curs 12 matematica algebra liniara serii de functii

Capitolul 12

Serii de functii

12.1 Serii de puteri

Definitia 12.1 Se numeste serie de puteri centrata n z0 o serie de forma

a0 + a1(z z0) + ...+ an(z z0)n + ... =Xn=0

an(z z0)n, an R, n = 0, n, z, z0 R.(12.1)

Numerele an poarta denumirea de coeficientii seriei. Daca facem schimbarea de vari-abila x = z z0, seria (12.1) se poate scrie de forma

a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anxn + ... =Xn=0

anxn, an R, n = 0, n, x R.(12.2)

Vom studia seriile de forma (12.2). Daca n seria de puteri (12.2) se da o valoare par-ticulara lui x, se va obtine o serie numerica si deci trebuie rezolvata problema convergenteiacestei serii. Este evident ca pentru anumite valori pentru x seria (12.2) poate fi conver-genta sau nu. Problema fundamentala n teoria seriilor de puteri este aceea de a determinamultimea punctelor din R n care seria este convergenta (sau divergenta). In orice cazpentru x = 0 se obtine ntotdeauna a0 si deci multimea punctelor de convergenta a seriei(12.2) nu este vida.

Teorema 12.1 FieR = 0 daca sirul

np|an|

nNnu este marginit;

R =1

lim np|an| daca lim np|an| > 0;

R = daca lim np|an| = 0,

atunci seria de puteri (12.2) este absolut convergenta pentru orice x R care verificainegalitatea |x| < R si este divergenta pentru orice x R care verifica inegalitatea |x| > R.

141

142 CAPITOLUL 12. SERII DE FUNCTII

Demonstratie. Fie x 6= 0 fixat. Atunci np|anxn| = |x| np|an|. Daca sirul np|an|nN

nu este marginit, va rezulta ca lim |x| np|an| = > 1 si seria va fi divergenta.Deoarece lim |x| np|an| = |x| lim np|an|, atunci pentru |x| lim np|an| < 1, adica pentru

|x| < R = 1lim np|an| seria de puteri (12.2) va fi absolut convergenta, conform criteriului

radacinii, iar pentru |x| > R seria (12.2) va fi divergenta conform aceluiasi criteriu. Dacalim np|an| = 0, avem |x| lim np|an| = 0 < 1 pentru orice x R, adica seria de puteri este

absolut convergenta n R.Numarul R =

1

lim np|an| se numeste raza de convergenta a seriei (12.2). Remarcam

ca nu se specifica nimic n legatura cu punctele pentru care |x| = R. In aceste puncte se stu-diaza seria numerica corespunzatoare si se stabileste convergenta. Multimea de convergentapoate fi un interval de forma (R,R) sau (R,R] sau [R,R) sau [R,R] .

Exemplul 12.1 Sa studiem seriaXn=0

2nx2n.

Avem an =

2n pentru n = 2k0 pentru n = 2k + 1 .

Pentru a determina raza de convergenta calculam

limn

np|an| = ( limn n

p|2n| pentru n = 2klimn

0 pentru n = 2k + 1=

2 pentru n = 2k0 pentru n = 2k + 1 .

Rezulta ca L

np|an| = {0, 2} R = 1

lim np|an| = 12 , deci seria este convergenta

(absolut) pe

12,1

2

.

In x =1

2, limn

an =1 pentru n = 2k0 pentru n = 2k + 1 , deci seria este divergenta.

Pentru x = 12se aplica acelasi rationament. Deci seria este convergenta pentru x

12,1

2

si divergenta pentru x

,1

2

1

2,.

Teorema 12.2 Daca n seria (12.2) avem an 6= 0, n N si daca exista limn

anan+1

atunci

R = limn

anan+1

. (12.3)

Demonstratie. Aplicand criteriul raportului seriei (12.2) deducem ca

limn

an+1xn+1

anxn

< 1 |x| lim

n

an+1an

< 1 |x| < lim

n

anan+1

= R.

12.1. SERII DE PUTERI 143

Exemplul 12.2 SeriaXn=0

1

n!(x 2)n are R = lim

n

(n+ 1)!n!

= , deci seria este conver-

genta pe R.


nn(x 3)n are R = limn

1nnn

= 0. Multimea de convergenta

contine numai punctul x = 3.

Observatia 12.1 Studiul unei serii de puteri implica n primul rand determinarea razeide convergenta, apoi studiul naturii seriei n capetele intervalului de convergenta (evidentdaca r 6= 0,+).


1

n2xn are R = lim

n

(n+ 1)2

n2= 1. Multimea de convergenta

este [1, 1] deoarece seriile numericeXn=1

1

n2si

Xn=1

(1)nn2

obtinute pentru x = 1 suntconvergente.

Exemplul 12.5 Fie seriaXn=1

1 +

1

n

n2+nxn. Sa se determine multimea de convergenta.

Calculam limn

np|an| = lim

n

1 +

1

n

n+1= e, deci R =

1

e. Seria este convergenta pe

1e,1

e

si divergenta pe

,1

e

1

e,. Studiem natura n capetele intervalului

de convergenta.

Pentru x =1

eobtinem sria

Xn=0

1 +

1

n

n2+nen

. scriem termenul general al seriei numerice

obtinute sub forma

1 +

1

n

n+1e

n

. Deoarece sirul

1 +

1

n

n+1!nN

este monoton

descrescator si convergent la e avem1 +

1

n

n+1> e pentru orice n N. Rezulta ca

termenul general nu converge la zero si deci seria este divergenta n x =1

e. Din acelasi

motiv seria diverge si n x = 1e(n modul termenii generali sunt aceiasi) asa ncat seria

data converge pe

1e,1

e

si diverge pe

,1

e

1

e,.


12.1.1 Operatii cu serii de puteri

Fie doua serii de puteriXn=0

anxn siXn=0

bnxn, x R, cu coeficienti reali. Atunci seria suma

este tot o serie de puteri definita astfel:Xn=0

anxn +Xn=0

bnxn =Xn=0

(an + bn)xn,

iar nmultirea cu scalari conduce tot la o serie de putri definita astfel:

Xn=0

anxn =Xn=0

(an)xn, R.

Putem spune ca n raport cu aceste operatii multimea seriilor de puteri formeaza unspatiu liniar. Prima problema care se pune este a determina raza de convergenta a seriilorde puteri ce se obtin n urma acestor operatii si n ce masura este influentatade razele deconvergenta ale seriilor de puteri cu care se opereaza.

Teorema 12.3 a) Daca doua serii de puteri au razele de convergenta R1 si R2, atuncipentru raza de convergenta R a seriei suma avem R min {R1, R2} .b) Daca o serie de puteri se amplifica cu 6= 0, atunci seria obtinuta are aceeasi raza

de convergenta.

12.1.2 Proprietati ale seriilor de puteri n intervalul de convergenta

Teorema 12.4 (Continuitatea unei serii de puteri) Fie seria de puteriXn=0

anxn cu

R > 0. Atunci f(x) =Xn=0

anxn este definita si continua pe (R,R) .

Teorema 12.5 (Derivabilitatea unei serii de puteri) Fie seria de puteriXn=0

anxn

cu R > 0. Atunci f(x) =Xn=0

anxn este derivabila si seria derivata are aceeasi raza de

convergenta (orice serie de puteri poate fi derivata termen cu termen).

Teorema 12.6 (Integrarea unei serii de puteri) Fie seria de puteriXn=0

anxn cu R > 0.

Daca f(x) =Xn=0

anxn atunci seria de puteri poate fi integrata termen cu termen pe orice in-

terval nchis marginit [a, b] (R,R) sibZa

f(x)dx =

bZa

Xn=0

anxn!dx =

Xn=0

an

bZa

xndx.

12.1. SERII DE PUTERI 145

12.1.3 Serii de puteri remarcabile

Se stie ca

1

1 x = 1 + x+ x2 + ...+ xn + ..., x (1, 1) . (12.4)

Din teorema 12.6 rezulta ca pentru orice x (1, 1) avem, tinnd seama caxZ0

1

1 xdx = ln (1 x) ,

ln (1 x) = x+ x2

2+ ...+

xn

n+ ...

sau ln (1 x) = x+

x2

2+ ...+

xn

n+ ...

, x (1, 1) .

Dar seria din partea dreapta este convergenta si n x = 1. Trecem la limita1 + 1

2+ ...+

(1)n

n+ ...

= lim

x&1ln (1 x) = ln 2,

deci ln 2 = 1 12+1

3 14+ ...+

(1)n

n+ ... si gasim suma seriei armonice alternante.

Fie

ln (1 x) = x+

x2

2+ ...+

xn

n+ ...

, x (1, 1) .

Trecem pe x x si obtinemln (1 + x) = x x

2

2+ ...+

(1)n1xnn

+ ..., x (1, 1) .Proprietatile logaritmilor si scaderea seriilor ne conduc la

ln1 + x1 x = 2x

1 +

x2

3+

x4

5+ ...+

x2n

2n+ 1+ ...

.

In seria (12.4) trecem pe x x2 si obtinem1

1 + x2= 1 x2 + x4 x6 + ...+ (1)nx2n + ..., x (1, 1) .

Aplicand proprietatea de integrare termen cu termen obtinemxZ0

1

1 + x2dx =

x1 x

3

3+

x5

5 x

7

7+ ...+ (1)n x

2n+1

2n+ 1+ ..., x (1, 1) .

sau

arctg x =x1 x

3

3+

x5

5 x

7

7+ ...+ (1)n x

2n+1

2n+ 1+ ..., x (1, 1) . (12.5)

Seria din partea dreapta este convergenta sa n capetele1 ale intervalului de convergenta.Cum functia arctg x este continua, rezulta ca (12.5) are loc pentru orice x [1, 1] . Pentrudiferite valori particulare ale lui x [1, 1] obtinem sumele unor serii numerice. Astfel,pentru x = 1, gasim

4= 1 1

3+1

5 17+ ...+

(1)n2n+ 1

+ ...


iar pentru x =13obtinem:

6=

13

1 1

3 3 +1

5 32 1

7 33 + ...+(1)n

(2n+ 1) 3n+ ...

care se poate folosi pentru aproximare numarului .

12.1.4 Seria binomiala

Fie R si consideram seria de puteri1 +

1!x+

( 1)2!

x2 + ...+( 1)...( n+ 1)

n!xn + ...

Se verifica ca pentru 6= 0, 1, 2, ...(pentru = 0, 1, 2, ... se obtine un polinom de grad) raza de convergenta este R = 1. Fie s(x) suma seriei de puteri pentru x (1, 1) .Aplicand teorema de derivare a seriilor de puteri, obtinem

s0(x) =1!+

( 1)1!

x+( 1)( 2)

2!x2 + ....+

( 1)...( n+ 1)(n 1)! x

n1 + ...(12.6)

Amplificand ambii membri prin x, rezulta

xs0(x) =1!x+

( 1)1!

x2 +( 1)( 3)

2!x3 + ....+

( 1)...( n+ 1)(n 1)! x

n + ...(12.7)

Adunand seriile (12.6) si (12.7) obtinem:

(1 + x)s0(x) =1!+

( 1)1!

+ x+

( 1)( 3)

2!+

( 1)1!

x2 + ....

..+( 1)...( n)

n!+

( 1)...( n+ 1)(n 1)!

xn1 + ... =

= 1 +

1!x+

( 1)2!

x2 + ...+( 1)...( n+ 1)

n!xn + ...

= s(x),

deoarece( 1)...( n)

n!+

( 1)...( n+ 1)(n 1)! =

( 1)...( n+ 1)( n+ n)n!

=

= ( 1)...( n+ 1)

n!.

Deci (1 + x)s0(x) = s(x),x (1, 1) saus0(x)s(x)

=

1 + x.

Integrand aceasta relatie obtinem:ln s(x) = ln(1 + x) + lnC s(x) = C(1 + x),

unde C este o constanta. Se observa ca s(0) = 1, deci C = 1, adica s(x) = (1+x). Putemscrie deci

(1 + x) = 1 +1!x+

( 1)2!

x2 + ...+( 1)...( n+ 1)

n!xn + ..., x (1, 1) .

(12.8)

12.2. SERII FOURIER TRIGONOMETRICE 147

Seria (12.8) se numeste seria binomiala. Pentru diferite valori ale lui se obtin din(12.8) sumele unor serii particulare.

De exemplu, pentru = 1 regasim seria geometrica cu ratia x.Pentru = 1

2avem:

1 + x = 1 +

1

2 1!x1

222!x2 +

1 3233!

x3 + ...+ (1)n11 3 4 ... (2n 3)2nn!

xn + ...

Pentru = 12avem:

11 + x

= 1 12 1!x+

1 3222!

x2 1 3 5233!

x3 + ...+ (1)n1 3 4 ... (2n 1)2nn!

xn + ....

Dezvoltarile au loc numai pentru x (1, 1) . Cu ajutorul corolarului ?? aceste egalitatise pot prelungi si n extremitatile n care seria de puteri converge. Pentru aceasta trebuiestudiata natura acestor serii de puteri n extremitaile intervalului de convergenta (exercitiu).

12.2 Serii Fourier trigonometrice

Serile Fourier reprezinta instrumentul de baza pentru reprezentarea functiilor periodice carejoaca un rol important n aplicatii.

12.2.1 Dezvoltarea n serie Fourier a unei functii periodice deperioada 2

Definitia 12.2 O functie reala f : R R, se numeste periodica daca exista un numarreal T 6= 0 astfel ncat oricare ar fi x R, f(x + T ) = f(x). Numarul real T > 0 minim(daca exista) cu aceasta proprietate se numeste perioada principala a lui f.

Exemple de functii periodice: functiile sinus, cosinus. Exemple de functii care nu suntperiodice: functiile polinomiale, functia exponentiala, functia logaritmica.

Exercitiul 12.1 Daca T este perioada functiei f , atunci si 2T este perioada pentru fdeoarece f(x+2T ) = f [(x+ T ) + T ] = f(x+T ) = f(x). Analog sa se arate ca f(x+nT ) =f(x),n N.Mai mult aratati ca daca f si g au perioada T , atunci af(x)+bg(x), a, b R,au perioada T .

Problema care se pune este de a reprezenta diferite functii de perioada 2 cu ajutorulunor functii simple: 1, cosx, sinx, cos 2x, sin 2x, ..., cosnx, sinnx,.... Toate aceste functiiauperioada 2. Ele formeaza ass numitul sistem trigonometric. Reprezentam graficul catorvatermeni din sistem


2.51.250-1.25-2.5

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

cosx

2.51.250-1.25-2.5

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

sinx

2.51.250-1.25-2.5

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

cos 2x

2.51.250-1.25-2.5

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

sin 2x

2.51.250-1.25-2.5

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

cos 3x

2.51.250-1.25-2.5

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

sin 3x

2.51.250-1.25-2.5

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

cos 4x

2.51.250-1.25-2.5

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

sin 4xDefinitia 12.3 Functia

Tn(x) =a02+

nXk=1

(ak cos kx+ bk sin kx) , a0, ak, bk R, k = 1, n (12.9)

se numete polinom trigonometric de ordinul n. Termenul ak cos kx + bk sin kx senumeste armonica de ordin k a polinomului trigonometric.

Definitia 12.4 Seria de forma

a02+

Xk=1

(ak cos kx+ bk sin kx) (12.10)


se numeste serie trigonometrica. a0, a1, b1, a2, b2, ... sunt constante si poarta denumireade coeficientii seriei.

Exemplul 12.6 Sistemul de functii S = (f0(x) = 1, f1(x) = sinx, f2(x) = cosx, . . . ,f2n1(x) = sinnx, f2n(x) = cosnx) este un sistem ortogonal n (C ([, ] ,R) , h, i) cuprodusul scalar definit astfel

f, g .C ([, ] ,R) , hf, gi =Z

f(x)g(x)dx.

Intr-adevarRsin (kx) cos (jx) dx = 1

2

R(sin ((k + j)x) + sin ((k j)x)) dx =

= 12(k+j) cos ((k + j)x) +

12(kj) cos ((k j)x)

= 0 pentru k 6= j,

Rcos (kx) cos (jx) dx = 0 pentru k 6= j,

Rsin (kx) sin (jx) dx = 0 pentru k 6= j.

Daca seria trigonometrica este convergenta, atunci suma ei va fi o functie periodica deperioada T = 2.Fiind data o functie periodica f(x) de perioada 2, ne punem problema sa determinam

conditiile pe care trebuie sa le ndeplineasca f(x) astfel ncat sa putem construi seria trigono-metrica (12.10) care sa convearga catre f(x).Presupunem ca avem egalitatea

f(x) =a02+

Xk=1

(ak cos kx+ bk sin kx) . (12.11)

Facem ipoteza ca seria trigonometrica se poate integra termen cu termen si n bazaproprietatii sistemului S0 de a fi ortogonal obtinem

hf, f0i =a02, f0 a0 =

1

Z

f(x)dx.

Inmultind apoi seria (12.11) cu sin kx si respectiv cu cos kx si integrand, obtinem:hf, sin kxi = hbk sin kx, sin kxi

bk =1

Z

f(x) sin kxdx (12.12)

si respectivhf, cos kxi = hak cos kx, cos kxi

ak =1

Z

f(x) cos kxdx. (12.13)


Coeficientii ak, bk determinati dupa formulele (12.13) si (12.12) se numesc coeficientiiFourier pentru functia f(x) iar seria trigonometrica (12.10) cu acesi coeficienti se numesteseria Fourier atasata functiei periodice f(x).Evident ca pentru o functie periodica f cu perioada 2, integrabila, putem determina

coeficientii Fourier corespunzatori functiei date precum si seria Fourier (12.10) asociata luif. Nu putem nsa sa scriem egalitatea (12.11) deoarece nu stim daca seria este convergentasi n caz de convergenta, nu stim daca suma ei este tocmai functia f. Din acest motiv sescrie

S(x) =a02+

Xk=1

(ak cos kx+ bk sin kx) .

Conditii suficiente pentru care o functie periodica cu perioada 2 sa poata fi reprezentataprin seria Fourier asociata ei au fost gasite de Dirichlet.

Teorema 12.7 (Conditiile lui Dirichlet) Daca functia f cu perioada 2 este monotonape portiuni si marginita pe intervalul [, ] , atunci seria Fourier asociata acestei functiieste convergenta n toate punctele. Suma S(x) a seriei Fourier n fiecare punct de con-tinuitate este egala cu valoarea functiei f n acel punct. In punctele de discontinuitate,valoarea sumei S(x) a seriei Fourier este egala cu media aritmetica a limitelor lateralecorespunzatoare punctului de discontinuitate, adica

S(x)|x=c =f(c 0) + f(c+ 0)

2,

unde

f(c 0) = limx%c

f(x), f(c+ 0) = limx&c

f(x).

12.2.2 Cazuri particulare. Seria Fourier a functiilor pare sau im-pare

Dezvoltarea n serie Fourier a functiilor periodice se simplifica daca pe intervalul [, ]functia este para sau impara. Astfel, daca functia este para pe intervalul [, ] , atuncif(x) = f(x) si deci functia f(x) cos kx este para iar f(x) sin kx este impara. Tinandseama de proprietatile acestor functii obtinem

a0 =1

Z

f(x)dx =2

Z0

f(x)dx,

ak =1

Z

f(x) cos kxdx =2

Z0

f(x) cos kxdx,

bk =1

Z

f(x) sin kxdx = 0.


Seria Fourier va avea n acest caz expresia

S(x) =a02+

Xk=1

ak cos kx.

Pentru functia este impara pe intervalul [, ] , atunci f(x) = f(x) si decifunctia f(x) cos kx este impara iar f(x) sin kx este para. Tinand seama de proprietatileacestor functii obtinem

a0 =1

Z

f(x)dx = 0,

ak =1

Z

f(x) cos kxdx = 0,

bk =1

Z

f(x) sin kxdx =2

Z0

f(x) sin kxdx.

Seria Fourier va avea n acest caz expresia

S(x) =Xk=1

bk sin kx.

Exemplul 12.7 Sa se dezvolte n serie Fourier functia

f(x) =1, x [, 0)1, x [0, ]

Functia f este o functie impara care satisface conditiile lui Dirichlet, cu punctul dediscontinuitate x = 0. Graficul functiei f este reprezentat n Figura 12.1.

2.51.250-1.25-2.5

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

Figura 12.1Conform formulelor de calcul al coeficientilor pentru functii impare, coeficientii Fourier

sunt:ak = 0, k = 0, 1, 2, ...

bk = 2

Z0

sin(kx)dx == 2cos k1

k =2k (1 (1)k) =

0, k = 0, 2, 4, ...4k , k = 1, 3, 5, ...

.

Deci S(x) =Pn=1

4(2n1) sin(2n 1) =


= 4

sinx1+ sin 3x

3+ sin 5x

5+ ...+ sin(2n1)x

2n1 + ....

Pentru x [, 0) (0, ] avem relatia f(x) = S(x), iar n punctul de discontinuitatex = 0 avem S(x) = f(00)+f(0+0)

2= 0.

Cateva dintre polinoamele trigonometrice care aproximeaza f si graficele lor sunt datemai jos:

2.51.250-1.25-2.5

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

T1(x) = 4 sinx

2.51.250-1.25-2.5

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

T2(x) = 4sinx+ sin 3x

3

2.51.250-1.25-2.5

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

T3(x) = 4sinx1+ sin 3x

3+ sin 5x

5

2.51.250-1.25-2.5

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y


3+ sin 5x

5+ sin 7x

7

.

2.51.250-1.25-2.5

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y


3+ sin 5x

5+ sin 7x

7+ sin 9x

9+ sin 11x

11+ sin 13x

13+ sin 15x

15

Observam ca luand mai multi termeni din seria trigonometrica asociata functiei, suma

partiala a seriei va aproxima tot mai bine functia data.

curs 12 matematica algebra liniara serii de functii

Documents