probleme_geometrie_arii

8/3/2019 probleme_geometrie_arii

1/3

Rezolvarea unor probleme de geometrie plan utiliznd ariile

Prof. Mariana Benea, Liceul Teoretic Henri Coand,Craiova

Multe probleme de geometrie pot fi rezolvate utiliznd ariile figurilor plane studiate.

n acest material am s prezint cteva probleme, n a cror rezolvare voi folosi ariile.Aplicaia 1.S determine formula de calcul a nlimii unui triunghi dreptunghic corespunztoare ipotenuzei.Demonstraie:

Aplicaia2. ( Teorema bisectoarei )

Dac AD este bisectoarea unghiului CAB ( BCD ), atunciAC

AB

DC

BD

Demonstraie:Fie BCAQ

2

AQBDA ABD

; 2

AQDCA ADC

.

DeciDC

BD

AQDC

AQBD

A

A

ADC

ABD

2

2 .

Punctul D aparine bisectoarei unghiului CAB , deci este egal deprtat de laturile unghiului.Fie ABDM i ACDN DNDM

2

DMABA ABD

; 2

DNACA ADC

AC

AB

DNAC

DMAB

A

A

ADC

ABD

2

2 . DarDC

BD

A

A

ADC

ABD

, deci

AC

AB

DC

BD

Teorema bisectoarei poate fi demonstrat i folosind Teorema lui Thales.

Aplicaia 3. ( Teorema sinusurilor )

n orice triunghi ABC are loc relaiaA

BC

B

AC

C

AB

sinsinsin

Demonstraie:

Exprimm aria ABC n dou moduri:

2

sin AACABA ABC

i 2

sinCACBCA ABC

ip

cchhipcc

hipA

ccA

ABC

ABC21

2

21

2

2


2/3

CACBCAACAB sinsin .

mprinnd relaia cu AC CBCAAB sinsin

Din aceast relaie rezult proporiaA

BC

C

AB

sinsin .

Analog2

sin AACABA

ABC

i 2

sin BABBCA

ABC

BABBCAACAB sinsin

BBCAAC sinsin A

BC

B

ACsinsin

n concluzieA

BC

B

AC

C

AB

sinsinsin .

Aplicaia 4.

Fie triunghiul ABC isoscel ( ACAB ) i BCD oarecare. Demonstrai c ACAdABAd ,,

Demonstraie:Fie ABDM i

ACDN

DMABDd

,i

DNACDd

,

Unim punctele A i D ADCABDABC AAA (1)

2

DMABA ABD

; 2

DNACA ADC

Fie ABCQ , deci2

CQABA ABC

.

nlocuind n relaia (1) obinem

2

CQAB

2

DMAB +

2

DNAC.

Dar din ipotez ACAB DNABDMABCQAB DNDMCQ = constant

Aplicaia 5.

Fie M un punct n interiorul triunghiului ABCechilateral. S se arate c suma distanelor de lapunctul M la laturile triunghiului este constant.Demonstraie:Fie ABMQ MQABMd ,

ACMN MNACMd , BCMP MPBCMd ,

Unim punctul M cu vrfurile triunghiului ABC.Atunci

BCMACMABMABC AAAA

2224

32 MPlMNlMQll

MPlMNlMQll 32

MPMNMQl 3 = constant

Aplicaia 6. ( Teorema lui Ceva )Pe laturile BC , CA , AB ale triunghiului ABC se iau respectiv punctele 111 ,, CBA

astfel nct dreptele 1AA , 1BB , 1CC s fie concurente n P .

a) Demonstrai cCB

AB

A

A

BCP

ABP

1

1


3/3

b) Demonstrai c 11

1

1

1

1

1 AC

BC

BA

CA

CB

AB

Demonstraie:a) Construim ACPT;BBCH; 11 BBAQ

CH

AQ

CHBP

AQBP

A

A

CHBPA

AQBPA

CBP

ABP

CBP

ABP

2

2

2

2

CH

AQ

CHPB

AQPB

A

A

CHPBA

AQPBA

PCB

PAB

PCB

APB

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

Deci

CBP

ABP

A

A

PCB

PAB

A

A

1

1

(1)

Dar1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

1

1

1

1

CB

AB

PTCB

PTAB

A

A

PTCBA

PTABA

PCB

PAB

PCB

APB

(2)

Din (1) i (2)1

1

CB

AB

A

A

CBP

ABP

b) Analog se demonstreaz c1

1

BA

CA

A

A

ABP

ACP

i1

1

AC

BC

A

A

CAP

CBP

11

1

1

1

1

1

ACP

CBP

ABP

ACP

CBP

ABP

A

A

A

A

A

A

AC

BC

BA

CA

CB

AB

BIBLIOGRAFIE:

1. Victor Raischi Matematicprobleme i teste pentru clasa a VII a, Ed. Sigma, Bucureti2. Mihaela Singer nvarea geometriei prin exerciii . Ed. Sigma, Bucureti3. Dan Brnzei, Maria Zaharia, Dan Zaharia, Constantin Hrabor Geometrie clasa a VII a ,

Ed. Scorpion, Bucureti4. Ioan Dncil i tu poi nva geometria, Ed. Teora, Bucureti5. Mariana Benea, Florin Benea Probleme de geometrie plan, Ed. Reprograph, Craiova

probleme_geometrie_arii

Documents