dinamica maŞinilor Şi utilajelor -...

139
Liviu BERETEU DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR 2009

Upload: others

Post on 30-Aug-2019

6 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Liviu BERETEU

DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR

2009

Page 2: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

1. Noţiuni fundamentale de dinamică

1.1. Momente de inerţie mecanice

Momentele de inerţie mecanice arată modul în care este distribuită masa unui corp faţă de diferite elemente geometrice de referinţă: punct, axă, plan. Dacă se consideră cazul ce mai general al unui sistem material şi un element geometric de referinţă, care poate fi un punct (pol), o axă sau un plan, faţă de aceste elemente de referinţă se definesc momentele de inerţie ca fiind suma, pentru toate punctele sistemului material, a produselor dintre masele punctelor şi pătratele distanţelor de la punctele sistemului material la elementul geometric de referinţă.

Fig. 1.1

Fie Pi unul dintre punctele materiale ale sistemului, având masa mi şi distanţa di până la elementul geometric de referinţă considerat. Conform definiţiei, dacă sistemul are un număr de N puncte materiale, momentul de inerţie mecanic, faţă de elementul geometric de referinţă considerat, este :

N2

i ii 1

J m d=

=∑ (0.1)

Page 3: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Faţă de sistemul de referinţă triortogonal drept, Oxyz se pot defini următoarele momente de inerţie:

- momente de inerţie polare:

( )N N

2 2 2 2O i i i i i i

i 1 i 1J m r m x y z

= =

= = + +∑ ∑ (0.2)

- momente de inerţie axiale:

( )N N

2 2 2x i ix i i i

i 1 i 1J m d m y z

= =

= = +∑ ∑ (0.3)

( )N N

2 2 2y i iy i i i

i 1 i 1J m d m x z

= =

= = +∑ ∑ (0.4)

( )N N

2 2 2z i iz i i i

i 1 i 1J m d m x y

= =

= = +∑ ∑ (0.5)

- momente de inerţie planare:

N N

2 2xOy i ixOy i i

i 1 i 1J m d m z

= =

= =∑ ∑ (0.6)

N N

2 2yOz i iyOz i i

i 1 i 1J m d m x

= =

= =∑ ∑ (0.7)

N N

2 2xOz i ixOz i i

i 1 i 1J m d m y

= =

= =∑ ∑ (0.8)

Acestea se numesc momente de inerţie obişnuite, ele sunt expresii pătratice definite în funcţie de coordonatele punctelor. Faţă de momentele de inerţie obişnuite se mai definesc momente de inerţie centrifugale:

N

xy i i ii 1

J m x y=

=∑ (0.9)

N

yz i i ii 1

J m y z=

=∑ (0.10)

N

zx i i ii 1

J m z x=

=∑ (0.11)

Unitatea de măsură in S.I, pentru momentele de ineţie mecanice este [ ] 2si

J kg m= ⋅ Pe baza definiţiilor momentelor de inerţie mecanice, faţă de elementele geometrice de referinţă ale sistemului de axe Oxyz, se pot stabili următoarele relaţii: x y z OJ J J 2J+ + = (0.12)

x yoz OJ J J+ = (0.13)

y xoz OJ J J+ = (0.14)

Page 4: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

z xoy OJ J J+ = (0.15)

xOy yOz zOx OJ J J J+ + = (0.16)

xOy xOz xJ J J+ = (0.17)

yOz xOy yJ J J+ = (0.18)

xOy yOz zJ J J+ = (0.19) Acestea sunt 8 relaţii de legătură între cele 7 momente de inerţie obişnuite, prin urmare nu sunt independente. Ele sunt utile pentru că determinând 3 dintre ele, prin calcule, pe baza acestora se determină celelalte 4.

1.2. Momentele de inerţie ale sistemelor continue Dacă sistemul material este unul continuu, în locul masei m se va lua un element de masă dm care ocupă un volum dv.

Fig. 1.2

r xi yj zk= + + - este vectorul curent. (0.20) dv 0 N→ ⇒ →∞

Page 5: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

În aceste ipoteze sumele de definire ale momentului de inerţie se transformă în sume integrabile astfel: ( )2 2 2

O DJ x y z dm= + +∫ (0.21)

( )2 2x D

J y z dm= +∫ (0.22)

( )2 2y D

J z x dm= +∫ (0.23)

( )2 2z D

J x y dm= +∫ (0.24)

2xOy D

J z dm= ∫ (0.25)

2yOz D

J x dm= ∫ (0.26)

2xOz D

J y dm= ∫ (0.27)

xy DJ xydm= ∫ (0.28)

yz DJ yzdm= ∫ (0.29)

zx DJ zxdm= ∫ (0.30)

Dacă corpurile continue sunt omogene, atunci densitatea este constantă:

( ) dmx, y, z const.dV

ρ = = (0.31)

⇒ că pentru oricare moment de inerţie ρ iese de sub integrală.

( )2 2x xD

J y z dV J= ρ + = ρ∫ ⇒moment de inerţie geometric (0.32)

Integralele pe domeniu sunt de fapt integrale de volum, de suprafaţă sau curbilinii dacă sistemul ocupă o curbă.

1.3. Variaţia momentelor de inerţie în raport cu axele paralele. Formulele lui Steiner

Se consideră cazul cel mai general al unui al unui sistem oarecare de puncte materiale, acărui poziţie este raportată la un sistem de referinţă Oxyz. De asemenea se consideră sistemul de referinţă Cx y z′ ′ ′ , având axele paralele cu axele corespunzătoare ale sistemului de referinţă Oxyz şi originea în centrul de masă C al sistemului material. Între coordonatele punczului Pi, din sistem, faţă de cele două sisteme de referinţă, rezultă imediat următoarele relaţii de legătură :

Page 6: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 1.3

'i C i

'i C i

'i C i

x x xy y yz z z

⎧ = +⎪ = +⎨⎪ = +⎩

(0.33)

Vom calcula momentul de inerţie axial în raport cu axa Ox:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

N N 2 22 2 2 ' ' 2 ' 'x i i i i C i i C C i C i

i 1 i 1N N N N2 2' ' 2 2

i i i i C C C i i C i ii 1 i 1 i 1 i 1

0 0

J m y z m y y 2y y z z 2z z

m y z m y z 2y m y 2z m z

= =

= = = =

= =

= + = + + + + + =

= + + + + +

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ (0.34)

Se anulează pentru că axele de coordonate ale Cx y z′ ′ ′ sunt axe de simetrie

( )2 2x x C CJ J M y z′⇒ = + + (0.35)

- momente de inerţie axiale: '

2x x xx

J J Md′= + (0.36)

( ) ' '2 2 2

y y C C y yyJ J M z x J Md′= + + = + (0.37)

( ) ' '2 2 2

z z c c z zzJ J M x y J Md′= + + = + (0.38)

Page 7: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

- momente de inerţie planare: ' '

2xOy cx Cy

J J Mz= + (0.39)

' '2

yOz cy CzJ J Mx= + (0.40)

' '2

xOz cx CzJ J My= + (0.41)

- momente de inerţie centrifugale: ' 'xy C Cx y

J J Mx y= + (0.42)

' 'yz C Cy zJ J My z= + (0.43)

' 'xz C Cx zJ J Mx z= + (0.44)

- momentul de inerţie polar: ( )2 2 2

O C C C CJ J M x y z= + + + (0.45)

Concluzii: Momentele de inerţie mecanice obişnuite cresc odată cu depărtarea de axe ce

trece prin centrul de greutate.

1.4. Tensorul de inerţie

Fig. 1.4

Page 8: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Se consideră un sistem de puncte materiale raportat la sistemul Oxzy cât şi la sistemul Ox y z′ ′ ′ având axele rotite faţă de primul. Dacă se cunosc momentele de inerţie faţă de elementele geometrice ale sistemului Oxyz, momentele de inerţie faţă de celălalt sistem se pot determina astfel. Introducem noţiunea de tensor.

[ ] { } { }[ ] { }{ }( )N

T Ti i i 3 i iO

i 1J m r r I r r

=

= −∑ (0.46)

i i i ir x i y j z k= + + (0.47)

{ } { }i

Ti i i i i

i

xr y x , y , z

z

⎧ ⎫⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

(0.48)

[ ]2 2 2i i iN

2 2 2i i i iO

i 1 2 2 2i i i

2 2 2i i i i i i i i i i iN

2 2 2i i i i i i i i i i i i

i 12 2 2i i i i i i i i i i i

x xy xz

xy

x y z 0 0J m 0 x y z 0

0 0 x y z

x x y x z y z x y x zx z y y z m x z z x y zz x z y z z x z y x y

J J JJ J

=

=

⎛ ⎡ ⎤+ +⎜ ⎢ ⎥= + + −⎜ ⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦⎝

⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − −⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = − + − =⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎠

− −= −

y yz

xz yz z

JJ J J

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

(0.49)

Tensorul este o matrice 3×3 care are pe diagonala principală momentele de inerţie axiale iar simetric faţă de acestea se găsesc momentele de inerţie centrifugale cu semnul minus. Fie 1 2 3e , e , e .versorii sistemului Ox y z′ ′ ′

1 1 1 1e i j k= α +β + γ (0.50)

2 2 2 2e i j k= α +β + γ (0.51)

3 3 3 3e i j k= α +β + γ (0.52)

i i i, ,α β γ - cosinuşii directori ai ie faţă de sistemul original

{ }1

1 1

1

eα⎧ ⎫⎪ ⎪= β⎨ ⎬⎪ ⎪γ⎩ ⎭

, etc. (0.53)

Se construieşte matricea A:

Page 9: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

[ ] { } { } { }1 2 3A e e e⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (0.54)

Considerăm că punctul iP se raportează la sistemul Ox y z′ ′ ′ :

'i ir r= (0.55)

' ' 'i i i i 1 i 2 i 3x i y j z k x e y e z e+ + = + + (0.56)

' ' 'i i 1 i 2 i 3x x y z= α + α + α (0.57)

' ' 'i i 1 i 2 i 3y x y z= β + β + β (0.58)

' ' 'i i 1 i 2 i 3x x y z= α + α + α (0.59)

⇒i

i

i

xyz

⎧ ⎫⎪ ⎪ =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

'1 2 3 i

'1 2 3 i

'1 2 3 i

xyz

⎧ ⎫α α α⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥β β β ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥γ γ γ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

(0.60)

{ } [ ] { }'i ir A r= ⋅ (0.61)

sau dacă înmulţim cu [ ]TA :

{ } [ ] { }T'i ir A r= ⋅ (0.62)

Calculul tensorului de inerţie faţă Ox y z′ ′ ′ :

[ ] { } { }[ ] { }{ }( )'

N T T' ' ' 'i i i 3 i iO

i 1J m r r I r r

=

= −∑ (0.63)

Analog se fac calculele: [ ] [ ] [ ] [ ]'

T

O OJ A J A= (0.64)

{ } [ ] { }'

T1 1x O

J e J e= (0.65)

{ } [ ] { }'

T2 2y O

J e J e= (0.66)

{ } [ ] { }'

T3 3z O

J e J e= (0.67)

{ } [ ] { } { } [ ] { }' '

T T1 2 2 1x y O O

J e J e e J e= − = − (0.68)

{ } [ ] { } { } [ ] { }' '

T T2 3 3 2y z O O

J e J e e J e= − = − (0.69)

{ } [ ] { } { } [ ] { }' '

T T3 1 1 3z x O O

J e J e e J e= − = − (0.70)

1.5. Variaţia momentelor de inerţie în raport cu axe concurente

Page 10: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Se consideră un sistem de puncte materiale Oxyz pentru care se determină tensorul de inerţie. Se consideră o dreaptă Δ care trece prin originea sistemului de referinţă şi are poziţia determinată prin unghiurile: , ,α β γ .

Fig. 1.5

{ } [ ] { } { }T

OJ e J e eΔ

α⎧ ⎫⎪ ⎪= = β⎨ ⎬⎪ ⎪γ⎩ ⎭

(0.71)

{ }x xy xz

xy y yz

xz yz z

J J JJ J J J

J J JΔ

⎡ ⎤− − α⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪= α β γ − − β⎨ ⎬⎢ ⎥

⎪ ⎪⎢ ⎥− − γ⎩ ⎭⎣ ⎦

(0.72)

{ } [ ] { }T 2 2 2

x y z xy yz xzO2 2 2

J e J e J J J 2 J 2 J 2 J

⎧ = = α + β + γ − αβ − βγ − αγ⎪⎨α +β + γ =⎪⎩

(0.73)

Se va folosi metoda multiplicatorilor lui Lagrange: ( ) ( )2 2 2, , J 1ΔΦ α β γ = −λ α +β + γ − (0.74)

Page 11: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

0

0

0

⎧∂Φ=⎪

∂α⎪⎪∂Φ

=⎨ ∂β⎪⎪∂Φ

=⎪∂γ⎩

(0.75)

x xy xz

y xy yz

z yz xz

2 J 2 J 2 J 2 0

2 J 2 J 2 J 2 0

2 J 2 J 2 J 2 0

⎧ α − β − γ − λα =⎪β − α − γ − λβ =⎨

⎪ γ − β − α − λγ =⎩

(0.76)

[ ] { } [ ]{ } { }3OJ e I e 0−λ = (0.77)

Sistemul este algebric şi omogen necunoscutele fiind , ,α β γ , adică poziţia dreptei Δ . Pentru a admite soluţia nebanală trebuie ca: [ ] [ ]3O

J I 0−λ = (0.78)

Cele trei valorii 1 2 3, ,λ λ λ , reprezintă tocmai valorile extreme ale momentelor de inerţie, iar pentru cele trei valori se obţin trei seturi ale cosinuşilor directori care dau poziţia celor trei drepte pentru care avem valorile extreme. Cele trei drepte se numesc axe principale de inerţie. Proprietăţi

1) Cele trei drepte sunt perpendiculare două câte două [ ] { } { }r r rO

J e e= λ (0.79) Se transpune această relaţie şi se obţine: [ ] { } { }T T

r r rOJ e e= λ (0.80)

Se consideră un vector { } { }s re e≠ şi obţinem:

[ ] { } { } { }

[ ] { } { } { }

Ts s rO

T Tr r r sO

J e e e

J e e e

⎧ = λ ⋅⎪⎨

= λ ⋅⎪⎩

(0.81)

{ } [ ] { } { }{ }{ } [ ] { } { }{ }

T Tr s r s rO

T Tr s s s rO

e J e e e

e J e e e

⎧ = λ⎪⇒ ⎨= λ⎪⎩

(0.82)

( ){ } { }Tr s r se e 0⇒ λ −λ = (0.83)

{ } { }Tr s r se e 0λ ≠ λ ⇒ = (0.84)

Page 12: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Produsul scalar fiind nul cei doi vectori sunt perpendiculari. 2) Momentele de inerţie în raport cu una dintre cele trei direcţii sunt tocmai

valorile proprii [ ] { } { } { }T

r r r rOJ e e e= λ ⋅ (0.85)

{ } [ ] { } { } { }T Tr r r r rO

e J e e e⇒ = λ (0.86)

r rJ , r=1,2,3Δ⇒ = λ (0.87) Cele trei momente sunt extreme, axele se vor numi axe de inerţie.

3) În raport cu axele principale de inerţie momentele centrifugale sunt nule { } [ ] { } { } [ ] { }T T

r, s r s s rO OJ e J e e J eΔ Δ = − = − (0.88)

[ ] { } { } { }Tr r r sO

J e e e= λ ⋅ (0.89)

{ } [ ] { } { }{ }T Ts r r r sO

0

e J e e e r s⇒ = λ ≠ (0.90)

r, sJ 0Δ Δ⇒ = (0.91) Exemplu 1:

Fig. 1.6

Page 13: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

[ ]

2

2

O

2

MR 0 04

MRJ 0 04

MR0 02

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x Y O zJ J J J+ = =

x yJ J=

xzJ xz dm 0= =∫ , pentru că z 0=

xyJ xydm 0= =∫ , pentru că x şi y sunt axe de simetrie

Exemplu 2:

Fig. 1.7

H 2R=

Page 14: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 1.8

dm dV 2 x dx= ρ = ρ π

( )4R 2

z 0

RJ 2 dx H x H24

= ρ π = ρ π∫

22

zRJ H R2

= ρ π

2

zMRJ

2=

x u cosy u sin= θ⎧

⎨ = θ⎩

dA

dm dV du u d dz= ρ = ρ θ

( ) 2 2 2xJ du u d dz u sin z⎡ ⎤= ρ θ θ+⎣ ⎦∫∫∫

( )2 2 3 2xJ dV u sin z du u d dzsin u du d dz z⎡ ⎤= ρ θ + = ρ θ θ+ ρ θ⎣ ⎦∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

H HR 2 R 2 4 3 22 2

3 2 2x

H H0 0 0 02 2

R 2 H RJ dz u du sin d z dz u du d H 24 2 12 2

π π

− −

π= ρ θ θ+ρ θ = ρ +ρ π∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Page 15: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

2 2

x yMR MHJ J

4 12= + =

Fig. 1.9

[ ]x

yO

z

J 0 0J 0 J 0

0 0 J

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1e cos i sin k= α + α

2e j=

3e sin i cos k= − α + α

[ ] [ ][ ] [ ]TO OJ A J A′ =

[ ]cos 0 sin

A 0 1 0sin 0 cos

α α⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− α α⎣ ⎦

Page 16: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

[ ]

2

2

O

2

7MR 0 012cos 0 sin cos 0 sin

7MRJ 0 1 0 0 0 0 1 012

sin 0 cos sin 0 cosMR0 0

2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥α α α − α⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− α α α α⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]2

2

O2

6 cos 0 sin cosMRJ 0 7 012

sin cos 0 6 sin

⎡ ⎤+ α − α α⎢ ⎥′ = ⎢ ⎥⎢ ⎥− α α + α⎣ ⎦

1.6. Lucru mecanic elementar al unui sistem de forţe. Puterea mecanică.

Lucrul mecanic elementar pentru o singură forţă este: i i 1idL Fdr= (0.92)

Fig. 1.10

- pentru un sistem de forţe se însumează:

n

i 1ii 1

dL Fdr=

= ∑ (0.93)

Viteza: i O iv v r= +ω× ; i ir OP= (0.94)

1i 1O idr dr d r= + γ× relaţia deplasărilor elementare (0.95)

Page 17: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

( ) ( )

( )

N N N

i 1O i i 1O ii 1 i 1 i 1

N N

1O 1O i ii 1 i 1

dL F dr d r Fdr d r

dr F r F d

= = =

= =

= + γ× = + γ× =

= + × γ

∑ ∑ ∑

∑ ∑ (0.96)

[ ]SIL N m 1J= ⋅ =

- dγ a fost scos afară din formulă pentru că într-un corp rigid toate punctele au aceeaşi viteză unghiulară.

N

ii 1

R F=

= ∑ (0.97)

N

O i ii 1

M r F=

= ×∑ (0.98)

1O OdL Rdr M d= + γ ,lucrul mecanic elementar pentru un sistem de forţe (0.99) - puterea mecanică:

1O O 1OO O O

Rdr M d drdL dP R M Rv Mdt dt dt dt

+ γ γ= = = + = + ω (0.100)

O OP Rv M= + ω (0.101) Astfel deosebim două cazuri:

- corpul se află în mişcare de translaţie O0 P Rv⇒ω= ⇒ =

- corpul se află în mişcare de rotaţie O Ov 0 P M⇒ = ⇒ = ω

[ ]SI

Nm JP 1Ws s

= = =

Se mai poate exprima şi astfel:

2 n n2 2T 60 30π π

ω = = πν = π = (0.102)

OnP M

30π

⇒ = (0.103)

1.7. Energia cinetică a unui sistem material. Teorema energiei cinetice

Pentru un punct, 2

i ici

m vE2

=

Page 18: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

2N

i ic

i 1

m vE2=

=∑ (0.104)

În cazul mişcării de translaţie, avem:

2 2N

i i 2i O c

i 1

m v mvv v v E2 2=

= = ⇒ = =∑ (0.105)

Fig. 1.11

În cazul mişcării de rotaţie, avem: i O iv v r= +ω× (0.106)

( )i i i i iv v r sin r d= = ω⋅ ω = ω⋅ (0.107)

2 2 2 2N N N

2i i i ic i i

i 1 i 1 i 1

m v m d JE m d2 2 2 2

Δ

= = =

ω ωω⇒ = = = =∑ ∑ ∑ (0.108)

Fig. 1.12

În cazul mişcării plan paralele:

2 2c c

cmv JE

2 2Δ ω= + (0.109)

Teorema energiei cinetice i ima F= (0.110)

Page 19: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

ii 1i

dvm F drdt

= ⋅ (0.111)

i1i i 1i

dvm dr Fdrdt

⇒ = (0.112)

2i1

i 1ivmd Fdr2

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠ (0.113)

ci idE dL= ,diferenţiala energiei cinetice = lucrul mecanic (0.114) Dacă se însumează ci idE dL= , pentru toate punctele materiale rezultă

teorema energiei cinetice, cdE dL= , pentru întreg sistemul material sub formă diferenţială. Dacă se integrează această expresie pentru un interval de timp, atunci vom avea: c2 c1 m rE E L L− = − , formă integrală (0.115) Dacă considerăm că sistemul mecanic are corpuri în mişcare de translaţie şi în mişcare de rotaţie, atunci teorema se mai poate scrie:

2 2 2 2n N n N

i i2 i i1 i i2 i i1m ru rp

i 1 i 1 i 1 i 1

m v m v J J L L L2 2 2 2= = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω ω− + − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ (0.116)

r ru rpL L L= + (0.117)

rL - lucrul mecanic rezultat

ruL - lucrul mecanic rezultat util

rpL - lucrul mecanic rezultat pierdut Presupunem că toate corpurile se află în mişcare de rotaţie. De altfel se va vedea că orice mişcare de translaţie poate fi transformată într-o mişcare de rotaţie şi invers.

2 2N N

i i2 i i1m ru rp

i 1 i 1

J J L L L2 2= =

ω ω− = − −∑ ∑ (0.118)

În funcţionarea unei maşini, se întâlnesc întotdeauna 3 faze: 1. demararea:

i1 0ω =

i2 0ω ≠

2N

i i2m ru rp

i 1

J L L L2=

ω= − −∑ (0.119)

Motorul trebuie să asigure lucrul mecanic rezultat de la maşina de lucru plus lucrul mecanic pierdut plus energia cinetică care se află în ansamblul pieselor aflate în mişcare.

2. funcţionarea în regim normal: i1 i2ω = ω

Page 20: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

m ru rp0 L L L= − − , puterea necesară scade (0.120) 3. frânarea

i2 0ω = , mL 0= , ruL 0=

2N

i i2rp

i 1

J L2=

ω− = −∑ (0.121)

Observaţie: Energia cinetică se dirijează în procesul de oprire prin frecare. Durează mult, deci se intervine cu o frânare forţată:

2N

i i2rp ff

i 1

J L L2=

ω− = − +∑ (0.122)

1.8. Impulsul şi momentul cinetic pentru un sistem mecanic

Fig. 1.13

i i ih m v= - impulsul pentru un punct material (0.123)

N

i ii 1

H m v=

=∑ - impulsul pentru un sistem material (0.124)

N N

1i 1ii i i 1i

i 1 i 1

dr dr dv H m m rdt dt dt= =

⎛ ⎞= ⇒ = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ (0.125)

N N

i 1i i 1ii 1 i 1

c N

ii 1

m r m rr

Mm

= =

=

= =∑ ∑

∑ (0.126)

( ) CdH Mr Mvdt

⇒ = = (0.127)

Momentul cinetic este momentul impulsului calculat în raport cu un punct O.

Page 21: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 1.14

- pentru un punct oarecare avem:

i i i i i ik r m v r h= × = × (0.128) - pentru întreg sistemul avem:

N N

O i i ii 1 i 1

K k r h= =

= = ×∑ ∑ (0.129)

Dacă momentul cinetic se calculează faţă de un punct sau faţă de centrul de greutate al sistemului atunci are expresia: { }[ ] { }O,C O

K i j k J= ω (0.130)

[ ]OJ - tensorul de inerţie în raport cu punctul O

{ }ω - coloană având componentele egale cu proiecţiile vitezei unghiulare pe cele trei axe { } [ ] { }O,C O

K J= ω (0.131)

Pentru mişcarea de rotaţie cu axă fixă avem:

x x xy xz

y xy y yz

z xz yz z z

K J J J 0K J J J 0K J J J

⎡ ⎤− −⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪= − −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − ω⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

(0.132)

1.9. Teoremele impulsului

1) Teorema impulsului

d l

d lC

H R RMa R R

⎧⎪ = +⎨

= +⎪⎩ (0.133)

Page 22: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

2) Teorema momentului cinetic d l

O,C O,C O,CK M M= + (0.134) Dacă momentul cinetic este raportat la un sistem de axe mobil atunci derivarea acestuia se va face pe baza legăturii dintre derivata absolută şi relativă a unei mărimi vectoriale.

( ) ( ) ( )d * * w *dt t

∂= + ×∂

(0.135)

1.10. Dinamica unui rotor rigid cu axă fixă

Fig. 1.15

Se cunosc forţele direct aplicate care acţionează asupra rotorului, se cunosc distribuţia de masă (poziţia centrului de greutate, momentele de inerţie mecanice), se cunoaşte natura legăturilor. Se cere:

- legea de mişcare a rotorului - forţele dinamice din legături

Se alege un sistem de referinţă fix O1X1Y1Z1 şi un sistem legat de corp OXYZ.

d l

C

d lO O

ma R R

K M M

⎧ = +⎪⎨

= +⎪⎩ (0.136)

Page 23: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

( )C O C

C C C

v v ra r r

= +ω×⎧⎨ = ε× +ω× ω×⎩

(0.137)

1k k

k

⎧ω = θ = θ⎪⎨

ε = θ⎪⎩ (0.138)

( ) CC 2

C

rr

ω× ω× =ω ω

(0.139)

( )2C C C C C

C C C

i j ka 0 0 k z x i y j z k

x y z= θ + θ θ −θ + + (0.140)

2 2C C C C Ca y i x j x i y j= −θ + θ −θ −θ (0.141)

d d d dR X i Y j Z k= + + (0.142)

1 1 1 1

2 2 2 2

R X i Y j Z k

R X i Y j Z k

⎧ = + +⎪⎨

= + +⎪⎩ (0.143)

1 1 1 2 2 2X ,Y , Z ,X ,Y , Z - proiecţiile forţelor de legătură pe sistemul mobil

O xz yz zK J i J j J k= − ω − ω + ω (0.144)

O

O

O xz yz z

K xz yz zt

K

i j kK J i J j J k 0 0

J J J∂∂

ω×

= − θ − θ + θ + θ− θ − θ θ

(0.145)

d d d dx y zM M i M j M k= + + - cunoscute (0.146)

- neglijând frecările, în raport cu O va da un moment doar 2R - distanţa dintre lagăre se notează cu l

l1 2 2

2 2 2

i j kM O O K 0 0 l

X Y Z= × = (0.147)

Se proiectează cele două ecuaţii vectoriale pe axele sistemului mobil:

Page 24: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

( )( )

2 dC C 1 2

2 dC C 1 2

d1 2

Ox : m y x X X X

Oy : m x y Y Y Y

Oz : 0 Z Z Z

⎧ −θ −θ = + +⎪⎪ θ −θ = + +⎨⎪

= + +⎪⎩

(0.148)

2 dxz yz x 2J J M lY− θ+ θ = − (0.149)

2 dyz xz y 2J J M lX− θ+ θ = − (0.150)

dz zJ Mθ = (0.151)

În cele şase ecuaţii apar şapte necunoscute: 1 2 1 2 1 2X ,X ,Y ,Y , Z , Z şi θ Pentru ridicarea nedeterminării articulaţia O2 se presupune cilindrică 2Z 0⇒ =

- în ecuaţia (0.151) singura necunoscută este θ , prin urmare din această ecuaţie se determină legea de mişcare

- ar fi de dorit ca reacţiunile care apar în lagăre în procesul de mişcare să fie aceleaşi ca în regim de staţionare

C Cx y 0= = ⇒ centrul de greutate să se afle pe axa de rotaţie

2

xz yz

2yz xz

J J 0

J J 0

⎧− θ− θ =⎪⎨− θ− θ =⎪⎩

- sistem omogen (0.152)

xz yz 2 2xz yz

yz xz

J J0 J J 0

J J−

= ⇒ + = ⇒− −

axa de rotaţie trebuie să fie axă principală

de inerţie

1.11. Calculul forţelor dinamice transmise la lagăre

În paragraful precedent s-a arătat că în condiţiile în care centrul de greutate al unui rotor se găseşte pe axa de rotaţie şi axa de rotaţie este axă principală de inerţie reacţiunile nu diferă ca valoare de cele care s-ar obţine în lipsa mişcării de rotaţie. Sistemul de ecuaţii devine:

d1 2

d1 2

d1dx 2dy 2

dz z

X X X 0

Y Y Y 0

Z Z 0

M lY 0

M lX 0

M J 0

⎧ + + =⎪

+ + =⎪⎪ + =⎪⎨

− =⎪⎪ − =⎪⎪ − θ =⎩

(0.153)

Page 25: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Din primele 5 ecuaţii rezultă 1 2 1 2 1X ,X , Y ,Y , Z , unde 1 1 1X ,Y , Z , respectiv 2 2 2X Y , Z

sunt proiecţiile celor două forţe de legătură 1 2R , R pe sistemul de axe legat de rotor.

Fig. 1.16

(1) (1)1 2R , R - în sistemul fix

S-a arătat că un vector exprimat în cele două sisteme de referinţă are o formulă de trecere dată prin matricea A. { } [ ]{ } [ ] { } { } { }(1)

1 2 3r A r , A e , e , e⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (0.154)

Această relaţie e valabilă pentru orice vector.

(1)1 1(1)

1 1(1)

11

X Xcos sin 0Y sin cos 0 Y

0 0 1 ZZ

⎧ ⎫ θ − θ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= θ θ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭

(0.155)

(1)1 1 1(1)

1 1 1(1)1 1

X X cos Y sin

Y X sin Y cos

Z Z

⎧ = θ− θ⎪

= θ+ θ⎨⎪ =⎩

(0.156)

tθ = ω - pentru mişcarea uniformă (0.157)

Page 26: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

1

1

YtgX

ϕ = (0.158)

( )( )

(1) 2 21 1 1

(1) 2 21 1 1

X X Y cos t

Y X Y sin t

⎧ = + ω +ϕ⎪⎨

= + ω +ϕ⎪⎩ (0.159)

Dacă rotorul nu e echilibrat aceste forţe dinamice devin mari.

( ) ( ) ( )

2 2 21 1 1 1

2 2 2(1) (1) (1) (1)1 1 1 1 1 1 1 1 1

R X Y Z în Oxzy

R X Y Z R în O x y z

⎧ = + +⎪⎨⎪ = + + =⎩

(0.160)

1.12. Reducerea maselor şi momentelor de inerţie mecanice

Pentru analiza dinamică a unor sisteme mecanice se preferă de multe ori a se

face reducerea sistemului original, destul de complicat, la un sistem echivalent simplificat. Prin masă redusă se înţelege masa echivalentă a unui sistem considerat într-o mişcare de translaţie. Obţinerea acestei mase se bazează pe echivalenţa dintre energia cinetică a sistemului original cu energia cinetică a sistemului redus. ( ) ( )c cO r

E E= (0.161)

2 2 2N N

i i i i r

i 1 i 1

m v J m v2 2 2= =

ω+ = ⇒∑ ∑

2 2N N

i ir i i

i 1 i 1

vm m Jv v= =

ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ (0.162)

Dacă se urmăreşte reducerea sistemului original la un corp aflat în mişcare de rotaţie acesta va avea un moment de inerţie redus. Prin urmare: ( ) ( )c cO r

E E= (0.163)

( )

( )

2 2N Ni i i i

c Oi 1 i 1

2C rr

m v JE2 21E J2

= =

ω= +

= ω

∑ ∑ (0.164)

2 2N N

i ir i i

i 1 i 1

vJ m J= =

ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ω ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ (0.165)

Page 27: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Aplicaţie.

Fig. 1.17

Fig. 1.18

xx ll

v xxl

= φ⋅ ⇒ φ =

=

ω = φ =

2b b

baram LJ

3=

( )

( )

2 22 2

c 2O

2C rr

r

1 1 3m4l x 5E mx mx2 2 3 l 21E m x2

m 5m

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⇒

=

=

1.13. Reducerea sarcinilor (forţelor şi momentelor) exterioare

Reducerea sarcinilor exterioare se bazează pe echivalenţa lucrului mecanic

elementar efectuat de forţe în sistemul original şi lucrul mecanic elementar efectuat de forţa redusă în sistemul echivalent.

Page 28: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

( )N N

i 1i i iOi 1 i 1

dL Fdr M d dt= =

= + γ ÷∑ ∑ (0.166)

( )N N

i iO i iOi 1 i 1

P F M= =

= ν + ω∑ ∑ (0.167)

( ) r 1OrdL F dr dt= ÷ (0.168)

( ) r OrP F v= (0.169)

( ) ( )O rP P⇒ = (0.170)

N N

i iO i i r Oi 1 i 1

Fv M F v= =

+ ω =∑ ∑ (0.171)

N N

i 1O i i r Oi 1 i 1

Fv M F v= =

+ ω =∑ ∑ (0.172)

Fig. 1.19

N N

iO ir i i

i 1 i 1O O

vF F Mv v= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ (0.173)

Dacă sistemul de forţe se reduce la un cuplu, atunci valoarea acestui moment se va numi moment redus. Puterea redusă va fi: ( ) rr

P M= ω (0.174)

O rP P= (0.175)

N N

i ir i i

i 1 i 1

vM F M= =

ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ω ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ (0.176)

Page 29: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

1.14. Reducerea unei mişcări de rotaţie la o mişcare de translaţie

Să se transforme o mişcare de rotaţie într-o mişcare de translaţie situată la o

distanţă R de axa mişcării de rotaţie

( ) ( )c cO rE E= (0.177)

( ) 2c O

1E J2

= ω ω = φ (0.178)

( ) 2c rr

1E m x ; x R2

= = φ⋅ (0.179)

Fig. 1.20

Fig. 1.21

Page 30: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 1.22

Pentru unghiuri mici putem accepta că x este lungimea arcului.

x xR R

⇒ φ = ⇒ φ = = ω (0.180)

2

2r r2 2

1 x 1 JJ m x m2 R 2 R

= ⇒ = (0.181)

( ) ( )p pO rE E= (0.182)

( )

( )

22p O 2

r r2 22

p rr

1E K 1 x 1 K2 K k x k1 2 R 2 RE k x2

⎫= φ ⎪⎪ ⇒ = ⋅ ⇒ =⎬⎪=⎪⎭

(0.183)

[ ]SI

NmK Nmrad

= = ;pentru arc spiral

[ ]SI

Nkm

= , pentru arc elicoidal

1.15. Transformarea unei mişcări de translaţie într-o mişcare de rotaţie

Page 31: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 1.23

Fig. 1.24

x xx RR R

= φ ⇒ φ = ⇒ω= (0.184)

( ) 2c O

1E mx2

= (0.185)

( ) 2c rr

1E J2

= ω (0.186)

2

2 2r r2

1 1 xmx J J mR2 2 R

= ⇒ = (0.187)

( ) 2p O

1E kx2

= (0.188)

( ) 2p rr

1E k2

= φ (0.189)

2

2 2r r2

1 1 xkx k k kR2 2 R

⇒ = ⇒ = (0.190)

Page 32: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

1.16. Legarea în paralel a elementelor elastice

Fig. 1.25

Toate arcurile suferă aceleaşi deformaţii. i iF k x k 1.....n= ⋅ = (0.191) rF k x= ⋅ (0.192)

( ) ( )p pO rE E= (0.193)

( )2N

ip O

i 1

k xE2=

⋅= ∑ (0.194)

( ) 2p rr

1E k x2

= (0.195)

N

r ii 1

k k=

⇒ =∑ (0.196)

Page 33: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

1.17. Legarea în serie a elementelor elastice

Fig. 1.26

1 2 nx x ....x x+ + = (0.197)

i i ii

r

F k xF F

F k x=

==

(0.198)

( )

2

i2 2 2N N Ni i

p iOi 1 i 1 i 1 i

Fkx k FE k2 2 2k= = =

⇒ = = =∑ ∑ ∑ (0.199)

( )2

2p rr

r

1 1 FE k x2 2 k

= = (0.200)

N

i 1r i

1 1k k=

⇒ =∑ (0.201)

- pentru arcuri spirale:

N

i 1r i

1 1K K=

= ∑ (0.202)

Aplicaţia 1.

Page 34: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Se consideră sistemul mecanic din figură. Să se reducă rigiditatea arborelui 3 la arborele 1. A reduce pe arborele 3 la arborele 1 înseamnă a înlocui un element elastic care se deformează cu o mărime egală cu deformaţia elementului la care se face reducerea conducând astfel la aceeaşi energie potenţială ca şi elementul rigid.

Fig. 1.27

( ) ( )2p 3 5 6O

1E k2

= φ −φ

( ) ( )2p 3r 1 2r

1E k2

= φ −φ( )( )

25 6

3r 3 21 2

k kφ −φ

⇒ =φ −φ

( ) ( )3 3 5 6 r 3r 1 2M K M K= φ −φ → = φ −φ

3 3 5 6

1 3r 1 2

M kM k

φ −φ⇒ = ⋅

φ −φ

Se poate face şi un bilanţ energetic. 1 1 3 3M Mω = ω , dacă ar fi randamentul 100% 1 1 1 2 3 3M M⇒ ωη η = ω

1

3 3

1 1 1 2

M 1M

−⎛ ⎞ω

= ⋅⎜ ⎟ω η ⋅η⎝ ⎠

Page 35: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

1 21 2

2 3

i , iω ω= =ω ω

1

3

1 1 2 1 2

M 1M i i

−⎛ ⎞

⇒ = ⎜ ⎟η η⎝ ⎠

1

5 6 3r

1 2 1 2 1 2 3

K1 1i i K

−⎛ ⎞φ −φ

⇒ = ⋅⎜ ⎟φ − φ η η⎝ ⎠

2

2 2 2 2 3r3r 3 1 2 1 2 2

3

kk K i ik

= η η ⋅

33r 2 2 2 2

1 2 1 2

kki i

=⋅η η

Aplicaţia 2.

Se consideră mecanismul în trepte din figură. Să se reducă mecanismul din figură la arborele motor.

Fig. 1.28

Toate elementele din arborii 2 şi 3 vor fi puse în condiţiile de lucru şi deformaţii ale arborelui 1.

Page 36: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 1.29

2 2 22r 1 2 1 3 2

1 1 1J J J2 2 2

ω ω + ω

2

322r 2 3 2 2

1 1

J1J J J J2 i

⎛ ⎞ω⇒ = + = +⎜ ⎟ω⎝ ⎠

2 2 23r 1 4 2 5 3

1 1 1J J J2 2 2

ω = ω + ω

2 2

3 52 13r 4 5 2 2 2

1 1 1 1 2

JJJ J Ji i i

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ωω= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ω ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 36r 1 6 3 6r 6 6 2 2

1 1 2

1 1 1J J J J J2 2 i i

⎛ ⎞ωω = ω ⇒ = =⎜ ⎟ω⎝ ⎠

Acum calculăm elementele identice:

2 22 2 2r 1

1 1k k2 2

φ = φ

2 2

2 22r 2 2

1 1

k k k⎛ ⎞ ⎛ ⎞φ ω

⇒ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟φ ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22r 2

1

kki

=

2 23 3 3r 1

1 1k k2 2

φ = φ

2 2

3 33r r 3

1 1

k k k⎛ ⎞ ⎛ ⎞φ ω

⇒ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟φ ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠

De obicei roţile dinţate au inerţie neglijabilă faţă de motorul de acţionare sau maşina de lucru.

Page 37: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 1.30

Fig. 1.31

r 2 2r 3r

1 1 1 1k k k k

= + +

Page 38: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

2. Dinamica fundaţiilor de maşinii

Fundaţia de maşină este o structură mecanică rigidă sau una elastică pe care este amplasată o maşină sau mai multe. Aceste fundaţii preiau forţele transmise de la maşini sau pot transmite la rândul lor forţe maşinilor amplasate pe acestea. Aceste forţe sunt dinamice, adică variază în timp ( )p pF F t= şi se numesc forţe perturbatoare.

2.1. Tipuri de forţe perturbatoare

a) Forţe perturbatoare produse pe cale inerţială Forţele perturbatoare produse pe cale inerţială se datorează fie mişcării de rotaţie a

unor corpuri neechilibrate fie datorită mişcării de translaţie de tip oscilant, cazul maşinilor cu piston.

Fig. 2.1

Page 39: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

- forţa centrifugă 0tθ = ω + θ (1.1)

2cfF m l= ω (1.2)

( )2cfx 0F m lcos t= ω ω + θ (1.3)

( )2cfx 0F m lsin t= ω ω + θ (1.4)

Forţa inerţială are două componente, una va solicita structura axial şi una transversal. Deoarece rigiditatea axială este mult mai mare decât rigiditatea transversală, practic efectul dominant este cel dat de solicitarea transversală.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2p cfy 0 0

20

mF F m lsin t M m lsin tM m

M m r sin t

= = ω ω + θ = + ω ω +θ =+

= + ω ω + θ (1.5)

mr l

M m=

+ (1.6)

b) Forţe perturbatoare produse pe cale cinematică Studierea mişcării maşinii se poate face faţă de un reper fix (mişcare absolută) sau faţă de fundaţie (mişcare relativă), iar mişcarea fundaţiei se numeşte mişcare de transport.

Fig. 2.2

y – deplasarea absolută a maşinii x – deplasarea relativă a maşinii

Page 40: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

y f x⇒ = + (1.7) f - deplasarea fundaţiei (de transport)

- separăm maşina:

Fig. 2.3

legea a II –a lui Newton ma F= (1.8) ( )eF k z f= − - forţa elastică (1.9)

( )aF c y f= − - forţa din amortizor (1.10)

e amy F F= − − (1.11)

( ) ( )my k y f e y f= − − − − (1.12)

my cy ky cf kf+ + = + (1.13)

pF cf kf= + (1.14) f – legea de mişcare a fundaţiei Presupunem că fundaţia se mişcă după o lege armonică: f r sin t= ω (1.15) pF cr cos t kr sin t= ω + ω (1.16)

( )p 0F F sin t= + ω + φ (1.17)

2 2 2 2 2 2 2 20F c r k r r c k= ω + = ω + (1.18)

c r ctgkr rω ω

φ = = ⇒ φ (1.19)

Page 41: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 2.4

Dacă ne interesează mişcarea relativă a maşinii, se înlocuieşte în ecuaţia diferenţială y f x= +

( ) ( ) ( )m x f c x f k x f cf kf+ + + + + = + (1.20)

mx cx kx mf+ + = − (1.21) pF mf⇒ = − (1.22)

2pF m r sin t= ω ω (1.23)

20

2F m r , , 2Tπ

= ω ω = ω = πν (1.24)

2 20F m4 r= π ν ⇒ acceleraţia e mare la frecvenţe mari. (1.25)

2.2. Vibraţiile fundaţiilor de maşini Consideraţii generale

Ansamblul maşină – fundaţie de maşină, constituie un corp a cărui mişcare se va raporta la un sistem triortogonal drept Oxyz, O este centrul de greutate al ansamblului maşină - fundaţie, iar C centrul de greutate al suprafeţei de sprijin (centru elastic). Dacă se urmăreşte studierea mişcării ansamblului, se vor aplica teorema mişcării centrului de masă şi respectiv teorema momentului cinetic: Oma F=∑ ,

O OK M=∑ Ansamblul va avea posibilitatea mişcării de translaţie după cele trei axe şi respectiv de rotaţie în raport cu aceleaşi axe.

Page 42: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 2.5

imx X=∑ (1.26)

imy Y=∑ (1.27)

imz Z=∑ (1.28) Xi, Yi, Zi – componentele forţelor pe cele trei axe

{ }x xy xz x

O xy y yz y

xz yz z z

J J JK J J J

J J J

⎡ ⎤− − ω⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪= − − ω⎨ ⎬⎢ ⎥

⎪ ⎪⎢ ⎥− − ω⎩ ⎭⎣ ⎦

(1.29)

Notăm xφ rotaţia în jurul axei Ox, yφ rotaţia în jurul axei Oy şi Ψ rotaţia în jurul axei Oz

{ }x xy xz x

O xy y yz y

xz yz z

J J JK J J J

J J J

⎧ ⎫⎡ ⎤− − φ⎪ ⎪⎢ ⎥⇒ = − − φ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥− − ψ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

(1.30)

Dacă considerăm axele Ox, Oy, Oz ca axe principale de inerţie,

{ }x x

O y y

z

J 0 0K 0 J 0

0 0 J

⎧ ⎫φ⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⇒ = φ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ψ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

(1.31)

De la proiecţia teoremei momentului cinetic pe cele 3 axe, se obţine:

Page 43: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

x x Ox

y y Oy

z Oz

J MJ MJ M

⎧ φ =⎪ φ =⎨⎪ ψ =⎩

∑∑∑

(1.32)

Vom considera pentru început forţele de natură elastică şi momentele acestor forţe. Rezultanta forţelor elastice pe axa x, exR va fi: ex xR k x= ⋅ (1.33) Unde xk este constanta elastică a solului pe care este fundaţia şi se poate exprima astfel: x xk C S= (1.34) Unde xC , este coeficientul de elasticitate al terenului după axa x S, este suprafaţa de refugiu

[ ] [ ]x x 3SI SI

N Nk Cm m

= =

Analog: ey yR k y;= ⋅ y yk C S= (1.35)

ez zR k z;= ⋅ z zk C S= (1.36) Pentru momentele date de forţele elastice: ex x xM K= ⋅φ (1.37) x x xK C Iφ= unde:

xK - constanta elastică

xCφ - coeficientul de elasticitate al terenului

xI - moment de inerţie geometric a suprafeţei în raport cu axa x

[ ]x SI

Nm NmK Nm1 rad

= = =

x 4 3SI

Nm NCm mφ⎡ ⎤ = =⎣ ⎦

Analog: ey y yM K= ⋅φ (1.38)

y y yK C Iφ= (1.39)

ez zM K= ⋅ψ (1.40) z zK C Iψ= (1.41)

Page 44: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Vibraţiile libere verticale ale unei fundaţii

Fig. 2.6

0

ezmz G N R=

= − − (1.42)

ezmz R 0+ = (1.43) zmz k z 0+ = (1.44)

zkz z 0m

+ = (1.45)

2zz

k pm

= (1.46)

zz

kpm

= - pulsaţia proprie a ansamblului după z (1.47)

Relaţia ecuaţiei diferenţiale reprezintă mişcarea liberă (lipsa forţele perturbatoare) a ansamblului.

0z - soluţia omogenă

( )0 0z z 0z A sin p= ⋅ + θ (1.48)

0z 0A , θ - se determină din condiţiile iniţiale Astfel se întâlnesc 2 situaţii:

a)dacă fundaţia este aşezată direct pe teren, atunci raportul dintre greutatea acestuia şi suprafaţa de fundare dă presiunea admisibilă.

aGpS

= (1.49)

z z z zz

a

k C S C S C gp g gm mg G p

= = = = (1.50)

Page 45: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

c) dacă fundaţia este elastică

Fig. 2.7

z zz

0

k k gp gm mg

= = =δ

(1.51)

z 0k G⋅δ = (1.52) Vibraţiile forţate verticale ale unei fundaţii

Fig. 2.8

Page 46: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 2.9

z pmz k z F= − + (1.53)

z pmz k z F+ = (1.54)

p 0F F sin t= ω (1.55)

z 0mz k z F sin t m+ = ω ÷ (1.56)

0z Fkz z sin tm m

+ = ω (1.57)

2 0z

Fz p z sin tm

+ = ω (1.58)

( ) 0 pz t z z= + (1.59)

( )0 0z z 0z A sin p t= + θ - soluţie omogenă (1.60)

p zz A sin z= ω - soluţie particulară (forţată) (1.61)

pz - trebuie să verifice ecuaţia diferenţială

2 2 0z z z

FA sin t p A sin t sin tm

ω ω + ω = ω (1.62)

0

z 2 2z

FmA

p=

−ω - amplitudinea mişcării fundaţiei (1.63)

0 0

z zp 2 2

z z

F Fmm k kz sin t sin t

1 1p p

⋅= ω = ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω ω− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(1.64)

Introducem noţiunea de coeficient de transmisibilitate Tη :

Page 47: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

( )( )

t maxT

p max

FF

η =

( )t maxF - forţa transmisă maximă

( )P maxF - forţa perturbatoare maximă

Forţa tF este transmisă prin arc.

( )0

z0z

t z p 2 2

z z

FkFkF t k z sin t sin t

1 1p p

⋅= = ω = ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω ω− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(1.65)

( )p 0F t F sin t= ω (1.66) Dacă maşina ar fi direct pe fundaţie rigidă, atunci avem:

( )( )

t maxT

p max

F1

Fη = = (1.67)

Fig. 2.10

Dacă maşina este pusă pe elemente elastice, atunci avem:

02

zT 2

0

z

F

1p 1

F1

p

⎛ ⎞ω−⎜ ⎟⎝ ⎠η = =

⎛ ⎞ω−⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.68)

Dacă z Tpω = ⇒ η →∞

z cr zn 302 p n p60

π⋅ = ⇒ = ⋅π

(1.69)

Page 48: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

z cr

np nω

= (1.70)

T 2

cr

1

n1n

⇒ η =⎛ ⎞

− ⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.71)

Dacă maşina este pusă pe sol avem:

zz

a

C gpp

= (1.72)

zcr

a

C g30np

(1.73)

Dacă maşina este pe o structură elastică:

z0

gp =δ

(1.74)

cr0

30 gn =π δ

(1.75)

Page 49: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 2.11

Izolarea maşinilor

Pentru a reduce coeficientul de transmisibilitate respectiv forţele transmise prin fundaţie sau de la fundaţie la maşină, maşinile se aşează pe elemente care dirijează energie. Cele mai frecvente materiale sunt: cauciucul, pluta, pâsla.

Page 50: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 2.12

p zmz F cz k z= − − (1.76)

z 0mz cz k z F sin t+ + = ω (1.77) 0 pz z z= + (1.78)

( )t0 0z 0z A e sin t−σ= ω + θ (1.79)

Dacă pz va fi tot o mişcare armonică:

( )p zz A sin t= ω −φ (1.80)

0 zF sin t mz cz k z 0ω − − − = (1.81) Avem 4 forţe armonice care pot fi reprezentate prin vectori rotitori.

Fig. 2.13

2

0 z z zF cos m A k A 0φ+ ω − = ,pe direcţia mişcării (1.82)

Page 51: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

0 zF sin c A 0φ− ω = ,pe direcţie perpendiculară (1.83)

2

z z z 0

z 0

k A m A F cosc A F sin

⎧ − ω = φ⇒ ⎨

ω = φ⎩⇒ z,Aφ (1.84)

2z

ctgk m

⋅ωφ =

⋅ ω (1.85)

( )

0z 22 2 2

z

FAk m c

=− ω + ω

(1.86)

( )

( )0p 22 2 2

z

Fz sin tk m c

= ω −φ− ω + ω

(1.87)

t zF k z cz= ⋅ + (1.88)

Fig. 2.14

( ) 2 2 2t z zmax

F A k c= + ω (1.89)

( )p 0maxF F= (1.90)

( )( ) ( ) ( )

2 2 22 2 2t zmax 0

T 2 22 2 2 2 2 2p max z 0 z

F k cF kz cF k m c F k m c

+ω+ωη = = =

− ω + ω ⋅ − ω + ω (1.91)

Introducem noţiunea de coeficient de amortizare critică crc :

crc 2 km= (1.92)

z

z z cr zz

2 k mc c c 12k k c p2 k m

⋅= ⋅ = ⋅

⋅ (1.93)

Page 52: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

2

cr zT 2 22

z cr z

c1 2c p

c1 2p c p

⎛ ⎞ω+ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠⇒ η =

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ω ω⎢ ⎥− + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(1.94)

Fig. 2.15

Se constată că dacă maşina este pusă pe elemente elastice, atunci coeficientul de transmisibilitate cade sub 1 dincolo de turaţia critică dar la trecerea prin turaţia critică acest coeficient este foarte mare. Prin plasarea de elemente care consumă energie prin frecare, valoarea coeficientului de transmisibilitate scade la trecerea prin turaţia critică însă prezintă dezavantajul că la regimul de funcţionare dincolo de turaţia critică, coeficientul de transmisibilitate este mai mare decât în cazul în care maşina era aşezată doar pe elemente elastice.

Page 53: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Până în alegerea modului de amplasare a maşinilor se pot lua drept ghid turaţiile acestora. Astfel până la turaţia nominală 500 - 600 rot/min maşina poate fi prinsă de o fundaţie şi aşezată direct pe teren. Până la 1500 rot/min se recomandă ca maşina să fie prinsă prin intermediul elementelor amortizoare (cauciuc, pâslă, plută). Peste 1500 rot/min se recomandă ca maşina să fie prinsă pe o fundaţie elastică şi să funcţioneze dincolo de rezonanţă. Vibraţiile libere orizontale ale unei structuri maşină plus fundaţie

Fig. 2.16

exmx R= − (1.95) ex xR k x= ⋅ (1.96) xmx k x 0+ = (1.97)

xkx x 0m

+ ⋅ = (1.98)

2xp − pulsaţia proprie a structurii pe x

x x xx

a

k C s C gp gm mg p

⋅= = = (1.99)

( )0 0x x 0x A sin p t= ⋅ ⋅θ (1.100)

Page 54: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Vibraţiile libere longitudinale

Fig. 2.17

Această mişcare se referă la relaţie în raport cu axa y. Se poate scrie ecuaţia corespunzătoare din teorema momentului cinetic: C y CyJ M mg h sinφ = − + ⋅ ⋅ φ (1.101)

sinφ ≈ φ , mişcări mici (1.102) Cy y y y y yM K C Iφ= ⋅φ = φ (1.103)

( )C y y y yJ C I mgh 0φ⇒ ⋅φ + − φ = (1.104)

y yy y

c

C I mgh0

Jφ −

φ + ⋅φ = (1.105)

y yy

c

C I mghP

φ

−= (1.106)

Observaţie: Se constată că pentru clădirile zvelte există o problemă în cazul acestor

mişcării, practic dau raportul y y

C

C I mgh0

Jφ −

⟨ , înseamnă că mişcarea nu va fi una de

oscilaţie de rotaţie în jurul axei Oz ceea ce înseamnă că structura îşi pierde stabilitatea.

Page 55: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Vibraţiile libere cuplate de translaţie în lungul unei axe şi de rotaţie în jurul unei axe longitudinale

Fig. 2.18

În studiul vibraţiilor fundaţiilor de maşini, făcut în paragrafele precedente s-a

considerat că structura fundaţiei maşinii este simetrică atât din punct de vedere geometric cât şi din punct de vedere mecanic. În realitate aceste structuri sunt simetrice faţă de un plan vertical, astfel că se poate reduce studiul mişcării la un sistem mecanic cu patru grade de libertate: o deplasare în lungul axei Ox, o deplasare după axa Oz, o rotaţie în raport cu Oy şi o rotaţie în raport cu Oz. Pentru acest studiu se consideră : după axa Oz, greutatea proprie G , reacţiunea peretelui zR G= − , rezultanta forţelor elastice după z;

După axa Ox: rezultanta forţelor elastice exR

Cupluri care dau momente: ex, ey ezG, R M , M Se pot scrie cele 4 ecuaţii:

Oy Oy

Oz Oz

mx xmz z

J MJ M

⎧ =⎪ =⎪⎨ φ =⎪⎪ ψ =⎩

∑∑∑∑

(1.107)

Page 56: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

( ) ( )

ex0

z ez

Oy Oy ex

Oz ez

mx R

mz G R RJ M G M M R

J M

=

= −⎧⎪⎪ = − −⎨⎪ φ = − +⎪

ψ = −⎩

(1.108)

ex x C x CR k x C S x= = ⋅ ⋅ (1.109) C c Cx OO' x h sin x h x x h= = + φ = + φ⇒ = − φ (1.110)

( )ex xR C S x h⇒ = ⋅ ⋅ − φ (1.111)

ez z zR C S z k z= ⋅ ⋅ = (1.112)

( ) ( )' 'M G mg C O mgh sin mgh= = φ ≅ φ (1.113)

ey yM K C Iφ φ= φ = φ (1.114)

ez z zM K C Iψ= ψ = ψ (1.115)

( )ex ex xM R h C S x h h= = − φ (1.116)

( )

( )

x

z

Oy y x

Oz z

mx C S x hmz C S z

J mgh C I C S x h hJ C I

φ

ψ

⎧ = − − φ⎪ = − ⋅⎪⎨ φ = φ− φ+ ⋅ − φ⎪⎪ ψ = − ψ⎩

(1.117)

Adunând ecuaţia se obţine:

( )

x x

2Oy x x y

z z

oz z

mx C S x C S h 0

J C S h x C S h C I mgh 0

mz C S 0J C I 0

φ

ψ

+ ⋅ − ⋅ ⋅φ =⎧⎪

φ− ⋅ ⋅ + ⋅ + − φ =⎪⎨

+ =⎪⎪ ψ + ψ =⎩

(1.118)

Concluzii: Două ecuaţii diferenţiale sunt decuplate iar două sunt cuplate. Ultimele două ecuaţii au fost discutate la vibraţii libere verticale şi respectiv la vibraţii libere în jurul axei Oz. Pentru studiul vibraţiilor libere se iau soluţii de forma: ( )x Asin pt= +α (1.119)

( )Bsin ptφ = +α (1.120) Punem condiţia să verifice ecuaţiile:

Page 57: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

( )2

x x

2 2Oy x x y

mp A C S A C S h B 0

J p B C S h A C S h C J mgh B 0φ

⎧ − + ⋅ − ⋅ ⋅ =⎪⎨− − ⋅ ⋅ + ⋅ + − =⎪⎩

(1.121)

Am obţinut 2 ecuaţii omogene cu necunoscutele A şi B:

2

x x2

Oy

mp C S C S h A 0C J p Z 0

⎡ ⎤− ⋅ ⋅ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬− −⎢ ⎥ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

(1.122)

A 0; B 0≠ ≠

2

x x2 2

x Oy X y

mp C S C Sh0

C Sh J p C Sh C I mghφ

− −=

− − + + − (1.123)

( )( ) ( )4 2 2Oy x Oy x y x yJ mp C SJ m C Sh C I mgh p C S C I mgh 0φ φ− + + − + − = (1.124)

( ) ( )2x Oy x y x y4 2

Oy Oy

C SJ m C Sh C I mgh C S C I mghp p 0

mJ mJφ φ+ + − −

− + = (1.125)

Pulsaţia proprie în lungul axei x:

2 x xx

k C Spm m

= = (1.126)

y2

Cy

C I mghp

φ

−= (1.127)

( )2x Oy y4 2x x

Oy Oy

C S J mh mgh C I mghC S C Sp p 0m J m J

φ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟− + + ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.128)

Pe baza teoremei lui Steiner: 2

Cy OyJ J mh= + (1.129)

Introducem: Oy

Cy

J1

Jγ = ⟨

Ecuaţia se transformă în:

( )4 2 2 2 2 2x x y

1 1p p p p p p 0φ− + + =γ φ

(1.130)

Ecuaţia pulsaţiilor proprii a vibraţiilor libere cuplate de translaţie şi rotaţie în jurul unei axe longitudinale. Dacă se rezolvă ecuaţia:

( ) ( )22 2 2 2 2 2 21,2 x y x x

1p p p p p 4 p p2 φ φ

⎛ ⎞= + ± + − γ⎜ ⎟γ ⎝ ⎠ (1.131)

Dacă se reprezintă pe o axă pulsaţiile proprii, avem:

Page 58: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 2.19

În cazul vibraţiilor cuplate de translaţie şi vibraţie pot exista 2 situaţii. Pentru a analiza cele două situaţii luăm prima ecuaţie algebrică din sistemul omogen: 2

x xmp A C SA C ShB 0− + + = (1.132)

x

2x x2 2 2

2xx x

C S hC Sh pA m hC SB mp C S p ppm

= = =− + −−

(1.133)

a) dacă fundaţia are pulsaţia proprie 1 xp p⟨ , atunci A 0B⟩

Fig. 2.20

b) dacă fundaţia va avea o pulsaţie proprie mai mare 2 xAp p 0B

⟩ ⇒ ⟨

Page 59: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 2.21

Deci fundaţia are două moduri proprii de vibraţii. Vibraţiile forţate cuplate de translaţie în jurul unei axe şi de rotaţie în jurul unei axe longitudinale

În funcţionarea unor maşini fixate de o fundaţie, datorită unor mase neechilibrate aflate în mişcare de rotaţie, sau datorită mişcării mecanismelor bielă – manivelă, apar forţe inerţiale (perturbatoare). În unele situaţii aceste forţe perturbatoare dau şi momente perturbatoare. Momentele perturbatoare mai sunt date şi datorită dezaxărilor dintre axul motorului şi axul maşini de lucru.

- forţa perturbatoare F(t), momentul perturbator M(t) - ecuaţiile diferenţiale în acest caz vor fi ca şi cele de la vibraţii libere doar

că în membrul drept vor apărea F(t) respectiv M(t). ( )x xmx C Sx C Sh F t+ − φ = (1.134)

( ) ( )2Oy x y xJ C Shx C I mgh C Sh M tφφ − + − + φ = (1.135)

- vom considera cazurile când ( ) 0F t F sin t= ω , ( ) 0M t M sin t= ω sunt armonice

Ne interesează vibraţiile forţate ale ansamblului maşină – fundaţie, prin urmare legile de mişcare vor fi de forma membrului drept.

xx A sin tA sin tφ

= ω⎧⎨φ = ω⎩

(1.136)

Page 60: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

( )2

x x x x 0

2 2y x x y x 0

m A C A C ShA F

J A C ShA C I C Sh mgh A Mφ

φ φ φ

⎧ − ω + − =⎪⎨− ω − + + − =⎪⎩

(1.137)

după simplificare cu sin tω

2

x 0x x2 2

0x Oy y x

A Fm C S C ShA MC Sh J C I C Sh mgh φφ

⎡ ⎤− ω − ⎧ ⎫ ⎧ ⎫=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬− − ω + + −⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎣ ⎦

(1.138)

( )

12x 0x x

2 20x Oy y x

2 20Oy y x x

20x x

2

A Fm C S C ShA MC Sh J C I C Sh mgh

FJ C I C Sh mgh C ShMC Sh m C S

φ φ

φ

⎡ ⎤− ω −⎧ ⎫ ⎧ ⎫= =⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬− − ω + + −⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎣ ⎦

⎡ ⎤− ω + + − ⎧ ⎫⎨ ⎬⎢ ⎥− ω ⎩ ⎭⎣ ⎦=

Δ ω

(1.139)

( )2Δ ω - determinantul matricei

( )

( )2 2

Oy y x 0 x 0x 2

J C I C Sh mgh F C ShMA φ− ω + + − +

⇒ =Δ ω

(1.140)

( )

( )2

x 0 x 0

2

C ShF m C S MAφ

+ − ω +=

Δ ω (1.141)

( ) ( )( )2 2 2 2 2Oy xJ m p pφΔ ω = ω − ω − (1.142)

În calculul amplitudinii Ax se poate neglija termenul dat de greutate şi se obţine o expresie mai simpla:

( )

( )( )2 2

Oy y x 0 x 0x 2 2 2 2

Oy x

J C I C Sh F C ShMA

mJ p pφ

φ

− ω + + +⇒ =

ω − ω − (1.143)

Aφ - rămâne la fel

Page 61: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 2.22

1h h H+ = (1.144) f – distanţa de la fundaţie până în punctul de aplicare a forţei perturbatoare Lx – latura mare a suprafeţei de sprijin În practică avem următoarele două situaţii:

a) Lx>3H,

( )( )( )

( )( )( )

( )

2 2 2 2Oy y x 0 Oy 0

x 2 2 2 2 2 2 2 2Oy x Oy x

02 2

x

J C I C Sh F J p FA

mJ p p mJ p p

Fm p

φ φ

φ φ

− ω + + ω −= = =

ω − ω − ω − ω −

=ω −

(1.145)

Lx<H2

, termenul determinant va fi cel dat de moment rezulta că amplitudinea

deplasării va fi dată de Aφ

( )( )( ) ( ) ( )

2x 0 0 0 z

2 2 2 2 2 2 2 2Oy x Oy Oy

m C S M M F hA ....mJ p p J p J pφ

φ φ φ

− ω += = = =

ω − ω − ω − ω − (1.146)

Page 62: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 2.23

Page 63: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

3. Dinamica maşinilor rotative

3.1. Dinamica unui rotor (considerând arborele flexibil)

Fig. 3.1

Deducerea ecuaţiilor diferenţiale ale mişcării:

C – centrul elastic, punctul în care arborele intersectează planul rotorului (centru geometric)

G – centrul de greutate OC – deformaţia O – intersecţia dintre linia lagărelor cu planul rotorului

Presupunem că rotorul este simetric plasat faţă de lagăre. Rigiditatea lagărelor este mult mai mare decât rigiditatea arborelui adică pe direcţia lagărelor deformaţiile sunt mult mai mici decât în dreptul rotorului. CG e= , excentricitatea Asupra rotorului vor acţiona două forţe: o forţă elastică proporţională cu deformaţia

eF k OC= − ⋅ şi o forţă de frecare de amortizare datorită frecării dintre rotor şi fluidul în care se mişcă proporţională cu viteza centrului elastic. aF cOC= − (2.1) Dacă se scrie legea mişcării centrului de greutate: G e ama F F= + (2.2) Neglijăm greutatea proprie: G G Ga OG y j z k= = ⋅ + (2.3)

C COC y j z k= + (2.4)

Page 64: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Dacă proiectăm pe cele două axe: G C Cmy ky cy= − − (2.5) G C Cmz kz cz= − + (2.6)

G C

G C

y y ecosz z esin

= + θ⎧⎨ = + θ⎩

(2.7)

G C

G C

y y e sinz z e cos⎧ = + θ θ⎪⎨

= + θ θ⎪⎩ (2.8)

2

G C2

G C

y y e sin e cosz z e cos e sin

⎧ = + θ θ− θ θ⎪⎨

= + θ θ− θ θ⎪⎩ (2.9)

Acum înlocuim în ecuaţiile de mişcare:

2

G C C2

G C C

my cy ky me sin e cosmz cz kz me cos me sin⎧ + + = θ θ+ θ θ⎪⎨

+ + = − θ θ+ θ θ⎪⎩ (2.10)

Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării centrului elastic. Presupunem că rotorul are o mişcare de rotaţie uniformă. ( )tΩ = θ ⇒ constant (2.11)

( ) ( )t t 0ε = θ = Ω ⇒ (2.12)

0tθ = Ω + θ (2.13)

( )( )

2G C C 0

2G C C 0

my cy ky me cos tmz z kz me sin t

⎧ + + = Ω Ω +θ⎪⎨ + + = Ω Ω +θ⎪⎩

(2.14)

Cazul rotorului perfect echilibrat şi amortizat C G e 0≡ ⇒ =

aF 0≠

G C C

G C C

my cy ky 0mz cz kz 0

+ + =⎧⎨ + + =⎩

(2.15)

Planul Oyz se consideră planul complex yRe O= şi zIm O=

C C Cr y iz= + (2.16) G z Gr y iz= + (2.17)

i 1= − , Cr – număr complex. Înmulţind a doua ecuaţie cu i şi o adunăm cu prima, rezultă: C C Cmr cr kr 0+ + = (2.18) Ataşăm ecuaţia caracteristică:

Page 65: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

2m c k 0λ + λ + = (2.19)

2

1,2c c k

2m 2m m− ⎛ ⎞λ = ± −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.20)

Valoarea amortizării pentru care se anulează discriminantul , se numeşte amortizare cinetică.

2

crc k kc 2m 2 k m

2m m m⎛ ⎞ = ⇒ = = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.21)

Notam 2n

km

= ω pulsaţie proprie

Notam cr

cc

= ξ raport de amortizare

nc c km

2m m2 km= = ξ ⋅ω (2.22)

( )2 2 2 21,2 n n n n 1⇒ λ = −ξω ± ξ ω −ω = ω −ξ ± ξ − (2.23)

De obicei raportul de amortizare ξ <1, adică amortizarea este subcritică.

( ) ( )2 21,2 n n ni 1 1λ = ω −ξ ± −ξ = −ω ξ± ω −ξ (2.24)

nξω = σ factor de amortizare (2.25)

2n 1 pω −ξ = , pseudopulsaţie (2.26)

1,2 ipλ = −σ± (2.27) Soluţiile ecuaţiei diferenţiale exprimate în complex vor fi de tip Euler:

( )1 2t t t ipt t ipt

C 1 2 1 2

t ipt ipt1 2

r R e R e R e e R e e

e R e R e

λ λ −σ − −σ

−σ − −

= + = ⋅ + ⋅ =

= + (2.28)

Dacă ar lipsi amortizarea c 0 0 0⇒ = ⇒σ = ⇒ ξ = ⇒ n ni t i t

C 1 2r R e R e− ω ω= + (2.29)

ie cos i sinα = α + α (2.30)

Page 66: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 3.2

În lipsa amortizării centrul elastic se mişcă pe o elipsă. Legea de mişcare este dată de relaţia: ( )t ipt ipt

e 1 2r e R e R e−σ −= + (2.31)

În prezenţa amortizării centrul elastic al arborelui se mişcă pe o spirală, adică prezenţa amortizării are rol de stabilizare a mişcării.

Fig. 3.3

Page 67: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Cazul rotorului perfect echilibrat şi neamortizat

Fig. 3.4

aC G; F 0; e 0≡ = = , c=0 C Cmr kr 0+ = (2.32)

2m k 0λ + = (2.33)

1,2 nki im

λ = ± = ± ω (2.34)

n ni t i tC 1 2r R e R e− ω ω= + (2.35)

Fig. 3.5

Tot o elipsă va ieşi, dar acum vom vedea şi analitic: R1, R2 – constante de integrare C C Cr y iz= + (2.36) Separând părţile Re şi Im din legea de mişcare a punctului C se obţine: ( )C 1 n 2 n 1 2 ny R cos t R cos t R R cos t= ω + ω = + ω (2.37)

Page 68: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

( )C 1 n 2 n 1 2 nz R sin t R sin t R R sin t= − ω + ω = − + ω (2.38)

2C

n1 2

Cn

1 2

y cos tR R

z sin tR R

= ω+

+= ω

− +

(2.39)

2 2

C C

1 2 1 2

y z 1R R R R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

- ecuaţia unei eclipse (2.40)

Avem două situaţii: a) R2>R1

Mişcarea proprie ( )Ω se suprapune peste mişcarea de deformaţie ⇒mişcarea de

precesie ( )nω Mişcarea de precesie se numeşte mişcare directă. Fibra întinsă rămâne în decursul mişcării de precesie tot timpul întinsă, valoarea tensiunii se schimbă datorită faptului că se modifică raza de curbură.

Fig. 3.6

b) R2<R1 Are loc o mişcare de precesie inversă care duce totodată la alternarea fibrei întinse de 2 ori pe interval de timp (adică în ciclu de rotaţie)

Page 69: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 3.7

În cazul mişcări de precesie inverse apare fenomenul de oboseală. Dacă ( )1 2 2 1R R R R+ = ± −

Rezultă cele două semiaxe sunt egale 1 2 2 1R R R R⇒ + = − → cerc Cazul rotorului dezechilibrat şi neamortizat

Fig. 3.8

e 0c 0≠=

( )( )

2C C 0

2C C 0

my ky me cos tmz kz me sin t

⎧ + = Ω Ω +θ⎪⎨ + = Ω Ω +θ⎪⎩

(2.41)

0tθ = Ω + θ (2.42)

Page 70: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Punctului C i se ataşează numărul complex: C C Cr y iz= + (2.43) Iar pentru G avem: G G Gr y iz= + (2.44) Înmulţim cu i cele două ecuaţii din sistem, apoi adunăm cele două ecuaţii şi avem: ( )2

C C 0mr kr me expi t+ = Ω Ω +θ (2.45)

ie expi cos i sin− α = α = α + α (2.46) rc îl alegem de forma momentului drept: ( )C C 0r R expi t= Ω + θ (2.47)

( )2CC 0

krr e expi tm

+ = Ω Ω +θ (2.48)

2n

km

= ω (2.49)

( ) ( ) ( )2 2 2C 0 n C 0 0R expi t R expi t e expi t−Ω Ω +θ +ω Ω + θ = Ω Ω +θ (2.50)

2

2n

C 22 2n

n

eR e

1

⎛ ⎞Ω⎜ ⎟ωΩ ⎝ ⎠= = ⋅

ω −Ω ⎛ ⎞Ω−⎜ ⎟ω⎝ ⎠

, modulul numărului complex ataşat la C (2.51)

( )

2

nC 02

n

r e expi t

1

⎛ ⎞Ω⎜ ⎟ω⎝ ⎠= ⋅ ⋅ Ω + θ⎛ ⎞Ω−⎜ ⎟ω⎝ ⎠

(2.52)

OC - este un vector rotitor CR ,→ θ

OG OC CG= + (2.53) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )G C 0 C 0 0

C 0 G 0

r r e expi t R expi t e expi t

R e expi t R expi t

= + ⋅ Ω + θ = Ω + θ + ⋅ −Ω + θ =

= + Ω + θ = ⋅ Ω + θ (2.54)

Observaţie: Deoarece numerele complexe ataşate lui C respectiv G sunt de aceeaşi formă, aceeaşi fază rezultă că punctele O, C, G sunt coliniare. Punctul C se roteşte pe un cerc de rază RC, iar G pe un cerc de rază RG.

Page 71: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

2

nC 2

n

R e

1

⎛ ⎞Ω⎜ ⎟ω⎝ ⎠= ⋅⎛ ⎞Ω−⎜ ⎟ω⎝ ⎠

(2.55)

22n

G 22 2 2 2n n

n

ee eR e

1

ω ⋅Ω= + = =ω −Ω ω −Ω ⎛ ⎞Ω−⎜ ⎟ω⎝ ⎠

(2.56)

Pentru a urmări poziţia punctelor C şi G, se reprezintă grafic:

C Cn

R R⎛ ⎞Ω

= ⎜ ⎟ω⎝ ⎠ (2.57)

G Gn

R R⎛ ⎞Ω

= ⎜ ⎟ω⎝ ⎠ (2.58)

Fig. 3.9

Astfel avem patru situaţii:

1. nn

1Ω< ⇒ Ω < ω

ω

Page 72: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 3.10

2. nΩ ≅ ω , deformaţiile sunt foarte mari

n2 n k2T 60 mπ= ω ⇔ π = , turaţia critică (2.59)

cr30 kn

m=π

(2.60)

3. nn

1Ω> ⇒ Ω > ω

ω

Fig. 3.11

4. nΩ >> ω În această situaţie are loc aşa numita autoechilibrare a rotorilor.

Fig. 3.12

3.2. Dinamica arborilor cu mai multe rotoare.

Principiul reciprocităţii lucrului mecanic şi deplasărilor (Betti)

Presupunem că asupra unui sistem mecanic acţionează un sistem de forţe S1. Acesta va avea ca efect deplasarea sistemului şi va face un lucru mecanic L11. Peste sistemul de forţe S1 se aplică sistemul S2 care va avea ca efect o deplasare. În această deplasare produsă de S2 , lucru mecanic total va fi: t 11 12 22L L L L= + + (2.61) Presupunem că se schimbă ordinea de aplicare a forţelor, adică prima dată se aplică L22 şi peste S2 se aplică S1 t 22 21 11L L L L= + + (2.62) Deoarece starea finală a sistemului nu este aceeaşi în ambele situaţii L1 rezultă: 11 12 22 22 21 11 12 21L L L L L L L L+ + = + + ⇒ = (2.63)

Page 73: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Enunţ: Dacă asupra unui sistem mecanic acţionează mecanic 2 sisteme de forţe atunci lucrul mecanic produs de primul sistem de forţe cu deplasările celui de-al doilea sistem de forţe este egal cu lucru mecanic produs de al doilea sistem de forţe cu deplasările primului sistem. Studiul deplasărilor cu metoda Mohr – Maxwell Avem o bară supusă la întindere:

Fig. 3.13

Scriem legea lui Hooke:

( ) ( )n xdx dx

EAΔ = ⋅ (2.64)

Conform principiului lui Betti:

12ndxdL NEA

= (2.65)

l

120

NmdxLEA

⇒ = ∫ (2.66)

21L 1= ⋅δ (2.67)

l

0

NndxEA

⇒ δ = ∫ (2.68)

Dacă avem încovoiere:

Page 74: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

dL Rdr Md= + ϕ (2.69)

Fig. 3.14

( )

p

m xd dx

EIϕ = (2.70)

( ) ( )12

p

m xdL M x dx

EI= (2.71)

( ) ( )l

12p0

M x m xL dx

EI= ∫ (2.72)

Page 75: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

21L 1= ⋅δ (2.73)

( ) ( )l

p0

M x m xdx

EI⇒ δ = ∫ (2.74)

Coeficienţi de influenţă

Fig. 3.15

ijδ - reprezintă deplasarea grinzi într-o secţiune i datorată unei forţe unitare care acţionează în secţiunea j.

Page 76: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

( ) ( )i i

p

m x dxd

EIϕ = (2.75)

( ) ( )i

12 jp

m xdL m x dx

EI= (2.76)

( ) ( )l

j i12

p0

m x m xL dx

EI= ∫ (2.77)

21 ijL 1= ⋅δ (2.78)

( ) ( )l

i jij

p0

m x m xdx

EI⇒ δ = ∫ (2.79)

3.3. Turaţiile critice ale unui arbore cu mai mulţi rotori

Turaţiile critice de încovoiere, deducerea ecuaţiilor

Fig. 3.16

Se consideră pe un arbore un număr de n rotoare având masele mi asupra lor

acţionând forţele Fi, iar deformaţiile arborelui se notează cu yi. Viteza unghiulară se consideră Ω . Se vor nota Yi, i 1, n= , forţele de inerţie i i iY m y=

Dacă considerăm că în secţiunea 1 acţionează o forţă unitate 1 11y⇒ = δ În cazul nostru: ( ) ( ) ( )1 11 1 1 12 2 2 1n n ny F Y F Y ...... F Y= δ + + δ + + + δ + (2.80)

( ) ( ) ( )2 21 1 1 22 2 2 21n n ny F Y F Y ...... F Y= δ + + δ + + + δ + (2.81) …………………………………………………….. ( ) ( ) ( )n1 n1 1 1 n 2 2 2 nn n ny F Y F Y ...... F Y= δ + + δ + + + δ + (2.82) Înlocuim forţele de inerţie şi se trec termenii corespunzători în membrul stâng:

Page 77: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

11 1 1 12 2 2 1n n n 1 11 1 12 2 1n nm y m y ...... m y y F F ...... Fδ + δ + + δ + = δ + δ + + δ (2.83)

21 1 1 22 2 2 2n n n 2 21 1 22 2 2n nm y m y ...... m y y F F ...... Fδ + δ + + δ + = δ + δ + + δ (2.84) …………………………………………………………………………..

n1 1 1 n 2 2 2 nn n n n n1 1 n2 2 nn nm y m y ...... m y y F F ...... Fδ + δ + + δ + = δ + δ + + δ (2.85) Ecuaţiile dinamice ale mişcării arborelui cu n rotoare Se notează matricea deplasărilor: { } { }T

1 2 ny y , y ,....y= (2.86)

{ } { }T1 2 ny y , y ,....y= (2.87)

[ ]11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

...

...... ... ... ...

...

δ δ δ⎡ ⎤⎢ ⎥δ δ δ⎢ ⎥δ =⎢ ⎥⎢ ⎥δ δ δ⎣ ⎦

- matricea coeficienţilor de influenţă (flexibilitate) (2.88)

( ) ( )l

i jij ji

0

m x m x dxEI

δ = = δ∫ (2.89)

Matricea de flexibilitate este o matrice simetrică.

[ ]1

2

n

m 0 ... 00 m ... 0

m... ... ... ...0 0 ... m

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

- matricea de inerţie (2.90)

[ ]

1 0 ... 00 0 ... 1

I... ... ... ...0 0 ... 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

- matricea unitate (2.91)

[ ] { }T1 2 nF F ,F ,....F= - matricea forţelor perturbatoare (2.92)

Ecuaţiile dinamice ale mişcării arborelui cu mai multe rotoare se pot scrie matricial: [ ][ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }m y I y Fδ + = δ (2.93) Dacă presupunem că asupra arborilor nu acţionează nici o forţă perturbatoare atunci ecuaţia dinamică a mişcării sub formă matricială este: [ ][ ]{ } [ ]{ } { }m y I y 0δ + = - ecuaţie matricială de ordinul 2 (2.94) Analog cu o ecuaţie simplă se vor căuta soluţii de forma: { } { } ( )0

y a sin pt= + φ - soluţia ecuaţiei omogene (2.95)

{ } { }T1 2 na a ,a ,....a= - amplitudinile din dreptul fiecărui rotor. (2.96)

Page 78: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Punem condiţia să verifice ecuaţiile diferenţiale: [ ][ ]{ } ( ) [ ]{ } ( )2p m a sin pt I a sin pt 0− δ + φ + + φ = (2.97)

Factorul ( )sin pt + φ , se simplifică

[ ][ ] [ ]( ){ } { }2p m I a 0− δ + = - sistem algebric omogen (2.98)

vrem să determinăm { }a , { }a 0≠

[ ][ ] [ ] ( )2 2np m I P p 0− δ + = = - polinom de gradul n în p2 (2.99)

Pentru a admite o soluţie nebanală Ecuaţia caracteristică a ecuaţiei diferenţiale Rezolvând ec. caracteristică 1 2 np , p ,.....p⇒ , pulsaţii proprii Determinarea forţelor perturbatoare

Fig. 3.17

Se consideră un rotor din cele n. Pe direcţia de deformaţie (de încovoiere) acţionează în dreptul fiecărui rotor următoarea forţă perturbatoare: ( ) ( ) { }2

i i 0 i i iF m g cos t m y e F= Ω + θ + Ω + ⇒ (2.100)

[ ]{ } [ ][ ] { } { }( ) [ ][ ]{ } ( )2n 0F m y e g m I cos tδ = Ω δ + + δ Ω + θ (2.101)

Page 79: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

{ }n

11

I

1

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

(2.102)

- se constată că în practică avem două situaţii: 1.Cazul rotoarelor mari (de masă mare) şi turaţii mici

n n260 30

πΩ = π = - cazul agregatelor hidroelectrice şi termoelectrice

- viteza unghiulară este mică, 2Ω şi mai mică ⇒ primul termen poate fi neglijat în raport cu al doilea: [ ][ ]{ } [ ]{ } [ ][ ]{ } ( )nm y I y g m I cos tδ + = δ Ω + φ - ecuaţia diferenţială neomogenă

- ne interesează mişcarea creată de forţele perturbatoare - soluţia se va lua de forma membrului drept

{ } { } ( )y A cos t= Ω + φ (2.103)

{ } { }T1 2 nA A ,A ,...,A= - amplitudinile dinamice din dreptul fiecărui rotor

- punem condiţia să verifice ecuaţia diferenţială:

[ ][ ]{ } ( )2 m A cos t−Ω δ Ω +φ [ ]{ } ( )I A cos t+ Ω + φ [ ][ ]{ } ( )ng m I cos t= δ Ω + φ

[ ][ ] [ ]( ){ } [ ][ ]{ }2nm I A g m I⇒ −Ω δ + = δ - sistem algebric neomogen (2.104)

{ }[ ][ ] [ ]( )[ ][ ] [ ]

[ ][ ]{ }*2

n2

m IA g m I

m I

−Ω δ += δ

−Ω δ + (2.105)

- se constată că la numitor se găseşte de fapt un polinom ( )2nP Ω

- amplitudinile devin foarte mari când ( )2nP 0Ω →

ip⇔Ω =

in p

30π

= → pentru fiecare p găsim o turaţie, aceste turaţii sunt turaţii critice

iicr

30pn =π

atâtea câte rotoare sunt

2. Cazul rotoarelor mici (de masă mică) şi turaţii mari – cazul turboagregatelor - din expresia forţelor perturbatoare se poate neglija ultimul termen în comparaţie cu primul [ ][ ]{ } [ ]{ } [ ][ ] { } { }( )2m y I y m y eδ + = Ω δ + (2.106)

Page 80: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

- forţele perturbatoare sunt puse în evidenţă în regimul tranzitoriu - în regimul stabilizat { } { }y 0= ⇒ deformaţiile se vor determina din: [ ][ ] [ ]( ){ } [ ][ ]{ }2 2m I y m e−Ω δ + = Ω δ (2.107)

{ }[ ][ ] [ ]( )[ ][ ] [ ]

[ ][ ]{ }

[ ][ ] [ ]( )( ) [ ][ ]{ }

*22

2

*22

2n

m Iy m e

m I

m Im e

P

−Ω δ += Ω δ =

−Ω δ +

−Ω δ += Ω δ

Ω

(2.108)

- şi în cazul maselor mici şi turaţilor mari deformaţiile y cresc foarte mult când

( )2n iP 0 pΩ → ⇔ Ω =

⇒ pentru fiecare in p

30π

= găsim o turaţie critică

iicr

30pn =π

turaţiile critice de încovoiere pentru cazul 2

Metoda Stodola pentru determinarea primei turaţii critice de încovoiere

Fig. 3.18

1 2 np p p< < <…

11 1cr

p 30n p n30π

= ⇒ =π

m c pE E E= + (2.109)

- presupunem că nu avem frecări ⇒ mE ct.= cin max pot maxE E= (2.110)

( )i iy f sin pt⇒ = +φ (2.111)

Page 81: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

( )2 2 2p i i i i

1 1E k y k f sin pt2 2

= = + φ∑ ∑ (2.112)

( )i i iv y pf cos pt= = + φ (2.113)

( )2 2 2c i i i i i

1 1E m v p m f cos pt2 2

= = + φ∑ ∑ (2.114)

2pmax i i

1E k f2

= ∑ (2.115)

2 2cmax i i

1E p m f2

= ∑ (2.116)

2i i2 2 2 1

i i i i 1 12i i

k f 30p1 1p m f k f p p n2 2 m f

= ⇒ = ⇒ ⇒ =π

∑∑ ∑ ∑ (2.117)

În poziţia de echilibru static forţele elastice sunt echilibrate de greutăţi: i i im g k f= (2.118)

i i i i2 2

i i i i

m gf m fp g

m f m f= =∑ ∑∑ ∑

(2.119)

Turaţii critice de răsucire a unui arbore cu mai multe rotoare Deducerea ecuaţiilor diferenţiale ale mişcării

Fig. 3.19

Page 82: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 3.20

- avem n rotoare, asupra fiecăruia acţionează momentele perturbatoare de răsucire ( )i iM M t=

pi

i

GIk

l= (2.120)

- separăm un rotor pentru a scrie ecuaţiile: - scriem teorema momentului cinetic: d l

O,C O,CK M M= + (2.121)

d liJ M Mϕ = + (2.122)

dM - momentul forţelor date lM - momentul forţelor de legătură

d si i iJ M M Mϕ = + − (2.123)

( )

( )

di 1 i 1 i

si i i 1

M k

M k+ +

= ϕ −ϕ

= ϕ −ϕ (2.124)

( ) ( )i i i i 1 i 1 i i i i 1J M k k+ + −ϕ = + ϕ −ϕ − ϕ −ϕ (2.125)

( )i i i i 1 i i 1 i i 1 i 1 iJ k k k k M− + + +ϕ − ϕ + + ϕ − ϕ = (2.126)

Page 83: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

( )( )

( )

1 1 1 2 1 2 2 1

2 2 2 1 2 3 2 3 3 2

i i i i 1 i i 1 i i 1 i 1 i

J k k k M

J k k k k M..............................................................J k k k k M......................................................

− + + +

ϕ + + ϕ − ϕ =

ϕ − ϕ + + ϕ − ϕ =

ϕ − ϕ + + ϕ − ϕ =

( )n n n n 1 n n 1 n n

.........J k k k M− +ϕ − ϕ + + ϕ =

(2.127)

1 1

2 2

3 3

i i

n n

1 2 2

2 2 3 3

i i i 1 i 1

J 0 0 ... 0 00 J 0 ... 0 00 0 J ... 0 0

.... ... ... ... ... ...0 0 ... J 0 0... ... ... ... ... ...0 0 0 ... 0 J

k k k 0 ... 0k k k k ... 0... ... ... ... ...0 k k k k 0+ +

ϕ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ϕ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ϕ⎢ ⎥ ⎪ ⎪+⎨ ⎬⎢ ⎥

⎪ ⎪⎢ ⎥ ϕ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ϕ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

+ −− + −

+− + −

1 1

2 2

3

i

i

n n n 1 n n

MM

M... ... ... ... ...0 0 ... k k k M+

ϕ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ϕ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ϕ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ϕ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

+ ϕ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(2.128)

[ ]{ } [ ]{ } ( ){ }J k M tϕ + ϕ = (2.129)

[ ]J - matrice diagonală a momentelor de inerţie mecanice

[ ]k - matrice bandă (simetrică faţă de prima diagonală), matrice de rigiditate

( ){ }M t - matrice coloană a momentelor perturbatoare de răsucire

Determinarea turaţiilor critice de răsucire Presupunem că nu avem momente perturbatoare ( ){ } { }M t 0=

[ ]{ } [ ]{ } { }J k 0ϕ + ϕ = - ecuaţie omogenă (2.130) Soluţia va fi: { } { } ( )a sin ptϕ = +α (2.131)

Page 84: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Unde { }a este matricea amplitudinilor unghiulare.

[ ]{ } ( ) [ ]{ } ( ) { }2p J a sin pt k a sin pt 0⇒ − +α + +α = (2.132)

[ ] [ ]( ){ } { }2p J k a 0− + = , sistem algebric având ca necunoscute amplitudinile

unghiulare Pentru ca acest sistem să aibă soluţiile nenule, trebuie ca: [ ] [ ]2p J k 0− + = (2.133)

Prin dezvoltare rezultă un polinom de gradul n în p2:

( )2n 1 2 nP p 0 p ,p ,...p= ⇒ , rădăcinile ecuaţiei caracteristice având semnificaţia de

pulsaţii proprii.

Fig. 3.21

0tθ = Ω + θ (2.134)

( ) ( )( )i i i i 0M m ge sin t m gesin t= − Ω + θ = π− Ω +θ (2.135)

Momentul perturbator iM este dat de componenta, im gsinθ , a greutăţii

[ ]{ } [ ]{ } ( ){ }iJ k M t⇒ ϕ + ϕ = (2.136)

{ } ( )( ) { } ( )

1 1

2 2i 0 0

n n

m gem ge

M sin t M sin

m ge

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= π− Ω + θ = π−θ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

(2.137)

- ecuaţia este neomogenă; unghiurile de răsucire vor fi de forma membrului drept unde:

Page 85: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

{ }

01

020

0n

ϕ⎧ ⎫⎪ ⎪ϕ⎪ ⎪ϕ = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪ϕ⎩ ⎭

vor fi amplitudinile unghiurile de răsucire datorate prezenţei

excentricităţilor - punem condiţia să verifice ecuaţia diferenţială: [ ]{ } ( ) [ ]{ } ( ) { } ( )2

0 0 0J sin k sin M sin−Ω ϕ π−θ + ϕ π−θ = π−θ (2.138)

[ ] [ ]( ){ } { }20 0J k M−Ω + ϕ = - sistem algebric neomogen (2.139)

{ } [ ] [ ]( ) { }12

0 0J k M−

ϕ = −Ω +

- se inversează matricea [ ] [ ]( )2 J k−Ω +

{ }[ ] [ ]( )[ ] [ ]( ) { }

[ ] [ ]( )( ){ }

( )

** 220

0 02 2n

J k MJ kM

J k P

−Ω +−Ω +ϕ = =

−Ω + Ω (2.140)

Apar amplitudini mari de răsucire când ( )2nP 0Ω →

Dacă pΩ = ⇒ iicr

30pn =π

- turaţiile critice de răsucire

Exemplu: Să se determine turaţiile critice a arborelui din figură.

Fig. 3.22

Page 86: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

[ ] 1

2

J 0J

0 J⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

, [ ] k kk

k k−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

[ ] [ ]2p J k 0− + = , 2

12

2

p J k k0

k p J k− + −

⇒ =− − +

( )4 21 2 1 2p J J p J J k 0− + =

fie 2p t= ⇒ 21 1p 0 p 0= ⇒ =

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 222 2 icr

1 2 1 2 1 2

k J J k J J k J J30p p nJ J J J J J+ + +

= ⇒ = ⇒ =π

Metoda matricelor de transfer pentru determinarea turaţiilor critice de răsucire ale unui arbore cu mai multe rotoare

Fig. 3.23

Fig. 3.24

Page 87: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Se consideră un arbore elastic (deformabil) având un număr de n+1 rotoare. Se separă rotorul cu indicele i şi porţiunea de arbore care urmează după acesta. Rotorul se consideră rigid iar arborele deformabil. Pentru rotor se scrie teorema momentului cinetic:

D S

i i i iD Si i

J M M⎧ ϕ = −⎨

ϕ = ϕ⎩ (2.141)

Arborele nu are inerţie, (adică nu se consideră)

S Di 1 i

DS D ii 1 i

i

0 M MMk

+

+

⎧ = −⎪⎨ϕ −ϕ =⎪⎩

(2.142)

Se presupune o răsucire armonică i i0 sin ptϕ = ϕ

2i i0p sin pt⇒ ϕ = −ϕ (2.143)

D S 2i i i i0M M p J sin pt= − ϕ (2.144)

D S 2 Si i i i

D Si i

M M p J⎧ = − ϕ⎨

ϕ = ϕ⎩ (2.145)

[ ]D 2 S S

iRD S Si

i i i

M 1 p J M MT

0 1⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫−

= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ϕ ϕ ϕ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ (2.146)

[ ]R iT - matricea de transfer pentru rotor

S Di 1 i

DS D ii 1 i

i

M MMk

+

+

⎧ =⎪⎨ϕ = ϕ +⎪⎩

(2.147)

[ ]S D Di 1

kS D Dii 1 i ii 1

i

1 0M M M

T1 1k

+

+ +

⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ϕ ϕ ϕ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.148)

[ ]k iT - matrice de transfer pentru arbore

[ ] [ ] [ ]S S S

k RS S Si i ii 1 i

M M MT T T

+

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

ϕ ϕ ϕ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭,pentru ansamblul rotor + arborele care

urmează: Se poate obţine o relaţie de recurenţă:

[ ]S S

S Si 1i i 1

M MT

−−

⎧ ⎫ ⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬

ϕ ϕ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ (2.149)

Page 88: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

[ ] [ ] [ ] [ ]S S

S Si i 1 i 2 1i 1 1

M MT T T ... T

− −+

⎧ ⎫ ⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬

ϕ ϕ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ (2.150)

[ ] [ ] [ ] [ ]S S

S Sn n 1 n 2 1n 1 1

M MT T T ... T

− −+

⎧ ⎫ ⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬

ϕ ϕ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ (2.151)

Toate sunt în stânga, dar arborele are un capăt în stânga şi un capăt în dreapta, trebuie să scriem o relaţie care să lege partea stângă de partea dreaptă.

[ ]D S

RD Snn 1 n 1

M MT

+ +

⎧ ⎫ ⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬

ϕ ϕ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ - relaţia pentru ultimul rotor (2.152)

Introducem relaţia (2.151) în relaţia (2.152) şi ne rezultă:

[ ] [ ] [ ] [ ]D S

D Sn 1 n n 1 1n 1 1

M MT T T ... T

+ −+

⎧ ⎫ ⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬

ϕ ϕ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ (2.153)

[ ]D S S

11 12D S S

21 22n 1 1

T TM M MT

T T+

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ϕ ϕ ϕ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(2.154)

Relaţia (2.154) dă o legătură între momentele de răsucire şi unghiurile de răsucire relative la cele două capete ale arborelui. În funcţie de condiţiile de frontieră se obţin ecuaţii caracteristice din care se determină pulsaţiile proprii de răsucire, pr, r=1,2,….n+1 Dacă spω = , deformaţiile sunt foarte mari, rezultă turaţiile critice:

SS crs

30pn p n30π

= ⇒ =π

(2.155)

Se pot întâlni următoarele condiţii de frontieră: a) ambele capete ale arborelui sunt rezemate (articulate):

S1

S1

M 0

0

=

ϕ ≠ (2.156)

Dn 1

Dn 1

M 0

0+

+

=

ϕ ≠ (2.157)

Deci (T) se poate scrie: D S Sn 1 11 1 12 1M T M T+ = + ϕ

S11 12 1 120 T 0 T T 0= ⋅ + ϕ ⇒ = , ecuaţie caracteristică (2.158)

b) în stânga este încastrat şi în dreapta articulat

S1Dn 1

0

0+

ϕ =

ϕ ≠ (2.159)

S1

n 1

M 0M 0+

=≠

(2.160)

Page 89: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

D S Sn 1 11 1 12 1M T M T+ = + ϕ (2.161)

S11 1 120 T M T 0= + ⋅ 11T 0⇒ = , ecuaţie caracteristică (2.162)

c) încastrat la ambele capete:

S1

S1

0

M 0

ϕ =

≠ (2.163)

Dn 1

Dn 1

0

M 0+

+

ϕ =

≠ (2.164)

Din ecuaţia (5) se obţine: D S S

n 1 21 1 22 1T M T+ϕ = + ϕ (2.165)

S21 1 22 210 T M T 0 T 0= + ⋅ ⇒ = , ecuaţie caracteristică (2.166)

Aplicaţie: Să se determine turaţiile critice de răsucire.

Fig. 3.25

D 2 2 S2 1

D S2 1

1

1 0M 1 p J 1 p J M

1 10 1 0 1k

⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫− −⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ϕ ϕ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎢ ⎥⎣ ⎦

Nu trebuie să facem tot calculul pentru că putem scrie ecuaţia caracteristică deci trebuie să calculăm T12 care va fi egal cu 0.

Page 90: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

222

2 S S211 121

S S21 22 1

p J1 p J T T1 p J M MkT T1 0 11

k

⎡ ⎤− −⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤−

= =⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ϕ ϕ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎢ ⎥⎣ ⎦

22 22

12 1 2p JT 1 p J p J 0

k⎛ ⎞

= − − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )

21

1 2 1 222 2

1 2 1 2

p 0

J J k J J kp p

J J J J

=

+ += ⇒ =

3.4. Turaţii critice ale rotoarelor ţinând cont de mărimile inerţiale ale arborilor

Se vor studia câteva cazuri pentru care arborele se consideră în continuare elastic cu rigiditatea distribuită, dar în plus se vor lua în considerare şi mărimile inerţiale ale acestuia (masa, momentul de inerţie mecanic).

Turaţii critice de răsucire

Se consideră un arbore care se poate roti.

Fig. 3.26

Ecuaţia diferenţială cu derivate parţiale pentru mişcarea de răsucire a unui arbore este de forma:

2 2

O 2 2J GIt x

∂ θ ∂ θ=

∂ ∂ (2.167)

( )x, tθ - unghiul de răsucire din secţiunea curentă

OJ - momentul de inerţie mecanic pe unitatea de lungime

Page 91: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

G – modulul de elasticitate transversal I – momentul de inerţie în raport cu axa de rotaţie (momentul de inerţie polar) Pentru rezolvarea acestei ecuaţii diferenţiale se foloseşte metoda separării variabilelor, alegându-se o soluţie de forma: ( ) ( ) ( )x, t x T tθ = Θ (2.168) Punem condiţia ca soluţia să verifice ecuaţia şi obţinem:

OO

GI TJ T GI TJ T

ΘΘ = Θ ⇒ =

Θ (2.169)

2 2 2

O

GI Tc c pJ T

Θ= ⇒ = = −

Θ (2.170)

T Asin pt Bcos pt

p pCsin x Dcos xc c

= +⎧⎪⇒ ⎨Θ = +⎪⎩

(2.171)

( ) ( )p px, t Csin x Dcos x cos ptc c

⎛ ⎞⇒ θ = + −ϕ⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.172)

Fiecare secţiune o să aibă o mişcare armonică în timp. Constantele C şi D se determină din condiţiile de frontieră.

( )M x, t GIx∂θ

=∂

(2.173)

- capăt încastrat: ( )x 0,l

x, t 0=

θ =

- capăt rezemat, articulat, liber:

( )x 0,l

x 0,l

M x, t 0 0x=

=

∂θ= ⇒ =

∂ (2.174)

Fig. 3.27

Pentru volant se scrie teorema momentului cinetic.

2 2

2 2x L x L

J M GI Jt x t= =

∂ θ ∂θ ∂ θ= − ⇒ = −

∂ ∂ ∂ (2.175)

Obs. Dacă se pun condiţiile de capete pentru ( )x, tθ , funcţia ( )xΘ trebuie să verifice condiţiile la limită.

Page 92: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Funcţiile ( )xΘ care verifică ecuaţia diferenţială cu derivate parţiale şi condiţiile de capete se numesc funcţii proprii. Aceste funcţii proprii se determină pentru fiecare caz în parte. Aceste funcţii proprii se normează. Impunerea funcţiei ( )xΘ să verifice condiţiile de capete duce la o ecuaţie din care se determină p, numită ecuaţie caracteristică (ecuaţie transcendentă) Aplicaţie Să se determine turaţiile critice ale unui rotor în consolă.

Fig. 3.28

( ) p px Csin x Dcos xc c

Θ = +

Constantele de integrare se determină din condiţiile de capete. x 0=

x 0 x 0

p p p pGI 0 C cos x D sin x 0x c c c c= =

∂θ ⎛ ⎞⇒ = ⇒ − =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

pC 0 C 0c

⇒ = ⇒ =

( ) px Dcos xc

Θ =

x L=

Fig. 3.29

Page 93: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

( ) 2

22x L x L

2

M x, t GIx GI J

x tJ M

t= =

∂θ⎫= ⎪ ∂θ ∂ θ∂ ⎪ ⇒ =⎬ ∂ ∂∂ θ ⎪=⎪∂ ⎭

( ) ( ) ( )x, t x cos ptθ = Θ −ϕ

GI D−p

( )psin L cos ptc c

−ϕ 2Jp= − D ( )pcos L cos ptc

−ϕ

2p J p ctg L Lc GI c L

=

2J c nGI L

=

p L y tg y nyc

= ⇒ =

Fig. 3.30

1p 0=

crss s ss s

np y yy L p c cc L 30 L

π= ⇒ = ⇒ =

crs30 cn L s 1,2,...L

= =π

Page 94: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Calculul energiei cinetice şi potenţiale de deformaţie a unui arbore supus la răsucire

Fig. 3.31

Dacă se consideră o porţiune din arbore de lungime dx vom avea:

rot

2

cE J2ω

= (2.176)

rotcE - energie cinetică de rotaţie

a

2

c O1dE J dx2 t

∂θ⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (2.177)

acE - energia cinetică a arborelui

a

2L

c O0

1E J dx2 t

∂θ⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ (2.178)

M GIx∂θ

=∂

(2.179)

2

pGIdE dx2 x

∂θ⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (2.180)

pE - energia potenţială de deformaţie

2

L

p 0

1E GI dx2 x

∂θ⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ (2.181)

Turaţii critice de încovoiere

Fig. 3.32

Page 95: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Ecuaţia diferenţială în cazul încovoierii unui arbore este:

2 2 2

2 2 2

w wEI A 0x x t

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ρ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(2.182)

Dacă arborele este de secţiune constantă şi omogenă obţinem:

4 2

4 2

w wEI A 0x t

∂ ∂+ρ =

∂ ∂ (2.183)

E – modulul de elasticitate longitudinal I – moment de inerţie polar ρ – masa unităţii de lungime A – aria secţiunii transversale Vom căuta o soluţie de forma: ( ) ( )w W x T t= (2.184)

(IV)EIW T AWT 0+ρ = (2.185)

(IV)

2EI W T pA W T

⇒ = − =ρ

(2.186)

2

(IV) 2

T p T 0AW p W 0

EI

⎧ + =⎪⇒ ⎨ ρ

− =⎪⎩

(2.187)

2 4ApEIρ

= λ (2.188)

(IV) 4

T Asin pt Bcos ptW W 0= +⎧

⇒ ⎨−λ =⎩

(2.189)

( )( )4 4 2 2 2 2r 0 r r 0⇒ −λ = ⇒ −λ +λ = (2.190)

1,2

3,4

rr i

= ±λ⎧⎪⇒ ⎨ = ± λ⎪⎩ (2.191)

x x i x i x1 2 3 4W C e C e C e C eλ −λ λ − λ⇒ = + + + (2.192)

x x

x x

e esh x2

e ech x2

⎧ −=⎪⎪

⎨+⎪ =⎪⎩

(2.193)

Page 96: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

ix ix

ix ix

e esin x2

e ecos x2

⎧ −=⎪⎪

⎨+⎪ =⎪⎩

(2.194)

( )W x Csh x Dch x Esin x Fcos x⇒ = λ + λ + λ + λ (2.195) La fiecare capăt se pun două condiţii:

2

2

wM EIx

∂=

∂ (2.196)

3

3

wT EIx

∂=

∂ (2.197)

wx

∂θ =

∂ (2.198)

Condiţiile de frontieră date de deplasare şi unghi se numesc condiţii geometrice. Condiţiile de frontieră date de momentul de încovoiere şi forţa tăietoare se numesc condiţii naturale.

- capăt încastrat:

Fig. 3.33

( )x 0,L

x 0,L

w x, t 0

w 0x

=

=

⎧ =⎪⎨∂

=⎪ ∂⎩

(2.199)

- capăt articulat, rezemat:

Fig. 3.34

( )

( )

x 0,L

2

2x 0,L

w x, t 0

wM x, t EI 0x

=

=

⎧ =⎪⎪⎨ ∂

= =⎪ ∂⎪⎩

(2.200)

- capăt liber:

Page 97: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 3.35

( )

( )

3

3x 0,L

2

2x 0,L

wT x, t EI 0x

wM x, t EI 0x

=

=

⎧ ∂= =⎪ ∂⎪

⎨∂⎪ = =⎪ ∂⎩

(2.201)

- capăt cu volant:

Fig. 3.36

( )

( )

3

3

2

2

2

z 2

wT x, t EI 0xwM x, t EI 0

xmw T

wJ Mt x

⎧ ∂= =⎪ ∂⎪

⎪ ∂= =⎪

∂⎨⎪ = −⎪

∂ ∂⎛ ⎞⎪ = −⎜ ⎟⎪ ∂ ∂⎝ ⎠⎩

(2.202)

3 2

3 2x 0,L x 0,L

2 2

z2 2x 0,Lx 0,L

w wEI mx t

w wEI Jx t x

= =

==

⎧ ∂ ∂= −⎪ ∂ ∂⎪⇒ ⎨

∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎪ = − ⎜ ⎟⎪ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎩

(2.203)

Funcţiile ( )W x care verifică condiţiile de capete şi ecuaţia diferenţială cu derivate parţiale se numesc funcţii proprii. Se pot găsi funcţii ( )W x care să verifice numai condiţiile geometrice de frontieră. Aceste funcţii se numesc funcţii acceptabile. Funcţiile proprii se determină din condiţiile de frontieră.

Page 98: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

( )W x Csh x Dch x Esin x Fcos x= λ + λ + λ + λ (2.204) - ambele capete sunt articulate:

Fig. 3.37

( )( ) 2 2

W 0 0 0 C D 0 E F 00 C D 0 E F 0W 0 0

⎧ = ⋅ + + ⋅ + =⎧⎪ ⇒⎨ ⎨′′ ⋅ + λ + ⋅ − λ ==⎪ ⎩⎩

(2.205)

( )( ) 2 2 2 2

W L 0 Csh L Dch L Esin L Fcos L 0Csh L Dch L Esin L Fcos L 0W L 0

⎧ = λ + λ + λ + λ =⎧⎪ ⇒⎨ ⎨′′ λ λ + λ λ −λ λ −λ λ ==⎪ ⎩⎩

(2.206)

2 2

2 2 2 2

0 1 0 1 C 00 0 D 0

sh L ch L sin L cos L E 0sh L ch L sin L cos L F 0

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ −λ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⇒ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥λ λ λ λ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ λ λ λ −λ λ −λ λ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(2.207)

Determinantul sistemului trebuie să fie nul.

2 2

2 2 2 2

0 1 0 10 0

0sh L ch L sin L cos L

sh L ch L sin L cos L

λ −λ=

λ λ λ λλ λ λ λ −λ λ −λ λ

( )22 sh sin L 0 sin L 0⇒ λ λ λ = ⇒ λ = 2 2

2 4 4 4s s s 2

A s EIL s p L s p s 0,1,2,...EI L Aρ π

⇒ λ = π ⇒ = π ⇒ = =ρ

cr

ss

30pn =π

Turaţii critice ale arborilor cu mai multe deschideri

Fig. 3.38

Page 99: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 3.39

2

n 2x 0

nx 0

w 0x

w 0x

=

=

⎧ ∂γ = =⎪ ∂⎪⎨

∂⎪ β = =⎪ ∂⎩

(2.208)

2

n 1 2x L

n 1x L

w 0x

w 0x

+

=

+=

⎧ ∂γ = =⎪ ∂⎪⎨

∂⎪ β = =⎪ ∂⎩

(2.209)

( )W x Csh x Dch x Esin x Fcos x= λ + λ + λ + λ (2.210)

( )x 0 W 0 0 D F 0 F D= ⇒ = ⇒ + = ⇒ = − (2.211)

( )n n n n n nx l W l 0 Csh l Dch l Esin l Ccos l 0= ⇒ = ⇒ λ + λ + λ − λ = (2.212)

nn n

x 0

Cw C E Ex =

β − λ∂β = ⇒β = λ + λ⇒ =

∂ λ (2.213)

22

2 2 nn n2 2

x 0

Cw D C Dx

=

γ − λ∂γ = ⇒ γ = λ + λ ⇒ =

∂ λ (2.214)

2n n

n n n n2

C CCsh l ch l sin l Ccos l 0γ − λ β − λ⇒ λ + λ + λ − λ =

λ λ (2.215)

( ) ( )n n n nC C , D D ,⇒ = β γ ⇒ = β γ (2.216)

( ) ( ) ( )( ) ( )

n n n n

n n n n

W x C , sh x D , ch x

E , sin x C , cos x

= β γ λ + β γ λ +

+ β γ λ − β γ λ (2.217)

( )n 1 n 1 n 1 n nx L

w ,x+ + +

=

∂β = ⇒β = β β γ

∂ (2.218)

( )2

n 1 n 1 n 1 n n2x L

w ,x+ + +

=

∂γ = ⇒ γ = γ β γ

∂ (2.219)

Page 100: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

S-au obţinut două ecuaţii de recurenţă cu care se poate determina unghiul şi curbura în ultimul reazem pornind de la primul. Pentru volantul din consolă se pun condiţiile de capăt şi se obţine o ecuaţie transcendentă care va da pulsaţiile proprii respectiv turaţiile critice

3.5. Metode aproximative pentru determinarea turaţiilor critice

Metodele aproximative pentru determinarea turaţiilor critice se bazează pe

alegerea funcţiilor W(x) ca fiind funcţii acceptabile, adică funcţii care verifică numai condiţiile geometrice de frontieră.

1) Metoda Rayleigh

Metoda Rayleigh se bazează pe teorema de conservare a energiei mecanice: c pE E const.+ = (2.220)

Calculul energiei cinetice şi potenţiale în cazul încovoierii arborelui

Fig. 3.40

2

c1 wdE A dx2 t

∂⎛ ⎞= ρ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (2.221)

2

L

c 0

1 wE A dx2 t

∂⎛ ⎞= ρ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ (2.222)

2

2

wM EIx

∂=

∂ (2.223)

2 22 2L

p p2 20

1 w 1 wdE EI dx E EI dx2 x 2 x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂= ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ (2.224)

( ) ( )w W x cos pt= −ϕ (2.225) W(x) – funcţie acceptabilă ( ) ( )i iv pW x sin pt= − −ϕ (2.226)

Page 101: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 3.41

( ) ( )

( ) ( )

2 2nL L2 2 2i ic 0 0

i 1

n2 2 2

i ii 1

m v1 w 1E A dx p Aw x sin pt dx2 t 2 2

1 m p w x sin pt2

=

=

∂⎛ ⎞= ρ + = ρ −ϕ +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

+ −ϕ

∑∫ ∫

∑ (2.227)

( ) ( ) ( )nL2 2 2 2

c i i0i 1

1E p sin pt AW x dx m W x2 =

⎡ ⎤⇒ = −ϕ ρ +⎢ ⎥

⎣ ⎦∑∫ (2.228)

( )( ) ( )

( ) ( )( )

22L L 2 2p 20 0

L 22

0

1 W 1E EI dx EI W x cos pt dx2 x 2

1 cos pt EI W x dx2

⎛ ⎞∂ ′′= = −ϕ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

′′= −ϕ

∫ ∫

∫ (2.229)

Teorema de conservare a energiei mecanice în cazul încovoierii unui arbore cu mai mulţi volanţi se poate scrie sub forma:

max maxc pE E= (2.230)

( ) ( ) ( )( )nL L 22 2 2

i i0 0i 1

1 1p AW x dx m W x EI W x dx2 2=

⎡ ⎤ ′′⇒ ρ + =⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∫ ∫ (2.231)

( )( )

( ) ( )

L 2

2 0nL 2 2

i i0i 1

EI W x dxp

AW x dx m W x=

′′⇒ =

ρ +

∫∑∫

(2.232)

Pentru determinarea primei turaţii critice este suficient alegerea unei singure funcţii acceptabile W(x). Determinarea acestui raport depinde de funcţia acceptabilă aleasă.

Page 102: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Aplicaţie. Să se determine turaţia critică de încovoiere a rotorului din figură.

Fig. 3.42

( )( )

x 0

x L

W x 0

W x 0=

=

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

Alegem funcţia W(x) de forma:

( ) xW x sinL

= π

Dacă arborele nu este de secţiune constantă atunci integrala se desparte pe porţiuni. 4

L 2

022

L 2

0

EI sin x dxL Lp

LAsin x dx m sinL L 4

π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= ⇒π π⎛ ⎞ρ + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

4 4

32 2

1 1EI L EIL 2 2 Lp p1 1 1 1A L m AL m2 2 2 2

π⎛ ⎞ π⎜ ⎟⎝ ⎠⇒ = ⇒ =

ρ + ρ +

( ) ( )

4

4 232 23

EI EI EILp p pAL m L AL m L AL m L

ππ π

⇒ = ⇒ = ⇒ =ρ + ρ + ρ +

( )cr30 30 EIn p

L AL m L⇒ = = π

π ρ +

2) Metoda Rayleigh – Ritz S-a constatat că raportul lui Rayleigh depinde de funcţia acceptabilă W aleasă. Pentru determinarea primei turaţii critice s-a ales W ca fiind o singură funcţie acceptabilă.

Page 103: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Dacă se doreşte determinarea mai multor turaţii critice atunci funcţia W(x) se alege ca o combinaţie liniară de funcţii acceptabile de forma: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 n nW x x x ... x= α Φ +α Φ + +α Φ (2.233)

unde ( ) ( )1 nx ,..., xΦ Φ - funcţii acceptabile

( )( )

( ) ( )

2L

2 0nL 2 2

i i0i 1

EI W x dxp R

AW x dx m W x=

′′= =

ρ +

∫∑∫

(2.234)

va devenii o funcţie de forma: ( )1 2 nR R , ,...,= α α α (2.235)

( )

( ) ( ) ( )( )

L 21 1 n n0

2nL 21 1 n n i 1 1 i n n i0

i 1

EI ... dxR

A ... dx m x ... x=

′′ ′′α Φ + +α Φ=

ρ α Φ + +α Φ + α Φ + +α Φ

∑∫ (2.236)

Raportul Rayleigh este staţionar în apropierea unei pulsaţii proprii. ( )1 2 nR , ,..., constantα α α = (2.237) Condiţia de staţionaritate conduce la:

1 2 n

R R R... 0∂ ∂ ∂= = = =

∂α ∂α ∂α (2.238)

Se obţine un sistem algebric liniar şi omogen în 1 2, n, ...,α α α . Ca să admită soluţia nebanală determinantul sistemului trebuie să fie nul. Acest determinant reprezintă o ecuaţie din care se determină pulsaţiile proprii ps şi apoi

turaţiile critice crs s

30n p=π

.

3.6. Echilibrarea rotoarelor

Metode de echilibrare considerând arborele rigid

Fig. 3.43

Page 104: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 3.44

M – masa rotorului ( )Me - dezechilibru iniţial

( ) ( )cm e Me⋅ = (2.239)

( )cm e⋅ − dezechilibru corector

În realitate nu se cunoaşte nici poziţia excentricului şi nici valoarea. Practic nu se vor

face echilibrări cu mase mari me 1M 100

⇒ <<

Metoda amplitudinii minime ( )Me - dezechilibru iniţial

( ) 0Me R⇒ , forţa centrifugă

( ) 2Me Ω - vector rotitor

Undeva pe rotor se plasează un dezechilibru de probă ( ) ( ) 211 1

me F me⇒ = Ω Rezultă forţa R care se transmite în lagăre. ( )2 2 2

0 1 1 0 1 0R R F 2FR cos= + + θ −θ (2.240)

( )2 20 1 1 0 1 0R R F 2FR cos= + + θ −θ (2.241)

Page 105: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 3.45

Pe lagăr se pune un traductor TR. Lagărele nu sunt perfect rigide şi prin urmare sub acţiunea forţelor care se transmit în lagăre acestea vor avea o deplasare variabilă în timp pentru că şi forţa este variabilă.

Fig. 3.46

Notăm cu A0 amplitudinea deplasării sub efectul dezechilibrului iniţial.

În prezenţa dezechilibrului de probă forţa R2

din lagăre va produce o deplasare funcţie

de timp ( )a t . Forţa este de forma F k a= ⋅ , în general. În cazul nostru forţa este R ⇒ variază după cosinus.

Page 106: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 3.47

Variaţia amplitudinii deplasării măsurate în funcţie de poziţia dezechilibrului de probă arată ca în graficul de mai sus.

Astfel se pot distinge trei situaţii: 1. dacă mina 0= ⇒ tocmai în acea poziţie se satisface poziţia de echilibrare

( ) ( )( ) ( )

1 c

c

me me

Me me

⎫= ⎪⇒⎬= ⎪⎭

condiţia de echilibrare este îndeplinită (2.242)

( ) ( )c 1me me= (2.243)

2. dacă max 0a 2a>

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1

c 1c

me Meme me

Me me⎫> ⎪⇒ <⎬= ⎪⎭

(2.244)

Dezechilibrul de corecţie se va pune acolo unde obţinem amplitudinea minimă.

( ) 2

0

Me2 ak

Ω

= (2.245)

Forţa care ne dă mina va fi:

( ) ( )( ) 21

min

me Me2 ak

− Ω

= (2.246)

Se face raportul acestor 2; se ţine cont de condiţia echilibrării ( ) ( )cMe me= ⇒

Page 107: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

( ) ( )

( ) ( )

1 min

0

c

me Me aMe a

Me me

⎧ −=⎪

⎨⎪ =⎩

(2.247)

( ) ( )

( )1 c min

0c

me me ame a−

⇒ = (2.248)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )min 11 c c c

min0

0

meame me me me aa 1a

⇒ − = ⋅ ⇒ =+

(2.249)

3. dacă max 0a 2a<

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1

c 1c

me Meme me

Me me⎫< ⎪ ⇒ >⎬= ⎪⎭

(2.250)

( ) 2

0

Me2 ak

Ω

= (2.251)

( ) ( ) 221

min

meMe2 2 a

k

ΩΩ−

= (2.252)

( ) ( )cMe me= (2.253)

Se împarte ecuaţia (2.252) la ecuaţia (2.251)

( ) ( )( )( ) ( )

1 min

0

c

Me me aMe a

Me me

⎧ −=⎪

⎨⎪ =⎩

(2.254)

( ) ( )

( )c 1 min

0c

me me ame a−

⇒ = (2.255)

( ) ( ) ( )minc 1 c

0

ame me mea

− = ⋅ (2.256)

( ) ( )minc 1

0

ame 1 mea

⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.257)

( ) ( )1c

min

0

meme a1

a

=−

(2.258)

Page 108: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Practic echilibrarea comportă următoarele etape: - cu un aparat care măsoară deplasarea lagărului se determină amplitudinea

deplasării 0a , creată de dezechilibrul iniţial; - într-un plan al rotorului se stabilesc un număr n de poziţii în care se va

plasa dezechilibrul de probă ( )1me ; - se determină amplitudinea deplasării în funcţie de poziţia dezechilibrului

de probă ( în funcţie de θ ) şi se reprezintă grafic; - se stabileşte în care dintre cele 3 poziţii ne situăm; - în funcţie de poziţia în care ne situăm, pe baza formulelor (2.249) sau

(2.258) se determină valoarea dezechilibrului de corecţie care se plasează pe direcţia pe care am obţinut amplitudinea minimă.

Metoda amplitudinii minime din două încercări Şi în acest caz este un aparat cu care să se poată măsura amplitudinea deplasării lagărului. Prima operaţie cerută în determinarea amplitudinii dată de dezechilibrul iniţial

0a→ . Undeva pe rotor se plasează dezechilibrul de probă: ( ) ( )1Me me a+ ⇒ (2.259)

( ) 11me a→ , amplitudinea pe care ar crea-o dezechilibrul de probă

Din punct de vedere vectorial există relaţia: 0 1a a a= + (2.260)

La 180 faţă de poziţia iniţială a dezechilibrului de probă se plasează un dezechilibru egal cu acesta.

( )

( ) ( )( )

0

1

11

Me aMe me b

me a

→+ →

→ (2.261)

Vectorial vom avea: 0 1b a a= − (2.262) Cele două ecuaţii (2.260) şi (2.262) se pot reprezenta grafic sub forma unor triunghiuri.

Page 109: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 3.48

- cu centrul în O se trasează un cerc de rază a, iar cu centrul în B se trasează un cerc de rază b;

- se intersectează într-un punct C şi se constată că în triunghiul OAC se verifică relaţia (1) iar în triunghiul ABC se verifică relaţia (2);

- se poate determina unghiul φ care va da direcţia pe care se găseşte dezechilibrul iniţial faţă de cele de probă.

( ) 2

0

Me2 ak

Ω

= (2.263)

( ) 2

11

mea

= (2.264)

( ) ( )cMe me= (2.265)

( )( )

( ) ( )

0

11

c

Me ame a

Me me

⎧=⎪

⎨⎪ =⎩

(2.266)

( )( )

c 0

11

me ame a

⇒ = (2.267)

( ) ( )0c 1

1

ame mea

⇒ = ⋅ (2.268)

Metoda are neajunsul că după ce s-a stabilit unghiul φ , va mai trebui făcută o probă pentru că sunt 2 posibilităţii.

Page 110: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 3.49

Se mai poate întâmpla ca cele două triunghiuri să fie degenerate în drepte. Acest lucru este posibil datorită alegerii poziţiei dezechilibrului de probă rezultă că trebuie schimbată poziţia dezechilibrului de probă.

Metoda de echilibrare prin măsurarea amplitudinilor şi fazelor.

În această metodă în comparaţie cu celelalte două metode sunt necesare două

aparate de măsură: cu unul se determină amplitudinea deplasării iar cu altul, numit fazmetru, se determină faza. În condiţiile dezechilibrului iniţial (Me) acesta va produce o deplasare a cărui amplitudine va fi a0 şi o fază 0Ψ . Dacă în planul de echilibrare se adaugă un

dezechilibru de probă, ( ) ( )e e 1M m+ , atunci acesta împreună cu cel iniţial va produce

o amplitudine a şi un defazaj Ψ . Se va nota cu 1a - amplitudinea pe care ar produce-o

singur dezechilibrul de probă ( )e 1m .

Pe baza celor două măsurători se poate construi triunghiul 0 1a a a= + .

Page 111: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 3.50

Din acest triunghi se poate determina poziţia la care se găseşte dezechilibrul iniţial faţă de dezechilibrul de probă. Scriem teorema sinusului:

( ) ( )

01

0 0

aaasin sin sin

= =φ Ψ −Ψ ⎡ ⎤π− φ+Ψ −Ψ⎣ ⎦

(2.269)

( )01

aarcsin sina⎡ ⎤

φ = Ψ −Ψ⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.270)

Tot din triunghi se poate scrie teorema cosinusului: ( )2 2 2

1 0 0 0a a a 2aa cos= + − Ψ −Ψ (2.271)

1a ,⇒ sau ( )2

0 010

a aa 1 2 cosa a a

⎛ ⎞= + − Ψ −Ψ⎜ ⎟⎝ ⎠

Pentru determinarea dezechilibrului corector se scriu relaţiile dintre forţe şi deplasării.

( ) 2e

0

M2 ak

Ω

= (2.272)

( ) 2em2 ak

Ω

= (2.273)

( ) ( )e eM m= (2.274)

Page 112: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

( )( )( ) ( )

e 0

e 11

e e c

M am a

M m

⎧=⎪

⇒ ⎨⎪ =⎩

(2.275)

( )( )

e c 0

e 11

m am a

⇒ = (2.276)

( ) ( ) 0e ec 1

1

am ma

⇒ = (2.277)

( )2 2 2 21 0 0 0a a a 2aa cos a= + − Ψ −Ψ ÷ (2.278)

( )2

10

0 0 0

a a 2a1 cosa a a

⎛ ⎞= + − Ψ −Ψ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.279)

( ) ( )( )

e ec 1 2

00 0

1m ma a1 2 cosa a

= ⋅⎛ ⎞

+ − Ψ −Ψ⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.280)

Comparând metodele prezentate se constată că cea mai practică datorită numărului mic de încercări necesare, este metoda amplitudinilor din minim două încercări. În cazul metodei de echilibrare prin măsurarea amplitudinilor şi fazelor sunt necesare cel puţin trei încercări. Iar metoda amplitudinilor minime necesită cel mai mare număr de încercări (măsurători). Metode de echilibrare a rotoarelor având arborele rigid prin acţiunea în două plane

În metodele precedente s-a presupus că rotorul se găseşte la mijlocul distanţei dintre lagăre. Prin urmare forţele transmise în lagăre erau egale şi prin acţiunea de echilibrare efectuată într-un singur plan se realizează condiţia impusă unei echilibrări dinamice.

Dacă planul de corecţie nu este la mijlocul distanţei dintre lagăre se poate anula forţa dintr-un lagăr, în schimb în cel de-al doilea lagăr aceasta nu va fi nulă. Satisfacerea acestei dorinţe se poate realiza prin alegerea a două plane de corecţie.

Page 113: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 3.51

Dezechilibrul iniţial (Me) va produce o forţă 1OR în lagărul O1 şi

2OR în lagărul O2. Se plasează într-un plan de corecţie P1 dezechilibrul de probă (m1e1), pe care-l putem numi într-o primă aproximaţie dezechilibrul de corecţie, astfel încât să anuleze deplasarea din lagărul O1 producând forţa 1O

1F . Fiind plasat dezechilibrul corector (m2e2) în planul P2 astfel încât forţa creată de acesta să anuleze deplasarea din lagărul O2 produsă de forţa 2

2 2

OO O 1R R F′ = + .

Prin această corecţie s-a anulat vibraţia din lagărul O2, dar datorită dezechilibrului (m2e2) vibraţia din lagărul O1 nu va fi nulă. Prin urmare va fi nevoie de o nouă corecţie astfel încât să fie anulată forţa creată de dezechilibrul (m2e2) în lagărul O1. Această corecţie trebuie făcută astfel încât să nu afecteze starea în care se află lagărul O2. Pentru aceasta într-un plan axial determinat de forţa 2F şi axa de rotaţie trebuie plasate

două forţe 1cF şi 2cF astfel încât rezultanta lor să fie egală şi de sens contrar cu 1O2F

2

1 1 12

2 2 2

F (m e )F (m e )⎧ = Ω⎨

= Ω⎩ (2.281)

1 1

1 1 1

O O2 2c 1c 1c 2c 2

O O O2 2c 2 1c 1 2 2c 2 2c 1 2 1

F F F 0 F F FF l F l F l 0 F l F l F l F l 0⎧ ⎧+ − = = +

⇒⎨ ⎨+ − = + − − =⎩ ⎩

(2.282)

1O

2 12c

1 2

F (l l )Fl l

−=

− (2.283)

1 1

1

O OO2 1 2 2

1c 21 2 1 2

F (l l ) F (l l )F Fl l l l

− −= + =

− − (2.284)

Page 114: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

1O2F este produs de forţa 2F , prin urmare scriind ecuaţia de momente în raport cu O2

înainte de a face cele două corecţii vom avea:

1 1O O 22 22 2 2 2 2 2 2

1

l lF l F l 0 F F (m e )l l

− = ⇒ = = Ω (2.285)

2

1c 1 1 c2

2c 2 2 c

F (m e )F (m e )⎧ = Ω⎨

= Ω⎩ (2.286)

Înlocuind în (2.283) şi (2.284) obţinem:

2 21 1 c 2 2

1 2

l (l l )(m e ) (m e )l (l l )

−=

− (2.287)

2 12 2 c 2 2

1 2

l (l l )(m e ) (m e )l (l l )

−=

− (2.288)

Din punct de vedere practic pentru determinarea dezechilibrelor de primă corecţie (m1e1), (m2e2) se poate aplica oricare dintre metodele făcute pentru echilibrarea într-un singur plan de corecţie. Dacă se foloseşte metoda amplitudinii minime atunci pentru echilibrarea în două plane este necesar un număr de 21 de porniri. Echilibrarea rotoarelor considerând arborele elastic

Echilibrarea într-un singur plan

În cazul echilibrării rotoarelor considerate rigide problema care s-a pus era obţinerea unor condiţii în care reacţiunile din lagăre să nu depindă de viteza unghiulară a rotorului. Reacţiunile din regimurile dinamice să fie egale cu reacţiunile statice. Dacă se consideră arborele deformabil echilibrarea rotoarelor nu se mai pune atât de simplu ca în cazul arborelui nedeformabil. Două probleme se pot pune în cazul echilibrării rotoarelor cu arborele deformabil:

1) Limitarea mărimii forţelor din lagăre 2) Limitarea mărimii deformaţiei arborelui în dreptul discului sau în altă

porţiune a sa În definirea turaţiei critice pentru un arbore cu un volant s-au considerat că

vibraţiile de încovoiere apar datorită poziţiei excentrice a centrului de masă faţă de axa de rotaţie dar şi datorită elasticităţii arborelui.

Page 115: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 3.52

OC – reprezintă deformaţia arborelui în mişcare CG = e – excentricitatea, poziţia centrului de greutate faţă de axa geometrică a arborelui în stare nedeformată

2 22

n n

cr

OC 1e c1 2

c

=⎡ ⎤ ⎛ ⎞ω ω⎛ ⎞ − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟Ω Ω⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(1) (2.289)

nKM

ω = (2.290)

K – constanta elastică a arborelui în dreptul discului M – masa rotorului Operaţia de echilibrare constă în a pune o masă corectoare astfel încât: (Me)=(mr)c (2.291) Me – dezechilibru iniţial mr – dezechilibru corector (masă corectoare) r – distanţa la care se pune masa corectoare (în partea opusă excentricităţii) pentru ca efectul forţei centrifuge să fie anulat. Pentru a nu influenţa turaţia critică dezechilibrul corector m se ia foarte mic astfel încât M 100m

> .

Page 116: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

crcr

n K 30 K 30 K2 n60 M m M m M

π = ⇒ = ≈+ π + π

(2.292)

În realitate condiţia de echilibrare dată prin relaţia (2.291) nu poate fi satisfăcută şi întotdeauna va rămâne un dezechilibru rezidual: re M eM mr= − (2.293)

re M - dezechilibru iniţial. În aceste condiţii presupunând că discul se găseşte la jumătatea distanţei dintre lagăre, forţele care se transmit lagărelor vor fi egale.

2

1 2

M OGF F

2

Ω= = (2.294)

OG OC CG= + (2.295)

2 22

n n

cr

eOG ec1 2

c

= ±⎡ ⎤ ⎛ ⎞ω ω⎛ ⎞ − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟Ω Ω⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.296)

”+” – până la turaţia critică ”-” – după turaţia critică Dacă se impune o valoare maximă pentru forţa preluată de lagăr, notată cu maxF , atunci echilibrarea având criteriul forţa transmisă în lagăre poate fi acceptabilă dacă:

2

max2 22n n

cr

M ee 1 F2 c1 2

c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟Ω ⎜ ⎟+ ε ≤⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎛ ⎞ω ω⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Ω Ω⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠

(2.297)

unde 1ε = ± în funcţie de regimul de mişcare al arborelui.

Dacă se reprezintă în diagramă forţa transmisă funcţie de n n

, F F⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ω Ω

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ω ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠ atunci

pentru cazul limită relaţia (2.297) devine :

2

2n

2 22

n cr n

M eF2

c1 2c

⎛ ⎞Ω⎜ ⎟ωΩ ⎝ ⎠= + ε

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞Ω Ω⎢ ⎥− + ⎜ ⎟⎜ ⎟ω ω⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.298)

Neglijând amortizarea din arbore şi reprezentând în mărimi adimensionale:

Page 117: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

2

n2 2

n

F 1M e

12

⎛ ⎞Ω⎜ ⎟ω⎝ ⎠= + ε

Ω ⎛ ⎞Ω−⎜ ⎟ω⎝ ⎠

(2.299)

obţinem următorul grafic.

Fig. 3.53

Valoarea forţei maxime preluată de lagăre este limitată pe baze tehnologice date fie de tehnologia lagărelor fie de tehnologia structurilor ce susţin aceste lagăre. Pe de altă parte viteza unghiulară Ω este fixată pe baza regimurilor de funcţionare ale maşinii. Se stabilesc două plaje, una până la turaţia critică şi alta după turaţia critică. Dacă se notează cu A1 amplitudinea adimensională acceptată până la turaţia critică:

( )

( )( )

1 max1 r1 22 1

r 1max

2FF A eM e M A

≤ ⇒ ≤Ω ⎡ ⎤Ω⎣ ⎦

(2.300)

Dacă se fixează amplitudinea la A2:

( )

( )( )

2 max2 r2 22 2

r 2max

2FF A eM e M A

≤ ⇒ ≤Ω ⎡ ⎤Ω⎣ ⎦

(2.301)

Page 118: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Dacă sunt îndeplinite aceste condiţii atunci problema echilibrării având criteriul forţa maximă transmisă poate fi considerată acceptabilă. Aceasta este valabilă atâta timp cât calitatea echilibrării se judecă doar după amplitudine. Calitatea echilibrării trebuie judecată în multe aplicaţii şi după amplitudinea de deplasare (de deformaţie) a arborelui în dreptul discului. Aşa este cazul motoarelor electrice unde distanţa dintre stator şi rotor este impusă de aşa numitul întrefier , sau acelaşi lucru se poate pune şi în alte poziţii de pe arbore de exemplu la o pătrime distanţă faţă de un capăt. Această problemă se pune când este necesar ca deformaţiile arborelui să ducă la deteriorări ale etanşeităţilor.

2

n

2 22

n cr n

OC

ec1 2

c

⎛ ⎞Ω⎜ ⎟ω⎝ ⎠=

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞Ω Ω⎢ ⎥− + ⎜ ⎟⎜ ⎟ω ω⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.302)

Fig. 3.54

OC – mărime tehnologică limitată de distanţa dintre rotor şi stator A1 – determină limita vitezei unghiulare maxime Condiţiile de funcţionare determină limita inferioară a vitezei unghiulare.

Page 119: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

( )max

OC - impus

( )( )

( )( )1max max

1 r11r

OC OCA e

Ae≤ ⇒ ≤ (2.303)

În mod corespunzător se poate pune problema şi la o altă distanţă faţă de un capăt al arborelui. Echilibrarea în două plane

Se consideră două plane P1, P2 în care se plasează mase corectoare. Pentru a nu

influenţa turaţia critică masele corectoare se aleg de valori mici plasate la distanţe mari faţă de axa de rotaţie. Aceste distanţe sunt mult mai mari în comparaţie cu deformaţia arborelui sau excentricitatea iniţială.

Fig. 3.55

Dacă se neglijează amortizare arborelui şi dacă se consideră cele două dezechilibrări egale: ( ) ( ) ( )1 1 2 2m r m r mr= = (2.304) În mişcarea de rotaţie deformaţia arborelui în dreptul discului dată de forţele de inerţie centrifugale va fi:

Page 120: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

( ) 22

1

e OC M2mrOCK K

+ ΩΩ= + (2.305)

K – rigiditatea arborelui în dreptul rotorului K1 – rigiditatea arborelui în dreptul maselor corectoare Cele două rigidităţi se presupun egale deoarece atât mase corectoare cât şi planele se găsesc la distanţe egale. Din relaţia (2.305) se determină deformaţia în dreptul rotorului.

2 2 2

1

M 2mr eMOC 1K K K

⎛ ⎞Ω Ω Ω− = +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.306)

2

12

KeM 2mrK

OCK M

⎛ ⎞+ Ω⎜ ⎟

⎝ ⎠=− Ω

(2.307)

Forţele aplicate celor două lagăre dacă rotorul este la jumătatea arborelui sunt egale:

( )2

21 2

1

mr 1F F e OC MK 2Ω

= = + + Ω (2.308)

În relaţia (2.308) se introduce deformaţia OC şi se obţine:

2

21 2 2

1 1

K 1 K KF F mr 1 eM 2 mrK 2 K M K

⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ω= = Ω − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− Ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.309)

1) Dacă cele două plane corectoare sunt de o parte şi de alta a rotorului atunci 1 2K K= şi obţinem:

( )2

1 2 2

1 KF F eM 2mr2 K M

Ω= = +

− Ω (2.310)

De unde se poate determina dezechilibrul corector luând criteriul forţele transmise în lagăre, pentru o echilibrare perfectă 1 2F F 0= = Rezultă din relaţia (2.310):

( )c

eMmr2

= − (2.311)

Se constată ca masa corectoare nu depinde de viteza unghiulară a rotorului. 2) Dacă planele corectoare sunt în dreptul lagărelor 1K⇒ →∞ , lagărul se

consideră rigid. Atunci cele două forţe vor fi:

2

21 2 2

1 KF F mr eM2 K M

Ω= = Ω +

− Ω (2.312)

Pentru o echilibrare perfectă luând drept criteriu forţele transmise în lagăre va trebui ca 1 2F F 0= = , rezultă din relaţia (2.312):

Page 121: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

( ) 2c

1 Kmr eM2 K M

= −− Ω

(2.313)

Se constată că masa corectoare depinde de turaţia rotorului. În aceleaşi considerente 2) deformaţia arborelui în dreptul discului va rezulta din relaţia (2.307):

2

2

eMOCK M

Ω=

− Ω (2.314)

Deformaţia nu depinde de masele corectoare. Prin urmare luându-se drept criteriu de echilibrare deformaţia arborelui în dreptul rotorului nu se poate face o echilibrare prin plasarea de mase corectoare în planuri situate în vecinătatea lagărelor. Se pune problema care trebuie să fie valoarea masei corectoare pentru cazul în care se acceptă forţe transmise în lagăre până la o anumită valoare maximă 1 2 maxF F F= ≤ . Rezultă din (2.309):

2

2max2

1 1

K 1 K Kmr 1 eM 2 mr FK 2 K M K

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ΩΩ − + + ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟− Ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.315)

Pentru valoarea limită se poate deduce:

max2 2 2

1

n n

F 1 mr K 11MeM e K1 122

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− = −⎢ ⎥Ω ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ω Ω⎢ ⎥− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ω ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.316)

unde nKM

ω =

Din (2.316) se poate determina dezechilibrul corector:

( )

max22

nc

21

n

2F 1 MeM 2

1mr K 11

K1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥Ω ⎛ ⎞Ω⎢ ⎥− ⎜ ⎟⎢ ⎥ω⎝ ⎠⎣ ⎦=

−⎛ ⎞Ω−⎜ ⎟ω⎝ ⎠

(2.317)

Pentru o echilibrare ideală trebuie găsite proceduri şi măsuri care să permită obţinerea unei forţe maxF 0= . Din relaţia (2.316) sau (2.317) se pot desprinde următoarele cazuri particulare:

Page 122: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

1) max0, F 0Ω = =

( )c

Memr2

= − (2.318)

2) 1 max, F 0Ω = Ω =

( )c

2

2n 1

n

Me2mr

K 11 1K

1

= −⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤⎛ ⎞Ω ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎜ ⎟ ⎢ ⎥ω⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎝ ⎠ Ω⎣ ⎦ ⎢ ⎥− ⎜ ⎟⎢ ⎥ω⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.319)

Masa corectoare depinde de viteza la care se face echilibrarea, dar şi de poziţia planelor corectoare prin 1K . 3) 2 1Ω = Ω ≠ Ω Presupunând că echilibrarea sa făcut impunând condiţia maxF 0= cu dezechilibrul

corector ( )1mr atunci la noua viteză unghiulară 2Ω va rezulta pe baza relaţiei (2.316) o forţă dinamică reziduală. Din relaţia (2.316) rezultă:

( ) 211 2

nr2 22 2

n

K 1mr 1K

1F 1

MeM e1 22

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎛ ⎞Ω⎢ ⎥− ⎜ ⎟⎢ ⎥ω⎝ ⎠⎣ ⎦= +

Ω ⎛ ⎞Ω−⎜ ⎟ω⎝ ⎠

(2.320)

Din relaţia (2.320) se determină forţa reziduală rF . Dacă r maxF F≤ se poate spune că echilibrarea pentru 1Ω = Ω este satisfăcătoare şi pentru altă viteză 2Ω = Ω . Chiar şi pentru o echilibrare perfectă, din punct de vedere al forţelor transmise din lagăr, la o anumită viteză unghiulară 1Ω = Ω , se poate ajunge pentru o altă viteză unghiulară la valori ale forţelor transmise în lagăre superioare limitelor fixate.

Page 123: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Dacă n

1Ωω

, adică pulsaţia proprie a rotorului este mult mai mare decât viteza

unghiulară atunci dezechilibrul corector este ( )c

Memr2

= − .

Forţa reziduală poate fi considerată nulă ceea ce înseamnă că deformaţia arborelui este mică, deci arborele este considerat rigid. Dacă în loc de masa corectoare ( )1mr se pune ( )1mr mr+ Δ pe baza relaţiei (2.320) apare o variaţie a forţei reziduale:

( ) 211 2

nr2 22 2

n

K 1mr mr 1K

1F 1

MeM e1 22

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤+ Δ −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎛ ⎞Ω⎢ ⎥− ⎜ ⎟⎢ ⎥ω′ ⎝ ⎠⎣ ⎦= +

Ω ⎛ ⎞Ω−⎜ ⎟ω⎝ ⎠

(2.321)

21 2

nr22

K 1mr 1K

1F

MeM e22

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥Δ −⎢ ⎥⎛ ⎞Ω⎢ ⎥− ⎜ ⎟⎢ ⎥ωΔ ⎝ ⎠⎣ ⎦=

Ω (2.322)

Din relaţia (2.322) pentru nΩ = ω rezultă o variaţie foarte mare a forţei reziduale în jurul turaţiei critice, ceea ce arată că această abatere poate produce valori inacceptabile pentru forţele transmise în lagăre. Criteriul deformaţiei

Dacă se consideră drept criteriu de echilibrare al rotoarelor cu arbore deformabil deformaţia din dreptul rotorului, atunci relaţia(2.307) pentru deformaţie nulă , OC=0, va rezulta:

( ) 1c

KeMmr2 K

= − (2.323)

Masa corectoare nu depinde de viteza unghiulară. Masa corectoare nu este aceeaşi cu cazul în care 0Ω = .

Page 124: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Când deformaţia este nulă în dreptul rotorului se va obţine în schimb o forţă reziduală care este dată pentru dezechilibrul corector dat de relaţia (2.323) şi folosind relaţia (2.320) se obţine:

( )r d 1

2 2 21

n n

F K K 1 11M e K K

1 12

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= − − +⎢ ⎥Ω ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ω Ω⎢ ⎥− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ω ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.324)

în urma calculelor rezultă:

( ) ( )

2r d 1 1

r2 d

F K K KM e1 FM e K 2 K

2

−Ω ⎛ ⎞= − + ⇒ = ⎜ ⎟Ω ⎝ ⎠ (2.325)

Forţa reziduală din lagăre poate fi nulă dacă 1K K= . Impunându-se o deformaţie nulă în dreptul rotorului se obţin şi forţele reziduale nule numai dacă planele corectoare sunt situate de o parte şi de alta a rotorului, atunci 1K K= . Dacă planele corectoare nu sunt de o parte şi de alta a rotorului atunci forţa reziduală dată de relaţia (2.325) se compară cu forţa maximă ( )r maxd

F F≤ . Dacă este verificată această inegalitate echilibrarea poate fi acceptată şi pe baza criteriului de forţă. Metode de echilibrare a rotoarelor în stare flexibilă

Metodele date anterior au presupus că arborele este rigid, adică nedeformabil

iar forţele create de dezechilibre se transmiteau în lagăre pe care le-am considerat elastice. Cazul natural este cel în care se consideră că şi arborele şi lagărele sunt elastice. Cele mai frecvente metode pentru echilibrarea rotoarelor în stare flexibilă sunt:

- metoda coeficienţilor de inflexiune - metoda modală

Metoda modală

Se consideră un rotor de lungime L ghidat pe două lagăre rigide. În condiţiile în care se presupune că rotorul este de secţiune constantă şi omogen el va avea vibraţii transversale date de ecuaţia:

4 2

4 2

A w 0u EI t

∂ Ω ρ ∂+ =

∂ ∂ (2.326)

w – deformaţia la un moment dat într-o secţiune curentă Aρ = μ - masa pe unitatea de lungime

( ) ( ) ( )w x, t W x T t= (2.327)

Page 125: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

(IV)W T WT 0EIμ

+ = (2.328)

(IV)

2EI W T pW T

= − =μ

(2.329)

2

(IV) 2

T p T 0

W p W 0EI

⎧ + =⎪⎨ μ

− =⎪⎩

(2.330)

( ) ( )T t Asin pt Bcos pt Ccos pt= + − −ϕ (2.331) Relaţia (2.329) poate fi satisfăcută pentru o infinitate de soluţii numite pulsaţii proprii. Fiecărei pulsaţii proprii îi corespunde o funcţie W numită funcţie proprie. Fie pi, pj, două pulsaţii proprii cărora le corespund funcţiile proprii Wi, Wj.

( )

( )

IV 2i i i j

IV 2j j j i

W p W 0 W dxEI

W p W 0 W dxEI

⎧ μ− =⎪⎪

⎨μ⎪ − =⎪⎩

(2.332)

Se integrează pe toată lungimea arborelui şi ţinându-se cont de condiţiile pentru rezemare şi articulaţie se obţine:

( ) L2 2i j i j0

p p W W dx 0− =∫ (2.333)

L

i j0i j L

i j0

W W dx 0 i jp p

W W dx 1 i j

⎧ = ≠⎪≠ ⇒ ⎨⎪ = =⎩

∫∫

(2.334)

Deformaţia arborelui se poate descompune într-o serie după funcţiile proprii:

( ) ( )i ii 1

W x W x b∞

=

=∑ (2.335)

Pentru determinarea coeficienţilor bi se înmulţeşte relaţia de mai sus cu ( )jW x dx şi se integrează pe toată lungimea arborelui:

( ) ( )( ) ( )

( )

LL i0

j i i j i L0 0 2i 1 i0

W x W x dxW x W x dx b W W dx b

W x dx

∞ ∞

=

= ⇒ = ∫∑∫ ∫∫

(2.336)

În continuare se va considera un dezechilibru continuu, al arborelui, e(x) şi un

dezechilibru format din P dezechilibre discrete ( )P

n n nn 1

M r x x=

δ −∑

δ - funcţia de distribuţie Dirac Mn – masa echilibrului discret

Page 126: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Rn – distanţa faţă de axa de rotaţie a masei Mn Ecuaţia diferenţială care determină deformaţia W(x) sub acţiunea acestor dezechilibre va fi: ( ) ( )w W x cos pt= −ϕ (2.337) Dacă arborele se roteşte cu viteză unghiulară Ω ecuaţia va fi:

( )4 P

2 2 2n n n4

n 1

WEI W e M r x xx =

∂−μΩ = μ Ω +Ω δ −

∂ ∑ (2.338)

Deformaţia ( ) i ii 1

W x b W∞

=

=∑ se datorează dezechilibrului continuu e(x) şi

dezechilibrelor discrete n nM r . Prin urmare coeficienţii ib vor fi şi ei daţi prin legătură directă cu aceste dezechilibre.

c di i ib b b= + (2.339)

cib - determinaţi de dezechilibru continuu ( )e x dib - determinaţi de dezechilibrele discrete n nM r

Calculul coeficienţilor bi

c

Pentru a calcula aceşti coeficienţi se va dezvolta în raport cu funcţiile proprii dezechilibrul continuu.

( ) ( ) ( )i ji xi 1

e x a W W x dx∞

=

=∑ (2.340)

Se integrează pe toată lungimea arborelui.

( ) ( )

( )

L

i0i L 2

i0

e x W x dxa

W x dx= ∫

∫ (2.341)

Se va considera metoda suprapunerii efectelor. Dacă se ia efectul dat de dezechilibrul continuu ( )e x atunci ecuaţia diferenţială (2.338) devine:

4

2 24

WEI W ex

∂−μΩ = μ Ω

∂ (2.342)

În ecuaţia (2.342) se înlocuieşte deformaţia ci iW b W=∑ respectiv ( ) i ie x a W=∑

şi se obţine:

4

c 2 c 2i i i i i4

WEI b b W a Wx

∞ ∞ ∞∂−Ω μ = μΩ

∂∑ ∑ ∑ (2.343)

42i i4

WEI p W 0x

∂−μ =

∂- ecuaţia diferenţială omogenă pentru una dintre funcţiile proprii

Page 127: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

c 2 2 c 2i i i i i i ib p W b W a W

∞ ∞ ∞

⇒ −Ω = Ω∑ ∑ ∑ (2.344)

Se multiplică ecuaţia (2.344) cu jW dx şi se integrează pe toată lungimea arborelui. Din cauza ortogonalităţii funcţiilor proprii din toată suma va rămâne un singur termen:

( ) ( ) ( )L L2 2 c 2 2 2

i i i i i0 0p b W x dx a W x dx−Ω = Ω∫ ∫ (2.345)

( )2

2 2 c 2 ci i i i i 2 2

i

p b a b apΩ

⇒ −Ω = Ω ⇒ =−Ω

(2.346)

Considerăm că acţionează sistemul de dezechilibre discrete dib

nddi ib b

=∑ (2.347)

ndib - se referă la efectul dezechilibrului discret de ordinul n

( )P

n n n i i ji 1

M r x x c W W dx=

δ − =∑ (2.348)

( )

L

n n j n0i L

i j0

M r W x x dxc

W W dx

δ −⇒ = ∫

∫ (2.349)

( )

( )n n n

i L 2i0

M r W xc

W x dx⇒ =

∫ (2.350)

Fig. 3.56

Fig. 3.57

Ecuaţia diferenţială (2.338) se va scrie doar pentru dezechilibrele discrete, doar pentru dezechilibrul ( )n nM r .

Page 128: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

( )4

2 2n n n4

WEI W M r x x , n 1,2,..., Px

∂−μΩ = Ω δ − =

∂ (2.351)

Deformaţia dată de acest dezechilibru se dezvoltă în serie după funcţiile proprii:

ndi iW b W

=∑ (2.352)

( )P

n n n i ii 1

M r x x c W=

δ − =∑ (2.353)

Se înlocuiesc în (2.351) şi se obţine:

n n

4d d2 2i i i i i4

WEI b b W c Wx

∂−μΩ = Ω

∂∑ ∑ ∑ (2.354)

Se integrează pe toată lungimea: n nd d2 2 2

i i i i i i i jb p W b W c W W⇒ μ −μΩ = Ω∑ ∑ ∑ (2.355)

( ) nL Ld2 2 2

i i i j i i j0 0p b W W dx c W W dx⇒ μ −Ω = Ω ∑∫ ∫ (2.356)

( )

n

2di i 2 2

i

b cp

Ω⇒ =

−Ω μ (2.357)

Coeficienţii daţi de cele n dezechilibre discrete va fi:

( )

( )( )

n

2P Pn n i ndd

i i L2 2 2i 1 i 1 i i0

M r W xb b

p W x dx= =

Ω= =

−Ω μ∑ ∑

∫ (2.358)

Prin suprapunerea efectelor se obţin coeficienţii ib :

( )

( )( )

2 2Pn n i nc d i

i i i L2 2 2 2 2i 1i i i0

M r W xab b bp p W x dx=

Ω Ω= + = +

−Ω −Ω μ∑

∫ (2.359)

( )( )

2 Pn n i n

i i L2 2 2i i0

M r W xb a

p W x dx

⎡ ⎤Ω ⎢ ⎥⇒ = +

⎢ ⎥−Ω μ⎢ ⎥⎣ ⎦∑

∫ (2.360)

( )i i ii 1

W x b W∞

=

=∑ (2.361)

Pentru ca deformaţia să fie nulă în fiecare secţiune trebuie ca ib să fie nul. Din (2.360) rezultă:

( )

( )

Pn n i

i L 2i0

M r W xa

W x dx= −

μ∑

∫ (2.362)

Problemele se pun în felul următor:

Page 129: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

În relaţia (2.362) coeficienţii ia sunt dependenţi de excentricitatea continuă ( )e x dată de relaţia (2.341) care nu se cunoaşte. Prin urmare pentru determinarea acestor coeficienţi este necesar să se facă şi un studiu experimental.

Page 130: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

4. Dinamica unor maşini de ridicat

4.1. Dinamica mecanismului de ridicat al unei macarale

Schema cinematică

Fig. 4.1

Page 131: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Reductorul (3) se găseşte într-o carcasă rigidă fixată de o fundaţie de masă foarte mare sau de structura unei macarale. Sarcina de ridicat (6) este legată printr-un cablu ce trece peste scripeţii (7), (8) şi (9). Cablul este considerat un element elastic fixat de tamburul (4), iar celălalt capăt este fixat de scripetele superior sau inferior. Tamburul este antrenat de un motor electric (1) prin intermediul reductorului (3). Motorul de acţionare şi reductorul sunt conectate printr-un cuplaj care serveşte ca şi frână. Ca şi corpuri elastice şi elemente de amortizare vor fi luate în considerare pe de o parte cuplajul şi axele dintre motor şi reductor, pe de altă parte cablul din oţel. Inerţia corpurilor este dată de momentul de inerţie J1 al motorului şi reductorului, momentul de inerţie J2 al tamburului de înfăşurare, precum şi masa corpului de ridicat m3. Raportul de transmisie al reductorului se notează cu i1, iar numărul de ramuri ale cablului sistemului de scripeţi se notează cu i2. Pentru studiul dinamic al unui mecanism de tip macara se pot folosi următoarele scheme:

- modelul de rotaţie - modelul de translaţie - modelul bazat pe schema originală

Primele două modele se bazează pe echivalarea mecanismului cu un sistem redus, pe când a treia schemă este fără nici o reducere. Modelele reduse oferă deducerea foarte uşoară a ecuaţiilor de mişcare în comparaţie cu modelul obţinut din schema originală, dar procesul de obţinere a modelelor reduse necesită un efort mai mare. Modelul dinamic de rotaţie al unui mecanism de ridicat de tip macara

În studiul dinamic al oricărui mecanism de ridicat mărimile date sunt cele din schema originală şi au indicele “O”. Mărimile mecanice din modelul de rotaţie sunt mărimi reduse. Mărimile reduse se determină pe baza conservării energiei folosind relaţiile cinematice ce se pot stabilii pe baza schemei originale.

Page 132: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Fig. 4.2

Momentul motor “Mm” este o mărime cunoscută şi este dată de caracteristica motorului. Schema simplificată presupune că toate elementele se găsesc în mişcare de rotaţie, deci va trebui stabilită echivalenţa dintre mărimile din sistemul original şi cele din modelul de rotaţie. ω - viteza unghiulară a motorului de acţionare; v – viteza rectilinie a sarcinii de ridicat; i1 – raportul de transmisie al reductorului; i2 – raportul de transmisie al palanului (numărul de ramuri ale cablului); vt – viteza tamburului t 2v i v= (3.1)

t t1

D Dv2 i 2

ω= ω = (3.2)

21

Di vi 2ω

= (3.3)

1 2

Dv2i i

= ω (3.4)

Page 133: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

v R= ω (3.5)

1 2

DR2i i

= - rază redusă (3.6)

stM - moment static

30st

2 1

m g D 1Mi 2 i

= (3.7)

st 30M m gR= - momentul redus la arborele motorului (3.8) Calculul parametrilor mecanici reduşi

a) Parametri inerţiali Se determină pe baza energiei cinetice

re orc cE E= (3.9)

2 21 10 1 10

1 1J J J J2 2

ω = ω ⇒ = (3.10)

2

2 2 202 20 t 20 2 2

1 1

J1 1 1J J J J2 2 2 i i

⎛ ⎞ωω = ω = ⇒ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.11)

( )22 2 23 30 30 3 30

1 1 1J m v m R J m R2 2 2

ω = = ω ⇒ = (3.12)

b) Parametri de rigiditate Se determină pe baza energiei potenţiale de deformaţie

re orp pE E= (3.13)

( ) ( )2 21 1st 10 Ost

1 1k k2 2

Δϕ = Δϕ (3.14)

1st OstΔϕ = Δϕ (3.15) 1 10k k⇒ = (3.16)

( ) ( )2 22 2st 20 st

1 1k k l2 2

Δϕ = δ (3.17)

22

3 302 20

2 2 20

m gR m gk kk i k

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.18)

2 22 2 20k R i k⇒ = (3.19)

c) Calculul parametrilor de amortizare Se face pe baza energiei de disipare.

re ord dE E= (3.20)

2 21 10 1 10

1 1c c c c2 2

ω = ω ⇒ = (3.21)

Page 134: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

( )222 20 2

1 1c c vi2 2

ω = (3.22)

( )222 20 2

1 1c c Ri2 2

ω = ω (3.23)

2 22 2 20c R i c⇒ = (3.24)

Pentru deducerea ecuaţiilor dinamice de mişcare se va folosi una dintre teoremele generale din mecanică.

1 2 3q ,q ,q - coordonate generalizate cu care se studiază mişcarea

( ) ( )1 st 1d 1e 3 1 1 2 1 1 2M M M M m gR c q q k q q= + + = + − + − (3.25)

( ) ( )2 st 2d 2e 3 2 2 3 2 2 3M M M M m gR c q q k q q= + + = + − + − (3.26)

1e 2eM ,M - momente date de forţe elastice

1d 2dM ,M - momente date de forţe de disipaţie Înlocuind în principiul lui D′Alembert, se obţine: m 1 1 1M M J q 0− − = (3.27) 1 2 2 2M M J q 0− − = (3.28) 2 st 3 3M M J q 0− − = (3.29)

( )1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 m 1 3J q c q c q k q k q M q m gR+ − + − = − (3.30)

( ) ( )2 2 1 1 1 2 2 2 3 1 1 1 2 2 2 3J q c q c c q c q k q k k q k q 0− + + − − + + − = (3.31)

3 3 2 2 2 3 2 2 2 3J q c q k q k q k q 0− + − + = (3.32) Sub formă matriceală:

( )

1 1 1 1 1

2 2 1 1 2 2 2

3 3 2 2 3

1 1 1 1 3

1 1 2 2 2

2 2 3

J 0 0 q c c 0 q0 J 0 q c c c c q0 0 J q 0 c c q

k k 0 q M q m gRk k k k q 00 k k q 0

−⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − + − +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

⎧ ⎫− −⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥+ − + − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(3.33)

Cunoscându-se toate datele relative la sistemul iniţial şi diagrama momentului motor, printr-o metodă de integrare numerică se obţin legile de mişcare, vitezele, acceleraţiile şi la sistemele inerţiale se pot determina eforturile din cablu.

Page 135: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

Modelul de translaţie pentru mecanismul de ridicat tip macara

Fig. 4.3

Forţa motoare redusă la cârligul sarcinii (forţa de urcare) este: st 30F m g= - forţa de gravitaţie a sarcinii de ridicat, ce acţionează în centrul de masă al

corpului

( ) ( )m 1 1 2

M2F M i i F vD R

ω= = = (3.34)

( )mM = M ω – momentul motorului electric de acţionare. Calculul parametrilor mecanici reduşi Se face în mod asemănător cu modelul de rotaţie.

a) Parametri inerţiali

2

2 2 101 10 0 10 1 2

J1 1 1 vm v J J m2 2 2 R R

⎛ ⎞= ω = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.35)

2 2

2 2 202 20 0 20 2 20 2 2

1 1 1

J1 1 1m v J J m J2 2 2 i i v i R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω ω= ω = ⇒ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.36)

Page 136: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

2 23 30 3 30

1 1m v m v m m2 2

= ⇒ = (3.37)

b) Parametri de rigiditate

( ) ( )2 21 1st 10 st

1 1k k2 2

Δϕ = Δϕ (3.38)

22

3 301 10

1 10

m g m gRk kk k

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.39)

101 2

kkR

= (3.40)

( ) ( )2 22 2st 20 st

1 1k l k l2 2

Δ = δ (3.41)

22

3 302 20

2 2 20

m g m gk kk i k

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.42)

22 2 20k i k= (3.43)

c) Calculul parametrilor de amortizare

2 2 101 10 1 2

c1 1c v c c2 2 R

= ω ⇒ = (3.44)

( )22 22 20 2 2 2 20

1 1c v c i v c i c2 2

= ⇒ = (3.45)

Deducerea ecuaţiilor dinamice ( )1 1 1 1m q F q F= − (3.46)

2 2 1 2m q F F= − (3.47) 3 3 2 30m q F m g= − (3.48)

( )1e 1 1 2F k q q= − (3.49)

( )1d 1 1 2F c q q= − (3.50)

( ) ( )1 st 1d 1e 30 1 1 2 1 1 2F F F F m g c q q k q q= + + = + − + − (3.51)

( ) ( )2 st 2d 2e 30 2 2 3 2 2 3F F F F m g c q q k q q= + + = + − + − (3.52) sub formă matriceală:

Page 137: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

( )

1 1 1 1 1

2 2 1 1 2 2 2

3 3 2 2 3

1 1 1 1 3

1 1 2 2 2

2 2 3

m 0 0 q c c 0 q0 m 0 q c c c c q0 0 m q 0 c c q

k k 0 q F q m gk k k k q 00 k k q 0

−⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − + − +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

⎧ ⎫− −⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥+ − + − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(3.53)

Aplicând ecuaţiile lui Lagrange, se exprimă expresiile energiilor cinetică, potenţială şi de disipare:

2 2 2c 1 1 2 2 3 3

1 1 1E m q m q m q2 2 2

= + + (3.54)

2 22 2 3 3

p 1 1 2 2 1 1 2 2 2 31 2

m g m g1 1 1 1E k k k q q k q q2 2 2 k 2 k

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= Δ + Δ = + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.55)

( ) ( )2 22 2d 1 1 2 2 1 1 2 2 2 3

1 1 1 1E c c c q q c q q2 2 2 2

= Δ + Δ = − + − (3.56)

iar forţele generalizate sunt: ( )1 1Q F q= (3.57)

2Q 0= (3.58) 3 3Q m g= − (3.59)

După înlocuirea în ecuaţiile lui Lagrange, se obţin ecuaţiile de mişcare sub formă matriceală:

( )

1 1 1 1 1

2 2 1 1 2 2 2

3 3 2 2 3

1 1 1 1 3

1 1 2 2 2

2 2 3

m 0 0 q c c 0 q0 m 0 q c c c c q0 0 m q 0 c c q

k k 0 q F q m gk k k k q 00 k k q 0

−⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − + − +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

⎧ ⎫− −⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥+ − + − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(3.60)

Din aceste rezultate se observă că forma matriceală a ecuaţiilor de mişcare are următoarea formă generală: [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }m q c q k q f+ + = (3.61)

Page 138: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

4.2. Modelul dinamic al unui mecanism de ridicare al unei macarale dedus pe baza schemei originale

Fig. 4.4

În figura 4.4 se presupune că în momentul de începere a mişcării sarcina m3 este suspendată în cârlig, la distanţa h faţă de pământ. La un moment dat al mişcării de ridicare se poate presupune, neglijând pierderile în sistemul de acţionare, că forţele şi momentele în elementele elastice sunt cele de mai jos:

forţa statică, elastică şi de disipare (frecare): st e dF F F F= + + (3.62)

momentul static, momentul forţei elastice şi momentul forţei de disipare: st e dM M M M= + + (3.63) Expresiile lor sunt:

32 2 2 3 2 2 2 3

2

m g D DF k q i q c q i qi d d

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.64)

Page 139: DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR - mec.upt.romec.upt.ro/meca/poz10staff/LB/dinamica_masinilor_si_utilajelor.pdf · 1. Noţiuni fundamentale de dinamică 1.1. Momente de inerţie

( ) ( )3 1 1 1 2 1 1 1 2M m gR k q i q c q i q= + − + − (3.65) Aplicând principiul lui D′Alembert, se obţin ecuaţiile: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 3 1 1 1 2 1 1 1 2J q M q M M q m gR c q i q k q i q= − = − − − − − (3.66)

( )

( )

2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3

1 1 1 1 1 2 2 2 3

D D DJ q i M F i c q i q c q i q2 2 2

D Dc k q i q k q i q2 2

⎛ ⎞= − = − − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+ − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.67)

3 3 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3D Dm q i F m g i c q i q i k q i q2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.68)

După rearanjare şi punere sub formă matriceală, se obţine:

1 1 11 1 12

22 2 1 1 1 1 2 2 2 2

3 3 32

2 2 2 2

1 1 112

21 1 1 1 2 2 2 2

32

2 2 2 2

c i c 0J 0 0 q q

D D0 J 0 q i c i c c i c q4 2

0 0 m q qD0 i c i c2

k i k 0q

D Di k i k k i k q4 2

qD0 i k i k2

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − + − +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⎢ ⎥−⎣ ⎦

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥+ − + − ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎩

⎢ ⎥−⎣ ⎦

( )1 3M q m gR00

⎧ ⎫−⎪ ⎪= ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎪⎭ ⎩ ⎭

(3.69)

La aceleaşi ecuaţii se ajunge şi folosind ecuaţiile lui Lagrange. În sfârşit, poate fi notat faptul că acest ultim set de ecuaţii dă atât soluţia pentru

deplasări, viteze şi acceleraţii ale sistemului original, cât şi soluţia pentru momente şi forţe în elementele elastice, fără a fi nevoie de sisteme reduse şi revenire la sistemul original.