vibratiile mediilor continue -...
TRANSCRIPT
Liviu BERETEU
VIBRAŢIILE MEDIILOR CONTINUE
2010
2
5. VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE......................... 5.1.Vibraţiile longitudinale ale barelor drepte.................................................................
5.1.1.Deducerea ecuaţiei de mişcare............................................................................... 5.1.2.Condiţii iniţiale şi la limită.................................................................................... 5.1.3.Vibraţii longitudinale libere. Metoda separării variabilelor.................................. 5.1.4.Relaţii de ortogonalitate......................................................................................... 5.1.5.Vibraţii longitudinale amortizate ale barei............................................................ 5.1.6.Vibraţii longitudinale forţate ale barei...................................................................
5.2.Vibraţii de răsucire ale barelor.................................................................................. 5.3.Vibraţii transversale ale barelor.................................................................................
5.3.1.Deducerea ecuaţiei vibraţiilor transversale............................................................. 5.3.2.Condiţii iniţiale şi la limită..................................................................................... 5.3.3.Vibraţii libere transversale ale barelor................................................................... 5.3.4.Relaţii de ortogonalitate.........................................................................................
5.4.Probleme.................................................................................................................... 6. METODE NUMERICE ŞI APROXIMATIVE 6.1.Evaluarea numerică a răspunsului sistemului cu un grad de libertate.......................
6.1.1.Soluţia numerică bazată pe interpolarea forţei perturbatoare................................. 6.1.2.Integrarea numerică pas cu pas...............................................................................
6.2.Evaluarea numerică a răspunsului sistemelor liniare cu mai multe grade de libertate............................................................................................................................
6.2.1.Metoda diferenţelor finite....................................................................................... 6.2.2.Metoda Newmark....................................................................................................
6.3.Metode analitice aproximative................................................................................... 6.3.1.Calculul energiei cinetice şi potenţiale pentru sisteme continue............................ 6.3.2.Aplicarea ecuaţiilor lui Lagrange pentru sistemele continue în metoda modurilor
presupuse....................................................................................................................................... 6.3.3.Metoda Rayleigh..................................................................................................... 6.3.4.Metoda Rayleigh – Ritz.......................................................................................... 6.3.5.Metoda Galerkin.....................................................................................................
6.4.Evaluarea numerică a pulsaţiilor proprii şi a vectorilor proprii................................. 6.4.1.Metoda puterii folosind matricea de eliminare....................................................... 6.4.2.Metoda raportului Rayleigh.................................................................................... 6.4.3.Metoda matricelor de transfer.................................................................................
6.5.Probleme.................................................................................................................... BIBLIOGRAFIE............................................................................................................
3
1 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE În primele patru capitole modelele analitice folosite au fost modele cu parametrii discreţi. Există sisteme mecanice, în care masele elementelor deformabile sunt comparabile cu masele elementelor rigide, pentru care modelul cu parametrii discreţi nu mai este satisfăcător şi pentru care se folosesc modelele sistemului continuu. În aceste modele forţele de inerţie sunt distribuite în tot volumul, iar deplasarea în mişcarea vibratorie este o funcţie continuă de punct (poziţie) şi de timp. Sistemul are un număr infinit de grade de libertate, corespunzător valorilor cu care funcţia deplasare descrie poziţia punctelor corpului.
5.1. Vibraţiile longitudinale ale barelor drepre 5.1.1. Deducerea ecuaţiei de mişcare Se consideră, pentru început, deformaţii longitudinale în lungul unei bare drepte (fig. 5.1.a.). Pentru deducerea ecuaţiei de mişcare a vibraţiei axiale, se separă un element de lungime Δx (fig. 5.1.b.). Fie ( )txu , deplasarea secţiunii transversale în lungul direcţiei axiale, ( )txq , forţa axială aplicată externă pe unitatea de lungime, ( )tuxr ,, forţa axială de frecare internă, iar ( )txN , şi ( )txxN ,Δ+ forţele axiale din cele două secţiuni ale elementului considerat. ( )xA este aria secţiunii transversale, iar ( )xρ este densitatea, adică masa unităţii de volum.
Fig. 5.1
Se consideră ipotezele din rezistanţa materialelor:
a) Secţiunile transversale rămân plane şi rămân perpendiculare pe axa longitudinală.
4
b) Materialul este din punct de vedere elastic liniar. c) Proprietăţile de material E şi ρ sunt constante într-o secţiune transversală.
Pe baza acestor ipoteze se pot scrie următoarele relaţii:
( ) ( )
xu
xtxutxxu
x ∂∂
=Δ
−Δ+=
→Δ
,,lim0
ε (5.1)
( )x
txuEE∂
∂==
,εσ (5.2)
E fiind modulul de elasticitate longitudinal şi
( ) ( ) ( )x
txuxEAtxN∂
∂=
,, (5.3)
Scriind ecuaţia de echilibru dinamic pentru elementul considerat se obţine:
( ) ( ) ( ) ( ) 2
2
,,,,,txxAxtuxrtxNtxxNxtxq
∂∂
Δ=Δ−−Δ++Δ ρ (5.4)
unde, prin împărţire cu Δx şi trecere la limită, se obţine:
( ) ( ) ( ) ( ) 2
2
0,,,,,lim
tuAtuxrtxq
xtxNtxxN
x ∂∂
=−+Δ
−Δ+→Δ
ρ (5.5)
sau
( ) ( ) 2
2
,,,tuAtuxrtxq
xN
∂∂
=−+∂∂ ρ (5.6)
Înlocuind (5.3) în (5.6) se obţine:
( ) ( ) 2
2
,,,tuAtuxrtxq
xuAE
x ∂∂
=−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ (5.7)
Aceasta este ecuaţia de mişcare pentru vibraţiile axiale ale unei bare liniar elastice. În multe cazuri, bara este omogenă de secţiune constantă, iar forţa de frecare se consideră proporţională cu viteza, obţinându-se ecuaţia:
( )txqAx
uctuh
tu ,12 2
22
2
2
ρ=
∂∂
−∂∂
+∂∂
(5.8)
unde:
ρEc =2
Neglijându-se frecările şi considerând ( ) 0, =txq se obţine ecuaţia vibraţiilor libere:
2
22
2
2
xuc
tu
∂∂
=∂∂
(5.9)
având aceeaşi formă ca ecuaţia coardei vibrante.
5
5.1.2. Condiţii iniţiale şi la limită În continuare, pentru caracterizarea complet a vibraţiilor longitudinale, sunt necesare precizarea unor condiţii suplimentare. O categorie de condiţii rezidă din faptul că soluţiile se propagă în timp din nişte condiţii iniţiale date. Pentru ecuaţia diferenţială (5.8) acestea sunt de forma:
( ) ( )xtxut
ϕ==0
, , ( ) ( )xt
txu
t
ψ=∂
∂
=0
, (5.10)
unde ( )xϕ şi ( )xψ sunt funcţii cunoscute. Cea de-a doua categorie de condiţii rezidă din faptul că soluţiile trebuie să satisfacă ecuaţia diferenţială (5.8) într-un domeniu închis de câteva condiţii de frontieră (limită) ale domeniului. Condiţiile la limită pot fi împărţite în două clase distincte, fiecare reflectând diferite tipuri de condiţii fizice. Prima clasă reflectă constângerile geometrice (deplasări, unghiuri), iar a doua clasă forţele (şi/sau momentele) de pe frontieră. În cazul vibraţiilor longitudinale, primul tip de condiţii la limită, numite şi condiţii geometrice, sunt de forma: ( ) ( )tstxu
x 10, =
= , ( ) ( )tstxux 21
, == (5.11)
unde ( )ts1 şi ( )ts2 sunt deplasări cunoscute. Pentru cel de-al doilea tip de condiţii, numite şi condiţii naturale, din (5.3) se obţine:
( )tNEAx
u
Lx
1=
∂∂
=
(5.12)
unde ( )tN este forţa ce acţionează la capătul Lx = . Cele mai frecvent întâlnite condiţii la limită, în cazul vibraţiilor longitudinale ale barelor, sunt:
a) Capetele încastrate (I – I) ( ) 0,
0=
=xtxu şi ( ) 0, =
=Lxtxu
(5.13)
b) Un capăt liber şi altul încastrat (L – I) ( ) 0,
0
=∂
∂
=xxtxu
şi ( ) 0, ==Lx
txu
(5.14)
c) Ambele capete libere (L – L) ( ) 0,
0
=∂
∂
=xxtxu
şi ( ) 0,
=∂
∂
=Lxxtxu
(5.15)
Pe lângă aceaste condiţii la limită, se mai întâlnesc şi cele arătate în fig. 5.2.
6
Fig. 5.2
Ecuaţia de mişcare pentru masa m este:
( )Lxt
umtLN=∂
∂= 2
2
, (5.16)
iar din (5.3)
( )Lxx
uEAtLN=∂
∂=, (5.17)
se obţine pentru capătul Lx = condiţia:
LxLx t
umxuAE
== ∂∂
=∂∂
2
2
(5.18)
Pentru cazul din fig. 5.2.b. se scrie: ( ) ( )tkutN ,0,0 = (5.19) şi folosind din nou relaţia (5.3), se obţine:
( )tkuxuAE
x
,00
=∂∂
=
(5.20)
5.1.3. Vibraţii libere longitudinale ale bazelor. Metoda separării variabilelor Deoarece se neglijează frecările şi nu există forţe exterioare care să acţioneze asupra barei, aceasta este o problemă de vibraţii libere. Se va presupune că soluţia este separabilă în timp şi spaţiu. Din punct de vedere fizic, aceasta înseamnă că sistemul execută mişcări sincrone, adică fiecare punct al sistemului execută acelaşi tip de mişcare în timp. Se va considera soluţia ecuaţiei (5.9) de forma: ( ) ( ) ( )tTxUtxu ⋅=, (5.21) Punând condiţia ca aceasta să verifice ecuaţia (5.9), se obţine: ( ) ( ) ( ) ( ) 0=′′⋅−⋅ xUtEATtTxAUρ (5.22) care se poate separa în două ecuaţii diferenţiale ordinare.
λ===′′
constTT
UUc2 (5.23)
7
Cele două rapoarte ale unor funcţii de variabile diferite, pot fi egale doar dacă sunt constante, iar constanta λ trebuie să fie negativă ( )2p−=λ , deoarece soluţia trebuie să fie mărginită în timp. Urmează că: 02 =+ TpT (5.24)
02
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+′′ U
cpU (5.25)
Acestea au soluţiile: ( ) ptBptAtT sincos += (5.26)
( )cpxD
cpxCxU sincos += (5.27)
Egalitatea (5.23) poate fi satisfăcută pentru o infinitate de valori λ numite valori
proprii şi cărora le corespund funcţii proprii ( )xU . Valorile proprii se determină pe baza condiţiilor la limită impuse soluţiei ( )txu , , adică funcţiei ( )xU . Această ecuaţie, numită ecuaţie caracteristică, este întotdeauna transcendentă şi are o infinitate de rădăcini.
Fiecărei pulsaţii proprii rp ( )…,2,1=r îi corespunde o funcţie ( )tTr , respectiv o funcţie proprie ( )xU r , iar soluţia generală va fi de forma:
( ) ( ) ( )tTxUtxu rr
r ⋅= ∑∞
=1
,
(5.28) Cele mai frecvente tipuri de legături sunt date în Tabelul 1.
Tabelul 1. Tipuri
de legături
Condiţii limită
Ecuaţia caracteristică
Pulsaţii proprii Funcţii proprii
x=0 x=L I – L U=0 U'=0
0cos =cpL
( )
Lcrpr 2
12 π−= ( ) ( )
LxrCxUr 2
12sin π−=
I – I U=0 U=0 0sin =
cpL
Lcrprπ
= ( )LxrDxUrπsin=
L –L U'=0 U'=0 0sin =
cpL
Lcrprπ
= ( )LxrCxUrπcos=
Se constată că funcţiile proprii sunt determinate până la o constantă şi revenind la
soluţia generală (5.28), ţinând cont şi de (5.26), pentru bare (I – L) se poate scrie:
( ) ( ) ( )L
xrtpBtpAtxur
rrrr 212sinsincos,
1
π−+=∑
∞
= (5.29)
unde constantele rA şi rB se determină din condiţiile iniţiale. Conform condiţiilor iniţiale (5.10) rezultă:
8
( ) ( )L
xrAxr
r 212sin
1
πϕ −=∑
∞
= (5.30)
şi
( ) ( ) ( )L
xrBL
crx rr 2
12sin2
121
ππψ −−=∑
∞
= (5.31)
ceea ce reprezintă dezvoltări în serii Fourier, având coeficienţii:
( ) ( ) dxL
xrxL
AL
r 212sin2
0
πϕ −= ∫ (5.32)
şi
( ) ( ) ( ) dxL
xrxcr
BL
r 212sin
124
0
πψπ
−−
= ∫ (5.33)
astfel soluţia generală este complet determinată. Pentru celelalte cazuri, bare (I – I) şi bare (L – L) se urmăreşte acelaşi procedeu. 5.1.4. Relaţii de ortogonalitate Pornind de la ecuaţia vibraţiilor libere ale barelor:
2
2
tuA
xuEA
x ∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ
(5.34) pentru cazurile date în Tabelul 1. se poate scrie:
( ) UApUAE 2ρ−=′′ (5.35)
unde, pentru simplificare, U este scris în loc de U(x), iar U' în loc de dxdU
.
Relaţia (5.35) poate fi scrisă pentru oricare dintre valorile proprii. Fie rp şi sp două valori proprii distincte şi respectiv, ( )xU r şi ( )xU s funcţiile proprii corespunzătoare. Se poate scrie:
( ) rrr UApUAE 2ρ−=′′ (5.36) şi
( ) sss UApUAE 2ρ−=′′ (5.37) După înmulţirea relaţiei (5.36) prin ( )xU s , respectiv relaţia (5.37) prin ( )xU r şi prin integrare între limitele 0 şi L, se obţine:
( ) dxUAUpdxUAEU sr
L
rr
L
s ∫∫ −=′0
2
0
ρ (5.38)
şi
9
( ) dxUAUpdxUAEU sr
L
ss
L
r ∫∫ −=′0
2
0
ρ (5.39)
Integrând relaţiile (5.38) şi (5.39) prin părţi şi ţinând cont de condiţiile la limită din Tabelul 1. rezultă că:
dxUAUpdxUUEA sr
L
r
L
sr ∫∫ =′′0
2
0
ρ (5.40)
şi
dxUAUpdxUUEA sr
L
s
L
sr ∫∫ =′′0
2
0
ρ (5.41)
prin scăderea acestor două relaţii se obţine:
( ) 00
22 =− ∫ dxUAUpp sr
L
sr ρ (5.42)
dar sr pp ≠ , deci:
00
=∫ dxUAU sr
L
ρ (5.43)
şi din (5.40):
00
=′′∫ dxUUEAL
srρ (5.44)
Relaţiile (5.43) şi (5.44) reprezintă condiţiile de ortogonalitate pentru vibraţiile longitudinale ale barelor. Se spune că modurile proprii sunt ortogonale în raport cu distribuţia de masă, respectiv distribuţia de rigiditate. De asemenea, prin înmulţirea relaţiei (5.36) cu ( )xU r şi integrând pe domeniul [0,L] , se obţine:
( ) dxAUpdxUAEU r
L
rr
L
r2
0
2
0∫∫ −=′ ρ (5.45)
din care, prin integrare prin părţi şi folosind condiţiile de frontieră din Tabelul 1., se deduce:
( )
r
r
r
L
r
L
r MK
dxAU
dxUEAp =
′
=
∫
∫2
0
2
02
ρ (5.46)
unde
( ) dxUAEK r
L
r2
0
′= ∫ , dxAUM r
L
r2
0∫= ρ (5.47)
10
fiind rigiditatea modală, respectiv masa modală corespunzătoare modului natural r, a cărui formă modală este dată de funcţia proprie ( )xU r şi care este determibată până la o constantă. Tocmai de aceea, se introduce normarea funcţiilor proprii, corespunzând astfel, fiecărei funcţii o amplitudine unică. O astfel de normare poate fi astfel încât în punctul în care ( )xUr este maximă, să
aibe o valoare specificată ( ) 1max =xUr . Cea mai frecventă este însă normarea:
dxAUM r
L
r2
0∫= ρ (5.48)
unde pentru masa modală se ia 1=rM . Funcţiile ( )xφ care satisfac aceleaşi condiţii la limită ca şi setul de funcţii proprii, fără a satisface ecuaţia diferenţială (5.35), se numesc funcţii de comparaţie sau generatoare şi pot fi reprezentate prin serii convergente de forma:
( ) ( )xUx rr
r∑∞
=
=1αφ (5.49)
unde coeficienţii rα se por determina prin înmulţirea relaţiei (5.49) cu ( )dxxAU rρ şi integrarea pe domeniul (0,L). Ţinând cont şi de condiţiile de ortogonalitate, se obţine:
dxAU
dxUA
r
L
L
r
r2
0
0
∫
∫=
ρ
φρα (5.50)
5.1.5. Vibraţii longitudinale amortizate ale barei În prezenţa frecărilor, vibraţiile longitudinale ale barelor se vor stinge în timp, deci se vor amortiza. Presupunând o amortizare de natură vâscoasă, ecuaţia (5.8) se poate scrie:
2
22
2
2
2xuc
tuh
tu
∂∂
=∂∂
+∂∂
(5.51) Aplicând metoda separării variabilelor soluţia va fi de forma (5.21). Introducând-o în ecuaţia (5.51) se obţine, prin separarea variabilelor:
UUc
TThT ′′=
+ 22 (5.52)
Deoarece fiecare raport conţine câte o variabilă, ele pot fi egale numai dacă sunt constante, şi datorită mărginirii soluţiei în timp, această constantă trebuie să fie negativă. Dacă se ia - 2p constanta considerată, din (5.52) se poate scrie: 02 2 =++ TpThT (5.53)
11
şi 02
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+′′ U
cpU (5.54)
După cum se constată ecuaţia (5.54) este identică cu (5.25), ceea ce arată că valorile proprii şi funcţiile proprii sunt ca şi la vibraţiile libere neamortizate. Considerând
hp > , se obţine pentru funcţia ( )tT expresia: ( ) ( )tBtAetT ht αα sincos += − (5.55) unde
22 hp −=α Soluţia generală va fi de forma:
( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=∑
∞
=
−
cxpD
cxpCtBtAetxu r
rr
rrrrrr
ht sincossincos,1
αα (5.56)
unde constantele de integrare se vor determina pe baza condiţiilor iniţiale şi la limită ca şi pentru vibraţiile longitudinale neamortizate. 5.1.6. Vibraţiile longitudinale forţate ale barei Vibraţii forţate longitudinale ale barei pot să apară în cazul în care bara este acţionată printr-o forţă axială distribuită sau are condiţii la limită variabile în timp. În lipsa amortizării (h=0) şi presupunând o forţă axială distribuită ( ) ( ) txqtxq ωcos, 0= , ecuaţia (5.8) devine:
( )
tAxq
xuc
tu ω
ρcos0
2
22
2
2
=∂∂
−∂∂
(5.57)
Soluţia particulară a acestei ecuaţii, numită şi vibraţie forţată va fi de forma: ( ) ( ) txUtxu p ωcos, = (5.58) Punând condiţia să verifice ecuaţia (5.57) se obţine:
( )xqEA
Uc
U pp 02
2 1−=+′′
ω (5.59)
Evident că funcţia ( )xU p trebuie să fie o funcţie de comparaţie sau generatoare, deci se poate dezvolta în serie după funcţiile proprii:
( ) ( )xUxU rr
rp ∑∞
=
=1
α
(5.60) Considerând numai cazul barei ce verifică condiţiile la limită din Tabelul 1., prin înlocuirea relaţiei (5.60) în (5.59), se obţine:
( ) ( ) ( )xqEA
xUc
xU rrr
r 02
2
1
1−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+′′∑
∞
=
ωα (5.61)
Se înmulţeşte ecuaţia (5.61) cu ( )dxxAU rρ şi integrând pe domeniul (0,L),
ţinând cont şi de condiţiile de ortogonalitate, se obţine:
12
dxUqAEA
dxAUcc
pr
L
r
Lr
r 00
2
02
2
2
2 1∫∫ =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+− ρωα (5.62)
de unde se determină coeficienţii rα :
( ) ( ) ( )dxxUxqpL r
L
rr ∫−=
0022
2ω
α (5.63)
unde s-a ţinut cont că pentru funcţiile proprii din Tabelul 1., luând constanta
nedeterminată egală cu unitatea, ( )20
2 LdxxUL
r =∫ . Se constată că apare fenomenul de
rezonanţă pentru cazul în care pulsaţia forţei perturatoare este egală cu una din pulsaţiile proprii.
5.2. Vibraţiile de răsucire ale barelor
În cazul în care bara este supusă unor cupluri variabile de răsucire se produc vibraţii de răsucire sau de torsiune. Barele solicitate la răsucire se numesc arbori. Se va considera bara din fig. 5.3. supusă la răsucire prin intermediul unui cuplu distribuit, aplicat din exterior ( )txm , . Rotirea secţiunii situată la distanţa x va fi ( )tx,θ .
Fig. 5.3
Considerând un element de bară Δx, asupra lui vor acţiona cuplurile forţelor interioare de momente ( )txM , şi ( )txxM ,Δ+ , cuplurile distribuite de frecare ( ) xtxr Δ,,θ şi de perturbare ( ) xtxm Δ, .
Pentru efortul tangenţial se poate scrie legea lui Hooke: γτ G= (5.64) unde G este modulul de elasticitate transversal, iar γ este alunecarea specifică la distanţa r de centrul secţiunii:
13
( ) ( ) ( )
xtxr
xtxtxxr
x ∂∂
=Δ
−Δ+=
→Δ
,,,lim0
θθθγ (5.65)
Momentul forţelor interioare reduse în centrul secţiunii este:
( )x
GIdArdxdGdArtxM
∂∂
=== ∫∫∫∫θθτ 0
2, (5.66)
unde ( )xI0 este momentul de inerţie polar al secţiunii (momentul geometric). Dacă se notează cu ( )xJ0 momentul de inerţie axial (momentul mecanic) pentru unitatea de lungime a barei, se poate scrie ecuaţia de momente faţă de axa barei.
( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,,,2
2
0 =Δ+Δ−−Δ++∂∂
Δ− xtxmxtxrtxMtxxMt
xJ θθ
(5.67) Prin împărţire şi trecerea la limită se obţine:
( ) ( )txmtxrx
Mt
J ,,,2
2
0 +−∂∂
=∂∂ θθ
(5.68)
sau ţinând cont şi de relaţiile (5.64) şi (5.65)
( ) ( )txmtxrx
GIxt
J ,,,02
2
0 +−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
∂∂
=∂∂ θθθ
(5.69)
Considerând frecările neglijabile şi momentele exterioare perturbatoare nule se obţine:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
∂∂
=∂∂
xGI
xtJ θθ
02
2
0
(5.70) Pentru cazul barei omogene şi de secţiune constantă, ecuaţia vibraţiilor libere de răsucire va fi:
2
2
02
2
0 xGI
tJ
∂∂
=∂∂ θθ
(5.71)
Dacă se notează 2
0
0 cJ
GI= , ecuaţia (5.71) are aceiaşi formă ca şi ecuaţia vibraţiilor
longitudinale ale barei. Şi în acest caz pentru rezolvarea completă a problemei este necesar cunoaşterea condiţiilor iniţiale şi la limită. Condiţiile iniţiale pentru vibraţiile de răsucire vor fi de forma:
( ) ( )xtxt
ϕθ ==0
, ; ( ) ( )xt
tx
t
ψθ=
∂∂
=0
, (5.72)
Condiţiile la limită sunt determinate de legăturile existente la cele două extremităţi. Astfel, pentru un capăt încastrat, celălalt liber (I, L) condiţiile sunt:
( ) 0,0=
=xtxθ şi ( ) 0, 0 =
∂∂
=∂∂
===
=LxLx
Lx xxGItxM θθ
(5.73)
Dacă la un capăt se aplică un cuplu de moment ( )tM L , atunci condiţia la limită este:
14
( ) ( )tMGI LLx=′
=θ0 (5.74)
Deoarece, ecuaţia diferenţială a vibraţiilor de răsucire este asemenea cu cea a vibraţiilor longitudinale nu vor exista deosebiri în modul de determinare a soluţiilor.
5.3. Vibraţiile transversale ale barelor 5.3.1. Deducerea ecuaţiei vibraţiilor transversale Barele supuse solicitării de încovoiere se numesc grinzi. Se va considera grinda din fig. 5.4.a. a cărei axă nedeformată este axa Ox şi care va lua prin deformare forma din fig. 5.4.b. Deplasarea transversală a axei neutre în punctul de abscisă x la un moment t se notează cu ( )txv , . Pentru stabilirea ecuaţiei vibraţiilor trasversale se separă un element al barei, fig. 5.4.c. Prin separare se înlocuiesc legăturile cu forţele tăietoare ( )txxT ,Δ+ şi ( )txT , , respectiv momentele încovoietoare ( )txxM ,Δ+ şi ( )txM , . Asupra elementului se consideră că acţionează şi forţa perturbatoare pe unitatea de lungime ( )txq , . Se va considera că elementul sub acţiunea forţelor date şi de legătură va avea o mişcare plană. Prin ( )tx,θ s-a notat rotaţia secţiunii transversale, ( )tx,β este unghiul de
alunecare a secţiunii datorită efectului forţelor tăietoare, iar xv∂∂
este unghiul de înclinare
al axei neutre.
Fig. 5.4
15
Presupunând neglijabilă deplasarea în lungul axei Ox, se pot scrie două ecuaţii de echilibru pentru elementul considerat. Ecuaţia de proiecţii pe direcţia transversală se poate scrie:
( ) ( ) ( ) xtxqtxTtxxTtvxA Δ+−Δ+=
∂∂
Δ ,,,2
2
ρ (5.75)
iar ecuaţia de momente faţă de centrul de masă al elementului va fi:
( ) ( ) ( ) ( )2
,2
,,,2
2 xtxTxtxxTtxMtxxMt
xJ Δ−
ΔΔ+−−Δ+=
∂∂
Δθ
(5.76)
Împărţind cele două ecuaţii (5.75) şi (5.76) prin Δx şi trecând la limită pentru 0→Δx , se obţin ecuaţiile:
( )txqxT
tvA ,2
2
+∂∂
−=∂∂ρ (5.77)
şi
Tx
Mt
J −∂∂
=∂∂
2
2θ (5.78)
Pe de altă parte, din teoria de rezistenţa materialelor, se poate scrie:
EIM
x=
∂∂θ
(5.79)
xv
kAGT
∂∂
−== θβ (5.80)
Termenii 2
2
tJ∂∂ θ
şi kAGT
sunt numiţi în mod uzual, efecte de ordinul doi, unde
coeficientul k are valoarea 65
pentru secţiuni dreptunghiulare şi 109
pentru secţiuni
circulare. Primul termen a fost introdus de Rayleigh şi ţine cont de inerţia de rotaţie, iar al doilea a fost introdus de Timoshenko şi ţine cont de efectul deformaţiei de alunecare a secţiunilor sub acţiunea forţelor tăietoare. Eliminând T, M şi θ între relaţiile (5.77), (5.78), (5.79) şi (5.80) se obţine ecuaţia lui Timoshenko pentru bare omogene de secţiune constantă.
02
2
2
2
2
2
2
2
22
4
2
2
4
4
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
+∂∂
∂−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−−∂∂
tvAq
tkGAJ
tvAq
xkGAEI
txvJ
tvAq
xvEI ρρρ
(5.81) În ecuaţia (5.81) se pot identifica termenii de corecţie daţi de inerţia de rotaţie, respectiv de deformaţia de alunecare. Neglijând aceşti termeni, din ecuaţiile (5.77), (5.78), (5.79) şi (5.80) se deduce ecuaţia Euler – Bernoulli:
( )txqtvA
xvEI
x,2
2
2
2
2
2
=∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂ ρ (5.82)
care, în cazul barelor de secţiune constantă devine:
16
( )txqtvA
xvEI ,2
2
4
4
=∂∂
+∂∂ ρ (5.83)
În cazul particular ( ) 0, =txq se obţine ecuaţia vibraţiilor libere trasnversale ale grinzii:
04
42
2
2
=∂∂
+∂∂
xva
tv
(5.84)
unde
A
EIaρ
= (5.85)
Trebuie remarcat că efectul corecţiei dat de deformaţia de alunecare şi de inerţia de rotaţie creşte odată cu creşterea modului considerat şi descreşte cu lungimea şi inversul razei de giraţie. 5.3.2. Condiţii iniţiale la limită Pentru determinarea vibraţiilor transversale ale grinzii trebuie cunoscute condiţiile iniţiale, adică poziţia şi viteza fiecărui punct în momentul iniţial. Aceasta înseamnă să fie cunoscute funcţiile:
( ) ( )xtxvt
ϕ==0
, şi ( ) ( )xt
txv
t
ψ=∂
∂
=0
, (5.86)
De asemenea, trebuie cunoscute condiţiile limită date de legăturile pe care le are bara. Cele mai frecvente condiţii la limită sunt:
a) Capăt încastrat (I) ( ) 0,
0=
=xtxv şi ( ) 0,
0=′
=xtxv (5.87)
adică deplasarea şi unghiul de înclinare sunt nule.
b) Capăt simplu rezemat sau articulat (R) ( ) 0, =
=Lxtxv şi ( ) 0, =
=LxtxM (5.88)
ceea ce înseamnă că deplasarea şi momentul încovoietor sunt nule în capătul simplu rezemat. Ultima relaţie este echivalentă cu ( ) 0, =′′
=Lxtxv .
c) Capăt liber (L)
( ) 0, ==Lx
txT şi ( ) 0, ==Lx
txM (5.89) ceea ce înseamnă că la capătul liber nu există forţă tăietoare şi nici moment de încovoiere. Aceste relaţii pot fi scrise şi astfel:
03
3
=∂∂
=Lxxv
şi 02
2
=∂∂
=Lxxv
(5.90)
17
Astfel, în fiecare capăt se obţin două condiţii de frontieră. Condiţii diferite se obţin dacă în capătul barei este ataşată o masă m sau un arc (fig. 5.5.). Pentru fig. 5.5.a. se poate scrie din proiecţii de forţe:
( )Lxt
vmtLT=∂
∂= 2
2
, (5.91)
sau
LxLx t
vmxvEI
== ∂∂
=∂∂
2
2
3
3
(5.92)
iar din ecuaţia de momente: ( ) 0, =tLM sau ( ) 0, =′′
=Lxtxv (5.93)
Pentru cazul din fig. 5.5.b.: ( ) 0, =tLM sau ( ) 0, =′′
=Lxtxv (5.94)
şi
( )Lx
Lx
txTxvEI
==
=∂∂ ,3
3
sau ( )Lx
Lx
txvEIk
xv
==
=∂∂ ,3
3
(5.95)
Fig. 5.5.
5.3.3. Vibraţii libere transversale ale barelor Vibraţiile libere transversale ale barelor lungi şi subţiri, cazul Bernoulli – Euler sunt guvernate de ecuaţia:
( ) 0, =+″′′ vAvEI ρ (5.96) Pentru integrarea ecuaţiei (5.96) se va aplica metoda separării variabilelor, soluţia luându-se de forma:
18
( ) ( ) ( )tTxVtxv ⋅=, (5.97) unde ( )xV şi ( )tT sunt funcţii ce urmează a fi determinate. Înlocuind (5.97) în ecuaţia (5.96), aceasta, pentru bare omogene şi de secţiune constantă, devine: ( ) ( ) ( ) ( ) 0=⋅+⋅ tTxAVtTxEIV IV ρ (5.98) care poate fi separată în:
2pTT
VV
AEI IV
=−= (5.99)
Şi în acest caz rapoartele (5.99) sunt satisfăcute pentru orice x şi t numai dacă sunt egale cu aceeaşi constantă. Din condiţia de mărginire în timp rezultă că această constantă trebuie să fie pozitivă. Urmează că din ecuaţia (5.99) se poate scrie: 02 =+ TpT (5.100)
02 =− VpEIAV IV ρ
(5.101)
Ecuaţia (5.100) are soluţia de forma: ( ) ptBptAtT cossin += (5.102) iar pentru ecuaţia (5.101) soluţia este de forma rxe , obţinându-se ecuaţia caracteristică:
02
4 =−EIApr ρ
(5.103)
şi are rădăcinile λ=1r , λ−=2r , λir =3 , λir −=4 , unde λ este:
42
EIApρλ = (5.104)
Soluţia generală se va scrie: ( ) xFxExDchxCshxV λλλλ cossin +++= (5.105) Există cinci constante în soluţia generală, C, D, E şi F constante de integrare, iar pulsaţiile proprii p sunt asociate fiecărei valori proprii λ. Pentru determinarea acestor constante se folosesc condiţiile de limită (frontieră). În Tabelul 2. sunt date cazurile cele mai frecvente de legături la care poate fi supusă o bară, în care simbolul R reprezintă rezemarea. Tabelul 2. Tipul legăturii
Ecuaţia caracteristică
21X 2
2X 23X 2
4X 25X
I – L 0cos1 =+ xchx 3,516 22,03 61,69 120,9 199,8 R – R 0sin =x 9,869 39,47 88,82 157,9 246,7 I – I; L – L 0cos1 =− xchx 22,37 61,67 120,9 199,8 298,5 I – R; L – R thxtgx = 15,41 49,96 104,2 178,2 272,0
În acest tabel s-a notat:
19
LX rr λ= (5.106) de unde pulsaţiile proprii devin:
A
EILXp r
r ρ2
2
= (5.107)
Trebuie remarcat că pulsaţiile proprii nule corespunzătoare celor două moduri de corp rigid pentru bara L – L şi un mod de corp rigid pentru bara L – R nu sunt trecute în Tabelul 2. 5.3.4. Relaţii de ortogonalitate Pornind de la ecuaţia (5.98) şi observând că soluţia ecuaţiei este armonică de forma: ( ) ( ) ( )ϕ+⋅= ptxVxv cos (5.108) Înlocuind-o în ecuaţia (5.98) se obţine: VApEIV IV 2ρ= (5.109) Această ecuaţie poate fi scrisă pentru orice pereche: pulsaţie proprie, funcţie proprie. Fie rp , rV şi sp , sV două astfel de perechi. Se poate scrie:
rrIV
r VApEIV 2ρ= (5.110)
ssIV
s VApEIV 2ρ= (5.111) Se înmulţeşte ecuaţia (5.110) cu sV , iar (5.111) cu rV şi prin integrarea de două ori prin părţi pe domeniul (0, L), se obţine:
( ) dxVAVpdxVVEIVVEIVEIV sr
L
rs
L
rL
rsrs ∫∫ =⋅′′⋅′′+′′⋅′−′′′0
2
00
ρ (5.112)
( ) dxVAVpdxVVEIVVEIVEIV sr
L
ss
L
rL
srsr ∫∫ =⋅′′⋅′′+′′⋅′−′′′0
2
00
ρρ (5.113)
Ţinând cont de condiţiile de limită (5.87), (5.88) şi (5.89) şi prin scăderea ecuaţiilor (5.112) şi (5.113) se obţine pentru sr pp ≠ :
00
=∫ dxVAV sr
L
ρ (5.114)
iar din (5.112):
00
=⋅′′⋅′′∫ dxVVEI s
L
r (5.115)
adică relaţiile de ortogonalitate. În acelaşi mod, dacă se înmulţeşte ecuaţia (5.110) cu rV , prin integrare se obţine:
r
rr M
Kp =2 (5.116)
20
unde
( )dxxVEIKL
rr ∫ ′′=0
; ( )dxxAVML
rr ∫=0
2ρ (5.117)
reprezintă rigiditatea şi masa modală corespunzătoare modului r.
5.4. Probleme 5.4.1. O bară de lungime L, omogenă şi de secţiune constantă, este încastrată la ambele capete. Bara este adusă înt-o mişcare vibratorie longitudinală dându-li-se tuturor punctelor o viteză constantă 0v în lungul barei. Să se determine mişcarea rezultantă. Rezolvare:
Soluţia generală a vibraţiilor longitudinale pentru a lăsa capetele încastrate se poate scrie, folosind şi Tabelul 1., astfel:
( )Lxrt
LcrBt
LcrAtxu
rrr
πππ sinsincos,1∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
Din condiţiile iniţiale ( ) 00,
0=
=txu şi ( ) 00
, vtxut
== , se obţine:
( ) 0sin0,1
==∑∞
= LxrAxu
rr
π
( ) 01
sin0, vLxr
LcrBxu
rr ==∑
∞
=
ππ
din care rezultă:
0=rA şi dxLxrv
crB
L
rπ
πsin2
00∫= , adică:
cr
LvBr 22
04π
= , pentru r impar şi 0=rB pentru r par.
Mişcarea rezultantă va fi:
( )L
tcrLxr
rcLv
txur
⋅= ∑
∞
=
πππ
sinsin14,
3,122
0
5.4.2. O bară de lungime L este încastrată la un capăt şi legată printr-un arc de constantă k la celălalt capăt (fig. 5.6.). Să se deducă ecuaţia pulsaţiilor proprii.
21
Fig. 5.6.
Rezolvare: În cazul vibraţiilor longitudinale funcţiile proprii sunt de forma:
( ) xcpDx
cpCxU ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= sincos
Punând condiţiile de frontieră: ( ) 0
0=
=xxU şi ( ) ( )
LxLxxUAExkU
==′=−
se obţine din prima condiţie: 0=C , iar din a doua:
Lcp
cpAEL
cpk ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛− cossin sau
kcpAEL
cptg −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
.
Aceasta este ecuaţia pulsaţiilor proprii. Dacă rigiditatea arcului este foarte mică în comparaţie cu cea a barei, ecuaţia pulsaţiilor proprii este:
∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ L
cptg , adică:
( )L
crprπ12 −
=
sunt pulsaţiile proprii din cazul barei cu un capăt încastrat şi celălalt liber. 5.4.3. O bară de lungime L este încastrată la un capăt, iar la celălalt capăt este ataşată o masă concentrată m (fig. 5.7.). Să se determine ecuaţia pulsaţiilor proprii.
Fig. 5.7.
Rezolvare:
22
Condiţiile la limită în acest caz sunt: pentru capătul încastrat ( ) 0,0=
=xtxu , iar
pentru celălalt capăt: LxLx t
umxuAE
== ∂∂
−=∂∂⋅ 2
2
Soluţia generală a vibraţiilor longitudinale libere este de forma:
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=∑
∞
=
xcp
Dxcp
CtpBtpAtxu rr
rr
rrrrr sincossincos,
1,
din prima condiţie se obţine: 0=rC , iar din a doua:
LcpmpL
cp
cAEp r
rrr ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sincos 2 sau
r
r
mpcAL
cptg ρ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Aceasta este ecuaţia pulsaţiilor proprii. Dacă masa ataşată m este foarte mică, în comparaţie cu masa barei, ecuaţia
pulsaţiilor proprii devine: ∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ L
cptg r , adică
( )L
crprπ12 −
= .
Dacă masa ataşată m este mult mai mare decât masa barei: r
r
mpcAL
cptg ρ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
,
devine un raport foarte mic, pentru cea mai mică pulsaţie 1p , se poate scrie:
LcpL
cptg ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ 11
şi înlocuind în ecuaţia pulsaţiilor proprii:
1
1
mpcAL
cp ρ
=
de unde mLAEp =1 , adică pulsaţia unui sistem cu un grad de libertate, având masa m şi
constanta elastică L
AEk = .
5.4.4. O bară de lungime L este liberă la un capăt, iar celălalt capăt se mişcă după legea
tr sin⋅ (fig. 5.8.). Să se determine vibraţia forţată a barei.
23
Fig. 5.8.
Rezolvare: Vibraţia forţată a acestei bare se datoreşte condiţiilor de frontieră, care sunt: ( ) trtxu
xωsin,
0=
= şi
( ) 0,=
∂∂
=Lxxtxu
Deoarece interesează vibraţia forţată, aceasta va fi de forma: ( ) ( ) txUtxu pp ωsin, = . Înlocuind-o în ecuaţia diferenţială a vibraţiilor longitudinale
(5.9), se obţine:
( ) ( )xUtctxU pp ′′⋅=− ωωω sinsin 22 sau 02
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+′′ pp U
cU ω
Soluţia acestei ecuaţii este de forma:
( ) xc
Cxc
CxU p ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
ωω sincos 21
iar vibraţia forţată este:
( ) txc
Cxc
Ctxu p ωωω sinsincos, 21 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
Din condiţiile iniţiale se obţine: ( ) trtCtu ωω sinsin,0 1 == , adică rC =1
şi 0sincossin 2 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
∂∂
=
tLc
CLc
rcx
u
Lx
ωωωω
adică cLtgrC ω
⋅=2 , de unde vibraţia forţată va fi:
( ) txc
Lc
tgxc
rtxu ωωωω sinsincos, ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
24
Se constată că valorile pentru care pulsaţia mişcării capătului barei este egală cu pulsaţiile proprii ale barei
( )
Lcrpr 2
12 πω −== ,
fac amplitudinea vibraţiei ( )txup , infinit de mare. 5.4.5. Un disc de moment de inerţie J este rigid legat de capătul liber al unui arbore de lungime L (fig. 5.9.). Să se determine ecuaţia pulsaţiilor proprii pentru vibraţiile de torsiune ale arborelui.
Fig. 5.9.
Rezolvare: Ecuaţia diferenţială a vibraţiilor de răsucire este:
2
22
2
2
xc
t ∂∂
=∂∂ θθ
,
unde θ este unghiul de rotaţie al arborelui, iar ρGc =2 .
Soluţia generală a acestei ecuaţii este:
( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=∑
∞
= axpD
axpCtpBtpAtx rrrr
rrrrr sincossincos,
1θ
Condiţiile de frontieră sunt:
( ) 0,0 =tθ şi LxLx t
Jx
GI== ∂
∂=
∂∂
− 2
2
0θθ
din prima condiţie rezultă 0=rC , iar din a doua condiţie:
cLpJp
cLpp
cGI r
rr
r sincos 20 −=−
sau
25
r
r cJpGI
cLtgp 0=
care reprezintă ecuaţia pulsaţiilor proprii. 5.4.6. Să se determine pulsaţiile proprii şi funcţiile proprii (forma modurilor proprii) pentru vibraţiile transversale ale unei grinzi simplu rezemată (articulată) la ambele capete (fig. 5.10.).
Fig. 5.10.
Rezolvare: Folosind soluţia dată de (5.105) şi condiţiile la limită, care în acest caz sunt: ( ) 0
0=
=xxV , ( ) 0
0=′′
=xxV
şi pentru celălalt capăt: ( ) 0=
=LxxV , ( ) 0=′′
=LxxV ,
se obţine pentru capătul 0=x : 0=+ FD şi ( ) 02 =− FDλ de unde 0== FD . Pentru celălalt capăt, Lx = : 0sin =+ LELCsh λλ ( ) 0sin2 =− LELCsh λλλ Acesta este un sistem liniar şi omogen. Pentru a exista soluţii nebanale trebuie ca:
0sin
sin22
=−
−
LLshLLsh
λλλλ
λλ
adică 0sin =⋅ LLsh λλ . Deoarece 0=Lshλ , numai dacă 0=Lλ , soluţii nebanale vor fi dacă 0sin =Lλ . Această ecuaţie caracteristică va da pulsaţii proprii:
πλ rLr = , de unde : A
EIL
rpr ρπ 2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
iar funcţiile proprii vor fi:
26
( )LxrExVrπsin=
unde E este o constantă nedeterminată. Funcţiile proprii sunt determinate până la un factor amplitudine arbitrar. Forma primelor trei moduri proprii sunt arătate în fig. 5.11.
Fig. 5.11.
5.4.7. Să se determine pulsaţiile proprii pentru vibraţiile transversale ale unei grinzi încastrată la un capăt şi liberă la celălalt capăt (fig. 5.12.).
Fig. 5.12.
Rezolvare: Folosind soluţia (5.105): ( ) xFxExDchxCshxV λλλλ cossin +++= şi condiţiile la limită: ( ) 0
0=
=xxV ; ( ) 0
0=′
=xxV şi ( ) 0=′′
=LxxV ; ( ) 0=′′′
=LxxV
se obţine sistemul algebric:
27
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−0000
sincos
coscos
00
1010
3333
2222
FEDC
LLLshLch
LLLchLsh
λλλλλλλλ
λλλλλλλλ
λλ
Acest sistem are soluţii nebanale dacă 1cos =⋅ Lchx λλ , ceea ce constituie ecuaţia caracteristică, ale cărei rădăcini se obţin prin metode numerice. Primele patru valori sunt: 8751,11 =Lλ , 6941,42 =Lλ 8548,73 =Lλ , 996,104 =Lλ iar din relaţiile (5.106) şi (5.107) rezultă:
A
EIL
pρ21
516,3= ,
AEI
Lp
ρ2203,22
=
A
EIL
pρ23
7,61= ,
AEI
Lp
ρ24121
=
5.5. Vibraţiile membranei plane şi ale unei plăci plane subţiri
5.5.1. Stabilirea ecuaţiilor cu derivate parţiale ale membranei plane O membrană plană este un corp elastic bidimensional, de forma unei suprafeţe plane în stare nedeformată, delimitată de o curbă plană închisă numită contur, care poate prelua numai eforturi de întindere. Se consideră o membrană plană omogenă cu densitatea de suprafaţă de , aflată iniţial în planul Oxy. Sub acţiunea unei forţe perturbatoare q(x,y,t) distribuită pe suprafaţa membranei, orientată după axa Oz perpendiculară pe planul Oxy, aceasta va avea vibraţii forţate după axa Oz, caracterizate de deformaţia w(x,y,t).
28
Fig. 5.13
Dacă se separă un element de suprafaţă al membranei cu dimensiunile Δx şi Δy în stare nedeformată, la momentul t al mişcării, asupra lui acţionează forţele din figura 5.13. Forţele axiale şi se consideră distribuite pe laturile elementului de suprafaţă, iar
reprezintă acceleraţia acestui element la momentul t al mişcării. Condiţiile de echilibru dinamic ale elementului considerat conduc la ecuaţiile:
(5.118)
Deoarece unghiurile , , şi sunt mici, se pot face aproximările:
(5.119)
În aplicaţii tehnice membrana este fixată pe un contur, astfel că din primele ecuaţii (5.118) rezultă:
(5.120) iar ultima ecuaţie (5.118) devine:
(5.121)
Cu notaţia din (5.121) se obţine:
29
(5.122) Rezultă că vibraţiile libere ale membranei vor fi descrise de ecuaţia diferenţială cu derivate parţiale
(5.123)
Ecuaţiile (5.122) sau (5.123) se folosesc pentru studiul vibraţiilor forţate, respectiv libere, ale membranei dreptunghiulare. Condiţiile iniţiale şi de limită pentru integrarea acestor ecuaţii vor fi
(5.124)
(5.125) unde a şi b sunt dimensiunile membranei în stare iniţială. În cazul unei membrane circulare este necesar să se exprime ecuaţiile diferenţiale ale mişcării în coordonate polare, faţă de un sistem de coordonate cu originea în centrul membranei. Relaţiile de transformare ale coordonatelor vor fi
(5.126)
din care rezultă
(5.127)
Pe baza relaţiilor (5.127) se pot scrie
30
(5.128)
de unde ecuaţia de mişcare (5.123) pentru vibraţiile libere ale membranei devine
(5.129)
În acest caz condiţiile iniţiale şi condiţia la limită sunt:
(5.130)
unde R este raza membranei circulare în stare iniţială. 5.2.2. Stabilirea ecuaţiei cu derivate parţiale a plăcii dreptunghiulare subţiri
Fig. 5.14
Se consideră o placă omogenă dreptunghiulară cu densitatea şi dimensiunile a
respectiv b mult mai mari decât grosimea sa h. Se caută să se stabilească ecuaţia diferenţială cu derivate parţiale a vibraţiilor de încovoiere (transversale) ale plăcii, dacă se pot neglija toate forţele şi momentele disipative. Deoarece deformaţiile transversale ale plăcii sunt foarte mici, pentru aceasta se poate separa un element de suprafaţă al plăcii cu dimensiunile infinitesimale dx şi dy, care în stare deformată a plăcii rămâne paralel cu planul Oxy. Asupra feţelor laterale ale acestui element de suprafaţă acţionează eforturile distribuite pe laturile elementului ca în figura 5.14, unde Tzx şi Tzy sunt forţe tăietoare. Mx şi My sunt momente încovoietoare, iar Mxy este moment de răsucire. Din condiţiile sale de echilibru dinamic rezultă:
31
(5.131)
Pe baza relaţiilor cunoscute din rezistenţa materialelor:
(5.132)
unde D este rigiditatea la încovoiere a plăcii, iar este coeficientul lui Poisson, se obţine:
(5.133)
Înlocuind (5.133) în prima ecuaţie (5.131), rezultă:
(5.134)
unde s-a notat . Vibraţiile libere ale plăcii se vor studia, astfel, cu ecuaţia:
(5.135)
Pentru integrarea ecuaţiilor (5.134) sau (5.135) se folosesc condiţiile iniţiale (5.124), iar condiţiile limită se exprimă în funcţie de modul de fixare al plăcii pe contur. Astfel, pe o latură încastrată săgeata w şi panta sau sunt nule. Dacă placa este încastrată pe contur, condiţiile limită devin:
(5.136)
Pe o latură rezemată bilateral săgeata şi momentul încovoietor sunt nule, deci pentru o placă dreptunghiulară rezemată pe contur sunt valabile următoarele condiţii limită:
32
(5.137) 5.5.3. Vibraţiile libere ale membranei dreptunghiulare
Folosind metoda separării variabilelor, soluţia ecuaţiei (5.123) se exprimă sub forma:
(5.138)
Cu notaţiile obiţnuite ale derivatelor, se poate scrie
(5.139)
Din (5.139) se obţin trei ecuaţii diferenţiale obişnuite
(5.140)
care au soluţiile generale
(5.141)
Valorile proprii d, s şi se determină din condiţiile la limită (5.125), care conduc la ecuaţiile
(5.142)
Din (5.142) rezultă
(5.143)
Pulsaţiile proprii ale membranei devin
(5.144)
33
Dacă se consideră , soluţia generală a ecuaţiei (5.123) se poate exprima sub forma
(5.145)
în care , şi produsul lor se numesc funcţii proprii. Constantele de integrare şi din (5.145) se determină din condiţiile iniţiale (5.124), care conduc la
(5.146)
Pe baza dezvoltării în serie dublă Fourier a funcţiilor şi din (5.146) rezultă
(5.147)
5.5.4. Vibraţiile libere ale plăcii dreptunghiulare subţiri
Din condiţia că soluţia (5.138) se obţine
(5.148)
34
Pentru cea de a doua ecuaţie (5.148) se caută soluţii de forma
(5.149)
care conduc la ecuaţia caracteristică
(5.150)
Se observă că soluţiile generale ale ecuaţiilor (5.148) se pot exprima sub forma
(5.151)
în care, pe baza ecuaţiei (5.150), trebuie să fie verificată relaţia
(5.152)
Valorile proprii d şi s se determină din condiţiile limită, iar rezultă din (5.152). Pentru placa rezemată bilateral pe contur, din (5.137) rezultă
(5.153)
Condițiile (5.153) conduc la ecuaţiile:
(5.154)
(5.155)
35
(5.156)
unde s-a ţinut seama că din (5.154) rezultă . Pentru că sistemele liniare şi omogene (5.155) şi (5.156) să admită soluţii diferite de soluţia banală, este necesar ca determinanţii acestora să fie nuli, deci se obţin ecuaţiile caracteristice:
(5.157)
care sunt aceleaşi ca şi la membrana dreptunghiulară. Rezultă că valorile proprii, funcţiile proprii, soluţia generală şi constantele de integrare şi vor fi aceleaşi, dar aici pulsaţiile proprii sunt:
(5.158)
În cazul în care placa este încastrată pe contur, condiţiile limită (5.136) se exprimă prin:
(1.159)
care conduc la ecuaţiile:
(1.160)
(1.161)
36
(1.162)
în care s-a ţinut seama de (5.160). Pentru ca sistemele liniare şi omogene (5.161) şi (5.162) să admită soluţii diferite de soluţia banală, este necesar ca determinanţii acestora să fie nuli. Din această condiţie se obţin ecuaţiile caracteristice:
(5.163)
Fig. 5.15
ale căror soluţii se determină grafic, din intersecţia graficelor funcţiilor şi , dacă se notează sau cu (Fig. 5.15). Astfel, se obţine şi
, iar pentru se poate lua . În acest mod se determină următoarele valori proprii:
(5.164)
iar valorile proprii şi pulsaţiile proprii rezultă:
(5.165)
Deoarece ca funcţii proprii se pot lua funcţiile
37
(5.166)
soluţia generală a ecuaţiei (5.135) în acest caz devine:
(5.167)
în care constantele de integrare, pe baza condiţiilor iniţiale (5.124), se determină cu integralele:
(5.168)
5.5.5. Vibraţii forţate cu forţă perturbatoare armonică ale unei plăci dreptunghiulare subţiri
Se consideră forţa perturbatoare armonică distribuită pe suprafaţă
(5.169)
care acţionează asupra unei plăci dreptunghiulare subţiri. Amplitudinea a acestei forţe perturbatoare este o funcţie dată, definită pe suprafaţa dreptunghiulară a plăcii. Vibraţiile forţate corespunzătoare ale plăcii sunt date de o soluţie particulară a ecuaţiei (5.134) care, de asemenea, se poate exprima sub forma:
38
(5.170)
Din condiţia ca această soluţie să verifice ecuaţia (5.134), rezultă:
(5.171)
Deoarece soluţia a ecuaţiei (5.171) trebuie să verifice condiţiile de margine ale plăcii, aceasta se descompune după funcţiile proprii:
(5.172)
în care, pe baza celei de a doua ecuaţii (5.148), trebuie să fie îndeplinite condiţiile:
(5.173)
pentru orice valori naturale ale lui i şi j. Înlocuind (5.172) în (5.171) şi ţinând seama de (5.173), se obţine:
(5.174)
de unde coeficienţii rezultă:
(5.175)
Se observă că pentru amplitudinea corespunzătoare din (5.175) poate să tindă spre infinit, dacă integrala din membrul drept este diferită de zero, deci şi în acest caz poate să apară fenomenul de rezonanţă.
5.5.6. Vibraţiile libere ale membranei circulare
39
În cazul vibraţiilor libere ale membranei circulare este avantajos să se considere ecuaţia (5.129), cu condiţiile iniţiale şi limită (5.130). Folosind metoda separării variabilelor, se consideră soluţia ecuaţiei (5.129) de forma
(5.176)
pentru care se obţine:
(5.177)
A doua ecuaţie (5.177) se poate exprima sub forma:
(5.178)
deci din prima ecuaţie (5.177) şi din (5.178) rezultă:
(5.179)
Soluţia celei de a doua ecuaţii (5.179) este funcţia Bessel de speţa întâi şi de ordin . Această soluţie nu poate să depindă şi de funcţia Bessel de speţa a doua, deoarece pentru r=0 trebuie să fie mărginită. Din condiţia limită (5.130) se obţine ecuaţia caracteristică:
(5.180)
care are un şir infinit de soluţii discrete pentru fiecare valoare a lui s. Deoarece din condiţiile limită pentru funcţia , care sunt:
(5.181)
40
se obţine ecuaţia caracteristică , deci valorile proprii adimensionale sunt , din ecuaţia caracteristică (5.180) rezultă un şir dublu de valori proprii şi
respectiv un şir dublu de pulsaţii proprii . Ca urmare, soluţia generală a ecuaţiei (5.129) se exprimă sub forma:
(5.182)
Pentru determinarea constantelor de integrare şi pe baza condiţiilor iniţiale (5.130), se foloseşte proprietatea de ortogonalitate a funcţiilor Bessel de speţa întâi, care este
(5.183)
În acest mod se obţine:
(5.184) 6. METODE NUMERICE ŞI APROXIMATIVE
Din problemele de vibraţii prezentate în capitolele precedente se poate constata că, de cele mai multe ori, găsirea soluţiilor exacte ale ecuaţiilor diferenţiale este foarte dificilă, dacă nu chiar imposibilă, iar volumul de calcul pentru determinarea pulsaţiilor proprii şi a vectorilor proprii este mare. Din aceste motive s-au fundamentat numeroase metode aproximative. În concordanţă cu forma în care aceste soluţii sunt reprezentate, metodele aproximative se împart în două grupe:
1. Metode numerice, în care soluţiile aproximative sunt date sub forma unor tabele. 2. Metode analitice, care dau soluţiile aproximative ale ecuaţiilor diferenţiale sub
41
forma unor expresii analitice. Din acest motiv, aceste metode sunt cunoscute frecvent sub numele de metode aproximative.
6.1. Evaluarea numerică a răspunsului sistemului cu un grad de libertate
6.1.1. Soluţia numerică bazată pe interpolarea forţei perturbatoare În multe probleme practice de vibraţii mecanice forţa perturbatoare ( )tF nu este cunoscută sub forma unei expresii analitice, ci este dată sub forma unui set de valori discrete ( )ii tFF = , Ni ,1= . În mod frecvent intervalul de timp iii ttt −=Δ +1 este luat constant. Pentru calculul numeric al integralelor ce apar în formulele lui Duhamel (1.123) şi (1.133) se poate folosi metoda Simpson sau metoda trapezelor, dar o metodă mult mai directă şi mai eficientă se obţine prin interpolarea forţei perturbatoare ( )tF . Această metodă se bazează pe o soluţie exactă, folosind rezultatele din problema 1.3.28. În fig. 6.1. se arată interpolarea constantă şi interpolarea liniară a forţei ( )tF . În cazul
interpolării constante, valoarea forţei în intervalul itΔ se consideră iF~ şi se calculează ca
fiind media valorilor de la capetele intervalului itΔ ; ( )15,0~++= iii FFF .
Fig. 6.1.
În cazul interpolării liniare a forţei perturbatoare, forţa în intervalul considerat va fi:
( ) ττ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΔΔ
+=i
ii t
FFF (6.1)
unde iii FFF −=Δ +1 Se va considera în continuare răspunsul unui sistem neamortizat. Pentru o interpolare constantă, răspunsul poate fi obţinut pe baza soluţiei (1.123) şi răspunsului dat de condiţii iniţiale nenule (1.65).
42
( ) ( )τωτωω
τωτ ni
nn
ini k
Fxxx cos1
~sincos −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= (6.2)
( ) τωτω
ωτω
ωτ
ni
nn
ini
n kFx
xx sincossin ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= (6.3)
Calculând aceste expresii la timpul 1+it , adică pentru itΔ=τ , se obţine:
( ) ( ) ( )[ ]ini
inn
iinii t
kF
tx
txx Δ−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+Δ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+Δ=+ ωω
ωω cos1
~sincos1 (6.4)
( ) ( ) ( )ini
inn
iini
n
i tkF
tx
txx
Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+Δ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+Δ−=+ ωω
ωω
ωsin
~cossin1 (6.5)
Ecuaţiile (6.4) şi (6.5) sunt formule de recurenţă pentru calculul stării dinamice ( )11, ++ ii xx la momentul 1+it , fiind dată starea ( )ii xx , la momentul it . Pentru cazul în care interpolarea forţei perturbatoare se face liniar, aproximaţia este mai bună. Folosind ecuaţia (6.1) pentru un sistem vibrant neamortizat cu un singur grad de libertate se obţin formulele de recurenţă:
( ) ( ) ( )[ ]
( )[ ]ininin
i
ini
inn
iinii
ttt
F
tkF
tx
txx
Δ−Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
Δ+
+Δ−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+Δ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+Δ=+
ωωω
ωωω
ω
sin
cos1sincos1
(6.6)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]inin
iin
iin
n
iini
n
i ttk
Ft
kF
tx
txx
Δ−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
Δ+Δ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+Δ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+Δ−=+ ω
ωωω
ωω
ωcos1sincossin1
(6.7) Formulele de recurenţă (6.4) şi (6.5), respectiv (6.6.) şi (6.7), pot fi convenabil scrise sub forma: iiiii xDxCFBFAx ⋅+⋅+⋅+⋅= ++ 11 (6.8) iiiii xDxCFBFAx ⋅′+⋅′+⋅′+⋅′= ++ 11 (6.9) Dacă intervalul itΔ este constant, coeficienţii de la A până la D' trebuie calculaţi o singură dată, ceea ce măreşte viteza de calcul a răspunsului. Deoarece, formulele de recurenţă se bazează pe soluţii parţiale exacte, într-un interval de timp itΔ , este necesar ca mărimea pasului itΔ să fie ales astfel încât să se facă apropiere strânsă a răspunsului aproximativ de soluţia totală exactă. Pentru aceasta este recomandabil să se ia un pas
10n
iT
t ≤Δ , nT fiind perioada naturală a sistemului.
43
6.1.2. Integrarea numerică pas cu pas Metoda aplicată în paragraful precedent permite determinarea răspunsului unui sistem vibrant liniar la un timp discret it . O altă metodă, care poate fi folosită, atât pentru sisteme liniare, cât şi pentru sisteme neliniare, se bazează pe aproximarea derivatelor ce apar în ecuaţia diferenţială a mişcării şi pe generarea soluţiei pas cu pas, folosind paşii itΔ . Există foarte multe variante ale acestei metode, una dintre cele mai frecvent folosite fiind metoda de mediere a acceleraţiei (Newmark 41=β ) . În continuare se va considera sistemul mecanic a cărui ecuaţie de mişcare este: ( )tFkxxcxm =++ (6.10) cu condiţiile iniţiale: ( ) 00 xx = şi ( ) 00 vx = date. Acceleraţia în intervalul de timp it şi 1+it este luată ca medie a valorilor de la capetele intervalului de timp (fig. 6.2.) ( ) ( )15,0 ++= ii xxx τ (6.11)
Fig. 6.2.
Integrând ecuaţia (6.11) de două ori se obţine:
( )11 2 ++ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ+= ii
iii xx
txx (6.12)
( )1
2
1 4 ++ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ+Δ+= ii
iiiii xx
ttxxx (6.13)
Pentru determinarea unui algoritm, pentru integrarea numerică, este convenabil a se folosi variaţiile iFΔ , ixΔ , ixΔ şi ixΔ , unde iii FFF −=Δ +1 , şi aşa mai departe. Atunci din (6.12) şi (6.13) se obţin:
( ) iiiii
i xtxxt
x 242 −Δ−Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
=Δ (6.14)
iii
i xxt
x 22−Δ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
=Δ (6.15)
Din ecuaţia de mişcare (6.10) care se scrie pentru it şi 1+it , se obţine:
44
iiii Fxkxcxm Δ=Δ+Δ+Δ (6.16) Ecuaţiile (6.14) şi (6.16) prin substituţie conduc la: χχ
iii Fxk Δ=Δ (6.17) unde
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
+= 2
42
iii t
mtckk χ (6.18)
şi
iii
ii xmxctmFF 224
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Δ+Δ=Δ χ (6.19)
Se determină ixΔ din (6.17), apoi se obţine ixΔ şi ixΔ din (6.14) şi (6.15), respectiv iii xxx Δ+=+1 iii xxx Δ+=+1 iii xxx Δ+=+1 (6.20) Acceleraţia poate fi determinată, de asemenea, din ecuaţia de mişcare:
m
kxxcFx iii
i−−
= (6.21)
Această ecuaţie este folosită pentru obţinerea acceleraţie 0x . În concluzie, algoritmul pentru integrarea numerică prezentată are următorii paşi:
1. Se introduc k, c, m, 0x , ( )itF , Ni ,,1,0 …= ; 2. Se determină 0x din (6.21); 3. Se introduce itΔ ;
4. Se determină χik din (6.18);
5. Se determină χiFΔ din (6.19);
6. Se determină ixΔ din (6.17); 7. Se determină ixΔ şi ixΔ din (6.14) şi (6.15); 8. Se determină 1+ix , 1+ix , 1+ix din (6.20).
Dacă itΔ este constant, ciclul se reia de la pasul 5, altfel de la pasul 3. 6.2. Evaluarea numerică a răspunsului sistemelor liniare cu mai multe
grade de libertate
45
6.2.1. Metoda diferenţelor finite Pentru integrarea numerică a ecuaţiei diferenţiale: [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }Qqkqcqm =++ (6.22) cu condiţiile iniţiale { }0q şi { }0q date, sunt cunoscute mai multe metode. Metoda diferenţelor finite este folosită pentru a aproxima derivatele de diferite ordine şi are la bază dezvoltările în serie Taylor ale unei funcţii ( )xf în jurul unui punct oarecare x astfel:
( ) ( ) ( )+
Δ+Δ+=Δ+
2
2
2
2 xdx
fdxdxdfxfxxf
xx (6.23)
( ) ( ) ( )+
Δ+Δ−=Δ−
2
2
2
2 xdx
fdxdxdfxfxxf
xx (6.24)
Luând numai primii doi termeni ai dezvoltărilor, se obţine:
( ) ( )
xxxfxxf
dxdf
x ΔΔ−−Δ+
=2
(6.25)
Dacă se iau şi termenii ce conţin derivatele de ordinul doi din (6.23) şi (6.24) se obţine:
( ) ( ) ( )
( )22
2 2x
xxfxfxxfdx
fd
x ΔΔ−+−Δ+
= (6.26)
În mod similar, pentru a obţine relaţii pentru derivate de ordin superior, se dezvoltă ( )xxf Δ+ 2 şi ( )xxf Δ− 2 .
Folosind formulele (6.25) şi (6.26), vectorii viteză şi acceleraţie la orice moment it , păstrând un pas constant tΔ , por fi exprimaţi astfel:
( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]ttqttqt
tq iii Δ−−Δ+Δ
=21
(6.27)
( ){ }( )
( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]ttqtqttqt
tq iiii Δ++−Δ−Δ
= 212 (6.28)
Înlocuind (6.27) şi (6.28) în (6.22) se obţine:
( )
[ ] [ ] ( ){ } ( ){ } [ ]( )
[ ] ( ){ }
( )[ ] [ ] ( ){ }ttqc
tm
t
tqmt
ktQttqct
mt
i
iii
Δ−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
−Δ
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Δ−−=Δ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
+Δ
211
2211
2
22
(6.29)
46
Din ecuaţia (6.29) se poate calcula ( ){ }ttq i Δ+ , dar pentru iniţializarea ciclului este nevoie a se cunoaşte ( ){ }tq Δ− pentru a se putea determina ( ){ }tq Δ . Presupunând date condiţiile iniţiale ( ){ }0q şi ( ){ }0q din (6.22) pentru t=0 se determină ( ){ }0q . Pentru a obţine ( ){ }tq Δ− se scad ecuaţiile (6.28) şi (6.27):
( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ }02
002
qtqtqtq ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ+Δ−=Δ− (6.30)
Un dezavantaj al acestei metode este că pasul de timp tΔ trebuie să fie mai mic decât pasul critic ( )crtΔ pentru ca operatorul să fie stabil. 6.2.2. Metoda Newmark Ecuaţiile de bază ale acestei metode sunt: ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ }ttqttqttqttq iii Δ+Δ+Δ−+=Δ+ γγ 11 (6.31)
( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }ttqttqttqttqttq iiii Δ+Δ+Δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+Δ+=Δ+ 22
1 21 ββ (6.32)
unde γ şi β sunt parametrii ce pot fi determinaţi impunându-se o acurateţe şi o stabilitate dorită. Pentru γ se ia de obicei valoarea 21 , iar pentru β se iau valori ce depind de modul în care se presupune că variază acceleraţia în intervalul it şi tti Δ+ (fig. 6.3.).
Fig. 6.3.
În plus, la ecuaţiile (6.31) şi (6.32) se consideră ecuaţia (6.22) satisfăcută la timpul tti Δ+ [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } ( ){ }ttQttqkttqcttqm iiii Δ+=Δ++Δ++Δ+ (6.33)
47
Pentru a obţine soluţia numerică, în primul rând se rezolvă (6.32), de unde se obţine ( ){ }ttq i Δ+ , apoi se înlocuieşte în (6.31), de unde se obţine ( ){ }ttq i Δ+ şi, în sfârşit, se foloseşte (6.33) pentru a se obţine ( ){ }ttq i Δ+ .
6.3. Metode analitice aproximative 6.3.1. Calculul energiei cinetice şi potenţiale pentru sisteme continue Relaţiile (2.10) şi (2.17) dau energia cinetică şi potenţială pentru sisteme discrete. Expresii similare se pot deduce şi pentru sistemele continue, cu observaţia că, diferite sisteme continue au expresii diferite pentru aceste energii. Pentru a scoate în evidenţă legătura dintre sistemele discrete şi continue se vor deduce expresiile energiilor cinetică şi potenţială pentru o bară, care vibrează longitudinal, privind-o ca un caz limită a unui sistem discret. Se consideră sistemul de mase iM ( )ni ,,2,1 …= (fig. 6.4.). Masele sunt legate prin arcurile ik . Energia cinetică este:
( ) 2
121
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= ∑
= dttdu
ME in
iic
(6.34)
unde ( )
dttdui este viteza masei iM .
Fig. 6.4.
În configuraţia de echilibru masa iM ocupă poziţia ix . Notând iii xmM Δ= , unde im poate fi considerată masa unităţii de lungime, când ∞→n , trecând la limită 0→Δ ix şi energia cinetică se poate scrie:
( ) ( ) ( ) dx
ttxuxmx
dttdu
mEL
ii
n
iixc
i
2
0
2
10
,21
21lim ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∂∂
=Δ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= ∫∑
=→Δ
(6.35)
unde variabila x este în locul poziţiei indexate ix , iar L reprezintă lungimea barei. În cazul barei omogene ( ) ( )xAxm ρ= . Pentru calculul energiei potenţiale se presupune sistemul liniar. Notând cu ( )tFi forţa din arcul ik şi cu 1−− ii uu deformaţia acestuia, expresia energiei potenţiale este:
48
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]211
11 2
121 tutuktututFE ii
n
iiii
n
iip −
=−
=
−=−= ∑∑ (6.36)
Introducând notaţiile i
ii x
EAk
Δ= şi ( ) ( ) ( )tututu iii Δ=− −1 , expresia (6.36), trecând la
limită se poate scrie:
( ) ( ) ( ) dx
xtxuxEAx
xtu
EAEL
ii
in
iixp
i
2
0
2
10
,21
21lim ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∂∂
=Δ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
= ∫∑=
→Δ (6.37)
Într-un mod analog, se exprimă aceste energii pentru o bară aflată în vibraţii de răsucire:
( ) ( ) dxt
txxJEL
c
2
0
,21
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
= ∫θ
(6.38)
( ) ( ) dxx
txxGIEL
p
2
0
,21
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
= ∫θ
(6.39)
precum şi pentru o bară aflată în vibraţii de încovoiere:
( ) ( ) dxt
txvxAEL
c
2
0
,21
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
= ∫ ρ
(6.40)
( ) ( ) dxx
txvxEIEL
p
2
2
2
0
,21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂= ∫
(6.41) 6.3.2. Aplicarea ecuaţiilor lui Lagrange pentru sistemele continue în metoda modurilor presupuse Pentru a genera un model cu N grade de libertate pentru un sistem continuu soluţia aproximativă ( )txu , ( ( )tx,θ sau ( )txv , ) se ia de forma:
( ) ( ) ( )tqxtxu r
N
rr ⋅=∑
=1, φ (6.42)
unde ( )xrφ sunt funcţii acceptabile (funcţiile generatoare sau de comparaţie pot fi privite întotdeauna ca funcţii acceptabile). Funcţiilor acceptabile li se impun numai verificarea condiţiilor de frontieră geometrice, constituind astfel o clasă mai largă decât cea a funcţiilor generatoare. Funcţiile de timp ( )tqr corespund coordonatelor generalizate. Se ca considera cazul vibraţiilor longitudinale, caz în care, înlocuind (6.42) în expresiile energiilor cinetică şi potenţială, se obţine:
49
( ) ( ) ( ) ∑∑∑∑∫= == =
==N
rsr
N
srssr
N
rs
N
sr
L
c qqmdxqqxxxAE1 11 10 2
121 φφρ (6.43)
( ) ( ) ( ) ∑∑∑∑∫= == =
=′′=N
rsr
N
srssr
N
rs
N
sr
L
p qqkdxqqxxxEAE1 11 10 2
121 φφ (6.44)
unde
( ) dxxAm sr
L
rs φφρ∫=0
; ( ) dxxEAk sr
L
rs φφ ′′= ∫0
(6.45)
Cu alte cuvinte, pE şi cE sunt funcţii pătratice de coordonatele generalizate, respectiv vitezele generalizate. Coeficienţii formelor pătratice sunt elementele matricelor [ ]k şi [ ]m din forma matriceală:
{ } [ ]{ }qmqE Tc 2
1= ; { } [ ]{ }qkqE T
p 21
= (6.46)
Dacă bara este supusă unor forţe externe distribuite pe unitatea de lungime ( )txf , , atunci lucrul mecanic virtual este:
( ) ( ) r
N
rr
L
qQtxudxtxfL δδδ ∑∫=
=⋅=10
,, (6.47)
Din (6.42) deplasarea virtuală ( )txu ,δ se scrie:
( ) ( ) r
N
rr qxtxu δφδ ∑
=
=1
, (6.48)
care înlocuită în relaţia (6.47) dă forţele generalizate:
( ) ( ) ( )dxxtxftQ r
L
r φ⋅= ∫0
, (6.49)
Pentru determinarea ecuaţiilor de mişcare se folosesc ecuaţiile lui Lagrange (2.1), obţinându-se:
( )∑∑==
=+N
sjsjs
N
ssjs tQqkqm
11, Nj ,1= (6.50)
sau sub forma matriceală: [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tQqkqm =+ (6.51) În concluzie, alegând un număr de N funcţii acceptabile, calculând coeficienţii din (6.45) şi forţele generalizate, se ajunge la ecuaţia de mişcare (6.51), a cărei rezolvare a fost discutată la vibraţiile sistemelor discrete. Dacă se presupune şi efectul forţelor rezistente, ca fiind forţe de amortizare vâscoasă, pe unitatea de lungime acţionează o forţă ( ) ( ) ( )dxtxuxcdxtxr ,, −= (6.52) c(x) fiind un coeficient de distribuţie a amortizării. Forţele generalizate de amortizare vor fi:
50
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxqxxcdxxtxrQ r
L N
sssr
Lar φφφ ∫ ∑∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⋅=
=0 10
, (6.53)
sau
s
N
jjs
ar qcQ ∑
=
−=1
, Nj ,1= (6.54)
unde coeficienţii matricei de amortizare [c] sunt:
( ) dxxcc sr
L
rs φφ∫=0
(6.55)
6.3.3. Metoda Rayleigh Pentru obţinerea unei soluţii aproximative, corespunzătoare modului fundamental, se poate folosi metoda lui Rayleigh. Această metodă se bazează pe teorema de conservare a energiei mecanice totale a sistemelor conservative, adică: max.max. pc EE = (6.56) Energia cinetică a unei bare ce vibrează longitudinal din (6.35) este:
( ) dxtuxAE
L
c
2
021
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= ∫ ρ (6.57)
iar energia potenţială este:
( ) dxxuxEAE
L
p
2
021
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= ∫ (6.58)
Presupunând o lege armonică de variaţie a deplasării ( )txu , , de forma: ( ) ( ) ptxUtxu cos, = (6.59) energia cinetică maximă, respectiv energia potenţială maximă, sunt date de:
( ) dxUxApEL
c2
0
2max. 2
1∫= ρ (6.60)
( ) dxxUxEAE
L
p
2
0max. 2
1⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= ∫ (6.61)
Din ecuaţia (6.56) se obţine:
( )URdxUA
dxdxdUEA
p L
L
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
∫
∫2
0
2
02 (6.62)
Pentru a determina pulsaţia fundamentală din (6.62) se presupune o deformaţie sau o funcţie ( )xU , care satisface condiţiile geometrice de frontieră, adică o funcţie
51
acceptabilă. Expresia (6.62) se numeşte raportul lui Rayleigh şi depinde de funcţia aleasă ( )xU .
6.3.4. Metoda Rayleigh – Ritz Dacă se doreşte determinarea mai multor pulsaţii naturale, se va înlocui funcţia ( )xU printr-o combinaţie liniară de N funcţii acceptabile
( ) NNxU φαφαφα +++= …2211 (6.63) unde Nααα ,,, 21 … sunt constante , iar Nφφφ ,,, 21 … sunt funcţii acceptabile. Dacă se înlocuieşte (6.63) în raportul lui Rayleigh, se obţine acest raport ca o funcţie de cele N constante. Se demonstrează (6.4.2.) că raportul lui Rayleigh are o valoare staţionară în vecinătatea unui mod propriu. Deci, se poate scrie setul de condiţii:
0321
=∂∂
==∂∂
=∂∂
=∂∂
N
RRRRαααα
… (6.64)
Acestea vor reprezenta un sistem liniar algebric omogen în necunoscutele Nααα ,,, 21 … . Impunând condiţia de soluţie nebanală sistemului (6.64) se obţin pulsaţiile proprii şi constantele Nααα ,,, 21 … . Dacă funcţia ( )xU se dezvoltă în serie de funcţii modale ortogonale, astfel ca
1=rM , atunci:
( ) ( )xUxU r
N
rr∑
=
=1α (6.65)
iar raportul lui Rayleigh, ţinând cont şi de relaţiile de ortogonalitate (5.43) şi (5.44), cât şi de relaţiile (5.46) şi (5.48), devine:
( ) 222
21
2222
22
21
21
N
NNpppUR
αααααα
++++++
=……
(6.66)
Dacă 01 ≠p , relaţia (6.66) se poate scrie:
( ) 2
1
2
1
32
1
2
2
1
2
1
2
1
32
1
32
1
2
2
1
2
21
1
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
αα
αα
αα
αα
αα
αα
N
NN
pp
pp
pp
pUR
…
…
(6.67)
Deoarece Npppp ≤≤≤≤ 321 , fiecare termen al numărătorului este mai mare sau egal cu termenul corespunzător numitorului. Deci, ( ) 2
1pUR ≥ (6.68)
Un procedeu similar se foloseşte pentru a arăta că ( ) 2NpUR ≤ .
6.3.5. Metoda Galerkin
52
Pentru a da o soluţie aproximativă ecuaţiei (5.25) sau (5.101), folosind metoda Galerkin, se presupune că soluţia se scrie sub forma unei combinaţii liniare de funcţii de punct ( )xiφ , care satisfac, fiecare în parte, toate condiţiile la limită, atât cele geometrice, cât şi cele naturale: ( ) NNxU φαφαφα +++= …2211 (6.69) Deoarece ( )xU nu este o soluţie exactă, după introducerea în ecuaţia (5.25) se obţine o cantitate, în membrul drept, diferită de zero, numită reziduu şi notată cu ( )pUR , . Această notaţie nu trebuie confundată cu raportul Rayleigh.
Valorile constantelor Nααα ,,, 21 … se obţin punând condiţiile ca integrala reziduului înmulţită cu fiecare funcţie, pe toată lungimea barei, să fie nulă:
( ) 0,0
=∫ dxpUR i
L
φ Ni ,,2,1 …= (6.70)
Ecuaţiile (6.70) reprezintă, de asemenea, un sistem omogen. Din condiţia de soluţie nebanală se obţine ecuaţia caracteristică. Cantitatea ( )pUR , poate fi privită şi ca o măsură a erorii de aproximare. Constantele Nααα ,,, 21 … se pot determina şi pe baza metodei celor mai mici pătrate:
( )[ ] imdxpURL
min,0
2 =∫ (6.71)
Din condiţia de minim, rezultă tot un sistem algebric liniar şi omogen.
6.4. Evaluarea numerică a pulsaţiilor proprii şi a vectorilor proprii
6.4.1. Metoda puterii folosind matricea de eliminare Metoda puterii este o metodă iterativă, pentru determinarea vectorilor proprii şi a valorilor proprii, bazată pe dezvoltarea (2.85). Implicaţia acestei dezvoltări este că problema de valori proprii (2.63) sau (2.67) conduce la un set de vectori proprii { }rμ ,
nr ,1= liniar independenţi. Ecuaţia (2.67) poate fi pusă şi sub forma: [ ]{ } { }rrrD μλμ = nr ,,2,1 …= (6.72)
unde [ ] [ ] [ ]mkD 1−= este matricea dinamică a sistemului, iar 2
1
rr p=λ .
În baza relaţiei (2.85) un vector, cu care se începe iteraţia, poate fi scris astfel:
( ){ } { } { } { } { }r
n
rrnn μαμαμαμαμ ∑
=
=+++=1
22111 … (6.73)
53
Prin înmulţirea vectorului ( ){ }1μ cu matricea [ ]D , ţinând cont şi de ecuaţia (6.72), se obţine un alt vector ( ){ }2μ , de forma:
( ){ } [ ] ( ){ } [ ]{ } { }rr
n
rrr
n
rr DD μ
λλ
αλμαμμ11
11
12 ∑∑==
=== (6.74)
Spre deosebire de (6.73), unde fiecare vector propriu { }rμ este înmulţit cu constantele
rα , în vectorul ( ){ }2μ are componentele înmulţite cu 1λ
λα r
r . Deoarece valorile proprii
sunt presupuse ordonate astfel ca nλλλλ ≥≥≥≥ 321 raportul 1λλr , arată nivelul de
participare a vectorului propriu { }rμ în componenţa vectorului ( ){ }2μ . Desigur procedeul
poate fi continuat, astfel încât, dacă ( ){ }2μ se împarte cu 1λ şi se înmulţeşte cu [ ]D , se obţine:
( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } [ ]{ } { }rr
n
rrr
rn
rr DDD μ
λλ
αλμλλ
αμλ
μλ
μ2
111
11
12
1
2
1
3 11⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==== ∑∑
== (6.75)
Şi, în general, după k paşi:
( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } { }r
k
rn
rr
kk
kk DD μλλ
αλμλ
μλ
μ1
111
112
1
1
1
11−
=
−−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=== ∑ (6.76)
Pentru un număr suficient de mare de paşi:
( ){ } [ ] ( ){ } { }1111
111
1lim1lim μαμλ
μλ
== −−∞→∞→
kkk
k
kD (6.77)
Deci, procedeul este convergent spre primul vector propriu şi prima valoare proprie. Mai mult, când convergenţa este îndeplinită, vectorii ( ){ }kμ şi ( ){ }1−kμ satisfac ecuaţia (6.72), deoarece ei, amândoi pot fi priviţi ca { }1μ , iar pulsaţia fundamentală va fi
121 1 λ=p .
Numărul paşilor iterativi depinde de doi factori. Primul factor de care depinde acest număr de paşi este sistemul însuşi şi anume, dacă valorile 1λ şi 2λ sunt comparabile, separarea vectorilor { }1μ şi { }2μ este mai înceată şi numărul paşilor mai mare. Al doilea factor depinde de experienţa analistului, deoarece alegerea vectorului de iteraţie ( ){ }1μ cât mai apropiată de primul mod va reduce numărul paşilor iterativi. Un lucru este sigur, indiferent de numărul paşilor iterativi, procesul converge către primul mod, exceptând cazul în care vectorul ales pentru iteraţie coincide perfect cu un mod superior. Dacă este aşa, problema se pune cum se determină modurile superioare. O modalitate ar fi găsirea unui vector de iteraţie care să nu-l conţină pe { }1μ . Acest procedeu este, în general, mai dificil. O altă metodă este aşa numita metoda matricei de eliminare.
54
Dacă 1λ şi { }1μ reprezintă primul mod al matricei [ ]D , iar normalizarea este
făcută astfel ca { } [ ]{ } 111 =μμ mT , atunci matricea:
( )[ ] [ ] { } { } [ ]mDD T111
2 μμλ−= (6.78) va avea aceleaşi valori proprii ca şi [ ]D , exceptând 1λ . Înmulţind cu ( ){ }1μ relaţia (6.78) se obţine:
( )[ ] ( ){ } ( )[ ]{ } [ ]{ } { } { } [ ]{ }rT
n
rrr
n
rrr
n
rr mDDD μμαμλμαμαμ 1
111
1
2
1
12 ∑∑∑===
−== (6.79)
Ţinând cont de condiţiile de ortogonalitate şi ecuaţia (6.72), relaţia (6.79) se reduce la:
( )[ ] ( ){ } ( )[ ]{ } { }rr
n
rrr
n
rr DD μλαμαμ ∑∑
==
==2
2
1
12 (6.80)
deci matricea ( )[ ]2D este liberă de vectorul propriu { }1μ . Deci, folosind pentru iteraţie
orice vector arbitrar, împreună cu matricea ( )[ ]2D , procesul iterativ va converge către 2λ şi { }2μ .
Deoarece valoarea proprie dominantă pentru ( )[ ]2D este 2λ , procesul de eliminare poate continua folosind: ( )[ ] ( )[ ] { } { } [ ]mDD T
22223 μμλ−= (6.81)
de unde se va obţine 3λ şi { }3μ . Procesul de eliminare poate fi scris pentru cazul general:
( )[ ] ( )[ ] { } { } [ ]mDD Tsss
ss111
1−−−
− −= μμλ , ns ,,3,2 …= (6.82) Pentru determinarea ultimului mod nλ , { }nμ se poate folosi pentru iteraţie matricea
[ ] [ ] [ ] 11 −− = Dkm . 6.4.2. Metoda raportului Rayleigh După cum s-a văzut la paragraful 6.3.3. raportul Rayleigh se deduce pe baza teoremei de conservare a energiei mecanice. Dacă un sistem discret se află în mişcare după unul din modurile proprii, deplasările punctelor din sistem se obţin din (2.95) ( ){ } { } ( )rrrr tpCtq ϕμ += cos (6.83) Energia cinetică şi potenţială a sistemului va fi:
55
{ } [ ]{ } { } [ ]{ } ( )rrrT
rrrT
c tpmpCqmqE ϕμμ +== 222 cos21
21
(6.84)
{ } [ ]{ } { } [ ]{ } ( )rrsTrr
Tp tpkCqkqE ϕμμ +== 22 sin
21
21
(6.85)
În cazul mişcării după un mod propriu de vibraţie r se poate scrie teorema de conservare a energiei mecanice (6.56) sub forma:
{ } [ ]{ } { } [ ]{ }rTrrr
Trrr kCmpC μμμμ 222
21
21
= (6.86)
de unde se obţine mărimea scalară:
{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }r
Tr
rT
rr m
kp
μμμμ
=2 (6.87)
Dacă se consideră un vector arbitrar { }μ , atunci raportul Rayleigh (6.87) devine:
( ) { } [ ]{ }{ } [ ]{ }μμ
μμμmkRp T
T
==2 (6.88)
Acest raport, pentru un sistem dat, depinde numai de vectorul arbitrar { }μ şi se bucură de câteva proprietăţi. Prima, ar fi cea care rezultă imediat, dacă vectorul arbitrar { }μ coincide cu un vector propriu, atunci valoarea scalară a raportului este pătratul pulsaţiei proprii asociate. A doua, raportul are o valoare staţionară în vecinătatea unui vector propriu. Într-adevăr, dacă vectorii proprii sunt normalizaţi după regula: { } [ ]{ } 1=r
Tr m μμ , nr ,,2,1 …= (6.89)
atunci se pot scrie şi relaţiile: [ ] [ ][ ] [ ]ImT =μμ ; [ ] [ ][ ] [ ]\
\λμμ =kT (6.90)
unde [ ]μ este matricea modală, [ ]I este matricea unitate, iar [ ]\\λ este o matrice diagonală, având pe diagonală valorile proprii. Un vector arbitrar { }μ se poate scrie şi în forma:
{ } { } [ ]{ }αμμαμ ==∑=
r
n
rr
1 (6.91)
unde{ }α este un vector, având componentele date de coeficienţii rα . Înlocuind în raportul Rayleigh relaţia (6.91) şi, ţinând cont şi de (6.90) se obţine:
( ) { } [ ] [ ][ ]{ }{ } [ ] [ ][ ]{ }
{ } [ ]{ }{ } [ ]{ } ∑
∑
=
==== n
ii
i
n
ii
T
T
TT
TT
ImkR
1
2
1
2
\\
α
λα
αααλα
αμμααμμαμ (6.92)
56
Dacă se presupune că vectorul arbitrar { }μ diferă foarte puţin de un vector propriu { }rμ , aceasta implică faptul că toţi coeficienţii iα pentru ri ≠ , sunt foarte mici comparativ cu rα , adică: rii αεα = , nr ,,2,1 …= , ri ≠ (6.93) unde iε este un număr foarte mic 1<<iε .
Împărţind raportul (6.92) prin 2rα , se obţine:
( )( )
( )( ) 2
1
1
2
2
1
11
1i
n
irirn
iiir
ii
n
iirr
R ελλλεδ
ελδλμ ∑
∑
∑=
=
= −+≈−+
−+= (6.94)
unde irδ este simbolul lui Kronecker, iar factorul ( )irδ−1 , exclude automat termenul corespunzător pentru ri = . Cum iε este un număr foarte mic, relaţia (6.94) arată că raportul Rayleigh are o valoare staţionară în vecinătatea vectorilor proprii. În particular, dacă 1=r , se obţine proprietatea cea mai importantă şi cea mai folosită.
( ) ( )∑=
−+=n
iiR
111 λλλμ 1
2 λε ≥i (6.95)
deoarece 1λλ ≥i . Raportul lui Rayleigh se modifică şi odată cu modificarea matricelor [ ]m şi [ ]k , ale sistemului. Din punct de vedere fizic, acest raport arată că dacă sistemul devine mai rigid, adică dacă [ ]k creşte, pulsaţia fundamentală creşte şi ea, iar dacă sistemul devine mai masiv, aceasta descreşte. 6.4.3. Metoda matricelor de transfer Conform cu metoda matricelor de transfer (Holzer), în cazul vibraţiilor de torsiune, sistemul este privit ca fiind constituit dintr-un număr de n+1 volanţi, iar arborii dintre masele concentrate ale volanţilor au numai rigiditate uniform distribuită (fig. 6.5.). Dacă se izolează volantul i (fig. 6.5.b.), ecuaţia de echilibru dinamic se scrie: S
iDiii MMJ −=ϕ (6.96)
57
Fig. 6.5
Presupunând că sistemul execută vibraţii armonice cu pulsaţia p, atunci
ii p ϕϕ 2−= , iar (6.96) devine:
iiSi
Di JpMM ϕ2−= (6.97)
Volantul fiind rigid, deplasările unghiulare la stânga şi la dreapta sunt egale: S
iDi ϕϕ =
(6.98) Sub forma matriceală, ecuaţiile (6.97) şi (6.98) se scriu:
S
i
D
i MJpM ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ϕϕ
1
012 (6.99)
Deoarece arborii nu au masă, se poate scrie: D
iSi MM =+1 (6.100)
iar deplasarea relativă a capetelor are expresia:
i
DiD
iSi k
M=−+ ϕϕ 1 (6.101)
unde i
ii l
GIk = , iI fiind moment de inerţie geometric polar.
Sub formă matriceală relaţiile (6.100) şi (6.101) se scriu:
58
D
i
S
i Mk
M ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+
ϕϕ
10
11
1
(6.102)
Produsul [ ]iT al matricelor
[ ]i
iV kT⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
10
11, [ ]
i
iA JpT
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=
1
012 (6.103)
care stabilesc legătura dintre doi vectori de stare adiacenţi, se numeşte matrice de transfer. Înlocuind (6.99) în (6.102) se obţine:
[ ]S
ii
S
i MT
M ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+
ϕϕ
1
(6.104)
unde [ ] [ ] [ ]iAiVi TTT ⋅= (6.105) Începând cu primul volant (i=1), rezultă uşor că:
[ ] [ ] [ ] [ ]1
1211 ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−+
MTTTT
M ii
S
i
ϕϕ… (6.106)
Mai mult, din fig. 6.5.a., se poate deduce că:
[ ]12221
1211
11 ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+MTT
TT
MT
M
SD
n
ϕϕϕ
(6.107) unde [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1211 TTTTTT nnnV …−+= (6.108) care este cunoscută ca matrice de transfer globală şi dă legătura dintre vectorul de stare din partea stângă a primului volant şi vectorul de stare din partea dreaptă a ultimului volant. Ecuaţia pulsaţiilor proprii se deduce din (6.107) pentru diferite tipuri de condiţii la limită. Următoarele cazuri sunt frecvent întâlnite:
1. Arbore cu capetele libere. În absenţa cuplurilor la capete, condiţiile la limită sunt: 011 == +
Dn
S MM (6.109)
care, înlocuite în (6.107), deoarece 01 ≠Sϕ , trebuie să verifice: 021 =T (6.110) ceea ce reprezintă ecuaţia pulsaţiilor proprii, o ecuaţie algebrică de gradul n+1 în 2p . Se poate da factor comun 2p astfel ca să se obţină rădăcina 02 =p . Acest lucru era de aşteptat, deoarece arborele, având capetele libere, are un mod de vibraţie de corp rigid.
59
2. Arbore cu un capăt încastrat, celălalt liber. Presupunând capătul din stânga
încastrat, deplasarea acestuia este nulă, iar în capătul liber momentul de răsucire este nul. Deci condiţiile de forntieră sunt: 01 =Sϕ ; 01 =+
DnM (6.111)
Din (6.107), deoarece 01 ≠SM , trebuie ca: 022 =T (6.112) ecuaţia ce dă pulsaţiile proprii şi este de gradul n în 2p .
3. Arborele are ambele capete încastrate. În acest caz, condiţiile de frontieră sunt: 01 == +
Dn
Si ϕϕ (6.113)
iar din ecuaţia (6.107), deoarece 01 ≠SM , trebuie ca: 012 =T (6.114) ceea ce reprezintă ecuaţia caracterisitică, ecuaţie de gradul n-1 în 2p . Pentru modelul de translaţie (fig. 6.6.) se stabilesc relaţii asemănătoare.
Fig. 6.6.
Metoda lui Holzer dă în acest caz următoarele relaţii recurente:
1. Pentru un sistem cu capete libere:
j
i
jj
iii am
kpaa ∑
=++ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
11
2
1 (6.115)
unde ia , ik , im sunt amplitudinile, constantele elastice şi masele elementelor sistemului, iar p este pulsaţia unui mod propriu în care se presupune că vibrează sistemul.
2. Pentru un capăt fixat, celălalt liber:
j
i
jj
ii am
kpaa ∑
=++ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
11
2
11 (6.116)
3. Pentru sistemul cu ambele capete fixate:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= ∑
=++ j
i
jj
iii ampak
kaa
1
211
11
1 (6.117)
60
Pentru o valoare dată a pulsaţiei p, se începe procesul iterativ presupunând amplitudinea primei mase 11 =a . Amplitudinile şi forţele de inerţie pentru toate celelalte mase sunt calculate pe baza formulelor precedente. Pentru ultima masă din sistem amplitudinea trebuie să fie zero pentru capete fixate, şi pentru capete libere forţa de inerţie totală este zero. Reprezentând grafic (sau prin calcule numerice) valorile rămase pentru amplitudine sau forţa de inerţie, se obţin adevăratele pulsaţii proprii ale sistemului.
6.5. Probleme
6.5.1. Folosind metoda modurilor presupuse să se obţină un model cu două grade de libertate pentru vibraţiile longitudinale ale unei bare încastrate la un capăt şi supusă unei forţe ( )tN la celălalt capăt. Să se aleagă funcţii acceptabile, funcţii polinomiale. Să se determine pulsaţiile proprii şi forma modurilor proprii şi să se compare cu cele exacte.
Fig. 6.7.
Rezolvare: Se aleg funcţiile acceptabile ( )xiφ , cărora li se impune o singură condiţie de frontieră, condiţia geometrică: ( ) 0,0 =tu , unde ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tqxtqxtxu 2211, φφ += Astfel, funcţiile ( )xiφ , 2,1=i , trebuie să satisfacă condiţia: ( ) ( ) 000 21 == φφ
Se aleg fucţiile polinomiale ( )Lxx =1φ şi ( )
2
2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Lxxφ .
Este convenabil ca funcţiile alese să fie adimensionale, dar nu este o condiţie esenţială. Pe baza relaţiilor (6.45) se pot calcula coeficienţii
srm şi
srk .
Astfel se obţin:
61
3
21
011
ALdxAmL ρφρ == ∫
421
02112
ALdxAmmL
=== ∫ φφρ
5
22
022
ALdxAmL ρφρ == ∫
( )L
EAdxEAkL
=′= ∫0
2111 φ
21210
12 kL
EAdxEAkL
==′′= ∫ φφ
( )L
EAdxEAkL
34
0
2222 =′= ∫ φ
Forţele generalizate se calculează pe baza lucrului mecanic virtual: ( ) 2211, qQqQtLuNL δδδδ +== unde ( ) ( ) ( ) 2211, qLqLtLu δφδφδ += De unde va rezulta că: ( ) NLNQ == 11 φ şi ( ) NLNQ == 22 φ Ecuaţiile de mişcare în formă matriceală sunt:
( )( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
tNtN
LEA
qqAL
2
1
2
1
43
33
31215
1520
60ρ
Pentru determinarea pulsaţiilor proprii se consideră cazul vibraţiilor libere
( )( )0=tN . Luând soluţia de formă armonică { } { } ( )ϕ+= ptaq cos se ajunge la problema de vectori proprii şi valori proprii:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
00
1215
1520
43
33
2
12
aa
λ
unde
22
2
20p
ELρλ =
Din condiţia ca sistemul să aibă soluţie nebanală se obţine ecuaţia caracteristică:
( ) 032615 222 =+− λλ cu rădăcinile:
30
4962622,1
±=λ ; 124,02
1 =λ ; 609,122 =λ
62
respectiv, cu pulsaţiile proprii:
ρE
Lp 57,1
1 = ; ρE
Lp 66,5
2 =
Vectorii proprii corespunzători se determină din ecuaţia:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
−−
001
124153
153203
222
22
rrr
rr
μλλ
λλ
de unde se obţine:
2
2
2
2
2 124153
153203
r
r
r
rr λ
λλλ
μ−−
−=−−
−=
adică 45,021 −=μ ; 381,122 −=μ Soluţia aproximativă este:
( ) ( ) ( ) { } { } { } { } ( ) ( ) ( )rrr
rrrrr
TTr
rr tpxUtpqtqxtxu ϕϕμφφφ +=+=== ∑∑∑
===
coscos,2
1
2
1
2
1
Funcţiile care dau forma aproximativă a modurilor proprii vor fi: ( ) { } { }r
Tr xU μφ= , 2,1=r
adică
( )2
1 45,0 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
Lx
LxxU
( )2
2 381,1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
Lx
LxxU
care sunt reprezentate în fig. 6.8.
Fig. 6.8.
Pentru a face comparaţie cu rezultatele exacte, din Tabelul 1., pentru legătura (I – L ), se scot pulsaţiile proprii şi funcţiile proprii:
( )
ρπ E
Lrpr 2
12 −=
63
( ) ( )LxrCxUr ⋅
−=
212sin π
adică
ρE
Lp 57,1
1 = ; ρE
Lp 71,5
2 =
Formele corespunzătoare acestor moduri sunt reprezentate în fig. 6.9.
Fig. 6.9.
Acest exemplu arată o bună estimare a pulsaţiilor naturale şi care sunt accesibile prin folosirea metodei modurilor presupuse. 6.5.2. O platformă de foraj este modelată ca o bară flexibilă, având lungimea L şi o masă M concentrată în capătul superior. La capătul inferior legătura este modelată printr-un arc spiral de constantă K. Folosind metoda modurilor presupuse, să se determine ecuaţiile mişcării unui model cu două grade de libertate. Se vor presupune mici rotaţii la capătul
0=x .
64
Fig. 6.10. Rezolvare: Se pune o singură condiţie geometrică de frontieră: ( ) 0,0 =tv , unde ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tqxtqxtxv 2211, φφ += Astfel, pentru funcţiile acceptabile ( )x1φ şi ( )x2φ se impune condiţia: ( ) ( ) 000 21 == φφ Se vor lua cele mai simple funcţii care să satisfacă această condiţie, funcţii polinomiale.
( )Lxx =1φ şi ( )
2
2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Lxxφ
Pentru calculul coeficienţilor matricei de rigiditate şi de inerţie se scriu expresiile energiilor potenţiale şi cinetice pentru o bară aflată în vibraţii de încovoiere.
( ) 20
0
2
21
21 θKdxvEIE
L
p +′′= ∫
( )tLvMdxvAEL
c ,21
21 2
0
2 += ∫ ρ
unde
( ) ( ) ( )tqxtxv rr
r ⋅= ∑=
2
1, φ
( ) ( ) ( )∑=
⋅′=′=2
10 0,0
rrr tqtv φθ
Dacă se înlocuiesc aceste relaţii în expresiile energiilor potenţiale şi cinetice, ţinând cont că acestea sunt forme pătratice în coordonatele generalizate, respectiv în vitezele generalizate, se obţin:
( )( ) ( )( ) 22
10
2111 0
LKKdxxEIk
L
=′+′′= ∫ φφ
( ) ( ) 0210
2112 =′′′′== ∫ dxxxEIkkL
φφ
( )( ) ( )( ) 32
20
2222
40LEIKdxxEIk
L
=′+′′= ∫ φφ
( ) ( ) MALLMdxxAmL
+=+= ∫ 32
12
10
11ρφφρ
( ) ( ) ( ) ( ) MALLLMdxxxAmmL
+=+== ∫ 421210
2112ρφφφφρ
65
( ) ( ) MALLMdxxAmL
+=+= ∫ 522
22
022
ρφφρ
Punând ecuaţiile mişcării sub formă matriceală, se obţine:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
++
0
0
40
0
54
43
2
1
2
2
2
1
q
q
LEI
LK
q
q
ALMALM
ALMALM
ρρ
ρρ
6.5.3. Se consideră sistemul din fig. 6.11. Folosind metoda modurilor presupuse, să se
calculeze primele două pulsaţii proprii şi modurile corespunzătoare pentru L
EAk = .
Fig. 6.11.
Rezolvare: Pentru alegerea funcţiilor acceptabile se pune o singură condiţie geometrică de frontieră: ( ) 0,0 =tu . Se pot lua ca funcţii acceptabile, funcţiile proprii pentru vibraţiile longitudinale
ale barei I – L , adică: ( ) ( )LxrCxr ⋅
−=
212sin πφ , 2,1=r
Deplasarea în modurile presupuse va fi:
( ) ( ) ( )tqLxtq
Lxtxu 21 2
3sin2
sin, ππ+=
Energia cinetică este:
{ } [ ]{ }qmqqALqALdxtuAE T
L
c 21
4421 2
221
2
0
=+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= ∫ρρρ
iar energia potenţială:
( ) ( )
{ } [ ]{ }qkq
qqL
EAqLEAq
LEAtLkudx
xuEAE
T
L
p
21
2169
16,
21
21 2
2122
221
22
2
0
=
−++=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= ∫ππ
Ecuaţia sub formă matriceală este:
66
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−
−++
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
00
898
88
810
01
2 2
12
2
2
1
LEA
qqAL
π
πρ
din care se obţin pulsaţiile proprii şi vectorii proprii:
ρE
Lp 06,2
1 = ; { } { }1,011 =Tμ
ρE
Lp 94,4
2 = ; { } { }97,912 −=Tμ
şi funcţiile care dau forma modurilor proprii:
( )Lx
LxxU
23sin1,0
2sin1
ππ⋅+=
( )Lx
LxxU
23sin97,9
2sin2
ππ⋅−=
6.5.4. Se consideră o bară I – L în vibraţii longitudinale şi care are la capătul liber o
masă concentrată 10ALM ρ
= .
Să se determine primele două pulsaţii proprii şi funcţiile modale corespunzătoare.
Fig. 6.12.
Rezolvare: Considerând aceleaşi funcţii acceptabile ca şi la problema precedentă, deplasarea în modurile presupuse este:
( ) ( ) ( )tqLxtq
Lxtxu 21 2
3sin2
sin, ππ+=
Energia cinetică este:
( ) ( ) ( ) { } [ ]{ }qmqqqALqqALtLuMdxtuAE T
L
c 21
204,
21
21 2
2122
21
22
0
=−++=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= ∫ρρρ
iar energia potenţială este:
{ } [ ]{ }qkqqL
qL
EAdxxuEAE T
L
p 21
89
8221 2
2
221
22
0
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= ∫ππ
Ecuaţiile de mişcare sub formă matriceală sunt:
67
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−
0
0
890
08
61
16
102
1
2
2
2
1
q
q
LEA
qqAL
π
πρ
de unde se obţin pulsaţiile proprii şi vectorii proprii:
ρE
Lp 43,1
1 = ; { } { }021,011 −=Tμ
ρE
Lp 37,4
2 = ; { } { }35,512 =Tμ
Funcţiile care dau forma aproximativă a modurilor proprii vor fi: ( ) { } { }r
Tr xU μφ= , 2,1=r
adică
( )Lx
LxxU
23sin021,0
2sin1
ππ⋅−=
( )Lx
LxxU
23sin35,5
2sin2
ππ⋅+=
6.5.5. Sistemul din fig. 6.13. este constituit dintr-o bară încastrată liberă (I – L) cu un arc şi o masă M suspendată la un capăt liber. Să se folosească metoda modurilor presupuse pentru a determina primele trei pulsaţii proprii ale sistemului şi modurile proprii corespunzătoare vibraţiilor de încovoiere. Pentru bară se vor lua funcţiile acceptabile
( )2
1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Lxxφ şi ( )
3
2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Lxxφ . Se va lua 3L
EIk = , 7ALM ρ
= .
Fig. 6.13.
Rezolvare: Deplasarea unui punct al barei în metoda modurilor presupuse va fi:
68
( ) ( ) ( )tqLxtq
Lxtxv 2
3
1
2
, ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
Energia cinetică a barei este:
( )
2221
21
2
2
3
1
2
0
2
01
14610
21,
21
qALqqALqAL
dxqLxq
LxAdx
ttxvAE
LL
c
ρρρ
ρρ
++=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∂∂
= ∫∫
iar energia potenţială:
( )
223213
213
2
23120
2
2
2
01
662
6221,
21
qLEIqq
LEIq
LEI
dxqLxq
LEIdx
xtxvEIE
LL
p
++=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂= ∫∫
Energia cinetică a masei M este:
23
232 142
1 qALqMEcρ
==
iar energia potenţială a arcului:
( )[ ] ( )23213
232 2
,21 qqq
LEIqtLvkEp −+=−=
Scriind energia cinetică a sistemului, respectiv energia potenţială a sistemului sub forma matriceală:
{ } [ ]{ }qmqE Tc 2
1= ; { } [ ]{ }qkqE T
p 21
=
şi, înlociund în ecuaţia matriceală de mişcare: [ ]{ } [ ]{ } { }0=+ qkqm se obţine:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
000
111
1137
175
3000
03035
03542
2103
2
1
3
3
2
1
qqq
LEI
qqq
ALρ
Rezolvând problema de valori proprii şi vectori proprii, se obţin:
A
EIL
pρ21
14,2= ; { } { }118,053,01 −=Tμ
69
A
EIL
pρ22
34,4= ; { } { }35,041,012 −−=Tμ
A
EIL
pρ23
92,34= ; { } { }001,0182,03 −−=Tμ
6.5.6. O bară simplu rezemată la fiecare capăt, are fixat un arc de constantă 340LEIk =
la 4L de un capăt (fig. 6.14.). Folosind metoda Rayleigh, să se calculeze pulsaţia fundamentală a vibraţiilor de înconvoiere.
Fig. 6.14.
Rezolvare: Pentru determinarea pulsaţiei fundamentale se alege funcţia acceptabilă
( )LxxV πsin= , funcţie ce verifică condiţiile geometrice de frontieră:
( ) ( ) 0,,0 == tLvtv , unde ( ) ( ) ( )tqxVtxv ⋅=, , reprezintă deplasarea unui punct al barei. Presupunând o lege armonică de deplasare a fiecărui punct al barei, se poate scrie: ( ) ( ) ptxVtxv cos, ⋅= Acum se pot calcula energia cinetică maximă a barei şi energia potenţială maximă a sistemului:
( )dxvAVpEL
c ∫=0
22max. 2
1 ρ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
= ∫ 421
21 2
2
2
2
0max.
LkVdxxVEIE
L
p
de unde, pe baza conservării energiei mecanice se obţine raportul Rayleigh:
AEI
Ldx
LxA
kdxLxEI
L
dxVA
LkVdxxVEI
p L
L
L
L
ρπ
πρ
πππ
ρ4
4
0
2
22
04
4
2
0
2
0
2
2
2
2 40
sin
4sinsin
4 +=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
=
∫
∫
∫
∫
sau
70
A
EIL
pρ
π2
440+=
6.5.7. Să se determine pulsaţia fundamentală a vibraţiei de încovoiere a unei bare omogene de lungime L şi încastrată la ambele capete, folosind metoda Rayleigh. Rezolvare: Energia cinetică a unei bare aflată într-o mişcare vibratorie de încovoiere este:
( ) dxt
txvAEL
c
2
0
,21∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∂∂
= ρ
iar energia potenţială este:
( ) dxx
txvEIEL
p
2
02
2 ,21∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂=
unde ( ) ( ) ( ) ( ) ptxVtqxVtxv cos, ⋅=⋅= , presupunând o deplasare armonică pentru fiecare punct al barei. ( )xV este o funcţie acceptabilă care să îndeplinească condiţiile geometrice de frontieră:
( ) ( ) 0,,0 == tLvtv şi ( ) ( ) 0,,0 =′=′ tLvtv
Luând ( )L
xxV π2cos1−= , se constată că sunt verificate aceste condiţii. Raportul lui
Rayleigh va da:
23
8 34
2
0
2
02
2
2
ALLEI
dxVA
dxxVEI
p L
L
ρ
π
ρ=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
=
∫
∫
adică
A
EIL
pρ2
79,22=
6.5.8. Folosind metoda Rayleigh – Ritz, să se determine primele două pulsaţii proprii şi formele modale corespunzătoare, pentru vibraţiile de încovoiere ale unei bare omogene încastrată la ambele capete (fig. 6.15.).
71
Fig. 6.15.
Rezolvare: În cazul în care se doreşte mai multe pulsaţii proprii, funcţia ( )xV se ia ca o serie de funcţii acceptabile, adică, care verifică condiţiile geometrice de frontieră. Pentru acest caz se consideră: ( ) 2211 φαφα +=xV , unde
Lxπφ 2cos11 −= ;
Lxπφ 4cos12 −=
verifică condiţiile impuse: ( ) ( ) 00 11 == Lφφ şi ( ) ( ) 00 22 == Lφφ ( ) ( ) 00 11 =′=′ Lφφ şi ( ) ( ) 00 22 =′=′ Lφφ Înlocuind în raportul lui Rayleigh, se obţine:
( )( )
( )2
433
168
2122
21
3
22
214
2
0
2
02
2
ααααρ
ααπ
ρ++
+
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
=
∫
∫A
LEI
dxVA
dxxVEI
VR L
L
Ţinând cont că în jurul unui mod propriu, raportul ( )VR are valoare staţionară, din condiţiile:
( ) ( ) 0
21
=∂∂
=∂∂
ααVRVR
se obţine următoarea problemă algebrică de valori proprii:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
2
12
2
13
4
32
23
160
0116αα
ρααπ ALp
LEI
cu soluţia:
A
EIL
pρ21
35,22= ; { } { }57,011 =Tμ
şi A
EIL
pρ22
124= ; { } { }45,112 −=Tμ
72
Formele modale sunt date de funcţiile: ( ) { } { }r
Tr xV μφ= , 2,1=r
adică
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
Lx
LxxV ππ 4cos157,02cos11
şi ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
Lx
LxxV ππ 4cos145,12cos12
6.5.9. Se consideră bara omogenă încastrată la un capăt, liberă la celălalt capăt (I – L) din fig. 6.16. Folosind metoda Rayleigh – Ritz, să se determine primele două pulsaţii proprii şi formele modale corespunzătoare vibraţiilor de încovoiere.
Fig. 6.16.
Rezolvare: Funcţia ( )xV se va lua de forma: ( ) ( ) ( )xxxV 2211 φαφα += unde ( )x1φ şi ( )x2φ sunt două funcţii acceptabile, verificând numai condiţiile geometrice de frontieră.
Dacă se iau ( )2
1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Lxxφ şi ( )
3
2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Lxxφ , se constată că, condiţiile geometrice
de frontieră sunt îndeplinite. ( ) ( ) 000 21 == φφ şi ( ) ( ) 000 21 =′=′ φφ Înlocuind în raportul Rayleigh, se obţine:
( )( )
( )210
427042
6622
2221
21
3
2221
21
2
0
2
02
2
ααααρ
αααα
ρ++
++
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
=
∫
∫AL
LEI
dxVA
dxxVEI
VR L
L
Condiţiile de staţionare pentru raportul lui Rayleigh conduc la sistemul algebric de valori proprii:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
2
12
2
13 3035
3542
21063
322ααρ
αα ALp
LEI
pentru care se obţine:
73
A
EIL
pρ21
53,3= ; { } { }38,011 −=Tμ
şi A
EIL
pρ22
81,34= ; { } { }182,02 −=Tμ
Cele două funcţii modale sunt:
( )32
1 38,0 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
Lx
LxxV
( )32
2 82,0 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
Lx
LxxV
6.5.10. O grindă uniformă simplu rezemată, având masa LAm ρ= , susţine la mijlocul său o maşină, având masa mM ⋅= 5 (fig. 6.17.). Folosind funcţiile acceptabile
( )Lxx πφ sin1 = şi ( )
Lxx πφ 2sin2 = , să se determine cu metoda Rayleigh – Ritz primele
două pulsaţii proprii şi funcţiile modale corespunzătoare vibraţiilor de încovoiere.
Fig. 6.17.
Rezolvare: Funcţia ( )xV se ia de forma:
( )L
xLxxV παπα 2sinsin 21 +=
Funcţiile alese ca funcţii acceptabile verifică condiţiile geometrice de frontieră: ( ) ( ) 00 11 == Lφφ şi ( ) ( ) 00 22 == Lφφ Înlocuind în raportul lui Rayleigh, se obţine:
( )( )
( ) 21
22
21
3
22
21
4
22
0
2
02
2
2
216
2αααρ
ααπ
ρ MALL
EI
LMVdxVA
dxxVEI
VR L
L
++
+
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
=
∫
∫
74
Punând condiţia de staţionaritate pentru acest raport, se obţine problema de valori proprii:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ +=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
2
12
2
13
4
10
021
160
01
α
αρρ
ααπ AL
MALp
LEI
pentru care se obţin:
A
EIpρ
π11
2
1 = ; { } { }011 =Tμ
A
EIpρ
π 22 4= ; { } { }102 =Tμ
6.5.11. Un agregat aeroelectric este constituit dintr-o coloană uniformă ce susţine o platformă cu echipament. Considerând platforma ca o masă concentrată, având masa
LAM μρ= ( LAρ este masa coloanei), să se deducă pulsaţiile proprii şi funcţiile modale corespunzătoare primelor două pulsaţii. Se va folosi metoda Rayleigh – Ritz, luând ca
funcţii acceptabile ( )2
1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Lxxφ şi ( )
3
2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Lxxφ , ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ =
21μ .
Fig. 6.18.
Rezolvare:
( )3
2
2
1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
Lx
LxxV αα
75
( )( )
( )
( ) ( )221
2221
21
3
2221
21
22
0
2
02
2
210307042
6622
ααμραααα
αααα
ρ ++++
++
=+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=
∫
∫
ALALL
EI
LMVdxVA
dxxVEI
VR L
L
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
++=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
2
12
2
13 2103021035
2103521042
21063
322αα
μμ
μμραα ALp
LEI
A
EIL
pρ21
0172,2= ;
AEI
Lp
ρ22038,23
=
( )32
1 35,0 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
Lx
LxxV
( )32
2 95,0 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
Lx
LxxV
6.5.12. Folosind metoda Galerkin, să se determine primele două pulsaţii proprii şi formele modale corespunzătoare pentru vibraţiile de încovoiere ale unei bare omogene încastrată la ambele capete (fig. 6.15. de la problema 6.5.8.). Rezolvare: Ecuaţia vibraţiilor libere transversale (de încovoiere) ale unei bare omogene este:
02
2
4
4
=∂∂
+∂∂
tvA
xvEI ρ
Fiecare punct al barei are o mişcare armonică ( ) ( ) ptxVtxv cos, ⋅= , pentru care ecuaţia diferenţială de mai sus devine:
04
4
=− Vdx
Vd λ
unde 42
βρλ ==EIAp
.
Pentru a găsi o soluţie aproximativă ( )xV se vor lua doi termeni ai combinaţiei liniare de funcţii de comparaţie (generatoare) în care se poate aceasta dezvolta ( ) ( ) ( )xxxV 2211 φαφα +=
unde ( ) 12cos1 −=L
xx πφ ; ( ) 14cos2 −=L
xx πφ . Funcţiile de comparaţie trebuie să
satisfacă toate condiţiile de frontieră. La acest tip de legături (I –I), condiţiile de frontieră
76
sunt de fapt condiţiile geometrice: deplasările şi unghiurile de înclinare în cele două capete sunt nule, fapt ce se verifică imediat. Înlocuind soluţia aproximativă:
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 14cos12cos 21 L
xL
xxV παπα
în ecuaţia diferenţială, se obţine reziduul:
( ) 42
44
24
14
4
14cos42cos2 βαπβπαβαπβπα +
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛++
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
Lx
LLx
LVR
Înlocuind în condiţiile:
( ) ( ) 0,0
=⋅∫ dxVRxL
i βφ , 2,1=i
se obţine:
04cos
42cos212cos
42
44
24
14
4
10
=⎭⎬⎫+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛++
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −∫
dxL
x
LLx
LLxL
βαπ
βπαβαπβπαπ
şi
04cos
42cos214cos
42
44
24
14
4
10
=⎭⎬⎫+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛++
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −∫
dxL
x
LLx
LLxL
βαπ
βπαβαπβπαπ
de unde se obţine sistemul omogen:
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
−−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
0
0
421
221
2
1
444
4
4444
α
α
ββπβ
βββπ
L
L
Pentru soluţia nebanală, se obţine ecuaţia: ( ) ( ) 010777115900 348 =⋅+− LL ββ a cărei rădăcini dau pulsaţiile proprii:
A
EIL
pρ21
48,22= şi
AEI
Lp
ρ221,124
=
cărora le corespund vectorii proprii:
77
{ } { }43,011 =Tμ ; { } { }45,112 −=Tμ Forma modurilor aproximateve este dată de funcţiile:
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 14cos43,012cos1 L
xL
xxV ππ
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 14cos45,112cos2 L
xL
xxV ππ
6.5.13. Să se determine primele două pulsaţii proprii şi formele modale corespunzătoare, folosind metoda Galerkin pentru vibraţiile transvervale ale unei bare omogene simplu rezemată (fig. 6.19.).
Fig. 6.19.
Rezolvare: Se va alege funcţia ( )xV ca o combinaţie liniară de două funcţii de comparaţie:
( )Lxx πφ sin1 = şi ( )
Lxx πφ 3sin2 =
Deci:
( )Lx
LxxV παπα 3sinsin 21 +=
şi verifică toate condiţiile de frontieră. Într-adevăr: ( ) ( ) 00 == LVV (deplasarea nulă la capete) ( ) ( ) 00 =′′=′′ LVEIVEI (momente nule la capete) 6.5.14. Folosind metoda diferenţelor finite, să se determine primele două pulsaţii proprii şi modurile proprii corespunzătoare pentru vibraţiile de înconvoiere ale unei bare omogene încastrată la ambele capete (vezi 6.5.8. şi 6.5.12.). Rezolvare: Pentru găsirea unei soluţii numerice pentru rezolvarea ecuaţiei:
044
4
=− Vdx
Vd β
funcţia ( )xV se dezvoltă în serie Taylor în jurul unui punct x, astfel:
78
( ) ( ) ( ) ( ) ( )!4!3!2
4
4
43
3
32
2
2 xdx
Vdxdx
Vdxdx
VdxdxdVxVxxV
xxxx
Δ+
Δ+
Δ+Δ+=Δ+
şi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )!4!3!2
4
4
43
3
32
2
2 xdx
Vdxdx
Vdxdx
VdxdxdVxVxxV
xxxx
Δ+
Δ−
Δ+Δ−=Δ−
Luând numai primii doi termeni ai dezvoltărilor, prin scădere se obţine:
( ) ( )
xxxVxxV
dxdV
x ΔΔ−−Δ+
=2
iar prin adunare, se obţine:
( ) ( ) ( )
( )22
2 2x
xxVxVxxVdx
Vd
x ΔΔ++−Δ+
=
În mod similar se poate scrie.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!4
2!3
2!2
2224
4
43
3
32
2
2 xdx
Vdxdx
Vdxdx
VdxdxdVxVxxV
xxxx
Δ+
Δ+
Δ+Δ+=Δ+
şi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!4
2!3
2!2
2224
4
43
3
32
2
2 xdx
Vdxdx
Vdxdx
VdxdxdVxVxxV
xxxx
Δ+
Δ−
Δ+Δ−=Δ−
Prin adunare, ţinând cont şi de expresiile de mai sus, se obţine:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxVxxVxVxxVxxV
xdxVd
x
Δ−−Δ+−−Δ−+Δ+Δ
= 446224
344
4
Fig. 6.20.
Se aproximează ecuaţia diferenţială în punctele 1 şi 2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ =Δ
3Lx .
( ) 0464 14132101 =−+−+−− VVVVVV λ
( ) 0464 24143210 =−+−+− VVVVVV λ
unde
79
44
41 33
4 βλ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
L.
Condiţiile de frontieră dau: 030 ==VV (deplasări nule)
0=dxdV
, pentru nodurile 0 şi 3 (unghiurile de înclinare nule)
Din această relaţie se obţine: 11 VV =− şi 24 VV = Ţinând cont şi de aceste relaţii, seobţine sistemul:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−
2
141
2
1
10
01
74
47
VV
VV
λ
Rezolvând această problemă de valori proprii, se obţine:
A
EIL
pρ21
5,13= ; { } { }111 =Tμ
şi A
EIL
pρ22
8,25= ; { } { }112 −=Tμ
Observaţie: Pentru a obţine, prin această metodă, rezultate mai apropiate de cele exacte trebuie mărit numărul de puncte modale de pe bară. 6.5.15. Să se determine pulsaţiile proprii şi vectorii proprii pentru sistemul vibrant din fig. 6.21. prin metoda puterii, folosind matricea de eliminare. Se va lua mmm == 21 ,
mm 23 = , kkk == 21 , kk 23 = . Fig. 6.21. Rezolvare: Ecuaţia diferenţială a mişcării sub formă matriceală este:
80
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
000
220
23
02
200
00
00
3
2
1
3
2
1
qqq
kk
kkk
kk
qqq
m
m
m
Problema de valori proprii poate fi pusă sub forma.
[ ]{ } { }μμ 2
1p
D =
unde
[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
== −
521
421
2111
kmmkD
sau introducând notaţia 2mpk
=λ , aceasta devine:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
3
2
1
521
421
211
μμμ
μμμ
Luând pentru prima iteraţie vectorul ( ){ } { }3211 =
Tμ , se obţine:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
185,045,0
2020179
321
521
421
211
Folosind vectorul ( ){ } { }185,045,02 =
Tμ pentru iteraţia a doua, se obţine:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
0000,18601,04615,0
15,715,715,63,3
185,045,0
521
421
211
Pentru a treia iteraţie ( ){ } { }18601,04615,03 =
Tμ :
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
0000,18607,04625,0
1817,71817,71817,63416,3
0000,18601,04615,0
521
421
211
81
Pentru a patra iteraţie ( ){ } { }18607,04625,04 =
Tμ :
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
0000,18607,04625,0
1839,71839,71839,63232,3
0000,18607,04625,0
521
421
211
Rezultă că { } { }18607,04625,01 =Tμ şi 1839,71 =λ .
Normalizând vectorul propriu { }1μ după regula { } [ ]{ } 111 =μμ mT , se obţine:
10000,18607,04625,0
200
00
00
0000,18607,04625,0
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
m
m
mT
sau 19547,2 21 =αm ;
m5817,0
1 =α , iar vectorul { }1μ normalizat va fi:
{ } { }5817,05006,02690,011 mT =μ şi
mkp 373,01 =
Pentru a obţine cel de-al doilea mod se construieşte matricea:
( )[ ] [ ] { } { } [ ]
( )[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
==
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−=
1383,00918,01240,0
1838,01997,00326,0
2482,00326,04801,0
200
010
001
5817,05006,02690,0
5817,05006,02690,0
1839,7
521
421
211
2
1112
kmD
km
kmmDD
T
Tμμλ
Deoarece, în modul al doilea există un nod, se alege vectorul de iteraţie de forma: ( ){ } { }1111 −=
Tμ
Se putea alege ca vector de pornire a iteraţiei un vector arbitrar. Această observaţie va face ca să se reducă numărul iteraţiilor. Prima iteraţie pentru cel de-al doilea mod este:
82
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
4653,05468,00000,1
7609,01
11
1383,00918,01240,0
1838,01997,00326,0
2482,00326,04801,0
A doua iteraţie este:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
3888,03705,00000,1
6134,04653,0
5468,00000,1
1383,00918,01240,0
1838,01997,00326,0
2482,00326,04801,0
A treia iteraţie:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
3598,03024,00000,1
5886,03883,0
3705,00000,1
1383,00918,01240,0
1838,01997,00326,0
2482,00326,04801,0
După şapte iteraţii, pentru o convergenţă 310−=ε , se obţine: 5731,02 =λ ; { } { }3399,02561,012 −=Tμ Pentru normalizare se ia: { } { }3399,02561,0122 −=αμ T
13399,0
2561,00000,1
200
00
00
3399,02561,00000,1
22 =
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
− m
m
mT
α
sau
m
8781,02 =α , iar vectorul { }2μ normalizat
{ } { }2984,02249,08781,012 −=
mTμ şi pulsaţia corespunzătoare
mkp 320,12 = .
Pentru cel de-al treilea mod se construieşte matricea:
83
( )[ ] ( )[ ] { } { } [ ]
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=−=
0362,00533,00261,0
1068,01707,00805,0
0154,00805,00382,0
200
010
001
2984,02249,08781,0
2984,02249,08781,0
5731,0
1383,00918,01240,0
1838,01997,00326,0
2482,00326,04801,0
22223
km
km
kmmDD
T
Tμμλ
În cel de-al doilea mod există două moduri. Se va alege ( ){ } { }1211 −=T
μ . Prima iteraţie va da:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
7870,04636,2
0000,12146,0
12
1
0362,00533,00261,0
1068,01707,00805,0
0154,00805,00382,0
A doua iteraţie:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
7477,03533,2
0000,12486,0
7870,04634,2
0000,1
0362,00533,00261,0
1068,01707,00805,0
0154,00805,00382,0
A treia iteraţie:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
7469,03507,2
0000,12391,0
7477,03533,2
0000,1
0362,00533,00261,0
1068,01707,00805,0
0154,00805,00382,0
A patra iteraţie:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
7468,03504,2
0000,12389,0
7469,03507,2
0000,1
0362,00533,00261,0
1068,01707,00805,0
0154,00805,00382,0
A cincea iteraţie:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
7468,03504,2
0000,12389,0
7468,03504,2
0000,1
0362,00533,00261,0
1068,01707,00805,0
0154,00805,00382,0
84
Deci, s-a obţinut cel de-al treilea mod propriu:
{ } { }7468,03504,213 −=Tμ ; mkp 0459,23 =
Pentru normare se foloseşte procedeul:
17468,0
3504,20000,1
200
00
00
7468,03504,2
0000,123 =
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
m
m
mT
α
de unde m
3617,03 =α şi vectorul { }3μ normat
{ } { }2701,08502,03617,013 −=
mTμ
6.5.16. Să se determine pulsaţiile proprii şi vectorii proprii pentru sistemul vibrant din fig. 6.22. prin metoda puterii, folosind matricea de eliminare. Să se compare pulsaţiile proprii cu valorile obţinute prin metoda raportului Rayleigh. Se va lua
mmmm === 321 ; kkkkk ==== 4321 . Fig. 6.22. Rezolvare: Pentru acest sistem:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
m
m
m
m
00
00
00
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
kk
kkk
kk
k
20
2
02
matricea dinamică este:
85
[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
== −
75,05,025,0
5,015,0
25,05,075,01
kmmkD
Pentru determinarea primului mod se alege ca vector de începere a iteraţiei
( ){ } { }1111 =T
μ , şi se obţine:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
000,1333,1000,1
5,1111
75,05,025,0
5,015,0
25,05,075,0
Pentru o convergenţă 210−=ε , după cinci iteraţii, se obţine:
{ } { }14141,111 =Tμ şi mkp 7653,01 =
În normalizarea vectorului { }1μ după regula { } [ ]{ } 111 =μμ mT , se va lua
{ } { }14141,1111 αμ =T , care va conduce la:
m5,0
1 =α şi { } { }5,0707,05,011 mT =μ
Pentru cel de-al doilea mod, se construieşte matricea:
( )[ ] [ ] { } { } [ ]
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−=
3232,01034,01767,0
1034,01465,01034,0
1767,01034,03232,0
100
010
001
5,0707,05,0
5,0707,05,0
707,1
75,05,025,0
5,015,0
25,05,075,0
1112
km
km
kmmDD
T
Tμμλ
Procesul de iteraţie se va începe cu ( ){ } { }1101 31 −= −T
μ . Prima iteraţie:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−⋅=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−−−
1109,2
14997,0
1101
3232,01034,01767,0
1034,01465,01034,0
1767,01034,03232,043
86
După a doua iteraţie se obţine: 4999,02 =λ şi { } { }11081 5
2 −⋅= −Tμ
Practic, în modul al doilea, corpul 2m rămâne în repaus. După normalizare, se obţine:
m
707,02 =α
{ } { }707,00707,012 −=
mTμ ;
mkp 414,12 =
Pentru modul al treilea, se obţine:
mkp 847,13 = ; { } { }1414,113 −=Tμ .
6.5.17. Se consideră construcţia cu trei nivele din fig. 6.23. Să se determine modurile naturale de vibraţie. Se va lua mm =1 , mm 42 = , mm 43 = , kkk == 21 , kk 33 = . Fig. 6.23. Răspuns: Ecuaţiile de mişcare în formă matriceală sunt:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
000
410
121
011
400
020
001
3
2
1
3
2
1
qqq
kqqq
m
Cele trei moduri naturale de vibraţie sunt:
mkp 457,01 = ; { } { }25,079,011 =Tμ
mkp =2 ; { } { }1012 −=Tμ
87
mkp 34,13 = ; { } { }25,079,013 −=Tμ
6.5.18. Se consideră construcţia cu patru nivele din fig. 6.24. Să se determine modurile naturale de vibraţie. Se va lua: mm =1 , mmm 232 == , mm 34 = , kk =1 , kk 22 = , kk 33 = , kk 44 = . Fig. 6.24. Răspuns: Matricele de inerţie şi rigiditate ale sistemului sunt:
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
3000
0200
0020
0001
mm ; [ ]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−−
−
=
7300
3520
0231
0011
kk
Cele patru moduri de vibraţie sunt:
{ }mkp
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
88.5507,4166,2929,13
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
−−
−
=
63,070,043,023,0
00,115,053,049,0
44,000,109,077,0
15,090,000,100,1
μ
88
Metoda elementelor finite (MEF) aplicata in studiul vibratiilor barelor
In cele mai multe cazuri, forma geometrica complexa si conditiile de frontieră neclasice ale structurilor reale cer folosirea metodelor numerice pentru determinarea comportarii statice si dinamice ale acestora. Pentru asemenea cazuri, metoda elementelor finite (MEF) este larg utilizata si in cele ce urmeaza se prezinta cateva aspecte relative la aceasta metoda. Se vor urmari urmatoarele probleme:
- Obtinerea ecuatiilor diferentiale ale miscarii - Determinarea pulsatiilor si modurilor proprii si obtinerea raspunsului structurii la
un tip de excitatie
Deducerea ecuatiilor diferentiale ale miscarii
Metoda elementelor finite (MET) poate fi prezentată, in termini foarte simpli, parcurgand urmatorii pasi:
a) Structura este impartita intr-un numar finit de parti numite elemente finite, care sunt conectate intre ele prin cateva puncte numite noduri sau puncte nodale, situate la frontiera fiecarui element.
b) Se fac ipoteze rezonabile asupra campului de deplasari ale elementului i, iar apoi se determina energia cinetica Eci, energia potential Epi si energia de disipare Edi in functie de deplasarile nodale si vitezele acestora.
c) Daca structura este impartita in N elemente, atunci:
(1)
Fortele generalizate se determina prin scrierea lucrului mechanic virtual al fortelor perturbatoare exterioare. Se aplica ecuatiile lui Lagrange pentru obtinerea ecuatiilor diferentiale ale miscarii pentru intreaga structura.
(2)
unde n reprezinta numarul deplasarilor nodale, sunt fortele perturbatoare generalizate,
sunt deplasarile nodale.
89
In alegerea tipului de elemente finite folosite se va tine cont in primul rand de geometria si comportarea structurii. O discretizare efectiva si eficienta depinde de experienta utilizatorului. In particular, discretizarea va tine cont de discontinuitatile geometrice, discontinuitatile de material, conditiile de frontier cat si de fortele aplicate structurii.
Pentru calculul, cu destula acuratete, a pulsatiilor proprii si modurilor proprii ale raspunsului dinamic, distributia elementelor finite, asa numita retea, poate fi relativ grosiera, dar regulata. Reteaua poate fi mai fina pentru calcularea cu acuratete a eforturilor si poate fi chiar foarte fina in regiunile de concentrare a eforturilor.
Calculul energiei potentiale. Matricea de rigiditate
In scopul simplificarii notatiilor, indicele i destinat cantitatilor associate
elementului i va fi omis in cele ce urmeaza, subântelegandu-se ca este vorba de elemental i. Energia potential (de deformatie) a elementului de volum dV este:
(3)
unde este vectorul deformatiilor, este vectorul eforturilor, iar V domeniul elementului. Vectorul deplasarilor { }d dintr-un punct arbitrar al unui element este legat de vectorul deplasarilor nodale , ale elementului printr-o matrice [N]. Aceasta matrice [N] este generata prin ipotezele care se fac asupra campului deplasarilor din interiorul elementului. Relatia dintre vectorul deplasarilor { }d si vectorul deplasarilor nodale este:
(4)
Prin derivarea relatiei (4), se obtine relatia dintre deformatiile din interiorul elementului si deplasarile nodale:
(5)
Presupunad ca nu exista solicitari initiale, relatia dintre eforturi si deformatii este:
(6) unde [D] este o matrice simetrica a carei elemente depind de caracteristicile mecanice ale materialului, date in mod usual prin modulul de elasticitate E si prin coeficientul Poisson
. Folosind relatiile (5) si (6) ecuatia energiei de deformatie devine:
(7)
care poate fi scrisa sub forma :
90
(8)
unde:
(9)
Matricea [k] se numeste matrice de rigiditate a elementului i. Ea este o matrice simetrica deoarec si matricea [D] este simetrica. In cele ce urmeaza se va arata modalitatea de calcul a matricei de rigiditate pentru cazurile unei bare aflate in miscare vibratorie longitudinala si a unei bare aflata in miscare vibratorie de incovoiere.
Bara in miscare longitudinala. Un element al barei este aratat in Figura. 1. El are doua noduri cu un grad de libertate la fiecare nod si notat cu u, reprezentand deplasarea longitudinala.
Figura 1 Bara in miscare longitudinala
Vectorul deplasarilor nodale este:
(10)
Deoarece sunt doua deplasari nodale, legea deplasarii intr-o sectiune x se alege avand doua constante:
(11)
Constantele a1 si a2 se determina din conditiile puse pe frontiera elementului. Acestea sunt:
La capatu x=0, u1=a1 La capatul x=L,
u1=a1+a2L (12) Inlocuind valorile determinate din (12) pentru a1 si a2 in ecuatia (11) se obtine:
(13)
Aceasta ecuatie este cea corespunzatoare ecuatiei (4). Polinoamele din matricea [N], in acest caz si sunt numite functii de forma. Deoarece
(14)
Si
91
(15)
Matricea [D] se reduce la constanta E, iar din (13) si (15) se obtine:
(16)
de unde in corespondenta cu ecuatia (4) se obtine matricea [B], astfel:
(17)
Prin inlocuirea matricei [B] in (7) se obtine:
(18)
unde s-a tinut cont ca dV=Sdx sau
(19)
de unde matricea de rigiditate
(20)
Aceasta matrice este singulara, adica are determinantul nul, ceea ce arata ca elemental finit considerat are o deplasare de corp rigid de translatie.
Bara in miscare de incovoiere. Un element al unei bare este aratat in Figura 2. El are doua noduri cu doua grade de libertate in fiecare nod. Pentru deplasarea transversala s-a folosit notatia v, iar pentru deformatia unghiulara notatia ψ. In ceea ce urmeaza se va considera numai bara de tip Euler-Bernaulle. Aceasta insamna ca efectele secundare date de forfecarea transversala si inertia de rotatie sunt neglijate.
Figura 2 Bara in miscarea de incovoiere
Vectorul deplasarilor nodale este:
(21)
92
Unde
(22)
Deoarece sunt patru deplasari nodale, ipotezelor deplasarilor sunt alese astfel incat sa existe patru constante, adica de forma unui polinom de gradul trei:
(23)
iar pentru unghiul de inclinare se obtine din (22) si este:
(24) Constantele se obtin din valorile deplasarilor v si unghiului in cele
doua noduri. Pentru capatul x=0
v1=a1, 1=a2 (25) iar pentru x=L
(26) Din ecuatiile (25) si (26) se pot determina cele patru constante in functie de
. Substituind aceste constante in (23) se obtine:
(27)
Aceasta ecuatie corespunde ecuatiei (3).Pentru acest caz matricea [D] corespunde de asemenea scalarului E. Tensiunea de incovoiere si deformatia sunt legate prin ecuatia (14) unde:
(28)
Folosind ecuatia (27) deformatia devine:
(29)
y este distanta in sectiune transversala masurata din axa neutra. Aceasta ecuatie este similara cu cea data de (4) si se poate identifica matricea [B].
Dupa efectuarea calculelor folosind expresia lui B in (7), se obtine:
93
(30) respectiv matricea de rigiditate:
(31)
Aceasta matrice este singulara de ordinul doi pentru ca elementul finit are doua miscari de corp rigid: una de translatie si una de rotatie. Prin urmare nu numai determinantul matricei este nul ci si toti determinantii minori de ordinul trei.
Calculul energiei cinetice. Matricea de inertie
In general expresia energiei cinetice pentru un element este de forma:
(32)
unde . Folosind relatia (4) viteza elementului finit se poate scrie sub forma:
(33)
Energia cinetica devine:
(34)
sau
(35)
unde matricea de inertie este:
(36)
Matricea de inertie este o matrice simetrica. Pentru bara in miscare longitudinala Daca se foloseste relatia (13) se obtine matricea [N]:
(37)
si combinand cu (34) se obtine energia cinetica a elementului finit in miscare longitudinala :
94
(38) adica:
(39)
De unde se obtine matricea de inertie:
(40)
Bara in miscare de incovoiere.Folosind functia de forma data prin relatia (27) in expresia (34) si facand calculele se obtine energia cinetica a alementului finit in miscare transversala (incovoiere) :
(41)
si matricea de inertie corespunzatoare
(42)
Metoda energetica de calcul a matricelor de inertie si de rigiditate O modalitate simpla pentru obtinerea matricelor de rigiditate si de inertie a unui
element finit, este metoda energetica. Aceasta metoda consta in scrierea expresiilor energiei cinetice si a energiei
potentiale a unui element finit pe baza formulelor de calcul ale energiilor corespunzatoare tipului de vibratii la care este supusa bara.
In cazul barei aflate in miscare vibratorie longitudinala se poat scrie:
(43)
(44)
unde pentru elementul din Figura 1 deplasarea logitudinala are expresia:
(45)
Avand in vedere expresiile energiei potentiale si cinetice sub forma matriciala:
(46)
95
(47)
in urma efectuarii calculelor se obtine:
(48)
(49)
In cazul barei aflata in miscare transversala expresiile celor doua energi sant:
(50)
(51)
iar expresiile deformatiei intr-o sectiune la distanta x de capat a elementului finit este:
(52)
Se calculeaza derivatele partiale din formulele:
(53)
(54)
inlocuind aceste expresii in formulelel de calcul ale energiei cinetice si potentiale, se obtin matricele de rigiditate si de inertie a elementului finit.
(55)
(56)
asamblarea matricelor de rigiditate si de inertie a elementrlor finite.
96
Pentru obtinerea matricii de rigiditate si a matricii de inertie corespunzatoare, intregii structuri este necesar sa se scrie ca energia potentiala si energia cinetica a intregii structuri, este suma energiilor potentiale si energiilor cinetice ale elementelor finite. Pentru obtinerea centrului deformatiilor ale miscarii structurii intregi, se folosesc ecuatiile lui Lagrange.
(57)
unde:
(58)
(59)
(60)
sunt energiile cinetice potentiale si de disipare ale intregii structuri. Energia de disipare intra in calcul cand exista elemente de disipare a energiei cinetice sau se ia in calcul energia pierduta prin frecari interne. Vectorul Q reprezinta fortele generalizate perturbatoare. Se obtine forma matriceala a ecuatiilor diferentiale astfel:
(61)
unde matricea de inertie [M] este simetrica si pozitiv definita, [K] ,matricea de rigidiatate este simetrica si semipozitiv definita.Vectorul deplasarilor contine toate deplasarile nodale, iar vectorul {Q} este vectorul fortelor generalizate perturabtoare. Pentru a ilustra procesul de asamblare a matricelor, se considera o bara logitudinala de lungime L fixata la un capat si libera la celalalt capat.
Figura 3
Se presupune ca bara este impartita in 3 elemente functie de lungime L/3 are astfel 4 noduri iar in nodul 3 actioneaza o forta perturbatoare F.
Energia potentiala pentru fiecare elementeste de forma(46) si tinand cont de conditia de frontiera u1 =0 se obtine energia de deformatie a intregii bare prin insumare, deci:
97
(62) de unde matricea de rigiditate a barei este:
(63)
In mod asemanator, folosind expresia energiei cinetice a unui elemnt (47) in miscarea longitudinala se obtine, prin insumare, energia cinetica a intregii bare de unde se obtine matricea de inertie a barei.
(64)
(65)
Pentru fortele generalizate se calculeaza lucrul mecanic virtual in deplasarea unei coordonate nodale, titnand cont ca u1=0
(66)
deci:
(67) Frecventele si modurile proprii se obtin din ecuatia omogena obtinuta din:
(68)
Daca se ia solutia de forma:
(69) atunci ecuatia devine:
(70)
Pentru solutii nebanale trebuie ca determinatul sistemului (70) sa fie nul, 2( p [M] [K]) 0− + =
(71)
de unde se obtin pulsatiile proprii. Ecuatia de mai sus se numeste si ecuatie caracteristica. Daca ecuatia (70) se pune sub forma
(72) s-a ajuns la cunoscuta problema de valori proprii si vectori proprii. In cadrul programelor utilitarer Mathcad sau Mathlab se gasesc subrutine pentru calculul acestor elemente.
98
Probleme. 1. Se considera o bara simplu rezemata la ambele capete, ca in Figura 4. Folosind un
singur element finit sa se calculeze prima frecventa propie (cea mai joasa) si sa se compare cu frecventa obtinuta prin metoda exacta. Sa se repete folosind doua elemente finite.
Figura 4
2. Se considera o bara incastrata la un capat si libera la celalat capat.(Figura 5) Folosind un singur element finit sa se calculeze cea mai joasa frecventa a vibratiilor longitudinale a barei. Sa se compare cu frecventa obtinuta prin metoda exacta. Sa se repete folosind 2, respective 3 elemente finite.
Figura 5
3. Se considera o bara incastrata la un capat si legata printr-un arc de constanta
elastica data aflata in miscare longitudinal. Considerand un singur element fint sa se determine cea mai joasa frecventa a sistemului, apoi sa se modeleze bara prin trei elemente finite sis a se calculeze primele doua frecvente proprii si modurile corespunzatoare..
Figura 6
4. O bara incastrata la un capat si libera la celalat capat are o lungime 3L (Figura7) si se afla in miscare transversal(incovoiere) Sa se modeleze prin trei elemente finite , sa se calculeze primele doua frecvente si modurile proprii corespunzatoare.
Figura 7
99
5. Sistemul din Figura 8 este format dintr.o bara incastrata la un capat, iar la celalalt capat are suspendat un system masa – arc. Folosind un singur element finit sa se calculeze cele trei frecvente si modurile corespunzatoare. Sa se compare cu valorile obtinute prin metoda Razleigh - Ritz..
Figura8
6. Sa se repete aceiasi problema din figura 8, luând in considerare modelarea barei prin doua elemente finite ca in Figura 9.
Figura 9
7. Se considera o bara incastrata la un capat, iar la celalalt capat are o masa M = ρSL/10. Bara se afla intr-o miscare de incovoiere. Considerându-se modelata prin trei elemente finite sa se determine primele doua frecvente proprii si modurile corespunzatoare. Sa se compare cu valorile obtinute folosind metoda Razleigh Ritz.
Figura 10
8. Se considera o bara incastrata la ambele capete (Figura 11) Sa se modeleze prin patru elemente finite sis a se determine primele 6 frecvente si modurile corespunzatoare. Sa se compare cu cele obtinute prin metoda exacta. Se vor lua ca date cunoscute L= 1m , E= 2x1011 N/m2, ρ = 7800 kg/m3, I = 10-6m4, S = 10-2m2.
100
Figura 11
9. Cadrul plan din Figura 12 este incastrat la capatul A si capatul C , iar cele doua bare sunt rigid conectate in B. Cu notatiile din figura sa se exprime deplasarile din punctual B. Considerand cele trei deplasari din punctual B sa se calculeye energia cinetica si de deformatie in functie de acestea sis a se calculeye frecventele proprii corespunzatoare.
Fig12
Figura 13
Figura 14
Figura 15
101
Fig16
Fig16
BIBLIOGRAFIE
1. L. BERETEU, I. SMICALĂ, Mecanică – Dinamica şi aplicaţii, Editura Mirton, Timişoara, 1992.
2. L. BRINDEU, Vibraţii, Lit. Inst. Politehnica "Traian Vuia", Timişoara, 1979. 3. GH. BUZDUGAN, L. FETCU, M. RADES, Vibraţiile sistemelor mecanice,
Editura Academiei, 1975. 4. R. R. CRAIG, Structural dynamics; John Wiley and Sons, 1981. 5. R.R.CRAIG , A. Kurdila, Fundamentals of structural dynamics, John Wiley and
Sons, 2006 6. B. P. DEMIDOVICH, I. A. MARON, Computational Mathematics, Mir
Publishers, 1981. 7. P. HAGEDORN, Non – Linear Oscillations – clarendon Press – Oxford, 1988. 8. M. HUSSEY, Fundamentals of Mechanical Vibrations, Mac Millan Press Ltd.,
1983. 9. M. LALANNE şi alţii, Mechanical Vibrations for Engineers, John Wiley and
Sons Ltd.,1984. 10. N. LEVITSKII, Kolebania v mehanizmah, Nauka Moskva, 1988. 11. L. MEIROVITCH, Elaments of Vibration Analysis, Mc. Graw – Hill, New York,
1975. 12. L. MEIROVITCH, Computational Methods in Structural Dynamics, Syhoff –
Noordhoff, The Netherlands, 1980. 13. L. MEIROVITCH, Introduction to Dynamics and Control, John Wiley and Sons,
New York, 1988. 14. L. MEIROVITCH, Fundamentals of Vibration, McGraw-Hill, New York, 2001 15. S. RAO, The Finite Element Method in Engineering, Pergamon Press, 1982.
102
16. W. SATO, Theory and Problems of Mechanical Vibrations, Schaum, Publishing, New York, 1964.
17. GH. SILAS, Mecanică. Vibraţii mecanice, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1968. 18. GH. SILAS, L. BRINDEU, A. HEGEDUS, Culegere de probleme de Vibraţii
mecanice, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1967. 19. I. SMICALĂ, L. BERETEU, A. TOCARCIUC Exercitii si probleme de
mecanică si vibratii, Editie electronica, 2010. 20. W. T. THOMSON, Theory of Vibration, Uhwin Hyman Ltd. London, 1989. 21. W.T. THOMSON The Theory of Vibration with Applications, Taylor&Francis
Ltd., 1996 22. A. C. WALSHAW, Mechanical Vibrations with Applications, Ellis Horwood
Ltd., 1984.