Lucrarea 2 - Predicţia liniară

2.1 Predicţia liniară antegradă. Filtrul de eroare a predicţiei antegrade

Fie )(nx un proces aleator staţionar. Se doreţte estimarea valorii procesului la

momentul n pe baza unui număr finit de M observaţii(eşantioane) consecutive anterioare. În cayul general valoarea estimată se notează

)()(ˆ

pnU xM

nx− (2.1)

unde 1)};(),...,1({)( ≥−+−−=− ppnxMpnxpnU xM (2.2)

Se spune astfel că s-a realizat predicţia antegradă cu p paşi de ordinul M, a eşantionului x(n). Prezintă o importanţă deosebită predicţia liniară antegradă cu un pas, De ordinul M, motiv pentru care numai acest caz particular va fi tratat în continuare.Pentru comoditatea exprimării, atunci când nu usnt posiible confuzii, se va folosi pe scurt numele de predicţie, celălalte caracteristici urmând a fi subînţelese. Astfel, estimatul eşantioanului

)(nx este o combinaţie liniară a m eşantioane consecutive omediat anterioare

)1()()())(()(ˆ)(ˆ1

*,)(

−=−=∗== ∑=

−ninxwnhxnxnx fH

M

M

i

fiM

fMpnU xM

XW ,(2.3)

unde TfMM

fM

fHM ww ]...[ ,1,=W (2.4)

se numeşte vectorul coeficienţilor de predicţie

TMnxnxnxn )]1()1()([)1( +−−=− KX (2.5)

iar ∑=

−=M

i

fiM

fM inwh

1, )(δ (2.6)

este funcţia pondere a filtrului de predicţie antegradă. Operatorul H)(K este echivalent cu compunerea operaţiilor de conjgare şi transpunere

)(∀ matricea A ** ))(())(()( TTH AAA == (2.7)

Pentru a evalua preciyia estimării se construieşte o funcţie de cost. Ca şi în cayul filtrării optimale ea poate fi de tipe medie pătratică (MS). Pentru aceasta definim întâi eroarea de predicţie

∑=

−=−−=−=

M

i

HM

fiMM n

nxinxwnxnxnxnf

1

*, )1(

)()()()()(ˆ)()(

Xa (2.8)

unde

−== f

M

TMMMMM W

aaa1

][ ,1,0, Ka (2.9)

în care 10, =Ma (2.10)

şi fiMM wa ,0, −= pentru Mi ≤≤1 (2.11)

Cu ajutorul ei se formează funcţia de cost { }2)(nfEJ fM = . (2.12)

Sistemul care are ca intrare sistemul )(nx şi ca ieşire )(nf se numeţte filtrul de eroare a predicţiei şi poate avea strructura din figura de mai jos:

Fig 2.1 Legătura îintre predictorul antegrad şi filtrul de eroare a predicţiei

În cele mai multe aplicaţii utilizatorul este interesat direct de eroarea de predicţie, fără a avea nevoie să cunoscă explicit estimatul )(ˆ nx . Din acest motiv, în continuare accentul va fi

pus pe studiul erorii, ca mărime de ieţire a ansamblului de predicţie

∑=

−=M

iiMM inxanf

1

*, )()( (2.13)

Î n acest context Ma poartă numele de vectorul coeficienţilor filtrului de eroare a

predicţiei antegrade.

Predicţia este optimă în sens MS dacă funcţia de cost, calculată conform relaţiei (2.12) este minimă. Determinarea vectorului optim al coeficienţilor de predicţie se poate reduce la o problema de filtrare FIR optimală, dacă se fac echivalările date mai jos în tabel.

Semnificaţie Filtrul Wiener Predictor liniar antegrad cu un pas de ordin M

Semnalul de intrare )(nX )1( −nX

Semnalul de referinţă )(nd )(nx

Coeficienţii filtrului W fMW

Matricea de autocorelaţie a semnalului de intrare

R MR

Matricea de intercorelaţie între semnalul de intrare şi semnalul

de referinţă

P fMr

Eroarea de estimare )(ne )(nfM

Funcţia de cost J FMJ

Eroarea minimă in sens MS minJ MP

Tabelul 2.1 Corespondeţe Filtru Wiener – Predictor liniar antegrad cu un pas de ordin M

În tabelul de mai sus, în condiţii de staţionaritate,

{ } { } RXXXXR =−−=−−= )1(1()1(1( n)nEn)nE HHM (2.14)

Reprezintă în continuare matricea de autocorelaţie a semnalului de intrare, de data aceasta însă, specificându+se explicit prin M, dimensiunea ei

Iar { } TfM Mrrn)xnE )]()1([)1(1( * −−=−−= KXr (2.15)

reprezintă matricea de intercorelaţie între semnalele de la intrarea predictorului ţi filtrului de eroare a predicţiei.

În aceste condiţii soluţia optimă corespunyătoare minimului funcţiei de cos trebuie să satisfacă ecuaţia matricială Wiener-Hopf:

fM

foMM rWR = (2.16)

în care TfoMM

foM

foM ww ]...[ ,1,=W (2.17)

este vectorul coeficienţilor optimi de predicţie antegradă.

Valoarea minimă a funcţiei de cost, numită şi putere de eroare a predicţiei devine

foM

fHM

fMM

fHMxM

fM rPJ WrrRr −=−== − )0(12

min σ (2.18)

Aceste două relaţii reunite sub o formă matriceală compactă, poartă numele de sistem extins Wiener-Hopf pentru predicţia antegradă

=

−

0

1)0( MfoMM

fM

fHM Pr

WRrr

(2.19)

Folosind proprietăţile de partiţionare a matricii de autocorelaţie relaţia de mai sus devine

=+ 0

01

MMM

PaR (2.20)

2.2 Desfăşurarea lucrării

1. Folosind funcţia ”wavread”, vizualizaţi semnalul ”vocale.wav”. Luaţi în considerare fonemul ”a” şi selectaţi un cadru de analiză de lungime N = 220 eşantioane, care să se termine la eşantionul m. Vizualizaţi cadrul de semnal.

2. Folosind funcţia ”acor1.m”, calculaţi funcţia de autocorelaţie , pentru domeniul . Afişaţi funcţia de autocorelaţie astfel obţinută.

3. Cu ajutorul funcţiei de autocorelaţie „acor1.m”, determinaţi coeficienţii pondere pentru filtrul de eroare a predicţiei antegrade a rezolvând direct sistemul de ecuaţii Wiener-Hopf. Consideraţi M=8.

4. Folosind functia zplane(), afisati structura poli/zerouri a functiei de transfer a filtrului de eroare a predictiei antegrade. Comentati

5. Implementaţi filtrul de eroare a predicţiei antegrade, pentru M=8. Obţineţi semnalul , considerând stare iniţială nulă pentru filtrul de eroare a predicţiei antegrade. Indicaţie utilizaţi filter.

6. Reprezentaţi grafic în aceeaţi fereastra, dar pe grafice diferite, cadrul de semnal analizat şi eroare de predicţie , determinată la punctul anterior. Comentaţi. (Atenţie! Folosiţi aceeaşi scală şi acelaşi domeniu de reprezentare.) Indicaţie: folosiţi subplot, axis şi title.

7. Calculaţi funcţia de autocorelaţie pentru semnalul de eroare luând utilizând funcţia acor1.m. Afişaţi pe acelaşi grafic autocorelaţia obţinută pentru cadrul de semnal luând şi autocorelaţia pentru semnalul de eroare. Comentaţi. (Atenţie! Folosiţi aceeaşi scală şi acelaşi domeniu de reprezentare.) Indicaţie: folosiţi subplot, axis şi title.

8. Implementaţi sistemul de sinteza (reconstrucţia semnalului folosind eroarea de predicţie şi coeficienţii a. Consideraţi stare iniţială nulă. Comparaţi semnalul original cu semnalul sintetizat .

9. Calculaţi şi reprezentaţi grafic în aceeaşi fereastră, folosind aceeaşi scală şi acelaşi domeniu de reprezentare . Pentru ordonată se va folosi scară logaritmică (vezi funcţia ”semilogy”). Comentaţi. Consideraţi diverse valori ale ordinului M. Comentaţi.

10. Calculati puterea semnalului de eroare a predictiei. Comparaţi cu puterea cadrului de semnal analizat. Comentaţi.