleatoare kNk S

NU 1

= , indexată prin

numere reale de forma Nk , unde Nk ∈ . Pentru această variabilă media

este 0=

NkUE iar varianţa

NkUVar

Nk =

.

Verificăm proprietăţile de independenţă şi staţionaritate:

1. dacă 'kk ≥ , Nk

Nk UU '− este independent de

≤ '; kpU

Np ;

2. dacă 'kk ≥ , Nk

Nk UU '− şi

NkkU '− au aceeaşi lege .

Pornind de la familia de variabile aleatoare NkU definim un proces continuu în timp

( )0, ≥tUt impunând funcţiei tUt → condiţia de afinitate între Nk şi

Nk 1+ (Fig.2).

Fig. 2

In acest scop, N fiind fixat, se observă că pentru orice t din +R există un unic ( )tk în

N , astfel încât ( ) ( )Ntkt

Ntk 1+

<≤ . Definim variabila aleatoare

44

−

−+= +

Nk

Nk

Nk

Nt UU

NktNUU 1 ,

unde ( )tkk = . Pentru 1=t obţinem ( )( ) N

NN SNXNVar

XNESU 1

1

11 =

−= . Atunci din

teoarema limită centrală rezultă că ( )1,01 NU N → , în lege. Analog NtU converge în lege

la ( )tN ,0 pentru orice t din [ ]1,0 . In aceste condiţii putem spune că NU converge în

lege la o mişcare browniană B . Această convergenţă în lege a procesului NU se mai

numeşte şi principiul invarianţei lui Donsker.

Observaţie. Această proprietate este utilizată atunci când sunt realizate simulări.

2.3. Proprietăţi ale mişcării browniene

Considerăm mişcarea browniană ( )0, ≥= tBB t şi fie tsBst ≤= ,σF filtrarea

sa naturală.

Propoziţia 2.2. Procesul B este un proces gaussian a cărui repartiţie este

caracterizată de media 0 şi covarianţa ( ) tsBBCov st ∧=, .

Demonstraţie. Caracterul gaussian al procesului B rezultă din egalitatea

( )∑∑ ==−=

+

n

i ttitn

i i iiiBBbBa

00 1, unde 1+−= iii bba pentru 1−≤ ni şi nn ba = . Deoarece

procesul este centrat covarianţa este egală cu ( )st BBE . Dacă ts ≤ atunci are loc relaţia:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) sBEBEBBEBBBBEBBE ssstssstst =+−=+−= 22 .

Generalizare: Procesul ( )0, ≥++= tBtxX tt σµ este un proces gaussian cu

media tx µ+ şi covarianţa ( )( ) ( )( )[ ] ( )tsXEXXEXE sstt ∧=−− 2σ .

Notaţie. Fie ( )( ) ( )( )ssx BxfEBfE += media lui ( )sBf atunci când B este o mişcare

browniană a cărei stare iniţială este x . Analog, fie ( ) ( )ABxPABP ssx ∈+=∈

probabilitatea variabilei aleatoare sB când B este o mişcare browniană a cărei stare

iniţială este x şi fie ( )daBP sx ∈ densitatea variabilei aleatoare sB când B este o

mişcare browniană a cărei stare iniţială este x .

45

Propoziţia 2.3. Dacă ( )0, ≥tBt este o mişcare browniană atunci tB are

următoarele proprietăţi:

1. tt BB −=ˆ este o mişcare browniană;

2. 2

~ctt cBB = , 0>c , este o mişcare browniană;

3. t

tBBt 1= , orice 0>t , 00 =B este o mişcare browniană.

Demonstraţie. Este suficient să verificăm caracterul gaussian al proceselor şi să

calculăm mediile şi covarianţele corespunzătoare. Verificăm pentru afirmaţia 2

axiomele din definiţia mişcării browniene.

1. 0~000 2 === cBcBB c .

2. tB~ are traiectorii continue şi dacă ts < atunci

( ) ( ) sc

scBBCovcBBCov ctcsts === 222 1~,~

22 .

Creşterile ( ) ( )22222

~~cscsctcscstsst BBccBcBBB −=−=−

+++ fiind multipli de variabile

aleatoare normal repartizate admit o repartiţie normală. Cum creşterile 222 cscsct BB −+

au media 0, rezultă şi creşterile sst BB ~~ −+ au media 0 iar varianţa este dată de expresia:

( ) ( )( ) ( ) tc

tcBBEccBcBEBBE cscsctcscstsst ==−=−=−+++ 2

22222 1~~22222 .

3. Dacă 4321 tttt <≤< atunci 24

23

22

21 ctctctct <≤< iar intervalele

[ ]22

21 , ctct şi [ ]2

42

3 , ctct sunt disjuncte, prin urmare creşterile corespunzătoare

sunt independente. Prin înmulţirea cu o constantă c aceste creşteri rămân independente

şi deci creşterile 34

~~tt BB − şi

12

~~tt BB − sunt şi ele independente.

4. 0limlim~lim 22000

===→→→ cttctttt

BccBB .

Proprietatea Markov. Pentru orice s , procesul stochastic ( )0, ≥tWt definit

prin sst

def

t BBW −= + este o mişcare browniană independentă de σ - algebra sF .

Propoziţia 2.4. Pentru o funcţie boreliană mărginită f şi pentru u şi t astfel

încât tu > are loc relaţia ( )( ) ( ) ( )( )tutu BBfEBfE σ=F .

46

Demonstraţie. Având în vedere faptul că tu > putem construi creşterile

corespunzătoare procesului şi aplicăm proprietăţile mediei condiţionate:

( )( ) ( )( ) ( )ttttutu BtuBBBfEBfE ,−Φ=+−= FF ,

unde ( ) ( )( ) ( )( )xYfExBBfExtu tu +=+−=−Φ , iar Y şi tu BB − au aceeaşi lege de

repatiţie ( )tu −,0N .

Analog se demonstrează relaţia ( ) ( )( ) ( )ttu BtuBBfE ,−Φ=σ . Prin urmare putem scrie

( ) ( ) ( ) dysxyyf

sxs

R 2exp

21,

2−−=Φ ∫π

.

Observaţie. Această proprietate poate fi scrisă şi cu ajutorul mediei condiţionate, astfel

putem spune că variabila aleatoare uB condiţionată de tB are o lege gaussiană de medie

tB şi varianţă tu − . Atunci ( ) ( )( ) ( )tsBtxBtxB BEBEEuuu ≤≤≤ == 111 σF , pentru ut ≤ .

Propoziţia 2.5. (Proprietatea tare Markov). Fie T timp de oprire cu valori

finite. Atunci are loc relaţia ( )( ) ( ) ( )( )TsTTsT BBfEBfE σ++ =F . In particular, pentru

orice timp de oprire finit T , procesul ( )0, ≥tWt definit prin TTt

def

t BBW −= + este o

mişcare browniană independentă de TF .

Exemplu (ecuaţia căldurii). Fie ( )xtg , densitatea unei variabile gaussiene centrate de

varianţă t . Fie ( ) ( ) ( )yxtgtxy

tyxtq −=

−−= ,

2exp

21,,

2

π densitatea de tranziţie a

mişcării browniene. Atunci putem scrie ( ) ( )dyyxtqxBdyBP sst ,,==∈+ .

Derivata la dreapta a densităţii de tranziţie q este dată de ecuaţia:

( ) ( )yxtyqyxt

tq ,,

21,, 2

2

∂∂

=∂∂ .

Derivata la stânga a densităţii de tranziţie q este dată de ecuaţia:

( ) ( )yxtxqyxt

tq ,,

21,, 2

2

∂∂

=∂∂ .

47

Având în vedere proprietatea de staţionaritate a creşterilor unei mişcări browniene,

putem afirma că pentru orice funcţie boreliană mărginită are loc relaţia:

( )( ) ( ) ( )∫∞

∞−

−== dyyxtTqyfxBBfE tT ,, .

Fie

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∞

∞−+

∞

∞−

+===+== dyytgyxfxBBfExBfEdyyxtqyffxtu sstt ,,,,,

soluţia sistemul ( ) ( )

=∂∂

+∂∂

−

=

021

,,0

2

2

xu

tu

xffxu . (1)

Pentru a calcula valoarea medie ( )( )TBfE este suficient să rezolvăm sistemul (1) şi să

observăm că ( )( ) ( )fTuBfE T ,0,= . De asemenea, obţinem ( )( ) ( )fxTuxBfE T ,,=+ .

Mai mult, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )xBfEfxtudyytgyxffxtxu

t +′′=′′=+′′=∂∂

∫∞

∞−

,,,,,2

2

(2).

Atunci putem scrie:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∂∂

=∂∂

=−=−+T T

T dsfxsxudsfxs

tufxufxTuxfxBfE

0 02

2

,,21,,,,0,, ,

de unde rezultă relaţia ( )( ) ( ) ( )( )∫ +′′+=+T

sT dsxBfExfxBfE02

1 .

Generalizând putem spune că funcţia ( ) ( )fxtTufxtv ,,,, −= este soluţia sistemului

( ) ( )

=∂∂

+∂∂

=

021

,

2

2

xv

tv

xfxTv

Cu condiţia ( ) ( )( )xBfEfxv T +=,,0 .

Propoziţia 2.6. Dacă f este o funcţie de clasă 1bC în parametrul timp şi de

clasă 2bC în parametrul stare atunci are loc relaţia

( )( ) ( ) ( ) ( )∫

+′++′′+=+

t

stsxxt dsBxsfBxsfExfBxtfE0

,,21,0, .

48

Demonstraţie. Fie ( ) ( )( )tBxtfEfxtu += ,,, . Din relaţiile (1) şi (2) rezultă

( ) ( ) ( )fxtufxtufxtdtdu

xxt ∂+∂= ,,21,,,, . Prin urmare putem scrie

( ) ( )fxttFfxtu ,,,,, = , unde ( ) ( )( )tBxsfEfxtsF += ,,,, . Aplicând teorema de

derivare a funcţiilor compuse obţinem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )fxtuBxstfEfxtt

tFfxtt

sFfxt

dtdu

xxt ∂+

+∂∂

=∂∂

+∂∂

= ,,21,,,,,,,,, .

Integrând relaţia în raport cu t rezultă:

( ) ( ) ( ) ( )∫

+∂++=−

t

sxxst dsBxsfBxsfEfxufxtu0

,21,,,0,, .

Observaţie. Acest rezultat poate fi generalizat la un proces X definit prin

tt BtxX σµ ++= . Funcţia ( ) ( )( )tBtxtfEfxtu σµ ++= ,,, verifică relaţia:

( ) ( ) ( ) ( )fxtufxtufxtufxtdtdu

txxx ∂+∂+∂= ,,,,,,21,, 2 µσ şi ( ) ( )xffxu =,,0 .

Fie L operatorul definit prin ( ) fff xxx ∂+∂= µσ 2

21L .

Propoziţia 2.7. Dacă f este o funcţie de clasă 1bC în parametrul timp şi de

clasă 2bC în parametrul stare atunci are loc relaţia

( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]dsBsxsfBsxsfExfBtxtfE sts

t

t σµσµσµ ++∂++++=++ ∫ ,,,0,0

L .

Propoziţia 2.8. Dacă 0=uL atunci ( )tBtu , este un martingal.

Demonstraţie. Având în vedere că mişcarea browniană este un proces ale cărui creşteri

sunt independente rezultă

( )( ) ( )( ) ( )( )ss BxstxsBxstst BstuEBxstsuEBtuE =−=− −=+−+= F ,,, , ,

unde ( ) ( )yxtsuytu xs ++= ,,, . De asemenea,

( )( ) ( ) ( )∫+=− =

t

xsxsstxs dBuuBstuE0

,,, ,0,0, ωω ωL .

49

Din ipoteză ( ) 0=uL deci 0, =xsuL . Prin urmare axioma 3 din definiţia martingalului

este verificată: ( )( ) ( ) ( )sBxxsst BsuuBtuEs

,0,0, , == = F .

2.4. Traiectoriile unei mişcări browniene

Traiectoriile unei mişcări browniene sunt continue.

Propoziţia 2.9. Fie n fixat şi tjt nj 2= pentru j cu valori între 0 şi n2 . Atunci

( ) ( )[ ] ttBtBsa

jjj

n ..2

1

21 →−∑

=− pentru ∞→n .

Demonstraţie. Fie ( ) ( )[ ]∑=

−−=n

jjj

nt tBtBZ

2

1

21 , atunci ( ) tZE n

t = . Dorim să arătăm că

( )( ) 02→− tZE n

t . Avem în vedere faptul că dacă X este o variabilă a cărei lege de

repartiţie este ( )2,0 σN şi variabila 2X are varianţa 42σ putem demonstra

convergenţa: ( ) 0→ntZVar . Calculăm varianţa variabilei n

tZ :

( ) ( ) ( )[ ] nn

jn

jjj

nt

tttBtBVarZVarnn

2

21

2

1

22

1

21 2

22

2 +

==− =

=−= ∑∑ .

Prin urmare ( ) ∑∑∞

=

∞

=

∞<=

−

11

2

2nn

n

nt

ttZE . Deci ( )∑∞

=

∞<−1

2

n

nt tZ şi termenul general

converge aproape sigur la 0.

Propoziţia 2.10. Fie σ o partiţie a intervalului [ ]t,0 , tttt n =≤≤≤= ...0 10 .

Fie tV variaţia traiectoriei mişcării browniene în intervalul [ ]t,0 definită prin

( ) ( ) ( )∑ −=+i ttt ii

BBV ωωω σ 1sup . Atunci ( ) ∞=ωtV aproape sigur.

Demonstraţie. ∑∑=

≥−+

n

iik

kni tt YBB2

0supsup

1 σ , unde **

1 kk ttk BBY −=+

iar punctele

sunt definite astfel: tkt nk 2* = . Majorând n

tZ obţinem ∑=

−≤

+

n

kkk

kttk

nt YBBZ

2

0**

1sup .

Cum traiectoriile sunt uniform continue pe intervalul [ ]t,0 , pentru n tinzând la ∞ ,

50

termenul kk tt BB −

+1 tinde la 0 aproape sigur. Seria ∑

=

n

kkY

2

0 este crescătoare şi nu poate

avea limită finită dacă ntZ nu converge la 0.

2.5. Proprietatea de martingal

Propoziţia 2.11. Mişcarea browniană tB este un martingal. Analog, procesul

( )0,2 ≥− ttBt este un martingal. Reciproc, dacă X este un proces continuu astfel încât

X şi ( )0,2 ≥− ttX t sunt martingale atunci X este o mişcare browniană.

Demonstraţie. Calculăm mediile condiţionate ţinând cont de independenţa creşterilor în

cazul mişcării browniene şi de egalitatea ( ) ( )XEXE =G pentru, X şi G independente.

Fie ts ≤ , atunci ( ) ( ) ( ) ssssstt BBEBBEBE +=+−= 0FFFs . Analog se arată

egalităţile: ( )( ) stBBE sst −=− F2 şi

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222222 22 sststssstsststsst BBEBEBBBEBBBBEBBE −=−+=−+=− FFFFFPrin urmare obţinem ( ) sBtBE sst −=− 22 F .

Observaţie. Analog se demonstrează că dacă tB este o mişcare browniană atunci

22taaX te − este un martingal.

Propoziţia 2.12. Fie 1B şi 2B două mişcări browniene independente. Produsul

21BB este un martingal.

Demonstraţie. Pentru demonstraţie putem utiliza proprietatea următoare: fie F şi G

două σ -algebre , X şi Y două variabile aleatoare astfel încât F∨X şi G sunt

independente şi G∨Y şi F sunt independente. Atunci are loc egalitatea

( ) ( ) ( )GG FF YEXEXYE =∨ .

Altă metodă: utilizăm faptul că ( )2121 BB + este un proces gaussian de covarianţă st ∧

deci o mişcare browniană. Prin urmare ( ) ( )( ) ttBtB −+ 2212

1 este un martingal. Dar cum

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )tBtBttBttBttBtB 2122

21

221 2

121

21

+−+−=−+ obţinem rezultatul căutat.

51

Definiţia 2.4. Spunem că procesul B este o ( )tG - mişcare browniană dacă B şi

( )0,2 ≥− ttBt sunt ( )tG -martingale.

Propoziţia 2.13. Pentru orice λ real, procesul

≥

− 0,

21exp 2 ttBt λλ este

un martingal. Reciproc, dacă X este un proces continuu astfel încât

≥

− 0,

21exp 2 ttX t λλ este un martingal, atunci pentru orice λ real procesul X

este o mişcare browniană.

Demonstraţie. Independenţa implică egalitate:

( ) ( ) ( ) ( )

−−−=

−−− stBBEstBBE stsst

22

21exp

21exp λλλλ F . Media din

membrul drept se calculează ca transformata Laplace a unei variabile gaussiene.

Obţinem

( ) ( ) 121exp 2 =

−−− stBBE st λλ şi

−=

− sBtBE sst

22

21exp

21exp λλλλ F .

Pentru a demonstra reciproca se ţine cont de caracterizarea variabilei gaussiene prin

intermediul transformatei Laplace.

Generalizare

Propoziţia 2.14. Fie spaţiul ( )Pt ,,, FFΩ şi fie B o tF - mişcare browniană pe

acest spaţiu. Dacă tt BtX σµ += atunci, pentru orice β real

≥

+− 0,

21exp 22 ttX t βσµββ este un tF - martingal. Reciproc, dacă X este un

proces stochastic continuu astfel încât

≥

+− 0,

21exp 22 ttX t βσµββ este un

tF -martingal, există atunci B o tF - mişcare browniană astfel încât tt BtX σµ += .

Demonstraţie. Cum

≥

− 0,

21exp 2 ttBt λλ este un martingal, trebuie doar să ţinem

cont de faptul că ( )tXB tt µσ

−=1 şi să facem subtituţia βσλ = .

52

2.6. Timp de lovire

Propoziţia 2.15. Fie ( )0, ≥tBt o mişcare browniană şi fie a un număr real. Fie

aBtT ta =≥= ;0inf . Atunci aT este un timp de lovire finit aproape sigur, cu

( ) ∞=aTE . Pentru 0≥λ are loc relaţia ( ) ( )λλ 2expexp aTE a −=− .

Demonstraţie. Variabila aleatoare aT este un timp de oprire. Prin urmare pentru 0>a

avem aBtT ta ≥≥= ;0inf . Se obţine atunci relaţia

( )εεεε

−>∪∩=−>∈∃∀=

≥=≤ ∈≤∈

≤+ aBaBQsaBtT sQstsQss

tsa ,:sup

care spune că tTa ≤ se obţine din reuniuni şi intersecţii numărabile de elemente din

tF , prin urmare aparţine acestei σ -algebre.

Pentru a calcula transformata Laplace a legii variabilei aleatoare aT , mai precis

( )aTeE λ− , utilizăm faptul că aTt ∧ este timp de oprire mărginit şi teorema de orpire a lui

Doob. Astfel, pentru orice t avem ( ) 12

exp2

=

∧−∧ aTt TtBE

a

λλ . Cum t tinde la ∞ ,

şi aT este finit are loc relaţia aBBaa TTt =→∧ . De asemenea putem scrie:

( )

−→

∧−∧ aaTt TaTtB

a 2exp

2exp

22 λλλλ .

Pentru aT infinit avem aBaTt ≤∧ şi ( ) ∞→=∧ tTt a .

Prin urmare ( ) 02

exp2

→

∧−∧ aTt TtB

a

λλ . Trecând la limită şi utilizând teorema

convergenţei dominante a lui Lebesgue, ( )λλ aTE aTa−=

−∞< exp

2exp

2

1 . Pentru a

obţine ( )aTE derivăm în raport cu λ şi punem condiţia 0=λ .

De asemenea, se poate spune că pentru 0>a şi 0>λ , martingalul

( )

∧−∧ aTt TtB

a 2exp

2λλ este mărginit, deci este uniform integrabil şi se aplică teorema

de oprire a lui Doob pentru ∞=t .

53

Se observă că pentru 0<a , aWtaBtT tta −=≥==≥= ;0inf;0inf , unde

BW −= . Egalitatea ( ) ( )λλ 2expexp aTE a −=− nu este adevărată pentru orice a .

Dacă 0<a şi 0>λ , termenul din membrul stâng este mai mic decât 1 în timp ce

termenul din membrul drept este mai mare decât 1.

Densitatea variabilei aleatoare aT pentru 0>a este dată de formula

−

ta

t

a2

exp2

2

3π şi se determină aplicând inversa transformatei Laplace.

In mod analog se obţin următoarele rezultate:

• Fie aBtT ta =≥= ;0infˆ , cu 0>a atunci ( ) ( )[ ] 12coshˆexp

−=− λλ aTE a .

• Dacă ba ≤≤ 0 atunci ( )ab

bTTP ba −=< .

• Dacă c şi d sunt reali pozitivi şi dc TTT −∧= atunci

( )( )( )dc

dTEcTT +=

− = λ

λλsinh

sinh2

exp2

1 şi ( )( )( )( )2cosh

2cosh2

exp2

dcdcTE

+−

=

−

λλλ .

Generalizare

Dacă tt BtX += µ şi aXtT ta =≥= ;0inf µ atunci utilizând martingalul

≥

+− 0,

21exp 22 ttX t βσµββ putem spune că pentru 0>µ şi 0>λ are loc

relaţia

( ) ( )λµµλ µ 2expexp 2 +−=− aaTE a ,

unde 22

21 βσµβλ += .

Pentru 0=λ obţinem ( )∞<aTP . Dacă a şi µ au acelaşi semn atunci această cantitate

este 1.

54

2.7. Mişcarea browniană multidimensională

Fie ( ) ( ) ( )( )Tntttt BBBB ,.....,, 21= un proces stochastic n -dimensional. Spunem că

B este o mişcare browniană multidimensională dacă procesele stochastice ( )( )niB i ≤,

sunt mişcări browniene independente. tB este un proces cu creşteri independente.

Pentru fiecare pereche ( )ba, procesul ( ) ( )21tt bBaB + este un proces gaussian. Este uşor de

verificat faptul că ( ) ( )( )21

22

1tt

def

t bBaBba

B ++

= este o mişcare browniană.

Dacă B este o mişcare browniană n -dimensională atunci are loc relaţia

( ) ( )tsnBBE sTt ∧= .

Procesul n -dimensional B este o mişcare browniană dacă şi numai dacă

procesele ( )iB şi ( ) ( ) tBB jiji

,δ− sunt martingale, unde 1, =iiδ şi 0, =jiδ pentru ji ≠ .

Dacă 1B şi 2B sunt două mişcări browniene independente cu valori reale, atunci

produsul 21BB este un martingal.

Spunem că mişcările browniene cu valori reale 1B şi 2B sunt corelate şi au

coeficientul de corelaţie ρ , dacă ( ) ( ) ttBtB ρ−21 este un martingal.

Fie procesul 3B definit prin ( ) ( ) ( )( )tBtBtB 12231

1 ρρ

−−

= . Atunci 3B este un

martingal. Din relaţia

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]=−−−+−

=− 212

21

2222

23 12

11 ρρρρ

ttBtBtBtBttB

( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ][ ]ttBtBttBttB ρρρρ

−−−+−−

= 122

122

22 21

1

rezultă ( )( ) ttB −23 este un martingal şi deci 3B este o mişcare browniană. Se poate

demonstra că 1B şi 3B sunt independente iar 31BB este un martingal . In cazul în care

31BB este un martingal, există o mişcare browniană ( )3B independentă de ( )2B astfel

încât ( ) ( ) ( )3221 1 BBB ρρ −+= şi pentru orice pereche ( )ba,

procesul ( ) ( )( )21

22 21 bBaB

abbaBt +

++=

ρ este o mişcare browniană.

55

2.8. Integrala Weiner

Definiţia 2.5. Fie ( )+RL2 mulţimea funcţiilor boreliene f definite pe +R cu

valori în R de pătrat integrabile, adică ( )∫∞

∞<0

2 dssf . Acest spaţiu înzestrat cu norma

( )21

0

22

= ∫

∞

dssff este un spaţiu Hilbert.

Funcţii scară

Pentru ( ]vuf ,1= , avem ( ) ( ) ( )uBvBdBsf s −=∫∞

0

.

Fie f o funcţie scară, atunci putem scrie ( ) ( ) ( )( )∑∫=

−−

∞

−=n

iiiis tBtBfdBsf

111

0

.

Variabila aleatoare ( ) ( )∫∞

=0

s

defdBsffI este o variabilă gaussiană de medie 0 şi varianţă

( )∫∞

0

2 dssf . Cum B este o variabilă gaussiană centrată rezultă că ( )fI este o variabilă

gaussiană centrată. Mai mult varianţa variabilei ( )fI este dată de relaţia:

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∑ ∫∑=

∞

=−−−− =−=−=

n

i

n

iiiiiii dssfttftBtBVarffIVar

1 0

2

11

211

21 .

Integrala este liniară ( ) ( ) ( )gIfIgfI +=+ . Dacă f şi g sunt funcţii scară atunci

( ) ( )( ) ( ) ( )∫+

=R

dssgsfgIfIE şi prin urmare putem scrie relaţia:

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) =++=+=+ gIfIEgIVarfIVargIfIVargfIVar 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∫∞ ∞∞∞

++++=0 00

2

0

22 2 dssgsfdssgdssfdssgf .

56

Cazul general

Dacă f aparţine ( )+RL2 , există un şir de funcţii scară nf convergent în ( )+RL2

la f , adică un şir care verifică relaţia ( )∫∞

∞→→−

0

2 0nn dxxff . In acest caz, şirul nf este

şir Cauchy în ( )+RL2 . Şirul de variabile aleatoare ( )∫∞

=0

snn dBsfF este un şir Cauchy în

spaţiul Hilbert ( )Ω2L , prin urmare este convergent. Este suficient să demonstrăm că

limita depinde numai de f şi nu de alegerea lui nf . Fie

( ) ( ) ( )∫∫∞

∞→

∞

==00

lim snns

defdBsfdBsffI , limita fiind considerată în ( )Ω2L . In aceste condiţii

spunem că ( )fI este integrala stochastică sau integrala Weiner a lui f în raport cu B .

Subspaţiul ( )Ω2L al variabilelor aleatoare ( )∫∞

0sdBsf coincide cu spaţiul gaussian

generat de mişcarea browniană.

Proprietăţi

Aplicaţia ( )fIf → definită pe ( )+RL2 cu valori în ( )Ω2L este liniară şi

verifică proprietatea de izometrie. Liniaritatea se referă la relaţia ( ) ( ) ( )gIfIgfI +=+

iar izometria se referă la faptul că norma lui ( )fI este egală cu norma lui f . Norma lui

( )fI este norma pe ( )Ω2L definită prin ( ) ( )( )( )22 fIEfI = iar norma lui f este

norma pe ( )+RL2 definită prin ( )dssff ∫∞

=0

22 .

Proprietatea de izometrie implică ( ) ( )( ) ( ) ( )∫+

=R

dssgsfgIfIE .

Fie f din ( )+RL2 . Variabila ( )fI este o variabilă aleatoare gaussiană cu media

0 şi varianţa ( )∫+R

dssf 2 din spaţiului gaussian generat de ( )0, ≥tBt , iar pentru orice t

verifică relaţia: ( ) ( )∫∫ =

+

t

Rst dssfdBsfBE

0

. Acestă relaţie este o caracterizare a

57

integralei stochastice în sensul următor: dacă pentru orice t , ( ) ( )∫=t

t dssfZBE0

atunci

( )∫∞

=0

sdBsfZ .

Demonstraţie. Este suficient să observăm egalitatea:

( ) ( ) ( )

=

∫∫∫++ R

s

t

sR

s dBsfdBEdBsftBE0

.

Fie f din ( )+RL2 . Definim variabila aleatoare ( ) [ ] ( ) ( )∫ ∫∞

=t

sts dBsfsdBsf0 0

,01 .

Analog, pentru orice T şi pentru funcţii f care verifică condiţia ( )∫ ∞<T

dssf0

2 ,

putem defini ( )∫t

sdBsf0

ceea ce permite definirea integralei stochastice pentru o clasă

mai largă de funcţii. Notăm acestă clasă prin 2locL .

Propoziţia 2.16. Fie f din 2locL şi fie ( )∫=

t

st dBsfM0

. Atunci:

1. dacă procesul M este un martingal continuu, atunci variabila aleatoare tM

are media 0 şi varianţa ( )∫t

dssf0

2 .

2. procesul M este un proces gaussian centrat, cu creşteri independente, a cărui

covarianţă este ( )∫∧st

duuf0

2 .

3. procesul ( )

≥− ∫

t

t tdssfM0

22 0, este un martingal.

4. dacă f şi g sunt din 2locL atunci are loc relaţia

( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫∧

=

stt s

uu duugufdBugdBufE00 0

.

58

Demonstraţie. Considerăm cazul în care f este o funcţie elementară şi trecem la

limită. Pentru a verifica faptul că M un martingal demonstrăm că pentru

( ]∑=

− −=

n

itti ii

ff1

,1 11 are loc relaţia : ( ) ( )

=−= ∫

t

ssusst dBufEMME FF0 .

Presupunem 1+≤<< ii ttst , atunci ( ) ( )( )ssti

t

ssu BBEfdBufE FF −=

∫ şi relaţia

precedentă este demonstrată.

Presupunem 11 ++ ≤<≤≤< jjii ttttst , atunci

( ) ( ) ( ) ( ) =

−+−+−=

++∑∫

−

+=ssti

j

ikttkttj

t

ssu BBfBBfBBfEdBufE

ikkjFF

11

1

1

( ) ( ) ( ) 011

1

1=−+−+−=

++∑−

+=sstistt

j

ikksttj BBEfBBEfBBEf

ikkjFFF

Analog se procedează în celelelate cazuri. In particular are loc relaţia:

( ) ( )( ) ( ) =

=−=− ∫ s

t

susstsst dBufEMMEMME FFF

2222

( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )∑∑ ∧−∧=−= +∧∧+tttttfBBtfE kkksttttk kk 1

22

1F .

Propoziţia 2.17. Dacă f este o funcţie de clasă 1C atunci are loc formula:

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ′−=t t

ss dsBsftBffdBsf0 0

.

Demonstraţie. Pentru a demonstra formula este suficient să arătăm că are loc egalitatea:

( ) ( ) ( )

′−=

∫∫ dsBsfBtfBEdBsfBE s

t

tu

t

su00

. Membrul stâng este egal cu ( )∫∧ut

dssf0

.

Membrul drept se calculează având în vedere egalităţile:

( )( ) ( )( )uttfBtfBE tu ∧= şi ( ) ( )( )∫∫ ∧′=

′

tt

su dsussfdsBsfBE00

.

59

In aceste condiţii relaţia căutată rezultă aplicând formula clasică de integrare prin părţi

pentru o expresie de tipul ( )∫ ′b

dssfs0

.

Observaţie. Formula poate fi rescrisă în forma: ( )( ) ( ) ( )dttfbdBtftfBd ttt ′+= .

2.9. Mişcarea browniană geometrică

Definiţia 2.6. Fie B o mişcare browniană şi fie b şi σ două constante. Atunci

procesul stochastic

+

−= tt BtbXX σσ 2

0 21exp se numeşte mişcare browniană

geometrică sau proces log-normal. Prin urmare xBtbX tt ln21ln 2 ++

−= σσ iar

variabila din membrul drept are o lege de repartiţie normală.

Propoziţia 2.18. Procesul btt eX − este un martingal.

Din expresia ( ) ( )

−+−

−= stst BBstbXX σσ 2

21exp rezultă caracterul markovian

al lui X . Caracterul markovian al lui X şi proprietăţile mişcării browniene permit

calcularea următoarei medii condiţionate:

( ) ( ) ( ) =

−+−

−= sstsst BBstbEXXE FF σσ 2

21exp

( )( ) ( ) ( ) =

−+−

−−= ssts BBstEstbX Fσσ 2

21expexp

( )( ) ( ) ( ) ( )ststb

ssts XXEeXBstEstbX ==

+−

−−= −

−σσ 2

21expexp .

Analog, fie G o variabilă aleatoare cu legea de repartiţie ( )1,0N , atunci are loc relaţia:

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) =

−+−

−==

= sXx

ststst BBstbxfEXXfEXfE σσ 2

21expF

( )

( ) ( )∫∞

∞−

=

−+−

−=

=

−+−

−=

dyyqstystbXf

stGstbxfE

s

Xx s

,0,121exp

21exp

2

2

σσ

σσ

60

Observaţie. Acest proces este deseori utilizat pentru modelarea preţului activelor.

Randamentul unui activ între două date fixate este dat de variabila gaussiană

( ) ( )st BBstb −+−

− σσ 2

21 .

Calcularea momentelor unei mişcări browniene geometrice este relativ simplă.

De exemplu, ( ) btt eXXE 0= . Pentru calcularea momentului de ordinul doi este

suficientă următoarea transformare:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =

+−+=+−= ttt BttbEXBtbEXXE σσσσσ 22

21|2exp22exp 222

022

02

( )[ ]tbX 220 2exp σ+= . Prin urmare ( )1

222 −= tbtt eexVarX σ .

Raportul lui Sharp este dat de formula ( )

t

t

VarXxXE −

.

Proces Ornstein-Uhlenbeck

Propoziţia 2.19. Ecuaţia lui Langevin ∫ ++−=t

tst VBdsaVV0

0σ (sau altfel scris

ttt dBdtaVdV σ=+ ) are ca soluţie unică variabila aleatoare

( )∫ −−− +=t

sastta

t dBeVeV0

0 σ .

Observaţie. Variabila aleatoare 0V , mişcarea browniană B şi constantele a şi σ sunt

date.

Demonstraţie. Fie ( )0, ≥= tXX t procesul definit prin ( )∫ −−− +t

sastta dBeVe

00 σ .

Verificăm faptul că X este soluţie a ecuaţiei lui Langevin. Aplicând formula integrării

prin părţi obţinem: ( ) ∫ ∫∫

−== −−−−

t t

ssa

tatat

ssaat

t

sast dsBeaBeedBeedBe

0 00

σσσ .

Atunci are loc relaţia: ∫−− −+=t

ssaat

tta

t dsBeaeBVeX0

0 σσ .

61

Calculăm dsduBeeadsBdsVedsXs

uua

tas

t

s

tsa

t

s

−+= ∫∫∫∫∫ −−

00000

0

σσ . Calculând integrala

dublă din membrul drept rezultă ∫ ∫ ∫∫

−= −−−

t t tasat

s

t

u

asu

ua dseedsBa

dseBdue0 0 0

1 .

Inlocuirea rezultatului obţinut în relaţia precedentă implică:

( ) ( )0

00

0

1 VBXdsBeaeVdsXa tt

t

stsaat

t

s ++−=+−= ∫∫ −− σσ .

Prin urmare X verifică ecuaţia lui Langevin.

Analog, notând tat

t VeY −= şi aplicând formula integrării prin părţi

tat

tat

tat

t dBedtVaedVedY σ−−− =−= obţinem soluţia ∫ −+=t

sas

t dBeYY0

0 σ .

Propoziţia 2.20. Dacă 0V este o variabilă aleatoare reală, gaussiană,

independentă de mişcarea browniană (în particular dacă 0V este o constantă) atunci,

procesul V , numit proces Ornstein-Uhlenbeck, este gaussian cu media

( ) ( )0VEeVE tat

−= şi covarianţa [ ] ( ) ( )∫ −−−−−− +=s

autaustasats dueeveeVV

0

2,cov σ , pentru

ts ≤ şi v varianţa lui 0V . Procesul V este un proces Markov.

Demonstraţie. Având în vedere forma soluţiei ecuaţiei lui Langevin şi faptul că media

integralei stochastice este 0, rezultă ( ) ( )0VEeVE tat

−= şi

[ ] =

++= ∫∫ −−−−

t

uauatat

s

uauasas

ts dBeeeVdBeeeVVV0

00

0 ,cov,cov σσ

( ) =

+= ∫∫−−−−

t

uau

s

uauatasatas dBedBeeeeVeV

00

200 ,cov,cov σ

∫∧

−−−− +=ts

auatasatas dueeeeve0

22σ .

Caracterul gaussian este uşor de stabilit iar unicitatea se demonstrează prin reducere la

absurd.

62

In particular, dacă 0V este o constantă ( 0=v ) atunci [ ] ( ) ( )12

,cov 22

−= +− astsats ee

aVV σ şi

( ) ( )ata

VVar t 2exp12

2

−−=σ .

Scriind ( )∫ −−− +=s

uaussa

s dBeVeV0

0 σ şi ( ) ( )∫ −−−− +=s

uauttaats

s dBeVeeV0

0 σ obţinem pentru

ts ≤ relaţia:

( ) ( )∫ −−−− +=t

su

autastst dBeeVV σ sau ( )∫ −−−

+ +=t

uautta

sst BdeeVV0

~σ ,

unde susu BBB −= +~ este o mişcare browniană independentă de sF şi deci de sV . In

particular, ( )( ) ( )( ) ( )( )sststa

ssst VVfEYeVfEVfE +−

+ =+= FF , unde Y este o variabilă

aleatoare independentă de sF , ceea ce stabileşte caracterul markovian al lui V .

Calculul poate fi refăcut utilizând relaţia ( )( )( ) ( )( )xss

taxs VYeVfE Ψ=+− F , unde

( ) ( )( ) ( )( )( )yt

ta VfEYyefEy =+=Ψ − şi ( ) ( )∫ −−− +=t

sasttax

t dBexeV0

σ .

Propoziţia 2.21. Variabila aleatoare ∫t

sdsV0

, este o variabilă aleatoare

gaussiană, cu media aeV

at−−10 şi varianţa ( )

−−+−−

−−

aet

ae

a

atat 11

2 2

22

3

2 σσ .

Modelul Vasicek

O generalizare a modelului precedent este ecuaţia ( ) ttt dBdtrbadr σ+−= . In

această formă el este utilizat pentru studierea fluctuaţiei ratei dobânzii şi este cunoscut

sub numele de modelul lui Vasicek.

Forma explicită a soluţiei ecuaţiei este ( ) ( )∫ −−− ++−=t

uutaat

t dBebebrr0

0 σ .

Notăm tt Vbr =− , atunci procesul V este soluţia ecuaţiei lui Langevin. Egalitatea

( ) ( ) ( )∫ −−−− ++−=t

su

utastast dBebebrr σ , ts ≤ , stabileşte caracterul markovian al lui r .

63

Dacă 0r este constantă, atunci tr este o variabilă gaussiană cu media ( ) bebr at +− −0 şi

varianţa ( )ata

2exp12

2

−−σ . Procesul r este gaussian cu covarianţa:

( ) ( ) ( )12

, 22

−= +− astsats ee

arrCov σ , ts ≤ .

Propoziţia 2.22. Pentru ts < , şi pentru procesul r definit mai sus au loc

următoarele formulele:

( ) ( ) ( ) bebrrrE stasst +−= −− şi ( ) ( )( )sta

st ea

rr −−−= 22

12

var σ .

Propoziţia 2.23. Variabila aleatoare ∫t

sdsr0

este o variabilă gaussiană cu media

( )aebrbtdsrE

att

s

−−−+=

∫

10

0

şi varianţa ( )

−−+−−

−−

aet

ae

a

atat 11

2 2

22

3

2 σσ .

Demonstraţie. Prin definiţie ∫ +−+=t

tst Bdsraabtrr0

0 σ . De unde rezultă relaţia:

[ ] ( ) ( )

+++−−−−=+++−= ∫∫ −−−

t

t

uutaat

tt

t

s BabtrdBebebra

Babtrra

dsr σσσ 00

000

11 .

In general, pentru st ≥ au loc formulele:

( ) ( )( )

( )stMa

ebrstbdurEsta

ss

t

su ,1

=−

−+−=

−−

∫ F

( )( )( )

( )stVa

esta

ea

durVarsta

stas

t

su ,11

2 2

22

3

2

=

−−−+−−=

−−−−∫

σσF .

Cum variabila ∫t

su dur este gaussiană cu media şi varianţa condiţionate de sF cunoscute

atunci are loc relaţia:

( ) ( )

+−=

− ∫ stVstMdurE s

t

su ,

21,expexp F .

64

Observaţie. Acest calcul este utilizat pentru evaluarea obligaţiunilor cu cupon zero:

dacă ( )TtB , este valoarea unei obligaţiuni cu cupon zero a cărei termen de scadenţă

este T , atunci

( )

−= ∫ t

T

tu durETtB Fexp,

şi

( ) ( ) ( )( )

( )( )( )

−−−+−−

−−+−=

−−−−

−−

aest

sae

aaebrstbTtB

stasta

sta

s1

21

41exp, 2

22

3

2 σσ

Bibliografie

D. Revuz, M. Yor - Continuous Martingales and Brownian Motion. Springer, Berlin, 1991

A. Borodin, P. Salminen - Handbook of Brownian Motion: facts and formulae. BirkhÄauser, 1996

Malliaris A. G. - Stochastic Methods in Economics and Finance, Advanced Textbooks in Economics, vol. 17, Elsevier Science, 1982

65

Capitolul 3

Calcul stochastic

In acest capitol definim variabile aleatoare de forma

( ) ( )ωωω

=→ ∫

t

sst dBXY0

,

unde ( )0, ≥tX t este un proces sigur (determinat) şi ( )0, ≥tBt este o mişcare

browniană. Problema care apare este legată de elementul diferenţial sdB , deoarece

funcţia sBs → nu este derivabilă. Un instrument adecvat a fost introdus în 1942 de K.

Itô. Acest instrument se numeşte integrală stochastică şi permite construirea în anumite

condiţii a variabilei ( )ωtY sub forma unui martingal.

3.1. Integrala stochastică

3.1.1. Definiţie

Fie ( )P,,FΩ un spaţiu probabilistic, fie B o mişcare browniană pe acest spaţiu

şi fie ( )tsBst ≤= ,σF filtrarea naturală a mişcării browniene B .

Definiţia 3.1. Spunem că un proces θ este elementar dacă există un şir de

numere reale jt , nttt ≤≤≤≤ ....0 10 şi un şir de variabile aleatoare jθ din ( )Ω2L ,

jtF -măsurabile, cu proprietatea jt θθ = pentru orice ( ]1, +∈ jj ttt , mai precis

( ) ( ) ( ]( )∑−

=+

=1

0, 1

n

jttjs s

jj1ωθωθ .

Definiţia 3.2. Definim integrala Weiner a procesului elementar θ în raport cu

mişcarea browniană B prin relaţia :

( ) ( )( )∫ ∑∞ −

=+ −=

0

1

01

n

jjjjss tBtBdB θθ .

66

Atunci au loc relaţiile: 00

=

∫∞

ss dBE θ şi

=

∫∫∞∞

0

2

0ssss dBEdBVar θθ .

Obţinem:

( ) ( )( )∑∫−

=+ ∧−∧=

1

01

0

n

jjjj

t

ss ttBttBdB θθ ,

de unde rezultă cotinuitatea aplicaţiei ∫→t

ss dBt0

θ . Fie jT un şir crescător de timpi de

oprire nTTT ≤≤≤≤ ....0 10 , şi fie ( ) ( ) ( ]( )∑−

=+

=1

0, 1

n

jTTjs s

jj1ωθωθ , unde jθ este un şir de

variabile aleatoare din ( )Ω2L , jTF - măsurabile. In aceste condiţii putem defini

următoarea integrală:

( ) ( )( )∑∫−

=+ ∧−∧=

1

01

0

n

jjjj

t

ss tTBtTBdB θθ .

Cazul general

Definiţia integralei Weiner poate fi extinsă la o clasă mai largă de procese

stochastice.

Definiţia 3.3. Procesele θ continue la stânga cu limită la dreapta, tF -adaptate

pentru care ∞<

= ∫

∞

0

22 dtE t

defθθ , se numesc procese càglàd de pătrat integrabile,

adică procese din ( )+×Ω RL2 . Notăm cu Γ mulţimea acestor procese.

Observaţie. Procesele elementare aparţin mulţimii Γ .

Definiţia 3.4. Spunem că nθ converge la θ în ( )+×Ω RL2 dacă 02 →− nθθ

pentru ∞→n .

Observaţie. Aplicaţia θθ → defineşte o normă care face din Γ un spaţiu complet.

Putem defini ∫∞

0ss dBθ pentru orice proces θ din Γ : privim θ prin prisma

proceselor elementare. In acest sens, fie nnθθ

∞→= lim , unde ( ]

( )

∑=

+=

nk

jtt

njn jj

1, 1

~ 1θθ cu njθ

~ din

67

jtF , limita fiind considerată în ( )+×Ω RL2 . Atunci integrala ∫∞

0ss dBθ este limita în

( )Ω2L a sumei ( )

( ) ( )( )jj

nk

j

nj tBtB −+

=∑ 1

1

~θ iar media şi varianţa au valorile 0 şi respectiv

( )

−∑ +

jjjj ttE 1

2~θ . Atunci au loc relaţiile:

. 00

=

∫∞

ss dBE θ şi

=

∫∫∞∞

0

2

2

0

dsEdBE sss θθ

Notăm [ ] ( )∫ ∫∞

=t

stsss dBsdB0 0

,01θθ . Dacă θ este un proces elementar atunci

( )∑∫ ∧∧ −=+

itttti

t

ss iiBBdB

1

0

θθ . Mai general, dacă τ este timp de oprire procesul ( ] ( )tτ,01

este adaptat şi definim ( ] ( )∫ ∫∧

=t t

ssss dBsdBτ

τθθ0 0

,01 .

3.1.2. Proprietăţi

Fie Λ mulţimea proceselor θ adaptate, càglàd din ( )+×Ω RLloc2 cu proprietatea

( ) ∞<

∫t

s dsE0

2 ωθ , pentru orice t .

Liniaritatea. Fie a şi b două constante şi fie ( )2,1; =iiθ două procese din Λ .

Atunci are loc relaţia: ( ) ∫∫∫ +=+t

ss

t

ss

t

sss dBbdBadBba0

2

0

1

0

21 θθθθ .

Proprietatea de martingal

Propoziţia 3.1. Fie ∫=t

sst dBM0

θ , unde θ aparţine Λ . Atunci:

1. procesul M este un martingal cu traiectorii continui.

2. dacă dsdBNt

s

t

sst ∫∫ −

=

0

2

2

0

θθ , procesul ( )0, ≥tNt este un martingal.

Demonstraţie. Demonstraţiile celor două proprietăţi se fac mai întâi pentru cazul în

care procesele sunt elementare şi apoi prin trecere la limită pentru procese din Λ .

68

Proprietatea de martingal se transcrie astfel: ∫∫ =

s

uus

t

uu dBdBE00

θθ F , pentru

orice st ≥ , sau 0=

∫ s

t

suu dBE Fθ şi în particular rezultă 0=

∫t

suu dBE θ .

Proprietatea 2 este echivalentă cu relaţia

=

∫∫t

ssus

t

suu duEdBE FF 2

2

θθ .

Pentru a defini tM pentru Tt ≤ este suficient să punem condiţia ca procesul θ să fie

din [ ]( )TL ,02 ×Ω , adică să fie adaptat şi ∞<

∫T

t dtE0

2θ . In aceste condiţii ( )TtM t ≤,

este un martingal.

Propoziţia 3.2. Media procesului tM este ( ) 0=tME iar varianţa este

( ) ( )∫=t

st dsEMVar0

2θ . Fie φ din Λ , atunci are loc relaţia:

=

∫∫∫t

ss

t

ss

t

ss dsEdBdBE000

φθφθ .

Dacă ( ) ∫=t

sst dBM0

θθ şi ( ) ∫=

t

sst dBM0

ϕϕ atunci procesul ( ) ( ) ∫−t

sstt dsMM0

ϕθϕθ

este un martingal.

Demonstraţie. Este suficient să observăm faptul că ( )∫ +t

sss dB0

φθ şi

( ) ( )∫∫ +−

+

t

ss

t

sss dsdB0

22

0

φθφθ sunt martingale.

Propoziţia 3.3. Fie τ un timp de oprire şi fie θ un proces BF -adaptat astfel

încât ∞<

∫τ

θ0

2dsE s . Atunci 00

=

∫τ

θ ss dBE şi

=

∫∫ττ

θθ0

2

2

0

dsEdBE sss .

Exemplu. Pentru orice t are loc relaţia ( )∫ −=t

tss tBdBB0

2

21

69

Demonstraţie. Prin definiţie ( )∑∫ −=+ iii ttt

t

ss BBBdBB1

lim0

. Egalitatea

( ) ( ) ( )∑∑∑===

−−−=−+++

n

itt

n

itt

n

ittt iiiiiii

BBBBBBB0

2

0

22

0111

2

implică relaţia:

( ) [ ]tBBBBdBB t

t n

ittntss ii

−=

−−=∫ ∑

=+

2

0 0

22

21lim

21

1 .

Propoziţia 3.4. Fie θ din Λ , atunci are loc următoarea relaţie :

[ ]∫∫∫ =

≤

≤

T

u

T

uu

s

uuTs

duEdBEdBE0

2

2

0

2

0

44sup θθθ .

Demonstraţie. Afirmaţia rezultă din inegalitatea lui Doob.

3.1.3. Proces Itô

Definiţia 3.5. Un proces X este un proces Itô dacă ∫∫ ++=t

ss

t

st dBdsbxX00

σ ,

unde b este un proces adaptat astfel încât ∫t

s dsb0

există (în sens Lebesque) aproape

sigur pentru orice t şi σ este un proces din Λ .

Procesul Itô poate fi scris şi în forma

=+=

xXdBdtbdX tttt

0

σ.

Coeficientul b este cunoscut sub numele de derivă iar σ este coeficientul de difuzie.

Scrierea tttt dBdtbdX σ+= este unică. Adică dacă ttttttt dBdtbdBdtbdX σσ ~~+=+=

atunci bb ~= şi σσ ~= . In particular, dacă X este un martingal local 0=b şi reciproc.

Proprietăţi. 1. Dacă σ este un proces din Λ atunci

( ) ( ) ( )∫+=t

st dsbEXEXE0

0 şi pentru orice st ≥ are loc relaţia:

( )

+=+

++= ∫∫∫∫

t

ssus

s

uu

t

ssu

s

ust dubEXdBdubEdubXXE FFF00

0 σ .

70

2. Dacă 0≡b şi Λ∈σ atunci procesul X este un martingal continuu.

Reciproca este adevărată: în condiţii bine stabilite de integrabilitate şi măsurabilitate

orice martingal continuu poate fi scris în forma ∫+t

ss dBx0

φ .

Fie X un proces Itô, tttt dBdtbdX σ+= , atunci având în vedere de condiţiile

de integrabilitate putem defini ∫ ∫∫ +=t t

sss

t

ss

def

ss dBdsbdX0 00

σθθθ .

Croşetul unui proces Itô. Fie Z un martingal continuu de pătrat integrabil,

( ) ∞<2sup tt ZE . Se poate demonstra că există un proces crescător continuu A astfel

încât ( )0,2 ≥− tAZ tt este un martingal. Procesul A se numeşte “croşetul” lui Z şi

notăm tt ZZA ,= sau

tt ZA = .

Demonstraţie. Se are în vedere descompunerea următoare:

( )∑ ∧∧ −+=+

2220

21 kk ttttt ZZZZ = ( )( )∑ ∑ ∧∧∧∧∧ −+−+

+++

2220 111

2kkkkk tttttttttt ZZZZZZ

t

t

ss AdZZZ ++→ ∫0

20 2

Observaţie. Croşetul unei mişcări browniene este t . Croşetul unei integrale stochastice

∫=t

sst dBM0

θ este ∫t

s ds0

2θ . Croşetul a două martingale locale continue este dat de

formula: ( )tttt

NNMMNMNMNM ,,,21, −−++= . Croşetul a două

integrale stochastice ∫+=t

sst dBHxX0

, ∫+=t

sst dBKyY0

este definit prin

∫=t

sstdsKHYX

0

, .

Propoziţia 3.5. Croşetul a două martingale continue M şi N este egal cu

variaţia pătratică a acestor procese şi este dat de formula

( )( )∑=

−−=++

n

ittttt iiii

NNMMNM1

11lim, .

Observaţie. Dacă P şi Q sunt două probabilităţi echivalente atunci croşetul lui

M în raport cu P este egal cu croşetul lui M în raport cu Q . Spunem că două

71

martingale continue sunt ortogonale dacă croşetul lor este nul sau dacă produsul lor este

un martingal.

Extindem definiţia croşetului pentru cazul proceselor Itô în felul următor: dacă

( ) ( ) ( ) iiii dBtdttbtdX σ+= , 2,1=i sunt două procese Itô atunci croşetul lor este prin

definiţie croşetul martingalelor corespunzătoare. Croşetul unui proces Itô X este dat de

formula: ∫==t

stt dsXA0

2σ .

Observaţie. Spunem că două mişcări browniene sunt corelate dacă croşetul lor este

t ρ . O mişcarea browniană poate fi caracterizată ca un martingal continuu de medie 0

şi de croşet t .

3.1.4. Lema lui Itô

Formula lui Itô a apărut ca o necesitate de a stabili o regulă de derivare a

expresiilor de forma ( )( )tBf , unde ( )xf este o funcţie diferenţiabilă. Dacă ( )tB ar fi

diferenţiabilă atunci conform regulii de derivare a funcţiilor compuse rezultă:

( )( ) ( )( ) ( )tBtBftBft

′′=∂∂ ,

sau în formă diferenţială: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )tdBtBfdttBtBftBdf ′=′′= .

Dar, ( )tB nu este diferenţiabilă şi în particular are variaţii pătratice diferite de 0, prin

urmare formula corectă mai conţine un termen:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )dttBftdBtBftBdf ′′+′=21 , unde ( ) ( )tdBtdBdt = .

Integrând obţinem:

Propoziţia 3.6. (formula lui Itô sau formula de schimbare a variabilelor). Fie

tB o mişcare browniană şi f o funcţie definită pe R cu valori în R , de clasă 2C .

Atunci ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ′′+′=−t t

ssst dsBfdBBfBfBf0 0

0 21 .

Observaţie. Comparând această formulă cu teorema fundamentală de calcul:

( ) ( ) ( )∫ ′=−t

dssfftf0

0 , se observă că în formula lui Itô apare şi un termen de ordinul

72

doi. Demonstraţia formulei lui Itô are la bază teorema lui Taylor. Prima integrală din

membrul drept este o integrală Itô iar a doua este o integrală Riemann.

Fie X un proces Itô definit prin ecuaţia tttt dBdtbdX σ+= . Atunci:

Generalizare (formula lui Itô). Fie f o funcţie definită pe R cu valori în R ,

de clasă 2C cu derivata mărginită. Atunci

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ′′+′+=t t

sssst dsXfdXXfXfXf0 0

20 2

1 σ

sau altfel scris

( ) ( ) ( ) dtXfdXXfXdf ttttt2

21 σ′′+′= . (1)

Demonstraţie. Cum ( ) ( ) ( )∑ ++=

10 ktt XfXfXf rezultă

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )kkkkkkkkkk tttttttttt XXoXXXfXXXfXfXf −+−′′+−′=−

++++ 1111

2

21

şi trecem la limită.

Formula (1) poate fi rescrisă astfel:

( ) ( ) ( ) ( ) tttttttt dBXfdtXfdtbXfXdf σσ ′+′′+′= 2

21 . Aplicând croşetul obţinem

relaţia: ( ) ( ) ( ) ( ) tttttttt dBXfXdXfdtbXfXdf σ′+′′+′=21 .

Observaţie. Formula este uşor de reţinut în forma:

( ) ( ) ( ) tttttt dXdXXfdXXfXdf ⋅′′+′=21 ,

dacă ţinem cont de formula lui Taylor şi de regulile de calcul: 0=⋅ dtdt , 0=⋅ tdBdt ,

dtdBdB tt =⋅ .

Exemplu. Fie tB o mişcare browniană, 22tBX tt σσ −= şi ( ) xexf = . Atunci

tBXtt

2σσ == , ( ) ( ) xexfxf =′′=′ şi

∫∫∫∫ +=+−+=−t

sX

tX

tX

t

sXB dBedsedsedBee sssst

00

2

0

2

0

2 121

21

211

2

σσσσσσ .

73

Aplicaţii: 1. Calculăm ( )( )tXfE şi ( )( )stXfE F în condiţiile în care f ′ şi σ

sunt mărginite.

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

′′+′+= ∫

t

sssst dsXfbXfEXfEXfE0

20 2

1 σ =

= ( )( ) ( ) ( ) dsXfbXfEXfEt

ssss∫

′′+′+

0

20 2

1 σ .

Analog obţinem ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

′′+′+= ∫

t

suuusst duXfubXfEXfXfE s2 FF

21 σ =

= ( ) ( ) ( ) ( ) duXfubXfEXft

ssuuus ∫

′′+′+ F2

21 σ .

2. ( )∫ −=t

tss tBdBB0

2

21

3. ( ) ( )

+= dtdXXXd tttt

2

21expexp σ

4. tXt xeS = , unde tt WtX σσµ +

−= 2

21 , reprezintă soluţia unică a ecuaţiei

( )ttt dWdtSdS σµ += ,

Propoziţia 3.7. Fie ( ) ( )∫ ∫++=t t

ssst dBXdsXbXX0 0

0 σ unde b şi σ sunt

funcţii mărginite definite pe R cu valori în R . Dacă f este o funcţie de clasă 2C definită pe R cu valori în R , cu derivatele mărginite, verificând relaţia:

( ) ( ) ( ) ( ) 021 2 =′′+′ xfxxfxb σ pentru orice x atunci procesul ( )Xf este un martingal.

Demonstraţie. Se aplică formula lui Itô.

Observaţie. 1. Funcţia f este numită funcţie scară şi este definită prin

( ) ( ) ( )∫ ∫

−=

x

c

u

c

dudvvvbxf 2/2exp σ .

74

2. Operatorul L aplicat unei funcţiei f din 2C stabileşte relaţia

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxxfxbxf ′′+′= 2

21σL . Operatorul L este generatorul infinitezimal al

procesului de difuzie X . L verifică relaţia ( ) ( )( ) ( )t

xfXfExf tx

t

−=

→0limL .

Propoziţia 3.8. Fie f o funcţie definită pe RR ×+ de clasă 1C în raport cu t ,

de clasă 2C în raport cu x , cu derivatele mărginite, atunci are loc relaţia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dsXsfdXXsfdsXsfXfXtf ss

t

xxss

t

xs

t

tt2

0000 ,

21,,,0, σ∫∫∫ ′′+′+′+= .

Observaţie. Relaţia precedentă poate fi rescrisă astfel:

( ) ( ) ( ) ( ) ttxttxxttt dXXtfdtXtfXtfXtdf ,,21,, 2 ′+

′′+′= σ =

( ) ( ) ( )ttxxttxtt XdXtfdXXtfdtXtf ,

21,, ′′+′+′= .

Aplicaţie. 1. Fie X un proces stochastic:

( ) ( ) s

t

s

t

st dBXsdsXsbXX ∫∫ ++=00

0 ,, σ .

Dacă f este o funcţie definită pe RR ×+ cu valori în R astfel încât xf ′ σ este

mărginită şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,21,,, 2 =′′+′+′ xtfxtxtfxtbxtf xxxt σ atunci ( )( )0,, ≥tXtf t este

un martingal.

Operatorul L definit pe funcţiile din 2,1C prin

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )xtfxtxtfxtbxtf xxx ,,21,,, 2 ′′+′= σL

este generatorul infinitezimal al procesului de difuzie.

Dacă f este o funcţie definită pe RR ×+ cu valori în R astfel încât xf ′ σ este

mărginită şi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xtrfxtfxtxtfxtbxtf xxxt ,,,21,,, 2 =′′+′+′ σ (2)

75

atunci ( )( )0,, ≥− tXtfe trt este un martingal. In acest caz

( ) ( )( )tTrT

trt XTfeEXtfe F,, −− = .

Dacă f verifică relaţia ( ) ( )xhxTf =, şi este soluţie a ecuaţiei (2) atunci

( ) ( )( )tTrT

trt XheEXtfe F−− =, .

2. Fie X un proces stochastic (o mişcare browniană geometrică) astfel încât

( )ttt dBrdtXdX σ+= , unde r şi σ sunt două constante. Atunci procesul

( )0, ≥− tXe trt este un martingal. Este suficient să observăm că ( ) tt

rtt

rt dBXeXed σ−− =

şi să verificăm condiţiile de integrabilitate. Soluţia ecuaţiei ( )ttt dBrdtXdX σ+= ,

xX =0 , unde r şi σ sunt două constante este

−+= tBrtxX tt

2

21exp σσ . Spunem

că X este o mişcare browniană geometrică sau un proces log-normal.

3. Fie X un proces stochastic definit prin ecuaţia ( ) ( )( )ttt dBtdttbXdX σ+= unde b

şi σ sunt funcţii. Atunci procesul ( )

≥

− ∫ 0,exp

0

tXdssb t

t

este un martingal.

Cazul multidimensional

Propoziţia 3.9. Fie ( )2,1, =iX i două procese Itô definite prin ecuaţiile:

( ) ( ) ( ) tiii dBtdttbtdX σ+= .

Fie f o funcţie de clasă 2C definită pe 2R cu valori în R . Atunci are loc relaţia:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )tdXtXtXftdXtXtXftXtXdf 2212121121 ,,, ′+′= +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )dttXtXtfttftf 2122222112

2111 ,2

21 σσσσ ′′+′′+′′ ,

unde if ′ este derivata în raport cu ix , 2,1=i şi ijf ′′ derivata de ordinul doi în raport cu

ji xx , .

In formă restrânsă putem scrie:

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )∑∑ ′′+′== ji

jiijii

i dttXtXftdXtXtXftXXdf,

2121

2

121 ,

21,, σσ .

76

Formula lui Itô implică formula de integrare prin părţi:

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dttttdXtXtdXtXtXXd 21122121 σσ++= ,

unde cantitatea ( ) ( )tt 21 σσ corespunde croşetului ( ) ( )∫=t

tdsssXX

02121 , σσ .

Propoziţia 3.10. Fie ( )2,1, =iX i două procese Itô astfel încât

( ) ( ) ( ) ( )tdBtdttbtdX iiii σ+= , unde 1B şi 2B sunt două mişcări browniene

independente. Atunci are loc formula:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )+′+′= tdXtXtXftdXtXtXftXtXdf 2212121121 ,,,

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]dtttXtXfttXtXf 222122

212111 ,,

21 σσ ′′+′′+ .

Cazul general: Fie ( )0, ≥tX i un proces Itô multidimensional, compus din procesele

( )( )nitX i ≤, astfel încât tttt dBvdtudX += . Altfel spus:

+

=

ppnpp

p

p

nn dB

dBdB

vvv

vvvvvv

dt

u

uu

dX

dXdX

.........

...........................

.........2

1

,2,1,

,22,21,2

,12,11,1

2

1

2

1

.

Fie f o funcţie de clasă 2,1C definită pe nRR ×+ . Atunci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑==

′′+′+′=n

jijitijit

n

iittt tdXtdXXtftdXXtfdtXtfXtdf

1,1

,21,,, ,

unde dtdBdB ijji δ= , 0=dtdBi , 0=dtdt .

Propoziţia 3.11. Fie ( )2,1, =iX i două procese Itô astfel încât

( ) ( ) ( ) ( )tdBtdttbtdX iiii σ+= , unde 1B şi 2B sunt două mişcări browniene corelate cu

coeficientul de corelaţie ρ . Atunci are loc relaţia:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )+′+′= tdXtXtXftdXtXtXftXtXdf 2212121121 ,,,

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]dtttXtXftttXtXfttXtXf 222122212112

212111 ,,2,

21 σσρσσ ′′++′′+ .

Observaţie. In acest caz regula de înmulţire se modifică dtdBdB ρ=21 .

77

Aplicaţie. Fie 1B şi 2B două mişcări browniene corelate, şi fie 3B definită prin

relaţia ( )12231

1 BBB ρρ

−−

= . Fie ( ) ( )

−= ttBtM ii

2

21exp, λλλ . Aceste procese

sunt martingale pentru orice λ şi are loc relaţia ( ) ( ) ( )tdBtMtdM iii λ= . De unde, având

în vedere faptul că, mişcările browniene 3B şi 1B au croşetul nul, obţinem

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )tMtdMtdMtMtMMd 313131 += . Acest produs este un martingal, ceea ce

implică ( ) ( )( )( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( )tBEtBEtBtBE 3131 expexpexp µλµλ =+ , de unde obţinem

independenţa mişcărilor browniene 3B şi 1B . Pentru a obţine independenţa proceselor

utilizăm expresia ( ) ( ) ( ) ( )

−= ∫∫

tt

ii dsssdBstM0

2

0 21exp λλ .

3.1.5. Formula Black-Scholes

Fie S preţul unui activ cu risc de pe o piaţă financiară . Preţul activului este

modelat de ecuaţia:

( )( )tbBSdBSdsSbSS ts

t

s

t

st 2exp 20

000 σσσ −+=++= ∫∫ ,

unde B este o mişcare browniană iar b şi R∈σ . Fie 0>T , timpul de maturitate.

Studiem funcţia ( )TSh care reprezintă câştigul obţinut în urma investiţiei pe piaţa

financiară. Considerăm ca instrument financiar opţiunea call europeană, atunci

( ) ( )+−= Kxxh .

Construim un portofoliu, dependent de timp, compus din opţiunea call şi tβ părţi din

activul cu risc.Valoarea portofoliului este dată de formula tttt SCV β+= , unde

( )tt StCC ,= reprezintă preţul opţiunii call. Presupunem că portfoliul este cu

autofinanţare, adică verifică relaţia: tttt dSdCdV β+= . Aplicând formula lui Itô

obţinem:

( ) ( ) ( ) ( ) ttttttt

tttttt dBStxCSSdtSt

xCS

SttCSt

xCbSSbdV

∂∂

++

∂∂

+∂∂

+∂∂

+= ,,2

,, 2

222

σσβσ

β

78

Rezultă că portofoliul este fără risc dacă ( ) 0, =∂∂

+ tttt StxCSS σσβ sau ( )tt St

xC ,∂∂

=β .

In aceste condiţii ( ) ( ) dtStxCS

SttCdV t

ttt

∂∂

+∂∂

= ,2

, 2

222σ.

Portofoliul are randamentul r dacă dtrVdV tt = sau ( )dtSCrdSdC tttttt ββ +=+ .

Inlocuind tβ prin valoarea sa obţinem :

( ) ( ) ( ) ( ) 0,,2

,, 2

222

=−∂∂

+∂∂

+∂∂

ttt

ttt StrCStxCS

SttCSt

xCrS

σ,

cu condiţia terminală ( ) ( )TT ShSTC =, . Cum tS este o variabilă aleatoare cu valori în

+R rezultă C satisface ecuaţia ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,2

,, 2

222

=−∂∂

+∂∂

+∂∂ xtrCxt

xCxxt

tCxt

xCrx σ cu

condiţia terminală ( ) ( )xhxTC =, .

In cazul opţiunii call europene ( ) ( )+−= Kxxh ecuaţia devine:

( ) ( ) ( ) ( )21, dErfKedxErfxtC tTr −−−= ,

unde Erf reprezintă funcţia eroare a lui Gauss

( ) duexErfx

u∫∞−

−= 22

21π

, ( )( )

tTKxed

tTr

−+=

−

σln

21

1 şi tTdd −−= σ12 .

Analog se procedează în cazul dublării portofoliului format din tα părţi ale unui

activ fără risc rtt

st eSdsSrSS 00

0

00

0 =+= ∫ şi tγ părţi ale unui activ cu risc. Valoarea

portofoliului la momentul t este dată de formula ttttt SSV γα += 0 şi ipoteza de

autofinanţare este asigurată de relaţia: ttttt dSdSdV γα += 0 .

Punem condiţia ( )tt StCV ,= . Printr-o grupare a termenilor în expresiile tdV şi

respectiv tdC obţinem:

( ) σσγ tttt SStxCS ,∂∂

= sau ( )tt StxC ,∂∂

=γ

79

deoarece

( ) ( ) ( ) ( )tt

ttttttttttt StxCS

SttCSt

xCbSSbrSSt

xCSrS ,

2,,, 2

22200

∂∂∂

+∂∂

+∂∂

=+=∂∂

+ γαα

Dar ( )ttttt StCSS ,0 =+ γα , de unde rezultă ( ) ( )ttttt StxCSStCS ,,0

∂∂

−=α şi regăsim

ecuaţia:

( ) ( ) ( ) ( ) 0,,2

,, 2

222

=−∂∂

+∂∂

+∂∂

ttt

ttt StrCStxCS

SttCSt

xCrS

σ,

cu condiţia terminală ( ) ( )TT ShSTC =, .

In cazul opţiunii call europene avem ( ) ( ) ( ) ( )21, dErfKedxErfxtC tTr −−−= , unde

( ) duexErfx

u∫∞−

−= 22

21π

, ( )( )

tTKxed

tTr

−+=

−

σln

21

1 şi tTdd −−= σ12 .

De asemenea putem calcula ( ) ( )1, dErfStxC

tt =∂∂

=γ care reprezintă un factor de

acoperire a pieţei.

Observaţie. Folosind formula lui Itô se poate stabili o formulă probabilistă pentru

determinarea preţului opţiunii call ( ) ( ) ( )( )tTTtr

t KSEeStC F+− −=, .

3.2. Ecuaţii diferenţiale stochastice

3.2.1. Teorema de existenţă şi unicitate a soluţiei

Definiţia 3.6. O ecuaţie diferenţială stochastică este o ecuaţie de forma

( ) ( )∫∫ ++=t

ss

t

st dBXsdsXsbxX00

,, σ , (3)

sau în forma restrânsă:

( ) ( )

=+=

xXdBXtdtXtbdX tttt

0

,, σ

unde B este o mişcare browniană.

Observaţie. In această ecuaţie necunoscuta este procesul stochastic X .

80

Definiţia 3.7. Fie date b şi σ două funcţii definite pe nRR ×+ cu valori reale.

Fie dat spaţiul probabilistic ( )P,,FΩ înzestrat cu o filtrare ( )tF şi o ( )tF -mişcare

browniană B . O soluţie a ecuaţiei (3) este un proces stochastic X , continuu,

( )tF -adaptat care verifică egalitatea ( ) ( )∫ ∫++=t t

ssst dBXsdsXsbxX0 0

,, σ P -aproape

sigur pentru orice t . Integralele ( )dsXsbt

s∫0

, şi ( )∫t

ss dBXs0

,σ au acelaşi semn.

Fie tB o mişcare browniană. Demonstrăm existenţa şi unicitatea soluţiei unei

ecuaţii diferenţiale stochastice de forma:

( ) ( ) tttt dBXdtXbdX σ+= , xX =0 .

Existenţa. Fie ( ) xtX =0 pentru orice t şi fie

( ) ( )( ) ( )( )∫ ∫++=+

t t

siii dBsXdssXbxtX0 0

1 σ .

Fie 0t arbitrar, fixat. Demonstrăm existenţa (şi unicitatea) până la momentul arbitrar 0t .

Are loc următoarea inegalitate:

( ) ( ) ( ) ( )222

2

00

221

21 ttxcdsxbdsxxctEX

tt

++≤

++≤ ∫∫σ .

Cum ( ) 222 22 yxyx +≤+ rezultă:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) +

−≤− ∫ −

≤+

≤

2

01

21 sup2sup s

r

iitr

iitr

dBsXsXErXrXE σσ

( )( ) ( )( )( )

−+ ∫ −

≤

2

01sup2 dssXbsXbE

r

iitr

.

Aplicând inegalitatea lui Doob, primul termen din membrul drept al inegalităţii este

mărginit de

( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ≤−=

− ∫∫ −−

t

ii

t

sii dssXsXEdBsXsXE0

21

2

01 88 σσσσ

81

( ) ( )∫ −−≤t

ii dssXsXEc0

213 .

Al doilea termen din membrul drept este mărginit de

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∫ −−− −≤−≤

−

t

ii

t

ii

t

ii dssXsXEcdssXbsXbEtdssXbsXbE0

214

0

210

2

01 22

unde pentru prima inegalitate am aplicat inegalitatea lui Hölder.

Fie ( ) ( ) ( ) 21sup rXrXEtg ii

tri −

≤−= . Fie a suficient de mare astfel încât pentru 0tt ≤ au

loc inegalităţile: ( ) atg ≤1 şi ( ) ( )∫≤+

t

ii dssgatg0

1 .

Deci, ( ) ∫ =≤t

taadsatg0

22 , ( ) ∫ =≤

t

tasdsaatg0

2323 2 şi prin inducţie obţinem

( ) ( )!11 −≤ − itatg iii . Cum ( )( ) ( )( ) ∞<−≤ ∑∑ − 21121 !1 itatg ii

i atunci pentru m şi n

suficient de mari, expresia ( ) ( )21

2sup

−

≤sXsXE nm

tspoate lua o valoare mică. Prin

urmare există tX astfel încât ( ) 0sup 2 →−≤

tnts

XsXE pentru ∞→n . Cum iX este

continuă în t rezultă tX este continuă. Trecând la limită în relaţia

( ) ( )( ) ( )( )∫ ∫++=+

t t

siii dBsXdssXbxtX0 0

1 σ

rezultă că pentru ∞→i tX verifică ecuaţia ( ) ( )∫∫ ++=t

ss

t

st dBXdsXbxX00

σ .

Unicitatea. Fie tX şi tX ′ două soluţii ale ecuaţiei ( ) ( )∫∫ ++=t

ss

t

st dBXdsXbxX00

σ .

Fie ( ) 2sup rrtr

XXEtg ′−=≤

. Există 0>a astfel încât ( )tg este mărginită de a şi are loc

inegalitatea ( ) ( )∫≤t

dssgatg0

. Atunci ( ) ∫ =≤t

taadsatg0

2 , ( ) 223

0

2 tasdsaatgt

=≤ ∫ ,

etc. Astfel ( ) ( ) 0!11 →−≤ −− itatg ii sau ( ) 0=tg .

82

Teorema de existenţă. A. Fie b şi σ două funcţii continue;

B. există K astfel încât pentru orice [ ]Tt ,0∈ , Ryx ∈, au loc relaţiile:

1. ( ) ( ) ( ) ( ) yxKytxtytbxtb −≤−+− ,,,, σσ

2. ( ) ( ) ( )2222 1,, xKxtxtb +≤+ σ

C. condiţia iniţială 0X este independentă de ( )0, ≥tBt şi este de pătrat integrabilă ,

atunci pentru Tt ≤ există o soluţie unică a ecuaţiei (3) cu traiectorii continue. Mai

mult această soluţie verifică relaţia ∞<

≤≤

2

0sup t

TtXE .

Propoziţia 3.12. Fie ρ o funcţie boreliană definită pe ( )∞,0 cu valori în

( )∞,0 astfel încât integrala funcţiei 1−ρ este divergentă în vecinătatea lui 0. Dacă

( ) ( ) ( )yxysxs −≤− ρσσ 2,, şi b este lipchitziană, adică ( ) ( ) yxKysbxsb t −≤− ,,

pentru orice yx, din R şi ts ≤ atunci există o soluţie unică a ecuaţiei (3).

Proprietatea Markov

Fie ( )tsX xts ≥,, soluţia ecuaţiei (3) – procesul se află în starea x la momentul

t . Aceasta are forma

( ) ( ) u

s

t

xtu

s

t

xtu

xts dBXuduXubxX ∫∫ ++= ,,, ,, σ .

In condiţiile teoremei de existenţă putem scrie x

tXts

xs XX

,0,,0 = , ts ≤ ceea ce afirmă că

soluţia ecuaţiei (3) este un proces Markov în raport cu filtrarea tF :

( )( ) ( )( ) ( )ttsts XtsXXfEXfE ,,Φ==F , unde ( ) ( )( )xtsXfExts ,,, =Φ , ts ≥ .

Acest rezultat permite calcularea mediei condiţionate.

In particular. dacă ( ) ( )∫∫ ++=s

tu

xtu

s

t

xtu

xts dBXduXbxX ,,, σ obţinem un proces Markov

omogen

( )( ) ( )( ) ( ) ( )tttsts XtsXtsXXfEXfE ,,, −Ψ=Φ==F ,

unde ( ) ( )( ) ( )( )xts

xts XfEXfExts ,0,,, −==Φ şi ( ) ( )( )x

uXfExu ,0, =Ψ .

83

Observaţie. O pereche de variabile aleatoare ( )YX , poate fi markoviană fără ca fiecare

componentă să fie markoviană.

Teorema de comparaţie. Fie ( ) ( )( ) ( )( ) tiiii dWtXdttXbtdX σ+= , 2,1=i unde

ib este lipschitziană şi ( ) ( )[ ] yxkyx −≤− 2σσ . Presupunem ( ) ( )00 21 XX ≥ şi

( ) ( )xbxb 21 ≥ . Atunci ( ) ( )tXtX 21 ≥ .

Exemple: Martingale exponenţiale

Propoziţia 3.13. Fie θ din Λ şi 0Z o constantă. Soluţia ecuaţiei

tttt dBZdZ θ= este

−= ∫ ∫

t t

ssst dsdBZZ0 0

20 2

1exp θθ . Mai mult, dacă

∞<

∫T

s dsE0

2

21exp θ procesul ( )TtZt ≤, este un martingal al cărui medie este 0Z .

Demonstraţie. Din definiţie Z este un martingal local. Aplicând formula lui Itô

verificăm faptul că

−= ∫ ∫

t t

ssst dsdBZZ0 0

20 2

1exp θθ este soluţia ecuaţiei date.

Notând ∫ ∫−=t t

ssst dsdBU0 0

2

21 θθ obţinem relaţia dtdBdU tttt

2

21θθ −= ,de unde rezultă

( ) ttttttt dBZdtdUUdZ θθ =

+= 2

21exp .

Observaţie. Procesul Z , notat prin ( )tBθE este numit exponenţiala lui Doléans-Dade .

Dacă 0Z este strict pozitivă atunci acest proces este un martingal local pozitiv. Relaţia

∞<

∫T

s dsE0

2

21exp θ este numită condiţia lui Novicov. In această condiţie

( ) 0ZZE T = şi ( )TtZt ≤, este un martingal. Dacă această condiţie nu este verificată

atunci procesul ( )TtZt ≤, este un martingal local pozitiv deci un supermartingal şi

( ) 0ZZE T ≤ .

Propoziţia 3.14. Fie f astfel încât ( ) ( ) yxCytfxtf −≤− ,, şi

( ) Csf ≤′ 0,sup . Atunci ( ) ( )∫ ∫−t t

sss dsBsfdBBsf0 0

2,21, este un martingal.

84

3.2.2. Ecuaţii cu derivate parţiale

Fie b şi σ două funcţii date, definite pe [ ] RT ×,0 cu valori în R , verificând

ipotezele teoremei de existenţă. Fie A un operator definit pentru funcţiile de clasă 2,1C

prin expresia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xtxtfxtbxtfxtfxtAf xxxt ,,21,,,, 2σ′′+′+′= .

Fie ( )tuX txu ≥,, procesul Itô definit prin

( ) ( )∫ ∫++=u

t

u

ts

txs

txs

txt

txu dBXsdsXsbXX ,,,, ,, σ , tu ≥ (4),

cu starea iniţială în t dată de relaţia xX txt =, .

Observaţie. ( ) ( ) ( )xtfxtfxtAf t ,,, L+′= , unde L este operatorul infinitezimal a lui X .

Problema parabolică

Căutăm soluţiile problemei parabolice

( )( ) ( )

==

xgxTfxtAf

,0,

, pentru orice x din R şi t din [ ]T,0 ,

unde g este o funcţie definită pe R cu valori în R .

Dacă f este o soluţie a problemei parabolice şi X este o soluţie a ecuaţiei (4) formula

lui Itô conduce la relaţia :

( ) ( ) ( ) ( ) s

u

t

txs

txsx

txu dBXsXsfxtfXuf ∫ ′+= ,,, ,,,, σ .

în particular, pentru T avem ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s

T

t

txs

txsx

txT

txT dBXsXsfxtfXgXTf ∫ ′+== ,,,, ,,,, σ şi

dacă integrala este un martingal obţinem ( ) ( )( )txTXgExtf ,, = .

Propoziţia 3.15. In condiţii de regularitate soluţia problemei parabolice

( )( ) ( )

==

xgxTfxtAf

,0,

, pentru orice x din R şi t din [ ]T,0 ,

85

unde g este o funcţie definită pe R cu valori în R , este ( ) ( )( )txTXgExtf ,, = iar txX ,

este procesul Itô definit prin ( ) ( )∫ ∫++=u

t

u

ts

txs

txs

txt

txu dBXsdsXsbXX ,,,, ,, σ , tu ≥ cu

condiţia iniţială în t dată de xX txt =, .

Generalizare

Fie α o constantă pozitivă. Determinăm soluţia problemei parabolice:

( ) ( )xtfxtAf ,, α= , pentru orice x din R şi t din [ ]T,0 (5)

( ) ( )xgxTf =, .

Dacă f este soluţie a ecuaţiei (5) şi X este soluţie a ecuaţiei (4) atunci formula lui Itô

implică următoarea relaţie:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) stx

s

T

t

txsx

txT dBXssXsftxtfTXTf ,,, ,exp,exp,exp, σααα −′+−=− ∫

şi dacă integrala este un martingal obţinem ( ) ( )( ) ( )( )txTXgtTExtf ,exp, −−= α . Având

în vedere caracterul markovian are loc şi relaţia

( ) ( )( ) ( )( )xXXgtTExtf TT =−−= αexp, ,

unde ( ) ( )∫ ∫++=s s

uuus dBXuduXubXX0 0

0 ,, σ .

Propoziţia 3.16. Soluţia problemei

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xtxtfxtbxtfxtfxtf xxxt ,,21,,,, 2σα ′′+′+′=

( ) ( )xgxTf =,

este ( ) ( )( ) ( )( )Ttx XgtTExtf −−= αexp, , .

86

Formula Black-Scholes

Evaluarea unei opţiuni europene revine la determinarea soluţiei ecuaţiei cu

derivate parţiale:

( ) ( ) ( ) ( ) 0,,21,, 2

222 =−

∂∂

+∂∂

+∂∂ xtrCxt

xCxxt

tCxt

xCxr σ , 0≥x unde ( ) ( )+−= KxxTC , .

Fie S un proces cu valori în +R . Soluţia unei astfel de ecuaţii este:

( ) ( ) ( )( )+−− −= KSeExtC txT

tTr ,, ,

unde ( )utx

utx

u dBrduSdS σ+= ,, şi xS txt =, .

Cum ( ) ( )( )tTrGtTtxT xeS −−+−= 2, 2σσ , unde G este un gaussian, atunci pentru 0=t valoarea

medie se calculează astfel:

( )( ) ( )( )( ) =≥−=− −≥

−+− KSPKeSeEKSeE TrT

KSx

TrTx

TrT

T1

( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )xKTrGTPKeexEe rT

xKTrGTTrGTrT ln22

ln22

2

2

≥−+−= −≥−+

−+− σσσσ

σσ 1

Observaţie. Calculul de mai sus permite calcularea factorului delta, adică variaţia

preţului unei opţiuni la o variaţie de un punct a preţului activului de bază.

Formula lui Feyman-Kac

Propoziţia 3.17. Fie k o funcţie continuă definită pe R cu valori în +R şi fie

g o funcţie continuă definită pe R cu valori în R astfel încât:

( ) ∞<+∫∞

∞−

− dyeyxg y α2 , pentru orice x din R şi 0>α .

Atunci funcţia f definită prin ( ) ( ) ( )

−−= ∫∫

∞ t

stx dsBktBdtgExf00

exp α este unica

soluţie din 2C mărginită de ( ) gffk +′′=+21α .

Demonstraţie. Considerăm procesul cu variaţie mărginită ( )0, ≥tZt definit prin

( )∫+=t

st dsBktZ0

α . Aplicând lema lui Itô procesului:

87

( ) ( ) dseBgeBfU st Zt

sZ

t

def

t−− ∫+=

0

,

unde f este o funcţie de clasă 2C obţinem relaţia:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) dteBgBfBkBfdBeBfdU tt Zttstt

Ztt

−−

++−′′+′= α

21 .

Procesul U este un martingal dacă termenul cu variaţie finită este nul adică, dacă

( ) ( )( ) ( ) ( ) 021

=++−′′ xgxfxkxf α . Se observă apoi că ( ) ( ) ( )xfxuBu == ,0,0 0 şi se

verifică relaţia ( )( ) 0→− tZt eBfE . Condiţiile de pozitivitate pentru α şi k şi de

mărginire pentru g garantează existenţa unei soluţii continue şi mărginite a ecuaţiei

diferenţiale.

Modele financiare

Fie tB o mişcare browniană şi fie tS o acţiune sau un alt instrument financiar

cu risc. Fie tttt dBSdtSdS σµ += ecuaţia care modelează comportamentul acestui

instrument financiar, altfel spus modificarea relativă a valorii acţiunii este o mişcare

browniană cu derivă tt

t dBdtS

dSσµ += . Aplicând formula lui Itô se verifică faptul că

soluţia ecuaţiei diferenţiale stochastice are forma: ( )( )tBt

teSS 20

2σµσ −+= .

De asemenea, presupunem existenţa unei obligaţiuni fără risc tβ , a cărei

ecuaţie este dtrd tt ββ = de unde rezultă rtt e0ββ = .

Presupunem că la momentul t cumpărăm un număr de a acţiuni, atunci preţul

acestora la momentul t este taS . Dacă la momentul ht + vindem pachetul format din

cele a acţiuni obţinem un profit egal cu ( )tht SSa −+ , unde htaS + reprezintă suma

obţinută pe cele a acţiuni la momentul ht + . In cazul vânzării short, 0<a , formula

pentru profit este aceeaşi.

Presupunem că la momentul it deţinem un pachet format din ia acţiuni şi

păstrăm pachetul până la momentul iit + . Profitul net total pe întreaga perioadă este

88

( )∑−

=

−+

1

01

n

itti ui

SSa . Pentru ti aa = şi 1+<≤ ii ttt profitul net total coincide cu integrala

stochastică ∫t

tt dSa0

. Se poate presupune că ia depinde de toate informaţiile până la

momentul it , adică de it

F . Dacă presupunem cazul ideal în care tranzacţiile sunt

continue şi dacă ta este adaptat atunci profitul net obţinut în urma tranzacţionării

pachetului de acţiuni este ∫t

ss dSa0

. Analog profitul net obţinut în urma tranzacţionării

obligaţiunilor este ∫t

ssdb0

β .

Perechea ( )ba, se numeşte strategie de trading (de vânzare/cumpărare).

Strategia este cu autofinanţare dacă

∫ ∫++=+=t t

ssssttttt dbdSaVbSaV0 0

0 ββ ,

pentru orice t . Presupunem că tranzacţiile nu necesită plata unor comisioane.

Considerăm cazul opţiunilor call europene: în cazul opţiunilor pe acţiuni, dacă

considerăm că valoarea unui pachet de acţiuni va creşte substanţial, am putea obţine un

profit mai mare dintr-o investiţie mai mică cumparand opţiuni call pe acest pachet de

acţiuni. Aceste opţiuni ne dau dreptul de a cumpăra pachetul de acţiuni la o dată fixată

T cu preţul de exercitare K mai mic decât preţul pieţei. Problema care ne interesează

este legată de evaluarea corectă a preţului unei opţiuni la momentul 0. Dacă la

momentul T , KST ≤ opţiunea nu este utilă. Dacă KST > atunci utilizăm opţiunea

pentru a cumpăra pachetul de acţiuni la preţul de exercitare K , după care vindem

acţiunile la preţul pieţei TS . Astfel profitul realizat este KST − . Deci în cazul

opţiunilor call europene profitul la momentul T este ( ) ( )0,max KSKS TT −=− + .

89

3.3. Exemple de procese Itô

3.3.1. Mişcare browniană geometrică

Considerăm ecuaţia diferenţială stochastică

tttttt dBXdtbXdX σ+= , xX =0 , (6)

unde b şi σ sunt două procese adaptate mărginite. Considerăm cazul coeficienţilor

determinişti. Conform teoremei de existenţă această ecuaţie admite o soluţie unică de

forma:

( ) ( ) ( )

−+∫ ∫ ∫t t t

s dssdBsdssbx0 0 0

2

21exp σσ .

Ecuaţia (6) poate fi scrisă în forma ( ) ( ) tt

t dBtdttbX

dXσ+= .

Observaţie. Martingalul bttt eXM −= este soluţie a ecuaţiei ttt dBMdM σ= .

Propoziţia 3.18. Soluţia ecuaţiei [ ]ttt dBbdtXdX σ+= este

+

−= tt BtbXX

21exp 2

0 σσ

sau

( ) ( )

−+−

−= stst BBstbXX

21exp 2 σσ .

Este uşor de demonstrat faptul că ecuaţia [ ]ttt dBbdtXdX σ+= , xX =0 are soluţie

unică. Fie Y o altă soluţie a ecuaţiei date. Ştim că X nu se anulează atunci

( ) [ ]tt

t dBdtX

Xd 11 σµ −= , unde 2σµ +−= b .

Fie tZ un proces definit prin t

tt X

YZ = . Acest proces verifică ecuaţia diferenţială

( ) ( ) 02 =−+−+= ttt dBdtbZdZ σσσµ ,

adică 0=tdZ , cu soluţia 0ZZt = .

90

3.3.2. Modelul Cox-Ingersoll-Ross

Pentru a determina un model matematic al fluctuaţiei ratei dobânzii se poate

porni de la analiza ecuaţiei diferenţiale stochastice

( ) tttt dBrdtrkdr σθ +−= . (7)

Pentru 0≥θk unica soluţie a ecuaţiei este un proces pozitiv. Nu se poate obţine o

formă explicită a acestei soluţii. Fie xr soluţia ecuaţiei (7), unde xr x =0 . Se poate

demonstra că dacă 0;0inf0 =≥= xt

defx rtT şi 22 σθ ≥k atunci ( ) 10 =∞=xTP . Dacă

220 σθ <≤ k şi 0>k atunci ( ) 10 =∞<xTP iar dacă 0<k atunci ( ) ( )1,00 ∈∞<xTP .

Media variabilei aleatoare tr se poate calcula cu ajutorul formulei

( ) ( )

−+= ∫

t

st dsrEtkrrE0

0 θ , unde integrala stochastică este un martingal.

Propoziţia 3.19. Fie r procesul ce verifică ecuaţia ( ) tttt dBrdtrkdr σθ +−= .

Media condiţionată este dată de formula

( ) ( ) ( )( )stkstksst eerrE −−−− −+= 1θF

iar varianţa condiţionată este dată de formula

( )( ) ( )( ) ( )( )

ke

keerrVar

stkstkstk

sst 21 2222 −−−−−− −

+−

=θσσF .

Demonstraţie. Prin definiţie, pentru ts ≤ are loc relaţia

( ) ∫∫ +−+=t

suu

t

sust dBrdurkrr σθ

şi aplicând formula lui Itô obţinem:

( ) ( )∫ ∫∫ =++−+=t

s

t

su

t

suuuust durdBrdurrkrr 22322 22 σσθ

( ) ( )∫∫∫ +−++=t

suu

t

su

t

sus dBrdurkdurkr 23222 222 σσθ .

91

Având în vedere că mediile integralelor stochastice de mai sus sunt 0, atunci pentru

0=s obţinem relaţiile:

( ) ( )

−+= ∫

t

ut durEtkrrE0

0 θ şi ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −++=t

u

t

ut durEkdurEkrrE0

2

0

220

2 22 σθ .

Fie ( ) ( )trEt =Φ . Pentru a determina soluţia ecuaţiei ( ) ( )

Φ−+=Φ ∫

t

duutkrt0

0 θ o

transformăm într-o ecuaţie diferenţială ( ) ( )( )tkt Φ−=Φ′ θ , pentru care ( ) 00 r=Φ .

Atunci obţinem ( )( ) ( ) ktertrE −−+= θθ 0 .

Analog, introducem ( ) ( )2trEt =ψ şi rezolvând ecuaţia ( ) ( ) ( ) ( )tktkt Ψ−Φ+=Ψ′ 22 2σθ

obţinem ( ) ( ) ( )

−+−= −−− ktktkt

t eerek

rVar 12

1 0

2 θσ .

Media condiţionată a lui r şi varianţa condiţionată a lui r pot fi determinate aplicând

proprietatea Markov. Astfel, obţinem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )stkstks

stksst eererrE −−−−−− −+=−+= 1θθθF

şi

( )( ) ( )( ) ( )( )

ke

keerrVar

stkstkstk

sst 21 2222 −−−−−− −

+−

=θρσF .

Valoarea unei obligaţiuni cu cupon zero

Propoziţia 3.20. Fie ecuaţia diferenţială stochastică

( ) tttt dBrdtrbadr σ+−= .

Atunci ( )tt

T

tu rtGdurE ,exp =

− ∫ F , unde ( ) ( ) ( )( )tTxtTxtG −Ψ−−Φ= exp, ,

( ) ( )( )( ) γγ γ

γ

2112+−+

−=Ψ s

s

eaes , ( )

( )

( )( )

22

2

212

ρ

γ

γ

γγγ

ab

s

sa

eaes

+−+=Φ

+

, 222 2ργ += a .

92

Demonstraţie. Fie txr , soluţia ecuaţiei ( ) stx

stx

stx

s dBrdsrbadr ,,, ρ+−= , pentru care

xr txt =, şi

−= ∫

s

t

txu

ts durR ,exp . Din proprietatea Markov rezultă că există G astfel

încât ( )tt

s

t

txu rtGdur ,exp , =

− ∫ F . Presupunem că G este de clasă 2,1C . Aplicăm

martingalului ( ) ts

txs RrsG ,, formula lui Itô. Obţinem relaţia:

( ) ( ) ( ) ( ) tT

T

ts

txs

txs

txs

ts

tT

txT MMdsrs

xGr

xGrba

tGGrRxtGRrTG −+

∂∂

+∂∂

−+∂∂

+−+= ∫ ,21,, 2

2,2,,, σ

unde tM este o integrală stochastică. Dacă G verifică ecuaţia

( ) 021

2

22 =

∂∂

+∂∂

−+∂∂

+−xGx

xGxba

tGxG σ (8)

şi ( ) 1, =xTG pentru orice x , atunci ( ) tMMrtGRR TtttT −−+= , , unde M este un

martingal. In particular, obţinem relaţiile

( ) ( )xGRREdsrE T

T

s ,0exp 00

==

− ∫ şi ( )xtGdurE

T

t

txu ,exp , =

− ∫ .

Soluţia ecuaţiei cu derivate parţiale (8) este dată de expresia

( ) ( ) ( )( )tTxtTxtG −Ψ−−Φ= exp, ,

unde ( ) ( )( )( ) γγ γ

γ

2112+−+

−=Ψ s

s

eaes , ( )

( )

( )( )

22

2

212

ρ

γ

γ

γγγ

ab

s

sa

eaes

+−+=Φ

+

, 222 2ργ += a .

Observaţie. Dacă notăm cu ( )TtB , valoarea unei obligaţiuni cu cupon zero

atunci ecuaţia diferenţială stochastică este de forma

( ) ( ) ( )( )ttt dBrtTdtrTtBTtdB ,,, −+= σ , unde ( ) ( ) ruru Ψ=σσ , .

93

3.3.3. Procese Bessel

Norma euclidiană a unei mişcări browniene n - dimensionale

Fie 1>n şi fie ( )nBBBB ,...,, 21= o mişcare browniană n -dimensională.

Definim un proces stochastic X prin tt BX = adică ( ) ( )∑=

=n

iit tBX

1

22 . Formula lui

Itô ne conduce la rezultatul următor:

( ) ( )∑=

+=n

iiit ndttdBtBdX

1

2 2 .

Procesul β definit prin

( ) ( )∑=

==n

iii

ttt

tt tdBtB

BdBB

Xd

1

11β , 00 =β

fiind exprimat ca o sumă de martingale, este un martingal continuu iar croşetul său este

t . Atunci β este o mişcare browniană iar egalitatea ( ) ndtdBBXd ttt += 22 poate fi

scrisă sub forma ( ) ndtdXXd ttt += β22 . Aplicând formula lui Itô obţinem

ttt X

dtnddX2

1−+= β ,

unde β este o mişcare browniană. Pentru 2tt XV = rezultă relaţia:

ndtdVdV ttt += β2 .

In condiţiile de mai sus spunem că X este un proces Bessel (BES) de dimensiune n şi

V este un proces Bessel pătratic de dimensiune n (BESQ).

Generalizare

Fie W o mişcare browniană reală. Având în vedere inegalitatea

yxyx −≤− , teorema de existenţă afirmă că pentru orice 0≥δ şi 0≥α

ecuaţia ttt dWZdtdZ 2+= δ , pentru care α=0Z admite o soluţie unică. Soluţia este

cunoscută sub numele de proces Bessel pătratic de dimensiune δ ( δBESQ ) . In

particular, dacă 0=α şi 0=δ soluţia 0≡Z este unică. Din teorema de comparaţie

94

rezultă că, dacă δδ ′≤≤0 iar ρ şi ρ′ sunt procese Bessel pătratice de dimensiuni δ

şi respectiv δ ′ , ce au aceeaşi stare iniţială, atunci tt ρρ ′≤≤0 aproape sigur. In cazul

în care 2>δ procesul Bessel pătratic de dimensiune δ cu starea iniţială α nu va

atinge niciodată starea 0 şi este un proces de tranziţie. Dacă 20 << δ procesul ρ

atinge starea 0 în timp finit şi este reflectat instantaneu. Dacă 0=δ procesul rămâne în

0. Deci Z verifică 0≥tZ pentru orice t .

Definiţia 3.8. Pentru orice 0≥δ şi 0≥α unica soluţie tare a ecuaţiei

∫++=t

sst dWt0

2 ρδαρ

se numeşte proces Bessel pătratic de dimensiune δ cu starea iniţială α , ( δBESQ ).

Definiţia 3.9. Fie ρ un proces Bessel pătratic de dimensiune δ cu starea

iniţială α . Procesul ρ=R se numeşte proces Bessel de dimensiune δ cu cu starea

iniţială α=a ( ( )δBES ) .

Definiţia 3.10. Numărul ( ) 12 −= δν se numeşte indexul procesului Bessel.

Un proces Bessel R cu un index 0≥ν este un proces de difuzie cu valori în +R

al cărui generatorul infinitezimal este dat de expresia

dxd

xdxd

dxd

xdxd

21

21

212

21

2

2

2

2 −+=

++=

δνL .

Deci, pentru orice f din 2cC procesele ( ) ( )∫−

t

st dsRfRf0

L sunt martingale.

Pentru 1>δ un proces Bessel de dimensiune δ verifică relaţia ∞<

∫t

sRdsE

0

şi

este soluţie a ecuaţiei ∫−

++=t

stt ds

RWR

0

12

1δα .

Folosind indexul, ecuaţia de mai sus poate fi rescrisă astfel:

∫

+++=

t

stt ds

RWR

0

121να .

95

Pentru 1=δ procesul Bessel de dimensiune 1 este de forma tttt LBR +== β , unde

B şi β sunt mişcări browniene şi L este timpul local al unei mişcări browniene B .

Pentru 1<δ este necesară introducerea valorii principale a integralei ∫t

sRds

0

. Atunci

∫−

++=t

stt ds

RWR

0

1 v.p.2

1

δα ,

unde valoarea principală este definită prin ( )∫ ∫∞

− −=t

txt

s

dxLLxdsR0 0

021 v.p. δ iar familia

de timpi locali este definită utilizând formula ( ) ( )∫∫∞

−=0

1

0

dxxLxdsR xt

t

sδφφ . Analog,

generatorul infinitezimal al procesului Bessel pătratic ρ este dxd

dxdx δ+= 2

2

2A , deci

pentru orice f din 2KC procesele de forma ( ) ( )∫−

t

st dsff0

ρρ A sunt martingale.

Proprietăţi

Propoziţia 3.21. Dacă ( )0, ≥ttρ este un proces Bessel pătratic de dimensiune

δ a cărui stare iniţială este x , atunci ( )0,1≥t

c ctρ este un proces Bessel pătratic de

dimensiune δ a cărui stare iniţială este cx .

Demonstraţie. Ecuaţia

tdWxt

sst δρρ ++= ∫0

2

implică

tdWccc

xctc

dWcc

xc

t

scs

ct

ssct 1221

0

21

0

δρδρρ +

+=++= ∫∫ .

Fie ctt cu ρ1

= , înlocuind în relaţia precedentă obţinem tWducxu

t

sst ~20

δ++= ∫ , unde

96

≥= 0,1~ tW

cW tct este o mişcare browniană.

Fie ( )++=Ω RRC , spaţiu canonic, fie R aplicaţia canonică definită

prin ( ) ( )tRt ωω = , fie ( )tsRst ≤= ,σR filtrarea canonică şi fie ( )ναP legea de

probabilitate a procesului Bessel de index ν a cărui stare iniţială este α , adică ( ) ( ) 10 == ανα RP .

Notaţie. Legea procesului Bessel pătratic de dimensiune δ cu starea iniţială x (pe

spaţiul canonic ( )++=Ω RRC , ) este notată prin δxQ .

Propoziţia 3.22. Intre procesele ( )νBES , cu indexul 0≥ν şi ( )0BES are loc

relaţia ( ) ( )tx

t

s

ttx P

Rds

xR

P RR 0

02

2

2exp

−

= ∫

ννν , unde ( )νP este legea unui proces

Bessel cu index ν .

Demonstraţie. In raport cu ( )0P , procesul canonic R verifică ecuaţia

dtR

dWdRt

tt 21

+= . Procesul

−

= ∫t

s

tt R

dsxR

L0

2

2

2exp νν

este un ( )0P -martingal

nenegativ. Intr-adevăr, conform formulei lui Itô obţinem ( ) tttt dWRLdL lnν= , prin

urmare procesul L este un martingal local. Se observă că ν

≤

≤≤ xR

L t

Ttt

Ttsupsup . Procesul

2R este un proces Bessel pătratic de dimensiune 2, egal în lege cu procesul 22 ~yt BB +

unde B şi B~ sunt mişcări browniene independente. Prin urmare ktR este integrabil

pentru 2≥k . Procesul R fiind suma dintre un proces crescător şi un martingal este

submartingal. Inegalitatea lui Doob implică ( )kTk

k

tTt

RECRE ≤

≤sup . Din teorema lui

Girsanov rezultă dtR

dRRRddtR

dRt

ttt

t

+−=−−

211ln,

21 νν , deci în raport cu

( ) ( )0xtx PLP =ν se obţine o mişcare browniană.

Notaţie. QP * convoluţia lui P şi Q .

97

Propoziţia 3.23. δδδδ ′++

′ = yxyx QQQ * , altfel spus, suma a două procese Bessel

pătratice independente este un proces Bessel pătratic.

Demonstraţie. Considerăm cazul general. Fie X şi Y două procese Bessel pătratice

independente de dimensiuni δ şi respectiv δ ′ , cu stările iniţiale x , respectiv y .

Fie YXZ += . Atunci ( ) ( )∫ ++′+++=t

sssst dBYdBXtyxZ0

212δδ .

Fie 3B o altă mişcare browniană, independentă de ( )21, BB . Procesul W definit prin

∫∫ => +

+=

t

sZs

sssst

Zt dBZ

dBYdBXW

ss

0

30

21

00 11

este o mişcare browniană şi are loc relaţia: ( ) ∫+′+++=t

sst dWZtyxZ0

2δδ .

Funcţii Bessel

Funcţiile Bessel ( ) ( )∑∞

= ++Γ

=

02

2

1!22 nn

n

nnzzzIν

ν

ν şi ( ) ( ) ( )( )z

zIzIzK

sin2 ππ νν

ν−

= −

verifică ecuaţia diferenţială Bessel: ( ) ( ) ( ) ( ) 0222 =+−′+′′ xuxxuxxux ν .

Densităţi de tranziţie

Fie δxE media în raport cu δ

xQ . Propoziţia 3.23. implică relaţia

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 110

1 expexpexp −−−=−

δδ λρλρλρ ttxtx EEE

şi cum în raport cu 1xQ variabila aleatoare tρ este pătratul unei variabile gaussiene se

poate verifica relaţia: ( )( )

+−

+=−

tx

tE tx λ

λλ

λρ21

exp21

1exp1 .

Atunci

( )( )( )

+−

+=−

tx

tE tx λ

λλ

λρ δδ

21exp

211exp 2 .

98

Procesul Bessel şi procesul Bessel pătratic sunt procese Markov şi densităţile lor de

tranziţie sunt cunoscute. Densitatea de tranziţie ( )νtq a unui proces ( )νBESQ este dată de

expresia

( ) ( )

+−

=

txy

Ityx

xy

tyxqt ν

νν

2exp

21,

2

,

iar procesul Bessel de index ν are densitatea de tranziţie ( )νtp definită prin

( ) ( )

+−

=

txyI

tyx

xy

tyyxpt ν

νν

2exp,

22

,

unde νI este funcţia Bessel de index ν .

Pentru 0=x probabilitatea de tranziţie a unui proces Bessel pătratic de index ν

este dată de formula: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

−+Γ= −+−

tyytyq2

exp12,0 11 ννν ν .

Pentru 0=x probabilitatea de tranziţie a unui proces Bessel de index ν este

dată de formula: ( ) ( ) ( ) ( )( )

−+Γ= +−+−−

tyytyp2

exp12,02

1211 νννν ν .

Pentru un proces Bessel de dimensiune δ au loc următoarele relaţii:

( ) ( ) ( )( )λ

λ

ν

νν

λν

22

bKaK

abeE bT

a

=− , pentru ab <

( ) ( ) ( )( )λ

λ

ν

νν

λν

22

bIaI

abeE bT

a

=− , pentru ba <

Observaţie. Pentru ab < , deoarece ( ) ( ) ( ) ( )bTaba eETP λν

λ

ν −

→=∞<

0lim are loc relaţia

( ) ( )ν

ν2

=∞<

abTP ba . Pentru z în vecinătatea lui 0 are loc relaţia ( ) ( ) ν

ν ν −zczK ~ .

Propoziţia 3.24. ( ) ( ) ( )

−

=

−−

−

∫ 2

02

22 exp

2exp t

tr

t

str aR

rR

ERdsaRE

γνγν µ ,

unde 222 νµγ += .

99

Demonstraţie. Fie ( )0, ≥tRt un proces Bessel cu un index ν şi cu starea iniţială 0>r .

Din relaţia ( ) ( )∫∞

−−Γ

=0

1exp11 αα α

vvxdvx

rezultă

( )

( ) ( )( ) ( )( )2

0

12 exp11

trt

r vREdvvR

E −Γ

=

∫∞

− ναα

ν

α .

Fie 0≥α . Din egalitatea ( ) ( )( )( )

+

−+

=− + tr

tRE tr v21

vexpv211vexp

2

12

νν şi printr-o

schimbare de variabilă obţinem ( )

( ) ( ) ( ) ( )∫ −−Γ

=

−−t

tr rtd

RE

21

0

212 vexpv21vv11 αναα

ν

α.

De asemenea are loc relaţia:

( ) ( ) =

+−−

=

−− ∫∫

t

st

tr

t

str R

dsaRrR

ERdsaRE

02

2220

02

22

2exp

2exp νµµ ν

ν

( ) ( )

−

=

−2exp t

tr aR

rR

Eγν

γ , unde 22 νµγ += .

Cum ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) =+−

Γ=

−

∫∞

−

0

2122

vexpvv1exp1trt

tr RaEdaR

RE γα

αγ

α

( ) ( )( ) ( ) ( )( )∫

∞+−−

+++

−++Γ

=0

211

v21vexpv21vv1

taartad γα

α atunci,

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )∫∫

∞+−−

−

+++

−++Γ

=

−−

0

211

02

22

v21vexpv21vv1

2exp

taartad

rRdsaRE

t

str

γαγν

ν

αµ

unde ( ) ( )ννµνγα −+=−= 22

21

21 .

Propoziţia 3.25. Pentru δBESQ are loc relaţia:

( )

−=

− −∫ bxbbdsbQ sx tanh

21expcosh

21exp 2

1

0

2 δδ ρ .

100

Demonstraţie. Pentru orice funcţie local mărginită F procesul

( ) ( )

−= ∫∫

t

s

t

ss

def

t dssFdWsFZ0

2

0 21exp ρρ

este un martingal local. Procesul δBESQ ρ verifică ecuaţia dtdWd ttt δρρ += 2 ,

atunci

( ) ( ) ( )

−−= ∫∫

t

s

t

sst dssFdsFZ0

2

0 21

21exp ρδρ . (9)

Dacă F este diferenţiabilă atunci formula de integrare prin părţi ne conduce la

următorul rezultat:

( ) ( ) ( ) ( )sdFFtFdsFt

ss

t

s ∫∫ −−=0

00

0 ρρρρ (10)

şi înlocuind relaţia (10) în expresia (9) obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

+−

−−= ∫∫

t

ss

t

tt sdFdssFdssFxFtFZ0

2

0 210

21exp ρρδρ

Fie ΦΦ′

=F astfel încât pentru b dat, Φ satisface relaţia Φ=Φ ′′ 2b , ( ) 10 =Φ ,

( ) 01 =Φ′ . Este uşor de arătat că ( ) ( ) ( ) ( )btbbtt sinhtanhcosh −=Φ . Atunci

( ) ( ) ( )( )

−Φ−−= ∫

t

stt dsbtxFtFZ0

2

2ln0

21exp ρδρ

este un martingal şi are loc relaţia

( ) ( ) ( ) ( )

−Φ−Φ′−=== ∫ dsRbxEZEZE s

1

0

2

10 21ln

20

21exp1 δ

Pentru ( )bcosh

11 =Φ şi ( ) bb tanh0 −=Φ′ obţinem rezultatul căutat.

101

3.3.4. Procesul Cox-Ingersoll-Ross

Procesul Cox-Ingersoll-Ross este soluţia ecuaţiei diferenţiale stochastice:

( ) tttt dWrdtrkdr σθ +−= (11)

Schimbarea de variabilă (variabila timp)

Schimbarea variablei timp după formula ( ) 42ttA σ= reduce studiul soluţiei

ecuaţiei (11) la cazul 2=σ .

Dacă 42tt rZσ

= atunci ( ) tttt dBZdtZkdZ 2+−′= ϑ , unde 42σkk =′ şi B este o

mişcare browniană. Procesul CIR definit în relaţia (11) este un proces de forma

( )

−= − 1

4

2ktkt

t ek

er σρ , unde ( )( )0, ≥ssρ este un proces ( )αδBESQ cu 2

4σθδ k

= . In

particular dacă 242 >

σθk procesul nu atinge starea 0.

Din a doua teoremă de existenţă rezultă faptul că ecuaţia (11) admite o soluţie unică,

nenegativă. Presupunem 22 σθ ≥k şi notăm 0; 0inf0 =≥= xt

defx rtT primul moment în

care este atinsă starea 0. Atunci ( ) 10 =∞=xTP , adică procesul r nu atinge starea

(poziţia) 0. Pentru 220 σθ <≤ k şi 0>k , ( ) 10 =∞<xTP iar pentru 0<k are loc

relaţia ( ) ( )1,00 ∈∞<xTP .

Probabilităţi de tranziţie pentru procesul CIR

Propoziţia 3.26. Densitatea de tranziţie ( ) ( )drstrfrdrrP st ρρ ,; −==∈ este

dată de formula ( )

+−

= kt

ktktkt

rec

Icrere

cetrf ρρ

ρρ ν

ν1

2exp

2,,

2

,

unde ( )14

2

−= ktek

c σ şi 122 −=

σθν k .

102

In particular, fie ( )ρtr un proces CIR a cărei valoare iniţială este ( ) ρρ =0r . In aceste

condiţii variabila aleatoare ( ) cerY kttt ρ= are densitatea

( ) ( )dyyIyeedyYP yt α

α νν

ν

ε22

2

2

2−

−

=∈

unde cρα = . Aceasta este o lege chi-pătrat, necentrată cu ( )12 += νδ grade de

libertate şi α parametrul de necentralitate.

Dacă ( )y,,2 αδχ este funcţia de repartiţie cumulată atunci

( )

−==>

cKe

crrP

T

T

µρσθχρµ ,,41 2

20 , unde ( )1

4

2

−= kTek

c σ .

Bibliografie

Jeanblanc M. - Course de Calcul Stochastique, 2002

J. Ma, J. Yong

- Forward-Backward Stochastic Differential Equations, volume 1702 of Lecture Notes in Maths. Springer-Verlag, Berlin, 1999

B. Oksendal - Stochastic Differential Equations. Springer, Berlin, 1992

P. Protter - Stochastic Integration and Differential Equations. Springer, Berlin, 1990

Simon Thomas

- Elements de Calcul Stochastique, 2002 – note de curs

Steven E. Shreve - Stochastic Calculus and Finance, 1997 – note de curs

103

Capitolul 4

Probleme asociate mişcării browniene

Capitolul include subiecte legate de condiţiile în care un proces stochastic poate

fi reprezentat printr-o integrală stochastică.

4.1. Regula de schimbare a probabilităţii

4.1.1. Teorema lui Girsanov

Propoziţia 4.1. Fie P şi Q două probabilităţi echivalente pe spaţiul ( )TF,Ω .

Există atunci ( )TtLt ≤, , un P - tF martingal strict pozitiv astfel încât PLQ T= în

raport cu TF şi ttt PLQ FF = . Altfel spus, pentru orice variabilă aleatoare X

Q -integrabilă, tF -măsurabilă şi pentru Tt ≤ are loc egalitatea ( ) ( )XLEXE tPQ = .

Mai mult, 10 =L şi ( ) 1=tP LE pentru orice Tt ≤ .

Demonstraţie. Dacă restricţiile probabilităţilor P şi Q la TF sunt echivalente există o

variabilă aleatoare TL , TF -măsurabilă astfel încât PLQ T= în raport cu TF (teorema

lui Radon-Nikodym). Spunem că TL este densitatea lui Q în raport cu P şi

( ) ( )XLEXE TPQ = pentru orice variabilă X TF -măsurabilă şi Q -integrabilă. In

particular, variabila aleatoare TL este strict pozitivă şi ( ) 1=TP LE . Fie ( )tTPt LEL F= .

Din construcţie ( )TtLt ≤, este un martingal şi este densitatea Radon-Nikodym

tF -măsurabilă a lui Q în raport cu P pe tF . Prin urmare, dacă X este tF -măsurabilă

şi Q integrabilă atunci:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )tPtTPPtTPPTPQ XLELXEEXLEEXLEXE ==== FF .

In acest caz are loc ( ) QLP T1−= şi ( ) ( )YLEYE TQP

1−= iar ( )TtLt ≤− ,1 este un

Q -martingal.

Observaţie. Vorbim despre legea unei variabile aleatoare sau al unui proces, în raport

cu P sau Q în funcţie de probabilitatea cu care este înzestrat spaţiul. O proprietate

104

adevărată P -aproape sigur este adevărată Q -aproape sigur. O variabilă

aleatoare P -integrabilă nu este în mod necesar şi Q -integrabilă.

Propoziţia 4.2. M este un Q -martingal dacă şi numai dacă LM este un

P -martingal.

Demonstraţie. Fie M un Q -martingal. Utilizând formula lui Bayes şi proprietatea de

P -martingal a lui L , pentru ts ≤ obţinem relaţia:

( ) ( )s

sttPstQs L

MLEMEM

FF == .

Reciproca rezultă din formula lui Bayes.

Teorema lui Girsanov. Fie ( )0, ≥tBt o mişcare browniană pe spaţiul

( )P,,FΩ şi ( )tF filtrarea sa canonică. Fie

−= ∫∫

t

s

t

sst dsdBL0

2

0 21exp θθ , Tt ≤ ,

unde θ este un proces ( )tF adaptat (sau altfel spus, tttt dBLdL θ= ). Presupunem

( ) 1=TLE . Fie TT

def

T dPLdQ FF = . Atunci ∫+=t

stt dsBB0

~ θ , unde B~ este o Q -mişcare

browniană.

Observaţie. In condiţia lui Novikov ∞<

∫T

sP dsE0

2

21exp θ , TL este o variabilă

aleatoare pozitivă a cărei medie este 1 în raport cu P iar L este un P -martingal. Dacă

L nu are media 1 atunci L este un supermartingal al cărui medie este strict mai mică

decât 1.

Demonstraţie. In cazul în care m=θ , unde m este o constantă, utilizăm

caracterizarea mişcării browniene prin proprietatea de martingal a expresiei

− tBt 2

exp2λλ . Demonstrăm că

− tBt 2

~exp2λλ este un Q -martingal sau că

( ) ( ) ( )( )

++−+=

−− tmmBmtmtBL ttt 2

21exp

2exp 22

2

λλλλλ

105

este un P -martingal. In cazul general se poate verifica că B~ este un Q -martingal

deoarece LB~ este un P -martingal. Croşetul Q -semimartingalului B coincide cu cel al

termenului ce reprezintă martingalul sau cel al Q -martingalului B~ . Croşetul nu

depinde de alegerea probabilităţii. Croşetul lui B este egal cu croşetul lui B~ şi este

egal cu t . Deoarece ( ) tt LtB −2~ este un P -martingal, rezultă tBt −2~ este un

Q -martingal.

Propoziţia 4.3. Fie Z un P -martingal local continuu şi fie Q o probabilitate

definită pe tF prin dPLdPZZdQ ttt =

−=

21exp . Dacă N este un P -martingal

local continuu, procesul

≥−=− 0,,1, tLN

LNZNN

tt

ttt este un Q -martingal

local continuu al cărui croşet este t

N .

Demonstraţie. Martingalul

−=

ttt ZZL21exp verifică relaţia ttt dZLdL = .

Procesul ( )0,, ≥− tZNNtt este un Q -martingal local. Utilizând formula lui Itô

verificăm faptul că ( )0,, ≥− tZNLNLtttt este un P -martingal local.

Utilizând spaţiul canonic rescriem rezultatul de mai sus. Legea mişcării

browniene W este absolut continuă. Analog legea mişcării browniene cu deriva ν ,

definită prin ( )ttt tW FF WW

−=

2 exp

2ννν unde W este aplicaţie canonică, este

absolut continuă. Altfel spus relaţia poate fi scrisă în forma :

( ) ( )( ) ( )

≤

−=≤ tuXFtXtuXF utu ,

2exp,

2ννν WW , pentru orice funcţie F .

Considerăm cazul particular ( ) ( )tu XftuXF =≤, . Termenul ( ) ( )( )tuXF u ≤,νW poate

fi scris atunci în forma ( ) ( )( ) ( )( )tWfEXf tt νν +=W , unde termenul W din membrul

drept este o mişcare browniană şi deci ( )0, ≥+ ttWt ν este o mişcare browniană cu

106

deriva ν . Termenul ( )

≤

− tuXFtX ut ,

2exp

2ννW din membrul drept devine

( ) ( )

−=

− tttt WftWEXftX

2exp

2exp

22 ννννW ,

unde W este o mişcare browniană. Din teorema lui Girsanov rezultă că dacă W este o

mişcare browniană în raport cu P şi ttt dPtWdQ FF

−=

2exp

2νν atunci

( ) ( )( ) ( )( )tWfEWfEWftWE tQtQttP ννν +==

− ~

2exp

2

,

unde W~ este o mişcare browniană în raport cu Q .

Observaţie. 1. Acest lucru poate fi generalizat la cazul în care t este timp de oprire şi

de asemenea la cazul în care schimbarea de probabilitate este de forma

−∫ ∫

t t

sss dsdW0 0

2

21exp θθ .

2. Dacă L este soluţia ecuaţiei tttt dBLdL θ= cu 10 =L , P se poate scrie în funcţie de

Q în felul următor dQLdP T1−= , unde

( ) ( )

+−= ∫∫−

TT

sT dssdBsL0

2

0

1

21exp θθ

şi B este o mişcare browniană în raport cu P .

L poate fi scris ca o mişcare browniană în raport cu Q în forma:

( ) ( )

−−= ∫∫−

TT

sT dssBdsL0

2

0

1

21~exp θθ .

Procesul ( )0,1 ≥− tLt este un Q -martingal şi dacă X este din TF atunci are loc relaţia

( ) ( )XLEXE TQP1−= .

107

Propoziţia 4.4. Dacă X este un proces stochastic definit prin relaţia

tt BtX += ν şi dacă aXtT ta =≥= ;0infν este timp de lovire a nivelului a , atunci

pentru λ astfel încât 022 >+ λν are loc relaţia

( )( ) ( )λννλ ν 2expexp 2 +−=− aaTE a .

Demonstraţie. Se observă că pentru 0>λ are loc relaţia:

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) =−=−=− ∞<∞< aaTaaTa TTETE 1W1 λλλ ννν

ν expexpexp

( ) ( ) ( )

+−=

−

−=

∞<aa

Taa

T TeTTXaa

λνλνν νν 2

21expexp

21exp 22 W1W .

Observaţie. Dacă 0>νa atunci ( ) 1=∞<νaTP , în caz contrar ( ) 1<∞<ν

aTP . Atunci

( )

+−=∈ t

taae

t

dtdtTP aa

22

3 21exp

2ν

πνν .

Cazul vectorial

A. Mişcări browniane standard independente

Dacă ( )1B şi ( )2B sunt două mişcări browniene independente în raport cu P şi

dacă dPLdQ t= , unde 21ttt LLL = cu i

tL definit prin

( ) ( ) ( )( )

−= ∫∫

ti

s

ti

si

sit dsdBL

0

2

0 21exp θθ ,

are loc relaţia ( ) ( ) ( ) ( )( )2211tttttt dBdBLdL θθ += şi se arată că în raport cu Q ,

( ) ( ) ( ) ( )∫−=t

iit

it dssBB

0

~ θ sunt mişcări browniene independente.

B. Mişcări browniene corelate

Fie ( )1B şi ( )2B două mişcări browniene corelate în raport cu P , fie ρ

coeficientul de corelaţie, tF filtrarea naturală a celor două mişcări browniene ( )1B , ( )2B

şi ttt dPLdQ FF = unde ( ) ( ) ( ) ( )( )2211tttttt dBdBLdL θθ += . In raport cu Q ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∫ +−=t

jiit

it dsssBB

0

~ ρθθ sunt mişcări browniene corelate, coeficientul de

108

corelaţie fiind ρ . Pentru a demonstra că ( )1~B este o Q -mişcare browniană este

suficient să demonstrăm că ( )1LB este un Q -martingal local. Formula lui Itô ne

conduce la relaţia

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )dtdtLdtdBLdBdBLBLBd ρθθρθθθθ 21211221111 +++−++= .

4.1.2. Aplicaţii – modele financiare

Fie S un proces care verifică ecuaţia diferenţială stochastică

( ) ( ) ( ) ( )( )tdWtdttbtStdS σ+= .

Putem determina o unică probabilitate Q echivalentă cu P astfel încât

( ) ( ) ( ) ( )( )tdBtdttrtStdS σ+= , unde B este o Q -mişcare browniană iar r este o

dobânda fără risc. Este suficient să considerăm ttt dPLdQ FF = , unde L este soluţia

ecuaţiei ( ) ttt dWtLdL θ= , pentru care 10 =L şi ( ) ( ) ( ) ( )( )trtbtt −−= −1σθ , integrabil.

Prin urmare

( ) ( ) ( )( ) dtt

trtbdWdttdWdB ttt σθ −

+=−=

este o Q - mişcare browniană şi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ttt dBtdttrdttdBtdttbdWtdttb σθσσ +=++=+ .

Probabilitatea Q este numită probabilitate de risc neutru. Dacă ( )

−= ∫

t

t dssrR0

exp

este coeficientul de actualizare atunci procesul SR verifică relaţia ( ) tttttt dBRSRSd σ=

şi este un Q -martingal local.

Observaţie. SR reprezintă procesul de actualizare a preţului unui instrument financiar.

Valoarea unui activ pe o piaţă financiară completă

Fie r o constantă şi fie un portofoliu format dintr-un activ cu valoarea ξ .

Valoarea portofoliului se dublează în urma unui proces de autofinanţare. Notăm cu tV

valoarea portofoliului la momentul t . ξ este o variabilă aleatoare pozitivă, TF

măsurabilă, integrabilă. In cazul opţiunilor call europene ξ este egală cu

109

( ) ( )0,max KSKS TT −=− + , unde K reprezintă preţul de exercitare a opţiunii la

momentul T şi TS reprezintă valoarea de piaţă a activului la momentul T .

Propoziţia 4.5. Procesul VR este un Q -martingal şi

( ) ( ) tttTQtTTQ RVREVRE == FF ξ .

Demonstraţie. Presupunem existenţa unui portofoliu a cărui valoare se dublează în

urma unui proces de autofinanţare, astfel încât valoarea sa la momentul t este dată de

relaţia: ttttt SSV πα += 0 , pentru care ξ=TV . Condiţia de autofinanţare este prin

definiţie ttttt dSdSdV πα += 0 . Dacă notăm prin trt

t VeV −=~ şi trt

t SeS −=~ valorile

actualizate atunci este uşor de demonstrat că ttt SdVd ~~ π= sau în forma integrală:

∫∫ +=+=t

sssss

t

sst BdRSVSdVV0

00

0~~~ σππ (1).

Se observă că oricărui proces π şi oricărei valori iniţiale x îi putem asocia un

parametru α . Este suficient să se calculeze ∫+=t

sst SdVV0

0~~ π şi să se aleagă tα astfel

încât tttttrt

t SSVeV πα +== 0~ .

Procesul V~ este o integrală stochastică în raport cu un Q -martingal , este prin

urmare un Q -martingal local. Dacă este un martingal atunci are loc relaţia:

( ) ( )trT

QtTQt eEVEV FF ξ−== ~~ . (2)

Portofoliul de acoperire se obţine din ecuaţia (1). Cum π este cunoscut trebuie doar să

considerăm ( ) ttttttt

t SVSVS

~~10 ππα −=−= . Rămâne de demonstrat existenţa lui π .

Pentru evaluarea activului,ξ , trebuie identificată probabilitatea de risc neutru, calculată

media ( )trT

Q eE Fξ− şi identificat π . Cum valoarea activului, ξ este pozitivă rezultă că

şi valoarea tV a portofoliului obţinut prin dublarea valorii activului este de asemenea

pozitivă.

In cazul modelului Black-Scholes, ( ) ( )( )tdBbdttStdS σ+= , unde b şi σ sunt

110

constante, atunci ( )( )tt BdrdttSdS ~σ+= , unde B~ este o Q -mişcare browniană şi S

este o mişcare browniană geometrică. Pentru σ

µθ r−−= şi ttt dBLdL θ= are loc relaţia

dPLdQ t= . Mişcare browniană B~ este dată de relaţia dtdBBd θ−=~ .

Se poate calcula media condiţionată (2) în cazul ( )+−= KSTξ . Din

proprietatea Markov rezultă expresia ( )tt StFV ,= pentru care

( ) ( ) ( ) ( )21, dNKedxNxtF tTr −−−= .

Fie ( ) ( )xtFextF rt ,,~ −= . Având în vedere că ( )tStF ,~ este un martingal atunci formula

lui Itô implică ( ) ( ) ( )∫ ∂∂

+=t

uut SdSuxFSFStF

00

~,,0~,~ . Cum derivata martingalului

( )tStF ,~ este 0 regăsim ecuaţia de evaluare .

Observaţie. Dacă ( )tt StxF ,∂∂

=π , atunci termenul ( )tStxF ,∂∂ este factorul Delta al

opţiunii call.

De asemenea obţinem relaţia:

( ) ( )( )( ) ( ) ( )kSrT

Qrt

KSrT

TQrt

tTtTr

Qt TTeEKeeSEeKSeEV >−−

>−−+−− −=−= 11F .

0SeS rt

t−

este un martingal pozitiv de medie 1 şi facem o schimbare de probabilitate.

Notăm trt

t MSeS 0=− , unde M este Q -martingal ce verifică relaţia ttt dBMdM σ= .

Acesta este un martingal pozitiv de medie 1 deci poate fi utilizat în schimbarea de

probabilitate. Fie dQMQ t=ˆ . Procesul dtBB σ−=ˆ este o mişcare browniană în raport

cu Q şi ( )( ) ( )( )BddtrSdtBdrdtSdS ttttˆˆ 2 σσσσ ++=++= .

Atunci:

+

+=

+

−+= TTT BTrSBTrSS ˆ

2expˆ

2exp

2

0

22

0 σσσσσ şi

( ) ( ) ( )000ˆ

0SKSQSMESeSE TSKSTQKS

rTTQ TT

>== >>− 11 .

111

Noţiunea de arbitraj

In teoria financiară modernă noţiunea de arbitraj este extem de importantă. Se

referă la circumstanţe în care cumpărarea şi vânzarea simultană a unor instrumente

financiare pe diferite pieţe conduc la obţinerea unui profit fără risc.

In termeni probabilistici este vorba de un portofoliu adaptat π a cărui valoare finală

obţinută în urma unei strategii de autofinanţare este pozitivă:

( ) 00 =πV , ( ) 0≥πTV , ( ) 0>TVE

Exemple. 1. Rata de schimb valutar. Considerăm o acţiune XY tranzacţionată pe

pieţele din New York şi Londra. Presupunem că valoarea acţiunii XY pe piaţa new

yorkeză este de $155 în timp ce pe piaţa londoneză este evaluată la £100 în condiţiile în

care paritatea liră/dollar este 1,6 (£1= $1,6). Un arbitrajor poate cumpăra şi vinde

simultan 100 de acţiuni XY obţinând un profit fără risc (cumpără la New York şi vinde

la Londra) în absenţa costurilor de tranzacţie: ( ) 500$$155-£1001,6$/£100 =×× .

2. Tranzacţionarea unei valori mobiliare pe pieţe diferite (ex. aur). Presupunem că

valoarea curentă a unei uncii de aur este de $398 (preţul spot) şi avem un acord de

cumpărare în trei luni a unei cantităţi de aur pentru un preţ de $390 (contract futures).

Presupunem că pentru împrumutarea unei uncii de aur pe o perioadă de trei luni

dobânda lunară solicitată este de 10% iar pentru un depozit pe 3 luni la bancă dobânda

lunară este de 4%. Această situaţie crează condiţii de arbitraj. Astfel un arbitrajor poate

împrumuta o uncie de aur, o vinde la preţul curent de $398, depozitează banii pe trei

luni şi simultan se angajează într-un contract futures de cumpărare în trei luni a unei

uncii de aur la preţul de $390.

Costul împrumutului unei uncii de aur este 95,9$411,0398$ =×× în timp ce dobânda

obţinută în urma constituirii depozitului bancar este 98,3$414,0398$ =×× . După trei

luni arbitrajorul va avea un capital egal cu $398+$3,98-$9,95=$392,03 şi cumpărând o

uncie la preţul prevăzut în contractul futures obţine un profit de $2,03. Costurile de

tranzacţie au fost presupuse egale cu 0.

112

4.2. Timp de lovire

Fie ( )P,,FΩ un spaţiu probabilistic şi fie pe acest spaţiu definită o mişcare

browniană ( )0, ≥tWt a cărei stare iniţială este 0. Fie ( )0, ≥= tF tF filtrarea sa naturală

şi fie X un proces stochastic continuu. Definim timpul de lovire (sau de atingere) a

nivelului (sau a stării) a , ( )XTa , prin relaţia

( ) aXtXT ta =≥= :0inf .

Primul moment în care procesul X se află deasupra nivelului a este dat de expresia

( ) aXtXT ta ≥≥=+ :0inf .

Primul moment în care procesul X se află sub nivelului a este dat de expresia

( ) aXtXT ta ≤≥=− :0inf .

Observaţie. 1. Pentru xX =0 şi xa > are loc relaţia aa TT =+ . 2. Unele traiectorii ale

mişcării browniene vor lovi nivelul 0>a direct, altele vor avea un traseu mai amplu

trecând prin valori negative pentru ca după un timp suficient de mare să ajungă în

poziţia a . Astfel aT va avea o anumită distribuţie.

4.2.1. Legea de probabilitate a unui timp de lovire şi principiul maximului – cazul

mişcării browniene

Fie ( )tt MW , o pereche de variabile aleatoare unde tW este o mişcare browniană

iar sts

t WM≤

= sup , altfel spus M este maximul mişcării browniene pe intervalul [ ]t,0 .

M este un proces crescător cu valori nenegative.

Propoziţia 4.6. (Principiul simetriei). Pentru y≤0 şi yx ≤ are loc relaţia:

( ) ( )xyWPyMxWP ttt −≥=≥≤ 2, .

Demonstraţie. Fie yWtT ty ≥=+ :inf primul moment în care mişcarea browniană

depăşeşte nivelul (starea) y . Acesta este un F -timp de oprire (sau stopare) şi pentru

0≥y are loc relaţia : ( ) ( )yMtT ty ≥=≤+ . Mai mult pentru 0≥y şi având în vedere

continuitatea traiectoriilor mişcării browniene timpul de oprire +yT este şi timp de lovire

113

a nivelului y , adică yWtTT tyy ===+ :inf şi yWyT = . Prin urmare, au loc

egalităţile:

( ) ( ) ( )tTyxWWPtTxWPyMxWP yTtyttt y≤−≤−=≤≤=≥≤ ,,, .

Notaţie: ( ) ( )yyAP TAPTE =1 . Având în vedere proprietatea tare Markov obţinem:

( ) ( )( ) ( )( )ytTyTttTyTt TETyxWWPEtTyxWWPyyyyΦ=−≤−=≤−≤− ≤≤ 11, ,

unde ( ) ( )yxWPu ut −≤=Φ −~ şi

≥−= + 0,~ uWWW

yy TuT

def

u este o mişcare browniană

independentă de ( )yt TtW ≤, având aceeaşi lege cu W~− . Prin urmare

( ) ( )xyWPu ut −≥=Φ −~ . Atunci

( )( ) ( )( ) ( )tTxyWPTxyWWPETE ytyTttTytT yyy≤−≥=−≥−=Φ ≤≤ ,211 .

Deci ( ) ( )yMxyWPyMxWP tttt ≥−≥=≥≤ ,2, . Deoarece yxy ≥−2 , membrul

drept al relaţii este egal cu ( )xyWP t −≥ 2 , ceea ce implică faptul că pe mulţimea

xyWt −≥ 2 timpul de lovire yT este mai mic decât t , sau yM t ≥ .

Propoziţia 4.7. Fie W o mişcare browniană cu starea iniţială 0 şi fie

( )tsWM st ≤≤= 0,sup . Atunci

pentru 0≥y şi yx ≤ ( )

−−

=≤≤

tyx

txyMxWP tt

2, NN (3)

pentru 0≥y şi yx ≥ ( ) ( )

−−

=≤=≤≤

ty

tyyMPyMxWP ttt NN,

pentru 0≤y ( ) 0, =≤≤ yMxWP tt .

Densitatea perechii ( )tt MW , este dată de expresia:

( ) ( ) ( ) dxdytyxxy

tdyMdxWP yxytt

−−−=∈∈ ≤≥ 2

2exp22,2

30 π11 .

Demonstraţie. Din principiul simetriei, pentru 0≥y şi yx ≤ rezultă:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xyWPxWPyMxWPxWPyMxWP ttttttt −≥−≤=≥≤−≤=≤≤ 2,, .

114

Pentru 0≥y şi yx ≥ , cum tt WM ≥ rezultă ( ) ( )yMyWPyMxWP tttt ≤≤=≤≤ ,, .

Pentru yx = în (3) rezultă ( ) ( )

−−

=≤≤=≤

ty

tyyMyWPyMP ttt NN, .

Pentru 0≤y , cum 00 =≥ MM t rezultă ( ) 0, =≤≤ yMxWP tt .

Observaţie. Fie 0:0inf =>= tBtτ atunci ( ) 10 ==τP

Propoziţia 4.8. Fie W o mişcare browniană şi pentru orice 0>y definim

yWtT ty == :inf . Procesul crescător ( )0, ≥yTy are creşteri independente şi

staţionare. De asemenea este verificată proprietatea ( )0,2legeîn

≥= yTT yy λλ .

Demonstraţie. Proprietatea de creştere rezultă din continuitatea traiectoriilor mişcării

browniene. Pentru yz > are loc relaţia yzWWtTTyy TtTyz −=−≥=− +:0inf .

Din proprietatea Markov rezultă independenţa şi staţionaritatea. Fie 0>λ atunci

proprietatea de scalare a mişcării browniene implică

yWtyWtT tty ==

== ~:inf1:inf 2

legeîn λ

λλ ,

unde W~ este o mişcare browniană definită prin tt WW 2

1~λλ

= .

Propoziţia 4.9. tM şi tW au aceeaşi lege de probabilitate.

Legea de probabilitate a unui timp de lovire. Pentru un nivel 0>x legea de

probabilitate a timpului de lovire xWsT sx == :inf poate fi dedusă în felul următor:

( ) ( ) ( ) ( )

≤=≤=≤=≤=≤ t

GxPtGxPWxPMxPtTP ttx 2

2

,

unde G reprezintă o variabilă aleatoare gaussiană cu media 0 şi varianţa 1.

Deci 2

2legeîn

GxTx = şi densitatea variabilei aleatoare xT este dată de expresia:

( ) dtt

xt

xdtTP tx 0

2

3 2exp

2≥

−=∈ 1

π

Pentru 0<x , având în vedere simetria mişcării browniene obţinem

xttx TxWtxWtT −=−=−===legeîn

:inf:inf

115

şi atunci pentru orice 0≠x are loc relaţia:

( ) dtt

x

t

xdtTP tx 0

2

3 2exp

2≥

−=∈ 1

π.

In particular, pentru 0≠x au loc relaţiile ( ) 1=∞<xTP şi ( ) ∞=xTE .

Legea infimului în cazul mişcării browniene are la bază aceeşi metodă de

calcul, observând că ( ) ( )sts

sts

sts

def

t BWWm≤≤≤

−=−−== supsupinf , unde WB −= este o

mişcare browniană. Deci au loc relaţiile (4):

pentru 0≤y şi yx ≥ ( )

−−

−=≥≥

txy

txymxWP tt

2, NN

pentru 0≤y şi yx ≤ ( )

−

−=≥≥

ty

tyymxWP tt NN,

pentru 0≥y ( ) 0, =≥≥ ymxWP tt

pentru 0≤y , ( )

−

−=≥

ty

tyymP t NN .

Dacă mişcarea browniană W porneşte din starea z la momentul 0 şi

0:inf0 == tWtT atunci pentru 0>z şi 0>x obţinem egalităţile:

( ) ( ) ( )zmdxzWPtTdxzWPtTdxWP ttzttz −>∈+=>∈+=>∈ − ,,, 000 .

Pentru 0>z diferenţiind în (4) în raport cu x obţinem:

( ) ( ) ( ) dxtzx

txz

ttTdxWP x

tz

+−−

−−=>∈ >

2exp

2exp

2,

220

0 π

1.

Propoziţia 4.10. Fie yT timpul de lovire al nivelului y , cu y din R ,

corespunzător unei mişcari browniane standard. Atunci pentru 0>λ are loc relaţia:

( )λλ yTE y −=

− exp

2exp

2

.

Demonstraţie. Pentru orice 0>λ procesul

≥

− 0,

2exp

2

ttWtλλ este un

martingal. Fie 0≥y , 0≥λ şi yT timpul de lovire al nivelului y atunci martingalul

116

( )

≥

∧−∧ 0,

2exp

2

tTtW yTt y

λλ este mărginit de yeλ . Teorema de selecţie opţională a

lui Doob implică 12

exp2

=

− yT TWE

y

λλ . Din relaţiile ( ) 1=∞<yTP şi yWyT =

obţinem transformata Laplace a lui yT . Cazul pentru care 0<y rezultă din studiul

mişcării browniene W− .

Observaţie. Pentru a aplica teorema de selecţie opţională a lui Doob trebuie să

verificăm dacă martingalul ( )

∧−∧ yTt TtW

y 2exp

2λλ este uniform integrabil. In cazul

0>λ şi 0<y o aplicare necorespunzătoare a teoremei conduce la egalitatea cu 1 şi

−=

− y

yyT TEeTWE

y 2exp

2exp

22 λλλ λ .

Ceea ce înseamnă că termenii

− yTE

2exp

2λ şi ( )λy−exp sunt egali. Acest lucru

este fals deoarece cantitatea

− yTE

2exp

2λ este mai mică decât 1 în timp ce

cantitatea ( )λy−exp este strict mai mare decât 1.

4.2.2. Timp de lovire - cazul mişcării browniene cu derivă

Considerăm cazul în care tt WtX += ν , unde W este o mişcare browniană. Fie

( )tsXM sX

t ≤= ,sup , ( )tsXm sXt ≤= ,inf şi ( ) yXtXT ty =≥= 0inf . Reamintim că

( ) ( )AXW t ∈ν reprezintă probabilitatea ca mişcarea browniană tX cu deriva ν să

aparţină lui A .

Propoziţia 4.11. Pentru 0≥y şi xy ≥ are loc relaţia:

( ) ( )

−−−

−=≤≤

ttyxe

ttxyMxX yX

tt 2 , NN 2 νν ννW

Pentru 0≤y şi xy ≤ are loc relaţia:

117

( ) ( )

++−−

+−=≥≥

ttyxe

ttxymxX yX

tt 2 , NN 2 νν ννW .

Demonstraţie. Teorema Cameron-Martin implică:

( ) ( )

−=≥≤

≥≤ yMxWtX

tt Wtt

tWEyMxX ,

2

2

exp, 1W ννν .

Din principiul de simetrie, pentru 0≥y şi xy ≥ rezultă egalitatea:

( ) ( )yMWyxPyMxWP Wtt

Wtt ≥−≥=≥≤ ,2,

Deci

( ) =

−−=

−

≥≤−≥≤ yMxWytyMxWt Wtt

Wtt

tWyEtWE ,2

2

,

2

22exp

2exp 11

νννν

−−= −≥ xyWt

yt

tWEe 2

22

2exp 1 ννν .

Aplicând din nou teorema Cameron-Martin obţinem:

( )xytWPtWE txyWt t−≥−=

−− −≥ 2

2exp 2

2

ννν 1 .

Prin urmare, pentru 0≥y şi xy ≥

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+−≥=+−≥=≥≤ txyXetxyWPeyMxX ty

tyX

tt 222, 2 2 νν νννν WW

( ) ( )

−+−=−≤=+−≥−=

ttxyeyxXPetxyWPe y

ty

ty

N νν ννν 222 222 .

De unde rezultă

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =≥≤−≤=≥≤ yMxXxXyMxX Xttt

Xtt ,, ννν WWW

−−−

−=

ttyxe

ttx y NN νν ν 22 .

Pentru 0≤y şi xy ≤ obţinem

( ) ( ) ( )( )=≤+≥+=≤≥≤

ysWxtWPymxX ststXtt inf, , νννW

118

( ) ( )

+−=−≥−=

−≥−−−≤−−=

≤ ttxyeytWPeysWxtWP y

ty

sts

t

N νννν νν 2sup, 22

In particular, principiile maximului şi minimului unei mişcări browniene cu

derivă pot fi deduse ţinând cont de relaţiile:

( ) ( ) ( ) ( )yMyXyM Xtt

Xt ≤≤=≤ ,νν WW şi ( ) ( ) ( ) ( )ymyXym X

ttXt ≥≥=≥ ,νν WW ,

din unde obţinem:

( ) ( )

−−−

−=≤

ttye

ttyyM yX

t NN 2 νν ννW , 0≥y

( ) ( )

−−+

+−=≥

ttye

ttyyM yX

t NN 2 νν ννW , 0≥y

( ) ( )

+−

+−=≥

ttye

ttyym yX

t NN 2 νν ννW , 0≤y

( ) ( )

++

−=≤

ttye

ttyym yX

t NN 2 νν ννW , 0≤y .

şi

( ) ( )( ) ( ) ( )

−−−

−=≤=≥

ttye

ttyyMtXT yX

ty NN 2 νν ννν WW , 0>y

( ) ( )( ) ( ) ( )

+−

+−=≥=≥

ttye

ttyymtXT yX

ty NN 2 νν ννν WW , 0<y

In particular, pentru t tinzând la ∞ în expresia lui ( ) ( )( )tXTy ≥νW obţinem pentru

0≤ν : ( ) ( ) yy eT 21 νν −=∞=W .

Transformata Laplace a unui timp de lovire în cazul mişcării browniene cu

derivă se obţine din teorema Cameron-Martin:

( ) ( ) ( )

+−=

− WTWEXT yTy y 2

exp2

exp222 λννλνW , unde ( ) ( ).νW este media

în raport cu ( )νW . Din propoziţia 4.10 expresia din membrul drept este egală cu

( ) ( ) ( )2222 exp21exp λνλν νν +−=

+− yeWTEe y

yy .

119

Prin urmare, ( ) ( ) ( )22 2

exp2

exp λνλ νν +−=

− yeXT y

yW . Pentru 0=λ şi

0<y ν obţinem ( ) ( ) yy eT 2νν =∞<W .

Acest lucru demonstrează faptul că probabilitatea ca o mişcare browniană cu

derivă pozitivă să lovească un nivel negativ este diferită de 1. In cazul 0>y ν are loc ( ) ( ) 1=∞<yTW ν . Acest lucru este explicat de faptul că ( ) ttWt ν+ tinde la ν pentru t

tinzând la ∞ , deci deriva conduce procesul către infinit. In cazul 0>y ν pentru 0=λ

obţinem ( ) ( )( ) νν yXTW y = . Pentru 0<y ν timpul mediu de oprire este infinit .

4.2.3. Timp de lovire - cazul mişcării browniene geometrice

Fie ( )ttt dWdtSdS σµ += , xS =0 , unde 0>σ . Altfel spus, fie

( )( ) tXtt xeWtxS σσσµ =+−= 2exp 2 ,

unde tt WtX += ν şi 2σ

σµν −= .

Notăm prin ( ) ( )

=≥==≥= xaXtaStST tta ln1:0inf:0inf

σ primul timp de

lovire al nivelului a . Atunci ( ) ( )XTSTa α= , unde ( )xaln1σ

α = . Atunci când un nivel

b este asociat mişcării browniene S , notăm ( )xbln1σ

β = . Din rezultatele anterioare

obţinem legea de probabilitate a timpului de lovire şi principiile maximului şi

minimului corespunzătoare lui S pe intervalul [ ]t,0 .

Principiile maximului şi minimului

Pentru ab > şi xb > are loc relaţia:

( ) ( )

−−−

−=≤≤=≤≤

tte

ttMXPbMaSP X

ttStt

NN νβαναβα βν 2,, 2 .

Pentru ba > şi xb < are loc relaţia:

( ) ( )

++−−

+−=≥≥=≥≥

tte

ttmXPbmaSP X

ttStt

NN νβαναβα βν 2,, 2 .

120

Prin urmare pentru xa > sau 0>α

( )( ) ( ) ( ) ( ) =≤≤−=≤−=≥=< aMaSPaMPaMPtSTP Stt

St

Sta ,11

−−+

+−=

−−+

−−=

tte

tt

tte

tt αννααννα αναν NNNN 221 .

Pentru xa < sau 0<α

( )( ) ( ) ( )

++

−=≥−=≤=<

tte

ttamPamPtSTP S

tSta

αννα αν NN 21 .

Transformata Laplace a unui timp de lovire în cazul unei mişcări browniene

geometrice

Din egalitatea ( ) ( )XTSTa α= obţinem

( ) ( ) ( )

−=

− XTSTE a α

ν λλ2

exp2

exp22

W .

Din relaţia ( ) ( ) ( )22 2

exp2

exp λναλ ανα

ν +−=

− eXTW rezultă

( ) ( )222

exp2

exp λναανλ+−=

− STE a .

4.2.4. Timp de lovire – cazul unui proces Vasicek

Propoziţia 4.12. Fie ( )0, ≥trt un proces Vasicek definit prin

( ) ttt dWdtrkdr σθ +−= , ρ=0r şi fie 0:0inf0 =≥= trtT . Pentru orice 0>ρ

funcţia de densitate a lui T este dată de relaţia:

( ) ( )( )

+−−−

= ktke

ktktf kt coth

2exp

sin2222

22

23

ρθθρσπσ

ρ .

Demonstraţie. Considerăm cazul în care 0=θ şi 1=σ . Procesul Vasicek este dat de

relaţia

+= ∫−

s

tkskt

t dBexer0

.

121

Atunci ( ) xWtdBextrtT tAs

tks

t −==

=+==≥= ∫ :inf0:inf0:0inf0

0 şi aplicând

teorema lui Dubins scriem martingalul s

tks dBe∫

0

ca o mişcare browniană W pentru care

( ) dsetAt

ks∫=0

2 . Prin urmare ( )xWtAT t −=≥= :0inf0 şi are loc relaţia:

( ) ( ) ( ) ( )( )tdAWTPtAdtTP xx ∈′=∈ −00 .

Fie S o mişcare browniană geometrică cu factorul σ determinist . S verifică

ecuaţia:

( )( )ttt dWtrdtSdS σ+= , xS =0 .

Fie ( ) ( ) ( )

=+−=== ∫∫t

s

t

ta dWsdssrttaStST00

2

21:inf:inf ασσ , unde

( )xaln=α .

Observaţie. Volatilitatea σ reprezintă caracteristica unei valori mobiliare de a

înregistra fluctuaţii mari de preţ într-o perioadă scurtă de timp.

Procesul ( )∫=t

st dWsU0

σ este o mişcare browniană şi poate fi reprezentat prin ( )tAZ ,

unde Z este o mişcare browniană şi ( ) ( )dsstAt

∫=0

2σ . Fie C inversa funcţiei A putem

defini atunci

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=+−=

=+−= αα utAa ZuurCuCZtArttST

21:inf

21:inf .

Problema s-a redus la studiul timpului de lovire a unei margini neconstante ( )urC−α ,

de către o mişcare browniană cu derivă

≥− 0,

21 uuZu .

Observaţie. Fie ( ) ( ) thVtVT th =≥= :0inf , unde h este o funcţie deterministă şi V

un proces de difuzie. Există un număr mic de cazuri pentru care legea lui ( )VTh este

cunoscută în mod explicit.

122

4.2.5. Timp de lovire a unei bariere

Cazul mişcării browniene

Fie ba << 0 şi aT , bT timpi de lovire a nivelurilor a şi respectiv b definiţi

astfel: aWtT ta =≥= :0inf , bWtT tb =≥= :0inf şi fie ba TTT ∧=* timpul de

ieşire din tunel. Fie tM şi tm maximul şi respectiv minimul mişcării browniene pe

intervalul [ ]t,0 .

Propoziţia 4.13. Fie W o mişcare browniană şi ba TTT ∧=* . Atunci pentru

orice xba ,, cu bxa << au loc relaţiile:

( )abxbTTP bax −

−=< şi ( ) ( ) 2* xababxTE −−+= .

Demonstraţie. Martingalul ( )0, ≥∧∧ tWba TTt este mărginit astfel încât

( ) ( ) ( )abxbaxTTx TTbPTTaPWExba

<+<== ∧ .

Rezultatul se obţine din egalitatea

( ) ( ) 1=<+< abxbax TTPTTP .

( )( )0,2 ≥∧∧−∧∧ tTTtW baTTt ba fiind un martingal atunci:

( ) ( )baxTTtx TTtEWExba

∧∧−= ∧∧22 .

Trecând la limită, pentru t tinzând la infinit obţinem:

( ) ( ) ( )baxabxbax TTETTPbTTPax ∧−<+<= 222 ,

deci are loc relaţia ( ) ( ) 2xababxTTE bax −−+=∧ .

Propoziţia 4.14. Transformata Laplace a timpului *T este dată de expresia:

( )( )( )( )2cosh

2cosh*2

exp2

babaTE

−+

=

−

λλλ .

Legea de probabilitate pentru ( )ttt WmM ,, este dată de relaţia:

( ) ( )∫=∈≤<≤E

ttt dxxtEWbMmaP ,, ϕ ,

123

unde pentru [ ]baE ,⊂ are loc relaţia:

( ) ( )( ) ( )( )∑∞

−∞=

−+−−−

−+−=

k

abkbxt

abkxtt

xt 22 2221exp2

21exp

21,

πϕ .

Demonstraţie. Transformata Laplace a timpului *T se obţine din teorema de selecţie

opţională a lui Doob:

=

−

+

−=

+

−2

*2

exp2

exp2

*TbaWEba

Tλλλ

−

−

+

−

−

= == ab TTTTTEbaTEab

*

2

*

2

2*exp

2exp

2*exp

2exp 11

λλλλ

Utilizând W− obţinem următorul rezultat:

=

−

+

−−=

+

−2

*2

exp2

exp2

*TbaWEba

Tλλλ

−

−−

+

−

−−

= == ab TTTTTEabTEab

*

2

*

2

2*exp

23exp

2*exp

23exp 11

λλλλ

Rezolvând sistemul liniar rezultă:

( )( )( )

( )( )( )

−=

−

−−

=

−

=

=

abbTE

abaTE

a

b

TT

TT

λλλ

λλλ

sinhsinh

2*exp

sinhsinh

2*exp

*

2

*

2

1

1

Rezultatul căutat se obţine din relaţia:

−+

−=

− == ab TTTT

TETETE *

2

*

22

2*exp

2*exp*

2exp 11

λλλ

Cazul mişcării browniane cu derivă

Fie tt WtX += ν o mişcare browniană cu derivă şi fie βα TTT ∧=* cu

βα << 0 . Din teorema Cameron-Martin rezultă:

124

( ) ( ) =

−

−=

− *

2exp*

2 exp*

2exp

22

*

2

TTWEXT TνννλνW

=

+−+

+−= == βα

λννλνν TTTTTT TWETWE *

22

**

22

* *2

exp*2

exp 11

( ) ( )

+−+

+−= == βα

λννβλννα TTTT TETE *

22

*

22

*2

expexp*2

expexp 11 .

Sistemul

( )( )( )

( )( )( )

−=

−

−−

=

−

=

=

abbTE

abaTE

a

b

TT

TT

λλλ

λλλ

sinhsinh

2*exp

sinhsinh

2*exp

*

2

*

2

1

1

implică:

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )( )αβµµανβ

αβµµβναλν

−−

+−

=

−

sinhsinhexp

sinhsinhexp*

2exp

2

XTW ,

unde 222 λνµ += . In particular, pentru βα −= formula precedentă devine:

( ) ( ) ( )( )22

2

cosh

cosh*2

expλνβ

νβλν

+=

− XTW .

4.3. Alte probleme

4.3.1. Teorema de reprezentare a unui proces previzibil

Fie B o mişcare browniană, F filtrarea sa naturală şi fie ( )tsBst ≤= ,σF .

Definiţia 4.1. Fie ( )P,,FΩ un spaţiu probabilistic şi fie ( ) Nnn ∈F o filtrare

asociată acestui spaţiu. Un proces stochastic ( ) 0>nnH este previzibil în raport cu

filtrarea ( ) Nnn ∈F dacă pentru orice 0>n , variabila aleatoare nH este 1−nF -măsurabilă.

Propoziţia 4.15. Fie M un ( )tF - martingal astfel încât ∞<≤

2sup tTt

ME . Există

un unic proces previzibil H , cu ∞<

∫ dsHET

s0

2 , astfel încât are loc relaţia :

125

∫+=t

sst dBHMM0

0 ,

pentru orice t din intervalul [ ]T,0 . Dacă M este un ( )tF - martingal local există un

unic proces previzibil H astfel încât oricare ar fi t are loc relaţia:

∫+=t

sst dBHMM0

0 .

Demonstraţie. Dacă F este o variabilă aleatoare ∞F -măsurabilă, de pătrat integrabilă

atunci admite reprezentarea ( ) ∫∞

+=0

ssdBHFEF .

Fie H mulţimea variabilelor aleatoare care verifică proprietatea de reprezentare,

demonstrăm că H este închisă în 2L şi conţine variabile aleatoare de forma

( )∞= BfF & E , unde ( ]∑ −=

itti ii

f ,11λ sunt totale în 2L . Se obţine rezultatul căutat pentru

cazul martingalelor mărginite după care se generalizează.

Fie B o P -mişcare browniană cu filtrarea canonică ( )tF şi fie θ un proces

( )tF -adaptat ce verifică condiţia lui Novikov ∞<

∫ dsET

s0

2

21exp θ . Fie Q

probabilitatea echivalentă a lui P definită pe tF prin

dPLdPdsdBdQ t

t

ss

t

s =

−= ∫∫

0

2

0 21exp θθ .

Din teorema lui Girsanov rezultă faptul că dsBBt

st

def

t ∫−=0

~ θ este o ( )tF -Q -mişcare

browniană. In general, filtrarea lui B~ este diferită de cea a lui B , tt FF ⊂~ . In această

situaţie se aplică teoarema de reprezentare a unui proces previzibil: dacă M este un

tF -Q -martingal local, există un proces tF -previzibil H astfel încât pentru orice t are

loc relaţia: ∫+=t

sst BdHMM0

0~ .

Este suficient să scriem reprezentarea P -martingalului ML şi având în vedere formula

lui Itô să deducem reprezentarea lui M în raport cu probabilitatea Q . Dacă

126

( )tttt dBdtSdS σµ += în raport cu probabilitatea P , atunci procesul de actualizare

verifică relaţia ttt BdSSd ~~~ σ= .

Calcul Malliavin

Definiţia 4.2. Spaţiul Cameron-Martin este spaţiul funcţiilor γ definite pe

spaţiul Weiner [ ]( )1,00C=Ω prin ( ) ( )dssgtt

∫=0

γ unde [ ]( )TLg ,02∈ .

Fie RF →Ω: o variabilă aleatoare a cărei derivată în raport cu direcţia γ ,

dacă există, este dată de formula: ( ) ( )( )εγωε

ωγ += FddFD .

Spunem că F este diferenţiabilă dacă există [ ]( )Ω×∈ TL ,02ψ astfel încât

( ) ( ) ( )dttgtFDT

∫=0

,ωψωγ .

Atunci putem scrie ( ) ( )ωψω ,tFDt = .

Derivata Malliavin poate fi definită şi în felul următor: fie ( ) ( )∫=T

sdWshhW0

,

pentru [ ]( )TLh ,02∈ . Pentru o funcţie netedă f derivata unei variabile aleatoare

( ) ( )( )nhWhWfF ,...,1= este procesul stochastic ( )TtFDt ≤, definit prin:

( ) ( )( ) ( )thhWhWxfFD i

n

in

it ∑

= ∂∂

=1

1 ,..., .

4.3.2. Ecuaţii diferenţiale stochastice retrograde

Fie date: ( )P,,FΩ un spaţiu probabilistic, B o mişcare browniană

d -dimensională pe acest spaţiu, filtrarea sa naturală ( )tF F= , b o funcţie definită pe

( )dnn RRR ×+ ×× , uniformă, lipschitziană

( ) ( ) ( )21212211 ,,,, yyxxKyxtbyxtb −+−≤− şi ζ o variabilă TF -măsurabilă de

pătrat integrabilă.

127

Problema este de a rezolva ecuaţia diferenţială retrogradă

( ) ttttt dBYdtYXtbdX *,, −=− verificând condiţia terminală ζ=TX , adică

determinarea perechii ( )YX , F -adaptată astfel încât:

( ) s

T

ts

T

tsst dBYdsYXsbX ∫∫ −+= *,,ζ . (5)

Un caz simplu este cel în care b nu depinde de X şi Y . Dacă există o soluţie a

ecuaţie ( ) s

T

ts

T

tt dBYdssbX ∫∫ −+= *ζ atunci variabila ( )dssbX

t

t ∫+0

este tF -măsurabilă şi

este egală cu expresia ( ) s

T

ts

T

dBYdssb ∫∫ −+ *

0

ζ . Aplicând media condiţionată în ambii

membri obţinem relaţia ( ) ( )

+=+ ∫∫ t

Tt

t dssbEdssbX F00

ζ , de unde rezultă că procesul

( )dssbXt

t ∫+0

este un martingal cu valoarea terminală ( )dssbT

∫+0

ζ cunoscută. Din

teorema de reprezentare a unui proces previzibil rezultă că există un proces Y astfel

încât ( ) ∫∫ +=+t

ss

t

st dBYydsXsbX00

, , de unde obţinem soluţia căutată.

Definiţia problemei. Fie date: ( )P,,FΩ un spaţiu probabilistic, W o mişcare

browniană n -dimensională pe acest spaţiu, filtrarea sa naturală F , ζ o variabilă

aleatoare TF -măsurabilă de pătrat integrabilă şi o familie F -adaptată de procese

( )yxtf ,,,⋅ , x , y ndd RR ××∈ cu valori în dR . Problema care ne interesează constă în

determinarea soluţiei unei ecuaţii diferenţiale stochastice pentru care condiţia terminală

şi forma termenului derivă sunt date.

Presupunem că ecuaţia diferenţială stochastică este de forma:

( ) ttttt dWYdtYXtfdX *,, −=− ,

unde *Y reprezintă transpusa matricei Y , iar condiţia terminală este ζ=TX . Altfel

scris pentru ts < ecuaţia are forma: ( ) ∫∫ −=−t

suu

t

suuts dWYduYXufXX *,, .

128

Soluţia căutată este perechea ( )YX , de procese F -adaptate ce satisfac ecuaţia:

( ) s

T

ts

T

tsst dWYdsYXsfX ∫∫ −+= *,,ζ .

Existenţa soluţiei problemei.

Definiţia 4.3. Spaţiul [ ]( )dRTL ,,02 este format din mulţimea proceselor

stochastice cu valori în dR , de pătrat integrabile, tF -progresiv măsurabile, adică

mulţimea proceselor Z pentru care ∞<

∫ dsZET

s

2

0

.

Propoziţia 4.16. Presupunem că pentru orice pereche ( )yx, din ndn RR ××

procesul ( )yxf ,., este progresiv măsurabil, cu ( ) [ ]( )dRTLf ,,00,0.,., 2∈ . De asemenea

presupunem că funcţia ( ),.,.,ωtf este uniform lipschitziană adică are loc inegalitatea:

( ) ( ) ( )21212211 ,,,, yyxxKyxtfyxtf −+−≤− .

In aceste condiţii există o unică pereche ( )YX , din [ ]( ) [ ]( )dd RTLRTL ,,0,,0 22 × ce

satisface ecuaţia (5).

Demonstraţie. Considerăm cazul 1== dn şi demonstrăm unicitatea soluţiei în acest

caz. Fie ( )11 ,YX şi ( )22 ,YX două soluţii din [ ]( ) [ ]( )dd RTLRTL ,,0,,0 22 × . Notăm

21 XXX s −=∆ şi 21 YYYs −=∆ . Aplicând formula lui Itô pentru ( )2sX∆ obţinem

relaţia:

( ) ( ) ( ) ( )( )∫ ∫∫ ∆∆−∆−−=∆+∆T

t

T

tssssssss

T

tst dWYXdsXYXsfYXsfdsYX 2,,,,2 221122 .

Având în vedere faptul că integrala stochastică este un martingal şi ţinând cont de

proprietatea Lipschitz a funcţiei f rezultă inegalitatea:

( )( ) ( ) ( ) ( )

∆+

∆≤

∆+∆ ∫∫∫

T

ts

T

ts

T

tst dsYEXdscEdsYEXE 2222

21 .

Prin urmare unicitatea rezultă din teorema lui Gronwall.

129

Demonstrăm existenţa soluţiei. Pasul 1. Considerăm cazul particular:

tttt dWYdtfdX −=− , ζ=TX , unde f este din ( )dRH 2 . Având în vedere relaţia:

( ) ( )∫ ∫

+=+

t T

tt dssfEdssfX0 0

Fζ

obţinem

+= ∫ t

T

tst dsfEX Fζ , Tt ≤≤0 .

Teorema de reprezentare ne conduce la existenţa variabilei [ ]( )RTLY ,,02∈ astfel încât

martingalul ( )0, ≥tX t admite reprezentarea ∫+=t

sst dWYXX0

0 .

Pasul 2. Considerăm ecuaţia ( ) tttt dWYdtYtfdX −=− , , ζ=TX , unde ( )ytf , este

progresiv măsurabilă cu ( )0,0,,ωtf din 2L şi ( ),.,ωtf uniform lipschitziană.

Construim un şir iterativ de procese ( )nn YX , cu ( ) 00 ≡tY . Având în vedere pasul 1

construim soluţia ( )11 ,YX a ecuaţiei ( ) ( ) ( ) tdWtYdttftdX 111 −=− , ( ) ζ=TX 1 , unde

( ) ( )( )tYtftf 01 ,= este cunoscută. Din primul pas rezultă că şirul ( )nn YX , cu 1≥n

aparţine [ ]( ) [ ]( )RTLRTL ,,0,,0 22 × . Demonstrăm faptul că şirul converge la soluţia

căutată. Aplicăm lema lui Itô şirului ( ) ( )( )21 tXtX nn −+ . Inlocuind acest şir în ecuaţia

diferenţială sochastică obţinem:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) tnnnnnn dWtYtYdttYtftYtftXtXd 111 ,, −−+ −−−=−− .

Atunci rezultă:

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ≤

−+− ∫ −+

T

tnnnn dssYsYEtXtXE 2

12

1

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

−+−≤ ∫ ∫ −+

T

t

T

tnnnn dssYsYdssXsXcE 2

12

1 .

Din relaţia 222

2

22 bccacb

caab +≤= obţinem:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) +

−≤

−+− ∫∫ +++

T

tnn

T

tnnnn dssXsXE

cKdssYsYtXtXE 2

122

12

11

130

( ) ( )∫ −−+T

tnn dssYsYEc 2

12 . Fie ( ) ( ) ( )( )

−= ∫ − dssXsXEet

T

tnn

ctn

21ϕ şi

( ) ( ) ( )( )

−= ∫ − dssYsYEet

T

tnn

ctn

21ψ . Inlocuind aceste relaţii în expresia de mai sus

obţinem relaţia: ( ) ( ) ( )ttt nnn ψψϕ21

1 ≤+′− + .

Integrând inegalitatea obţinem ( ) ( ) ( )∫∫ ≤+ +

T

tn

T

tnn dssdsst ψψϕ

21

1 . In particular rezultă

( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ≤+≤ +

T

tn

T

nnn dssdss 10

1 2100 ψψϕϕ .

Tinând cont de relaţia ( ) ( ) ( )ttt nnn ψψϕ21

1 ≤+′− + şi cum ( ) 0≤′ tnϕ rezultă

( ) ( )0212~01 n

nn c ψψ +≤ −+ deci cele două serii ( )0nϕ şi ( )0ψ sunt convergente iar

şirurile nX şi nY sunt convergente în 2L .

Pasul 3. Considerăm următoarea relaţie de recurenţă:

( ) 00 ≡tY , ( ) ( ) ( )( ) ( ) s

T

tn

T

tnnn dWsYdssYsXsftdX ∫∫ −=− − ,, 1 , ( ) ζ=TX n , Tt ≤≤0 .

Şirul ( ) ( )( ) 10,, ≥≤≤ nnn TttYtX este un şir Cauchy deci converge la o pereche ( )YX ,

care este soluţia căutată.

Exemplu. operaţiuni de hedging

Considerăm o piaţă financiară compusă din d instrumente financiare, un proces

de consum adaptat c şi un agent care în urma unei investiţii pe piaţa financiară doreşte

să obţină un capital final TX . Capitalul asociat unui portofoliu ( )dii ,...1,0, =π este dat

de relaţia ( ) ( )∑=

+=d

i

ititt StStX

1

00 ππ .

Condiţia de autofinanţare ( ) ( ) dtcdStdStdX t

d

i

ititt −+= ∑

=1

00 ππ permite scrierea

următoarei relaţii: ( ) ttttttt dWdtcdtrbdX σππ ** +−−= 1 unde 1 este un vector

131

d -dimensional cu componentele egale cu 1. Trebuie determinată soluţia următoarei

ecuaţii:

( ) ttttt dWYdtYXtbdX *,, += ,

unde ( ) ( ) ( )ωω tcrbyrxyxtb −−+= 1*,,, iar portofoliul ( )dii ,...1,0, =π este de forma

1* −= ttt Y σπ .

In acest caz procesul ∫+t

sstt dsRcXR0

este un martingal în raport cu Q , deci

+= ∫ t

T

tssTTPtt dsHcHXEXH F , unde H este produsul dintre factorul de discount şi

densitatea Radon-Nikodym.

Teorema de comparaţie. Fie if , 2,1=i cu ( ) ( )yxtfyxtf ,,,, 21 ≤ , două

procese ce satisfac ipotezele precedente. Fie iζ două variabile aleatoare

TF -măsurabile, de pătrat integrabile astfel încât 21 ζζ ≤ . Fie ( )ii YX , o soluţie a

ecuaţiei

( ) ( ) ti

ti

tit

iit dWYdtYXtbdX *,, −=− .

Atunci it

it YX ≤ oricare ar fi Tt ≤ .

Demonstraţie. Fie 21ttt XXY −= şi 21ˆ

ttt YYY −= . Procesul Y este soluţie a ecuaţiei

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) tttttttytxt dWYdtYXtbYXtbYtbXtbYd *22222111 ˆ,,,,ˆˆ −−+∆+∆=− ,

21 ζζ −=tY

unde

( ) ( )2121

1211111 ,,,,

tt XXtt

ttttty XX

YXtbYXtbb

≠×

−−

=∆ 1

( ) ( )2121

2111111 ,,,,

tt YYtt

tttttx YY

YXtbYXtbb

≠×

−−

=∆ 1

Demonstraţia se încheie având în vedere caracterul lipschitzian al lui 1b . In particular 1txb∆ şi 1

tyb∆ sunt mărginite.

132

4.3.3. Regula de schimbare a parametrului timp

Fie A un proces crescător, adică un proces nul în 0, continuu la dreapta şi

adaptat. Inversul procesului crescător A este un proces C definit prin

uAtC tu >= inf , cu convenţia ∞=φinf . Procesul C este crescător, continuu la

dreapta şi verifică relaţiile: uAtC tu≥=− inf şi uAtC tu <=> . De asemenea

sAsC ≥ şi tCuA ut >= inf . Pentru orice u , variabila aleatoare uC este un timp de

oprire. Dacă A este continuu şi strict crescător atunci C este continuu şi are loc relaţia

( )( ) ttAC = . Printr-o schimbare a variabilei timp obţinem formula

: ( ) ( )∫ ∫∞ ∞

∞<=0 0

dsCfdAsfsCss 1 .

Observaţie. Dacă M este un martingal continuu de pătrat integrabil există un unic

proces crescător continuu notat cu M pentru care procesul ( )0,2 ≥− tMMtt este un

martingal. In cazul în care ∫+=t

sst dBHMM0

0 croşetul lui M este procesul crescător

dsHMt

st ∫=0

2 .

Teorema Dubins Schwartz. Dacă M este un martingal continuu pentru care

∞=∞

MM , atunci există o mişcare browniană W astfel încât tAt WM = , unde

tt MMA ,= .

Demonstraţie. Fie MA = şi tCt MW = unde C este inversul procesului A .

Procesul tMtC= este crescător iar W este un martingal în raport cu

tCF . Prin

urmare W este o mişcare browniană şi deci tAt WM = .

Propoziţia 4.17. Păstrând notaţiile din teorema Dubins Schwartz putem face

următoarea afirmaţie: dacă Z este un proces progresiv măsurabil astfel încât

∞<∫∞

ss MdZ0

2 atunci procesul tC

def

t ZY = verifică relaţiile: ∞<∫∞

0

2dsYs ;

∫∫ =tM

uu

t

ss dWYdMZ00

; ∫ ∫=tC t

uuvv dWYdMZ0 0

.

133

Observaţie. 1. ( ) ∫=t

ss dMHtZ0

1 şi ( ) ∫=tA

uu dWYtZ0

2 sunt martingale care au acelaşi

croşet. 2. In cazul ∫=t

sst dBHM0

are loc relaţia ( ) dsHtAt

s∫=0

2 . Dacă H este pozitiv şi

continuu atunci ( )sAH s ′= . Considerând ( )

∫=tA

st dWM0

obţinem:

( )

( ) tttt

tA

s dBtAdBHdMdWd ′===

∫0

.

Aplicaţii. 1. Procesul Bessel

Propoziţia 4.18. Fie W o mişcare browniană . Procesul ( )( )0,exp ≥+ ttWt ν ,

unde +∈ Rν este un proces Bessel de indice ν pentru care ( ) ( ) ( )( )νν νtt ARtW =+exp ,

unde ( ) ( )( )dssWAt

st ∫ +=0

2exp νν şi ( )νR sunt procese BES de indice ν .

Demonstraţie. Fie procesul crescător ( ) ( )( )dssWAt

st ∫ +=0

2exp νν şi fie

uAtC tu =≥= :0inf inversul său . Faptul că

( )( )∫ +==t

t

C

sC dssWtA0

2exp ν implică

( )( ) ttC dCCWdtt

ν+= 2exp . Procesul continuu W~ definit prin ( )∫ +=utC

ssu dWsWW0

exp~ ν

este un martingal, procesul crescător fiind egal cu ( ) udssWutC

s =+∫0

2exp ν şi este o

mişcare browniană. Din definiţia lui W~ putem scrie ( )∫ +=t

ssA dWsWWt

0

exp~ ν sau

( ) ttA dWtWWdt

ν+= exp~ .

Demonstrăm că ( )uC

def

u CWRu

ν+= exp este un proces Bessel. Formula lui Itô ne

conduce la următoarea relaţie:

134

( ) ( )( ) ( ) ( )dttWWddttWdtdWtWtWd tAtttt t νννννν +

++=++++=+ exp

21~exp

21expexp

sau ( ) ( )dssWWtW t

t

At t ννν +

+++=+ ∫

0

exp21~1exp . Prin urmare

( ) ( )dssWWCW s

C

uC

u

u u ννν +

+++=+ ∫

0

exp21~1exp şi

( ) ( ) ( )( ) ( )∫∫∫∫ +

=+

+=+=+

=

u

Cs

u

s C

Cs

u

C

C

s CWdsdC

CWCW

dCCWdssWuu

u

u

u

0000 expexp2exp

expexpuu

uu

ννν

νν

.

Atunci forma diferenţială este

( ) ( )uu

CW

duWdCWdu

uC

uC ννν

+

++=+

exp21~exp

şi u

uu RduWddR

++=

21~ ν . Rezultatul căutat se obţine având în vedere relaţia

( )tWR tAt ν+= exp şi unicitatea soluţiei ecuaţiei diferenţiale asociate procesului

( )νBES .

2. Procesul Cox-Ingersoll-Ross

Propoziţia 4.19. Dacă r este soluţie a ecuaţiei ( ) tttt dWrdtbradr σ++= ,

α=0r , unde b este o funcţie continuă, atunci

( ) ( ) ( )

≥

=≥ ∫ 0,

410,

0

2

tdssRt

trtlegeîn

t βσβ

,

unde ( ) ( )∫−=s

dttbs0

expβ şi R este un proces BESQ cu indexul 2

4σ

δ a= .

Demonstraţie. Fie ( ) ( )∫ =−=t

ttt trdssbr0

exp βρ . Din formula lui Itô rezultă

( ) ( ) ( )∫ ∫++=t

s

t

t dWssdssa0 0

0 ρβσβρρ .

135

Definim procesul crescător ( ) ( ) ( )dsssuCu

∫=0

2 ρβσ . Atunci procesul invers al său este

( ) ( ) tuCutA == inf . Aplicând formula de schimbare a timpului obţinem:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

∫∫ ++=tA

s

tA

tA dWssdssa00

0 ρβσβρρ .

Cum ( ) ( )( )tAtA

β1

=′ rezultă ( ) ( )( )∫++=t

stA dZsAat0

0 ρρρ , unde Z este o mişcare

browniană.

Propoziţia 4.20. Dacă r este soluţie a ecuaţiei ( )( ) tttt dWrdtrtadr σλ +−= ,

xr =0 , unde λ este o funcţie continuă, atunci

( ) ( ) ( )

≥

Λ

Λ=≥ ∫ 0,

410,

0

2legeîn

tdsst

trt

tσρ ,

unde ( ) ( )

=Λ ∫

s

dtts0

exp λ şi ρ este un proces Bessel pătratic de dimensiune 2

4σ

a .

Demonstraţie. Fie ( ) ( )trdssrZ t

t

tt Λ=

= ∫

0

exp λ . Aplicând formula lui Itô obţinem:

( ) ( )∫ ∫ Λ+Λ+=t

s

t

st dWZsdssaZZ0 0

0 σ .

Definim funcţia crescătoare ( ) ( )∫ Λ=u

dssuC0

2

4σ . Atunci inversa sa este

( ) ( ) tuCutA == :inf . Aplicând o schimbare de variabilă (timp) obţinem

( ) ( ) ( )( )( )

∫ ∫ Λ+Λ+=tA tA

sstA dWZsdssaZZ0 0

0 σ .

Procesul ( )( )

∫ ΛtA

ss dWZs0

σ este un martingal iar procesul crescător asociat este dat de

relaţia: ( )( )

( )∫∫ =Λt

sA

tA

s dsZdsZs00

2 4σ , deci

136

( ) ( ) s

t

s

t

ssAtA

def

t dBtadBZtaZZ ∫∫ ++=++==0

200

20 2424 ρσ

ρσ

ρ ,

unde B este o mişcare browniană.

Propoziţia 4.21. Densitatea de tranziţie a procesului ( )0, ≥trt definit prin

( )( ) tttt dWrdtrtadr σλ +−= , xr =0 , unde λ este o funcţie continuă este dată de

relaţia:

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )

ΛΛ

Λ

ΛΛ+

−ΛΛ

==∈ts

tsrItsr

tstsr

tstsrdrrP st ,

,,,2

,exp,2

,*

2

**

ρρ

ρρ ν

ν

,

unde ( ) ( )

=Λ ∫

t

s

duuts λexp, , ( ) ( )∫ Λ=Λt

s

duusts ,4

,2

* σ şi 12 2 −= σν a .

Bibliografie

Henk C. Tijms

- A First Course in Stochastic Models, John Wiley & Sons Ltd, 2003

Kannan D.

- An Introduction to Stochastic Processes, Probability and Applied Mathematics, Elsevier, 1979

D. Nualart

- The Malliavin calculus and related topics. Springer-Verlag, 1995

Potter Philip E.

- Stochastic Integration and Differential Equations (Applications of Mathematics-Stochastic Modelling and Applied Probability 21), second edition, Springer, 2004

137

Exerciţii

1. Considerăm modelul binomial al variaţiei preţului acţiunilor pe o piaţă

financiară. Presupunem că valoarea iniţială (la momentul 0) a unei acţiuni XYZ este 0S

şi la momentul T∆ există două posibilităţi, fie preţul acţiunii creşte cu un procent u la

valoarea uS0 fie scade cu un procent d la valoarea dS0 . Condiţia de dobânda fără risc

implică faptul că la momentul T∆ , $1 va avea valoarea $ Tre ∆ .

a. Presupunem ued Tr << ∆ . Să se demonstreze că în aceste condiţii preţul unei

opţiuni call europene cu timpul de maturitate T∆ şi preţul de exercitare K este

( ) ( )+∆−

+

∆−

−

−

−+−

−

− KdSdu

ueKuSdu

de TrTr

0011

b. Ce se întâmplă în cazul în care condiţia ued Tr << ∆ nu este verificată?

2. Presupunem că la cursul de schimb al zilei £100 valorează $280. Un speculator

estimează că până la sfârşitul anului paritatea liră -dollar va fi $2,6 cu o probabilitate

de 2/3 şi $3,0 cu o probabilitate 1/3. Acesta cumpără o opţiune put europeană ce îi dă

dreptul să vândă la sfârşitul anului cele £100 cu $290. Preţul plătit pentru opţiune este

$20. Rata dobânzii fără risk este 0. Utilizând modelul binar cu un singur pas fie

construiţi o strategie prin care una din părţi obţine profit, fie demonstraţi că preţul plătit

este cel corect. Determinaţi probabilităţile de risc neutru, adică probabilităţile p şi

p−1 de creştere şi respectiv scădere a lirei în raport cu care ( ) 0SSeE TTr =∆− . Având în

vedere că 0=r , verificaţi dacă în aceste condiţii preţul corect al opţiunii este

( )( )+− TSKE (unde media este calculată în raport cu aceste probabilităţi.

3. Paritatea Put-Call. Fie tC şi tP preţurile unei opţiuni call europene şi respectiv

put europene cu timpul de maturitate T şi preţul de exercitare K . Presupunem că rata

dobânzii fără risc este o constantă r (costul împrumutării unui dollar pentru s unităţi de

timp este $ rse . Să se demonstreze că pentru orice Tt ≤ are loc

relaţia : ( )tTrttt KeSPC −−−=− .

138

4. Presupunem că preţul unui activ are o distribuţie lognormală, adică ( )0log SST

are o distribuţie normală cu media µ şi varianţa 2σ . Să se calculeze ( )TSE .

5. Fie 0T şi 1T două momente astfel încât 10 TT < . O opţiune forward start este un

contract care permite deţinătorului să primească la momentul 0T , fără extra costuri, o

opţiune cu maturitatea 1T şi preţul de exercitare 0TS (preţul activului la momentul 0T ).

Presupunem că preţului acţiunii i se poate asocia un model binar cu doi paşi astfel încât

preţul activului la momentul 0T este fie uS0 , fie dS0 iar la momentul 1T este 20uS ,

udS0 sau 20dS , unde ( )( ) ( )( ) ueeeed TTrrTTTrrT <≤< −− 010010 ,max,min , r fiind rata

dobânzii fără risc. Să se determine preţul corect al opţiunii la momentul 0. Utilizând

modelul Black-Scholes determinaţi valoarea opţiunii forward start.

6. Fie 0≥ttB o mişcare browniană standard. Precizaţi care din următoarele

procese sunt mişcări browniene:

0≥− ttB

0

2≥tctcB , unde c este o constantă

01 ≥tBt

02 ≥− ttt BB

Justificaţi răspunsul.

7. Fie 0≥ttB o mişcare browniană standard. Fie aBtT ta =≥= :0inf timpul de

lovire a nivelului a . Să se demonstreze egalitatea ( )( ) ( )θθ 2expexp aTE a −=− . Să se

calculeze ( )aTE şi ( )∞<aTP .

8. Fie Ttt ≤≤0F o filtrare naturală asociată mişcării browniene standard TttB ≤≤0 .

Care din următoarele procese sunt tF - martingale:

a. ( )tBσexp

b. 2ctcB , unde c este o constantă

139

c. ∫−t

st dsBtB0

9. Fie f este o funcţie elementară. Arătaţi că procesul ( )∫=t

sst dBBsfM0

, ,

definit de integrala Itô este un martingal.

10. Verificaţi relaţia ( )∫∫ =

t

s

t

ss dsBEdBBE0

2

2

0

.

11. Utilizând formula lui Itô scrieţi ecuaţiile diferenţiale stochastice pentru

următoarele procese, în care 0≥ttB reprezintă mişcarea browniană standard:

3tt BY =

−= tBY tt

2

21exp σσ

tt tBY =

12. a. Utilizând formula lui Itô pentru funcţia ( ) 2, xxtf = arătaţi că

( )∫ −=t

tss tBdBB0

2

21 ,

unde 0≥ttB o mişcare browniană standard.

b.Utilizând formula lui Itô pentru funcţia ( ) 3, xxtf = arătaţi că

dtBBdBBt t

ttss∫ ∫−=0 0

32

31 , unde 0≥ttB o mişcare browniană standard.

13. Fie 0≥ttB o mişcare browniană şi fie ( )tt BZ αexp= . Utilizaţi formula lui Itô

pentru a scrie ecuaţia diferenţială stochastică asociată procesului tZ . Să se arate relaţia

( )( )

= tBE t 2

expexp2αα .

140

14. (Procesul Ornstein-Uhlenbeck) Fie 0≥ttB o mişcare browniană. Procesul

Ornstein-Uhlenbeck 0≥ttX este unica soluţie a ecuaţiei Langevin:

ttt dBdtXdX +−= α , xX =0 .

Verificaţi relaţia ∫−− +=t

sstt

t dBeexeX0

ααα şi utilizând această expresie calculaţi media

şi varianţa variabilei aleatoare tX .

15. Presupunem că preţul tS al unui activ este dat de relaţia tttt dBSdtSdS σµ += ,

unde tB este mişcarea browniană standard. Fie r rata dobânzii fără risc. Preţul unui

activ fără risc este dat de relaţia dtrSdS tt00 = . Fie ( )tt HH ,0 portofoliul care la

momentul t este compus din 0tH unităţi din activul fără risc, 0

tS şi tH unităţi din

activul cu risc, tS . In fiecare din cazurile prezentate mai jos determinaţi 0tH pentru

care portofoliul ( )tt HH ,0 verifică condiţia de autofinanţare ttttt dSHdSHdV += 00 :

a. 1=tH

b. ∫=t

ut duSH0

c. tt SH =

Reamintim că valoarea portofoliului la momentul t este dată de formula

ttttt SHSHV += 00 .

16. Delta-hedging. Cum preţul unui activ poate fi privit ca o mişcare browniană

geometrică rezultă că există parametrii µ şi σ astfel încât preţul activului poate fi

modelat de ecuaţia tttt dBSdtSdS σµ += . Ne propunem ca pe baza acestui activ să

determinăm valoarea unei opţiuni europene. Fie ( )tStV , valoarea opţiunii la momentul

t . Ştim că pentru anumite funcţii, la momentul T , ( ) ( )TT SfSTV =, . Atunci:

a. utilizând formula lui Itô exprimaţi valoarea V a opţiunii ca soluţie a unei

ecuaţii diferenţiale stochastice.

141

b. fie un portofoliu compus dintr-o opţiune şi o cantitate negativă δ− de active.

Notăm cu π valoarea acestui portofoliu. Presupunând că portofoliul verifică condiţia de

autofinanţare, determinaţi ecuaţia diferenţială stochastică verificată de π .

c. determinaţi valoarea lui δ pentru care termenul stochastic se anulează.

Teme pentru proiect:

• Modelul binomial al preţului unui activ

• Timp de oprire în cazul opţiunii americane

• Optimizarea capitalului

• Modelul Heath-Jarrow-Morton

• Modelul Hull-White

• Modelul Cox-Ingersoll-Ross

• Modelul bifactorial (Duffie & Kan)

• Schimbare de numerar

• Problema ruinării

142

Dicţionar de termeni financiari

Acoperire (Coverage)

Marja de siguranţa pentru plata serviciului datoriei aferent unei obligaţiuni

municipale bazate pe venituri. Reprezintă numărul de ori (de exemplu, acoperire 150%)

cu care câştigurile nete anuale depăşesc serviciul anual al datoriei. Poate fi o valoare

absolută sau relativă.

Active (Assets)

(1) Totalitatea bunurilor având valoare comercială deţinute de către o companie,

instituţie sau persoană fizică. Activele pot fi tangibile, cum ar fi stocurile, utilajele,

clădirile şi terenurile, sau intangibile, cum ar fi brevetele şi mărcile. (2) Partea stângă a

bilanţului în care sunt înscrise activele. (3) în cazul fondurilor de investiţii,

instrumentele financiare care alcătuiesc portofoliul se mai numesc şi active financiare

(bani, acţiuni, obligaţiuni s.a.)

Active curente (circulante) (Current assests)

Numerar precum şi active care se estimează că vor fi transformate în numerar,

în maxim un an, cum ar fi instrumentele financiare tranzacţionabile, creanţele,

stocurile. De regulă, activele curente nu sunt foarte profitabile, dar tind să confere

lichiditate şi siguranţă operaţiunilor unei firme.

Acţiune (Stock)

Instrument financiar ce reprezintă proprietatea într-o corporaţie şi conferă un

drept asupra câştigurilor şi activelor acesteia. De regulă, o actiune comună dă dreptul

deţinătorului sau să voteze cu ocazia alegerii directorilor in consiliul de administraţie

sau cu ocazia supunerii la vot a altor probleme, în adunarea generală a acţionarilor sau

prin intermediul unui mandat (proxy). In general, o acţiune preferenţială nu conferă

dreptul la vot, dar are un drept prioritar asupra câştigurilor şi asupra activelor

companiei fată de o acţiune comună - dividendele aferente acţiunilor preferenţiale

trebuie plătite înaintea dividendelor aferente acţiunilor comune. O corporaţie poate

autoriza şi alte clase de acţiuni, fiecare cu propriul său set de drepturi contractuale.

143

Bursa de mărfuri (Commodity exchange)

Piaţa organizată şi reglementată care oferă un sistem prin care pot fi încheiate

tranzacţiile cu mărfuri. In majoritatea cazurilor, acesta constă într-un ring de

tranzacţionare unde brokerii cumpărători şi vânzători se întâlnesc într-o zonă cunoscută

sub denumirea de trading pit. Astfel, deşi la unele burse sistemul de tranzacţionare este

computerizat, oferind un program pentru tranzacţionarea electronică prin terminale

aflate la distanţă, unele tranzacţii se desfăşoară încă în ringul bursei prin licitaţie cu

strigare deschisă. Tranzacţiile se pot derula în sistem imediat, sau la termen. In cazul

tranzacţiilor efectuate în sistem imediat, livrarea mărfii se face pe loc (on

spot/immediate delivery); în cazul tranzacţiilor la termen, livrarea mărfii se face la o

anumită dată în viitor (future delivery). Scopul tranzacţiilor la termen este acela de a

asigura o protecţie (hedge) împotriva risculului modificării preţului unei mărfi într-o

anumită perioadă de timp. Bursa este prevăzută cu departamente care supraveghează

toate tranzacţiile care au loc în ring şi stabileşte regulile de desfăşurare a tranzacţiilor

astfel încât afacerile să fie încheiate în mod eficient, corect şi într-o manieră etică. In

plus, bursa, funcţionând pe principiul transparenţei, colectează şi transmite informaţiile

referitoare la preţul şi mărimea tranzacţiilor astfel încât investitorii să poată cunoaşte

situaţia pieţei în orice moment.

Bursa de Opţiuni din Chicago (Chicago Board of Options Exchange (CBOE))

In Statele Unite, bursa înregistrată unde se tranzacţionează opţiuni pe acţiuni. A

fost prima bursă la care s-au tranzacţionat astfel de contracte.

Bursa de valori (Stock Exhange)

Piaţa organizată şi reglementată pe care valorile mobiliare (acţiunile comune,

instrumentele financiare echivalente cu acţiunile comune şi obligaţiunile) sunt

tranzacţionate de către membrii bursei, acţionând ca agenţi (brokeri) şi ca principali

(dealeri sau traderi). O astfel de piaţă presupune existenţa unui loc (ring de

tranzacţionare) în care brokerii şi traderii se întâlnesc pentru a executa ordinele de

cumpărare şi de vânzare ale clienţilor lor individuali şi instituţionali. Fiecare bursă

impune membrilor săi propriile cerinţe; New York Stock Exchange are cele mai severe

exigenţe.

144

Contract futures (Futures contract)

Acord de a cumpăra sau de a vinde o cantitate specificată dintr-un activ denumit

activ de bază (de exemplu, o marfă sau un instrument financiar) la o dată viitoare, la un

preţ predeterminat. Prin acest acord părţile se obligă să-şi preia reciproc riscul

pierderilor potenţiale cauzate de evoluţia preţului, printr-un transfer zilnic al unui flux

de numerar compensator determinat prin marcare la piaţă (mark to market). Contractul

futures angajează părţile să respecte două categorii de obligaţii: (1) obligaţia născută

din executarea unui contract de vânzare-cumpărare (a unei cantităţi specificate din

activul de bază, la un anumit preţ, la o dată viitoare când va avea loc o compensare

finală, adică efectuarea plăţii şi transferul dreptului de proprietate asupra activului de

bază); (2) obligaţia de a participa la un sistem de redistribuire a unui flux de numerar

care compensează zilnic pierderile potenţiale înregistrate de cealaltă parte a

contractului. Contractele futures sunt standardizate pentru a putea fi tranzacţionate activ

pe piaţă (la o bursă organizată). Emisiunea lor este deschisă, nedefinită, continuă şi

variabilă ca mărime, instituţia emitentă (bursa desemnată să tranzacţioneze acele

contracte) punând la dispoziţia investitorilor un număr nelimitat de contracte grupate pe

clase, subclase şi serii pentru toate datele de livrare posibile. Preţul de tranzacţionare al

unui contract futures este stabilit între cumpărător şi vânzător folosind fie sistemul de

licitaţie cu strigare deschisă, fie sistemul de tranzacţionare electronic. Un contract

futures obligă cumpărătorul să cumpere activul de bază şi vânzătorul să îl vândă, cu

excepţia cazului în care cumpărătorul şi/sau vânzătorul îşi acoperă poziţia înainte de

scadenţă, ceea ce se poate întâmpla dacă aceştia doresc să obţină un profit sau să

limiteze o pierdere. Acest lucru contrastează cu tranzacţionarea opţiunilor în care

cumpărătorul unei opţiuni poate alege dacă să exercite sau nu opţiunea până la data

exercitării.

Contract forward (Forward contract)

Acord între două părţi prin care acceptă să cumpere, respectiv să vândă o

anumită cantitate din activul de bază (o marfă, un instrument financiar guvernamental,

o valută sau alt instrument financiar) la un anumit preţ, cu livrarea la o dată viitoare

specificată şi în condiţii stabilite în prezent. O deosebire faţă de contractele futures o

constituie faptul că aceste contracte nu sunt standardizate; ele sunt contracte

145

personalizate încheiate între două părţi. Astfel, termenii pentru contractele forward sunt

stabiliti de comun acord între cumpărător şi vânzător şi pot fi diferiţi de cei stabiliţi

pentru contractele futures de către bursa la care acestea se tranzacţionează. O altă

deosebire este că aceste contracte nu se tranzacţionează pe o piaţă organizată şi nu

există o casă de compensaţie care să preia riscul de neîndeplinire a obligaţiilor

contractuale de către una din părţi. De asemenea, contractele forward nu sunt lichide.

Ele sunt transferate foarte greu şi, de obicei, nu pot fi anulate decât cu acordul celeilalte

părţi care, de multe ori, se obţine prin plata unor penalităţi. Denumit şi contract "to

arrive", contractul forward este predecesorul contractului futures actual.

Coeficient de corelaţie (Correlation coefficient)

Instrument statistic de măsură a gradului de dependenţă dintre două variabile,

cum ar fi de exemplu rentabilitaţile a două investiţii diferite. In cazul majorităţii

perechilor de investiţii, rentabilităţile sunt corelate pozitiv, deşi corelaţia poate fi slabă.

Uneori o investiţie poate creşte în timp ce cealaltă poate să scadă, caz în care corelaţia

este negativă sau invers. Coeficientul de corelaţie variază între -1 şi +1. Cu cât

coeficientul de corelaţie este mai apropiat de +1, cu atât este mai mare tendinţa ca

rentabilităţile să evolueze în tandem. La valori negative, coeficientul indică o corelaţie

inversă, iar atunci când acesta este egal cu zero, el indică lipsa unei corelaţii.

Coeficientul Alfa (Alpha)

Coeficient care compară randamentul real al unui fond de investiţii cu

perfomanţa estimată, la un anumit nivel de risc, de către coeficientul Beta. O valoare

pozitivă a coeficientului Alfa indică faptul că performanţele fondului sunt mai bune

decât valoarea previzionată de către coeficientul Beta. Dimpotrivă, o valoare negativă a

coeficientului Alfa indică o performanţă a fondului mai slabă decât performanţa

estimată de coeficientul Beta pentru fondul respectiv. Formula de calcul a

coeficientului Alfa este: Alfa = (F - T) - Beta x (B - T), unde F = randamentul total al

fondului, T = randamentul bonurilor de trezorerie de 90 de zile, iar B (benchmark) =

randamentul total al celui mai reprezentativ fond de acelaşi tip (din aceeaşi categorie).

Vezi Coeficientul Beta, R-pătrat.

146

Coeficientul Beta (Beta)

Coeficient care măsoară volatilitatea unei acţiuni în raport cu piaţa acţiunilor

sau cu categoria din care face parte. Standard & Poor’s 500 Stock Index are un

coeficient Beta egal cu 1. Orice acţiune care are un coeficient Beta mai mare decât 1

este mai volatilă decât piaţa, şi orice acţiune al cărei coeficient Beta este mai mic decât

1 se estimează că va creşte şi va scădea mai încet decât piaţa. Un investitor care este

foarte preocupat de conservarea capitalului ar trebui să se axeze pe acţiuni care au un

coeficient Beta mic în timp ce un investitor care este dispus să-şi asume riscuri mari în

încercarea de a obţine câştiguri mari ar trebui să caute acţiuni care au un coeficient Beta

mare.

Coeficientul Beta al unui portofoliu (Portfolio beta score)

Instrument de măsură a volatilităţii unui portofoliu, comparativ cu un indice de

referinţă, cum ar fi S&P 500. Valori ale coeficientului Beta peste 1,0 indică un

portofoliu volatil sau agresiv, valori mai mici decât 1,0 indică un portofoliu mai stabil

sau defensiv. De exemplu, un portofoliu cu un coeficient Beta de 1,25 se estimează că

va fi cu 25% mai volatil decât indicele. Coeficientul Beta al unui portofoliu se

calculează însumând valorile obţinute pentru fiecare instrument financiar deţinut în

portofoliu prin înmulţirea coeficientului Beta al instrumentului financiar cu ponderea pe

care acesta o are în cadrul portofoliului.

Contract futures pe o valută (Foreign currency future)

Contract care creează obligaţia de a cumpăra sau de a vinde în viitor o cantitate

stabilită dintr-o anumită valută.

Contract spot (Spot commodity contract)

Contract care presupune că livrarea mărfii către cumpărător este efectuată

imediat după ce a fost încheiată tranzacţia, spre deosebire de un contract futures sau

forward care presupune că livrarea mărfii se va efectua în viitor. Aceste contracte sunt

tranzacţionate pe piaţa cash (spot).

147

Contract swap (Swap contract)

Instrument financiar derivat închis, prin care participanţii schimbă riscul şi

avantajele aferente unor obligaţii contractuale de plată variabile sau fixe, cu riscul şi

avantajele aferente unor obligaţii contractuale de plată fixe sau variabile. Participanţii

sunt numai persoane juridice angajate în contracte de emisiune a instrumentelor

financiare transferabile cu grad de rating diferit, contracte comerciale, plăţi în moneda

naţională sau alte valute, precum şi în activităţi de arbitraj, hedging şi speculaţie.

Contractele swap nu au loc între partenerii contractelor economice principale de

vânzare/cumpărare, ci separat, între aceştia şi un intermediar specializat care îşi asumă

separat riscul variaţiei de preţ. Deoarece asemenea contracte nu sunt standardizate, ele

nu se pot tranzacţiona pe o piaţă organizată şi reglementată, ci se negociază individual

(pe piaţa OTC).

Cupon (Cupon)

(1) Parte detaşabilă a unei obligaţiuni la purtător care reprezintă un drept de

plată a dobânzii, indicând cuantumul dobânzii care trebuie plătită, data şi locul unde va

fi făcută plata. In general, cupoanele se plătesc semestrial. Ele sunt prezentate agentului

de plăţi al emitentului sau sunt depuse de către investitor la o bancă comerciala pentru a

încasa plata. (2) Rata dobânzii plătită de o obligaţiune.

Factorul Delta (Delta)

Variaţia preţului unei opţiuni la o variaţie de un punct a preţului activului de

bază. De exemplu, un factor delta de 0,5 indică faptul că preţul opţiunii va creşte cu o

jumătate de punct la fiecare creştere de un punct a activului de bază. Factorul delta ia în

considerare timpul rămas până la expirarea opţiunii, volatilitatea activului de bază şi

relaţia dintre preţuri. In cazul unei opţiuni call, prima opţiunii creşte atunci când preţul

activului de bază creşte; în cazul unei opţiuni put, prima opţiunii creşte atunci când

preţul activului de bază scade. Factorii delta sunt disponibili la orice casă de

compensaţie care operează tranzacţii cu opţiuni. Aceşti factori variază zilnic. Pe măsură

ce se apropie data expirării, factorul delta al opţiunilor în bani se apropie de 1.

148

Factorul gammma (Gamma)

Derivata financiara care masoara variatia asteptata a factorului delta al unei

optiuni atunci cand pretul activului de baza creste sau scade. De exemplu, daca o

optiune pe o actiune are un factor delta de 60% si un factor gamma de 5%, o crestere de

un punct a pretului actiunii de baza va determina o crestere de 5% a factorului delta, de

la 60% la 65%.

Factorul theta (Theta)

Derivata care măsoar erodarea primei unei opţiuni cauzată de trecerea timpului.

Se ştie că, la expirare, o opţiune nu va mai avea valoare de timp, ci doar valoare

intrinsecă, în cazul în care va avea. Theta are ca scop previzionarea ratei zilnice de

erodare a primei. Dacă presupunem, de exemplu, că o opţiune are o primă de 3 şi un

factor theta de 0,06, acest lucru înseamnă că în fiecare zi prima se va eroda cu 0,06.

Astfel, după prima zi ea va scădea la 2,94, după a doua zi la 2,88 şi aşa mai departe.

Factorul vega (Vega)

Derivata care măsoară efectul asupra primei unei opţiuni pe care îl are o

modificare a factorului de volatilitate a acţiunii de bază. De exemplu, dacă acţiunea

XYZ are un factor de volatilitate de 30%, iar prima curentă este de 3, atunci un factor

vega de 0,08 va indica faptul că prima va creşte la 3,08 dacă factorul de volatilitate

creşte cu 1%, adică la 31%. Atunci când acţiunea devine mai volatilă, prima va creşte

în aceeaşi proporţie. Factorul vega măsoară sensibilitatea primei la aceste variaţii ale

volatilităţii.

Hedge/Hedging (Hedging)

(1) Angajarea unei poziţii pe piaţa futures opusă faţă de poziţia deţinută pe piaţa

cash (spot) pentru a înlocui temporar o tranzacţie care urmează să fie făcută pe piaţa

cash (spot), ca protecţie împotriva riscului ca preţul să aibă o evoluţie nefavorabilă pe

piaţa cash. De exemplu, vânzarea short de contracte futures în anticiparea vânzării

viitoare a unei mărfi pe piaţa cash (spot), ca protecţie împotriva unei eventuale scăderi

a preţului, sau cumpărarea de contracte futures în anticiparea cumpărării viitoare a unei

mărfi pe piaţa cash (spot), ca protecţie împotriva unei eventuale creşteri a preţului. Prin

149

cumpărarea sau vânzarea short de contracte futures, riscul modificării preţului este

transferat speculatorilor care sunt dispuşi să accepte acest risc în speranţa obţinerii unor

profituri rapide. (2) Se referă la orice combinaţie de poziţii long şi short în instrumente

financiare, contracte futures şi opţiuni, în care o poziţie tinde să reducă riscul celeilalte;

orice strategie folosită pentru a reduce riscul unei investiţii. De exemplu, un manager

de portofoliu se poate proteja parţial împotriva riscului de scădere a pieţei transferând o

parte mai mare a portofoliului în instrumente financiare echivalente cu numerarul. Ca

alternativă, managerul ar putea vinde contracte futures pe indici de acţiuni. Dacă piaţa

scade, câştigurile din contractele futures vândute short vor compensa într-o măsură mai

mare sau mai mică scăderea în valoare a portofoliului.

Instrumente financiare derivate (Derivatives)

Instrumente financiare a căror valoare depinde de (deriva din) valoarea altui

activ, cum ar fi o acţiune, o obligaţiune, o marfă sau un indice al preţurilor acţiunilor.

Instrumentele financiare derivate fluctuează în tandem cu activul de bază. Aceste

instrumente produc adesea un efect de levier, ceea ce le face şi mai volatile. Ele pot fi

utilizate atât în scopuri speculative, cât şi pentru a reduce sau a controla un risc nedorit.

Opţiunile şi contractele futures sunt instrumente financiare derivate standardizate dar,

există şi instrumente financiare derivate care sunt create special pentru a satisface

anumite cerinţe.

Obligaţiune (Bond)

(1) Instrument financiar de credit, purtător de dobândă sau cu discont, care

reprezintă o datorie pe termen lung, emisă de autorităţile publice sau de corporaţii.

Emitentul plăteşte dobânda la intervale de timp specificate (de regulă semestrial) şi

răscumpără obligaţiunile atunci când împrumutul este programat să fie rambursat, adică

la data scadenţei (maturity date) sau mai devreme, la data răscumpărării (call date).

Deţinătorii obligaţiunilor au un document de tip IOU de la emitent, dar nu au drepturi

în cadrul companiei aşa cum au acţionarii. O obligaţiune poate fi la purtător sau

nominativă, în formă materializată sau în formă dematerializată. O obligaţiune

garantată (secured bond) este garantată de un colateral (de exemplu, un activ fix) care

poate fi vândut de către deţinătorul obligaţiunii în cazul în care emitentul nu plăteşte

dobânda sau principalul atunci când acestea devin scadenţe. O obligaţiune negarantată

150

(unsecured bond/debenture) este garantată de integritatea companiei emitente şi nu de

un anumit colateral. O obligaţiune convertibilă conferă deţinătorului acesteia dreptul de

a converti obligaţiunea în alte instrumente financiare ale companiei emitente la o dată

viitoare şi în anumite condiţii prestabilite. (2) De asemenea, în finanţe, este obligaţia

unei persoane de a achita datoria contractată de către altcineva în cazul în care debitorul

nu îşi îndeplineşte obligaţiile de plată.

Obligaţiune cu cupon zero (Zero-coupon bond)

Obligaţiune care nu face plăţi periodice ale dobânzii către deţinătorul său. O

obligaţiune cu cupon zero este emisă cu un discont faţă de valoarea sa nominală şi

creşte treptat în valoare pe măsură ce se apropie de scadenţă. Astfel, venitul unui

investitor dintr-o obligaţiune cu cupon zero provine doar din creşterea în valoare. Plata

finală la scadenţă cuprinde atât dobanda acumulată, cât şi principalul.

Opţiune (Option)

Contract care conferă deţinătorului său dreptul, dar nu şi obligaţia, de a cumpăra

(în cazul unei opţiuni call) sau de a vinde (în cazul unei opţiuni put) un anumit activ

denumit activ de bază, la un preţ prestabilit, într-o anumită perioadă de timp. Dacă

acest drept nu este exercitat în perioada de timp specificată, opţiunea expiră. Vezi Call

option, Put option.

Opţiune americana (American option)

Opţiune a cărei exercitare depinde de preţul mediu al activului de bază pe o

anumită perioadă de timp până la expirarea opţiunii.

Opţiune call implicită (Call option)

La unele emisiuni de obligaţiuni, opţiune implicită ce dă emitentului dreptul de

a răscumpara obligaţiunile la un preţ prestabilit, de obicei la valoarea nominală, înainte

de scadenţă.

151

Opţiune call în afara banilor (Out-of-the-money call)

Opţiune call al cărei preţ de exercitare este mai mare decât valoarea curentă de

piaţă a activului de bază. De exemplu, o opţiune XYZ Dec. 60 Call va fi în afara

banilor dacă acţiunea XYZ se vinde la 55$ per acţiune.

Opţiune call în bani (In-the-money call)

Opţiune call pentru care preţul de piaţă al activului de bază este mai mare decât

preţul de exercitare al contractului.

Opţiune call pe un contract futures (Call futures option)

Opţiune tranzacţionată la bursă care îi conferă cumpărătorului dreptul, dar nu şi

obligaţia, să angajeze o poziţie în contractul futures de bază la un preţ de exercitare

prestabilit, în orice moment înainte de expirarea opţiunii. In cazul în care opţiunea este

exercitată, cel care a vândut short opţiunea call are obligaţia să livreze contractul

futures.

Opţiune de cumpărare (Call)

Pe piaţa opţiunilor: opţiune care dă deţinătorului său dreptul, dar nu şi obligaţia

de a cumpăra activul de bază la un preţ prestabilit şi înainte de o anumită dată. In cazul

opţiunilor pe acţiuni, un investitor care consideră că preţul unei acţiuni va creşte

substanţial, ar putea obţine un profit mai mare dintr-o investiţie mai mică cumpărând

opţiuni call pe acea acţiune decât ar obţine dacă ar cumpăra acţiunea respectivă. Pentru

vânzător, care trebuie să renunţe la dreptul său de proprietate asupra acţiunilor în

favoarea cumpărătorului, când opţiunile sunt exercitate, acestea pot produce un venit

suplimentar.

Opţiune europeană (European option)

Opţiune care poate fi exercitată numai la data expirării sale, spre deosebire de

opţiunea americană pe care deţinătorul o poate exercita în orice moment până la data

expirării, inclusiv data expirării.

152

Opţiune put (de vânzare) (Put option)

Opţiune care dă deţinătorului dreptul, dar nu şi obligaţia, de a vinde activul de

bază la un preţ prestabilit, la o anumită dată sau înainte de o anumită dată. De exemplu,

cumpărătorul opţiunii XYZ Mai 70 Put are dreptul de a vinde 100 de acţiuni XYZ la

70$ vânzătorului opţiunii, înainte de expirarea contractului în luna mai. Cumpărătorul

opţiunii put speră că preţul acţiunii va scădea, în timp ce vânzătorul opţiunii put speră

că preţul acţiunii va rămâne stabil, ori că va creşte sau va scădea cu o valoare mai mică

decât prima pe care acesta a încasat-o.

Opţiune put în afara banilor (Out-of-the-money put)

Opţiune put al cărei preţ de exercitare este mai mic decât valoarea curentă de

piaţă a activului de bază. De exemplu, o opţiune XYZ Dec. 60 Put va fi în afara banilor

dacă acţiunea XYZ se vinde la 65$ per acţiune.

Opţiune put în bani (In-the-money put)

Opţiune put pentru care preţul de piaţă al activului de bază este mai mic decât

preţul de exercitare al contractului.

Opţiune put pe un contract futures (Put futures option)

Opţiune tranzacţionată la bursă care îi conferă cumpărătorului dreptul, dar nu şi

obligaţia, să vândă contractul futures de bază la un preţ de exercitare prestabilit, în orice

moment înainte de expirarea opţiunii. In cazul în care opţiunea este exercitată, cel care

a vândut short opţiunea put are obligaţia să accepte livrarea contractului futures.

Portofoliu (Portfolio)

Totalitatea investiţiilor de diverse tipuri deţinute de către un investitor

individual sau instituţional. Un portofoliu poate cuprinde acţiuni, obligaţiuni, contracte

futures, investiţii în sectorul imobiliar, instrumente echivalente cu numerarul sau alte

active financiare. Scopul unui portofoliu este de a reduce riscul prin diversificare. Cu

cât sunt mai diversificate investiţiile din cadrul unui portofoliu, cu atât este mai

probabil ca investitorul să obţină aceeaşi rentabilitate ca cea a pieţei instrumentelor

financiare transferabile.

153

Preţul de exercitare (Exercise price)

Preţ unitar la care activul de bază al unei opţiuni poate fi cumpărat (în cazul

unei opţiuni call) sau vândut (în cazul unei opţiuni put) într-o perioadă specificată de

timp. De exemplu, o opţiune call pe acţiunea XYZ dă dreptul deţinătorului ei să

cumpere 100 de acţiuni XYZ în orice moment în urmatoarele trei luni la un preţ de

exercitare de 63$. Preţul de exercitare este stabilit de către bursă în momentul emiterii

opţiunii. In cazul opţiunilor pe contracte futures, bursa fixează un preţ în funcţie de

preţul de închidere al zilei precedente pentru contractele futures de bază. Incepând cu

acel preţ, sunt stabilite preţuri de exercitare mai mari sau mai mici, la intervale fixate de

bursă.

Preţul spot (Spot price)

Preţul curent de livrare al unei mărfi tranzacţionate pe piaţa spot (cash).

Piaţa cash (Cash market)

Piaţa pe care se fac tranzacţii ce presupun cumpărarea sau vânzarea imediată a

unui anumit produs. Pieţele cash reprezintă opusul pieţelor futures pe care se fac

tranzacţii ce presupun livrarea produsului la un moment viitor, specificat în contract.

De asemenea mai este denumită piaţa spot.

Randament (Yield)

In general, este venitul încasat dintr-o investiţie, exprimat procentual din preţul

curent al acesteia. O anumită investiţie poate avea mai multe randamente datorită

numeroaselor metode folosite la calcularea lui. De exemplu, în cazul obligaţiunilor,

randamentul poate fi: (1) Randamentul curent (current yield). Este rata dobânzii

împarţită la preţul de cumpărare. De exemplu, o obligaţiune care se vinde la 1.000$, cu

o rata a dobânzii de 10%, are un randament curent de 10%. Dacă, aceeaşi obligaţiune s-

ar vinde la 500$, ea ar oferi un randament de 20% unui investitor care ar cumpăra-o la

500$ (pe măsură ce preţul unei obligaţiuni scade, randamentul ei creşte şi viceversa).

(2) Randamentul până la scadenţă/răscumparare/restituire (yield to maturity/call/put) al

unei obligaţiuni care ia în considerare plăţile dobânzii, preţul de cumpărare, valoarea de

răscumparare şi timpul rămas până la scadenţă/răscumpărare/restituire.

154

Rata de schimb valutar (Exchange rate)

Preţul la care o valută poate fi schimbată în altă valută. Ratele de schimb valutar

sunt influenţate de o serie de factori economici, politici, sociali, juridici, unii dintre ei

cu variaţie zilnică.

Riscul ratei dobânzii (Interest rate risk)

(1) Unul din riscurile care afectează toţi investitorii atunci când profitul oţtinut

este egal sau mai mic decât rata dobânzii fără risc (adică a bonurilor de trezorerie) sau

rata echivalentă a dobânzii calculată în funcţie de categoria de risc a investiţiilor. Cele

mai afectate de riscul ratei dobânzii sunt instrumentele financiare de credit şi unele

instrumente financiare cu venit fix cum ar fi acţiunile preferenţiale. Preţurile acţiunilor

comune sunt, de asemenea, afectate de modificările ratelor dobânzii, deşi legătura este

mai puţin evidentă în acest caz. Investitorii caută ca, prin strategii cu instrumente

financiare derivate, să atenueze efectele nefavorabile ale riscului ratei dobânzii. (2)

Riscul ca preţul unei obligaţiuni să scadă pe măsură ce ratele dobânzii cresc. Managerii

de portofoliu evaluează riscul ratei dobânzii pentru un fond de investiţii calculând

durata acestuia.

Speculaţie (Speculation)

Asumarea unor riscuri peste medie în speranţa obţinerii unor rentabilităţi peste

medie, în general într-o perioadă de timp relativ scurtă. Speculaţia implică cumpărarea

unui anumit activ financiar pe baza preţului sau potenţial de vânzare şi nu pe baza

valorii sale prezente. Intr-o speculaţie siguranţa principalului şi venitul curent sunt de o

importanţă secundară. Când fac speculaţii, profesioniştii utilizează adesea diverse

tehnici de hedging, cum ar fi tranzacţiile cu opţiuni, vânzarea short, ordinele stop şi

tranzacţiile cu contracte futures, cu scopul de a-şi limita pierderile. Speculaţia implică

un risc care poate fi analizat şi evaluat, la fel ca şi în cazul unei investiţii; ceea ce le

deosebeşte este însă gradul de risc.

Speculator (Stag)

Speculator care, de regulă, cumpără şi vinde acţiuni pentru profituri imediate şi

nu păstrează valorile mobiliare ca investiţie.

155

Tranzacţie fără risc (Riskless transaction)

(1) Tranzacţie ce asigură un profit traderului care o iniţiază, eliminând riscul de

înregistrare a unei pierderi deoarece poziţia de deschidere pe o piaţă este acoperită de

poziţia de închidere pe o altă piaţă. Un arbitrajor poate obţine un profit tranzacţionând

pe baza diferenţei între preţurile aceleiaşi valori mobiliare pe pieţe diferite. De

exemplu, dacă aurul se tranzacţionează la 400$ uncia la New York şi la 398$ la Londra,

un trader care acţionează repede ar putea cumpăra un contract futures pe aur la Londra

şi să-l vândă la New York cu un profit fără risc. (2) Pe piaţa OTC, este o tranzacţie a

unui dealer în care acesta face o cumpărare sau o vânzare pentru a executa ordinul unui

client. Astfel, dacă un client doreşte să cumpere 500 de acţiuni XYZ la 80$ per acţiune,

dealerul poate cumpăra 500 de acţiuni XYZ dintr-o altă sursă la 791/4$ şi poate revinde

acţiunile clientului la un markup de 75 cenţi. In Statele Unite, mărimea unui markup

sau markdown care se percepe în cazul tranzacţiilor fără risc este reglementată de

NASD. De asemenea, denumită tranzacţie simultană (simultaneous transaction).

Valoare mobiliară (Security)

Instrument care poate indica proprietatea în cadrul unei companii (o acţiune), o

relaţie de credit cu o companie sau cu o autoritate publică (o obligaţiune), ori un drept

la proprietate (un drept de subscriere, o opţiune pe o acţiune, o garanţie).

Volatilitate (Volatility)

Caracteristica unei valori mobiliare de a înregistra fluctuaţii mari de preţ într-o

perioadă scurtă de timp. Un instrument de măsură a volatilităţii relative a unei acţiuni

este coeficientul beta.

Bibliografie

Dicţionar financiar http://www.eafacere.ro/dictionar_financiar.asp