sisteme diferentiale liniare de ordinul 1 · metoda eliminarii˘ metoda diagonalizarii˘ matricea...

Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii

Matricea exponentiala

Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1

1 Metoda eliminarii

2 Metoda diagonalizariiCazul valorilor proprii realeCazul valorilor proprii nereale

3 Matricea exponentiala

Catedra de Matematica

Forma generala a unui sistem liniar

Consideram sistemul

y ′1(x) = a11y1(x) + a12y2(x) + · · ·+ a1nyn + f1(x)y ′2(x) = a21y1(x) + a22y2(x) + · · ·+ a2nyn + f2(x)

· · ·y ′n(x) = an1y1(x) + an2y2(x) + · · ·+ annyn + fn(x)

unde fi sunt functii continue pe intervalul (a,b).

Consideram sistemul

Y (x) =

y1(x)y2(x)· · ·

F (x) =

f1(x)f2(x)· · ·

A = (ai,j), i , j = 1, · · · ,n. Sistemul devine

Y ′(x) = AY (x) + F (x). (2)

Sistem liniar omogen

Daca F = 0 atunci sistemul se numeste omogen.

Definitia

Solutiile Y1, · · · ,Yn formeaza un sistem fundamental de solutiipentru sistemul omogen daca

W (x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣y1,1 y1,2 · · · y1,ny2,1 y2,2 · · · y2,n· · · · · · · · · · · ·yn,1 yn,2 · · · yn,n

∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0

W (x) se numeste wronskian.

Solutia generala

TeoremaSolutia generala a sistemului liniar este de forma

Y = c1Y1 + · · ·+ cnYn + Yp

unde Y1, · · · ,Yn formeaza un sistem fundamental de solutii alesistemului omogen, iar Yp este o solutie particulara.

Problema Cauchy

Problema Cauchy inseamna determinarea unei solutii asistemului diferential liniar care sa satisfaca conditiile initiale

y1(x0) = y1,0· · ·

yn(x0) = yn,0

Metoda eliminarii

Metoda consta în derivari succesive ale ecuatiilor si eliminareaa n − 1 functii necunoscute; se ajunge la o ecuatie diferentialaliniara de ordinul n.

Exemple

1. Sa se rezolve sistemul{y ′1 = y2

y ′2 = −y1

2. Sa se rezolve sistemuly ′1 = y2 + y3y ′2 = y1 + y3y ′3 = y1 + y2

Determinati un sistem fundamental de solutii.

Sa se rezolve problema Cauchyy ′1 + 3y1 + 4y2 = 2xy ′2 − y1 − y2 = xy1(0) = 0y2(0) = 0

Cazul valorilor proprii realeCazul valorilor proprii nereale

Metoda diagonalizarii

Presupunem ca matricea A admite forma diagonala.Exista o baza de vectori propriisi o matrice notata D care are pe diagonala valorile proprii,astfel ca are loc

D = C−1AC. (4)

unde C este matricea de schimbare de baza.

D = C−1AC. (4)

Consideram transformarea

Y = CU (5)

care duce la noi functii necunoscute ui , i = 1, . . . ,n.Substituim în ecuatia (2) si avem

CU ′ = ACU + F (x) (6)

Consideram transformarea

Y = CU (5)

care duce la noi functii necunoscute ui , i = 1, . . . ,n.Substituim în ecuatia (2) si avem

CU ′ = ACU + F (x) (6)

Dar matricea C este inversabila si obtinem

U ′ = C−1ACU + C−1F (x) (7)

care devine, daca folosim (4)

U ′ = DU + C−1F (t). (8)

Vectorul solutiilor Y rezulta din rezolvarea sistemului

Y (t) = CU(x).

Dar matricea C este inversabila si obtinem

U ′ = C−1ACU + C−1F (x) (7)

care devine, daca folosim (4)

U ′ = DU + C−1F (t). (8)

Vectorul solutiilor Y rezulta din rezolvarea sistemului

Y (t) = CU(x).

Exemple

Rezolvati sistemul prin metoda diagonalizarii matricei1. {

y ′1 + 2y1 + 4y2 = 1 + 4xy ′2 + y1 − y2 = 3/2x2

2. {y ′1 = y1 + y2

y ′2 = y1 + y2 + x

Exemple

Rezolvati sistemele prin metoda diagonalizarii matricei1. {

y ′1 + 2y1 − y2 = sin xy ′2 + 4y1 + 2y2 = cos x

2. {y ′1 = −7y1 + y2

y ′2 = −2y1 − 5y2

Matricea eAx

Fie A o matrice patratica; definim matricea exponentiala

eAx = I + xA +x2

2!A2 +

3!A3 + · · ·

Matricea eAx are proprietatile1. Toate elementele sunt serii absolut convergente pentru oricex fixat2. Are loc

ddxn (eAx) = AneAx , n = 1,2, · · ·

Matricea eAx

eAx = I + xA +x2

2!A2 +

3!A3 + · · ·

ddxn (eAx) = AneAx , n = 1,2, · · ·

Matricea eAx

eAx = I + xA +x2

2!A2 +

3!A3 + · · ·

ddxn (eAx) = AneAx , n = 1,2, · · ·

Presupunem ca A este diagonalizabila.Exista deci o matrice C inversabila si o matrice diagonala

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · λn

astfel ca

A = CDC−1

Observând ca

An = CDnC−1

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · λn

astfel ca

A = CDC−1

Observând ca

An = CDnC−1

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · λn

astfel ca

A = CDC−1

Observând ca

An = CDnC−1

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · λn

astfel ca

A = CDC−1

Observând ca

An = CDnC−1

eAx = I +(CDC−1)x +(CD2C−1)x2

2!+ · · ·+(CDnC−1)

n!+ · · · =

C(I + Dx + D2 x2

2!+ · · ·+ Dn xn

n!+ · · · )C−1 =

eλ1x 0 · · · 0

0 eλ2x · · · 0· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · eλnx

Rezolvarea sistemelor diferentiale liniare

Fie sistemul diferential

Y ′(x) = AY (x)Y (x0) = Y0

Vectorul

Y (x) = eAxY0

este solutia problemei initiale Cauchy, deoarece

(eAx)Y0 = AeAxY0.

Rezolvarea sistemelor diferentiale liniare

Fie sistemul diferential

Y ′(x) = AY (x)Y (x0) = Y0

Vectorul

Y (x) = eAxY0

este solutia problemei initiale Cauchy, deoarece

(eAx)Y0 = AeAxY0.

Exemple

Rezolvati prin metoda diagonalizarii1. {

y ′1 = −2y1 − 3y2y ′2 = 6y1 + 7y2

2. {y ′1 = −3y1 − 4y2

y ′2 = 2y1 + y2

sisteme diferentiale liniare de ordinul 1 · metoda eliminarii˘ metoda diagonalizarii˘ matricea...

Documents