APLICAȚII OFERITE DE

IMPLEMENTAREA GEOMETRIEI DESCRIPTIVE

ÎN PROIECTAREA DE ARHITECTURĂ

Conf. Dr. Ing. Berevoescu Ileana Carmen

Lector drd. Moldovanu Mihai

Universitatea Spiru Haret, Facultatea de Arhitectură

REZUMAT

Geometria descriptivă, ca disciplina teoretică, are o multitudine

de aplicatii în proiectarea de arhitectură. Din paleta largă de aplicații am

ales să prezint scara elicoidală și o structură reticulară de tipul

suprafețelor cilindrice cutate. Sunt prezentate noțiunile generale despre

scări și suprafețele elicoidale. Ca aplicație a elicoidului drept este

prezentată scara elicoidală. La începutul lucrării este prezentată o

clasificare a scărilor conform literaturii tehnice de specialitate, precum și

exigențele pe care trebuie să le respecte arhitecții în proiectarea de

arhitectură a scărilor. Deasemenea este amintită și formula pașilor sau

relația lui Rondelet. Este prezentat modul de generare al suprafetelor

elicoidale.

În figura 1 este arătat cilindrul de rotație și elicoidul drept, iar în

figura 2 este prezentat elicoidul drept sau elicea cilindrică.

Scara elicoidală este aplicație a elicoidului drept.

În figura 3 este prezentată scara elicoidală fără cilindru de

susținere sau fără sâmbure, iar figura 4 reprezintă scara elicoidală cu

cilindru de susținere interior față de scară.

Structura sau rețeaua reticulară reprezintă un ansamblu alcătuit

din puncte nodale numite noduri, legate între ele prin segmente de dreaptă

ce poartă numele de bare. Nodurile și barele formează rețele poligonale în

plan și poliedrale în spațiu.

Acoperirea planului cu poligoane regulate de același fel și de

aceeași latură se numește echipartiția planului. Aceasta poate fi regulată

sau omogenă sau echipartiție semiregulată.

Echipartiția regulată se realizează din poligoane regulate:

triunghi echilateral (notat cu cifra 3), pătrat (notat cu cifra 4) sau hexagon

regulat (notat cu cifra 6). Figura geometrică nedeformabilă este triunghiul

echilareral. De aici și rețeaua spațială triunghiulară este indeformabilă.

În fiura 5 este prezentat un cilindru cutat prin antiprisme.

În fiura 6 este arătată rețeaua cu ochiuri pătrate.

Figura 7 reprezintă o rețea triunghiulară.

CUVINTE CHEIE

Scară, rampă, treaptă, contratreaptă, podest, vang, balustradă,

suprafață elicoidală, elicoid drept, scară elicoidală, structură reticulară,

echipartiția planului, cilindru cutat prin antiprisme, rețea cu ochiuri

pătrate, rețea triunghiulară.

SCĂRI ÎN GENERAL ȘI ÎN PARTICULAR

Indiferent de tipul de circulație, principală sau secundară, scara ca

element de construcție este esențială în asigurarea circulației pe verticală

pentru orice tip de clădire. Din punct de vedere constructiv, scările sunt

alcătuite din plane de nivel sau plane orizontale numite trepte. Treptele

trebuie să fie echidistant așezate și denivelat unele față de celelalte. Planele

verticale se numesc contratrepte. O scară se dezvoltă într-un anumit spațiu

de circulație, care poartă numele de casa scării. Articulația creată de casa

scării trebuie să fie vizibilă încă de la intrarea în clădire. Pereții, planșeele și

ușile casei scării trebuie să respecte principiile siguranței structurale și să fie

executate conform normelor de proiectare antiseismică și de rezistență la

foc în vigoare.

În general, putem spune că scările se pot clasifica în funcție de [2]:

Destinația construcției

Amplasarea în interiorul sau exteriorul clădirii

Modul de comportare la foc

Înălțimea treptelor

Forma în plan a treptelor

Materialul din care este construită scara.

Forma în plan a unei scări este dictată de spațiul alocat circulației.

În timp putem spune că am asistat la o evoluție pozitivă a formei în

plan a unei scări, a materialelor utilizate la construcția acestora precum și a

tehnologiilor lor de execuție. Betonul armat și betonul de înaltă rezistență,

fac posibilă executarea de scări cu orice formă arhitecturală. Multitudinea

construcțiilor a impus o varietate de tipuri de scări cu diverse forme în plan,

diferite tipuri de structuri de rezistență și o gamă foarte largă a gradului de

finisaj.

După destinația clădirii deosebim următoarele tipuri de scări:

Scări monumentale (îndeplinesc un rol funcțional și un

rol arhitectural deosebit)

Scări principale (asigură atăt circulația uzuală cât și

evacuarea în caz de pericol)

Scări secundare

Scări de incendiu

Scări industriale

După poziția fată de clădire avem:

Scări exterioare

Scări interioare

După modul de comportare la foc scările pot fi:

Scări incombustibile (scări din beton, piatră și materiale

ceramice)

Scări greu combustibile (scări metalice)

Scări semicombustibile (scări din lemn ignifugat)

Scări combustibile (scări din lemn)

După înălțimea treptelor scările se împart în:

Scări cu trepte joase

Scări cu trepte mijlocii

Scări cu trepte înalte

Scări cu trepte abrupte

După forma în plan a treptelor avem:

Scări drepte

Scări curbe

Scări elicoidale

Scări balansate

După materialul de construcție utilizat deosebim:

Scari din lemn

Scări metalice

Scări din piatră naturală

Scări din materiale ceramice

Scări din beton armat

Scările sunt alcătuite din:

Rampe cu trepte și contratrepte

Podeste

Vanguri

Balustradă

Rampa reprezintă partea înclinată a unei scări. Lățimea rampei se

notează cu l. Ea este alcătuită din trepte și contratrepte. Lățimea rampei l

este egală cu lungimea treptelor.

Treapta este elementul orizontal al rampei. Lățimea treptei se

notează cu b, iar înălțimea cu h.

Planul vertical al treptei se numește contratreaptă.

Relația între lățimea b și înălțimea h este dată de formula pașilor

sau relația lui Rondelet [2]:

2h+b=62...64 cm

Podestele sunt plane orizontale intercalate între rampe. Ele

reprezintă locuri de odihnă, dar și posibilitatea schimbării direcției rampei.

Grinda amplasată pe linia de delimitare a rampelor de podeste, poartă

numele de grindă-podest.

Vangul este marginea liberă a unei rampe. Rampele pot avea două

vanguri sau un singur vang, atunci când rampele reazemă pe pereții casei

scării. Grinda care este așezată în lungul vangului se numește grindă-vang.

Linia pasului este considerată ca fiind proiecția pe planul orizontal

a liniei de utilizare normală a treptelor și este situată la o distanță de 50...60

cm de vang [2].

Balustrada este un element vertical, poziționat la partea liberă a

rampei sau a podestului. Ea este prevăzută la partea superioară cu un

element continuu numit mană curentă.

SUPRAFEȚE ELICOIDALE

Suprafețele elicoidale sunt suprafețe care se obțin prin rotația unei

drepte sau curbe în jurul unei axe, însoțită de translația sa pe direcția axei

simultan cu rotația. Elicoidul drept este suprafața generată prin rotația și

translația unei drepte perpendiculare pe ax.

Linia dreaptă sau curbă care se deplasează prin rotație și translație

se numește generatoare, iar dreapta sau curba pe care se sprijină poartă

numele de directoare.

Se consideră o suprafață cilindrică de rotație (figura 1).

Suprafața generată prin deplasarea unei drepte ce se sprijină pe axa

unui cilindru de rotație și pe elicea înfășurată pe suprafața sa rămânând

paralelă cu un plan perpendicular pe axă poartă numele de elicoid drept.

Elicea cilindrică este curba ce măsoară drumul cel mai scurt pe

suprafața unui cilindru între două puncte aflate pe aceeași generatoare.

Acest drum este o curbă care pe desfășurata suprafeței laterale cilindrice

trebuie să fie o linie dreaptă (figura 1).

Scara elicoidală este o aplicație a elicoidului drept.

Elicoidul drept sau elicea cilindrică poate fi definit ca fiind linia

cea mai scurtă dintre două puncte A și B ale unei generatoare a cilindrului,

parcungând suprafața laterală a cilindrului o singură dată.

Distanța dintre două puncte ale elicei situate pe aceeași generatoare

a cilindrului poartă denumirea de pasul elicei.

Elicoidul drept sau elicea cilindrică mai poate fi definit ca fiind

linia curbă de pe suprafața cilindrică care face același unghi cu toate

generatoarele lui.

În figura 2 este prezentat elicoidul drept sau elicea cilindrică. Se

consideră un cilindru circular drept, reprezentat în perspectivă paralelă, în

care OZ este axă de rotație, iar înălțimea este considerată ca fiind

generatoarea AB. Se construiește cercul inferior cu centrul în punctul O și

cercul superior cu centrul în punctul O1, apoi se împarte circumferința

cercurilor în 12 arce egale între ele. Se construiește elipsa inferioară,

respectiv superioară prin câte 12 puncte. Se împarte pasul elicei (axul

cilindrului) în 12 părți egale. Se notează punctele bazei inferioare cu

0,1,2,3,...,11,12. Pentru a determina punctele ce definesc elicea cilindrică se

duce prin fiecare punct 1,2,3,...,11,12 de pe axul cilindrului paralele la

razele bazei inferioare O-1,O-2, O-3,...,O-11,O-12 și rezultă punctele

I,II,III,...,XI,XII ale elicei cilindrice. Dreptele 1-I, 2-II,...,11-XI, 12-XII,

ce se sprijină pe axul cilindrului și sunt paralele cu razele O-1, O-2,...,O-

11,O-12, reprezintă pozițiile rotite și translatate ale razei OA, generând o

suprafață elicoidală.

Ca aplicație a elicoidului drept am ales scara elicoidală.

Elicoidul drept reprezintă suprafața geometrică a plăcilor curbe

subțiri din beton armat pe care sunt așezate treptele scărilor în spirală.

În figura 3 este prezentată scara elicoidală fără cilindru de susținere

sau fără sâmbure.

În figura 4 este prezentată scara elicoidală cu cilindru de susținere

interior față de scară.

Punctele muchiilor ieșinde, ale muchiilor intrânde, respectiv

generatoarele intradosului scării sunt situate fiecare în parte pe câte o elice

cilindrică translatată una față de cealaltă.

Atunci cănd spațiul nu ne permite să dezvoltăm în plan rampe

liniare, se recomandă a se proiecta o scară elicoidală.

o Dacă cilindrul de susținere nu este materializat spunem ca scara

elicoidală este cu rampă liberă.

o Dacă cilindrul de susținere este materializat spunem ca scara

elicoidală este cu rampă încastrată într-un cilindru central.

Alte tipuri de scări elicoidale sunt:

Scară elicoidală cu vang central și intradosul rampei cutat

după forma treptelor

Scară elicoidală cu vanguri laterale

Scară elicoidală cu cilindru sâmbure director

STRUCTURI RETICULARE CONSTRUCTIVE

Structura sau rețeaua reticulară [1,3,4] reprezintă un ansamblu

alcătuit din puncte nodale numite noduri, legate între ele prin segmente de

dreaptă ce poartă numele de bare. Nodurile și barele formează rețele

poligonale în plan și poliedrale în spațiu.

Structurile reticulare se pot clasifica în:

Rețele plane

Rețele bidimensionale în spațiu

Rețele spațiale

Structurile reticulare constructive sunt delimitate prin contururi

poligonale pentru cele plane, repectiv poliedrale pentru cele spațiale.

Nodurile și barele structurilor reticulare sunt dispuse după aceste contururi.

Structurile reticulare constructive pot fi:

Liniare, dacă sunt dezvoltate pe o singură direcție

Planare, dacă sunt dezvoltate pe două direcții

De boltire, dacă sunt dezvoltate după diverse suprafețe

Spațiale, dacă sunt dezvoltate după diverse volume

Structurile liniare din plan sunt limitate de: două drepte paralele,

sau benzi ornamentale, sau grinzi cu zăbrele plane.

Structurile planare sunt limitate în plan de o linie poligonală, așa

zisele rețele plane, iar în spațiu de două plane paralele, numite structuri

reticulare planare.

Structurile de boltire se pot dezvolta după suprafețe cilindrice,

sferice, elipsoidale, ș.a. Acestea sunt dezvoltate într-un strat (rețele

bidimensionale) sau în dublu sau triplu strat.

Dacă notăm cu b numărul barelor și cu n numărul nodurilor,

condiția fundamentală în alcătuirea structurilor reticulare este ca barele de

legătură dintre cele două rețele plane să fie luate astfel încât să rezulte un

număr minim de tipuri de bare și noduri, asigurându-se în același timp

indeformabilitatea geometrică proprie a structurilor spațiale, respectând

relația [1,3,4] :

b = 3 * n – 6

Rețelele plane ale structurilor reticulare trebuie să fie alcătuite din

poligoane regulate de același fel sau din poligoane regulate de feluri

diferite, dar cu laturile egale, ceea ce conduce la o echipartiție regulată și

semiregulată a spațiului.

REȚELE PLANE. ECHIPARTIȚIA PLANULUI

Acoperirea planului cu poligoane regulate de același fel și de

aceeași latură se numește echipartiția planului [1,3,4]. Aceasta poate fi

regulată adică omogenă sau o echipartiție semiregulată.

Echipartiția regulată se realizează din poligoane regulate: triunghi

echilateral (notat cu cifra 3), pătrat (notat cu cifra 4) sau hexagon regulat

(notat cu cifra 6). Figura geometrică nedeformabilă este triunghiul

echilareral. De aici și rețeaua spațială triunghiulară este indeformabilă.

Echipartițiile semiregulate sunt alcătuite din combinarea a cinci

poligoane regulate diferite (triunghi echilateral, pătrat, hexagon, octogon și

dodecagon), cu o infinitate de variante.

Dacă se consideră rețeaua ca fiind un ansamblu de noduri,

regiunile grupate în jurul unui nod formează un subansamblu. Dacă în

fiecare ochi sau regiune a unui subansamblu se trece cifra ce exprimă

numărul de laturi sau vârfuri ale poligonului ce determină ochiul respectiv,

ansamblul se poate nota prin codul la nod. Acest cod poartă denumirea de

„codul Schläfli" [1,3,4] și constă în enumerarea în sensul acelor de

ceasornic (sens antitrigonometric) a cifrelor regiunilor ansamblului pornind

de la cifra cea mai mică.

REȚELE BIDIMENSIONALE CILINDRICE

Prin modelarea unei rețele plane astfel încât nodurile acesteia să se

găsească pe o suprafață curbă se ajunge la o rețea sau structură

bidimensională spațială ce poartă denumirea suprafeței respective. Putem

spune că avem de aproximat o suprafață curbă cu o suprafață poliedrală. În

continuare sunt prezentate trei rețele bidimensionale cilindrice [1,3,4].

În figura 5 este arătată aproximarea suprafeței cilindrice cu

antiprisme. Se așează o rețea triunghiulară (333333) pe suprafața laterală a

unui cilindru de rotație circular drept. Anumite segmente apar de-a lungul

secțiunilor circulare. Distanța dintre secțiunile circulare se obține din

triunghiul GG1G2, în care ipotenuza GG2 trebuie să fie egală cu înălțimea

triunghiului echilateral de latură AB. Astfel, se formează antiprisme

cuprinse între două secțiuni drepte ale cilindrului.

Aproximarea suprafeței cilindrice cu prisme se poate realiza pe

orice cilindru, prin așternerea pe suprafața laterală a acestuia a unei cu

ochiuri pătrate (figura 6) sau a unei rețele triunghiulare cu ochiuri

triunghiuri echilaterale sau isoscele (figura 7) .

Indiferent de tipul rețelei utilizate, unele dintre segmentele rețelei

sunt așezate sau suprapuse peste generatoarele cilindrului.

În figura 6 este prezentată rețeaua cu ochiuri pătrate. Se împarte

semicercul, ce reprezintă baza dreaptă a cilindrului, într-un număr de părți

egale corespunzătoare fețelor prismei prin care se aproximează suprafața

semicilindrică. Se consideră segmentele rețelei de pe generatoarele

cilindrului ca fiind egale cu coarda B0C0 corespunzătoare unei diviziuni a

semicercului. Se respectă egalitatea:

B0 C0 = A A1 = A1 A2 = A2 A3 = B B1 = B1 B2 =.............

În figura 7 este prezentată rețeaua cu ochiuri triunghiulare. Pentru

ca triunghiurile să fie echilaterale, segmentele de pe generatoarele

cilindrului ce corespund laturilor triunghiurilor echilaterale trbuie să fie

egale cu latura D01D0

2 a triunghiului echilateral de înălțime E0D0, astfel:

D01D0

2 = A A1 = A1 A2 = 2 B B1 = B1 B2 = B2 B3 = C C1 = C1 C2 =........

Codul rețelei este (333333). Segmentele înclinate față de generatoarele

cilindrului sunt coarde egale ale unor elipse simetrice față de secțiunea

dreaptă în cilindru, ce taie generatoarele cilindrului sub un unghi de 600.

Referințe bibliografice

1. M. Enache, I. Ionescu, Geometrie Descriptivă și Perspectivă, Editura

Didactică, București,1983

2. D. Ghiocel și colectiv, Construcții Civile, Editura Didactică și Pedagogică,

București,1985

3. S. Teodorescu, Geometrie Descriptivă, UTCB, 1996

4. Ghe. G. Marinescu, Geometrie Descriptivă, Editura Didactică și

Pedagogică, R.A., București,1997

Figura 1. CILINDRUL DE ROTAȚIE ȘI ELICOIDUL DREPT [1,3,4]

Figura 2. ELICOIDUL DREPT [1,3,4]

Figura 3. SCARĂ ELICOIDALĂ [1,3,4]

Figura 4. SCARĂ ELICOIDALĂ CU CILINDRU SÂMBURE [1,3,4]

Figura 5. CILINDRU CUTAT PRIN ANTIPRISME [1,3,4]

Figura 6. REȚEA CU OCHIURI PĂTRATE [1,3,4]

Figura 7. REȚEA TRIUNGHIULARĂ [1,3,4]