algebra liniara iii

Cap. 4

Exemple de spatii vectoriale siaplicatii liniare

In acest capitol vom trata si alte spatii vectoriale decat cele de coloane,1

precum si aplicatii liniare ntre aceste spatii.

4.1 Exemple de spatii vectoriale

EXEMPLUL 4.1.1. Spatiul vectorilor liberi (geometrici) V3 se de-fineste plecand de la notiunea de segment orientat.

Consideram spatiul fizic ca fiind alcatuit din puncte, notate :A,B,C,Aetc.Perechile ordonate de puncte vor reprezenta segmentele orientate: AA, BB,etc.

Suma vectoriala a doua segmente orientate avand acelasi punct initial sedefineste cu ajutorul regulei paralelogramului.

Produsul cu scalari reali se face amplificand lungimea segmentului cumodulul scalarului si pastrand sensul sau daca scalarul e pozitiv, respectiv

1Notiunea generala de spatiu vectorial real este definita ca multime de elemente numitevectori cu care se fac doua operatii: adunarea (sau compunerea) si nmultirea cu scalari.Adunarea este comutativa, asociativa, exista un unic element neutru si pentru fiecarevector cate un element opus. Inmultirea cu scalari - numere reale - verifica urmatoarelepatru proprietati, pentru orice scalari , si vectori v, w:1. (+ )v = v + v;2. (v + w) = v + w;3. (v) = ()v;4. 1v = v.

57

58CAP. 4. EXEMPLE DE SPATII VECTORIALE SI APLICATII LINIARE

inversandu-l daca e negativ.Definim n multimea segmentelor orientate o relatie de echivalenta (i.e.

reflexiva, simetrica si tranzitiva) numita echipolenta. Segmentele orientateAA si BB sunt echipolente daca:- fie A = A si B = B;- fie A 6= A si B 6= B, caz n care lungimile lor sunt egale (adica|AA| = |BB|), au aceeasi directie (AA||BB) si acelasi sens. In acest modmultimea segmentelor orientate se desface n clase de echipolenta, disjunctedoua cate doua si numite vectori liberi. Vectorul liber se noteaza:- n primul caz de echipolenta, cu ~0;- iar n al doilea caz, cu ~AA, unde (AA) este unul, oarecare, dintre seg-mentele orientate apartinnd clasei de echipolenta respective; sau chiar cu~a,~b, ~a . . . .

Fixand n spatiu un punct O (origine), din el pleaca cate un reprezentantal fiecarui vector liber. Acesti vectori pot fi apoi deplasati, prin translatie,n orice alt punct O din spatiu.2

Vectorii liberi alcatuiesc un spatiu vectorial n raport cu operatiile deadunare si nmultire cu scalari - numere reale, definite anterior pentru reprezen-tantii lor.

Dependenta si independenta liniara pentru vectorii liberi se definesc lafel ca pentru vectorii - coloana din Rn (vezi 2.2). Au loc urmatoarele

Proprietati.1. Doi vectori liberi ~v1, ~v2 sunt liniar dependenti d.n.d. suntcoliniari, adica daca R : ~v1 = ~v2 sau ~v2 = ~v1.

2. Acesti vectori sunt liniar independenti daca sunt necoliniari.3. Trei vectori liberi ~v1, ~v2, ~v3 sunt liniar dependenti d.n.d. sunt coplanari,

adica daca unul dintre ei este combinatie liniara a celorlalti:

(i, j, k {1, 2, 3})(, R) : i 6= j 6= k 6= i

~vi = ~vj + ~vk.

4. Acesti vectori sunt liniar independenti daca sunt necoplanari.5. Orice patru vectori liberi sunt liniar dependenti.

Rezulta de aici ca dimensiuna spatiului vectorilor liberi este 3 si ca oricetrei vectori liberi necoplanari alcatiesc o baza a sa. Vom nota acest spatiuvectorial cu V3.

2Deplasarea consta n alegerea altui reprezentant al vectorului respectiv si care pleacadin O.

4.1. EXEMPLE DE SPATII VECTORIALE 59

EXEMPLUL 4.1.2. Spatiul polinoamelor cu coeficienti reali n nede-terminata X se noteaza R[X] si are drept generatori liniar independentimultimea infinita 1, X,X2, . . . , Xn, . . . . Asadar nu este finit dimensional.Dar putem considera n el subspatii finit dimensionale.

Vom nota cu Rn[X] multimea alcatuita din toti vectorii - polinoame avandgradul n. Pentru a arata ca dimRn[X] = n + 1 este suficient sa precizamo baza a sa; anume sistemul 1, X,X2, . . . , Xn.

Exercitiul 1. Verificati ca acest sistem este liniar independent si cagenereaza fiecare vector - polinom din Rn[X]. Ceea ce, conf. teoremei 2 din2.3, dovedeste ca este baza.

In subspatiul Rn[X] distingem alte doua submultimi si anume- cea a polinoamelor - functii pare si

- cea a polinoamelor - functii impare3.

Sa le notam S1 si respectiv S2.

Exercitiul 2. Verificati ca S1 si S2 sunt subspatii.

Exercitiul 3. Aratati ca sistemele de vectori - polinoame 1, X2, . . . , X2[n2

],respectiv X,X3, . . . , X2[

n2

]+1, unde [n2] reprezinta functia parte ntreaga din

n2, sunt baze pentru S1 si respectiv S2.

Exercitiul 4. Aratati ca Rn[X] = S1 + S2.Exercitiul 5. Aratati ca descompunerea fiecarui vector - polinom este

unica, deci ca suma de subspatii este directa (vezi 2.5, definitia 2.10).

Regula. Pentru a stabili daca ntr-un sistem de p vectori - polinoame dinRn[X] exista o relatie de dependenta liniara (vezi definitia 2.4) construim ma-tricea (n+1)p avand drept coloane coeficientii a0k, a1k, . . . , ank ai fiecaruiadintre polinoamele

Pk(X) = a0k + a1kX + + ankXn, k = 1, 2, . . . , p,

matrice pe care o transformam prin operatii elementare de linii la forma re-dusa (pe linii) U.

3Functia f : R R este para daca t R : f(t) = f(t) si este impara dacat R : f(t) = f(t).


Exercitiul 6. De ce orice relatie de dependenta liniara ntre coloanele uiale matricei reduse, reprezinta o relatie de dependenta liniara identica (i.e.cu aceiasi coeficienti) ntre polinoamele Pk(X), k = 1, 2, . . . , p ?

Extrageti de aici un criteriu de independenta liniara pentru un sistem dep vectori - polinoame neidentic nule. Verificati n acest mod ca p (p n+1)astfel de polinoame de grade diferite din Rn[X], sunt ntotdeauna liniar in-dependente.

EXEMPLUL 4.1.3. Spatiul matricelor m n cu coeficienti reali senoteaza Mmn(R) si este alcatuit din toate matricele de acest tip.4

Operatiile de suma vectoriala si nmultire cu scalari sunt cele de sumantre matrice, respectiv de nmultire a lor cu numere reale.

Pentru a reprezenta ntr-un mod convenabil combiatiile liniare cu vec-torii - matrice apelam, ca si n cazul polinoamelor, la coloanele coeficientiloracestora. Iata un caz particular de matrice 3 2. Combinatiei liniare

c1

a11 a12a21 a22a31 a32

+ c2 b11 b12b21 b22b31 b32

i va corespunde urmatoarea reprezentare compacta

c1

a11a21a31a12a22a32

+ c2b11b21b31b12b22b32

=a11 b11a21 b21a31 b31a12 b12a22 b22a32 b32

[c1c2

]

Si tot ca n cazul polinoamelor, vom testa dependenta/independentaliniara a vectorilor - matrice echivalandu-le cu dependenta/independentacoloanelor matricei reduse (pe linii) corespunzatoare.

Exercitiul 7. Stabiliti n acest mod relatii de dependenta liniara ntreurmatorii vectori - matrice din spatiul vectorial M2(R):

V1 =

[1 12 1

], V2 =

[3 36 2

], V3 =

[2 31 0

], V4 =

[1 23 1

], V5 =

[4 31 1

].

4In cazul particular cand m = n notatia va fi Mm(R).

4.1. EXEMPLE DE SPATII VECTORIALE 61

Considerand subspatiul generat de acestia, determinati-i dimensiunea si obaza a sa.

EXEMPLUL 4.1.4. Spatiul T al polinoamelor trigonometrice. Acesteasunt polinoame ntr-un sens mai larg5 avand forma

a0 + a1 cosx+ b1 sinx+ a2 cos 2x+ b2 sin 2x+ + am cosmx+ bm sinmx

unde ak, bk R, k = 0, 1, . . . ,m.Daca am sau bm sunt nenuli, atunci m se va numi gradul polinomului

trigonometric respectiv.Polinoamele trigonometrice se aduna, sumand coeficientii monoamelor

trigonometrice cos kx, sin kx corespunzatoare6

a0 +mk=1

(ak cos kx+ bk sin kx) + a0 +

nk=1

(ak cos kx+ bk sin kx) =

= a0 + a0 +

pk=1

[(ak + ak) cos kx+ (bk + b

k) sin kx] unde p = max{m,n}

si se nmultesc cu scalari (reali) nmultind fiecare monom trigonometric cuscalarul respectiv.

Vom nota cu TN multimea tuturor polinoamelor trigonometrice avandgradul N . Intrucat vectorii 1, cosx, sinx, cos 2x, sin 2x, . . . sunt liniarindependenti (vezi proprietatea urmatoare) spatiul T nu are dimensiunefinita, dar TN are dimensiunea 2N + 1. Ceea ce rezulta din urmatoarea

Proprietate. Vectorii 1, cosx, sinx, cos 2x, sin 2x, . . . cosNx, sinNx suntliniar independenti.

Demonstratie.7 Vom face demonstratia pentru cazul N = 2, cititorulputand observa ca ea se poate generaliza pentru N natural oarecare.

Presupunem ca

0 + 1 cosx+ 2 sinx+ 3 cos 2x+ 4 sin 2x = 0

5Polinoamele n sens restrans se mai numesc polinoame algebrice, fiind o suma demonoame algebrice aXn, bXmY n etc.

6Acolo unde monomul lipseste, coeficientul respectiv este zero.7Exista si o alta demonstratie, de natura geometrica, (conf. 5.1 comentariul 1).


unde 0 este vectorul nul (i.e. functia identic nula). Derivam succesiv depatru ori aceasta egalitate si obtinem1 sinx + 2 cosx 23 sin 2x + 24 cos 2x = 01 cosx 2 sinx 43 cos 2x 44 sin 2x = 01 sinx 2 cosx + 83 sin 2x 84 cos 2x = 01 cosx + 2 sinx + 163 cos 2x + 164 sin 2x = 0

Acest sistem liniar si omogen de 5 ecuatii (daca incluem si identitateainitiala) are determinantul nenul.8 Calculandu-l n x = 0 obtinem valoarea72. De aici rezulta ca 0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 0, deci si independentaliniara a celor cinci monoame trigonometrice.

Spatiul TN , ca si spatiul Rn(X), se descompune n suma directa a douasubspatii:- subspatiul polinoamelor - functii pare si- subspatiul polinoamelor - functii impare.

Primul dintre ele contine toate polinoamele trigonometrice de forma

a0 +Nk=1

ak cos kx,

iar al doilea - toate polinoamele trigonometrice de forma

Nk=1

bk sin kx.

Notandu-le respectiv cu T sN(x) si TasN (x) (primul avand graficul simetric fata

de Oy, iar al doilea - simetric fata de origine), suma lor reprezinta polinomultrigonometric complet

TN(x) = TsN(x) + T

asN (x).

Unicitatea acestei descompuneri rezulta din unicitatea descompunerii vec-torilor ntr-o baza (aici, cea alcatuita cu vectorii considerati n proprietateaanterioara).

8Acest determinant, numit wronskian, intervine n teoria ecuatiilor diferentiale liniarecu coeficienti constanti. O teorema din cadrul teoriei mentionate afirma ca daca este nenulntr-un pct x0 R atunci el este nenul n tot R.

4.2. EXEMPLE DE APLICATII LINIARE 63

4.2 Exemple de aplicatii liniare

EXEMPLUL 4.2.1. Transformari geometrice n V3. Consideram urma-toarele transformari de vectori liberi (geometrici) ai spatiului V3 n el nsusi:proiectii si simetrii fata de subspatii de dimensiune 1 (drepte), respectiv dedimensiune 2 (plane).

In acest scop introducem notiunile geometrice de:- lungimea sau modulul unui vector liber ~a - cu notatia |~a| si- unghiul dintre doi astfel de vectori.

Pentru aceasta vom raporta vectorii la o baza (~i,~j,~k) a spatiului V3,orientata si alcatuita din vectori reciproc ortogonali si de lungime 1.

Observatie. Un triplet ordonat (~a,~b,~c) de vectori liberi necoplanaripoate avea doua orientari: dreapta sau data de regula mainii drepte (vezifigura), respectiv stanga sau data de regula mainii stangi. Corespunzatoracestor reguli exista doua tipuri de repere carteziene: drept, respectivstang, al doilea obtinandu-se din primul prin schimbarea sensului lui ~k.

Intr-un astfel de reper fiecare vector liber ~v se descompune n trei proiectiiortogonale pe cele trei axe ~v = vx~i + vy~j + vz~k (figura urmatoare). Astfelncat lungimea sa va fi determinata, conf. teoremei lui Pitagora n spatiu,prin formula

|~v| =v2x + v

2y + v

2z . (4.1)

Pentru a calcula unghiul dintre vectoriiOA si

OB, aplicam n triunghiul

OAB (conf. figurii) teorema cosinusului:

|OAOB|2 = |OA|2 + |OB|2 2|OA||OB| cos .Daca

OA = ax~i + ay~j + az~k,

OB = bx~i + by~j + bz~k , atunci

OA OB =

(ax bx)~i+ (ay by)~j + (az bz)~k, iar din teorema mentionata rezulta(axbx)2+(ayby)2+(azbz)2 = a2x+a2y+a2z+b2x+b2y+b2z2|

OA||OB| cos .


Dezvoltand si reducand termenii asemenea, extragem

cos =axbx + ayby + cxcy

|OA||OB|=

axbx + ayby + cxcya2x + a

2y + a

2z

b2x + b

2y + b

2z

. (4.2)

Observatie. Expresia de la numarator reprezinta produsul scalar a celor

doi vectori ~a =OA si ~b =

OB. Acesta este cea mai importanta operatie

vectorial. O vom nota

~a.~b = axbx + ayby + cxcy. (4.3)

Conditia ca vectorii ~a si ~b sa fie ortogonali poate fi exprimata sub una,oricare, din formele

~a ~b = pi2 ~a.~b = 0 axbx + ayby + cxcy = 0. (4.4)

Putem determina astfel proiectia scalara a vectorului ~b pe directia vec-torului nenul ~a nmultind lungimea celui dintai cu cosinusul unghiului dintreei (figura stanga de mai jos)

pr~a(~b) = |~b| cos = |~b| ~a.~b

|~a||~b| =~a.~b

|~a| . (4.5)

Din care extragem proiectia vectoriala a lui ~b pe directia lui ~a, prin am-

plificarea versorului lui ~a : vers(~a) = ~a|~a| , cu proiectia scalara~a.~b|~a|

pr~a(~b) = ~a.~b

|~a|2~a. (4.6)


(figura din dreapta)Am obtinut astfel aplicatia liniara

pr~a : V3 V3 (4.7)Exercitiul 1. Verificati liniaritatea sa.Exercitiul 2. Determinati nucleul si imaginea ei, stabilind astfel daca

este injectiva, respectiv surjectiva.Exercitiul 3. Daca ~a =~i 2~k, determinati matricea asociata ei n baza

(~i,~j,~k).

Pentru a construi simetricul ~b al vectorului ~b n raport cu vectorul ~aplecam de la relatia vectoriala (figura)

~b+ ~b = 2 ~pr~a~b. (4.8)

Notand cu ~b = s~a~b gasim ca

s~a~b = 2 ~pr~a~b~b. (4.9)


Am obtinut aplicatias~a : V3 V3 (4.10)

aplicatie ce transforma vectorii spatiului V3 n simetricii lor fata de vectorulfixat ~a. Ea are expresia vectoriala:

s~a = 2 ~pr~a idV3 (4.11)unde idV3 este aplicatia identica a spatiului V3.

Exercitiul 4. Verificati liniaritatea ei utilizand exercitiul 1 anterior.Exercitiul 5. Determinati nucleul si imaginea lui s~a stabilind astfel daca

este injectiva/ surjectiva.

Exercitiul 6. Daca ~a =~i 2~k determinati matricea ei asociata n baza(~i,~j,~k).

Consideram transformarea vectorilor liberi prin proiectarea lor pe un plance trece prin origine si are pe ~n ca versor normal. Privind figura constatam

ca aceasta proiectie se poate obtine facand diferenta vectoriala ntre vectorul~v si proiectia lui pe versorul ~n, adica ~v ~pr~n~v = ~v (~n.~v)~n. Explicati!.

Transformarea lui ~v n simetricul sau fata de plan se determina n acelasimod ca n cazul dreptei, deoarece ntreaga operatie se realizeaza ntr-un plandeterminat de ~v si proiectia sa pe plan, respectiv pe normala sa la plan.Astfel ncat acest simetric se obtine din formula (4.9) n care nlocuim ~a cu~n:

s(~v) = 2 ~pr~n~v ~v. (4.12)Aplicatia

s : V3 V3


care simetrizeaza vectorii liberi n raport cu planul ce trece prin origine siare versorul normalei ~n, va fi asadar:

s = 2 ~pr~n idV3 (4.13)

Exercitiul 7. Cum putem dovedi liniaritatea aplicatiei care proiecteazavectorii liberi pe un plan ce trece prin origine, respectiv a celei care isimetrizeaza fata de acelasi plan?

Exercitiul 8. Determinati nucleul si imaginea fiecareia din aceste douaaplicatii liniare, precizand care dintre ele este injectiva/surjectiva.

Exercitiul 9. Construiti matricele lor asociate n baza canonica (~i,~j,~k)

a spatiului V3, daca ~n = (~i 2~j + 2~k)/3.

EXEMPLUL 4.2.2. Derivarea si integrarea polinoamelor.

Consideram spatiul vectorial R[X] al polinoamelor si aplicatiileD : R[X] R[X] definita prin D{P (X)} = P (X),

: R[X] R[X] definita prin {P (X)} = X0P (t)dt.

Exercitiul 10. Verificati liniaritatea celor doua aplicatii.

Exercitiul 11. Determinati nucleul si imaginea fiecareia. Care dintrecele doua aplicatii este injectiva si care este surjectiva?

Observatie. Intrucat spatiul R[X] nu este finit dimensional, acestoraplicatii nu li se pot asocia matrice (finite). Restrictiilor lor la spatiul finitdimensional Rn[X] al polinoamelor de grad n li se pot asocia astfel dematrice corespunzatoare unor baze a spatiului.

Alegand bazele canonice {1, X,X2} n R2[X] si respectiv {1, X,X2, X3}n R3[X], vom construi matricea M(D) corespunzatoare aplicatieiD : R3[X] R2[X] folosind urmatorul tabel:

M(D) D(1) = 0 D(X) = 1 D(X2) = 2X D(X3) = 3X2

1 0 1 0 0X 0 0 2 0X2 0 0 0 3


Pentru aplicatia

: R2[X] R3[X] matricea M(

) se obtine dintabelul

M(

)

(1) = X

(X) = 12X2

(X2) = 1

3X3

1 0 0 0X 1 0 0X2 0 1

20

X3 0 0 13

Asadar M(D) =

0 1 0 00 0 2 00 0 0 3

si M ( )=

0 0 01 0 00 1

20

0 0 13

.Exercitiul 12. Determinati matricele aplicatiilor liniare urmatoare:

D : R2[X] R2[X] si D : R3[X] R3[X] corespunzatoarebazelor canonice n fiecare din cele doua spatii: {1, X,X2} pentru R2[X]si {1, X,X2, X3} pentru R3[X].

Exercitiul 13. Verificati ca aceste matrice sunt egale cu:- produsul M(D)M(

) n primul caz;

- produsul M(

)M(D), n al doilea caz.Indicatie. Folositi, pentru calculul celor doua matrice, tabele corespunzatoare

dupa modelul celor de mai sus.

EXEMPLUL 4.2.3. Derivarea si integrarea polinoamelor trigonome-trice.

Observatie. In general, spatiul functiilor reale definite pe un intervalI R, derivabile si cu derivata continua n I, alcatuiesc un spatiu vectorial;l notam C1I . Atunci operatorul

9 de derivare D : C1I C0I , C0I reprezenandspatiul functiior continui n I, este liniar.

La fel este si operatorul de integrare

: C0I C1I definit prin

(f) = xx0f(t)dt, unde x0 I este un numar real fixat.9Se numeste operator orice transformare a unui spatiu de functii ntr-un spatiu de

functii.


In cazul de fata I = R, iar spatiul de functii este spatiul T al polinoamelortrigonometrice a0 + a1 cosx + b1 sinx + + am cosmx + bm sinmx undeai, bi R, i = 0, 1, . . . ,m.

Sa observam ca, ntrucat

Da0 = 0 si D(ak cos kx+ bk sin kx) = k(ak sin kx+ bk cos kx)

operatorul D transforma orice polinom trigonometric de gradm > 0 ntr-unulde acelasi grad10. Asadar D : TN TN .

Exercitiul 14. Este aceasta transformare liniara a spatiului TN n elnsusi injectiva? Dar surjectiva?

In cazul operatorului

, deoarece xx0a0dt = a0(x x0), restrictionam

domeniul sau la polinoamele trigonometrice avand termenul liber nul: a0 = 0.Exercitiul 15. Verificati ca multimea acestor polinoame trigonometrice

de grad N alcatuiesc un subspatiu al lui TN . Il vom nota T 0N .Exercitiul 16. Aratati ca subspatiul I(D) al operatorul D : TN TN

este T 0N .De aici rezulta ca D transforma subspatiul TN al polinoamelor trigono-

metrice de grad N n T 0N .Exercitiul 17. Aratati ca subspatiul I(D) al operatorul definit pe

subspatiul T 0N este TN .Exercitiul 18. Determinati nucleul fiecaruia din cei doi operatori liniari

D : TN T 0N si

: T 0N TN , stabilind care dintre ele este injectiv.Exercitiul 19. In cazul N = 2, determinati matricea asociata fiecaruia

dintre ei n perechea de baze B = {1, cosx, sinx, cos 2x, sin 2x} si B0 ={cosx, sinx, cos 2x, sin 2x}, respectiv B0 si B.

Exercitiul 20. Notam cu M(D), respectiv M(

), cele doua matrice ast-fel obtinute. Determinati matricele M(D ) si M( D) asociate operato-rilor D : T 0N T 0N , respectiv D : TN TN , in bazele B0 si respectivB. Verificati apoi ca M(D ) = M(D)M( ) si M( D) = M( )M(D).

10Pentru notiunea de grad vezi exemplul 4.1.4.


4.3 Probleme

1. In spatiul R2[X] al polinoamelor de grad 2 n X 11 se considera vectorulpolinom P (X) = X2 + 1.a) Aratati ca vectorii - polinoame P (X), P (X 1), P (X 2) sunt liniarindependenti si alcatuiesc o baza a spatiului R2[X]. Indicatie. Utilizati reguladin exemplul 4.1.2.b) Determinati matricea de schimbare a coordonatelor vectorilor lui R2[X],din aceasta noua baza n baza canonica {1, X, X2}.c) Proprietatea de la pctul a) este valabila n general, enuntandu-se sub formaurmatoare:

Daca P (X) este un polinom de gradul n din Rn[X] si a0 . . . , an suntnumere reale diferite, atunci P (X a0), . . . , P (X an) alcatuiesc o bazapentru Rn[X].

Verificati-o pentru n = 2, P (X) = X2 + bX + c si a0, a1, a2 R diferite.

2. In acelasi spatiu de polinoame R2[X] consideram vectorii

P1(X) =(Xa2)(Xa3)(a1a2)(a1a3) , P2(X) =

(Xa1)(Xa3)(a2a1)(a2a3) , P3(X) =

(Xa1)(Xa2)(a3a1)(a3a2) ,

unde a1, a2, a3 sunt numere reale distincte.a) Aratati ca pentru orice numere c1, c2, c3, polinomul

P (X) = c1P1(X) + c2P2(X) + c3P3(X),

numit polinom de interpolare LAGRANGE n nodurile a1, a2, a312 verifica

relatiile

P (a1) = c1, P (a2) = c2, P (a3) = c3.

b) Aratati ca vectorii - polinoame P1(X), P2(X), P3(X) sunt liniar independenti,deci alcatuiesc o baza a spatiului R2[X].c) Construiti polinomul de interpolare Lagrange n nodurile a1 = 1, a2 =2, a3 = 3, pentru valorile interpolate c1 = 0, c2 = 3, c3 = 8.d) Formula generala a polinomului de interpolare Lagrange P (X) Rn1[X]

11Conf. exemplul 4.1.2.12Interpolarea este una din cele mai simple metode de aproximare a functiilor, metoda

utilizata n Analiza numerica si n multe aplicatii.

4.3. PROBLEME 71

n n noduri (distincte) a1, . . . , an este

P (X) =ni=1

ciPi(X) unde Pi(X) =

nj=1,j 6=i(X aj)nj=1,j 6=i(ai aj)

si ea reprezinta, de obicei, un polinom de gradul n1, asa cum ati constatatla pctul c). Determinati, cu ajutorul ei, polinomul de interpolare n patrunoduri si anume: a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 5 pentru valorile interpolatec1 = 0, c2 = 3, c3 = 8, c4 = 24, constatand ca acesta are gradul al doilea.Puteti explica de ce?

3. Aplicatia t :M2(R) M2(R) transpune matricele: t(X) = XT .a) Verificati liniaritatea sa.b) Aratati ca nu exista nicio matrice M M2(R) astfel ncat

X M2(R) : t(X) = MX.

Reprezinta aceasta o infirmare a proprietatii de la nceputul 3.3?c) Construiti matricea asociata aplicatiei t n baza canonica a lui M2(R):

E11 =

[1 00 0

], E12 =

[0 10 0

], E21 =

[0 01 0

], E22 =

[0 00 1

].

Este aplicatia t injectiva? Dar surjectiva?

algebra liniara iii

Documents