note de seminar 13

7/25/2019 Note de Seminar 13

1/6

Seminar 13

Serii de puteri

Probleme rezolvate

Problema 13.1. Sa se dezvolte n serie de puteri urmatoarele functii n jurul punctuluix0= 0

a) f(x) = (arcsin x)2 , x(1, 1);

b) f(x) = sh2x

2, xR;

c) f(x) = 11 x2 , x(1, 1);

d) f(x) = sin 2x cos3x, x R;

e) f(x) = 3x

x2 + 5x+ 6 , x=2,3;

f) f(x) = ln2 x3 +x

, x(3, 2);

g) f(x) = arctg x, x R.

Solutie 13.1. a) Folosim formula lui MacLaurin si avem

f(x) =

n=0

f(n)(0)

n! xn.

Ne ramane sa calculam f(n)(0).Derivata de ordinul ntai este

f(x) = 2 arcsin x 11 x2 .

Obtinem

1 x2 f(x) = 2 arcsin x si derivand nca o data:x

1 x2 f(x) +

1 x2f(x) = 2

1 x2

1


2/6

2 SEMINAR 13. SERII DE PUTERI

va rezultaxf(x) + (1x2)f(x) = 2. Derivand de n ori, cu ajutorul formulei luiLeibniz se obtine

xf(n+1)(x)

C1nf

(n)(x) + (1

x2)f(n+2)(x) + C1n

(

2x)f(n+1)(x)

C2n

2f(n)(x) = 0.

Pentru x = 0 rezulta relatia de recurenta: f(n+2)(0) = n2f(n)(0). Procedand ca si laProblema 8.5 se obtine f(2p)(0) = 2 4p1 [(p 1)!]2 si f(2p+1)(0) = 0. Seria de puteri alui f este:

f(x) =n=1

2 4n1 [(n 1)!]2(2n)!

x2n.

b) Functia sinus hiperbolic este definita prin

sh x= ex ex

2 .

Folosind dezvoltarea n serie a functiei exponentiale

ex =n=0

xn

n! = 1 +x+

x2

2 +

x3

3! + ,

va rezulta

f(x) =12

+1

4ex +

1

4ex =1

2+

1

4

n=0

xn

n! +

1

4

n=0

(1)nxnn!

=1

4

n=1

xn

n![1 + (1)n] =1

2

p=1

x2p

(2p)!.

c) Folosind seria binomiala

(1 +x) =n=0

( 1) ( n+ 1)n!

xn = 1 +x+( 1)

2 x2 + ,

se obtine

f(x) = (1 x2) 12 = 1 +n=1

xn

n!1

2

1

2 1

1

2 n+ 1

= 1 +

n=1

(1)n 1 3 (2n 1)2nn!

xn.

d) Folosind dezvoltarea n serie a functiei sinus:

sin x=n=0

(1)n x2n+1

(2n+ 1)!=x x

3

6 +

x5

5! ,

obtinem

f(x) =1

2(sin5x sin x) =1

2

n=0

(1)n52n+1 1

(2n+ 1)!x2n+1.


3/6

3

e) Despartim n fractii simple

f(x) = 3x

x2 + 5x+ 6=

3x

(x+ 2)(x+ 3)=

A

x+ 2+

B

x+ 3,

cu A =6 si B= 9. Folosim seria geometrica

1

1 x =n=0

xn = 1 +x+x2 +x3 + ,

si obtinem

f(x) =6x+ 2

+ 9

x+ 3=

31 + x2

+ 3

1 + x3=3

n=0

x

2

n+ 3

n=0

x

3

n

=n=0

3(1)n+1

2n +(1)n

3n1

xn

f) Folosim dezvoltarea n serie a functiei logaritm

ln(1 +x) =n=1

(1)n1 xn

n =x x

2

2 +

x3

3 ,

si obtinem

f(x) = ln(2

x)

ln(3 +x) = ln 2 + ln1

x

2 ln 3 ln1 +

x

3

= ln 2 n=1

xn

2nn ln 3

n=1

(1)n1 xn

3nn= ln

2

3

n=1

1

2n+

(1)n13n

xn

n

g) Derivata functiei se poate dezvolta n serie n felul urmator:

f(x) = 1

1 +x2 =

n=0

(1)nx2n.

Va rezulta prin integrare ca

f(x) =n=0

(1)n x2n+1

2n+ 1+ C.

Pentru x= 0 avem f(0) =C. Dar f(0) = arctg 0 = 0. Obtinem C= 0 si

arctg x=n=0

(1)n x2n+1

2n+ 1.


4/6


Problema 13.2. Sa se calculeze suma seriilor

a)

n=0

(n+ 1)xn d)

n=1

(

1)n1n(2n

1)x2n

b)n=1

n+ 3

3n e)

n=1

(1)n+1n(2n 1)

c)n=1

(n 1)xn f)n=0

(1)nn22nn!

.

Pentru problemele a), c) si d) sa se calculeze si raza de convergenta a seriilor.

Solutie 13.2. a) Raza de convergenta a unei serii de puteri

n=0anxn se poate calcula

cu formula

R= limn |an

||an+1| .Cu aceasta raza de convergenta a seriei date este

R= limn

n+ 1

n+ 2= 1.

Pentru a calcula suma seriei pornim de la seria geometric a

n=0

xn+1 = x

1 x .

Derivand fiecare membru se obtine

n=0

xn+1

=

x

1 x

, adican=0

(n+ 1)xn = 1

(1 x)2 .

b) Scriemn=1

n+ 3

3n =

n=1

n+ 1

3n + 2

n=1

1

3n.

Folosind rezultatul de la a) obtinem

n=1

n+ 1

3n

=

n=0

n+ 1

3n

1 =

11 132 1 =

5

4

.

Cu ajutorul seriei geometrice

n=1

1

3n =

n=1

1

3

n=

1

3 1

1 13=

1

2.

Asadarn=1

n+ 3

3n =

5

4+ 2 1

2=

9

4.


5/6

5

c) Raza de convergenta este R = limnn1n

= 1. Suma seriei se calculeaza pornind dela seria

n=1

xn1 = 1

1

x.

Prin derivare se obtinen=1

(n 1)xn2 = 1(1 x)2 .

Inmultind cu x2 egalitatea anterioara, rezulta

n=1

(n 1)xn = x2

(1 x)2 .

d) Raza de convergenta este

R = limn

|(1)n1

n(2n 1)||(1)n(n+ 1)(2n+ 1)| = limn n(2n 1)(n+ 1)(2n+ 1) = 1.

Pentru a calcula suma seriei consideram

n=1

(1)n1x2n =n=1

x2n = 11 +x2

1

= x2

1 +x2.

Derivand aceasta relatie de doua ori obtinem

n=1

(1)n12n(2n 1)x2n2 =

x2

1 +x2

=

2x

(1 +x2)2

=2(1 3x2)

(1 +x2)3 .

Impartind cu 2 si nmultind cu x2 rezulta

n=1

(1)n1n(2n 1)x2n = x2(1 3x2)(1 +x2)3

.

e) Consideram suma seriei

n=1

(1)n+1x2n2 =n=1

x2n1 = 11 +x2

.

Integrandn=1

(1)n+1 t0

x2n2 dx= t0

dx1 +x2,

se obtinen=1

(1)n+1 t2n1

2n 1= arctg t.

Integrand din nou

n=1

(1)n+1 12n 1

u0

t2n1dt=

u0

arctg t dt,


6/6


rezultan=1

(1)n+1 u2n

2n(2n 1)= u0

arctg t dt.

Inmultind relatia cu 2 si luand u= 1 avem

n=1

(1)n+1 1n(2n 1)= 2

10

arctg t dt= 2

t arctg t

1

0

10

t

1 +t2dt

=

2 ln(1 +t2)

10

=

2 ln 2.

f) Calculam suma seriei generale

n=0n2xn

n! =

n=1n2xn

n! =

n=1nxn

(n 1)! =

n=1(n 1)xn(n 1)! +

n=1xn

(n 1)!

=n=2

(n 1)xn(n 1)! +x

n=1

xn1

(n 1)! =n=2

xn

(n 2)!+xex

=x2n=2

xn2

(n 2)!+xex =x2ex +xex.

Pentru x=12

rezultan=0

(1)nn22nn!

=1

4e

1

2 12

e1

2 = 14

e.

Probleme propuse

13.3. Sa se dezvolte n serie de puteri urmatoarele functii n jurul punctului x0 = 0

a)f(x) = 1

2x 3 , x=3

2; e)f(x) = 3

1 +x, x R;

b)f(x) = 1

(x 1)(3x+ 1) , x= 1,1

3; f)f(x) =

1

2ln

1 + x

1 x , x(1, 1);

c)f(x) = cos2 x, x R; g)f(x) = ln(x+

1 +x2), xR;

d)f(x) =ex2

, xR; h)f(x) = arcsin x, x[1, 1].13.4. Sa se calculeze suma seriilor

a)n=0

(1)nn(n+ 1)xn d)n=1

x2n

2n 1

b)n=1

n2

2n e)

n=1

n2 + 2n

n! xn.

note de seminar 13

Documents