proceduri speciale În programele cu elemente finite
TRANSCRIPT
9.
PROCEDURI SPECIALE ÎN PROGRAMELE CU ELEMENTE FINITE
Acest capitol este consacrat în principal metodelor de rezolvare a ecuaŃiilor de echilibru global ale structurilor, cu referire la impunerea unor condiŃii la limită particulare, care apar din necesitatea modelării unor articulaŃii intermediare, elemente perfect rigide, reazeme înclinate, cuplarea substructurilor, etc. De asemenea se fac referiri la o serie de algoritmi şi se discută implicaŃiile pe care alegerea inadecvată a unor opŃiuni de calcul o poate avea asupra rezultatelor. Se fac unele referiri la modul de obŃinere a matricelor de rigiditate, la limitările lor şi la corecŃiile "numerice" necesare pentru ca acestea să lucreze cât mai eficient.
Rezolvarea sistemelor de ecuaŃii liniare ordinare
Atât în analiza statică cât şi în analiza dinamică (vezi cap. 21) sau de stabilitate (în prima etapă de calcul - vezi cap. 25) apare problema rezolvării unui sistem de ecuaŃii liniare cu un număr foarte mare de ecuaŃii (zeci sau sute de mii). Acesta rezultă în urma operaŃiei de asamblare şi a impunerii condiŃiilor la limită, în cazul analizelor statice şi de stabilitate şi/sau a unor transformări, în cazul analizelor dinamice. Cert este faptul că procedurile de rezolvare a sistemelor de ecuaŃii liniare reprezintă o etapă esenŃială pentru rezolvarea unei clase foarte largi de probleme şi stăpânirea principiilor de lucru ale acestora poate influenŃa atât rezultatele obŃinute, cât şi efortul de calcul (timpul de lucru şi spaŃiul necesar pe hard discul calculatorului).
Din punct de vedere matematic şi informatic metodele de rezolvare a sistemelor de ecuaŃii liniare sunt multiple. Metoda elementelor finite, prezintă anumite faze intermediare până la obŃinerea sistemului liniar de ecuaŃii (cum ar fi asamblarea ecuaŃiilor de echilibru la nivel de element, în ecuaŃia globală de echilibru a structurii şi impunerea condiŃiilor de echilibru) şi uneori aceste faze intermediare influenŃează algoritmii de rezolvare, cu scopul de a obŃine o eficienŃă mai mare a metodei. În continuare, se evidenŃiază anumite aspecte generale ale principalelor metode de rezolvare, făcându-se referire la analiza structurală statică.
Analiza statică, caracteristică sistemelor fizice în care se neglijează efectul amortizării şi al inerŃiei (este vorba de vibraŃii), nu şi al efectului greutăŃii proprii, constă în rezolvarea sistemului de ecuaŃii liniare rezultat în urma asamblării
[ ]{ } { }FuK = , (13.1)
în care [ ]K este matricea de rigiditate a structurii, de regulă singulară, putând include şi matricea de rigiditate geometrică, {u} este vectorul deplasărilor nodale ale structurii, iar {F} este vectorul forŃelor nodale ale structurii. Vectorul { }u are în general două componente, a deplasărilor impuse
{ }ru (de cele mai multe ori nule) şi a deplasărilor necunoscute { }au . Deplasările cunoscute introduc
o componentă a forŃelor de reacŃiune { }rF , iar pentru deplasările necunoscute se cunosc forŃele
aplicate structurii { }aF , deci, folosind această partiŃionare, se poate scrie
{ } { } { }{ }
{ }
=+=r
ara
F
FFFF .
(13.2)
ForŃele aplicate structurii provin din forŃele aplicate direct în noduri, forŃele produse de o mişcare cu acceleraŃie constantă a structurii şi/sau a câmpului gravitaŃional, forŃe produse de variaŃiile de temperatură (efectul termoelastic) şi forŃe echivalente, produse de presiunea care lucrează pe elemente.
PartiŃionarea ecuaŃiei (13.1) în concordanŃă cu gradele de libertate “a” şi “r” conduce la relaŃia matriceală
[ ] [ ]
[ ] [ ]
{ }
{ }
{ }
{ }
=
r
a
r
a
rrra
araa
F
F
u
u
KK
KK.
(13.3)
Din prima ecuaŃie (13.3) rezultă deplasările necunoscute
{ } [ ] { } [ ] { }( )rara1
aaa uKFKu −= − , (13.4)
iar apoi, din a doua ecuaŃie, cunoscând toate deplasările, rezultă reacŃiunile
{ } [ ] { } [ ] { }rrrarar uKuKF += . (13.5)
Se observă că deplasările necunoscute pot fi obŃinute dacă submatricea de rigiditate [ ]aaK este
nesingulară, adică structura (sau substructura raportată la gradele de libertate master “a”) nu are mişcare de solid rigid sau mecanism. Dacă totuşi echilibrul este asigurat de forŃele aplicate, se poate face un artificiu de înlăturare a singularităŃii matricei, fie prin fixarea unor deplasări care suprimă mişcarea de corp rigid sau mecanism, fie prin introducerea adiŃională de elemente în matricea respectivă care nu modifică considerabil matricea de rigiditate, dar care o transformă în matrice pozitiv definită. Trebuie menŃionat că deşi în ecuaŃia (13.4) apare inversa unei submatrice din matricea de rigiditate globală a structurii, aceasta nu se calculează practic niciodată. Metodele de rezolvare a sistemelor de ecuaŃii sunt implementate astfel încât numărul de operaŃii pentru rezolvarea lor să fie minim.
Metodele de rezolvare a ecuaŃiilor liniare în forma matriceală (13.3) se pot clasifica în: A. metode
exacte, cum ar fi metoda de eliminare Gauss, metoda de factorizare Choleski sau metoda de rezolvare frontală şi B. metode aproximative, cum ar fi metoda gradienŃilor conjugaŃi sau a relaxării.
Metodele exacte de rezolvare se referă la faptul că există algoritmi bine definiŃi, care după un număr de paşi dinainte fixat - dependent de dimensiunea problemei, conduc la obŃinerea soluŃiei exacte, în ipoteza că erorile de reprezentare a numerelor în calculator (de trunchiere) sunt nesemnificative. Pentru reprezentarea în dublă precizie şi probleme de dimensiuni acceptabile, bine condiŃionate numeric (adică cu valori ale raportului dintre cea mai mare şi cea mai mică valoare de pe diagonala principală a matricei de rigiditate, cât mai aproape de unitate), metodele de rezolvare exactă s-au dovedit destul de eficiente, ani de-a rândul. Aceste metode Ńin seama de simetria şi caracterul bandă al matricei de rigiditate, pentru a fi mai eficiente. Pentru a obŃine o matrice cu o lăŃime cât mai mică a benzii, numerotarea iniŃială a nodurilor se schimbă (se face renumerotarea nodurilor folosind algoritmi consacraŃi), dacă se foloseşte algoritmul de eliminare Gauss, sau se renumerotează elementele dacă se foloseşte algoritmul de rezolvare frontală. Acesta din urmă s-a impus în perioada în care memoria RAM a calculatoarelor era relativ limitată şi se bazează pe combinarea fazei de asamblare cu cea de eliminare a ecuaŃiilor (în memoria ROM). Algoritmul este foarte sofisticat, dar este stabil şi se foloseşte pe scară largă şi în momentul de faŃă. Metodele de rezolvare exactă prezintă două faze, prima este denumită eliminare sau triunghiularizare, iar cea de-a doua retrosubstituŃie. Deoarece aceste metode sunt descrise pe larg în diverse cărŃi şi tratate, cei interesaŃi sunt invitaŃi să consulte lucrări consacrate acestora.
Metoda gradienŃilor conjugaŃi cunoaşte diverse variante de implementare cum ar fi: 1. “Jacobi Conjugate Gradient” (JCG), recomandat pentru probleme bine condiŃionate numeric, algoritm implementat pentru matrice reale şi complexe, simetrice şi nesimetrice; 2. “Preconditioned Conjugate Gradient” (PCG) implementat pentru matrice reale, simetrice şi pozitiv definite; 3.
“Incomplete Choleski Conjugate Gradient” (ICCG) mai robust decât primele două, implementat pentru matrice reale şi complexe, simetrice şi nesimetrice. PCG este de circa 4-10 ori mai rapid decât JCG, iar ICCG este în general mai rapid decât JCG.
În metodele aproximative soluŃia sistemului (13.1) cu condiŃiile la limită impuse, se determină ca sumă a seriei vectorilor { }jp
{ } { } { } { }mm2211 papapau +++= … , (13.6)
în care m este mai mic decât dimensiunea matricei [ ]K iar { }jp sunt corecŃii succesive ale soluŃiei.
Valoarea de start a acestor vectori poate influenŃa foarte mult numărul de iteraŃii m. Rata de convergenŃă este proporŃională cu rădăcina pătrată a numărului de condiŃionare a matricei [ ]K , iar criteriul de convergenŃă este
{ } { }{ } { }
2T
jT
j
FF
RRε≤ ,
(13.7)
în care { } { } [ ]{ }jj uKFR −= poate fi privit ca un reziduu pentru { }ju - vectorul deplasare determinat
la pasul j. De obicei 510−=ε se consideră acceptabil pentru aplicaŃii, dar poate fi redus dacă este necesar.
Pentru dimensiuni mari ale matricilor de rigiditate, care în general conŃin multe zerouri (motiv pentru care se numesc şi "matrice rare" - “sparse”), tehnicile de operare cu acestea s-au dovedit foarte eficiente, pentru creşterea vitezei de calcul, prin înlăturarea operaŃiilor aritmetice cu zero şi spaŃiul necesar, deoarece pentru valorile nule nu se alocă spaŃiu în memorie.
Metodele de rezolvare aproximativă, prin iterarea soluŃiei, s-au dovedit a fi mult mai eficiente, în primul rând, ca viteză de calcul şi s-au impus odată cu creşterea memoriei centrale (RAM) a calculatoarelor. Unele firme au introdus noŃiunea de FFE ("Fast Finite Element"), pentru anumite versiuni ale programelor care foloseau o astfel de procedură de rezolvare, eventual combinată cu alte facilităŃi sau proceduri pentru creşterea vitezei programelor MEF.
Rezolvarea sistemelor de ecuaŃii liniare cu legături
CondiŃiile la limită în deplasări liniare (şi rotiri) pot fi interpretate, din punct de vedere matematic, ca nişte restricŃii asociate unui sistem de ecuaŃii. Aceste restricŃii pot fi relaŃii simple de impunere a unor deplasări, sau relaŃii cinematice între anumite grade de libertate. Uneori acestea poartă denumirea de relaŃii de legătură între mărimile nodale. Procedeele matematice de rezolvare a unui sistem de ecuaŃii cu restricŃii sunt multiple. Cele mai utilizate metode sunt eliminarea unui număr de ecuaŃii egal cu numărul condiŃiilor de restricŃie, metoda multiplicatorilor Lagrange şi metoda funcŃiei de penalizare. Din punct de vedere fizic, o resticŃie poate să includă un singur grad de libertate, cum ar fi, spre exemplu, impunerea unei deplasări nodale pe o anumită direcŃie (blocaj sau deplasare cunoscută), sau mai multe grade de libertate, ca, de exemplu, condiŃia ca pe două grade de libertate o mărime nodală să aibă aceeaşi valoare nenulă, iniŃial necunoscută. RestricŃiile impuse mai multor grade de libertate (restricŃii multipunct) sunt, în general, produse de prezenŃa elementelor rigide sau a unor modelări de preluare a mişcărilor de mecanism. Dacă ecuaŃia de echilibru static a unei structuri asamblate, pentru care s-au impus sau nu anumite condiŃii la limită în deplasări este (13.1), care în continuare se scrie (adică vectorul deplasărilor {u} devine {U})
[ ]{ } { }FUK = , (13.8)
iar restricŃiile - ecuaŃii liniar independente, sunt scrise în forma
[ ]{ } { }QUC = , (13.9)
se pune problema de a rezolva ecuaŃia (13.8) care să satisfacă condiŃiile (13.9). Matricea [C] este o matrice dreptunghiulară cu termeni constanŃi, care are un număr de linii egal cu numărul de restricŃii. Vectorul {Q} este, de asemenea, un vector de constante. De cele mai multe ori, în practică, este un vector cu toate elementele nule. În continuare, se prezintă câteva metode de includere a restricŃiilor în ecuaŃia de echilibru a modelului structurii. 1. Metoda eliminării. EcuaŃia (13.8), care conŃine n grade de libertate, se poate aranja astfel încât
vectorul deplasărilor nodale să fie de forma { } { } { }{ }TTe
Tr UUU = , în care { }rU reprezintă
deplasările "reŃinute" (în număr de r), iar { }eU deplasările care urmează a fi "eliminate" (în număr
de e, deci n = r + e). În aceste condiŃii ecuaŃia (13.9) poate fi rescrisă în forma
[ ] [ ][ ]{ }
{ }{ }0
U
UCC
e
rer =
.
(13.10)
Deoarece numărul de ecuaŃii liniar independente r, este mai mic decât numărul ecuaŃiilor de echilibru n, rezultă că matricea [ ]eC este pătratică şi nesingulară. Din ecuaŃia (13.10) rezultă
{ } [ ] [ ]{ }rr1
ee UCCU −−= , (13.11)
relaŃie care poate fi înglobată în transformarea
{ }
{ }
[ ]
[ ] [ ]{ }r
r1
e
r
e
rU
CC
I
U
U
−=
−,
(13.12)
care poate fi rescrisă sub forma
{ } [ ]{ }1rr
rn1nUTU
×××
= ; [ ][ ]
[ ] [ ]
−=
−r
1e
r
CC
IT ,
(13.13)
în care [ ]rI este matricea identitate. Dacă ecuaŃia (13.13.b) se înlocuieşte în (13.8) şi ecuaŃia (13.8) se înmulŃeşte la stânga cu transpusa matricei de transformare [T], rezultă un sistem de r ecuaŃii, adică
[ ]{ } { }rrr FUK = , (13.14)
în care
[ ] [ ] [ ][ ]TKTK Tr = ; { } [ ] { }FTF T
r = . (13.15)
Matricea [T] se poate obŃine şi în mod direct, prin formularea directă a relaŃiei (13.13.a). Dacă deplasările impuse sunt nule, adică { } { }0Ue = , atunci [ ] [ ]rr IC = , [ ] [ ]0Ce = şi matricea de rigiditate
redusă se obŃine prin eliminarea liniilor şi coloanelor corespunzătoate deplasărilor nule, adică corespund setului r
[ ] [ ] rrr KK = , (13.16)
şi se ajunge la rezolvarea unui sistem de ecuaŃii ordinare, prezentată în paragraful precedent.
2. Metoda multiplicatorilor Lagrange. Această metodă se bazează pe minimizarea unei funcŃii în care variabilele nu sunt liniar independente. În cazul analizei structurale, se pleacă de la expresia
potenŃialului (4.5), rescris în forma matriceală { } [ ]{ } { } { }FUUKU2
1 TT−=Π şi se obŃine
{ } [ ]{ } { } { } { } [ ]{ } { }( )QUCFUUKU21 TTT
−λ+−=Π ,
(13.17)
adică la expresia potenŃialului se adună ecuaŃia (13.9) înmulŃită cu vectorul { }Tλ care reprezintă
multiplicatorii Lagrange şi au semnificaŃia unor forŃe care "păstrează" echilibrul structurii.
CondiŃiile de staŃionaritate a ecuaŃiei (13.17), adică { }
{ }0U
=
∂
Π∂ şi
{ }{ }0=
λ∂
Π∂ conduc la
sistemul de ecuaŃii
[ ] [ ]
[ ] [ ]
{ }
{ }
{ }
{ }
=
λ
Q
FU
0C
CK T
.
(13.18)
Acest sistem are dimensiunea n + r, mai mare decât a sistemului iniŃial (13.8), iar pentru rezolvarea lui poate fi adaptată procedura de eliminare Gauss, deşi matricea care se triunghiularizează are termeni nuli pe diagonala principală. 3. Metoda funcŃiei de penalizare. Această metodă conduce la determinarea aproximativă a necunoscutelor şi deci la satisfacerea aproximativă a restricŃiilor, adică relaŃia (13.9), se rescrie în forma
{ } [ ]{ } { }QUCr −= (13.19)
şi se introduce în expresia potenŃialului (4.5) astfel:
{ } [ ]{ } { } { } { } [ ]{ }rr2
1FUUKU
2
1 TTTα+−=Π .
(13.20)
Mărimea suplimentară { } [ ]{ }rr2
1 Tα din expresia potenŃialului poartă denumirea de funcŃie de
penalizare. Matricea [ ]α se alege de formă diagonală. Dacă expresia (13.19) se introduce în
expresia potenŃialului (13.20) şi se pune condiŃia de minim pentru potenŃial { }
{ }0U
=
∂
Π∂, se obŃine
[ ] [ ] [ ][ ]( ){ } { } [ ] [ ][ ]QCFUCCK TTα+=α+ . (13.21)
Matricea [ ] [ ][ ]CC Tα , numită matrice de penalizare, se adaugă la matricea de rigiditate a
structurii, iar vectorul [ ] [ ][ ]QC Tα se adună la vectorul încărcărilor nodale iniŃiale. Dacă [ ] [ ]0=α
atunci restricŃiile aplicate sunt neglijate. Dacă norma matricei [ ]α creşte vectorul deplasărilor
nodale { }U se modifică în aşa fel încât restricŃiile sunt din ce în ce mai bine ("aproape") satisfăcute.
Este de dorit ca matricea [ ]α să conŃină termeni adimensionali, adică independenŃi de gradele de libertate, care pot fi deplasări şi rotiri. Această metodă păstrează nealterată dimensiunea iniŃială a problemei, dar din cauza matricei [ ]α , care trebuie să aibă termeni mult mai mari decât valorile rigidităŃilor corespunzătoare diagonalei principale a matricei [K], poate conduce la apariŃia unor probleme numerice, deoarece valoarea
parametrului de condiŃionare (numărul de condiŃionare) a matricei [ ] [ ] [ ][ ]CCK Tα+ creşte foarte
mult şi aceasta poate deveni singulară.
AplicaŃii Pentru a evidenŃia unele aspecte practice ale relaŃiilor de legătură între gradele de libertate, se prezintă câteva aplicaŃii simple, pentru modele plane de grinzi şi cadre cu bare drepte. Se consideră cunoscute expresiile matriceler de rigiditate şi masă în coordonate locale ale elementului de grindă Euler-Bernoulli BEAM2D, de lungime L, aria secŃiunii transversale A, momentul de inerŃie al secŃiunii I, modulul de elasticitate longitudinal al materialului E şi densitate ρ , adică matricea de rigiditate în coordonate locale este
[ ]
−
−−−
−
−
−
−
=
22
22
22
22
3e
L4L60L2L60
L6120L6120
00I
LA00
I
LAL2L60L4L60
L6120L6120
00I
LA00
I
LA
L
IEk ;
matricea de masă coerentă este
[ ]
−−−
−
−
−
ρ=
22
22e
L4L220L3L130
L221560L13540
001400070
L3L130L4L220
L13540L221560
007000140
420
LAm ;
iar matricea de masă diagonală este
[ ]
ρ=
2
2e
L5.1700000
02100000
00210000
000L5.1700
00002100
00000210
420
LAm .
Matricea de transformare a deplasărilor (respectiv a matricelor de rigiditate), din sistemul local în sistemul global este
[ ]
ββ−
ββ
ββ−
ββ
=
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
Te ,
în care β este unghiul pe care axa locală a barei x îl face cu axa globală X. Exemplul 1: Cuplarea a două substructuri. Se consideră modelul simplificat a două substructuri S1 şi S2, cuplate rigid, ca în figura 13.1.a. Se cunosc =ℓ 1; E = 1; I = 0.25; F = 1 şi se cer deplasările nodurilor structurii, precum şi forŃele de legătură între cele două substructuri.
Figura 13.1 Din punct de vedere fizic, substructura reprezintă o porŃiune esenŃială dintr-o structură care este discretizată independent într-un număr de elemente finite. Din punct de vedere matematic substructura are două seturi de reprezentări: una iniŃială, dictată de discretizarea substructurii şi una condensată, dictată în general de condiŃiile la limită ale substructurii, învecinarea cu eventuale alte existente sau potenŃiale substructuri. De regulă, numerotarea nodurilor unor substructuri care trebuie să lucreze într-o structură, se face astfel încât numerele de identificare ale nodurilor dintr-o substructură, nu se regăsesc în altă substructură. Această convenŃie nu este obligatorie, dar uşurează prezentarea rezultatelor şi uneori se impune funcŃie de structura internă a programului de calcul. CondiŃiile la limită ale substructurilor pot fi impuse odată cu crearea substructurilor şi/sau în faza de generare a structurii formate din mai multe substructuri. În faza de generare a structurii, substructurile sunt definite printr-un număr relativ mic de grade de libertate (numite grade de libertate master), definite într-un anumit sistem de coordonate şi de matricele de rigiditate, masă şi eventual amortizare corespunzătoare acestor grade de libertate. Pentru informaŃii suplimentare despre substructurare se poate consulta capitolul 12. Pentru simplificare, se foloseşte discretizarea din figura 13.1.b şi gradele de libertate asociate raportate la acelaşi sistem de referinŃă. Se consideră substructura 1, cu condiŃiile la limită impuse în încastrare, iar substructura 2, cu forŃele exterioare (forŃa F) aplicate. În aceste condiŃii, matricea de rigiditate şi vectorul încărcărilor pentru substructura 1 sunt cele definite în relaŃia
=
ϕ
−
−
2
2
2
2
M
Fv
26
624,
iar pentru substructura 2, în relaŃia
=
ϕ
ϕ
−
−−−
−
−
0
1
M
F
v
v
2616
624624
1626
624624
3
3
4
4
3
3
.
Dacă cele două substructuri formează o structură printr-o modalitate oarecare de cuplare, atunci relaŃiile de echilibru ale substructurilor se pot scrie în forma matriceală
=
ϕ
ϕ
ϕ
−
−−−
−
−
−
−
0
1
M
F
M
F
v
v
v
261600
62462400
162600
62462400
000026
0000624
3
3
2
2
4
4
3
3
2
2
[ ]{ } { }FUK =⇔ ,
(13.22)
la care se impun condiŃiile de cuplare. În cazul de faŃă acestea sunt în deplasări şi forŃe
ϕ=ϕ
=
32
32 vv;
=+
=+
0MM
0FF
32
32 .
(13.23)
A. Dacă rezolvarea se face prin metoda eliminării, atunci se particularizează relaŃia (13.13)
[ ]
ϕ
ϕ=
ϕ
ϕ
=
ϕ
ϕ
ϕ
4
4
2
2
4
4
2
2
4
4
3
3
2
2
v
v
Tv
v
1000
0100
0010
0001
0010
0001
v
v
v
şi apoi relaŃia (13.14); rezultă
=
+
+
=
ϕ
ϕ
−
−−−
−
−
0
1
0
0
0
1
MM
FF
v
v
2616
624624
1640
624048
32
32
4
4
2
2
,
în care s-a Ńinut seama de relaŃiile de echilibru ale forŃelor şi momentelor în joncŃiunea nodurilor 2 şi 3, adică 0FF 32 =+ şi 0MM 32 =+ . Din sistemul de ecuaŃii de mai sus, rezultă
=
ϕ
ϕ
2
3333.1
5.1
4167.0
v
v
4
4
2
2
.
Deplasările pentru toate nodurile rezultă din (13.13.a), adică { } [ ]{ }rUTU =
=
ϕ
ϕ
=
ϕ
ϕ
ϕ
2
3333.1
5.1
4167.0
5.1
4167.0
v
v
1000
0100
0010
0001
0010
0001
v
v
v
4
4
2
2
4
4
3
3
2
2
.
ForŃele din joncŃiune rezultă din ecuaŃia de echilibru global a structurii {F}=[K]{U}
−
−=
ϕ
ϕ
ϕ
−
−−−
−
−
−
−
=
0
1
5.0
1
5.0
1
v
v
v
261600
62462400
162600
62462400
000026
0000624
0
1
M
F
M
F
4
4
3
3
2
2
3
3
2
2
,
şi sunt reprezentate în figura 13.1.c. B. Dacă se adoptă metoda multiplicatorilor Lagrange, atunci se formează mai întâi matricea [C], din rescrierea relaŃiilor (13.23.a), în forma (13.9)
=
ϕ
ϕ
ϕ
−
−
0
0
0
0
0
0
v
v
v
001010
000101
4
4
3
3
2
2
[ ]{ } { }0UC =⇔ .
(13.24)
Sistemul de ecuaŃii care se rezolvă este (13.18), adică pentru această aplicaŃie
[ ] [ ]
[ ] [ ]
{ }
{ }
{ }
{ }
=
λ
0
FU
0C
CK T
.
(13.25)
Deoarece {F} este parŃial necunoscut, acest sistem nu poate fi rezolvat atât timp cât nu se consideră şi relaŃiile (13.23.b). Folosind relaŃiile menŃionate, vectorul forŃelor {F} devine
{ }
−
−=
=
0
1
M
F
M
F
0
1
M
F
M
F
F2
2
2
2
3
3
2
2
.
(13.26)
Din prima ecuaŃie a sistemului (13.25), rezultă
[ ]{ } { } [ ] { }λ−=TCFUK ,
relaŃie, care scrisă desfăşurat pentru termenul din dreapta şi considerând ecuaŃia (13.26) conduce la
[ ]{ }
λ−
λ−
λ
λ
−
−
−=
0
0
0
1
M
F
M
F
UK2
1
2
1
2
2
2
2
.
Această relaŃie permite ca eforturile 2F şi 2M , iniŃial necunoscute, să poată fi alese arbitrar,
deoarece multiplicatorii Lagrange 1λ şi 2λ "corectează" ecuaŃia de echilibru funcŃie de alegerea făcută. De obicei componentele necunoscute ale vectorului {F} se aleg iniŃial nule, astfel că multiplicatorii Lagrange reprezintă chiar forŃele de legătură care menŃin echilibrul. Dacă componentele necunoscute ale vectorului {F} se aleg la întâmplare, şi acest vector se notează { }0F ,
se obŃine vectorul { }0λ din rezolvarea sistemului (13.25), iar forŃele reale din sistem rezultă din
{ } { } [ ] { }0T
0 CFF λ−= . (13.27)
Pentru exemplificare, se prezintă doar soluŃiile multiplicatorilor Lagrange pentru două cazuri de alegere a vectorului {F0}. Se menŃionează că deplasările {U} rezultă corect indiferent de alegerea {F0}. Dacă se alege { } { }010000F T
0 = atunci rezultă =λ1 -1 şi =λ2 -0.5, iar dacă se
alege { } { }011.0101.010F T0 −−= atunci rezultă =λ1 9 şi =λ2 -0.4. Folosind relaŃia
(13.27) se poate verifica că se obŃin rezultate corecte pentru forŃele necunoscute din noduri în ambele cazuri. Dacă cuplarea a două substructuri este rigidă, ca în cazul de faŃă, atunci se poate recurge şi la asamblarea directă a matricelor de rigiditate. Pentru aceasta în exemplul prezentat se "forŃează" numerotarea nodurilor 2 şi 3 printr-un singur număr. În acest fel condiŃiile de continuitate (13.23) sunt automat considerate de procedeul de asamblare şi se reduce efortul de calcul. Exemplul 2. Reazem înclinat. Se consideră structura plană, formată din două grinzi identice, ca în figura 13.2.a. Aceasta este sprijinită la un capăt, pe un reazem înclinat faŃă de orizontală. Pentru simplificarea calculului se consideră =ℓ 1; E = 1; A = 1; I = 1; F = 1. Se cer deplasărilor nodale şi reacŃiunile. Se presupune că sistemul global de axe trebuie să coincidă cu cel precizat în problemă, deoarece, altfel, cel mai simplu mod de a aborda problema este de a alege sistemul de axe global
astfel încât condiŃiile de rezemare putându-se impune pe orice direcŃie, una dintre axe să fie cea a reazemului. Pentru a obŃine matricea de rigiditate a structurii, se consideră mai întâi fiecare element în sistemul local de coordonate al elementului (fig. 13.2.b) şi se scriu matricele de rigiditate ale elementelor, care rezultă
1 2 1 0 0 -1 0 0 0 12 6 0 -12 6
0 6 4 0 -6 2
1 . [ ]1k = [ ]1K =
-1 0 0 1 0 0 0 -12 -6 0 12 -6 0 6 2 0 -6 4
2
Figura 13.2
Deoarece sistemul de referinŃă local al elementului 1 coincide cu sistemul de referinŃă global (fig.
13.2.c) rezultă [ ]1k = [ ]1K . Pentru a obŃine matricea de rigiditate globală a elementului 2 (în sistemul
de referinŃă local rezultă [ ]2k = [ ]1k ), se determină mai întâi matricea de transformare a coordonatelor ( °=β 90 )
2 3 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
2
[ ]2T = 0 0 0 0 1 0
0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 1
3
şi rezultă
2 3 12 0 -6 -12 0 -6 0 1 0 0 -1 0
-6 0 4 6 0 2
2 . [ ]2K = [ ] [ ] [ ]22T2 TkT =
-12 0 6 12 0 6 0 -1 0 0 1 0 -6 0 2 6 0 4
3
Prin asamblarea celor două matrice de rigiditate, rezultă matricea de rigiditate a structurii fără condiŃiile la limită impuse
1 2 3 1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 12 6 0 -12 6 0 0 0 0 6 4 0 -6 2 0 0 0
1
-1 0 0 13 0 -6 -12 0 -6 0 -12 -6 0 13 -6 0 -1 0
[ ]K =
0 6 2 -6 -6 8 6 0 2
2 .
0 0 0 -12 0 6 12 0 6 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 -6 0 2 6 0 4
3
Dacă se impun doar deplasările nule din încastrare matricea de rigiditate a structurii se obŃine
2 3 13 0 -6 -12 0 -6 0 13 -6 0 -1 0
-6 -6 8 6 0 2
2
, [ ]K = -12 0 6 12 0 6
0 -1 0 0 1 0 -6 0 2 6 0 4
3
iar vectorul încărcărilor nodale este { } { }T000010F −= .
Model 1. La sistemul de ecuaŃii [ ]{ } { }FUK = trebuie introdusă o condiŃie suplimentară de
legătură între gradele de libertate din nodul 3. Aceasta este 33 U3V = şi se poate folosi pentru
obŃinerea matricei de transformare în metoda de eliminare a restricŃiilor, adică
[ ]
ϕ
ϕ=
ϕ
ϕ
=
ϕ
ϕ
3
3
2
2
2
C
3
3
2
2
2
3
3
3
2
2
2
U
V
U
T
U
V
U
10000
03000
01000
00100
00010
00001
V
U
V
U
.
Folosind matricea de transformare, se obŃine
[ ] [ ] [ ] [ ]
−
−−
−−
−−
−−−
==
46206
6156312
26866
036130
6126013
TKTK CT
CC ;
{ } [ ] { } { }TTCC 00010FTF −== .
Deplasările necunoscute rezultă prin rezolvarea sistemului [ ]{ } { }CCC FUK = , adică
[ ] { }
−
−
−
−
−
==
ϕ
ϕ−
1308.0
0411.0
2340.0
1904.0
2064.0
FK
U
V
U
C1
C
3
3
2
2
2
,
de unde, prin expandare şi considerarea relaŃiei de legătură, rezultă deplasările pentru întreaga structură
{ } { }T1308.00713.00411.02324.01904.02064.0000U −−−−−−= .
Dacă se reconsideră ecuaŃia de echilibru a structurii, se pot obŃine forŃele (şi reacŃiunile) din fiecare nod, adică
{ } [ ]{ }
−
−==
=
0
1192.0
2064.0
0
1
0
6745.0
8808.0
2064.0
UK
M
F
F
M
F
F
M
F
F
F
3Z
3Y
3X
2Z
2Y
2X
1Z
1Y
1X
.
Model 2. O altă posibilitate de modelare a problemei propuse este prezentată în figura 13.2.d, adică pentru a înlătura deplasarea pe direcŃia normală reazemului, se introduce în nodul cu reazem un arc de rigiditate relativ mare (metoda penalizării), în comparaŃie cu rigiditatea structurii. Matricea de rigiditate globală a arcului care se asamblează în nodul 3 este
[ ]
−
−
=
000
02500.04330.0
04330.07500.0
kKarc ,
în care, k reprezintă constanta elastică a arcului. Dacă se alege k=100, rezultă matricea de rigiditate redusă în coordonate globale
2 3 13 0 -6 -12 0 -6 0 13 -6 0 -1 0
-6 -6 8 6 0 2
2
. [ ]srK =
-12 0 6 87 -43.3013 6 0 -1 0 -43.3013 26 0 -6 0 2 6 0 4
3
Pentru două valori diferite ale lui k, (k = 100 şi k = 108) rezultă deplasările nodale
[ ]{ }
−
−
−
−
−
−
==
ϕ
ϕ
=1323.0
0723.0
0390.0
2351.0
1910.0
2056.0
FK
V
U
V
U
rsr
100k3
3
3
2
2
2
; [ ]{ }
−
−
−
−
−
−
==
ϕ
ϕ
=1308.0
0713.0
0411.0
2340.0
1904.0
2064.0
FK
V
U
V
U
rsr
10k3
3
3
2
2
2
8
.
Pentru k=100 numărul de condiŃionare al matricei de rigiditate este aproximativ 193.5, iar pentru k=108 este 1.74 810⋅ . ReacŃiunile în reazemul modelat prin arc se pot obŃine din
[ ]
ϕ
=
3
3
3
arc
3Z
3Y
3X
V
U
K
M
F
F
.
Această metodă a introducerii unor elemente de rigiditate mare, pentru a modela diverse condiŃii la limită, este în esenŃă metoda funcŃiei de penalizare.
Model 3. Problema din figura 13.2 poate fi abordată şi prin utilizarea unui sistem de coordonate nodal (fig. 13.2.e). Adică, fiecare nod are asociat un sistem de refererinŃă propriu; în acest caz, nodul 2 prezintă sistemul de referinŃă global, iar nodul 3 sistemul de referinŃă pentru care direcŃia de deplasare a reazemului coincide cu axa locală x nodului. Matricea de transformare a coordonatelor între sistemul de referinŃă al nodurilor şi sistemul global de referinŃă este
2 3 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
2
[ ]RotT = 0 0 0 0.500 -0.866 0
0 0 0 0.866 0.500 0 0 0 0 0 0 1
3
iar matricea de rigiditate a structurii în coordonate nodale devine
2 3 13 0 -6 -6 10.3923 -6 0 13 -6 -0.8660 -0.5000 0
-6 -6 8 3 -5.1962 2
2
. [ ] [ ] [ ][ ]RotT
RotRotr TKTK = =
-6 -0.8660 3 3.7500 -4.7631 3 10.3923 -0.5000 -5.1962 -4.7631 9.2500 -5.1962 -6 0 2 3 -5.1962 4
3
Impunerea condiŃiei în reazem se transformă în 0vn3 = şi se reflectă prin "tăierea" liniei şi a
coloanei înegrite din expresia matricei de rigiditate în coordonate nodale [ ]RotrK . Rezultă, deplasările
în coordonate nodale
−
−
−
−
−
=
−
−
−−
−−
−−
−−−
=
ϕ
ϕ
−
1308.0
0823.0
2340.0
1904.0
2064.0
0
0
0
1
0
43206
37500.338660.06
23866
08660.06130
666013
u
V
U1
3
n3
2
2
2
.
Pentru a obŃine deplasările în coordonate globale se "schimbă" sistemul de referinŃă, adică
[ ]
−
−
−
−
−
−
=
ϕ
ϕ=
ϕ
ϕ
1308.0
0713.0
0411.0
2340.0
1904.0
2064.0
v
u
V
U
T
V
U
V
U
3
n3
n3
2
2
2
Rot
3
3
3
2
2
2
.
ForŃele din noduri, în coordonate nodale, sunt
[ ]
−
=
ϕ
ϕ=
0
2383.0
0
0
1
0
v
u
V
U
K
M
F
F
M
F
F
3
n3y
n3x
2
2
2
Rotr
2Z
n3y
n3x
2Z
2Y
2X
,
iar în coordonate globale rezultă
[ ]
−
−
=
=
0
1192.0
2064.0
0
1
0
M
F
F
M
F
F
T
M
F
F
M
F
F
2Z
n3y
n3x
2Z
2Y
2X
Rot
2Z
3Y
3X
2Z
2Y
2X
.
Exemplul 3. Modelarea articulaŃiilor intermediare. Se consideră o grinda în plan, cu
articulaŃie intermediară (fig. 13.3.a), formată din două elemente BEAM2D. Se consideră =ℓ 1; E = 1; I = 1; F = 1. Se cer deplasările şi rotirile nodale.
Deoarece nu interesează deplasările axiale (sunt nule), se consideră două grade de libertate în fiecare nod, adică translaŃia pe verticală şi rotirea în jurul axei Z. Mai mult, matricele de rigiditate ale elementelor în coordonate locale coincid cu cele în coordonate globale.
Figura 13.3
Model 1. Se face discretizarea din figura 13.3.b, în care articulaŃia intermediară se consideră, pentru început, separată în două noduri distincte, cu aceleaşi coordonate, iar apoi se introduce o legătură cinematică între gradele de libertate ale acestor două noduri.
Matricele de rigiditate ale elementelor sunt
[ ]
−
−−−
−
−
=
4626
612612
2646
612612
K1 ; [ ]
−
−−−
−
−
=
25.115.1
5.15.15.15.1
15.125.1
5.15.15.15.1
K 2 .
A. Pentru metoda de eliminare rezultă matricea de rigiditate a structurii, cu condiŃiile la limită impuse 0vv 411 ==ϕ= :
[ ]
−
−
=
215.100
125.100
5.15.15.100
00046
000612
K .
Deoarece 32 vv = , matricea de transformare pentru eliminarea relaŃiei de legătură [ ]CT , rezultă
din
[ ]
ϕ
ϕ
ϕ=
ϕ
ϕ
ϕ
=
ϕ
ϕ
ϕ
4
3
2
2
C
4
3
2
2
4
3
3
2
2v
T
v
1000
0100
0001
0010
0001
v
v
,
iar matricea de rigiditate a structurii cu relaŃia de legătură impusă este
[ ] [ ] [ ][ ]
−
−
==
2105.1
1205.1
0046
5.15.165.13
TKTK CT
Cr .
Vectorul încărcărilor nodale ale structurii şi vectorul redus al încărcărilor, rezultă
{ }
−
=
0
0
0
0
1
F ; { } [ ] { }
−
==
0
0
0
1
FTF TCr .
Deplasările nodale se obŃin din
[ ] { }
−
−
==
ϕ
ϕ
ϕ−
1667.0
1667.0
5.0
3333.0
FK
v
r1
r
4
3
2
2
.
B. Dacă se lucrează cu metoda multiplicatorilor Lagrange, atunci calculul decurge astfel: i. se scrie matricea
[ ] [ ]00101C −= ;
ii. se formează matricea de rigiditate extinsă [ ]LK şi vectorul încărcărilor { }LF , care include şi multiplicatorii Lagrange
[ ]
−
−
−
−
=
000101
0215.100
0125.100
15.15.15.100
000046
1000612
KL ; { }
−
=
0
0
0
0
0
1
FL ;
iii. se rezolvă sistemul [ ]{ } { }LLL FUK = şi rezultă
[ ] { }
−
−
−
==
λ
ϕ
ϕ
ϕ
−
0
1667.0
1667.0
3333.0
5.0
3333.0
FKv
v
L1
L
4
3
3
2
2
.
C. Dacă se doreşte rezolvarea problemei folosind funcŃiile de penalizare, se procedează astfel: i. se alege matricea [ ]α , în cazul de faŃă constanta 100=α (de exemplu); ii. se determină matricea de penalizare
[ ] [ ] [ ]
−
−
=α=
00000
00000
001000100
00000
001000100
CCK Tp ,
care coincide cu matricea de rigiditate expandată a unui arc de rigiditate α=k , montat între nodurile 2 şi 3 şi care arată că din punctul de vedere al modelării, introducerea unui arc pe direcŃie verticală, între nodurile 2 şi 3 este echivalentă cu metoda funcŃiei de penalizare; iii. se determină matricea de rigiditate "penalizată" [ ]Str,PK , care include şi matricea de penalizare
[ ] [ ] [ ]
−
−
−−
=+=
215.100
125.100
5.15.15.1010100
00046
001006112
KKK pStr,P ;
iv. se obŃin deplasările nodale
[ ] { }
−
−
−
==
ϕ
ϕ
ϕ
−
1667.0
1667.0
3333.0
5.0
3333.0
FKv
v
1Str,P
4
3
3
2
2
.
Model 2. O altă posibilitate de modelare a articulaŃiei intermediare este folosirea condensării
statice a gradelor de libertate rotiri, pentru cel puŃin un element care participă la asamblare în nodul articulaŃiei. Astfel, dacă discretizarea se face cu un nod comun, ca în figura 13.3.c, trebuie să se facă distincŃie între rotirea elementului 1 şi 2, din nodul comun 2. Deoarece pentru această aplicaŃie un nod are două grade de libertate, rezultă că nu se poate obŃine direct decât maxim o rotire a unui element în nodul 2. Aceasta poate fi rotirea elementului 1 - 1
2ϕ , sau rotirea elementului 2 - 22ϕ ,
funcŃie de care matrice de rigiditate se condensează pentru a nu transmite rigiditate de încovoiere în nodul 2. Condensarea statică a fost prezentată în capitolul 4.
Matricele de rigiditate ale celor două elemente, cu gradele de libertate rotiri din nodul 2 condensate static, sunt
[ ]
−−
−
−
=
0000
0333
0333
0333
K1c ; [ ]
−
−−
−
=
5.175.0075.0
75.0375.00375.0
0000
75.0375.00375.0
K 2c .
Condensarea statică este un procedeu de eliminare Gauss a unor linii din matricea de rigiditate a elementului. Pentru a obŃine prima matrice se procedează astfel: i. se partiŃionează ecuaŃia de echilibru a elementului 1 în forma
[ ] { }
{ }
{ } { }
=
b
a
b
a
bbba
abaa
F
F
U
U
KK
KK;
ii. din a doua ecuaŃie, în care 0Fb = , rezultă { }{ }aba1
bbb UKKU −−= , care înlocuită în prima ecuaŃie,
simultan cu completarea liniei şi coloanei a patra cu zero, conduce la matricea condensată
[ ] { } { }( ) { }
{ }
{ } { }
=
−+ −
0
F
U
U
00
0KKKK a
b
aba1
bbabaa,
sau, explicit, matricea elementului partiŃionată este
12 6 -12 6 1v 1F 6 4 -6 2 1ϕ 1M -12 -6 12 -6
2v 2F
6 2 -6 4
×
12ϕ
=
0
.
Dacă se are în vedere condensarea elementului 2, pentru rearanjarea matricei în forma de mai sus se poate face o permutare a gradelor de libertate. Pentru acest caz matricea de permutare şi relaŃia de rearanjare sunt
[ ]
=
0100
0010
1000
0001
P ; [ ] [ ] [ ] [ ]PKPK 2T2Perm = .
Dacă se condensează matricea elementului 1 şi se asamblează cu matricea elementului 2 necondensat, în urma impunerii condiŃiilor la limită, rezultă ecuaŃia
−
=
ϕ
ϕ
0
0
1v
215.1
125.1
5.15.15.4
3
22
2
,
din care se obŃine
−
=
ϕ
ϕ
1667.0
1667.0
3333.0v
3
22
2
.
Este de menŃionat că se poate proceda şi la condensarea elementului 2 şi asamblarea cu elementul 1 necondensat, sau se pot condensa ambele elemente în nodul 2. Dacă se condensează ambele elemente, în urma asamblării şi a impunerii condiŃiilor la limită, rezultă
−
=
ϕ
0
0
1
0
v
5.1075.0
000
75.00375.3
3
2
,
iar prin eliminarea liniei şi coloanei cu zerouri, rezultă un sistem de ecuaŃii determinat, care conduce la soluŃiile
−
=
ϕ 1667.0
3333.0v
3
2.
Exemplul 4. Cuplare cinematică la o grindă. Grinda în consolă din figura 13.4.a este astfel
realizată (cuplată cinematic) încât nodurile 2 şi 3, indiferent de încărcare, au aceeaşi deplasare v, pe direcŃie verticală. Ştiind că =ℓ 0.5; E = 1; I = 0.25; F = 1, se cere valoarea deplasării v, precum şi valorile forŃelor care asigură condiŃia cinematică impusă.
Figura 13.4
Deoarece nu interesează deplasările pe orizontală, fiecare nod are două grade de libertate, adică
deplasarea pe verticală şi rotirea în planul grinzii. Pentru discretizarea din figura 13.4.b, matricele de rigiditate ale elementelor în coordonate globale sunt
[ ] [ ]
−
−−−
−
−
==
2616
624624
1626
624624
KK 21 .
Matricea de rigiditate globală a structurii [K], cu blocajele impuse în nodul 1, satisface ecuaŃia [ ]{ } { }FUK = , adică
=
ϕ
ϕ
−
−−−
−
−
0
1
0
0
v
v
2616
624624
1640
624048
3
3
2
2
,
dar, în plus, trebuie să satisfacă şi restricŃia 32 vv = .
A. Dacă se alege metoda eliminării pentru a rezolva sistemul de ecuaŃii cu restricŃii, se scrie matricea de transformare [T], care rezultă din exprimarea { } [ ]{ }rUTU = , adică
[ ]
ϕ
ϕ=
ϕ
ϕ
=
ϕ
ϕ
3
2
2
3
2
2
3
3
2
2v
T
v
100
001
010
001
v
v
.
Matricea redusă şi vectorul redus al încărcărilor rezultă din
[ ] [ ] [ ] [ ]
−
−
==
210
146
0624
TKTK Tr ; { } [ ] { }
==
0
0
1
FTF Tr .
Deplasările necunoscute rezultă
{ } [ ] { }
−
==
ϕ
ϕ=−
0625.0
125.0
0729.0
FK
v
U r1
r
3
2
2
r ,
iar vectorul total al deplasărilor este
{ } [ ]{ }
−
==
0625.0
0729.0
125.0
0729.0
UTU r .
EcuaŃia globală de echilibru este perturbată de prezenŃa restricŃiei, astfel încât forŃele care asigură deplasările precedente (fig. 13.4.c) rezultă din
{ } [ ]{ }
−==
=
0
375.0
0
375.1
UK
M
F
M
F
F
3
3
2
2
R .
Deci, pentru a satisface restricŃia impusă, faŃă de sistemul iniŃial de forŃe {F}, în structură se induce un sistem de forŃe suplimentar { }SF , astfel încât { } { } { }SR FFF += . Sistemul de forŃe suplimentar este
{ } { } { }
−=−=
0
375.1
0
375.1
FFF RS .
În concluzie, prezenŃa unor restricŃii de genul celei prezentate, conduce la o redistribuire a forŃelor în sistem, astfel încât aceste restricŃii să poată fi satisfăcute. ForŃa F = 1 introdusă în nodul 3 trebuie privită ca forŃa rezultantă care lucrează în nodurile cuplate 2 şi 3, adică 1FFF 32 ==+ .
În practică asemenea situaŃii sunt des întâlnite. În figura 13.5 se prezintă modelulul plan al unui cilindru în contact cu alt cilindru (sau, sistemelor, sferă pe sferă), pentru care se analizează distribuŃia tensiunilor în zona contactului dintre cilindri. Din motive de simetrie, este discretizat doar un sfert din fiecare cilindru. CondiŃiile de încărcare cu forŃe în nodurile de pe axa AB sunt dificil de stabilit, întrucât nu se cunoaşte distribuŃia acestora. Dacă toate nodurile de pe această axă sunt obligate să prezinte aceeaşi deplasare pe verticală (adică se impun restricŃii, sau în limbajul uzual al MEF, cuplaje), este suficient ca forŃa totală să fie aplicată într-un singur nod. Similar, se întâmplă cu placa în consolă din figura 13.6, supusă la încovoiere pură. Dacă aceasta se discretizează cu elemente de tip SHELL cu opt noduri, este dificil de a distribui momentul M în cele trei noduri din capătul liber al plăcii, astfel încât rotirile din aceste noduri să rezulte egale, aşa cum este normal. Impunerea condiŃiilor de cuplare a rotirilor pentru aceste trei noduri şi aplicarea momentului într-un singur nod, rezolvă această problemă.
Figura 13.5
Figura 13.6
Exemplul 5. Modelarea elementelor rigide. Se consideră structura formată din două grinzi identice, conectate rigid, ca în figura 13.7.a, pentru care, pentru simplificarea calculului, se consideră =ℓ 1; a = 0.5; E = 1; A = 1; I = 1; =ρ 420; F = 1. Se cer deplasările nodale, pentru încărcarea statică şi frecvenŃele proprii ale structurii.
Figura 13.7
Model 1. Cea mai simplă cale de a modela această structură, este de a considera elementul rigid cu proprietăŃi elastice mult ridicate (de exemplu, se pot alege valori obişnuite ale caracteristicilor geometrice ale secŃiunii barelor, şi materialul să se considere mult mai rigid, E=106 şi fără masă ρ =0). Această situaŃie nu include ecuaŃii suplimentare de restricŃii ale deplasărilor, deoarece elementul de grindă care modelează elementul rigid, simulează practic îmbinarea rigidă. Pentru numerotarea nodurilor şi a elementelor din figura 13.7.b, se obŃin următoarele matrice de rigiditate şi masă pentru structură (valorile care conŃin factorul 106 sunt puŃin mai mari, deoarece conŃin şi informaŃiile din matricele elementelor de grindă 1 şi 2)
2 3 4 96 610⋅ 0 -24 610⋅ 0 0 0 -96 610⋅ 0 -24 610⋅ 0 2 610⋅ -6 0 0 0 0 -2 610⋅ 0 -24 610⋅ -6 8 610⋅ 0 0 0 24 610⋅ 0 4 610⋅
2
0 0 0 1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 12 -6 0 -12 -6
[ ]K =
0 0 0 0 -6 4 0 6 2
3
-96 610⋅ 0 24 610⋅ -1 0 0 96 610⋅ 0 24 610⋅ 0 -2 610⋅ 0 0 -12 6 0 2 610⋅ 6 -24 610⋅ 0 4 610⋅ 0 -6 2 24 610⋅ 6 8 610⋅
4
2 3 4
140 0 0 0 0 0 0 0 0 0 156 -22 0 0 0 0 0 0 0 -22 4 0 0 0 0 0 0
2
0 0 0 140 0 0 70 0 0 0 0 0 0 156 -22 0 54 13
[ ]coerM =
0 0 0 0 -22 4 0 -13 -3
3
0 0 0 70 0 0 140 0 0 0 0 0 0 54 -13 0 156 22 0 0 0 0 13 -3 0 22 4
4
2 3 4
210 0 0 0 0 0 0 0 0 0 210 0 0 0 0 0 0 0 0 0 17.5 0 0 0 0 0 0
2
0 0 0 210 0 0 0 0 0 0 0 0 0 210 0 0 0 0
[ ]diagM =
0 0 0 0 0 17.5 0 0 0
3
0 0 0 0 0 0 210 0 0 0 0 0 0 0 0 0 210 0 0 0 0 0 0 0 0 0 17.5
4
Model 2. A doua posibilitate de modelare, constă în introducerea relaŃiilor de restricŃie între
nodurile conectate de elementul rigid. Pentru numerotarea nodurilor şi a elementelor ca în figura 13.7.c, aceste relaŃii sunt
ϕ=ϕ
=
ϕ−=
24
24
224
vv
auu
,
şi conduc la matricea
[ ]
−
−
−−
=
100000100
010000010
0010005.001
C ,
în care gradele de libertate corespunzătoare nodului 4 sunt dependente (se elimină). Matricele de masă pentru structura asamblată (cu condiŃiile la limită impuse în nodul 1) sunt cele corespunzătoare modelului 1 deoarece elementul rigid a fost considerat fără masă, iar matricea de rigiditate este
2 3 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 -6 0 0 0 0 0 0 0 -6 4 0 0 0 0 0 0
2
0 0 0 1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 12 -6 0 -12 -6
[ ]K =
0 0 0 0 -6 4 0 6 2
3 .
0 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -12 6 0 12 6 0 0 0 0 -6 2 0 6 4
4
A. Dacă metoda de rezolvare este eliminarea directă a restricŃiilor, atunci matricea de transformare rezultă
2 3 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
2
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0
[T]=
0 0 0 0 0 1
3 ,
1 0 -0.5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
4
iar matricele de rigiditate şi masă reduse rezultă 2 3
2 0 -0.5 -1 0 0 0 24 0 0 -12 6
-0.5 0 8.25 0.5 -6 2
2
[ ]rK = -1 0 0.5 1 0 0
0 -12 -6 0 12 -6 0 6 2 0 -6 4
3
2 3
280 0 -70 70 0 0 0 312 0 0 54 -13
-70 0 43 -35 13 -3
2
[ ]coer,rM = 70 0 -35 140 0 0
0 54 13 0 156 -22 0 -13 -3 0 -22 4
3
2 3
420 0 -105 0 0 0 0 420 0 0 0 0
-105 0 87.5 0 0 0
2
[ ]diag,rM = 0 0 0 210 0 0
0 0 0 0 210 0 0 0 0 0 0 17.5
3
Vectorul redus al încărcărilor nodale rezultă { } { }T
r 015000F = . B. Dacă se alege metoda Lagrange, atunci soluŃiile se obŃin din considerarea matricelor de rigiditate şi masă împreună cu restricŃiile şi rezultă, matricele extinse
2 3 4 mult. lagr. (ml)
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 12 -6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -6 4 0 0 0 0 0 0 -0.5 0 1
2
0 0 0 1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 -6 0 -12 -6 0 0 0
0 0 0 0 -6 4 0 6 2 0 0 0
3
; [ ]LagrK = 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 -12 6 0 12 6 0 -1 0 0 0 0 0 -6 2 0 6 4 0 0 -1
4
1 0 -0.5 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0
ml
2 3 4 mult. lagr. (ml)
140 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 156 -22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -22 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2
0 0 0 140 0 0 70 0 0 0 0 0 0 0 0 0 156 -22 0 54 13 0 0 0
0 0 0 0 -22 4 0 -13 -3 0 0 0
3
. [ ]coerLagrM =
0 0 0 70 0 0 140 0 0 0 0 0 0 0 0 0 54 -13 0 156 22 0 0 0 0 0 0 0 13 -3 0 22 4 0 0 0
4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
ml
C. Pentru metoda funcŃiei de penalizare, se poate alege
[ ]
=α
100
010
001
k .
Dacă k=100, atunci 2 3 4
100 0 -50 0 0 0 -100 0 0 0 100 0 0 0 0 0 -100 0 -50 0 125 0 0 0 50 0 -100
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
[ ] [ ] [ ] [ ]CCK Tp α= =
0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 .
-100 0 50 0 0 0 100 0 0 0 -100 0 0 0 0 0 100 0 0 0 -100 0 0 0 0 0 100
4
SoluŃiile problemei sunt prezentate în tabelul 13.1, pentru analiza statică şi în tabelul 13.2, pentru
analiza modală. În tabelul 13.3 se dă numărul de condiŃionare a matricei de rigiditate, sau a matricei care trebuie inversată, pentru obŃinerea soluŃiei.
Tabelul 13.1 Model 2
Metoda de rezolvare FuncŃii de penalizare
D e p l.
Model 1
Eliminare şi Lagrange k=102 k=106 k=1012 k=1015
2u 5.0000 5.0000 5.0000 5.0000 4.9994 5.7143
2v -0.4167 -0.4167 -0.4167 -0.4167 -0.4167 -0.4015
2ϕ -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.9697
3u 10.5000 10.5000 10.5500 10.5000 10.4994 11.1991
3v -1.0833 -1.0833 -1.0633 -1.0833 -1.0834 -1.0379
3ϕ -0.5000 -0.5000 -0.4900 -0.5000 -0.5000 -0.4697
4u 5.5000 5.5000 5.5500 5.5000 5.4994 6.1991
4v -0.4167 -0.4167 -0.4067 -0.4167 -0.4167 -0.4015
4ϕ -1.0000 -1.0000 -0.9900 -1.0000 -1.0000 -0.9697
Tabelul 13.2
Matrice de masă coerentă Matrice de masă diagonală FrecvenŃa proprie
310× Model 1 Model 2 Model 1 Model 2
f1 5.4002 5.4002 5.0353 5.2695 f2 7.7243 7.7243 6.7930 6.3238 f3 21.8238 21.8238 14.3534 14.3921 f4 43.0812 43.0812 28.0048 27.9234 f5 95.3720 95.3720 53.8346 47.0384 f6 330.2269 330.2269 91.2475 89.7050
Tabelul 13.3
Model 2
Metoda de rezolvare Penalizare
Model 1
Elimi-nare
Lagrange k=102 k=106 k=1012 k=1015
Numărul de condiŃionare al matricei care se
"inversează"
1.47 910⋅ 195.65 227.47 1.93 310⋅ 1.90 710⋅ 1.9 1310⋅ 2.2 1610⋅ În concluzie, Ńinând seama de exemplele prezentate, analiza statică conduce la rezultate "corecte" din punctul de vedere a metodei de abordare a problemei cu restricŃii, indiferent de metoda aleasă, cu excepŃia metodei funcŃiei de penalizare, care poate da rezultate eronate, dacă matricea [ ]α nu este bine aleasă. Analiza modală prezintă dificultăŃi dacă se lucrează cu matrice de masă diagonale. Atât metoda eliminării cât şi metoda multiplicatorilor Lagrange, se pot utiliza în această opŃiune, cu menŃiunea că odată distrus caracterul matricei de masă diagonale, aceasta se utilizează, în continuare, prin neglijarea tuturor termenilor din afara diagonalei principale. Modelul 1, al aplicaŃiei din exemplul 5, este, practic, un caz particular al metodei funcŃiei de penalizare. Numărul de condiŃionare a matricei de rigiditate (sau a matricei care se inversează) este o măsură a "calităŃii" soluŃiilor obŃinute. Acest număr este de dorit a fi cât mai mic, pentru a înlătura problemele numerice de rezolvare a sistemului de ecuaŃii, dar în aceste condiŃii nu se asigură precizia soluŃiei.
În practică sunt numeroase cazurile când se impune folosirea ecuaŃiilor de legătură sau de cuplare între anumite componente pe direcŃiile gradelor de libertate ale unor mărimi nodale. Spre exemplu,
structura din figura 13.8 este realizată constructiv din Ńevi care sunt prinse între ele cu şuruburi, prin intermediul a 12 piese identice [2]. Aceste piese sunt la rândul lor formate din trei table găurite, fixate între ele tot cu şuruburi (fig. 13.9). Pentru o analiză statică a structurii s-a utilizat un model din bare şi plăci, ca în figura 13.9.a. Acest model Ńine seama de rigidităŃile celor 12 piese de legătură, precum şi de excentricităŃile punctelor de prindere. Pentru a realiza legătura dintre găurile din plăci şi elementele de bară, au fost modelate toate şuruburile de prindere ca bare scurte. Între fiecare nod al barei care modelează şurubul şi se află în planul median al unei table din piesa de prindere şi nodurile de pe conturul găurii în care se introduce şurubul (vezi fig. 13.9.b), au fost definite legături rigide, folosind ecuaŃii de legătură între gradele de libertate.
Figura 13.8
Modelul cu elemente finite are 4406 elemente de grindă şi placă (SHELL) cu patru noduri, şi 6826 de noduri. Numărul total al ecuaŃiilor de legătură a fost 11520, ceea ce reprezintă circa 28 % din numărul total al gradelor de libertate.
a. b.
Figura 13.9
Discretizarea adaptivă
Indiferent de modul de calcul al tensiunilor în noduri, între elementele vecine apar discontinuităŃi ale lor. Acestea provin, în general, din slabele performanŃe ale elementelor finite model deplasare, pentru care continuitatea tensiunilor nu este controlată, încă din faza de formulare a teoriei MEF. Pentru a "forŃa" continuitatea tensiunilor între elementele vecine, o cale simplă şi foarte des utilizată este de a media, într-un fel anume tensiunile între elemente care au noduri comune. Cea mai simplă tehnică este folosirea mediei aritmetice.
Dacă într-un nod n (fig. 13.10) există eN,,1i …= elemente
adiacente, atunci se consideră că tensiunea medie în acel nod este
Figura 13.10
{ }{ }
e
N
1i
in
mn N
e
∑=
σ
=σ .
(13.28)
Dacă discretizarea unui model se îmbunătăŃeşte prin creşterea numărului de elemente, atunci, tensiunile pe fiecare element tind spre starea de tensiune constantă şi practic aceste discontinuităŃi dispar. Plecând de la această observaŃie, rezultă că o continuitate a tensiunilor între elemente este o măsură a calităŃii discretizării, iar discontinuitatea tensiunilor semnalează o deficienŃă a acesteia. Discontinuitatea tensiunilor este funcŃie de tipul elementului folosit în discretizarea modelului, de gradienŃii stărilor de deplasări şi tensiuni ai structurii şi de condiŃiile la limită ale problemei (încărcare). Dacă se alege un tip de element finit şi un caz de încărcare pentru un model dat, se obŃin tensiunile în elemente, iar discontinuitatea lor în noduri poate defini o mărime globală, la nivelul întregului model (sau doar pe o porŃiune din model), numită eroare de discontinuitate a
tensiunilor ("percentage error in energy norm"). Această mărime are o formulare energetică intuitivă. Dacă se acceptă că eroarea tensiunii în nodul n, pentru elementul i este
{ } { } { }in
mn
in σ−σ=σ∆ , (13.29)
şi dacă elementul finit i are un număr total de noduri conectate cu alte elemente Nc , atunci se poate defini convenŃional eroarea energiei potenŃiale în elementul i, prin relaŃia integrală
{ } [ ] { }dVD2
1e
V
1Ti σ∆σ∆= ∫
− ,
(13.30)
în care prin { }σ∆ se înŃelege relaŃia (13.29) pentru toate cele Nc noduri din elementul i şi [D] este matricea de rigiditate a materialului (3.22). Eroarea energiei potenŃiale pentru modelul considerat, care are un număr total de elemente NE, este
∑=
=NE
1iiee .
(13.31)
Dacă energia potenŃială totală a modelului U, pentru analiza respectivă, este
∑=
=NE
1e
eUU ; { } [ ]{ }eeTee uku2
1U = ,
(13.32)
atunci eroarea de discontinuitate a tensiunilor, se defineşte procentual, astfel
eU
e100E
+= .
(13.33)
Un model pentru care ie este constant (erorile sunt echilibrate) pentru toate elementele, este foarte eficient din punctul de vedere al analizei respective. În practică, mărimea globală E poate fi un indicator de eficienŃă a discretizării respective. Plecând de la relaŃiile definite anterior, este util uneori a estima o serie de mărimi "tensiuni", care dau informaŃii preŃioase asupra valorilor "posibile", maxime sau minime, în modelul de calcul, Ńinând seama de "deviaŃiile" tensiunilor în noduri. Astfel, pentru o componentă oarecare jσ a
tensiunii din vectorul tensiunilor { }σ , sau chiar pentru o altă tensiune (echivalentă de exemplu), se pot estima valorile nodale extreme, prin
( )nm
n,jn
minj min σ∆−σ=σ ; (13.34)
( )nm
n,jn
maxj max σ∆+σ=σ , (13.35)
în care
( )
e
N
1i
2i
n N
e
∑=
σ∆
=σ∆ ;
(13.36)
iar iσ∆ este maximumul absolut din componenta vectorului { }inσ∆ , pentru toate nodurile conectate
la elementul i. Pe baza indicatorului E, unele programe cu elemente finite au implementat proceduri de discretizare adaptivă. Adică, dacă o primă discretizare prezintă E > 5 % (spre exemplu), discretizarea se reface automat în zona în care { }σ∆ este mare şi se reia calculul până când E coboară sub o valoare impusă. Discretizarea adaptivă, de obicei, conduce la rafinarea discretizării, dacă tipul de element finit folosit pentru discretizare se păstrează. Această metodă poartă denumirea de tehnica h, (de la dimensiunea elementului finit, care, de obicei, se notează cu h). Creşterea preciziei unei analize şi respectiv scăderea discontinuităŃii tensiunilor în noduri, se poate obŃine şi prin folosirea elementelor finite cu polinoame de interpolare de grad superior. Dacă se menŃine discretizarea şi se creşte progresiv gradul polinoamelor de interpolare ale elementelor (deci se introduc noduri suplimentare în discretizarea iniŃială, fără însă a modifica forma iniŃială a elementelor) se spune că se foloseşte tehnica p (de la polinomul de interpolare). Pentru o eventuală combinare ale acestor două tehnici se poate vorbi de tehnica h-p. De obicei, gradul maxim al polinoamelor de interpolare implementat în programe este limitat (8, max. 10), astfel că la limită, valoarea indicatorului E nu poate să fie oricât de mică, în cazul folosirii acestei tehnici. Nici tehnica h nu conduce la indicatori de eroare foarte mici, deoarece dimensiunea elementelor finite nu poate tinde la zero (unele programe verifică dacă dimensiunile elementelor sunt mai mici decât o anumită limită). În figura 13.11.a se prezintă modelul unui sfert al unei membrane găurite, solicitată la întindere pe direcŃie orizontală, discretizată cu 35 de elemente Q6, pentru care E = 17.2 %. Prin procedeul h, se ajunge la discretizarea cu 152 de elemente din figura 13.11.b, pentru care E = 7.5 %.
Dacă se adoptă discretizarea cu 16 elemente din figura 13.11.c, pentru polinoame de interpolare de ordinul 2, indicele E < 5%, iar pentru polinoame de interpolare de ordinul 3, indicele E < 0.1 %.
a. b. c.
Figura 13.11
În cazul prezentat, tensiunea maximă este în elementul marcat înegrit în figura 13.11, chiar în nodul care nu aparŃine decât unui singur element. Deci dacă scopul utilizării metodelor de discretizare adaptivă este estimarea cât mai precisă a tensiunilor în acest punct, se face o eroare de interpretare a indicelui E. Precizia de estimare a tensiunii în acest nod creşte, dar nu din considerente de discontinuitate a tensiunilor în acest nod ci din nodurile vecine.
Bibliografie
1. Cook R.D., Malkus D.S., Plesha M.E., Concepts and Applications of Finite Element Analysis, John Wiley & Sons, University of Wisconsin-Madison, Third Edition, 1989.
2. Sandu Adriana, Sorohan Şt., On the modeling of modular bars structures using finite element
analysis, The 9-th International Symposium on Experimental Stress Analysis and Material Testing, Bucureşti - ConstanŃa, pag. 164-170, 2002.