probleme prod uses cal are i
DESCRIPTION
problemeTRANSCRIPT
-
6Produse scalare. Probleme
1. De. ca daca x, y, sunt vectori nenuli in R2, atunci
xx, yy }x}}y} cos
unde este unghiul dintre x si y.
2. Pt. ca u, v P V , V s.v. cu produs scalar. Aratati ca
}u} }u av}
pt. orice a P F daca si numai daca xu, vy 0.
3. Dem. ca
p
n
i1
aibiq2 p
n
i1
ia2i qpn
i1
1ib2i q,
pt. ai, bi P R , , i 1, n.
3Pp. ca u, v P V , V s.v. cu produs scalar. Daca
}u} 3 , }u v} 4 , }u v} 6
aflati }v}.
69
-
70 6. Produse scalare. Probleme
4. Dem. sau infirmati afirmatia: D un produs scalar pe R2 a.i. norma
indusa de el sa fie egala cu
}px1, x2} |x1| |x2|,
@ px1, x2q P R2.
5.Daca V este s.v. real cu produs scalar atunci
xu, vy }u v}2 }u v}2
4, @u, v P V.
6. Daca V este s.v. complex cu produs scalar dem. ca
xu, vy }u v}2 }u v}2 i}u iv}2 i}u iv}2
4, @ u, v P V.
7. De. ca o norma pe un s.v. V este indusa de un produs scalar daca si
numai daca satisface regula paralelogramului.
8. Dem. ca multimea
t
1?
2pi,
sinx?
pi, . . . ,
sinnx?
pi,
cosx?
pi, . . .
cosnx?
piu
este ortonormala in Crpi, pis, cu produsul scalar
xf, gy
pi
pi
fpxqgpxqdx.
9. Fie V un s.v. cu produs scalar si pv1, . . . vmq o familie lin. ind. Sa
se calculeze numarul ortonormale pe1, . . . , emq care se pot construi folosind
Gram Schmidt a.i.
spantv1 . . . , viu spante1 . . . , eiu, @ i 1, n.
10. Fie pe1, . . . emq o lista ortonormala in s.v. cu produs scalar V , si
v P V . Dem ca
}v}2 |xv, e1y| |xv, emy|2
iff v P spanpe1, . . . , emq.
-
71
11.Fie V s.v. cu produs scalar si U V subspatiu. Sa se arate ca
dimUK dimV dimY.
In plus probleme se considera ce am lasat de demonstrat la curs,
explicitand clar sa demonstrati voi.
Will be continued.