Paralelogramul

Definitie

Patrulaterul in care laturile opuse sunt paralele doua cate doua se numeste paralelogram

A B M N

D C

R P E F

H G

Elementele paralelogramului:

*varfuri : A,B,C,D.

A B

D C

Elementele paralelogramului:*varfuri : A,B,C,D.*laturi :AB,BC,CD,AD. A B

D C

Elementele paralelogramului:

*varfuri,

*laturi,

*unghiuri, A B

D C

DAB, ABC, BCD, CDA.

Elementele paralelogramului:

*varfuri,

*laturi, A B

*unghiuri,

*diagonale.

O

D C

Teorema 1 Un patrulater este paralelogram daca si numai

daca laturile opuse sunt congruente doua cate doua.

A B

D C

[AB]≡[CD] [AD]≡[BC]

Teorema 2

Un patrulater este paralelogram daca si numai daca doua laturi opuse sunt paralele si congruente

[AB]≡[CD]

AB//C D A B

D C

Teorema 3

Un patrulater este paralelogram daca si numai daca unghiurile opuse sunt congruente doua cate doua.

ABC≡CDA A B

DAC≡BCD

D C

Teorema 4

Un patrulater este paralelogram daca si numai daca punctul de intersectie al diagonalelor este mijlocul fiecareia.

[AO]≡[OC] A B

[DO]≡[OB]

O

D C

Aplicatii1.In paralelogramul ABCD cunoastem: AB=2cm, BC=5cm. Calculati

perimetrul paralelogramului.

2.In paralelogramul EFGH cunoastem: EF=3cm, FG=8cm. Calculati

perimetrul paralelogramului.

3.Unghiul <MNP al paralelogramului MNPR are masura de 60˚. Calculati masurile unghiurilor paralelogramului.

4. Unghiul <A’B’C’ al paralelogramului A’B’C’D’ are masura de 110˚. Calculati masurile unghiurilor paralelogramului.

5.Aratati ca intr-un paralelogram laturile opuse sunt congruente doua cate doua.

6.In paralelogramul ABCD se stie ca m(<ABD)=45˚ si m(<ADB)=65˚. Calculati masurile unghiurilor paralelogramului.

7.In orice triunghi linia mijlocie determinata de mijloacele a doua laturi este paralela cu a treia latura.

8. Lungimea liniei mijlocii determinate de mijloacele a doua laturi ale unui triunghi este egala cu jumatate din lungimea celei de-a treia laturi.

1.In paralelogramul ABCD cunoastem: AB=2cm, BC=5cm. Calculati

perimetrul paralelogramului.

Se da: ABCD-paralelogram A B

AB=2cm

BC=5cm

Se cere: P=? D C

Rezolvare:

Din ABCD-paralelogram=> AB=CD=2cm

BC=AD=5cm

P=AB+BC+CD+DA=2cm+5cm+2cm+5cm=14cm.

3.Unghiul <MNP al paralelogramului MNPR are masura de 60˚. Calculati masurile unghiurilor paralelogramului.Se da: MNPR-paralelogram M N

m(<MNP)= 60˚Se cere: m(<NPR)=?

m(<PRM)=? m(<RMP)=? R P

Rezolvare:Din MNPR-paralelogram=> MN //PR , MR //NP

<MNP≡<MRP <RMN≡<RPN

m(<MNP)= m(<PRM)=60˚Din MN //RP si NP secanta=> m(<MNP) + m(<NPR)=180˚=>

=> m(<NPR)= 180˚- m(<MNP) => => m(<NPR)= 180˚- 60˚ => => m(<NPR)= 120˚=> m(<RMP)= 120˚

5.Aratati ca intr-un paralelogram laturile opuse sunt congruente doua cate doua. A B

Se da: ABCD-paralelogramSe cere:[AB]≡[CD]

[BC]≡[AD]

D C

Rezolvare: In paralelogramul ABCD construim diagonala [DB]. Din definitia paralelogramului, avem ca AD //BC si BD secanta, obtinem

<ADB≡<CBD.Analog, AB //DC si BD secanta obtinem <ABD≡<CDBIn triunghiurile ABD si CDB avem: <ADB≡<CBD <ABD≡<CDB =>∆ABD≡∆CDB => DB=BD latura comuna => [AB]≡[CD]

[BC]≡[AD]

6.In paralelogramul ABCD se stie ca m(<ABD)=45˚ si m(<ADB)=65˚. Calculati masurile unghiurilor paralelogramului.

Se da: ABCD paralelogram

m(<ABD)=45˚ D C

m(<ADB)=65˚

Se cere: m(<ABC)=?

m(<BCD)=?

m(<CDA)=? A B

m(<DAB)=?

Rezolvare:

In triunghiul ABD m(<A)=180˚- m(<ABD)- m(<ADB)= 180˚- 45˚ -65˚=70˚

In paralelogramul ABCD avem: m(<A)= m(<C)= 70˚

AB // DC si AD secanta => m(<CDA)+ m(<DAB)= 180˚ => m(<CDA)= 180˚ - m(<DAB)=

=180˚ - 70˚=110˚

Dar in paralelogramul ABCD avem m(<CDA)= m(<ABC)=110˚

7.In orice triunghi linia mijlocie determinata de mijloacele a doua laturi este paralela cu a treia latura.

A

Se da: ∆ABC

M mijlocul lui [AB]

N mijlocul lui [AC] M N P

MN linie mijlocie

Se cere: MN //BC

Rezolvare: B C

Prin C ducem o paralela la AB care intersecteaza MN in P.

Din AB // CP si AC secanta => <MAN≡<PCN (alterne interne) ULU

Dar <ANM≡<CNP (opuse la varf) =>∆AMN≡∆CPN=>

Si [AN]≡[NC]

=>[AM]≡[PC]

Dar [AM]≡[MB] => [MB] ≡ [PC] si cum MB // PC =>MPCB paralelogram=>

=>MN //BC .

8. Lungimea liniei mijlocii determinate de mijloacele a doua laturi

ale unui triunghi este egala cu jumatate din lungimea celei de-a treia laturi.

Se da:∆ABC A

M mijlocul lui [AB]

N mijlocul lui [AC] M N

MN linie mijlocie

Se cere:MN=BC/2

Rezolvare: B P C

Fie P mijlocul laturii [BC]=>NP linie mijlocie =>NP //AB

Dar MN linie mijlocie =>MN //BC =>

=>MNPB paralelogram=> [MN] ≡[BP]

BP=BC/2 (P mijlocul laturii [BC]) =>

=>MN=BC/2