Încovoierea barelor drepte - mec.upt.romec.upt.ro/rezi/dana_ebook/capitolul06.pdf · da2. În...

Click here to load reader

Post on 10-Sep-2019

17 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • CAPITOLUL 6

    ÎNCOVOIEREA BARELOR DREPTE

    6.1. Încovoierea pură. Formula lui Navier. Considerăm bara de secţiune dreptunghiulară din Fig.6.1, pentru care s-au trasat diagramele de eforturi T şi M.

    Fig.6.1

    Se observă că pe tronsonul dintre forţe (2-3) forţa tăietoare este nulă (T = 0) şi momentul încovoietor este constant (M = F⋅a). Încovoierea pură este solicitarea cu moment încovoietor constant şi forţă tăietoare nulă. Barele solicitate la încovoiere se numesc grinzi. Într-o secţiune oarecare a unei grinzi solicitate la încovoiere pură apar numai tensiuni normale, produse de momentul încovoietor. Se consideră un element de lungime dx din tronsonul solicitat la încovoiere pură, reprezentat în Fig.6.2. Se admite că planul forţelor este un plan de simetrie al barei (xOy), deci secţiunea barei este simetrică în raport cu planul forţelor. Atunci axa verticală a secţiunii Oy este axă principală de inerţie şi vectorul moment încovoietor M , perpendicular pe planul forţelor, este aplicat pe axa principală Oz : M = Mz.

  • Capitolul 6 72

    Fig.6.2

    Lungimea dx a elementului de grindă este delimitată de liniile AB şi CD perpendiculare pe axa longitudinală Ox a grinzii, acestea reprezentând două secţiuni normale ale grinzii. În urma aplicării momentului încovoietor M grinda se deformează, iar elementul de lungime dx ia forma A'B'C'D'. Se constată că secţiunile A'B' şi C'D' rămân tot plane şi perpendiculare pe axa deformată a grinzii, iar axa grinzii RS, care iniţial era linie dreaptă, se curbează. Aceasta înseamnă că este aplicabilă ipoteza secţiunilor plane a lui Bernoulli. Se observă că în urma deformaţiei segmentele BC, HK se lungesc, iar segmentul AD se scurtează. Dreptele A'B' şi C'D' din Fig.6.2.a. sunt concurente într-un punct Q, care este centrul de curbură al arcelor A'D', RS, H'K' şi B'C'. Linia RS care uneşte centrele de greutate ale tuturor secţiunilor transversale, numită fibra medie a grinzii, rămâne de lungime neschimbată, deci se poate scrie relaţia : ϕ⋅ρ= ddx (6.1) În relaţia (6.1) ρ este raza de curbură a fibrei medii deformate. Se consideră o fibră HK, paralelă cu axa grinzii, situată la distanţa y de fibra medie. În urma deformării HK se lungeşte, devenind arcul H'K', de lungime:

    ( ) ϕ+ρ=′′ dyKH ,

  • Încovoierea barelor drepte 73

    Astfel, creşterea lungimii fibrei HK este:

    ( ) ( ) ϕ=ϕρ−ϕ+ρ=−′′=Δ=Δ ydddyHKKHdxHK ,

    iar deformaţia specifică a acestei fibre va fi:

    ρ

    =ϕρϕ

    =εy

    dyd

    dxdx

    (6.2)

    Relaţia (6.1) se poate scrie şi astfel:

    θ=ρ

    =ϕ 1

    dxd

    (6.3)

    În relaţia (6.3) raportul dxdϕ

    reprezintă unghiul cu care se rotesc una faţă de

    cealaltă două secţiuni normale, situate iniţial la distanţa dx şi se numeşte rotire specifică, notându-se cu θ. Relaţia (6.2) devine:

    yy ⋅θ=ρ

    =ε (6.4)

    Relaţia (6.4) arată că deformaţia specifică variază liniar pe secţiune, aceasta fiind o consecinţă a ipotezei lui Bernoulli. În Fig.6.3. s-a reprezentat grafic variaţia deformaţiei specifice ε pe secţiune.

    Fig.6.3 În cazul materialelor pentru care este valabilă legea lui Hooke, tensiunea va fi: σ = E⋅ε , deci legea de variaţie a tensiunii normale pe secţiune va fi de forma:

  • Capitolul 6 74

    yEyEρ

    =θ=σ (6.5)

    Tensiunea normală variază liniar pe secţiune ca în Fig.6.3. Pentru a afla legătura dintre tensiunile normale şi momentul încovoietor se scriu pe secţiunea considerată ecuaţiile de echivalenţă din mecanică. Tensiunile normale σ (Fig.6.2.b) produc pe secţiune eforturi elementare dF=σdA paralele. Întrucât nu există forţă axială, iar momentul încovoietor este dirijat după axa Oz, ecuaţiile de echivalenţă vor fi:

    ( )

    ( )

    ( ) MydAdFyM

    0zdAdFzM

    0dAdFF

    AAz

    AAy

    AAx

    =σ=⋅=

    =σ=⋅=

    =σ==

    ∫∫∑

    ∫∫∑

    ∫∫∑

    Înlocuind în relaţiile de mai sus tensiunea σ cu expresia (6.5) şi ţinând cont de faptul că raza de curbură ρ este constantă rezultă:

    0S0SEydAEydAE zzAA

    =⇒=ρ

    =ρ ∫∫ (6.6)

    0I0IEyzdAEyzdAE yzyzAA

    =⇒=ρ

    =ρ ∫∫ (6.7)

    MEIMIEdAyEyydAE zzA

    2

    A

    ⇒=ρ

    =ρ ∫∫ (6.8)

    Relaţia (6.6) arată că axa Oz trece prin centrul de greutate G al secţiunii, deci G ≡ O, întrucât momentul static în raport cu axa Oz este nul (Sz = 0). Aceasta se numeşte axa neutră a secţiunii. Conform relaţiei (6.5), tensiunile normale sunt nule pe axa neutră, cresc liniar cu distanţa y la axa neutră, fiind maxime pe fibrele extreme ale secţiunii (unde y = ymax). Cum Oy este axă de simetrie pentru secţiune, ţinând cont de relaţia (6.7) conform căreia momentul de inerţie centrifugal Izy este nul, rezultă că Oy şi Oz sunt axe principale de inerţie ale secţiunii. Relaţia (6.8) face legătura între tensiunile normale σ şi momentul încovoietor M. Utilizând relaţia (6.5) se obţine:

  • Încovoierea barelor drepte 75

    z

    zz

    IyMMI

    yMEI ⋅=σ⇒=σ⇒=

    ρ (6.9)

    Relaţia (6.9), numită formula lui Navier, dă valoarea tensiunii normale σ în orice punct al secţiunii în funcţie de variabila y. Apariţia momentului de inerţie axial Iz în această formulă arată că momentele de inerţie axiale sunt mărimi care intră în calculele de rezistenţă la solicitarea de încovoiere. În formula lui Navier atât momentul încovoietor M, cât şi variabila y se introduc cu semn, deci tensiunea va fi pozitivă, negativă sau nulă (pe axa neutră a secţiunii). În calculele de rezistenţă interesează, în special, valoarea maximă a tensiunii normale, care se produce pe fibrele extreme ale secţiunii, de cotă ymax:

    minz

    max

    zz

    maxmax W

    M

    yIM

    IyM

    ==⋅

    =σ (6.10)

    În relaţia (6.10) s-a definit un alt element geometric al secţiunii, numit modul de rezistenţă la încovoiere, notat Wz:

    max

    zz y

    IW = (6.11)

    Modulul de rezistenţă minim al secţiunii, din relaţia (6.10), pentru care rezultă valoarea maximă a tensiunii normale se obţine pe fibrele extreme ale secţiunii, pentru

    ymax: max

    zminz y

    IW = .

    Ca toate formulele de rezistenţă, formula (6.10) poate fi scrisă sub una dintre următoarele forme:

    a) Formulă de dimensionare:

    anecz

    MWσ

    =

    b) Formulă de verificare:

    aminz

    ef WM

    σ≤=σ

    c) Formulă de calcul al momentului încovoietor capabil:

  • Capitolul 6 76

    aminzcap WM σ=

    6.2. Variaţia tensiunii normale pe secţiunea dreptunghiulară la solicitarea de încovoiere pură În Fig.6.4. s-a reprezentat variaţia tensiunii normale pe secţiunea dreptunghiulară a grinzii din Fig.6.1. Secţiunea dreptunghiulară are înălţimea h şi baza b. Tensiunea normală este maximă pe fibrele inferioare ale secţiunii, situate la cota ymax=y1=+h/2:

    23zz

    1max

    bhM6

    12bh

    2hM

    I2hM

    IyM

    ====σ

    Fig.6.4 Tensiunea normală minimă se obţine pe fibrele superioare ale secţiunii, de ordonată y2 = -h/2:

  • Încovoierea barelor drepte 77

    23zz

    2min

    bhM6

    12bh

    2hM

    I2hM

    IyM

    −=⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛−

    =⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛−

    ==σ

    Se observă că fibrele situate sub axa neutră Gz se lungesc (tensiune normală pozitivă, de întindere), iar cele superioare se scurtează (tensiune normală negativă, de compresiune). Cum axa neutră este o axă de simetrie a secţiunii, se observă că tensiunile normale extreme sunt egale în valoare absolută:

    σmax = ⎪σmin⎪

    Pentru secţiuni la care axa Gz nu este o axă de simetrie, această egalitate nu mai este valabilă, deoarece distanţele, în modul, la fibrele extreme ale secţiunii vor fi diferite: ⎪y1⎪ ≠ ⎪y2⎪. 6.3. Tensiuni normale şi tangenţiale în grinda solicitată la încovoiere simplă

    Fig.6.5

    Prin încovoiere simplă se înţelege solicitarea cea mai uzuală, produsă de acţiunea simultană a momentului încovoietor şi a forţei tăietoare. Din diagramele de eforturi T şi M construite pentru grinda din Fig.6.1. se observă că pe tronsoanele (1-2) şi (3-4) apare solicitarea de încovoiere simplă. În Fig.6.5. s-a reprezentat o secţiune normală a grinzii de pe tronsonul (1-2), situată la distanţa x' de reazemul 1.

  • Capitolul 6 78

    Într-un punct oarecare al secţiunii apar simultan o tensiune normală σ, produsă de momentul încovoietor M şi o tensiune tangenţială τ, produsă de forţa tăietoare T, a cărei expresie urmează să se stabilească. Datorită apariţiei tensiunilor tangenţiale secţiunile plane normale la axa longitudinală a grinzii în urma deformaţiei nu mai rămân plane, ci se deplanează. Această deplanare este mai accentuată în apropierea axei neutre a grinzii, unde se va vedea că tensiunile tangenţiale au valori maxime şi mai mică în apropierea fibrelor extreme ale secţiunii. Deci, datorită efectului forţei tăietoare, ipoteza lui Bernoulli a secţiunilor plane nu mai este valabilă şi nici formula lui Navier nu mai este exactă. Se demonstrează că pentru grinzi cu raportul h/l, dintre înălţimea secţiunii şi deschiderea grinzii, mic, cum este cazul grinzilor uzuale, formula lui Navier pentru calculul tensiunilor normale este aplicabilă. Vom studia tensiunile tangenţiale pentru grinzi la care este aplicabilă formula lui Navier. Datorită forţei tăietoare T, pe orice element de arie al secţiunii grinzii poate apărea o tensiune tangenţială τ, care se descompune în componentele τyx şi τzx, paralele cu axele secţiunii. Cum forţa tăietoare este orientată după axa Gy, componentele tensiunii tangenţiale trebuie să satisfacă următoarele ecuaţii de echivalenţă: 0dAT;TdAT

    Axzz

    Axyy =τ==τ= ∫∫ (6.12)

    Din relaţia (6.12) rezultă că pe secţiune componentele τzx, de-a lungul axei y, sunt fie nule fie de semne contrare, astfel încât rezultanta lor să fie nulă. Se consideră elementul de arie dA1, în vecinătatea conturului secţiunii (Fig.6.5). Componentei τzx îi corespunde componenta τxz de pe elementul de arie dA2. În Rezistenţa Materialelor se consideră că feţele exterioare ale elementelor de rezistenţă sunt nesolicitate acolo unde nu se aplică forţe exterioare. Putem scrie pentru elementele de arie dA1 şi dA2 următoarea egalitate: τxz = τzx = 0, deci există doar componenta τyx a tensiunii tangenţiale, paralelă cu conturul. Astfel, se poate deduce că tensiunile tangenţiale pe elementele de arie din vecinătatea conturului sunt totdeauna paralele cu conturul. Din acelaşi motiv, pe elementul de arie dA4 componenta τyx este nulă. Deci tensiunea τyx este nulă în vecinătatea fibrelor extreme, dar cum relaţia (6.12) arată că această componentă trebuie să existe, se deduce că τyx nu se distribuie uniform pe secţiune.

    Considerăm elementul de lungime dx din Fig.6.6, de pe tronsonul (1-2) al grinzii din Fig.6.1, situat la distanţa x' de reazemul 1 solicitat la încovoiere simplă.

    Pe cele două secţiuni normale care mărginesc elementul de lungime dx acţionează eforturile M, (M + dM), T, care produc respectiv tensiunile σ, (σ+dσ) şi τyx prezentate în Fig.6.6.b. Pentru elementul de volum haşurat, în planul orizontal CC', apar tensiuni tangenţiale τxy = τyx. Se admite următoarea ipoteză, numită ipoteza lui Juravski: pe o coardă BC paralelă cu axa neutră a secţiunii tensiunile tangenţiale τyx sunt constante (Fig.6.6.c).

  • Încovoierea barelor drepte 79

    Fig.6.6

    Fig.6.7 Se va studia echilibrul elementului de volum haşurat, de lungime dx, situat sub planul orizontal BC, reprezentat în Fig.6.7.

  • Capitolul 6 80

    Pe suprafaţa BCFH tensiunea normală pe elementul de arie dA situat la distanţa y1 de axa Oz este:

    z

    1IyM

    Pe întreaga suprafaţă BCFH, aceste tensiuni dau o forţă axială N:

    ( )zz

    zy

    y1

    zA z

    1

    A IMSN

    IBCFHMSdAy

    IMdA

    IyMdAN

    max

    =⇒===σ= ∫∫∫

    S-a notat cu S momentul static al părţii de secţiune BCFH, situată sub linia

    BC, calculat faţă de axa neutră Oz. În mod analog, pe faţa B'C'F'H' tensiunea normală va fi:

    z

    1I

    y)dMM(d +=σ+σ ,

    iar forţa axială rezultantă:

    z

    y

    y1

    zA z

    1

    A IS)dMM(dAy

    IdMMdA

    Iy)dMM(dA)d(dNN

    max +=

    +=

    +=σ+σ=+ ∫∫∫

    Se scrie ecuaţia de proiecţii a tuturor forţelor aplicate pe elementul de volum pe direcţia x. În această ecuaţie intră forţele N, (N+dN) şi forţa (τxybdx), produsă de tensiunile tangenţiale τxy pe faţa BB'CC':

    ( )z

    xyxyz

    xy IbdxSdM0bdx

    ISdM0dNNbdxN

    ⋅⋅⋅

    =τ⇒=τ+⋅

    −⇒=+−τ+

    Întrucât TdxdM

    = , se obţine expresia tensiunii tangenţiale care poartă numele

    de formula lui Juravski:

    z

    xy IbST

    ⋅⋅

    =τ (6.13)

    În formula lui Juravski T este forţa tăietoare din secţiune, Iz momentul de inerţie axial al întregii secţiuni în raport cu axa neutră, iar b lăţimea secţiunii la distanţa

  • Încovoierea barelor drepte 81

    y de axa neutră. Cum T şi Iz sunt constante pe secţiune, legea de variaţie a tensiunii tangenţiale τxy pe secţiune, de-a lungul axei y, este dată de variaţia raportului S/b. 6.4. Variaţia tensiunilor tangenţiale pentru diferite secţiuni uzuale

    a) Secţiunea dreptunghiulară Pentru secţiunea dreptunghiulară din Fig.6.8, cu baza b şi înălţimea h, se consideră fibra BC, la distanţa y de axa neutră Gz. Această fibră delimitează aria haşurată A', a cărui moment static în raport cu axa neutră este:

    ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛−⋅=⎟

    ⎠⎞

    ⎜⎝⎛ −⋅⋅

    ⎟⎟⎟⎟

    ⎜⎜⎜⎜

    ⎛ −+=⋅= 2

    2

    G y4h

    2by

    2hb

    2

    y2h

    y'A'yS

    Fig.6.8

    Pentru secţiunea dreptunghiulară: .bhA;12bhI

    3

    z == Astfel, expresia

    tensiunii tangenţiale va fi:

  • Capitolul 6 82

    ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛−=⎟

    ⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛−=

    ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛−

    ==τ 2

    2

    2

    2

    2

    2

    3

    22

    zxy h

    y65,1AT

    hy

    h4h

    AT6

    12bhb

    y4

    h2bT

    bITS

    (6.14)

    Tensiunea tangenţială variază parabolic în funcţie de y, fiind nulă pe fibrele extreme, pentru y = h/2 şi maximă pe axa neutră:

    AT5,1maxxy =τ (6.15)

    b) Secţiunea circulară

    Fig.6.9 Pentru secţiunea circulară din Fig.6.9, de diametru d se consideră o fibră BC situată la distanţa y de axa neutră. Lăţimea acestei fibre este b, iar grosimea elementului de arie dublu haşurată este dy. Aceste mărimi se pot calcula în funcţie de raza r a secţiunii şi de unghiul θ astfel: y = r⋅cosθ b = 2r⋅sinθ dy = r⋅sinθ⋅dθ Se calculează momentul static al suprafeţei haşurate ca o integrală pentru fâşiile de arie dA = bdy:

  • Încovoierea barelor drepte 83

    3sinr2

    3sinr2S

    dcossinr2dsinrsinr2cosrbdycosrydAS

    33

    0

    33

    0

    23

    0AA

    θ=

    ⎥⎥⎦

    ⎢⎢⎣

    ⎡ θ=⇒

    θ⋅θ⋅θ=θ⋅θ⋅θ⋅θ=⋅θ==

    θ

    θθ

    ∫∫∫∫

    Se cunoaşte momentul de inerţie axial pentru suprafaţa circulară:

    4r

    64dI

    44

    z⋅π

    =⋅π

    =

    Cu ajutorul acestor mărimi se determină expresia tensiunii tangenţiale:

    θ=⋅π

    θ⋅

    θ⋅==τ 24

    33

    zxy sinA3

    T4

    4rsinr2

    sinr32T

    bITS

    (6.16)

    Tensiunea tangenţială variază după legea de variaţie a funcţiei sin2θ, fiind nulă în punctele extreme, pentru θ = 0 şi maximă pe axa neutră, pentru θ = π/2.

    AT33,1

    A3T4

    maxxy ≅=τ (6.17)

    c) Secţiunea în formă de I

    Secţiunea din Fig.6.10. se consideră formată din dreptunghiuri. Se observă că momentul static S variază continuu, parcurgând secţiunea de la axa neutră spre fibrele extreme. În punctul B apare un salt al lăţimii b care produce o discontinuitate a parabolei de variaţie a tensiunii tangenţiale. Deci datorită formei sale, la această secţiune se produc tensiuni tangenţiale destul de mari în apropiere de fibrele extreme, la trecerea de la talpă la inimă.

  • Capitolul 6 84

    Fig.6.10

    6.5. Aplicaţie Pentru grinda din Fig.6.11.a, cu secţiunea prezentată în Fig.6.11.b, se cer:

    a) Diagramele cotate de eforturi T şi M; b) Dimensionarea secţiunii pentru σa = 120 N/mm2; c) Diagrama tensiunii normale σ pe secţiunea periculoasă la încovoiere; d) Diagrama tensiunii tangenţiale τ în secţiunea periculoasă la forfecare.

    a) Calculul reacţiunilor în reazemele 1 şi 2

    ( )

    ( ) KN75,44

    5,066210Y021p1

    22p2MY40M

    KN25,134

    105,363Y0232p3Y4M0M

    113

    331

    =⋅−⋅+

    =⇒=+−−⇒=

    =−⋅⋅

    =⇒=⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ +−+⇒=

    Verificarea calculului reacţiunilor: ( ) 01825,1375,4p3YYF 31y =−+=−+=∑

  • Încovoierea barelor drepte 85

    Fig.6.11 Determinarea funcţiilor de eforturi T şi M pe tronsoanele grinzii: Tronsonul (1-2), x ∈ [0; 2m] T(x) = Y1 = 4,75 KN M(x) = Y1⋅x = 4,75x ⇒ M1(0) = 0 M2(2) = 9,5 KNm Tronsonul (4-3), x ∈ [0; 1m] T(x) = px = 6x ⇒ T4(0) = 0 T3(1) = 6 KN M(x) = -px⋅x/2 = -6x2/2 ⇒ M4(0) = 0 M3(1) = -3 KNm

    Tronsonul (3-2), x ∈ [0; 2m] T(x) = -Y3 + (1+x)p = -7,25 + 6x ⇒ T3(0) = -7,25 KN T2(2) = 4,75 KN Funcţia T(x) se anulează pentru xo = 7,25/6 = 1,2 m M(x) = Y3⋅x - p(1+x)2/2 = -3 + 7,25x - 3x2 ⇒ M3(0) = -3 KNm M(xo) = 1,38 KNm M2(2) = -0,5 KNm

    Pe baza funcţiilor de eforturi s-au trasat diagramele cotate ale eforturilor T şi M din Fig.6.12.

  • Capitolul 6 86

    Fig.6.12

    b) Dimensionarea secţiunii grinzii se face în secţiunea periculoasă la încovoiere. Această secţiune este secţiunea 2, în care acţionează momentul încovoietor maxim M = 9,5 KNm.

    Din Fig.6.13.a. se observă că secţiunea grinzii este simetrică faţă de axa Oy, deci centrul de greutate al secţiunii compuse G va fi situat pe această axă. În raport cu sistemul de referinţă ZOy, poziţia centrului de greutate al secţiunii compuse din două dreptunghiuri de arii A1 şi A2, va fi:

  • Încovoierea barelor drepte 87

    ( )t33,2

    t6t122t6t2t6tt)t2t6(

    AyA

    y 22i

    iGiG =

    +

    ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ +⋅+⋅

    =⋅

    =∑

    Fig.6.13

    Distanţele dintre centrele de greutate G şi G1, respectiv G şi G2 sunt: c1 = -(yG - yG1) = -1,33t ; c2 = yG2 - yG = 2,67t Pentru calculul momentului de inerţie axial Iz al secţiunii vom aplica relaţiile lui Steiner:

    ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )

    4z

    23

    23

    422

    22

    322

    1121

    311

    22222z1

    2111z2z1zz

    t86I

    667,212611233,1

    1226thbc

    12hbhbc

    12hb

    AcAIAcAIAIAII

    =

    ⎥⎥⎦

    ⎢⎢⎣

    ⎡⋅+

    ⋅+⋅−+

    ⋅=

    ⎥⎥⎦

    ⎢⎢⎣

    ⎡++

    ⎥⎥⎦

    ⎢⎢⎣

    ⎡+=

    =+++=+=

    Modulul de rezistenţă minim al secţiunii se calculează astfel:

    34

    max

    zminz t16,15t67,5

    t86y

    IW === (1)

  • Capitolul 6 88

    Relaţia de dimensionare la încovoiere este:

    [ ] 33

    2

    6

    aznec mm1016,79

    mmN120

    Nmm105,9MW ⋅=

    ⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡

    ⋅=

    σ= (2)

    Egalând la limită mărimile date de relaţiile (1) şi (2), se obţine dimensiunea necesară tnec:

    mm34,1716,151016,79t1016,79t16,15WW 3

    3

    nec33

    necznecminz =⋅

    =⇒⋅=⇒=

    Se alege valoarea efectivă t = 18 mm. Cu această valoare, momentul de inerţie axial va fi: Iz = 9,028⋅106 mm4.

    c) Cu ajutorul formulei lui Navier se vor determina valorile extreme ale tensiunii care apar pe fibrele (1-1) de ordonată y11 = -2,33t, respectiv pe fibrele (3-3) de ordonată y33 = 5,67t (Fig.6.13.a):

    ( )26

    6

    z

    1111

    mmN13,44

    10028,91833,2105,9

    IyM

    −=⋅

    ⋅−⋅=

    ⋅=σ

    ( )

    26

    6

    z

    3333

    mmN39,107

    10028,91867,5105,9

    IyM

    +=⋅

    ⋅+⋅=

    ⋅=σ

    Diagrama tensiunii normale pe secţiunea periculoasă este prezentată în Fig.6.13.b. d) Forţa tăietoare maximă este conform diagramei T: Tmax = T = ⎪-7,25⎪ KN Tensiunile tangenţiale τ se determină cu formula lui Juravski. Tensiunile tangenţiale pe fibrele extreme ale secţiunii sunt nule, deci τ11= τ33 = 0. Tensiunile tangenţiale pe fibrele (2-2), pentru care b22 = 6t, respectiv (2'-2'), cu b2'2' = t sunt:

    ( ) ( )26

    33

    z22

    z22

    mmN7,0

    10028,91861833,1261025,7

    Ib22ST

    =⋅⋅⋅

    ⋅⋅⋅=

    ⋅=τ

    ( ) ( )

    26

    33

    z'2'2

    z'2'2

    mmN15,4

    10028,91811833,1261025,7

    Ib'2'2ST

    =⋅⋅⋅

    ⋅⋅⋅=

    ⋅=τ

    Pe axa neutră zG, tensiunea tangenţială va fi:

  • Încovoierea barelor drepte 89

    ( )26

    33

    zG

    zG

    mmN18,4

    10028,9181

    18267,567,511025,7

    IbGST

    =⋅⋅⋅

    ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅

    =⋅

    Diagrama tensiunii tangenţiale este reprezentată în Fig.6.13.c.