principii genarale de proiectare a consolidarilor structurale

7/26/2019 principii genarale de proiectare a consolidarilor structurale

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1. Principi generali di progettazione per il rinforzo di strutture in c.a.

mediante lamine o fogli in FRP .................................................................. 1

1.1. Premessa ........................................................................................................... 1

1.2. Travi rinforzate a flessione ............................................................................... 2

1.3. Travi rinforzate a taglio .................................................................................... 4

1.4. Confinamento dei pilastri ................................................................................. 6

1.5. Coefficienti di sicurezza ................................................................................... 7

2. Il rinforzo a flessione: metodologie di progetto e verifica ................... 9

2.1. Premessa ........................................................................................................... 9

2.2. Applicazione della lamina su strutture caricate ............................................... 9

2.3. Metodo alle tensioni ammissibili ..................................................................... 10

2.4. Metodo delle tensioni ammissibili: esempio numerico ................................... 14

2.4.1. Sezione in c.a. a semplice armatura .............................................................. 142.4.1.a) Progetto bilanciato della sezione in c.a.: T.a.1 ........................................................... 142.4.1.b) Verifica della sezione progettata in eccesso di armatura: T.a.2 ..................................... 152.4.1.c) Verifica della sezione progettata in difetto di armatura: T.a.3 ...................................... 142.4.2. Sezione in c.a. rinforzata con FRP ................................................................. 172.4.2.a) Verifica della sezione progettata in condizioni di rottura bilanciata: T.a.1-r .................. 172.4.2.b) Verifica della sezione progettata in eccesso di armatura: T.a.2-r ................................... 182.4.2.c) Verifica della sezione progettata in difetto di armatura: T.a.3-r .................................... 19

2.5. Metodo delle tensioni ammissibili: rinforzo applicato in presenza di un

carico F1 ........................................................................................................... 20

2.5.1. Esempio numerico (a = 0.50) .......................................................................... 21

2.6. Metodo allo stato limite ultimo ........................................................................ 31

2.6.1. Sezione in c.a................................................................................................... 32

2.6.2. Sezione in c.a. con il metodo dello stress block .............................................. 34

2.6.3. Sezione in c.a. con rinforzo esterno in FRP ................................................... 352.6.4. Sezione in c.a. con FRP: semplificazione dello stress block ........................... 37

2.6.5. Calcolo dello stato di sollecitazione iniziale................................................... 39

2.6.6. Abachi di progetto............................................................................................ 39

2.6.7. Verifica dellancoraggio................................................................................... 40

2.7. Esempio numerico (metodo allo stato limite ultimo) ...................................... 41

2.7.1. Sezione c.a. ...................................................................................................... 412.7.1.a) Verifica agli SLU della sezione T.a.1 ......................................................................... 422.7.1.b) Verifica agli SLU della sezione T.a.2 (eccesso di armatura) .......................................... 432.7.1.c) Verifica agli SLU della sezione T.a.3 (difetto di armatura) ........................................... 432.7.1.d) Verifica della sezione T.a.1 adottando la semplificazione dello stress block......................... 44

2.7.2. Sezione in c.a. rinforzata con FRP ................................................................. 442.7.2.a) Verifica della sezione T.a.1-r (rottura bilanciata) ....................................................... 45

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INDICE


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2.7.2.b) Verifica della sezione T.a.2-r (eccesso di armatura) .................................................... 46

2.7.2.c) Verifica della sezione T.a.3-r (difetto di armatura) ...................................................... 47

2.7.2.d) Verifica della sezione T.a.1-r adottando la semplificazione dello stress block................... 47

2.7.3. Esempio relativo allapplicazione del rinforzo su una struttura gi caricata 48

2.7.4. Verifica dellancoraggio................................................................................... 50

2.8. Verifiche agli stati limite di esercizio ................................................................ 562.8.1. Limitazione delle tensioni ................................................................................ 57

2.8.2. Verifica delle frecce .......................................................................................... 58

2.8.3. Verifica delle fessure ........................................................................................ 60

2.8.4. Verifica dei fenomeni fessurativi allinterfaccia ............................................ 612.8.5. Fenomeni localizzati di delaminazione in condizioni di servizio ............... 62

2.9. Esempio numerico relativo alle verifiche allo stato limite di esercizio ........... 63

2.9.1. Verifica delle tensioni ...................................................................................... 642.9.2. Calcolo della freccia ........................................................................................ 65

2.9.3. Calcolo della distanza e ampiezza media tra le fessure ................................ 66

3. Il taglio nelle sezioni in C.A.-FRP ............................................................... 67

3.1. Premessa ........................................................................................................... 67

3.2. Resistenza a taglio di travi in c.a. ..................................................................... 67

3.2.1. Metodo standard dellEurocodice2 .................................................................. 70

3.2.2. Minimo di armatura a taglio .......................................................................... 72

3.3. Resistenza a taglio di travi in c.a. esternamente rinforzate a taglio con

lamine in FRP .................................................................................................... 73

3.4. Raccomandazioni di progetto .......................................................................... 753.5. Esempio numerico ........................................................................................... 77

4. Il confinamento con FRP di colonne in cemento armato .................... 81

4.1. Introduzione ..................................................................................................... 81

4.2. Sezioni circolari ................................................................................................ 814.3. Sezioni rettangolari ........................................................................................... 84

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1.1Premessa

Il rinforzo di strutture in calcestruzzo armato esistenti con lamine o fogli in FRP (FRPEBR system : fiber reinforced plastics externally bonded reinforcement system) unatecnica innovativa molto promettente ed in taluni casi pi vantaggiosa delle tecnichetradizionali. Tuttavia la sua utilizzazione deve essere accompagnata da indicazioniprogettuali basate su modellazioni e sperimentazioni appositamente sviluppate, poich sitratta di un sistema nuovo con meccanismi di funzionamento e problematiche di dettagliopeculiari.

Per affrontare correttamente la progettazione necessario in primo luogoindividuare il comportamento della struttura rinforzata ed i parametri principali da cui

esso dipende ; necessario inoltre definire le modalit di crisi e leffetto dei dettaglicostruttivi. Dopo avere inquadrato la problematica si possono applicare le formule diprogetto messe a punto sulla base delle conoscenze scientifiche attuali in cui hanno unruolo fondamentale i coefficienti di sicurezza che devono tenere in conto le incertezzesulle caratteristiche dei materiali, sui modelli di calcolo e la pericolosit delle diversemodalit di crisi.

Lefficacia e la sicurezza della tecnica del rinforzo con lamine o fogli in FRP basatasostanzialmente sullefficienza della collaborazione tra la struttura esistente ed il materialedi rinforzo. Tale collaborazione si stabilisce mediante il legame di aderenza tra ilcomposito e la superficie di calcestruzzo, che viene garantito dalle caratteristiche

meccaniche delladesivo, da un opportuno trattamento della superficie di calcestruzzo edallaccurata realizzazione di tutte le fasi di esecuzione.

Il trasferimento degli sforzi tra lamina e calcestruzzo consente la collaborazione trala struttura esistente ed il rinforzo esterno dando vita alla nuova struttura composta ; chiaro che la qualit e la resistenza del legame di interfaccia sono requisiti essenziali perincrementare la capacit portante della struttura. La rottura del collegamento dovuta allacrisi del legame di aderenza tra lamina e calcestruzzo (delaminazione) rappresenta quindiuna delle modalit di rottura tipiche della tecnologia di rinforzo, che pu verificarsi intutte le applicazioni (flessione, taglio, confinamento). Pertanto necessario conoscere laproblematica generale relativa alla rottura per delaminazione ma anche specificare i

diversi contesti in cui si verifica.La crisi del collegamento tra struttura esistente e materiale nuovo si verifica con la

rottura allinterfaccia in uno dei tre componenti : calcestruzzo, adesivo, lamina, comemostrato in Figura 1.1 - a e Figura 1.1 - b.

Fig.1.1 - a) Differenti modalit di rottura per delaminazione

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1. PRINCIPI GENERALI DI PROGETTAZIONEPER IL RINFORZO DI STRUTTURE IN C.A. MEDIANTE

LAMINE O FOGLI IN FRP

Debonding nelcalcestruzzo

Calcestruzzo

Debonding tracalcestruzzo e adesivo

Adesivo

Lamina in FRP

Debonding

nelladesivo

Debonding nella lamina


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Fig.1.1 - b) Esempio di delaminazione nel calcestruzzo con distacco di un cuneo allinterno della trave

Nel primo caso le fibre si staccano insieme ad uno strato di calcestruzzo pi o menogrande ; se la superficie di calcestruzzo non stata trattata correttamente il distacco delcalcestruzzo molto superficiale (pochi millimetri) (Figura 1.2 - a) ; viceversa unincollaggio corretto comporta il distacco di un grosso strato di calcestruzzo chegeneralmente arriva fino alle armature (Figura 1.2 - b).

La rottura per delaminazione nel calcestruzzo in corrispondenza degli ancoraggiviene generalmente indicata con il termine peeling off.

La rottura allinterno delladesivo si verifica raramente e solo se la resistenza atrazione di questultimo pi bassa di quella del calcestruzzo. La rottura interlaminarenellFRP si verifica anchessa molto raramente e dipende dalla crisi del legame di aderenza

tra fibre e matrice allinterno del composito.Le modalit di rottura degli elementi in calcestruzzo armato rinforzati con FRP

comprendono sia quelli degli elementi non rinforzati che quelle tipiche dovute allatecnologia dellincollaggio esterno di lamine. La definizione dei modi di rottura deveessere particolarizzata con riferimento alla tipologia di rinforzo, ed in particolare per i trecasi principali : travi rinforzate a flessione, travi rinforzate a taglio, pilastri confinati.

1.2Travi rinforzate a flessione

Il rinforzo a flessione delle travi si realizza incollando le fibre sulla faccia tesa dellatrave in calcestruzzo, lo schema di riferimento quello della trave semplicementeappoggiata di Figura 1.3.

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Calcestruzzo

Calcestruzzo

AdesivoAdesivo

Lamina in FRP

Armatura interna

Lamina in FRP

Fig.1.2 - a) Delaminazione nel calcestruzzo:distacco superficiale

Fig.1.2 - b) Delaminazione nel calcestruzzo:distacco profondo

Debonding nel calcestruzzo

Debonding nelcalcestruzzo


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Fig.1.3 - Trave rinforzata a flessione con lamine in FRP: modalit di rottura

Generalmente la lamina non viene portata fino allappoggio, sia per lingombrodelle strutture portanti verticali (pilastri, pareti), sia per il risparmio di materiale.

La rottura dellelemento rinforzato con questa configurazione pu avvenire in tremodi :

1. rottura della sezione pi sollecitata a momento flettente ; questa pu verificarsi asua volta per la crisi di uno dei tre materiali componenti :

calcestruzzo

acciaio

FRP

2. rottura per taglio nella zona pi sollecitata a taglio (agli appoggi).

3. crisi per delaminazione : questa pu avvenire in diverse zone della trave e puessere influenzata dal quadro fessurativo secondo diverse modalit comemostrato in Figura 1.3.

Modalit 1 : peeling-off nella zona di ancoraggio non fessurata causato dallafrattura del calcestruzzo per effetto di tensioni di aderenza.

Modalit 2 : peeling-off causato da fessure per flessione. Le fessure verticaliflessionali nel calcestruzzo si possono propagare orizzontalmente causando ladelaminazione anche a distanza dalla zona di ancoraggio.

Modalit 3 : peeling-off causato da fessure da taglio. La propagazione sia verticale,

sia orizzontale delle fessure da taglio pu condurre alla delaminazione Modalit 4 : peeling-off causato da irregolarit e rugosit della superficie di

calcestruzzo. La delaminazione localizzata causata da irregolarit superficiali pupropagarsi e condurre ad una completa delaminazione del sistema di rinforzo.

Pertanto il progetto del rinforzo a flessione deve essere sviluppato effettuando laverifica della sezione pi sollecitata a momento flettente, della zona di trave pi sollecitataa taglio, curando i dettagli di incollaggio ed ancoraggio per evitare fenomeni didelaminazione che non consentano il completo sviluppo della capacit resistentedellelemento rinforzato.

Lincremento di resistenza che si pu ottenere dipende soprattutto dallarmatura inacciaio preesistente ; i migliori risultati si ottengono per le travi poco armate, mentrelincremento pu essere trascurabile per le travi con forte armatura in cui la rottura eradovuta alla crisi del calcestruzzo compresso anche prima dellapplicazione del rinforzo.

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Per quanto riguarda lancoraggio, possibile anche prevedere dei sistemidi miglioramento come linserimento di fasce di FRP disposte trasversalmente ad U(Figura 1.4).

Fig.1.4 - Schemi di ancoraggi alle estremit

Il progetto e la verifica della sezione pi sollecitata per flessione illustrato nelcapitolo 2 ; in tale caso sono stati presi in considerazione entrambi i metodi alle tensioniammissibili ed agli stati limite ; inoltre si analizza linfluenza del carico presentesullelemento allatto dellapplicazione delle fibre.

Per quanto riguarda lancoraggio e quindi la delaminazione le formule attualmentedisponibili per il progetto sono basate sui principi della meccanica della frattura,assumendo che la crisi avvenga nel calcestruzzo. Maggiori dettagli sono forniti nellostesso capitolo 2.

1.3Travi rinforzate a taglio

Il rinforzo a taglio si pu realizzare con varie disposizioni delle fibre.In particolare si possono avere le seguenti possibilit, illustrate nelle Figure 1.5 e 1.6 :

rinforzo a taglio su 2 lati (only-2-sides bonded)(caso A in Figura 1.5) ;

rinforzo a taglio su tre lati ad U (B) (U-shaped)(caso B in Figura 1.5) ;

rinforzo a taglio su tre lati ad U con ancoraggi (caso C in Figura 1.5) ;

rinforzo a taglio con sezione con fasciatura intorno (totally wrapped) (caso D ecaso E in Figura 1.6).

Fig. 1.5 - Schemi di rinforzo a taglio su 2 lati (A), su 3 lati U-shaped (B), su 3 lati con ancoraggi (C).

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Fig.1.6 - Schemi di rinforzo a taglio totally wrapped (D), (E).

Le diverse modalit di disposizione delle lamine possono causare un differentecomportamento a rottura, e quindi un maggiore o minore rendimento del sistema.Tuttavia la scelta pu essere subordinata alla difficolt di applicazione. In tale senso latipologia totally wrapped (caso D in Figura 1.6), che richiede la fasciatura completa,

nella maggior parte dei casi non pu essere applicata poich presente una solettacontinua che dovrebbe essere attraversata mediante appositi tagli del calcestruzzo.

Le modalit di rottura delle travi rinforzate a taglio con lamine in FRP comprendonosia quelle classiche degli elementi in calcestruzzo armato sia quelle specifiche dellestrutture rinforzate con lamine.

In particolare la crisi per taglio pu essere dovuta alle seguenti cause :

rottura delle bielle di calcestruzzo compresso

rottura delle staffe di acciaio

rottura della lamina a trazione

peeling off della lamina allancoraggio

La modalit pi insidiosa, che pu impedire lo sfruttamento della resistenza dellalamina in FRP, ancora una volta il peeling off. Pertanto lapplicazione totally wrappeddi fasciatura completa garantisce il migliore ancoraggio e contemporaneamente fornisceun effetto di confinamento del calcestruzzo compresso. Anche nelle altre modalit diapplicazione si pu migliorare lancoraggio con linserimento di opportuni sistemi difissaggio di estremit.

In ogni caso le ricerche e sperimentazioni condotte a livello internazionale hannoconsentito ad alcuni autori di mettere a punto un modello che tiene conto della rottura perpeeling off correlandola alle modalit di applicazione. Nel capitolo 3 viene illustrato talemodello, che consente di progettare correttamente il rinforzo in base alla tipologia diapplicazione prescelta.

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1.4Confinamento dei pilastri

Il confinamento di colonne in calcestruzzo armato eseguito con lapplicazione ditessuti in FRP, consente di migliorare in modo significativo le prestazioni di tali elementistrutturali in quanto ladozione di questa tecnologia permette :

di incrementare la resistenza a compressione del calcestruzzo

di incrementare la duttilit dellelemento

di incrementare la resistenza a taglio dellelemento

di prevenire o limitare linstabilizzarsi delle barre metalliche di armaturalongitudinali compresse.

Il confinamento con FRP pu essere realizzato con applicazione di fasce perimetrali(anulari) di tessuto disposte in modo continuo per lintero sviluppo dellaltezza dellacolonna ovvero mediante applicazione di fasce perimetrali (anulari) di tessuto disposte inmodo discontinuo per lintero sviluppo dellaltezza della colonna secondo un determinato

passo corrente, con disegno simile alle staffe metalliche tipicamente presenti allinternodella colonna.

Ciascuna fascia perimetrale sar posta in opera provvedendo alla sovrapposizionedei lembi per una lunghezza pari ad almeno 15 cm e comunque per la lunghezza in gradodi assicurare il comportamento monolitico della fascia tipo di confinamento escludendo laformazione di qualsivoglia meccanismo critico globale per innesco di rotture prematurecausate da scollamento locale della fibra per deficit di lunghezza di tratto disovrapposizione.

Si distinguono in generale due tipi di confinamento con FRP :

confinamento attivo

confinamento passivo

Il confinamento attivo si riferisce ad un sistema che prevede lapplicazione delcomposito in forma di fasce di tessuto pre-tese con utilizzo di idonee apparecchiature dipretensionamento con controllo della forza applicata; in questo caso il sistema in FRP attivo anche se la colonna soggetta a carichi modesti.

Il confinamento passivo, che rappresenta anche il sistema pi diffuso, prevedelapplicazione del composito in forma di fasce di tessuto senza pre-tensione; in questo

caso il sistema in FRP inizia ad esercitare la propria azione di confinamento efficaceesclusivamente quando la colonna tende a subire una dilatazione laterale indottadallapplicazione dai carichi.

Indipendentemente dal tipo di sistema applicativo utilizzato, leffettiva efficaciadellintervento di confinamento con FRP non dipende dalladerenza tra foglio di tessuto esubstrato in calcestruzzo; per tale motivo, il confinamento si definisce applicazione percontatto.

Lefficacia del confinamento in FRP fortemente dipendente dalla forma dellasezione dellelemento su cui esso viene applicato.

Lefficacia massima nel caso in cui si rinforzano elementi a sezione circolare dovela polar-simmetria della sezione permette al sistema in composito di esercitare unadistribuzione uniforme di pressioni laterali di confinamento.

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Nel caso di applicazione per elementi a sezione quadrata e rettangolare, lefficaciadellazione di confinamento in FRP decrescente e si riduce fino a diventare pocosignificativa nei casi di sezioni con elevato rapporto di allungamento; ci dovuto al fattoche nel caso di sezioni non-circolari il placcaggio pienamente attivo solo incorrispondenza degli spigoli, mentre una parte significativa della sezione non risente dellasua azione confinante.

Nel caso di applicazione per elementi a sezione quadrata e rettangolare, si dovr,propedeuticamente allapplicazione del composito, in ogni caso provvedere adarrotondare gli spigoli della colonna con raggi di arrotondamento non inferiori a circa 20mm e ci per evitare la generazione di meccanismi critici globali per innesco di rotturepremature causate da intaglio locale della fibra in corrispondenza degli spigoli vivi.

opportuno infine sottolineare che il progetto di un intervento di rinforzo con FRPdi una colonna non pu prescindere dalla corretta valutazione dello stato di sollecitazioneche su di essa grava ed in particolare dalla definizione del rapporto tra sforzo assiale emomento flettente.

Lintervento di confinamento con FRP particolarmente efficace per aumentare siala resistenza che la duttilit di elementi esclusivamente o prevalentemente compressi; incasi in cui il livello di sforzo assiale modesto, ladozione del placcaggio con tessuti inFRP pu comunque essere utilmente efficace (soprattutto allo scopo di incrementaresignificativamente la duttilit del calcestruzzo) ; lefficacia risulta amplificata dalladozionedi provvedimenti che incrementino la capacit flessionale dellelemento da presidiare.

1.5Coefficienti di sicurezza

Le metodologie di calcolo proposte per il progetto e la verifica delle sezioni incalcestruzzo armato rinforzate con lamine in FRP si inquadrano nel metodo agli stati limiteed in taluni casi nel metodo delle tensioni ammissibili.

Il metodo alle tensioni ammissibili riconduce i criteri di sicurezza strutturale allaverifica puntuale del materiale, limitando le tensioni normali nelle fibre maggiormentesollecitate a valori ammissibili, tali da poter ritenere il comportamento dei materiali ditipo elastico lineare ed utilizzando un coefficiente di sicurezza rispetto alla resistenza.

I coefficienti di sicurezza del calcestruzzo e dellacciaio sono forniti dalla normativaitaliana. Per il calcestruzzo si utilizza una formula che comporta un coefficiente disicurezza pari circa a 3, poco variabile con la resistenza del materiale ; per lacciaio inveceil coefficiente 1.75.

Per le lamine in FRP i coefficienti di sicurezza sono differenziati in funzione del tipodi fibre e delle modalit di applicazione, e si possono assumere i valori indicati nellaTabella 1.1.

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Coefficiente di sicurezza Coefficiente di sicurezza

Materiali Modalit di applicazione

Tipo A Tipo B

Carbonio 2.00 2.25

Vetro 2.20 2.50

Aramide 2.10 2.45

Tabella 1.1 - Coefficienti di sicurezza per il metodo delle tensioni ammissibili

Lapplicazione di tipo A si riferisce al sistema prefab FRP EBR in normali condizionidi controllo di qualit, mentre lapplicazione di tipo B si riferisce al sistema wet-lay-up in

normali condizioni di controllo di qualit o per qualsiasi sistema in difficili condizioni diapplicazione in sito.

Il metodo agli stati limite legato allevoluzione del concetto di sicurezza strutturalebasata su unanalisi probabilistica dei carichi e della resistenza dei materiali, in cui la

verifica relativa sia alle condizioni ultime che a quelle di servizio della struttura.

I coefficienti di sicurezza proposti dalla normativa italiana sono pari ad 1.6 per ilcalcetsruzzo ed 1.15 per lacciaio.

Anche nel metodo agli stati limite per le lamine in FRP i coefficienti di sicurezza sonodifferenziati alle stesso modo per tipo di fibre e modalit di applicazione come mostrato

nella Tabella 1.2.

Circa la scelta della metodologia di progetto si deve segnalare che il metodo delletensioni ammissibili non consente il completo sfruttamento della resistenza del materiale,come si pu vedere dagli esempi di calcolo riportati nel capitolo 2 per la flessione. Infattilelevato rapporto tra resistenza e modulo elastico dellFRP comporta tensioni molto bassenelle fibre quando il calcestruzzo o lacciaio raggiungono i rispettivi valori ammissibili.

Coefficiente di sicurezza Coefficiente di sicurezza

Materiali Modalit di applicazione

Tipo A Tipo B

Carbonio 1.20 1.35

Vetro 1.30 1.50

Aramide 1.25 1.45

Tabella 1.2 - Coefficienti di sicurezza per il metodo agli stati limite ultimi.

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2.1Premessa

Nel seguito si illustrano le metodologie di verifica e progetto delle sezioni incalcestruzzo armato soggette a flessione considerando anche il caso di travi rinforzate conlamine in FRP.

Si analizzeranno le procedure relative a entrambi i metodi suggeriti dalla normativaitaliana :

tensioni ammissibili ;

semi-probabilistico agli stati limite.

Le procedure di calcolo delle strutture vengono impostate definendo in primo luogo

i possibili stati limite, ossia delle situazioni a partire dalle quali la struttura ouna sua parte cessa di assolvere la funzione per la quale era stata progettata ;successivamente si applicano procedure di calcolo che minimizzano la probabilit che talistati limite vengano raggiunti in relazione al grado di rischio accettato.

Laspetto probabilistico del problema viene risolto introducendo tanto per le azionisulla struttura quanto per le resistenze dei materiali i cosiddetti valori caratteristici a cuisi applicano dei coefficienti di sicurezza che permettono di tenere in conto laleatorietdelle variabili in gioco ottenendo i cosiddetti valori di calcolo.

Nel metodo degli stati limite il progetto della sezione viene effettuato allo stato limite

ultimo, e successivamente si procede alle verifiche di servizio richieste dalla tipologiastrutturale (deformabilit, fessurazione, tensioni massime), anche se in alcuni casipotrebbe avvenire che il progetto sia governato dagli stati limite di servizio. Nel caso dielementi in c.a. esternamente rinforzati con FRP devono essere considerate nel progettole opportune condizioni di carico (permanenti, quasi-permanenti, rare), ma anchecondizioni accidentali corrispondenti ad impreviste perdite e/o danneggiamenti delrinforzo esterno (impatti, fuoco, atti di vandalismo) e particolari condizioni di lavoroche possono inficiare lefficienza del sistema (controllo delle tensioni aderenza dovute adifferenze nei coefficienti di espansione termica, allesposizione al fuoco).

2.2Applicazione della lamina su strutture caricate

Generalmente lapplicazione del rinforzo avviene con le strutture in esercizio ocomunque soggette al carico permanente. Questa procedura implica che sololincremento di carico successivo alla realizzazione del rinforzo viene assorbito dallastruttura rinforzata, rendendo meno efficace il contributo del rinforzo esterno.

In presenza di carichi durante lapplicazione del rinforzo, la valutazione dello statodi sollecitazione complessivo della sezione a valle dellintervento deve essere effettuatosovrapponendo le tensioni sulla sezione prima dellintervento e quelle successive.

Sulla base della teoria dellelasticit, e detto M1 il momento agente in sezione primadellapplicazione del rinforzo, si pu calcolare la distribuzione delle deformazioni lungola sezione in ipotesi di sezione piana. Se M1 maggiore del momento di prima

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2. IL RINFORZO A FLESSIONE :METODOLOGIE DI PROGETTO E VERIFICA


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fessurazione Mcr della sezione calcolato in assenza di rinforzo, il calcolo viene svolto conriferimento alla sezione fessurata, ma se invece M1 minore di Mcr linfluenza dello statodeformativo iniziale sul comportamento dellelemento rinforzato trascurabile e si puassumere che la sezione rinforzata porti tutto il carico.

Nel caso del metodo alle tensioni ammissibili si procede per sovrapposizione(paragrafo 2.5) : si sommano le tensioni ottenute considerando la sezione in c.a. con icarichi presenti prima dellapplicazione del rinforzo e quella rinforzata con i sovraccarichisuccessivi allapplicazione delle fibre.

Utilizzando invece lapproccio agli stati limite, la presenza di una sollecitazione sullastruttura prima dellapplicazione del rinforzo viene portata in conto considerando ledeformazioni preesistenti nei materiali (paragrafo 2.6.5).

2.3Metodo alle tensioni ammissibili

Le ipotesi alla base del metodo sono :

1. comportamento elastico lineare dei materiali ;

2. conservazione delle sezioni piane ;

3. assenza di scorrimenti tra calcestruzzo e armatura metallica e tra calcestruzzo elamina ;

4. resistenza a trazione del calcestruzzo nulla.

La prima ipotesi comporta lassunzione di un modulo elastico costante per ciascunmateriale, calcestruzzo compresso, acciaio e lamina ; la seconda implica la linearitdellandamento delle deformazioni () per i tre materiali lungo la sezione rettadellelemento inflesso ; la terza insieme con la prima permette di definire un rapporto diproporzionalit tra la tensione dellacciaio e quella del calcestruzzo

s Es= = n (2.1)

c Ec

e tra quella della lamina e quella del calcestruzzo

f Ef= = nf (2.2)c Ec

Tali rapporti sono definiti coefficienti di omogeneizzazione dellacciaio e dellalamina al calcestruzzo compresso e permettono di rappresentare il diagramma delletensioni in una sezione in CA-FRP, come quello di una sezione omogenea, purch siconsideri il valore della tensione dellacciaio ridotto nvolte e quello della tensione nellalamina ridotto nf volte.

In realt per le sezioni in c.a. il coefficiente di omogeneizzazione n si pone uguale a15, valore che quasi il doppio di quelle che deriverebbe dalleffettivo rapporto dei

moduli elastici del calcestruzzo e dellacciaio. Tale assunzione deriva dalla considerazioneche nel tempo, leffetto di fenomeni di viscosit del calcestruzzo si possono portare inconto riducendo la rigidezza del calcestruzzo : ponendo n=15 si introduce un modulo

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elastico del calcestruzzo ridotto rispetto a quello effettivo. Analogamente si prevede diestendere tale procedura anche alle sezioni in c.a. esternamente rinforzate con FRP,considerando un coefficiente di omogeneizzazione nf =16 (per fibre di carbonio), anchein questo caso valore che quasi il doppio di quello effettivo derivante dal rapporti deimoduli elastici.

Ci premesso il calcolo della tensione normale in un punto della sezione soggetta al

solo momento flettente M (flessione semplice) si conduce con riferimento alleformulazioni del de Saint Venant, ed in particolare alla formula di Navier :

(2.3)

; ; ; (2.4)

con: c : tensione nella generica fibra di calcestruzzo a distanza ydallasse neutro della

sezione reagente ;

s : tensione nellarmatura metallica a distanza ys dallasse neutro della sezionereagente ;

f : tensione nella lamina a distanzayfdallasse neutro della sezione reagente ;

M : momento flettente applicato alla sezione ;

I : momento di inerzia della sezione reagente rispetto allasse neutro.

Note le tensioni nei materiali possibile verificare che tali valori ricadano nel campoelastico lineare dei legami costitutivi dei materiali con un opportuno coefficiente disicurezza.

In particolare nel metodo delle tensioni ammissibili si deve verificare che :

c c,am ; s s,am ; f f,am (2.5)

con :

i,am =k/ i ; i = c, s, f (2.6)

Il coefficiente rappresenta, per ogni materiale, il margine di sicurezza nei confrontidel valore caratteristico a rottura k, rispetto alle condizioni definite ammissibili.

La normativa italiana definisce i valori delle tensioni ammissibili per il calcestruzzo eper lacciaio come segue :

[kg/cm2] [N/mm2] (2.7)

s,am = 2600 kg/cm2(acciaio Fe B44k) s,am = 260 N/mm2 (2.8)

Per un calcestruzzo di classe Rck250 ad esempio si ha una tensione ammissibile paria 85 kg/cm2 per cui un valore di dellordine di 3, mentre per lacciaio FeB44k si assumeun coefficiente di sicurezza pari a 1.75.

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Per quanto riguarda le fibre invece, il coefficiente di sicurezza dipende, comeillustrato nel paragrafo 1.5, dal tipo di fibre utilizzato e dalle modalit di applicazione :negli esempi numerici svolti il coefficiente stato fissato pari a 2.00 in base alle indicazionidella Tabella 1.1, ipotizzando la tipologia di lamina prefab..

Con riferimento alla Figura 2.2, nel caso pi generale di sezione a doppia armatura,si riporta la formula per il calcolo della posizione dellasse neutro in flessione retta,

ricavata dalla condizione di annullamento del momento statico della sezione reagenterispetto allasse neutro.

Fig. 2.2

Equazione asse neutro :

Sn=0 (2.9)

Lasse neutro si pu facilmente ricavare dalla 2.9, nota la geometria della sezione :

(2.10)

Il momento di inerzia della sezione omogeneizzata reagente in presenza di lamina si

scrive :

(2.11)

Note le caratteristiche geometriche della sezione e calcolata la posizione dellasseneutro dalla 2.10 e il momento di inerzia dalla 2.11, possibile ricavare dalle 2.3 e 2.4 i

valori dei momenti resistenti, cio di quei valori della caratteristica flettente tali da indurre,in ogni materiale, le tensioni ammissibili : possibile pertanto valutare i momentiresistenti Mr,c, Mr,s ed Mr,f, rispettivamente del calcestruzzo, dellacciaio e del FRP.

(2.12)

12


15/90

(2.13)

(2.14)

I momenti resistenti possono essere formulati in termini indipendenti dalledimensioni della sezione rapportandoli a bd2 secondo le seguenti formule :

(2.15)

Landamento di tali momenti resistenti viene analizzato in funzione della

percentuale di armatura tesa e di lamina considerando anche leffetto dei coefficienti diomogeneizzazione, secondo la seguente simbologia :

= As1/bd : percentuale geometrica di armatura tesa ;

f =Af /bd : percentuale geometrica di lamina.

Negli abachi 2.1-2.10 si riportano alcuni grafici relativi allandamento dei momentiresistenti. Nel caso di trave non rinforzata si riporta landamento del momento resistentesia del calcestruzzo sia dellacciaio al variare del valore di n per lacciaio, per tre tipi dicalcestruzzo (classe 250, 350, 500).

Per le travi rinforzate sono diagrammati i momenti resistenti del calcestruzzo perdiverse percentuali geometriche di armatura , per diversi valori di armatura incompressione e per diversi valori di nff relativi alla lamina.

Il momento resistente della lamina non riportato in quanto di un ordine digrandezza superiore.

Il valore del copriferro stato assunto pari a 0.1d ed il coefficiente diomogeneizzazione n stato assunto pari a 15 facendo riferimento alla verifica alungo termine ; il coefficiente di sicurezza per la resistenza della lamina statoconsiderato pari a 2.

13


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2.4Metodo delle tensioni ammissibili : esempio numerico

2.4.1Sezione in c.a. a semplice armatura

Si considera una sezione rettangolare in c.a. a semplice armatura da progettare alletensioni ammissibili ; successivamente si verifica la capacit portante della stessa sezionerinforzata con fibre.

Fig. 2.3

2.4.1.a)Progetto bilanciato della sezione in c.a. : T.a.1

I dati di progetto sono :

base trave b = 30 cm ;

copriferro d1 = 4 cm ;

momento applicato M = 8000 kgm ;

calcestruzzo di classe Rck 250 ;

acciaio Feb44k.

Tensioni ammissibili (con riferimento alla normativa italiana) :

calcestruzzo : c,am = 60 + (Rck-150)/4 = 85 kg/cm2

; acciaio : s,am = 2600 kg/cm2 ;

coefficiente di omogeneizzazione : n = 15.

Essendo un problema di progetto le incognite sono laltezza utile ddella sezione,pari allaltezza totale H meno il copriferro d1, larea di armatura metallica e lasse neutroyctali da garantire il raggiungimento delle tensioni ammissibili in entrambi i materiali.

In tal caso volendo realizzare un progetto bilanciato in cui entrambi i materialisiano alle tensioni ammissibili, la posizione dellasse neutro univocamente determinata

per linearit. Le equazioni di equilibrio alla traslazione e alla rotazione della sezionepermettono di ottenere le seguenti formule di progetto alle tensioni ammissibili perlaltezza utile e larmatura in trazione.

14

d


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;

La sezione adottata ha dimensioni 30 x 50, armata con 318 (Af = 7.63 cm2

) edessendo linerzia I della sezione secondo la 2.11 pari a :

= 143684 cm4

possibile calcolare i momenti resistenti di acciaio e calcestruzzo :

= 7980 kgm

= 8113 kgm

Rispetto a tale situazione di progetto bilanciato in cui entrambi i materiali lavoranoalle tensioni ammissibili, si considerano di seguito due situazioni opposte di eccesso diarmatura e di difetto di armatura.

2.4.1.b) Verifica della sezione progettata in eccesso di armatura : T.a.2

Per la stessa sezione calcolata in precedenza, si ipotizza di disporre unarmaturainterna in trazione maggiore di quella calcolata in ipotesi di progetto bilanciato paridunque a 320 (As1 = 9.42 cm2 > 7.47 cm2).

In tal caso il problema di verifica essendo note le caratteristiche geometriche dellasezione, per cui usando le 2.9 e 2.11 in presenza di sola armatura interna in trazione :

yc = 16.63 cm

= 167876 cm4.

15

( )

( )1- s3


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Le tensioni nel calcestruzzo compresso e nellacciaio, per il momento per cui lasezione era stata progettata di 8000 kgm, sono pari a :

tensione nel calcestruzzo : 78.46 kg/cm2 < 85 kg/cm2 ;

tensione nellacciaio : = 2085.83 kg/cm2 < 2600 kg/cm2.

I valori dei momenti resistenti sono pari a :

momento resistente del calcestruzzo : = 8579 kgm ;

momento resistente dellacciaio : = 9908 kgm.

2.4.1.c) Verifica della sezione progettata in difetto di armatura : T.a.3

Per la stessa sezione calcolata in precedenza, si ipotizza di disporre unarmaturainterna in trazione minore di quella calcolata in ipotesi di progetto bilanciato paridunque 316 (As1 = 6.03 cm2 < 7.47 cm2).

In tal caso il problema di verifica essendo note le caratteristiche geometriche dellasezione, per cui usando le 2.9 e 2.11 in presenza di sola armatura interna in trazione :

yc = 13.91 cm ;

= 120057 cm4

I valori dei momenti resistenti sono pari a :

momento resistente del calcestruzzo : = 7336 kgm ;

momento resistente dellacciaio : = 6485 kgm.

16


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2.4.2Sezione in c.a. rinforzata con FRP

La sezione progettata in assenza di rinforzo nei tre casi precedenti viene verificataalle tensioni ammissibili per un assegnato valore dellarea di rinforzo esterno applicato.

Figura 2.4

Le caratteristiche della lamina in FRP considerata sono :

spessore della lamina : 0.0165 cm ;

larghezza della lamina : 30 cm ;

tensione di rottura : 30000 kg/cm2 ;

tensione ammissibile : 35000/2 = 17500 kg/cm2 ;

coefficiente di omogeneizzazione lamina-calcestruzzo : nf= 16

modulo elastico della lamina : 2300000 kg/cm2.

Si tratta di un problema di verifica del momento resistente della sezione in presenzadel rinforzo esterno nel rispetto delle tensioni ammissibili fissate per i materiali : leincognite sono pertanto la posizione dellasse neutro e il momento resistente dellasezione (Mr = min[Mr,cls, Mrs, Mr,f]).

2.4.2.a) Verifica della sezione progettata in condizioni di rottura bilanciata : T.a.1-r

Si ipotizza di applicare larea di rinforzo fibroso, pari a 0.5 cm2, allintradosso dellatrave 30x50 armata con 318 (progetto bilanciato). Essendo il problema di verifica, edessendo note le caratteristiche geometriche della sezione, usando le espressioni 2.9 e 2.11in presenza di armatura interna solo in trazione e di rinforzo esterno :

yc = 15.78 cm ;

I = 153183 cm4 ;

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20/90

Avendo fissato le tensioni ammissibili dei materiali pari a :

c,am= 85 kg/cm2 ; s,am= 2600 kg/cm2 ; f,am= 17500 kg/cm2

I momenti resistenti si calcolano :

momento resistente cls : = 8254 kgm ;

momento resistente acciaio : = 8785 kgm ;

momento resistente lamina : = 48954 kgm.

Rispetto al caso di assenza di rinforzo per la stessa sezione i momenti resistenti dicalcestruzzo e acciaio subiscono i seguenti incrementi :

Sez. in C.A. Sez. in C.A.-FRP M [%]

Mr,c [kgm] 7980 8254 3.42

Mr,s [kgm] 8113 8785 8.27

2.4.2.b) Verifica della sezione progettata in eccesso di armatura : T.a.2-r

Per la stessa sezione 30x50 rinforzata con 0.5 cm2 di lamina, ma armata con 320(Af=9.42 cm2) il procedimento lo stesso :

yc = 17.04 cm ;

I = 176674 cm4.





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21/90

Rispetto al caso di assenza di rinforzo i momenti resistenti di calcestruzzo e acciaiosubiscono i seguenti incrementi :


Mr,c [kgm] 8666 8579 1.00

Mr,s [kgm] 9972 9908 0.64

2.4.2.c) Verifica della sezione progettata in difetto di armatura : T.a.3-r

Per la stessa sezione 30x50 rinforzata con 0.5 cm2 di lamina, ma armata con 316(Af=6.03 cm2) si hanno le seguenti caratteristiche geometriche e meccaniche :

yc = 14.46 cm ;

I = 130316 cm4.





Rispetto al caso di assenza di rinforzo i momenti resistenti di calcestruzzo e acciaiosubiscono i seguenti incrementi :


Mr,cls [kgm] 7336 7660 4.42

Mr,f[kgm] 6485 7162 10.4

19


22/90

2.5 Metodo delle tensioni ammissibili :

rinforzo applicato in presenza di un carico F1

Per tenere conto della reale condizione di applicazione del rinforzo esterno ad unlivello di carico di servizio, F1, per il quale il calcestruzzo e lacciaio si trovano sollecitatidai soli carichi permanenti, si ipotizza che la lamina vada in carico per effetto dei solicarichi accidentali.

Detto M1 il valore del momento agente in sezione allatto dellapplicazione delrinforzo, corrispondente al carico F1, ed Mr il momento resistente della sezione rinforzata,possiamo scrivere per sovrapposizione degli effetti :

Mr = M1+M2

essendo M2 laliquota di momento assorbita dalla sezione in presenza di lamina, pertantole tensioni nei materiali possono scriversi :

CLS : c = c1 + c2; c1 = M1 / W1s; c2 = M2 / W2 s (2.16)

Acciaio teso : s = s1 + s2; s1 = ns M1 / W1,si

; s2 = ns M2 / W2,si

(2.17)FRP : f = f2; f2 = nfM2 / W2,fi (2.18)

Posto M1= r ed imponendo che le tensioni nei materiali siano pari a quelle ammissibilisi ottiene :

Mr,c = c,amm / ( /W1s + (1-) / W2s) (2.19)

Mr,s = s,amm / (n /W1,si + n(1-) / W2,si) (2.20)

Mr,f = f,amm / (nf (1-) / W2,fi) (2.21)

Essendo :

W1s = I1/yc1 : modulo di resistenza della sezione in c.a. relativo al calcestruzzocompresso ;

W1,si = I1/(d-yc1) : modulo di resistenza della sezione in c.a. relativo allacciaio teso ;

W2s = I2/yc2 : modulo di resistenza della sezione in c.a. r inforzata relativo alcalcestruzzo compresso ;

W2,si = I2/(d-yc2) : modulo di resistenza della sezione in c.a. rinforzata relativoallarmatura metallica tesa ;

W2,fi = I2/(H-yc2) : modulo di resistenza della sezione in c.a. rinforzata relativo al FRP.

yc1 : posizione dellasse neutro per la sezione in c.a. non rinforzata, ricavabiledallequazione di annullamento del momento statico della sezione reagenteomogeneizzata (sezione fessurata) :

Sn1=0

yc2 : posizione dellasse neutro per la sezione in c.a. rinforzata, ricavabiledallequazione di annullamento del momento statico della sezione reagenteomogeneizzata (sezione fessurata) :

Sn2=0

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23/90

I1 : momento di inerzia della sezione in c.a. reagente omogeneizzata (sezione fessurata) :

I2 : momento di inerzia della sezione in c.a.-FRP reagente omogeneizzata (sezione

fessurata) :

Con riferimento alla figura 2.2 :

As1 = armatura interna in trazione

As2= eventuale armatura interna in compressione

Per valori di pari a 0.50 e 0.75 sono riportati negli abachi 2.11-2.16 i momentiresistenti del calcestruzzo rapportato a bd2 ; non riportato il momento resistente dellalamina in quanto risulta essere sempre di un ordine di grandezza superiore.

2.5.1Esempio numerico (a = 0.50)

Data la sezione T.a.1 (progetto bilanciato) soggetta ad un momentoM1 = 4000 kgm, allatto dellapplicazione del rinforzo, con riferimento alla simbologiaintrodotta al paragrafo 2.4, si ricerca il momento resistente Mr della sezione rinforzata con

FRP (Af = 0.5 cm2). Il momento resistente della sezione rinforzata ricavato nellesempio2.4.2.a pari a 7980 kgm, da cui il coefficiente risulta 0.5.

I coefficienti di omogeneizzazione sono n=15, nf =16

1. Sezione in c.a. prima dellapplicazione del rinforzo :

momento applicato : M1 = 4000 kgm = 0.5 ;

Sn1=0 yc1 = 15.30 cm

= 143684 cm4

c1 = = 42.5 kg/cm2 ;

s1 = = 1279 kg/cm2

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24/90

2. Sezione in C.A.-FRP :

W1s = I1/yc1= 9389 cm3

W1i = I1/(d-yc1)= 4681 cm3

Sn2 = 0 yc2 = 15.78

= 153183 cm4

W2s = I2/yc2 = 9710 cm3

W2,si = I2/(d-yc2) = 5068 cm3

W2,fi = I2/(H-yc2) = 4476 cm3

Mr,c = c,amm / ( /W1s

+ (1-) / W2s

) = 8115 kgm Mr,s = s,amm / (n /W1i + ns (1-) / W2,si) = 8436 kgm

Mr,f = f,amm / (nf (1-) / W2,fi) = 97909 kgm

Sez. in C.A. Sez. in C.A.-FRP Sez. in C.A.-FRP M [%]=0 =0.5 rispetto =0

Mr,cls [kgm] 7980 8254 8115 3.4

Mr,s [kgm] 8113 8785 8436 8.28

Mr,f[kgm] 48954 97909

22


25/90

Abachi adimensionalizzati per il calcolo del momento resistente

= 0

Sezioni in C.A. non rinforzate a semplice armatura

Abaco 2.1

SEZIONI IN C.A. RINFORZATE CON FRP a semplice armatura

Sezioni in C.A.-FRP a semplice armatura ; Rck 250

Abaco 2.2

23


26/90


Abaco 2.3


Abaco 2.4

24


27/90

SEZIONI IN C.A. RINFORZATE CON FRP a doppia armatura

Sezioni in C.A.-FRP a doppia armatura As2/As1=0.5 ; Rck 250

Abaco 2.5


Abaco 2.6

25


28/90


Abaco 2.7

Sezioni in C.A.-FRP a doppia armatura As2/As1=1 ; Rck 250

Abaco 2.8

26


29/90


Abaco 2.9


Abaco 2.10

27


30/90

Abachi adimensionalizzati per il calcolo del momento resistente

= 0.5

Momento resistente della sezione in C.A.-FRP per =0.5 a semplice armatura ; Rck 250

Abaco 2.11

Momento resistente della sezione in C.A.-FRP per =0.5 ; As2/As1=0.5 ; Rck 250

Abaco 2.12

28


31/90

Momento resistente della sezione in C.A.-FRP per =0.75 a semplice armatura ; Rck 250

Abaco 2.13

=0.75

Momento resistente della sezione in C.A.-FRP per =0.5 ; As2/As1=1 ; Rck 250

Abaco 2.14

29


32/90

Momento resistente della sezione in C.A.-FRP per =0.75 ; As2/As1=0.5 ; Rck 250

Abaco 2.15

Momento resistente della sezione in C.A.-FRP per =0.75 ; As2/As1=1 ; Rck 250

Abaco 2.16

30


33/90

2.6Metodo allo stato limite ultimo

Il progetto allo stato limite ultimo richiede il calcolo del momento ultimo dellasezione e la verifica che esso sia maggiore di quello che sollecita la sezione in condizioniultime.

Si ipotizza che la rottura per flessione si raggiunga quando si verifica una delleseguenti condizioni :

eccesso di deformazione plastica nellacciaio teso ;

eccesso di deformazione nel calcestruzzo compresso ;

eccesso di deformazione nella lamina.

La prima condizione si attinge convenzionalmente quando la deformazionedellacciaio raggiunge il valore del 1% ; la seconda si attinge in corrispondenza del valoredi deformazione del calcestruzzo pari a 0.35% ; la terza condizione corrisponde alladeformazione della lamina che corrisponde al rapporto tra la tensione di rottura ed ilmodulo elastico, in quanto gli FRP hanno un comportamento elastico-lineare fino arottura.

Le ipotesi fondamentali su cui si basa il metodo allo stato limite ultimo sono leseguenti :

conservazione delle sezioni piane fino a rottura, in modo che il diagramma delledeformazioni specifiche nella sezione si conservi rettilineo ;

perfetta aderenza tra acciaio e calcestruzzo e tra lamina e calcestruzzo ;

calcestruzzo non reagente a trazione.

Il legame costitutivo del calcestruzzo si assume del tipo parabola rettangolo (Figura2.4) dove la tensione fcd rappresenta la tensione di rottura di calcolo del calcestruzzo,legata alla resistenza caratteristica a rottura Rck, attraverso la relazione :

(2.22)

in cui il coefficiente c rappresenta il coefficiente di sicurezza a rottura per il

calcestruzzo e si assume pari a 1.6.Per lacciaio si considera un legame costitutivo elastico perfettamente plastico con

una tensione di snervamento di calcolo pari a fyd=fyk/s in cui s si assume pari a 1.15 ;il tratto elastico ha pendenza pari al modulo elastico Es dellacciaio e il tratto plastico limitato al valore massimo di deformazione del 1% in trazione e dello 0.35% incompressione.

31

c


34/90

Fig. 2.4 - I legami costitutivi del calcestruzzo e dellacciaio.

Il rinforzo fibroso ha un legame costitutivo che si pu assumere perfettamente

elastico fino a rottura, con deformazioni ultime dellordine dell1.5% con resistenze arottura caratteristiche dalle 5 alle 10 volte maggiori di quelle dellacciaio in funzione deltipo di fibra impiegata. Il coefficiente di sicurezza per tali materiali funzione del tipo difibre e delle modalit di applicazione come riportato in Tabella 1.1.

2.6.1Sezione in c.a.

Fig. 2.5

Con riferimento alla sezione rettangolare a doppia armatura rinforzata in Figura 2.5si individuano tre regioni fondamentali di rottura.

Ciascuna regione (1, 2, 3) caratterizzata da un intervallo di variabilit dellaprofondit dellasse neutro a rottura (yc) :

il valore di yc = 0.0035/(0.0035+0.01) d = 0.259 d

rappresenta la profondit dellasse neutro relativo ad una rottura bilanciata ossiaper contemporanea rottura dellacciaio e del calcestruzzo (la distribuzione delledeformazioni in tale condizione rappresentata dalla retta di separazione tra la zona 1 e

32


35/90

2). Le deformazioni specifiche dei materiali si ricavano per linearit fissata la regione dirottura.

Nella zona 1 la rottura si attinge lato acciaio per superamento della deformazionelimite di trazione dellacciaio : nel diagramma delle deformazioni il punto fisso il valorelimite della deformazione dellacciaio, su, che si pone convenzionalmente pari a 1.0%.

Nella zona 2 la rottura avviene per schiacciamento del calcestruzzo con acciaio tesosnervato : in tal caso il parametro da fissare nel diagramma delle deformazioni ladeformazione massima del calcestruzzo compresso (cu=0.0035), in funzione della qualesi ricavano le deformazioni negli altri materiali.

Nella zona 3 la rottura sempre lato calcestruzzo, ma lacciaio in trazione non snervato.

Le equazioni necessarie alla risoluzione del problema (calcolo dellasse neutro arottura e momento ultimo) sono :

(2.23)

(2.24)

Tali coefficienti sono definiti come segue :

; (2.25)

I valori di e sono generalmente forniti in funzione del parametro = yc/d (asseneutro adimensionalizzato), in particolare nelle regioni 2 e 3 sono costanti e pari a0.8095 e 0.416 rispettivamente.

La ricerca del momento ultimo si persegue ipotizzando una regione di rottura :generalmente si parte assumendo che la rottura avvenga in regione 2, per cui la 2.23 sirisolve assumendo che = 0.8095, = 0.416, c = cu = 0.0035 e calcolando per linearit ledeformazioni degli altri materiali :

(2.26)

noto lasse neutro occorre verificare che = yc/d > 0.2593, ovvero che la regione di rotturasia effettivamente la 2.

Nel caso in cui la rottura avvenga in zona 1 la deformazione di riferimento quella limitedellacciaio teso. La 2.23 va risolta in maniera iterativa fissando dei valori di tentativo perlasse neutro : con il valore di tentativo si calcolano in base alle tabelle o ad espressioniesplicite e , mentre le deformazioni degli altri materiali sono ottenibili per linearit infunzione della deformazione limite dellacciaio, s1=0.01, e dellasse neutro di tentativo :

(2.27)

33


36/90

La procedura iterativa consiste nel controllare che con tale asse neutro la 2.23 siaverificata.

Avendo a disposizione le formulazioni che esprimono direttamente e in funzione di ycla procedura consiste nel sostituire e in funzione di yc nella 2.23 : si ottieneunequazione nellunica incognita yc.

2.6.2Sezione in c.a. con il metodo dello stress block

Assumendo una distribuzione rettangolare per le tensioni sul calcestruzzo(semplificazione del diagramma parabola-rettangolo delle tensioni nel calcestruzzoattraverso uno schema stress-block) ed ipotizzando entrambe le armature alle tensionidi snervamento, con riferimento alla Figura 2.6, le 2.23 e 2.24 diventano :

(2.28)

(2.29)

Con tali semplificazioni non occorre fare nessuna iterazione in quanto lasse neutroe il momento ultimo sono facilmente ricavabili dalla 2.28 e dalla 2.29, ma occorresottolineare che in tal caso non c alcuna verifica dello stato deformativo dei materiali.

Fig. 2.6

34


37/90

2.6.3Sezione in c.a. con rinforzo esterno in FRP

Anche nel caso di sezione in c.a. esternamente rinforzata con FRP possibileindividuare tre possibili regioni di rottura per flessione dal diagramma delle deformazionispecifiche nella sezione retta, come indicato in Figura 2.7.

Fig. 2.7

Ciascuna regione (1, 2, 3) caratterizzata da un intervallo di variabilit dellaprofondit dellasse neutro a rottura, yc : il valore yc,lim = 0.0035/(0.0035+fd+o)(H/d)

d= rappresenta la profondit dellasse neutro relativo ad una rottura bilanciata ossia percontemporanea rottura della lamina e del calcestruzzo (la distribuzione delledeformazioni in tale condizione rappresentata dalla retta di separazione tra la zona 1 e2). Si definisce anche in questo caso un asse neutro adimensionalizzato rispetto allaltezzautile della sezione come gi fatto nel caso di sezione in c.a. semplice :

b= yc/d b,lim= yc,lim/d

Le deformazioni specifiche dei materiali si ricavano per linearit fissata la regione dirottura.

Nella zona 1 la rottura si attinge lato lamina per superamento della deformazionelimite a trazione della lamina prima che si abbia la crisi per schiacciamento del cls : neldiagramma delle deformazioni il punto fisso il valore limite della deformazione dellalamina, fu. In tal caso, poich fu generalmente un valore compreso tra 0.01 e 0.015,

variabile a secondo del tipo di fibra e del coefficiente di sicurezza adottato, non si eseguela verifica dello stato deformativo nellacciaio teso, in quanto si presuppone che se anchela deformazione s nellacciaio teso dovesse superare il valore limite di progetto pari a0.01, lincremento sarebbe comunque modesto e compatibile sia con le caratteristiche diduttilit dellacciaio, sia con le ipotesi di perfetta aderenza.

Nella zona 2 la rottura avviene per schiacciamento del calcestruzzo con acciaio teso

snervato prima della crisi della lamina : in tal caso il parametro da fissare nel diagrammadelle deformazioni la deformazione massima del calcestruzzo compresso (c = 0.0035),in funzione della quale si ricavano le deformazioni negli altri materiali.

35


38/90

Nella zona 3 la rottura sempre lato calcestruzzo, ma lacciaio in trazione non snervato.

Per problemi di verifica e di progetto possibile ricavare il momento ultimo e la pro-fondit dellasse neutro a rottura scrivendo le equazioni di equilibrio alla rotazione, adesempio intorno allarmatura tesa, ed alla traslazione (sforzo normale N=0 in flessionesemplice), sfruttando la condizione di linearit delle a rottura e i legami costitutivi deimateriali.

In presenza del rinforzo esterno nelle equazioni di equilibrio si deve introdurre ilcontributo dellarea di lamina ; pertanto le (2.23) e (2.24) diventano, con riferimento allaFigura 2.7 :

(2.30)

(2.31)

dove nellultimo termine stato trascurato lo spessore della lamina nel valutare la distanzadallarmatura tesa.

I valori di e sono quelli gi introdotti per la sezione in c.a. esprimibili in funzione = yc/d (asse neutro adimensionalizzato) : in particolare nelle regioni 2 e 3, essendoc=0.0035, sono costanti e pari sempre a 0.8095 e 0.416 rispettivamente.

Se gli acciai sono in fase elastica nelle 2.30-2.31 le tensioni vanno calcolatemoltiplicando le deformazioni per il modulo elastico, si = si Es, altrimenti vanno riportatele tensioni di snervamento ; in zona 1 e 2 lacciaio in trazione comunque snervato.

Essendo il comportamento della lamina sempre di tipo elastico-lineare, la tensionef pu essere calcolata solo valutando la deformazione nella lamina stessa in base allalinearit delle deformazioni (conservazione delle sezioni piane) :

(2.32)

dove 0 leventuale deformazione iniziale al lembo teso inferiore della sezione almomento dellapplicazione del rinforzo (0 pu essere dovuta alla presenza di carichipermanenti sulla struttura allatto dellapplicazione del rinforzo).

La procedura per il calcolo di 0 riportata nel paragrafo 2.6.5.La ricerca del momento ultimo si persegue ipotizzando una regione di rottura :

generalmente si parte assumendo che la rottura avvenga in regione 2, per cui le 2.30 e 2.31si possono risolvere assumendo che = 0.8095, = 0.416, c = cu = 0.0035 e calcolandoper linearit le deformazioni dellacciaio compresso e della lamina.

In ipotesi che lasse neutro ricada in zona 2, (ovvero che yc


39/90

In tal caso si possono calcolare le deformazioni negli altri materiali :

acciaio teso :

acciaio compresso :

essendo stata fissata la deformazione del calcestruzzo : c= cu= 0.0035.

Qualora la rottura avvenga in zona 1 occorre invece utilizzare le 2.30 e 2.31, nellequali i valori di e sono forniti in funzione di = yc/d, la deformazione della lamina fissata pari al valore ultimo di progetto, le deformazioni negli acciai e nel calcestruzzosono calcolate per linearit rispetto alla deformazione della lamina.

Occorre quindi verificare in ipotesi di zona 1 che :

calcestruzzo al lembo compresso : < cu= 0.0035

Le deformazioni negli altri materiali da inserire nella 2.30 per il calcolo dellasseneutro sono cos calcolabili :

lamina :

acciaio in compressione :

acciaio in trazione :

In zona 1 quindi la 2.30 pu essere risolta in maniera iterativa fissando dei valori ditentativo per lasse neutro : con il valore di tentativo si calcolano e , mentre ledeformazioni degli altri materiali sono ottenibili come appena mostrato per linearit infunzione della deformazione limite della lamina e dellasse neutro di tentativo. Laprocedura iterativa consiste nel controllare che con tale asse neutro la 2.30 sia verificata.

Avendo a disposizione le formulazioni che esprimono direttamente e infunzione di yc la procedura pu essere semplice, in quanto sostituendo e in funzionedi yc nella 2.30 si ottiene subito unequazione nellunica incognita yc.

2.6.4Sezione in c.a. con FRP : semplificazione dello stress block

Per evitare i calcoli iterativi richiesti dalla trattazione esposta possibile adottareuna semplificazione della distribuzione delle tensioni per il calcestruzzo e lacciaiosecondo lo stress block (Figura 2.8).

37


40/90

Le 2.30 2.31 diventano, pertanto :

(2.33)

(2.34)

Per calcolare lasse neutro dalla 2.33 occorre comunque fissare un punto deldiagramma delle deformazioni in base al quale esprimere per linearit ed in funzionedellasse neutro incognito le deformazioni nei materiali : pertanto possibile fare2 ipotesi.

Ipotesi 1 : si fissa la deformazione della lamina pari a quella ultima di progetto :f = fu e si risolve la 2.33. Se con il valore dellasse neutro calcolato dalla 2.33 si verificache il calcestruzzo al lembo compresso ha una deformazione minore di quella limite

di progetto : < cu = 0.0035, si pu procedere al calcolo delmomento ultimo attraverso la 2.34.

Ipotesi 2 : si fissa la deformazione del calcestruzzo compresso pari a quella ultima

di progetto : c = cu= 0.0035 e si risolve la 2.33 ponendo : .

Se con il valore dellasse neutro cos calcolato risulta che la lamina ha unadeformazione minore di quella limite di progetto, f < fu,d, si procede al calcolo delmomento ultimo attraverso la 2.34.

Fig. 2.8

38


41/90

2.6.5Calcolo dello stato di sollecitazione iniziale

Nellipotesi che la lamina sia applicata in presenza di una sollecitazione preesistente,Mo, maggiore del momento di fessurazione si deve procedere alla valutazione dello statodeformativo iniziale come segue.

Il valore dellasse neutro yo si ricava dallannullamento del momento statico della

sezione reagente omogeneizzata (n=Es/Ec) si scrive :

Sn=0 (2.35)

La deformazione nel calcestruzzo al lembo compresso, co, e al lembo teso, o, sonofornite dalle seguenti espressioni :

(2.36)

essendo Ico il momento di inerzia della sezione omogeneizzata reagente in assenza di

lamina esterna in FRP :

(2.37)

La deformazione o rappresenta laliquota gi presente in corrispondenza delle fibredi calcestruzzo dove verr applicata la lamina.

Fig. 2.9 - Situazione iniziale nella sezione prima dellapplicazione della lamina

2.6.6 Abachi di progetto

Il calcolo di Mu stato risolto in termini adimensionali per sezioni rettangolari asemplice e doppia armatura considerando la trattazione completa utilizzando il legameparabola-rettangolo per il calcestruzzo ; i risultati sono quindi illustrati in termini dimomento ultimo adimensionalizzato, , e di percentuale geometrica di armatura tesa, ,essendo :

(2.38)

(2.39)

39


42/90

Negli abachi 2.17-2.26 si riportano in forma grafica gli andamenti del momentoultimo adimensionalizzato per la sezione rettangolare inflessa per diversi valori dipercentuale geometrica di armatura tesa, compressa e di lamina e per tre classi dicalcestruzzo (250, 350, 500).

2.6.7 Verifica dellancoraggio

Una problematica fondamentale che deve essere affrontata nella progettazione diinterventi di rinforzo a flessione con lamine in FRP riguarda la verifica dellancoraggio diestremit. Infatti la crisi dellelemento rinforzato si potrebbe manifestare proprio con ladelaminazione dellFRP allestremit dove inizia il trasferimento degli sforzi dalla trave inc.a. alla lamina e quindi si ha una elevata concentrazione di tensioni. Il distacco dellalamina avviene generalmente nel calcestruzzo che presenta la minore resistenza atrazione tra i diversi strati di materiale (fibre, resina, calcestruzzo).

Una valutazione affidabile della resistenza ultima dellancoraggio si pu effettuarefacendo riferimento ai principi della meccanica della frattura, mentre non risultanoaffidabili metodi di verifica puntuali della tensioni. In ogni caso il fenomeno legatoprincipalmente al legame di aderenza tra calcestruzzo e lamina ed alla resistenza atrazione del calcestruzzo.

Un volta assegnati il legame aderenza-scorrimento, -s, di cui si riporta un esempioin Figura 2.10, e la resistenza a trazione del calcestruzzo, la resistenza alla delaminazionedipende dallenergia di frattura definita come larea sottesa alla curva -s nella zona diancoraggio.

Fig.2.10 - Relazione -s bilineare

Da un punto di vista applicativo la verifica dellancoraggio si effettua valutando losforzo normale di delaminazione dellFRP, Nf,max, e la lunghezza di trasferimento dellostesso, Lt,max, e assicurandosi che nella trave di progetto tale sforzo non sia superato.

La massima forza di trazione che pu essere sostenuta dalla lamina in corrisponden-za dellancoraggio senza che si verifichino fenomeni di delaminazione pu essere calco-lata con la seguente formula :

(2.40)

40

[Mpa]max=1.8 kbfctm

slip sf (mm)


43/90

essendo :

le dimensioni espresse in mm, le tensioni e i moduli elastici in MPa

= 0.9, kc = 0.87, c1 = 0.64

fctm la resistenza a trazione media del calcestruzzo

tf lo spessore della lamina bf la larghezza della lamina

Ef il modulo elastico della lamina

(2.41)

un fattore che tiene conto delleffetto della larghezza della lamina bfrispetto a quella dellasezione b, essendo bo una larghezza di riferimento pari a 400 mm, in ogni caso il rappor-to bf/b non dovrebbe essere inferiore a 0.5.

La lunghezza di ancoraggio si ottiene invece dalla seguente espressione :

(2.42)

dove sulla base di dati sperimentali si pu assumere c2 = 2.

Considerando che la lamina viene interrotta a distanza L dallappoggio, si devevalutare il momento flettente a distanza x= L+Lt,max dallappoggio e calcolare lo sforzonormale, Nf,x, agente effettivamente nella lamina come prodotto tra larea della lamina Afe la tensione f nella stessa valutata sfruttando lipotesi di conservazione delle sezioni

piane.La verifica consiste nel confrontare Nf,x con Nf,max : se Nf,x < Nf,max, la distanza L

fissata sufficiente a garantire che non si verifichi la delaminazione in corrispondenza delcarico ultimo, altrimenti possibile ricavare il valore minimo di tale distanza tramiteluguaglianza dei due sforzi normali.

2.7Esempio numerico (metodo allo stato limite ultimo)

Con riferimento alla Figura 2.11, si considera la sezione rettangolare in C.A. asemplice armatura 30x50 progettata precedentemente alle tensioni ammissibili ;successivamente si verifica la capacit portante della stessa sezione rinforzata con fibre.

2.7.1Sezione C.A.

I dati disponibili sono : base trave 30 cm ; altezza utile 46 cm ;

copriferro 4 cm ; calcestruzzo di classe Rbk 250 ; Area di acciaio in trazione 7.63 cm2 (Feb44k).

41


44/90

Fig. 2.11

Tensioni di calcolo o di rottura (con riferimento alla normativa italiana) :

calcestruzzo : fcd=0.850.83Rck/1.6 = 110 kg/cm2 ;

acciaio : fyd=4400/1.15 = 3826 kg/cm2 ; Es=2100000 kg/cm2.

2.7.1.a) Verifica agli SLU della sezione T.a.1

Dallequazione di equilibrio alla traslazione, attraverso una procedura iterativa siricava la profondit dellasse neutro attraverso la 2.23.

Si ipotizza in un primo momento che la rottura avvenga in regione 2 per cui siassume :

= 0.8095 = 0.416 c = cu = 0.0035

Ponendo tali valori nellequazione di equilibrio alla traslazione si ottiene ununicaequazione nellincognita yc :

=0 As2=0

yc = 10.9 cm ; = 0.2376 < 0.2593

Dal valore di si vede che la regione di rottura la 1, non la 2, per cui si risolve nuo-vamente lequazione di equilibrio alla traslazione utilizzando = (yc=10.9 cm), = (yc = 10.9 cm) e s1 = 0.01. Si itera varie volte fin quando il valore dellasse neutro rica-

vato dallequazione non coincide con quello usato per ricavare i coefficienti e .

Si ottiene quindi alla fine :

yc = 11.2 cm ; = 0.243

42


45/90

Dallequazione di equilibrio alla rotazione si ricava :

= 12.09 tm.

La profondit dellasse neutro garantisce un comportamento della sezionesostanzialmente bilanciato, in quanto molto prossima alla condizione in cui entrambii materiali (acciaio in trazione e calcestruzzo compresso) sono alle deformazioni limite( = 0.243 0.2593).

Rispetto a tale situazione se ne considerano di seguito due opposte, di eccesso diarmatura e di difetto di armatura.

2.7.1.b) Verifica agli SLU della sezione T.a.2 (eccesso di armatura)

Per la stessa sezione calcolata in precedenza, ma armata con 322 (As=11.40 cm2),seguendo la stessa procedura del punto 2.7.1, ipotizzando quindi che la rottura avvengain regione 2, si hanno i seguenti valori :

La rottura avviene effettivamente in zona 2 per cui :

y, per cui corretto utilizzare

per lacciaio teso il valore della tensione di snervamento.

In tal caso la regione di rottura diventa la 2, in quanto, avendo incrementato larea diacciaio in trazione, la rottura avviene lato calcestruzzo.

2.7.1.c) Verifica agli SLU della sezione T.a.3 (difetto di armatura)

Per la stessa sezione calcolata in precedenza, ma armata con 216 (As=4.02 cm2), siipotizza la regione di rottura 1, per cui risolvendo lequazione di equilibrio alla traslazio-ne si ottiene :

(yc)30yc110 4.023826 = 0 yc = 7.25 cm = 0.158

La regione di rottura dunque la 1, per cui la deformazione dellacciaio teso quel-la ultima di progetto :

s1 = 0.01

Il momento ultimo pari :

43


46/90

In tal caso la regione di rottura la 1 : avendo ridotto larea di acciaio, la rotturaavviene lato acciaio.

2.7.1.d) Verifica della sezione T.a.1 adottando la semplificazione

dello stress block

Si considera la sezione rettangolare in C.A. a semplice armatura 30x50 verificata agliSLU al punto 2.7.1.a).

I dati disponibili sono :

base trave 30 cm ;

altezza utile 46 cm ;

copriferro 4 cm ;

calcestruzzo di classe Rbk 250 ; area di acciaio in trazione 7.63 cm2 (Feb44k).

Tensioni di calcolo o di rottura (con riferimento alla normativa italiana) :

calcestruzzo : fcd=0.850.83Rck/1.6 = 110 kg/cm2 ;

acciaio : fyd=4400/1.15 = 3826 kg/cm2 ; Es=2100000 kg/cm2.

Le equazioni di equilibrio si scrivono :

Confrontando tali valori con quelli forniti dal metodo corretto svolto al punto2.7.1.a) si vede che la differenza trascurabile.

2.7.2Sezione in c.a. rinforzata con FRP

Si considerano le stesse sezioni progettate alle tensioni ammissibili ai punti

2.4.2.a-b-c.Le caratteristiche della lamina in FRP considerata siano :

spessore della lamina : 0.0165 cm ;

larghezza della lamina : 30 cm ;

tensione caratteristica di rottura : ff,uk = 35000 kg/cm2 ;

tensione di calcolo di rottura : ff,u = ff,uk / f =35000/1.25= 28000 kg/cm2 ;

modulo elastico della lamina : Ef= 2300000 kg/cm2 ;

deformazione ultima di progetto della lamina : fd,u= ff,u / Ef = 28000/2300000=0.01217.

44


47/90

Fig. 2.12

Il valore dellasse neutro adimensionalizzato rispetto allaltezza utile d della sezione,corrispondente alla contemporanea rottura del calcestruzzo (cls=0.0035) e della lamina(fd,u) pari a :

b,lim = yc,lim / d ; b,lim=0.0035/(0.0035+fd,u+o)(H/d)

essendo yc,lim = 0.0035/(0.0035+fd,u+o)H = 0.0035/(0.0035+0.01217)50 = 11.2 cm, siottiene :

b,lim = 11.2/46 = 0.2427

in ipotesi che la lamina sia applicata fin dallinizio, per cui o=0.

Tale valore separa la zona di rottura 1 (rottura lamina) dalla 2 (rottura cls).Con riferimento alla Figura 2.12, nei paragrafi seguenti si verificano agli SLU ed in

presenza del rinforzo esterno in FRP le tre tipologie di sezione gi esaminate nei punti2.7.1.a)-d) : la quantit di rinforzo esterno che si ipotizza di applicare costante per le tresezioni e pari a 0.5 cm2 (area che corrisponde allapplicazione di uno strato di fibra dispessore 0.0165 cm lungo tutta la larghezza b=30 cm della sezione in esame). I tre casiesaminati sono quindi sempre quelli di sezione dimensionata per una rottura bilanciata,per eccesso di armatura e per difetto di armatura.

2.7.2.a) Verifica della sezione T.a.1-r (rottura bilanciata)

Larea di rinforzo fibroso, applicato allintradosso della trave 30x50 armata intrazione con 318 (=7.63 cm2 calcolata in ipotesi di progetto bilanciato), pari a0.5 cm2 : si ipotizza la regione di rottura 2, per cui si pone c = cu = 0.0035.

Lequazione di equilibrio alla traslazione

essendo :

45


48/90

si scrive :

yc = 14.55 cm

b= 0.316 > b,lim : la rottura avviene dunque effettivamente in regione 2, per cui si puricavare :

Il momento ultimo della sezione si ottiene dallequilibrio alla rotazione intornoallarmatura tesa :

Rispetto al caso di assenza di rinforzo il momento ultimo passa dal valore di 12.06 tma 15.92 tm con un incremento del 32%.

2.7.2.b) Verifica della sezione T.a.2-r (eccesso di armatura)Per la stessa sezione 30x50 rinforzata con 0.5 cm2 di lamina, ma armata con 322

(As = 11.40 cm2), si segue la stessa procedura del punto 2.7.2.a), per cui in ipotesi di zonadi rottura 2 si ottiene :

b = 0.409 > b,lim : la rottura avviene dunque effettivamente in regione 2, per cui si puricavare :


Rispetto al caso di assenza di rinforzo il momento ultimo passa dal valore di 17.11 tma quello di 19.44 tm con un incremento del 14% : lincremento chiaramente molto ridotto

46


49/90

in quanto la sezione era gi stata progettata in eccesso di armatura, per cui la rottura eradovuta al calcestruzzo anche prima di applicare la lamina.

2.7.2.c) Verifica della sezione T.a.3-r (difetto di armatura)

Per la stessa sezione 30x50 rinforzata con 0.5 cm2 di lamina, ma armata con 216(Af=4.02 cm2) si ipotizza sempre la regione di rottura 2 per cui si ottiene :

b = 0.24 b,lim : lipotesi di regione 2 verificata con sufficiente approssimazione, per cuile deformazioni dei materiali sono :

ed il momento ultimo risulta :

In tal caso la sezione attinge una rottura quasi contemporanea di calcestruzzo,lamina ed acciaio, in quanto i tre materiali si trovano tutti alle deformazioni limite diprogetto.

Rispetto al caso di assenza di rinforzo il momento ultimo passa dal valore di6.66 tm a quello di 12.75 tm con un incremento del 91%.

Lincremento del momento ultimo per effetto della presenza del rinforzo esternocresce al ridursi della percentuale di armatura interna.

2.7.2.d) Verifica della sezione T.a.1-r adottando la semplificazione

dello stress block

Si considera la sezione rettangolare in C.A. a semplice armatura 30x50 verificata agli

SLU al punto 2.7.2.a) in presenza di un rinforzo esterno.I dati sono :

base trave 30 cm ;

altezza utile 46 cm ;

copriferro 4 cm ;

calcestruzzo di classe Rck 250 fcd = 0.850.83Rck/1.6 = 110 kg/cm2 ;

area di acciaio in trazione 7.63 cm2 (Feb44k) fyd = 4400/1.15 = 3826 kg/cm2

moduli elastici : Ef = 2300000 kg/cm2 ; Es = 2100000 kg/cm2 ;

deformazione ultima di progetto della lamina : fd,u = f,ud / Ef = 28000/2300000=0.01217

area di lamina : 0.5 cm2.

47


50/90

L equazioni di equilibrio alla traslazione si scrive :

Ipotizzando che la lamina sia alla deformazione ultima f = f u=0.01217 si ottiene :

e controllando la deformazione del calcestruzzo :

si trova che occorre cambiare ipotesi e porre il calcestruzzo alla deformazione ultima diprogetto.

Pertanto, posto c = cu= 0.0035 e ricavando per linearit la deformazione nellalamina :

lequazione di equilibrio alla traslazione diventa :

essendo in tal caso verificata la deformazione nella lamina :

si pu calcolare il momento ultimo :

Confrontando tali valori con quelli forniti dal metodo corretto agli SLU svolto alpunto 2.7.2.a) si vede che la differenza trascurabile.

2.7.3Esempio relativo allapplicazione del rinforzo su una struttura gi caricata

Per la sezione progettata in ipotesi di rottura bilanciata (T.a.1-r) si considera anche ilcaso in cui la lamina venga applicata quando sulla sezione gi presente un carico diesercizio. Si fissa M0, momento flettente in sezione allatto dellapplicazione del rinforzo,pari a 0.5Mu/1.5 dove Mu il momento ultimo calcolato per la sezione non rinforzata(12.06 tm).

Per i materiali si assume :

n = 15 nf= 16

48

( )

( ) ( )

( )


51/90

Indicando con il pedice zero le grandezze riferite alla sezione in CA primadellapplicazione della lamina si ha :

Momento applicato : Mo = 0.5Mu/1.5 = 4 tm

Da cui il momento di inerzia della sezione omogeneizzata reagente in assenza dilamina esterna in FRP risulta :

Le deformazioni nel calcestruzzo al lembo compresso, co, e al lembo teso, o, sonofornite dalle seguenti espressioni :

Il valore limite dellasse neutro adimensionalizzato che separa la regione di rottura 1dalla 2, essendo presente una deformazione iniziale o al lembo teso, pari in questo casoa :

yc,lim = 0.0035/(0.0035 + fd+o)H = 0.0035 / (0.0035 + 0.01217 + 0.00032)50 = 10.9 cm

b = yc / d =10.9/46 = 0.2378

Si ipotizza la regione di rottura 2, per cui ponendo c = cd = 0.0035, si ha :

e quindi lequazione di equilibrio alla traslazione risulta :

yc = 14.46 cm = 0.314 > b : la rottura avviene dunque effettivamente in regione 2, per

cui si pu ricavare :


Con riferimento allesempio 2.7.2.a), il momento ultimo nel caso in esame subisceuna riduzione pari a circa 0,6%.

49

( )


52/90

2.7.4 Verifica dellancoraggio

Si fa riferimento alla sezione T.a.1 e si assume una luce della trave di 6 m con uncarico distribuito di 80 kN/m ed uno schema di trave semplicemente appoggiata : talecondizione di carico determina nella sezione di mezzeria un momento Mmax = 16 tmcorrispondente al momento ultimo calcolato per la sezione T.a.1.

Per il calcestruzzo di classe Rck 250, secondo le indicazioni fornite dallEC2, laresistenza a trazione risulta :

La lamina ha spessore di 0.5mm, modulo elastico 230000 MPa e si suppone applica-ta sulla superficie inferiore della sezione per una larghezza pari a 100 mm, ad una distan-za di ancoraggio Lanc= 500 mm dallappoggio.

La lunghezza di ancoraggio secondo la 2.40 pari a :

mentre il coefficiente di forma secondo la 2.41 pari a :

Il carico massimo di trazione nella lamina per cui si attinge la delaminazione risulta(2.42) :

essendo le dimensioni espresse in mm e le tensioni e i moduli elastici in MPa.

La tensione nella lamina si calcola :

545 N/mm2

Tale sforzo normale si suppone applicato nella sezione posta a distanzaxmax = L + Lt,max = 500 + 141 = 641 mm dallappoggio.

Il momento dovuto al carico q = 80kN/m nella sezione posta alla stessa distanza xmaxdallappoggio in cui si suppone applicato Nf,max, pari a :

La tensione nella lamina corrispondente a tale momento si calcola utilizzando la for-mula di Navier :

dove yc e I2 sono lasse neutro e linerzia della sezione in c.a. rinforzata fessurata gi cal-colati al paragrafo 2.4.2.autilizzando le formule 2.9-2.11 :

(2.9)

(2.11)

50


53/90

Si ha pertanto :

yc = 155 mm

I2 = 1.53109 mm4

da cui si ottiene :

da cui lo sforzo normale corrispondente si ottiene :

N = Af f = 50 491.1 = 24556 N = 24.56 kN < Nf,max = 27.3 kN

Il valore ottenuto evidenzia che per la trave in esame, disponendo la lamina ad unadistanza Lanc = 500 mm dallappoggio, in corrispondenza del carico che determina ilraggiungimento del momento ultimo nella sezione di mezzeria, lo sforzo normale nellasezione a distanza xmax = L+Lt,max dallappoggio inferiore allo sforzo massimo incorrispondenza del quale si attinge la delaminazione. In tal modo si , quindi, verificato

che per distanze di ancoraggio inferiori a 500 mm la trave in esame attinge la crisi secondole modalit di rottura proprie del calcolo a flessione, prima che si attinga la crisi perdelaminazione.

Sezioni a semplice armatura

Sezione rettangolare in C.A. a semplice armatura

Abaco 2.17

51


54/90

Sezione in C.A.-FRP a semplice armatura ; Rck 250

Abaco 2.18


Abaco 2.19

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55/90


Abaco 2.20

Sezioni a doppia armatura

Sezione in C.A.-FRP a doppia armatura ; Rck 250 ; As2/As1=0.5

Abaco 2.21

53


56/90


Abaco 2.22


Abaco 2.23

54


57/90

Sezione in C.A.-FRP a doppia armatura ; Rck 250 ; As2/As1=1

Abaco 2.24


Abaco 2.25

55


58/90


Abaco 2.26

2.8 Verifiche agli stati limite di esercizio

In corrispondenza dei livelli di carico di servizio necessario effettuare le seguentiverifiche :

tensioni nei materiali : devono essere limitate allo scopo di evitare lo snervamentodellacciaio, danni o fenomeni di creep troppo spinti nel cls e nel rinforzo esterno;

deformazioni e frecce non devono avere valori eccessivi che potrebbero inficiareil normale uso della struttura, produrre danni ad elementi non portanti, influenzarenegativamente la psicologia degli utenti ;

fenomeni fessurativi, in quanto la presenza di fessure troppo numerose o troppoaperte potrebbe ridurre notevolmente la durabilit delle strutture, la funzionalit,laspetto e potrebbe danneggiare lintegrit del legame di aderenza allinterfaccialamina-calcestruzzo.

Le verifiche in condizioni di esercizio vanno svolte mediante unanalisi elastico-lineare tenendo conto del comportamento sia della sezione integra che di quella fessurata; inoltre si deve considerare leventuale presenza di un carico al momentodellapplicazione della lamina.

Per effettuare le verifiche in condizioni di servizio necessario valutare lasse neutroed il momen

principii genarale de proiectare a consolidarilor structurale

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