metoda eliminarii complete

Metoda eliminarii complete

1

METODA ELIMINĂRII COMPLETE (Gauss-Jordan)

Fie nmA ×∈ M (R),

=

mnmjmm

inijii

nj

aaaa

aaaa

aaaa

A

........................

........................

......

21

21

111211

, cu aij ≠ 0.

Un pivotaj pentru elementul aij (numit pivot) se realizează astfel:

- elementele liniei i se împart la pivot (prin aij); - elementele coloanei j se fac zero, exceptând pivotul (ielementul din linia i); - celelalte elemente (ce nu se află pe linia i şi coloana j) se transformă după regula

dreptunghiului, astfel că elementul de pe poziţia (k, l) devine:

ij

ilkjijkla

aaaa ⋅−⋅ ((vechea valoare*pivotul-produsul celorlalte colţuri)/pivot).

(noua valoare se calculează la fel indiferent de poziţia elementul akl şi aij în dreptunghiul ce-l formează:

ijil

kjklaaaa

sau ilij

klkjaaaa

sau klkj

ilijaaaa

sau kjkl

ijilaaaa

)

Metoda eliminării complete constă în aplicarea repetate a unor pivotaje pe diagonala

principală a unei matrice. La baza metodei stă lema substituţiei.

APLICAŢII ALE METODEI ELIMINĂRII COMPLETE

1. Determinarea inversei unei matrice

Pentru )(M RA n∈ , (A | In) ~ (In | A–1) prin multiple pivotaje.

Exemplul 1: Să se calculeze inversa, dacă există, a următoarei matrice, folosind

metoda eliminării complete:

−−

−=

113321

112A

Soluţie: Alăturăm matricei A matricea I3 şi aplicăm metoda eliminării complete:

−−

−=

100010001

113321

112A


2

Efectuăm pivotaj cu elementul de pe poziţia 1,1 şi se obţine următoarea matrice echivalentă:

−−

−−

−

102/3012/1002/1

2/52/502/72/50

2/12/11

Efectuăm pivotaj cu elementul de pe poziţia 2,2 şi se obţine următoarea matrice:

−−−−

−

11105/25/105/15/2

1005/7105/101

În final, efectuăm pivotaj cu elementul de pe poziţia 2,2 şi se obţine următoarea matrice echivalentă:

−−−−

1115/715/85/105/1

100010001

În partea stângă a ultimei matrice echivalente figurând I3 rezultă că în partea dreaptă figurează inversa matricei date:

−−−−=−

1115/715/85/105/1

1A

Observaţie: Dacă pe poziţia (i, i) este element nul, atunci se caută pe coloana în jos element nenul şi se inversează liniile matricei bordate.

2. Determinarea rangului unei matrice Prin efectuarea unor multiple pivotaje pe diagonala principală a matricei (în cazul în care pe diagonală este element nul se caută pe coloana în jos element nenul şi se inversează liniile matricei) şi în rangul matricei este egal cu numărul de pivoţi nenuli.

Exemplul 2: Rang A = ?, pentru

A =

−

−−−

241311010101152331131210021121

.

Soluţie:

−

−−−

241311010101152331131210021121

~

−−−

−−−

120210011020131210131210021121

~

−−

−−−−

251400251400000000131210241301


3

~

−

−−

−−−

251400000000251400131210241301

~

−−

−−

0000000000002/14/54/1100

02/12/10102/14/14/1001

Astfel s-au putut efectua doar 3 pivotaje, ultimele două linii fiind nule. Deci rang A = 3.

3. Rezolvarea sistemelor liniare

În cazul sistemelor unic determinare, cu matricea sistemului A şi vectorul termenilor liberi b, se porneşte de la matricea extinsă A = (A | b) şi prin pivotaje succesive se ajunge la A ~(In | x), unde x este chiar soluţia sistemului. Exemplul 3: Să se rezolve următorul sistem de ecuaţii liniare, folosind metoda eliminării complete:

−=++−=+−

−=−+−

32233962

232

321321321

xxxxxxxxx

.

Soluţie: Matricea extinsă a sistemului este:

−−−

−−−

322339622321

.

Efectuăm pivotaj pentru elementul –1 de pe poziţia 1,1 si se obţine matricea echivalentă:

−−−

−

311401320

2321.

Continăm cu pivotaj pentru elementul –2 de pe poziţia 2,2 si se obţine forma echivalentă:

−

55002/12/310

3001

Ultimul pivotaj se face pentru elementul 5, de pe poziţia 3,3:

100021103001

Astfel sistemul echivalent obţinut este:

=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅

110020103001

321321321

xxxxxxxxx

şi deci soluţia sistemului este (3,2,1).

Observaţie: În cazul altor sisteme, ca cele compatibil nedeterminate sau incompatibile,

aplicarea acestei metode este mai complicată. Exemplul 4: Să se rezolve următorul sistem de ecuaţii liniare, folosind metoda eliminării complete:


4

=+=++=−+−

211015245332

21321321

xxxxxxxx

.

Soluţie: Aplicând pivotaje pentru matricea extinsă a sistemului se obţine

−−

210101152453132

~

−−

210101210101

3131~

−−

0000210101451230

.

Astfel se obţin esistemul echivalent:

=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅

−=⋅+⋅−⋅

0000210101451230

321321

321

xxxxxx

xxx, care este un sistem compatibil simplu nedeterminat,

având soluţia:

α+−=α−=

α=

23451021

312

xxx

, cu α ∈R.

Exemplul 5: Să se rezolve următorul sistem de ecuaţii liniare, folosind metoda

eliminării complete:

=+−−=++

−=+−

6271423

101035

321321321

xxxxxxxxx

.

Soluţie: Aplicând pivotaje pentru matricea extinsă a sistemului se obţine

−−

−−

62711423101035

~

−−−−

627119101902020380

~

−−

−

5/1105/16110/19110/190

18000.

Astfel se obţine sistemul echivalent:

−=⋅+⋅+⋅

...

...18000 321 xxx

, care este un sistem incompatibil, deci nu are soluţii.

4. Determinantul unei matrice

Prin efectuarea unor multiple pivotaje pe diagonala principală a matricei (în cazul în care pe diagonală este element nul se caută pe coloana în jos element nenul şi se inversează liniile matricei) şi determinantul matricei este egal cu produsul pivoţilor consideraţi şi dacă s-au inversat linii se înmulţeşte de fiecare dată valoarea determinantului cu –1.

Exemplul 6: Să se calculeze valoarea determinantului matricei următoare folosind


−−

−=

113321

112A

Soluţie: Aplicăm metoda eliminării complete, încercând să găsim pivoţi pe diagonala principală


5

−−

−=

113321

112A ~

−−

−

2/52/502/72/50

2/12/11~

−−

1005/7105/101

~

100010001

Rezultă că det A= 2 · 5/2 · 1 = 5. Exemplul 7: Să se calculeze valoarea determinantului matricei următoare folosind


−−−

−=

113312

112A


−−−

−=

113312

112A pivotaj pentru 2 ~

−

−

2/52/502002/12/11

inversăm liniile 2 cu 3 ~

−

−

2002/52/50

2/12/11pivotaj pentru 5/2 ~

200110001

pivotaj pentru 2 ~

100010001

Rezultă că det A= 2 · (-1) · 5/2 · 2 = 10. Exemplul 8: Să se calculeze valoarea determinantului matricei următoare folosind


−−−

−=

124312

112A


−−−

−=

124312

112A pivotaj pentru 2 ~

−

−

3002002/12/11

, iar aici avem 0 pe diagonala

pe poziţia 2,2 şi nu mai putem aduce de pe coloană în jos element nenul. Aşadar, det A = 0.

5. Coordonatelor unui vector într-o nouă bază

Exemplul 9: Folosind lema substituţiei, să se arate că S = {v1=(2, 2, 1), v2=(2,−1, 2), v3=(−1, 2, 2)} este o bază a spaţiului vectorial R3/R şi să se determine coordonatele vectorului x=(1,1,1) (scris în baza canonică) în baza S. Soluţie: În tabelul de mai jos se pun pe coloane vectorii din S şi de asemenea vectorul x.

B v1 v2 v3 x e1 2 2 -1 1 e2 2 -1 2 1 e3 1 2 2 1

Efectuând schimbări repetate ale vectorilor din S cu cei din baza canonică se obţine:

vectorii din S (noua bază)

vectorii din vechea bază


6

B1 v1 v2 v3 x v1 1 1 -1/2 1/2 e2 0 -3 3 0 e3 0 1 5/2 1/2

B2 v1 v2 v3 x v1 1 0 1/2 1/2 v2 0 1 -1 0 e3 0 0 7/2 1/2

B3 v1 v2 v3 x v1 1 0 0 3/7 v2 0 1 0 1/7 v3 0 0 1 1/7

Cum nu au fost probleme în schimbarea vectorilor ei cu vi (s-au găsit pivoţi – elemente nenule) rezultă că vectorii din S pot forma o bază. În plus, coordonatele vectorului x=(1,1,1) în baza S sunt (3/7, 1/7, 1/7).

metoda eliminarii complete

Documents