RapoarteRapoarte, propor, proporŃii, Ńii, procenteprocenteprocenteprocente

Prezentarea noPrezentarea noŃiunilor teoreticeŃiunilor teoretice

Profesor Cristian IOVCIUProfesor Cristian IOVCIU

RapoarteRapoarte

�� RaportulRaportul a două numere a şi b cu b a două numere a şi b cu b 0 este 0 este

câtul câtul neefectuat dintre neefectuat dintre a:ba:b ; notatie; notatieb

a

≠

�� Numerele a şi b se numesc Numerele a şi b se numesc termenii raportuluitermenii raportului..

�� Rezultatul impartirii (Rezultatul impartirii (eventual fractie zecimalaeventual fractie zecimala) lui a la b ) lui a la b se numeste valoarea raportului.se numeste valoarea raportului.

Exemple de rapoarteExemple de rapoarte

�� Probabilitatea realizării unui evenimentProbabilitatea realizării unui eveniment

p(A)=p(A)=

�� Titlul unui aliajTitlul unui aliaj

T=T=masa metalului preŃios

masa aliajului

ileregalposibnrcazurilo

erfavorabilnrcazurilo

T=T=

�� ConcentraŃia unei substanŃeConcentraŃia unei substanŃe

C=C=

�� Scara unui planScara unui plan

S=S=

masa aliajului

masa substanŃei masa soluŃiei

distanŃa din teren

distanŃa din desen

ProporŃiiProporŃii

�� Egalitatea a două rapoarte se numeşte Egalitatea a două rapoarte se numeşte proporŃieproporŃie..

�� In proporŃia In proporŃia numerelenumerele a, b, c, d a, b, c, d suntsuntd

c

b

a=

termenii proporŃieitermenii proporŃiei, iar b , iar b 0 0 şi şi d 0.d 0.

�� a şi da şi d se numescse numesc extremiextremi , , iar b şi c iar b şi c meziimeziiproporŃiei.proporŃiei.

≠ ≠

db

Proprietatea fundamentală a Proprietatea fundamentală a proporŃieiproporŃiei

�� In In orice orice proporŃie proporŃie �� In In orice orice proporŃie proporŃie

produsul extremilor produsul extremilor = = produsul mezilorprodusul mezilor..

d

c

b

a= cbda ×=×

Aflarea unui termen necunoscut al Aflarea unui termen necunoscut al unei proporŃiiunei proporŃii

�� un extrem=un extrem=produsul mezilor

celălalt extrem

�� un mez=un mez=produsul extremilor

celălalt mez

ProporŃii derivate cu aceiaşi termeniProporŃii derivate cu aceiaşi termeni

�� ProporŃiile derivate cu aceiaşi termeni se ProporŃiile derivate cu aceiaşi termeni se obŃin din proporŃia dată prin:obŃin din proporŃia dată prin:

-- schimbarea schimbarea mezilor între eimezilor între ei-- schimbarea schimbarea mezilor între eimezilor între ei

-- schimbareaschimbarea extremilor între eiextremilor între ei

-- inversarea inversarea rapoartelor rapoartelor

ProporProporŃŃiiii derivate cu alŃi termeniderivate cu alŃi termeni�� Moduri de a obŃine proporŃii derivate cu alŃi termeni:Moduri de a obŃine proporŃii derivate cu alŃi termeni:

d

c

b

a=

d

c

kb

ka=

⋅

⋅

d

kc

b

ka ⋅=

⋅

kd

c

kb

a

⋅

=

⋅

d

dc

b

ba +=

+

dcba −−

dc

c

ba

a

+=

+

unde a, b, c, d, k sunt numere raŃionale şi avem condiŃiile ca unde a, b, c, d, k sunt numere raŃionale şi avem condiŃiile ca numitorii fiecărui raport să fie diferiŃi de zero.numitorii fiecărui raport să fie diferiŃi de zero.

dbd

dc

b

ba −=

−

cb

ca

b

a

−

−=

db

ca

b

a

+

+=

cd

c

ab

a

−=

−

Şir de rapoarte egaleŞir de rapoarte egale

�� Prin Prin şir de rapoarte egaleşir de rapoarte egale se înŃelege se înŃelege un număr un număr finit de rapoarte, astfel încât oricare două rapoarte finit de rapoarte, astfel încât oricare două rapoarte din şir să formeze o proporŃiedin şir să formeze o proporŃie..

�� Proprietate:Proprietate:

Dacă astfel încâtDacă astfel încât

atunci atunci

si in plus , si in plus , fiecare raport este egal cu raportul fiecare raport este egal cu raportul

Qbbbaaa nn ∈...,,..., 2121

0...,0,...,0,0 2121 ≠+++≠≠≠ nn bbbbbb

,...2

2

1

1 kb

a

b

a

b

a

n

n====

n

n

bbb

aaa

+++

+++

...

...

21

21

ProcenteProcente�� Se numeşte Se numeşte raport procentualraport procentual un raport de un raport de

formaforma unde p este număr raŃionalunde p este număr raŃionalpozitivpozitiv..

�� Aflarea Aflarea a a p% dintrp% dintr--un numărun număr cunoscutcunoscut ap

×

100

%100

pp

=

�� Aflarea unui număr când cunoaştem p% din elAflarea unui număr când cunoaştem p% din el::

Dacă p% dintrDacă p% dintr--un număr necun număr necuunoscutnoscut xx este este bb,, atunciatunci

�� Calculul raportului procentualCalculul raportului procentual %100

pp

b

a==

p

bx

×=100