probleme econometrie finante si banci ii

PROBLEME

Studiul de caz nr. 1

O societate comercială producătoare de confecţii de îmbrăcăminte se

aprovizionează cu stofă de la doi furnizori F1 şi F2. Societatea a achiziţionat în luna

septembrie 1500 metri liniari de stofă, după cum urmează:

600 de metri liniari de stofă de la furnizorul F1;

900 metri liniari de stofă de la furnizorul F2.

La recepţia mărfurilor s-a constatat faptul că 195 metri liniari de stofă nu

corespund din punct de vedere calitativ, stabilindu-se totodată că rebuturile provin de

ambii furnizori, după cum urmează:

90 metri liniari de stofă provin de la furnizorul F1;

105 metri liniari de stofă provin de la furnizorul F2.

Pe baza datelor menţionate, conducerea societăţii a decis să renunţe la colaborarea

cu furnizorul F1, motivând această opţiune prin slaba calitate a materialelor furnizate.

Analiza deciziei adoptate de către această societate poate fi realizată cu ajutorul

modelelor econometrice (ex: testul diferenţei dintre două medii, testul χ2, metoda

coeficientului de asociere al lui Yulle).

Rezolvare:

Pentru fundamentarea econometrică a deciziei adoptate de către conducerea

societăţii este necesar să se sistematizeze informaţiile cunoscute într-un tabel de forma:

Tabelul 1

Furnizori (xi)Calitatea materialelor (yj) Total (Ni)Nesatisfăcătoare Satisfăcătoare

F1 90 510 600F2 105 795 900

Total (Nj) 195 1305 (nij) 1500 (N)

variabila independentă;

x1 = furnizorul F1

x2 = furnizorul F2;

variabila dependentă;

y1 = materiale nesatisfăcătoare din punct de vedere calitativ (rebuturi);

y2 = materiale satisfăcătoare din punct de vedere calitativ;

nij = frecvenţele condiţionate ale variabilei Y;

exemplu: n11 = materiale nesatisfăcătoare trimise de furnizorul F1;

n22 = materiale bune trimise de furnizorul F2;

Ca urmare a sistematizării datelor a rezultat o serie statistică bidimensională cu

două variabile binare X şi Y, rezultând totodată două distribuţii marginale:

şi două distribuţii condiţionate ale variabilei Y (calitatea produselor) în funcţie de

furnizori:

Ni = frecvenţele marginale ale variabilei X;

Nj = frecvenţele marginale ale variabilei Y;

= numărul total al observaţiilor.

Studiind modul de distribuire al frecvenţelor nij se pot face următoarele observaţii:

a) există o independenţă totală între cele două variabile, dacă:

= constant;

= constant;

b) există o dependenţă strictă între cele două variabile dacă frecvenţele

condiţionate nij se distribuie numai pe diagonala principală a tabelului (corelare pozitivă,

x1 cu y1 şi x2 cu y2), pentru celelalte elemente ale tabelului aceste frecvenţe fiind egale cu

zero;

c) există o dependenţă statistică dacă frecvenţele condiţionate n ij se distribuie

într-un mod diferit de cele două cazuri amintite anterior (a şi b); în această situaţie,

analiza statistică va conduce la una dintre următoarele concluzii:

acceptarea variantei a (independenţă totală între cele două variabile);

acceptarea variantei c (dependenţă slabă, medie sau puternică).

Analizând datele din tabelul anterior (Tabelul 1) se poate observa faptul că

distribuţia frecvenţelor condiţionate nij se încadrează în varianta c. Astfel, pentru a

analiza decizia adoptată de către conducerea societăţii considerate este necesar să

utilizăm testul diferenţei dintre două medii.

Aplicarea acestui test presupune parcurgerea următoarelor etape:

I. determinarea procentului mediu al materialelor necorespunzătoare din punct de

vedere calitativ pe fiecare furnizor în parte

II. calculul dispersiilor pentru fiecare dintre cei doi furnizori

III. alegerea pragului de semnificaţie ά şi preluarea valorii acestuia din tabelul

distribuţiei respective

ά = pragul de semnificaţie (riscul) cu ajutorul căruia se alege decizia corectă (de

regulă, în economie se lucrează cu un prag de semnificaţie de 0,05 (5%) sau

cel mult de 0,01 (1%).

tά = argumentul distribuţiei normale, dacă n ≥ 30 sau argumentul distribuţiei

Student, dacă n < 30;

Pentru exemplul considerat:

ά = 0,05 tα = t0,05 = 1,96.

IV. compararea valorii empirice a variabilei tc cu valoarea sa teoretică t0,05

→ variabilele sund dependente

→ variabilele sund independente

tc = 1,84 < t0,05 = 1,96

V. interpretarea rezultatelor testului

Deoarece tc = 1,84 < t0,05 = 1,96 putem afirma – cu o probabilitate de 95% – faptul

că între calitatea materialelor livrate de către cei doi furnizori F1 şi F2 nu există o

diferenţă semnificativă. În aceste condiţii, decizia conducerii societăţii de a renunţa la

colaborarea cu furnizorul F1 datorită unei calităţi mai slabe a produselor livrate nu este

justificată.


Utilizând datele menţionate în cazul exemplului nr. 1, putem stabili relaţia

existentă între cele două variabile (X = furnizori şi Y = calitatea materialelor) şi implicit

justeţea deciziei conducerii societăţii considerate de a renunţa la colaborarea cu

furnizorul F1, cu ajutorul testului χ2.

Rezolvare:

Aplicarea testului χ2 presupune parcurgerea următoarelor etape:

I. stabilirea pragului de semnificaţie α şi alegerea valorii teoretice χ2ά;v

ά = pragul de semnificaţie;

v = (k – 1)(m – 1) → numărul gradelor de libertate

unde:

m = numărul de grupe în funcţie de variabila Y (yj, j = );

k = numărul de grupe în funcţie de variabila X (x i, i = ), preluat din tabela

distribuţiei χ2 în funcţie de pragul de semnificaţie ά şi de numărul gradelor de

libertate v.

ά = 0,05

v = (2 – 1)(2 – 1) = 1

În acest caz, valoarea teoretică χ2ά;v este:

χ20,05;1 = 3,84.

II. determinarea frecvenţelor teoretice nij* (frecvenţele teoretice în cazul

independenţei totale a variabilelor)

III. determinarea valorii empirice a variabilei aleatoare χ2c

IV. compararea valorii empirice a variabilei aleatoare χ2c cu valorea teoretică χ2

ά;v

χ2c = 3,54 < χ2

0,05;1 = 3,84 → variabile X şi Y sunt independente

V. interpretarea rezultatelor testului

Pe baza calculelor menţionate anterior, se poate afirma faptul că cele două

variabile X şi Y sunt independente şi, ca urmare, calitatea materialelor livrate nu

depinde de tipul furnizorilor. Pe baza acestor fapte, se poate concluziona faptul că

decizia societăţii de a renunţa la colaborarea cu furnizorul F1 datorită unei calităţi mai

slabe a materialelor furnizate nu este justificată.


Se consideră situaţia societăţii producătoare de confecţii de îmbrăcămine

menţionată în exemplul nr. 1. Decizia conducerii acestui agent economic de a renunţa la

colaborarea cu furnizorul F1 datorită calităţii nesatisfăcătoare a materialelor furnizate

poate fi analizată şi cu ajutorul metodei coeficientului de asociere al lui Yulle.

Rezolvare:

Pe baza datelor menţionate în exemplul nr. 1 şi sintetizate în tabelul 1, metoda

coeficientului de asociere al lui Yulle poate fi aplicată parcurgând următoarele etape:

I. determinarea valorii coeficientului de asociere

Coeficientul de asociere al lui Yulle este definit în intervalul [-1;1], având

următoarea semnificaţie:

θ = -1 → corelaţie strict negativă între variabile;

θ = 0 → independenţă între variabile;

θ = 1 → corelaţie strict pozitivă între variabile.

II. determinarea abaterii medii pătratice

III. determinarea valorii raportului

IV. stabilirea pragului de semnificaţie α şi alegerea valorii teoretice tα

ά = 0,05

tα = 1,96

V. compararea valorii empirice cu valorea teoretică tα

< t0,05 = 1,96

VI. interpretarea rezultatelor testului

Pe baza inegalităţii menţionate la punctul V, putem afirma – cu o probabilitate de

95% – faptul că valoarea empirică θc nu este semnificativ diferită de zero, astfel că se

cele două variabile X şi Y sunt independente. Astfel, decizia conducerii societăţii

considerate de a renunţa la colaborarea cu furnizorul F1 datorită unei calităţi mai slabe a

materialelor furnizate poate fi considerată ca fiind nefondată.


Se consideră o societate comercială cu activitate de producţie care, în urma unor dificultăţi

economice, este nevoită să îşi reorganizeze activitatea şi să renunţe la o parte din angajaţii săi. Situaţia

disponibilizărilor efectuate de către acest agent economic este sintetizată – în funcţie de tipul şi gradul

de calificare a personalului – în tabelul următor:

Tip de personal

(xi)

Calificarea profesională a persoanelor concediate (yj) Total persoane

(Ni)Necalificaţi Calificare medie Calificare

superioarăPersonal direct

productiv275 125 100

300 150 50 500Personal indi-rect productiv

165 75 60150 50 100 300

Personal administrativ

110 50 40100 50 50 200

Total persoane (Nj)

550 250 200 1000

Cu ajutorul testul χ2 se poate stabili dacă disponibilizările de personal au fost

făcute în mod judicios, parcurgând în acest sens următoarele etape:

I. Stabilirea variabilelor

→ tipul personalului;

→ treptele de calificare a personalului concediat;

II. Stabilirea valorii teoretice a variabilei χ2ά;v

ά = 0,05 (5%) → pragul de semnificaţie (riscul);

v = (k – 1)(m – 1) = (3 – 1)(3 – 1) = 4

χ20,05;4 = 9,49.

III. Calculul frecvenţelor teoretice nij*

IV. Calculul valorii empirice a variabilei aleatoare χ2c

V. Compararea valorii empirice χ2c cu valoarea sa teoretică χ2

ά;v

χ2c = 72 > χ2

0,05;4 = 9,49

VI. Interpretarea rezultatelor testului

Deoarece valoarea empirică a variabilei aleatoare χ2c este mai mare decât valoarea

teoretică χ2ά;v, putem afirma faptul că cele două variabile X şi Y sunt dependente

statistic, ceea ce înseamnă că distribuţia persoanelor disponibilizate ţine cont de tipul

personalului şi de gradul de calificare a acestuia.

Ţinând cont de constatările anterioare se poate afirma faptul că disponibilizarea

personalului a fost făcută corespunzător. În acest sens, putem menţiona faptul că în

numărul total al persoanelor concediate predomină personalul necalificat, urmat de

personalul cu o calificare medie şi – în final – de cel cu o calificare superioară.


Pentru a exemplifica metodologia de calcul utilizată în cazul asocierii dintre o

variabilă independentă şi o variabilă numerică dependentă, vom considera cazul firmei

Hewlett – Packard. În momentul introducerii în procesul de fabricaţie a modelului de

imprimantă HP LaserJet 1020, firma considerată a fost nevoită să aleagă între două

modele de role de tragere a hârtiei R1 şi R2, cele două modele având preţuri sensibil

egale, diferenţa dintre ele fiind făcută de fiabilitate. În acest sens, au fost efectuate o

serie de teste menite să aprecieze uzura fiecărui tip de rolă de tragere în funcţie de

numărul colilor tipărite (gradul de uzură la 10000 coli printate). Pentru aceste încercări

au fost utilizate loturi de câte 100 role de tragere din fiecare model. Rezultatele testelor

efectuate pot fi sintetizate într-un tabel de forma:

Tabelul 2Rolă de tragere

(xi, i = )

Gradul de uzură al rolelor la 10000 coli printate(yj, j = ) Total

(Ni)10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 - 60R1 10 20 20 30 20 100R2 20 25 30 15 10 (nij) 100

Total(Nj)

30 45 50 45 30 200

Cu ajutorul modelelor econometrice (metoda analizei variaţiei, testul χ2, tesul

diferenţei dintre două medii) se poate stabili dacă alegerea unui anumit model de rolă de

tragere a hârtiei este posibilă exclusiv pe baza datelor menţionate anterior, iar în cazul în

care această decizie poate fi adoptată se poate stabili modelul de rolă ce face faţă cel mai

bine cerinţelor firmei.

Rezolvare:

I. Definirea variabilelor

X → modelul de rolă de tragere a hârtie → variabila nominală;

Y → gradul de uzură al rolelor la 10000 coli printate → variabila numerică;

II. Stabilirea relaţiei dintre variabile

Studiind modul de distribuire al frecvenţelor nij se poate constata faptul că este

posibil să existe o dependenţă statistică între cele două variabile (vezi exemplul nr. 1),

situaţie în care analiza econometrică va conduce la una dintre următoarele concluzii:

acceptarea variantei a (independenţă totală între cele două variabile);

acceptarea variantei c (dependenţă slabă, medie sau puternică).

III. Stabilirea rezistenţei medii la uzură şi a dispersiei pentru primul model de rolă de

tragere a hârtiei

Pentru a determina rezistenţa medie la uzură şi dispersia pentru modelul de rolă

R1, informaţiile cunoscute vor fi sintetizate într-un tabel de forma:

Tabelul 3Gradul de uzură al rolei de tragere R1

yj n1j

10 – 20 15 10 - 3 - 30 9020 – 30 25 20 - 2 - 40 8030 – 40 35 20 - 1 - 20 2040 – 50 45 30 0 0 050 – 60 55 20 1 20 20Total - 100 - - 70 210

k = mărimea intervalului de grupare;

k = 10;

yj = centrul intervalelor de grupare;

a = valoarea centrului de interval de grupare cu frecvenţa (n1j) cea mai mare;

a = 45;

rezistenţa medie la uzură a rolei de tragere R1

dispersia pentru rola de tragere R1

IV. Stabilirea rezistenţei medii la uzură şi a dispersiei pentru cel de al doilea model

de rolă de tragere a hârtiei

Tabelul 4Gradul de uzură al rolei de tragere R2

yj n2j

10 – 20 15 20 - 2 - 40 8020 – 30 25 25 - 1 - 25 2530 – 40 35 30 0 0 040 – 50 45 15 1 15 1550 – 60 55 10 2 20 40Total - 100 - - 30 160

k = 10; a = 35;

rezistenţa medie la uzură a rolei de tragere R2

dispersia pentru rola de tragere R2

V. Determinarea rezistenţei medii la uzură şi a dispersiei pe ansamblul celor două

modele de role de tragere a hârtiei (distribuţia marginală a variabilei Y)

Tabelul 5

Gradul de uzură al rolelor de tragere

yj Nj

10 – 20 15 30 - 2 - 60 12020 – 30 25 45 - 1 - 45 4530 – 40 35 50 0 0 040 – 50 45 45 1 45 4550 – 60 55 30 2 60 120Total - 200 - 0 330

k = 10; a = 35;

rezistenţa medie la uzură a celor două modele de role de tregere a hârtiei

dispersia ce caracterizează cele două modele de role de tragere a hârtiei

VI. Determinarea varianţelor (varianţa totală, varianţa dintre grupe, varianţa

reziduală)

varianţa totală V02

varianţa dintre grupe Vx2

varianţa reziduală Vu2

VII. Stabilirea semnificaţiei rezultatelor cu ajutorul testului Fisher – Snedecor

Pentru a stabili dacă rezultatele obţinute sunt semnificative este necesar să

verificăm următoarea relaţie:

Fc ≥ Fά; v1; v2

Fά;v1;v2 → valoarea teoretică preluată din tabela distribuţiei Fisher – Snedecor în

funcţie de pragul de semnificaţie ά şi numărul gradelor de libertate v1 =

k – 1 şi v2 = N – k (k = 2).

F0,05;1;198 = 3,89.

Fc = valoarea empirică a variabilei Fisher – Snedecor;

Fc = 11,423 ≥ Fά;v1;v2 = 3,89 → inegalitatea se verifică;

Cu ajutorul testului Fisher – Snedecor am stabilit faptul că rezultatele obţinute

sunt semnificative pentru problema considerată, astfel că este indicat să se continue

rezolvarea acestui studiu de caz până la identificarea soluţiei optime a acestuia (alegerea

celui mai bun model de rolă de tragere a hârtiei).

VIII. Determinarea contribuţiei relative a factorului esenţial X – modelul de rolă de

tragere a hârtiei – la variaţia totală

IX. Determinarea raportului de corelaţie empirică

X. Interpretarea rezultatelor testului

După cum se poate observa din calculele anterioare, modelul de rolă de tragere a

hârtiei nu este un factor care să afecteze în mod decisiv gradul de uzură al acestor

componente (contribuţia factorului esenţial X – modelul de rolă e tragere a hârtiei – la

variaţia totatlă este de numai 5,45%). Acest rezultat este confirmat de şi către valoarea

raportului de corelaţie empirică R, a cărui mărime (0,233) tinde către zero, ceea ce

înseamnă că între cele două variabile (modelul de rolă de tragere a hârtiei şi gradul de

uzură al acestora la 10000 coli printate) există o corelaţie foarte slabă.

Pe baza acestor constatări, putem afirma faptul că nu este posibilă alegerea unui

anumit model de rolă de tragere a hârtiei pe baza gradului de uzură al respectivei

componente la 10000 coli printate. În acest sens, se recomandă ca opţiunea firmei pentru

un anumit model de rolă să fie bazată pe alte criterii de alegere.

Observaţie: În cazul studiilor de caz ce se referă la asocierile dintre o variabilă

alternativă independentă şi o variabilă numerică dependentă pot fi utilizate şi alte

metode şi procedee statistice, precum: testul χ2 sau testul diferenţei dintre două medii,

însă volumul de muncă implicat de acestea este semnificativ mai mare.


Analiza corelaţiei dintre două variabile numerice poate fi exemplificată prin

studierea relaţiei existente între valoarea mijloacelor de producţie şi valoarea cifrei

anuale de afaceri a unor societăţi comerciale cu activitate de producţie. În acest sens,

poate fi utilizat un eşantion format din 200 agenţi economici pentru care au fost studiate

cele două caracteristici menţionate anterior. Rezultatele obţinute în urma acestui studiu

statistic pot fi sistematizate într-un tabel de forma:

Tabelul 6

Grupe de societăţi în funcţie de valoarea

mijloacelor de producţie

(mii RON) (xi)

Grupe de societăţi în funcţie de valoarea cifrei de afaceri în anul 2005

(mii RON) (yj)Total(Ni)

0 – 5050 – 100

100 - 150

150 – 200

200 – 250

250 - 300

Sub 10 5 3 2 - - - 1010 – 20 3 8 5 4 - - 2020 – 30 - 5 12 5 3 - 2530 – 40 - 5 10 20 15 10 6040 – 50 - - 11 13 15 11 50Peste 50 - - - 5 10 20 35

Total (Nj) 8 21 40 47 43 41 200

Cu ajutorul modelelor econometrice, pe baza datelor menţionate anterior, se poate

stabili dacă – pentru eşantionul considerat – există o relaţie între cei doi indicatori

economico – financiari ce fac obiectul analizei (se poate stabili dacă valoarea anuală a

cifrei de afaceri este determinată în mod direct de valoarea mijloacelor de producţie de

care dispune fiecare societate în parte).

Rezolvare:

I. Definirea variabilelor

X → valoarea mijloacelor de producţie → variabilă factorială;

Y → valoarea cifrei de afaceri → variabilă rezultativă.

Datele acestei probleme compun o serie bidimensională, analiza acesteia facându-

se după regulile menţionate în cazul asocierii a două variabile alternative. După cum se

poate observa frecvenţele nij înregistrează valorile cele mai mari de-a lungul diagonalei

principale a tabelului ceea ce înseamnă că între cele două variabile X şi Y se manifestă o

legătură statistică directă. Analiza unei astfel de legături statistice poate fi realizată cu

ajutorul mai multor procedee, precum metoda analizei variaţei şi metoda regresiei.

Pentru acest exemplu vom utiliza metoda analizei variaţiei, aplicând aceleaşi

reguli ca şi în cazul asocierii dintre o variabilă alternativă independentă şi o variantă

numerică dependentă.

II. Calculul mediilor ( = cifra de afaceri medie pentru fiecare grupă de societăţi)

şi a dispersiilor ( ) pentru fiecare grupă de societăţi (criteriul de grupare fiind

acela al valorii mijoacelor de producţie)

calculul cifrei de afaceri medii şi a dispersiei pentru acele societăţi ce dipun de

mijloace de producţie cu o valoare mai mică de 10 mii RON;

Tabelul 7Cifra de afaceri

(mii RON)yj n1j

0 – 50 25 5 0 0 050 – 100 75 3 1 3 3100 – 150 125 2 2 4 8

Total - 10 - 7 11

yj = centrul intervalelor de grupare;

k = mărimea intervalului de grupare; k = 50;

a = valoarea centrului de interval de grupare cu frecvenţa (n1j) cea mai mare = 25;

Cifra de afaceri medie

= 60 mii RON/societate comercială

Dispersia

= 1525


mijloace de producţie cu o valoare cuprinsă între 10 şi 20 mii RON;


(mii RON) yj n2j

0 – 50 25 3 -1 - 3 350 – 100 75 8 0 0 0100 – 150 125 5 1 5 5150 – 200 175 4 2 8 16

Total - 20 - 10 24

k = 50; a = 75;



Dispersia

= 2375




(mii RON) yj n3j

50 – 100 75 5 - 1 - 5 5100 – 150 125 12 0 0 0150 – 200 175 5 1 5 5200 – 250 225 3 2 6 12

Total - 25 - 6 22

k = 50; a = 125;



Dispersia

= 2056




(mii RON) yj n4j

50 – 100 75 5 - 2 - 10 20100 – 150 125 10 - 1 - 10 10150 – 200 175 20 0 0 0200 – 250 225 15 1 15 15250 – 300 275 10 2 20 40

Total - 60 - 15 85

k = 50; a = 175;


= 187,5 mii RON/societate comercială

Dispersia

= 3385,42




(mii RON) yj n5j

100 – 150 125 11 - 2 - 22 44150 – 200 175 13 - 1 - 13 13200 – 250 225 15 0 0 0250 – 300 275 11 1 11 11

Total - 50 - - 24 68

k = 50; a = 225;



Dispersia

= 2824


mijloace de producţie cu o valoare mai mare de 50 mii RON;


(mii RON) yj n6j

150 – 200 175 5 - 2 - 10 20200 – 250 225 10 - 1 - 10 10250 – 300 275 20 0 0 0

Total - 35 - - 20 30

k = 50; a = 275;



Dispersia

= 1326,62

III. Determinarea cifrei de afaceri medie ( ) şi a dispersiei aferente acesteia

pentru întreg eşantionul analizat


(mii RON) yj Nj

0 – 50 25 8 - 3 - 24 7250 – 100 75 21 - 2 - 42 84100 – 150 125 40 - 1 - 40 40150 – 200 175 47 0 0 0200 – 250 225 43 1 43 43250 – 300 275 41 2 82 164

Total - 200 - 19 403

k = 50; a = 175;



Dispersia

= 5015

IV. Calculul varianţelor

varianţa totală

varianţa dintre grupe

varianţa reziduală

V. Stabilirea semnificaţiei rezultatelor cu ajutorul testului Fisher – Snedecor

Fc ≥ Fά; v1; v2

F0,05;1;198 = 3,89

195,35 ≥ 3,89

Cu ajutorul testului Fisher – Snedecor am stabilit faptul că rezultatele obţinute

sunt semnificative pentru problema considerată, astfel că este indicat să se continue

rezolvarea acesteia pentru a stabili cât mai exact care este relaţia între cele două

variabile numerice (valoarea mijloacelor de producţie şi cifra de afaceri).

VI. Determinarea contribuţiei relative a variabilei X – valoarea mijloacelor de

producţie – la variaţia totală a variabilei Y – cifra de afaceri

VII. Determinarea raportului de corelaţie empirică

VII. Interpretarea rezultatelor testului

Pe baza demonstraţiei anterioare putem stabili faptul că valoarea mijloacelor de

producţie este un factor ce influenţează în mare măsură cifra de afaceri anuală a firmelor

analizate (contribuţia relativă a factorului X – valoarea mijloacelor de producţie – la

variaţia cifrei de afaceri fiind de aproximativ 50%). De asemenea, valoarea raportului de

corelaţie empirică (0,705) demonstrează faptul că între cele două variabile numerice X –

valoarea mijloacelor de producţie şi Y – valoarea cifrei de afaceri există o dependeţă

ridicată.


Se consideră următoarea situaţie a înzestrării cu linii moderne de producţie a unui eşantion de

1000 societăţi comerciale din domeniul panificaţiei în perioada 1993 – 2005:

Tabelul 14Anul Numărul de linii moderne de producţie

la 1000 de societăţi comerciale1993 77,21994 79,11995 81,11996 84,81997 85,11998 86,81999 91,32000 95,22001 98,42002 97,72003 100,42004 104,72005 114,2

Pe baza informaţiilor menţionate anterior se poate stabili un model aditiv cu două

componente prin care să fie descris fenomenul studiat (evoluţia înzestrării cu linii de

producţie moderne) şi pot fi estimate componentele acestui model.

Rezolvare:

I. Reprezentarea grafică a datelor

Evoluţia înzestrării cu linii de producţie moderne a societăţilor din panificaţie în perioada 1993 - 2005

0

20

40

60

80

100

120

1993

19941995

19961997

1998

19992000

20012002

20032004

2005

Anul

Lin

ii d

e p

rod

ucţ

ie m

od

ern

e la

100

0 so

ciet

ăţi

După cum se poate observa din tabelul de mai sus şi din graficul anterior, în cei

13 ani supuşi observaţiei, gradul de înzestrare cu linii de producţie moderne a

societăţilor comerciale din domeniul panificaţiei a înregistrat o creştere permanentă şi

relativ constantă. Astfel, putem observa faptul că reprezentarea grafică a acestei evoluţii

corespunde în mare parte cu reprezentarea unei drepte. Pe baza acestei concluzii putem

deduce modelul ce caracterizeaza evoluţia înzestrării cu linii de producţie moderne a

firmelor de panificaţie în perioada considerată:

yt = f(t) + ut

unde:

yt = numărul de linii de producţie moderne la 1000 de societăţi comerciale din

domeniul panificaţiei;

f(t) = componenta trend, descrisă de o ecuaţie de forma:

ut = variabila reziduală.

II. Estimarea componentelor modelului

= estimarea trendului;

= estimarea variabilei reziduale;

Estimarea componentei trend poate fi realizată cu ajutorul metodei celor mai

mici pătrate. Această metodă presupune minimizarea funcţiei următoare:

Condiţia de minim a acestei funcţii rezultă din:

Tabelul 15Anul (t) yt t2 yt ∙ t

1 77,2 1 77,22 79,1 4 158,2

3 81,1 9 243,34 84,8 16 339,25 85,1 25 425,56 86,8 36 520,87 91,3 49 639,18 95,2 64 761,69 98,4 81 885,610 97,7 100 97711 100,4 121 1104,412 104,7 144 1256,413 114,2 169 1484,691 1196 819 8872,9

Pentru a putea estima parametrii modelului a fost utilizat pachetul de

programe Eviews cu ajutorul căruia au fost obţinute următoarele rezultate:

Dependent Variable: yt

Method: Least Squares (metoda celor mai mici pătrate)Sample: 1993 – 2005Included observations: 13

Variable CoefficientSemnif.

ind.Std.

ErrorSemnif.

ind.t –

StatisticSemnif. ind.

Prob

C 72,7346 1,386 52,4785 0,000 p( )t 2,7522 0,1746 15,7612 0,000 p( )

R-squared 0,9576 R2 Mean dependent

var92,0000

Adjusted R-squared

0,9537 Rc2 S.D. dependent

var10,9530 sy

S.E. of regression

2,3557Akaike info

criterion4,6922 AIC

Sum 61,0441 Schwarz 4,7791 SC

squared resid

criterion

Log likelihood

-28,4994 L F-statistic 248,4160 Fc

Durbin-Watson

stat1,2079 d Prob (F-statistic) 0,0000 P(F)

Pe baza acestor parametrii au fost calculate valorile estimate ale variabilei y şi

cele ale variabilei reziduale ut.

Valorile acestor variabile sunt prezentate în tabelul următor, tabel ce a fost elaborat cu ajutorul

pachetului de programe EViews.

Actualyt

Fitted Residual Residual Plot(graficul reziduurilor)

77,2 75,4868 1,7132 . *.79,1 78,2390 0,8610 . * .81,1 80,9912 0,1088 . * .84,8 83,7437 1,0566 . * .85,1 86,4956 -1,3956 . * .86,8 89,2478 -2,4478 * .91,3 92,0000 -0,7000 . * .95,2 94,7522 0,4478 . * .98,4 97,5044 0,8956 . * .97,7 100,2566 -2,5566 * .100,4 103,0088 -2,6088 * .104,7 105,7610 -1,0610 . * .114,2 108,5132 5,6868 . . *77,2 75,4868 1,7132 . *.

III. Testarea semnificaţiei parametrilor şi a modelului

a) dispersia variaţiei reziduale

unde:

T = numărul de termeni ai seriei;

T = 13;

k = numărul variabilelor explicative;

k = 1.

b) abaterile medii pătratice ale celor doi estimatori

ά = 0,01

v = n – k – 1 = 13 – 1 – 1 = 11

t0,01;11 = 3,106.

După cum se poate observa, pentru valoarea considerată a pragului de semnifica-

ţie (ά = 0,01), cei doi estimatori înregistrează valori semnificativ diferite de zero.

c) valoarea raportului de corelaţie

Pentru a verifica semnificaţia raportului de corelaţie calculat anterior va fi utilizat

testul Fisher – Snedecor.

ά = 0,01

v1 = k = 1

v2 = T – k – 1 = 11

F0,01;1;11 = 9,65.

Fc = 248,416 > F0,01;1;11 = 9,65

Pe baza inegalităţii menţionate anterior, pentru o valoare a pragului de

semnificaţie ά = 0,01, putem concluziona că valoarea raportului de corelaţie R este

semnificativ diferită de zero.

d) Testarea independeţei valorilor variabilei reziduale cu ajutorul testului Durbin –

Watson

ά = 0,01

T = 13 → numărul observaţiilor

k =1 → numărul variabilelor exogene

Pentru valorile menţionate anterior, vom prelua din tabela distribuţiei Durbin –

Watson valorile (pentru cazul n = 15): d1 = 0,81 şi d2 = 1,07.

Deoarece d = 1,21 > d2 = 1,07 şi d = 1,21 < 4 – d2 = 2,79 putem afirma faptul că

ipoteza independenţei variabilelor reziduale poate fi acceptată.

e) Verificarea ipotezei de homoscedasticitate a erorilor cu ajutorul testului White

Pentru a verifica ipoteza de homoscedasticitate a erorilor vom utiliza pachetul de

programe EViews cu ajutorul căruia vom obţine următoarele rezultate:

White Heteroskedasticity TestF-statistic 5,3762 Probability 0,0260Obs*R-squared 6,7357 Probability 0,0345Test Equation:Dependent Variable: ut

2

Method: Least SquaresSample: 1993 – 2005 Included observations: 13

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C 7,9641 6,4478 1,2352 0,2450t -3,4209 2,1182 -1,6150 0,1374t2 0,3282 0,1472 2,2293 0,0499

R-squared 0,5181 Mean dependent var 4,6957Adjusted R-squared 0,4218 S.D. dependent var 8,6629S.E. of regression 6,5875 Akaike info criterion 6,8074Sum squared resid 433,9527 Schwarz criterion 6,9378Log likelihood -41,2481 F-statistic 5,3762Durbin–Watson stat 2,0327 Prob (F-statistic) 0,0260

Analizând datele afişate de programul EViews putem deduce următoarea inega-

litate:

Fc = 5,3762 < F0,01;2;10 = 7,56.

Pe baza acestei constatări putem afirma faptul că, pentru un prag de semnificaţie ά

= 0,01 (t0,01;10 = 3,169), estimatorii parametrilor modelului sunt nesemnificativi, astfel că

ipoteza de homoscedesticitate se verifică.

f) Verificarea verosimilităţii modelului cu ajutorul metodei analizei variaţiei

Sursa de variaţie

Măsura variaţiei Nr. grade

de libertate

Dispersia corectată

Valoarea testului FFc Fά;v1;v2

Variaţia explicată

de tendinţă

k = 1 F0,01;1;11=9,65

Variaţia reziduală

T – k – 1 = 11

Variaţia totală

T – 1= 12

Deoarece Fc = 248,416 > F0,01;1;11 = 9,65 putem afirma faptul că – pentru o valoare

a pragului de semnificaţie ά = 0,01 – modelul propus este acceptat.

Ecuaţia analizei variaţiei este următoarea:

Pe baza acestei relaţii de calcul putem afirma faptul că modelul explică 95,76%

din variaţia totală a numărului de linii moderne de producţie la 1000 de societăţi

comerciale din domeniul panificaţiei.

Pe baza calculelor menţionate anterior putem stabili modelul econometric, după

cum urmează:

(1,386) (0,1746)

R = 0,9786

d = 1,21


Pe baza informaţiilor prezentate în exemplul nr. 7 şi a modelului aditiv prin care a

fost descrisă înzestrarea cu linii moderne de producţie a unui eşation de 1000 societăţi

comerciale cu activitate în domeniul panificaţie este posibilă previzionarea fenomenului

pentru perioadele imediat următoare (anii 2006 şi 2007), parcurgându-se în acest sens

următoarele etape:

I. Definirea modelului aditiv cu două componente pe baza căruia se va realiza

prognoza

II. Analiza capacităţii de prognoză a modelului considerat cu ajutorul indicatorilor

elaboraţi de H. Theil

Cu ajutorul pachetului de programe EViews au fost efectuate calculele necesare

testării capacităţii de prognoză a modelului elaborat anterior, rezultatele obţinute cu

această ocazie putând fi sintetizate în tabelul următor:

Rezultatele testării capacităţii de prognoză a modelului elaborat pentru estimarea evoluţiei înzestrării

agenţilor economici din domeniul panificaţiei cu linii moderne de producţie (numărul de linii moderne

de producţie la 1000 societăţi comerciale) în ţara noastră în perioada 1993 – 2005

Tabelul 4.1.4Denumirea indicatorului Simbolul indicatorului Valoarea indicatorului

Coeficientul Theil T 0,0117Ponderea abaterii TA 0,0000Ponderea dispersiei TD 0,0108Ponderea covarianţei TC 0,9892

Pe baza acestei analize putem observa faptul că indicatorii calculaţi (coeficientul

Theil, ponderea dispersiei şi ponderea abaterii) înregistrează valori mici, ceea ce

înseamnă că modelul cercetat posedă o bună capacitate de prognoză, astfel că el poate fi

utilizat pentru previzionarea înzestrării cu linii moderne de producţie a societăţilor

comerciale din domeniul panificaţiei în perioada următoare de timp. Ca urmare a acestei

constatări putem trece la calculul efectiv al valorilor înregistrate de fenomenul studiat în

anii 2006 şi 2007.

III. Previzionarea numărului de linii moderne de producţie la 1000 societăţi

comerciale din domeniul panificaţiei în anul 2006

linii moderne de producţie la 1000 societăţi comerciale

Abaterea standard a nivelului previzionat al fenomenului analizat va fi egală cu:

Intervalul de încredere al prognozei fenomenului – în cazul în care se consideră

un prag de semnificaţie ά = 0,01 (pentru care se preia din tabela distribuţiei Student

valoarea t0,01;11 = 3,106) – se poate calcula după cum urmează:

IV. Previzionarea numărului de linii moderne de producţie la 1000 societăţi

comerciale din domeniul panificaţiei în anul 2007

linii moderne de producţie la 1000 societăţi comerciale

Abaterea standard a nivelului previzionat al fenomenului analizat va fi egală cu:

Intervalul de încredere al prognozei fenomenului va fi:

Concluzii:

Pe baza analizei anterioare se poate aprecia – cu o probabilitate de 99% - faptul că

în anul 2006 nivelul fenomenului considerat va fi cuprins în intervalul [102,8;119,8], în

timp ce în anul 2007 valoarea acestui fenomen va fi inclusă în intervalul [105,3;122,8].

V. Evaluarea prognozei fenomenului studiat

Siguranţa prognozei este o mărime dată de probabilitatea (p) cu care este estimat

intervalul de încredere.

Precizia prognozei poate fi determinată cu ajutorul relaţiilor de mai jos:

eroarea absolută

eroarea relativă

După cum se poate observa valorile corespunzătoare erorilor relative de prognoză

înregistrază, pentru fiecare dintre cei doi ani ai prognozei, valori inferioare pragului de

15%, astfel că putem considera rezultatele obţinute ca fiind semnificative pentru

realizarea de previziuni în conformitate cu acest test.


Se consideră o societate de transporturi ce doreşte să achiţioneze – pentru

dezvoltarea activităţii sale – un autocamion, având posibilitatea de a opta pentru una din

următoarele variante X1, X2, X3, X4.

În tabelul următor sunt prezentate preţurile de achiziţie, întreţinere şi reparaţii

corespunzătoare duratei de funcţionare a fiecărei variante de autocamion:

- mii -Anul 1 2 3 4 5

Cheltuieli

AutocamionC1 C2 C3 C4 C5

X1 365.000 35.000 - - -X2 435.000 35.000 45.000 - -X3 535.000 28.000 52.000 65.000 -X4 715.000 25.000 43.000 55.000 85.000

Notă: Cele patru autocamioane se consideră că au acelaşi randament tehnic

Pe baza datelor menţionate anterior, este posibilă alegerea variantei optime,

utilizând drept criteriu de alegere valoarea nominală a costurilor de exploatare.

Rezolvare:

Dacă nu se ţine cont de rata dobânzii, în cazul aplicaţiei practice, trebuie calculat

costul anual de exploatare pentru fiecare autocamion, după care va fi ales acela care are

cel mai mic cost anual de folosinţă. Astfel:

mii lei/an;

mii lei/an;

mii lei/an;

mii lei/an.

În condiţiile obţinerii acestor rezultate, este necesar să fie achiziţionat

autocamionul X3 deoarece, după cum se poate observa, are cel mai mic cost anual de

exploatare – 170000 mii lei/an. Această decizie nu este însă optimă deoarece

autocamioanele nu au o durată de funcţionare uniformă: X1 (r1 = 2), X2 (r2 = 3), X3 (r3 =

4), X4 (r4 = 5). În consecinţă, costul minim anual de exploatare va fi calculat pentru toate

autocamioanele în funcţie de durata de funcţionare maximă – r = 5 ani:

mii lei/an;

mii lei/an

mii lei/an

mii lei/an

Concluzia care se desprinde în urma efectuării calculelor este aceea că decizia

corectă este aceea de a achiziţiona autocamionul X4 deoarece, pe o perioadă de 5 ani,

acesta are cel mai mic cost anual de folosinţă – 184.600 mii lei/an.


În cazul societăţii de transporturi menţionată în cadrul exemplului nr. 9, decizia de

achiziţionare a unuia din cele patru modele de autocamion poate fi fundamentată şi pe

valoarea actualizată a costurilor de exploatare.

Astfel, în vederea calculării costului anual de folosinţă va fi utilizată următoarea

formulă, care ţine seama de valoarea actualizată a costului, de rata dobânzii şi de faptul

că durata de funcţionare nu este uniformă:

unde:

a = rata dobânzii.

Costul minim anual de folosinţă, în cazul în care rata dobânzii este constantă şi

egală cu 10%, va fi calculat astfel:

mii lei/an;

mii lei/an;

mii lei/an;

mii lei/an.

Pe baza rezultatelor obţinute în urma efectuării calculelor se ajung la concluzia că,

ţinând cont de valorile actualizate ale costurilor şi de rata dobânzii, costul minim anual

de folosinţă a fost obţinut în cazul autocamionului X2, acesta fiind varianta de achiziţie

optimă recomandată pentru cazul considerat.


Se consideră o societate producătoare de încălţăminte în cazul căreia se presupune

că sunt puse în funcţiune n(t) maşini pentru croit de acelaşi tip. La intervale de

timp de funcţionare egale se înregistrează numărul de maşini rămase în funcţiune din

cele n(0) maşini pentru croit iniţiale.

În anul 0 au fost puse în fucţiune în cadrul firmei 20000 maşini pentru croit

pielea, în următorii ani numărul acestora suferind următoarele:

t n(t) n(t-1)-n(t)

0 1 2 3 4 50 20000 1 - - -1 20000 1 0 0 02 19960 0,998 40 0,002 0,0023 19800 0,99 160 0,008 0,0084 18000 0,9 1800 0,09 0,0915 17000 0,85 1000 0,05 0,0566 14000 0,7 3000 0,15 0,1767 8000 0,4 6000 0,3 0,4298 4000 0,2 4000 0,2 0,59 2000 0,1 2000 0,1 0,510 0 0 2000 0,1 1

>10 0 0 0 0 1

Prin definiţie, durata de funcţionare a unei maşini reprezintă intervalul de timp

derulat între punerea sa în funcţiune şi momentul considerat. De reţinut este faptul că

timpul sau durata de funcţionare diferă în funcţie de natura maşinii.

Mărimea reprezintă probabilitatea de funcţionare la

momentul t a unui maşini pentru croit pusă în funcţiune la momentul 0 unde: n(0)

reprezintă numărul de maşini pentru croit puse în funcţiune în momentul iniţial, iar n(t)

numărul de maşini pentru croit din cele n(0) existente în funcţiune la momentul t.

Se acceptă faptul că maşinile de un anumit tip constituie un ansamblu omogen din

punct de vedere statistic, respectiv că, pentru fiecare maşină din populaţia observată,

există o posibilitate „a priori” ca toate celelalte maşini de acelaşi tip să urmeze funcţia

probabilităţii de funcţionare:

Pornind de la datele din tabelul anterior, se pot calcula o serie de indicatori, după

cum urmează:

a) Probabilitatea de funcţionare a unei maşini pentru croit pielea după t ani de

utilizare.

- pentru ani probabilitatea de funcţionare a unei maşini pentru croit va fi:

b) Probabilitatea ca o maşină pentru croit să nu mai fie în funcţiune după t ani de

utilizare (probabilitate contrară) se va putea determina astfel:

, unde j(t) reprezintă durata de funcţionare a unei maşini

pentru croit.

Probabilitatea ca o maşină pentru croit să nu mai fie în funcţiune după şase ani

este:

c) Probabilitatea ca o maşină pentru croit pielea să fie scoasă din funcţiune într-un

interval cuprins între t-1 şi t este următoarea:

unde: reprezintă funcţia de scoatere din funcţiune a unei maşini pentru croit

Probabilitatea ca o maşinpă pentru croit să fie scoasă din funcţiune în intervalul

şi , utilizând datele anterior, este:

d) Numărul de maşini pentru croit ce trebuie achiziţionate de societatea producătoare

de încălţăminte în vederea desfăşurării în condiţii optime a procesului de producţie.

Numărul de maşini pentru croit care vor trebui achiziţionate la începutul celui de-

al şaselea an de către societatea producătoare de încălţăminte care deţine aceste utilaje,

în momentul în care aceasta are nevoie în cel de-al şaselea an de 20000 de maşini pentru

croit în stare de funcţionare, va fi:

maşini pentru croit

e) Probabilitatea de avarie reprezintă probabilitatea condiţionată ca o maşină care a

funcţionat fără nici o avarie până în momentul t-1 să aibă o defecţiune în intervalul t-1 şi

t. Fie această probabilitate condiţionată care se poate scrie în felul următor:

De unde rezultă că:

Pentru t = 6 ani, de pildă, probabilitatea de avarie este:

Prin intermediul probabilităţii de avarie poate fi evaluat riscul de a menţine în

funcţiune o maşină de croit care a atins o durată t de funcţionare. Este deci o mărime

caracteristică foarte importantă.

f) Rata de aprovizionare

Fie n(0) numărul de maşini de croit puse în funcţiune le momentul t = 0 (n(0) =

20000). Dacă reprezintă probabilitatea de funcţionare a maşinilor, acestea vor

rămâne în funcţiune la momentul t dacă nu va fi efectuată nici o înlocuire:

Numărul de maşini pentru croit aflate încă în funcţiune într-un moment viitor t,

provenite din aprovizionare va fi:

unde g(k) reprezintă numărul de maşini înlocuite în intervalul k-1 şi k.

Deci, numărul de maşini pentru croit aflate în stare de funcţiune la momentul t

este egal cu suma maşinilor aflate în stare de funcţionare pentru fiecare interval de timp

cuprins între k = 1 şi k = t înmulţit cu numărul de maşini pentru croit în stare de

funcţionare provenite din cele n(0) maşini puse în funcţiune la momentul iniţial t = 0 şi

care au urmat aceeaşi lege de funcţionare.

Numărul de maşini de croit în stare de funcţionare la momentul t va fi:

- pentru

- pentru

- pentru

- pentru

.................................................................................................................................

- pentru

unde g(t) reprezintă funcţia sau volumul aprovizionării.

Pentru caz concret revenim la exemplul iniţial – dacă societatea producătoare de

încălţăminte a înlocuit în cel de-al patrulea an 1000 de maşini pentru croit, atunci

numărul de maşini aflate în funcţiune în cel de-al şaptelea an va fi:


Numărul de maşini pentru croit care trebuie înlocuite în cel de-al şaptelea an

pentru a avea în funcţiune 20000 de maşini va fi, în acest caz:


Dacă societatea a înlocuit în cel de-al patrulea an 1000 de maşini, în cel de-al

cincilea an 2000 de maşini, iar în cel de-al şaselea an 4000 de maşini, atunci numărul de

maşini pentru croit care trebuie înlocuite în cel de-al şaptelea an pentru a avea în

funcţiune 20000 de maşini va fi egal cu:



probleme econometrie finante si banci ii

Documents