Universitatea Dunrea de Jos din Galai F a c u l t a t e a d e N a v e

Departamentul de Structuri navale

Conf. Univ. dr. ing. Daniel PITULICE

M E C A N I C A NOTE DE CURS

VOLUMUL 2

- CINEMATICA RIGIDULUI - DINAMIC - ELEMENTE DE MECANIC ANALITIC

GALAI 2007

1

C U P R I N S

1. Cinematica rigidului. Micare general a rigidului

1.1. Generaliti 4 1.2. Determinarea distribuiei vitezelor punctelor rigidului . 5 1.3. Proprietile distribuiei de viteze .. 6 1.4. Determinarea distribuiei acceleraiilor punctelor rigidului .. 8

2. Micri particulare ale rigidului 2.1. Micarea de translaie . 10 2.2. Micarea de rotaie (rigid cu ax fix) 11 2.3. Micarea elicoidal . 13 2.4. Micarea de urub 16 2.5. Micarea plan-paralel . 17

3. Micarea relativ a punctului 3.1. Derivata absolut i derivata relativ (local) a unui vector 24 3.2. Definiii 25 3.3. Compunerea vitezelor n micarea relativ .. 26 3.4. Compunerea acceleraiilor n micarea relativ 26

4. Cinematica sistemelor de corpuri 4.1. Transmisii prin curele .. 28 4.2. Transmisii prin roi de friciune 30 4.3. Transmisii cu roi dinate . 30 4.4. Mecanismul biel-manivel . 33

5. Dinamica. Noiuni fundamentale 5.1. Tipuri de solicitri 35 5.2. Lucrul mecanic 37 5.3. Puterea mecanic . 39 5.4. Randamentul mecanic . 40

6. Momentele de inerie mecanice ale rigidului 6.1. Definiii 41 6.2. Momentele de inerie geometrice 42 6.3. Legtura dintre momentele de inerie mecanice i geometrice 43 6.4. Raze de inerie .. 43 6.5. Variaia momentelor de inerie axiale .. 43 6.6. Momente de inerie principale . 46 6.7. Momentele de inerie mecanice ale unor corpuri geometrice simple .. 46

7. Caracteristicile cinetice ale rigidului 7.1. Impulsul unui rigid n micare general 49 7.2. Momentul cinetic al unui rigid . 50 7.3. Energia cinetic a unui rigid n micarea general .. 53

8. Teoremele fundamentale din dinamica rigidului i sistemelor materiale 8.1. Teorema impulsului .. 56 8.2. Teorema micrii centrului de mas . 57 8.3. Conservarea impulsului .. 58 8.4. Teorema momentului cinetic 58 8.5. Teorema energiei cinetice . 61

9. Dinamica rigidului cu ax fix 9.1. Formularea problemei. Scrierea sistemului de ecuaii .. 63 9.2. Stabilirea legii de micare. Calculul reaciunilor . 65

2

10. Dinamica rigidului n micare plan paralel 10.1. Breviar teoretic 66

11. Dinamica rigidului n micare general . 68 12. Dinamica punctului material

12.1. Consideraii generale ....... 70 12.2. Micarea punctului material n vid .. 71

13. Dinamica micrii relative a punctului material 13.1. Consideraii teoretice .. 72

14. Ciocniri i percuii 14.1. Generaliti . 75 14.2. Teoremele generale ale ciocnirii . 76 14.3. Tipuri clasice de ciocniri . 77

15. Elemente de mecanic analitic 15.1. Generaliti. Coordonate generalizate.Legturi i deplasri n mecanica analitic . 81 15.2. Principiul lui DAlembert. Metoda cineto-static 83 15.3. Principiul lucrului mecanic virtual 86 15.4. Ecuaiile lui Lagrange 90

Bibliografie 92

3

CINEMATICA RIGIDULUI 1. Micarea general a rigidului. 1.1. Generaliti Micarea unui corp rigid se poate spune c este determinat dac se cunosc expresiile vectorului de poziie, vitezei i acceleraiei unui punct oarecare M al rigidului ca funcii de timp, raportate la un sistem de referin fix. Se aleg urmtoarele sisteme de referin (v. Figura 1.1):

Figura 1.1

- - sistemul de referin fix (absolut), avnd versorii axelor

1111 zyxO

1i , 1j , 1k , care sunt versori constani.

- Oxyz sistemul de referin mobil, legat de rigidul n micare, avnd versorii i , j , . Aceti versori au mrimi constante dar direcii variabile n timp, deci sunt funcii de timp.

k

- originea O a sistemului mobil este arbitrar; - 0r este vectorul de poziie al originii O fa

de sistemul fix; - vectorul de poziie al unui punct oarecare M

n raport cu sistemul fix este:

rrr 01 += , (1.1)

n care: kzjyixr ++= este vectorul de poziie al punctului M fa de sistemul mobil de referin; r este un vector constant n modul ( 222 zyxOMr ++== ) dar variabil ca direcie n timp datorit versorilor ( i , j , k ) variabili. Deci: )t(kz)t(jy)t(ix)t(r ++= . (1.2) innd seama de (1.2), relaia (1.1) se scrie astfel: )t(kz)t(jy)t(ix)t(r)t(r 01 +++= . (1.3) Vectorul )t(1r depinde de 6 funcii scalare de timp, independente. Trei din aceste funcii provin de la 0r (x0, y0, z0) iar celelalte 3 de la versorii ( i , j , k ) care dau orientarea sistemului mobil fa de sistemul fix. Putem spune deci c un rigid liber are 6 grade de libertate . Aceste grade de libertate pot fi alese n felul urmtor:

- coordonatele originii sistemului mobil n raport cu sistemul fix:

)t(zz);t(yy);t(xx 000000 === - trei deplasri- (1.4)

4

- unghiurile lui Euler, care dau orientarea axelor sistemului mobil fa de sistemul fix:

)t();t();t( === - trei rotiri - (1.5)

- unghiul de precesie - este unghiul cu care se rotete sistemul mobil n jurul axei Oz, axele Ox i Oy rmnnd n planul orizontal Oxy (axa Ox ocupnd poziia ON);

- unghiul de nutaie - este unghiul cu care se rotete sistemul mobil n jurul axei ON;

- unghiul de rotaie proprie - este unghiul cu

care se rotete sistemul mobil n jurul axei sale Oz.

Dup aceste trei rotaii de unghiuri , i sistemul mobil ocup poziia din Figura 1.2, iniial el confundndu-se cu sistemul fix.

Dac funciile (1.4) i (1.5) sunt cunoscute atunci cinematica rigidului considerat este complet determinat.

1.2. Determinarea distribuiei vitezelor punctelor rigidului Viteza punctului M ales arbitrar se determin derivnd n raport cu timpul vectorul de

poziie 1r , dat din relaia (1.3) i obinem: rrrv 01 &&& +== = kzjvixv0 &&& +++ (1.6)

n care:

00 vr =& este viteza originii sistemului mobil fa de sistemul fix;

=r& kzjvix &&& ++ , (1.7)

deoarece x,y,z sunt constante n timp iar )t(kk;)t(jj;)t(i ===i .

Derivatele n raport cu timpul ale versorilor sistemului mobil de referin sunt date de relaiile lui Poisson:

kk;jj;ii === &&& , (1.8)

n care este vectorul vitez unghiular de rotaie a rigidului (sistemului mobil) fa de sistemul fix.

nlocuind (1.7) i (1.8) n (1.6) obinem: )kzjyix(vkzjyixvv 00 +++=+++= .

5

Deci formula general de distribuie a vitezei n micarea general a rigidului este: rvv 0 += . (1.9) Relaia (1.9) determin viteza oricrui punct M al rigidului de vector de poziie r , dac se

cunosc 0v i . Dac: kji zyx ++= , kvjvivv z0y0x00 ++= , iar produsul scalar:

)xy(k)zx(j)yz(izyx

kjir yxxzzyzyx ++== ,

atunci componentele pe axe ale vectorului v din relaia (1.9) sunt:

. (1.10)

+=+=+=

yxz0z

xzy0y

zyx0x

xyvv

zxvv

yzvv

Comparnd relaiile (1.6) i (1.9) rezult c: rr =& . (1.11) 1.3. Proprietile distribuiei de viteze ale punctelor rigidului n micarea general 1) Vectorul este acelai n orice punct al rigidului; 2) Vectorul nu depinde de alegerea originii sistemului de referin mobil; 3) Proieciile vitezelor a dou puncte oarecare ale unui rigid n micarea general pe

dreapta ce le unete sunt egale i de acelai sens. Demonstraia proprietii 3.

6

Alegnd punctul O ca origine a sistemului mobil, putem scrie:

OMvv 0M += . (1.12)

Figura 1.3

Versorul direciei OM este: OMOMu = . (1.13)

nmulind scalar relaiile (1.12) i (1.13) rezult:

.constuvuv oM == (1.14) sau .constcosvcosv 0M == (1.15)

Aceast teorem demonstreaz proprietatea de rigiditate a unui solid: distana dintre punctele O i M rmne constant n permanen deoarece componentele vitezelor dup aceast direcie sunt constante.

Figura 1.4

Figura 1.5

4) Extremitile vectorilor vitez (desenai la aceeai scar) ai unor puncte coliniare aparinnd unui rigid n micare general sunt la rndul lor coliniare (v. Figura 1.4). Adic dac 3121 MMMM = atunci 3121 AAAA = . Aceast proprietate este folosit la studiul vitezelor n micarea plan paralel. 5) Proieciile vitezelor diferitelor puncte ale unui rigid pe suportul vectorului sunt constante (v. Figura 1.5). Demonstraie. Alegnd punctul O ca origine a sistemului mobil obinem: OMvv 0M += . (1.16) Versorul direciei vectorului este:

=1u . (1.17)

nmulind scalar relaiile (1.16) i (1.17) obinem:

7

.constuvuv 1M10 == (1.18) sau cosv .constcosvM0 ==

5) Punctele aparinnd unui rigid n micare general i care sunt situate pe o paralel la vectorul au aceeai vitez (v. Figura 1.6).

Demonstraie.

+=+= )'MM(r'MMr'r (1.19)

rvv 0M += ; rv)'MM(rv'rvv 000'M +=

++=+= .

deci 'MM vv = . Aceast proprietate este folosit la studiul vitezelor n micrile de rotaie, elicoidal etc.

1.4. Determinarea distribuiei acceleraiilor punctelor rigidului.

Acceleraia punctului M al rigidului n micarea

general, punct ales arbitrar, se determin derivnd n raport cu timpul vectorul vitez dat de relaia (1.9). Astfel obinem:

v

rrvva 0 &&&& ++== , (1.20)

Figura 1.6

n care:

- 00 rv &&& ==0a este acceleraia originii O a sistemului mobil fa de sistemul fix;

- se obine utiliznd relaiile lui Poisson (1.8) i fcnd notaiile:

&

zzyyxx ;; === &&& ,

astfel:

( ) kjikjikjikjikji

kjikji

zyxzyxzyx

zyxzyx

zyxzyx

++=+++++==+++++

=+++++== &&&&&&&= (1.21)

Vectorul poart numele de acceleraie unghiular a micrii de rotaie a rigidului fa de

sistemul fix. - Deoarece rr =& , conform relaiei (1.11) rezult c: )r(r = & . (1.22)

8

innd seama de (1.21) i (1.22) n relaia (1.20), se obine formula general care d distribuia acceleraiilor n micarea general a rigidului sub forma:

)r(raa 0 ++= . (1.23) - Componentele pe axe ale acceleraiei se obin dezvoltnd calculele din relaia (1.23) astfel:

==zyx

kjir zyx )xy(k)zx(j)yz(i yxxzzy ++ (1.24)

=

=)xy()zx()yz(

kji)r(

yxxzzy

zyx

[ ] [ ][ ]yzyxxz

xyxzzyzxzyyx

)yz()zx(k

)xy()yz(j)zx()xy(i

+++=

(1.25)

Dup nlocuirea relaiilor (1.24) i (1.25) n (1.23) obinem:

. (1.26)

+++=+++=+++=

)zy()zx()xy(aa

)yx()yz()zx(aa

)xz()xy()yz(aa

yzyxzxyxz0z

xyxzyzxzy0y

zxzyxyzyx0x

2. Micri particulare ale rigidului

Clasificarea micrilor rigidului cu ajutorul vectorilor 0v i :

1. micarea de translaie: 0v0 , 0= ; 2. micarea de rotaie: 0v0 = , 0

- este coliniar cu axa fix () ; - este paralel cu ;

3. micarea sferic (rigid cu un punct fix): 0v0 = , 0 - are o direcie oarecare variabil n timp; - i au supori diferii;

4. micarea elicoidal: 0v0 , 0 - i 0v sunt paraleli i coliniari cu o ax ();

5. micarea plan - paralel: 0v0 , 0 - 0v i 0v cuprins ntr-un plan fix;

6. micarea general: 0v0 , 0 , i 0v au direcii oarecare.

9

2.1. Micarea de translaie Un rigid efectueaz o micare de translaie atunci cnd orice dreapt ce unete dou puncte

ale acestuia rmne paralel cu ea nsi (cu o direcie fix) n tot timpul micrii. Exemple de rigide n micare de translaie: podul rulant al unei hale industriale, pistonul n

interiorul cilindrului, etc. Din definiia micrii de translaie rezult c axele sistemului

de referin mobil 0xyz (solidar legat de rigid) rmn paralele cu direcii fixe. Deci se pot alege sistemele i 0xzy cu axele paralele.

1111 zyxO

Poziia n orice moment a rigidului poate fi precizat numai cu ajutorul vectorului de poziie 0r al originii sistemului mobil:

10101 k)t(zj)t(yi)t( ++00 xr = .

Deci rigidul n micare de translaie are numai trei grade de libertate, ntruct poziia lui la un moment dat este determinat de funciile scalare independente

. )t(z),t(y),t(x 000

Figura 2.1

Deoarece sistemul 0xyz are n permanen axele paralele cu ale sistemului fix rezult c versorii k,j,i sunt constani n timp, deci:

0kji === &&& . (2.1)

Din relaiile lui Poisson: ii =& , jj =& , kk =& ,

rezult 0= , (2.2)

de unde se deduce 0== & . (2.3)

innd seama de relaia (2.2) formula distribuiei vitezelor (1.9) pentru micarea de translaie ia forma:

0vv = (2.4)

adic, n orice moment al micrii, toate punctele rigidului au acelai vector vitez. Prin urmare vectorul vitez n micarea de translaie este un vector liber. innd seam de relaiile (2.2) i (2.3), formula distribuiei acceleraiilor (1.23) pentru micarea de translaie ia forma:

0aa = (2.5)

deci, la fel ca n cazul vitezelor, toate punctele rigidului au n orice moment aceeai acceleraie. i vectorul acceleraie n micarea de translaie este un vector liber.

10

2.2. Micarea de rotaie (rigid cu o ax fix) Un rigid efectueaz o micare de rotaie atunci

cnd dou puncte ale sale O i (prin urmare o ax a sa) rmn fixe n tot timpul micrii.

1 2O

Exemple de rigide n micare de rotaie: rotoarele electromotoarelor i turbinelor, volantul unui motor, etc.

Fiecare punct, aparinnd unui rigid aflat n micare de rotaie, descrie o traiectorie circular cuprins ntr-un plan perpendicular pe axa de rotaie.

Figura 2.2

- Pentru simplificarea studiului micrii alegem cele dou sisteme de referin avnd originea n acelai punct

iar axele O i s coincid cu axa de rotaie (v. Figura 2.2).

OO1 O

1 OZ1Z

21O- Poziia rigidului la un moment dat este precizat

de unghiul . Prin urmare rigidul n micarea de rotaie are un singur grad de libertate.

)t(= Datorit particularitilor sistemelor de referin,

putem scrie:

0v0 = ; 00 =a , 1kk = . (2.6) Deci 0k =& i 0yx == sau . == &z Rezult expresiile vitezei unghiulare i acceleraiei unghiulare ale rigidului:

kk == & (2.7) kk == && . (2.8) Distribuia de viteze n micarea de rotaie a rigidului se obine din formula general

(1.9), innd seama de relaia (2.6), astfel: rv = . (2.9)

Deci vectorul v este perpendicular pe planul definit de i r i are modulul: ddsinrv === & ,

rezultat similar ca n micarea circular a punctului material. Din aceast micare rezult sensul fizic al vectorului , denumit vector vitez unghiular.

Dac k= iar kzjyixr ++= , atunci:

jxiyzyx

00kji

rv +=== .

11

Deci coordonatele vectorului vitez v a punctului oarecare M sunt: yvx = ; ; xv y = 0vz = . (2.10) - Proprietile cmpului de viteze n micarea de rotaie a rigidului se evideniaz uor

considernd trei puncte coliniare situate arbitrar pe axa Ox, perpendicular pe axa de rotaie. Vitezele acestor puncte sunt:

)0,0,x(A),0,0,x(A),0,0,x(A 332211

Figura 2.3

=========

jxixkOAv

jxixkOAv

jxixkOAv

333A

222A

111A

3

2

1

Din analiza acestor relaii rezult urmtoarele

proprieti: 1) Vitezele punctelor situate pe o dreapt perpendicular

pe axa de rotaie sunt perpendiculare pe aceast dreapt iar modulele lor sunt proporionale cu distana de la punct la axa de rotaie;

2) Punctele aparinnd axei de rotaie au viteza nul; 3) Vitezele sunt coninute n plane perpendiculare pe axa

de rotaie deoarece 0vz = ; 4) Punctele situate pe o dreapt paralel cu axa de rotaie

au acelai vector vitez. Distribuia de acceleraii n micarea de rotaie a rigidului se obine din formula general (1.23), innd seama de relaia (2.6). Astfel obinem:

vr)r(ra +=+= , (2.11) n care kk == & kk == && . (2.12) nlocuind (2.12) n (2.11) i efectund calculele obinem:

i0xy

00kji

zyx00

kjia =

+= ( )yx(j)xy 22 + .

Deci coordonatele vectorului acceleraie a , al unui punct oarecare M(x,y,z) aparinnd

rigidului n micare de rotaie, sunt:

12

xya 2x = ; ; ayxa 2y = z = 0.

Proprietile cmpului de acceleraii se pun

n eviden ca i n cazul vitezelor, studiind acceleraiile celor trei puncte

de pe o dreapt perpendicular pe axa de rotaie:

)0,0,x(A),0,0,x(A),0,0,x(A 332211

ixjxjxkixk

)OA(OAa

12

111

111A

=+==+=

;

ixjxa 22

2A2 = ; (2.13) ixjxa 3

23A3 = ;

+=+=+=

5233A

4222A

3211A

xa

xa

xa

; (2.14)

Figura 2.4

.constaa

tg 2x

y === (2.15)

Pe baza relaiilor (2.13), (2.14) i (2.15) putem enumera proprietile cmpului de acceleraii

(analoge cu cele ale cmpului de viteze): 1. Acceleraiile tuturor punctelor situate pe o dreapt perpendicular pe axa de rotaie

sunt situate ntr-un plan perpendicular pe axa de rotaie, sunt paralele ntre ele ( tg ), iar modulele lor sunt proporionale cu distana de la punct la axa de rotaie;

.const=2. Punctele situate pe axa de rotaie au acceleraie nul; 3. Punctele situate pe o dreapt paralel la axa de rotaie au acelai vector acceleraie.

Observaie: n construcia de maini se obinuiete s se caracterizeze micarea de rotaie a

mainilor rotative prin turaia n dat n rot/min. Legtura ntre modulul vitezei unghiulare i turaie este:

30

n= (2.16) n care se msoar n rad/s.

2.3. Micarea elicoidal Un rigid efectueaz o micare elicoidal dac dou puncte ale sale rmn n tot timpul micrii pe o dreapt presupus fix, numit axa micrii elicoidale. Din definiie rezult c simultan corpul nainteaz n lungul i se rotete n jurul axei micrii elicoidale. Intuitiv se poate considera c aceast micare este compus dintr-o translaie n

13

lungul axei i o rotaie fa de axa micrii elicoidale. Exemple de rigide n micare elicoidal: un burghiu n timpul operaiei de gurire, un proiectil de artilerie lansat vertical.

Pentru studierea micrii alegem ca ax a micrii elicoidale axa Oz. Axa Oz a sistemului mobil coincide cu axa

. Originea O a sistemului mobil se deplaseaz n lungul axei dup legea z

11zO

11zO )t(z00 = . Poziia rigidului la un moment dat este definit cu ajutorul parametrilor scalari independeni )t(zz 00 = i )t(= . (2.17) Deci n micarea elicoidal rigidul are dou grade de libertate. Datorit particularitii alegerii sistemului de referin avem:

1kkrr = , 0k =&r

riar

====kkkk r&&rr&rr

. (2.18)

Viteza i acceleraia originii O a sistemului de

referin, care se mic pe axa sunt: 1OzOz

Figura 2.5

kvkzv 000

rr&r == ; kakza 0o0

rr&& == . (2.19)

Deoarece z i 0 sunt mrimi scalare independente rezult c i 0vr i r , precum i 0ar i r , sunt la rndul lor independente.

r Vectorii v0r i a 0 sunt colineari n tot timpul micrii.

Distribuia de viteze ale punctelor rigidului se obine din formula general (1.9) care, n cazul micrii elicoidale, devine:

kvjxiyzyx

00kji

kvrvv 000rrrr

rrrrrrrr ++=+=+= . (2.20)

Deci componentele vitezei sunt:

====

.constvvxvyv

0oz

oy

ox

14

Rezult de aici c distribuia de viteze n micarea elicoidal se poate obine prin suprapunerea a dou cmpuri de viteze: - primul, specific micrii de rotaie n jurul axei Oz;

Figura 2.6

- al doilea, specific micrii de translaie n lungul axei Oz . Dac:

1z1O

)0,0,x(A)0,0,x(A)0,0,x(A

33

22

11

atunci :

===

33y

22y

11y

xvxvxv

===

03z

02z

01z

vvvvvv

+=+=+=

2o3A

2o2A

2o1A

(vv(vv(vv

23

22

21

)x)x)x

- Punctele de vitez minim aparin axei micrii elicoidale. Nu exist puncte de vitez nul. Punctele aparinnd unei drepte paralele cu axa micrii elicoidale au vitezele egale i paralele.

0v

Distribuia de acceleraii n micarea elicoidal se obine din formula general (1.23) n care facem kaa 00

rr = , r . Astfel obinem: kr =

0xy

00kji

zyx00

kjika)r(raa 00

++=++=rrrrrr

rrrrrrrr . (2.21)

Componentele pe axe ale acceleraiei sunt:

15

===

)translatiedemiscarealade(aa)rotatiedemiscarealade(yxa)rotatiedemiscarealade(xya

0z

2y

2x

(2.22)

Figura 2.7

La fel ca i n cazul vitezelor, distribuia de acceleraii se poate obine prin suprapunerea a dou cmpuri de acceleraii: primul corespunztor unei rotaii n jurul axei Oz, al doilea corespunztor unei translaii n lungul axei Oz. Pentru punctul A(x,0,0), din (2.22) rezult:

.

===

0z

y

2x

aaxa

xa

Proprietile distribuiei de acceleraii: - Nu exist puncte de acceleraie nul;

- Punctele de acceleraie minim se gsesc pe axa micrii elicoidale;

- Punctele rigidului situate pe o dreapt paralel cu axa micrii elicoidale au acceleraii egale i paralele. 2.4. Micarea de urub

Este un caz particular al micrii elicoidale. Dup cum se tie, urubul efectueaz, la o rotaie complet n jurul axei sale, o deplasare cu o distan egal cu pasul. Deci ntre funciile i exist o legtur; nseamn c un rigid care efectueaz o micare de urub are un singur grad de libertate.

)t(zz 00 = )t(=

Figura 2.8

Legtura dintre funciile )t(zz 00 = i se poate afla,

innd seama de geometria urubului, astfel:

)t(=

R2

Rdp

dz0=

dtd

2p

dtdz0 = sau == 2

pvz 00& . (2.23)

Pentru acceleraii se obine:

= 2pa 0 . (2.24)

16

Distribuiile de viteze i acceleraii n micarea de urub se obin din relaiile (2.20) i (2.21) n care se fac particularizrile date de (2.23) i (2.24) . 2.5. Micarea plan-paralel Un rigid efectueaz o micare plan-paralel dac n tot timpul micrii punctele sale descriu traiectorii coninute n plane paralele cu un plan fix din spaiu. Un rigid execut o micare plan-paralel dac n tot timpul micrii trei puncte necoliniare ale sale (deci un plan al rigidului ) rmn coninute ntr-un plan fix din spaiu. Exemple de corpuri n micare plan - paralel: - un disc care se rostogolete cu sau fr alunecare pe o cale la rulare rectilinie; - sistemul biel-manivel al oricrui motor cu ardere intern; - corpul unui patinator pe ghea, etc.

v0 Micarea de translaie i micarea de rotaie sunt cazuri particulare ale micrii plan-paralele. Fie rigidul din Figura 2.9. P1 este un plan fix din spaiu, iar P este un plan care rmne n tot timpul micrii suprapus peste planul P1. Viteza i acceleraia unui punct arbitrar O din planul P sunt coninute n acest plan. Punctele unei drepte ( ) a rigidului ce trece prin O, i este perpendicular pe planul P, au aceeai vitez i acceleraie ca i punctul O, adic:

Figura 2.9

0BA vvv

rrr == i 0BA aaa rrr == , deoarece dreapta n tot timpul micrii se deplaseaz paralel cu ea nsi. )( Rezult c: - distribuia de viteze i distribuia de acceleraii n plane paralele cu planul fix P1, este aceeai; de aceea micarea se numete plan-paralel; - studiul micrii punctelor rigidului poate fi redus la studiul micrii punctelor din planul P. Fie sistemul de referin fix la care considerm arbitrar, pentru micarea corpului (C), c planul este chiar planul fix (vezi Figura 2.10).

1111 zyxO

1P111 yxO Fie sistemul de referin mobil Oxyz solidar cu corpul (C), iar planul Oxy legat de planul mobil P al rigidului. Poziia n orice moment a rigidului (C) este determinat de vectorul )t(r0

r i

17

parametrul scalar . )t(

),t(

0

v0= r

==

vvv

z

y

x

Deoarece: 1010o j)t(yi)t(x)t(rrrr += ,

rezult c poziia rigidului este complet determinat de cunoaterea funciilor scalare , )t(),t(yx 00 deci rigidul n micare plan-paralel are trei grade de libertate.

Viteza i acceleraia punctului O (ales arbitrar n planul P) sunt coninute n planul Oxy, deci putem scrie:

Figura 2.10

+=+=

jaiaajvivv

oyox0

oyox0 rrrrrr

. (2.25)

Datorit particularitilor sistemelor de referin putem scrie: r

kk1r= , 0k =& 0yx ==

kkr&rr == ; (2.26) kk r&&rr ==

- i au direcie constant, ntocmai ca la micarea de rotaie; - v , 0 a . Distribuia de viteze n micare plan-paralel se obine din relaia general (1.9) innd seama de particularitile introduse prin relaiile (2.25) i (2.26). Astfel obinem:

zyx

00kji

jvivrv oyox ++=+rrr

rrrrr . (2.27)

Proieciile vitezei punctului M(x,y,z) pe axele sistemului mobil sunt:

. (2.28)

=+

0xvyv

oy

ox

Din aceast relaie se constat c: a) viteza oricrui punct al rigidului este cuprins ntr-un plan paralel cu Oxy; b) aceast distribuie de viteze poate fi considerat ca fiind obinut din suprapunerea unui cmp de viteze specific translaiei cu un cmp de viteze specific unei micri de rotaie n jurul unei axe perpendiculare pe planul cu care s-ar efectua translaia. Exist puncte de vitez nul. Fie ( ,, ) coordonatele acestor puncte n sistemul mobil de referin. Din anularea proieciilor vitezei, date de relaia (2.28), obinem:

18

, 0v0v

oy

ox

=+=

din care rezult:

==oxoy v;

v ; = arbitrar. (2.29)

Dac se noteaz cu punctul de vitez nul din planul mobil, rezult c punctele de vitez nul sunt situate pe o dreapt () perpendicular n I pe planul Oxy.

( ,I ) Punctul I i dreapta () nu sunt fixe deoarece Oy,Ox vv, sunt funcii de timp. Punctul I se numete centru instantaneu de rotaie iar dreapta (), paralel cu axa Oz, se numete ax instantanee de rotaie. Centrul instantaneu de rotaie are urmtoarea proprietate foarte important: fa de acest punct, distribuia instantanee de viteze a micrii plan-paralele este o distribuie identic cu a unei micri de rotaie . Deci vitezele instantanee (la un moment dat ) ale punctelor din planul P se obin ca i cum acest plan s-ar roti n jurul centrului instantaneu I cu viteza unghiular (v. Figura 2.11). Am artat mai nainte c centrul instantaneu de rotaie I i axa instantanee de rotaie () nu sunt fixe ci i schimb poziia n timp. Locul geometric al centrului instantaneu de rotaie I fa de sistemul de referin fix este o curb fix numit baz. Locul geometric al centrului instantaneu de rotaie I fa de sistemul de referin mobil este o alt curb (mobil) numit rostogolitoare.

Figura 2.11

Baza i rostogolitoarea sunt dou curbe plane tangente n I, iar n timpul micrii rostogolitoarea se rostogolete fr alunecare peste baz. Locul geometric al axei instantanee de rotaie fa de sistemul fix se numete axoid fix. Locul geometric al axei instantanee de rotaie fa de sistemul mobil de referin este o suprafa numit axoid mobil. Ecuaiile parametrice ale rostogolitoarei se obin din ecuaiile (2.29) pentru z = 0, adic:

=oxy0 v;

v= . (2.30) Prin eliminarea parametrului timp ntre aceste relaii se obine ecuaia rostogolitoarei n form explicit.

19

Ecuaiile parametrice ale bazei se obin scriind coordonatele centrului instantaneu de rotaie fa de sistemul fix:

(2.31)

++=+=

cossinysincosx

01

01

relaii obinute pe baza figurii 2.12. n aplicaii, distribuia de viteze n micarea plan-paralel poate fi aflat fie prin metoda analitic, bazat pe relaia general (2.27), fie bazndu-ne pe proprietatea fundamental a centrului instantaneu de rotaie (conform creia viteza unui punct A din planul P este IAvA = ).

Figura 2.12

r

x

x1

O(x0,y0)

I(,) y y1

1 20.Fig

r0

x0

Dac considerm dou puncte A i B din planul mobil al rigidului i vectorul vitez unghiular a rigidului atunci putem scrie:

r

BOvvAOvv

0B

0A

+=+=rrrrrr

.

Figura 2.13

Scznd membru cu membru obinem: )OAOB(vv AB = rrr . Dar: ABOAOB = . Atunci, prin nlocuire, obinem:

ABvv AB += (2.32) numit relaia lui Euler pentru viteze, sau

, (2.33) BAAB vvv

rrr += unde: ABvBA = . (2.34) Dac, n particular, punctul A coincide cu centrul instantaneu de rotaie I ( ) atunci: 0vI =r

2sin)IB(v;IBv BB

== , (2.35)

ceea ce arat c distribuia de viteze n jurul cercului instantaneu de rotaie este, la un moment dat, analoag cu cea din micarea de rotaie. Din cele expuse pn aici se desprind dou metode de determinare a poziiei cercului instantaneu de rotaie: a) cunoscnd direciile vitezelor instantanee a dou puncte ale rigidului, situate n planul

20

mobil P, se duc perpendiculare pe aceste viteze iar la intersecia acestor perpendiculare se obine centrul instantaneu de rotaie; b) Dac cunoatem complet vectorul vitez instantanee Av

r al unui punct A din planul mobil P al rigidului i vectorul vitez unghiularr al micrii rigidului, centru instantaneu de rotaie I se va gsi pe perpendiculara dus din A pe Av

r la distana dat de relaia (2.35): = /v)IA( A .

Figura 2.14

Distribuia de acceleraii n micarea plan-paralel se afl pornind de la relaia general (1.23) n care se introduc particularizrile (2.25) i (2.26). Astfel obinem:

0xy00

kyi

zyx00

kjijaia)rx(xrxaa y0x00

+++=++=rrrrrr

rrrrrrrrr . (2.36)

Componentele acceleraiei punctului oarecare M(x,y,z) pe axele sistemului mobil sunt:

. (2.37)

=+==

0ayxaaxyaa

z

2y0y

2x0x

Din relaiile (2.37) se observ c vectorul a este cuprins ntr-un plan paralel cu xOy. De asemenea, aceast distribuie de acceleraii poate fi obinut prin suprapunerea a dou cmpuri de acceleraii: unul specific unei micri de translaie i altul specific unei rotaii n jurul unei axe paralele cu Oz. Exist un punct n planul P care instantaneu are acceleraie nul. Acest punct se numete polul acceleraiilor, iar coordonatele lui n raport cu sistemul mobil se obin din relaiile (2.37) prin anularea componentelor acceleraiei. Deci J( , ,0) are coordonatele obinute astfel: ' '

0a

0a'2'

y0

'2'ox

=+=

.

Rezolvnd sistemul obinem:

42oy

2x0' aa

+= ; 42 x0

2y0' aa

++= . (2.38)

21

Din relaiile (2.38) se vede c polul acceleraiilor este un punct care i modific poziia n timp, deoarece , i sunt n general funcii de timp. x0a , y0a Polul acceleraiilor se bucur de o proprietate important: la un moment dat distribuia de acceleraii n micarea plan-paralel este identic cu cea dintr-o micare de rotaie, ca i cum planul mobil P al rigidului s-ar roti n jurul polului acceleraiilor J cu viteza unghiular i acceleraia unghiular . S considerm dou puncte A i B aparinnd planului mobil (P) al rigidului n micare plan-paralel. Acceleraiile lor se calculeaz astfel:

OAOAa

OA)OA(OAa)OA(OAaa2

0

200A

+==++=++=

(2.39)

deoarece: c)ba(b)ca()cb(a = iar 0OA = ; OA . OBOBaa 20B += . (2.40)

Scznd membru cu membru relaiile (2.39) i (2.40) obinem:

)AOBO()AOBO(aa 2AB = rrr

din care se deduce relaia lui Euler pentru acceleraii: ABABaa 2AB += . (2.41)

Relaia (2.41) se mai poate scrie astfel: ++= BABAAB aaaa , (2.42) n care s-au notat: ABa BA = ; ABa 2BA = ;

)AB(v

a2BA

BA = . (2.43)

Figura 2.15

Acceleraiile (2.43) sunt reprezentate n Figura 2.16. i reprezint componentele acceleraiei micrii punctului B fa de A (ca i cum A ar fi fix).

22

Figura 2.16

Dac, n particular, punctul A coincide cu polul acceleraiilor J ( a 0J =r ), atunci relaia (2.42) devine: BJBJa 2B = rr (2.44)

relaie care arat c distribuia de acceleraii poate fi gsit la un moment dat ca ntr-o micare de rotaie, ca i cum planul mobil P s-ar roti n jurul polului acceleraiilor J. r Acceleraiile ,a,a,a CBA

rr sunt egal nclinate fa de razele JA, JB, JC, cu unghiul , dat de:

tg = 22 ...)JA()JA(

a ==

=a . (2.45)

Din cele prezentate mai sus n relaiile (2.44) i (2.45) rezult dou ci simple de determinare a polului acceleraiilor: a) Dac se cunosc direciile acceleraiilor a dou puncte A i B din planul mobil P al rigidului i mrimile i , atunci cu relaia (2.45) se determin unghiul de nclinare a razelor JA i JB fa de direciile acceleraiilor. Se duc din punctele A i B dou drepte nclinate cu unghiul fa de direciile acceleraiilor, iar la intersecia acestor drepte se obine polul acceleraiilor J. r b) Dac se cunoate n ntregime, la un moment dat, vectorul acceleraie al unui punct A din planul mobil P al rigidului, precum i vectorii

Aar i , atunci n baza relaiilor (2.44) i (2.45)

se determin unghiul precum i raza (JA) cu relaia:

42

Aa)JA(+

=r

. (2.46)

Apoi se duce din punctul A o dreapt nclinat cu un unghiul fa de vectorul , iar pe aceast dreapt se msoar distana (JA), gsindu-se astfel polul acceleraiilor J.

Aar

Distribuia de acceleraii ale punctelor rigidului n micare plan-paralel poate fi aflat n urmtoarele moduri: a) analitic, pe baza relaiei (2.36); b) cu ajutorul polului acceleraiilor (dup ce acesta a fost aflat), pe baza relaiei (2.44); c) grafic pe baza relaiei (2.42) de compunere a acceleraiilor.

23

CINEMATICA MICRII RELATIVE

3. Micarea relativ a punctului

n capitolele precedente a fost studiat micarea unui punct sau a unui rigid n raport cu un sistem de referin presupus fix. Exist situaii n tehnic cnd micarea trebuie studiat n raport cu unul sau mai multe sisteme de referin mobile. Acest studiu face obiectul capitolului micarea relativ.

3.1. Derivata absolut i derivata relativ (local) a unui vector

Fie sistemul de referin fix O care are versorii 1111 zyx 1i

r, 1jr

, 1kr

i sistemul de referin mobil Oxyz cu versorii i

r, jr

, kr

(variabili ca direcie). Un vector oarecare )t(vv rr = are, n aceste dou sisteme de referin, expresiile:

1z1y1x kvjvivv 111rrrr ++= (3.1)

rrrr kvjvivv zyx ++= , (3.2)

n care , , sunt proieciile vectorului pe axele sistemului fix, iar , sunt proieciile (coordonatele) vectorului n sistemul mobil.

1xv

1yv

1zv ,v x yv xv

vr Derivnd n raport cu timpul relaia (3.1) obinem:

1z1y1x kvjvivdtvdv

111

r&

r&

r&

r&r ++== . (3.3)

Relaia (3.3) reprezint derivata n raport cu timpul vectorului fa de sistemul de referin fix. Aceast derivat se numete derivat absolut.

vr

Derivnd n raport cu timpul relaia (3.2) obinem:

kvjvivkvjvivv zyxzyx&r&r&rr&

r&

r&&r +++++= . (3.4)

innd seama de relaiile lui Poisson

iirr&r = ; jj rr&r = ; kk rr&r = ,

relaia (3.4) devine:

)kvjviv(kvjvivv zyxzyxrrrrr&

r&

r&&r +++++=

sau

vtvv rrr

&r += , (3.5)

24

n care s-a fcut notaia:

tvkvjviv zyx =++rr

&r

&r

& . (3.6) Relaia (3.6) reprezint derivata n raport cu timpul a vectorului vr fa de sistemul mobil, ca i cum acest sistem ar fi fix (adic versorii j,i

rr i k

rsunt considerai constani). Aceast derivat

poart numele de derivat local sau relativ i se noteaz convenional cu . t/ Trebuie reinut faptul c aceast derivat nu este o derivat parial dei se noteaz cu acelai simbol. Relaia (3.5) este relaia cu care se calculeaz derivat absolut a unui vector )t(vr care este definit, prin coordonatele sale, n raport cu sistemul de referin mobil.

3.2. Definiii

Micarea absolut este micarea punctului fa de sistemul de referin fix. Micarea relativ este micarea punctului fa de sistemul de referin mobil, ca i cum

acesta ar fi fix (deci fr a ine seama c acest sistem se mic). Micarea de transport este micarea fa de sistemul fix a unui punct solidar legat de

sistemul mobil, punct care n momentul considerat coincide cu punctul studiat. Micarea de transport poate fi realizat imobiliznd punctul de sistemul de referin mobil i observnd micarea lui, odat cu sistemul mobil, fa de sistemul fix de referin.

Exemplu.

O bar OA se rotete n jurul captului su fix O cu viteza unghiular (t). Pe bar alunec o culis M, distana ei la punctul O modificndu-se dup legea s = s(t). - Micarea relativ a culisei este micarea n lungul barei OA (translaie). - Micarea de transport a culisei este micarea odat cu bara n jurul punctului O (culisa M fiind imobilizat pe bar). Deci micarea de transport este o micare circular. - Micarea absolut a culisei este micarea fa

de sistemul fix . 11yOx

Figura 3.1

Vitezele i acceleraiile n micrile definite mai nainte se numesc respectiv: vitez absolut, vitez relativ, vitez de transport, acceleraie absolut, acceleraie relativ, acceleraie de transport.

25

3.3. Compunerea vitezelor n micarea relativ

Figura 3.2

S considerm sistemul fix de referin , sistemul de referin mobil Oxyz i un punct mobil M a crui poziie fa de sistemul fix este caracterizat de vectorul

1

1r

111 zyxO

r , iar fat de sistemul mobil de vectorul de poziie rr . Micarea sistemului de referin mobil fa de sistemul fix este caracterizat de vectorul de poziie al originii sistemului mobil )t(rr 00

rr = i vectorul vitez unghiular )t(= rr . ntre vectorii de poziie ai punctului M n cele dou sisteme se poate scrie relaia:

rrr 01

rrr += . (3.7) Derivnd n raport cu timpul relaia (3.7) obinem:

rrr 01 &r&r&r += , (3.8)

n care - = viteza originii O a sistemului mobil; (3.9) 00 vr

r&r = r- r

tr

dtrdr rr

r&r +

== (3.10) conform relaiei (3.5), deoarece rr este exprimat n sistemul mobil iar r&r este derivata absolut lui rr . nlocuind relaiile (3.9) i (3.10) n relaia (3.2) obinem:

rtr

01rrvr

rrr += . (3.11) & +

innd seama de definiiile anterioare, nseamn c: - vrr = este viteza absolut a punctului M, msurat n raport cu sistemul fix; a1 r& r - rvt

r r= este viteza relativ a punctului M; rr - v t0 vr rr =+ este viteza de transport a punctului M. nlocuind aceste definiii n relaia (3.11) obinem relaia de compunere a vitezelor n micare relativ:

tra vvv

rrr += . (3.12)

3.4. Compunerea acceleraiilor n micarea relativ

Pentru calculul acceleraiei absolute a punctului M se deriveaz n raport cu timpul relaia (3.11) i se obine:

rr)tr(

dtdvr 01 &

rrr&rr

&r&&r +++= (3.13)

n care:

26

- vectorul trr este definit n sistemul de coordonate mobil, deci derivata sa absolut se

calculeaz cu relaia:

tr

tr

tr)

tr(

t)

tr(

dtd

2

2

+

=+

=

rrrrrrr ; (3.14)

- este acceleraia originii sistemului mobil n micarea sa fa de sistemul fix; 00 avr&r =rr - este vectorul acceleraie unghiular a micrii sistemului mobil fa de sistemul fix; =&

rtr

dtrdr rr

rr&r +

== .

innd seama de toate acestea, relaia (3.13) devine:

+++

++= r

trr

tr

trar 2

2

01rrrrrrrrrr&& (3.15)

sau

tr2)r(r

trr 02

2

1 +++ a+

=rrrrrrrrr&& . (3.16)

Avnd n vedere definiiile date anterior, putem identifica: - acceleraia absolut a punctului M (acceleraia lui M fa de sistemul fix):

1a ra &&

r = ; (3.17)

- acceleraia relativ a punctului M (acceleraia lui M fa de sistemul mobil, ca i cum acest sistem ar fi fix):

2

2

r tra

=rr ; (3.18)

- acceleraia de transport (acceleraia punctului M solidar legat de sistemul mobil n

micarea lui, odat cu sistemul mobil, fa de sistemul fix):

)r(raa 0trrrrrrr ++= ; (3.19)

- acceleraia Coriolis (sau acceleraia complementar) a punctului M, care dat de:

rc v2tr2a rrrrr == . (3.20)

Acceleraia Coriolis exprim influena simultan a micrii de rotaie a sistemului mobil fa de sistemul fix, precum i a micrii relative a punctului, asupra acceleraiei absolute a acestuia. r ca

r este un vector perpendicular pe planul definit de r i rv .Sensul lui se obine astfel ca cei trei vectori , i ar rvr cr s formeze un triedru drept. Modulul acceleraiei Coriolis este:

27

)v,sin(v2a rrc

rrrrr = . (3.21)

Din relaia (3.21) rezult c a cr este nul cnd:

- , adic micarea de transport este o translaie; 0=rr- este paralel cu rv . Dac se nlocuiesc relaiile (3.17), (3.18), (3.19) i (3.20) n relaia (3.16) obinem relaia de compunere a acceleraiilor n micarea relativ:

ctra aaaarrrr ++= . (3.22)

4. Cinematica sistemelor de corpuri

n cele ce urmeaz vom analiza (din punct de vedere cinematic) cteva transmisii mecanice, care se folosesc pentru transmiterea sau transformarea micrii mecanice de la un motor al mainii la organul de lucru al acesteia.

Aceste transmisii mecanice sunt alctuite din ansambluri de corpuri legate ntre ele prin cuple cinematice (articulaii, culise etc.). Vom analiza urmtoarele transmisii mecanice:

1. Transmisii prin curele 2. Transmisii prin rotaii de friciune 3. Transmisii prin roi dinate 4. Mecanismul biel-manivel 5. Mecanismul cu culis oscilant (eping). 4.1. Transmisii prin curele

Transmisia este compus din: - roile 1 i 2; - cureaua 3. Roile 1 i 2 pot avea axe paralele sau oarecare. Transmisia poate fi simpl (ca n Figura 4.1) sau multipl (atunci cnd de la roata 2 se transmite micarea tot mai departe, tot prin astfel de transmisii). Transmisia prin curea pstreaz sensul de rotaie acelai pentru ambii arbori i , iar prin ncruciarea curelei se poate inversa sensul de rotaie (v. Figura 4.2) .

1O 2O

Caracteristica cinematic a transmisiei este raportul de transmitere, care se definete n general ca fiind raportul dintre viteza unghiular (turaia) roii motoare i viteza unghiular (turaia) roii conduse finale

2

1

2

112 n

ni =

= . (4.1)

28

Figura 4.1 Figura 4.2

Corpul care pune n micare sistemul se numete element motor (conductor), iar corpul antrenat se numete element condus. Dac n relaia (4.1) inem seama c nu exist alunecare ntre curea i roile 1 i 2, iar cureaua este inextensibil, atunci putem scrie:

2211 RRv == ,

sau 1

2

2

1

RR=

. (4.2)

Deci raport de transmitere, pentru transmisia prin curea din figura 4.1, are valoarea:

1

212 R

Ri = (4.3)

Figura 4.3

Pentru transmisia dubl din Figura 4.3, raportul de transmitere se calculeaz astfel:

34123

4

1

2

4

2

2

1

4

114 iiR

RRRi ==

=

= ,

deoarece 3

4

4

334

1

2

2

11232 R

Ri;RRi; =

==== .

29

Transmisia prin curea este deci folosit fie pentru transmiterea la mic distan a micrii mecanice, fie pentru multiplicarea sau demultiplicarea turaiei roii conduse n raport cu turaia roii conductoare. 4.2. Transmisii prin roi de friciune

Figura 4.4 Figura 4.5 Sunt de dou categorii:

- transmisii ntre roi cu axe paralele (Figura 4.4); - transmisii ntre roi cu axe concurente (Figura 4.5).

Roile aflate n contact sunt realizate din materiale care fac ca alunecarea dintre roi s fie nul (foarte mic practic). Transmiterea micrii i a forelor motoare se realizeaz pe seama forelor de frecare i a contactului fr alunecare dintre roi. Roile de friciune cu contact exterior se realizeaz prin inversarea sensului de rotaie al roii conduse (pe lng multiplicarea sau demultiplicarea turaiei). Dac se dorete pstrarea sensului de rotaie acelai la curbele roii, atunci contactul dintre roi va fi interior. Raportul de transmitere se calculeaz cu relaia (4.1) astfel:

1

2

2

112 R

Ri == deoarece 2211A RRv == .

4.3. Transmisii cu roi dinate Sunt transmisii prin care se pot transmite puteri mecanice mari, spre deosebire de transmisiile cu roi de friciune la care momentul la arborele condus era limitat de fora de frecare dintre roile n contact. Mrimile caracteristice principale ale unei roi dinate cilindrice sunt: - diametrul exterior ; - diametrul interior ; eD iD - diametrul de divizare ; - diametrul de rostogolire (antrenare) ; dD dD - pasul danturii p; - modulul roii dinate m;

30

- numrul de dini z.

Figura 4.7

Figura 4.6

Pasul p reprezint distana ocupat pe diametrul de divizare de un gol i un plin de dinte. Se definete modulul roii dinate, ca fiind raportul:

=pm ; (4.4)

Numrul de dini se noteaz cu z. Lungimea cercului de divizare se scrie astfel:

zpd = sau mzd = . (4.5)

Transmisiile cu roi dinate pot fi:

- cu roi cilindrice, la care axele roilor sunt paralele; - cu roi conice, la care axele roilor sunt concurente.

Dup modul de angrenare, transmisiile cu roi dinate pot fi: - cu angrenare exterioar, la care sensurile de rotaie ale roilor sunt opuse (Figura 4.7); - cu angrenare interioar, la care roile transmisiei au acelai sens de rotaie (Figura 4.8). Dantura roilor dinate poate fi dreapt sau nclinat. Pentru ca dou roi dinate s angreneze, trebuie ca dantura roilor s fie de acelai tip i s aib aceleai caracteristici geometrice (modulul, nlimea dinilor).

Raportul de transmitere pentru transmisia din Figura 4.7 se calculeaz astfel:

1

2

1

2

1

2

2

112 z

z

2zm

2zm

RRi =

==

= (4.6)

1

2

2

12211A R

RRRv === .

31

Figura 4.8 Figura 4.9

Pentru o angrenare corect, adic fr discontinuiti n transmiterea micrii, este necesar ca cercurile de divizare s fie tangente. n cazul unui angrenaj cu mai multe roi dinate (numit reductor) ca n Figura 4.9, raportul de transmitere se calculeaz astfel:

6

5

4

3

2

1

6

116i

== , (4.7)

deoarece

54

32

==

.

Dar 5

656

6

5

3

434

4

3

1

212

2

1

zzi;

zzi;

zzi ==

====

(4.8)

nlocuind relaia (4.8) n relaia (4.7) obinem:

5634123

531

64216 iii)1(zzz

zzzi == .

semnific faptul c fiecare transmisie din dou roi dinate cu angrenare exterioar inverseaz sensul de rotaie, deci pentru trei grupuri de cte dou roi rezult c roata nr. 6 se va roti n sensul invers roii nr. 1.

3)1()1( =

n Figura 4.10 a fost reprezentat o transmisie cu roi conice. Roile conice sunt de forma unor triunghiuri de con pe generatoarele crora este tiat dantura. n cazul acestor roi, raportul de transmitere se calculeaz cu relaia:

1

2

1

2

m1

m2

2

112 z

zsinsin

RRi =

=== . (4.9)

32

Figura 4.10 Figura 4.11 4.4. Mecanismul biel - manivel Elementele componente ale mecanismului biel-manivel (Figura 4.11) sunt: 1 - manivela de raz r; 2 biela de lungime l; 3 - culisa (pistonul sau capul de cruce). Aceste elemente execut urmtoarele micri: 1 - rotaie (); 2 micare plan-paralel; 3 - translaie. Mecanismul biel manivel transform micarea de rotaie n micare de translaie, cnd elementul motor este manivela 1 (exemplu - pompa cu piston), sau invers cnd elementul motor este culisa 3 (exemplu - un motor cu ardere intern). Studiul cinematic al mecanismului biel manivel urmrete determinarea legii de micare, a vitezei i acceleraiei culisei B. S lum cazul unui mecanism centric (e = 0).

Cursa culisei este dat de distana: r2sBB 21 == . Poziia culisei n raport cu punctul mort exterior la un moment dat este . Se poate scrie relaia geometric (v. Figura 4.11): Bx

++=+ cosrcoslxrl B

deci )cos1(l)cos1(rx B += . (4.10)

Mai exist relaia geometric (pentru cazul e = 0):

= sinlsinr . (4.11)

Se noteaz: (4.12) l/r=i are valori uzuale =

121...

31 . n unele cazuri se admite

51= .

innd seama de relaiile (4.11) i (4.12) n relaia (4.10) se obine:

)sin11(l)cos1(rx 22B += .

Dezvoltnd radicalul n serie de puteri obinem:

...sin16

sin8

sin211)sin1( 6

64

4222

122 = (4.13)

33

Pentru uurina calculelor, din dezvoltarea (4.13) se rein numai primii doi termeni (seria fiind rapid convergent deoarece sin < 1). Dup nlocuiri rezult:

)sin2

cos1(rx 2B += , (4.14) care reprezint legea de micare a culisei (funcie de poziia manivelei dat prin unghiul ). Viteza culisei B se obine derivnd n raport cu timpul relaia (4.14), astfel:

)2sin2

(sinrvB += , (4.15)

unde . =& Acceleraia culisei B se obine derivnd n raport cu timpul relaia (4.15), astfel:

)2cos(cosr)2sin2

(sinra 2B +++= , (4.16)

unde . == &&& n punctele B (numit punct mort exterior) i (numit punct mort interior) viteza este nul. Viteza este maxim n punctele n care se anuleaz acceleraia. Pentru = const., din condiia de anulare a acceleraiei se obine:

1 2B Bv

21

161

41cos 2 += .

Pentru 51= se obin valorile / = 801 (la ducere) i = 2802 (la ntoarcere). Acceleraia are valori maxime n punctele n care se calculeaz supraacceleraia, adic

0dt

da B = . Dac se efectueaz calculul se obine 03 = , =4 , deci acceleraia este maxim n punctele moarte i . 1B 2B

34

DINAMICA

Dinamica este partea din mecanic ce studiaz micarea corpurilor (a punctelor materiale i a rigidelor) innd seama de forele i momentele care le acioneaz, precum i de masa acestora. Studiul dinamicii se bazeaz pe principiile mecanicii newtoniene, enunate la nceputul cursului: principiul ineriei, principiul aciunii forei i principiul aciunii i reaciunii.

5. Noiuni fundamentale

5.1. Tipuri de solicitri Clasificarea solicitrilor la care poate fi supus un rigid:

1. Solicitri exterioare, care reprezint aciunile corpurilor vecine asupra corpului considerat: 1.1 Solicitri exterioare active - care sunt independente de starea de micare a corpului

i pot accelera sau ncetini micarea; 1.2 Solicitri exterioare pasive - aciunile acestor solicitri depinznd de

caracteristicile micrii corpului (viteza, acceleraie). Aceste solicitri ncetinesc micarea. 2. Solicitri interioare, sunt solicitri ce se exercit ntre dou mase elementare ale corpului.

Numrul lor total este par (dou cte dou egale i de sens contrar), deci torsorul acestor solicitri calculat ntr-un punct oarecare este echivalent cu zero.

Exemple de solicitri active

- Fora de atracie universal (Figura 5.1)

Figura 5.1

Corpul de mas atrage corpul de masa

cu o for avnd expresia: 2M

1M

C2C

21a r

MMkF =r , (5.1)

Figura 5.2

unde: 22

14

skgm10664,6 =

k este constanta atraciei universale

=C versorul direciei 21CC . - Fora gravitaional terestr (Figura 5.2) - este fora atraciei universale exercitat de Pmnt asupra oricrui corp aflat n sfera lui de atracie: (5.2)

=

+== )M()M( 2p

)M(

gdm)hR(

MkdmGdG

rrrr

Deoarece dimensiunile corpului i masa lui sunt neglijabile n raport cu cele ale Pmntului, se poate considera c vectorul gr este acelai pentru toate masele elementare (dm) ale solidului, el avnd direcia verticalei locului.

35

- Solicitri elastice

Figura 5.3

Figura 5.4

Sunt solicitrile legturilor elastice de tipul: arc elicoidal (Figura 5.3), arc cu foi (Figura 5.5), arc spiral (Figura 5.4), bar de torsiune (Figura 5.6). - n cazul unui rigid cuplat cu exteriorul printr-un arc elicoidal sau un arc n foi, aceste elemente acioneaz asupra rigidului cu fore elastice a cror mrime este proporional cu deformaia elementului elastic i are sensul opus acestei deformaii:

eF

)ll(klkF 0e == . (5.3)

Aceast lege este valabil atta timp ct nu se depete limita de elasticitate a materialului elementului elastic.

k = constanta elastic a materialului legturii elastice

0lEAk = din legea lui Hooke

E - modulul de elasticitate A aria seciunii transversale

0l - lungimea arcului nentins.

Figura 5.5

Figura 5.6

- n cazul unui rigid cuplat cu exteriorul printr-o bar supus la torsiune, dac rigidul se rotete cu unghiul (infinitezimal), atunci asupra lui acioneaz un moment elastic de forma:

= dkM 1t (5.4)

Expresia constantei de elasticitate va fi determinat cu exactitate la cursul de Rezistena materialelor.

1k

Exemple de solicitri exterioare pasive - Fora de rezisten aerodinamic este fora ntmpinat de un corp ce se deplaseaz n atmosfera terestr i are expresia:

vvvSC

21F 2aa r

r= , (5.5)

n care: - coeficientul de rezisten aerodinamic, ce depinde de forma corpului; - densitatea aerului; S aria seciunii prin corp, normal pe direcia de micare; v - viteza corpului fa de aer.

aC

O formul asemntoare prezint i fora de rezisten a apei (numit for hidrodinamic) la deplasarea unui corp prin ap.

36

- Fora de amortizare vscoas - este fora rezistent (pasiv) ce acioneaz asupra unui corp care oscileaz legat de un resort dar care este fixat i de un amortizor cu lichid (v. Figura 5.7).

Asemenea amortizoare se folosesc la autoturisme i, n general acolo unde este nevoie ca amplitudinea oscilaiilor corpului s se atenueze rapid n timp. Aceast for are expresia general:

Figura 5.7

vvvCF vv rrr = (5.6)

n care: - este coeficientul de amortizare vscoas; v - viteza corpului la momentul considerat.

vC

5.2. Lucrul mecanic

Definiie. Fie fora Fr constant ca mrime, direcie i sens, al crei punct de aplicaie M parcurge drumul rectiliniu M (v. Figura 5.8). Prin definiie lucrul mecanic al forei

21MFr

este:

Figura 5.8

== cosSFSF)F(L rrrrr , (5.7)

unde 21MMS = . Dac:

2,0 , atunci L > 0 i se numete lucrul mecanic motor;

,2

, atunci L < 0 i se numete lucrul mecanic rezistent;

2= , atunci L = 0 i se numete lucrul mecanic nul.

Unitatea de msur a lucrului mecanic n S.I. este joul-ul [J] iar n Sistemul Tehnic [kgf.m].

2

1 J = 1 N . 1m. Lucrul mecanic elementar

Figura 5.9

- Considerm fora F variabil n timp, al crui punct de aplicaie M se deplaseaz pe o curb C. S considerm dou poziii succesive , ale punctului de aplicaie a forei, aflate la diferena de timp (dt) unul de cellalt (v. Figura 5.9). Pentru putem presupune c fora

1M

0M

dtFr

se modific foarte puin de la la . ntre aceste dou puncte lucru mecanic elementar al forei

1M 2

va fi:

MF

rdFdL r

r = (5.8)

37

Din definiia vitezei instantanee:

dtrdvrr = (5.9)

rezult c: dtvrd = rr , deci lucrul mecanic elementar al forei F

r va fi:

dtvFdL r

r = . (5.10) - Dac considerm un sistem de n fore iF ( care solicit un rigid n micare general (v. Figura 5.10), lucrul mecanic elementar al sistemului de fore va fi:

)n,...,1i =

. (5.11) dtvFdLdLn

1iii

n

1ii

==== rr

r Dar v i0i rvrrr += . nlocuind mai sus

obinem:

Figura 5.10

, (5.12) 21ii

i0i

ii0

n

1ii SSdt)r(FdtvFdt)rv(FdL +=+=+=

=

rrrrrrrrr

unde dtvRdtv)F(S 00

ii1

rrrr == (5.13) rrr dtMMdtFrdt)Fr(dtS 00i

iiii

i2 ==== rr . (5.14)

nlocuind relaiile (5.13) i (5.14) n relaia (5.12) rezult:

dtMdtvRdL 00 += , (5.15)

n care =

iiFRr

- este rezultanta sistemului de fore;

ii0 FrM = r - este momentul rezultant n raport cu punctul O al sistemului de fore.

Lucrul mecanic total (sau finit)

Dac considerm aceiai for variabil F

r al crui punct de aplicaie se mic pe curba (C)

(v. Figura 5.9) i dou puncte A i B pe curb (C), atunci lucrul mecanic al forei Fr

cnd i deplaseaz punctul de aplicaie din A n B se numete lucrul mecanic total i este dat de relaia:

38

rdFdLLABAB

ABrr == (5.16)

n cazul unui sistem de fore, lucrul mecanic total se calculeaz cu relaia:

dt)MvR(dLL 0t

t0

ABAB

2

1

+== rrrr . (5.17)

Calculul lucrului mecanic

a) - Dac fora Fr

are expresia analitic: kFjFiFF zyxrrrr ++= iar deplasarea elementar este

kdzjdyidxrdrrrr ++= , atunci lucrul mecanic elementar al forei Fr va fi dat de relaia:

dzFdyFdxFrdFdL zyx ++== r

r. (5.18)

b) Dac se cunoate fora F

r, deplasarea elementar rdr i unghiul dintre F i rdr , atunci:

. (5.19) = cosdrFdL c) dt)v,Fcos(vFdtvF ==dL . (5.20) Pentru momentul M , lucrul mecanic elementar al acestuia se calculeaz pe baza relaiei (5.14) astfel: dt),Mcos(MdL = , (5.21) unde este viteza unghiular a corpului asupra cruia acioneaz momentul M . 5.3. Puterea mecanic Puterea mecanic a unui sistem de solicitri aplicate unui rigid caracterizeaz capacitatea sistemului de solicitri de a efectua un lucru mecanic n unitatea de timp. Puterea mecanic se definete prin raportul: . (5.22) dt/dLP = nlocuind expresia lucrului mecanic , dat de (5.15), obinem puterea mecanic a unui sistem de solicitri reduse n punctul 0 al rigidului:

dL

+= 00 MvRP (5.23) unde ( 0M,R ) sunt componentele torsorului de reducere n 0 al sistemului de solicitri exterioare. Unitatea de msur a puterii n SI este watt-ul (W), n sistemul tehnic este (kgf.m/s) iar ca unitate tolerat se folosete Calul Putere (1 CP = 75 kgf.m/s = 736 W).

39

5.4. Randamentul mecanic Solicitrile exterioare active se pot clasifica n fore i momente motoare sau rezistente dup cum lucrul mecanic produs de acestea este pozitiv sau negativ. Lucrul mecanic rezistent al solicitrilor active l numim lucru mecanic util, uL . Frecrile interioare ale mainii introduc un alt lucru mecanic rezistent, , care se adaug lucrului mecanic util rezultnd lucrul mecanic motor

rL

rum LLL += . (5.24) Lucrul mecanic al frecrilor, L , se pierde n mediul nconjurtor sub form de cldur. r Randamentul mecanic indic n ce msur lucrul mecanic motor este folosit pentru nvingerea solicitrilor active rezistente. El se definete prin raportul:

[ ]

m

u

LL= . (5.25)

Raportul

=m

r

LL

(5.26)

se cheam coeficient de pierderi mecanice. Legtura ntre i se obine din relaia (5.24), innd seam de (5.25) i (5.26), astfel: = 1 . (5.27)

Cum, n natur, frecrile exist ntotdeauna, deci 0Lr , rezult c < 1. 0

40

6. Momentele de inerie mecanice ale rigidului 6.1. Definiii

Momentele de inerie sunt mrimi care folosesc la caracterizarea modului de rspndire a masei unui sistem de puncte materiale sau rigid. Cu ajutorul momentelor de inerie ce exprim ineria unui corp n micarea de rotaie. S considerm un rigid (S) de mas M aezat n vecintatea unui plan () i al unei drepte (). Fie un punct material P aparinnd rigidului, de mas elementar (dm), aflat la distana h de planul ( ), la distana R de dreapta ( ) i la distanta r de punctul O. Pentru rigidul (S) definim urmtoarele momente de inerie mecanice:

- Momentul de inerie planar (fa pe planul ): ; (6.1)

( )= M2dmhJ

- Momentul de inerie polar (fa de punctul O):

; (6.2) =

)M(

20 dmrJ

- Momentul de inerie axial (fa de axa ):

. (6.3) =

)M(

2dmRJ

De obicei momentele de inerie mecanice ale

rigidului se exprim n raport cu planul, axele i originea unui sistem de coordonate cartezian, ataat zonei din spaiul unde se gsete rigidul (v. Figura 6.2). Astfel:

Figura 6.1

Figura 6.2

- Momentele de inerie planare sunt: ; ; ; (6.4) =

)M(

2xoy dmzJ =

)M(

2yoz dmxJ =

)M(

2xoz dmyJ

- Momentele de inerie axiale sunt: ; ; ; (6.5) +=

)M(

22x dm)zy(J +=

)M(

22y dm)zx(J +=

)M(

22z dm)yx(J

- Momentul de inerie polar este:

41

(6.6) ++=)M(

2220 dm)zyx(J

n relaiile scrise mai sus (x, y, z) sunt coordonatele punctului material P de mas elementar dm (v. Figura 6.2). Momentele de inerie planare, axiale i polare sunt mrimi scalare pozitive. Se definesc momentele de inerie centrifugale cu ajutorul relaiilor: ; ; . (6.7) =

)M(xy dmyxJ =

)M(yz dmzyJ =

)M(zx dmxzJ

Momentele de inerie centrifugale sunt mrimi scalare pozitive, negative sau nule. Momentul de inerie centrifugal este nul atunci cnd una din axe este ax de simetrie a rigidului respectiv. Momentele de inerie centrifugale verific relaiile: ; ; yxxy JJ = zxxz JJ = zyyz JJ = . (6.8) Unitatea de msur a momentului de inerie mecanic este [ J ]SI = kg . 2m ntre momentele de inerie mecanice exist urmtoarele relaii: ; (6.9) z0xz0yy0x0 JJJJ ++= ; z0xy0xx JJJ += x0yz0yy JJJ += ; y0zx0zz JJJ += ; (6.10) )JJJ(

21J zyx0 ++= ; (6.11)

y0xzz0xyz0yx0 JJJJJJJ +=+=+= . (6.12) Pentru cazul plan (z = 0) putem scrie: yx0 JJJ += . (6.13)

Figura 6.3

6.2. Momentele de inerie geometrice Sunt momentele de inerie ale unei suprafee plane (A) n raport cu o ax ( ) din planul suprafeei sau fa de un pol din acelai plan. Ele se definesc astfel:

(6.14) =)A(

2dARI

. (6.15) =)A(

20 dArI

Unitatea de msur pentru momentul de inerie geometric este [ I ]SI = 4m .

42

6.3. Legtura dintre momentele de inerie mecanice i geometrice tim c masa unei plci omogene este egal cu produsul dintre aria plcii i densitatea superficial (masa unitii de suprafa) a plcii, deci: dAdm = (6.16) Comparnd relaiile (6.3) i (6.14) i innd seam de relaia (6.6) putem scrie c: (6.17) IJ = Aceast relaie este valabil i n cazul barelor i blocurilor omogene. 6.4. Raze de inerie (raze de giraie) n unele aplicaii tehnice este necesar s se scrie momentul de inerie sub forma: (6.18) 2imJ = n care: m este masa corpului; i este raza de inerie; J este momentul de inerie al corpului (polar, axial sau planar). - Pentru momentul de inerie polar se scrie:

deci 200 imJ = mJ

i 00 = (6.19) este raza de inerie polar. - Pentru momentele de inerie axiale se scrie: ; ; , 2xx imJ = 2yy imJ = 2zz imJ = deci razele de inerie axiale sunt:

AI

mJ

i xxx == ; AI

mJ yy

y ==i ; AI

mJ

i zzz == . (6.20) Observaie: pentru rigidele ntlnite n mod curent n aplicaiile tehnice, momentele de inerie i razele de inerie sunt calculate i prezentate n tabele cuprinse n memoratoare. 6.5. Variaia momentelor de inerie axiale Presupunem c se cunoate momentul de inerie al unui rigid fa de o ax () ce trece prin centrul su de greutate. Ne propunem s determinm momentul de inerie al rigidului fa de o alt ax ( ). Sunt posibile urmtoarele cazuri: a) axele () i (

J

1 1 ) sunt coplanare (paralele sau concurente); b) axele () i ( ) nu sunt coplanare, caz n care se calculeaz momentul de inerie n raport cu o ax || ( ) dar ( coplanar cu () i apoi se trece la momentul fa de (

1)( 2 1 )2 1).

43

Pentru aceste calcule sunt necesare relaiile ce dau variaia momentelor de inerie axiale la translaia axelor i la rotaia axelor. 6.5.1. Variaia momentelor de inerie axiale la translaia axelor S considerm rigidul (S) de mas M, prin centrul su de greutate C trecnd axele unui sistem cartezian de referin (v. Figura 6.4). Ne propunem s calculm momentul de inerie axial al rigidului, , n raport cu o ax () paralel cu axa J )Cz()( c situat la distana d de aceasta. Din punctul oarecare P, de mas dm ducem perpendicularele PA i PB pe dreptele )( c respectiv ( ). Prin definiie : dmPBdm)PB(J

2

)M( )M(

2 == ; ==)M( )M(

22c dmAPdm)PA(J .

Dar BAPABP += . Deci: =++=+=

)M(

2

)M()M(

2

)M(

2 dmABdmABPA2dmPAdm)BAPA(J

= 2c

)M( )M(

2c dMJdmABdmPABA +=+ 2J + ,

deoarece: ===

)M( )M( )M( )M(

dmyjdmxidm)yjxi(dmPA 0yMjxMi cc = pentru c (C OZ). 0yx cc == Deci am obinut relaia important: (6.21) 2c dMJJ +=

care reprezint teorema lui Steiner : Momentul de inerie al unui corp fa de o ax () este egal cu suma dintre momentul de inerie fa de o ax ( ) paralel cu c dar care trece prin centrul de greutate al corpului i produsul masei corpului cu ptratul distanei dintre cele dou axe

Figura 6.4

44

Figura 6.5

6.5.2. Variaia momentelor de inerie axiale la rotaia axelor Pentru rigidul (S) din Figura 6.5 presupunem c sunt cunoscute momentele de inerie axiale , i i momentele de inerie centrifugale i , toate raportate la sistemul de referin x0yz avnd originea n centrul de greutate al rigidului.

xJ zJ

xz yz

yJ

xy J,J J

Ne propunem s calculm momentul de inerie axial al rigidului (S) fa de axa () a crei direcie este dat de versorul:

J

kcosjcosicosu ++= , (6.22) unde 1u1coscoscos 222 ==++ . Prin definiie : J = ,

)M(

2dmR

dar: R = rsin = ursinur = ; kzjyixr ++= ;

)cosycosx(k)cosxcosz(j)coszcosy(icoscoscos

zyxkji

ur ++=

= ;

=++== )cosycosx()cosxcosz()coszcosy(urR 2222

++++ cosxz2coscosyz2cos)yx(cos)zx(cos)z 22222222 += coscosxy2cosy( 2

nlocuind aceste rezultate n expresia lui obinem: J ( ) +++++==

)M(

222

)M( )M( )M(

2222222 dmyxcosdm)zx(cosdm)zy(cosdmRJ

cos2 . )M()M()M(

dmyxcoscos2dmzxcoscos2dmzycos

innd seama de relaiile (6.4) i (6.7) relaia de mai sus devine: (6.23) ++= coscosJ2coscosJ2coscosJ2cosJcosJcosJJ yzxzxy2z2y2x Relaia (6.23) d modul de variaie al momentului de inerie fa de alte axe, concurente cu axele centrale iniiale.

45

6.6. Momente de inerie principale Din relaia (6.23) se vede c momentul de inerie , calculat fa de axa () ce trece prin origine, depinde de poziia axei fa de triedrul de referin prin cosinusurile directoare. n funcie de unghiurile momentul de inerie J poate avea valori maxime i minime.

J

,, Axele care trec prin originea O i fa de care momentele de inerie au valori extreme (maxime sau minime) se numesc axe principale de inerie . Momentele de inerie fa de aceste axe se numesc momente principale de inerie i se noteaz cu 321 J,J,J . Proprietile cele mai importante ale axelor principale de inerie sunt:

1) formeaz un triedru triortogonal; 2) momentele de inerie centrifugale fa de axele principale sunt nule.

Deci, dac axa () are cosinusurile directoare cos 1 , 11 cos,cos fa de axele principale de inerie, atunci: . (6.24) 1

231

221

21 cosJcosJcosJJ ++=

Dac centrul de greutate al corpului coincide cu originea triedrului de referin ( O C ) atunci momentele de inerie corespunztoare axelor ce trec prin acest punct se cheam momente centrale de inerie . Momentele fa de axele principale de inerie ce trec prin centrul de greutate al corpului se numesc momente de inerie centrale i principale.

Figura 6.6

6.7. Momentele de inerie mecanice ale unor corpuri geometrice simple Momentele de inerie al unei bare omogene de mas m i lungime l (v. Figura 6.6): - n raport cu captul barei A va fi:

3lm

3ldxxdmxJ

2l

0

l

0

322

A ==== , (6.25)

Figura 6.7

n care: dm = dx ; m = l ; - densitatea liniar a barei [ ]. m/kg - n raport cu centrul ei de greutate se determin

aplicnd teorema lui Steiner: unde d = l/2. 2AC dmJJ = ( )

12lm2/lm

3lmJ

22

2

C == . (6.26)

Momentele de inerie axiale i polare ale plcii omogene (v. Figura 6.7):

- n raport cu axele Ox i Oy se calculeaz astfel:

46

====h

0

h

0

2322

x 3hm

3hbdyybdmyJ , (6.27)

n care: ; dybdAdm == hbm = . Analog:

3bmJ

2

y = . (6.28)

- n raport cu polul O va fi:

)hb(3mJJJ 22yx0 +=+= . (6.29)

- Aplicnd teorema lui Steiner, se calculeaz momentele de inerie centrale i principale ale plcii omogene:

Figura 6.8

12hm

4hm

3hm

2hmJJ

2222

x1x ==

= ; (6.30)

12bm

4bm

3bm

2bmJJ

2222

Y1y ==

= ; (6.31)

)hb(12mJJ 221y1xC +=+=J . (6.32)

Momentele de inerie ale unui disc omogen de raz R i mas M (Figura 6.8):

- n raport cu centrul su O (sau axa Oz) va fi:

2

MR2Rdxx2dmxJJ

24

s

R

0

3s

R

0

2z0 ===== (6.33)

unde ; ; dxx2dm s = 2s RM = s = densitatea superficial a discului.

Figura 6.9

- n raport cu axele Ox i Oy, conform relaiei (6.13), vor fi:

4

MR2J

JJ2

0yx === . (6.34)

Momentele de inerie ale unui cilindru omogen de raz R i lungime L:

- n raport cu axa sa de simetrie Oz (v. Figura 6.9) va fi:

2

MRL2RdxxL2dmxJ

24R

0

3R

0

2z0 ==== , (6.35)

unde ; . dxxL2dm = LRM 2=

47

- n raport cu axele Ox i Oy , se calculeaz considernd schia din Figura 6.10. Se consider elementul de mas dm de forma unui disc circular. Deci . Momentele de inerie al acestui disc elementar n raport cu axele proprii Ox i Oy vor fi, conform (6.34):

dzRdm 2=

Figura 6.10

4RdmdJdJ

2

'y'x == . Momentele de inerie ale discului elementar n raport cu axele Ox i Oy se calculeaz aplicnd teorema lui Steiner:

22

yx zdm4dmRdJdJ +== .

Pentru ntregul cilindru, momentul de inerie Jx (similar Jy) se calculeaz integrnd aceast ultim relaie pe lungimea L a cilindrului:

( )223242/L

2/L

222/L

2/L

42/L

2/L

22/L

2/L

2

x

LR312ML

12R

4RL

dzzRdz4Rzdm

4RdmJ

+=+=

=+=+= (6.36)

unde = masa cilindrului. LRM 2= Momentele de inerie ale unei sfere omogene de mas M i raz R (Figura 6.11):

- n raport cu centrul su va fi:

25R

0

4R

0

20 MR5

3R54drr4dmrJ ==== , (6.37)

unde ; drr4dm 2= = 3R34M .

- n raport cu axele de coordonate, se calculeaz folosind (6.11), astfel:

20zyx MR52J

32JJJ ==== . (6.38)

Figura 6.11

48

7. Caracteristicile cinetice ale rigidului 7.1. Impulsul unui rigid n micare general

Figura 7.1

S considerm rigidul (S) de mas M aflat n micare general, micare caracterizat de parametrii cinematici 0v

r i (v. Figura 7.1). Fie o particular A de mas elementar dm aparinnd rigidului.

r

Prin definiie impulsul d H al masei elementare dm este produsul: d vdmH = , (7.1)

n care este viteza punctului A al rigidului fa de sistemul fix de referin x

vr1O1y1z1, dat de relaia (1.9):

rvv 0 += . Deci relaia impulsului masei elementare dm va fi:

)rv(dmHd 0 += . (7.2)

Impulsul rigidului (S) n micarea general va fi: =

)M(

vdmH . (7.3)

nlocuind (1.9) n (7.3) i fcnd calculele obinem: =+=+=

)M( )M( )M(0o )r(dmvdm)rv(dmH +

)M(0

)M(

dmrv)dm( .

Dar: i =

)M(

Mdm =)M(

CrMdmr ,

unde Cr este vectorul de poziie al centrului de greutate al rigidului n sistemul mobil xOyz. innd seam de ultimele relaii, putem scrie: ( ) ( )C0C0 rvMrMvMH +=+= . (7.4) Dar CC0 vrv =+ este viteza centrului de greutate C al rigidului fa de sistemul fix x1O1y1z1. Deci CvMH = , (7.5)

49

adic impulsul unui rigid n micare general este egal cu impulsul ntregii mase M a rigidului, concentrat n centrul lui de greutate . 7.2. Momentul cinetic al unui rigid 7.2.1. Momentul cinetic al rigidului n raport cu un punct O aparinnd rigidului

Figura 7.2

Considerm rigidul (S) din Figura 7.2, cu masa M, aflat n micare general caracterizat de parametrii cinematici ( ,v0 ). Fie particula A de mas elementar dm i impuls elementar Hd . Momentul impulsului elementar n raport cu punctul O poart numele de momentul cinetic elementar n raport cu punctul O al mas dm i se scrie: vdmrHdrKd 0 == . (7.6) Momentul cinetic al rigidului n raport cu punctul O va fi:

( )( )( )

( ) ( )( )

( )21

MM0

M0

M M00 IIrdmrvdmrrvdmrvdmrKdK +=+=+===

unde

( )

( )( )

( )[ ]( )

rot0M

2

M20C0C0

M1 KdmrrrdmrrI;vMrvrMvdmrI =====

= .

rot0K este momentul cinetic al rigidului datorat rotaiei instantanee n jurul lui punctului O. Deci rot00C0 KvMrK += . (7.7) Dac kzjyixr ++= i ,kyi zyx ++= atunci: ( )( ) ( )( )[ ]

( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

kdmyxdmzydmzx

jdmyzdmzxdmyxidmxzdmxydmzy

dmkzjyixzyxkjizyxK

M M M

22zyx

M M Mz

22yx

M M Mzy

22x

Mzyxzyx

222rot0

+++

+

+++

+=

=++++++++=

50

innd seam de relaiile de definiie ale momentelor de inerie axiale i centrifugale, (6.5) i (6.7), rot0K are forma urmtoare: (7.8) ( ) ( ) ( )kJJJjJJJiJJJK zzyzyxzxzyzyyxyxzxzyxyxxrot0 ++++= . Relaia (7.8) se poate scrie matriceal astfel:

. (7.9)

=

z

y

x

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zrot0

yrot0

xrot0

JJJJJJJJJ

KKK

Componentele momentului cinetic de rotaie sunt:

zzyzyxzxzrot0

zyzyyxyxyrot0zxzyxyxxxrot0

JJJK

JJJK;JJJK

=+==

(7.10)

Particularizri 1) Dac axele sistemului mobil sunt axe principale de inerie, atunci J 0JJ yzxzxy === . n acest caz relaia (7.8) devine: kJjJiJK zzyyxxrot0 ++= . (7.11) 2) Dac axa Oz coincide cu axa de rotaie, n acest caz 0yx == , . Relaia (7.8) devine:

=z

kJjJiJ zyzxzrot0 ++K = . (7.12) Dac, n acest caz, axa de rotaie este ax principal de inerie, atunci: kJK zrot0 = . (7.13) Acesta este cazul unui corp de revoluie, la care axa de simetrie este chiar axa de rotaie. 3) Dac originea sistemului mobil se ia n centrul de greutate al rigidului (OxOyz C), atunci 0rC =r i

CrotC KK = . (7.14)

51

7.2.2. Momentul cinetic al rigidului n raport cu un punct fix S considerm rigidul (S) de mas M (v. Figura 7.3), aflat n micare general caracterizat de parametrii cinematici ,v0 . Momentul cinetic n raport cu punctul fix O1 al masei elementare dm a punctului A, avnd impulsul elementar Hd , este: vdmrHdrKd 1101 == . (7.15) Momentul cinetic al ntregului rigid n raport cu punctul O1 este:

( ) = M 101 vdmrK . Dac momentul cinetic al rigidului n raport cu punctul O, 0K , este cunoscut, atunci momentul cinetic 01K se poate calcula cu relaia: HOOKK 1001 += sau HrKK 0001 += . (7.16) unde H

r este impulsul rigidului n micare general. nlocuind (7.7) n (7.16) obinem:

HrKvMrK 0rot00C01 ++= . (7.17) Dac OC, adic Cr = 0, atunci: HrKK C1Crot01 += sau CC1Crot01 vMrKK += . (7.18) Din punct de vedere fizic, impulsul i momentul cinetic caracterizeaz capacitatea pe care o au corpurile n micare de a-i pstra neschimbat starea de micare mecanic sau de a-i transmite unul altuia aceast micare. Impulsul caracterizeaz capacitatea de conservare a translaiei rectilinii i uniforme, iar momentul cinetic caracterizeaz capacitatea de conservare a rotaiei uniforme.

Figura 7.3

52

7.3. Energia cinetic a unui rigid n micare general

Fie rigidul S (v. Figura 7.4) de mas M, aflat n micare general caracterizat de parametrii cinematici rr ,v0 . Masa elementar dm a particulei A a rigidului, avnd viteza , are energia cinetic elementar (prin definiie):

vr

2vdm21dE = . (7.19)

Energia cinetic a rigidului (S) va fi:

( ) ( ) == M

2

M

vdm21dEE . (7.20)

Aceast mrime servete ca msur a micrii

mecanice a rigidului. Unitatea de msur n S.I. a energiei cinetice este:

Figura 7.4

[ ] JoulsmkgE 2

2

.I.S == . innd seama c rvv 0 += , relaia (7.20) devine:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

2

MM0

M

20

2

M0 rdm2

1rvdmvdm21rvdm

21E ++=+= ,

n care : ( )

20

20

M)M(

201 vM2

1vdm21vdm

21I =

== ;

( )

( )( )

( ) ( )C0C0M

0M

02 rvMrMvdmrvrvdm ==

= I = ;

conine pe 3I rvrot

rrr = , se noteaz cu i se numete energie cinetic corespunztoare rotaiei instantanee a rigidului n jurul punctului O:

rotE

( )( ) ( ) == M

2rot

2

Mrot vdm2

1rdm21E . (7.21)

Deci:

( ) rotC020 ErvMvM21E ++= . (7.22)

Dac kji;kzjyxir zyx ++=++= atunci:

53

( ) ( ) ( )yxxzzyzyx xykzxjyzizyx

kjir ++== rrr

rrrrr ,

relaie care, introdus n (7.21), conduce la:

[ ][ ]

+++++=

=++=

)M( )M( )M(xzzyyx

)M(

22

)M( )M(

2z

222y

222x

)M(

2yx

2xz

2zyrot

dmzx2dmyz2dmxy2

dm)yx(dm)zx(dm)yz(21

dm)xy()zx()yz(21E

(7.23)

innd seama de relaiile de definiie ale momentelor de inerie axiale i centrifugale, expresia (7.23) devine:

[ ]zyyzzxxzyxxy2zz2yy2xxrot J2J2J2JJJ21E ++= . (7.24) Particularizri 1) Dac rigidul are o micare de rotaie cu = constant n jurul axei fixe Oz atunci:

0v;;0 0zyx ==== 2zrot J21EE == . (7.25)

2) Dac rigidul are micare de translaie cu viteza Cvv

rr = atunci:

0E,0 rot == 2CMv21E = . (7.26)

3) Dac rigidul execut o micare elicoidal n lungul axei Oz, cu parametrii kvv 00

rr = i , atunci: krr =

( )Cr 0v deoarece 0v i sunt coliniari ( ) 0rvM C0 = ; 2zrot J21E =

2z20 J2

1Mv21E += . (7.27)

4) Dac O C , adic Cr = 0 atunci:

rot2C EMv2

1E += (7.28)

54

i poart numele de teorema lui Koenig. 5) Dac rigidul execut o micare plan-paralel (v. Figura 7.5), atunci: k= , C0 vv = ; 0rC = ( ) 0rvM 00 = rezultnd 2z

2C J2

1vM21E += . (7.29)

Dar ; i nlocuid n (7.29) obinem: )IC(vC = 2zI )IC(MJJ +=

2IJ21E = (7.30)

unde I este centrul instantaneu de rotaie.

Figura 7.6

Figura 7.5

6) Dac rigidul are o micare de rotaie n jurul axei ( ) , cu axa Oz, (v. Figura 7.6) atunci:

k= , 0r C= deoarece OC ( ) 0rvM C0 = iar . Rvv C0 ==Rezult ( ) 222z2z222z2C J21MRJ21J21RM21J21vM21E =+=+=+= Deci: 2J

21E = . (7.31)

55

8. Teoremele fundamentale din dinamica rigidului i sistemelor materiale 8.1. Teorema impulsului n cazul unui rigid, aceast teorem se obine pornind de la ecuaia fundamental a dinamicii: intext FdFdadm += , (8.1) unde: extF - este rezultanta forelor exterioare ce acioneaz asupra masei elementare dm; intF - este rezultanta forelor interioare. Integrnd relaia (8.1) pe masa M a rigidului obinem:

( ) ( ) += M intM extM FdFdadm ,

dar - ( ) ( ) ( )

( ) HHdtdvdm

dtdvdm

dtd

dtvddma

)M(MMM

&===== dm , unde H este impulsul rigidului de mas M; -

( )ext

M

ext RF =d este rezultanta forelor exterioare ce acioneaz asupra rigidului; -

( )0Fd

M

int = , deoarece forele interioare se anuleaz dou cte dou. Deci, teorema imp