77

VI. SOLICITĂRI ÎN DOMENIUL PLASTIC

VI.1. Introducere

În problemele studiate anterior, s-a admis că materialele se comportă elastic, în anumite limite

de solicitare. Cu alte cuvinte, corpul deformat are proprietatea de a-şi recăpăta complet

dimensiunile și forma iniţiale după înlăturarea cauzelor care au produs deformaţia. Ipoteza implică

caracterul reversibil al deformaţiei şi corespunde cu înţelegerea curentă a noţiunii de corp elastic.

Comportamentul liniar-elastic se traduce și prin existenţa unei corespondenţe biunivoce între

deformaţiile specifice şi tensiuni, exprimată matematic printr-o relaţie liniară cunoscută sub

numele de legea lui Hooke (liniaritate fizică). Punctul limită al domeniului elastic s-a considerat

atingerea limitei de elasticitate σe (practic egală cu limita de proporţionalitate, şi uneori apropiată

de limita de curgere). Deformaţiile au fost considerate elastice, tensiunile fiind mai mici decât

limita de elasticitate a materialului.

Există în practica inginerească situaţii în care nu poate fi admisă legea lui Hooke, din cauzele:

depăşirea limitei de proporţionalitate a materialului prin solicitarea produsă;

materialul nu are o comportare liniar-elastică pentru nici o valoare a forţelor aplicate.

Analiza stării de tensiune şi deformaţie dincolo de limita de elasticitate este denumită calcul

în domeniul plastic, complexitatea acestuia depinzând de alura curbei caracteristice a materialului.

În acest scop, curba caracteristică a unui material se schematizează prin curbe simple, cel mai

frecvent prin linii drepte.

Schematizarea curbelor caracteristice. Cele mai frecvente schematizări ale curbelor

caracteristice sunt prezentate în figura VI.1 (a-e).

Fig. VI.1

Curba de schematizare din fig. VI.1 (a), denumită curbă caracteristică cu zonă de întărire

(ecruisare), se adoptă pentru materialele care nu au o limită de curgere pronunţată sau au un palier

scurt de curgere (aliaje de aluminiu, oţeluri aliate). Materialul care corespunde acestei schematizări

se numeşte elasto-plastic. Cele două drepte prin care se schematizează curba caracteristică sunt

date de ecuaţiile:

;,E

;0,E

ccpc

c (VI.1)

78

unde E – modulul de elasticitate, σc – limita de curgere, εc – lungirea specifică corespunzătoare

limitei de curgere, Ep – modulul de plasticitate. Dacă se înlocuieşte E/cc , ultima ecuaţie din

(VI.1) se mai poate scrie:

.,EE

E1 cp

pc

(VI.2)

În fig. VI.1 (b) este prezentată schematizarea pentru materialele ideal elasto-plastice

(schematizare Prandtl), la care palierul de curgere are o lungime mare (oţeluri cu conţinut scăzut

de carbon, cupru, aluminiu). În acest caz, zona deformaţiilor plastice se schematizează printr-o

linie orizontală (Ep = 0), adică după atingerea limitei de curgere tensiunea nu mai creşte:

.,

;0,E

cc

c (VI.3)

În ambele schematizări, pe porţiunea deformaţiilor liniar-elastice s-a considerat că tensiunea σ

creşte proporţional cu lungirea specifică ε, zona de proporţionalitate extinzându-se până la

valoarea σc.

Fig. VI.1

Pentru materialele rigido-plastice, la care deformaţiile elastice sunt neglijabile în comparaţie

cu cele plastice (E → ∞), curba caracteristică se poate schematiza printr-o singură linie dreaptă

înclinată (fig. VI.1 c), având ecuaţia:

.Epc (VI.4)

În acest caz materialul este considerat rigid până la limita de curgere, iar apoi plastic.

Într-o serie de probleme practice, în care deformațiile elastice se pot neglija în comparație cu

cele plastice, curba caracteristică se poate schematiza printr-o singură dreaptă orizontală,

corespunzătoare limitei de curgere (fig. VI.1 d). Materialul se numeşte în acest caz ideal plastic.

79

Pentru materialele a căror curbă caracteristică prezintă liniaritate pe o porţiune redusă a

domeniului elastic (aliaje de cupru), curba caracteristică se schematizează printr-o curbă continuă

(fig. VI.1 e) şi poate fi exprimată analitic cu relaţia:

,Eo

n (VI.5)

unde n şi E0 sunt constante ce se determină în baza perechilor de valori (σ, ε), determinate

experimental; astfel, introducând (σ1, ε1) şi (σ2, ε2) în (VI.5) se obţin valorile constantelor n și Eo:

Fig. VI.1

,loglogn2

1

1

1

2

.E1

n1

o

(VI.6)

Schematizările prezentate sunt aplicabile şi pentru starea de forfecare, adică între tensiunea

tangenţială τ şi lunecarea specifică γ.

80

VI.2. Întinderea barelor drepte în domeniul plastic

Se consideră o bară dreaptă de lungime L, cu aria secţiunii transversale constantă A, solicitată

de o forţă axială N. Tensiunile normale din secţiunea transversală se calculează cu relaţia dedusă

pentru stările elastice liniare:

,A

N (VI.7 a)

deoarece această relaţie se bazează pe ipoteza lui Bernoulli (nu neapărat pe legea lui Hooke).

Pentru o anumită tensiune σ se determină lungirea specifică ε din diagrama caracteristică a

materialului, lungirea totală fiind:

.LL (VI.7 b)

(a) Pentru schematizarea curbei caracteristice dată în fig. VI.1 (a), lungirea peste limita de

curgere ( c ), utilizând (VI.1), devine:

.E

L

A

NL

EL

EL

pc

c

p

cc

(VI.8)

(c) În cazul unui material rigido-plastic (E → ∞), a cărui curbă caracteristică este schematizată

în fig. VI.1 (c), când se neglijează deformaţia elastică, se obţine:

.E

L

A

NL

pc

(VI.9)

(d) În cazul modulului de plasticitate neglijabil (Ep → 0) lungirea plastică devine nedefinită,

adică aceasta creşte, chiar dacă forţa aplicată (corespunzătoare limitei de curgere), se menţine

constantă.

(e) Pentru o schematizare printr-o curbă continuă (fig. VI.1 e) lungirea totală se determină cu:

.AE

LNL

no

n

(VI.10)

81

VI.3. Încovoierea barelor drepte în domeniul plastic

Se consideră o bară dreaptă solicitată la încovoiere plană pură, axa de simetrie Oy a secţiunii

fiind situată în planul longitudinal al forţelor, iar axa neutră Oz fiind perpendiculară pe planul

forţelor (fig. VI.2). Materialul are o curbă caracteristică la compresiune identică cu cea de la

tracţiune. Momentul încovoietor are o valoare suficient de mare pentru a produce şi deformaţii

plastice ( zci WM ). Axa neutră împarte secţiunea transversală de arie A în două zone, una

întinsă şi cealaltă comprimată prin încovoiere.

Fig. VI.2

Datorită valabilităţii ipotezei lui Bernoulli, ca şi în cazul încovoierii liniar-elastice, lungirea

specifică pentru o fibră situată la distanţa y de axa neutră, se exprimă în funcţie de raza de curbură

a fibrei medii deformate:

.y

(VI.11)

Lungirilor specifice ε le corespund tensiunile normale σ orientate în lungul fibrelor, relaţia dintre

acestea fiind reprezentată de curba caracteristică a materialului f . Cu relaţia (VI.11) se

poate scrie pentru oricare punct al secţiunii:

,yf1

(VI.12)

ceea ce arată că tensiunile normale de încovoiere sunt repartizate faţă de axa neutră pe înălţimea

secţiunii după o lege asemănătoare cu cea exprimată de curba caracteristică a materialului.

Din relaţiile de echivalenţă

,0dAN

A

(VI.13)

,dAyM

Ai (VI.14)

se obţine poziţia axei neutre în absenţa forţei axiale (VI.13), respectiv relaţia dintre tensiunile

normale σ şi momentul încovoietor Mi (VI.14). Integralele din ecuaţiile (VI.13) şi (VI.14) se pot

calcula, dacă se admite curba caracteristică a materialului şi forma secţiunii.

82

Cazul materialului ideal elasto-plastic. Se consideră un material ideal elasto-plastic, adică un

material a cărui curbă caracteristică este schematizată în fig. VI.1 (b) prin două drepte, prima de

modul de elasticitate E, iar cea de-a doua de modul de plasticitate Ep = 0.

În fig. VI.3 este prezentată starea de tensiune în secţiunea transversală a barei la creşterea

momentului încovoietor.

(a) La o valoare redusă a momentului încovoietor tensiunile elastice se determină cu relația lui

Navier, fiind distribuite liniar pe înălţimea secţiunii (fig. VI.3 a). Axa neutră trece prin centrul de

greutate al secţiunii transversale.

(b) Tensiunea maximă devine egală cu limita de curgere (fig. VI.3 b), dacă momentul

încovoietor atinge valoarea Mc :

.WM zcc (VI.15)

Fig. VI.3

(c) La creşterea în continuare a momentului încovoietor se realizează o stare elastico-plastică.

Relaţia lui Navier nu mai este aplicabilă, iar axa neutră nu mai trece prin centrul de greutate (decât

în cazul particular când este şi axă de simetrie a secţiunii), zona plastică apărând în punctele cele

mai depărtate de axa neutră (fig. VI.3 c).

(d) Pe măsură ce momentul încovoietor creşte, zona plastică se propagă spre axa neutră (fig.

VI.3 d), iar zona elastică se micşorează.

(e) Pentru o valoare limită a momentului încovoietor ML, întrega secţiune ajunge în stare

plastică.

Pentru o stare elasto-plastică Lic MMM tensiunile se pot determina cu relaţiile (VI.3) şi

(VI.11), astfel:

.plasticăzonapentru,

;elasticăzonapentru,y

yyEE

c

cc (VI.16)

Ordonata yc (măsurată de la axa neutră) delimitează zona plastică de cea elastică. Se presupune că

zona (1) a secţiunii este solicitată la tracţiune prin încovoiere, iar zona (2) la compresiune.

Utilizând expresiile tensiunilor (VI.16), ecuaţia de echivalenţă (VI.13) permite determinarea

poziţiei axei neutre:

cy

2y

cy

cy

1y

cycc

cc ,0dAdA

y

ydA

83

rezultând:

,0AAyS p2p1ce (VI.17)

unde A1p şi A2p reprezintă ariile suprafeţelor marginale deformate plastic, iar Se momentul static

al zonei centrale elastice faţă de axa neutră a stării elasto-plastice.

În cazul particular al secţiunii solicitate în întregime plastic se obţine:

,AA p2p1 (VI.18)

adică aria zonei întinse este egală cu aria zonei comprimate prin încovoiere.

Din relaţia de echivalenţă (VI.14) se determină expresia momentului încovoietor:

cy

2y

cy

cy

1y

cycc

cci .ydAydA

y

yydAM (VI.19)

Din (VI.19) rezultă:

,SWM peci (VI.20)

unde:

c

ey

y

2

ce

y

IdAy

y

1W

c

c

reprezintă modulul de rezistenţă al zonei elastice faţă de axa

neutră a stării elasto-plastice;

1p2p

y

y

y

y

p SSydAydASc

2

1

c

reprezintă suma valorilor absolute ale momentelor

statice calculate pentru zonele plastice faţă de axa neutră a stării elasto-plastice.

Pentru cazul particular al secţiunii solicitate numai plastic 0We rezultă expresia

momentului încovoietor limită ML:

.SM pcL (VI.21)

La această valoare a momentului încovoietor, secţiunea lucrează ca o articulaţie (articulaţie

plastică) şi nu mai poate prelua creşterea de moment încovoietor.

84

VI.4. Torsiunea barelor drepte în domeniul plastic

Se consideră o bară dreaptă de secţiune circulară solicitată la torsiune cu momentul Mt. Un

element de suprafaţă de arie dA din secţiunea transversală se deplasează pe un arc de cerc.

Lunecarea specifică din dreptul elementului de suprafaţă este proporţională cu unghiul de torsiune

specific θ şi cu raza r a elementului la centrul secţiunii circulare:

.r (VI.22)

Relaţia dintre tensiunile tangenţiale τ şi lunecarea specifică γ este dată de curba caracteristică

a materialului:

,rff (VI.23)

ceea ce arată că tensiunile tangenţiale τ sunt repartizate în secţiunea transversală după o lege

asemănătoare cu cea exprimată prin curba caracteristică a materialului.

(a) Pentru o valoare mică a momentului de torsiune Mt, tensiunile tangenţiale τ se distribuie

liniar în lungul razei (fig. VI.4 a), valoarea lor determinându-se cu relaţia:

.I

rM

p

t (VI.24)

(b) Tensiunea tangenţială maximă τmax devine egală cu cea corespunzătoare limitei de curgere,

dacă momentul de torsiune este egal cu Mtc (fig. VI.4 b):

.16

DWM

3

cpctc

(VI.25)

Fig. VI.4

(c) Dacă momentul de torsiune creşte peste această valoare Mtc, secţiunea trece în starea elasto-

plastică, tensiunile tangenţiale distribuindu-se în lungul razei după curba caracteristică

schematizată (fig. VI.4 c). Raza rc delimitează zona plastică de cea elastică. Pe măsură ce

momentul de torsiune creşte, zona elastică centrală se micşorează.

Relaţia dintre tensiunile tangenţiale şi momentul de torsiune este dată de relaţia de echivalenţă:

R

0

2

A

t .drr2rdAM (VI.26)

85

Pentru o valoare a momentului de torsiune tLttc MMM , cu relaţia (VI.22), tensiunile se

pot exprima astfel:

,Rrr,

;rr0,rGG

cc

c (VI.27)

unde raza rc satisface relaţia:

.rG cc (VI.28)

Cu rrc

c expresia momentului de torsiune (VI.26) devine pentru starea elasto-plastică:

.rR46

drr2drrr

2drr2rdAM 3c

3c

R

r

2c

r

0

3

c

cR

0

2

A

t

c

c

(VI.29)

(d) La valoarea limită a momentului MtL, toată secţiunea ajunge în stare plastică (fig. VI.4 d).

În cazul particular al secţiunii solicitate numai plastic (rc = 0) se obţine valoarea limită a

momentului de torsiune:

.12

DR

3

2M c

3

c3

tL

(VI.30)

Din relaţiile (VI.25) şi (VI.30) rezultă raportul:

,3

4

M

M

tc

tL (VI.31)

care arată că momentul de torsiune trebuie să crească cu 33% pentru a aduce bara din starea elastică

limită în starea plastică limită.

86

VI.5. Tensiuni remanente

În cazul unei solicitări peste limita de elasticitate, la încetarea acţiunii forţelor rămân

deformaţii permanente (numite şi remanente). Dacă materialul ascultă de legea lui Hooke, atunci

fenomenul de deformare în timpul descărcării se realizează liniar cu un modul de elasticitate E

egal cu cel al încărcării.

Dacă tensiunile în corpul solid nu sunt distribuite uniform, după încetarea acţiunii forţelor care

au creat o stare elasto-plastică, corpul rămâne solicitat prin eforturi interne, numite tensiuni

remanente.

Tensiuni remanente la solicitarea de încovoiere plastică. Considerând o grindă dreaptă de

secţiune dublu simetrică, solicitată la încovoiere plană pură peste limita de elasticitate, se prezintă

modul de determinare a tensiunilor remanente. Materialul se consideră a fi ideal elasto-plastic, cu

aceeaşi curbă caracteristică la tracţiune şi compresiune. În plus, se admite că ipoteza lui Bernoulli

se realizează şi în timpul descărcării. În fig. VI.5 este prezentată diagrama tensiunilor din starea

elasto-plastică, diagrama tensiunilor de descărcare şi diagrama tensiunilor remanente.

Prin încărcare se aplică grinzii un moment încovoietor, conform relaţiei (VI.20):

.SWM peci

Descărcarea echivalează cu suprapunerea unui moment egal şi de sens contrar, sub acţiunea

căruia grinda se comportă liniar şi satisface relaţia lui Navier:

.WM zoi

Din egalitatea acestor două expresii se obţine valoarea tensiunii maxime de descărcare:

.W

SW

z

peco

(VI.32)

Tensiunile remanente se obţin ca diferenţa dintre tensiunile corespunzătoare încărcării şi

descărcării, valorile maxime fiind:

.W

SW

h

y21

h

y2

;W

SW1

cz

pec0

cc2

cz

pe0c1

(VI.33)

Fig. VI.5

87

Tensiuni remanente la solicitarea de torsiune plastică. Valorile tensiunilor remanente se

determină considerând descărcarea ca o aplicare a unui moment de torsiune de sens contrar celui

iniţial ce a produs solicitarea în regimul elasto-plastic. Tensiunile tangenţiale repartizate liniar în

lungul razei, produse de către momentul de torsiune la descărcare, sunt:

,W

M

p

t0 (VI.34)

şi devin, cu relaţia (VI.29):

.R4

r1

3

4

3

3c

c0

(VI.35)

Tensiunile remanente (fig. VI.6) rezultă prin diferenţă:

.R3

r

R

r

3

41

R

r

;R

r1

3

1

4

4cc

c0c

c2

3

3c

c0c1

(VI.36)

La o descărcare din starea plastică (rc = 0) rezultă:

.

;3

1

c2

c1 (VI.37)

Fig. VI.6

88

VI.6. Criterii de plasticitate

Pentru o stare oarecare de solicitare, apariţia deformaţiile plastice se determină cu ajutorul

criteriilor de plasticitate. Criteriile de plasticitate constituie o extindere la calculul de plasticitate a

teoriilor de rezistenţă.

Prima formulare a unui criteriu de plasticitate îi aparţine lui Saint Venant (1797-1886) pe baza

experienţelor lui H.E. Tresca (1814-1885). Conform acestui criteriu, apariţia stării plastice este

rezultatul creşterii tensiunilor tangenţiale maxime peste o anumită limită. Astfel, starea plastică

se produce dacă tensiunea tangenţială maximă devine egală cu tensiunea tangenţială

corespunzătoare apariţiei curgerii într-o epruvetă solicitată la întindere simplă:

.2

cmax

(VI.38)

Criteriul mai admite că tensiunea tangenţială maximă rămâne egală cu această valoare în timpul

procesului de plastificare.

În cazul general, când tensiunile principale au valori diferite 321 , cunoscând

expresia tensiunii tangenţiale maxime, criteriul de plasticitate devine:

.2

c3131

max

(VI.39)

În calculul de plasticitate se utilizează frecvent şi criteriul de plasticitate Huber-Hencky-

Mises, conform căruia apariţia deformaţiilor plastice este rezultatul creşterii energiei de

deformaţie modificatoare de formă peste o anumită limită. Astfel, starea plastică apare când

energia de deformaţie devine egală cu cea care produce apariţia curgerii în starea liniară de

tensiune:

.E3

1U 2

csf

(VI.40)

Cu expresia generală a energiei de deformaţie modificatoare de formă se obţine:

.2c133221

23

22

21 (VI.41)