mecanica_2_vlase

Universitatea TRANSILVANIA Braşov

Centrul pentru Învăţământ la Distanţă şi Învăţământ cu Frecvenţă Redusă

FACULTATEA DE INGINERIE MECANICĂ

AUTOVEHICULE RUTIERE

Sorin VLASE

MECANICĂ - II -

CURS PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNT CU FRECVENŢĂ REDUSĂ

ANUL II – SEM. 1 2012

i

CUPRINS

Cinematica Cap.1 - Cinematica punctului material........................................................................................ 1

1.1. Elementele generale ale mişcării punctului.............................................................. 1 1.2. Componentele vitezei şi acceleraţiei în diferite sisteme de coordonate................... 4 1.3. Mişcări particulare ale punctului material................................................................ 8 Rezumatul principalelor cunoştinţe prezentate ...................................................... 11

Întrebări de verificare şi probleme propuse............................................................ 12 Cap.2 - Cinematica rigidului ..................................................................................................... 13

2.1. Elementele generale ale mişcării rigidului ............................................................. 13 Rezumatul principalelor cunoştinţe prezentate ...................................................... 19 Întrebări de verificare şi probleme propuse............................................................ 19 Dinamica Cap.3 - Noţiuni introductive în dinamică.................................................................................. 20

3.1. Impuls..................................................................................................................... 20 3.2. Momentul cinetic.................................................................................................... 21 3.3. Lucrul mecanic....................................................................................................... 21 3.4. Forţe conservative (funcţia de forţă) ...................................................................... 23 3.5. Energia mecanică ................................................................................................... 24 3.6. Puterea mecanică.................................................................................................... 25 3.7. Randamentul mecanic ............................................................................................ 25 Rezumatul principalelor cunoştinţe prezentate ...................................................... 26

Cap.4 - Dinamica punctului material ........................................................................................ 28 4.1. Dinamica punctului material liber.......................................................................... 28 4.2. Teoremele fundamentale ale dinamicii aplicate punctului material....................... 29 4.3. Mişcarea punctului material sub acţiunea greutăţii................................................ 31 4.4. Pendulul simplu ..................................................................................................... 34 Rezumatul principalelor cunoştinţe prezentate ...................................................... 36 Întrebări de verificare şi probleme propuse............................................................ 36

Cap.5 – Dinamica sistemelor de puncte materiale .................................................................... 38 5.1. Ecuaţiile de mişcare ale unui sistem de puncte materiale ...................................... 38 5.2. Teorema impulsului................................................................................................ 39 5.3. Teorema momentului cinetic.................................................................................. 40 5.4. Teorema energiei cinetice ...................................................................................... 41 Rezumatul principalelor cunoştinţe prezentate ...................................................... 42 Întrebări de verificare şi probleme propuse............................................................ 43

Cap.6 – Dinamica rigidului ....................................................................................................... 44 6.1. Noţiuni fundamentale............................................................................................. 44 6.2. Momente de inerţie................................................................................................. 47 Rezumatul principalelor cunoştinţe prezentate ...................................................... 50 Întrebări de verificare şi probleme propuse............................................................ 52

Cap.7 – Dinamica rigidului cu axă fixă..................................................................................... 53 7.1. Ecuaţiile de mişcare şi calculul reacţiunilor........................................................... 53 Rezumatul principalelor cunoştinţe prezentate ...................................................... 58

Cap. 8 - Dinamica rigidului în mişcarea plan – paralelă ........................................................... 60 8.1. Ecuaţiile de mişcare ............................................................................................... 60

S.I. VLASE – MECANICA TEHNICĂ. II-1.Cinematica

1

CAPITOLUL 1

CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 1.0. Obiectivele capitolului Se definesc noţiunile fundamentale ale cinematicii: traciectorie, viteză şi acceleraţie pentru punct material şi sunt exprimate în diferite sisteme de coordonate (coordonate carteziene, coordonate cilindrice, coordonate naturale) aceste noţiuni. Sunt analizate mişcările simple ale punctului material şi anume mişcare rectiline uniformă şi uniform variată şi mişcarea circulară. Întrega dezvoltare a cinematicii se bazează pe noţiunile prezentate. 1.1. Elementele generale ale mişcării punctului 1.1.1. Introducere Presupunem un punct material care are o mişcare oarecare în spaţiu. Vectorul de poziţie al punctului în raport cu originea O a unui sistem de referinţă va fi o funcţie )(trr rr

= . În cazul în care se cunoaşte această funcţie, mişcarea punctului este complet determinată. Considerente fizice pentru ca funcţia să reprezinte o mişcare reală impun ca aceasta să fie uniform continuă (punctul nu poate sări de la o poziţie la alta, el trebuie să parcurgă toate punctele unei curbe continue ce uneşte cele două poziţii), derivabilă (legea a doua a lui Newton implică derivata a doua a vectorului de poziţie) şi finită în modul (spaţiul observabil se află la distanţă finită). 1.1.2. Traiectorie Definiţie. Locul geometric al poziţiilor succesive ale punctului material aflat în mişcare se numeşte traiectorie. Traiectoria este în general o curbăa (infinită sau închisă) sau un arc de curbă. Prin raportare la un referenţial vectorul de poziţie rr poate fi definit în general de trei componente scalare. Dacă, spre exemplu, considerăm sistemul de coordonate carteziene (fig.1.1), atunci:

kzjyixrrrrr

++= x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t) .

Dacă se elimină timpul între x(t), y(t) si z(t) se poate obţine ecuaţia traiectoriei sub forma intersecţiei a două suprafeţe. În cazul sistemului de coordonate cilindrice, cele trei funcţii care definesc vectorul de poziţie sunt raza polară ρ , unghiul polar θ şi cota z (fig.1.2). Relaţiile:

ρ = ρ(t) ; θ = θ(t) ; z = z(t) ,


2

reprezintă ecuaţiile parametrice ale traiectoriei. Exprimarea mărimilor cinematice în diferite sisteme de coordonate va fi examinată ulterior.

1.1.3. Viteza Noţiunea de viteză exprimă cantitativ o proprietate calitativă a mişcării. Astfel, un corp se poate mişca repede sau încet. Pentru a o studia, să considerăm un punct material care se mişcă pe o curbă (fig.1.2).

Între cele două puncte A şi B punctul material poate ajunge mai repede sau mai încet. În cazul mişcării rectilinii se defineşte viteza medie a mişcării unui punct material ca raportul dintre spaţiul parcurs şi timpul în care are loc mişcarea. Viteza medie nu poate caracteriza complet mişcarea între două puncte întrucât, spre exemplu, prima jumătate de drum poate fi parcursă mai repede, iar a doua mai încet. Să definim în cazul din figura 1.2 viteza medie ca fiind:

tAB

trr

trv AB

med ∆=

∆−

=∆∆

=→rrr

r .

Viteza medie este un vector cu direcţia lui

→

AB . Dacă scurtăm intervalul ∆t, astfel încât punctul să ajungă din A în C, viteza medie se modifică. Această observaţie ne duce la ideea de a ne apropia cât mai mult de punctul A, făcând intervalul ∆t cât mai mic. Putem defini în acest caz o mărime rv numită viteza punctului material la un moment dat sau mai pe scurt, viteza în punctul A:

Fig.1.1. Definirea poziţiei unui punct material

Fig.1.2. Viteza punctului material


3

rdtrdv &rr

r==

Viteza este tangentă traiectoriei. Într-adevăr:

τrr⋅=

∆⋅⋅=

∆=

→

→∆

→

→∆v

tarcAB

arcABAB

ABAB

tABv

tt 00limlim

unde rτ este versorul tangentei la curbă. S-a ţinut seama că:

vt

arcABarcAB

ABABAB

ttt=

∆==

→∆→∆

→

→∆ 000lim;1lim;lim τr .

Ecuaţia dimensională a vitezei este: [ ]v

LT

L T= = ⋅ −1.

În SI viteza se măsoară în metri pe secundă (m/s). Unităţi tolerate sunt kilometrul pe oră (km/h) şi kilometrul pe secundă (km/s). 1.1.4. Acceleraţia În studiul mişcării punctului material, legea a doua a lui Newton leagă forţa de o altă noţiune, acceleraţia, care ne arată cât de repede variază viteza. S-a mutat printr-o echipolenţă vectorul viteză al punctului B în A (fig.1.3). Variaţia vitezei va fi:

AB vvv rrr−=∆

iar viteza de variaţie a acesteia poartă numele de acceleraţie medie:

tvv

tva AB

med ∆−

=∆∆

=rrr

r .

La fel ca în cazul definirii vitezei unui punct putem introduce noţiunea de acceleraţie instantanee a punctului material pe traiectorie:

rvdt

rddtvd

tva

t&&r&r

rrrr

====∆∆

=→∆ 2

2

0lim .

Acceleraţia este o mărime vectorială a cărei expresie este derivata vitezei în raport cu timpul. Ecuaţia dimensională a acceleraţiei se va scrie:

[ ] [ ][ ]

21 −⋅=⋅== TLTT

Ltva .

În SI acceleraţia se măsoară în metri pe secundă la pătrat.

Fig.1.3. Acceleraţia


4

1.2. Componentele vitezei şi acceleraţiei în diferite sisteme de coordonate 1.2.1. Sistemul de coordonate carteziene Expresiile vitezei şi acceleraţiei Vectorul de poziţie al punctului material M (fig.1.4), r rr r t= ( ) are în sistemul de referinţă cartezian următoarele componente:

x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t) . care reprezintă ecuaţiile parametrice ale traiectoriei. Dacă se elimină timpul se poate obţine ecuaţia traiectoriei ca intersecţie a două suprafeţe:

0),,(;0),,( 21 == zyxzyx ϕϕ . Viteza va fi:

kvjvivkzjyixv zyx

rrrr&

r&

r&

r++=++= cu valoarea dată de:

222 zyxv &&& ++= . Acceleraţia este:

kajaiakzjyixa zyx

rrrr&&

r&&

r&&

r++=++= cu valoarea

dată de: 222 zyxa &&&&&& ++= .

În scriere matriceală:

;;;⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

zyx

aaa

azyx

vvv

vzyx

r

z

y

x

z

y

x

&&

&&

&&

&

&

&

.; 22222222 zyxaaazyxvvv TT &&&&&&&&& ++==++==

Aplicaţie. Mişcarea pe elicea cilindrică. (fig.1.5)

Ecuaţiile parametrice ale elicei cilindrice cu pas constant sunt:

αθθθ

tgRzRyRx

===

;sin;cos

.

Prin derivare se obţin componentele vitezei şi acceleraţiei:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

−==

−−==

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

==

−==

.

;sincos

;cossin

.

;cos

;sin2

2

αθ

θθθθ

θθθθ

αθ

θθ

θθ

tgRza

RRya

RRxa

tgRzv

Ryv

Rxv

z

y

x

z

y

x

&&&&

&&&&&

&&&&&

&&

&&

&&

Fig.1.4. Sistemul de coordonate

carteziene

Fig.1.5. Mişcarea pe elicea cilindrică


5

De unde: ( ) ( )

.cos/

cos/1 222222222

αθ

αθαθ&

&&&&&

Rv

RtgRzyxv

=

=+=++=

( )( ).cos/

cos/422

42222242222

θαθ

θαθαθθ&&&

&&&&&&

+=

+=++=

Ra

RtgRRRa

Lungimea arcului de elice este dată de relaţia:

∫ ∫ ∫ ==== βα

θα

β

coscos 0

RdtRdtvdss .

1.2.2. Sistemul de coordonate cilindrice Poziţia unui punct M pe traiectorie este definită de coordonatele θ (unghiul polar), ρ (raza polara) şi z (cota). A cunoaşte mişcarea revine la a cunoaşte dependenţele ρ=ρ(t), θ =θ(t) şi z = z(t). Se alege un sistem de coordonate legat de punctul material M în felul următor: versorul ρer este paralel

cu proiecţia vectorului →

OM pe planul Oxy (are direcţia razei polare), versorul reθ este paralel cu planul Oxy şi perpendicular pe reρ astfel încât sistemul format din versorii ρer , θer şi k

r să fie drept, k

r reprezentând versorul axei Oz. În acest caz se

poate scrie vectorul de poziţie al punctului M: kzerrrr

⋅+⋅= ρρ

Sistemul de referinţă determinat de cei trei versori se numeşte sistemul de referinţă cilindric. Versorii ρer şi θer se exprimă în funcţie de θ prin relaţiile:

jie

jierrr

rrr

θθ

θθ

θ

ρ

cossin

sincos

+−=

+=

de unde se obţine, prin derivare:

Fig.1.6 Sistemul de coordonate cilindrice


6

( )( ) ρθ

θρ

θθθθ

θθθθ

ejie

ejier&&

rr&r

r&&rr&r

⋅−=+−=

⋅=+−=

sincos

cossin

Viteza, obţinută prin derivarea vectorului de poziţie va fi: kzeekzeervr

&r&r

&r

&&rr&&rr

⋅+⋅⋅+⋅=⋅+⋅+⋅== θρρρ θρρρρ cu componentele:

v radiala v transversala v z axialazρ θρ ρ θ= = ⋅ =& ( ); & ( ); & ( ), şi valoarea:

2222 zv &&& ++= θρρ . Acceleraţia, ca derivata vitezei în raport cu timpul, respectiv ca derivata de ordinul doi a vectorului de poziţie, va avea expresia:

=⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅=== kzeeeeervar

&&&r&r&&r&&&r&r

&&&&r&rrθθθρρ θρθρθρρρ

( ) ( ) kzeer

&&r&&&&r&&& ⋅+⋅+⋅+⋅−= θρ θρθρθρρ 22

cu componentele: zaaa z &&&&&&&&& =⋅+⋅=⋅−= ;2;2 θρθρθρρ θρ ,

şi valoarea: ( ) ( ) 2222 2 za &&&&&&&&& ++⋅+⋅−= θρθρθρρ .

În scriere matriceală avem (în sistemul de referinţă definit de versorii ρer ,

θer şi kr

):

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅+⋅⋅−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

za

zv

zr

&&

&&&&

&&&

&

&

&

θρθρθρρ

θρρ

θρ

2;;

2

.

1.2.3. Sistemul de coordonate polare Este un caz particular al sistemului de coordonate cilindric, când mişcarea se desfăşoară în plan (z = 0), (fig.1.7).

Versorii sistemului plan de coordonate sunt ρer şi θer aşezaţi perpendicular, astfel încât să formeze un sistem drept. În acest caz relaţiile care definesc viteza şi acceleraţia punctului material sunt:

rerr rr⋅=

222; θθ θ&&

r&r&

r rrvererv r +=⋅⋅+⋅= ( ) ( )

( ) ( )222

2

2

;2

θθθ

θθθ θ

&&&&&&&

r&&&&r&&&r

rrrra

errerra r

++−=

++−=

Fig.1.7. Sistemul de coordonate polare


7

Componentele acceleraţiei se pot scrie: ( )

tdrd

rrrarrar

θθθθ θ

&&&&&&&&

22 12; ⋅=+=−= .

Viteza areolară. Se defineşte o mărime care caracterizează creşterea ariei sectoriale cuprinsă între două raze vectoare şi arcul de traiectorie. Această mărime prezintă importanţă în studiul mişcării punctului material aflat în câmp central de forţe şi poartă numele de viteză areolară Ω (fig.1.8):

tS

t ∆∆

=Ω→0

lim

Din figură se constată că Ω trebuie să verifice relaţiile:

( )trr

tS

tr

∆∆∆+

<∆∆

<∆∆ θθ 22

în cazul în care ∆r > 0. Prin trecere la limită se obţine:

( )trr

tS

tr

ttt ∆∆∆+

≤∆∆

≤∆∆

→∆→∆→∆

θθ 2

00

2

0limlimlim de unde

2

2θ&r=Ω . Dacă ∆r < 0 raţionamentul este

analog. Noţiunea de viteză areolară ca şi expresia ei care au fost definite în cazul mişcării plane rămân valabile şi în cazul mişcării punctului material pe o curbă în spatiu. 1.2.4. Sistemul de coordonate naturale (Frenet). Expresiile vitezei şi acceleratiei Presupunem că un punct material se mişcă pe o curbă (C) a cărei ecuaţie este cunoscută. Pe curbă se ia un punct de referinţă A de la care se măsoară lungimea arcului de curbă. Poziţia punctului material poate fi definită în acest caz prin lungimea arcului de curba s definit ca funcţie de timp s = s(t) (ecuaţia orară a mişcării), (fig.1.9).

Ataşăm punctului M sistemul mobil de coordonate cu versorii rτ (după direcţia tangentei, în sensul creşterii lui s), rν în direcţie normală la curbă (normala principală, orientată spre concavitatea curbei) şi

rβ , versorul binormal dat de

relaţia ντβrrr

×= . Triedrul considerat este numit triedrul lui Frenet. Există relaţia:

ττ rr&

r&rr

⋅=⋅=⋅== vstdsd

sdrdrv unde τr

r

=sdrd .

Fig.1.8. Viteza areolară

Fig.1.9. Sistemul de coordonate

naturale


8

Componentele vitezei pe axele triedrului lui Frenet sunt: 0;0; === βντ vvsv & .

Pentru acceleraţie avem relaţia: ττ &r&

r&&

rr

⋅+⋅== sstdvda

dar ρντr

&r

&r ⋅=⋅= stdsd

sdrd . S-a folosit relaţia:

ρνrr

=sdrd (prima formula a lui Frenet).

Atunci:

νρ

τrr

&r

⋅+⋅=2vva .

Componentele acceleraţiei vor fi:

0;;2

=== βντ ρavava & .

Dacă aτ = 0 rezultă v = ct. iar mişcarea este o mişcare rectilinie uniformă. Dacă aτ şi v au acelaşi sens, mişcarea se numeşte accelerată (aτ = ct., uniform accelerată), iar dacă aτ şi v au semne contrare, mişcarea se numeşte întârziată sau încetinită (aτ = ct., uniform încetinită). Acceleraţia normală este întotdeaună orientată de-a lungul normalei întrucât aν > 0. Dacă aν =0, v = ct si 1/ρ = 0, mişcarea este rectilinie şi uniformă. Valoarea acceleraţiei este:

2

42

ρvva += & .

Aplicaţie. Să se calculeze raza de curbură a elicei cilindrice.

Se va folosi relaţia 22

2

vav

&−=ρ în care se fac următoarele înlocuiri:

αθ

cos

&Rv = ; 0=v& ; 2θ&Ra = . Rezultatul obţinut pentru raza de curbură a elicei

cilindrice este:

αρ 2cos

R= .

1.3. Mişcări particulare ale punctului material 1.3.1. Mişcarea rectilinie şi uniformă Definiţie. Mişcarea rectilinie şi uniformă este mişcarea în care traiectoria este o dreaptă, iar viteza este constantă. Cel mai convenabil este de a analiza această mişcare în sistemul de coordonate carteziene, considerând că mişcarea se face de-a lungul axei Ox. Astfel:


9

0;0;0 === zyx vvvv unde 210 CtCxctvxvx +=⇒=== & . Condiţiile iniţiale permit determinarea constantelor de integrare. Ştiind că la momentul iniţial avem:

00 ;;0 vvxxt === rezultă: 200100 ; CxxCvv ttx ==== == Deci tvxx 00 += . Acceleraţia va fi: 0=== xva &&& . Reciproc, mişcarea pentru care acceleraţia este nulă, este mişcarea rectilinie şi uniformă. Astfel: 0;0;0 === zyx &&&&&& duce la: 321 ;; CzCyCx === &&&

635241 ;; CtCzCtCyCtCx +=+=+= . Punând condiţiile iniţiale, şi anume la momentul t=0 avem:

zzyyxx vvvvvv 000 ;; === 000 ;; zzyyxx ===

rezultă: tvzztvyytvxx zyx 000000 ;; +=+=+= . Eliminând timpul între cele trei relatii de mai sus se obţine ecuaţia traiectoriei (dreapta):

zyx vzz

vyy

vxx

0

0

0

0

0

0 −=

−=

−

iar valoarea vitezei este: .2

020

20

20

2 ctvvvvv zyx ==++= 1.3.2. Mişcarea rectilinie uniform variată Definiţie. Mişcarea rectilinie uniform variată este mişcarea pentru care traiectoria este o dreaptă, iar acceleraţia este constantă. Pentru simplitate se consideră axa Ox pe direcţia traiectoriei mobilului. Atunci:

;0;0; === zyx aaaa

321 ;; CvCvCtav zyx ==+= ;

635241

2

;;2

CtCzCtCyCtCtax +=+=++= .

Condiţiile iniţiale corespunzând momentului t = 0 sunt: ;0;0;0 === zyxx vvvv .0;0;0 === zyxx

Rezultă: ;0;0;0 ==+== zyx vvtavvv

.0;0;2

2

00 ==++= zytatvxx x

Dacă se elimină timpul între legea spaţiului şi a vitezei, se obţine formula lui Galilei (Torricelli):


10

00

0

200

2; x

avv

va

vvaxa

vvt +

−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−

=

de unde ( )020

2 2 xxavv −+= . Când v0 = 0, x0 = 0 (mobilul pleacă din origine cu viteza iniţială nulă) avem:

xav 22 = Dacă acceleraţia şi viteza au acelaşi sens, mişcarea se numeşte uniform accelerată, iar dacă au sensuri contrare se numeşte uniform încetinită sau întârziată. 1.3.3. Mişcarea circulară Definiţie. Mişcarea circulară este mişcarea unui punct material pe un cerc fix. Această mişcare poate fi studiată atât în coordonate carteziene (fig.1.10), în cele polare (fig.1.11) cât şi în cele naturale (fig.1.12).

Astfel, coordonatele carteziene ale punctului material aflat în mişcare pe cerc sunt:

θθ sin;cos RyRx == , de unde, prin derivare, se obţine succesiv:

θθθθ cos;sin &&&& RyRx =−= ; θθθθθθθθ sincos;cossin 22 &&&&&&&&&& RRyRRx −=−−= ,

cu θθ && RvRv =⇒= 222 si ( )4222 θθ &&& += Ra . Dacă θ&= ct, mişcarea se numeşte mişcare circulară uniformă. Notând

0ωθ =& rezultă 00 θωθ += t . Dacă θ&& > 0 mişcarea este uniform accelerată, iar dacă &&θ < 0 mişcarea este uniform întârziată. Notând 0ωθ =& şi εθ =&& se obţine legea

spaţiului 00

2

2θωθ ε

++= tt . În coordonate polare (fig.1.11) se scrie:

reRr rr⋅=

Fig.1.10. Coordonate carteziene Fig.1.11. Copordonate polare


11

;; θθ θ&r&r RveRv ==

422 ; θθθθ θ&&&r&&r&r

+=+−= RaeReRa r cu componentele: θθ θ

&&& RaRar == ;2 . În coordonate naturale (fig.1.12) avem:

( )0θθ −== RAMs τθτθ r&r

&r&& RsvRsv ==== ;

νθτθ

θρ

θ ντ

r&r&&r

&&&&&&

2

22

;;

RRa

RsaRsa

+=

====

22 θθ

θθα

ν

τ

&

&&

&

&&===

RR

aa

tg .

Rezumatul principalelor cunoştinţe prezentate Traiectoria: - cordonate carteziene kzjyixr

rrrr++= ; x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t) .

-coordonate cilindrice: ρ = ρ(t) ; θ = θ(t) ; z = z(t) ,

Viteza: r

dtrdv &rr

r==

Acceleraţia:

rvdt

rddtvd

tva

t&&r&r

rrrr

====∆∆

=→∆ 2

2

0lim

Componentele vitezei şi acceleraţiei în diferite sisteme de coordonate • Sistemul de coordonate carteziene x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t) .

kvjvivkzjyixv zyx

rrrr&

r&

r&

r++=++= 222 zyxv &&& ++= .

kajaiakzjyixa zyx

rrrr&&

r&&

r&&

r++=++= 222 zyxa &&&&&& ++= .

• Sistemul de coordonate cilindrice ρ=ρ(t), θ =θ(t), z = z(t). kzeekzeerv

r&

r&r&

r&&rr

&&rr⋅+⋅⋅+⋅=⋅+⋅+⋅== θρρρ θρρρρ

2222 zv &&& ++= θρρ . =⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅=== kzeeeeerva

r&&&r&r&&r&&&r&

r&&&&r&rr

θθθρρ θρθρθρρρ ( ) ( ) kzee

r&&

r&&&&r&&& ⋅+⋅+⋅+⋅−= θρ θρθρθρρ 22

( ) ( ) 2222 2 za &&&&&&&&& ++⋅+⋅−= θρθρθρρ . • Sistemul de coordonate polare rerr rr

⋅=

Fig.1.12. Coordonate

naturale


12

222; θθ θ&&

r&r&

r rrvererv r +=⋅⋅+⋅= ( ) ( )

( ) ( )222

2

2

;2

θθθ

θθθ θ

&&&&&&&

r&&&&r&&&r

rrrra

errerra r

++−=

++−=

( )td

rdr

rrarrarθθθθ θ

&&&&&&&&

22 12; ⋅=+=−= .

• Sistemul de coordonate naturale (Frenet). s = s(t) ττ rr

&r

&rr⋅=⋅=⋅== vs

tdsd

sdrdrv

ττ &r&r

&&r

r⋅+⋅== ss

tdvda ; ν

ρτ

rr&

r⋅+⋅=

2vva .

Raza de curbură a traiectoriei.

22

2

vav

&−=ρ

av

vrr

×=

3

ρ .

Întrebări de verificare şi probleme propuse

1. Să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia unui punct material care aparţine unui cerc ce se rostogoleşte, fără alunecare, pe un plan prizontal (mişcare pe cicloidă). 2. Să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia unui punct material care aparţine unei drepte ce se rostogoleşte, fără alunecare, pe un cerc fix (mişcare pe evolventă). 3. Să se determine raza de curbură a cicloidei, generată de cercul de rază R. 4. Să se determine raza de curbură a unei evolvente generată prin rostogolirea unei drepte pe un cerc de fix de rază R. 5. Să se determine traiectoria unui punct aruncat cu o viteză iniţială 0v care face unghiul α cu orizontala, în câmp gravitaţional constant 6. Să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia unui punct ce aparţine unui cerc de rază r, care se rostogoleşte, fără alunecare, pe un cerc fix de rază R.


13

CAPITOLUL 2

CINEMATICA RIGIDULUI

2.0. Obiectivele capitolului Sunt utilizate noţiunile definite în capitolul anterior pentru studiul mişcării unui rigid. Întrucât poziţia geometrică a unui rigid, deşi acesta este alcătuit dintr-o infinitate de puncte material, poate fi definită doar de şase parametrii scalari, este natural ca descrierea câmpului de vitezeşi acceleraţii ale unui rigid să se poată face prin intermediul unui număr redus de parametrii. Acest lucru se realizează prin raportarea rigidului la un sistem local de coordonate, legat de rigid, şi care participă împreună cu acesta la mişcare. Sunt definite noţiunile de viteză unghiulară, acceleraţie unghiulară şi sunt analizate proprietăţi ale câmpului de viteze în cazul unui rigid, în mişcare generală, tridimensională. 2.1. Elementele generale ale mişcării rigidului 2.1.1. Definirea poziţiei unui rigid A cunoaşte poziţia unui rigid revine la a cunoaşte poziţia tuturor punctelor sale. Condiţia de comportare rigidă face ca numărul de parametri necesari pentru a defini poziţia rigidului în spaţiu să fie şase. Astfel, în plan, putem determina poziţia unui punct aparţinând unui rigid ataşând corpului un sistem de referinţă local Oxy. Acesta este definit, în raport cu sistemul de referinţă global, prin coordonatele originii O(x0,y0) şi prin unghiul θ făcut de axa Ox cu axa Ox1. Dacă cunoaştem poziţia unui punct M(x,y) în raport cu sistemul de referinţă local Oxy, poziţia lui faţă de sistemul de referinţă global O1x1y1 se determină cu relaţiile:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

yx

yx

θθθθ

cossinsincos

1

1

cunoscute din geometria analitică. Cu notaţiile:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=θθθθ

cossinsincos

;;;0

00

1

11 R

yx

ryx

ryx

r

avem:

[ ] ρR+=+= 001 rrrr . Aceleaşi relaţii se puteau obţine şi scriind:


14

jyixjyixrrrrrrrrrr

+++=+= 10110101 .

Ţinând seama de faptul că (vezi fig.2.1):

i j=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=−⎧

⎨⎩

⎫⎬⎭

cossin ;

sincos

θθ

θθ

se obţine relaţia: [ ] r r1 0= + R ρ

unde:

[ ] [ ]ji=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

θθθθ

cossinsincos

R

reprezintă matricea de rotaţie, ce conţine vectorii bazei sistemului de referinţă local. Se verifică cu usurinţă că [R] este o matrice ortonormală, deci:

[ ][ ] [ ] [ ] [ ]ERRRR == TT si det [R] = 1. În mod analog să considerăm un rigid căruia îi ataşăm un sistem de coordonate local Oxyz. Poziţia punctului material M în raport cu sistemul local este cunoscută prin coordonatele sale x,y,z. Poziţia punctului M în raport cu sistemul global de coordonate O1x1y1z1 va fi determinată dacă se cunosc: - poziţia originii sistemului de referinţă local O; - versorii ortogonali i

r, jr

şi kr

ai celor trei axe. Cum un versor are trei componente, cunoaşterea celor trei versori ar impune cunoaşterea a nouă componente scalare. Condiţiile ca i

r, jr

şi kr

să reprezinte baza unui sistem ortonormat duc la şase condiţii:

0;0;0

;1;1;1 222

=⋅=⋅=⋅

===

ikkjji

kjirrrrrr

rrr

.

deci sunt suficienţi trei parametri scalari pentru a caracteriza poziţia axelor sistemului de referinţă mobil. Dacă considerăm şi cei trei parametri care

Fig.2.1. Raportarea rigidului la sistemele de coordonate local şi

global


15

definesc poziţia originii O, rezultă că poziţia sistemului de referinţă local, deci şi a rigidului, este definită de şase parametri scalari.

Versorii ri ,

rj şi

rk sunt definiţi de

relaţiile:

;,cos(

),cos(),cos(

;,cos(

),cos(),cos(

;,cos(

),cos(),cos(

1

1

1

1

1

1

1

1

1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

zzyzxz

i

zyyyxy

j

zxyxxx

i

unde cos(x,x1) reprezintă cosinusul făcut de axa Ox cu axa O1x1

(proiectia versorului ri pe axa O1x1), etc. Avem relaţia:

rrr += 01 , deci

kzjyixkzjyixkzjyixrrrrrrrrr

+++++=++ 101010111111 de unde înlocuind

ri ,

rj şi

rk şi efectuând calculele se obţine:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

zyx

xzxyzxxzxyyxxzxyxx

zyx

zyx

),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(

111

111

111

0

0

0

1

1

1

sau:

[ ] [ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

zyx

zyx

zyx

kjizyx

zyx

R

0

0

0

0

0

0

1

1

1

unde s-a notat:

[ ] [ ]kjixzxyzxxzxyyxxzxyxx

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=


111

111

111

R

Se verifică cu uşurinţă că [R] este ortonormală deci verifică relaţia:

[ ][ ] [ ] [ ] [ ]ERRRR == TT relaţie matriceală ce impune şase relaţii scalare între cosinuşii directori. Pentru uşurinţa calculului s-a notat:

Fig.2.2. Raportarea rigidului la

sistemele de coordonate local(mobil) şi global(fix)


16

;;;

3

3

3

2

2

2

1

1

1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

γβα

γβα

γβα

kji

Se obţin relaţiile scalare:

0;1

0;1

0;1

13131323

23

23

32323222

22

22

21212121

21

21

=++=++

=++=++

=++=++

γγββααγβα

γγββααγβα

γγββααγβα

Din cei nouă cosinuşi directori care apar în matricea de rotaţie [R] doar trei pot fi aleşi independenţi. În practică, cosinuşii directori sunt utilizaţi rar ca parametri independenţi, alegându-se alţi trei parametri, spre exemplu unghiurile lui Euler, mai uşor de utilizat în aplicaţii. Cosinuşii directori vor fi exprimaţi în funcţie de aceşti parametri independenţi. 2.1.2. Deplasări finite. Deplasări infinitezimale. Deplasarea dintr-o poziţie iniţială în cea finală se face printr-o succesiune de deplasări. Relaţia [ ] ρR+= 01 rr caracterizează numai poziţia iniţială şi finală a corpului fără a da informaţii despre felul (poziţiile intermediare) în care s-a făcut deplasarea. În cazul deplasării în plan (fig.2.3,a) vectorul r0 caracterizează translaţia, iar matricea [R] conţine unghiul de rotaţie finită θ prin intermediul funcţiilor sinus şi cosinus. Ele definesc deplasarea finită a corpului în plan. Pentru a ajunge în poziţia finală, corpul trece printr-o succesiune de poziţii

intermediare (fig.2.3,b), prin deplasări infinitezimale. Totalitatea deplasărilor infinitezimale dau deplasarea finită. În cazul unei deplasări în spaţiu problema se pune în mod analog. Deplasarea finită este caracterizată de vectorul de poziţie r0 al originii

Fig.2.3a Fig.2.3b


17

sistemului de referinţă mobil şi de unghiul de rotaţie finită al rigidului în jurul unei drepte, pentru a ajunge cu axele din poziţia iniţială în cea finală.

Presupunem că rotaţia finită de unghi ϕ s-a făcut în jurul unei axe pe care o vom determina. În timpul rotaţiei axa rămâne neschimbată, deci dacă u este versorul axei atunci:

[R] u = u.

2.1.3. Viteza unghiulară Se consideră un rigid în mişcare generală. Se ataşează rigidului sistemul de referinţă

local Oxyz, iar mişcarea o studiem faţă de sistemul de referinţă global O1x1y1z1. Ne propunem determinarea expresiei vitezei unui punct al rigidului, presupunând că ne sunt cunoscute elementele ce caracterizează mişcarea sistemului de referinţă local.

Se notează cu x1, y1, z1 componentele vectorului

→

OM în sistemul global de coordonate şi cu x,y,z componentele aceluiaşi vector în sistemul local. Se mai notează

→

= OMrr în sistemul global şi

→

= OMρr în sistemul local.

Vectorul de pozitie rM este exprimabil prin:

)(; 00 ρρrrr

+=+= rrrr MM Dacă [R] este matricea de rotaţie ce face trecerea de la

componentele unui vector exprimate în sistemul local la componentele aceluiasi vector exprimate în sistemul global, se poate scrie:

[ ] ;0 ρR+= rrM Componentele vectorului ρ rămân neschimbate în timp, sistemul local participând la mişcare împreună cu rigidul. Ca urmare, prin derivare, se obţine viteza punctului M cu expresia:

[ ] ρR&&& += 0rrM

Fig.2.4.Rotaţia rigidului în jurul axei

instantanee de rotaţie şi translaţie

Fig.2.5. Rotaţia infinitezimală a rigidului


18

Derivarea relaţiei [R] [R]T = [E] da ][][][][][ 0RRRR =+ TT && sau utilizând relaţia [ ][ ]( ) [ ] [ ]TTT ABBA = rezultă ( ) ][][][][][ 0RRRR =+

TTT && . De aici tragem concluzia că matricea [ ] T][][ RR&=ω este antisimetrică întrucât verifica relaţia [ω] + [ω]T = [0]. O matrice antisimetrică:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

00

0

xy

xz

yz

ωωωω

ωωω

poate fi utilizată la reprezentarea unui produs vectorial. În continuare se poate scrie:

][]][[][][][ 000 rvrrr TM ωρωρ +=+=+= &&&&& RRRR ,

unde v0 este viteza originii sistemului de referinţă mobil. Produsul [ω]r reprezintă produsul vectorial dintre vectorul [ ]Tzyx ωωωω = asociat operatorului [ω] şi vectorul r. Se poate scrie şi:

rvvMrrrr

×+= ω0 (formula lui Euler). Scriind viteza pe componente se obţine:

.

;

;

0

0

0

xyvv

zxvv

yzvv

yxzMz

xzyMy

zyxMx

ωω

ωω

ωω

−+=

−+=

−+=

Vectorul rω poarta numele de viteză unghiulară, întrucât dă o reprezentare a vitezei de rotaţie a sistemului de referinţă mobil, iar matricea [ω] se numeşte operator viteză unghiulară. Se va reţine şi relaţia de derivare obţinută:

)(;][ rrrr rr&r& ×== ωω . Aceasta reprezintă relaţia de derivare a unui vector ce se mişca odată cu sistemul de referinţă mobil. Dacă se notează cu Ω vectorul viteză unghiulară cu componentele raportate la sistemul local de referinţă, vom avea relaţiile:

][,][ ωω Trespectiv RR =ΩΩ= .

2.1.4. Acceleraţia unghiulară Prin derivarea vitezei se obţine expresia acceleraţiei unui punct M:

.]][[][0 rrrva MM ωωω ++== &&&& Dacă se notează [ ] [ ]ωε &= şi ţinând seama de relaţia scrisă, se obţine: ]][[][0 rraaM ωωε ++= sau, vectorial: ( )rraaM

rrrrrrr××+×+= ωωε0

expresie denumită formula lui Rivals, unde ra0 reprezintă originea sistemului de referinţă mobil. Componentele acceleraţiei, exprimate în sistemul cartezian de coordonate, vor fi:


19

( ) .;220 zxyxzyzyxx zyxyzaa ωωωωωωεε +++−−+=

( ) ;220 xyzyxzxzyy xzyzxaa ωωωωωωεε +++−−+=

( ) ;.220 zxyxzyzyxx zyxyzaa ωωωωωωεε +++−−+=

Rezumatul principalelor cunoştinţe prezentate

Formulele de transformare a vectorilor din sistemul local în cel global:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

zyx

xzxyzxxzxyyxxzxyxx

zyx

zyx


111

111

111

0

0

0

1

1

1

Matricea de rotaţie

[ ] [ ]kjixzxyzxxzxyyxxzxyxx

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=


111

111

111

R

Viteza unghiulară rvvM

rrrr×+= ω0 (formula lui Euler).

( )rraaMrrrrrrr

××+×+= ωωε0

Întrebări de verificare şi probleme propuse 1. Un paralelipiped dreptunghic, cu laturile a, b, c , se roteşte în jurul unei diagonale, cu viteza unghiulară ω, constantă. Să se determine viteza şi acceleraţia punctelor de pe vârfurile paralelipipedului. 2. Să se studieze mişcarea mecanismului bielă - manivelă unde raza manivelei este r iar lungimea bielei l. 3. Să se studieze mişcare unui mecanism patrulater cu laturile a, b, c, unde elementul de intrare a are viteza unghiulară ω. 4. O bara de lungime 2L cade în câmp gravitaţional, sprijinindu-se, fără frecare, pe un perete vertical. Să se studieze mişcarea acestei bare.

S.I. VLASE – MECANICA TEHNICĂ. II-2 Dinamica.

20

CAPITOLUL 3

NOŢIUNI INTRODUCTIVE ÎN DINAMICĂ

3.0. Obiectivele capitolului Studiul dinamicii se face, în principiu, pornind de la axiomele fundamentale ale lui Newton, dar în rezolvarea unor probleme practice se dovedeşte utilă introducerea unor noţiuni fundamentale care, matematic, sunt anumite combinaţii ale mărimilor fundamentale, obţinute în urma ordonării unor numeroase rezultate, cu ajutorul cărora raţionamentul şi interpretarea problemelor se simplifică considerabil. În cele ce urmează ne vom referi la punctul material şi la sisteme de puncte materiale, urmând ca rigidul ( care în definitiv reprezintă un sistem continuu de puncte materiale) să fie tratat ulterior. 3.1. Impuls Definiţie. Impulsul unui punct material de masă m care se mişcă cu viteza rv este vectorul H

r:

vm=H rr (3.1)

care are aceeaşi direcţie şi sens cu viteza. Componentele vectorului impuls în raport cu un sistem de referinţă ortogonal sunt: ,;; zzyyxx vmHvmHvmH ===

Dacă se consideră un sistem de puncte materiale, impulsul sistemului se defineşte ca suma impulsurilor tuturor punctelor care alcătuiesc sistemul: ∑∑

====

n

iii

n

ii vmHH

11

rrr (3.2)

Relaţia se mai poate scrie: ( ) C

CC

n

iii

n

i

ii

n

iii vM

dtrdMrM

dtdrm

dtd

tdrdmvmH r

rrr

rrr

====== ∑∑∑=== 111

,

deci: CvMH rr

= . (3.3)

Fig. 3.1 Impulsul punctului

material


21

unde cu M s-a notat masa sistemului de puncte materiale, iar cu rvC viteza centrului de masă al întregului sistem. S-a obţinut un rezultat deosebit de important în mecanică şi anume că impulsul unui sistem este egal cu impulsul unui punct material de masă M egală cu masa întregului sistem, concentrată în centrul său de masă. 3.2. Momentul cinetic Definiţie. Momentul cinetic al unui punct material de masă m şi viteză rv , în raport cu un punct O este egal cu momentul impulsului:

r r r r rK r H r m vO = × = × (3.4) Deci momentul cinetic este o mărime vectorială care se defineşte în raport cu un punct al spaţiului (este vector legat). Componentele vectorului moment cinetic sunt: ( );yzOx vzvymK −= ( );zxOy vxvzmK −= ( ).xyOz vyvxmK −=

În cazul unui sistem de puncte materiale, momentul cinetic al sistemului se defineşte ca suma momentelor cinetice ale particolelor care alcătuiesc sistemul: ∑∑∑

===×=×==

n

iiii

n

iii

n

iiO vmrHrKK

111

rrrrrr (3.5)

3.3. Lucrul mecanic 3.3.1. Lucrul mecanic elementar Se consideră un punct material asupra căruia acţionează o forţă F

r,

punctul fiind obligat să se deplaseze pe o curbă (C) în spaţiu. Fie de asemenea o deplasare elementară rdr a punctului material. Definiţie. Lucrul mecanic elementar al forţei F

r efectuat pentru deplasarea rdr

este definit de produsul scalar: d L F dr=

r r (3.6) şi reprezintă capacitatea forţei de a produce mişcare.

Pe baza definiţiei produsului scalar se obţine:

Fig.3.2 Momentul cinetic al

rigidului


22

( )rdFdrFdL rr,cos= (3.7)

care ne permite şi următoarea definiţie: lucrul mecanic este egal cu produsul dintre deplasarea elementară şi proiecţia forţei pe direcţia deplasării sau cu produsul dintre forţă şi proiecţia deplasării pe direcţia forţei.

Lucrul mecanic poate fi pozitiv (motor) atunci când forţa pune în mişcare o maşină sau un mecanism, negativ (rezistent), adică forţa va contribui la oprirea maşinii, mecanismului, sau nul dacă forţa este perpendiculară pe direcţia deplasării. Cunoscând relaţia dtvrd rr

= se poate obţine pentru lucrul mecanic elementar expresia: dtvFdL rr

= (3.8) Dacă se consideră componentele vectorilor:

kdzjdyidxrdrrrr

++= şi kZjYiXFrrrr

++= , rezultă expresia analitică a lucrului mecanic elementar:

dzZdyYdxXdL ++= (3.9) sau ţinând seama de expresia componentelor vitezei punctului: ( )dtzZyYxXdL &&& ++= (3.10) 3.3.2. Lucrul mecanic total (finit) Se consideră un punct material care se deplasează pe o curbă (C) din spaţiu sub acţiunea unei forţe F care depinde de timp, poziţie şi viteză. În acest caz se defineşte lucrul mecanic total LAB efectuat pentru a deplasa corpul din poziţia A în poziţia B ca fiind suma lucrurilor mecanice elementare efectuate pe parcursul deplasării. Aceasta este o sumă Riemann deci se va putea scrie:

( )∫∫ ++==B

A

B

AAB dzZdyYdxXrdFL rr

(3.11)

Lucrul mecanic total este deci o integrală cubilinie, calculată pe traiectoria pe care se deplasează punctul material. Rezultă că lucrul mecanic total va depinde de forţa F

r cât şi de

arcul de curbă AB şi de modul în care este parcurs acest arc de curbă. Dacă se cunosc dependenţele de timp ale coordonatelor punctului material în timpul deplasării, forţa va deveni o funcţie de timp şi atunci integrala curbilinie se va reduce la o integrală simplă în t. Un caz particular este acela în care componentele forţei

Fig.3.3 Lucrul mecanic

elementar

Fig. 3.4 Lucrul mecanic total


23

vor depinde numai de poziţie. În acest caz dacă se scrie ecuaţia traiectoriei sub forma parametrică: x = x(q) ; y = y(q) ; z = z(q) atunci şi componentele forţei vor depinde prin intermediul coordonatelor de parametrul q şi se poate scrie: X = X(q) ; Y = Y(q) ; Z = Z(q), iar integrala devine o integrală simplă în q. Deci dacă forţa depinde numai de poziţia punctului material, atunci lucrul mecanic va depinde numai de traiectorie fără însă a depinde de modul în care această traiectorie este parcursă. În paragraful 1.4 va fi dezvoltat acest caz. 3.3.3 Diagrama lucrului mecanic

Uneori este convenabil de a folosi reprezentări grafice intuitive pentru lucrul mecanic. Astfel, dacă considerăm o maşină care dezvoltă forţa F , iar deplasarea elementului activ al maşinii este x , putem reprezenta pe un grafic variaţia F=F(x). Lucrul mecanic elementar la o deplasare dx este dL=Fdx, iar lucrul mecanic total la deplasarea între doua puncte A şi B va fi:

( )∫=B

AAB dxxFL (3.12) În acest caz, după cum se cunoaşte din analiza matematică, lucrul mecanic este egal cu aria suprfeţei delinitată de curba considerată, de cele două paralele la axa Oy şi de axa Ox. 3.4. Forţe conservative (funcţia de forţă) Definiţie. Se numeşte forţă conservativă o forţă ale cărei componente se pot obţine prin aplicarea operatorului gradient unei funcţii scalare U = U(x, y, z) care depinde exclusiv de poziţie, numită funcţie de forţă: kji

rrrr

zU

yU

xUUF

∂∂

∂∂

∂∂

++=∇= (3.13)

Lucrul mecanic elementar va deveni: dUdz

zUdy

yUdx

xUrdFdL =++==

∂∂

∂∂

∂∂rr

(3.14)

Lucrul mecanic total necesar pentru a deplasa un punct material sub acţiunea unei forţe care derivă dintr-o funcţie de forţă, din punctul A(xA, yA, zA) în punctul B(xB, yB, zB) va fi:

AB

B

A

B

AAB UUdUdLL −=== ∫∫ (3.15)

Fig. 3.5 Diagrama lucrului mecanic


24

unde UA = U(xA, yA, zA) şi UB = U(xB, yB, zB) sunt valorile funcţiei U în punctul A respectiv B. În acest caz deci lucrul mecanic nu depinde de drumul parcurs ci numai de poziţia iniţială şi finală a mobilului. Aşadar dacă drumul parcurs este închis, adică se parcurge o buclă închisă, lucrul mecanic este nul. Uneori în locul funcţiei de forţă U se poate considera funcţia V = -U numită funcţie potenţială. Componentele X, Y, Z ale forţei se exprimă prin relaţiile:

zVZ

yVY

xVX

∂∂

∂∂

∂∂

−=−=−= ;; (3.16)

iar lucrul mecanic va fi dL = - dV. Dacă se consideră un sistem de forţe în care fiecare derivă dintr-un potenţial, atunci sistemul se numeşte conservativ. Forţele fundamentale din fizică sunt conservative.

3.5. Energia mecanică 3.5.1. Energia cinetică (de mişcare) Definiţie. Considerând un punct material de masă m şi viteză rv atunci energia cinetică Ec este: 2

21 mvEc = . (3.17)

Energia cinetică este o mărime scalară de stare (definită la un moment de timp t). Pentru un sistem de puncte materiale, energia cinetică a sistemului se defineşte ca energia cinetică a tuturor punctelor materiale: ∑

==+++=

n

iiicnccc vmEEEE

1

221 2

1... (3.18)

3.5.2. Energia potenţială (de poziţie)

Se consideră o forţă care derivă dintr-o funcţie de forţă U(x, y, z). Lucrul mecanic necesar pentru a deplasa punctul material din poziţia A0(x0, y0, z0) în poziţia A(x, y, z) este: ( ) ( )000 ,,,,

0zyxUzyxUL AA −= (3.19)

Definiţie. Energia potenţială este lucrul mecanic efectuat pentru a duce punctul material din A0 în A, luat cu semn schimbat:

a) nu depinde de drum b) pe drum închis este zero

Fig. 3.6 Lucrul mecanic al forţelor conservative


25

( ) ( )zy,x,Uz,y,xULV 000AA0−=−= (3.20)

Deoarece funcţia U poate fi determinată doar până la o constantă aditivă, rezultă că şi energia potenţială va fi afectată de aceeaşi nedeterminare. Se poate alege constanta astfel încât U(x0, y0, z0) să fie nulă. Atunci energia potenţială va fi: V = - U(x, y, z) (3.21) În cazul unui sistem de puncte materiale, prin definiţie energia potenţială a sistemului este egală cu suma energiilor potenţiale ale componentelor sistemului. 3.5.3. Energie mecanică Definiţie. Energia mecanică este suma dintre energia cinetică şi energia potenţială a unui punct material sau sistem de puncte materiale: E E Vm c= + (3.22) 3.6. Puterea mecanică Definiţie. Puterea unei maşini este lucrul mecanic produs de maşină în unitatea de timp:

Pd Ld t

= (3.23)

în cazul general, iar dacă forţa sau momentul care produc lucrul mecanic sunt constante:

PLt

= . (3.24)

Dacă se înlocuieşte expresia lucrului mecanic rdFdL rr= se obţine:

vFtdrdFP rrrr

⋅== (3.25)

Scriind pe componente: ( ) zyx vZvYvXvFvFP ++==

rr,cos (3.26)

În cazul lucrului mecanic produs de un cuplu θrr

dMdL = , se poate scrie:

ωθ rrr

r⋅== M

dtdMP . (3.27)

3.7. Randamentul mecanic

Noţiune de randament este introdusă din necesitatea unei aprecieri a eficienţei unei maşini. Astfel din totalul de lucru mecanic produs de o maşină, numit lucrul mecanic motor sau consumat Lc, doar o parte Lu, numit lucru mecanic util va fi folosit pentru obţinerea efectului propus. O altă parte Lr va fi utilizat pentru învingerea diferitelor rezistanţe şi frecări. Se poate scrie:


26

Lc = Lu + Lr . (3.28) Definiţie. Randamentul unei maşini este raportul dintre lucrul mecanic util şi lucrul mecanic consumat:

η = =−

= − <LL

L LL

1LL

1u

c

c r

c

r

c (3.29)

şi reprezintă o măsură a utilizării lucrului mecanic produs de maşină. Raportul

c

r

LL

=ϕ poartă numele de coeficient de pierderi în maşină.


Impuls vm=H rr

,;; zzyyxx vmHvmHvmH === Momentul cinetic ( );yzOx vzvymK −=

r r r r rK r H r m vO = × = × ( );zxOy vxvzmK −= ( ).xyOz vyvxmK −=

Lucrul mecanic Lucrul mecanic elementar

d L F dr=r r dzZdyYdxXdL ++= ( )rdFdrFdL rr

,cos= dtvFdL rr

= ( )dtzZyYxXdL &&& ++= Lucrul mecanic total (finit)

( )∫∫ ++==B

A

B

AAB dzZdyYdxXrdFL rr

Forţe conservative (funcţia de forţă) kji

rrrr

zU

yU

xUUF

∂∂

∂∂

∂∂

++=∇=

dUdzzUdy

yUdx

xUrdFdL =++==

∂∂

∂∂

∂∂rr

AB

B

A

B

AAB UUdUdLL −=== ∫∫

Energia mecanică Energia cinetică (de mişcare)

2

21 mvEc = .

Energia potenţială (de poziţie) ( ) ( )zy,x,Uz,y,xULV 000AA0

−=−= V = - U(x, y, z)


27

Energie mecanică E E Vm c= + Puterea mecanică

Pd Ld t

= ( ) zyx vZvYvXvFvFP ++==rr

,cos

θrr

dMdL = ωθ rrr

r⋅== M

dtdMP

Randamentul mecanic η = =−

= − <LL

L LL

1LL

1u

c

c r

c

r

c


28

CAPITOLUL 4

DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL

4.0. Obiectivele capitolului Legea a doua a lui Newton este formula pe care se bazează construcţia întregii dinamici. Este analizată mişcarea unui punct material, supus la o forţă, utilizând legea lui Newton şi problemele matematice care apar în cazul acesta. Sunt prezentate apoi teoremele fundamentale ale dinamicii aplicate punctului material. Ca aplicaţii sunt prezentate: mişcarea unui punct material în câmp gravitaţional şi mişcarea pendulului matematic. 4.1. Dinamica punctului material liber 4.1.1. Generalităţi Se consideră un punct material de masă m care se poate deplasa liber în spaţiu. Asupra lui va acţiona o forţă F

r care în cazul general este o funcţie de

timp, poziţie şi viteza corpului, şi care va determina traiectoria şi modul de parcurgere al acesteia.

4.1.2. Ecuaţiile de mişcare Să considerăm legea a doua a lui Newton, proiectată după cele trei axe ale sistemului de coordonate:

( )( )( )zyxzyxtFzm

zyxzyxtFymzyxzyxtFxm

z

y

x

&&&&&

&&&&&

&&&&&

,,,,,;

,,,,,;,,,,,;

=

==

(4.1)

Relaţiile scrise reprezintă un sistem de trei ecuaţii diferenţiale de ordinul II cu necunoscutele funcţii de timp x = x(t) , y = y(t) , z = z(t). În cazul în care funcţiile Fx , Fy , Fz îndeplinesc anumite condiţii de regularitate, menţinate în cadrul cursului de Analiză matematică, atunci ecuţiile sunt integrabile şi se obţine o clasă de funcţii care vor verifica relaţiile scrise. În expresia acestor funcţii, intervin nişte 6 constante de integrare arbitrare. Pentru a determina în mod univoc soluţiile va trebui să considerăm condiţiile iniţiale, adică la momentul iniţial, să-l numim t0 , va trebui să cunoaştem viteza şi acceleraţia punctului material.


29

4.2. Teoremele fundamentale ale dinamicii aplicate punctului material Pornind de la legile lui Newton s-ar putea, din punct de vedere teoretic, studia mişcarea oricărui sistem de puncte materiale. Cercetările dezvoltate de-a lungul timpului în rezolvarea unor probleme de mecanică a dus la obţinerea unor rezultate şi ecuaţii a caror bază se află în legile lui Newton, şi care permit o înţelegere mai clară şi o abordare mai simplă a diferitelor situaţii în care se poate afla un sistem mecanic. Cel mai important set de astfel de ecuaţii este reprezentat de teoremele fundamentale ale mecanicii. În cadrul teoremei impulsului de exemplu, aplicată unui punct material, este înlocuită legea a doua a lui Newton (o relaţie vectorială) cu teorema impulsului (o relaţie vectorială). Noţiunea de impuls permite, în anumite cazuri , o înţelegere mai bună a problemelor. Teorema momentului cinetic are o mai mică importanţă în cazul punctului material, ea devenind deosebit de utilă în studiul rigidului. A treia teoremă, teorema energiei cinetice, înlocuieşte legea a doua a lui Newton (o relaţie vectorială) cu o relaţie între mărimi scalare. Relaţia obţinută este mai săracă în informaţii dar permite înţelegerea mai profundă a unor fenomene mecanice, utilizând noţiunea de energie cinetică. Toate aceste teoreme sunt obţinute prin transformări simple aplicate legilor lui Newton. 4.2.1. Teorema impulsului

Dacă legea a doua a lui Newton se scrie sub forma:

Fdtvdm

rr

= (4.2)

ţinându-se seama că masa este constantă, se obţine: ( ) F

tdvmd rr

= (4.3)

Cunoscând definiţia impulsului punctului material rezultă:

FdtHd rr

= (4.4)

sau

FHr&r= (4.5)

Relaţia de mai sus exprimă teorema impulsului (sau a variaţiei

impulsului): derivata impulsului în raport cu timpul este egală cu forţa (sau cu rezultanta sistemului de forţe) care acţionează asupra punctului material. Teorema enunţată este valabilă la fiecare moment de timp. 4.2.2. Teorema momentului cinetic

Înmulţind legea a doua a lui Newton scrisă sub forma: Frm

r&&r =

vectorial la stânga cu rr se obţine:


30

Frrmrrr&&rr

×=× (4.6) Ţinându-se seama de relaţiile:

( )dtvdmr

dtvdmrvm

dtrd

dtvmrdvr

dtvdr

rr

rrr

rrrr&r

r&&r ×=×+×=

×=×= ;0; (4.7)

se obţine: ( ) Fr

dtvmrd rrrr

×=× (4.8)

sau ţinându-se seama de definiţia momentului cinetic, dată în capitolul anterior:

FrdtKd O

rrr

×= (4.9)

sau: FrKO

rr&r ×= (4.10) care reprezintă teorema momentului cinetic (sau a variaţiei momentului cinetic): derivata în raport cu timpul a momentului cinetic faţă de un punct este egală cu momentul forţei care acţionează asupra punctului material, calculat faţă de acelaşi punct O, valabilă în orice moment al mişcării. Proiectând relaţia vectorială după cele trei axe se obţin relaţiile: OzOzOyOyOxOx MKMKMK === &&& ;; (4.11) 4.2.3. Teorema energiei cinetice Înmulţind legea a doua a lui Newton scrisă sub forma: ( ) F

dtvmd rr

= (4.12)

scalar cu rdr se obţine: ( ) rdF

dtvmdrd rrr

r= (4.13)

În analiza matematică se poate demonstra relaţia: ( ) ( )vmd

dtrd

dtvmdrd r

rrr

= (4.14)

de unde rezultă simplu:

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛====

2

2mvddvmvvdvmvmdvvmddtrd rrrrrr

.

Egalitatea vdvvdv =rr se poate demonstra cu uşurinţă.Ţinând seama că rdFdL rr

= , rezultă:

dLmvd =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

2

sau dLdEc = (4.15)

Relaţia obţinută poartă numele de teorema energiei cinetice (sau a variaţiei energiei cinetice) şi se enunţă astfel: variaţia energiei cinetice este egală cu lucrul mecanic elementar efectuat de forţă asupra punctului material.


31

Pentru ca energia cinetică să crească (variaţia să fie pozitivă) trebuie ca lucrul mecanic elementar dL să fie pozitiv, deci lucrul mecanic elementar se va transforma în energie, iar pentru ca energia cinetică să scadă (variaţia să fie negativă) trebuie ca lucrul mecanic elementar să fie negativ, deci energia cinetică se va cheltui producând lucru mecanic. 4.3. Mişcarea punctului material sub acţiunea greutăţii În cele ce urmează se vor integra ecuaţiile de mişcare ale unui punct material asupra căruia acţionează greutatea. Se presupune că un punct material de masă m este aruncat de la înălţimea h cu viteza 0vr care face cu orizontala unghiul α. Ecuaţiile de mişcare sunt:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=

=

.0;

;0

zmgmym

xm

&&

&&

&&

(4.16)

de unde: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=

=

.0;

;0

zgy

x

&&

&&

&&

(4.28)

Se obţine cu uşurinţă:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=

=

.;

;

3

2

1

CzCtgy

Cx

&

&

&

(4.17 )

şi:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

++−=

+=

.

;21

;

63

522

41

CtCz

CtCgty

CtCx

(4.18)

Fig. 4.1 Aruncarea în câmp gravitaţional


32

Condiţiile iniţiale la t = 0 vor fi: ;cosvx;0x 0tttt 00

α====

& ;sinvy;hy 0tttt 00

α====

& (4.19) .0z;0z

00 tttt==

==&

Rezultă valorile constantelor de integrare: .0C;hC;0C;0C;sinvC;cosvC 65430201 ====α=α= Deci ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sunt:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−+=

=

.0

;21sin

;cos

20

0

z

gttvhy

tvx

α

α

(4.20)

care reprezintă ecuaţia parametrică a unei parabole ce se găseşte în planul z = 0 (traiectoria este o curbă plană). Eliminând parametrul t între primele două ecuaţii se obţine:

αcos0vxt =

deci ecuaţia parabolei va fi:

α

α 220

2

cos2vxgtgxhy −+= .

Să calculăm acum câteva elemente caracteristice ale mişcării în câmp

gravitaţional: a ) Durata mişcării

Făcând y = 0 se obţine: 2

0 21sin0 gttvh −+= α (4.21)

sau: 02sin2 0

2 =−− htvgt α (4.22) de unde:

g

ghvvt

2sinsin 2200

2,1

+±=

αα (4.23)

Convine problemei numai soluţia pozitivă:

g

ghvvt

2sinsin 2200

2

++=

αα (4.24)

Putem scrie: cu ttt +=2 (4.25) unde:

gvtu

αsin0= (4.26)


33

reprezintă timpul de urcare iar

gghv

tc

2sin 220 +

=α (4.27)

reprezintă timpul de coborâre, lucrul ce va fi demonstrat în continuare la pct. c. b) Bătaia (distanţa OA)

ααα

α cos2sinsin

cos22

00020 ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ++==

gghv

gv

vtvxA . (4.28)

Să punem condiţia ca bătaia să fie maximă: 0=

αdxd A (4.29)

Efectuând toate calculele rezultă în final:

( )20

202

2sin

vghv+

=α (4.30)

de unde rezultă valoare unghiului α care realizează maximul. Se obţine, după efectuarea calculelor corespunzătoare, valoare maximă a bătăii:

ghvgv

x 220

0max += (4.31)

c) Înălţimea maximă se obţine punând condiţia anulării componentei vitezei după axa Oy: tgv −= αsin0 0 (4.32) Rezultă timpul de urcare:

gvtu

αsin0= (4.33)

şi înălţimea maximă:

g

vhtgtvhH uu 2sin

21sin

2202

0α

α +=−+= . (4.34)

d) Viteza în punctul de contact cu solul se obţine introducând t2 în formulele componentelor vitezei: ghvtgvvctvv yx 2sinsin,.cos 22

0200 +−=−=== ααα .(4.35) (componenta vitezei după axa Ox este, în tot timpul mişcării, constantă). Rezultă: ghvvvv yxA 22

022 +=+= (4.36)

Caz particular.

Dacă punctul material se aruncă de la nivelul solului, se va introduce h = 0 în toate relaţiile obţinute mai sus iar rezultatele devin:


34

Traiectoria:

α220

2

cos2vgxxtgxy −= (4.37)

Durata mişcării:

cu ttg

vt == ;sin2 0 α (4.38)

Bătaia:

gv

xb Aα2sin2

0== (4.39)

Bătaia maximă:

gvx

20

max;4

==πα (4.40)

Înalţimea maximă: g

vH

α220 sin

= (4.41)

Parabola de siguranţă: 20

220

22 vgx

gv

y −= (4.42)

4.4.Pendulul simplu Un pendul simplu este reprezentat de un punct material greu, obligat să se mişte pe un cerc în plan vertical. Se va studia cazul legăturii bilaterale. În acest caz, neinteresând reacţiunea din legătură, se va utiliza teorema energiei cinetice. În punctul cel mai de jos al traiectoriei, punctul material va avea o viteză v0, deci o energie cinetică E0: 2

00 21 vmE = .

Într-un alt punct de pe cerc, de exemplu A, va avea altă viteză, mai mică v şi o energie cinetică E: 2

21 vmE = .

Lucrul mecanic total al forţelor gravitaţionale va fi: ( ) ( )θcos100 −−=−−=−=∆−= mgOBOAmgBAmghmgL (4.43)

Teorema energiei cinetice va deveni: ( )θcos1

21

21 2

02 −−=− lgmvmvm (4.44)

Fig. 4.3 Legătura

bilaterală

Fig. 4.2. Aruncarea de la nivelul solului


35

de unde va rezulta viteza punctului material în A: ( )θcos122

02 −−= lgvv (4.45)

Pentru viteze iniţiale mai mici decât

( )θcos120 −= lgv (4.46) punctul material se va opri înainte de a ajunge în punctul cel mai de sus al cercului după care se va întoarce, având o mişcare oscilatorie în jurul poziţiei iniţiale. Unghiul α care va determina poziţia în care se opreşte momentan punctul, deci şi amplitudinea mişcării este obţinut din relaţia de mai sus:

lg

vlgvlg

21

22

cos20

20 −=

−=α (4.47)

Pentru a avea oscilaţii este necesar ca α < π deci cosα > −1, de unde rezultă: lgv 42

0 < (4.48) Dacă lgv 42

0 > punctul material va parcurge în acelaşi sens cercul, în absenţa frecărilor fără să se oprească. Mişcarea va fi rotatorie. În cazul în care

lgv 420 = viteza se va anula în punctul cel mai de sus al traiectoriei.)

Micile oscilaţii ale pendulului. În cazul în care amplitudinea oscilaţiilor este mică, acestea pot fi studiate cu uşurinţă dacă se face aproximaţia, destul de bună până la unghiuri de 0,1 rad, că unghiul este egal cu sinusul lui. În acest caz ecuaţiile de mişcare ale punctului material vor fi:

0cossin

=−=−NG

amG t

θθ (4.49)

unde θε &&llat == . Din prima ecuaţie, în aproximaţia θθ =sin se obţine: θθ &&lg =− (4.50) sau: 02 =+ θωθ&& (4.51) unde s-a notat ω2 = g / l . Soluţia acestei ecuaţii este de forma: ( )0cos θωαθ += t (4.52) Constantele de integrare α şi θ0 se determină din condiţiile iniţiale. Perioada micilor oscilaţii este:

glT π

ωπ 22== (4.53)


36

Rezumatul principalelor cunoştinţe prezentate Ecuaţiile de mişcare

( )( )( )zyxzyxtFzm

zyxzyxtFymzyxzyxtFxm

z

y

x

&&&&&

&&&&&

&&&&&

,,,,,;

,,,,,;,,,,,;

=

==

Teoremele fundamentale ale dinamicii aplicate punctului material Teorema impulsului FH

r&r = Teorema momentului cinetic FrKO

rr&r ×= Teorema energiei cinetice dLdEc = Mişcarea punctului material sub acţiunea greutăţii

α

α 220

2

cos2vxgtgxhy −+= .

Pendulul simplu 02 =+ θωθ&&

( )0cos θωαθ += t

glT π

ωπ 22==

Întrebări de verificare şi probleme propuse

1. Să se determine impulsul şi momentul cinetic al unui punct material aruncat în câmp gravitaţional la diferite momente de timp 2. Să se arate că momentul cinetic al unui punct material, aflat în câmp central de forţe, se conservă. 3. Să se determine mişcarea punctului material aruncat în câmp gravitaţional şi supus rezistenţei aerului, dacă se consideră că forţa de rezistenţă este proporţională cu viteza punctului. 4. Să se determine ecuaţiile de mişcare ale unui punct material care se găseşte în câmp central de forţe. 5. Un punct material, fără viteză iniţială, este lăsat să se mişte în interiorul unei sfere, fără frecare. Să se determine ecuaţiile de mişcare ale acestui punct.


37

6. Să se afle acceleraţia unui punct material care se mişcă pe un plan înclinat cu unghiul α , dacă coeficientul de frecare între corp şi plan este µ. 7. Să se determine ecuaţia de mişcare a unui punct materialde masă m, legat de un resort cu constanta elastică k. Să se arate că mişcarea este periodică şi să determine perioada acestei mişcări.


38

CAPITOLUL 5

DINAMICA SISTEMELOR DE PUNCTE MATERIALE

5.0. Obiectvele capitolului Se consideră un sistem de puncte materiale alcătuit din n particole.

Fiecare punct material are vectorul de poziţie irr , viteza ir&

r şi acceleraţia ir&&r .

Rezultanta forţelor exterioare care acţionează asupra punctului material i va fi notată iF

r, iar forţa exercitată de punctul material j asupra punctului i cu jiF

r.

Forţele interioare vor fi egale două câte două conform principiului acţiunii şi reacţiunii:

jiij FFrr

−= sau: 0=+ jiij FFrr

(5.1) În cele ce urmează ne propunem să studiem comportarea sistemului, deci determinarea mişcării fiecărui membru al sistemului cât şi concluzii asupra comportării globale a ansamblului. Evoluţia fiecărei componente a sistemului se poate obţine în general prin aplicarea ecuaţiilor fundamentale ale lui Newton fiecărui punct material, iar comportarea sistemului în general este caracterizată de teoremele fundamentale care vor da integrale prime ale mişcării, din care vor lipsi, în anumite cazuri, forţele de legătură dintre punctele materiale. 5.1. Ecuaţiile de mişcare ale unui sistem de puncte materiale Ecuaţiile de mişcare scrise pentru cele n puncte ale sistemului vor fi de forma: jiiii FFrm

rr&&r += (5.2)

unde i = 1,2,…,n. Având un sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul doi, în anumite condiţii satisfăcute în general de sistemele tehnice, se obţine soluţia: ( )nii CCCrr 221 ,...,,

rrrrr= (5.3)

unde kCr

(k = 1,2,…,2n) reprezintă constante vectoriale de integrare. Cunoscându-se condiţiile iniţiale şi anume poziţia şi viteza fiecărui punct la momentul iniţial se pot determina constantele de integrare şi se poate obţine soluţia unică care descrie evoluţia sistemului în timp.

Fig.5.1 Sistem de puncte materiale


39

5.2. Teorema impulsului Se consideră un sistem de puncte materiale de mase mi, având vitezele ivr (i = 1,…,n). Fiecare punct are impulsul: iii vmH rr

= (5.4) iar impulsul întregului sistem va fi:

∑=

=n

iiivmH

1

rr (5.5)

Se poate scrie:

( )∑∑∑===

===n

i

iin

i

ii

n

iii td

rmdtdrdmvmH

111

rrrr

(5.6)

Se cunoaşte că centrul de masă al sistemului este dat de relaţia:

m

rm

m

rmr

n

iii

n

ii

n

iii

C

∑

∑

∑=

=

= == 1

1

1

rr

r (5.7)

de unde rezultă: ∑ = Cii rmrm rr (5.8)

Introducând relatia (5.8) în expresia impulsului se obţine: ( )

CCC vmtdrdm

tdrmdH r

rrr=== (5.9)

Impulsul unui sistem de puncte materiale este impulsul unui punct având masa egală cu masa întregului sistem, plasat în centrul de masă şi având viteza acestuia. Daca jiF

r este forţa cu care punctul material j acţionează asupra punctului

material i şi ijFr

forţa asupra punctului j din partea punctului material i, atunci conform principiului acţiunii şi reacţiunii există relaţia: 0=+ ijji FF

rr (5.1)

Se scrie legea lui Newton pentru punctul material i:

∑=

+=n

jjiiii FFam

1

rrr (5.10)

făcând convenţia că 0=iiFr

. (forţa exercitată de punctual material asupra lui însuşi este zero). Însumând toate relaţiile se obţine:

∑∑∑∑= ===

+=n

i

n

jji

n

ii

n

iii FFam

1 111

rrr

(5.11)

Fig.5.2. Impulsul unui sistem de

puncte materiale


40

Suma forţelor interioare este:

∑∑= =

==n

i

n

jijFF

1 1

int 0rr

(5.12)

în virtutea relaţiei 5.1, forţele interioare anulându-se două câte două.

Se va nota cu ∑=

=n

ii

ext FF1

rr suma forţelor exterioare. Se poate deci scrie:

tdHd

td

vmd

tdvmd

tdvdmam

n

iiin

i

iin

i

ii

n

iii

rr

rrr

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

===∑

∑∑∑ =

===

1

111 (5.13)

Înlocuind în 5.11 se obţine:

extFtdHd rr

= sau extFHr&r = (5.14)

care reprezintă teorema impulsului aplicată sistemelor de puncte materiale. Dacă se ţine seama că CvmH rr

= se obţine:

( ) extC Ftdvmd rr

= sau: extC Fam

rr= (5.15)

adică centrul de masă al unui sistem se mişcă ca şi cum toată masa sistemului ar fi concentrată în acest punct, iar asupra lui acţionează rezultanta forţelor exterioare. Relaţia obţinută poartă numele de teorema mişcării centrului de masă al unui sistem de puncte materiale. Indiferent de mişcarea fiecărui punct al sistemului şi de forţele de interacţiune dintre diferitele sale părţi, mişcarea centrului de masă este determinată doar de acţiunea forţelor exterioare şi de masa totală a sistemului. 5.3. Teorema momentului cinetic Momentul cinetic al unei particule este: iiii vmrK rrr

×= (5.16) iar al întregului sistem:

∑∑==

×==n

iiii

n

ii vmrKK

11

rrrr (5.17)

Se scrie legea lui Newton pentru punctul material i:

∑=

+=n

jjiiii FFam

1

rrr (5.18)

şi se înmulţeşte vectorial la stânga cu irr :

∑=

×+×=×n

jjiiiiiii FrFramr

1

rrrrrr (5.19)

Adunând aceste relaţii scrise pentru toate punctele materiale se obţine:


41

∑ ∑∑∑= ===

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+×=×

n

i

n

jjii

n

iii

n

iiii FrFramr

1 111

rrrrrr (5.20)

Termenii acestei egalităţi pot fi prelucraţi prin transformări simple. Primul termen

td

Kdtd

vmrdtdvdmramr O

n

i

iiin

i

iii

n

iiii

rrrrrrr

=×

=×=× ∑∑∑=== 111

(5.21)

va reprezenta variaţia momentului cinetic în raport cu timpul. Suma produselor vectoriale:

extO

n

iOi

n

iii MMFr

rrrr==× ∑∑

== 11 (5.22)

va reprezenta momentul forţelor exterioare ale sistemului calculat în raport cu punctul O. Ultimul termen poate fi scris:

∑∑∑ ∑= == =

×=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

n

i

n

jjii

n

i

n

jjii FrFr

1 11 1

rrrr (5.23)

Conform figurii 5.3

( ) 0=+×=×+×+×=

=×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++×=×+×

→

→

ijjiiijjiijijii

ijjiijiiijjjii

FFrFFrFr

FrFrFrFr

AA

AA

rrrrrrrr

rrrrrrrr

Rezultă:

01 1

=×∑∑= =

n

i

n

jiji Frrr (5.24)

Relaţia (5.21) devine:

OOOO MKM

tdKd r&rrr

== sau

(5.25) care reprezintă teorema momentului cinetic pentru un sistem de puncte materiale. 5.4. Teorema energiei cinetice

Dacă pentru un singur punct material energia cinetică este: 2

21 vmEc = (5.26)

atunci pentru un sistem de puncte materiale care se află în mişcare cu vitezele rvi în raport cu un sistem de referinţă, energia cinetică va fi:

∑=

=n

iiic vmE

1

2

21 (5.27)

Pentru a demonstra teorema energiei cinetice, care are aceeaşi formă ca în cazul unui punct material se porneşte de la legea lui Newton:

Fig.5.3 Momentul forţelor interne


42

∑=

+=n

ijiiii FFam

1

rrr

care va fi înmulţită scalar cu ird r :

∑=

+=n

jijiiiiii rdFrdFrdam

1

rrrrrr . (5.28)

Se adună relaţiile pentru toate punctele materiale obţinând:

∑∑∑∑= ===

+=n

i

n

jiji

n

iii

n

iiii rdFrdFrdam

1 111

rrrrrr (5.29)

Termenul iii rdam rr poate fi prelucrat în felul următor:

===== iiiiiii

iiii

iiii vdvmvvdmtdrdvdmrd

tdvdmrdam rr

rrr

rrr

ciiiii dEvmdvdm =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 22

21

21 (5.30)

şi va reprezenta variaţia energiei cinetice a punctului i. Suma:

∑∑==

==n

iiii

n

icic rdamdEdE

11

rr (5.31)

va reprezenta variaţia energiei cinetice a întregului sistem. Termenul:

∑∑==

==n

i

exti

n

iii

ext dLrdFdL11

rr (5.32)

este lucrul mecanic elementar al forţelor exterioare, iar

∑∑= =

=n

i

n

jiji rdFdL

1 1

int rr (5.33)

lucrul mecanic elementar al forţelor interioare. În final se obţine relaţia: intdLdLdE ext

c += (5.34) Variaţia energiei cinetice a unui sistem de puncte materiale într-un interval de timp dt este egală cu lucrul mecanic elementar al forţelor interioare şi exterioare care acţionează asupra fiecărui membru al sistemului.


Ecuaţiile de mişcare scrise pentru cele n puncte ale sistemului jiiii FFrm

rr&&r +=

Teorema impulsului ( ) extC F

tdvmd rr

= sau: extC Fam

rr=


43

Conservarea impulsului

0=tdHdr

tcHrr

=

Teorema momentului cinetic

Oext

OOextO MKM

tdKd r&rrr

== sau

Conservarea momentului cinetic .deci0 ctKK OO ==

r&r Teorema energiei cinetice intdLdLdE ext

c += Conservarea energiei mecanice .ctVEc =+

Întrebări de verificare şi probleme propuse 1. Să se argumenteze importanţa teoremei impulsului pentru un sistem de puncte materiale şi să se evidenţieze locul privilegiat jucat de centrul de masă. 2.Să se studieze mişcarea unui sistem alcătuit din două puncte materiale, între care se exercită forţa gravitaţională. Să se verifice în acest caz teoremele de conservare ale impulsului şi ale momentului cinetic. 3. Să se analizeze în cez este posibil ca lucrul mecanic al forţelor interne să fie zero.


44

CAPITOLUL 6

DINAMICA RIGIDULUI

6.0. Obiectivele capitolului Pornind de la relaţiile obţinute în cazul unui sistem de puncte materiale, se fac particularizări, pentru a obţine ecuaţiile de mişcare pentru un rigid, supus la un sistem de forţe. Sunt prezentate, pe rând, teoremele impulsului, momentului cinetic şi a energiei cinetice pentru un rigid. 6.1. Noţiuni fundamentale În cele ce urmează expresiile de impuls, moment cinetic şi energie cinetică, definite pentru punctul material şi sistemele de puncte materiale, vor fi calculate pentru cazul particular al rigidului, care reprezintă un sistem de puncte materiale la care distanţa dintre orice două puncte arbitrar alese rămâne constantă. Noţiunea de moment cinetic devine foarte importantă pentru un rigid, ea caracterizând mişcarea de rotaţie aacestuia. Condiţia de rigiditate impusă sistemului de puncte materiale face ca expresiile momentului cinetic şi ale energiei cinetice să ia forme particulare, foarte utilizate în studiul mecanic al unor rigide sau sisteme de rigide. 6.1.1. Impulsul rigidului Se va considera rigidul raportat la un sistem de referinţă mobil, Oxyz. În cele ce urmează s-au utilizat, pentru simplificarea scrierii, următoarele notaţii: P.M. - punct material; S.P.M. - sistem de puncte materiale; R - rigid (conceput ca mediu continuu). Prin definiţie, există următoarele expresii pentru impuls: • pentru un P.M. vmH rr

=

• pentru un S.P.M. C

n

ii

n

iii vmHvmH rrrr

=== ∑∑== 11

• pentru un rigid, rezultatul obţinut la sisteme de puncte materiale este normal să rămână valabil sub forma:

CvmdmvHdH rrrr

=== ∫∫ CvmH rr

= . (6.1) Impulsul rigidului este egal cu impulsul unui punct material cu masa egală cu masa rigidului, aflat în centrul de masă al acestuia şi participând la mişcare odată cu rigidul.


45

6.1.2. Momentul cinetic al rigidului Pornind de la definiţie se pot scrie următoarele relaţii pentru momentul cinetic: • pentru un P.M. vmrKO

rrr×=

• pentru un S.P.M. ∑∑==

×=×=n

iii

n

iiiiO HrvmrK

11

rrrrr

• pentru un R. se va putea scrie: ∫ ×= dmvrKO

rrr (6.2)

( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ⋅−∫+×∫=

∫ =××+∫ ×=∫ ×+×=

.dmrrdmrvdmr

dmrrdmvrdmrvrKOrrrrrr

rrrrrrrrrr

ωω

ωω2

0

00

unde s-a folosit regula de dezvoltare a dublului produs vectorial. După efectuarea calculelor şi cu notaţiile: ( ) ( ) ( )∫∫∫ +=+=+= ;;; 222222 dmyxJdmxzJdmzyJ zzyyxx ∫ ∫ ∫=== ,;; dmzxJdmyzJdmxyJ zxyzxy se obţine: ( ) ( ) +−−+−−+×= jJJJiJJJvSK xyxzyzyyyzxzyxyxxxO

rrrrrωωωωωω0

( ) kJJJ xxzyyzzzz

rωωω −−+ (6.3)

sau în notaţii matriceale: [ ] [ ] ωOO JvSK += 0 (6.4) unde:

[ ] ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

Oz

Oy

Ox

O

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

O

KKK

KJJJJJJJJJ

J ; .

Matricea [JO] se numeşte matricea momentelor de inerţie. Mărimile Jxx, Jyy, Jzz se numesc momente axiale de inerţie, iar Jxy, Jyz, Jzx momente centrifugale de inerţie. Componentele vectorului moment cinetic vor fi: ;00 zxzyxyxxxyzOx JJJmcvmbvK ωωω −−+−= ;00 xzxzyzyyyzxOy JJJmavmcvK ωωω −−+−= (6.5) .00 yxyxzxzzzxyOz JJJmbvmavK ωωω −−+−= 6.1.3. Energia cinetică a rigidului Definiţia oferă următoarele expresii pentru energia cinetică: • pentru un P.M.: 2

21 vmEc =

• pentru un S.P.M.:


46

∑=

=n

iiic vmE

1

2

21

• în cazul rigidului R.: ∫= dmvEc

2

21 (6.6)

Rezultă: ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ×+×+=×+= dmrdmrvdmvdmrvEc

20

20

20 2

121

21 rrrrrrrr ωωω (6.7)

După efectuarea unor calcule algebrice şi utilizând identitatea lui Lagrange, se obţine:

[ ] ωω CT

c JmvE21

21 2 += . (6.8)

6.1.4. Teoremele fundamentale aplicate rigidului Teoremele fundamentale aplicate în cazul sistemelor de puncte materiale rămân valabile şi în cazul rigidului care este conceput ca un sistem continuu de puncte materiale. Dat fiind forma specifică pe care o au impulsul, momentul cinetic şi energia cinetică, teoremele fundamentale vor avea forme specifice prezentate în cele ce urmează. a) Teorema impulsului În cazul unui sistem de puncte materiale teorema impulsului avea aspectul:

extRtdHd rr

= (6.9)

Ţinând seama de expresia impulsului obţinută anterior pentru rigid vom avea: [ ] ext

C RaM = sau: ext

C Ramrr

= . (6.10) b) Teorema momentului cinetic În cazul unui sistem de puncte materiale teorema momentului cinetic avea forma:

extO

O MdtKd rr

= (6.11)


47

În cazul în care sistemul de coordonate este ales în centrul de masă al rigidului, este valabilă relaţia [S] = 0 şi: [ ] [ ] [ ] COO MJJ =+ εωω (6.12) Dacă se alege un sistem de referinţă fix pentru scrierea ecuaţiilor de mişcare oferite de teorema momentului cinetic poate apărea un dezavantaj major; componentele matricei momentelor de inerţie vor varia în funcţie de poziţia corpului faţă de sistemul fix. Pentru a evita acest neajuns se recomandă utilizarea unui sistem de referinţă mobil, legat de corp, faţă de care se scriu ecuaţiile. Prin aceasta momentele de inerţie vor avea în tot timpul mişcării aceleaşi valori. c) Teorema energiei cinetice Pentru un sistem de puncte materiale teorema energiei cinetice are forma:

intdLdLdE extc += (6.13)

Ipoteza rigidităţii face ca lucrul mecanic al forţelor interioare să fie nul (nu au loc deplasări), deci: ext

c dLdE = Pentru rigid lucrul mecanic exterior este: ( ) =×+=== ∑∑∑ dtrvFdtvFrdFdL

iii

iii

iii

ext rrrrrrrrω0

‚ ( )dtrFdtvFi

iii

i ∑∑ ×+rrrrr ω0 ’

( ) ( )dtMvRdtFrdtvF Oi

iii

i ωω rrrrrrrrr+=×+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑∑ 00 (6.14)

Rezultă:

ωrrrr

O

ext

MvRdt

dL+= 0 (6.15)

6.2. Momente de inerţie 6.2.1. Momente de inerţie. Definiţii Se consideră un sistem de n puncte materiale de mase mi, i = 1,…,n şi se notează cu δi distanţa punctului Ai la o dreaptă (∆i). Se numeşte moment de inerţie al sistemului de puncte materiale faţă de dreapta (∆) suma J∆ dată de: ∑

==

n

iiimJ

1

2δ∆ .

În general dacă se raportează sistemul de puncte la un sistem ortogonal de axe Oxyz, expresiile de forma ∑ q

ipi

rii zyxm unde r, p, q sunt numere întregi


48

pozitive, se numesc momente. Se numeşte ordinul momentului suma o = r + p + q. Mecanica utilizează următoarele tipuri de momente: a) momentul de ordinul zero: mm

n

ii =∑

=1

care reprezintă masa totală a corpului. b) momentele de ordinul întâi: ∑ ∑ ∑ iiiiii zm;ym;xm care sunt numite în mecanică momente statice. c) momentele de ordinul al doilea care sunt: • Momentele de inerţie axiale:

;mJi

ii∑= 2δ∆

unde 2iδ reprezintă distanţa de la punctul de masă im până la dreapta respectivă.

Dacă se consideră axele sistemului de coordonate, avem momentele de inerţie faţă de aceste axe definite în felul următor: ( ) ;222 ∑∑ =+=

iixi

iiiixx mzymJ δ

( ) ;222 ∑∑ =+=i

iyii

iiiyy mxzmJ δ

( ) .222 ∑∑ =+=i

izii

iiizz myxmJ δ

unde mărimile δix, δiy, δiz reprezintă respectiv distanţele de la punctele im până la axele corespunzătoare ale sistemului de coordonate. • Momentele de inerţie centrifugale (produse de inerţie): .xzmJ;zymJ;yxmJ

iiiizx

iiiiyz

iiiixy ∑∑∑ ===

• Momentele de inerţie planare: ;mJ

iii∑= 2δπ

unde 2iδ reprezintă distanţa de la punctul de masă im până la planul π. Dacă se

consideră planele de coordonate carteziene, avem: ;mzmJ

iizi

iiixOy ∑∑ == 22 δ

;mxmJi

ixii

iiyOz ∑∑ == 22 δ

.mymJi

iyii

iizOx ∑∑ == 22 δ

unde δix, δiy, δiz reprezintă distanţa până la planele sistemului de coordonate. • Momentul de inerţie polar: ( ) .2222 ∑∑ =++=

iii

iiiiiO mzyxmJ δ


49

unde δi reprezintă distanţa de la punctul i la originea sistemului de coordonate(pol). În cazul rigidului cu masa distribuită continuu, sumele vor deveni sume Riemann, iar expresiile momentelor de inerţie vor fi: • Momente de inerţie axiale: ( ) ( ) ( ) .dmyxJ;dmxzJ;dmzyJ zzyyxx ∫∫∫ +=+=+= 222222 • Momente de inerţie centrifugale: .dmzxJ;dmyzJ;dmxyJ zxyzxy ∫∫∫ === • Momente de inerţie planare: .dmyJ;dmxJ;dmzJ zOxyOzxOy ∫∫∫ === 222 • Momentul de inerţie polar: ( ) .222∫ ++= dmzyxJO Integralele se vor efectua pe întreg domeniul definit de rigid. Momentele de inerţie caracterizează inerţia rigidelor la mişcarea de rotaţie. Dimensional, momentul de inerţie J se exprimă prin: [ ] .2LMJ = 6.2.3. Calculul momentelor de inerţie În cele ce urmează sunt calculate momentele de inerţie pentru câteva corpuri mai des întâlnite în practică. În general, calculul unui moment de inerţie revine la a calcula o integrală de volum (integrală triplă). Pentru numeroase cazuri, dintre care unele vor fi prezentate în cele ce urmează, prin alegerea convenabilă a elementului de volum, calculul integralei triple poate fi redus la calculul unei integrale simple. Bara omogenă Bara considerată are masa m şi lungimea L. Nu are importanţă forma secţiunii cu condiţia să fie constantă. Dacă originea axei x se alege în centrul barei se obţine:

123

22

2

32

2

222 mLxLmdxx

Lmdx

LmxdmxJ

L

L

L

L=====

−−

∫∫∫∆

unde s-a notat dxL/mdm = . Dacă axa (∆) trece prin capătul barei se obţine, modificând corespunyător

limitele de integrare: 3

2LmJ =∆ .


50

Sferă plină Sfera considerată are masa m şi raza R. Datorită simetriei Jxx= Jyy= Jzz şi Jxy= Jyz= Jzx= 0. Rezultă: ( ) ( ) ( ) =+++++=++= ∫∫∫ dmyxdmxzdmzyJJJJ zzyyxxxx

2222223 ( ) ∫∫ ==++= OJdmrdmzyx 222 2222 . Calculăm OJ . Elementul de masă dm este ales o coajă sferică de rază r şi de grosime dr care are volumul: drrdV 24π= şi masa:

3

22

32 34

434

Rdrrmdrr

Rmdrr

Vmdm === π

ππ .

deci: 2

0

433

222

5223

32

32 Rmdrr

Rm

RdrrmrdmrJ

R

xx ==== ∫∫∫ .

Rezultă: [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010001

52 2RmJO .


Impulsul rigidului CvmH rr

= . Momentul cinetic ( ) ( ) +−−+−−+×= jJJJiJJJvSK xyxzyzyyyzxzyxyxxxO

rrrrrωωωωωω0

( ) kJJJ xxzyyzzzz

rωωω −−+

[ ] [ ] ωOO JvSK += 0 ;00 zxzyxyxxxyzOx JJJmcvmbvK ωωω −−+−= ;00 xzxzyzyyyzxOy JJJmavmcvK ωωω −−+−= .00 yxyxzxzzzxyOz JJJmbvmavK ωωω −−+−=

Fig.6.1. Bara omogenă Fig.6.2. Sfera plină


51

Energia cinetică a unui rigid

[ ] ωω CT

c JmvE21

21 2 += .

Teorema impulsului

extRtdHd rr

= extC Ram

rr= .

Teorema momentului cinetic

extO

O MdtKd rr

=

În centrul de masă [ ] [ ] [ ] COO MJJ =+ εωω Teorema energiei cinetice ext

c dLdE = Momente de inerţie axiale: ( ) ( ) ( ) .dmyxJ;dmxzJ;dmzyJ zzyyxx ∫∫∫ +=+=+= 222222 Momente de inerţie centrifugale: .dmzxJ;dmyzJ;dmxyJ zxyzxy ∫∫∫ === Momente de inerţie planare: .dmyJ;dmxJ;dmzJ zOxyOzxOy ∫∫∫ === 222 Momentul de inerţie polar: ( ) .222∫ ++= dmzyxJO


52

Întrebări de verificare şi probleme propuse 1. Să se determine ce relaţii pot fi scrise între diverse momente de ordinul doi. 2.Să se determine formulele de transformare ale momentelor de inerţie la translaţia axelor. 3. Să se determine formulele de transformare ale momentelor de inerţie la rotaţia sistemului de coordonate. 4. Să se determine matricea momentelor de inerţie pentru un cilindru circular drept. 5. Să se determine matricea momentelor pentru un con circular drept. 6. Să se determine direcţiile după care momentele de inerţie au valori extreme. 7. Care dintre doi cilindrii, de aceiaşi masă şi rază, unul plin iar celălalt gol în interior ajunge mai repede la baza unui plan înclinat, dacă sunt lăsaţi să se rostogolească în acelaşi moment. ? 8. Un paralelipiped dreptunghic are o rotaţie în jurul unei diagonale mari. Să se determine energia cinetică şi momentul cinetic al acestui corp. 9. Un cilindru se roteşte în jurul unui diametru al cercului de bază. Să se determine în acest caz care momentul cinetic şi energia cinetică a corpului. 10. Să se determine care este înăţimea unui cilindru de rază R astfel încât momentele de inerţie, calculate în raport de oricare axă, care trece prin centrul de masă, să fie egale.


53

CAPITOLUL 7

DINAMICA RIGIDULUI CU AXĂ FIXĂ

7.0. Obiectivele capitolului Se analizează o mişcare particulară a rigidului şi anume mişcarea de

rotaţie cu axă fixă, întâlnită în mod frecvent în tehnică la rotaţia diferitelor roţii şi angrenaje ce compun sistemele tehnice. Sunt determinate pentru un astfel de sistem ecuaţiile de mişcare specifice şi sunt analizate modalităţile de rezolvare a problemelor ridicate de această situaţie particulară de mişcare. Ca aplicaţie este prezentat pendulul fizic. Este analiza,t separat, cazul echilibrajului rotorilor, cu implicaţii practice deosebite.

7.1. Ecuaţiile de mişcare şi calculul reacţiunilor 7.1.1. Consideraţii generale Se consideră un corp care are fixate două puncte A şi B. Atunci întreaga dreaptă determinată de cele doua puncte va rămâne fixă în tot timpul mişcării

corpului. Acesta va avea .o mişcare de rotaţie în jurul axei fixe, toate punctele rigidului vor descrie cercuri cu centrul pe axa de rotaţie. Parametrul care va descrie mişcarea corpului va fi unghiul de rotaţie în jurul axei fixe, θ.

Mişcarea corpului se raportează la un sistem de referinţă fix Ox1y1z1, punctul O fiind astfel ales încât să aparţină axei de rotaţie. Sistemul de referinţă Oxyz este un sistem de referinţă mobil, legat solidar de rigid. În cele două puncte A şi B în

care a fost fixat corpul apar forţe de legatură, componentele reacţiunii dupa trei axe XA, YA, ZA, respectiv XB, YB, ZB. Asupra rigidului acţioneaza un sistem de forţe care are în punctul O torsorul de reducere ( ) ( )OO MRS

rrr,=τ unde R

r este

rezultanta forţelor exterioare, iar OMr

momentul rezultant al acestor forţe în punctul O. Problema care se pune în cazul rotaţiei rigidului în jurul unei axe fixe

Fig7.1. Rotaţia cu axă fixă a rigidului


54

este de a determina legea de mişcare a corpului, cunoscându-se sistemul de forţe care acţionează asupra lui. Există două tipuri de necunoscute ce trebuie determinate: - unghiul θ de rotaţie al rigidului ca funcţie de timp şi care va descrie legea de mişcare a corpului; - componentele reacţiunilor în punctele A şi B, adică 6 necunoscute scalare. Vor rezulta în general 7 necunoscute scalare ce trebuie determinate. În cele ce urmează se poate vedea că se dispune de 6 ecuaţii scalare rezultând o nedeterminare, care însa nu împiedică determinarea legii de mişcare şi a 4 reacţiuni. Două reacţiuni ramân nedeterminate. Se poate pune şi problema inversă: impunându-se o lege pentru rotaţia corpului, ( )tθθ = se cere să se determine sistemul de forţe care asigură această lege de mişcare. Această problemă este în general nedeterminată, existând o infinitate de sisteme de forţe cu acelaşi torsor. Impunându-se condiţii suplimentare asupra sistemului de forţe, uneori este posibil să se rezolve în mod unic şi această problemă. Aplicând teorema impulsului se obţine:

BA RRRtdHd rrrr

++= (7.1)

unde Rr

este rezultanta forţelor exterioare şi BA RRrr

, reacţiunile care apar respectiv în punctele A şi B. Dar:

( )[ ]CCC rramamtdHd rrrrrrrr

××+×+== ωωε0 . (7.2)

BA XXXambm ++=−− 2ωε BA YYYbmam ++=− 2ωε (7.3) BA ZZZ ++=0 Se poate alege sistemul de referinţă legat de corp Oxyz astfel încât centrul de greutate să se găsească în planul xOz. Atunci b = 0 şi ecuaţiile iau forma mai simplă: BA XXXam ++=− 2ω BA YYYam ++=ε (7.4) BA ZZZ ++=0 Teorema momentului cinetic:

OBOAOO MMM

tdKd rrrr

++= (7.5)

unde OMr

este momentul rezultant al forţelor exterioare în punctul O,

AAOA RrMrrr

×= , BBOB RrMrrr

×= . Întrucât 00 =vr , rezultă [ ] ωOO JK = , deci:


55

[ ] [ ][ ] ωωε OOO JJKtd

d+= (7.6)

iar teorema momentului cinetic ne va da: [ ] [ ][ ] OBOAOOO MMMJJ ++=+ ωωε (7.7) unde:

;00

;00

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

ωω

εε (7.8)

Mai există relaţiile: ( ) iYhjXhkZjYiXkhM AAAAAA

rrrrrrr1110 +−=++×−=

( ) iYhjXhkZjYiXkhM BBBBBB

rrrrrrr2220 −=++×=

2102 hYhYMJJ BAxyzxz −+=+− ωε (7.9)

2102 hXhXMJJ BAyxzyz +−=−− ωε

zzz MJ 0=ε . Se observă că ecuaţia a treia nu conţine reacţiuni şi poate fi scrisă sub forma:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= t

tddM

tddJ zzz ,,02

2 θθθ (7.10)

care reprezintă o ecuaţie diferenţială de ordinul doi şi care rezolvată va da dependenţa ( )tθθ = . În cele ce urmează se va arăta că e posibilă obţinerea aceluiaşi rezultat prin aplicarea teoremei energiei cinetice. Această teoremă se scrie sub forma: extc LdEd = (7.11) unde:

[ ] 2

210

000 ω

ωω zz

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

c JJJJJJJJJJ

E =⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

= (7.12)

Reacţiunile BA RRrr

, Ţinând seama de relaţiile: 00 =ar ; ( ) ibjakcjbiakrC

rrrrrrrrεεεε −=++×=× şi

( ) ( ) jbiaibjakrC

rrrrrrrr 22 ωωωωωωω −−=−×=×× unde centrul de masă al corpului are coordonatele a, b, c, teorema impulsului dă: ( ) ( ) BA RRRjbiamibjam

rrrrrrr++=+−− 2ωεε (7.13)

sau pe componentenu dau lucru mecanic, punctele lor de aplicaţie rămânând fixe. Lucrul mecanic va fi dat de forţele exterioare:

( ) ( )=×=×=== ∑∑∑∑i

iii

iii

ii

iiiext FrdtrFdtdt

dtrd

FrdFLdrrrrrrrrrr

ωω

( ) dtMdtMkdtMFrdt zOOi

ii 0ωωωω ===×= ∑rrrrrrr (7.14)


56

Relaţia: td

Ldtd

Ed extc = (7.15)

dă: ωωz

zz MJtd

d0

2

2=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (7.16)

sau: zzz MJ 0=ε (7.17) adică aceeaşi ecuaţie cu ultima din teorema momentului cinetic. Deci se obţin şase ecuaţii independente care descriu mişcarea corpului şi leagă elementele cinetice de reacţiunii, cu şapte necunoscute. Rezultă că sistemul de ecuaţii este nedeterminat, rigidul având o legătură suplimentară. Se poate suprima această legătură transformând una din articulaţiile sferice, spre exemplu cea din B, într-o articulaţie cilindrică, fără ca rigidul să capete o mobilitate în plus. Acest lucru se poate realiza dacă Z<0. Daca Z>0 (tendinţa de mişcare de-a lungul axei Oz este în sus) se poate înlocui articulaţia sferică din A cu una cilindrică. Sistemul de ecuaţii care rămâne în acest caz conţine şase ecuaţii cu şase necunoscute. A treia ecuaţie obţinută din teorema momentului cinetic va da dependenţa ( )tθθ = , deci şi ω, celelalte ecuaţii dând reacţiunile din A şi B. Se menţionează că ecuaţiile scrise sunt raportate la sistemul mobil de coordonate, în care matricea momentelor de inerţie are elementele constante. Reacţiunile obţinute sunt exprimate de asemenea în sistemul mobil. Dacă s-ar fi încercat spre exemplu aplicarea teoremei impulsului în sistemul fix de coordonate, elementele matricei momentelor de inerţie ar fi depins de unghiul θ, iar ecuaţiile obţinute ar fi trebuit să ţina seama de această dependenţă şi s-ar fi complicat. Dacă asupra rigidului nu acţionează nici o forţă exterioară (sau forţe care îşi fac echilibru), X = Y = Z = 0, M0x = M0y = M0z = 0 atunci ε = 0, ω = ct. Rigidul se va roti uniform cu viteză constantă în jurul axei. Sistemele (6.4) si (6.11) vor deveni dupa simplificari corespunzatoare: BA XXam +=− 2ω 21

2 hXhXJ BAxz +−=− ω (7.18) BA YY +=0 21

2 hYhYJ BAyz −=ω (7.19) Rezultă două sisteme de ecuaţii lineare în XA, XB, respectiv în YA, YB:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− xzB

A

Jam

XX

hh2

21

11ω ; (7.20)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− yzB

A

JYY

hh011 2

21

ω ; (7.21)

cu soluţiile:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

+−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

xz

xz

xzB

A

JahmJahm

hhJam

hh

hhXX

1

2

21

2

1

2

21

2

11 ωω ; (7.22)


57

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−+

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

yz

yz

yzB

A

JJ

hhJhh

hhYY

21

2

1

2

21

2 011 ωω ; (7.23)

Dacă axa de rotaţie este axa principală de inerţie Jxz = Jyz = 0, iar reacţiunile devin:

ahhhmXa

hhhmX BA

21

12

21

22

;+

−=+

−=ωω ; (7.24)

0;0 == BA YY . (7.25) Dacă centrul de masă C se găseşte pe axa de rotaţie: 0==== BABA YYXX (7.26) Rezultă că axa Oz rămâne fixă, fără a fi susţinută; o astfel de axă se numeşte axă spontană de rotaţie. Deci un rigid liber, nesupus la vreo forţă, căruia i se dă o viteză unghiulară de rotaţie în jurul unei axe principale de inerţie, trecând prin centrul de masă, va continua să se rotească în jurul acestei axe (în absenţa frecărilor), chiar dacă nu-i supus unor legaturi care să-i defineasca axa de rotaţie. Deoarece orice rigid are trei axe principale de inerţie, rezultă că orice rigid are trei axe spontane de inerţie. Starea de rotaţie în jurul axei spontane de rotaţie reprezintă o manifestare a inerţiei corpului de rotaţie, asemănătoare celei din mişcarea de translaţie rectilinie uniformă. Din acest motiv direcţiile principale pentru matricea momentelor de inerţie au în componenţa lor cuvântul “inerţie” (axe principale de inerţie). În concluzie, în cazul mişcării de rotaţie cu axă fixă, legea de mişcare este determinată de momentul forţelor exterioare faţă de axa de rotaţie. Lagărele vor fi încărcate cu reacţiuni dinamice, rotitoare odată cu corpul, a căror mărime este determinata în principal de distribuţia masei în jurul axei. 7.1.3. Echilibrajul rotorilor În cazul în care corpul se găseşte în repaus, ecuaţiile scrise devin ecuaţii de echilibru static:

2100;0 hYhYMXXX BAxBA −+=++= ; 2100;0 hXhXMYYY BAyBA +−=++= ; (7.27) .0;0 0 zBA MZZZ =++= care impun ca M0z = 0, iar din celelalte ecuaţii se pot determina reacţiunile XA, XB, YA, YB şi suma ZA + ZB. Se pune problema ca reacţiunile în regim dinamic să fie aceleaşi ca în regim static. Reacţiunile în regim dinamic (reacţiuni dinamice) depind de ε şi ω2 deci pot creşte uneori puternic cu ω. Ecuaţiile în regim dinamic sunt: BA XXXambm ++=−− 2ωε BA YYYbmam ++=− 2ωε BA ZZZ ++=0 210

2 hYhYMJJ BAxyzxz −+=+− ωε


58

2102 hXhXMJJ BAyxzyz +−=−− ωε

zzz MJ 0=ε . Pentru ca cele două sisteme să aibă aceleaşi soluţii reacţiuni, comparându-le se obţine: 02 =+ ambm ωε 02 =− bmam ωε 02 =+− ωε yzxz JJ 02 =+ ωε xzyz JJ

Întrucât: 02

2

≠−ωεωε

vor trebui satisfăcute următoarele relaţii: a = b = 0; Jxz = Jyz = 0. Un rotor la care reacţiunile dinamice coincid cu cele din cazul static se numeşte rotor echilibrat. Rezultă ca va trebui ca centrul de masă să fie situat pe axa de rotaţie (deci axa de rotaţie trebuie să fie o axă centrală). Aceasta condiţie realizează parţial echilibrajul. Despre un astfel de rotor se spune că este echilibrat static. Rezultă de asemenea că Jxz = Jyz = 0, deci axa Oz trebuie să fie de asemenea o axă principală de inerţie. În acest caz se spune că rotorul este echilibrat dinamic. Dacă ambele condiţii sunt îndeplinite există atât echilibraj static cât şi dinamic. Pentru ca un rotor să fie echilibrat static şi dinamic este necesar şi suficient ca axa de rotatie să fie centrală şi principală, deci axa permanentă de rotaţie.


Ecuaţiile de mişcare BA XXXam ++=− 2ω BA YYYam ++=ε BA ZZZ ++=0 210

2 hYhYMJJ BAxyzxz −+=+− ωε 210

2 hXhXMJJ BAyxzyz +−=−− ωε zzz MJ 0=ε .

Fig. 7.3. Echilibrajul rotorilor


59

Pendulul fizic 0sin

'=+ θθ

lg&&

zzJglm

glT ππ 2'2 == .

Echilibrajul rotorilor 02 =+ ambm ωε 02 =− bmam ωε 02 =+− ωε yzxz JJ 02 =+ ωε xzyz JJ a = b = 0; Jxz = Jyz = 0.


60

CAPITOLUL 8

DINAMICA RIGIDULUI ÎN MIŞCAREA PLAN-PARALELĂ 8.0. Obiectivele capitolului Mişcarea plan paralelă este întâlnită la majoritatea mecanismelor care se utilizează în tehnică, unde mişcarea diferitelor componente şi scule se face într-un plan. Din acest motiv, această mişcare este analizată pe larg în acest capitol, stabilindu-se ecuaţiile de mişcare şi prezentându-se câteva exemple de calcul. 8.1. Ecuaţiile de mişcare Conform definiţiei date în cadrul părţii de Cinematică, un corp are o mişcare plan-paralelă dacă un plan al său coincide, tot timpul, cu un plan fix din spaţiu. În acest caz este suficient să se studieze mişcarea unui plan legat solidar de corp, paralel cu planul fix. Este convenabil de a se alege originea sistemului de referinţă mobil în centrul de greutate al corpului, cu coordonatele C(a, b, c). Mişcarea este determinată dacă se cunosc dependenţele ( )tθθ = , a = a(t), b = b(t) adică a parametrilor care definesc poziţia sistemului de referinţă mobil.

Fig.8.1. Mişcarea plan paralelă a rigidului

Se scrie teorema impulsului pentru rigid sub forma: legext

C RRamrrr

+= (8.1) unde m este masa corpului, iar legext RRR

rrr+= rezultanta forţelor exterioare şi de

legătură care acţionează asupra corpului. Teorema momentului cinetic în acest caz se simplifică considerabil: leg

CextCzz MMJ +=θ&& (8.2)

unde legC

extCC MMM += este momentul forţelor exterioare şi de legătură, calculate

în centrul de masă. Ecuaţiile pot fi scrise împreună:


61

Czz MJ;Ybm;Xam === θ&&&&&& (8.3) unde X si Y sunt componentele rezultantei, după axele Ox şi Oy ale sistemului de coordonate. Integrarea acestor ecuaţii oferă dependenţele ( )tθθ = , a = a(t), b = b(t), adică legea de mişcare. Observaţie. Teorema momentului cinetic poate fi scrisă şi în alt punct, diferit de centrul de masă. În acest caz, în loc de momentul de inerţie faţă de centrul de masă, se va considera momentul de inerţie faţă de punctul în care se scriu ecuaţiile, iar momentele forţelor exterioare şi de legătură se vor scrie în punctul respectiv. Rezultatele obţinute vor fi identice cu cele obţinute dacă se scriu ecuaţiile în centrul de masă. Uneori este util să se scrie teorema momentului cinetic în alt punct decât centrul de masă pentru a elimina din ecuaţii reacţiunea necunoscută din punctul respectiv. 8.1.1 Exemplu a) Rigid liber Se consideră o bară de lungime egală cu 2L care se aruncă astfel încât la momentul iniţial centrul de masă al ei se găseşte la înalţimea H faţă de sol şi are o viteza rv0 care face unghiul α faţă de orizontală. Dacă la aruncare bara are o viteză unghiulară ω0 să se studieze mişcarea barei după aruncare.

Soluţie.Ecuaţiile de mişcare vor fi:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−==

0

0

θ&&&&

&&

C

C

C

J

mgymxm

(8.4)

După integrare, ţinând seama de condiţiile iniţiale:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

+−==

0

0

0

sincos

ωθ

αα

&

&

&

vgtyvx

C

C

(8.5)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+−=

=

00

0

20

sin2

cos

θωθ

α

α

t

tvtgy

tvx

C

C

(8.6)


62

Fig.8.2. Bară aruncată în câmp gravitaţional Deci bara se va roti cu viteza unghiulară constantă ω0, iar centrul se va mişca la fel ca un punct material aruncat în câmp gravitaţional. b) Rigid supus la legături Se consideră o bară de lungime egală cu 2L, care se sprijină fără frecare cu un capăt pe un plan orizontal iar cu celălalt pe planul vertical şi căreia i se dă drumul. Să se studieze mişcarea acestei bare.

Soluţie.După ruperea legăturilor teorema impulsului şi a momentului cinetic dau:

θθθ cossin 21

1

2

LNLNJ

GNymNxm

C

C

−=

−==

&&

&&

&&

(8.7)

Coordonatele centrului de greutate sunt:

θθ

cos;sin

LyLx

C

C

==

(8.8)

Se obţine prin derivare:

θθ

θθ

sin

cos&&

&&

Ly

Lx

C

C

−=

= (8.9)

şi:

θθθθ

θθθθ

cossin

sincos2

2

&&&&&

&&&&&

LLy

LLx

C

C

−−=

−= (8.10)

Rezultă:

( )( )θθθθ

θθθθ

sincos

cossin2

2

21

&&&

&&&

LLmN

mgLLmN

−=

+−−=

Introducând N1 şi N2 în ecuaţia a treia , se obţine:

( )( ) θθθθθθ

θθθθθθ

cossincossinsincossin

22

22

&&&

&&&&&

−−+

+−−=

mLmgLmLJ

sau: ( ) θθ sin2 mgLmLJ =+&& deci:

Fig.8.3. Bară în mişcare plan paralelă


63

2

sinmLJ

mgL+

=θθ&& (8.11)

Înmulţind egalitatea cu θ& se obţine: ( ) θθθθ sin2 &&&& mgLmLJ =+ (8.12) relaţie care permite determinarea unei integrale prime:

( ) CmgLmLJ +−=+ θθ cos2

22&

(8.13)

Constanta C se determină din condiţiile iniţiale. Să presupunem că, la momentul 000 θθθ === ;,t & (bara pleacă din repaus, din poziţia definită de unghiul θ0 ).

Atunci: ( ) CcosmgLmLJ +−=+ 0

2

20 θ

de unde: 0cosθmgLC = , iar ecuaţia devine:

( ) ( )0

22 coscos

2θθθ

−−=+ mgLmLJ&

(8.14)

care exprimă teorema energiei cinetice. Rezultă:

( )2

02 coscos2mLJ

mgJ+

−=

θθθ& (8.15)

de unde se poate scoate:

( )2

0 coscos2mLJ

mgLdtd

+−

==θθθθ& (8.16)

Condiţia ca 02 ≥θ& duce la [ ]00 2, θπθθ −∈ . Ecuaţia obţinută este o ecuaţie diferenţială cu variabile separabile:

( )dt

mLJmgL

d=

+−2

0 coscos2 θθθ (8.17)

mecanica_2_vlase

Documents