Sistem

e cumicr

ounde

Universitatea Politehnica din București,Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică

Sisteme cu microunde

TEMĂDiagrama Smith

As. dr. ing. George Marian Vasilescu

Exercițiul 1. Să se reprezinte pe diagrama Smith următoarele impedanțenormalizate: a) z1 = 0, 5−0, 5j; b) z2 = 0, 2+0, 1j; c) z3 = 0, 02−0, 12j;d) z4 = 1; e) z5 = 1 + 1, 4j; f) z6 corespunzătoare unui scurtcircuit;g) z7 corespunzătoare unui gol. Unde sunt situate, pe diagramă, impedan-țele normalizate corespunzătoare bobinelor sau condensatoarelor? Dar celecorespunzătoare rezistorilor ideali?

Soluția 1.Se identifică pe diagramă (figura 1), cercurile de coordonate corespunză-toare rezistențelor r și reactanțelor x normalizate. Se marchează punctul.Rezistențele normalizate r sunt întotdeauna pozitive, în timp ce reactanțelenormalizate pot fi pozitive (caz în care sunt situate în cadranele I și II) saunegative (caz în care sunt situate în cadranele III și IV).

Indiciu pentru întrebări: impedanțele sunt de forma Z = R+0j pentrurezistorii ideali, și de forma Z = 0 + Xj pentru bobine și condensatoare,unde X poate fi pozitiv sau, respectiv, negativ.

Exercițiul 2. O linie lungă fără pierderi de 50 Ω este terminată într-o sar-cină de impedanță: a) Z1 = 15 + 15j; b) Z2 = 15− 30j; c) Z3 = −100j.Să se determine coeficientul de reflexie al tensiunii Γ pentru cele trei cazuri.

Pentru ce valori ale impedanței sarcinii este coeficientul întotdeauna egalcu 1? Unde sunt situate, pe diagramă, impedanțele normalizate al sarcinilorîn acest caz?

Pentru ce valoare a impedanței sarcinii este coeficientul întotdeauna egalcu 0? Unde este situată, pe diagramă, impedanța normalizată a sarcinii înacest caz? Ce se poate spune despre undele reflectate de sarcină în acestcaz?

Sistem

e cumicr

ounde

George Marian Vasilescu Sisteme cu microunde

Figura 1: Reprezentarea pe diagrama Smith a impedanțelor.

Soluția 2.Linia are impedanța caracteristică Z0 = 50 Ω. Pașii ce trebuie urmați suntaceiași pentru toate cele trei cazuri. În figura 2 sunt indicate toate cele treicazuri.

Pas 1: Se calculează impedanța normalizată a sarcinii z1 =Z1Z0

= 0, 3 + 0, 3j.

Pas 2: Se marchează pe diagramă punctul corespunzător impedanței norma-lizate. (punctul A pe figură).

Pas 3: Se trasează un segment din centrul diagramei până în punctul obți-nut la pasul anterior. Acest segment este chiar numărul complex1 Γ1

(punctul B pe figură). Pentru a descrie algebric acest număr trebuiesă identificăm partea reală și imaginară sau modulul și argumentulsău. Pentru aflarea acestora din urmă se procedează astfel:

i: Se identifică modulul. Există două modalități. 1. Cercului ex-terior îi corespunde valoarea Γ = 1. Se măsoară cu rigla2 razacercului (77 mm) și lungimea segmentului (44 mm). Raportul44/77 = 0, 57 este cantitatea căutată |Γ1| = 0, 57. 2. O metodămai rapidă constă în utilizarea compasului și a scalei exterioareReflection Coefficient E or I marcată în figură. Se reține

1Diagrama este “suprapusă” peste planul complex Γ, originea acestuia fiind identică cucentrul diagramei.

2Evident valorile măsurate pot fi diferite în funcție de dimensiunile reale ale diagrameipe foaie. Raportul va fi, însă, întotdeauna același.

2

Sistem

e cumicr

ounde

George Marian Vasilescu Sisteme cu microunde

lungimea segmentului pe compas și se transferă pe scala exterioa-ră, plasând acul compasului în centrul acesteia (valoare obținutăeste cea din punctul C pe figură).

ii: Se identifică argumentul: Pentru măsurarea unghiului se folo-sește scala Angle of Reflection Coefficient in Degrees,marcată pe desen, pe circumferința diagramei. Pentru impedan-ța Z1 unghiul coeficientului de reflexie este 143, 8 (punctul D pefigură).

Pas 4: Coeficientul căutat este, deci, Γ1 = 0, 57ej143,8 .

Figura 2: Determinarea coeficientului de reflexie Γ cu ajutorul diagrameiSmith.

Exercițiul 3. O linie lungă fără pierderi de 100 Ω este terminată într-osarcină de impedanță Zs = 100− 60j [Ω].

a) Să se determine coeficientul de undă staționară S (numit și raport deundă).

b) Identificați cu ajutorul diagramei alte două impedanțe ale sarcinii pen-tru care se obține același S.

3

Sistem

e cumicr

ounde

George Marian Vasilescu Sisteme cu microunde

c) Deoarece linia nu este adaptată: S = 1 și impedanța de-a lungulacesteia variază. Unde se regăsesc pe diagramă valorile impedanțeimăsurate de-a lungul liniei?

d) Ce rază are cercul de S-constant atunci când linia este adaptată? Cevaloare are S în acest caz?

Soluția 3.Pas 1: Se calculează impedanța normalizată zs = 1− 0, 6j

Pas 2: Se marchează pe diagramă zs (A pe figura 3)

Pas 3: Se desenează cercul de S-constant plasând acul compasului în centruldiagramei și creionul în punctul corespunzător punctului desenat înpasul anterior. (B pe figură)

Pas 4: Valoarea coeficientului S se poate obține în două moduri:

i: Se identifică punctul de intersecție al cercului cu partea dreaptăa axei orizontale (C pe figură).

ii: În mod asemănător problemei anterioare, se transferă cu ajutorulcompasului, raza cercului pe scala Standing Wave Ratio (Dpe figură).

Figura 3: Desenarea cercului de S-constant și determinarea coeficientului deundă staționară S cu ajutorul diagramei Smith.

4

Sistem

e cumicr

ounde

George Marian Vasilescu Sisteme cu microunde

Exercițiul 4. Linia lungă fără pierderi de 75 Ω și lungime l = 0, 2λ, dinfigura 4, este terminată într-o sarcină de impedanță Zs = 22, 5 + 15j [Ω].Ce valoare are impedanța de intrare Zin?

Zin

Zs

l

A

A’

Figura 4: O linie lungă fără pierderi terminată într-o sarcină de impedanțăZs

Soluția 4.Pas 1: Se calculează impedanța normalizată zs = 0, 3 + 0, 2j

Pas 2: Se marchează punctul în care este situată zs (A pe figura 5)

Pas 3: Se trasează cercul de S-constant.

Pas 4: Impedanța zs apare la capătul liniei lungi. Pentru a afla impedanțala intrare trebuie să ne “deplasăm” spre intrare (adică spre generator)pornind din poziția în care se află sarcina. Acest lucru se traduce pediagramă prin deplasarea de-a lungul scalei Wavelengths TowardGenerator cu o distanță egală cu lungimea liniei. Se determinăpoziția “inițială”, corespunzătoare sarcinii, trasând o dreaptă ce treceprin centrul diagramei și punctul obținut la pasul 2. Rezultă valoarea0, 0341λ (B pe figură).

Pas 5: La aceasta se adăugă lungimea l a liniei obținându-se 0, 0341λ+0, 2λ =0, 2341λ. Se caută pe scala Wavelengths Toward Generatoraceastă nouă lungime și se trasează, pentru ea, o nouă dreaptă dincentrul diagramei (C pe figură).

Pas 6: Valoarea impedanței în orice punct de pe linie se regăsește pe cerculde S-constant. Drept urmare, deoarece dreapta de la pasul anteriorcorespunde poziției de intrare în linie, punctul de intersecție al drepteicu cercul este chiar impedanța de intrare normalizată: zin = 3, 15 + j(D pe figură).

Pas 7: Impedanța de intrare se obține din impedanța normalizată: Zin =zin · Z0 = 236, 25 + 75j [Ω]. Impedanța de intrare, obținută aplicândrelațiile deduse la curs, este Zin = 235, 55 + 73, 71j [Ω].

5

Sistem

e cumicr

ounde

George Marian Vasilescu Sisteme cu microunde

Figura 5: Obținerea impedanței de intrare Zin cu ajutorul diagramei Smith.

Exercițiul 5. O linie lungă fără pierderi de 50 Ω și lungime l = 4, 38λ areconectată la capete o antenă. Măsurând impedanța de intrare în linie seobține Zin = 80− 25j [Ω]. Ce valoare are impedanța de intrare a antenei?

Soluția 5.Zant = 34, 08− 19, 90j [Ω]Problema se tratează în mod similar celei anterioare (vezi figura 6). Impe-danța de intrare în antenă constituie impedanța sarcinii liniei lungi. Deoa-rece în acest caz se cunoaște impedanța de intrare (corespunzătoare pozițieigeneratorului) și se dorește impedanța sarcinii, “deplasarea” pe diagramă seva realiza de-a lungul scalei Wavelengths Toward Load pe o distanțăcorespunzătoare lungimii liniei l.

Impedanța de-a lungul liniei se repetă după 0, 5λ. Din acest motiv scalaare lungimea de doar 0, 5λ. Diagrama poate fi, însă, încercuită de mai multeori.

6

Sistem

e cumicr

ounde

George Marian Vasilescu Sisteme cu microunde

Figura 6: Obținerea impedanței sarcinii Zs cunoscând impedanța de intrareZin.

7