CAPITOLUL 1

PROBABILITATE, VARIABILE ALEATOARE ~I PROCESE STOCHASTICE

1.1. SCURT ISTORIC AL TEORIEI PROBABILITATlI,

Marclo matcmatician american Claude Elwood Shannon (30.04.1916­24.02.2(01), fondatorul teoriei moderne a informatiei, si-a formulat ideile cu ajutorul teoriei probabilitatii , Faptul cil el si-a scris lucrarile ill limba engleza IlU ne obliga sa invatam ma i lutiii aceasta limba pentru a Ie Il1lelege, caci 0

expunere a continutului lor In rcmaneste este perfect posibila si a fost deja facuta foarte bine; nimic, InS<1, nu ne dispenseaza de as imilarea prcalabila a bazei teo riei probabilitatii pentru a avea acce s la teoria matematica a informatiei, De altfel, numeroase alte discipline de studiu se bazeaza pe teoria probabilitatii , de la fizica statistica palla la sociologie ~i lingvistica, asa incat efortul nostru nu e unul foarte special, numerosi alii studenti facandu-l III cadrul educatiei lor.

Originile teoriei probabilitatii trebuie cautate in interesul purtat de unii nob ili din Europa medi evala jocurilor de noroc, 0 pet.recere a timpului care le mobi liza de minune surplusul de inteligenta, neconsumat In scopuri ut ilitariste, ea de exemplu nascocirea unor masinarii ~i mecanisme, indeletnicire lasata pe seama mintilor mai prozaice ale burghezilor. Germeni i teoriei probabilitatii au aparut pe la mijlocul secolului XVII in lucrarile lui Pierre de Fermat (1601-1 665), Blaise Pascal (1623-1662) ~i Christian Huygens (1629-1695). Desi cercetarile lor crau inspiratc de jocuriIc de noroc, importanta noilor concepte introduse - , eel de probabilitatc a unui eveniment stochastic §i eel de valoare medie sau asteptata a unei vari abile alcatoare - pare-se eale era clara, dupa cum da de inteles Huygens iuprimul text despre probabilitate tiparit (1657) ell privire la calculele din jocurile de noroc: "Cititorul va binevoi sa

2 PROBABILITATE, VARIABILE ALEATO ARE ~l PROCESE STOCHASTI CE

remarce di nu ne ocupam numai cu jocurile de noroc, dar ca se ~i pun aic i fundamentele unei foarte interesante ~i profunde teorii ." Mentionam di excentricul savant s i mare amator de jocuri de noroc Girolamo Cardano (1501-1576) scrisese Cartea jocurilor si a norocului pe la 1520 , da r ea n-a fost publicata dedit in 1663 . Ulterior, Jacob Bernoulli (1654---1705), Abraham de Moivre (1667-1754), reverendul Thomas Bayes (1702- 1761), marchizul Pierre Simon Laplace (1729-1827), Johann Friedrich Carl Gauss (1777- 1855) ~i Simeon Denis Poisson (1781 -1840) aucontribuit semnificativ la dezvol­tarea teoriei probabilitatii . Scoala rusa a dat mari matematicieni ca P. L. Cebisev (1821-1894) si studentii sai A. Markov (185 6-1922) ~i

A. M. Liapunov (1857-1918) cu contributii importante legate de legea uume­relor mari oGermanul Richard von Miscs, pe la incepurul secolului XX, a intro­dus 0 teorie a probabilitatii bazata pe definitia probabilitatii ca frecventa relariva, Dar teoria deductiva bazata pe definitia axiomatica a probabilitatii, asa cum 0 studiem in zilele noastre, ii este atribuita in principal lui Andrei Nicolaevici Kolmogorov, care, in anii 1930 , impreuna cu Paul Levy, a funda­mentat 0 conexiune stransa intre teoria probabilitatii si teoria matematica a multimilor ~i a functiilor de 0 variabila reala. Se cuvine mentionat, totusi, ca matematicianul francez Emile Borel (1871-1956) aiunsese la aceste idei anterior.

1.2. CE INTELEGEM PRIN PROBABILITATE,

o tcorie s e numeste determinista daca stabileste relati i matematice precise int re di ver sele marimi cu care opereaza, De exemplu, de la bazele electrotehnicii stim ca, daca legam la bomele unei baterii de 9 V un rezistor avand rezistenta norninala de 1 kG:. prin el va curge un curent de 9 mA, conform legii lui Ohm. Daca vorn masura ace st curent ell un miliarn­permetru analogic , acul va indica valoarea calculata, cea la care ne asteptam, dar in ce priveste precizia, aceasta depinde printre altele ~i de acuitatea no astra vizuala. Pentru 0 masurato are mai obiectiva , utilizam un miliampermetru digital , care ne arata, sa spunem, 9,08113 rnA . Inlocuind rezistorul cu un altul de aceeasi valoare nominala a rezistentei ~i rcpetan d masuratoarea, citim acum 8,97 893 rnA. Pastrand rezistorul , dar inlocuind bateria cu alta de aceeasi tensiune norninala, masuram acum 9,1 1023 rnA. Care est e explicatia? Sa TIU fie decat aproximativa legea lui Ohm? Desigur ca nu. Dar rezistoarel e produse industrial eu va loarea proiectata de 1 kO, ca ~i bateriile cu tensiunea nominala de 9 V , rezulta din pro cesul tchnologie cu o oarecarc abatere de la valoarea nominala, su ficicnt de mica insa pe ntru a fi

3 CE iNTELEGEM PRIN PROBABILlTATE

acceptabila in practica. Adevarul este ca trebuie sa proiectam circuitele noastre electronice astfel inca; sa functioneze bine , desi cornponentele pe care le folosimau parametri doaraproximativ egali cu cei nominali . Observam insa un fapt interesant: daca masuram un numar mare de rezistoare de 1 kQ ~i facem media aritrnetica a masuratorilor, aceasta este apropiata de 1 ill, iar eu cat numarul masuratorilor cste mai marc, Cll atat este mai apropiata media aritmetica de cea norninala.

Vedem deci ca, In anumite domenii, media tinde spre 0 valoare constanta pe masura cenumarul ob servatiilor cresresi ca aceasta valoare ramane aceeasi daca media se efectueaza pe orice subsir specificat ma i inainte de realizarea experimentului . Teoria probabilitati i eu aceasta se ocupa, cu mediile unor fenomcne de masa ce apar pe rand sau simultan: emisia electronilor, apelurile telefonice, defectarile unor sisteme tehnice, rata natalitatii ~i eea a mortalitatii , zgomotul si multe altele.

Teoria are me nirea de a prezice a semenea medii cu ajutorul probabilitatii evenimentelor. In vreme ce jocul de sah este absolut deter­minist - , facand abstractie de caracterul conj unctural al conditiei fizice si men talc a cclor doi adversari, jocurilc de noroc (de la ri~c a ~i barbu t pana la loteria de stat , trecand prin jocurile de cazino, ca ruleta ~i bacara) au un caracter probabilist prin excelenta, Incat, .rara a le recomanda, le putem utiliza In scop ilustrativ,

Sa catapultam 0 moneda eu un bobarnac; dupa un zbor elegant prin aer, moneda va ateriza pe 0 suprafata plana ell una din cdc doua fete In sus . In aceasta carte, vom numi conventional cele doua fete ,,caput" ~i "banul". Faptul ca anumite monede au 0 sterna sau 0 pajura In loc de capul unei figuri istorice nu s chirnba, desigur, datele experimentului nostru. Sa presup unern di a cazut "capul" . Putem deduce din aceasta ca , la 0 noua aruncare a monedei , va cadea din nou capul? (Sa renuntam la ghilimele). Nicidecum, dupa cum bine stim din expericnta, Sa repetarn, totusi, experimentul de un numar n de ori , sa spunem n = 10. De nc ori va cadea capul, de I1b ori banul, astfel Incat J1b + J1c = 11. Pentru un numar n mic de incercari, se poate ea n b 7:- n., Observam, insa, ca, pe masura ce n creste, I1b

~i nc sunt tot .mai .aprop iate. Pentru 0 moneda nemasluita ~i un numar mare 11

de incercari, I1b ~i I1c trebuie sa fie egale. Sa incepem aeum sa ne familiarizam cu termi nologia specifica

teoriei probabilitatii . Aruncarea monedei 0 singura data este un exemplu de experiment. Efectuarea experimentului este 0 incercare. Faptul ea moneda a cazut Cll 0 fata In sus este rezultatul cxperimentului. Spatiul de probabilitate, sau spatiul esantioanelor S al unui experiment con sta din multi mea tuturor rezultatelor posibile. In cazul aruncarii monedei, S ={capul, banul}, iar in cazul aruncarii zarului, S ={fi ,h,h,!JJ),h },unde;; este fateta marcata cu i puncte. Cele doua, respectiv sase rezultate posibile sunt punctele esantion

4 PROBABlLITATE, VARIABILE ALE ATOARE ~l PROCESE STOCHASTICE

ale experimentului. Un eveniment este 0 submultime a lui S ~ i po ate cons ta din orice numar de puncte esantion.

Fie S spatiulcsantioanclor pentru experimentul constand din aruncarea zarului. Un posibil eveniment este A={h, 14} care consta din rezultate1e h ~i

14. Complemcntul evenimentului A, notat A , consta din toatc punctcle esantion din Scare nu sunt in A: A = {fi , h, Is, ./6} . Doua evenimente se spune ca sunt mutual exclus ive daca n-au puncte esantion in comun , adica, daca apari [iaunui evcnimentexclude aparitiaceluilalt, Cu consecvcnta, de acum inainte, in locul cuvantului intamplator, 'lorn utiliza termenul stiintific de aleator . (In limba latina, aleator inseamna jucator de zaruri). Pentru ca un experiment sa fie aleator, trcbuie sa fie satis facutc trei cc rintc:

1. Experimentul sa fie repetabil in conditii identice. 2. La orice incercare a experimentului, rezultatul sa fie imprevizibiI. 3. Pcntru .un numarmare de incercari ale cxperimentului, rezultatele sa

prezinte regularitate statistica. Aceasta inseamna ca, daca se repeta experimentul de un numar mare de ori, se observe ca rezultatele au medii definite.

Sa luam aeum un zar. Presupunem ca oricine a vazut un zar, dar sa il descriem totusi ca pc un mic cub din os sau din plastic avand marcate cele sase fateic cu un numar de puncic, de la Lla 6. Daca aruncam un zar permitandu-i sa se rostogoleasca de mai multe ori , el se va opri in cele din urma, pe 0 supra­falii plata orizontala, en 0 falcta in sus. Care va Ii ea? Nu .~tim ell anticipatie dedit ea va fi una din cele sase . Aparitia unei fatete este un cveniment. Un eveniment apare eu 0 anumita probabilitate. Stirn eu toti i, wa prea multa teorie, ca .probabilitate a unei fatete este egala eu l/6. Dar cum definim probabilitatea unui eveniment? Vom vedea aeeasta in sectiunea urmatoare.

1.3. DEFINITIA PROBABILITATII, .

Sunt trei definitii ale probabilitatii, dupa cum urmeaza.

Definitia clasica

Timp de secole, s-a utilizat definitia clasica, potn vit careia probabil itatea P(A ) 11 unuievenirnent A se determine a pr iori fara a efec tua vreun experiment. Ea este data de raportul

5 DH l l\rrl1A PROBABILITATil

peA) == N A (1.1)N

unde Neste numarul rezultatelor posib ile iar N.t este num arul rezultarelor care suntfavorabile evenimentul ui A .

In experimcntul eu zarul, sunt sase rezultate posibile, astfel inc dt probabilitatea oricaruia dintre ele este egala eu ]/6. Rezultatele favorabile evenirnentuluicornpus p ar (adica, oricare din fatetele /2, /4, ./6) sunt III numar de trei astfel incat P(par) == 3/6 .

In experimentul eu 0 moneda nemasluita, N == 2 si N; == Nb == 1, astfel incat probabilitatea de a cadca cap ut este egala eu eea de a cadea banul ~i

deei P(cap ) == P(ban) == 1/2. Nu rareori, msa, semnificatia numerelor N si N. l nu este clara. Spre

exemplu , care este probabilitatea pea, aruncand doua zaruri, suma numerelor marcate pc fatetcle vizibile dupa oprirc sa lie 7? Pcn tru a rezolvn aceasta problema utilizand definitia clas ica (1 .1), trebuie sa determ inam numerele N ~i N.4.

a) Am putea considera drept rezultate posibile cele 1] sume 2, 3, ... , 12. Dintre acestea, numai una dintre ele, ~ i anume 7, este favorabila, astfel incat p == 1/11. Acest rezultat este gresit,

b) Am putea numara drept rezultatc posibile toate perechi1e de numere lara a face deoseb ire imre p rimul ~ i al doilea zar. Avern acum 2 1 de rezultate dintre care favorabile sunt perechile (3, 4), (5, 2) ~i (6, 1). Deei Net== 3 si N == 2] , de unde p == 3/2] . ~i acest rezultat este gresit.

c) Soluti ile precedente sunt g resitefiindca rezultatele nu sunt cgal probabile. Trebuie sa socotim toate perechile de numere facand deoscbire intre primul si al doilea zar. Nurnarul de rezultate posibile este acum 36, iar rezultatele favorabile sunt cele sase perechi (3, 4), (4, 3), (5, 2), (2, 5), (6, 1) si 0 ,6). Prin urmare, p == 6/36 .

Definitia probabilitatii ca frecventa rel a tiva

Probabilitatea peA) a unui eveniment A este limita

peA) == lim n A (1.2) I1~OO n

unde 11.4 este numarul de aparitii ale lui A iar n este numarul de incercari. In practica, vom aproxima inlinitul printr-un numar marc de

incercari. Spre exemplu, am putea ca1cula probabilitatea urilizand ( 1.2)

6 PROBABlLITATE, VARIABILE ALE ATO ARE ~I PROCESE STOCHASTI CE

pentru cateva valori ale lui n din ce in ce mai mari, pana cand obtinern aproximativ aceeasi valoare pentru peA).

Definitia axiomatica a probabiJiti4ii

Ne vorn baza pe teo ria multimilor, cu care suntern cu totii fam iliarizati , Sa notamcu jj fatetelc unui zar. Ele sunt eIcmenteIe multimii S = {jj, .h., j3,.k Is,]; }. Nu mim aceasta multime sp atiu de probabilitate si in acelasi timp evenimentul sigur, caci la fiecare incercare, este sigur ca va aparea unul din elementele sale. Elementele sale se num esc rezultatele experimentale. Submultim ile sale se numcsc evenimente. In cazul aruncari i zarului, sunt 26 = 64 de submultimi: {0}, {lj},..., {fj,}2},... , {fj,j2,h}' ..., s. Mu ltimea vida {0} este evenimentul imposibil, iar evenirnentul {Ii} constandd intr-nn singur element}, este un eveniment elementar.

Atribuim fiecarui eveniment A un numar peA), pe care-I numim probabilitatea evenimentului A. Acest numar se alcgc ast fel incat sa fie satisfacute urmatoarele trei conditii, care sunt axiomele teoriei probabilitatii:

AI. peA) ~ 0 (1.3)

A2. peS) = 1 (1.4)

A3. Daca A nB = {0},

Pt A u B) = peA) + PCB) (1.5)

Pe baza ax iomelor, deducem urmatoarele proprietati.

PI. Probabilitatea evenimentului imposibil este zero:

P{0 } = 0 (1.6)

Imr-adevar, A n {0} = {0} ~i A u {0} = A. De aceea, conform axiomei A3, avem:

PCA) = peA v 0 } =P(A) + P{0 }

P2. Pentru orice A,

peA) =1- peA)~ I (1.7)

din cauza ca A u A= S si A n A = {0}, de unde

1= peS) = peA u A)= peA) + peA)

7 CLASA FA EVENIMENTELOR

P3. Pentru orice A ~i B,

P(A u B) = peA) + PCB) - Pi A n B)::;; peA) + PCB) (1.8)

Pentru a dcmonstra aceasta proprietate, scriem evenimentcle Au B ~i B ca reuniuni de doua evenimente care se exclu d reciproc:

A u B = A u(A n B)

B = (An B)u(A nB)

De aceea , aplicand axiorna A3, putem scrie:

Pt A u B) = peA) + Pt A n B)

PCB) = P(AnB)+ peA n B)

Eliminand peA n B), obtinern (1.8).

P4. Dad B c A , avem

peA) =PCB) + PtA n B ) ~ PCB) ( 1.9)

din cauza ca A =Bu(AnB) ~i B n (AnB) ={0}.

1.4. CLASA F A EVENIMENTELOR

Evenimentele sunt submultimi ale lu i S caror a le-arn atrib uit probabilitati. Pentru a elimina unele d ificultati matematice legate de multimi cu un numar infinit de rczultatc, nu vorn considera drept cvenimente toate submultimile lui 5, ci doar 0 clasa F de submultimi.

Un camp F este 0 clasa nevida de multimi astfel incat:

PI. Daca A E F , atunci "Ii E F (1.1 0)

P2. DacaA E F~iB E F ,atunci (AuB)EF (Ll1 )

Acestc doua proprietat i su nt suficicntc pcn tru ca F sa fie un camp . Din ele, rezulta proprietatile urmatoare:

P3. Daca A E F~iB E F ,atunci (A nB) E F (1.12)

Intr-adevar, din (1.10) urmeaza ca A E F ~ i B E F. Ap licand Pl ~ i

P2 la multimile "Ii si ]j , rezulta cit Au]j E F ~i Au]j E F.

8 PROBABILITATE, VARlABrLE ALEATOA RE ~I PR OCE SE STO CH. STICE .

P4. Un camp contine evenimentul sigur si evenimentul imposibil:

S E F ~i {0} E F (1.13 )

Intr-adevar, fiindca F nu este 0 multime vida, contine eel putin un element A , iar conform PI, va contine ~i A. Prin urmare, A u A= S E F ~i A nA= {0} E F.

D in cele de mai sus , rezulta ca toate multimile ce se pot scrie ca reuniuni sau inters ectii ale unu i numar Iinit de multimi din F sunt ~i ele in F. Aceasta, insa, nu estc in mod necesar cazul ~i pentru un numar infinit de multimi , Suntem astfel nevoiti sa introducetn noti unea de camp Borel.

Daca pentru once sir infinit Ai"", All"" de multimi din F, reuniunea si intersectia ace stor multirni apartin ~i ele lui F , arunci F se numeste un camp Borel.

Clasa tuturor submultimilor unci multimi S este un camp Borel. Sa presupunem ca 0 clasa C de submultimi ale lui S uu este un cfimp . Adaugandu-i alte submultimi ale lui S, toate submultimilc daca cste nccesa r, putem forma un camp avand C drept submultime.

Pentrucazul unui numar infinit de multimi, trebuie sa adaugam la cele trei axiome ale probabilitatii 0 a patra, nurnita axioma probabilitiitii infinite:

A4. Daca evenimentele Ai , A2 ,. .. sunt mutual exclusive, atune;

(1.14)

1.5. DEFINITIA AXIOMATIC~A UNUIEXPERIMENT,

In teoria probabilitatii, specificam un experime nt eu aj utorul urma­toarelor concepte:

1. Multimea S a tururor rezulra te lor expcrimentalc, 2. Campul Borel al tuturor evenimentelor din S . 3. Probabilitatile acestor evenimente.

Daca spatiul S con stli din N rezuItate, unde Neste un numar finit , iar cvenimentul elementar ~i are pro babilitatea pi, con form axiomclor probabilitatii, numerele Pi trebuie sa fie pozitive iar suma lor trebu ie sa fie cgala cu 1:

9 DREAPTA REALA.

Pi ~ 0 ~i PI + ... + P,V = 1 (Ll S)

Probabilitatea oricarui eveniment A constand din r evenimente elementare se poate scrie ca suma probabilitatilor acestora.

1.6. DREAPTA REALA

Sapresupunem cil Seste multimea numerelor reale . Submultimile sale pol fi considerate drept multimi de puncie de pe dreap ta numerelor reale. Se poat e arata caeste imposibil saatribuim probabilitati tuturor submultirnilor lui S astfel incat sa satisfaca axiomele Al - A4. Pentru a construi un spatia de probabilitate pe dreapta numerelor reale , vom considera drept evenimente intervalele XI :::; X :::; Xl precum ~i reuniunile ~i intersectiile nurnarabile ale acestora. Accstc cvenimente formea za un camp F defini t drept eel mai mie camp Borel ce include toate semidreptele x :::; X i, unde Xi este oriee nurnar real. Acest cimp contine toate intervaleIe deschise ~i inchise, toate punctele si, practic, toate multimile de pnn cte de pe dreapta nnmerelor reale ce prez inta intercs in aplicatii , Mentionam eli exista multimi de punc tc de pe dreapta numcrelor reale care nu sunt reuniuni ~i intersectii numarabile de intervale, dar ele nu prezintainteresin majoritatea aplicatiilor,

Presupunem ca p(x) ~ 0 este 0 functie astfel incat

[,p(x)dx =l (1.16)

Definim probabilitatea evenimentului {x :::; Xi } prin integrala

P{x:::; xd =

Xi

fp(x)dr (1.17) - 00

Probabili tatea cvenim cntului { X l < X :::; X2 } constand din toate punctele din intervalul (Xl. X2] este data de

X'l

P{Xl <X SX1} = Ip(x)dx ( 1.18)

XI

Intr-adevar, evenimentele {x :::; xr} si {Xl < X :::; X2 } sunt mutual exclusive iar r euniunea lor este egala eu (x :::; Xl} . Conform axiomci A3, avem

10 PROBABILITATE. VARIABILE ALEATOARE ~l PROCESE STOCHASTlCE

P{X~Xl} + P{XI < X ~ X2 } == P{ X~X2}

~l (1.8) rezulta din (Ll7). Observam di, daca functia p(x)este marginita, integrala din (Ll8)

tinde spre 0 pentru Xl ---* X2 . Aceasta conduce la concluzia caprobabilitatea

evenirnentului {xi} constand din rezultatul Xl este 0 pentru orice XI' Deci,

probabilitatea tuturor evenimentelor elementare din S este cgala eu 0, desi probabilitatea reuniunii lor esie egala eu 1. Ac easta nu vine in conflict ell

axioma A4 , caci multimea elementelor lui S nu este numarabila.

Mase de probabilitate

Putem interpreta probabilitatea peA) a unui eveniment A drept masa figur ii corespunzatoare din .reprezentarea pr in diagrama Venn. Fie, de exemplu, identitatea

Pt A u B) == p eA) + PCB) - Pi A n B) .

Membrul stang este egal eu masa evenimentului Au B. In suma peA) + PCB ), masaIu i A n Beste socotita de doua ori. Pentru a obtine din

aceasta suma Pt A u B), trebuie deci sa scadem din ea Pi A n B).

s

Fig. 1.1. Diagrama Venn a spatiului de probabilitate S ariitand doua multimi de evenimente A si B irnpreuna eu reuniunea A u B ~i intersecti a A n B lor.

11 EVEl'i'IMENTE COMm'to'E$1 PROBABILITATI COMUNE

1.7. EVENIMENTE COMUNE ~I

PROBABILITATI COMUNE

Fie doua experimente, primul constand din aruncarea unut zar nemasluit

~i al doilea constand din aruncarea unei monede nemasluite

S2= {c, b} CU P2{C} = P2{b} = 1'2.

Sa consideram experimentul combinat constand din efectuarea ambelor experimente 51 1j i 52. Produsul cartezian 51 x 82 este 0 multime Sale carei elemente sunt toate perechile ordonate ~ 1 1;;2 , unde 1;;1 E 51 si ~2 E 52.

S = SI X S2

Daca A este 0 submultime a lui SI iar B este 0 submultime a lui 52, multimea C = A x E, constand din toate perechile ~ 1C;;2, un de ~ l E A ~i

:;2 E E, este 0 submultime a lui 5. Produsul cartezian al experimentelor 51si 52 este un nou experiment

S =SI X 52 ale carui evenimente sunt toate produsele cartc zicne de forma A x B, unde A este un eveniment d in SI iar B estc un cvcnimcntc din S2, preeum ~i reuniunile ~i intersectiile aeestora.

In acest experiment, daca PI (4) este probabilitatca evenimentului A in experimentul SI iar P2(B) este probabilitatea evenimentului B in experimentul 52, probabilitatile evenirnentelor A x 5: ~i S\ x B sunt

peA x S2) = PI(A) (1.19)

P(5 1 x B) = P2(B) (1.20 )

Experimente independente

Doua evenimente A ~i B se spune ca sunt independente daca

P(A n B) = P(A)P(B) (1.21)

In multe aplicatii, evenimentele A x 52 ~i 51 x ~ din experimentul combinat 5 sunt independcnte pernru orice A ~i B. In trucat intersec tia acestor evenimente este egala e ll A x B, din (1.19), (1.20) ~i ( 1.21 ) conehidem ca

12 PROBABILITATE. VARIABILE ALEATOARE ~I PROCESE STOCHASTICE

peA x B) =peA X Sz)P(Sr x B) =P](A)Pz(B) (1.22)

Vom reforrnula conceptul de experiment combinat astfel: dad un experiment are rezultatele posibile A; , i = 1,2;··, n , iar cel de al doilea expe­

riment are rezultatele posibile Hi ' j = 1,2; .. , In , experimentul combinat are

rezultatele comune posibile (A ; , B j ), i = 1,2; · ·, n, j = 1,2; · ·,111. Probabi­

litatea comuna Pt A, ,B j ) asociata cuevenimentul comun (A;, B i ) satisface

conditia

os P( Ai' Bj ) S 1

Presupunand ca rezultatele Bi >j = 1,2,.··, m sunt mutual exclusive,

urmeaza cii

m

LP(Ai,B j ) = peA;) ( 1.23) j =l

Similar, daca rezultatele Ai,i =1,2;' ·' n sunt mutual exclusive, avem

n

LP(A;,Bj )=P(Bj ) (1.24) j=1

p eA;) din ( 1.23) ~i P(B j ) din ( 1.24) se spune ca sunt probabilitati

marginale. Daca toate rezultatele celor doua experimente sunt mutual exclusive, avem

n m

LIp (A;, Bj ) = I (1 .25) i=1 j =1

1.8. PROBABILITATI CONDITIONATE. ,

Sa consideram un experiment combinat in care un even iment eomun apare ell prob abilitate peA, B). Prcs upuncm ca evcnimentul B a aparut si vrem sa determ inam probabilitatea de aparitie a evenimentulu i A. Aceasta se num este probabilitatea evenimcntului A conditionata de aparitia evcni­mentului B ~i sc defineste prin relatia

13 PROBABILITA.TI CONDrpONATE

P(AIB) = P( A,B ) (1.26 ) PCB)

pentru PCB) > O. Similar, probabilitatea evenimentului B conditionata de aparitia evenimentului A estc

P(B'A) = peA, B) (1.27) I peA )

pentru peA) > O. Combinand (1.26) si (1.27), obtinem:

P(A,B) =P(A iB)P(B) =P(BIA)P(A) (1.28)

Accste relatii se aplica si in eazul unui singur experiment in care A ~i

B sunt doua cvenirncniedefinite pc spatial esantioanelor S jar PtA, B) este interpretata drcpt probabilitatea lui A n B . Cu alte cuvinte, peA, B) este probabilitatea aparitiei simultanc a evenimentelor A. ~i B. Dad doua evenimente A ~i B sunt. rnutual exclusive, A n B = {0 } ~i deci peA IB) = O. Daca A este 0 submultime a lui B, A n B = A ~i deci

P(AIB) = p eA) . PCB)

Daca iusa Beste 0 submultime a lui A, avem A n B = B ~i deci

P(AIB) = PCB) = I. PCB)

Teorema probabilitatit totale

o partitie U = [AI ,"', A/1 ] a lui S este prin definitie 0 colectie de n

subm ultimi A] ," ', A;;ale lu i S disjunctca carorreuniune cste egaHi eu S. Fie

B un evenirnent arbitrar. Avern atunei

(1.29)

Demenstratie Este c1ar ea

B = B nS = Bn (041 u · · ·u A/1 ) = (Bn A1) u · ··(B nAII ) .

Dar evenimentele B n Ai ~i B n A) sunt mutual exclusive din cauza

ca evenimentele Ai ~i Aj sunt mutual exclusive. Prin unnarc

14 PROBABIUTATE, vAmABILE ALEATOARE ~l PROCESE STOCHASllCE

Conform (1.28), avem insa

Utilizand aeeasta in expresia lui P(B) , rezulta (1.29).

Tcorema lui Bayes

Aplicand (1.28), putem serie ca

P(Ai IB) = PCB IAi) ~~.~; (1.30)

Introducand (1.29) in (1.30) , obtinem teorema lui Bayes :

peA IB) = PCBIAJP(Ai) 1 PCB IAl)P(AI ) + ... + PCB IAn)P(An)

(1.31)

Iadependcnta statistica

Sa presupunem ca aparitia lui A nu depinde de aparitia lui B, ceea ce inseamna ea

peA IB) =p eA) (1.32)

Inlocuind (1.32) in (1.26), obtinem ea

P(A,B) = P(A)P(B) (1.33)

Daca probabilitatea comuna a evenimentelor A ~i B se descompune in produsul probabili tatilor marginale P(A)~i PCB), se spune eli cvcni­mentele sunt independente statistic.

Dcfinitia independentei sta tistice se poate generaliza la un numar 11

de eveni mente. Spre cxcmplu, tre i cvcnimente independente statistic AI, .12

si A3 trebuie sa satisfaca urmatoarele conditii :

P(AbAz)= P(Aj)P(Az) P( Aj,A3 ) = P(AI)P(A3 )

(1. 34) P(Az,A3 ) = P(Az)P(A3 )

P(Aj,Az,A3 ) = P(A1)P(Az)P(A3 )