5.1.4.2.4.2. Lecția Pătratul perfect

Definiţie

Un număr natural a este pătrat perfect dacă

exită un număr natural b care la pătrat dă a.

Scrierea matematică

a∈N , a pătrat perfect dacă există b∈N astfel încât a=b².

1. Exemple:

1) 16 este pătrat perfect pentru că 16=42 şi 4 este număr natural;

2) 25 este pătrat perfect pentru că 25=52 şi 5 este număr natural.

2. Memoraţi pe cât posibil pătratele din următorul tabel :

Ele vă vor fi foarte utile de multe ori.

10² =100        11²=121        12² =144      13² =169      14² =196

15² =225        16² =256       17² =289      18² =324      19² =361

20² =400        25² =625       30² =900

32² = ( 25)²=25·25 =210=1024

40² =1600      100² =10000

3. Exerciţii

1. 132-112=?

2. 152+122

3. 302·252

4. Aflaţi numărul care are pătratul perfect egal cu : a) 169; b) 2) 196; c) 256

5. Scrieţi primele 3 pătrate perfecte mai mari că 50.

6. Scrieţi primele 3 pătrate perfecte mai mari că 110.

4. Teorie importantă legată de pătratul perfect

1. Definiție Două pătrate sunt consecutive dacă sunt pătratele a 2 numere

naturale consecutive

2. Exemplu:

Numerele 4 și 9 sunt pătrate consecutive pentru că ele sunt pătratele numerelor

naturale consecutive 2 și respectiv 3.

3. Teorema 1 a pătratelor perfecte (enunț important)

Dacă numărul natural a este între două pătrate consecutive ,

atunci a nu este pătrat perfect.

4. Exemplu: 155 nu este pătrat perfect

Demonstrație:

Metoda 1:

155 nu este pătrat perfect pentru că niciun număr natural a, la pătrat nu dă 155.

Metoda 2:

Demonstraţia scrisă în cuvinte :

155 se află între pătratele consecutive 144 şi 169 deci nu poate fi pătrat perfect.

Demonstraţia scrisă matematic:

122=144<155<169=132 și 12 și 13 sunt numere naturale consecutive, deci 155

nu este pătrat perfect.

5. Teorema 2 a pătratelor perfecte

Ultima cifră a unui pătrat perfect , număr natural, este 0,1,4,5.6 sau 9.

6. Teorema 3 a pătratelor perfecte (corolar sau consecință a teoremei 2)

Dacă ultima cifră a unui număr natural nu este 0,1,4,5,6 și nici 9, atunci

numărul nu este pătrat perfect.

7. Exemplu

Arătați că numărul a=723456+23456897 nu este pătrat perfect fără să adunați

tot.

Rezolvare:

Ultima cifră a lui a = u(a)= u(u(723456) +u(23456897)) = u(6+7)=u(13)=3 și

cum un pătrat perfect nu se termină în 3 rezultă că a nu este pătrat perfect.

8. Atenție :

Dacă ultima cifră a unui număr natural este 0,1,4,5,6 sau 9 , NU rezultă

că numărul este pătrat perfect.

De exemplu 81 și 71. Ambele se termină în 1 dar 81 este pătrat perfect pe când

71 nu este.

5. Test

1. Pătratul lui 14 este …

2. Pătratul lui 30 este ….

3. 169 este pătrat perfect ?

4. De ce 341 nu este pătrat perfect ?

5. Dar b=756892·87649 ?

6. 7 563 282 nu este pătrat perfect pentru că …

7. a) Dati exemplu de pătrat perfect care se termina în cifra 5 .

b) Dati exemplu de număr care se termina în cifra 5 dar nu este pătrat perfect .

****************************

Rezolvare

1. 132-112=169-121=48.

2. 152+122=225+144=369.

3. 302·252=900·625=562 500.

Se putea calcula şi astfel, cu ajutorul proprietăților puterilor (care nu intră în programa

obligatorie pentru clasă) :

302·252=(30·25)2=7502=562500 .

4. a) 169=132, deci 13 ; b) 14 ; c) 16

5. Scrieţi primele 3 pătrate perfecte mai mari decât 50. Rezolvare: 64,81,100

6. Scrieţi primele 3 pătrate perfecte mai mari că 110. Rezolvare: 121,144,169

o Înapoi

Rezolvarea testului

1. Pătratul lui 14 este 142=196.

2. Pătratul lui 30 este 900.

3. 169 este pătrat perfect ? Da, este pătratul lui 13.

4. Rezolvare:

1. 53=125, 63=36·6 = 198 şi 53<189<63,

2. deci 189 este între două cuburi perfecte consecutive,

3. deci 189 nu este cub perfect.

4. De ce 341 nu este pătrat perfect ?

5. Rezolvare :

1. 202=400,192=361,182=324,deci 182<341<192,

2. deci 341 este între pătratele consecutive 324 şi 361,

3. deci 341 nu este cub perfect.

6. 7 563 282 nu este pătrat perfect pentru că …

1. Rezolvare:

2. 7 563 282 se termină în 2 şi un pătrat perfect nu se poate termina în 2.

3. 7 563 282 nu este pătrat perfect pentru că se termină în 2 și niciun pătrat

perfect nu se poate termina în 2.

7. a) Dati exemplu de pătrat perfect care se termina în cifra 5 .

Rezolvare: 625 este pătratul perfect al lui 25 şi are ultima

cifră 5.

b) Dati exemplu de număr care se termina în cifra 5 dar nu este pătrat perfect .

Rezolvare: 35 se termină în 5 şi nu este pătrat perfect.