mecanica - teorie si aplicatii

7/21/2019 Mecanica - Teorie Si Aplicatii

http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-teorie-si-aplicatii 1/487

MECANICA

Florin Constantin

TEORIE {I APLICA}II



BRAŞOV

2011

Prof.dr.ing. FLORIN CONSTANTIN

CANICA

TEORIE {I APLICA}II



ISBN 978-973-131-104-3

© 2011

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a RomânieiConstantin Florin

Mecanica - teorie şi aplicaţii / prof. dr. ing. Florin Constantin;ed. prof. dr. ing. Florin Andreescu. Braşov : Ed. Lux Libris, 2011 Bibliogr.ISBN 978-973-131-104-3

I. Andreescu Florin (ed.)

531.

Recenzenţi ştiinţifici: prof.dr.ing.mat. Sorin VlaseUniversitateaTransilvaniaBraşov

prof.dr.mat. Dumitru NicoarăUniversitateaTransilvaniaBraşov

Consilier editorial: prof.dr.ing. Florin AndreescuTehnoredactare: ing. Alexandru MoraruCoperta şi grafica: dr.ing. Bogdan AndreescuCorectura: prof.dr.ing. Florin Constantin



Prefaţă

Mecanica este una dintre ştiintele fundamentale ale naturii, alăturide fizică, chimie şi biologie, ştiinte care, la rândul lor studiază alte formede mişcare ale materiei, respectiv. fizica, chimia şi biologica. Mecanicastudiaza legile obiective ale echilibrului şi ale mişcării mecanice a siste-melor materiale.

Prezentul curs de Mecanica se adreseaza în primul rând

studenţilor de la Facultatea de Design de Produs şi Mediu, toatespecializarile precum şi studenţilor de la Facultatea de Construcţii careau în programă, această disciplina.

Lucrarea de faţă este rodul activităţii didactice şi ştiinţifice aautorului desfăşurată pe parcursul celor 35 de ani în cadrul Catedrei deMecanică a Universităţii “ Transilvania” din Braşov

Cursul cuprinde într-o succesiune clasică, cele trei diviziuni ale



Mecanicii: Statica , Cinematica şi Dinamica prezentate pe parcursulcelor 15 capitole.

În cadrul cursului toată atenţia a fost acordată explicăriifenomenelor şi însuşirii metodelor de lucru , folosite în rezolvarea

problemelor prezentate la sfârşitul fiecărui capitol. Uneori s-a apelat laintuiţie, evitând demonstraţiile matematice laborioase.

De asemenea , s-a asigurat o corelare a cunoştinţelor prezentateîn curs cu cele de la alte discipline din planul de invaţământ , evitând

suprapunerile.

Lucrarea , prin conţinutul ei şi modul cum este structurată , vine în sprijinulstudenţilor pentru a trezi interesul şi pasiunea pentru această disciplinăde cultură tehnică generală.

Brasov , 1 .03. 2011

Prof.univ.dr.ing.dr.h.c. Ioan CURTUMembru titular al Academiei de Stiinte

Tehnice din RomaniaMembru al Academiei de Stiinte ale Naturii a

Federatiei Ruse



Cuprins

1. Introducere în mecanică .......................................................... 111.1. Obiectul şi diviziunile mecanicii ........................................ 131.2. Modele simplificatoare utilizate în mecanică ..................... 141.3. Noţiuni şi principii fundamentale ....................................... 14

STATICA

2. Reducerea sistemelor de forţe aplicate unui rigid ................ 17

2.1. Forţa ca vector alunecător ............................................... 192.2. Momentul polar al forţei ................................................... 212.3. Momentul axial al forţei ................................................... 232.4. Torsorul de reducere al unui sistem de forţe într-un pol ...........242.5. Cuplu de forţe.................................................................. 262.6. Variaţia elementelor torsorului faţă de schimbarea

polului de reducere .......................................................... 272.7. Invarianţii unui sistem de forţe faţă de schimbarea

polului de reducere .......................................................... 292.8. Axa centrală a unui sistem de forţe oarecare.................... 312.9. Teorema lui Varignon ....................................................... 322.10. Reducerea sistemelor particulare de forţe ...................... 32

2.10.1. Reducerea sistemelor de forţe concurente. .......... 332.10.2. Reducerea sistemelor de forţe coplanare ............. 342.10.3. Reducerea sistemelor de forţe paralele ................ 352.10.4. Reducerea forţelor distribuite. .............................. 37

2.11. Probleme rezolvate ...................................................... 392.12. Probleme propuse ....................................................... 49

3. Centre de masă ........................................................................ 553.1. Centrul de masă al unui sistem de puncte materiale .......... 573.2. Centrul de masă al corpurilor omogene simple......................603.3. Centrul de masă al corpurilor omogene complexe............ 643.4. Probleme rezolvate ....................................................... 663.5. Probleme propuse ......................................................... 70

4. Statica punctului material ........................................................ 75



4.1. Echilibrul forţelor ce acţionează asupra punctuluimaterial liber ................................................................... 77

4.2. Punctul material supus la legături fără frecare.................. 784.2.1. Legăturile mecanice ale punctului material .................784.3. Punctul material supus la legături cu frecare .................... 81

4.3.1. Frecarea de alunecare. Legile frecării uscate ................814.3.2. Echilibrul punctului material pe o suprafaţă aspră .......844.3.3. Echilibrul punctului material pe o curbă aspră .............85

4.4. Probleme rezolvate ........................................................... 86 4.5. Probleme propuse .......................................................... 90

5. Statica solidului rigid................................................................ 935.1. Echilibrul forţelor ce acţionează asupra rigidului liber ........ 955.2. Echilibrul rigidului supus la legături ideale ......................... 96

5.2.1. Legăturile mecanice ale rigidului. ........................... 965.3. Echilibrul rigidului supus la legături cu frecare ................ 103

5.3.1. Rigidul rezemat cu frecare. ................................. 1035.3.2. Frecarea de alunecare. ........................................ 1055.3.3. Frecarea de rostogolire. ....................................... 105

5.3.4. Frecarea de pivotare în cazul lagărului axial. ........ 1075.3.5. Frecarea în articulaţii sau lagărul radial cu joc. ..... 1095.3.6. Frecarea firelor pe suprafaţe cilindrice. ................ 1115.3.7. Frecarea în scripeţi. ............................................. 113

5.4. Probleme rezolvate ...................................................... 1165.5. Probleme propuse ........................................................ 124

6. Statica sistemelor de solide rigide ....................................... 1316.1. Clasificarea sistemelor de corpuri şi a forţelor de

legătură ........................................................................ 1336.2. Teoreme pentru studiul sistemului de rigide..................... 1356.2.1. Teorema echilibrului părţilor (separării corpurilor). 1356.2.2. Teorema solidificării (rigidizării corpurilor). .......... 138

6.3 Grinzi cu zăbrele...............................................................1396.3.1 Definiţii. Ipoteze. .................................................. 1396.3.2. Metode analitice pentru determinarea eforturilor din bare. 142

6.4. Probleme rezolvate ...................................................... 147

6.5. Probleme propuse ........................................................ 151



CINEMATICA

7. Cinematica punctului material .............................................. 159

7.1. Noţiuni generale ale cinematicii ...................................... 1617.1.1. Traiectoria ........................................................... 161

7.1.2. Viteza punctului. .................................................. 162

7.1.3. Acceleraţia. ......................................................... 163

7.1.4. Viteza şi acceleraţia unghiulară. ........................... 165

7.1.5. Formulele lui Poisson. .......................................... 166

7.2. Studiul mişcării punctului în diferite sisteme de referinţă . 167

7.2.1. Mişcarea punctului în sistemul de coordonate

carteziene. .......................................................... 1677.2.2. Mişcarea punctului în sistemul de coordonate

cilindrice şi polare ................................................ 168


naturale (triedrul lui Frenet). ............................... 171

7.2.4. Calculul razei de curbură a traiectoriei ................. 172

7.3. Mişcări particulare ale punctului material ........................ 174

7.3.1. Mişcarea uniformă a punctului. ............................ 174

7.3.2. Mişcarea uniform variată. ................................... 1757.3.3. Mişcarea circulară. ............................................. 177

7.3.4. Mişcarea oscilatorie armonică. ............................ 179

7.4. Probleme rezolvate ........................................................ 180

7.5. Probleme propuse .......................................................... 189

8. Cinematica solidului rigid .................................................... 195

8.1. Mişcarea generală a rigidului..............................................197

8.1.1. Viteza unghiulară instantanee a rigidului. .............. 197

8.1.2. Distribuţia vitezelor .............................................. 1998.1.3. Distribuţia acceleraţiilor ....................................... 200

8.2. Mişcarea de translaţie .................................................... 202

8.2.1. Definiţie, exemple, grade de libertate ................... 202

8.2.2. Distribuţia vitezelor .............................................. 203

8.2.3. Distribuţia acceleraţiilor ....................................... 203

8.3. Mişcarea de rotaţie cu axă fixă ...................................... 204





8.4. Mişcarea elicoidală ........................................................ 207



8.4.4. Mişcarea de şurub. .............................................. 210

8.5. Mişcarea plan paralelă ................................................... 211



8.5.3. Centrul instantaneu de rotaţie. Baza şi rostogolitoarea 214


8.5.5. Polul acceleraţiilor ............................................... 2188.6. Mişcarea cu punct fix .................................................... 220






9. Mişcarea relativă ................................................................... 239

9.1. Mişcarea relativă a punctului material ............................ 2419.1.1. Generalităţi. ......................................................... 241

9.1.2. Derivata absolută şi relativă (locală) a unui vector. . 242

9.1.3. Compunerea vitezelor în mişcarea relativă

a punctului. ....................................................... 243

9.1.4. Compunerea acceleraţiilor în mişcarea

relativă a punctului............................................. 244

9.2. Mişcarea relativă a rigidului ........................................... 246

9.2.1. Generalităţi. ......................................................... 2469.2.2. Compunerea vitezelor în mişcarea relativă a rigidului.246

9.2.3. Compunerea acceleraţiilor în mişcarea relativă a

rigidului .......................................................... 247



DINAMICA

10. Noţiuni specifice în dinamică .............................................. 25710.1. Generalităţi .................................................................. 259



10.2. Lucrul mecanic ............................................................ 26010.2.1. Lucrul mecanic al forţelor ce acţionează asupra

punctului material. ............................................. 26010.2.2. Lucrul mecanic al forţelor ce acţionează asupra rigidului.................................... ..........................265

10.3. Puterea mecanică ........................................................ 26810.4. Randamentul mecanic .................................................. 26910.5. Momentele de inerţie mecanice.................................... 270

10.5.1. Momentele de inerţie mecanice ale rigidului. ...... 27110.5.2. Momentele de inerţie ale corpurilor de rotaţie. ... 275

10.5.3. Variaţia momentelor de inerţie la translaţia axelor. 27710.5.4. Variaţia momentelor de inerţie la rotaţia axelor. .. 27910.6. Energia mecanică ........................................................ 280

10.6.1. Energia cinetică. ................................................ 28110.6.2. Energia potenţială .............................................. 285

10.7. Impulsul ....................................................................... 28610.8. Momentul cinetic ......................................................... 28710.9. Torsorul vectorilor impuls pentru diferie corpuri în mişcare 290

10.10. Probleme rezolvate .................................................... 29610.11. Probleme propuse ...................................................... 30711. Teoremele fundamentale ale dinamicii ............................... 315

11.1. Teorema variaţiei energiei cinetice................................ 31711.1.1. Cazul punctului material. .................................... 31711.1.2. Cazul solidului rigid. ........................................... 31811.1.3. Teorema conservării energiei mecanice. ............. 319

11.2. Teorema impulsului........................................................319

11.2.1. Cazul punctului material. .................................... 31911.2.2. Cazul solidului rigid ............................................ 32011.2.3. Teorema conservării impulsului. ......................... 320

11.3. Teorema momentului cinetic ......................................... 32111.3.1. Cazul punctului material. .................................... 32111.3.2. Cazul solidului rigid. ........................................... 32111.3.3. Teorema conservării momentului cinetic. ............ 322


11.5. Probleme propuse ........................................................ 32912. Principiul lui d’Alembert ..................................................... 349



12.1. Forţa de inerţie ............................................................35112.2. Torsorul fortelor de inertie .........................................................354

12.3. Probleme rezolvate ...................................................... 35612.4. Probleme propuse ........................................................ 37513. Dinamica punctului material ................................................ 385

13.1. Dinamica punctului material liberI ................................ 38713.2. Dinamica punctului material cu legături ........................ 38913.3. Dinamica punctului material în mişcare relativă ............ 391

13.3.1. Ecuaţia fundamentală a mişcării relative. ........ 39113.3.2. Cazul forţelor complementare nule. Reper inerţial... 392

13.3.3. Repausul relativ. ................................................ 39213.4. Probleme rezolvate ...................................................... 39313.5. Probleme propuse ........................................................ 400

14. Noţiuni de vibraţii mecanice ............................................... 41714.1. Definiţii. Clasificarea vibraţiilor mecanice..................... 41914.2. Vibraţii libere neamortizate ........................................... 420

14.2.1. Constantele elastice ale câtorva sisteme mecanice 42014.2.2. Stabilirea ecuaţiei diferenţiale ............................ 422

14.3. Vibraţii libere amortizate .............................................. 42414.4. Vibraţii forţate neamortizate ......................................... 42714.5. Vibraţii forţate amortizate............................................. 42914.6. Probleme rezolvate ...................................................... 43214.7. Probleme propuse ........................................................ 435

15. Elemente de mecanică analitică.......................................... 43915.1 Deplasări reale Şi deplasări virtuale ............................... 44115.2 Principiul lucrului mecanic virtual (deplasărilor virtuale) . 445

15.3 Principiul vitezelor virtuale (puterilor virtuale) ................ 44615.4 Principiul lui Torricelli .................................................... 44715.5 Ecuaţiile lui Lagrange.................................................... 448

15.5.1 Forţe generalizate ............................................... 44815.5.2 Ecuaţiile lui Lagrange de speţa întâi .................... 45015.5.3 Ecuaţiile lui Lagrange de speţa a doua ................ 45115.5.4 Ecuaţiile lui Lagrange în cazul forţelor conservative 453


15.7. Probleme propuse ........................................................ 473Bibliografie ..................................................................................483



111. INTRODUCERE ÎN MECANICĂ

1.

INTRODUCERE ÎN MECANICĂ

1.1. Obiectul şi diviziunile mecanicii ................................. 13

1.2. Modele simplificatoare utilizate în mecanică ............. 141.3. Noţiuni şi principii fundamentale ................................ 14



12 MECANICĂ




1

INTRODUCERE ÎN MECANICĂ

1.1. OBIECTUL ŞI DIVIZIUNILE MECANICII

Mecanica este ştiinţa fundamentală a naturii care studiază legileobiective ale echilibrului şi a mişcării mecanice a corpurilor materiale, cu

scopul aplicării lor în activitatea productivă a omului.Obiectul acestui curs îl constituie Mecanica clasică numită şi Mecanica

newtoniană. Bazele acestei mecanici au fost puse de renumitul matema-tician, fizician şi astronom englez ISAAC NEWTON (1643-1727) în lucrareafundamentală “Principiile matematice ale filozofiei naturale“, publicată în1686. În cadrul acestui curs de Mecanică se studiază legile generale aleechilibrului, mişcării şi interacţiunii corpurilor materiale macroscopice, con-siderate solide rigide (nedeformabile), care se deplasează cu viteze mici în

comparaţie cu viteza de propagare a luminii în vid.Potrivit unei împărţiri clasice, urmărind intr-o oarecare măsură

dezvoltarea istorică a acestei ştiinţe, Mecanica clasică se compune dinurmătoarele trei părţi: STATICA, CINEMATICA şi DINAMICA.

STATICA se ocupă cu studiul forţelor ce acţionează asupracorpurilor, determinând sistemul de forţe echivalent şi de asemenea, seocupă de sistemele de forţe care îşi fac echilibrul.

CINEMATICA se ocupă cu studiul mişcăricorpurilor fără a ţine seama de forţele ce acţioneazăasupra lor şi masele corpurilor. Se face un studiu geo-metric al mişcării, introducând pe lângă coordonatelespaţiului (x, y, z) a patra coordonată timpul t.

DINAMICA (fig. 1.1). este esenţa mecanicii.Ea studiază mişcarea corpurilor sub influenţa forţelor ce acţionează asupra lor, ţinând seama de maseleacestora. Dinamica face legătura între forţe şimişcare, prin intermediul ecuaţiei fundamentale. Fig.1.1



14 MECANICĂ

1.2. MODELE SIMPLIFICATOARE UTILIZATE ÎN

MECANICĂCorpurile materiale, macroscopice, au o mare diversitate de proprietăţi

fizice şi forme geometrice. Nu toate aceste însuşiri influenţează mişcareacorpurilor. Pentru simplificarea studiului şi aplicarea aparatului matematic,corpurile reale se transformă în modele, care reţin numai caracteristricileesenţiale ale lor. Aceste modele sunt: punctul material, sistemul de punctemateriale, continuul material, corpul solid rigid şi sistemul de rigide.

Punctul material este cel mai simplu model; este un punct geomet-ric căruia i se atribuie masă. Punctul material poate fi considerat oricecorp solid ale cărui dimensiuni, deformaţii, mişcări de rotaţie suntneesenţiale în raport cu alte elemente. Acest model reduce întregul corpla un singur punct, centrul de masă al corpului, în care se considerăconcentrată întreaga masă a acestuia.

Sistemul de puncte materiale este o mulţime finită de punctemateriale aflate în interacţiune mecanică.

Continuul material este modelul general al Mecanicii clasice, careconsideră că întreg domeniul ocupat de un corp este umplut cu substanţă.Un element oricât de mic din acest continuu conţine materie.

Corpul solid rigid (rigidul) este modelul fundamental al Mecaniciiclasice. Rigidul este un continuu material nedeformabil, adică distanţadintre două puncte rămâne aceeaşi indiferent de natura şi mărimea forţelor ce acţionează asupra lui.

Sistemul de rigide este o mulţime finită de corpuri solide

nedeformabile aflate în interacţiune mecanică. Orice maşină sau mecanism pot fi considerate ca sistem de corpuri rigide.

1.3. NOŢIUNI ŞI PRINCIPII FUNDAMENTALE

Ca orice ştiinţă, Mecanica clasică are la bază noţiuni şi principiifundamentale stabilite pe baza unei îndelungate experienţe - verificate

prin măsurători sau prin lucrările care le executăm pe baza lor - dar care




nu pot fi reduse la alte noţiuni şi principii mai simple. Noţiunile fundamentale ale Mecanicii clasice sunt: spaţiul, timpul şi masa.

Spaţiul este o entitate abstractă care reflectă forma obiectivă deexistenţă a materiei, care caracterizează dimensiunile corpurilor şi poziţialor relativă. Mecanica clasică adoptă modelul spaţiului euclidian tridi-mensional conceput ca fiind omogen, continuu şi izotrop.

Timpul este tot o entitate abstractă a Mecanicii, reflectând obiectivexistenţa materiei, care caracterizează durata, succesiunea sausimultaneitatea fenomenelor. În Mecanica clasică timpul se considerăinfinit, continuu, omogen şi ireversibil, având un singur sens de curgere.

Spaţiul şi timpul sunt forme obiective de existenţă a materiei; elesunt infinite şi veşnice ca şi materia.Masa, cea de-a treia noţiune fundamentală, este considerată o

mărime fizică scalară, care reflectă proprietăţile de inerţie şi gravitaţieale materiei. În Mecanica clasică masa este considerată constantă, spredeosebire de Mecanica relativistă în care masa este funcţie de viteză.

Principiile fundamentale ale Mecanicii au fost formulate deISAAC NEWTON în anul 1686 în lucrarea “Principiile matematice ale

filozofiei naturale”. Deşi au trecut 300 de ani aceste principii sunt adevăruricare nu pot fi dovedite riguros pe cale teoretică sau experimentală, dar pe baza cărora se poate construi o teorie care să fie în concordanţă cuexperienţele şi datele obţinute prin observarea naturii. Aceste principiisunt următoarele: principiul inerţiei, principiul acţiunii forţei, principiulacţiunii şi reacţiunii.

Principiul inerţiei: “ Un punct material îşi păstrează starea de repaussau de mişcare rectilinie şi uniformă, atât timp cât asupra lui nu intervine

vreo forţă care să-i modifice această stare”.Acest principiu conţine noţiunea abstractă de forţă şi ideea că dreptcauză a modificării mişcării corpurilor este forţa. S-a observat că potexista mişcări şi fără intervenţia forţelor, de exemplu, mişcările rectiliniişi uniforme. Deci, forţa nu este cauza mişcării, ci este cauza modificăriimişcării.

Principiul acţiunii forţei: “Variaţia mişcării (acceleraţia) este proporţională cu forţa motrice aplicată şi este îndreptată după linia dreaptă

de-a lungul căreia acţionează forţa”.



16 MECANICĂ

Acest principiu stabileşte orelaţie de legătură între forţa

F şiacceleraţia

a a unui punct material

(fig. 1.2). NEWTON a introdus înacest principiu noţiunea de masă cafactor de proporţionalitate dintre forţăşi acceleraţie, pe care acesta o

imprimă punctului material. Expresia matematică a acestui principiu este:

.amFsaum

Fa

(1.1)

şi poartă numele de ecuaţia fundamentală a dinamicii.Dacă ,0F rezultă ,0a

ceea ce confirmă principiul inerţiei şidovedeşte că cele două principii nu sunt contradictorii.

Acestui principiu NEWTON i-a adăugat şi un corolar cunoscut subnumele de principiul paralelogramului forţelor: “Dacă asupra unui

punct material acţionează simultan două forţe cu suporturi diferite, efectul produs este acelaşi ca şi cum asupra sa ar acţiona o singură forţă avândmodulul, direcţia şi sensul diagonalei paralelogramului, cu cele două forţe

ca laturi “.Principiul acţiunii şi reacţiunii: “ La orice acţiune îi corespunde

întotdeauna o reacţiune egală şi de sens contrar; sau acţiunile reciprocea două corpuri sunt totdeauna egale şi îndreptate în sens contrar “.

Acest principiu se exprimă prinrelaţia:

. jiij FF (1.2)

Principiul se explică atât în cazulcontactului direct între corpuri (fig.1.3),cât şi în cazul acţiunii de la distanţă prinintermediul unui câmp (atracţia

universală, forţe magnetice, etc.).

Fig. 1.2

Fig1.3



172. R EDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE

STATICA

2.

REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢEAPLICATE UNUI RIGID

2.1. Forţa ca vector alunecător .......................................... 19

2.2. Momentul polar al forţei .............................................. 21

2.3. Momentul axial al forţei .............................................. 23

2.4. Torsorul de reducere al unui sistem de forţe

într-un pol ................ ............ ................ ....................... .. 24

2.5. Cuplu de forţe .............................................................. 26



18 MECANICĂ

2.6. Variaţia elementelor torsorului faţă de schimbareapolului de reducere ....................................................... 27

2.7. Invarianţii unui sistem de forţe faţă de schimbareapolului de reducere ....................................................... 292.8. Axa centrală a unui sistem de forţe oarecare ............... 312.9. Teorema lui Varignon .................................................. 322.10. Reducerea sistemelor particulare de forţe ............... 32

2.10.1. Reducerea sistemelor de forţe concurente ...... 33

2.10.2. Reducerea sistemelor de forţe coplanare ........ 342.10.3. Reducerea sistemelor de forţe paralele ........... 35

2.10.4. Reducerea forţelor distribuite .......................... 372.11. Probleme rezolvate ...................................................... 392.12. Probleme propuse ....................................................... 49




STATICA

2

REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢEAPLICATE UNUI RIGID

2.1. FORŢA CA VECTOR ALUNECĂTOR

Forţa este o mărime vectorială ce măsoară interacţiunea dintrecorpurile materiale. Ea careacerizează direcţia, sensul şi intensitatea acesteiinteracţiuni. Datorită interacţiunii corpurilor materiale se produce otransmitere de mişcare de la un corp material la altul.

Forţa poate avea caracter de vector legat sau vector alunecător. O

forţă aplicată unui punct material sau asupra unui corp deformabil arecaracter de vector legat, pe când o forţă aplicată asupra unui corp rigidare caracter de vector alunecător.

În Mecanica newtoniană corpurile se consideră rigide, deci nu seţine seama de deformarea corpurilor, decât în acele cazuri în care ipotezacorpului rigid nu duce la rezultate satisfăcătoare. Făcând această ipoteză,forţele se pot considera vectori alunecători. Efectul mecanic al forţeieste acelaşi indiferent de poziţia punctului de aplicaţie pe dreapta suport.

Forţele diferă între ele după efectul lor. În funcţie de acest efect ele pot fi comparate. Cea mai simplă metodă pentru efectuarea acesteicomparaţii este metoda dinamometrului. Această metodă de măsurarea forţelor are la bază efectul de comprimare sau întindere a unui resort,la care deformaţiile sunt proporţionale cu solicitările. Două forţe care

produc aceleaşi deformaţii sunt egale între ele. Dinamometrul este prevăzut cu o scală gradată pe care se poate citi mărimea forţei.

Unitatea de măsură pentru forţă în Sistemul Internaţional este

Newtonul. Un Newton reprezintă forţa care, acţionând asupra unei masede 1 kg îi imprimă o acceleraţie de 1 m/s2.



20 MECANICĂ

Cunoscând mărimea forţei F şi coordonatele a două puncte

A1(x

1,y

1,z

1) şi A

2(x

2,y

2,z

2) situate pe suportul fortei F de versor e

, se

poate determina expresia analitică a forţei într-un sistem cartezian dereferinţă (fig.2.1), utilizând relaţiile cunoscute din algebra vectorială:

.k Z jYiX

zyx

k z jyixF

AA

AAFeFF

22221

21

(2.1)

unde: ,zzz;yyy;xxx 121212 (2.2)

iar:

;cosF

zyx

xFX

222

;cosF

zyx

yFY

222

(2.3)

;cosF

zyx

zFZ

222

X, Y, Z reprezentând componentele scalare ale forţei F .

a) b) c)

Fig. 2.1




2.2. MOMENTUL POLAR AL FORŢEI

La noţiunea de moment s-a ajuns din necesitatea practică de a evaluaefectul de rotaţie pe care o forţă îl produce acţionând asupra unui corp. Înfigura 2.2 se consideră un corp solid rigid asupra căruia acţionează o forţă

F cu punctul de aplicaţie în A şi suportul (D).Prin definiţie, momentul unei forţe F

în raport cu un punct O, este produsul

vectorial dintre vectorul de poziţie r

al punctului de aplicaţie A al forţei şi vectorulforţă:

.Fr FOAM FO

(2.4)Din această definiţie rezultă că

momentul OM este un vector legat de punctul O, perpendicular pe planuldefinit de cei doi vectori, având sensul dat de regula şurubului drept, iar mărimea egală cu produsul dintre braţul forţei, d şi forţa F, astfel:

.FdsinFOAFOAMO (2.5)

unde d = OA. sin, este braţul forţei F , reprezentând distanţa de la polulO la suportul (D) al forţei.

Pentru a afla sensul vectorului moment cu regula şurubului drept, seaşează şurubul drept cu axa perpendiculară pe planul definit de cei doi

vectori, Fşir

şi se roteşte în sensul indicat de forţă; sensul de înaintare

al şurubului ne dă sensul vectorului moment.

Proprietăţi ale momentului polar:1) Momentul polar este nul când punctul în raport cu care se

calculează momentul, se află pe suportul forţei, adică cei doi vectori din produsul vectorial sunt coliniari.

2) Momentul polar nu depinde de caracterul de vector alunecător alforţei. Într-adevăr, presupunând forţa deplasată pe suportul ei din punctul

A în punctul B (fig. 2.3), momentul ei în raport cu polul O va fi:

Fig. 2.2



22 MECANICĂ

.MFOAFABOAFOBM FOFO

unde 0FAB , deoarececei doi vectori sunt coliniari.

3) Momentul polar semodifică atunci când seschimbă punctul în raport cucare se calculează dupărelaţia:

FOOMM 1001 (2.6)

Expresia analitică a momentului polar

Dacă în polul O faţă de care se calculează momentul forţei F seconsideră un sistem de referinţă cartezian drept (fig. 2.4), expresiile

analitice ale vectorilor 0MşiF,r

sunt:

,k Z jYiXF,k z jyixr

(2.7)

iar k yXxY jxZzXizYyZ

ZYX

zyx

k ji

Fr M0

(2.8)

Componentele scalare alevectorului moment sunt:

.yXxYM

,xZzXM

,zYyZM

oz

oy

ox

(2.9)

Mărimea momentului este:

2oz

2oy

2ox0 MMMM .

(2.10)

Fig. 2.3

Fig. 2.4




Dacă forţa F

este situată în planul xOy, vectorul moment este dirijatdupă axa Oz.

2.3. MOMENTUL AXIAL AL FORŢEI

Prin definiţie, momentul unei forţe în raport cu o axă, este proiecţia pe acea axă a momentului forţei calculat înraport cu un pol arbitrar ales pe axă.

În figura 2.5 se consideră o forţă

F având suportul (D) şi o axă () de versor e

, în raport cu care ne propunem săcalculăm momentul axial M . Acest mo-ment este o măsură a efectului de rotire aforţei F , în jurul axei (). Conformdefiniţiei:

,eFr eMcosMM 00

(2.11)unde - reprezintă unghiul dintre vectorul

moment polar OM şi axa (). Rezultă că

momentul axial se exprimă prin produsul mixt al vectorilor e,F,r

şi este unscalar, semnul scalarului depinzând de unghiul . Mărimea momentuluiaxial este egală cu volumul paralelipipedului având ca muchii cei trei vectori.

Momentul axial poate fi scris şi ca vector:

.M. pr Munde,eMM 0 (2.12)

Proprietăţile momentului axial1) Momentul axial este invariant faţă de schimbarea polului pe axa

faţă de care se calculează momentul. Demonstrarea acestei proprietăţi

se face considerând un alt pol O1 situat pe aceiaşi axă ).( (fig. 2.5).

Faţă de acest pol avem:

,eFr eFOOeFr OOeFr eMM 11101

Fig. 2.5

Momentul polar al

forţei



24 MECANICĂ

unde s-a înlocuit r OOr 11

iar 0e)FOO( 1

deci:

.Me)Fr (M

(2.13.)

2) Momentul axial este invariant faţă de schimbarea poziţiei forţei pesuportul ei. Acest lucru s-a demonstrat, deoarece momentul polar al forţeinu depinde de caracterul de vector alunecător al forţei.

3) Momentul axial este nul când forţa F şi axa (D) sunt coplanare(adică în cazul când intersectează axa sau în cazul când este paralelă cuaxa).

4) Momentul unei forţe în raport cu o axă este egal cu suma

momentelor componentelor forţei, calculate în raport cu aceeaşi axă,dacă forţele componente au acelaşi punct de aplicaţie.

Expresia analitică a momentului axial. Cunoscând expresiileanalitice ale vectorilor eşiF,r

care intră în produsul mixt (2.11), rezultă:

.YXzZXyZYxZYX

zyx

eFr M

(2.14)

în care x, y, z reprezintă coordonatele punctului A de aplicaţie a forţei; X,Y, Z reprezintă proiecţiile forţei F pe axele sistemului de referinţă ales; reprezintă cosinuşii directori ai versorului e

ce caracterizeazădirecţia axei ().

2.4. TORSORUL DE REDUCERE AL UNUI SISTEMDE FORŢE ÎNTR-UN POL

Se consideră în figura 2.6 un sistem de forţe iF

, (i = 1,2,...,n) ce acţio-nează asupra unui corp rigid în punctele A i, având vectorii de poziţie

r i , faţăde punctul O.

Orice sistem de forţe ce acţionează asupra unui rigid este caracterizat

prin două mărimi fundamentale:




a) Forţa rezultantă a sistemului R este egală cu suma vectorială aforţelor componente:

n

1

in21 FFFFR (2.15.)

b) Momentul rezultant al sistemului 0M ,egal cu suma vectorială a momentelor forţelor date, calculate faţă de acelaşi pol O.

n

1

iinn22110 Fr Fr Fr Fr M

(2.16)Ansamblul celor doi vectori, cu punctul

de localizare O, formează torsorul de reducere al sistemului de forţe în

punctul O. Simbolic se notează astfel: )M;R ()F( 00i0 Torsorul de reducere este format din acele elemente mecanice

echivalente, care aplicate în punctul O, produc acelaşi efect mecanic caşi sistemul de forţe dat.

Două sisteme de forţe sunt echivalente putând fi înlocuite unul prinaltul, atunci când au acelaşi torsor într-un pol arbitrar ales. Când un sistemde forţe, redus într-un punct oarecare dă un torsor nul, adică 0R şi

0M0 , sistemul de forţe este în echilibru.Expresii analitice. Se presupune că sistemul de forţe este raportat

la un sistem de referinţă triortogonal Oxyz având originea în punctul de

reducere. Notăm cu iii Z,Y,X proiecţile forţei iF

pe axe, iar cu x y zi i i, ,

coordonatele punctului Ai în care este aplicată forţa iF , Avem deci:

k z jyixr şik Z jYiXF iiiiiiii

(2.17)

Forţa rezultantă R , egală cu suma vectorială a forţelor ce formeazăsistemul are expresia:

(2.18)

Fig. 2.6.

;k z jyiX

k Z jYiXFR

n

1i

n

1i

n

1i

n

1iii

n

1

i=



26 MECANICĂ

deci ,k Z jYiXR

unde proiecţiile X, Y, Z sunt:

n

1i

n

1i

n

1,i ,ZZ,YYXX (2.19)

Mărimea forţei rezultante este:

.ZYXZYXR 2

i

2

i

2

i222

(2.20)

Relaţia (2.19) exprimă teorema proiecţiilor: proiecţiile forţei

rezultante pe axele unui sistem cartezian de referinţă sunt egale cu suma proiecţiilor forţelor pe aceleaşi axe.Momentul rezultant OM

, egal cu suma vectorială a momentelor forţelor în raport cu polul O, are expresia:

,k M jMiM

ZYX

zyx

k ji

Fr M OzOyOx

n

1iii

iii

n

1iiO

(2.21)unde:

,ZxXzM,YzZyMn

1iiiiOy

n

1iiiiOx

.XyYxMn

1iiiiOz

Mărimea momentului este:.MMMM 2

Oz2Oy

2OxO

(2.22)

2.5. CUPLU DE FORŢE

Cuplul de forţe este cel mai simplu sistem de forţe ce poate acţionaasupra unui corp rigid, fiind format din două forţe paralele, egale în modulşi de sensuri opuse.




Pentru a determina elementele caracteristice ale unui cuplu de forţe,în figura 2.7. s-a reprezentat un asemenea sistem.

Deci: ,0FFR

(2.23)iar:

MFBAFOBOA

FOBFOAMMM 210

(2.24)

Din relaţiile (2.23) şi(2.24) rezultă că forţarezultantă a unui cuplu estenulă iar momentul rezultant,numit momentul cuplului

nu depinde de punctul faţăde care s-a calculat. Prinurmare, momentul unuicuplu este un vector liber,

care se obţine calculândmomentul uneia din forţe înraport cu punctul deaplicaţie al celeilalte forţe.

Momentul cuplului este un vector perpendicular pe planul cuplului [],sensul se determină cu regula şurubului drept iar mărimea este:

FdsinFBAFBAM

(2.25)

unde d - este braţul cuplului, distanţa dintre suporţii paraleli ai forţelor.

2.6. VARIAŢIA ELEMENTELOR TORSORULUIFAŢĂ DE SCHIMBAREA POLULULUI DE

REDUCERE

În figura 2.8. se consideră un corp rigid asupra căruia acţionează un

sistem de forţe iF

(i=1,2,...,n) în punctele Ai având vectorii de poziţie ir

Fig. 2.7.



28 MECANICĂ

faţă de polul O şi i1r

faţă de polul 1O .Presupunând cunoscute elementele torsorului de reducere în polul

O, 1OO M,R

ne propunem să determinăm elementele torsorului într-un

alt pol 1O , arbitrar ales 11 OO M,R

. Expresiile acestora vor fi:

n

1;iiO

n

1;i

FO

Fr M

FR

i

şi

n

1

;ii1O

n

1;i

FO

Fr M

FR

1

i1

(2.26)

Analizând expresiile (2.26), se constată că forţa rezultantă ,R

definităca suma vectorială a tuturor forţelor sistemului, este independentă dealegerea polului de reducere. Deci, forţa rezultantă este un invariantvectorial al sistemului de forţe, faţă de schimbarea polului.

Prin trecerea de la un pol la altul se observă că momentul rezultantal sistemului de forţe se modifică. Pentru a stabili legătura între celedouă momente rezultante, se scrie relaţia între vectorii de

poziţie: .OOr r 1ii1

Înlocuind această relaţie în expresia momentului

01M

rezultă:

,FOOFr FOOFr FOOr Mn

1i1

n

1ii

n

1i1

n

1iii

n

11iO1

ştiind că:

Fig. 2.8.




n

1i

n

1Oii ,R FişMFr

rezultă:

R OOMM 1001

(2.27)

Relaţia (2.27) cunoscută sub denumirea de teorema momentelorsau ecuaţia fundamentală a teoriei torsorului, determină variaţiamomentului rezultant cu schimbarea polului.

Proprietăţile torsorului, rezultă din analiza teoremei momentelor,a) Dacă elementele torsorului sunt nule într-un punct, ele vor fi nule în

orice alt punct.

Dacă 0,00 atunci 0,010

b) Dacă forţa rezultantă ,R

este nulă atunci momentul rezultant al sis-temului de forţe este acelaşi în orice punct. Se spune că vectorul moment

rezultant este un vector liber. Dacă O0 M,0

atunci .MM,0 OO0 11

c) În punctele situate pe drepte paralele cu suportul forţei rezultanteR

, momentele rezultante ale sistemului de forţe sunt egale. Conform

relaţiei (2.27), dacă 0R OO,R ||OO 11

iar .MM OO1

d) Două sisteme de forţe care au acelaşi torsor într-un punct arbitrar

ales, sunt echivalente, putând fi înlocuite unul prin altul.

2.7. INVARIANŢII UNUI SISTEM DE FORŢE FAŢĂDE SCHIMBAREA POLULUI DE REDUCERE

Invarianţii unui sistem de forţe sunt acele mărimi vectoriale sauscalare care, sunt independente de alegerea polului de reducere. Invari-anţii principali ai unui sistem de forţe sunt:

1. Forţa rezultantă, ,k Z jYiXFR i

aşa cum s-a văzut în

paragraful precedent, este independentă de alegerea polului de reducere,numită invariantul vectorial al sistemului de forţe.

2. Produsul scalar dintre forţa rezultantă şi vectorul moment rezultant,

este invariantul scalar al sistemului de forţe numit automoment:



30 MECANICĂ

1OO MR MR A

const.

Pentru a demonstra că acest produs scalar este invariant faţă deschimbarea polului, se înmulţeşte scalar cu R relaţia (2.27):

,R OOR MR MR 1OO1

ştiind că: ,0R OOR 1

rezultă 1OO MR MR

const.Invariantul scalar poate fi pus analitic sub forma:

,OzOyOxO ZMYMXMMR A

(2.28)

numindu-se trinom invariant. Forţa rezultantă şi automomentul reprezintăinvarianţii principali ai unui sistem de forţe.

3. În afara acestor doi invarianţi se pot introduce şi alţi invarianţi carese pot exprima în funcţie de invarianţi principali. Astfel, făcând raportulcelor doi invarianţi principali se obţine un nou invariant, numit momentulminim, notat cu minM sau R M :

OR OR OO

R M pr MeMR

R

R

A

R

MR M

(2.29)

unde R e este versorul forţei rezultante.Rezultă că momentul minim reprezintă proiecţia momentului rezultant

pe o direcţie paralelă cu forţa rezultantă, ea fiind valoarea cea mai mică posibilă a momentului rezultant.

4. De asemenea, raportul k R /M R numit parametrul sistemuluieste tot un invariant egal cu:

222

OzOyOx

22 OR ZYX

ZMYMXM

R

A

R

MR

R

Mk

(2.30)

Astfel se poate scrie: R k MR

(2.31)Torsorul format din R

şi R M

se numeşte torsor minim şi are expresia:

;k kZikYikXR k R R

MR M

;k Z jYiXFR

2O

R

n

1i

FR i

(2.32)




2.8. AXA CENTRALĂ A UNUI SISTEM DE FORŢE

OARECAREAxa centrală se defineşte, ca fiind locul geometric al punctelor, în

care făcând reducerea sistemului de forţe, se obţine torsorul minim.

k kZ jkYikXR k M

k Z jYiXFR

R

n

1

i

min

(2.32)

În figura 2.9 se consideră un sis-tem de forţe )n,,2,1i(Fi care

acţionează asupra rigidului în punc-

tul Ai de vectori de poziţie ir

faţă de

punctul O, originea sistemului dereferinţă Oxyz.

Conform relaţiei (2.27), mo-

mentul rezultant al sistemului de forţeîntr-un punct P(x, y, z) al axei centraleeste:

R OPMM OP

(2.33)Înlocuind în (2.33) expresiile

analitice ale vectorilor R şiM0 ce

formează torsorul de reducere în polul O şi a momentului minim PR MM dat de relaţia (2.32), se determină ecuaţiile scalare ale axei centrale:

Deci:

ZYX

zyx

k ji

k M jMiMk Z jYiXk OzOyOx

.

Prin identificarea coeficienţilor versorilor k , j,i

rezultă:

.yXxYMkZ

;xZzXMkY

;zYyZMkX

Oz

Oy

Ox

(2.34)

Fig.2.9.



32 MECANICĂ

Eliminând parametrul scalar k, rezultă ecuaţiile carteziene ale axeicentrale:

ZyXxYM

YxZzXM

XzYyZMk OxOyOx

(2.35)Din cele trei rapoarte egale, luând două câte două, obţinem ecuaţiile

a două plane intersectate după axa centrală:

0DzCyBxA)(

0DzCyBxA)(

22222

11111

(2.36)

2.9. TEOREMA LUI VARIGNON

Pentru un anumit sistem de forţe momentul minim R M

este nul.Aceste sisteme de forţe se reduc după axa centrală la o forţă unicăegală cu rezultanta sistemului. Pentru aceste sisteme de forţe, relaţia

(2.33) devine:

0R OPMM OP sau R OPM0 (2.37)

Relaţia (2.37) exprimăteorema lui Varignon. Ea se enunţă astfel:"Momentul rezultant este egal cu momentul rezultantei, pentru

sistemele de forţe la care momentul minim este nul."Sistemele de forţe care îndeplinesc această condiţie, sunt sistemele

de forţe concurente, sistemele de forţe paralele şi sistemele de forţe

coplanare, numite şi sisteme particulare de forţe.

2.10. REDUCEREA SISTEMELOR PARTICULAREDE FORŢE

Sistemele particulare de forţe sunt acele sisteme pentru careautomomentul este nul. Automomentul fiind nul, înseamnă că unghiul dintre

R şi OM

este

90 iar momentul minim este egal cu zero. După axa




centrală forţele se reduc la o forţă unică. Sistemele de forţe concurente,sistemele de forţe coplanare şi sistemele de forţe paralele sunt consider-

ate sisteme particulare de forţe.

2.10.1. Reducerea sistemelor de forţe concurente

Două sau mai multe forţe sunt concurente atunci când suporturilelor se întâlnesc într-un singur punct.

În figura 2.10 se consideră un sistem de forţe iF

(i = 1, 2,,.., n), con-

curente în punctul AAA z,y,xA într-unsistem de referinţăcartezian Oxyz.

Forţele iF

, fiindvectori alunecători, pringlisare pe suporturile lor

pot fi aduse cu punctele

de aplicaţie A i în punc-tul de concurentă A.Astfel, se poate conside-ra acelaşi vector de

poziţ ie Ar

pentru toateforţele sistemului. Torsorul de reducere în polul O, are expresia:

R r Fr Fr M

;k Z jYiXFR

AiAiAO

i

FR i

(2.38)

Dar ,0R r R MR A AO

automomentul fiind nul unghiul dintre

cei doi vectori R

şi OM

este 90 . Deci, forţelor concurente li se aplicăteorema lui Varignon.

Un sistem de forţe concurente se reduce într-un pol O, ce nu aparţine

axei centrale, la un torsor ,M,R OO

având componentele perpendiculare.

Dacă se alege drept pol de reducere punctul de concurenţă A,

Fig. 2.10



34 MECANICĂ

momentul fiecărei forţe iF

, fiind zero în raport cu A, şi momentulrezultantei este zero. Deci, punctul A aparţine axei centrale, aceasta fiind

paralelă cu suportul forţei rezultante R

ce trece prin O.Un sistem de forţe concurente se reduce după axa centrală la o

rezultantă unică,ce trece prin punctul de concurenţă. Axa centrală este

definită de punctul de concurenţă AAA z,y,xA şi parametrii directori ai

forţei rezultante R

(X, Y, Z). Ecuaţiile carteziene ale axei centrale sunt:

Z

zz

Y

yy

X

xx AAA

(2.39)

2.10.2. Reducerea sistemelor de forţe coplanare

Un sistem de forţe se numeşte coplanar, atunci când toate forţelesistemului au suporturile în acelaşi plan. În figura 2.11. se consideră unasemenea sistem de forţe, coplanare, situate în planul Oxy.

Dacă forţele )0,Y,X(F iii

ce formează sistemul sunt conţinute în

planul Oxy, înseam-nă că şi forţa rezul-

tantă 0,Y,XR

vafi conţinută în ace-laşi plan, avândcomponente dupăaxele Ox şi Oy. Mo-mentul fiecărei forţe

iF

în raport cu polulO fiind un vector

perpendicula r pe planul Oxy şivectorul moment

rezultant este perpendicular pe acelaşi plan, adică orientat după axa Oz.Cu aceste observaţii, elementele torsorului de reducere în polul O au

expresiile:

Fig. 2.11.




.k MFr M

; jYiXFR

OziiO

i

FO i

(2.40)

Vectorul moment rezultant OM

fiind perpendicular pe planul forţelor,,

este perpendicular şi pe R

. Automomentul OMR A , fiind nul, se poate aplica teorema lui Varignon. În punctele axei centrale, sistemul se

reduce la o forţă unică egală cu R Poziţia rezultantei este dată de poziţia axei centrale. Ecuaţia axei

centrale, conţinute în planul forţelor, se determină aplicând teorema luiVarignon. Considerând punctul P (fig. 2.11.) un punct al axei centrale,

rezultă: R r M0

sau:

,

ZYX

zyx

k ji

k MOz

de unde ,yXxYMOz (2.41)

2.10.3. Reducerea sistemelor de forţe paralele

Prin sistem de forţe paralelese înţelege un sistem de forţe lacare suporturile tuturor forţelor

sunt paralele cu o direcţie dată,de versor e

. În figura 2.12. seconsideră un sistem de forţe

paralele iF (i=1,2,..,n), cu punc-

tele de plicaţie iA şi vectorii de

poziţie ir

în sistemul de referinţăcartezian Oxyz. Forţele avândaceiaşi direcţie, fiecare forţă a Fig.2.12.



36 MECANICĂ

sistemului poate fi scrisă sub forma: .eFF ii

Reducând sistemul în polul O, elementele torsorului de reducere vor fi:

n

1

n

1iiii

n

1iiO

n

1i

n

1i

FO

eFr eFr Fr M

;eFFR

i

(2.42)

Din expresia torsorului de reducere (2.42) rezultă că: forţa rezultantă

a sistemului şi axa centrală au aceiaşi direcţie cu forţa sistemului, iar momentul rezultantOM

este un vector perpendicular pe rezultantă, produsul lor scalar fiind nul.

După axa centrală sistemul se reduce la o forţă unică egală curezultanta sistemului. Mărimea ei, fiind suma algebrică a mărimilor forţelor

componente, n

1iFR

Axa centrală se determină aplicând teorema lui Varignon scrisăsub forma:

R r MO

unde r

este un vector de poziţie al unui punct P situat pe axa centrală.

Înlocuind pe R şiMO

determinaţi anterior, rezultă:

.0eFr Fr

sau ,0eFr eFr

sau ,eFr eFr

iii

iii

iii

Vectorul din paranteză este coliniar cu vectorul

e (produsul lor vectorial fiind nul), iar condiţia de coliniaritate se poate scrie şi astfel:

,eFr Fr iii

(2.43)

Din relaţia (2.43) în care este un parametru scalar, rezultă ecuaţia

vectorială a axei centrale:




eFF

Fr r

ii

ii

(2.44)

Dacă se notează:

i

iic

i F

Fr r şi

F

(2.45)

ecuaţia vectorială a axei centrale a forţelor paralele capătă forma:

,er r c

(2.46)

unde este un alt parametru scalar.

Analizând relaţia (2.46), observăm că axa centrală trece printr-un punct C dat de vectorul cr

, a cărei poziţie nu depinde de direţia comună

a forţelor. Acest punct se numeşte centrul forţelor paralele. Proiectând pe axele sistemului de referinţă Oxyz, vectorul cr

din relaţia (2.45) rezultă

coordonatele acestui punct:

.F

Fzz,

F

Fyy;

F

Fxx

i

iic

i

iic

i

iic

(2.47)

unde iii z,y,x reprezintă coordonatele punctelor de aplicaţie ale forţelor .Fi

Cunoscând coordonatele acestui punct C, axa centrală se poate trasauşor ştiind că este paralelă cu forţele sistemului. În cazul când forţelesunt vectori legaţi, centrul forţelor paralele reprezintă punctul de aplicaţieal rezultantei sistemului pe axa centrală.

2.10.4. Reducerea forţelor distribuite

În toate raţionamentele de până acum, s-a considerat că forţele ceacţionează asupra corpurilor sunt concentrate în anumite puncte. În

practică se întâlnesc sisteme de forţe distribuite de-a lungul unei linii, pesuprafaţă sau distribuite într-un volum.

Cu forţele distribuite se poate lucra ca şi cu cele concentrate, dacăacestea se consideră ca o mulţime de forţe elementare concentrate. Toatenoţiunile şi relaţiile stabilite pentru sistemele de forţe studiate până aici,



38 MECANICĂ

rămân valabile şi pentru sistemelede forţe distribuite.

În cele ce urmează se vaanaliza numai cazul forţelor coplanare şi paralele, distribuiteliniar. Astfel, în figura 2.13. seconsideră un asemenea sistem deforţe, distribuite liniar pe lungimeal după o lege oarecare q=q(x).Dacă se alege ca axă Ox dreapta

pe care forţele sunt distribuite, pefiecare element de lungime dx vaacţiona o forţă elementară dQ =

q dx,unde q se numeşte forţă unitară şi se măsoară în N/m.Sistemul de forţe reprezentat se înlocuieşte cu un sistem de forţe

elementare, paralele de intensitate variabilă.Torsorul întregului sistem de forţe în polul O este:

l

0O

l

0

dxxxqdQxMşidxxqQ (2.48)

Sistemul de forţe se reduce după axa centrală la o forţă unică egalăcu rezultanta sistemului. Poziţia axei centrale se determină prin aplicareateoremei lui Varignon:

Oc MQx , sau l

0c ,dxxxqQx (2.49)

deci

.dxxq

dxxqxQ

dxxqxxl

0

l

0

l

0c

(2.50)

undecx reprezintă abscisa care poziţionează rezultanta Q. Analizând

relaţiile (2.48) şi (2.50) rezultă că rezultanta sistemului de forţe distribuiteliniar este numeric egală cu aria suprafeţei de distribuţie, iar suportulrezultantei trece prin centrul de greutate al suprafeţei de distribuţie.

Fig. 2.13.




2.11 PROBLEME REZOLVATE

1. Să se determine rezultanta şi poziţia rezultantei pentru următoarelesisteme de forţe distribuite liniar:

a) Forţe distribuite uniform (fig. 2.14):

;lqdxqdxxqQl

0

l

0 OO

.2l

lqdxxq

Qdxxqxx

O

l

0O

l

0c

b) Forţe distribuite liniar (fig. 2.15):

l

0O

O ;lq2

1dxx

l

qQ

.l3

2

lq2

1

dxxl

qxx

O

l

0

O

c

2. Asupra unei prismetriunghiulare acţionează o forţăQ=30N; pe diagonala BE, orientatăde la B spre E, ca în figura 2.16. ştiindcă: OB=OD=4m; OA=2m; să sedetermine:

a) momentele forţei Q

înraport cu vârfurile prismei;

b) momentele forţei Q

în

raport cu muchiile prismei.

Fig. 2.14.

Fig. 2.15.

Fig. 2.16



40 MECANICĂ

Rezolvare:

a) Expresia analitică a forţeiQ

în sistemul Oxyz este:

.k 20 j20i10242

k 4 j4i230

BE

BEQeQQ

222BE

Momentul forţei Q

în raport cu vârfurile prismei sunt: ,0MM BE

punctele fiind situate pe suportul forţei:

Nm;k 40i80202010040

k ji

QOBMO

Nm; j40i80

202010

400

k ji

QAEMA

Nm; j40i80

202010

400k ji

QCBMC

Nm;k 40 j40

202010

002

k ji

QDEMD

b) Momentele axiale în raport cu muchiile prismei sunt:

,0MMMM

Nm;40 jMMM

Nm;0MM;80iMMM

EBECAEAB

0ODOz

OBOy0OAOx

suportul forţei intersectează muchiile respective;

Nm40 jMeMM DDCDDC




3. Un cuplu de forţe (F;-F) acţionează asupra unei plăci circulare îndouă situaţii: placa este perpendiculară pe axa de rotaţie z-z, (fig. 2.17,a)

şi în cazul al doilea placa formează unghiul

50 cu axa de rotaţie(fig. 2.17,b).

Cunoscând braţul cuplului h = 0,2 m şi mărimile forţelor F = 80 N, săse determine momentul forţelor în raport cu axa de rotaţie z-z.

În primul caz, momentul în raport cu axa de rotaţie zM este egal cu

momentul cuplului, ,F,FM

placa fiind perpendiculară pe axa de rotaţie.

Mărimea momentului este:

Nm16802,0FhMz

În al doilea caz, pentru a afla momentul în raport cu axa z-z derotaţie se proiectează momentul cuplului F,FM

pe axa de rotaţie.

Momentul cuplului fiind perpendicular pe placă rezultă:

Nm2,12766,01640cosFhMz .

4. Un sistem de forţe şi cupluri acţionează asupra unui paralelipipedde dimensiuni (2; 6; 3) m, ca în figura 2.18.

Cunoscând mărimile acestora: F1=14N, N104F2 , N132F3 ,

Fig. 2.17

a) b)



42 MECANICĂ

F4=4N, respectiv C

1=2N.m, C

2=3 Nm, se cere:

a) să se reducă sistemul în polul O;

b) torsorul siste-mului în polul B;c) invarianţii vec-

toriali şi scalari aisistemului;

d) torsorul minim;e) ecuaţiile carte-

ziene ale axei centrale

şi reprezentarea ei.

Rezolvare.a) Se determină

expresiile analitice aleforţelor:

;k 6 j12i4

362

k 3 j6i214

GC

GCFeFF

2221GC11

. j12i462

j6i2104

DB

DBFF

2222

.k 6i432

k 3i2132

HA

HAFF

2233

.i4iFF 44

Forţa rezultantă, k 12FR i

Momentele forţelor în polul O, originea sistemului sunt:

; j12i36

6124

062

k ji

FOGM 1FO 1

Fig. 2.18




;k 24 j12i360124302

k ji

FODM 2FO 2

;k 24i36

604

060

k ji

FOHM 3FO 3

i3Cşik 2Ciar ,0FOEM 214FO 4

Momentul rezultant al sistemului de forţe şi cupluri este:

.k 2 j24i39CMM2

1i

4

1OO i

În polul O sistemul de forţe se reduce la un torsor .M,R OO

b) Torsorul sistemului în polul B este ,M,R BB

unde:

.k 2 j24i33

1200

360

k ji

k 2 j24i39R BOMM OB

c) Invarianţii principali ai sistemului de forţe sunt:

.24MR şik 12R O

Invarianţii secundari sunt:

.k 2R k M;6

1

12

2

R

Mk ;

12

24

R

MR M R

R OR

d) Torsorul minim OO M,R

unde:

. Nmk 2Mşi Nk 12R R

e) Cunoscând OO M,R se pot scrie ecuaţiile carteziene, ştiind că:

.2Mşi24M;39M;12Z;0Y;0X OzOyOx



44 MECANICĂ

Deci: ;12

002

0

x12024

0

0y1232

Sub forma intersecţiei a două plane, axa centrală are expresia: .024x12 ;039y12 21

Axa centrală este o dreaptă paralelă cu axa Oz, şi înţeapă planul Oxyzîn punctul P (2; 3,25; 0). Pe axa centrală (fig. 2.18) se reprezintă torsorul

minimal R R M,R Sistemul de forţe şi cupluri se reduce după axa centrală

la o dinamă.

5. Un stâlp avândînălţimea 20 m este ancorat prin intermediul a trei cablurifixate în punctele A, B şi C, acăror poziţie este cunoscută şiindicată în figura 2.19.

Ştiind că în cablul VBefortul este 4,2 kN, să se

determine eforturile dincablurile VA şi VC astfel încâtrezultanta lor în vârful V să fiede-a lungul stâlpului. Careeste mărimea acesteirezultante?

Rezolvare. Expresiile analitice ale eforturilor sunt:

kNk T34 jT532015k 20 j15T

VAVATT AA22AAA

,

kNk 4 ji5

4

2054

k 20 j5 j42,4

VB

VBTT

222BB

.kNk T54

jT25

9iT

25

12

20912

k 20 j9i12T

VC

VCTT

C

CC222CCC

Fig. 2.19




Rezultanta sistemului este:

.k T5

44T

3

4

jT25

9

1T5

3

iT25

12

5

4

TTTR

CA

CACCBA

Punând condiţiile X = Y = 0, adică rezultanta să aibă componentănumai după axa Z, rezultă:

.kN66,2TiºkN66,1Tunde,25T9T15;0T1220 ACCAC

Rezultanta:.kN88,8R ;k 88,8k T

5

44T

3

4R CA

6. Asupra unei plăci dreptunghiulare având dimensiunile (4;2) metri,acţionează un sistem format din patru forţe coplanare, ca în figura 2.20.

Cunoscând mărimile forţelor P1=P

2=10N, N220P3 şi N510P4 , se cere:

a) să se reducă sistemulîn polul O;

b) să se reducă sistemuldupă axa centrală şi să sereprezinte.

Rezolvare:a) Expresiile analitice

ale forţelor sistemului sunt:

;i10P;i10P 21

; j20i2022

j2i2220

BD

BDPP

2233

; j10i2024

j2i4510

BE

BEPP

2244

Forţa rezultantă a sistemului:

Fig. 2.20



46 MECANICĂ

j20i30PR 4

1i

Momentele forţelor în polul O, originea sistemului ales, sunt:

;k 40k 104M;k 20k 102M21 POPO

;k 80

02020

004

k ji

POBM 3PO 3

.k 40

01020

004

k ji

POBM 4PO 4

Momentul rezultant este: ,k 60MM4

1OiO

Sistemul se reduce

în polul O la un torsor .M,R OO

b) Torsorul minim este .M,R R R

unde 0MR

deoarece .0MR O

După axa centrală sistemul se reduce la o forţă unică egală cu rezultanta

sistemului. Ecuaţia axei centrale, dată de relaţia (2.52) în care ,60MOz

X = -30, Y = 20, este: 60 =20x +30y. Axa centrală trece prin

punctele P (3; 0) şi E (0; 2).

7. Asupra unui cub de muchieegală cu 4 m (v. fig. 2.21) acţioneazăun sistem de de forţe paralele.Cunoscând coordonatele punctelor de aplicaţie ale forţelor şi mărimile

acestora , N60F1 , N10F2

, N50F3 , N100F4 , N60F5

să se reducă sistemul după axa Fig. 2.21




centrală şi să se afle coordonatele centrului forţelor paralele. Rezolvare. Pentru

determinarea centruluiforţelor paralele şi aplicarearelaţiilor (2.47) se va face uncalcul tabelar. În acest scopse întocmeşte tabelul 2.1. încare se trec coordonatele

punctelor de aplicaţie

iii z,y,x şi mărimile forţelor

.Fi Însumând pe coloane,

rezultă numitorii şi numărătoriifracţiilor din relaţiile (2.47).

Astfel:

;m460

240

F

Fxx

i

ii

c

.m3,360200

FFzzi

iiC

Axa centrală este paralelă cu forţele sistemului şi trece prin C (4;-6;3,3)m.

8. Să se determine rezultantaşi poziţia rezultantei pentruurmătoarele sisteme de forţe

distribuite liniar:a) Forţe distribuite uniform(fig. 2.22):

l

0

l

0 OO lqdxqdxxqQ

.

2

l

lq

dxxq

Q

dxxqxx

O

l

0O

l

0c

Tabelul 2.1

Fig. 2.22



48 MECANICĂ

b) Forţe distribuite liniar (fig.

2.23):

l

0 OO ;lq

2

1dxx

l

qQ

.l3

2

lq2

1

dxxl

qx

x

O

l

0

O

c

c) Forţe distribuite parabolic, de

forma axq 2 (fig. 2.24):

;lq3

2

dxxl

qdxxqQ

O

l

0

l

0

O

.l5

3

lq3

2

dxxl

qx

x

O

l

0

O

c

d) Forţe distribuite pa-rabolic, de forma 2x bq

(fig.2.25):

;lq3

1

dxxl

qdxxqQ

O

l

0

l

0

2

2O

Fig. 2.23

Fig. 2.24

Fig. 2.25




.l4

3

lq3

1

dxx

l

qx

xO

l

0

22O

c

e) Forţe distribuite uniform peun arc de cerc (fig. 2.26):

2sinR q2ABqQ OO

(componentele orizontale seanulează reciproc)

.simetrieidatorită 2

sinR

22

sinR 2

2

ABx c

2.12. PROBLEME PROPUSE

1. Asupra unei bare cotite ABC (fig.2.27) acţionează forţa

k 40 j30i20F (N). Să se calculeze momentul forţei în polul O şi

faţă de braţul OB.

R .m N160M m; N4,376M

iar m),(N k 180 j20i330MOBO

O

.2. Asupra unei roţi dinţate cu dinţi înclinaţi (fig.2.28) acţionează în

planul tangent roţii, perpendicular pe dinte, o forţă Q. Cunoscând unghiula de înclinare al dinţilor şi raza R a roţii, să se determine momentul forţeiQ în raport cu axa de rotaţie a roţii.

R . cosQR M .

Fig. 2.26



50 MECANICĂ

3. La ridicarea unei greutăţidin poziţia B, cu ajutorul uneimacarale de perete, în cablu sedezvoltă o forţă S de 39 kN. Săse calculeze momentul pe care

S îl produce faţă de baza O şi C

a macaralei (fig. 2.29).R .

)kN(k36i15S

k90 j180i216M

);mkN(k90i216M

C

O

4. Un sistem format din două

cupluri

)F,F( 11 şi )F,F( 22

acţionează asupra construcţiei dinfigura 2.30, ce are posibilitatea să serotească în jurul axei verticale Oz.Cunoscând mărimile forţelor F

1 = 60

N, F2 = 75 N, raza discului R = 1,2 m

Fig. 2.29

Fig. 2.30

Fig. 2.27

Fig. 2.28




şi braţele a = 1,7 m şi b = 2,5 m, să se determine momentul cupluluiechivalent al sistemului.

R . m N84M Oz

5.Asupra unei îmbinări sudate, formând unghiuri drepte acţionează şaseforţe cunoscute: P1 = P2 = P3 = P, P4 =

2P, P5 = 3P, P5P6 . Să se

determine torsorul sistemului în polul Oşi ecuaţiile axei centrale ( fig. 2.31 ).

R.

-5a5z-10y-10x

a41z10y8x) b

kaP4 jaP4iaP3M

kP2 jP5iP4R )a

O

6. Asupra unei pârghii cotite acţionează patru forţe plane cunoscute P= 4 kN, Q = 6 kN, H = 10 kN, V = 18 kN, iar în alezajele pârghiei acţioneazăcupluri de frecare ale căror momente sunt egale cu M f = 0,5 Nm. Cunoscândunghiurile = 30O şi = 60O să se determine elementele torsorului dereducere în raport cu polul O şi ecuaţia axei centrale ( fig. 2.32 ).

R .

Fig. 2.31

Fig. 2.32



52 MECANICĂ

7. Asupra unui baraj (fig. 2.33) acţionează în plan median vertical,

perpendicular pe cele două feţe ale barajului, forţele de presiune ale apeiP =20 MN şi F=13 MN la distanţele H = 4 m şi h = 2,4 m de la bază.Greutatea părţii dreptunghiulare a barajului este G1 = 30 MN, iar a părţiitriunghiulare G2 = 15 MN. Lăţimea barajului la bază este b = 10 m iar la

partea superioară a = 5 m iar tg a = 5/12. Se cere: a) să se reducăsistemul în polul O, b) să se determine ecuaţia axei centrale, c) să severifice că suportul rezultantei intersectează baza de susţinere a barajului.

R.

m.5,42x,0yc) 0135,6-4y25x) b

)mMN(k2.271M (MN), j50i8R )a O

8. Se consideră un sistem de trei forţe i100F 1 , j75F 2 şi

k 50F 3 . Ştiind că axa centrală a sistemului de forţe trece printr-un

punct A (10; 0; 0) şi că mărimea momentului minim este 29200MR , să

se determine torsorul sistemului în punctul O, originea sistemului de referinţă.

R. .k950 j200i400M ,k50 j75i100R O

Fig. 2.33




9. Asupra unei plăci rombice, acţionează un sistem de forţe ca în figura

2.34. Cunoscând mărimile acestor forţe, P1 = P

2 = P

3 = P

4 = 52 N, P

5 = 8

N, să se determine forţa care echilibrează placa.R. Forţa care echilibrează placa este i8Q şi trece prin vârful B.

10. Un cârlig este fixat prin şuruburi în A şi B (v. fig. 2.35). Se cere:a) să se reducă forţa F = 30 N în polul B; b) să se determine cele douăforţe orizontale din A şi B care dau un cuplu echivalent cu cel dat la

punctul a).

R . (N) j5,12FF b) i5,1M;k30F )a BAB

11. Asupra unui paralelipiped de laturi a, b şi c acţionează sistemul

format din forţele şi cuplurile de momente 1M şi 2M (fig. 2.36). Ştiindcă F1 =F2 =F3 =P şi M1 = 2bP, M2 = 3aP, se cer: a) torsorul de reducere

în O şi relaţia ce există între dimensiunile a, b, c, astfel ca sistemul dat săse reducă la o rezultantă unică; b) pentru a = 1 şi b = 2 să se deducă

Fig. 2.34 Fig. 2.35



54 MECANICĂ

ecuaţia axei centrale şi să se de-termine mărimea distanţei de la O

la axa centrală.R .a) 3b - c = 2a;

b)

38R

Md ,

P

32zP

34y

P

32x

O

12. Un sistem format din patru forţe 2FF1 , 5FF2 , F2F3 ,

F4 = F acţionează asupra paralelipipedului din figura 2.37. Să se reducă

sistemul în polul O, să secalculeze torsorul minim şiaxa centrală.

R .

ayxşiay

;2aFM

;kaF2 jaFM

;kFiFR

R

O

13. Sistemul de forţecoplanare din figura 2.38 acţionează asupra

şaibelor solidare de rază a şi 2a. CunoscândF1 = 60 N, F2 = 90 N, F3 = 80 N,

260F4 N, să se determine poziţia

rezultantei unice a sistemului.R.

0)21220(az9x14)AC(

j140i90R

Fig. 2.36

Fig. 2.37

Fig. 2.38



3. CENTRE DE MASĂ 55

3.

CENTRE DE MASĂ

3.1. Centrul de masă al unui sistem de puncte materiale ... 57

3.2. Centrul de masă al corpurilor omogene simple........... 603.3 Centrul de masă al corpurilor omogene complexe ....... 643.4. Probleme rezolvate ........................................................ 663.5. Probleme propuse ......................................................... 70



56 MECANICĂ




3 CENTRE DE MASĂ

3.1. CENTRUL DE MASĂ AL UNUI SISTEM DEPUNCTE MATERIALE

Se consideră un sistem format din n puncte materiale iA (i=1,2,...,n)cu masele im situat în câmpul gravitaţional al Pământului (fig.3.1). Sistemul

de puncte fiind dispus la suprafaţa Pământului, este supus atracţieiacestuia, astfel că asupra fiecărui punct va acţiona o forţă numită greutate:

gmG ii

(3.1)

unde g este vectorul accele-

raţiei gravitaţionale. Valoarealui g este uşor variabilă culatitudinea şi altitudinea, cavaloare aproximativă utilizată întehnică se ia egală cu 9,81

.s/m 2

Forţele iG ce acţionează

asupra punctelor iA au acelaşi

sens fiind îndreptate spre centrul Pământului.Ţinând seama de dimensiunilePământului şi a sistemelor materiale situate la suprafaţa lui, aceste forţe

pot fi considerate paralele.Prin urmare, asupra sistemului material acţionează vertical, forţele

paralele iG .

Aceste forţe se reduc la o rezultantă unică G , numită greutateasistemului de puncte materiale:

Fig. 3.1



58 MECANICĂ

gMmggmGG iii , (3.2)

unde M este masa întregului sistem de puncte materiale.Punctul de aplicaţie al rezultantei acestor forţe este centrul forţelor

paralele, care acum se va numi centru de greutate. Deci, determinareacentrului de greutate al unui sistem de puncte materiale, reprezintă uncaz particular al determinării centrului forţelor paralele, când forţele suntgreutăţi.

Poziţia centrului de greutate faţă de un reper O se determină prin

vectorul de poziţie cr

cu ajutorul unei relaţii de forma (2.45):

n

1i

n

1ii

c

G

Gr r

(3.3)

Dacă se alege un sistem cartezian de referinţă cu originea în O,

coordonatele CCC z,y,x se obţin proiectând relaţia (3.3) pe axele reperului

cartezian:

i

ii

C

i

ii

C

i

ii

C G

Gzz;

G

Gyy;

G

Gxx (3.4)

unde x y zi i i, , sunt coordonatele punctelor Ai , ce alcătuiesc sistemul.

Dacă se ţine seama de relaţia (3.2) avem:

M

mr

m

mr

mg

mr g

gm

gmr

r ii

i

ii

i

ii

i

ii

C (3.5)

şi

i

ii

C

i

ii

C

i

ii

C M

mzz;

M

myy;

M

mxx (3.6)

Din relaţiile (3.5) şi (3.6) se observă că poziţia centrului de greutatenu mai depinde de greutaţile punctelor ci numai de modul de distribuţie a

maselor. Această observaţie justifică denumirea de centru de masă




care este identică cu centru de greutate. Înseamnă că se poate vorbi decentrul maselor şi la corpurile care nu sunt situate în câmpul de atracţie

al Pământului.Relaţiile (3.5) şi (3.6) se pot scrie sub o altă formă:

,Smr r M Oiic

(3.7)

.SmzMz

;SmyMy;SmxMx

xOyiic

xOziicyOziic

(3.8)

unde OS reprezintă momentul static polar al sistemului de puncte materialeîn raport cu polul O; SxOy, SyOz, SxOz -momentele statice planare alesistemului de puncte materiale în raport cu planele de referinţă.

Relaţiile (3.7) şi (3.8) exprimă teorema momentelor statice pentruun sistem de puncte materiale, în raport cu polul O şi cu planele dereferinţă. Enunţul acestei teoreme este: “ Momentul static al unui sistemde puncte materiale în raport cu polul O, este egal cu produsul dintremasa sistemului şi vectorul de poziţie al centrului de masă faţă de acest

pol, respectiv, momentul static al unui sistem de puncte materiale în raportcu un plan de referinţă, este egal cu produsul dintre masa sistemului şidistanţa de la centrul de masă la acest plan “.

Proprietăţi ale centrelor de masa: 1. Centrul de masă se poatedefini ca punctul geometric faţă de care momentele statice ale sistemuluisunt nule.

2. Centrul de masă al unui sistem există chiar în afara acţiunii gravitaţiei.Poziţia sa depinde numai de distribuţia maselor. În cazul corpurilor omogene poziţia centrului de masă nu depinde de natura materialului cinumai de forma lor geometrică.

3. Poziţia centrului de masă nu depinde de sistemul de referinţă ales.4. Dacă un sistem material are o axă sau un plan de simetrie, centrul

de masă se va găsi pe axa sau în planul respectiv de simetrie.5. Centrul de masă se mai poate defini şi ca punctul în care poate fi

concentrată întreaga masă a sistemului material, fără ca momentele statice

să se modifice.



60 MECANICĂ

3.2. CENTRUL DE MASĂ AL CORPURILOR

OMOGENE SIMPLECorpul solid rigid de formă oarecare (fig. 3.2) este format dintr-o

infinitate de puncte de mase elementare dm, ce ocupă un domeniu (D)închis din spaţiu. Asuprafiecărui punct va acţionao forţă elementară dG =dm g, de greutate. Asupra

întregului corp acţioneazăastfel un sistem format dintr-un număr infinit de forţeelementare, paraleledistribuite pe întregulvolum. Vectorul de poziţieal centrului forţelor para-lele elementare, ce

corespunde cu centrul demasă al corpului este:

,M

dmr

dmg

dmr g

dG

dGr

r D

D

D

D

Dc

(3.9)

unde M este masa întregului corp.

Proiectând relaţia (3.9) pe axele unui sistem cartezian de referinţărezultă CCC z,y,x coordonatele centrului de masă:

.M

dmz

y;M

dmy

z;M

dmx

x Dc

Dc

Dc

(3.10)

Relaţiile (3.9) şi (3.10) se pot scrie sub forma:

;Sdmr r M O

D

c

(3.11)

Fig. 3.2




.SdmzMz;SdmyMy;SdmxMx xOy

D

cxOz

D

cyOz

D

c (3.12)

Relaţiile (3.11) şi (3.12) exprimă teorema momentelor statice pentru corpurile simple.

Această teoremă se enunţă în mod asemănător cazului sistemelor de puncte materiale (v. paragraful 3.1). Notaţiile au aceleaşi semnificaţii.

În cazul corpurilor omogene masa specifică (masa unităţii de volum,suprafaţă sau linie) este aceeaşi în orice punct al corpului. Cunoscândclasificarea corpurilor în bare, plăci şi blocuri se poate defini o densitate

liniară L , densitatea superficială A şi o densitate volumică .Pentru corpurile omogene fiind constant, iese de sub semnul

integrală şi se simplifică, iar relaţiile (3.9) şi (3.10) devin:

- pentru bare omogene, :dldm L

;dl

dlz

z;dl

dly

y;dl

dlx

x;dl

dlr

r

L

Lc

L

Lc

L

Lc

L

Lc

(3.13)

unde x, y, z reprezintă coordonatele elementului de lungime dl, detaşat;- pentru plăci omogene, ;dAdm A

.dA

dAz

z;dA

dAy

y;dA

dAx

x;dA

dAr

r

A

Ac

A

Ac

A

Ac

A

Ac

(3.14)

unde x, y, z reprezintă coordonatele centrului de greutate al elementuluide arie dA, detaşat;

- pentru blocuri omogene, :dVdm

.dV

dVz

z;dV

dVy

y;dV

dVx

x;dV

dVr

r

V

Vc

V

Vc

V

Vc

V

Vc

(3.15)



62 MECANICĂ

Observaţii : 1. În relaţiile (3.13), (3.14), (3.15), integralele de lanumărător reprezintă momentele statice geometrice ale barelor,

suprafeţelor sau blocurilor respective.2. Determinarea poziţiei centrului de greutate la linii, suprafeţe şivolume materiale omogene este o determinare geometrică deoarece poziţialui depinde numai de forma liniei, suprafeţei sau volumului respectiv.

Aplicaţii. 1. Centrul de masă al uneilinii sub forma unui arc de cerc.

Se consideră o bară omogenă avândforma unui arc de cerc AB de rază R cu

centrul în O şi unghiul la vârf 2 (fig. 3.3). Săse determine poziţia centrului de greutate. Rezolvare. Se alege sistemul de axe

astfel încât una din axe Ox, să fie axă desimetrie. Centrul de masă se va afla pe axa

Ox 0yc . Abscisa centrului de greutate secalculează cu relaţia (3.13):

.sin

R R 2

dcosR

Rd

dR cosR

dl

xdl

x

2

L

LC

Deci, .sin

R x c

(3.16)

în care cosR x reprezintă abscisa elementului detaşat; dl = R d-elementul detaşat, de lungime elementară; -semiunghiul la centru, în radiani.

2. Centrul de masă al unei plăci sub forma unui sector de cercSe consideră o placă omogenă având forma unui sector de cerc OAB

de rază R, cu centrul în polul O şi unghiul la vârf 2 (fig. 3.4). Să se deter-mine poziţia centrului de masă.

Rezolvare. Se alege sistemul de axe de coordonate cu originea în Oiar axa Ox, axă de simetrie.

Centrul de greutate se va afla pe axa de simetrie Ox .0yc Se

Fig. 3.3




detaşază o suprafaţă elementară dA cu ajutorul a două raze ce formeazăîntre ele unghiul elementar d. Suprafaţa detaşată se asimilează cu un

triunghi isoscel de înălţime R şi de bază dl, având centrul de greutate C’la distanţa 2R/3 faţă de vârful O. Poziţia centrului de greutate C al plăciiomogene se calculează cu relaţia (3.14)

sinR

3

2

2dR R

dR 21

cosR 32

dA

dAx

x

2

A

Ac (3.17)

unde x = (2/3) R cos reprezintă abscisacentrului de greutate C’ a elementului dearie detaşat; dA = (1/2) R 2 d -elementulde arie detaşat; -semiunghiul la centru, înradiani.

3. Centrul de masă al emisfereiSe consideră o emisferă, omogenă, de

rază R. Să se determine poziţia centruluimasă (fig. 3.5). Rezolvare. Se alege axa de simetrie a

emisferei, ca axă Oz iar originea sistemuluiîn O. Corpul fiind omogen centrul de masă

se va afla pe axa Oz .0yx CC Coordonata

Cz a centrului de masă se

calculează cu relaţia (3.15). Sedetaşază un volum elementar dV cu ajutorul a două plane

paralele la distanţa z faţă de planul xOy, distanţa dintre elefiind dz. Volumul detaşat se

poate asimila cu un cilindru derază y şi înălţime dz. Astfel

rezultă:

Fig. 3.5

Fig. 3.4



64 MECANICĂ

,R 83

dzzR

dzzR z

dV

dVz

zR

0

22

R

0

22

V

Vc

(3.18)

unde dzzR dzydV 222 reprezintă elementul de volum detaşat;z - cota centrului de greutate a elementului de volum detaşat iar

,zR y 222 raza la pătrat a cilindrului detaşat.

3.3. CENTRUL DE MASĂ AL CORPURILOR OMOGENE COMPLEXE

În figura 3.6 se consideră un corp omogen compus (cu cavitate), realizat prin alipirea corpurilor )S(şi)S(),S( 321 iar din )S( 3 se scoate corpul ).S( 4

Se presupune cunoscute masele 21 m,m ale corpurilor )S(şi)S( 21 masa3m a corpului )S( 3

considerat plin, umplut cuacelaşi material, masa 4m acorpului care lipseşte, precumşi vectorii de poziţie ir

(i =1,2,3,4) ai centrelor de masăale acestor corpuri. Masele

corpurilor pot fi considerateconcentrate în centrele demasă ale fiecărui corp, fărăca momentele statice să semodifice. Din aceste consi-derente poziţia centrului de

masă al întregului corp omogen compus din alte corpuri simple sedetermină cu ajutorul relaţiei (3.5) stabilite pentru sistemul de puncte

materiale:

Fig. 3.6




.mmmm

mr mr mr mr

m

mr r

4321

44332211

i

iic

Cunoscând coordonatele centrelor de masă ale corpurilor simple,coordonatele centrului de masă al corpului omogen complex, într-un sistemde referinţă cartezian,se determină cu relaţia (3.6) ţinând seama că masaefectivă a corpului este:

.mmmmM 4321 Şi pentru corpuri omogene compuse se poate defini o densitate liniară,

o densitate superficială şi o densitate volumică, astfel încât relaţiile

necesare pentru determinarea poziţiei centrelor de greutate ale barelor, plăcilor şi blocurilor omogene compuse sunt:

- pentru bare omogene compuse, iLi lm

;l

lzz;

l

lyy;

l

lxx;

l

lr r

i

iic

i

iic

i

iic

i

iic

(3.19)

- pentru plăci omogene compuse, iAi Am

;A

Azz;

A

Ayy;

A

Axx;

A

Ar r

i

iic

i

iic

i

iic

i

iic

(3.20)

- pentru blocuri omogene compuse, ii Vm

;V

Vzz;

V

Vyy;

V

Vxx;

V

Vr r

i

iic

i

iic

i

iic

i

iic

(3.21)

Pentru simplificarea şi sistematizarea calculelor, determinareacentrelor de masă la bare, plăci şi blocuri omogene compuse se poateface tabelar. Calculul poziţiei centrului de masă al unui corp se face

parcurgând următoarele etape:- se descompune corpul complex în mai multe corpuri simple, componente,

ale căror centre de masă sunt cunoscute sau se pot determina uşor;- se alege acel sistem de axe de coordonate care poate aduce

simplificări în calcule (axele de coordonate să coincidă cu axele de simetrie

ale corpurilor);



66 MECANICĂ

- se întocmeşte tabelul corespunzător şi se efctuează calculele pe baza relaţiilor stabilite mai sus.

3.4. PROBLEME REZOLVATE

1. Să se calculeze poziţia centrului de masă al barei omogenecompuse din figura 3.7.

Rezolvare. Se împarte bara omogenăîn patru linii simple şi se marchează

centrele de masă ale fiecărei linii. Secalculează distanţele:

;

a2

2/

2/sinaCO 1

.

2

2a4

4/

4/sinaOC 4

Calculele sunt prezentate în

tabelul 3.1.

Coordonatele centrului de masă sunt:

;a12,0a

23

2x c

;a60,0a

23

32yc

.a33,1a

3

4z c

Fig. 3.7

Tabelul 3.1




2. Să se determine poziţia centrului de

greutate a plăcii omogenecompuse din figura 3.8.Rezolvare . Se

împarte suprafaţacompusă a plăcii în treisuprafeţe simple şi secalculează distanţele:

2

2

3

a16

4/

4/sin

a23

2

OC2

.3

a42/

2/sina

3

2CO 3

Restul calculelor sunt centralizate în tabelul 3.2. Coordonatele centrului de masă sunt:

;a41,0a

63

32xc

.a87,0a6 8yc

3. Să se calculezecoordonatele centrului demasă al sistemului de corpuriomogene din figura 3.9.

Rezolvare. Se împarte

volumul omogen complex în

Fig. 3.8

Tabelul 3.2

Fig. 3.9



68 MECANICĂ

trei corpuri simple: o prismătriunghiulară, un paralelipiped şi un cub.

Calculele s-au centralizat întabelul 3.3.Coordonatele centrului de masă

sunt:

.l09,2l160

335z

;l68,3l160

589y

;l9,2l160

464x

c

c

c

4. Determinarea diametrului rondelei de ambutisare a unui vas. Rezolvare. Diametrul D al rondelei de abutisare se determină

echivalând aria suprafeţei rondelei cu aria suprafeţei de rotaţie a linieicompuse din figura 3.10,c faţă de axa de simetrie a vasului utilizând

teorema -a a lui Pappus şi Guldin. Grosimea vasului se neglijeazăcomparativ cu diametrele vasului:

3

1i

2

x24

D iar

3

1ix8D

Tabelul 3.3

Fig. 3.10




Înlocuind valorile numerice rezultă:

332211 lxlxlx8D

mm60,2743015103

16030150508

.mm33,83

2

2

4/

2/220

3

230

4cos

4/

4/sinr

3

2x245cosOCx2x 3232

5. Determinarea dimensiunilor brute ale semifabricatului unuipinion forjat. Pentru obţinerea prin forjare a pinionului din figura 3.11este necesar un semifabricat sub forma unei bare cilindrice de diametruD şi înălţime H=1,5D.Ţinând seama de coeficientul de pierderi prin forjare,

b=1,25 datorită bavurilor şi a pierderilor prin ardere, să se determinedametrul D al semifabricatului.

Rezolvare. Diametrul D al semifabricatului se determină echivalândvolumul barei cilindrice de forma ( D2/4)H cu volumul piesei finitemajorate cu coeficientul b, rezultat prin rotirea suprafeţei haşurate

Fig. 3.11



70 MECANICĂ

(fig.3.11) în jurul axei de simetrie. Acest calcul reprezintă o aplicaţietehnică a celei de-a doua teoreme a lui Pappus şi Guldun, exprimată prin

relaţia:,Au2H

4

D 4

1ii

2

de unde rezultă: .Au5,1

10D 3

4

1ii

Calculul se face tabelar, împărţind suprafaţa haşurată în figuri

geometrice simple: un dreptunghi ABDE cu centrul C1 , triunghiul DFGcu centrul C2, patratul FGHO cu centrul C3 din care se elimină sfertul

de cerc de rază a cu centrul în C4. Calculul este prezentat în tabelul 3.4.

Rezultă: .a75,3a2

19

5,1

10D 3

3


1. Să se determine poziţia centrului de greutate a liniei materialeomogene din figura 3.12.

R . xc = ( 2/7 ) a ; yc = ( 26/7 ) a.

2. Să se determine suprafaţa laterală şi volumul unui semifabricatavând forma şi dimensiunile din figura 3.13.

Fig. 3.12 Fig. 3.13




R . 32 a(10/3)V );221(a2A 3. Să se determine diametrul rondelei

din a cărei ambutisare se obţine vasul derevoluţie din figura 3.14.

R . d = 325 mm.

4. O bară AD de lungime l şi grosimeuniformă este formată astfel: de la A la B,mijlocul barei, este formată dintr-un metalavând greutatea specifică 1 iar de la B laD dintr-un alt metal de greutate specifică2. Ştiind că centrul de greutate al bareise află la 2l/3 faţă de capătul A al barei, să se determine raportul greutăţilor specifice ale metalelor.

R . 1 /

2 = 5.

5. Să se determine volumulcapacului din figura 3.15, utilizândformula lui Pappus şi Guldin.

R . V = 13,417 dm3.

6. Să se determine poziţiacentrului de greutate al suprafeţeimateriale omogene compuse dinfigura 3.16, având forma unui

jgheab. La un capăt al jgheabuluise află un capac semicircular de rază a.

R .

a)98(3

)62(2z

;a98

9y ;a

98

)34(2x

c

cc

Fig.

3.15

Fig. 3.14

Fig. 3.16



72 MECANICĂ

7. Să se determine coordonatelecentrului de greutate al colţarului din

figura 3.17.R . xC = 10,3 mm ; y

C =

71,74 mm; zC = 48,57 mm .

8. Să se determine poziţia centruluide greutate când: a) dintr-un semicercde rază R se scoate un triunghiechilateral de înălţime h = R; b) dintr-o

emisferă de rază R se scoate un con de înălţime R având la vârf un unghide 60O.R . a) y

C = 0,48 R; b) y

C = 0,4 R .

9. Să se afle poziţia centrului de greutate al unui trunchi de conomogen, având razele bazelor R, respectiv 2R şi înălţimea 2R.

R . xC = yC = 0; zC = (11/14) R .

10. Se cere determinată înălţimea semifabricatului cilindric dediametru d = 120 mm, din care prin matriţare se obţine piesa brută dinfigura 3.18.

R . h = 405, 6 mm.

11. Să se afle cel mai înalt hopa-mitică format dintr-o emisferă derază r şi densitate

2 şi cilindrul de aceeaşi rază şi densitate

1 aşezat

deasupra emisferei (fig. 3.19).

Fig. 3.18 Fig. 3.19

Fig. 3.17




R .1

2

2r h

.

12. Să se determine poziţia centrului de greutate al piesei omogenedin figura 3.20.

R . xC = 2,405 m; yC = 5,556 m; zC = 80 mm

13. O placă omogenă este formată dintr-un triunghi isoscel cu bazaAB = 2a şi înălţimea OD = R şi un semicerc de rază R cu centrul în O,

din care s-a decupat un dreptunghi cu laturile EF = 2b şi

22

bR EH .Se cere să se determine segmentele a şi b astfel încât să fie verificateurmătoarele condiţii: a) centrul de greutate al plăcii haşurate, să coincidăcu punctul O;

b) aria dreptunghiului EFGH care se decupează, să fie maximă(fig.3.21).

R . R 707.02

R b ;R 939.0

22

R 3R 2a

.

Fig. 3.20 Fig. 3.21



74 MECANICĂ

14. Să se determine poziţia centrului de masă pentru plăcile omogene

din figurile 3.22 şi 3.23.R . Placa din figura 3.22:

)23312(4

a)33(y ;

23312

a2x cc

Placa din figura 3.23:

)4(3

a)12(4y ;)4(3

a)22(4x cc

.

Fig. 3.22 Fig. 3.23



4. STATICA PUNCTULUI MATERIAL 75

4.

STATICA PUNCTULUI MATERIAL

4.1. Echilibrul forţelor ce acţionează asupra punctului

material liber ................................................................ 774.2. Punctul material supus la legături fără frecare ............ 784.2.1. Legăturile mecanice ale punctului material ............78

4.3. Punctul material supus la legături cu frecare .............. 814.3.1. Frecarea de alunecare. Legile frecării uscate ..... 814.3.2. Echilibrul punctului material pe o suprafaţă

aspră ................................................................... 844.3.3. Echilibrul punctului material pe o curbă aspră .... 85

4.4. Probleme rezolvate ........................................................ 864.5. Probleme propuse ................... ..................................... 90



76 MECANICĂ




4STATICA PUNCTULUI MATERIAL

4.1. ECHILIBRUL FORŢELOR CE ACŢIONEAZĂASUPRA PUNCTULUI MATERIAL LIBER

Punctul material liber este punctul material care poate ocupa orice poziţie în spaţiu sub acţiunea forţelor ce-i sunt aplicate. În spaţiul euclidiantridimensional poziţia unui punct material este determinată faţă de unsistem de referinţă ales, de trei parametrii geometrici scalari independenţi.

Numărul parametrilor geometrici independenţi necesari pentru precizarea poziţiei unui sistem material faţă de un sistem de referinţăales, determină numărul gradelor de libertate.

Rezultă că prin grad de libertate se înţelege posibilitatea pe care o

are sistemul material de a se deplasa după o anumită direcţie definită desistemul de referinţă ales. Gradele de libertate pot fi interpretate şi cagrade de mobilitate.

Deci, punctul material liber are în spaţiu trei grade de libertate.Ceitrei parametri scalari independenţi pot fi aleşi ca fiind coordonatele

punctului material în sistemul de referinţă ales.Astfel putem alege: coordonatele carteziene x, y, z; coordonatele

cilindrice z; coordonatele sferice

Poziţia punctului material liber depinde numai de sistemul de forţece acţionează asupra lui. Condiţia necesară şi suficientă ca un punctmaterial liber să fie în repaus sau mişcare rectilinie şi uniformă, este casistemul de forţe ce acţionează asupra lui să fie în echilibru, adică rezultantalor să fie nulă:

0k Z jYiXR iii

(4.1)

Această relaţie reprezintă condiţia de echilibru a forţelor concurente;

această condiţie, sub forma ecuaţiei vectoriale, rezultă şi din aplicarea



78 MECANICĂ

principiilor inerţiei şi acţiunii forţei.Condiţiile de echilibru ale forţelor ce acţionează asupra punctului

material se pot scrie sub forma ecuaţiilor scalare astfel:- dacă forţele sunt în spaţiu:

;0Z;0Y;0X iii (4.2)

- dacă forţele sunt coplanare (concurente în planul Oxy):

.0Y;0Xn

1i

n

1i (4.3)

4.2. PUNCTUL MATERIAL SUPUS LA LEGĂTURI FĂRĂFRECARE

4.2.1. Legăturile mecanice ale punctului materialDacă punctului material i se pun anumite restricţii geometrice, adică

este obligat să ocupe anumite poziţii în spaţiu, atunci se spune că punctul

material este supus la legături. Faţă de un punct material liber, punctulmaterial supus la legături va avea un număr redus de grade de libertate.De exemplu, un punct material obligat să rămână pe o suprafaţă fixă dinspaţiu are două grade de libertate, iar pe o curbă fixă are un singur grad delibertate. O legătură este fără frecare atunci când suprafaţa sau curba pecare se află punctul material, se consideră perfect lucioasă, ideală şi decinu poate apărea o forţă de frecare. În realitate, astfel de legături nu există,dar pot fi aproximate ca fiind lucioase, când forţa de frecare este mică şi

neglijabilă.Legăturile punctului material sunt de două feluri:

a) rezemarea pe o suprafaţă sau o curbă fixă; b) legătura cu fir sau bară rigidă.

În studiul legăturilor mecanice se urmăresc două aspecte: aspectulgeometric, care se referă la numărul gradelor de libertate anulate delegătura respectivă şi aspectul mecanic referitor la elementele mecanicecu care se înlocuieşte legătura.

În figura 4.1,a s-a reprezentat un punct A rezemat pe o suprafaţă,




asupra lui acţionând un sistem de forţe .Fi

Punctului material îi rămânnumai două grade de libertate. Suprafaţa împiedică deplasarea pe direcţia

normală şi răspunde cu o forţă de reacţiune pe această direcţie, conform principiului acţiunii şi reacţiunii. Condiţia de echilibru a punctului materialrezemat fără frecare, sub forma ecuaţiei vectoriale este:

,FR unde,0 NR n

1i

(4.4)

care este echivalentă cu trei ecuaţii de echilibru scalare. Aceste ecuaţiise folosesc pentru determinarea poziţiei de echilibru a punctului şi reacţiunii

. N

Relaţia (4.4) exprimă faptul că punctul rezemat fără frecare este înechilibru pe suprafaţa respectivă când rezultanta forţelor exterioare este

pe direcţia reacţiunii normale.Dacă ecuaţia suprafeţei este dată sub forma carteziană implicită:

,0z,y,xf (4.5)

reacţiunea normală , N

la suprafaţă are expresia:

.k z

f j

y

f i

x

f f grad N

(4.6)

unde este un parametru scalar care determină valoarea algebrică areacţiunii . N

Ecuaţiile de echilibru scalare ale punctului se vor scrie:

a) b)

Fig.4.1



80 MECANICĂ

,0z

f Z;0

y

f Y;0

x

f X

(4.7)

unde X, Y, Z sunt componentele scalare ale reacţiunii .R

Ecuaţiile (4.5) şi (4.7) constituie un sistem de patru ecuaţii cu patrunecunoscute: coordonatele x, y, z ale poziţiei de echilibru pe suprafaţă şi

parametrul care determină reacţiunea . N

Aceeaşi condiţie de echilibru (4.4) sub forma ecuaţiei vectoriale sescrie şi pentru punctul material rezemat pe o curbă fixă din figura 4.1,b.Acest punct are un singur grad de libertate iar deplasarea pe direcţianormalei este împiedicată şi răspunde cu o forţă de reacţiune pe această

direcţie.Dacă ecuaţia curbei este dată sub forma carteziană implicită, ca

intersecţie a două suprafeţe: 0z,y,xgşi0z,y,xf (4.9)

reacţiunea normală N

din planul normal la curbă, poate fi exprimată casuma componentelor sale după direcţiile normale la cele două suprafeţeîn poziţia de echilibru:

,ggradf grad N 21

(4.10)unde şi sunt doi parametri scalari care determină valoarea algebricăşi direcţia reacţiunii N

în planul normal la curbă. Astfel, ecuaţia (4.4)completată cu ecuaţia (4.9) conduce la trei ecuaţii scalare de echilibru:

;0x

g

x

f X 21

;0y

g

y

f Y

21

(4.11)

.0z

g

z

f Z 21

unde X, Y, Z sunt proiecţiile rezultantei pe axele sistemului de coordonate.Ecuaţiile (4.11) şi (4.9) formează un sistem de cinci ecuaţii cu cinci

necunoscute: coordonatele x, y, z ale poziţiei de echilibru pe curbă şi parametrii şi care determină reacţiunea . N

Studiul echilibrului punctului material cu legături presupune aplicarea




AXIOMEI LEGĂTURILOR. Conform acestei axiome orice legăturămecanică se înlocuieşte cu o forţă de reacţiune. Punctul material eliberat

de legături devine liber, dar acţionat de forţe exterioare date şi de forţelede reacţiune, din legături.Condiţia de echilibru se exprimă în cazul punctului material cu legături

prin anularea rezultantei tuturor forţelor, a celor exterioare date şi a celor de reacţiune din legături. Relaţiile vectoriale ce exprimă condiţiile deechilibru ale forţelor ce acţionează asupra punctului material cu legăturise proiectează pe axele unui sistem de referinţă obţinându-se trei ecuaţiiscalare, dacă forţele sunt spaţiale şi două ecuaţii dacă forţele sunt

coplanare.

4.3. PUNCTUL MATERIAL SUPUS LA LEGĂTURI CUFRECARE

4.3.1. Frecarea de alunecare. Legile frecării uscate

Din practică se ştie că suprafeţele de contact dintre corpuri oricâtde bine ar fi prelucrate, prezintă totuşi unele asperităţi, invizibile cu ochiulliber, care sub acţiunea forţelor exterioare se întrepătrund realizând oaşa numită “angrenare”. La apariţia unei tendinţe de mişcare, apar în

planul tangent al corpurilor în contact forţe care se opun mişcării, numiteforţe de frecare de alunecare.

Punerea în evidenţă a acestor forţe şi studiul frecării se poate face

cu ajutorul dispozitivului numitTRIBOMETRU prezentat în figura4.2. Se consideră un corp degreutate G

de dimensiuni neglijabile (asimilate cu un punct mate-rial) aşezat pe un plan orizontal.Corpul este acţionat de o forţăorizontală F

care poate varia con-

tinuu prin intermediul firului trecut Fig. 4.2



82 MECANICĂ

peste scripetele A şi în capătul căruia este fixat un păhărel în care seintroduc alice. Se consideră că deşi s-au introdus în păhărel alice, corpul

de greutate G

rămâne totuşi în echilibru. Aceasta demonstrează că existăo altă forţă orizontală T

opusă lui F

, care, echilibrând-o face ca acestcorp să rămână în repaus.

Forţa T

ce echilibrează forţa F

în poziţia de repaus a corpului senumeşte forţă de aderenţă. Dacă vom continua să introducem alice în

păhărel, constatăm că acest corp rămâne în repaus până la o valoare

maximă a forţei orizontale de acţiune maxF

, după care corpul se pune în

mişcare, alunecă. La limită, forţa de acţiune maximă maxF

este echilibratăde forţa de aderenţă maximă maxT

, numită forţă de frecare de alunecare.După apariţia alunecării se va vorbii de o frecare dinamică. În cazul

punctului material rezemat pe o suprafaţă aspră, reacţiunea totală PR

nu va mai fi normală la suprafaţa de sprijin ci va fi înclinată faţă deaceasta cu unghiul (fig. 4.2). A doua componentă a reacţiunii esteforţa de frecare .T

Deci:

rezultăcăştiind, NTtg max (4.13)

. N

Ttg max (4.14)

unde -este coeficientul de frecare la alunecare; - unghiul de frecare.Pentru poziţia de repaus trebuie respectată inegalitatea:

NTdeci,sauTT max (4.15)În urma experienţelor făcute de Coulomb încă din 1781 asupra forţelor

de frecare de alunecare s-a reuşit să se enunţe legile frecării uscate:1. Forţa de frecare de alunecare este direct proporţională cu mărimea

reacţiunii normale dintre corpurile în contact.2. Forţa de frecare de alunecare depinde de natura şi starea

suprafeţelor în contact.3. Forţa de frecare de alunecare nu depinde de vitezele relative mici

ale corpurilor în contact şi nici de mărimea suprafeţelor în contact.Revenind la experienţa cu ajutorul tribometrului, se poate ajunge la

aspectul geometric al echilibrului punctului material, rezemat pe o suprafaţă




aspră. Considerând că forţa maximă maxF

îşi schimbă direcţia în planultangent în mod continuu cu 360O, atunci reacţiunea totală P

maxR

va descrie

în această situaţie un con, numit CON DE FRECARE. Acest con arevârful în punctul considerat, axa de simetrie fiind direcţia normalei N

lasuprafaţă şi unghiul la vârf 2.

Acum se poate spune că punctul material se află în echilibru(repaus) pe o suprafaţă aspră când reacţiunea totală PR

se află îninteriorul conului, s-au la limita echilibrului când se află pe suprafaţaconului. În concluzie, pentru ca punctul material să fie în repaus, su-

portul reacţiunii totale trebuie să facă cu normala un unghi mai mic

decât unghiul de frecare .Frecarea de alunecare se poatestudia şi interpreta cu ajutorulgraficului din figura 4.3. Dacăforţa de acţiune F

este nulă, dincondiţia de echilibru rezultă căşi forţa de reacţiune T

estenulă. Pe măsură ce forţa F

creşte şi forţa de reacţiune T

creşte atâta timp cât corpulrămâne în repaus. Pentruaceastă stare, cât corpul este

în repaus, forţa tangentă la reacţiunea T

se numeşte forţă de aderenţă,corespunzătoare frecării statice. Când forţa F

atinge valoarea maximă,corpul se pune în mişcare, aceasta constituind limita echilibrului. Forţa

de aderenţă ia valoare maximă, maxT

, aceasta fiind numită forţă defrecare de alunecare. În acest moment forţa de frecare scade destulde abrupt, dar puţin, la o valoare mai mică, apoi rămâne aproapeconstantă cu creşterea forţei F

, respectiv cu creşterea vitezei relativea corpurilor în contact.

După apariţia alunecării începe perioada a doua când vorbim de ofrecare dinamică. Forţa de frecare dinamică este ceva mai mică decâtvaloarea maximă a forţei de aderenţă, dar şi ea este proporţională cu


, adică:

Fig. 4.3

Frecare dinamică Frecare statică

(aderenţă)

T max

= N T

d =

d N

T =

F

F max

T max

F

45 o

O



84 MECANICĂ

ddd , NTunde d este coeficientul de frecare dinamică.

În general, în aplicaţii se va lucra cu o singură relaţie, T = N,urmând ca în fucţie de enunţul concret să se introducă coeficientul defrecare statică sau cel de ferecare dinamică.

4.3.2. Echilibrul punctului material pe o suprafaţă aspră

În paragraful anterior s-a stabilit condiţia de echilibru a punctului

material rezemat pe o suprafaţă aspră. Analitic, această condiţie se scriesub forma:,coscossau (4.16)

unde este unghiul conului de frecare; tg, coeficientul de frecare de alunecare; unghiul pe care îl face rezultanta forţelor exterioare R

cu normala (n-n).Se consideră în figura 4.4. un punct

material A, obligat să rămână pe osuprafaţă aspră () a cărei ecuaţie este: f (x, y, z)=0. Asupra lui acţionează un sistemde forţe a căror rezultantă este:

kZ jYiXR într-un sistem de

referinţă cartezian.Vectorul grad f, normalla suprafaţa () are expresia:

k z

f j

y

f i

x

f gradf

.

Condiţia (4.16) se poate transforma pentru a obţine o formă analiticămai avantajoasă a condiţiei de echilibru.

Folosind produsul scalar al celor doi vectori, avem:

cosgradf R gradf R , de unde:

Fig. 4.4




222

222

z

f

y

f

x

f zyx

z

f z

y

f y

x

f x

gradf R gradf R cos

(4.17)

Exprimâmd şi unghiul de frecare în funcţie de avem:

22 1

1

tg1

1cos

(4.18)

În final, condiţia de echilibru (4.16) se scrie sub forma:

2222

2221

1

z

f

y

f

x

f ZYX

z

f Z

y

f Y

x

f X

(4.19)

Condiţia (4.19) împreună cu ecuaţia suprafeţei f (x, y, z)=0 definescregiunea de echilibru a punctului.

4.3.3. Echilibrul punctului materialpe o curbă aspră

În cazul echilibrului punctului material pe o curbă aspră, definim drept

con PR

complementar de frecare (fig. 4.5.) locul geometric al poziţiilor

limită ale suportului reacţiunii PR

ce face cu tangenta la o curbă unghiul

90 şi având ca axă, tangenta la curbă.În acest caz, condiţia necesară şi suficientă pentru ca punctul mate-

rial să fie în echilibru pe o curbă aspră, este ca rezultanta forţelor exterioare R

ce acţionează asupra punctului să fie exterioară conului

complementar de frecare şi la limită pe suprafaţa conului.



86 MECANICĂ

Condiţia geometrică

se exprimă:

sincossau90

(4.20)Urmând acelaşi

raţionament ca în paragraful precedent, unghiul se poatecalcula din produsul scalar,

saucosR R

:

,R

R cos

(4.21)

unde

este versorul tangentei la curbă, care are expresia:

,k dt

dz j

dt

dyi

dt

dx

(4.22)

în cazul când curba (C) are ecuaţiile parametrice:

,tzz,tyy,txx (4.23)

ştiind că: ,1tg1

tgsin

22

rezultă condiţia analitică de echilibru a punctului material:

2222

1ZYX

dt

dzZ

dt

dyY

dt

dxX

(4.24)

Relaţia (4.24) împreună cu ecuaţiile curbei definesc intervalul deechilibru pe curba aspră.


1. O bilă M, de greutate

G , este legată de punctul fix A cu firul AM

de lungime l şi se află în echilibru pe suprafaţa unei sfere de rază R cu

Fig.4.5.

O




centrul în O (fig. 4.6). Dreapta OAfiind verticală şi distanţa AB=d, să se

afle efortul din fir şi reacţiunea normalăa sferei.Punctul M se află în echilibru

static determinat. Se înlocuiesc

legăturile cu reacţiunile . NşiS

Alegând ca axe, tangenta şinormala la cercul de rază R, ecuaţiilede echilibru se scriu astfel:

,0sinSsinG;0X i .0cosScosG;0Yi

Ţinând seama de teorema sinusurilor în triunghiul OAM, din primaecuaţie rezultă:

dR

l

Gsin

sin

GS

Din ecuaţia a doua rezultă reacţiunea normală:

coslcosdR dR

G

cosdR

lcosGcosScosG N

D e c i :

.R 180coslcosdR deoarece,dR

GR N

2. Un punct material M, de greutate

G poate aluneca fără frecare pe o barăcare are forma unei parabole cu axaverticală Oy (fig. 4.7). Punctul material

Fig. 4.6

Fig. 4.7



88 MECANICĂ

este atras de axa parabolei cu forţa F

proporţională cu distanţa la aceastăaxă. Să se determine poziţia de echilibru a punctului material.

Rezolvare. Se consideră parabola de ecuaţie . pxy 2 Notând cu aşi b unghiurile formate de tangenta şi normala la parabolă cu axa Ox,avem:

; px2ytg 22x p41

1cos90cossin

Punând ,iKxF

ecuaţiile de echilibru în sistemul xOy, sunt:

;0x p41

px2 NKx;0X

22i

.0x p41

1 NG;0Y

22i

Din prima ecuaţie rezultă x1 = 0, care defineşte una din poziţiile de

echilibru. Pentru această poziţie de echilibru G=N.Eliminând reacţiunea N din cele două ecuaţii de echilibru se găseştecă independent de valorile lui x trebuie îndeplinită condiţia G=K/2p, când

punctul material rămâne în echilibru în orice punct al parabolei.Problema se poate rezolva utilizând relaţia (4.12) în ipoteza că punctul

material M este acţionat de forţele date.

,iKxF şi jGG

Punctul este rezemat pe parabola de ecuaţii:

.0zz,y,xgşi0 px2yz,y,xf 2 Condiţia de echilibru (4.12) în acest caz devine:

. p2

K G sau ,0

100

01G

0 px2Kx

3. Un punct material M, rezemat pe suprafaţa exterioară a unei




sfere aspre (fig. 4.8) de razăR=3m, este atras de un punct

interior P, situat la distanţa OP=2m,cu o forţă

F proporţională cudistanţa dintre cele două puncte,factor de proporţionalitate fiind l.

Să se determine poziţiile deechilibru ale punctului materialdacă coeficientul de frecare este

.8/1 Rezolvare: Condiţia de echilibru a punctului pe sferă este dată de relaţia(4.19).

.09zyxz,y,xf 222

iar .z2z

f ;y2

y

f ;x2

x

f

Cunoscând coordonatele punctului P (0, 0, 2) şi ale lui M (x, y, z),

rezultă:

,k z2 jyixMPF

de unde:

.z2Z;yY;xX Condiţia de echilibru devine:

,

1

1

z4y4x4z2yx

z4z2y2x222222222

222

ţinând seama că 9zyx 222 şi ,8/1 rezultă:

4

962zundede

9

8

z4133

z292,1

Deoarece ,3z obţinem ,3z89,2 condiţia îndeplinită de o calotă

sferică situată deasupra planului de cotă .89,1z3şi89,2z1

Fig. 4.8



90 MECANICĂ

condiţie îndeplinită de o calotă sferică (cu rezemare pe interiorul sferei)

situată sub planul de cotă .89,1z2

4. Să se determine poziţiile limită deechilibru ale unui punct material de greutate G

pe un cerc aflat în plan vertical, coeficientul defrecare de alunecare fiind m (fig. 4.9).

Rezolvare. Ecuaţiile parametrice alecercului sunt: x = R cos q; y = R sin q; z = 0,unde q este unghiul făcut de axa Ox cu raza

vectoare OM.Condiţia de echilibru a punctului pe cerc

este dată de relaţia (4.24). În acest caz: X = 0; Y = -G; Z = 0;

.cosR d

dy;sinR

d

dx

Introducând aceste rezultate în relaţia (4.24) rezultă:

22 1cossau1GR

cosGR

deoarece interesează valorile lui q < p / 2. Echilibrul este posibil pedouă arce de cerc (sus sau jos) cu atât mai mari cu cât coeficientul defrecare m este mai mare.

Observaţie. Spre deosebire de echilibrul pe suprafeţe sau curbenetede, unde există porţiuni unice de echilibru, pe suprafeţele şi curbeleaspre, echilibrul este posibil într-o infinitate de poziţii, cuprinse într-un

domeniu cu atât mai întins cu cât legătura este mai aspră.


1. Un semifabricat sub forma unei plăci pătrate de greutate G =18 kN,este ridicat cu o macara prin intermediul unui cârlig şi a trei cabluri fixate în

punctele A,B şi D. Să se determine eforturile din cele trei cabluri (fig. 4.10).

R . SA = 9,85 kN; SB = SD = 5,4 kN.

Fig. 4.9




2. Axul forjat al unei maşini, de greutate 12 kN se transportă cuajutorul unei macarale, fiind susţinut de un cablu fixat în A şi B (fig. 4.11).Să se determine eforturile în cablurile de susţinere.

R . SA = 11,75 kN; SB = 10 kN.

3. La instalaţia de forat

găuri pentru explorărilegeologice, pentru ridicarea prăjinilor de foraj se utilizeazătrepiedul ABCD şi troliul E. Săse determine eforturile în

picioarele trepiedului la ridicareauniformă a sarcinii G=3 kN, dacăunghiul format de picioarele

trepiedului şi planul orizontal sunt egale cu a = 60O

. Unghiul format decablul DE şi orizontală este de asemenea a (fig. 4.12 ).R . SA = SB = 3,15 kN; SC = 0,15 kN.

4. Semifabricatul de greutate Q este susţinut de firul ABCD, ancoratîn D şi trecut înB peste o rolă fără frecare. De capătul A al firului estelegată greutatea P care se poate deplasa pe un plan înclinat cu unghiul a= 45O faţă de orizontală şi care este caracterizat de coeficientul de frecare

m (fig. 4.13). Să se determine limitele între care poate să varieze unghiul

Fig. 4.10 Fig. 4.11

Fig. 4.12



92 MECANICĂ

b pentru echilibru.

R . )1(P2

Qcos

)1(P2

Q

5. Pentru a se putea turna fontă topită

în forme, o cală de turnare de greutate G ,

manevrată de o macara, se înclină cu unghiula faţă de verticală (fig. 4.14). Să se

determine forţa orizontală F necesară pentru a înclina cala de turnare şi efortul

S din cablul de susţinere.

R . F = S sin a;

cos

GS .

6. Să se determine poziţiile de echilibru aleunui punct material M de greutate G rezemat

pe o sferă aspră de rază R, coeficientul defrecare fiind .

R .21

R z

.

7. Să se determine poziţiile de echilibru aleunui punct material de greutate G rezemat cu

frecare pe paraboloidul de revoluţie dat deecuaţia:, coefcientul de frecare fiind m.

R . 0z2a

y

a

x)z,y,x(f

2

2

2

2

.

Fig. 4.13

Fig. 4.14



5. STATICA SOLIDULUI R IGID 93

5.

STATICA SOLIDULUI RIGID

5.1. Echilibrul forţelor ce acţionează asupra rigiduluiliber .............................................................................. 95

5.2. Echilibrul rigidului supus la legături ideale .............. 965.2.1. Legăturile mecanice ale rigidului. .................. 96

5.3. Echilibrul rigidului supus la legături cu frecare ...... 1035.3.1. Rigidul rezemat cu frecare. ........................... 1035.3.2. Frecarea de alunecare. .................................. 1055.3.3. Frecarea de rostogolire. ................................ 1055.3.4. Frecarea de pivotare în cazul lagărului axial. 1075.3.5. Frecarea în articulaţii sau lagărul radial cu

joc. ........................................................................... 109



94 MECANICĂ

5.3.6. Frecarea firelor pe suprafaţe cilindrice. ........ 1115.3.7. Frecarea în scripeţi. ........................................113

5.4. Probleme rezolvate ...................................................... 1165.5. Probleme propuse ....................................................... 124




5STATICA SOLIDULUI RIGID

5.1. ECHILIBRUL FORŢELOR CE ACŢIONEAZĂASUPRA RIGIDULUI LIBER

Rigidul liber este un corp căruia nu i se impun restricţii geometrice şicare ocupă orice poziţie în spaţiu, poziţia lui depinzând exlusiv de sistemulde forţe ce acţionează asupra lui. Rigidul liber în spaţiu are şase grade delibertate corespunzătoare celor şase mişcări posibile: trei translaţii şi treirotaţii, de-a lungul şi respectiv, în jurul celor trei axe ortogonale. Dacăsistemul de forţe care acţionează asupra corpului este în echilibru, atuncicorpul se află în echilibru. Stările de echilibru ale unui corp rigid suntrepausul şi mişcarea de translaţie rectilinie şi uniformă faţă de un sistem

de referinţă inerţial.Condiţia necesară şi suficientă pentru ca rigidul liber să fie în echilibru,

este ca sistemul de forţe care-l acţionează să fie echivalent cu zero.Condiţia de echivalenţă cu zero a unui sistem de forţe oarecare ceacţionează asupra rigidului, este ca torsorul de reducere să fie nul înorice punct din spatiu. Această condiţie se exprimă prin ecuaţiile vectoriale:

.0Mşi0R O

(5.1)

În cazul general, cele două ecuaţii vectoriale de echilibru (5.1) suntechivalente cu şase ecuaţii scalare de echilibru:

;0M;0M;0M

;0Z;0Y;0X

ziyixi

iii

(5.2)

Dacă asupra rigidului acţionează sisteme de forţe particulare, uneledintre ecuaţiile (5.2) sunt satisfăcute de la sine prin însăşi natura sistemuluide forţe, adică devin identităţi.



96 MECANICĂ

5.2. ECHILIBRUL RIGIDULUI SUPUS LA

LEGĂTURI IDEALECorpul solid rigid este supus la legături, atunci cănd i se impun anumite

restricţii geometrice, adică unul sau mai multe puncte ale acestuia suntobligate să păstreze permanent contact cu puncte fixe din spaţiu. Legăturilela care este supus rigidul sunt mai complexe decât legăturile la care estesupus punctul material. Ca şi la punctul material, studiul echilibrului rigiduluisupus la legături se face aplicând AXIOMA LEGĂTURILOR potrivit

căreia, legătura îndepărtată se înlocuieşte cu reacţiuni-forţe şi momentede reacţiune-care exprimă efectul mecanic al legăturii. Prin aceastăoperaţie, rigidul devine liber şi echilibrul său se studiază cu ecuaţiile stabilite

pentru rigidul liber, asupra lui acţionând forţele şi momentele exterioaredate şi forţele şi momentele de reacţiune pasive, din legăturile îndepărtate.

Condiţiile de echilibru ale forţelor, active şi pasive, ce acţioneazăasupra rigidului supus la legături se exprimă prin ecuaţiile:

.0MM;0R R p

O

a

O

pa

(5.3)

Cu alte cuvinte, torsorul forţelor active date, calculat într-un punctoarecare O,trebuie să fie egal şi de semn contrar cu torsorul forţelor

pasive din legături, calculat în acelaşi pol.În cazul general, cele două ecuaţii vectoriale de echilibru (5.3)

proiectate pe axele unui sistem cartezian de referinţă, conduc la şaseecuaţii scalare de echilibru.

5.2.1. Legăturile mecanice ale rigidului

Legăturile la care poate fi supus un corp rigid sunt de patru tipuri:reazemul simplu, articulaţie sferică sau cilindrică, încastrarea spaţialăsau plană şi legătura cu fir sau bară rigidă.

În studiul legăturilor mecanice ale rigidului se urmăresc douăaspecte:aspectul geometric, care se referă la numărul gradelor de

libertate anulate de legătura respectivă, şi aspectul mecanic referitor la




elementele mecanice cu care se înlocuieşte legătura.a) REAZEMUL SIMPLU SAU REZEMAREA este legătura prin

care un punct al rigidului este obligat să rămână în permanent contact cuo suprafaţă sau o curbă fixă din spaţiu. Înfigura 5.1 se consideră un corp rigid

1C rezemat pe suprafaţa corpului 2C

asupra lui 1C acţionând un sistem de forţe

iF

(i = 1,2...n). Deplasarea pe direcţia n-n,

normală la suprafaţă, este împiedicată într-un sens. Reazemul simplu suprimă un singur grad de libertate şi lasă libere cinci gradede libertate şi anume: deplasările liniaredupă cele două axe concurente din planul

tangent la suprafaţa de rezemare în

punctul O şi rotirile după cele trei axe.Pentru ca acest rigid să fie în echilibru, forţele exterioare trebuie să se

reducă în punctul de rezemare, la o rezultantă unică orientată dupănormala la suprafaţa de reazem. Rezultă că un reazem simplu se

înlocuieşte cu o reacţiune normală N

, dirijată după normala comună în punctul de contact. În cazul legăturii unilaterale, sensul reacţiunii coin-cide cu sensul în care corpul poate părăsi legătura.

Ecuaţiile vectoriale de echilibru ale corpului 1C rezemat sunt în

acest caz:

.0M;0 NR aO

a

(5.4)În figurile 5.2,a, b, c,d,e,f s-au reprezentat câteva tipuri de rezemări,

iar în figura 5.2,g,h, k se ilustrează modul convenţional de reprezentare aunui reazem simplu.

În calcule, rezemarea introduce o singură necunoscută scalară,mărimea reacţiunii normale, ce se determină din ecuaţiile scalare deechilibru. Legătura poate fi unilaterală sau bilaterală, după cum rigidul

poate sau nu părăsi legătura într-un sens al normalei n-n.b) ARTICULAŢIA este legătura care constrânge rigidul să rămână

Fig. 5.1



98 MECANICĂ

cu un punct al său în permanent contact cu un punct fix din spaţiu. Dacărigidul este acţionat de un sistem de forţe în spaţiu, articulaţia este sfericăsau spaţială. Dacă forţele ce acţionează asupra rigidului sunt coplanare,

articulaţia poate ficonsiderată cilindricăsau plană. Denumirilecelor două tipuri dearticulaţii sunt date deforma suprafeţei decontact (v. fig.5.3,b şifig.5.4,b).

În figura 5.3,a seconsideră un rigid ac-ţionat de un sistem deforţe oarecare, în

spaţiu: iF

(i=1, 2,..., n). Rigidul are o articulaţie sferică în O.

Această legătură anulează rigidului trei grade de libertate, translaţiile

după cele trei axe ortogonale în 1O având posibilitatea de a efectua trei

rotaţii în jurul aceloraşi axe. Deci, rigidul având un punct fix dispune de trei

Fig. 5.2

Fig. 5.3




grade de libertate. Din punct de vedere mecanic, o articulaţie sferică se

înlocuieşte cu o forţă de reacţiune ,R p

având mărimea şi direcţianecunoscute.Într-o problemă de statică, ea introduce trei necunoscute sca-

lare: OOO Z,Y,X proiecţiile reacţiunii pe cele trei direcţii ortogonale.

Ecuaţiile vectoriale de echilibru ale solidului rigid din figura 5.3,asunt:

.0M;0R R aO

pa

(5.5)

În figura 5.3,b se reprezintă simbolul articulaţiei sferice.Dacă unui solid rigid acţionat de un sistem de forţe coplanare i se

imobilizează un punctdin planul forţelor, sespune că rigidul are înacel punct o articulaţiecilindrică (fig.5.4,a). Înaceste condiţii o arti-culaţie cilindrică suprimă

două din cele trei gradede libertate ale rigidului.Acesta va dispune de unsingur grad de libertate,iar poziţia lui este definită

print r-un singur parametru scalar.

O articulaţie cilindrică poate fi înlocuită cu o reacţiune pR

, având

suportul situat în planul forţelor, mărimea şi direcţia necunoscute. Astfel,o articulaţie cilindrică introduce într-o problemă de statică două

necunoscute scalare: OO YşiX , proiecţiile reacţiunii pR

pe două direcţiiortogonale din planul forţelor.

Pentru rigidul reprezentat în figura 5.4,a condiţiile de echilibru se potexprima prin ecuaţiile vectoriale (5.9). În figura 5.4,b sunt redatesimbolurile articulaţiei cilindrice.

c) ÎNCASTRAREA este legătura prin care un corp este fixat rigid(înţepenit) într-un alt corp, în aşa fel încât nu-i este permisă nici o deplasare.

Fig. 5.4



100 MECANICĂ

Încastrarea suprimă toate gradele delibertate corpului al cărui echilibru îl

studiem. Acest corp va fi întodeauna înechilibru, oricare ar fi sistemul de forţeexterioare date care acţionează asupra sa.

În figura 5.5 se consideră corpul

1C acţionat de un sistem de forţe oare-

care: iF

(i=1,2...n) încastrat în corpul 2C .

Sistemul de forţe date iF

se reduce în polul

O (centrul de greutate al suprafeţei deintersecţie a celor două corpuri) la un torsor

al forţelor active: .M,R aO

aaO

Conform principiului acţiunii şi reacţiunii, în zona de contact dintre cele două corpuri

apar forţe de reacţiune localei p

, după o distribuţie oarecare. Aceste forţe

se reduc în acelaşi pol O la un torsor al forţelor pasive: .M,R pO

p pO

.

Corpul 1C fiind în echilibru, încastrarea anulând toate gradele delibertate,torsorul forţelor pasive, de legătură este egal şi de semn contrar cu torsorul forţelor active, date. Condiţiile de echilibru, sub forma ecuaţiilor vectoriale se exprimă prin relaţiile (5.7). Cele două ecuaţii proiectate peaxele unui sistem cartezian de referinţă, conduc la şase ecuaţii scalare deechilibru în care apar şase necunoscute cu care se înlocuieşte încastrarea

spaţială: trei forţe de reacţiune OOO Z,Y,X şi trei momente de reacţiune

OzOyOx M,M,M , corespunzătoare celor trei translaţii şi celor trei rotaţiianulate.

Aceste forţe şi momente de reacţiune reprezintă proiecţiile pe axelesistemului de referinţă ales, a elementelor torsorului forţelor pasive dereacţiune.

În figura 5.6,a se reprezintă o bară cotită încastrată spaţial, asupra ei

acţionând un sistem de forţe oarecare: iF

şi elementele meca-nice cu

care se înlocuieşte această încastrare: OOO Z,Y,X , .M,M,M OzOyOx

Fig. 5.5




Dacă sistemul de forţe iF

(i=1, 2,..., n) ce acţionează asupra corpului(C1) este un sistem de forţe coplanare, atunci încastrarea se poate considera

plană, introducând în calcule doar trei necunoscute scalare: două forţe de

reacţiune OO Y,X şi un moment de reacţiune ,MOz perpendicular pe planul

forţelor. În figura 5.6,b s-a reprezentat o bară încastrată plan, asupra ei

acţionând forţele coplanare: iF

, situate în planul Oxy..

d) LEGĂTURA CU FIR SAU BARĂ RIGIDĂ este echivalentăcu o rezemare, unilaterală, respectiv, bilaterală în cazul unei bare pe osuprafaţă sferică, de rază egală cu lungimea firului sau a barei. Ca şi încazul punctului material, firul se înlocuieşte cu o forţă de reacţiune înlungul firului, considerat secţionat, numită tensiune în fir sau efort din fir.Sensul este astfel ales încât să întindă porţiunea de fir legată de rigid. Înmecanică firul se consideră perfect flexibil şi inextensibil, deci nu poate fisolicitat decât la întindere. Un rigid poate fi suspendat în spaţiu prin maxim

şase fire, iar în plan prin trei.Legătura cu bară rigidă este o legătură bilaterală, prin ea se transmit

eforturi de tracţiune cât şi de compresiune. Legătura cu bară se înlocuieştecu o forţă de reacţiune de-a lungul barei considerată secţionată, numit

efort din bară sau tensiune din bară, notată cu NsauS .

În tabelul 5.1 sunt prezentate tipurile de legături ale rigidului analizateanterior, simbolurile prin care se pot reprezenta şi forţele, respectiv

momentele de reacţiune cu care, din punct de vedere mecanic, se

Fig. 5.6



102 MECANICĂ

Tabelul 5.1

*Suprafaţa de sprijin este planul tangent comun al celor două curpuri

în contact.




înlocuiesc aceste legături.Pentru calculul reacţiunilor din legăturile mecanice ale rigidului se

parcurg următoarele etape:a) se identifică legăturile mecanice ale rigidului; b) se îndepărtează legăturile mecanice şi se înlocuiesc cu reacţiunile

corespunzătoare;c) se alege un sistem de referinţă şi se scriu ecuaţiile scalare de

echilibru;d) se rezolvă sistemul de ecuaţii obţinut, determinându-se reacţiunile

şi condiţiile de echilibru dacă este cazul.

5.3. ECHILIBRUL RIGIDULUI SUPUS LALEGĂTURI CU FRECARE

5.3.1. Rigidul rezemat cu frecare

În paragrafele precedente s-a studiat echilibrul rigidului supus la

legături ideale, fără a se lua în considerare frecarea. Experienţa arată căorice mişcare sau tendinţă de mişcare a unui corp faţă de alt corp cucare vine în contact, este însoţită de o serie de rezistenţe determinate denatura fizică a zonelor de contact aparţinând celor două corpuri. Acesterezistenţe au primit denumirea generală de “frecări”. Explicaţia fizicăconstă în faptul că în realitate corpurile sunt deformabile şi aspre, iar contactul dintre ele nu este într-un singur punct, ci pe o suprafaţă pe care

apar forţe de legătură i p

, care au o distribuţie greu de stabilit. Frecarea

este pusă în evidenţă în acele legături ale rigidului la care este permisădeplasarea relativă a celor două corpuri în contact.

În fig. 5.7 se consideră un corp solid rigid 1C rezemat pe corpul

2C . Asupra corpului 1C acţionează un sistem de forţe )n,..,2,1i(Fi ,

în punctele iA . Corpurile fiind deformabile, contactul dintre ele se face peo suprafaţă. În zona de contact dintre corpuri se dezvoltă forţe de

reacţiune i p

. Acestea se reduc în polul teoretic de contact O la un torsor al



104 MECANICĂ

forţelor de reacţiune .M,R pO

p pO

iar

forţele active dateiF

, se reduc în

acelaşi pol la un torsor al forţelor deacţiune .M,R a

Oaa

O

Condiţiile de

echilibru ale corpului C1 sub forma

ecuaţiilor vectoriale sunt:

.0MM;0R R pO

aO

pa

(5.6)

Pentru a studia forţele şi mo-mentele de reacţiune se descompune fiecare element al torsoruluiforţelor active în câte douăcomponente: una normală comună

n-n la planul tangent şi alta după tangenta 1t , respectiv .t2

Cu notaţiile din fig. 5.11 se pot scrie relaţiile:

,MMMşiR R R nt

a

Ont

a

(5.7)

în care cele patru componente sunt:

tR -componenta care tinde să imprime corpului 1C o mişcare detranslaţie, numită alunecare, peste corpul 2C , de-a lungul tangenteicomune 1t din planul tangent. Acestei tendinţe de mişcare i se opuneforţa de frecare de alunecare notată cu T

.

nR

-componenta după normala n-n, tinde să determine pătrunderea

corpului 1C în corpul 2C . Conform principiului acţiunii şi reacţiunii,corpul 2C răspunde cu o forţă egală şi direct opusă N

, numită reacţiunenormală.

tM

-componenta care tinde să rotească corpul 1C în jurul tangenteicomune 2t .Acestei mişcări, denumită mişcare de rostogolire, i se opune

momentul (cuplul) de frecare de rostogolire, notat cu r M

.

nM

-componenta care tinde să rostogolească corpul 1C în jurul

normalei comune n-n. Acestei mişcări, denumită mişcare de pivotare, i

Fig. 5.7




se opune momentul (cuplul) de frecare de pivotare pM .

Ca urmare a celor prezentate mai sus, torsorul forţelor pasive, de

reacţiune, va avea următoarele elemente:

,MMMşi NTR pr pO

p

(5.8)

Pornind de la acest caz general, se pot studia separat, cazurile particulare întâlnite în practică, şi anume: frecarea de alunecare, frecareade rostogolire, frecarea de pivotare etc.

5.3.2. Frecarea de alunecare

Forţa de frecare de alunecare, proprietăţile şi legile ei, au fost defi-nite în capitolul consacrat punctului material supus la legături cu frecare(paragraful 4.3). În cazul problemelor de echilibru ale rigidului supus lalegături cu frecare, rezolvarea este mai dificilă decât în cazul punctuluimaterial, deoarece tendinţa de mişcare a unui corp este mai greu dedeterminat şi în consecinţă, sunt mai greu de determinat direcţiile şi

sensurile forţelor de frecare.Rezolvarea unei probleme de echilibru a unui rigid supus la legături

cu frecare se efectuează,în cazul frecării de alunecare, asociind ecuaţiile

de echilibru, inegalităţile de tipul: ii NT unde i=1,2,...,n, reprezintă

punctele de rezemare.Dacă se consideră cazurile de echilibru limită, inegalităţile se

transformă în egalităţi şi rezolvarea sistemului se simplifică.

5.3.3. Frecarea de rostogolire

După cum s-a arătat, frecarea de rostogolire, se manifestă prin apariţiaunui cuplu de frecare la rostogolire, care se opune în anumite limite,tendinţei de rotire a corpului în jurul unei drepte din planul tangent lor, în

punctul teoretic de rezemare.

Frecarea de rostogolire este întâlnită în practică la toate corpurile ce



106 MECANICĂ

se rostogolesc: roţile autovehiculelor, roţile de cale ferată, rolele şi bilelerulmenţilor etc.

Pentru a înţelege mai bine mecanismul apariţiei acestui tip de frecare,se consideră cazul concret al unei roţi trase de greutate G

şi rază R

(fig. 5.8) rezemată pe o suprafaţă aspră, acţionată de o forţă F

.Considerând corpurile nedeformabile, contactul dintre roată şi planulorizontal se face într-un singur punct A, în care apar: o reacţiune normală N

şi o forţă de frecare (aderenţă) T

.

Făcând o sumă de momente în polul A (-FR=0), constatăm că acestsistem de forţe nu este în echilibru, deşi experienţa arată că roata poaterămâne în repaus dacă mărimea forţei F

nu depăşeşte o anumită limită.Pentru explicarea acestei neconcordanţe între teorie şi practică, va

trebui să ţinem seama de faptul că, în realitate, corpurile sunt deformabile,iar contactul dintre ele are loc pe o mică suprafaţă. În fiecare punct al

acestei suprafeţe de contact apare câte o reacţiune normală in

şi o forţă

de frecare tangenţială it

(fig.5.8,b). Dacă roata nu are tendinţă de ros-togolire 0F

, reacţiunile normale

ni sunt distribuite după o elipsă,

simetrică faţă de normala ce trece prin centrul roţii, iar forţele tangenţialesunt nule.

Dacă roata are tendinţa să se rostogolească spre dreapta (v. fig.5.8.b),

suprafaţa de contact şi distribuţia forţelor de reacţiune normale in , devinasimetrice faţă de normala ce trece prin centrul roţii, deplasându-se în

sensul în care roata are tendinţa de rostogolire.

Fig. 5.8

a) b) c) d)




Datorită acestui fapt reacţiunea totală normală N

se deplaseazăfaţă de punctul teoretic de contact, spre dreapta, cu distanţa a. Rezultanta

T

a forţelor de frecare de alunecare it

poate fi considerată, cu o foarte bună aproximaţie, că trece prin punctul teoretic A.În cazul echilibrului la limită al roţii, distanţa “a” ia valoarea maximă

egală cu “s”. Se ajunge la situaţia din figura 5.8,c. Ecuaţia de momenteîn polul A, în acest caz este:

0sNFR (5.9)Dacă reducerea forţelor normale, asimetric distribuite, se face în

punctul teoretic de contact A,va trebui să introducem şi un moment numit

moment de frecare la rostogolire, a cărui valoare, la limita echilibruluiroţii, este:

maxr RFsNM Pentru o poziţie oarecare de echilibru, este necesar să fie satisfăcută

condiţia:

sNM r (5.10)

unde maxas , este coeficientul de frecare la rostogolire şi reprezintă

distanţa maximă cu care se deplasează, paralel cu el însuşi, suportulreacţiunii normale N

, faţă de punctul teoretic de contact.Dacă reducerea forţei N

se face în punctul teoretic de contact seobţine situaţia din figura 5.8,d.

Rezultă că, în afara ecuaţiilor de echilibru, pentru ca un rigid sărămână în repaus, în fiecare reazem simplu al acestuia trebuie să fiesatisfăcute următoarele condiţii:

.sNMşi NT r (5.11)

5.3.4. Frecarea de pivotare în cazul lagărului axial

Un lagăr este axial dacă rezultanta forţelor exterioare ce acţioneazăasupra fusului are direcţie axială. Lagărul axial poate fi plan, conic sausferic, în funcţie de forma suprafeţei de contact dintre fus (pivot) şi lagăr.

După o funcţionare îndelungată a pivotului plan, suprafaţa circulară



108 MECANICĂ

de contact dintre fus şi lagăr seuzează neuniform. La periferia

fusului uzura este maximă, iar încentru minimă. Astfel, forţa P ceacţionează asupra fusului seconcentrează pe o suprafaţă din ceîn ce mai mică în jurul centrului,depăşind presiunea de contactadmisibilă, fapt ce provoacăeliminarea uleiului şi griparea

lagărului. Pentru a se preîntâmpinaaceastă situaţie nedorită, se executăîn fus o degajare interioară cu o razăr, fusul în acest caz uzându-seaproximativ uniform (v. fig. 5.9).Suprafaţa de frecare devine o co-roană circulară, iar presiunea dintrefus şi lagăr se poate considera

aproximativ constantă:

.

r R

P p

22 (5.12)

unde R reprezintă raza pivotului, iar r raza degajării.În continuare se va studia pivotul plan cu degajare, deteminându-se

expresia coeficientului de frecare de pivotare şi a momentului de frecarede pivotare din acest lagăr.

Asupra pivotului acţionează rezultanta forţelor exterioare P

si cuplulde moment OM

.Coeficientul de frecare de alunecare se consideră con-stant egal cu , lagărul fiind uscat. Asupra unui element de arie dAacţionează o reacţiune normală elementară Nd

şi o forţă de frecare dealunecare elementară Td

, dirijată în sens invers sensului de rotaţie afusului.Folosind coordonatele polare pentru detaşarea elementului de arie,

rezultă: ,dddA iar dA pdN .Forţa de frecare de alunecare

elementară are expresia:

Fig. 5.9

Fig. 5.9.




.dd pdNdT (5.13)

La limita echilibrului fusului, cuplul de moment OM este egal cu

momentul de frecare de pivotare pM şi egal cu suma momentelor forţelor de frecare în raport cu axa pivotului:

dTMM O p (5.14)

în care înlocuind relaţiile (5.12) şi (5.13) rezultă:

R

r

22

022 p dd

r R

Pdd pM (5.15)

În final, expresia momentului de frecare de pivotare, la limita echi-librului fusului este:

PPr R

r R

3

2M

22

33

p

, (5.16)

unde reprezintă coeficientul de frecare de pivotare din lagărul plan cudegajare.Pentru echilibrul fusului trebuie satisfăcută condiţia:

PM p (5.17)

Frecarea de pivotare are multe aplicaţii în tehnică, ea apare la frâneledisc, la ambreiajele cu disc sau con utilizate în construcţia de maşini etc.

5.3.5. Frecarea în articulaţii sau lagărul radial cu joc

Un lagăr este radial dacă

rezultanta forţelor exterioare ceacţionează asupra fusului aredirecţie radială. Lagărul radial esteo articulaţie cilindrică între un fusşi lagăr, el este format dintr-unarbore care se poate roti sub

acţiunea unui moment motor OM ,

într-un alezaj de un diametru cu

puţin mai mare (v. fig. 5.10). Fig. 5.10



110 MECANICĂ

În continuare se va studia lagărul radial cu joc în care apare frecareuscată (coulombiană), introducerea lubrefianţilor schimbând esenţial

problema. Un studiu amănunţit al frecării în lagărele de alunecare culubrefiant se va face în cadrul cursului de Organe de maşini.Dacă cuplul

forţelor exterioare OM ce acţionează asupra fusului ar fi nul, punctul teoretic

de contact dintre fus şi lagăr ar fi în A, pe direcţia rezultantei forţelor

exterioare. Dacă însă asupra fusului acţionează un cuplu de moment OM ,

el se comportă în lagăr ca o roată motoare pe un plan înclinat, având tendinţade a urca.În acest caz punctul teoretic de contact se va deplasa din A în B(v. fig. 5.10).

Contactul dintre fus şi lagăr se face teoretic pe o linie dreaptă practic pe o mică suprafaţă în jurul liniei de contact. Considerând coeficientul defrecare de alunecare egal cu , coeficientul de frecare de rostogolire s şiraza fusului r, se vor determina în continuare mărimea momentului de

frecare r M din articulaţie şi expresia coeficientului global de frecare.

În punctul teoretic de contact B al fusului apar: o reacţiune normală

N

, o forţă de frecare de alunecare T

şi un moment de frecare de rosto-

golire r M , având sensuri opuse tendinţei de alunecare şi, respectiv derostogolire a fusului în interiorul lagărului. Fusul sub acţiunea momentului

motor OM se roteşe cu un unghi , iar la limita echilibrului, conform

principilui acţiunii şi reacţiunii, momentul de frecare din articulaţie f M

devine egal şi direct opus momentului motor.Ecuaţiile scalare de echilibru ale fusului sunt (v. fig.5.10):

;0sinPT;0X i ;0cosP N;0Yi (5.18)

.0MsinrPM;0M Or Bi De unde rezultă:

.sinrPMM;cosP N;sinPT r O (5.19)Acestor relaţii li se adaugă cele două condiţii la limită:

NsMşi NT r (5.20)

Din relaţiile (5.18) şi (5.19) se obţine:




.tgsaucosPsinP (5.21)Ştiind că:

,1

1cosşi

1tg1

tgsin

222

(5.22)

Rezultă:

.1

rP

1

PssinrPcossPMM

22f O

(5.23)

Deci:

,Pr Pr 1

r s

M2f

unde reprezintă coeficientul global de frecare din lagărul radial cu joc,

care poate fi determinat şi pe cale experimentală.

Pentru articulaţii cilindrice: ,YXR P 2O

2O

p

Pentru articulaţii sferice: ,ZYXR P 2O

2O

2O

p

unde OOO Z,Y,X

reprezintă componentele scalare ale reacţiunii totale din articulaţie.

5.3.6. Frecarea firelor pe suprafaţe cilindrice

Un alt caz de frecare întâlnit în tehnică îl reprezintă frecarea firelor pe suprafeţe cilindrice. Această frecare apare atât în cazul când roata pe care este înfăşurat firul este fixă şi firul are tendinţă de mişcare, cât şiîn cazul când firul este fix şi roata are tendinţă de mişcare (exemplufrânele cu bandă).

In studiul echilibrului acestor fire se face ipoteza că ele sunt flexi- bile, inextensibile şi de greutate neglijabilă. Dacă s-ar neglija frecareadintre fir şi suprafaţa cilindrică fortele de la capetele firului ar fi egale.Luându-se în considerare frecarea dintre fir şi suprafaţa cilindrică prinintermediul coeficientului de frecare de alunecare , se pune problema



112 MECANICĂ

determinării unei relaţii între forţele de la capetele firului pentru ambeletendinţe de mişcare.

În figura 5.11., a se consideră un fir trecut peste o suprafaţă cilindrică,contactul dintre fir şi suprafaţa fixăfăcându-se pearcul AB, avândunghiul la centru. Firul esteacţionat la capete

de forţele F

şi Q

Pentru ten– dinţa de mişcare afirului de la A spre

B, forţa F

numită şi forţă motoare trebuie să învingă forţele de frecaredintre fir şi suprafaţa cilindrică, precum şi forţa rezistentă Q. Pentru a se

stabili legătura dintre forţele QşiF

se detaşează un element din fir, MM

de lungime elementară, având unghiul la centru d.Asupra acestui fir acţionează forţele reprezentate în figura 5.11,b:reacţiunea normală elementară dN, forţa de frecare elementară dT însens invers tendinţei de mişcare a firului, efortul (S + dS) la capătul M’ alfirului şi efortul S de la capătul opus M. Având în vedere dimensiunilefoarte mici, elementare, ale arcului MM’, forţele ce acţionează asupralui pot fi considerate concurente în O, mijlocul arcului. Ecuaţiile scalarede echilibru ale forţelor ce acţionează asupra acestei porţiuni din fir MM’,

în sistemul de referinţă cu originea în polul O, sunt:

;02

dcosdSS

2

dcosSdT;0X i

(5.24)

.02

dsindSS

2

dsinSdN;0Yi

Unghiurile fiind foarte mici, elementare, în sistem se pot faceurmătoarele aproximări:

Fig. 5.11.




.02

ddS;1

2

dcos;

2

d

2

dsin

(5.25)

Înlocuind relaţiile (5.25) şi dNdT în (5.24) rezultă;

.dNdSşidNdS (5.26)Făcând raportul celor două relaţii (5.26) rezultă o ecuaţie diferenţi-

ală cu variabile separabile care se poate integra uşor:

.Q

Flnsaud

S

dS

0

F

Q

(5.27)

Deci eQF , numită relaţia lui EULER unde -este coeficientulde frecare de alunecare (aderenţă) dintre fir şi suprafaţa cilindrică, iar -unghiul de înfăşurare al firului pe aceeaşi suprafaţă, în radiani.

Pentru cealaltă tendinţă de mişcare a firului, de la B la A, se obţineîn mod analog expresia:

.eQF (5.28)

Pentru ca firul să rămână în repaus pe suprafaţa cilindrică trebuie

îndeplinite următoarele condiţii:

.eQPeQ (5.29)

Frecarea firelor (frecarea funiculară) are numeroase aplicaţii întehnică: de exemplu la transmisiile prin curele şi la mecanismele de frânarecu bandă.

5.3.7. Frecarea în scripeţi

Scripetele este un disc la periferia căruia este executat un şanţ deghidare pentru cablu, o frânghie sau un lanţ, acesta reprezentând din

punct de vedere teoretic firul. Scripetele poate să fie cu axă fixă derotaţie sau cu axă mobilă de rotaţie, după cum axul său este fix saumobil. În practică se utilizează foarte multe combinaţii cu scripeţi cu axefixe şi mobile de rotaţie, pentru a se realiza un raport cât mai mic între

forţa motoare şi cea rezistentă.



114 MECANICĂ

În multe aplicaţii tehnice, cum este şicazul scripetelui, este necesar să se renunţe

la ipoteza că firul este perfect flexibil şi, caatare, se va lua în considerare rigiditatea lui.În continuare se va stabili o relaţie între

forţele de la capetele firului, luând înconsiderare şi frecarea din axul scripetelui.

Astfel, în figura 5.12 s-a reprezentat unscripete cu axă fixă de rotaţie în O. Razafusului articulaţiei este r, coeficientul de

frecare global din articulaţie este iar razascripetelui R. Peste acest scripete este trecutfirul în capetele căruia acţionează: forţa F

motoare şi forţa Q

rezistentă.Dacă firul ar fi considerat perfect flexibil,

el s-ar înfăşura pe scripete în A şi s-ar desprinde în B. Datorită rigidităţii lui, firul condus, acţionat de forţa

rezistentă Q

întârzie să se înfăşoare cu o curbură mai mare a scripetelui,

depărtându-se în acest fel cu distanţa 1e de centrul scripetelui, contactul

făcându-se în A’ în loc de A. Firul conducător acţionat de forţa motoareF

, întârzie să se desprindă de scripete, înfăşurându-se mai mult pe acesta.Astfel, ramura conducătoare a firului se va desprinde în B’, apropiindu-

se de centrul O cu distanţa 2e .

Distanţele 21 eşie au mărimi apropiate.

Pentru a vedea cum influenţează rigiditatea firului şi frecarea dinaxul scripetelui, raportul dintre forţa motoare F

şi forţa rezistentă Q

, sescriu ecuaţiile scalare de echilibru la limită, ale scripetelui:

;0QF N;0Yi (5.30) .0MeR QeR F;0M f 12Oi

Momentul de frecare din articulaţie are expresia:

.FQr Nr M f

Fig. 5.12




Înlocuind expresia momentului de frecare în ecuaţia a doua (5.30) şigrupând termenii, rezultă:

saur eR Qr eR F 12

.Qr eR

r 2ee1Q

r eR

r eR F

2

21

2

1

(5.31)

La numitor termenii se pot neglija faţă de R. Astfel relaţia (5.31)devine:

.QQk k 1QR

r 2

R

ee1F 21

21

(5.32)

unde

R

eek 21

1

reprezintă coeficientul ce ţine seama de rigiditatea

firului;R

r 2k 2 -un coeficient ce ţine seama de frecarea din axul

scripetelui; 21 k k 1 -coeficientul global al pierderilor din scripete.Observaţii.a) coeficientul >1, deci F>Q, scripetele simplu fix nu

realizează o demultiplicare a forţei motoare, ci are rolul de a schimbadirectia de acţiune a forţei Q. Pentru a realiza o reducere a forţei motoareîn raport cu forţa rezistentă se foloseşte scripetele mobil sau sisteme descripeţi;

b)coeficientul este adimensional şi are valori cuprinse între 1,02 şi1.05 în funcţie de diametrul firului şi natura lui, precum şi de sistemul deungere al lagărului;

c) coeficientul (sau cifra scripetelui) reprezintă inversul randamen-

tului scripetelui.Randamentul scripetelui notat cu reprezintă raportul dintre forţamotoare ideală F, când nu se ia în considerare frecarea în axul scripeteluişi rigiditatea firului (=1) şi forţa motoare reală F când >1.Astfel pentruscripetele simplu studiat avem:

.1

Q

Q

F

F

real

ideal

(5.33)



116 MECANICĂ


1. Să se calculeze reacţiunile din încastrarea O pentru grinda cotitădin figura 5.13, ştiind că asupra ei acţionează forţele P1 = 20N, P2 = 10N,forţa distribuită q = 60 N/m şi cuplul deforţe M = 20N. m (l = 1 m).

Rezolvare. Se înlocuieşteîncastrarea spaţială O cu trei forţe şitrei momente de reacţiune orientate

după axele de coordonate:,Z,Y,X OOO ,M,M,M zyx ia r

forţele distribuite cu rezultanta lor

. N90ql5,1Q Ecuaţiile sca-lare

de echilibru sunt:

;060cosPX;0X 1Oi

;0QY;0Y Oi

;0P60sinPZ;0Z 21Oi

;0Pl2M60sinPl;0M 2Ox1xi

;0MPl360sinPlM;0M 21Oyyi

.0Ql75,0l360cosPlM;0M 1Ozzi

Rezolvând sistemul de ecuaţii

rezultă cele şase necunoscute reac-ţiunile din încastrare: XO

= 10 N; YO

= 45 N; ZO

= 27,3 N; MOx

= 1,3 N m;M

Oy= 43,65 N m; M

Oz= 45,625 N m.

2. O placă dreptunghiulară degreutate Q=15N (fig.5.14) estearticulată în A şi B şi menţinută în

poziţie orizontală prin intermediul

Fig. 5.13

Fig. 5.14




barei DE. Asupra plăcii mai acţionează forţa F=30 N în planul plăcii. Săse calculeze reacţiunile din articulaţia sferică A, articulaţia cilindrică B şi

din bara DE. Rezolvare. Din figura 5.14 rezultă ,lBD,30cosl2AB,l2AD

.3l230cosADAE Condiţiile de echilibru sunt date de relaţiile (5.7)sub forma ecuaţiilor vectoriale.Expresiile analitice ale forţelor active şi

pasive sunt:

;k YiXR ;k 15Q;i30F BBB

.k S23 jS

43iS

41

EDEDSeSS;k Z jYiXR EDAAAA

Deci,

.0k S23ZZ15

jS4

3Yi

4

SXX30R R

AB

AAB pa

.

Momentele forţelor active şi pasive în polul O sunt:

;0M;0MAR OFO

; jX3liZ3lZ0X03l0

k ji

R ABM BB

BB

BR O B

; j2

l15i

2

315

1500

02

3l

2

1k ji

QACM QO



118 MECANICĂ

. j2

Sl3i2Sl3

2

S3

4

S3

4

S

03ll k jiSADM SO

Deci,

.0k 3lX j2

S3l

2

l15i

2

Sl3

2

3l15Z3lMM BB

pO

aO

Din cele două condiţii, rezultă următorul sistem de ecuaţii:

;02

Sl3

2

3l15Z3l;030

4

SXX BBA

;02

Sl3

2

l15;0S

4

3YA

.03lX;015S23ZZ BBA

Rezolvând sistemul se obţin cele şase necunoscute: ; N25,27X A

. N35S;0ZX; N5,7Z; N75,3Y BBAA

3. O antenă de televiziune

(fig.5.15), orizontală de greutate P

este fixată pe un ax vertical, ancorat prin intermediul a trei fire egalefixate în B, D şi E.

Cunoscând poziţia centrului degreutate (KC=0,25 l) al antenei şieforturile din firele (1) şi (2)

,4/2PTT 21 şi OA = l, să se

determine reacţiunile din articulaţia Fig. 5.15




O şi efortul din firul (3).

Rezolvare: Se înlocuiesc firele cu eforturile 321 T,T,T iar articulaţia

O cu reacţiunile X0 , Y0, Z0. Se alege sistemul de referinţă cu originea înO ca în fig.5.15.

Ecuaţiile scalare de echilibru pentru antenă sunt:

;045sin60cosT260cosTX;0X 13Oi

;045cos60cosT45cos60cosTY;0Y 12Oi

;030cosT30cosT2PZ;0Z 31Oi

.045sin60cosT260cosTlP25,0;0M 13yi

Rezolvând sistemul rezultă cele patru necunoscute ale

problemei: ;4/PX;PT O3

.P48,2Z;0Y OO

4. O bară omogenă OA=2a, de greutate G este articulată în O şi

menţinută în echilibru sub un unghi q faţă de verticală (fig.5.16) prinintermediul unui fir trecut peste scripetele B, de dimensiuni şi frecareneglijabile. În capătul firului este fixată prisma de greutate P. Să sedetermine condiţia de echilibru şi reacţiunile din articulaţia O.

Rezolvare: Bara OA se află în echilibrucondiţionat. Ea are o singură legăturămecanică, articulaţia O, care se înlocuieşte

cu reacţiunile OO YşiX Firul AB nu este

considerat legătură: mecanică, în sensuldefiniţiilor date. În capătul A acţionează forţaP din capătul firului. Ecuaţiile scalare deechilibru pentru bară sunt:

;02

cosPX;0X Oi

;02sinGY;0Y Oi

Fig. 5.16



120 MECANICĂ

.0P2

cosa2Gsina;0MOi

Din ultima ecuaţie rezultă condiţia de echilibru:

.G

Parcsin2sau

G

P

2sin

Reacţiunile din articulaţie sunt:

.2

sinPGYşi2

cosPX OO

5. Un troliu de greutate G=100 N şi raze r, respectiv R=2r, se reazemă

de un plan înclinat de un unghi 20 , faţă de orizontală. Pecircumferinţa de rază r este înfăşurat un fir la extremitatea căruia estesuspendată o greutate Q (fig.5.17).

Cunoscând coeficienţii m = 0,4 şi s= 0,01 r, între troliu şi plan să se determinelimitele intervaluilui în care poate varia

Q astfel încât troliul să ramână în repaus. Rezolvare: Se înlocuieşte reazemul

cu reacţiunea normală N

, forţa de

frecareT

, opusă tendinţei de alunecareşi momentul (cuplul) de frecare la

rostogolire r M , considerând că rostogolirea se va efectua tot în jos.

Ecuaţiile scalare de echilibru sunt:

;0sinQsinGT;0X i ;0cosQcosG N;0Yi

.0sinR r QMsinGR ;0M r oi Pentru echilibrul troliului pe plan trebuie ca: sNMşi NT r .

Rezolvând sistemul de ecuaţii rezultă tg < m sau 4,0363,020tg

condiţia ca troliul să nu alunece pe planul înclinat, fiind îndeplinită.

Fig.5.17




Fig. 5.18

Condiţia ca troliul să nu se rostogolească în jos este:

. N20,181GcosssinR r

cosssinR

Qmin

Pentru cealaltă tendinţă de rostogolire (în sus) se schimbă doar sensul

momentului de frecare la rostogolire r M şi rezultă valoarea maximă a lui

Q, la limita echilibrului:

. N33,233GcosssinR r

cosssinR Qmax

Deci, pentru ca troliul să rămână în repaus, forţa Q poate varia întrelimitele:

. N33,233Q N20,181

6. Un laminor de tablă este format din doi cilindrii (valţuri) de diametruD care se rotesc în sens opus (fig.5.18). Distanţa dintre cilindrii fiind a,iar coeficientul de frecare dintre tablă şi cilindrii m, se cere:

a) să se arate că, pentru a fi posibilă prinderea tablei încălzite, unghiul

de frecare trebuie să fie mai mic decât unghiul a la centru; b) să se determine grosimea maximă b a tablei încălzite care poate filaminată. Aplicaţia numerică: D = 0,6 m; a = 0,05 m; m = 0,1.

Rezolvare: a) Considerând pentru simplificare că contactul dintrecilindrii şi tablă se face în punctele A şi B, în aceste puncte asupra tablei

apar următoarele forţe: N -reacţiunile

din partea cilindrilor şi T -forţele de

frecare, tangente la cilindrii.Componentele orizontale ale forţelor de

frecare T , trag tabla între cilindrii, iar componentele orizontale ale reacţiunilor normale se opun mişcării tablei.

Pentru a putea fi posibilă prindereatablei între cilindrii laminorului este

necesar ca:



122 MECANICĂ

Fig.5.19

. NTcãstiind,sin N2cosT2

la limită rezultă condiţia .tgtgsautg Deci, j>a, unde a

este unghiul de frecare. b) Grosimea maximă a tablei rezultă din trapezul ,ABOO 21

,cos1Da b stiind că21

1cosiar ,tg

rezultă

.

1

11Da b

2

Inlocuind valorile numerice rezultă: b<0.053m.

reprezintă componentele scalare ale reacţiunii totale din articulaţie.

7. Uşa de la intrare într-o secţie de turnătorie, formată dintr-o placădreptunghiulară de greutate G = 400 N şi dimensiuni AD = BC = l = 2 m,AB = CD = 4m, este aşezată în poziţie verticală şi se poate roti în jurulunui ax care coincide cu latura AB. Axul având raza r = 0,01 m se roteşte

în două lagăre: unul radial B şi altul radial-axial A. Cunoscând coeficientulde frecare = 0,3 în lagărul radial şi = 0,2 în lagărul axial, să se

determine momentul minim M ce poate fi aplicat uşii astfel încât aceastasă poată fi rotită (fig.5.19).

Rezolvare. În lagărul A apare

reacţiuneaAR

cu cele trei componente

scalare ,Z,Y,X AAA ,iar în lagărul radial

B reacţiunile .YşiX BB .Din cauzafrecării în lagărele radiale A şi B apar

momente de frecare ,MşiM fBfA iar

datorită frecării de pivotare in lagărul A,va apare şi un moment de frecare de

pivotare pAM ,

Ecuaţiile scalare de echilibru pentru




Fig. 5.20

uşă sunt:

;0XX;0X BAi

;0YY;0Y BAi

;0GZ;0Z Ai

;0l2Y2

lG;0M Bxi

;0Xl2;0M Byi

.0MMMM;0M pAfBfAzi

Valorile la limită ale momentelor de frecare sunt:

.rZ3

2M;YXr M;YXr M A pA

2B

2BfB

2A

2AfA

Rezolvând sistemul de ecuaţii se obţine:

iar , N1004/GY; N1004/GY;0X;0X BABA

.m N67,0rG3

2

2

Gr M

8. Un troliu (1) de greutate G, raze 2r şi respectiv r este menţinut înechilibru de o bandă de susţinere (2). Pe circumferinţa de rază r esteînfăşurat un fir în capătul căruia este fixată o prismă de greutate G/2. Să sedetermine valoarea coeficientului de frecare m, dintre

troliu şi bandă pentru ca troliul să nu se rotească îninteriorul benzii de susţinere (fig. 5.20).

Rezolvare: Notând cu 21 SsiS eforturile din cele

două ramuri ale benzii de susţinere, ecuaţiile scalarede echilibru pentru troliu sunt:

;0

2

GGSS;0Y 21i



124 MECANICĂ

Fig.5.21

02

Gr r r 2Sr 2S;0M 12Oi .eSSsi 12

Rezolvând sistemul de ecuaţii rezultă:

.107,05

7ln

1

9. Un semifabricat de greutate Q=5 kN obţinut printurnare este ridicat cu ajutorul unui scripete cu axămobilă de rotaţie (fig.5.21). Cunoscând diametrulscripetelui D=0,3 m,diametrul axului scripetelui d=0,04m

şi coeficientul global de frecare din axulscripetelui 02,0 , să se determine efortul 1S necesar

ridicării acestui semifabricat, precum şi efortul 2S din

ramura pasivă a cablului. Rezolvare: În axul scripetelui apare un moment de

frecare f M care se opune tendinţei de rotaţie a

scripetelui:

.kNm02,052

04,02,0Q

2

dM f

Ecuaţiile scalare de echilibru ale scripetelui sunt:

;0QSS;0Y 21i

.0M

2

DS

2

DS;0M f 21Oi

Rezolvând sistemul rezultă:

.kN434,2S;kN566,2S 21


1. Asupra unei bare de lungime 3a, rezemată în punctele A,B şi C

acţionează o forţă verticală F . Să se determine reacţiunile din reazeme,




ştiind că bara formează unghiul a cu orizontala (fig.5.22).

R. Fcos

1cos3

N;Fcos

2cos3

N;Ftg N C

2

BA

2. Asupra barelor din figura 5.23 acţionează forţa verticală P . Dacă

AC = CD = CB, să se calculeze reacţiunile din A şi bara CB.R. X

A = P; Y

A = 0; R

CB = 1.41P

3. Pentru grinda AC de lungime 8a şi greutate Q să se calculezereacţiunile din A şi B, ştiind că

asupra ei acţionează o forţă Psub unghiul de 45O, o forţă

distribuită triunghiular, forţaunitară maximă fiind q

0 şi o forţă

Q prin intermediul unui fir trecut

peste scripetele O (fig. 5.24).Aplicaţie numerică: a = 1m; Q =30 N; q

o = 3N/m; P = 60N.

R. XA = 42.3 N; Y

A =

40.6 N; R B = 57.4 P

Fig. 5.22 Fig. 5.23

Fig. 5.24



126 MECANICĂ

4. Asupra unei bare cotite

OABCD, acţionează un sistem deforţe şi cupluri. Cunoscândmărimile acestora: MA = 4 Pa,

Pa132MB , P29PA , PC =

5 P, PD = 3P, să se determine

reacţiunile din încastrarea O (v. fig.5.25).

R. XO

= 5P ; YO

= ZO

= 0;MOx = 6 Pa; MOy = -5 Pa; MOz = -16 Pa

5. Asupra unei bare avândforma şi dimensiunile din figura5.26 acţionează un sistem de forţedistribuite q şi un cuplu de forţe de

moment2

4qr M . Să secalculeze reacţiunile din încastraredacă l = r.

R.

.qr M;3qr M;2qr M;qr Z;qr Y;0X 2Oz

2Oy

2OxOOO

6. Să se calculezereacţiunile din legăturilemecanice ale plăcii degreutate G = 8 kN, asupracăreia acţionează cuplul demoment M = 4 kNm şi forţaQ =10 kN (fig. 5.27). Secunoaşte a = c = 4m iar b =

2m. Fig. 5.27

Fig. 5.26

Fig. 5.25




R..kN

3

8S;kN4Z;kN9

3

4X

;0Z;kN

3

4Y;kN

3

43X

AA

OOO

7. O placă dretunghiularăOABD de greutate Q =10 Narticulată în O şi D este

menţinută în poziţie orizontală prin intermediul firului EH.Asupra plăcii acţionează o forţăP =5 N şi un cuplu de momentM=20 Nm situat în planul plăcii(fig.5.28). Să se determinereacţiunile din fir, articulaţiasferică O şi articulaţia cilindrică

D dacă BE = ED = 0,5 m; OD = 2 m; a = 60O; b = 30O.

R. .10NZ;35,68NX;7,5NZ

;17,3NY;5,68NX;40NS

DDO

OOEH

8. Roata unui vagon de razăR şi greutate P se află în faţa unui

prag cu înălţime h (fig. 5.29).

Care este momentul cupluluice trebuie aplicat roţii pentru ca easă treacă de acest prag.

R.

R 2

h1

R 2

hR P2M

9. O uşă de greutate P = 300 N ce formează unghiul de 30O cu

planul normal vertical Oyz, este acţionată de forţa Q = 100 N prinintermediul unui fir trecut peste scripetele M de dimensiuni neglijabile. Uşa

Fig. 5.28

Fig. 5.29



128 MECANICĂ

este menţinută în această poziţie, prin intermediul firului orizontalEF, paralelcu axa Oy (v. fig.5.30). Să se determine reacţiunile din lagărele A şi B ale

uşii şi efortul din firul EF, ştiind că: BC = AB/3 = 1 m iar DE = EC.R. xA = 93,6 N; y

A = 25,2 N; z

A = 300 N;

xB = 52,5 N; yB = 24,3 N; S = 109,8 N.

10. Să se determine reacţiunile din încastrarea O pentru grinda dinfigura 5.31. Se dă P

1 = P

2 = P, q = 2P/l, q

O = 6P/l.

R. xO = 5,5 P; y

O = P; z

O = 2P; M

Ox = 3P l; M

Oy = 9P l; M

Oz = 2,5P l .

11. O scară rabatabilă de greutate P = 300 N, formează unghiula=60O cu planul vertical. Ea este menţinută în echilibru prin intermediulunui cablu MN. Să se determine: a) reacţiunile din articulaţiile A şi B şidin cablu dacă centrul de greutate al scării se află la intersecţiadiagonalelor, iar AB = ED = EM = MA = AN = a; b) reacţiunile din cabluşi articulaţii dacă pe scara cea mai de jos, la mijloc, stă un om de greutateG = 600 N (fig. 5.32).

R. a) S = 519 N; xA = 259,5 N; zA = 300 N; xB = 0; zB=150N; b) S = 2595 N; xA = 1297 N; z

A = 1800 N; x

B = 0; z

B= 450N

Fig. 5.30 Fig. 5.31




12. O macara pe cale ferată de greutate G, se sprijină pe cele douăosii în B şi C situate la distanţa l. Ce greutate maximă Q poate ridicamacaraua dacă centrul de greutate se află la distanţa a faţă de axa de

simetrie iar braţul forţei Q este d (fig. 5.33).

R. Gld2

a2l

maxQ

13. Un pod rulant de greutate P=60 kN se deplasează pe două şineA şi B de-a lungulunei hale (fig.5.34). Să se calculeze reacţiunile

normale din punctele de sprijin înfuncţie de raportul n = AC/AB careindică poziţia căruciorului C, ştiind căse ridică o greutate Q = 40 kN.

R. NA = 10 (7 - 4n) kN; NB = 10 (3 + 4n) kN.

14. O macara rotitoare de greutate G se sprijină pe trei roţi în punctele

A, B şi C ce formează un triunghi echilateral. Macaraua se roteşte în

Fig. 5.32 Fig. 5.33

Fig. 5.34



130 MECANICĂ

jurul axei verticale ce trece prin punctul O (v.fig.5.35), ce ce corespunde cu centrul de

greutate al macaralei. Să se determinereacţiunile din punctele de sprijin ale roţilor dacă Q = G şi P = 0,5 G, în funcţie de unghiul

j de rotaţie al macaralei.

R.

.)sin35

;)sin35

cos510(12

G N

cos510(12

G N;)cos1(G

6

5 N

C

BA

15. O bară laminată de greutate G, lungimel şi diametru d, este rezemată cu frecare în punctele E şi D situate ladistanţa h (fig.5.36). ştiind că bara formează unghiul a cu orizontala, iar coeficientul de frecare este m, să se determine valorea limită x pentru ca

bara să rămână în repaus.

R. 2

hμ2

dαtgm2

hx

16. Asupra unui disc de rază R şi greutate P, acţionează un cuplu deforţe de moment M; discul se sprijină în A pe un plan orizontal, iar în B peun plan vertical (fig. 5.37). Cunoscând coeficientul de frecare m, să sedetermine valoarea lui M pentru ca discul să rămână în repaus.

R. 21

PR )1(

M

Fig. 5.36 Fig. 5.37

Fig. 5.35



6. STATICA SISTEMELOR DE SOLIDE R IGIDE 131

6.

STATICA SISTEMELOR DE SOLIDE RIGIDE

6.1. Clasificarea sistemelor de corpuri şi a forţelor delegătură ....................................................................... 133

6.2. Teoreme pentru studiul sistemului de rigide............. 1356.2.1. Teorema echilibrului părţilor (separării

corpurilor) .......................................................... 1356.2.2. Teorema solidificării (rigidizării corpurilor) ...... 138

6.3 Grinzi cu zăbrele...............................................................1396.3.1 Definiţii. Ipoteze ................................................ 1396.3.2. Metode analitice pentru determinarea

eforturilor din bare .......................................... 142



132 MECANICĂ

6.4. Probleme rezolvate ...................................................... 147 6.5. Probleme propuse ........................................................ 151




6

STATICA SISTEMELOR DE SOLIDE RIGIDE

6.1. CLASIFICAREA SISTEMELOR DE CORPURI ŞI AFORŢELOR DE LEGĂTURĂ

Se numeşte sistem de corpuri, un ansamblu de corpuri legate întreele prin articulaţii sau reazeme simple şi legate cu spaţiul exterior fix prinreazeme simple, articulaţii sau încastrări.

Din punct de vedere mecanic sistemele de corpuri se pot clasifica în:a) Sisteme rigide sau structuri, care au o configuraţie nedeformabilă;

b) Sisteme mobile sau mecanisme, cu o configuraţie deformabilă.Sistemele rigide sau structurile sunt acele sisteme de corpuri la

care legăturile interioare şi exterioare anulează toate gradele de libertate.Aceste sisteme pot fi static determinate sau static nedeterminate în funcţiede raportul în care se află numărul ecuaţiilor scalare de echilibru şinumărul necunoscutelor, reacţiunile din legăturile interioare şi exterioare.Un sistem static determinat (structură) s-a reprezentat în figura 6.1, a.

Sistemele mobile sau mecanismele sunt acele sisteme de corpuri,la care legăturile interioare şi exterioare ale sistemului permit corpurilor componente unele mişcări. Aceste sisteme numite şi sisteme variabile de

corpuri se compun în scopul transmiterii unor mişcări, amplificării unor forţe sau momente. Un asemenea sistem variabil s-a reprezentat în figura6.1,b. Unul din corpurile sistemului este elementul conducător sau motor,iar celelalte corpuri sunt conduse prin intermediul legăturilor interioare.În cazul acestor sisteme variabile de corpuri se pune problema condiţieide echilibru, adică stabilirea unei relaţii între forţele de acţiune şi poziţiasa de echilibru. Această condiţie de echilibru se determină din ecuaţiilescalare de echilibru, aplicând însă teoremele de echilibru ale sistemelor

de corpuri.



134 MECANICĂ

Sistemele de corpuri static determinate sau static nedeterminate potfi teoretic, în echilibru sub acţiunea oricărui sistem de forţe exterioaredate. Un mecanism poate fi în echilibru numai în cazul unor sisteme deforţe particulare.

După cum legăturile se împart în legături exterioare şi interioare, şiforţele ce acţionează asupra unui sistem de corpuri se clasifică în: forţe

exterioare şi forţe interioare.

Forţele exterioare pot fi la rândul lor: forţe exterioare active,date şi forţe exterioare pasive, de legătură sau reacţiuni din legăturileexterioare. Forţele exterioare exprimă interacţiunile mecanice dintrecorpurile sistemului considerat cu alte sisteme materiale.

Forţele interioare reprezintă interacţiunea dintre corpurile aceluiaşi

sistem; conform principiului acţiunii şi reacţiunii toate aceste forţe apar, perechi egale şi direct opuse.Pentru sistemul din figura 6.1,a în legăturile exterioare A şi D apar

forţe exterioare pasive, reacţiunile XA,Y

A,M

A în încastrarea plană şi X

D,Y

D

în articulaţia cilindrică. În legăturile interioare B şi C apar forţe interioarede legătură, câte două egale şi de sensuri contrare pentru fiecarearticulaţie. Forţele P, Q, F sunt forţe exterioare date.

În cazul echilibrului unui sistem de rigide se întâlnesc trei categorii

de necunoscute şi anume:

Fig. 6.1a.

b.




a) reacţiunile din legăturile exterioare ale sistemului de corpuri; b) reacţiunile din legăturile interioare ale sistemului de corpuri;

c) valorile parametrilor independenţi care determină poziţia de echilibrua sistemului de corpuri (în cazul când echilibrul este condiţionat).

6.2. TEOREME PENTRU STUDIUL ECHILIBRULUISISTEMULUI DE RIGIDE

În rezolvarea problemelor de echilibru ale sistemelor de corpuri se

cunosc următoarele teoreme:

6.2.1. Teorema echilibrului părţilor (separării corpurilor)

Dacă un sistem de corpuri solide rigide este în echilibru sub acţiuneaforţelor exterioare date şi a reacţiunilor din legăturile exterioare, atunci şi

părţi din acest sistem vor fi în echilibru sub acţiunea forţelor aferente lor

(forţelor date şi de legătură).Considerând un sistem de n corpuri solide rigide în echilibru, putemspune că fiecare corp luat separat va fi în echilibru. Pentru fiecare corpluat separat, se pot scrie şase ecuaţii scalare de echilibru în spaţiu şi treiecuaţii dacă sunt în plan. Pentru întregul sistem de n corpuri se scriu întotal 6n ecuaţii independente de echilibru în spaţiu şi 3n ecuaţii, dacăsistemul este în plan. Dacă sunt 6n necunoscute în spaţiu, respectiv, 3nnecunoscute în plan, sistemul este static determinat. Dacă sunt mai multe

necunoscute sistemul este static nedeterminat. Numărul gradelor delibertate ale unui sistem de corpuri se poate calcula cu formulele:

-în spaţiu: r a2a3î6c6m cs (6.1)

-în plan r a2î3c3m c (6.2)

unde: c-reprezintă numărul corpurilor sistemului; î-reprezintă numărul

încastrărilor; as -reprezintă numărul articulaţiilor spaţiale;ac -reprezintă

numărul articulaţiilor cilindrice; iar r-reprezintă numărul reazemurilor

simple.



136 MECANICĂ

Pentru exemplificare se consideră în figura 6.2. un sistem plan for-mat din trei corpuri. Acest sistem de corpuri este un transportor cu lopată,

utilizat pentru încărcarea cuptoarelor cu diferite materiale. El este for-mat din căruciorul 1 pe care este fixată coloana 2 de greutate P

încapătul căreia este fixată lopata 3 de lungime l cu încărcătura de greutateQ

. Căruciorul 1 se deplasează pe şinele grinzilor 3 şi 4 articulate în C,

având lungimile a şi b, respectiv, greutăţile21 GşiG

. Grinzile suntîncastrate în A şi rezemate în C.

După cum se observă în cadrul sistemului de corpuri din figura 6.2încastrarea A şi rezemarea B sunt legături exterioare. Articulaţia C şirezemările căruciorului în D şi E sunt legături interioare. Prin separareacorpurilor şi aplicarea axiomei legăturilor, forţele care îşi fac echilibrulsunt reprezentate în figura 6.3. În articulaţia C şi rezemările D şi E, carereprezintă legături interioare, se aplică principiul acţiunii şi reacţiunii, adicăforţele de legătură sunt egale şi direct opuse.

Pentru forţele coplanare ce acţionează asupra corpurilor din figura

6.3 se scriu următoarele ecuaţii de echilibru:

Fig. 6.2




-Bara AC (fig. 6.3,a)

;0X;0X Ci ;0YG NY;0Y C1DAi

.0Ya NdaG2

aM;0M CD1ACi

-Bara BA (fig. 6.3,b):

;0X;0X Ci ;0 NG NY;0Y B2ECi

.0 N bG2

b Nd;0M B2ECi

-Căruciorul 1 (fig. 6.3,c):

;0QP N N;0Y EDi .0QlPd Nd2;0M

EDi

Fig. 6.3



138 MECANICĂ

În total s-au scris 8 ecuaţii cu 8 necunoscute XA,

YA,

MA,

YC,

XC, N

E,

ND şi N

B. Sistemul este static determinat. În cazul unei aplicaţii numerice

dacă: a = 8m, b = 6m, d=0,5m, l=2m, Q =1kN, P =4kN, G1 =0,5kN, G2=0,4kN, rezultă următoarele necunoscute XC=X

A=0, N

E=4kN, N

D= 1kN,

NB = 0,53kN, YC = 8,25kN, YA= 9,75kN, MA= 75,5kN.m.Prin aplicarea teoremei separării corpurilor se pot determina reacţiunile

din legăturile interioare şi exterioare precum şi parametrii geometrici caredefinesc poziţia de echilibru în cazul sistemelor aflate în echilibru condiţionat.Această metodă prezintă dezavantajul că ea conduce la multe ecuaţii cumulte necunoscute, rezolvarea cărora crează uneori dificultăţi.

Observaţie: dacă în legătura interioară acţionează o forţă exterioarădată, prin aplicarea teoremei echilibrului părţilor legătura interioară devine punct material în echilibru şi se vor scrie ecuaţiile de echilibru separat pentru această legătură.

6.2.2. Teorema solidificării (rigidizării corpurilor)

Condiţiile de echilibru ale unui rigid sunt valabile şi în cazul unuisistem de corpuri, liber sau supus la legături, ca şi când sistemul ar devenirigid (nedeformabil) păstrându-şi legăturile exterioare iniţiale iar celeinterioare fiind considerate solidificate.

În acest fel se va considera sistemul întreg ca un singur corp rigid înechilibru sub acţiunea forţelor direct aplicate şi a forţelor din legăturileexterioare şi se vor scrie ecuaţiile scalare de echilibru. Prin aplicareaacestei teoreme se vor scrie atâtea ecuaţii cât şi pentru un singur corp.

Deci, dacă sistemul de forţe este spaţial se pot scrie şase ecuaţii deechilibru, iar dacă este plan numai trei.Ecuaţiile de echilibru care se obţin sunt necesare, dar nu totdeauna

şi suficiente pentru echilibrul unui sistem deformabil de corpuri. Uneoridin aceste ecuaţii de echilibru se pot determina reacţiunile şi poziţia deechilibru a sistemului.

Aplicarea acestei teoreme a solidificării are astfel avantajul că eaconduce la un număr mic de ecuaţii şi dezavantajul că în multe cazuri

numărul necunoscutelor, care determină poziţia de echilibru a sistemului



6. STATICA SISTEMELOR DE SOLIDE R IGIDE 139şi reacţiunile, este mai mare decât cel al ecuaţiilor independente deechilibru ale sistemului rigid, astfel încât cu teorema solidificării nu se potdetermina toate aceste necunoscute. În plus, cu această teoremă nu se

pot determina forţele interioare.Observaţie:Teorema solidificării se poate aplica şi unor grupe for-

mate din două sau trei corpuri din sistem.Pentru exemplificare se consideră sistemul din figura 6.1,a. Prin

aplicarea teoremei solidificării se pot scrie trei ecuaţii scalare de echilibru pentru întregul sistem considerat ca un singur corp:

;0FXPX;0X DAi ;0QYY;0Y DAi .0Ya4Fa3Qa3Pa2M;0M DAAi

Aceste ecuaţii nu sunt suficiente pentru aflarea celor cincinecunoscute. Pentru ridicarea acestei nedeterminări aparente, mai suntnecesare încă două ecuaţii. Ştiind că în articulaţii momentul încovoietor este nul, se vor scrie două ecuaţii, sume de momente în articulaţia B

pentru bara AB şi în articulaţia C pentru bara CD. Aceste ecuaţii sunt:-pentru bara AB:

;0Xa4MPa2;0M AABi -pentru bara CD:

.0Xa4Fa;0M DCi Cu cele cinci ecuaţii se pot determina cele cinci reacţiuni din legăturile

exterioare: .Y,Y,X,X,M DADAA

6.3. GRINZI CU ZĂBRELE

6.3.1 Definiţii. Ipoteze

Grinda cu zăbrele reprezintă un sistem invariabil de bare articulateîntre ele la extremităţi. În acest caz articulaţiile se mai numesc şi noduri.Legăturile interioare şi exterioare nu permit deplasări relative între corpurilesistemului. Aceste sisteme se mai numesc structuri invariabile.

Grinzile cu zăbrele pot fi plane sau în spaţiu. Aceste sisteme invariabile



140 MECANICĂ

au dese utilizări în tehnică fiind folosite la construcţia podurilor metalice,a podurilor rulante, a macaralelor, a stâlpilor metalici pentru susţinerea

cablurilor electrice etc.După forma lor, grinzile cu zăbrele se clasifică în: grinzi cu zăbrele parabolice (fig.6.4,a), grinzi cu zăbrele dreptunghiulare (fig. 6.4,b), grinzicu zăbrele trapezoidale (fig. 6.4,c), grinzi cu zăbrele triunghiulare (fig.6.4,d) etc.

În studiul grinzilor cu zăbrele se fac următoarele ipoteze simpli-

ficatoare:a) barele sunt drepte şi rigide, iar dimensiunile secţiunii transversalesunt neglijabile comparativ cu lungimea lor;

b) barele sunt articulate la extremităţi, considerate fără frecare.Acestearticulaţii se mai numesc noduri. În realitate barele sunt profile STAS uniteîntre ele cu nituri sau sudură prin intermediul unor plăci metalice numite guseu;

c) forţele exterioare se consideră aplicate în noduri şi sunt coplanarecu grinda cu zăbrele;

d) greutatea barelor este neglijabilă în comparaţie cu mărimile forţelor

b.a.

c. d. e. Fig.6.4




exterioare. Dacă în mod special se cere să se ţină seama de greutăţile barelor, atunci se vor repartiza în părţi egale în nodurile de la extremităţi.

Ca o consecinţă a acestor ipoteze, o bară izolată din sistem, neâncărcată pe lungimea ei, este în echilibru numai dacă forţele din articulaţiile de lacapete sunt egale, de sensuri contrare şi au direcţia barei.

Prin urmare, eforturiledin barele grinzilor cuzăbrele pot fi de întindere(fig. 6.5,a) sau decompresiune (fig. 6.5,b). În

aceste figuri sunt reprezen-tate eforturile care acţio-nează asupra barei, iar ală-turat efortul care acţioneazăasupra nodului, egal şi desens contrar cu cel de lacapătul barei, în cele douăsituaţii: bară întinsă şi bară

comprimată. În general,materialele se comportă diferit la solicitările de tracţiune faţă de solicitărilede compresiune. Spre exemplu, o bară de aceiaşi secţiune, la tracţiunerezistă la eforturi de 3...4 ori mai mari decât la compresiune, unde există şi

pericolul de flambaj.Grinzile cu zăbrele pot fi static determinate sau static nedeterminate.

Acestea la rândul lor pot fi plane sau spaţiale. În continuare se vor studiagrinzile cu zăbrele plane, static determinate. Structura este static

determinată dacă numărul ecuaţiilor de echilibru, scrise pentru fiecarenod în parte, este egal cu numărul necunoscutelor, eforturile din bare şireacţiunile din legăturile exterioare ale grinzii cu zăbrele. Această condiţie,

pentru grinzile plane, se exprimă prin relaţia:

,r bn2 (6.3)unde: n-reprezintă numărul nodurilor; b-reprezintă numărul barelor; r-re-

prezintă numărul reacţiunilor din legăturile exterioare, acestea fiind trei,deoarece un capăt al grinzii este articulat iar celălalt rezemat.

Problema generală care se pune este aceea de a determina mărimea

a. b.

Fig. 6.5



142 MECANICĂ

şi sensul eforturilor din bare, în vederea unui calcul ulterior de dimensionaresau verificare. Această problemă se rezolvă cu ajutorul teoremelor şi

metodelor obişnuite de studiu a sistemelor de corpuri. Astfel, metodaizolării corpurilor devine, în calcul grinzilor cu zăbrele metoda izolăriinodurilor, iar metoda echilibrului părţilor devine metoda secţiunilor(Ritter). Pe lângă aceste metode analitice există însă şi metode graficede determinare a eforturilor: metoda planului Cremona şi metoda Culman.

Oricare ar fi metoda de calcul se parcurg următoarele etape:a) se verifică dacă sistemul este static determinat, cu relaţia (6.3);

b) se determină reacţiunile din legăturile exterioare, aplicând teorema

solidificării (se consideră întregul sistem ca un singur corp);c) se determină eforturile din bare, cu una din metodele prezentate încontinuare.

6.3.2. Metode analitice pentru determinareaeforturilor din bare

Determinarea eforturilor din barele unei grinzi cu zăbrele prin acestemetode constituie de fap, o aplicaţie la teoremele pentru studiul echilibruluisistemelor de corpuri.

a) Metoda izolării nodurilor. Grinda cu zăbrele este privită ca unsistem plan de puncte materiale (nodurile) legate între ele prin bare. Con-form teoremei separării corpurilor dacă întregul sistem (grindă cu zăbrele)este în echilibru atunci fiecare punct (nod) este în echilibru sub acţiuneaforţelor date şi de legătură care-i revin.

Forţele care acţionează un nod izolat formează un sistem de forţecoplanare şi concurente, deci condiţia necesară şi suficientă de echilibrua unui nod este ca rezultanta forţelor care-l acţionează să fie zero. Dinaceastă condiţie aplicată tuturor nodurilor se determină eforturile din bare.Pentru aplicarea acestei metode este necesar să se facă uneleconsideraţii:

-eforturile din bare se consideră că ies din nod şi au direcţia barelor; prin aceasta se face ipoteza că barele sunt solicitate la întindere; în

consecinţă, eforturile care se obţin din calcule cu semnul plus sunt de




întindere, iar cele care rezultă cu semnul minus sunt de compresiune;-se izolează succesiv fiecare nod începând şi apoi continuând cu

nodurile care introduc în calcul cel mult două necunoscute (două eforturidin două bare);-şi în acest caz se aplică principiul acţiunii şi reacţiunii eforturilor

cunoscute deja se vor introduce în nodurile următoare conform naturiilor, adică: dacă sunt eforturi de întindere se vor introduce ca “ieşind” dinnoduri, iar dacă sunt eforturi de compresiune se vor introduce ca “intrând”în noduri (v. fig. 6.5,b).

Aplicaţie. Se cere să se determine eforturile din barele grinzii cu

zăbrele din figura6.6, aplicând teo-rema izolării nodu-rilor. Se cunoscforţele exterioarece încarcă siste-mul şi dimensiuniegrinzii cu zăberle.

Rezolvare:Se noteazănodurile şi barelegrinzii cu zăbrele şise verifică dacă

sistemul este static determinat cu relaţia 2n=b+3, unde n=6 şi b =9. Sistemuleste static determinat.

Se calculează eforturile din legăturile exterioare: articulaţia A şi

rezemarea D, cu ecuaţiile de echilibru:,0PX;0X Ai

,0P2YY;0Y FAi (6.4)

.0aY3aP4aP;0M FAi Rezolvând sistemul, rezultă:

.3/P5Y;3/PY;PX FAA (6.5)Se izolează nodurile ca în figura 6.7, pentru fiecare nod scriindu-se

două ecuaţii scalare de echilibru. Reacţiunile exterioare fiind determinate,

Fig. 6.6



144 MECANICĂ

la ultimul nod F, ambele ecuaţii sunt de verificare.-Nodul A:

;02/2 N3/P

;02/2 N NP

2

21

-Nodul B:.0 N;0 N N 341

-Nodul C:

.02/2 N N2/2 N

;0 N2/2 N2/2 NP

532

652

-Nodul D:

.0P22/2 N N

;0 N2/2 N N

57

854

-Nodul E:

.02/2 N N;02/2 N N 9796 -Nodul F:

.03/P52/2 N;02/2 N N 998

Prin rezolvarea acestui sistem de ecuaţii rezultă cele nouă necunos-

Fig. 6.7




cute, eforturile din cele 9 bare. Rezultatele şi tipul solicitării barelor, s-autrecut în tabelul 6.1.

Metoda izolării nodurilor prezintă dezavantajul că o eventuală

greşeală, făcută pe parcursul calculului se transmite în calculele ulterioareneputând fi constatată decât la sfârşit.b) Metoda secţiunilor (Ritter), ca şi metoda izolării nodurilor, este

aplicarea teoremei echilibrului părţilor la studiul grinzilor cu zăbrele. Metodaanterioară are dezavantajul că atunci când dorim să determinăm efortulîntr-o anumită bară, suntem nevoiţi să calculăm trecând din nod în nod,eforturile într-o serie de bare, chiar când aceste eforturi nu intereseazăîn problemă.

Metoda Ritter înlătură acest dezavantaj, cu ajutorul ei putându-sedetermina efortul din bara care dorim sau din maxim trei bare secţionate.Prin secţionarea celor trei bare se obţin două părţi distincte. Fiecare

parte astfel obţinută trebuie să fie în echilibru sub acţiunea forţelor date,a reacţiunilor exterioare care-i revin şi a eforturilor din barele secţionate.Secţiunea aleasă trebuie să întâlnească cel mult trei bare de efortnecunoscut şi care să nu fie toate trei paralele sau concurente într-un

punct care nu este nod, în caz contrar grinda este incorect alcătuită. În

final, se studiază echilibrul uneia din părţi. Aplicaţie. Pentru grinda cu zăbrele, de formă dreptunghiulară,dinfigura 6.8 se cer eforturile din barele 6, 7 şi 8, cunoscând forţele exterioare

Q şi dimensiunile barelor prin cota a. Rezolvare. Sistemul de bare este static determinat deoarece verifică

ecuaţia: 2n= b+3, unde n=10 şi b=7. Se calculează reacţiunile din legăturileexterioare, considerând întregul sistem solidificat, ca un singur corp.Ecuaţiile de echilibru static sunt:

;0QX;0X K i

Tabelul 6.1

N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9Efortulîn barăValoareaefortuluiTipul solicit. comp. întind. nesolicit. comp. întind. comp. comp. comp. întind.

3

P4

3

P2

3

P2

3

P5

3

P25

3

P5

3

P20

3

P2



146 MECANICĂ

;0YQ2Q3QY;0Y K Ai (6.6)

;0aY4aQ6aQ6aQaQ;0M K Ai Rezolvând sistemul rezultă:

.Q3Y;Q3Y;QX K AK (6.7)

Se secţionează grinda cu zăbrele prin cele trei bare ale căror eforturise cer (fig.6.9,a,b). Se studiază echilibrul părţii din stânga (fig.6.9,a),deoarece asupra ei actionează un număr mic de forţe.

Ecuaţiile scalare de echilibru pentru sistemul din figura 6.12,a sunt:

;02/2 N N NQ;0X 786i ;02/2 NQY;0Y 7Ai (6.8)

.0aNaY;0M8ACi

Din care rezultă că:

.Q4 N;Q2/2 N;Q3Y N 67A8 La scrierea ecuaţiilor de echilibru pentru partea izolată se va urmări

obţinerea unor ecuaţii cât mai simple, de preferinţă cu câte o singurănecunoscută. Aceasta este posibil dacă se folosesc ecuaţii de momenteîn raport cu puncte convenabil alese, care să elimine două din cele treinecunoscute. Astfel, pentru partea izolată din figura 6.9,a condiţia deechilibru se poate exprima prin două ecuaţii de momente în raport cu

Fig. 6.8




punctele C şi F pentru aflarea eforturilor N8 şi N

6, precum şi o sumă de

proiecţii pe verticală pentru aflarea efortului N7.

Metoda izolării nodurilor corespunde specificului proiectării, undetrebuie cunoscute eforturile din toate barele în vederea dimensionării iar metoda a doua Ritter, este indicată pentru verificarea calculelor sau adimensionării anumitor bare.


1. Se dă sistemul de corpuri format din două bare cotite, articulateîntre ele (fig. 6.10,a). Cunoscând forţele şi momentele exteriore ce încarcăsistemul, să se determinereacţiunile din legăturile exterioare

şi interioare. Rezolvare: Se izoleazăcorpurile (fig. 6.10,b,c), legăturileexterioare (încastrarea plană A,rezemarea B) şi legăturainterioară (articulaţia cilindrică C)se înlocuiesc cu reacţiunilecorespunzătoare. Sistemul este

static determinat. Forţele

Fig. 6.9

Fig. 6.10,a



148 MECANICĂ

Fig. 6.10,b,c

distribuite se înlocuiesc cu rezultatele lor: Q1

= AE. q1/2 = 3. 40/2 =

60kN; Q2=BD. q

2 = 4. 20 = 80kN. Se scriu ecuaţiile scalare de echilibru

pentru fiecare corp în parte:

-pentru bara AEC (fig. 6.4,b):

;053cosFXQX;0X C1Ai

,0Y53sinFY;0Y CAi

;053cosFl53cosF3Y3Y2Q2M;0M CC1AAi

-pentru bara CDB (fig. 6.4,c):

;030cosQX;0X 2Ci

;0 N30sinQY;0Y B2Ci

.0 N430cosQ4M;0M B2Ci

Rezolvând sistemul celor şase ecuaţii cu cele şase necunoscute MA,

XA,

YA,

XC,

YC,

şi NB, reacţiunile din legături rezultă:

MA

= 369,88 kN.m; XA

= 99,55 kN; YA

= 65,51 kN; XC

= -69,28 kN;Y

C= 54,28 kN; N

B= 94,28 kN.

2. Pentru ridicarea lingourilor cu ajutorul macaralei se foloseştedispozitivul de prindere tip cleşte din figura 6.11. Cunoscând elementele

geometrice ale dispozitivului şi greutatea lingoului

G , să se afle




Fig. 6.11

coeficientul de frecare m, între cleşte şi lingou, astfel încât el să poată fitransportat. Greutatea dispozitivului se neglijează.

Rezolvare: Se izolează corpurile, se înlocuiesc legăturile interioarecu reacţiunile corespunzătoare şi se scriu ecuaţiile scalare de echilibru:-pentru nodul F (fig. 6.11,a):

;030cosS30cosS;0X 21i

;030sinS30sinSG;0Y 21i

-pentru un braţ al cleştelui (fig. 6.5,b):

;0 NX30cosS;0X 2O1i

;0TY30sinS;0Y 2O1i

;0 N15,0T1,0S6,0;0M 221O -pentru lingoul de greutate G (fig. 6.5,c):

;0 N N;0X 21i .221121i NTşi NTunde,0GTT;0Y

Rezolvând sistemul de ecuaţii rezultă:

31

2

GX;0Y;TT;2/G N N;GSS OO212121



150 MECANICĂ

Fig. 6.12

iar coeficientul de frecare de alunecare = 0,115.

3. Trei semifabricate sub forma unor bare de secţiune circulară deaceiaşi greutate G şi rază R sunt legate cu un cablu, pentru a putea firidicate cu ajutorul unui cârlig de macara. Cablul formează unghiuri de

45 cu axa verticală în punctul de prindere în cârlig. Să se determine

efortul din cablu şi reacţiunile din bare pentru poziţia de echilibru. Rezolvare. Sistemul fiind simetric se va studia numai echilibrul a

două dintre cele trei bare. Se izolează corpurile şi se scriu ecuaţiile scalarede echilibru:

-pentru bara cu centru în O1:

;060cosS45cosS60cos N N;0X 12i

;0G60sinS45sinS60sin N;0Y 1i

-pentru bara cu centrul în O2:

;060cosS60cosS60cos N60cos N;0X 31i

;060sinS2G60sin N60sin N;0Y 31i

Rezolvând sistemul celor patru ecuaţii rezultă cele patru necunoscute:

.G32

31 N;G

6

233 N N;

2

G3S 231





1. Două bare sub forma unui semicerc (fig. 6.13) sunt articulateîntre ele şi acţionate de o forţă P la distanţa 0,5 R faţă de C. Să secalculeze reacţiunile din articulaţiile A şi B.

R.4

2PR ;

4

10PR BA

2. Un cărucior de greutate P, asimilat cu un punct, se deplasează peun pod a cărei schemă este prezentată în figura 6.14. Să se determineeforturile din elementele podului, în funcţie de coordonata x, dacă unghiula = 30O.

R. Dacă x Ł l,l2

3PxSS;

l

PxS;

l

PxSS 43251

Dacă x > l,

l23)xl2(PSS;

l)xl2(PS;

l)xl2(PSS 43251

3. Asupra sistemului de corpuri din figura 6.15 acţionează forţa Q prin intermediul unui fir trecut peste rola de rază a/4, cuplul de momentM şi forţa distribuită liniar,forţa unitară maximă fiind qO

. Dacă M = 4aq şiq

O= 3Q/a să se calculeze reacţiunile X

B şi Y

Bdin articulaţia B.

R. XB

= 0.75Q; YB

=2Q.

Fig. 6.13 Fig. 6.14



152 MECANICĂ

4. O macara pentruîncărcarea furnalelor, are un

mecanism A prin intermediulcăruia se deplasează pe douărole de-a lungul unei şinemontate pe un pod rulant D.

În capătul O al unei grinzirigide verticale E (fig. 6.16),sub forma unei coloane, estemontat un mecanism de

răsturnare a încărcăturii degreutate Q. Care este greutateaP a căruciorului şi a coloaneiverticale, pentru a se puteatransporta o încărcătură Q = 15kN, situată în cuplă la distanţade 5 m faţă de axa coloanei.Greutatea căruciorului şi a

coloanei se consideră căacţionează pe axa OA iar distanţele de la axa cărucioruluila cele două role sunt de 1 m.

R. P 6 kN.

5. Culisa C articulată în capătul barei CB de lungime l se sprijină pe bara încastrată AD. Asupra barei CB acţionează o forţă distribuită

triunghiular, forţa unitară maximă fiind qO. Dacă l = 3m şi qO = 100 N/m,să se calculeze reacţiunile din A şi B (v. fig. 6.17).R. XA = 28,8 N; YA = 50 N; MA = 200 N.m;

XB = 28,8 N;

YB = 100 N.

6. Pe grinda BE sunt fixate două role de aceeaşi rază r = a/2. Asuprasistemului acţionează forţa Q prin intermediul unui fir trecut peste cele

două role. Capătul firului este fixat în F pe grinda AC încastrată în A.Grinda BE se sprijină în C pe capătul grinzii AC. Asupra acestei grinzi

Fig. 6.15

Fig. 6.16




acţionează un cuplu de forţe de moment M. Dacă momentul M = 6aQ săse calculeze reacţiunea din C şi momentul din încastrarea A (v. fig. 6.18).

R. NC = 2Q; M

A = 11 Qa.

7. Un pod provizoriu având forma din figura 6.19, este montat peroţi, ce se deplasează pe şinele A şi B. Cablul care ridică greutatea P

este fixat în punctul C situat la partea superioară a macaralei. Cablulcare ridică greutatea P = 50 kN de pe stativul situat lateral formeazăunghiul =20O cu axa verticală. Pentru a evita balansarea greutăţii, seaplică o forţă pe direcţia orizontală GH. Presupunând că componentaorizontală din cablul CP este

preluată de şina B, să sedetermine forţa S

1din grinda

orizontală CF în momentul

ridicării greutăţii de pe stativ şisă se compare această forţă S1

cu forţa S2 care acţioneazăcând a este nul. Dimensiunilesunt cele indicate în figura 6.19.

R. S1 = 104,6 kN; S

2 =

5 kN.

Fig. 6.17 Fig. 6.18

Fig. 6.19



154 MECANICĂ

8. Să se determine analitic eforturile din barele grinzii cu zăbrele dinfigura 6.20, asupra căreia acţionează forţa P = 10 kN.

R. N1 = -11,2 kN; N2 = -5 kN; N3 = 4,48 kN.

9. Se dau două grinzi cu zăbrele articulate între ele ca în figura 6.21.Să se determine reacţiunile din legăturile exterioare şi eforturile din barele1, 2 şi 3 (se formează unghiuri de 90O şi 45O). Se dă : AD = BC = EF =FG = BF = a.

R. XA=P; YA=2P/3; XG=-4P; YG=7P/3;

3/2P5S;3/2PS;3/2PS 321

10. Să se determineeforturile din elementele grinziicu zăbrele din figura 6.22 ştiindcă P = 0,1 kN, a = 15O iar

barele 2, 3, 4 şi 5 sunt egale.R. S

1

=S6

== -2P(1+sin15O) == -0,251 kN;

S3 =S4 = 2P cos15O = 0,193 kN;

kN081,015cos2P)15sin1(3PS

kN141.02PSSoo

7

52

11. Ventilul de siguranţă al unui cazan cu abur este legat prin

Fig. 6.20 Fig. 6.21

Fig. 6.22




articulaţia B de pârghia OA, careare lungimea l = 0,4 m şi greutatea

G = 20 N. Distanţa OB = a = 0,05m. În punctul C este suspendată ogreutate G = 325 N. Suprafaţaventilului este de 25 cm2. Să sedetermine distanţa OC = x pentruca ventilul să se deschidă la o

presiune, în cazan, mai mare decât p=103,3 N/cm2. Greutatea

ventilului se neglijează (v.fig.6.23).R. x = 0,39 m.

12. Determinaţi mărimea forţei Q ce apasă asupra corpului M, încazul presei din figura 6.24. Forţa P = 0,2 kN acţionează asupra pârghieiOE = 1 m, perependicular. În această poziţie a presei, tija AB este

perpendiculară pe OA =0,1 m şi împarte unghiul CBD în jumătate. Unghiul = arctg 0,2 = 11O 20'.

R. Q = 5 kN.

13. Asupra axului conductor I orizontal, al angrenajului conic din

figura 6.25, acţionează momentul M1. Să se calculeze momentul M2 ceacţionează asupra axului condus II şi reacţiunile din lagărele acestui ax A

Fig. 6.23

Fig. 6.24 Fig. 6.25



156 MECANICĂ

şi B. Razele medii ale celor două roţi conice sunt r 1 şi r

2.

Indicaţie: Forţele radială R şi normală N ce acţionează asupra

dintelui angrenajului conic, în funcţie de forţa P tangentă, se calculeazăcu următoarele formule : R = P tg cos şi N = P tg sin , unde tg = r 2/r 1 şi = 20O.

R. )cos bsinr (ar

tgMY;

ar

bMX;

r

r MM 2

1

1A

1

1A

1

212

sinr cos) ba(ar

tgM

Y;ar

) ba(MX;sintg

r

MZ

2

1

1

B

1

1B

1

1A

14. Lanţul DE al unei macaraletip graifăr este prins în D cu două bareDA = DA’ = 0,6 m. Barele suntarticulate de pârghiile ABC şi A’B’C’care se rotesc în jurul articulaţiilor Bşi B’ situate pe bara de legătură BB’.Doi saboţi fixaţi în C şi C’ ajută la

prinderea şi ridicarea greutăţii Q = 10kN, prin frecare. Distanţa dintrearticulaţiile C şi C’ la bara orizontalăde legătură este 0,5 m (v. fig. 6.26),

iar distanţa dintre punctul C şi baraAD este CM = 1 m. Distanţa DF fiind0,1 m, determinaţi forţa care apare în bara rigidă BB’, neglijând greutateamecanismului.

R. N = 60 kN.

15. O scândură de lungime 2l şi greutate G

se află în echilibru în poziţie orizontală, fiind prinsă la capete printr-un fir trecut peste douăsuprafeţe cilindrice fixe. Coeficientul de frecare dintre fir şi suprafeţele

cilindrice fiind se cere să se determine distanţa maximă x, faţă de

Fig. 6.26.




centrul de greutate C, la care se poa te aşeza o găleată de

greutate Q

, astfel încât echilibrulsistemului de corpuri să semenţină (v. fig. 6.27).

R.Q

QG

)1e(

l)1e(x

16. Care este domeniul de variaţie al forţei Q

, pentru ca sistemulde corpuri din figura 6.28 să fie în repaus. Se cunosc coieficienţii defrecare 1 şi2, coeficientul al scripetelui, unghiul planului înclinat a şi

greutatea G

.

R. G)cos(sineQGe

)cos(sin2

2/3

2/3

2 1

1

17. Pentru scripetele mobil O1

coeficientul global al pierderilor este, iar între troliul O

2 şi banda de susţinere a întregului ansamblu, coeficientul

de frecare este . Să se determine valoarea lui m pentru ca sistemul sărămână în echilibru la limită (v.fig. 6.29).

R.

)R R ()R R (

)R R ()R R (ln

1

2313

2313

Fig. 6.27

Fig.6.28 Fig. 6.29



158 MECANICĂ

18. Maşina de ridicat din figura 6.30 este dotată cu o frână cu saboţi

“permanent închisă” prin intermediul resortului care dezvoltă forţa P

.Deschiderea frânei se realizează cu ajutorul unui electromagnet E, care

dezvoltă forţa F

, fiind legat în serie cu motorul de antrenare al tobei decablu. Să se determine: a) momentul motor M care trebuie aplicat la axul

tobei de cablu pentru ca greutatea Q să urce uniform; b) valoarea minimă

a forţei P

din resort, care este necesară pentru ca greutatea Q să nucoboare pe plan ( > ); c) forţa minimă din electromagnet necesară

pentru a deschide frâna.

R.

.P24

5F )c

;rQ)cos(sinR 30

0.0625-9P b)

)Q;cosr(sinM )a2

Fig. 6.30



1597. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL

CINEMATICA

7.

CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL7.1. Noţiuni generale ale cinematicii ................................. 161

7.1.1. Traiectoria .......................................................... 1617.1.2. Viteza punctului ................................................... 1627.1.3. Acceleraţia .......................................................... 1637.1.4. Viteza şi acceleraţia unghiulară ............................ 1657.1.5. Formulele lui Poisson ........................................ 166

7.2. Studiul mişcării punctului în diferite sisteme dereferinţă .......................................................... 167



160 MECANICĂ

7.2.1. Mişcarea punctului în sistemul de coordonatecarteziene .......................................................... 167

7.2.2. Mişcarea punctului în sistemul de coordonatecilindrice şi polare ........................................... 1687.2.3. Mişcarea punctului în sistemul de coordonate

naturale (triedrul lui Frenet) ........................... 1717.2.4. Calculul razei de curbură a traiectoriei ............... 172

7.3. Mişcări particulare ale punctului material ................... 1747.3.1. Mişcarea uniformă a punctului ......................... 1747.3.2. Mişcarea uniform variată .................................. 175

7.3.3. Mişcarea circulară ............................................. 1777.3.4. Mişcarea oscilatorie armonică .......................... 1797.4 Probleme rezolvate .................................................... 180

7.5. Probleme propuse ................................................ 189




CINEMATICA

7

CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL

Cinematica este partea Mecanicii care studiază mişcarea mecanică

a corpurilor materiale, fără a lua în considerare masa acestora, forţele şimomentele ce acţionează asupra lor. Cinematica urmăreşte aspectul geo-metric al mişcării, acţionând cu parametrul timp.

Problema fundamentală a cinematicii este următoarea: cunoscândla orice moment t, poziţia sistemului material faţă de un reper ales, se cer determinate elementele cinematice ale mişcării fiecărui punct ce aparţinesistemului şi anume traiectoria, viteza şi acceleraţia.

În cele ce urmează se va analiza succesiv mişcarea punctului, a

solidului rigid şi a sistemelor de corpuri, la început în raport cu sisteme dereferinţă fixe, apoi în raport cu repere mobile.

7.1. NOŢIUNI GENERALE ALE CINEMATICII

Studiul mişcării unui punct material faţă de un sistem de referinţă, presupune stabilirea traiectoriei, vitezei şi acceleraţiei punctului.

7.1.1. Traiectoria

Reprezintă locul geometric al poziţiilor succesive pe care le ocupă punctul în timpul mişcării. În general poziţia unui punct faţă de un sistemde referinţă este definită dacă se cunoaşte variaţia în timp a vectoruluide poziţie al punctului (fig. 7.1), faţă de originea O a reperului fix:

tr r

(7.1)



162 MECANICĂ

Relaţia (7.1) numită şi ecuaţiavectorială a traiectoriei (C), indică

poziţia mobilului la orice moment.Această funcţie vectorială tr

trebuie să îndeplinească următoarelecondiţii: să fie continuă, uniformă(punctul nu poate ocupa simultan maimulte poziţii) finită în modul şiderivabilă de cel puţin două ori.Primele două derivate definesc două

mărimi fizice, viteza şi acceleraţia punctului, aşa cum se va vedea în celece urmează.Dacă traiectoria este o curbă continuă şi admite o singură tangentă

într-un punct, atunci poziţia punctului material pe traiectorie se poatedetermina utilizând un singur parametru scalar s. Această coordonată

curbilinie, reprezintă arcul de curbă măsurat de la originea arcelor A O , în

sensul mişcării. În acest caz, mişcarea punctului material poate fi definită printr-o singură ecuaţie scalară:

tss (7.2)Ecuaţia (7.2) se numeşte legea orară a mişcării.

7.1.2. Viteza punctului

Pentru caracterizarea mişcării unui punct este necesar să se introducă

un nou element şi anume viteza punctului.Se consideră un punct A (fig. 7.1) în mişcare pe traiectoria (C) şidouă poziţii ale punctului. La momentul t mobilul se află în poziţia A indicată

de vectorul de poziţie r

, iar la momentul tt mobilul se află în A1 ,

având vectorul de poziţie r r . În intervalul de timp t , mobilul a

parcurs arcul s care se poate asimila cu elementul de coardă r .

Mişcarea punctului între cele două poziţii A şi 1A este caracterizată de

viteza medie, care este egală cu raportul dintre spaţiul parcurs s şi

Fig. 7.1.




intervalul de timp corespunzător t . Dacă intervalul de timp t este

suficient de mic, arcul se asimilează cu coarda r s , iar viteza medie

poate fi interpretată ca mărime vectorială:

.t

r vm

(7.3)

Această viteză este o mărime vectorială având direcţia şi sensul

vectorului r

. Viteza medie depinde de poziţia punctelor A şi 1A de pe

traiectorie şi caracterizează mai bine mişcarea când intervalul t este

mai mic. Dacă intervalul de timp t tinde la zero, viteza medie devineviteză instantanee, trecând la limită relaţia (7.3):

.r dt

r d

t

r limv

0t

(7.4)

Deci, viteza instantanee este o mărime de vectorială ce se exprimă prin derivata în raport cu timpul a vectorului de poziţie al punctului lamomentul considerat. Această viteză caracterizează direcţia, sensul

mişcării şi spaţiul parcurs în unitatea de timp. Viteza instantanee este unvector tangent la traiectorie, la momentul considerat:

,vsds

r ds

dt

ds

ds

r d

dt

r dv

unde este versorul tangentei la traiectorie, iar s = v modulul vitezei.Întrucât în problemele de Cinematică şi Dinamică variabila independentă

este timpul t, derivata unor funcţii scalare sau vectoriale se vor reprezenta

cu ajutorul unor puncte aşezate deasupra funcţiilor care se derivează.

7.1.3. Acceleraţia

Pentru a caracteriza variaţia vitezei punctului în mişcarea sa petraiectorie, se va defini un nou element cinematic al mişcării şi anumeacceleraţia punctului. Se consideră un mobil A (fig. 7.2.) care parcurge

pe traiectoria (C) arcul 1AA

în intervalul de timp t , trecând de la viteza



164 MECANICĂ

v

în A la timpul t, la viteza vv , în

1A la momentul tt . În acest in-

terval de timp t viteza mobilului s-amodificat cu v

. Prin definiţie,

acceleraţia medie a mobilului pe arcul

1AA , este raportul dintre variaţia

vitezei şi intervalul de timp în care aavut loc această variaţie:

.t

v

am

(7.5)Acceleraţia medie caracterizează variaţia vitezei în intervalul de timp

t şi este coliniară cu vectorul v

; ea ne dă o indicaţie globală asupravariaţiei vectorului viteză.

Trecând la limită raportul (7.5), când intervalul de timp t tinde lazero, se obţine acceleraţia instantanee a punctului material:

r vdt

vd

t

v

lima 0t

(7.6)Deci. acceleraţia este o mărime vectorială egală cu derivata în raport

cu timpul a vectorului viteză sau cu derivata de ordinul doi în raport cu

timpul a vectorului de poziţie r . Ea caracterizează variaţia vitezei ca

direcţie, sens şi mărime.Observaţii : - acceleraţia este orientată întotdeauna spre interiorul

concavităţii traiectoriei; - dacă produsul scalar dintre viteză şi

acceleraţie, av , este pozitiv, mişcarea punctului este accelerată, iar dacăacest produs este negativ, mişcarea este încetinită; - viteza şi acceleraţiasunt invarianţi în raport cu schimbarea sistemului de referinţă; - vectorulacceleraţie este egal cu zero în mişcarea unui punct în care nu variazănici direcţia, nici mărimea vectorului viteză (când punctul are o mişcarerectilinie şi uniformă).

Fig. 7.2,




7.1.4. Viteza şi acceleraţia unghiulară

În unele cazuri poziţia unui punct pe o curbă poate fi precizată cu ajuto-rul unui unghi . De exemplu în mişcarea unui punct pe un cerc (fig. 7.3), poziţia punctului A este cunoscută dacă se cunoaşte unghiul = (t)

măsurat faţă de o axă fixă. Astfel, pentru adescrie mişcarea punctului A se introduc noţiunilede viteză unghiulară şi acceleraţie unghiulară.

Dacă 1AşiA sunt cele două poziţiisuccesive ale mobilului pe cercul de rază R

(fig. 7.3) atunci rezultă:- viteza unghiulară medie t/m , iar viteza unghiulară instantanee se obţine trecândla limită acest raport, când intervalul de timptinde la zero:

.dt

d

tlim

0t

(7.7)

- în mod analog se definesc acceleraţia unghiulară medie / ,t

şi acceleraţia unghiulară instantanee:

.dt

d

tlim

0t

(7.8)

Rezultă că viteza unghiulară reprezintă variaţia unghiului descris derază, în unitatea de timp, iar acceleraţia unghiulară reprezintă variaţiavitezei unghiulare în unitatea de timp. Unităţile de măsură sunt radiani pesecundă (rad/s) pentru viteza unghiulară şi radiani pe secundă la pătrat

(rad/ 2s ) pentru acceleraţia unghiulară.Ştiind că S (t) = R (t), se poate obţine relaţia între viteza punctului

v

şi viteza unghiulară

:

.R R dt

ds

ds

R d

dt

R dv

(7.9)

Relaţia (7.13) arată că derivata unui vector turnant (rotitor) în raportcu timpul este un vector perpendicular pe acel vector.

Vectorul de poziţie R faţă de polul fix O este un vector constant în

Fig. 7.3,



166 MECANICĂ

mărime şi variabil în direcţie.

Dacă se alege pentru mobilul A, un nou vector de poziţie , cu

punctul de aplicaţie în 1O situat pe o dreaptă () perpendiculară pe planul() în care are loc mişcarea circulară, relaţia (7.9) devine:

.sinR dt

dv

(7.10)

unde reprezintă unghiul dintre vectorul de poziţie şi viteza unghiulară

, orientată după axa () în sensul dat de regula şurubului drept, astfel

încât rezultatul produsului vectorial

, să corespundă cu sensul vitezei punctului A.

7.1.5. Formulele lui Poisson

Se consideră un cub (fig. 7.4) având muchiile egale cu unitatea cese roteşte cu o viteză unghiulară

în jurul diagonalei principale OD.

Acestui cub i se ataşează sistemul de referinţă cartezian cu originea înO. Vârfurile cubului notate cu A, B şiC vor avea ca vectori de poziţie tocmai

versorii axelor de coordonate .k şi j,i

În baza relaţiei (7.10), vitezeleacestor puncte, respectiv derivateleversorilor sistemului de referinţă înraport cu timpul sunt:

.k k ; j j;ii (7.11)

Relaţiile (7.11) sunt cunoscute subdenumirea de formulele lui Poisson.

Dacă cubul de muchie egală cuunitatea se roteşte în jurul axei Oz, cu

viteza unghiulară

, formulele lui Poisson devin:

.0k k ;i j j; jik ii

Fig. 7.4.




7.2. STUDIUL MIŞCĂRII PUNCTULUI ÎN DIFERITESISTEME DE REFERINŢĂ

7.2.1. Mişcarea punctului în sistemul de coordonate carteziene

Poziţia mobilului A pe traiectorie se stabileşte la orice moment prinintermediul vectorului de poziţie tr r

faţă de polul fix O. Dacă se

alege un sistem de referinţă cartezian, triortogonal, drept cu originea în O

(fig.7.5.), atunci vectorul de poziţie tr r

este definit în spaţiu de treifuncţii scalare de timp, coordonatele punctului A:

,k tz jtyitxr

(7.12)

Relaţiile (7.12) reprezintă ecuaţiavectorială a traiectoriei unde k , j,i

sunt versorii axelor fixe, constanţi în

timp, iar .tzz,tyy,txx (7.13)

reprezintă ecuaţiile parametrice aletraiectoriei.

Traiectoria punctului A se obţine prin eliminarea parametrului timp tîntre ecuaţiile parametrice; ecuaţia curbei în coordonate carteziene, rezultăsub formă implicită, ca intersecţie a două suprafeţe.

:0z,y,xf ;0z,y,xf

21

(7.14)

Viteza punctului v se determină derivând în raport cu timpul,vectorul de poziţie r

din relaţia (7.12):

,k tz jtyitxr v

(7.15)

în care z,y,x reprezintă proiecţiile vitezei punctului A pe axele sistemuluide referinţă. Deci,

.tzv;tyv;txv zyx

Acceleraţia punctului, conform relaţiei (7.6) este:

Fig. 7.5.



168 MECANICĂ

,k tz jtyitxr a

(7.16)

unde z,y,x sunt proiecţiile acceleraţiei punctului pe axele de coordonate.

Deci, .tza;tya;txa zyx

Mărimile acestora sunt:

.zyxa;zyxv 222222

(7.17)

Vectorul viteză are direcţia tangentei la traiectorie, iar vectorulacceleraţie este întotdeauna îndreptat către partea concavă a traiectoriei.

Pentru determinarea legii orare a mişcării se utilizează relaţia:

CdzdydxS 222 în care introducând notaţiile lui Newton:

dtzdz;dtydy;dtxdx rezultă:

.CdtvCdtzyxS 222 (7.18)

7.2.2. Mişcarea punctului în sistemul decoordonate cilindrice şi polare

a) În sistemul de coordonatecilindrice, poziţia mobilului petraiectorie este definită de următorii

parametrii scalari independenţi:raza polară , unghiul polar şi cotaz (fig.7.6.), aceşti parametri fiindfuncţie de timp, adică:

.tzz;t;t (7.19)

Relaţiile (7.19) reprezintăecuaţiile parametrice aletraiectoriei punctului A. Eliminând

Fig. 7.6.




parametrul variabil timpul t între ecuaţiile parametrice se obţine ecuaţiatraiectoriei sub forma implicită:

.0z,,f 0z,,f 21 (7.20)Se consideră (fig. 7.6.) un sistem de referinţă mobil O'x’y’z’, având

originea O' comună cu a sistemului fix 1O , axa O'x' suprapusă cu raza

polară de versor ,e

axa Oz suprapusă cu axa fixă 11zO de versor k

şi axa O'y ' de versor e

orientat astfel încât sistemul mobil să formeze

un reper drept, adică .1k ,e,e

Astfel, vectorul de poziţie al punctului A în sistemul mobil de

coordonate cilindrice este:.k zer

(7.21)

Viteza punctului v

se obţine prin derivarea vectorului de poziţie înraport cu timpul:

,k zeek zk zeedt

r dv

(7.22)

unde s-a ţinut seama de formulele lui Poisson (7.11):.0k k k ;eek e;eek ee

Sub forma matriceală, viteza se poate scrie astfel:

.vvvviar ,

zv

v

v

v 2

z

22

z

unde proiecţiile vitezei punctului pe cele trei axe sunt: v - viteza radială,v - viteza transversală şi zv - viteza axială.

Acceleraţia punctului se obţine prin derivarea vectorului viteză:

k zeeeee

k zeeeeedt

vda

2

deci,



170 MECANICĂ

.k ze2ea2

(7.23)

Sub formă matriceală acceleraţia se poate scrie astfel:

,aaaaiar

z

2

a

a

a

a 2

z

22

2

z

unde proiecţiile acceleraţiei punctului pe axele sistemului mobil

sunt: a - acceleraţia radială. a - acceleraţia transversală, za -

acceleraţia axială.b) Sistemul de coordonate polare, este un caz particular al

sistemului de coordonate cilindrice. Când traiectoria punctului este o curbă plană (fig. 7.7.) poziţia lui petraiectorie se poate determina cuajutorul coordonatelor polare:

.tşit (7.24)

Eliminând timpul între ecu-aţiile parametrice (7.24) rezultăecuaţia traiectoriei sub formă

implicită ,0,f , sau explici-

tă .Viteza şi acceleraţia punc-

tului rezultă din relaţiile (7.22) şi(7.23) pentru cazul particular z=0:

;eev

(7.25)

.e2ea 2

(7.26)

Fig. 7.7.





naturale (triedrul lui Frenet)Triedrul lui Frenet, utilizat în problemele în care traiectoria punctului

este cunoscută, este un sistem de referinţă mobil, cu originea în punctul Aa cărui mişcare o studiem. În figura 7.8. se consideră un punct material Aîn mişcare pe traiectoria (C).Poziţia punctului A pe traiectorie este definită

prin coordonata curbilinie: ,tss (7.27)

relaţie ce reprezintă legea ora-ră a mişcării.Acestui punct i se poate

ataşa un sistem de referinţămobil cu originea în A, avândurmătoarele axe: - tangenta latraiectorie, At, de versor

,

având sensul pozitiv, în sensul

de creştere a parametrului sca-lar s; - axa normală An, de versor

, având sensul pozitiv spre centrul de

curbură; - axa binormală, Ab, de versor

, orientat astfel încât să formezeun triedru drept.

Axele triedrului mobil a lui Frenet, determină trei plane: - planulosculator, definit de tangentă şi normală; - planul tangent, definit de tangentăşi binormală; - planul normal, definit de axa normală şi binormală.

Viteza punctului se obţine derivând vectorul de poziţie în raport cutimpul, prin intermediul coordonatei curbilinii s:

,vsdt

ds

ds

r d

dt

r dv

(7.28)

unde ,ds/r d

relaţie cunoscută din geometria diferenţială. Relaţia(7.28) arată că vectorul viteză are direcţia tangentei la traiectorie, sensulmişcării şi mărimea egală cu derivata în raport cu timpul a coordonateicurbilinii .tss

Acceleraţia punctului în coordonate naturale se determină prin

Fig. 7.8.



172 MECANICĂ

derivarea în raport cu timpul a relaţiei (7.28):

,s1

dt

ds

ds

d

dt

d dar ,ssva

relaţie stabilită în geometria analitică, în care reprezintă raza de curburăa traiectoriei în punctul considerat.

Astfel, rezultă:

.v

vs

sa22

(7.29)

Se observă că vectorul acceleraţie, este conţinut în planul osculator.

Proiecţiile acceleraţiei pe axele triedrului lui Frenet sunt:

.v

vaiar ,

0

ss

0

vv

a

a

a

a2

42

22

(7.30)

Componenta ,vsa

a acceleraţiei se numeşte acceleraţie

tangenţială şi poate fi pozitivă sau negativă. Această componentă a

acceleraţiei apare datorită variaţiei mărimii vitezei.Componenta ,/v/sa 22

se numeşte acceleraţie

normală şi este întotdeauna pozitivă, adică îndreptată către centrul decurbură al traiectoriei. Acceleraţia tangenţială este o consecinţă a variaţieidirecţiei vectorului viteză. În consecinţă, în orice mişcare curbilinie,acceleraţia normală este diferită de zero. Singura mişcare în careacceleraţia este nulă este mişcarea rectilinie şi uniformă.

Dacă viteza este constantă, acceleraţia tangenţială este nulă, iar

mişcarea se numeşte uniformă. Dacă, ,0av mişcarea este uniform

accelerată, iar dacă ,0av

mişcarea este uniform încetinită.

7.2.4. Calculul razei de curbură a traiectoriei

Expresia (7.29) a acceleraţiei în triedrul lui Frenet permite deter-minarea razei de curbură a traiectoriei în funcţie de elementelecinematice ale mişcării: viteza v şi acceleraţia a :




Dacă: .va

vrezultă,

vva

22

2

2

422

(7.31)

O altă metodă vectorială de explicitare a razei de curbură, se obţinefăcând produsul vectorial dintre aşiv

:

.av

v deci,

v

0v

v

00vav33

2

(7.32)

Relaţia (7.32) permite să aflăm raza de curbură a traiectoriei atunci

când se cunosc expresiile analitice ale vitezei v

şi acceleraţiei a

încoordonate carteziene şi anume:

.yxxyxzzxyzzy

zyx2/1222

2/3222

(7.33)

În cazul când traiectoria este plană

0zz şi se cunosc ecuaţiile parametrice ale traiectoriei x = x (t) şi y = y (t), raza de curbură este:

.

xyyx

yx2/322

(7.34)

Dacă ecuaţia traiectoriei plane este dată sub formă explicită y =y(x), în coordonate carteziene, se înlocuiesc derivatele în raport cu timpul

yşiy în expresia (7.34):

,xyxyy;xydtdx

dxdy

dtdyy 2

Deci:

.

y

y1

xxyxxyxy

xyx2/32

3

2/3222

(7.35)



174 MECANICĂ

7.3. MIŞCĂRI PARTICULARE ALEPUNCTULUI MATERIAL

7.3.1. Mişcarea uniformă a punctului

Mişcarea uniformă este mişcarea în decursul căreia modulul vitezeirămâne constant:

ttanconsvv O (7.36)

Traiectoria mişcării uniforme a punctului poate fi rectilinie saucurbilinie.În figura 7.9. s-areprezentat o traiectorie curbilinie amobilului A. S-a notat cu O originea

spaţiului iar cu OA originea timpului.

În cazul mişcării uniforme, pe otraiectorie curbilinie, acceleraţiatangenţială a mobilului este nulă:

0dt

dva (7.37)

iar acceleraţia normală este diferită de zero.

Ecuaţia orară a mişcării se obţine prin integrarea ecuaţiei ,dtvds Orezultând:

.tvsssaudtvds OO

t

0

O

s

sO

(7.38)

Dacă mobilul trece prin origine timpului OA , înainte de începereacronometrării lui, cu 1t secunde, legea orară este: 1OO ttvss , iar dacă mobilul trece prin originea timpului OA , după 2t secunde de la în-ceperea cronometrării timpului, legea orară are forma: 2OO ttvss .

Diagramele mişcării ilustrează variaţia în timp a legilor de mişcare(7.39), (7.40) şi (7.41), adică reprezentarea grafică a ecuaţiilor de mişcare.În figura 7.10. s-au reprezentat grafic legile mişcării uniforme a punctului.

Se observă că diagrama spaţiului este o dreaptă de pantă ,vtgm O

Fig. 7.9,




diagrama vitezei este o dreaptă paralelăcu axa timpului, iar diagrama acceleraţiei

tangenţiale este reprezentată chiar de axaabsciselor.

7.3.2. Mişcarea uniform variată

Mişcarea uniform variată a punctuluieste mişcarea în care modulul vitezei

variază liniar cu timpul. Din definiţia acestei mişcări rezultă că acceleraţiatangenţială a punctului rămâne constantă în timpul mişcării:

.ttanconsdt

dva (7.39)

Relaţia (7.39) reprezintălegea acceleraţiei tangenţiale a

punctului în mişcare uniformvariată pe traiectorie curbilinie.

Dacă traiectoria este rectilinieacceleraţia tangenţială devineacceleraţie fără indice. În figura

7.11. s-a reprezentat un punct A în mişcare uniform variată pe o traiectoriecurbilinie. Dacă O reprezintă originea spaţiului şi OA originea timpului,condiţiile iniţiale ale mişcării sunt: la t = 0, .vvşiss OO

Prin integrarea ecuaţiei (7.39) rezultă legea vitezei punctului:

.tavvsaudtadv O

t

0

v

vO

(7.40)

Ştiind că v = ds/dt, prin integrare rezultă legea orară a mişcării saulegea spaţiului:

,dttavvdtds O

t

0

s

sO

deci:

.2

tatvss

2

OO (7.41)

Fig. 7.11.

Fig. 7.10.



176 MECANICĂ

Mişcarea uniform variată poate fi uniform accelerată când 0av

şi uniform încetinită când 0av

. Astfel, pentru mişcarea uniform

accelerată, când acceleraţia are acelaşi sens cu viteza punctului legile demişcare scrise grupat sunt:

.2

tatvss;tavv;0.cta

2

OOO (7.42)

În cazul mişcării uniform încetinite (întârziată), când cei doi vectori

aşiv

au sensuri diferite, legile de mişcare sunt:

.2

t

atvss;tavv;0.cta

2

OOO (7.43)În figura 7.12. sunt trasate (diagra-

mele mişcării) curbele de variaţie alespaţiului, vitezei şi acceleraţiei în funcţiede timp, în cazul mişcării uniform ac-celerate. Diagrama spaţiului este o

parabolă în care, tangenta într-un punctreprezintă mărimea vitezei în acel

moment.Uneori în aplicaţii este utilăfolosirea relaţiei lui Galilei. Ea se obţine

prin eliminarea timpului între legeavitezei (7.40) şi legea spaţiului (7.54):

.ssa2vv O2O

2 (7.44)

Diagramele mişcării au aplicaţiiutile în rezolvarea problemelor privind

locul şi timpul de întâlnire al mobilelor ce se mişcă pe aceiaşi traiectorie sau pe traiectorii paralele (cazul trenurilor şi al autovehiculelor).

Fig. 7.12.




7.3.3. Mişcarea circulară

Mişcarea circulară este mişcarea punctului având ca traiectorie uncerc. Mişcarea punctului pe cerc poate fi studiată în oricare din sistemelede referinţă prezentate în paragrafele precedente. În cele ce urmeazămişcarea circulară va fi studiată în coordonate naturale.

Poziţia la un moment dat a punctului A petraiectoria circulară de rază R (fig.7.13) poatefi stabilită cu ajutorul parametrului geometric

variabil, unghiul măsurat între raza poziţieiiniţiale AO şi cea a poziţiei cerute A. Legea de

mişcare este deci: .t

Spaţiul S parcurs de mobilul A faţă de

originea OA se poate exprima în funcţie de

spaţiul unghiular t astfel: .tR tss (7.45)

Relaţia (7.45) reprezintă ecuaţia orară a mişcării circulare.Utilizând expresiile vitezei (7.28) şi acceleraţiei (7.29) în sistemul de

coordonate naturale sau intrinseci rezultă:

,R a;R R s

sa

;R v;R sv

4222

(7.46)

unde este viteza unghiulară a razei care urmăreşte mobilul înmişcarea lui pe cerc; - acceleraţia unghiulară; r = R - raza cercului.Cu aceste notaţii expresiile vitezei şi componentele acceleraţiei sunt:

.R a;R a;R a;R v 432

(7.47)

Direcţia acceleraţiei totale a

faţă de axa normală, ce trece princentrul cercului, se determină cu relaţia:

.a

atg 2

(7.48)

Fig. 7.13.



178 MECANICĂ

În cazul particular al mişcării circulare uniforme avem:

.tşi.ct,0 (7.49)

În aceste condiţii, componenta tangenţială a acceleraţiei este nulă,0R a iar acceleraţia punctului va avea direcţia razei şi sensul

îndreptat spre centrul cercului:

.R R

vaa 2

2

(7.50)

În mişcarea circulară uniformă, viteza unghiulară poate fi calculatăşi în funcţie de numărul n de rotaţii complete efectuate de punct într-unminut (turaţia), cu ajutorul relaţiei:

.30

n

60

n2

(7.51)

Derivând de două ori în raport cu timpul, s =s(t), spaţiul parcurs de punctul A pe cercul de rază R, rezultă relaţiile între mărimile cinematiceliniare şi cele unghiulare, astfel:

,R as;R vs;R s

sau

.R avs

(7.52)

Relaţiile (7.52) exprimă faptul că mărimile cinematice liniare sunt proporţionale cu cele unghiulare, factor de proporţionalitate fiind razacercului R.

Legile mişcarii circulare în elemente cinematice unghiulare, seobţin cunoscând corespondenţa între elementele cinematice liniare şi celeunghiulare (relaţiile 7.69):

- mişcarea circulară uniformă:;t.;ct;0 OOO (7.53)

- mişcarea circulară uniform accelerată :0

;2

tt;t;0.ct

2

OOOOOO (7.54)

- mişcarea circulară uniform încetinită :0

;2

tt;t;0.ct

2

OOOOOO (7.55)




Relaţia lui Galilei în elemente unghiulare, obţinută prin eliminareatimpului între legea spaţiului unghiular şi a vitezei unghiulare, este:

.2 O2O

2

(7.56)

7.3.4. Mişcarea oscilatorie armonică

Mişcarea oscilatorie armonică este cea mai simplă mişcare periodică.Mişcarea periodică este mişcarea limitată spaţial, la care toate elementelecinematice ale mişcării (poziţie, viteză, acceleraţie) se repetă după acelaşi

interval minim de timp, T, numit perioadă. O asemenea mişcare se exprimă printr-o funcţie periodică de timp, de forma:

,Ttqtq (7.57)

unde q reprezintă un parametru geometric, distanţă sau unghi, ce defineşte poziţia mobilului.

Parametrul geometric ce defineşte poziţia mobilului în cazul mişcăriioscilatorii armonice, poate fi exprimat printr-un polinom de gradul întâi în

sinusul sau/şi cosinusul unei funcţii liniare de timp.Cele mai utilizate funcţii periodice (legi de mişcare) pentru a descriemişcarea oscilatorie sunt:

.tcosay;tsinax (7.58)În aceste relaţii apar următoarele mărimi caracteristice:

x, y - poartă numele de elongaţie şi reprezintă distanţa la un momentdat dintre mobilul respectiv şi centrul de oscilaţie;

a - este amplitudinea mişcării şi reprezintă valoarea maximă a

elongaţiei; - pulsaţia sau frecvenţa circulară şi reprezintă numărul de oscilaţiiefectuate în 2 unităţi de timp;

( t + ) - unghiul de fază sau faza, precizează poziţia mobilului latimpul t;

- faza iniţială, este faza la momentul t = 0.Ştiind că funcţiile sinus şi cosinus sunt periodice din 2 în 2, şi au

acelaşi interval minim de timp T, numit perioadă, se obţine legătura între

pulsaţie, perioadă şi frecvenţă:



180 MECANICĂ

,f 2T

2

(7.59)

unde f = 1/T este frecvenţa şi reprezintă numărul de oscilaţii efectuateîn unitatea de timp.Considerând legea de mişcare x = a sin ( t + ), prin derivare în

raport cu timpul se obţin legile vitezei şi acceleraţiei:

.tsinax;tcosax 2 (7.60)Reprezentatre grafică a acestor trei funcţii de variabilă independentă

t este redată în figura 7.14.


1. Mişcarea în spaţiu a unui punct material este definită de vectorul

de poziţie k ptm j ptmi ptmr 32

322

212

1

unde t este

timpul iar 321321 p, p, p,m,m,m constante numerice. Să se determine:

traiectoria punctului, viteza şi hodograful vitezei, acceleraţia şi hodografulacceleraţiei precum şi legea orară a mişcării.

Rezolvare. - Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sunt:

Fig. 7.14.




. ptmz; ptmy; ptmx 32

322

212

1 Eliminând timpul între aceste ecuaţii, rezultă traiectoria:

3

3

2

2

1

1

m

pz

m

py

m

px

Traiectoria este o dreaptă ce trece prin punctul 321 p, p, pP de vector

de poziţie: k p j pi pr 321 p

şi este coliniară cu vectorul:

.k m jmimm 321

.

- Proiecţiile vitezei punctului sunt: tm2z,tm2y,tm2x 321 deci:

tm2k tm2 jtm2itm2v 321

şi mărimea mt2v .

Hodograful mişcării este: ,m2

z

m2

y

m2

x

321

o dreaptă ce trece

prin originea sistemului zyxO şi este coliniară cu vectorul m

.

- Proiecţiile acceleraţiei mobilului sunt: ,m2z;m2y;m2x 321 deci:

m2k m2 jm2im2a 321

şi mărimea .constm2a

Hodograful acceleraţiei este un punct definit de vectorul de poziţie

,m2r

în sistemul zyxO .

- Legea orară a mişcării este: OO sdtmt2sdtvs

,smt2 O2

unde m este valoarea numerică a vectorului m

.

2. Bara AB se roteşte cu viteză unghiulară constantă O în jurul

articulaţiei O (fig. 7.15).În timpul mişcării barei, punctul C situat la distanţa a faţă de capătul

A, descrie cercul de rază R. Bara alunecă în timpul mişcării în manşonul(1). Să se determine în coordonate polare: a) Ecuaţia traiectoriei punctuluiA (curba “melcul lui Pascal”); b) componentele vitezei şi acceleraţiei

punctului A.



182 MECANICĂ

Rezolvare.

a) Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei punctului A (r, q) sunt:

;tO ;atcosR 2CAOCOA O Ecuaţia traiectoriei sub formă

explicită este:

.acosR 2 b) Componentele vitezei

punctului sunt:

;tsinR 2v OO

.atcosR 2v OO

Componentele acceleraţiei punctului sunt:

;atcosR 4

atcosR 2tcosR 2a

O2O

2OOO

2O

2

.tsinR 42a O

2

O

3. Un punct A se deplasează pe parabola de ecuaţie ,5x3y 2

hodograful mişcării în raport cu punctul O fiind parabola .x3y 2 La

momentul t = 0, mobilul se află în punctul OA (1, 8). Să se determine: a)

viteza mobilului; b) componentele acceleraţiei, normală şi tangenţială în A.

Rezolvare: a) Se derivează ecuaţia traiectoriei ,5x3y2

în raportcu timpul, rezultând:

,dt

dx3

dt

dydar ,

dt

dxx6

dt

dy2

prin eliminarea derivatei ,dt

dy între

cele două relaţii se obţine:

.0x6dt

dx3

dt

dx

dt

dxx6

dt

dx3

2

Fig. 7.15




Sunt posibile două cazuri:

,0dt

dx

. în acest caz: x=ct. şi y=ct.;

.dt2x

dx saux2

dt

dx adicã.0

dt

dx.

Integrând ecuaţia de mai sus rezultă:

5e3yşiexmdeci,lnt2xln t42t2 unde a este constantă de integrare.

Din condiţia 8,1A,0t O rezultă a = 1.Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sunt:

,5e3y;ex t4t2 mişcarea punctului A se efectuează după o lege exponenţială.

Derivând relaţiile (8.45) rezultă componentele vitezei şi viteza v :

. je12ie2viar e12yv;e2xv t4t2t4y

t2x

b) Componentele acceleraţiei rezultă derivând relaţiile :. je48ie4aiar e48ya;e4xa t4t2t4

yt2

x

Modulul vitezei şi acceleraţiei sunt:

.e48e16a,e144e4v t82t4t8t4 Componenta tangenţială a acceleraţiei:

.e 361

e 1081e4

dt

dva 2/1t4

t4t2

Componenta normală a acceleraţiei:

.

e361

e1081e16e48e16aaa

t4

2t4t42t82t422

4. Un mobil având viteza vO constantă pătrunde într-un mediu

rezistent în care este supus unei acceleraţii ,kva 2 unde k este o



184 MECANICĂ

constantă iar v este viteza instantanee. Săse determine: a) legea vitezei mobilului v (t)

dacă la t = 0, Ovv b) legea spaţiului x(t),luând ca origine a timpului şi a spaţiuluimomentul în care mobilul pătrunde în mediu;c) viteza mobilului în funcţie de spaţiul x

parcurs, v (x) (fig. 7.16).

Rezolvare. a) Dacă 2kva rezultă

ecuaţia: ,kdtv

dv2 iar prin integrare

rezultă: .Cktv

1 Pentru Ovv,0t iar

,v

1C

O

deci ,v

1kt

v

1

O

.tkv1

vtv

O

O

b) Ecuaţia de mişcare se obţine din legea vitezei:

,tkv1

v

dt

dx

O

O

notăm .dtkvdz,tkv1z OO

Deci, ,

z

dz

k

1dx care prin integrare rezultă:

.1C:obţbţise,0x,0t pentru,Clnk

1zln

k

1tx

În final:

.tkv1lnk

1tx O

c) Legea v = v (x) se poate obţine direct prin eliminarea timpului

între relaţiile :

Fig. 7.16




,ev

v sau

v

vln

k

1x kxOO în final .evv kx

O

5. Pe o traiectorie oarecare AB se mişcă două puncte materiale

.MşiM 21 Punctul 1M trece prin A spre B, uniform cu 1v = 60 m/s iar

2M trece prin B cu 5 secunde mai târziu

spre A, uniform accelerat având 2v =

140 m/s şi .s/m20a 2 Lungimeatraiectoriei fiind AB = 3300 m, să sedetermine analitic şi grafic timpul şi loculîntâlnirii.

Rezolvare. Se alege origineaspaţiului în A, iar sensul pozitiv de la Aspre B şi originea timpului momentul când

M2 trece prin B. Legile orare ale mişcării

în aceste condiţii sunt:

.3300t140t202

1sM;5t60sM 2

2211

Punând condiţia ca ,ss 21 rezultă: 0300t20t 2 de unde

.sec10t 2,1 şi .m900s 2,1 Pentru trasarea prin puncte a legii spaţiului

s2 se folosesc valorile din tabelul alăturat:

Cele două legi de

mişcare tsşits 21 s-au

reprezentat în figura 7.17.

Observaţie. Dacă se alege originea timpului în momentul când 1M

trece prin A, legile de mişcare sunt:

;t60M 11

t 0 5 10 12

S 3300 2350 500 0

Fig. 7.17



186 MECANICĂ

.3305t1405t202

1sM 2

22

Din condiţia s s1 2 rezultă ,0375t10t 2 de unde .sec15t 2,1

şi .m900s 2,1

6. Un punct material se deplasează pe un cerc de rază R = 4m cu

acceleraţia tangenţială 2s/m3a având la timpul t = 1s acceleraţia

totală .s/m5a 2 Să se determine:

a) acceleraţia normalăa la t = 1s; b) viteza iniţială ;vO c) viteza la

timpul t = 1s; c) spaţiul parcurs în timp de 5s; e) numărul total de rotaţiirealizat în 10s.

Rezolvare. a) Acceleraţia normală: .16925aaa 222 Deci

.s/m4a 2 b) Viteza iniţială se determină ştiind valoarea acceleraţieinormale:

.s/m1v

4

v134Deci;

R

vta

R

va O

2

O

2

O2

c) Viteza la timpul t = 1s. Legile de mişcare ale punctului sunt:- în elemente liniare:- în elemente unghiulare:

22 s/rad

4

3

R

as/m3a

4

1t

4

3t31v

t4

1

8

t3

2

t3tS

22

la .s/m4131v,s1t

d) Spaţiul parcurs în timp de 5 sec; m5.4222535S .




e) Numărul total de rotaţii efectuat în timp de 10 secunde;

.rot38,314,38

85

104

1

108

3

2

1

2 N

2

7. Paletele unei turbine aflate iniţial în repaus sunt acţionate de uncurent de aer care le imprimă o mişcare uniform accelerată. După 4 sec.de la începutul mişcării paletele au o turaţie n = 5 rot/sec. Se cere: a)viteza şi acceleraţia unui punct de pe paletă situat la 0,2 m faţă de axă,după trei secunde de la pornire; b) numărul total N de rotaţii efectuat de

paletă după 4 secunde de la pornire. Rezolvare. a) Legile de mişcare ale paletei în elemente unghiulare

sunt: ;0.ct .2

t;t

2

On2,s4tLa 52

.sec/rad10 Acceleraţia unghiulară .s/rad85,74

10

t2

;s/m71,42,0385,7R tR v,s3La acceleraţia normală

222

s/m92,1102,0

71,4

R

va

iar acceleraţia tangenţială

2s/m57,12,085,7R a

Deci acceleraţia totală va fi: .s/m93,110aaa 222

b) Numărul total de rotaţii efectuat în 4 secunde: Ştiind că N2

rezultă rot1014,34

485,7

4

t

2 N

22

8. Un punct material M se mişcă pe o traiectorie oarecare după

legea spaţiului .mt314cos32t314sin25s Să se calculeze: a)

frecvenţa şi perioada; b) amplitudinea şi defazajul; c) viteza şi acceleraţia

tangenţială maximă.



188 MECANICĂ

Rezolvare. a) Cele două funcţii trigonometrice sunt la puterea întâiaşi au acelaşi argument. Mişcarea este oscilatorie armonică. Legea spaţiului

se restrânge sub forma:,t314cos3t314sin25s înlocuind ,tg3 rezultă:

,t314sin45t314coscos

sint314sin25s

unde .3

Deci frecvenţa este .,Hz50

2

314

2f

perioada

fiind .s02,050

1

f

1T

b) Amplitudinea este A = 4 m, şi defazajul .3

c) Viteza şi acceleraţia tangenţială maximă:

;s/m400v,3t314cos4314vs max

.s/m104a,3

t314sin4314as 242

max

9. În figura 7.18 este reprezentat mecanismul bielă manivelă utilizatla presele de forjat.

Se cunoaşte lungimea manivelei OA = a, lungimea bielei AB = b şiviteza unghiulară a manivelei w = ct. Să se determine expresiile vitezei şiacceleraţiei punctului B, în funcţie de unghiul a şi l = a/b.

Rezolvare. Mişcarea punctului B este oscilatorie şi rectilinie. Luândca punct de referinţă articulaţia O, legea orară a mişcării este:

,sin1 bcosacos bcosaBAAOy 22B

deoarece

.sin1cossin bsina 22




Pentru o formulă aproximativă, se ştie că:

422

sin24

1

sin2

1

1sin1 este o serie convergentă pentru .1sin 2

Pentru raportul l = 1/5 mai des utilizat şi valoareamaximă sin a = 1, rezultă:

,0002,002,0125

11 ceea ce ne arată

că seria este rapid convergentă şi deci pentru aplicaţii practice putem să ne limităm la primii doi termeni şi înacest fel rezultă formula aproximativă pentru legeaorară:

,sin2

11 bcosay 22

B

unde .t

Legea vitezei punctului B:

.2sin2

sinayv BB

Legea acceleraţiei punctului B:

.2coscosaya 2BB


1. Un punct material plecând din origine, se mişcă pe parabola de

ecuaţie6

xy

2

cu viteza constantă v = 5 m/s. Să se determine acceleraţia

punctului în momentul când abscisa este x = 4 m.

R . 2s/m8,1aa

2. Ecuaţia vectorială a traiectoriei unui punct material este

Fig. 7.18



190 MECANICĂ

)m(k t3 jtsin4itcos4r . Să se determine viteza, acceleraţia şi

raza de curbură a traiectoriei mobilului.

R . v = 5 m/s; a = 4 m /s2; r = 6,25 m.

3. Pe un cerc de rază R = 0,1 m se deplasează un punct după legeaS = 4 t + 2 t2 (cm). Să se calculeze mărimea vitezei şi acceleraţiei latimpul t = 4 s.

R . v = 0,2 m/s; 2s/m4.010104.0a .

4. Un motor electric porneşte din repaus în mişcare uniformaccelerată şi în 10 s ajunge la turaţia de regim n

O = 300 rot/min. Cunoscând

că rotorul acestui motor are diametrul D = 0,2 m, să se afle: a) viteza şiacceleraţia unui punct M de pe periferia rotorului la 4 s de la pornire

precum şi în mişcare de regim; b) câte rotaţii a efectuat rotorul în cele 10s cât a durat perioada de demarare a motorului.

R . a) v = 1,256 m/s; a = 1,96 m/s2; v = 3,14 m/s; a = 98,5 m/s2; b) N = 25 rotaţii.

5. Un punct material se mişcă pe o traiectorie plană de ecuaţie y = b x2, unde b = const. >0, cu o viteză constantă de mărime v

O. Determinaţi

valoarea maximă a acceleraţiei punctului şi figuraţi pe traiectoria luivectorul acceleraţie maximă.

R . 2Omin

2maxmax bv2/vaa

6. Un patinator aleargă cu o viteză constantă în jurul unui stadion parcurgând lungimea L = 1000 m într-un minut şi 15 secunde. Considerândcă traiectoria pe care se deplasează patinatorul este o curbă plană, ce secompune din două porţiuni drepte şi două porţiuni curbe de rază R = 30m, determinaţi valorile maximă şi minimă a acceleraţiei patinatorului.

R . amin= 0; a

max= 5,92 m/s2.

7. Mişcarea unui punct în plan este descrisă de ecuaţiile x = at cos

t, y =at sin t, unde a = const. > 0, =const. > 0. Determinaţi: a) razade curbură a traiectoriei la timpul t = 0 şi la t Ą; b) traiectoria punctului




în coordonate polare; c) proiecţiile vitezei şi acceleraţiei punctului încoordonate polare.

R. a)

2a)0( ; ;b)

ar , spirala lui Arhimede;

c) v p= ; tav ; taa 2

p ; a2a

8. Un punct se mişcă după următoarele legi x = a ch(k t), y = b sh(k t), unde a, b şi k sunt constante pozitive. Determinaţi traiectoria, viteza şiacceleraţia punctului în funcţie de x şi y.

R . 2222424

2

2

2

2

yxk a;yax bab

k v;1

b

y

a

x

9. Bara AD, având în punctele B şi C articulate două manşoane, sedeplasează în plan vertical. Cele două manşoane se deplasează de-alungul celor două axe

perpendiculare (fig. 7.19 ). Bara

AD formează unghiul a cu axaOx. Acest unghi variază dupălegea a = t , unde w = const.> 0. Să se determine:

a) traiectoria punctuluiA şi raza de curbură a acesteitraiectorii la momentul t = 0 şi t= p/(2 w) dacă AB = BC = l;

b) hodograful vitezei şiacceleraţiei punctului A.

R . a)

l4

2;ly

4

x 222

b) .ly4

x;ly

4

x 422..2

..

222.2

.

Fig. 7.19



192 MECANICĂ

10. Mişcarea unui punct în plan, în intervalul de timp

2t0 ,

este dată de ecuaţia tsec bx şi ttg by , unde b = const. > 0, = const. > 0. Determinaţi: a) ecuaţia traiectoriei punctului; b) componentelescalare ale vitezei şi acceleraţiei punctului în coordonate naturale şi polarela momentul t = 0.

R . a) x2 - y2 = b2; b) v (0) = b ; a(0) = 0, a(0) = b 2; v(0) = 0; v(0) = b ;a(0) = b 2; a(0) = 0.

11. Pe bara OA ce se roteşte în jurul articulaţiei O, se mişcă (fig.7.20) culisorul M prin intermediul unui fir inextensibil 2 trecut pestescripetele A. Capătul opus al firului este fixat în B şi se înfăşoară pediscul 1 de rază R, arcul 3 fiind permanent întins. La momentul iniţial (t =0) bara OA se află în poziţie orizontală, iar culisorul M se suprapune cu

punctul C de pe discul 1. Determinaţi: a) ecuaţiile parametrice ale

traiectoriei punctului M, în coordonate carteziene; b) viteza, acceleraţiatangenţială şi acceleraţia normală ca funcţii ale unghiului ; c) raza polarăla momentul iniţial t = 0, dacă unghiul = t, unde = const.

R . a) x = R ( 1 + t ) cos t ; y = R ( 1+ t ) sin t ,traiectoria este spirala lui Arhimede ;

b)

2

22

2

2

2

)1(1

])1(2[R )(a

)1(1)1(R )(a

)1(1R )(v

c)

3R 22)0( .

12. Punctul A situat pe pala elicei unui avion (fig. 7.21) are la un

moment dat acceleraţia a şi formează unghiul a cu raza OA = R.




Determinaţi viteza punctului A şi unghiul j la un moment dat, în funcţie deacceleraţia a şi timpul t. Se consideră ca la momentul iniţial = 0 iar elicea se roteşte uniform accelerat.

R . vA = a ( sin ) t; = a ( sin ) t2/2 R.

13. Un schior (punctul M) sare dela o trambulină montată pe vârful unuideal. În momentul când părăseşte

trambulina schiorul are viteza ov , iar porţiunea de lansare O1O formeazăunghiul cu orizontala iar OA = h. Pantade aterizare AB formează unghiul cuorizontala. Să se determine înălţimea Hmaximă atinsă de schior şi distanţa L lacare aterizează (fig. 7.22).

R .

]cosv

gh2

)tgtg()tgtg[(g

cosv

L

;hg2

sinvH

22o

222

o

22o

Fig. 7.22

Fig. 7.20 Fig. 7.21



194 MECANICĂ

14. Dintr-un avion care zboară în linie dreaptă (fig. 7.23), cu viteza

constantă ov la înălţimea H, se

lansează un pachet (punctul M) carese mişcă pe verticală cu acceleraţia

g . Să se determine: a) traiectoria punctului M în sistemul de coordonateOxy; b) distanţa l, la care cade

pachetul lansat din avion; c) mărimeavitezei punctului în momentul căderii

pe sol şi unghiul pe care îl formeazăaceastă viteză cu verticala A.

R .

a)2

2o

xv2

gy ; b)

g

H2vI o ; c)

2gH

varctg ;gH2vv o2

o

15. Bara AB de lungime l, cade,aflându-se tot timpul mişcării într-un

plan vertical. Capetele A şi B sedeplasează de-a lungul axelor fixe Oxşi Oy (fig. 7.24).

Să se determine traiectoria punctelor C şi D (dacă AC = l/2, AD= 3l/4) şi de asemenea raza de curburăa traiectoriei punctului D în momentulcăderii barei pe axa Ox precum şi

viteza şi acceleraţia punctului D.R.

;12

l

2;l

4

9y9x;

4

lyx 22

D2D

22C

2C

pentru determinarea vitezei şi acceleraţiei se utilizează relaţia:

......

2.

2.

xyyx

)yx(

23

=

Fig. 7.23

Fig. 7.24



1958. CINEMATICA SOLIDULUI R IGID

8.

CINEMATICA SOLIDULUI RIGID

8.1. Mişcarea generală a rigidului .................................... 1978.1.1. Viteza unghiulară instantanee a rigidului ............. 1978.1.2. Distribuţia vitezelor ........................................... 1998.1.3. Distribuţia acceleraţiilor .................................... 200

8.2. Mişcarea de translaţie ................................................ 2028.2.1. Definiţie, exemple, grade de libertate ................ 2028.2.2. Distribuţia vitezelor ............................................ 2038.2.3. Distribuţia acceleraţiilor ...................................... 203

8.3. Mişcarea de rotaţie cu axă fixă ................................... 2038.3.1. Definiţie, exemple, grade de libertate ................ 204

8.3.2. Distribuţia vitezelor .......................................... 2058.3.3. Distribuţia acceleraţiilor ..................................... 206



196 MECANICĂ

8.4. Mişcarea elicoidală ..................................................... 2078.4.1. Definiţie, exemple, grade de libertate ................ 207

8.4.2. Distribuţia vitezelor ............................................ 2088.4.3. Distribuţia acceleraţiilor ...................................... 2098.4.4. Mişcarea de şurub ............................................. 210

8.5. Mişcarea plan paralelă ................................................. 2118.5.1. Definiţie, exemple, grade de libertate ................ 2118.5.2. Distribuţia vitezelor ............................................ 2138.5.3. Centrul instantaneu de rotaţie. Baza şi

rostogolitoarea ................................................ 214

8.5.4. Distribuţia acceleraţiilor .................................... 2178.5.5. Polul acceleraţiilor ............................................. 2188.6. Mişcarea cu punct fix ................................................... 220

8.6.1. Definiţie, exemple, grade de libertate ................ 2208.6.2. Distribuţia vitezelor ............................................. 2218.6.3. Distribuţia acceleraţiilor ..................................... 223

8.7. Probleme rezolvate ..................................................... 2248.8 Probleme propuse ......................................................... 234




8CINEMATICA SOLIDULUI RIGID

8.1. MIŞCAREA GENERALĂ A RIGIDULUI

Mişcarea unui rigid în raport cu un sistem de referinţă fix, este

cunoscută dacă se poate preciza la orice moment poziţia rigidului, vitezaşi acceleraţia oricărui punct al rigidului, faţă de sistemul considerat.

Poziţia în spaţiu a rigidului poate fi stabilită cu ajutorul coordonatelor a trei puncte necoliniare ,z,y,xA 111 222 z,y,xB şi .z,y,xC 333 Întreaceste nouă coordonate pot fi scrise însă trei relaţii care exprimă faptulcă distanţele dintre puncte sunt invariabile, corpul fiind solid rigid(nedeformabil). Deci, din cei nouă parametrii geometrici numai şase potfi consideraţi independenţi, iar rigidul se spune că are şase grade de

libertate. Gradele de libertate sunt date de parametrii geometriciindependenţi (distanţe sau unghiuri) care precizează poziţia rigidului la unmoment dat.

8.1.1. Viteza unghiulară instantanee a rigidului

Studiul cel mai comod al mişcării unui rigid în raport cu un sistem de

referinţă fix se face studiind mişcarea unui sistem de referinţă mobil,solidar cu rigidul în mişcare, faţă de sistemul de referinţă fix. Cunoscând

poziţia sistemului de referinţă mobil faţă de cel fix, înseamnă că secunoaşte însăşi poziţia rigidului faţă de sistemul fix.

Cele două sisteme de referinţă utilizate în studiul mişcării rigidului sunt:Oxyz - sistemul de referinţă mobil, solidar cu rigidul în mişcare şi

1111 zyxO - sistemul de referinţă fix la care se raportează mişca- rea (fig.8.1). Poziţia sistemului de referinţă mobil Oxyz faţă de sistemul de referinţăfie 1111 zyxO poate fi stabilită şi cu ajutorul altor parametri geometrici



198 MECANICĂ

independenţi, trei distanţe şi trei unghiuri, UNGHIURILE LUI EULER.Cele trei distanţe sunt coordonatele punctului OOO z,y,xO , originea

sistemului de referinţă mobil în sistemul de referinţă fix, acestea definindtranslaţia sistemului Ox‘y‘z‘, paralel cu sistemul 1111 zyxO Cele treiunghiuri ale lui Euler şi definesc rotaţia sistemului mobil, faţă de

sistemul Ox‘y‘z‘. Cu alte cuvinte, pentru a suprapune sistemul de referinţămobil peste cel fix, trebuie să efectuăm trei rotaţii şi trei translaţii.Pentru a defini unghiurile lui Euler, reprezentate în figura 8.1, s-a

trasat axa ON, numită axa nodurilor, dreapta de intersecţie dintre planulorizontal Ox‘y‘ şi planul Oxy rotit în spaţiu.

Unghiul , numit unghi de precesie, este unghiul format de axeleOx‘ şi ON; unghiul , unghiul de rotaţie proprie, este format deaxele ON şi Ox, iar unghiul , unghiul de nutaţie este format de

axele Oz‘ şi Oz.Pentru ca un rigid să poată efectua o mişcare generală este necesar ca el să nu fie supus la nici o restricţie geometrică, adică să fie liber înspaţiu. Rigidul se află în mişcare generală atunci când cei şase parametrigeomertici independenţi (8.1) numiţi şi parametri de poziţie, variază în timp.Deci, cele trei distanţe şi cele trei unghiuri sunt funcţii scalare de timp:

.t,t,t,tzz,tyy,txx OOOOOO (8.1)

Relaţiile (8.1) reprezintă legile mişcării generale a rigidului.

Variaţia unghiului de precesie indică rotaţia rigidului în jurul axei

Fig. 8.1




Oz‘. Viteza de variaţie a acestui unghi reprezintă viteza unghiulară deprecesie , un vector orientat după axa Oz‘. Mărimea acestui vector

se exprimă prin derivata unghiului de precesie în raport cu timpul:.dt/d

Variaţia unghiului de rotaţie proprie , indică rotaţia rigidului în jurulaxei Oz. Viteza de variaţie a acestui unghi reprezintă viteza unghiularăde rotaţie proprie , vector orientat după axa Oz, iar mărimea sa seexprimă prin derivata în raport cu timpul a unghiului de rotaţie proprie:

.dt/d

Variaţia unghiului de nutaţie , indică rotaţia rigidului în jurul axei

nodurilor ON. Viteza de variaţie a acestui unghi reprezintă vitezaunghiulară de nutaţie , vector orientat după axa ON. Mărimea vitezeiunghiulare de nutaţie se exprimă prin derivata în raport cu timpul a unghiuluide nutaţie:

.dt/d

Viteza unghiulară instantanee a rigidului

este egală cu sumavectorială a vitezelor unghiulare de precesie, de rotaţie proprie şi de nutaţie:

.

(8.2)Suportul vitezei unghiulare instantanee se numeşte axă instantanee

de rotaţie a rigidului, notată A.I.R.

8.1.2. Distribuţia vitezelor

Poziţia unui punct oarecare A al rigidului se precizează cu ajutorulvectorului de poziţie r faţă de sistemul fix şi a vectorului de poziţie

faţă de sistemul mobil solidar cu rigidul (8.1). Poziţia polului O, origineasistemului mobil, faţă de sistemul fix, se precizează cu ajutorul vectoruluide poziţie .r O

Între aceşti vectori de poziţie există relaţia:

.r r O

(8.3)Viteza unui punct oarecare A se obţine derivând în raport cu timpul

expresia vectorului de poziţie (8.3):

.r r v O



200 MECANICĂ

Ţinând seama că ,dt/d reprezintă derivata în raport cu

timpul a vectorului de poziţie

, constant în modul, variabil în direcţie

(vezi relaţia 8.14) iar ,r v OO

viteza originii O a reperului mobil, rezultă:.vv O

(8.4)

Relaţia (8.4) reprezintă distribuţia de viteze în mişcarea generalăa rigidului, sau distribuţia lui Euler a vitezelor într-un solid rigid.

Expresia analitică a vitezei punctului oarecare A, în sistemul de

referinţă mobil de versori k , j,i

se obţine cunoscând expresiile analitice

ale vectorilor ,v,v,vv OzOyOxO

zyx ,,

şi z,y,x în acelaşi

sistem de referinţă. În baza relaţiei (8.4) rezultă:

.

zyx

k ji

k v jvivv zyxOzOyOx

Componentele scalare ale vitezei pe axele sistemului solidar cu rigidul sunt:

,xyOzz

zxOyy

yzOxx

yxvv

,xzvv

,zyvv

(8.5)

8.1.3. Distribuţia acceleraţiilorAcceleraţia unui punct oarecare A se obţine derivând în raport cu

timpul, distribuţia de viteze (8.4):.vva O

Ţinând cont că OO va acceleraţia polului O faţă de sistemul fix,

acceleraţia unghiulară a rigidului şi ,

rezultă formulagenerală a distribuţiei acceleraţiilor în mişcarea generală a rigidului:

.aa O

(8.6)Formula (8.6) este cunoscută şi sub denumirea de relaţia lui Euler

privind distribuţia de acceleraţii în mişcarea generală a rigidului.Expresia analitică a acceleraţiei punctului oarecare A, în sistemul de




referinţă mobil solidar cu rigidul, se obţine cunoscând expresiile analitice

ale vectorilor ,a,a,aa OzOyOxO

zyx ,,

şi care înlocuite în (8.6)

rezultă:

.xyzxyz

k ji

zyx

k ji

k a jaiaa

yxxzzy

zyx

zyxOzOyOx

.

Componentele scalare ale vectorului acceleraţie pe axele sistemuluimobil sunt:

,yxzaa

,xzyaa

,zyxaa

xyzyxz2y

2xOzz

zxyxzy2x

2zOyy

yzxzyx2z

2yOxx

(8.7)

Cele prezentate până aici pot fi sintetizate în schema din figura 8.2.

Mişcările particulare ale rigidului se obţin impunând anumite condiţiivectorilor

şiv

O ,

ce caracterizează distribuţia vitezelor în mişcareagenerală a rigidului. Aceste mişcări sunt prezentate în tabelul 8.1.

Fig. 8.2



202 MECANICĂ

8.2. MIŞCAREA DE TRANSLAŢIE

8.2.1. Definiţie, exemple, grade de libertate

Un rigid efectuează o mişcare de translaţie când orice dreaptă a acestuia,rămâne paralelă cu ea însăşi tot timpul mişcării. Caracteristic acestei mişcărieste faptul că traiectoriile tuturor punctelor rigidului sunt curbe identice “ paralele” între ele, care pot fi suprapuse printr-o translaţie geometrică (v. fig. 8.3)

În mişcarea de translaţie punctele rigidului pot descrie traiectorii rectilinii,circulare sau curbiliniioarecare. Exemple de

corpuri care executămişcări de translaţiesunt: ascensorul, masaunei maşini de rabotat,

pistonul în interiorulcilindrului. Aceste cor-

puri execută mişcări detranslaţie cu traiectorii

rectilinii. Biela mecanis-mului paralelogram şi Fig. 8.3.

Tabelul 8.1




scaunele scrânciobului (v. fig. 8.4) executămişcări de translaţie cu traiectorie circulară iar

biela de cuplare a roţilor de locomotivă şi pedalele bicicletei execută mişcări de translaţie cutraiectorii curbilinii oarecare.

Rigidul prezentat în figura 8.3 executămişcare de translaţie cu traiectorie curbilinieoarecare. Dacă dreapta OA rămâne paralelăcu ea însăşi tot timpul mişcării, înseamnă căaxele sistemului mobil vor fi paralele cu axele

sistemului fix, tot timpul mişcării. Deci, o altăcaracteristică a mişcării de translaţie este că viteza unghiulară de rotaţiea sistemului mobil faţă de cel fix este nulă:

.0şi0 (8.8)

Relaţiile (8.8) exprimă particularităţile cinematice ale mişcării detranslaţie.

Poziţia rigidului se poate preciza la orice moment cu ajutorul vectoruluide poziţie ,tr r OO

caracterizat de funcţiile scalare de timp:

.tzz;tyy,txx OOOOOO (8.9)Rezultă că rigidul în mişcare de translaţie are trei grade de libertate.


Distribuţia de viteze se obţine plecând de la formula generală (8.4) şiţinând seama de particularităţile cinematice (8.8) ale mişcării de translaţie:

,vv O (8.10)

adică, în mişcarea de translaţie, toate punctele rigidului, au la un momentdat aceeaşi viteză ca vector. Prin urmare, viteza este un vector liber.

8.2.3. Distribuţia acceleraţiilor

Pornind de la formula generală (8.4) şi ţinând seama de relaţiile(8.8) se obţine formula distribuţiei de acceleraţii în mişcarea de translaţie:

Fig. 8.4



204 MECANICĂ

,aa O

(8.11)

adică, la un moment dat toate punctele rigidului au aceeaşi acceleraţie ca

vector. Şi acceleraţia este un vector liber.Când un corp are o mişcare de translaţie se face abstracţie dedimensiunile lui şi se urmăreşte mişcarea unui punct al său, de exemplu,centrul său de masă.

8.3. MIŞCAREA DE ROTAŢIE CU AXĂ FIXĂ


Un rigid efectuează o mişcare de rotaţie cu axă fixă atunci cânddouă puncte ale sale rămân fixe tot timpul mişcării. Dreapta care uneştecele două puncte este de asemenea fixă, ea numindu-se axă de rotaţie.

Exemple de rigide în mişcare de rotaţie: rotorul unui electromotor,rotorul unei turbine, volantul, roţile dinţate cu axe fixe de rotaţie etc.

În figura 8.5. se consideră un rigid de formă oarecare în mişcare de

rotaţie în jurul axei OO‘. Pentru simplificarea studiului mişcării de rotaţiese aleg originile 1O şi O ale celor două sisteme de referinţă în acelaşi

punct ,OO 1 iar axele1zz OşiO să

coincidă cu axa de rotaţie. Se observă că poziţia rigidului la un moment dat poate ficomplet precizată cu ajutorul unghiului = (t). Prin urmare, rigidul în mişcare derotaţie cu axă fixă are un singur grad delibertate.

Ţinând seama de definiţia mişcării,rezultă că fiecare punct al rigiduluidescrie o traiectorie circulară, cuprinsăîntr-un plan perpendicular pe axa derotaţie. Caracteristic acestei mişcări estefaptul că vectorii viteză unghiulară şi

acceleraţie unghiulară sunt coliniari, şi audirecţie fixă, direcţia axei de rotaţie. De Fig. 8.5




asemenea viteza şi acceleraţia originii O a sistemului de referinţă mobilsolidar cu rigidul, au valori nule. Poziţia unui punct A oarecare al rigidului

poate fi precizată cu ajutorul vectorului de poziţie .


Particularităţile acestei mişcări sunt:

.k ;k ;0a;0v OO

(8.12)

Distribuţia vitezelor în mişcarea de rotaţie cu axă fixă rezultă din

relaţia generală (8.4) a lui Euler. prin particularizare, ţinând seama decaracteristicile acestei mişcări (8.12) sau prin derivarea în raport cu timpula vectorului de poziţie

, vector variabil în direcţie constant în mărime.

Se obţine astfel:.v

(8.13)

Din relaţia (8.13) rezultă că vectorul viteză v

este perpendicular pe planul definit de cei doi vectori din produsul vectorial, sensul stabilit de

regula şurubului drept, iar mărimea dată de relaţia:.R sinv

(8.14)

Proiecţiile vitezei pe axele sistemului de referinţă mobil, rezultă din (8.13):

, jxiy

zyx

00

k ji

v

.0v;xv;yv zyx Proprietăţile distribuţiei de viteze sunt următoarele:

a) punctele aparţinând axei de rotaţie au viteză nulă; b) vitezele sunt conţinute în plane perpendiculare pe axa de rotaţie,

deoarece ;0v z c) vitezele punctelor situate pe o dreaptă 1 paralelă cu axa de rotaţie

, au aceiaşi mărime, direcţie şi sens (sunt egale);

d) vitezele punctelor situate pe o dreaptă 2 perpendiculară pe axade rotaţie, sunt paralele între ele şi perpendiculare pe această dreaptă



206 MECANICĂ

2 iar modulele lor suntdirect proporţionale cu

distanţa de la punct la axa derotaţie (v. fig. 8.6).

8.3.3. Distribuţiaacceleraţiilor

Distribuţia acceleraţiilor

se obţine derivând în raportcu timpul distribuţia de viteze (8.13) sau din a doua relaţie a lui Euler (8.6), ţinând seamă de particularităţile cinematice (8.12) ale mişcării:

.a

(8.15)Deoarece vectorii viteză unghiulară

şi acceleraţie unghiulară ,

sunt dirijaţi după axa de rotaţie, rezultă că termenul , reprezintă

componenta tangenţială a acceleraţiei, iar termenul , com-

ponenta normală.

Proiecţiile acceleraţiei unui punct al rigidului în mişcare de rotaţie cuaxă fixă, rezultă din relaţia (8.15) prin dezvoltarea determinanţilor:

. jyxixy

0xy

00

k ji

zyx

00

k ji

a 22

Deci: .0a;yxa;xya z2

y2

x (8.16)

Modulul acceleraţiei: ,R aaa 422y

2x

(8.17)

unde ,yxR 22 este distanţa de la punct la axa de rotaţie.

Proprietăţile distribuţiei de acceleraţii:a) punctele situate pe axa de rotaţie au acceleraţie nulă;

b) acceleraţiile sunt vectori conţinuţi în plane perpendiculare pe axade rotaţie;

c) acceleraţiile punctelor situate pe o dreaptă 1 paralelă cu axa de

Fig. 8.6.




rotaţie sunt egale (v. fig. 8.7);d) acceleraţiile punctelor situate pe o dreaptă 2 perpendiculară pe

axa de rotaţie variază liniar şi sunt înclinate în sensul acceleraţieiunghiulare cu acelaşi unghi ( ./arctg 2

8.4. MIŞCAREA ELICOIDALĂ


Un rigid efectuează o mişcare elicoidală atunci când două puncteale sale se deplasează în timpul mişcării pe o dreaptă fixă din spaţiu,numită axa mişcării elicoidale. Mişcarea elicoidală se mai numeşte şimişcare de roto-translaţie.

În conformitate cu această definiţie se deduce că mişcarea rigiduluirezultată din compunerea unei mişcări de translaţie rectilinie cu o rotaţieîn jurul aceleiaşi axe.

Exemple de rigide în mişcare elicoidală: mişcarea burghiului în timpul

prelucrării, mişcarea unui şurub într-o piuliţă fixă, elicea unui avion care sedeplasează în linie dreaptă, glontele ce se deplasează în ţeava armei etc.

În figura 8.8. s-a reprezentat un rigid în mişcare elicoidală. Celedouă puncte O şi O‘ rămân pe dreapta fixă Rigidul, pe lângă mişcareade rotaţie în jurul axei , are şi o mişcare de translaţie de-a lungul ei.

Fig. 8.8. Fig. 8.7



208 MECANICĂ

Cele două sisteme de referinţă, cel fix 1111 zyxO şi cel mobil Oxyz, solidar cu rigidul se aleg cu axele 11zO şi Oz suprapuse cu axa mişcării elicoidale . Poziţia sistemului de referinţă mobil, faţă de sistemul fix, se determinăla orice moment prin intermediul a doi parametri geometrici independenţi,care sunt funcţii de timp:

.t;tzz OO (8.18)Relaţiile (8.18) reprezintă legile mişcării elicoidale.Rigidul în mişcare elicoidală are, deci, două grade de libertate. Dacă

între cei doi parametrii există o relaţie liniară de forma ,hzO unde heste o constantă, mişcarea elicoidală este cu pas constant, iar rigidul are

un singur grad de libertate. De exemplu şurubul în interiorul unei piuliţefixe execută o mişcare elicoidală cu pas constant. Mişcarea elicoidală cu pas constant se mai numeşte şi mişcare de şurub, iar traiectoria unui punct aparţinând rigidului este o elice cilindrică.

Dacă între cei doi parametrii şizO există o relaţie neliniară,mişcarea este elicoidală cu pas variabil. De exemplu, cazul mişcării glonţuluiîn ţeava armei.


Particularităţile mişcării elicoidale sunt:

.k ;k ;k aa,k vv OOOO

(8.19)

Deci în cazul mişcării elicoidale vectorii

şivO sunt coliniari .||vO

În tot timpul mişcării, un punct A al rigidului rămâne la o distanţă

fixă R faţă de axa mişcării elicoidale.Distribuţia vitezelor în mişcarea elicoidală rezultă din prima relaţie a

lui Euler (8.4), ţinând seama de particularităţile acestei mişcări (8.19).Deci: ,vv O

(8.20)

unde ,vk zv tr OO

reprezintă componenta de translaţie a vitezei iar

,v rot

reprezintă componenta de rotaţie a vitezei. Prin urmare,

distribuţia de viteze se obţine prin suprapunerea a două câmpuri de viteze:unul specific mişcării de translaţie de-a lungul axei 1Oz şi al doilea spe-

cific unei mişcări de rotaţie în jurul aceleiaşi axe.




Proiecţiile vitezei unui punct în sistemul de referinţă mobil solidar curigidul rezultă din dezvoltarea expresiei (8.20):

,k z jxiy

zyx

00k ji

k zv OO

deci .vzv,xv,yv OOzyx

(8.21)

Modulul .vR vyxv 2O

222O

222

(8.22)

Din cele reprezentate mai sus se desprind următoarele proprietăţi:

a) rigidul în mişcare elicoidală nu are puncte de viteză nulă, punctelesituate pe axa mişcării elicoidale au viteză minimă egală cu ;vO

b) punctele situate pe o dreaptă paralelă cu axa mişcării elicoidale auvitezele egale;

c) distribuţia de viteze rezultă prin suprapunerea unui câmp de vitezespecific translaţiei de-a lungul axei fixe şi a unui câmp specific rotaţieiîn jurul aceleiaşi axe.


Distribuţia de acceleraţii rezultă prin derivarea distribuţiei de viteze(8.20) în raport cu timpul, sau din a doua relaţie a lui Euler (8.6) ţinândseama de particularităţiile acestei mişcări (8.19). Prin urmare:

,aa O

(8.23)

unde ,ak aa tr OO

reprezintă componenta de translaţie a acceleraţiei;,a rot

reprezintă componenta tangenţială de rotaţie;

rot a ,reprezintă componenta normală de rotaţie.

Proiecţiile acceleraţiei unui punct pe axele sistemului mobil dereferinţă, solidar cu rigidul rezultă prin dezvoltarea expresiei (8.23) ţinândseamă de particularităţile mişcării elicoidale (8.19):

,0xy 00

k ji

zyx 00

k ji

k aa O

(8.24)



210 MECANICĂ

deci: .aa;yxa;xya Oz2

y2

x Modulul acceleraţiei:

.aR ayxa 2O

4222O

4222 (8.25)

Ca proprietăţi ale distribuţiei de acceleraţii se desprind următoarele:a) rigidul în mişcare elicoidală nu are puncte de acceleraţie nulă; punctele

situate pe axa mişcării elicoidale au acceleraţie minimă egală cu aO;

b) punctele situate pe o dreaptă paralelă cu axa mişcării elicoidale, auaceiaşi acceleraţie;

c) distribuţia de acceleraţii rezultă prin suprapunerea unui câmp de

acceleraţii corespunzător mişcării de translaţie de-a lungul axei fixe

şi a unui câmp specific mişcării de rotaţie în jurul aceleiaşi axe.

8.4.4. Mişcarea de şurub

Mişcarea de şurub este un caz particular al mişcării elicoidale.

Particularitatea constă în aceea că datorită existenţei filetului la o rotaţiecompletă a şurubului, acesta înaintează în lungul axei sale cu un pas p.Prin urmare, între funcţiile tşitzO există o relaţie liniară de forma

,hzO iar rigidul are un singur grad de libertate.Dacă constanta h > 0, şurubul este

drept, iar dacă h < 0, şurubul este stâng.Pentru a determina valoarea

acestei constante se desfăşoară

filetul şurubului care este o elicecilindrică cu pas constant. Prindesfăşurarea filetului corespun-zător unui pas, se obţine un triunghidreptunghic (fig. 8.9.) de unghi ,unghiul filetului.

Din triunghiurile dreptunghice respective rezultă:

sauR 2

p

R

z

tgO

Fig. 8.9




.2

ptgR zO

(8.26)

Din relaţia (8.26) rezultă constanta h, a şurubului:.

2

pRtgh

(8.27)

În aplicaţiile practice interesează de obicei, expresiile vitezei şi accele-raţiei de înaintare a şurubului, cunoscând viteza unghiulară a şuru-

bului. Aceasta se obţine prin derivarea în raport cu timpul a relaţiei (8.34):

- viteza de avans: ;2

pRtgzv OO

(8.28)

- acceleraţia de avans: ;2 pRtgza OO

(8.29)

unde p este pasul filetului; R este raza medie a şurubului; este unghiulde înclinare al filetului.

În cazul şuruburilor cu mai multe începuturi, avansul axial la o rotaţiede unghi este:

.n

2

pz f O

(8.30)

unde f n este numărul de începuturi al filetului.

8.5. MIŞCAREA PLAN PARALELĂ


Un rigid efectuează o mişcare planparalelă, atunci când un plan al săurămâne tot timpul mişcării într-un plan fix numit plan director.

În figura 8.10 se consideră un rigid de formă oarecare în mişcare plan paralelă. Planul haşurat, determinat de trei puncte necoliniare alerigidului, rămâne tot timpul mişcării conţinut în planul 1 , numit plan di-rector.

Pentru studiul mişcării plan-paralele se aleg două sisteme de referinţă:unul fix 1111 zyxO ataşat planului fix 1 şi un sistem mobil Oxyz, solidar

cu rigidul în mişcare plan paralelă, ataşat planului mobil . Poziţia la un



212 MECANICĂ

moment dat a sis-temului mobil

(deci şi a rigidului)este definită decoordona- tele

OO y,x ale originiiO faţă de sistemulfix şi de unghiul dintre axele

11x xOşiO .

Aceşti para-metri geometriciindependenţi suntfuncţii scalare de

timp: .t;tyy;txx OOOO (8.31)

Aceaste funcţii (8.31) reprezintă legile mişcării plan-paralele arigidului.Se trage concluzia că un rigid aflat în mişcare plan-paralelă, are

trei grade de libertate.În tehnică se întâlnesc deseori corpuri în mişcare plan paralelă, ca de

exemplu: biela mecanismelor plane, roţile vehiculelor rulând în linie dreaptă,scripetele cu axă mobilă de rotaţie, bilele unui rulment radial, etc.

Din cele prezentate până aici, rezultă următoarele:a) orice dreaptă a rigidului perpendiculară pe planul director, rămâne

tot timpul mişcării paralelă cu ea însăşi, adică are o mişcare de translaţie; b) în timpul mişcării, punctele rigidului descriu traiectorii “paralele“

(curbe plane) situate în plane paralele cu planul director;c) dacă rigidul este o placă de grosime neglijabilă, conţinută în planul

fix, mişcarea se numeşte plană;d) distribuţia de viteze şi acceleraţii este aceiaşi în plane paralele cu

planul director; din acest considerent mişcarea rigidului se numeşte plan- paralelă;

e) viteza unghiulară instantanee este perpendiculară pe vitezele punctelor rigidului .vO

Ţinând seama de cele prezentate, studiul mişcării punctelor unui rigid

Fig. 8.10.




în mişcare plan-paralelă, poate fi redus la studiul mişcării într-un singur plan, de exemplu în planul Oxy.


Distribuţia vitezelor în mişcare plan-paralelă rezultă prin derivarea,în raport cu timpul, a vectorului de poziţie

Or r sau din relaţiilegenerale ale lui Euler (8.4) ţinând seama de particularităţile acestei mişcări .||şivO

Astfel rezultă:

,vcuvv OO

(8.32)unde ,vv tr O

reprezintă componenta de translaţie iar ,v rot

reprezintă componenta de rotaţie a vitezei.Rezultă că, distribuţia de viteze, specifică acestei mişcări poate fi

considerată ca fiind obţinută prin compunerea unui câmp de viteze spe-cific translaţiei, cu un câmp de viteze specific mişcării de rotaţie în jurulunei axe perpendiculare pe planul în care s-a efectuat translaţia.

Proiecţiile vitezei unui punct, pe axele sistemului de referinţă mobil,

rezultă prin dezvoltarea expresiei (8.32), astfel:

, jxviyv

zyx

00

k ji

jvivv OyOxOyOx

unde: .0v;xvv;yvv zOyyOxx (8.33)Deci, viteza oricărui punct al rigidului este conţinută într-un plan paralel

cu planul director.Pentru un rigid în mişcare plan-paralelă, cunoscând viteza unui punct

Ov

şi viteza unghiulară instantanee ,

se poate determina princompunerea câmpului de viteze, viteza oricărui punct aparţinând rigidului.Astfel, viteza punctului M, în baza relaţiei (8.32), este:

,vvOMvv MOOOM

(8.34)

unde Ov

, este componenta de translaţie iar ,vMO

este componenta de rotaţie,

viteza lui M faţă de O, perpendiculară pe OM în sensul vitezei unghiulare .



214 MECANICĂ

În figura 8.11. s-a determinat viteza punctuluiM din planul director, prin compunerea vectorilor

viteză de translaţie şi rotaţie conform relaţiei (8.34).

8.5.3. Centrul instantaneu de rotaţie.Baza şi rostogolitoarea

Ca şi celelalte mişcări ale rigidului, studiate până aici, şi în mişcarea plan-paralelă se pune

întrebarea dacă există puncte de viteză instantanee nulă. Pentrudeterminarea pe cale analitică a coordonatelor punctelor de viteză nulă,se pune condiţia ca proiecţiile vitezei unui punct oarecare, aparţinândrigidului în mişcare plan-paralelă, să fie nule:

;0xvv;0yvv OyyOxx

de unde rezultă: .v

y;v

x OxOy

(8.35)

Relaţiile (8.35) reprezintă coordonatele unui punct, notat cu

situatîn planul director, numit centrul instantaneu de rotaţie (C.I.R.).

În figura 8.12. s-areprezentat secţiuneahaşurată din planuldirector al rigidului, înmişcare plan-paralelă, şi

poziţ ia centrului in-

stantaneu de rotaţie înambele sisteme de refe-rinţă: y,xΙ în siste-mul mobil Oxy şi

11 y,xΙ în sistemul dereferinţă .yxO 111

Deci, centrulinstantaneu de rotaţie ( ) este punctul de viteză instantanee nulă, situat în

planul director. De fapt, există o infinitate de puncte de viteză instantaneenulă, situate pe o dreaptă perpendiculară pe planul director, numită axă

Fig. 8.11.

Fig. 8.12.




instantanee de rotaţie (A.I.R.). Centrul instantaneu de rotaţie reprezintădeci, punctul în care axa instantanee de rotaţie înţeapă planul director.

Conform relaţiei (8.35) poziţiile centrului instantaneu de rotaţie şi axeiinstantanee de rotaţie nu sunt fixe în timpul mişcării, ci se modifică

deoarece mărimile cinematice OyOx vşiv, sunt funcţie de timp.Locul geometric al centrului instantaneu de rotaţie în raport cu sistemul

de referinţă mobil este o curbă numită centroidă mobilă sau rostogolitoare.Ecuaţiile parametrice ale rostogolitoarei sunt relaţiile (8.35), exprimate în

parametri cinematici.Locul geometric al centrului instantaneu de rotaţie în sistemul de

referinţă fix ,yxO 111 este o altă curbă, numită centroidă fixă sau bază.Baza şi rostogolitoarea sunt două curbe tangente în centrul instantaneu

de rotaţie (), iar în timpul mişcării baza rămnând fixă, iar rostogolitoarease rostogoleşte fără alunecare pe bază.

Coordonatele centrului instantaneu de rotaţie în sistemul de referinţăfix (v. fig. 8.12), respectiv ecuaţiile parametrice ale bazei, se obţin utilizândformulele de la translaţia şi rotaţia sistemelor de axe. Sistemul Oxy estetranslatat şi rotit cu unghiul faţă de sistemul fix ,yxO 111 Rezultă că:

.yyy;xxx O1O1 (8.36)Sub formă matriceală coordonatele 11 yşix rezultă direct, utilizând

matricea de rotaţie:

.y

x

cossin

sincos

y

x

y

x

O

O

1

1

(8.37)

Ecuaţiile parametrice ale bazei sunt:

.cosysinxyy;sinycosxxx O1O1 (8.38)Ţinând seama de relaţiile (8.35) rezultă:

.cosv

sinv

yy;sinv

cosv

xx OxOy

O1OxOy

O1

Locul geometric al axei instantanee de rotaţie în sistemul de referinţăfix, este o suprafaţă cilindrică fixă, numită axoidă fixă, iar locul geometrical axei instantanee de rotaţie în sistemul de referinţă mobil, este o suprafaţăcilindrică mobilă, numită axoidă mobilă. În timpul mişcării plan-paralele arigidului axoida mobilă se rostogoleşte fără alunecare pe axoida fixă,



216 MECANICĂ

generatoarea lor comună fiind axa instantaneede rotaţie, la momentul respectiv. Cele două

suprafeţe cilindrice pot fi tangente interior sautangente exterior. În figura 8.13. se prezintăcazul celor două axoide tangente exterior.

Dacă este punctul de viteză instantaneenulă; se pune întrebarea care este distribuţiade viteze în mişcarea plan-paralelă faţă deacest punct. Considerându-se , punctul dereferinţă, viteza unui alt punct oarecare B al

rigidului este:.0vdeoarece,vBBvv BB

(8.39)

Relaţia (8.39) demonstrează vectorial că distribuţia de viteze înmişcarea plan-paralelă, faţă de centrul instantaneu de rotaţie, este identicăcu cea dintr-o mişcare de rotaţie, ca şi când figura

plană din planul director s-ar roti în jurul lui cuviteza unghiulară .

Aceasta este cea mai impor--

tantă proprietate a distribuţiei vitezelor într-un rigid

în mişcare plan-paralelă. Cunoscând poziţiacentrului instantaneu de rotaţie şi viteza unghiulară

se poate determina viteza oricărui punctaparţinând rigidului în mişcare plan-paralelă. Con-form relaţiei (8.47) viteza punctelor B şi D suntvectori perpendiculari pe razele instantanee B şiD în sensul vitezei unghiulare

(fig. 8.14.):

,D90sinDvşiB90sinBv DB

În cazul aplicaţiilor practice, locurile geometrice ale centruluiinstantaneu de rotaţie, se pot determina analitic, aplicând teoria generalăa locurilor geometrice: se determină poziţia centrului instantaneu de rotaţie;se aleg cele două sisteme de referinţă fix şi mobil; se exprimă coordonatelecentrului instantaneu de rotaţie în cele două sisteme de referinţă în funcţiede parametrul geometric variabil, unghiul ; se elimină apoi acest

parametru variabil între ecuaţiile parametrice şi se determină ecuaţiile

celor două locuri geometrice propriu-zise, baza şi rostogolitoarea mişcării plan-paralele.

Fig. 8.13.

Fig. 8.14





Distribuţia acceleraţiilor în mişcarea plan-paralelă rezultă derivândîn raport cu timpul distribuţia vitezelor (8.32), sau din a doua relaţie a luiEuler (8.4) ţinând seama de particularităţile acestei mişcări. Astfel rezultă:

.aşi||cu,aa oO

(8.40)

Proiecţiile acceleraţiei unui punct oarecare, pe axele sistemului dereferinţă rezultă prin dezvoltarea produselor vectoriale din expresia (8.40):

. jyxaixya 2

Oy

2

Ox

unde: .0a;yxaa;xyaa z2

Oyy2

Oxx (8.41)Rezultă că, acceleraţiile punctelor sunt obţinute în plane paralele cu

planul fix, director .yxO 111

Pentru un punct M situat în planul director, distribuţia de acceleraţii poate fi scrisă astfel:

,OMOMOMa

OMOMaa2

O

OM

deoarece ,0OM

rezultă: ,OMOMaa 2OM

unde Oa

reprezintă componenta de translaţie; MOaOM reprezintă

acceleraţia tangenţială a componentei de rotaţie a lui M faţă de

O; MO2 aOM

reprezintă acceleraţia normală a componentei de

rotaţie a lui M faţă de O.Deci, distribuţia de acceleraţii se va scrie astfel:

.aaaaaa MOOMOMOOM (8.42)

Cunoscând acceleraţia unui punct de referinţă

Oa

, viteza unghiulară instantanee

şi acceleraţiaunghiulară

, la un moment dat, se poate

determina acceleraţia punctului M princompunerea vectorială din relaţia (8.42). În figura8.15. se prezintă un exemplu de compunere a

vectorilor. Fig. 8.15.



218 MECANICĂ

8.5.5. Polul acceleraţiilor

Şi în cazul acceleraţiilor se pune problema determinării punctului, din planul director, de acceleraţie instantanee nulă. Acest punct, notat cu J,se numeşte centrul sau polul acceleraţiilor. Coordonatele plouluiacceleraţiilor rezultă punând condiţia ca proiecţiile acceleraţiei unui punctoarecare (8.41), determinate în paragraful precedent, să fie nule:

.0yxaa;0xyaa 2Oyy

2Oxx (8.43)

Rezolvând sistemul celor două ecuaţii (8.43), prin metoda reduceriirezultă cele două necunoscute, coordonatele polului J:

.aa

y;aa

x42

Ox2

OyJ42

Oy2

OxJ

(8.44)

Din formulele (8.44) se vede că polul acceleraţiilor este un punct

care îşi schimbă poziţia în timp, deoarece OyOx aşia sunt în general funcţii

de timp. Întrucât cota Jz a polului J poate fi luată arbitrar, se deduce că

în mişcarea plan-paralelă există o axă perpendiculară pe planul director ce trece prin J şi ale cărei puncte au acceleraţie instantanee nulă.

În general, polul acceleraţiilor şi centrul instantaneu de rotaţie suntdouă puncte diferite.

Ca şi la viteze, este interesant de studiat distribuţia de acceleraţiifaţă de punctul de acceleraţie instantanee nulă.În acest caz, cunoscânddistribuţia de acceleraţii în mişcarea plan-paralelă (8.40) se consideră J

ca punct de referinţă OJ , rezultând:

,JBJBJBJBJBaa 2JB

deoarece: ,0JBşi0a J

se obţine:,aaaJBJBa BJBJBJ

2B

(8.45)

unde JBa BJ reprezintă componenta tangenţială a acceleraţiei

punctului B faţă de polul J iar JBa 2BJ

reprezintă componentanormală a acceleraţiei punctului B faţă de J. Între cele două componente

există unghiul de 90. Mărimea acceleraţiei punctului B este:




.JBaaa 422

BJ

2

BJB (8.46)

Unghiul dintre direcţia acceleraţiei totaleB

a

şi componenta normală este:

.a

atg

2BJ

BJ

(8.47)

Cu ajutorul relaţiei (8.45) se demonstrează pe cale vectorială că la unmoment dat distribuţia de acceleraţii în mişcare plan-paralelă este identicăcu cea din mişcarea de rotaţie, ca şi cum figura plană din planul director s-ar roti în jurul polului J cu viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară .

În figura 8.16. se prezintă distribuţia de acceleraţii faţă de polul J.

Relaţiile (8.46) scrise sub forma (8.48) ne permit să aflăm poziţia polului acceleraţiilor, cunoscând acceleraţia

Da a unui punct în mărime,

direcţie şi sens şi parametrii cinematici şi :

.arctg;a

DJ242

D

(8.48)

Determinarea polului J (v. fig. 8.17,a) pe baza relaţiilor (8.48) se faceastfel: se roteşte suportul acceleraţiei punctului D, în sensul acceleraţiei unghiulare, cu unghiul şi se află direcţia pe care se găseşte polul J. Pe aceastădirecţie, la distanţa DJ, calculată cu prima relaţie (8.48) se află polul J.

Polul J se poate determina şi în cazul când se cunosc direcţiile

acceleraţiilor a două puncte A şi B precum şi.şi

Polul J se află laintersecţia dreptelor, înclinate cu acelaşi unghi ,/arctg 2 în sensul

Fig. 8.17 a. b. Fig. 8.16.



220 MECANICĂ

lui faţă de cele două direcţii cunoscute ale acceleraţiilor (v. fig. 8.17,b).Faţă de acest pol se pot reprezenta acceleraţiile oricăror puncte aparţinând

aceluiaşi rigid în mişcare plan-paralelă.

8.6. MIŞCAREA CU PUNCT FIX


Un rigid efectuează o mişcare cu punct fix, atunci când un punct al

rigidului sau al reperului solidar, rămâne tot timpul mişcării în repaus.În studiul mişcăriirigidului cu punct fix se alegdouă sisteme de referinţă: unulfix 1111 zyxO şi unul mobilOxyz solidar cu rigidul înmişcare, având originile înacelaşi pol fix OO1 (fig.

8.18). În consecinţă, poziţia laun moment dat a rigidului poate fi stabilită numai cuunghiurile lui Euler: unghiul de

precesie t , unghiul derotaţie proprie t şiunghiul de nutaţie tunghiuri definite de mişcarea

generală a rigidului (v. cap. 8.1.1). Deci, rigidul cu punct fix are trei grade delibertate corespunzătoare celor trei rotaţii pe care le poate efectua în jurulunor axe ce trec prin punctul fix OO1 . Trecerea rigidului dintr-o poziţie înalta se poate realiza prin trei rotaţii succesive în jurul axelor 1Oz , ON şi Oz,modi- ficându-se pe rând cele trei unghiuri şi .

După aceste axe sunt orientate vitezele unghiulare corespunzătoare:după axa 1Oz , viteza unghiulară de precesie ; după axa nodurilor ON,viteza unghiulară de nutaţie iar după axa Oz, viteza unghiulară de rotaţie

proprie . Viteza unghiulară instantanee a rigidului este egală cu suma

Fig. 8.18




vectorială a vitezelor unghiulare de precesie, rotaţie proprie şi nutaţie (8.2):

.

Aşa cum se poate observa în figura 8.18. traiectoria unui punct oarecareA al rigidului, este o curbă situată pe o sferă cu centrul în punctul fix O şi razăOA. Din această cauză mişcarea cu punct fix se mai numeşte mişcare sferică.

Ca exemple de corpuri în mişcare cu punct fix, putem da: giroscopul(fig. 8.19) este un volant greu ce se roteşte cu o viteză unghiulară mare în jurul axei proprii Oz, în timp ce se roteşte cu o viteză unghiularăde precesie în jurul axei fixe 11zO ; titirezul (fig. 8.20) are o mişcarede precesie în jurul axei fixe 11zO şi o mişcare de rotaţie în jurul axei

proprii Oz - presupunând unghiul de nutaţie = constant, viteza unghiularăde nutaţie este nulă iar viteza unghiulară instantanee rezultă princompunerea vitezelor unghiulare de rotaţie proprie şi de precesie:

;

rotaţiile unui automobil în viraj şi bilele unui rulment axial

sunt, de asemenea, corpuri în mişcare cu punct fix.


Distribuţia vitezelor în mişcarea cu punct fix rezultă prin

particularizarea relaţiei lui Euler, ştiind că: 0r O

şi 0vO

, iar vitezaunghiulară instantanee este un vector variabil în mărime şi direcţie,

Fig. 8.19 Fig. 8.20



222 MECANICĂ

suportul trecând tot timpul prin punctul fix O1 . Deci:

v (8.49)

Expresia analitică este:

.k xy jzxiyz

zyx

k ji

v yxxzzyzyx

Componentele scalare ale vitezei în sistemul de referinţă mobil Oxyz, sunt:

.xyv;zxv;yzv yxzxzyzyx (8.50)Pentru a găsi punctele de viteză nulă se pune condiţia:,0v

relaţie satisfăcută pentru 0

, adică punctul fix şi pentru

,

(8.51)adică în cazul când cei doi vectori

şi sunt coliniari ( un scalar).

Rezultă că punctele de viteză instantanee nulă se află pe o dreaptăce trece prin punctul fix, care este suportul vectorului

, numită axă

instantanee de rotaţie (A.I.R.). Din relaţia (8.49) se observă cădistribuţia de viteze la un moment dat se obţine ca şi cum rigidul s-ar roticu viteza unghiulară

în jurul axei instantanee de rotaţie. În acest fel,

mişcarea cu punct fix a rigidului se poate defini ca o mişcare de rotaţie în jurul unei axe instantanee ce trece tot timpul printr-un punct fix.

Axa instantanee de rotaţie îşi schimbă poziţia, atât faţă de reperulfix, cât şi faţă de cel mobil solidar cu rigidul.

Locul geometric al poziţiilor ocupate de axa instantanee de rotaţie înraport cu reperul fix este un con cu vârful în 1O , numit con herpolodic,iar locul geometric al axei instantanee de rotaţie în raport cu sistemul dereferinţă mobil este tot un con cu vârful în 1O , numit con polodic.

Aceste două conuri sunt cunoscute şi sub numele de conurile luiPOINSOT. În timpul mişcării rigidului, conul polodic se rostogoleşte fărăalunecare pe conul herpolodic, generatoarea lor comună fiind axainstantanee de rotaţie la momentul respectiv.

Cele două conuri (numite şi axoidă fixă şi axoidă mobilă) pot fitangente interior sau tangente exterior. În figura 8.21. se prezintă cazul




conurilor tangente exterior.Ecuaţia axei instantanee de rotaţie faţă

de sistemul mobil se obţine din condiţia decoliniaritate a vectorilor şi rezultând

,zyx

zyx

(8.52)

unde zyx ,, - sunt proiecţiile vitezeiunghiulare

pe axele sistemului mobil de

referinţă.

Analog se deduc ecuaţiile canonice aleaxei instantanee de rotaţie faţă de sistemulde referinţă fix:

,zyx

111 z

1

y

1

x

1

(8.53)

unde111 zyx ,, - reprezintă proiecţiile vectorului

pe axele sistemu-

lui de referinţă fix.


Pentru studiul acceleraţiilor se consideră formula generală (8.6) alui Euler în care 0a O

, deoarece 1OO sau derivând în raport cu

timpul distribuţia de viteze (8.49): .a

(8.54)

După cum se observă din relaţia (8.54), deşi formal distribuţia deacceleraţii este analoagă cu cea din mişcarea de rotaţie cu axă fixă,diferenţa esenţială între cele două mişcări constă în faptul că în mişcareacu punct fix este un vector variabil în mărime şi direcţie (suportul trecândtot timpul prin punctul fix 1O ). În consecinţă, rezultă că

.

, este un

vector al cărui suport este diferit de cel al lui

, astfel încât 0

.Proiecţiile acceleraţiei unui punct oarecare, pe axele sistemului de

referinţă mobil, solidar cu rigidul rezultă din dezvoltarea relaţiei (8.54):

Fig. 8.21



224 MECANICĂ

,xyzxyz

k ji

zyx

k ji

ayxxzzy

zyxzyx

de unde se deduce:

yxza

xzya

zyxa

xyzyxz2y

2xz

zxyxzy2x

2zy

yzxzyx2z

2yx

(8.55)

În continuare se va studia dacă există puncte de acceleraţie nulă.

Pentru aceasta este necesar ca 0aaa zyx iar din relaţiile (8.55)rezultă un sistem de trei ecuaţii algebrice omogene, cu trei necunoscute.Pentru a se obţine soluţii diferite de soluţia banală x = y = z = 0,corespunzătoare punctului fix, este necesar ca determinantul sistemului

să se anuleze. Se poate arăta că ,02 În cazul mişcării cu

punct fix, vectorii

şi au în general, suporturi diferite, iar detreminantuleste diferit de zero. Aceasta conduce la concluzia că în mişcarea cu punct fix nu mai există alte puncte de acceleraţie nulă, în afara celui fix,iar distribuţia de acceleraţii este specifică şi nu poate fi redusă la ceacorespunzătoare unei alte mişcări particulare a rigidului.


1. Centrul O al roţii (1) de rază R se deplasează pe orizontală după

legea mt10SO unde t este timpul. Roata (1) este cuplată cu roata

(3) de rază R prin intermediul bielei (2) având centrul de masă în C.

Ştiind că ,m25,0BOOA 1 R = 0,5 m iar la momentul iniţial OA şi

BO1 sunt pe verticală să se determine şi să se reprezinte viteza şi

acceleraţia centrului C de masă al bielei (2) (fig. 8.22,a).

Rezolvare. Biela de cuplare (2) are o mişcare de translaţie. Tot




timpul mişcării .OO||AB 1 Coordonatele punctului A sunt:

,cosOAR y,sinAOSx A1OA unde j este unghiul format de raza OA cu verticala. În cazul rostogolirii

roţii, fără alunecare, unghiul j este:

.t205,0

t10

R

SO

Deci,

.t20cos25,05,0y;t20sin25,0t10x AA Proiecţiile vitezei şi acceleraţiei punctului A sunt:

,t20sin5y;t20cos510x AA

.t20cos100y;t20sin100x 2A

2A

Pentru timpul t=10s, rezultă ;m100x A ;m75,0yA ;s/m15x A

;0yA ;0xA 2

A s/m100y iar 10 ,2100m200 adică punctele A şi B se află pe verticală (v. fig. 8.24,b).

Ştiind că şivvv BCA

,aaa BCA

rezultă:;s/m15yxyxv 2

A2A

2C

2CC

.s/m100yxyxa 22A

2A

2C

2CC

Vectorii viteză Cv

şi acceleraţie Ca

sunt reprezentaţi în figura 8.22,b.

2. Un corp de formă paralelipipedică având dimensiunile (2,4,4) mse roteşte în jurul unei axe fixe, care coincide cu diagonala OD, cu vitezaunghiulară w = 3 t + 3, rad/s, unde t este timpul. Să se determine la t = 2s

Fig. 8.22,a Fig. 8.22,b



226 MECANICĂ

viteza şi acceleraţia vârfurilor A şi B (fig. 8.23). Rezolvare. Conform relaţiei (8.20) privind distribuţia de viteze în

mişcarea de rotaţie cu axă fixă, rezultă:

,k 12 j12

002

663

k ji

OAvA

unde: ,s/mk 6 j6i316164

k 4 j4i29

OD

ODeOD

.s2tlas/rad9 Mărimea

.s/m2121212v 22A

, j12i24

042

663

k ji

OBvB

iar .s/m5122412v 22B

Acceleraţia punctelor A şi B conform distribuţiei (8.23) este:

,k 32 j40i144

12120

663

k ji

002

221

k ji

OAOAa A

unde .k 2 j2i36

k 4 j4i23eiar s/rad3 OD

Mărimea acceleraţiei .s/m83,1523240144a 2222

A

Fig. 8.23




.k 180 j140i80

01224663

k ji

042221

k ji

OBOBa B

.

Modulul acceleraţiei .s/m66,24118014080a 2222B

3. Şurubul de antrenare (4) al unei prese

cu fricţiune are pasul p = 0,02 m. El esteantrenat de discurile verticale (1) şi (2) cu axorizontal prin intermediul discului (3) de razăR = 0,5 m, solidar cu şurubul de antrenare (4)(v. fig. 8.24). Turaţia discului de antrenareeste n = 300rot/min. Datorită deplasăriişurubului în timpul funcţionării, raza la carese face contactul între cele două discuri

variază. În momentul iniţial, când ele iaucontact ,m2,0r r O iar cursa este S=0,3 m.

Să se determine:a) legile de mişcare ale şurubului

;r vvşit 4444 b) viteza nicovalei superioare (5) când ia contact cu piesa pentru

forjat (6). Rezolvare:

a) viteza unghiulară a discurilor (1) şi (2) de antrenare

este: .30

n1

Viteza unghiulară a discului (3) solidar cu şurubul (4), pentru o poziţieintermediară, este:

.R 30

r n

R

r 14

Fig. 8.24



228 MECANICĂ

Viteza de înaintare a şurubului (4) conform relaţiei (8.36) este:

.R 60

n p

2

p

v 44

b) La capătul cursei, în momentul impactului, raza r este: .Sr r O1 Deci:

.s/m1,0

5,060

3,02,030002,0

R 60

Sr n pv O

4

4.

Să se determine baza şi rostogolitoarea barei OA ce execută omişcare plană. În capătul O al barei este articulat un culisor ce se

deplasează pe un ghidaj vertical cu viteza constantăOv

. În acelaşi tip, bara OA alunecă în interiorul

manşonului articulat în ,O1 situat

la distanţa d faţă de ghidajulvertical.

Rezolvare. Se aleg celedouă sisteme de referinţă fix,

111 yxO şi mobil Oxy, solidar cu

bara OA, ca în figura 8.25. Legeade mişcare a originii sistemului de

coordonate mobil este: .tglSO Derivând în raport cu timpul

se obţine viteza punctului O:

,cos

l

cos

lSv

22OO

de unde: .l

cosv 2O

Componentele scalare pe axele mobile ale vitezei Ov

sunt:

.cosvv ;sinvv OOyOOx

Fig. 8.25




Coordonatele faţă de sistemul fix ale originii sistemului mobil sunt:

.tgly;lx OO

Ecuaţiile parametrice ale rostogolitoarei se obţin utilizând relaţiile (9.43):

.cos

sinlvy;

cos

lvx

2OxOy

Eliminând parametrul variabil între ecuaţiile (8.49) rezultă ecuaţiarostogolitoarei, o curbă plană de gradul IV:

.0yxlx 2224 (8.50)

Ecuaţiile bazei rezultă, utilizând relaţiile (8.46):

.tglcoscos

sinlsin

cos

ltglcosysinxyy

;tglsincos

sinlcos

cos

llsinycosxxx

2O1

2

2O1

(8.51)Eliminând parametrul geometric variabil q între ecuaţiile parametrice

(8.51) ale centroidei fixe, rezultă ecuaţia unei parabole cu vârful în O1 ,

simetrică faţă de :xO 11

.xly 121 (8.52)

Cele două locuri geometrice s-au reprezentat în figura 8.25.Soluţia analitică: locurile geometrice ale centrului instantaneu de

rotaţie se pot determina analitic, aplicând teoria generală a locurilor

geometrice. Se construieşte centrul instantaneu de rotaţie I, care se aflăla intersecţia perpendicularelor ridicate pe suporturile vitezelor - ghidaje.Coordonatele centrului instantaneu de rotaţie în cele două sisteme

de referinţă sunt:- în sistemul de referinţă mobil - ecuaţiile parametrice ale

rostogolitoarei:

;cos

sinltgOOOy;

cos

lOOx

2111

- în sistemul de referinţă fix - ecuaţiile parametrice ale bazei:



230 MECANICĂ

.tglcosOy;tglsinOx 112

11 Rezultatele sunt aceleaşi cu cele obţinute anterior prin aplicarea

ecuaţiilor (8.43) şi (8.46).

5. Elementul (2) de lungime l din figura 8.28 execută o mişcare

plană, în timp ce manivela (1) de lungime bCOOO 11 se roteşte cu

viteza unghiulară constantă 1 , în jurul articulaţiei 1O . Elementul (2) al

mecanismului alunecă în manşonul (3) articulat în C. Să se determine:a) baza şi rostogolitoarea mişcării plane a elementului (2); b) vitezele

punctelor A şi C ale barei (2);c) polul acceleraţiilor; d)

acceleraţiile punctelor A şi C. Rezolvare. a) Se aleg

axele de coordonate ca înfigura 8.26. Se stabileşte

poziţia lu i I centrulinstantaneu al barei (2)

ridicând perpendiculare în Oşi C pe direcţiile vitezelor

CO vşiv

. Coordonatele lui Iîn sistemul fix 111 yxO sunt:

.2sin by;2cos bx 11 Eliminând parametrul geometric variabil q rezultă baza:

, byx22

121 un cerc de rază b cu centrul în .C1

Coordonatele lui I în sistemul mobil Oxy sunt:

.sin b2

y;cos b2x

Prin eliminarea lui q, rezultă rostogolitoarea:

, b4yx 222 un cerc de rază 2b cu centrul în O, tangent în I la bază.

b) Viteza unghiulară instantanee a barei (2) rezultă astfel:

Fig. 8.26




.2 b2

b

O

v unde de Ov 11O

22O

Vitezele punctelor A şi C ale barei (2) sunt:

.sinvsin b

Cv;cos bl4l b42

Av

O1

2C221

2A

c) Pentru determinarea polului acceleraţiilor, sunt necesare: acceleraţia

unui punct al barei, viteza unghiulară 2 şi acceleraţia 2.

Acceleraţia punctului O care descrie o traiectorie circulară este:

. b b

vaa 2

1

2O

OO

Acceleraţia unghiulară a barei (2) este:

.ctdeoarece,02 1

122

Aplicând relaţiile (8.61) rezultă poziţia polului acceleraţiilor J:

.0arctg; b4aOJ22

2

42

22

O

Polul J se află în prelungirea suportului acceleraţiei normale aO la

distanţa 4b faţă de O (v. fig. 8.28).d) Acceleraţiile punctelor A şi C sunt normale şi orientate spre polul

J deoarece acceleraţia 2 este nulă:

,cos bl8l b164

JAa 22212

2A

.cos342

bJCa 2

212

2C

Cu ajutorul lui I şi J se pot determina, ca în mişcarea de rotaţie,vitezele, respectiv acceleraţiile tuturor punctelor barei (2).

6. Rola conică a unui rulment axial (fig.8.29)se rostogoleşte fără



232 MECANICĂ

alunecare pe o cale de rulare de asemenea conică, rotindu-se în jurul

axei de simetrie a căii de rulare conice cu viteza unghiulară 1 . Conul

din care se poate considera că poate să facă parte rola, are unghiul lavârf 2 şi înălţimea OC = R. Raza bazei mari a rolei este r = R tg.Unghiul la vârf al conului care reprezintă calea de rulare este 2b. Se cer să se determine:

a) viteza de rotaţie proprie 2 ; b) viteza unghiulară instantanee

şi acceleraţia unghiulară

; c) viteza şi acceleraţia unui punct B situatla periferia rolei; d) ecuaţiile axei instantanee de rotaţie.

Rezolvare. Se aleg axele de referinţă ca în figura 8.27. Se vede căunghiul de nutaţie este constant şi are valoarea:

.0deci.ct

Rola conică execută o mişcare de precesie regulată.

a) Viteza unghiulară de rotaţie proprie, rezultă aplicând teoremasinusului în triunghiurile respective (v. fig. 8.29):

.sin

sindeci

sinsin 2

b) Viteza unghiulară instantanee , în sistemul de referinţă mobil

Oxyz solidar cu rola se calculează cu relaţiile (8.72):

,k sinr R jcossinisinsin

Fig. 8.27




unde:

k sin

sink

,

k cos jcos90cosisin90cos

iar

.sinr

R sinctgcos

sin

sincos

Acceleraţia unghiulară

conform relaţiei (8.72) este:

sinsin00

coscossinsinsin

k ji

. jsinicossin

sinsin2

c) Viteza unui punct B de la periferia rolei este:

R 0r r

R

cossin

k ji

sinBOvB

.k cosr jsin1R icosR sin1

Pentru 0şi90 rezultă: .k R

r jiR v 1B

Acceleraţia unui punct B de pe periferia rolei conform relaţiei (8.69)este:

.

cosr sin1R cosR r

R cossin

k ji

sin

R 0r

0sincos

k ji

sin

sinsinBOBOa

22

2B



234 MECANICĂ

Pentru 90 0 şi rezultă: .k i

R

r

r

R R a 2

1B

d) Ecuaţiile axei instantanee de rotaţie faţă de sistemul mobil sauecuaţiile parametrice ale conului polodic sunt date de relaţiile (8.65):

ctg

z

cos

y

sin

x


1. O instalaţie care transportă piese într-un cuptor pentru uscare(fig. 8.28) este alcătuită dintr-un braţarticulat OA care se roteşte într-un planvertical şi o bară AB în capătul căreia estefixat suportul pe care se aşează piesele.întimpul mişcării instalaţiei, bara AB este

verticală. Să se stabilească dependenţadintre unghiul de rotaţie j al braţuluiarticulat şi timp, astfel încât viteza pieseiaşezate pe suport să fie constantă şi egalăcu 0,05 m/s. Să se determine, deasemenea, traiectoria punctului B dacă AB= 0,8 m, OA = 1,5 m iar la momentul iniţial

j = 0.

R . t30

1 (t) (rad); x2 + ( y + 0,8 )2 = 2,25 (m2).

2. Punctul A situat la mijlocul bielei BC a mecanismului paralelogramdin figura 8.29, se mişcă uniform accelerat. Acceleraţia tangenţială a

acestui punct este A a = 5 m/s2. Lungimea bielei BC = 1 m iar a manivelelor

OB = CD = 0,5 m. La începutul mişcării bara OB se află în poziţie orizontală

iar viteza unghiulară este nulă. Să se determine:

Fig. 8.28




a) traiectoria punctului A; b) viteza şi acceleraţia unghiulară a manivelelor;c) viteza şi acceleraţia punctului B.

R . a)22

A2

A OBy)2

BC -(x ;

b) = 10 t rad/s; = 10 rad/s2;

c) vB = 5 t m/s; 2

B t10015a m/s2;

3. În figura 8.30 este prezentată o bicicletă de antrenament (axeleroţilor sunt fixe). Să se determine unghiul de rotaţie al pedalei ca funcţie detimp, în aşa fel încât bicicleta să parcurgă într-o oră 30 km. Raportul dintrenumărul de dinţi ai pinionului conducător şi ai

pinionului condus al roţii este egal cu 2 iar razaroţii din spate este 0,5 m. Să se determine, deasemenea viteza unghiulară şi numărul derotaţii pe minut al roţii dinţate motoare (a

pedalelor), presupunând că rotaţia esteuniformă.

R . = 8,33 t rad; = 8,33 rad/s;n = 79,6 rot/min.

4. Rotorul unei pompe centrifuge se roteşte uniform în jurul unui ax

Fig. 8.30

Fig. 8.29



236 MECANICĂ

fix (fig. 8.31) cu o turaţie n = 2135 rot/min. Săse determine: a) viteza şi acceleraţia unghiulară

a rotorului; b) viteza şi acceleraţia punctului Asituat la distanţa OA = 0,2 m.R .a) = 223,46 rad/s; = 0;

b) v = 44,7 m/s; a = 0; a = 9987,17 m/s2.

5. Balansierul unui ceas execută oscilaţiide torsiune după o lege sinusoidală cu perioada T

= 0,5 s şi aplitudinea / 3 rad. Să se determinespaţiul parcurs de punctul A, care se află la periferia balansierului (fig. 8.32) în timp de 1 sec.de la începerea mişcării, dacă raza OA = 5 mm.Să se calculeze de asemenea coordonata curbilinies a punctului A, pentru aelaşi interval de timp t = 1s, dacă la momentul iniţial unghiul de rotaţie al

balansierului este zero.

R . S = 13,3 mm; s = 0.

6. Cremaliera 1 (fig. 8.33) sedeplasează pe orizontală după legea S= a t3 (m) şi pune în mişcare pinioanele2 şi 3. Pe pinionul 3 este înfăşurat unfir inextensibil în capătul căruia se află

prisma B. Să se determine viteza şi

acceleraţia prismei B.R . v = 3 a t2 m/s; a = 6 a tm/s2.

7. Un excentric executat subforma unui disc de rază r, se roteşte în jurul unui ax ce trece prin O dupălegea = (t ). Excentricul pune în mişcare tija AB, a cărei axă trece prin

punctul O. Să se determine viteza punctului B dacă excentricitatea OC = e

iar la momentul iniţial = 0 (fig. 8.34).

Fig. 8.32

Fig. 8.33

Fig. 8.31




R .

sin

siner

coseev

222

2

8. Ecuaţia în coordonate polare a profilului excentricului din figura8.35, ce se roteşte în jurul unei axe ce trece prin O, are forma: o

+ b sin . Să se determine la timpul t = 2/3 secunde după începereamişcării viteza şi acceleraţia punctului A

1 al excentricului şi a punctului

A2 ce aparţine tijei AB, ce apasă asupra lui prin intermediul unui arc.

Excentricul se roteşte uniform cu viteza unghiulară = p/2 rad/s, o =

0,02 m iar b = 0,04 m. La momentul iniţial unghiul = 0.

R .

m/s 1054.8aa

m/s 1048.13a

m/s 1014.3vv

m/s 10.8,57v

2BA

22A

2BA

-2A

2

1

2

1

;

Fig. 8.35

Fig. 8.34



238 MECANICĂ

Fig. 8.36

9. Sfera 1 de rază 1 = 0,1 m, a

unui variator cu fricţiune (fig. 8.36 este pusă în mişcare de rotaţie de rola 2 derază r 2 =0,05 m, fixată pe acelaşi ax curoata dinţată conică 3 de rază r 3 = 0,08m. Roata 3 este antrenată de roataconducătoare de rază r 4 = 0,06 m cese roteşte după legea

4 = t2 - 2t (rad).

Considerându-se că rola 2 nu alunecă

pe sfera 1, să se determine: a)acceleraţia punctului M situat pe sfera1, la timpul t = 1 sec. după începerea mişcării; b) viteza unghiulară şiacceleraţia unghiulară a sferei dacă = 30o, = 60o iar la momentuliniţial

4 = 0.

R . a) aM = 0,13 m/s2; b) 1 = 0; 1 = 1,5 rad/s2.



9. MIşCAREA R ELATIVĂ 239

9.

MIŞCAREA RELATIVĂ

9.1. Mişcarea relativă a punctului material ...................... 2419.1.1. Generalităţi .......................................................... 2419.1.2. Derivata absolută şi relativă (locală) a unui

vector ................................................................ 2429.1.3. Compunerea vitezelor în mişcarea relativă

a punctului .......................................................... 2439.1.4. Compunerea acceleraţiilor în mişcarea relativă

a punctului ....................................................... 2449.2. Mişcarea relativă a rigidului ...................................... 246

9.2.1. Generalităţi ......................................................... 2469.2.2. Compunerea vitezelor în mişcarea relativă a

rigidului ........................................................... 246



240 MECANICĂ

9.2.3. Compunerea acceleraţiilor în mişcarea relativăa rigidului .......................................................... 247

9.3 Probleme rezolvate ..................................................... 2489.4 Probleme propuse ........................................................ 252




9MIŞCAREA RELATIVĂ

9.1. MIŞCAREA RELATIVĂ A PUNCTULUIMATERIAL

9.1.1. Generalităţi

În capitolele precedente a fost studiată mişcarea unui punct materialşi a unui solid rigid prin raportare directă la un sistem de referinţă fix. Întehnică, există însă numeroase situaţii în care este necesar sau mai avantajossă raportăm mişcarea punctului sau rigidului, la un sistem de referinţă fix,

prin intermediul unui sistem de referinţă mobil, a cărui mişcare estecunoscută. Deci, presupunând cunoscuţi parametrii cinematici ce carac-

terizează mişcarea punctului şi rigidului în raport cu reperul mobil şi parametriicinematici ce caracterizează mişcarea sistemului de referinţă mobil faţăde cel fix, ne propunem să determinăm parametrii cinematici care definescmişcarea punctului sau a rigidului faţă de sistemul de referinţă fix.

Se ştie că în natură nu există sisteme de referinţă fixe, dar, pentru majoritate problemelor, sistemele dereferinţă legate de Pământ potfi considerate fixe.

Pentru început se vastudia mişcarea unui punct A(fig. 9.1) faţă de sistemul dereferinţă fix 1111 zyxO prinintermediul sistemului dereferinţă mobil Oxyz.Mişcarea sistemului dereferinţă mobil, faţă de cel fix

este cunoscută prin vectorii Fig. 9.1



242 MECANICĂ

.şivO Mişcarea punctului A (sau a unui rigid) faţă de sistemul de referinţă

fix, se numeşte mişcare absolută; traiectoria, viteza şi acceleraţia punctului

corespunzătoare acestei mişcări se numesc absolute. Mişcarea punctului A(sau a unui rigid) faţă de sistemul de referinţă mobil se numeşte mişcarerelativă; traiectoria, viteza şi acceleraţia punctului corespunzătoare acesteimişcări se numesc relative. Mişcarea punctului A (sau a unui rigid) presupussolidar cu sistemul de referinţă mobil, în raport cu sistemul de referinţă fix, senumeşte mişcare de transport; traiectoria, viteza şi acceleraţia punctuluicorespunzătoare acestei mişcări se numesc de transport. Mişcarea detransport se poate obţine anulând mişcarea relativă.

În general, în aplicaţiile practice se cer determinate elementele mişcăriiabsolute când se cunosc elementele mişcării relative şi a celei de transport.

9.1.2. Derivata absolută şi relativă (locală) a unui vector

Dezvoltările din acest capitol implică şi problema determinării derivateiîn raport cu timpul a unui vector variabil (în mărime şi direcţie) exprimat

prin proiecţiile sale pe axele unui sistem de referinţă mobil.În figura 9.1 se consideră vectorul tU

definit în sistemul de referinţă

mobil Oxyz prin expresia analitică:

.k U jUiUtU zyx

(9.1)Prin derivare în raport cu timpul se obţine:

.k U jUiUk U jUiUdt

Udzyxzyx

(9.2)

Ţinând seama de relaţiile lui Poisson (7.11), paranteza a doua dinmembrul drept, devine:

.Uk U jUiUk U jUiU zyxzyx

Relaţia (9.2) se scrie astfel:

.Uk U jUiUdt

Udzyx

(9.3)

Termenul din membrul stâng al egalităţii (9.3) reprezintă derivatavectorului tU faţă de sistemul de referinţă fix, se numeşte derivata




absolută şi se notează:

.Udt

Ud

(9.4)

Prima paranteză din membrul drept al egalităţii (9.3) reprezintăderivata vectorului U

faţă de sistemul mobil, ca şi cum acesta ar fi fix,

adică versorii k , j,i

nu-şi schimbă direcţia.Această derivată este denumită locală sau relativă şi se notează

convenţional (nu este derivată parţială):

.

t

Uk U jUiU zyx

(9.5)

În final relaţia (9.3) se scrie:

.Ut

U

dt

UdU

(9.6)

Relaţia (9.6) reprezintă formula după care se calculează derivataabsolută a unui vector variabil în mărime şi direcţie, definit prin proiecţiilesale pe axele unui sistem de referinţă mobil. În această formulă reprezintă viteza unghiulară a sistemului mobil faţă de cel fix.

Observaţii . 1) Când =0 sau ,U|| derivata absolută este egalăcu derivata relativă a vectorului respectiv;

2) Derivata absolută a vectorului

este egală cu derivata sa relativă

;0deoarecetdt

d

3) Derivata absolută a unui vector constant în mărime, variabil în

direcţie este 0t

U

deoareceUdt

Ud

(vezi relaţia (7.10).

9.1.3. Compunerea vitezelor în mişcarea relativă a punctului

În figura 9.1 se consideră punctul A în mişcare atât faţă de sistemulde referinţă mobil Oxyz cât şi faţă de cel fix .zyxO 1111 Poziţia punctuluiA se exprimă prin vectorii de poziţie r

, faţă de sistemul fix şi

faţă de

cel mobil. Poziţia originii O a sistemului mobil faţă de cel fix este dată de



244 MECANICĂ

vectorul de poziţie Or

. Între aceşti vectori de poziţie există relaţia:.r r O

(9.7)

Derivând în raport cu timpul relaţia (9.7) se obţine:.

tvr r OO

(9.8)

Pentru calculul derivatei

s-a aplicat formula (9.6). După definiţiiledate mai înainte rezultă că s-au obţinut:

- viteza absolută, viteza punctului A faţă de sistemul fix:

,dt

r dr va

(9.9)

- viteza relativă, viteza punctului A faţă de sistemul mobil, ca şi cumacesta ar fi fix:

,t

v r

(9.10)

- viteza de transport a punctului A, solidar legat de sistemul de referinţămobil, în mişcare faţă de sistemul fix:

.vv Ot

(9.11)Cu aceste notaţii, relaţia (9.8) devine:

.vvv tr a (9.12)După relaţia (9.12) se compun vitezele în mişcarea relativă a punctului

material şi anume: viteza absolută a unui punct este egală cu sumavectorială între viteza relativă şi viteza de transport.

Observaţie. Cele două mişcări relativă şi de transport, se pot studiaseparat şi independent, iar apoi să se însumeze efectele.

9.1.4. Compunerea acceleraţiilor în mişcarea relativă apunctului

Pentru calculul acceleraţiilor se derivează în raport cu timpul relaţia (9.8):

.tdt

dvr O

(9.13)

Vectorult

este definit prin proiecţiile sale pe axele sistemului de

referinţă mobil şi ca urmare derivata sa se calculează cu formula (9.6):




.ttttttdt

d2

2

(9.14)

iar

.tdt

d

(9.15)

Înlocuind relaţiile (9.15) şi (9.14) în (9.13) rezultă:

.t

2t

ar 2

2

O

(9.16)

Dacă în relaţia (9.16) se pun în evidenţă elementele caracteristice

mişcării absolute, mişcării relative şi mişcării de transport se constată că:- acceleraţia absolută a punctului A în raport cu sistemul de referinţăfix este:

,r aa

(9.17)- acceleraţia de transport, acceleraţia punctului A solidar legat de sistemul

de referinţă mobil, în mişcare faţă de sistemul de referinţă fix este: ,aa Ot

(9.18)

- acceleraţia relativă, acceleraţia punctului A faţă de sistemul mobil

ca şi cum ar fi fix este:

.t

a2

2

r

(9.19)

Se observă că în expresia acceleraţiei absolute (9.16) există un termencare nu aparţine nici acceleraţiei relative şi nici celei de transport. Acesttermen a fost pus pentru prima dată în evidenţă de inginerul francezGUSTAV CORIOLIS (1792 - 1843) şi a fost numit acceleraţie

complementară sau acceleraţie Coriolis:

.v2t

2a r c

(9.20)

Cu aceste notaţii relaţia (9.16) devine:

ctr a aaaa

(9.21)După relaţia (9.21) se compun acceleraţiile în mişcarea relativă a

punctului. Ea arată că acceleraţia absolută a unui punct este egală cusuma vectorială dintre acceleraţia relativă, acceleraţia de transport şiacceleraţia Coriolis.



246 MECANICĂ

Referitor la acceleraţia Coriolis ca

, ea exprimă influenţa simultanăa mişcării de rotaţie a sistemului mobil şi a mişcării relative a punctului

asupra acceleraţiei absolute a acestuia. Acceleraţia Coriolis este un vec-tor perpendicular pe planul definit de vectorii ,vşi r

iar sensul sedetermină cu regula şurubului drept. Modulul acceleraţiei Coriolis este:

.v,sinv2a r r c

(9.22)

Se observă că acceleraţia Coriolis este nulă când ,0

adică încazul în care sistemul de referinţă mobil are o mişcare de translaţie, saudacă vectorii r vşi

sunt paraleli.

9.2. MIŞCAREA RELATIVĂ A RIGIDULUI

9.2.1. Generalităţi

În capitolul 8 s-a studiat cinematica rigidului faţă de un reper considerat fix. În cele ce urmează se va studia mişcarea rigidului atâtfaţă de reperul fix, cât şi faţă de cel mobil, pentru a se stabili relaţiile între

vitezele şi acceleraţiie unui punct al rigidului în cele două repere.În figura 9.2 se consideră un rigid C în mişcare, căruia i se ataşează

triedrul .zyxOT 22222

Se mai consideră triedrul mobil, intermediar 11111 zyxOT şi triedrulfix .zyxOT 00000 Se cunoaşte mişcarea relativă a corpului C faţă dereperul mobil 1T , prin viteza 21v

a originii triedrului 2T şi viteza unghiulară

.21

Mişcarea reperului mobil 1T faţă de reperul fix OT , se cunoaşte

prin viteza 10v

a originii triedrului 1T şi viteza unghiulară .10

9.2.2. Compunerea vitezelor în mişcarearelativă a rigidului

Pe baza definiţiilor date mai înainte vitezelor absolute, relative şi detransport, se vor calcula vitezele unui punct oarecare A (fig. 9.2). Poziţia

acestui punct este definită de vectorul de poziţie 2r

faţă de reperul 2T , prin vectorul 1r

faţă de reperul mobil 1T şiOr faţă de cel fix .T0




Viteza relativă a punctului A este viteza lui A faţă de reperul ,T1

punctul fiind solidar legat de reperul :T2

.r vv 22121r

(9.23)Viteza de transport este viteza punctului A considerat solidar legatde reperul 1T , în mişcare faţă de reperul fix :TO

.r vv 11010t

(9.24)

Viteza absolută se obţine prin însumarea vectorilor tr vşiv conform

relaţiei (9.12):.r r vvv 2211102110A

(9.25)

Relaţia (9.25) se poate generaliza uşor considerând triedrul fix To,

triedrele intermediare 1n21 T,...,T,T mobile şi triedrul nT solidar legat decorpul C în mişcare. Vectorii de poziţie şi punctul A faţă de reperelemobile vor fi .r ,...,r ,r n21

Deci:

.r vvn

1ii1i,i

n

1i1i,iA

(9.26)

9.2.3. Compunerea acceleraţiilor în mişcarea relativă arigidului

Considerând din nou reperele 21O TşiT,T şi rigidul din figura 9.2,acceleraţia absolută a unui punct A, oarecare, este suma vectorială (9.21):

Fig. 9.2



248 MECANICĂ

.aaaa ctr a

Mişcarea relativă a triedrului 2T faţă de triedrul 1T este definită prin

parametrii cinematici .şi,a 212121

Mişcarea de transport a triedrului1T faţă de triedrul OT este definită prin parametrii .şi,a 101010

În baza rezultatelor obţinute în paragraful 8.1.3. rezultă:Acceleraţia relativă a punctului A este acceleraţia lui faţă de triedrul

mobil 1T , punctul fiind solidar cu triedrul 2T :

.r r aa 2212122121r

(9.27)

Acceleraţia de transport a punctului A este acceleraţia lui faţă de

triedrul OT , punctul fiind considerat solidar legat cu triedrul 1T :

.r r aa 1101011010t

(9.28)

Acceleraţia Coriolis este egală cu dublul produsului vectorial dintreviteza unghiulară de transport şi viteza relativă (9.23):

.r v2v2a 2212110r 10c

(9.29)

Întroducând ctr aşia,a

în relaţia (9.21) rezultă:

.r v2r

r r r aaa221211022121

110102211102110A

. (9.30)

Pentru generalizare se consideră triedrul fix OT , triedrele interme-diare n1n21 TşiT,...,T,T ataşat rigidului în mişcare:

.r v2

r r aa

n

2i

1i

1 ji1i,i1i,i1 j, j

n

1ii1i,i1i,i

n

1ii1i,i

n

1i1i,iA

. (9.31)unde j < i.


1. Un cursor M se deplasează pe generatoarea VA a unui con, după

legea .mt2,0S 2 Conul având unghiul la vârf 602 se roteşte în

jurul axei sale OV, după legea ).rad(t5,02

Să se determine viteza




absolută şi acceleraţia absolută a cursorului la timpul t=2 secunde.

Rezolvare. Se aleg două sisteme dereferinţă: unul fix 1111 zyxO şi

unul mobil Oxyz ca în figura 9.3. Generatoarea conului VA este conţinutăîn planul mobil xOz. Mişcarea punctuluiM faţă de con este mişcare relativă,traiectoria mişcării relative este dreaptaVA, generatoarea conului. Mişcarea

punctului M considerat solidar cu conul,în mişcare faţă de sistemul fix, estemişcare de transport, traiectoria mişcării

de transport este un cerc de rază R = Ssin. Mişcarea cursorului faţă desistemul fix, este mişcare absolută,traiectoria mişcării absolute este o elicieconică.

Viteza absolută este:

,vvv tr a

unde:

;k 34,0i4,0v;s/m8,0Sv r 2tr

; j8,0v;s/m8,024,0R v tt

deci: .s/m13,1v;k 34,0 j8,0i4,0v aa

Vectorii viteză relativă şi viteză de transport s-au reprezentat în figura 9.3.Acceleraţia absolută este:

,aaaa ctr a

unde ;k 32,0i2,0a;s/m4,0Sar

2

r

. j4,0i6,1a:deci;s/m6,124,0R a

iºs/m4,014,0R adar aaa

t222

t

2tttt

Acceleraţia Coriolis este:

. j6,1

34,004,0

200

k ji

v2a r c

Fig. 9.3



250 MECANICĂ

Vectorii acceleraţie s-au reprezentat în figura 9.3.Rezultă:

.s/m46,22,0324,1a;k 32,0 j2i4,1a 2222aa

2. Roata panoramică 1 de rază R=12 m (fig. 9.4) se roteşte cu o

viteză unghiulară constantă 10

=0,2 rad/

s în jurul axei orizontale ce trece prin O.Cabinele 2 şi 3 sunt articulate în A şi,respectiv, în B de janta roţii 1 şi se rotesc

în raport cu aceasta cu o viteză unghiularăconstantă

21=0,2 rad/s. Să se determine

vitezele absolute şi acceleraţiile absoluteale punctelor C şi D care se găsesc peverticalele ce trec în mod corespunzător,

prin punctele A şi B dacă AC=BD=2 m. Rezolvare. Cele două viteze

unghiulare au suporturile paralele, mărimi egale şi sensuri contrare. Viteza

absolută a cabinelor este:

.0i2,0i2,0102120

Deci, cabinele de observaţie 2 şi 3 au mişcări de translaţie. Vitezeletuturor punctelor, sunt egale:

.s/m4,22,012R AOvv 1010DC

.

Acceleraţiile punctelor A şi B au numai componente normale şi sunt

egale: .s/m48,0122,0R aa 22210DC

3. Arborele 1 se roteşte în jurul unei axe verticale 21OO cu viteza

unghiulară constantă 10

=2 rad/s (fig. 9.5). Pe acest arbore este fixat în

O un alt ax orizontal, în jurul căruia se roteşte uniform discul 2 de rază

R=0,15 m, cu viteza unghiulară .1021 Să se determine, vitezele

absolute şi acceleraţiile absolute ale punctelor A şi B situate la periferiadiscului 2, precum şi acceleraţia unghiulară a discului.

Fig. 9.4




Rezolvare. Cele două vitezeunghiulare au axele concurente şi

perpendiculare, în polul O. Se alege unsistem de referinţă Oxyz, cu originea în polul fix O. Expresiile analitice ale vitezelor unghiulare sunt:

.i2şik 2 2110

Viteza unghiulară rezultantă este:

.k 2i2211020

Vitezele punctelor A şi B conformrelaţiei (10.42) sunt:

.s/m424,0v;k 3,0i3,0

015,00

202

k ji

OAv A20A

.s/m3,0v; j3,015,000202

k ji

OBv B20B

Acceleraţiile punctelor A şi B rezultă din distribuţia de acceleraţii arigidului în mişcare cu punct fix. Discul execută o mişcare de precesieregulată şi conform relaţiilor (9.87) şi (10.36) acceleraţia unghiulară adiscului este:

. j4

002

200k ji

211020

Acceleraţiile punctelor A şi B conform relaţiei (9.84) sunt:

015,00

040

k ji

OAOAa 202020A

Fig. 9.5



252 MECANICĂ

;s/m2,1a; j2,1

3,003,0

202

k ji2

A

.s/m342,16,02,1a;k 6,0i2,1

03,00

202

k ji

15,000

040

k ji

OBOBa

222B

202020B


1. Un disc de rază R = 0,06 m se roteşte

în jurul articulaţiei O cu viteza unghiularăconstantă = 1 rad/s (fig. 9.6). Pe suprafaţadiscului este practicat un canal în interiorulcăruia se deplasează bila M după legea AM= S (t) = 0,02 t2 [m]. Canalul este formatdin două semicercuri de raze r 1 = 0,02 m şir 2 = 0,04 m, unghiul = 60o, cu diametrulvertical OB. Să se determine viteza absolută

şi acceleraţia absolută a punctului M lamomentul de timp t

1 =1s.

R vM

= 9,17 ·10-2 m/s; aM

= 21,44 · 10-2 m/s2.

2. Pe un plan orizontal se rostogoleşte fără alunecare discul 1 derază R = 1 m. Centrul discului C, are acceleraţia a

C = 0,5 m/s2 = const.

La periferia discului, în A este articulat un manşon 2 în interiorul căruiaalunecă bara 3 articulată în O. Să se calculeze viteza unghiulară şiacceleraţia unghiulară a barei 3 la momentul t = 2 s de la începerea

Fig. 9.6




mişcării când sistemul decorpuri se află în poziţia

reprezentată în figura 9.7. Lamomentu iniţial, discul se aflăîn repaus.

R . 3 = 0,5 rad/s;3 = 0.

3. Discul 1 de rază R =0,4 m se rostogoleşte fără

alunecare pe un plan orizontalşi cu ajutorul patinei 3 articulată în A pe circumferinţa de rază R a discului, pune în mişcare bara cotită 2. Bara cotită 2 se deplasează pe verticală.Viteza centrului discului este v

C = 0,8 m/s, constantă. Determinaţi viteza

şi acceleraţia barei 2, precum şi acceleraţia relativă a punctului A pentru poziţia mecanismului din figura 9.8, când l = 0,6 m.

R . v2 = 0,69 m/s; a

2 = 1,38 m/s2; 8.0a x

AA 21 m/s2.

4. Prisma din figura 9.9 se deplasează în linie dreaptă pe un plandupă legea S (t) = 0,02 t (5 - t) m. Pe această prismă se sprijină capătulA al unei bare OA de lungime 0,2 m, articulată în O. Determinaţi vitezaunghiulară şi acceleraţia unghiulară a barei la tim-pul t = 1 s, dacă laacest moment = 60o iar = 30o.

R . = 0,17 rad/s; = 0,13 rad/s2

.

Fig. 9.7

Fig. 9.8 Fig. 9.9



254 MECANICĂ

5. Prisma 1 se mişcă în linie dreaptă pe un plan orizontal după legea S (t) =

0,12 (1 - cos pt /6) m. Pe suprafaţainterioară cilindrică de rază R = 0,12 m a prismei, se sprijină capătul A al unui tachet2 (fig. 9.10), ce se poate deplasa peverticală. Să se determine viteza absolutăşi acceleraţia absolută a tachetului precumviteza şi acceleraţia relativă a prismei latimpul t = 2 secunde.

R . v = · 10-2

m/s; a =29 2 · 10-4 m/s2; v

r = 0,02 m/s; a

r = 33 2 · 10-4 m/s2.

6. Roata de rază R = 2 m, din figura 9.11 se rostogoleşte fărăalunecare pe un plan orizontal, centrul roţii având acceleraţia aC = 0,5 m/s2. în acelaşi timp pe raza CA se deplasează de la C spre A un punct Mdupă legea CM = S (t) = 0,25 t2 m. Calculaţi acceleraţia absolută a

punctului M, când CM = R/2, iar raza este orizontală ca în figură. Lamomentul iniţial roata se află în repaus.R . a

M = 1,46 m/s2.

7. Inelul M se deplasează cu viteza relativă vr = 2 m/s pe cercul de rază

R = 0,5 m, care se rostogoleşte fără alunecare pe un plan orizontal. Pentru poziţia din figura 9.12 să se calculeze viteza absolută şi acceleraţia absolută

a inelului dacă vC = 4 m/s şi aC = 1 m/s2

, unde C este centrul cercului.R. vM

= 10 m/s; aM

= 72,03 m/s2.

Fig. 9.10

Fig. 9.11 Fig. 9.12




Tabelul 9.1

8. Pentru problemele prezentate în tabelul 9.1, să se determine viteza

absolută şi acceleraţia absolută a punctului M. Se cunosc legile de mişcare (t) şi S (t), date în tabelul 9.2.



256 MECANICĂ

Numărulproblemei Se dă: Se cere:

1

O1A = O2B = 0,2 m

(t) =4

3

t2 rad

S (t) = 0,01 t3 + 0,5 t m

a M

v , viteza absolută a lui M;

a M

a , acceleraţia absolută alui M;

la momentul t1 =1

2 sec.

2

O1A = O2B = 0,3 m

( t) =

8

3

t

3

rad S (t) = 0,16 t2 - 0,02 t + 0,02

rad

a M

v , a M

a

la t1 =1

2 sec.

3x (t) = - 0,8 t + 0,3 t2 m

S (t) = 0,04 t + 0,01 t2 m

a M v , a

Ma

la t1 = 2 sec.

4

(t) =5

6

t3 rad

S (t) = 0,06 t2 m R = 0,18 m

O1A = O2B = 0,02 m

a M

v , a M

a

la t1 = 1 sec.

5

O1A = O2B = 0,4 m AB = R = 0,3 m

(t) =

8 t2 rad

S (t) =0 05

4

t3 m

a M

v , a M

a

la t1 = 2 sec.

6

O1A = O2B = 0,25 m

(t) =4

27

t2 rad

S (t) = 2 t3 m

a M

v , a M

a

la t1 =3

2 sec.

7

R = 0,81 m

S1 (t) = 0,2 (1 - sin

2 t) m

S2 (t) = 0,03 t2 m

a M

v , a M

a

la t1 = 3 sec.

8

OM = l = 0,20 m S (t) = 0,18 t2 + 0,02 t m

(t) =5

6

sin

12

t rad

a M

v , a M

a

la t1 = 2 sec.

Tabelul 9.2



257 10. NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ

DINAMICA

10.

NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ

10.1. Generalităţi .............................................................. 25910.2. Lucrul mecanic ........................................................ 260

10.2.1. Lucrul mecanic al forţelor ce acţioneazăasupra punctului material ................................ 260

10.2.2. Lucrul mecanic al forţelor ce acţioneazăasupra rigidului ................................................ 265

10.3. Puterea mecanică ..................................................... 26810.4. Randamentul mecanic .............................................. 269



258 MECANICĂ

10.5. Momente de inerţie mecanice ................................ 27010.5.1. Momentele de inerţie mecanice ale rigidului ... 271

10.5.2. Momentele de inerţie ale corpurilor derotaţie ............................................................. 27510.5.3. Variaţia momentelor de inerţie la translaţia

axelor ................................................................ 27710.5.4. Variaţia momentelor de inerţie la rotaţia

axelor .............................................................. 27910.6. Energia mecanică .................................................... 280

10.6.1. Energia cinetică ................................................ 281

10.6.2. Energia potenţială ............................................. 28510.7. Impulsul ................................................................... 28610.8. Momentul cinetic .................................................... 28710.9. Torsorul vectorilor impuls pentru diferite

corpuri în mişcare ............................................. 29010.10 Probleme rezolvate ................................................. 29610.11 Probleme propuse .................................................... 307




DINAMICA10

NOŢIUNI SPECIFICE ÎN DINAMICĂ

10.1. GENERALITĂŢI

Dinamica este partea Mecanicii care studiază mişcarea mecanică asistemelor materiale luând în considerare atât cauzele mişcării (forţelecare acţionează sistemul) cât şi proprietăţile inerţiale ale sistemului (masaşi distribuţia ei în spaţiu). Ţinând seama de elementele care se cunosc şide cele care trebuie determinate, problemele de dinamică se încadreazăîn una din următoarele categorii:

a) probleme directe în care sunt date caracteristicile geometriceale sistemului (formă şi dimensiuni), caracteristicile inerţiale (masă şi

momente de inerţie), condiţiile iniţiale ale mişcării şi forţele care-lacţionează şi se cere să se determine mişcarea sistemului;

b) probleme inverse în care sunt cunoscute caracteristicilegeometrice şi inerţiale, precum şi ecuaţiile de mişcare ale sistemului şi secere determinarea forţelor care-l acţionează. În general, aceste problemesunt nedeterminate deoarece există mai multe sisteme de forţe, careacţionând asupra aceluiaşi sistem, provoacă aceeaşi mişcare;

c) probleme mixte în care se cere determinarea unor caracteristiciale mişcării şi o parte din forţele care acţionează sistemul, cunoscândcaracteristicile geometrice şi inerţiale, condiţiile iniţiale ale mişcării, uneleelemente ale mişcării precum şi o parte din forţele care-l acţionează.

Rezolvarea acestor probleme se face cu ajutorul unor teoreme şi principii deduse prin aplicarea principiilor fundamentale ale Mecanicii.

Statica şi cinematica au operat cu noţiuni care se vor regăsi în cadruldinamicii. În plus, această parte a cursului de Mecanică va introduce noţiunispecifice ca noţiunile de lucru mecanic, putere mecanică, randamentmecanic, energie mecanică, moment de inerţie, impuls şi moment cinetic.



260 MECANICĂ

10.2. LUCRUL MECANIC

10.2.1. Lucrul mecanic al forţelor ce acţioneazăasupra punctului material

Noţiunea de lucru mecanic s-a introdus din necesitatea de a evaluaacţiunea exercitată de o forţă asupra unui corp în decursul unei deplasări.

În figura 10.1 se consideră un punctmaterial A ce se deplasează pe o traiectorie

rectilinie, între punctele ,AşiA 21 subacţiunea unei forţe F

constantă (în mărime

direcţie şi sens) ce formează unghiul cuaceastă direcţie. Lucrul mecanic L al

acestei forţe F

se defineşte ca fiind egal cu produsul dintre proiecţia forţei pe direcţiadeplasării şi deplasarea respectivă:

,r F)r r (FA1

AFcosA1

A 1222

FL (10.1)

în care r

reprezintă variaţiavectorului de poziţie.

Considerând cazul general alunei forţe variabile ,F

(fig.10.2) alcărei punct de aplicaţie A descrie otraiectorie curbilinie (C) se va defini

un lucru mecanic elementar dL pentru o deplasare elementară dS,într-un timp elementar dt, în careforţa poate fi considerată constantă,iar arcul dS se poate confunda cucoarda dr. Astfel rezultă:

,r dFcosr dFds)(cosFdL

(10.2)

unde r d

reprezintă variaţia elementară a vectorului de poziţie.

Fig. 10.1

A1

O

s=r A2

F

r 1

r 2

Fig. 10.2




Relaţiile (10.1) şi (10.2) arată că lucrul mecanic este o mărime scalarăşi se exprimă prin produsul scalar dintre forţa F

şi variaţia vectorului de

poziţie. Lucrul mecanic poate fi pozitiv, negativ sau nul după cum unghiuldintre cei doi vectori este mai mic, mai mare sau egal cu 90 Lucrul mecanic pozitiv se mai numeşte lucru mecanic motor, iar cel negativ rezistent.

Unitatea de măsură pentru lucrul mecanic este joule-ul, în sistemulinternaţional SI.

Expresia analitică a lucrului mecanic elementar se obţineconsiderând expresiile analitice ale vectorilor r dşiF

faţă de un sistem

de referinţă fix cu originea în O:

.k dz jdyidxr dşik Z jYiXF

Deci:

ZdzYdyXdxr dFdL

(10.3)

În funcţie de viteza dt/r dv

a punctului de aplicaţie a forţei,expresia lucrului mecanic elementar este:

.dt)zZyYxX(dtvFdL...

(10.4)

Pentru o deplasare finită a punctului de aplicaţie al forţei F , din

poziţia 1A în poziţia 2A (fig. 10.2) pe curba (C) se obţine lucrul mecanicfinit (total), ce se exprimă prin integrala:

.2121

21

AAAA

Zdz )(Xdx+Ydy+r dFL AA

(10.5)

Relaţia (10.5) arată că lucrul mecanic total al unei forţe, corespunzător

unei deplasări finite, se exprimă printr-o integrală curbilinie, extinsă petraiectoria descrisă de punctul de aplicaţie al forţei şi depinde atât deforţă cât şi de arcul de curbă pe care se deplasează punctul său deaplicaţie.

Pentru anumite forţe care se numesc conservative, lucrul mecanicfinit nu depinde de forma şi lungimea traiectoriei parcurse de punctul săude aplicaţie, ci numai de poziţiile acestor puncte. Proiecţiile acestor forţeconservative pe axele unui sisyem de referinţă sunt derivatele parţiale

ale unei funcţii scalare U (x, y, z) faţă de coordonatele x, y, z ale punctului



262 MECANICĂ

de aplicaţie al forţei:

Ugradk z

U j

y

Ui

x

UF

(10.6)unde X, Y, Z-proiecţiile forţei pe axele de coordonate sunt:

z

UZ;

y

UY;

x

UX

(10.7)

Funcţia U (x, y, z) se numeşte funcţie de forţă iar spaţiul în careforţele sunt conservative se numeşte spaţiu conservativ.

Lucrul mecanic elementar al forţei F

conservative devine:

,dUdzzU

dyyU

dxxU

r dFdL

(10.8)

adică lucrul mecanic ele-mentar al unei forţe con-servative este diferenţialatotală exactă a funcţiei deforţă U.

Lucrul mecanic total al

forţei conservativeF

(fig.10.3) când punctul eide aplicaţie se deplasează pecurba (C) din 1111 z,y,xAîn 2222 z,y,xA devine:

,UUL AAAA 12

2

121

21

A

AAA

dU

=r dF

(10.9)

în care 222A z,y,xUU2

şi 111A z,y,xUU1

sunt valorile funcţieiU când punctul material se află în 2A , respectiv în 1A . Deci, lucrulmecanic total al unei forţe conservative nu depinde de forma şi lungimeatraiectoriei parcurse de punctul de aplicaţie al forţei ci numai de poziţiileiniţială şi finală ale punctului.

Uneori, în locul funcţiei U se poate considera funcţia V denumită

funcţie potenţială (energie potenţială), definită prin relaţia:V= -U. (10.10)

Fig. 10.3




În acest caz, lucrul mecanic elementar are expresia:dL= -dV. (10.11)

Funcţia de forţă U şi funcţia potenţială V nu pot fi determinate decâtcu aproximaţia unei constante.În natură se întâlnesc următoarele sisteme de forţe conservative: forţele

gravi-taţionale gmF

, forţele elastice r k F

şi forţele de atracţie univer-

sală .r

r

r

mMf F

2

De asemenea, toate forţele constante sunt forţe con-

servative.Forţele de frecare şi în general forţele rezistente sunt forţe necon-

servative, deoarece aceste forţe depind şi de viteza punctului material (nunumai de vectorul de poziţie). Lucrul mecanic al acestor forţe esteîntotdeauna negativ.

Aplicaţie. Să se calculeze lucrul mecanic şi funcţia de forţă U pentruforţele gravitaţionale şi elastice.

Rezolvare. a) În figura10.4 se consideră un punct A

de greutate gmG

ce sedeplasează pe o traiectorieoarecare din 1111 z,y,xA în

2222 z,y,xA Proiecţiile pecele trei axe ale acestei forţesunt:X=0; Y=0; Z=-mg.

Lucrul mecanic corespun-

zător deplasării punctului deaplicaţie din 1A în 2A este:

.hmg)ZZ(mgmgdzr dGL 12AA

2

1

2

1

21

Z

Z

A

A

(10.12)

Deoarece ,z

Umg

rezultă că funcţia de forţă corespunzătoare

greutăţii G

este

CzgmU (10.13)

Fig. 10.4



264 MECANICĂ

Rezultă că lucrul mecanic algreutăţii corpurilor este egal cu

produsul dintre greutatea corpuluişi diferenţa de nivel h Lucrulmecanic nu depinde de formatraiectoriei descrisă de punctul deaplicaţie al forţei, ci numai dediferenţa de nivel h şi mărimeaforţei mg. Dacă 12 zz , lucrul

mecanic este negativ, iar dacă 12 zz lucrul mecanic este pozitiv..

b) Forţele elastice sunt forţe de reacţiune care apar ca urmare a deformăriicorpurilor elastice.Forţele sunt proporţionale cu deplasarea punctului lor deaplicaţie măsurată din poziţia de echilibru (poziţia nedeformată a corpului).În fig.10.5 se consideră un resort cilindric de constantă elastică k. Un capăteste fixat în O iar celălalt descrie curba (C). Forţa elastică F

trece tot timpul

prin punctul fix O.Forţa elastică F

are expresia:

,r k F

(10.14)

under este vectorul de poziţie al punctului A (x, y, z), capătul arcului ce

descrie traiectoria (C).Proiecţiile acestei forţe pe axele sistemului cartezian de referinţă sunt:

X=-k x; Y=-k y; Z=-k z.Lucrul mecanic corespunzător deplasării capătului arcului A, din 1A

în 2A este:

.2

r r

k r dr k r dFL21

2

1AA

21

22

r

r

(10.15)

În baza relaţiei (10.8), funcţia de forţă U este:

,C2r k

C2

r dFdLU

sau C.2

U)+z+yk(x 222

(10.16)

În cazul resortului cilindric din figura 10.6, la care deplasarea capătului

Fig.10.5




A este de-a lungul axei Ox, lucrul mecanic este:

,2

f f k

2

kx

dxkxr dFL

21

22

f

f

2f 2

1

2

1f 2 A

1 A

unde 21 f şif sunt săgeţile arcului faţă de poziţia de potenţial nul (poziţianedeformată a arcului).

Lucrul mecanic al forţei elastice este întotdeauna negativ, rezistent fie că

arcul este întins, fie că este comprimat (unghiul dintre r dşiF

este 180O).Funcţia de forţă în cazul

arcului din figura 10.6:

ştiind că:x

Ukx

rezultă

.C2

kxU

2

10.2.2. Lucrul mecanic al forţelor ce acţionează asupra rigidului

Se consideră un corp solid rigid (fig.10.7) în mişcare generală subacţiunea unui sistem de forţe iF

(i=1, 2..., n) aplicate în punctele iA de

vectori de poziţie ir

faţă de polul fix 1O , şi i

faţă de polul mobil O.Mişcarea generală a rigidului, faţă

de sistemul fix 1111 zyxO estecaracterizată de parametrii cinematici

.vşi O

Lucrul mecanic elementar alforţei iF

corespunzător unui interval detimp dt este:

dtvFr dFdL iiiii

ştiind că:

iOiii vvşidt/r dv

rezultă:

.dtFdtvFdtvFdL iiOiiOii

Fig. 10.6

Fig. 10.7



266 MECANICĂ

Lucrul mecanic elementar total, efectuat de toate forţele sistemului,va fi:

n

1

n

1i

n

1idtFdtvFdL iiOidL (10.17)

Dar ,R Fn

1i

este forţa rezultantă a sistemului de forţe;

n

1Oii MF

-momentul rezultant al sistemului de forţe;

OO r ddtv

-deplasarea elementară a vectorului de poziţie Or

;

ddt -deplasarea unghiulară elementară a rigidului.Prin urmare, relaţia (10.17) devine:

.dMr dR dtMdtvR dL OOOO

(10.18)În cazul mişcărilor particulare ale rigidului, relaţia (10.18) capătă

formele:-în mişcarea de translaţie a rigidului :0

.r dR dtvR dL OO

(10.19)

-în mişcarea de rotaţie cu axă fixă :0vO

2

1

dMLşidMdtMdL OOO

(10.20)

-în mişcarea plan-paralelă a rigidului :vO

rottr OO dLdLdMr dR dL

(10.21)

-în mişcarea elicoidală a rigidului :v|| O

rottr OO dLdLdMr dR dL

(10.22)

Aplicaţie. Să se calculeze lucrul mecanic al forţelor şi momentul de

frecare de rostogolire Mr , pentru un corp de revoluţie de greutate G

, ce se

rostogoleşte fără alunecare pe un plan înclinat aspru, de unghi (fig.10.8). Rezolvare. În punctul teoretic de contact , care este şi centrul

instantaneu de rotaţie apar următoarele forţe şi momente de legătură: T

,




forţa de aderenţă, N

reacţiunea normală şi r M

momentul de frecare larostogolire. Considerând că centrul C se deplasează pe distanţa l, lucrul

mecanic al acestor forţe şi momente este:

0.t

0

ΙT dtvTr dTL

(10.23)

Deci, lucrul mecanic al forţeide aderenţă este nul, deoareceviteza punctului de aplicaţie estenulă.

Lucrul mecanic al reacţiuniinormale N

, este nul deoarece

reacţiunea este perpendiculară pedirecţia deplasării.

Lucrul mecanic al momentuluide frecare de rostogolire r M este:

,cosR

lGs Ns

0r r d

MdL

M (10.24)în care N=G cos, este reacţiunea normală; s-coeficientul de frecare larostogolire;=l/R-unghiul de rostogolire corespunzător parcurgerii distanţei l.

Lucrul mecanic al greutăţii propriiG

este:

.sinlGhGL Observaţie. Pentru un corp, asimilat cu

un punct material de greutate G

carealunecă pe un plan înclinat aspru de unghi (fig. 10.9), lucrul mecanic al forţei de frecare

de alunecare T

, corespunzător unei deplasări l este:

.coslGl NdxTr dTLl

o

unde reprezintă coeficientul de frecare de alunecare dintre corp şi

planul înclinat.

Fig.10.8

Fig. 10.9



268 MECANICĂ

10.3. PUTEREA MECANICĂPuterea mecanică este mărimea scalară ce caracterizează energia

transferată unui sistem fizic şi se defineşte ca fiind egală cu variaţialucrului mecanic în unitatea de timp. Ea se exprimă prin derivata în raportcu timpul a lucrului mecanic produs:

dt

dLP (10.25)

Având în vedere relaţia (10.18) obţinem pentru putere forma:,MvR P OO

(10.26)

corespunzătoare mişcării generale a rigidului.

,OvR P

(10.27)

pentru mişcarea de translaţie a rigidului.Dacă rigidul are o mişcare de rotaţie în jurul unei axe fixe trecând

prin punctul O, respectiv de rotaţie instantanee în jurul unei axe mobile

trecând permanent prin punctul fix O pentru care ,0vO

putereadezvoltată este:

.,McosMMP OOO

(10.28)

Ca şi lucrul mecanic, puterea mecanică poate fi pozitivă, negativăsau nulă, după cum unghiul dintre cei doi vectori ai produsului scalar estemai mic, mai mare sau egal cu .90

Unitatea de măsură pentru putere însistemul internaţional (S.I.) este Watt-ul, 1W=1J/1s=1 Nm/s.

În practică se folosesc multiplii wattului şi o unitate mai veche “calul- putere”. Se ştie că:1CP=736W=0,736 kW sau 1kW=1,36CP.

În cazul când momentul M are aceeaşi orientare cu ,

dar secunoaşte turaţia n, relaţia (10.28) devine:

.30

nMP O

(10.29)

Uneori, în tehnică este necesar să se exprime cuplul la arborele unuimotor în funcţie de puterea şi turaţia acestuia. În acest scop se utilizează




relaţiile:

.

min/rotn

CPP7029

min/rotn

kWP9550

min/rotn

WP30m NM

(10.30)Puterea mecanică are multe aplicaţii în tehnică, constituind o

caracteristică de bază a tuturor agregatelor energetice, instalaţiilor deforţă.

10.4. RANDAMENTUL MECANIC

Randamentul mecanic al unei maşini sau instalaţii este o mărimeadimensională, notată cu şi dă o indicaţie asupra felului cum foloseştemaşina respectivă lucrul mecanic motor. Randamentul mecanic sedefineşte ca fiind egal cu raportul dintre lucrul mecanic util efectuat înregim constant şi lucrul mecanic motor (constant).

Randamentul mecanic se poate exprima şi ca raport al puterilor utile

şi consumate:1.

P

P

L

L

c

u

c

u (10.31)

Orice sistem mecanic care primeşte, consumă şi cedează energie poate fi reprezentat sub forma unei “cutii negre“ (black box), ca în figura10.10 în care intră un lucru mecanic motor ,PL CC din care iese unlucru mecanic util UU PL pe direcţia fluxului de energie şi din caredeviază (se pierde) un lucru mecanic pasiv .PL PP

În această schematizare, randamentul sistemului este raportul mărimiide ieşire pe mărimea de intrare conform relaţiei (10.31) şi întotdeauna

mai mic decât unitatea.Randamentul mecanic este mai

mic decât unitatea deoarece funcţio-narea oricărui sistem se face cu

pierderi; în cazul sistemelor mecaniceaceste pierderi se datoresc forţelor de

frecare. Fig. 10.10



270 MECANICĂ

Uneori, randamentul mecanic se exprimă în funcţie de coeficientulde pierderi , astfel:

1LL1

LLL

LL

c

p

c

pc

c

u(10.32)

unde PCP Liar L/L reprezintă lucrul mecanic pasiv, folosit pentruînvingerea frecărilor.

Randamentul mecanic se calculează numai pentru regimul perma-nent (constant) iar în relaţia (10.32) s-a ţinut seama că:

.LLL PUC

Randamentul total al unui lanţ de n maşini legate în serie este egalcu produsul randamentelor maşinilor lanţului.

n

1i,i (10.33)

iar în cazul unui lanţ de maşini legate în paralel, randamentul total esteegal cu suma produselor dintre randamentele fiecărei maşini şi cota partedin puterea absorbită de maşină din totalul puterii motoare ce alimenteazăîntregul lanţ:

n

1iii , (10.34)

cu condiţia ca:

n

1ii .1

10.5. MOMENTE DE INERŢIE MECANICE

Momentele de inerţie mecanice sunt mărimi care caracterizeazădistribuţia masei unui sistem material în raport cu un reper, ce poate fi

pol, axă sau plan. În funcţie de reperul considerat momentele de inerţiese numesc polare, axiale, planare sau centrifugale când distribuţia maseise raportează la două axe sau două plane perpendiculare.

Prin definiţie, momentul de inerţie mecanic al unui sistem material,

în raport cu un pol, o axă sau un plan, este egal cu suma produselor maselor particulelor (finite sau elementare) sistemului şi pătratului




distanţelor acestor particule până la reperul considerat.Astfel, expresiile de forma:

n

1

22ii mkg,0mJ (10.35)

pentru sisteme discrete de puncte materiale şi

,mkg,0dmJ 2

S

2 (10.36)

pentru medii materiale continue, se numesc momente de inerţie mecanice planare, axiale sau polare după cum ,i respectiv reprezintă distanţele

particulelor materiale (m, respectiv dm) ce alcătuiesc sistemul, la planul,axa sau polul considerat.Momentele de inerţie centrifugale, se definesc ca fiind egale cu suma

produselor maselor particulelor şi distanţele lor la două axe sau plane perpendiculare. Aceste momente de inerţie centrifugale se exprimă astfel:

,

sdmJşimJ 21PP

n

1iiiPP 212121 (10.37)

unde 21 ii , reprezintă distanţele particulelor im până la două plane 1Pşi 2P , iar 21, -distanţele particulelor materiale dm, până la cele două

plane considerate.Momentele de inerţie mecanice se mai numesc momente masice de

ordinul doi, deoarece distanţele care intervin în expresiile lor sunt la pătrat.Momentul de inerţie mecanic este deci o mărime având dimensiunea

2MLJ iar unitatea de măsură în SI, 2mkg .

10.5.1. Momentele de inerţie mecanice ale rigidului

Momentele de inerţie mecanice pentru solidul rigid sunt definite prinintegralele de forma (10.36) şi (10.37). Pentru un corp de formă oarecare(fig.10.11), de masă M, raportat la un sistem de referinţă cartezian, se

pot defini următoarele momente de inerţie mecanice:

-momente de inerţie planare, faţă de planele de coordonate:



272 MECANICĂ

.dmyJ

;dmxJ

;dmzJ

s

2xOz

S

2yOz

S

2xOy

(10.38)

-momente de inerţie axiale, faţă de axelede coordonate:

.dmyxJ

;dmzxJ

;dmzyJ

s

22x

S

22y

S

22x

(10.39)

-momente de inerţie polar, faţă de originea O:

.dmzyxdmr J 222

S

2O

(10.40)

-momente de inerţie centrifugale (produse de inerţie), faţă de planelede coordonate:

.xzdmJ;yzdmJ;xydmJS

xz

S

yz

S

xy (10.41)

În cazul sistemelor discrete de puncte materiale, integralele dinformulele (10.38)...(10.41), se înlocuiesc cu sume.

Proprietăţi:

a) Momentele de inerţie planare, axiale sau polare sunt mărimiscalare pozitive. Ele devin nule numai atunci când sistemul material esteconţinut în planul, pe axa sau în polul considerat.

b) Momentele de inerţie centrifugale sunt mărimi scalare pozitive,negative sau nule în funcţie de sistemul de referinţă ales. Momentele deinerţie centrifugale sunt nule când una din axe sau ambele sunt axe de

Fig. 10.11




simetrie, sau când unul din cele două plane faţă de care se calculează,este plan de simetrie.

c) Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor deinerţie planare.

Cunoscând relaţia 2222 zyxr şi definiţia momentelor de inerţieaxiale, planare şi polare, rezultă următoarea expresie, înmulţind cuelementul de masă dm şi integrând pe tot domeniul (S) ocupat de corpulrespectiv:

,dmzdmydmxdmr S

2

S

2

S

2

S

2

sau .JJJJ xOyxOzyOzO (10.42)d) Momentul de inerţie polar se poate obţine însumând la momentul

de inerţie planar, momentul de inerţie faţă de axa perpendiculară pe acel plan.

Grupând termenii în relaţia ,zyxr 2222 înmulţind cu elementulde masă dm şi integrând pe tot domeniul (S) rezultă:

,dmzydmxs

dmr S

22

S

22

sau ,JJJ,JJJ,JJJ yxOzOzxOyOxyOzO (10.43)relaţii obţinute în mod asemănător.

e) Momentul de inerţie polar este egal cu semisuma momentelor de inerţie axiale.

Relaţia 2222222 zxzyyxr 2

se înmulţeşte cu ele-

mentul de masă dm şi se integrează pe tot domeniul (S) rezultând:

,dmzxdmzydmyxdmr 2S

22

S

22

S

22

S

2

sau ,JJJ2

1J zyxO

(10.44)

În cazul când masa este distribuită într-un plan (cazul plăcilor),momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie axiale:

.JJJ yxO (10.45)



274 MECANICĂ

f) Momentul de inerţie axial este egal cu suma momentelor deinerţie faţă de planele rectangulare ce definesc axa respectivă.

O altă relaţie ce poate fi scrisă între coordonatele x şi y ale elementuluide masă dm este .yxyx 2222 Înmulţind cu elementul dm şiintegrând pe tot domeniul (S) rezultă:

,dmydmxdmyxS

2

S

2

S

22

sau ;JJJ;JJJ;JJJ xOyxOzxzOyxOyyxOzyOzz (10.46)g) Uneori se obişnuieşte a se exprima momentul de inerţie mecanic în

funcţie de raza de inerţie a sistemului material în raport cu reperulconsiderat. Raza de inerţie, notată cu i este distanţa la care se poateconsidera concentrată întreaga masă M a sistemului material, pentru aobţine acelaşi moment de inerţie mecanic faţă de reperul ales; deci

,iMJ 2 de unde: .M

Ji (10.47)

h) Momente de inerţie geometrice. După forma lor geometrică,corpurile se clasifică în: linii materiale (bare), suprafeţe materiale (plăci),şi volume materiale (blocuri). Considerând aceste corpuri omogene,densitatea este constantă în toată masa corpului respectiv. În cazulliniilor materiale se defineşte o densitate liniară ,L suprafeţelor materialeo densitate superficială ,A iar în cazul volumelor materiale o densitatevolumică .

Relaţiile (10.36) şi (10.37) pot fi scrise sub forma:-pentru linii materiale omogene (bare):

;LMld

LMld

LMldJ L

L

2

L

2

L

L2 (10.48)

.L

Mld

L

MldJ

2121 PP

L

21

L

L21PP (10.49)

-pentru suprafeţe materiale omogene (plăci):

;AMAdAMAdJ A

A

2

A

A2 (10.50)




.A

MAd

A

MJ

2121 PP

A

21PP (10.51)

-pentru volume materiale omogene (blocuri):

;V

MVd

V

MVdJ V

V

2

V

A2 (10.52)

.V

MVd

V

MJ

2121 PP

V

21PP (10.53)

Relaţiile (10.48)...(10.53) exprimă legătura între momentele de inerţiemecanice şi cele geometrice. În aceste relaţii, integralele VAL ,, şi

21PP se numesc momente de inerţie geometrice pentru linii, suprafeţe şivolume materiale, deoarece depind numai de caracteristicile geometriceale corpului respectiv.

Relaţiile (10.42)...(10.46) între momentele de inerţie mecanice suntvalabile şi pentru momentele de inerţie geometrice.

Observaţie. În aplicaţii, atunci când se calculează momentul de inerţie

mecanic al unui corp omogen, i se calculează acestuia momentul de inerţiegeometric în raport cu reperul fixat şi acesta se multiplică apoi cu

densitatea corpului .sau, VAl Astfel, pentru sistemele continue şi

omogene se poate stabili o relaţie de legătură, general valabilă, între mo-mentele de inerţie mecanice şi cele geometrice:

.J (10.54)unde este densitatea volumică, superficială sau liniară a corpului

considerat, iar -momentul de inerţie geometric.

10.5.2. Momentele de inerţie ale corpurilor de rotaţie

Un volum de rotaţie rezultă prin rotaţia unei suprafeţe în jurul uneiaxe. În figura 10.12,a se consideră un corp de rotaţie rezultat prin rotaţiaîn jurul axei Ox a suprafeţei limitate de curba de ecuaţie y = f (x) şi

verticalele ce trec prin punctele A şi B de abscise ,x A respectiv .x B



276 MECANICĂ

Momentul de inerţie axial ,Jx în raport cu axa de rotaţie, a corpuluiomogen de masă M şi volum V, se obţine astfel: se detaşează la distanţa

x faţa de planul yOz, o “felie” asimilabilă cu un cilindru de rază y şiînălţime elementară dx. În acest cilindru se detaşează elementul de volumdV, cu ajutorul coordona-telor polare şi (fig.10.12,b) volu-mulelementar dV, aproximatcu un paralelipiped, este:

.dxdddxdAdV

Distanţa de laelementul de volum dVla axa Ox este , iar momentul de inerţie axial

xJ rezultă aplicând

relaţia (10.52):

.dddxV

M

dxddV

M

dVV

M

J

2

0

y

0

3

x

X

2

V

2

x

B

A

Rezultă:

.dxxf 2V

MJ

B

A

x

x

4x

(10.55)

Momentele de inerţie planar ,J yOz se determină tot cu relaţia(10.53), ştiind că distanţa de la elementul dV pe planul yOz este x:

.dddxxV

Mdxddx

V

MdV

V

MJ

2

0

y

0

x

X

22

V

2zOy

B

A

rezultă:

.dxxf xV

MJ

B

A

x

x

22zOy (10.56)

Cunoscând relaţiile (10.42)...(10.46) între momentele de inerţie

mecanice şi egalităţile ,JJ,JJ xOyxOzzy rezultă celelalte momente

a)

Fig. 10.12




mecanice de inerţie:

.JJJ,J2

1JJ,JJ

2

1JJ

yOzxOxxOzxOyyOzxzy

(10.57)

10.5.3. Variaţia momentelor de inerţie la translaţia axelor

În figura 10.13 se consideră un corp solid rigid de formă oarecare şidouă sisteme de referinţă carteziene cu axele paralele între ele. Se

presupun cunoscute momentele masice de ordinul întâi (momentele statice)

şi momentele masice de ordinul al doilea (momentele de inerţie mecanice),în raport cu sistemul Oxyz. Se pune problema determinării momentelor de inerţie în raport cu sistemul 1111 zyxO , translatat faţă de sistemul Oxyz.

Punctul A, oarecare al rigidului sediul unei mase elementare dm, areîn sistemul Oxyz coordonatele (x, y, z), iar sistemul 1111 zyxO , paralel cu

primul, are coordonatele ,z,y,x 111 Cunoscând coordo-natele (a, b, c)ale originii O, în sistemul de referinţă 1111 zyxO , între coordonatele

punctului A se pot scrie următoarele relaţii:

.czz

; byy

;axx

1

1

1

(10.58)

Este suficient să găsim o relaţie pentru calculul momentului deinerţie faţă de una din axele

sistemului 1111 zyxO -de exempluaxa 11zO ; pentru celelalte, formulelevor fi analoage.

Deci, momentul de inerţie faţăde axa 11zO este:

.dm badmy b2dmxa2dmzx

dm bxaxdmyxdmJ

S

22

SSS

22

S

22

S

21

21

S

2z1

Fig. 10.13



278 MECANICĂ

Având în vedere că Mdm este masa corpului, iar

,Sxdm yOz

S

xOz

S

Sydm sunt momentele statice planare rezultă:

,Md bS2aS2JJ 2zxOzyOzzz1

(10.59)

unde s-a notat prin 222z bad distanţa dintre axele Oz şi .zO 11

Dacă originea O coincide cu C, centrul de masă al rigidului, momentelestatice planare sunt nule, iar relaţia (10.59) se restrânge obţinându-se

teorema lui Steiner, sub forma:.MdJJ 2

zczz1 (10.60)

Deci, momentul de inerţie axial, în raport cu o axă oarecare esteegal cu momentul de inerţie în raport cu o axă paralelă care trece princentrul de masă, însumat cu produsul dintre masa totală a rigidului şi

pătratul distanţei dintre cele două axe.Teorema lui Steiner (10.60) se extinde şi la celelalte momente de

inerţie, obţinându-se în mod analog relaţiile:;MdJJ 2

xcxx1 ;MdJJ 2

ycyy1

-pentru momentele de inerţie planare:

; bMJJ

;aMJJ

;cMJJ

2xczzOx

2yczzOy

2xcyyOx

111

111

111

(10.61)

-pentru momentele de inerţie polare:

,COMJJ 21cO1

(10.62)

-pentru momentele de inerţie centrifugale:

.acMJJ

; bcMJJ

;abMJJ

xzzx

yzzy

xyyx

11

11

11

(10.63)




Din teorema lui Steiner, exprimată prin relaţiile de forma (10.60)decurg următoarele proprietăţi ale momentelor de inerţie faţă de

axe paralele:a) momentul de inerţie este minim faţă de o axă care trece prin centrulde masă al sistemului material;

b) locul geometric al axelor paralele faţă de care momentele de inerţiesunt egale este un cilindru circular a cărui axă de simetrie trece princentrul de masă al sistemului şi este paralelă cu direcţia dată.

10.5.4. Variaţia momentelor de inerţie la rotaţia axelor

În figura 10.14 se considerăun corp solid rigid şi un sistem dereferinţă Oxyz, faţă de care se

presupun cunoscute momentele de

inerţie axiale zyx JşiJ,J şi cele

centrifugale yzxzxy J,J,J Se cere să

se determine momentul de inerţieaxial J faţă de o axă oarecare ()de versor variabil e

, axă care trece

prin O şi are cosinusurile directoare

Problema se tratează în raport cu o axă oarecare (), deoarece se poate uşor particulariza pentru oricare altă axă a unui triedru rotit înspaţiu faţă de Oxyz.

O particulă A de masă elementară dm, este determinată de vectorul de

poziţie ,k z jyixr

şi este situată la distanţa faţă de axa ().Momentul de inerţie al rigidului faţă de axa () este:

,dmJS

2 unde:

;zyxzyxer r AOr 22222222

Înmulţind primul termen cu relaţia cunoscută 1222 şi

Fig. 10.14



280 MECANICĂ

grupând termenii, obţinem:

.xz2yz2xy2

yxzxzy

xz2yz2xy2zyx

yxzzxyzyx(

zyxzyx

222222222

222222

222222222222222

22222222

Având în vedere expresiile (10.40) şi (10.42) se obţine relaţia:

.J2J2J2JJJJ yzxzxyz

2

y

2

x

2

(10.64)Relaţia (10.64) exprimă momentul de inerţie al sistemului material,

în raport cu axa () şi în acelaşi timp reprezintă legea de variaţie amomentelor de inerţie mecanice faţă de toate axele ce trec prin O. Relaţia(10.66) este o funcţie de cosinusurile directoare care determină

poziţia axei respective. În cazul particular al plăcilor plane, de exemplu situate în planul

Oxy, 90 , cos = 0, iar relaţia (10.64) devine:

;J2JJJ xyy2

x2 (10.65)

Dacă se înlocuieşte 90 atunci cos=sin iar relaţia (10.65)ia forma particulară:

.cossinJ2sinJcosJJ xy2

y2

x (10.66)

10.6. ENERGIA MECANICĂ

Energia mecanică poate fi energie cinetică sau energie potenţială.Energia cinetică este o energie de mişcare iar energia potenţială o energie

de poziţie. Suma dintre energia cinetică notată cu E CE şi energia

potenţială notată cu V PE , reprezintă energia mecanică totală a

punctului sau a corpului respectiv:

.EVE m (10.67)




10.6.1. Energia cinetică

Pentru un punct material de masă m şi viteză v

, prin definiţieenergia cinetică este:

.vm2

1E 2

(10.68)

Energia cinetică este o mărime scalară strict pozitivă, carecaracterizează starea de mişcare a punctului material la un moment dat.Energia cinetică este o mărime de stare care măsoară capacitatea mişcăriimecanice de a se transforma în altă formă de mişcare (energie).

Unitatea de măsură a energiei cinetice în S.I. este Joule-ul.Pentru un sistem de puncte materiale, energia cinetică este egală

cu suma energiilor cinetice ale punctelor care alcătuiesc sistemul:

n

1i

2ii .vm

2

1E

(10.69)

În cazul solidului rigid energia cinetică se exprimă în funcţie demişcarea acestuia. În continuare, se va considera cazul când rigidul areo mişcare generală, ţinându-se seama de distribuţia de viteze în aceastămişcare, după care se va particulariza relaţia pentru diferite mişcări simple.

Solidul rigid fiind un continuu material rigid, pentru calculul energieicinetice se va putea utiliza relaţia (10.69) în care semnul sumă seînlocuieşte cu semnul integrală:

.dmv21E

S

2 (10.70)

Integrala acestei expresii se extinde pe tot domeniul (S) în care esterepartizată masa solidului rigid.

În figura 10.15 se consideră un corp solid rigid în mişcare generală.Mişcarea generală este caracterizată de parametrii cinetici .vşi O

Un

punct A, oarecare al rigidului de masă elementară dm va avea viteza

.vv O



282 MECANICĂ

Înlocuind expresia acestei viteze înrelaţia (10.70) şi ridicând la pătrat rezultă:

;dm2

1dmv

dmv21dmv

21E

S

2

S

O

S

2O

S

2

O

Integralele se extind pe totdomeniul (S), în care este repartizată

masa rigidului. Viteza Ov

şi vitezaunghiulară

sunt mărimi instantanee, care faţă de integrală se pot considera

valori constante şi scoase în faţa integralei.Deci,

.dmnsin2

1dmvdmv

2

1E

S

22

S

O

S

2O

În această relaţie se regăsesc următoarele momente masice:

,MdmS

masa întregului corp;

,Sdm O

S

momentul static polar al rigidului în raport cu O;

,Jdmddmnsin S

2

S

2

momentul de inerţie mecanic al

rigidului în raport cu axa instantanee () ce trece prin polul O.Cu aceste notaţii, energia cinetică a rigidului în mişcare generală este:

.J2

1SvvM

2

1E 2

OO2O

(10.71)

Relaţia (10.71) arată că energia cinetică a rigidului în mişcare generalădepinde de parametrii cinetici Ovşi

precum şi de punctul de referinţă

O prin intermediul momentului static polar OS

.

Fig. 10.15




Dacă mişcarea se raportează la centrul de masă C, deci CO ,momentul static în raport cu centrul de masă este nul, ,0SC iar expresia

energiei cinetice (10.71) va avea o formă simplificată:.J

2

1vM

2

1E 2

C2C

(10.72)

Relaţia (10.72) exprimă teorema lui König: “energia cinetică arigidului în mişcare generală este egală cu suma dintre energia cinetică acentrului său de masă, unde se consideră concentrată întreaga masă şienergia cinetică de rotaţie în jurul centrului său de masă.”

În cazul mişcărilor particulare ale rigidului, energia cinetică se

calculează conform relaţiei (10.72) după cum urmează:a) Rigid în mişcare de translaţie. Ştiind că în mişcarea de translaţie0

şi că vitezele instantanee ale tuturor punctelor rigidului sunt egale,

expresia energiei cinetice este:

.vM2

1E 2

C

(10.73)

Energia cinetică a rigidului în mişcare de translaţie este identică cu cea

a unui punct ce ar coincide cu centrul de masă al rigidului, având masa M.b) Rigid în mişcare de rotaţie cu axă fixă. Fie viteza unghiularăde rotaţie a rigidului în jurul axei fixe (D) şi J momentul de inerţiemecanic în raport cu aceeaşi axă .0vO

Energia cinetică are expresia:

.J2

1E 2

(10.74)

c) Rigid în mişcare elicoidală. Deoarece

||vO produsul mixt

0Sv

OO

din relaţia (10.75) se anulează, iar energia cinetică devine:

,J2

1vM

2

1E 22

O

(10.75)

adică, energia cinetică este suma dintre energia de translaţie de-a lungulaxei mişcării elicoidale şi energia de rotaţie în jurul acesteia.

d) Rigid în mişcare plan-paralelă. Considerând centrul de masă

pe axa Oz a rigidului rezultă CO vv , iar produsul mixt 0Sv CC

.

Expresia energiei cinetice (10.75) devine:



284 MECANICĂ

.J2

1vM

2

1E 2

C2C

(10.76)

unde CJ reprezintă momentul de inerţie faţă de axa normală în planuldirector, trecând prin centrul de masă (în cazul de faţă OzC JJ ).

Relaţia (10.80) exprimă faptul că energia cinetică a unui corp înmişcare plan-paralelă este suma dintre energia cinetică de translaţie cuviteza centrului său de masă şi energia de rotaţie corespunzătoare rotaţieiinstantanee în jurul unei axe (), ce trece prin centrul de masă şi este

perpendiculară pe planul în care are loc translaţia.Datorită faptului că distribuţia de viteze în mişcarea plan-paralelă

este analoagă cu cea din mişcarea de rotaţie, dacă se determină centrulinstantaneu de rotaţie I, energia cinetică se poate calcula cu formula(10.78), specifică mişcării de rotaţie:

,J2

1E 2

(10.77)

în care J reprezintă momentul de inerţie faţă de axa instantanee

de rotaţie.

e) Rigid în mişcare cu punct fix. Alegând originea sistemului în punctul fix O, avem 0vO

, iar relaţia (10.71) devine:

,J2

1E 2

(10.78)

în care J reprezintă momentul de inerţie în raport cu axa instantanee derotaţie () având cosinusurile directoare . Momentul de inerţie Jare expresia (10.64):

,J2J2J2JJJJ xzyzxyz2

y2

x2

care, înlocuită în (10.78) rezultă:

,J2J2J2JJJ2

1E zxxzzyyzyxxy

2zz

2yy

2xx

(10.79)unde s-a înlocuit:

.cos;cos;cos zyx

Dacă reperul mobil solidar cu rigidul, este orientat după direcţiile




principale de inerţie ce trec prin O, atunci momentele centrifugale suntnule, iar energia cinetică are expresia

.JJJ21E 2

z32y2

2x1 (10.80)

10.6.2. Energia potenţială

Spre deosebire de energia cinetică, care este energia înmagazinatăde corpuri în mişcare, energia potenţială este o energie de poziţie, care

depinde de poziţia în care se află corpul.Energia potenţială este o funcţie numai de poziţia sistemului mate-

rial, atunci când acesta este acţionat de forţe conservative. Energia de poziţie a sistemului material respectiv, se defineşte ca fiind egală cu lucrulmecanic efectuat de forţele ce acţionează asupra lui, atunci când sistemuleste deplasat din poziţia dată, în poziţia de referinţă, în care energia

potenţială se consideră nulă.

.UUdUdLV AO

0

A

0

A

(10.81)

Dacă se alege valoarea funcţiei de forţă în poziţia de reper egală cuzero, 0U 0 , rezultă că energia potenţială este egală cu funcţia de forţăluată cu semnul minus, V = -U.

De exemplu, energia potenţială a unui corp de greutate G

este(conf.10.13):

,GhLLUVAOOA

(10.82)semnul plus corespunde situaţiei în care corpul de greutate G se aflădeasupra poziţiei de referinţă, iar semnul minus situaţiei în care corpul seaflă sub nivelul poziţiei de referinţă.

Pentru un corp elastic, cum ar fi de exemplu un arc cilindric elicoidal,energia potenţială raportată la poziţia nedeformată a arcului va fi (conf. 10.16):

,2

Fx

2

KxLLUV

2

AOOA (10.83)

unde K este constanta elastică a arcului; x-deformaţia arcului; F = Kx-forţa elastică din arc.



286 MECANICĂ

Deci, arcul fie că este întins, fie că este comprimat, posedă o energie potenţială pozitivă obţinută prin înmagazinarea lucrului mecanic al forţelor

care l-au acţionat.Pentru un arc poziţia de reper în care energia potenţială este nulă,este considerată poziţia liberă a arcului (nedeformată) sau poziţia deechilibru static al arcului.

10.7. IMPULSUL

Impulsul sau cantitatea de mişcare a unui punct material de masă mşi viteză v

este mărimea vectorială H ce caracterizează mişcarea

mecanică a punctului.Prin definiţie impulsul se exprimă prin

relaţia:

.vmH

(10.84)

Relaţia (10.84) arată că impulsul este un

vector coliniar cu viteza punctului având acelaşisens iar ca mărime de “m” ori mai mare (v.fig.10.16).

Expresia analitică a impulsului într-unsistem de referinţă cartezian Oxyz este:

,k zm jymixmvmH

unde

,Hzm;Hym;Hxm zyx (10.85)sunt componentele scalare ale impulsului.

Pentru un solid rigid în mişcaregenerală, impulsul se va calcula ca in-tegrală a impulsului elementar (fig. 10.17).Un punct oarecare A, demasă elementară dm şi viteză v

are un impuls elementar dmvHd

.

Impulsul total al rigidului este:

.dmdmvdmvdmvH

SSO

So

S

Fig. 10.17

Fig. 10.16




ştiind că

MdmS

şi

,Mdm c

S

rezultă:

ccOcO vMvMMMvH Vom avea deci:

.vMH c

(10.86)

În concluzie, impulsul unui solid rigid este egal cu produsul dintremasa corpului şi viteza centrului său de masă, oricare ar fi mişcarearigidului.

Unitatea de măsură a impulsului în sistemul internaţional de măsură

(S.I.) este kilogram-metru pe secundă (kg. m/s).

10.8. MOMENTUL CINETIC

Momentul cinetic al unui punct material de masă m şi viteză v

, înraport cu polul O, se defineşte ca fiindmomentul vectorului impuls, calculat faţăde polul considerat (fig. 10.18):

.vmr Hr K O

(10.87)Din relaţia (10.87) rezultă că vectorul

moment cinetic are originea în punctul O,direcţia normală pe planul definit de

vectorii Hşir

, sensul dat de regula produsului vectorial, iar mărimea:

.H,r sinHr K o

(10.88)

Expresia analitică a momentului cinetic, faţă de un sistem de referinţăcartezian cu originea în O este:

,k xyyxm jzxxzmiyzzym

zmymxm

zyx

k ji

K O

Fig.10.18



288 MECANICĂ

unde ,xyyxmK ,zxxzmK ,yzzymK zyx (10.89)

sunt componentele scalare ale vectorului moment cinetic, egale cu

momentele axiale ale impulsului.Unitatea formată din vectorii ortogonali OK ,H

localizaţi în polul O,

reprezintă torsorul impulsului H

în polul O. Simbolic se notează astfel:

.K ,HH OO

(10.90)

Momentul cinetic al rigidului în raport cu polul fix 1O este egalcu integrala pe domeniul (S) a momentelor cinetice elementare:

.dmvr Hdr K SS

O1

Înlocuind

Or r , obţinem:

.K dmvr dmvdmvr dmvr K O

S

O

SS

O

S

OO1

Având în vedere că

HHddmvSS

şi OOr 1O

, rezultă:

.HOOK K 1OO1

(10.91)

Relaţia (10.91) ne permite să facem următoarele observaţii:a) Dacă impulsul total al rigidului se interpretează ca vectorul rezultant

al sistemului de vectori impuls dmvHd

, atunci momentul cinetic poate

fi interpretat ca moment rezultant al aceluiaşi sistem de vectori. Cei doi

vectori

O

K ,H

localizaţi în polul fix1

O ,

formează torsorul impulsurilor rigidului

în polul 1O .

.K ,HH11 OO

(10.92)

b) Relaţia (10.92) reprezintă teorema

momentelor R OOMM 1OO1

aplicată sistemului de vectori impuls.c) Dacă originea reperului mobil se Fig.10.19




plasează în centrul de masă CO al rigidului, relaţia (10.91) devine:

.HCOK K 1CO1

În relaţia (10.91) s-a notat prin OK

momentul cinetic în raport cuoriginea reperului mobil O. Acest moment cinetic se poate explicita,înlocuind .vv O

Astfel că:

SS

O

S

O

S

O dmdmvdmvdmvK

unde:

tr ,OOO

S

O

S

O K vSvdmdmv

(10.93)reprezintă componenta de translaţie a momentului cinetic, iar:

,K dm rotO

S

(10.94)

reprezintă componenta de rotaţie a momentului cinetic. Pentrudeterminarea acestei componente se vor calcula separat produsele

şi )(

, ţinând seama că vectorii

şi au componente pe cele

trei axe ale sistemului de referinţă mobil solidar cu rigidul:

.k dmyxzydmzxdm

jyzdmdmxzyxdm

ixzdmxydmdmzy

dmK

S

22z

S

y

S

x

S

z

S

22y

S

x

S

z

S

y

S

22x

rotO

(10.95)

Având în vedere expresia matricei momentelor de inerţie, relaţia(10.95) poate fi scrisă concentrat sub forma:



290 MECANICĂ

.J

JJJ

JJJ

JJJ

dmK O

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

S

rot

O

(10.96)Momentul cinetic faţă de polul O, devine:

,JvSK OOOO

(10.97)iar faţă de polul C:

.0Sdeoarece,JK CCC

(10.98)

În final momentul cinetic al rigidului faţă de polul fix 1O este: .HOOJvSK 1OOOO1

(10.99)

10.9. TORSORUL VECTORILOR IMPULS PENTRUDIFERITE CORPURI ÎN MIŞCARE

a) Rigid în mişcare de translaţie. Caracteristic mişcării de translaţieeste faptul că vitezele punctelor rigidului sunt egale, la un moment dat:.0iar vvv CO

Astfel, torsorul vectorilor impuls faţă de un polulfix 1O este:

,HCOHCOK K

;vMHH

11CO

C

O

1

1

(10.100)

deoarece .0K c

Faţă de centrul de masă, conform relaţiilor (10.86) şi (10.98) torsorul este:

,0JK

;vMHH

OrotC

C

C

(10.101)

deoarece 0.

b) Rigid în mişcare de rotaţie cu axă fixă. În figura 10.20 seconsideră un solid rigid în mişcare de rotaţie în jurul axei fixe 11zO . Se

presupun cunoscute: viteza unghiulară k

şi tensorul moment de




inerţie OJ în raport cu reperul ataşat rigidului.Torsorul vectorilor impuls în polul fix 1O este:

.k J jJiJ

0

0

JJJ

JJJ

JJJ

JK K

; jMviMvMvMH

H

zzyzxz

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

OrotOO

yxCC

O

1

1

(10.102)

În general, vectorul moment cinetic are componente diferite de zero

pe cele trei axe de coordonate. În tehnică se urmăreşte ca momentulcinetic să fie orientat după axa de rotaţie. Această situaţie se obţine cândrigidul are o formă particulară şi admite un plan de simetrie perpendicu-lar pe axa de rotaţie. În acest caz, momentele centrifugale sunt nule

0JJ yzxz , iar axa de rotaţie este axă principală de inerţie.Astfel, pentru cilindrul de masă M din figura 10.21,a axa de rotaţie

este axă principală de inerţie. Torsorul impulsurilor faţă de polul fix

OO1 este:

Fig. 10.20 Fig. 10.21



292 MECANICĂ

.k J0

0

J00

0JJ0JJ

JK

; jMviMvvMH

Hzz

zz

yyyx

xyxx

OrotO

yxC

O

1

1

(10.103)Pentru cilindrul din figura 10.21,b axa de rotaţie este axă principală

centrală de inerţie. Torsorul impulsurilor faţă de polul fix COO1 este:

.k J0

0

J00

0J0

00J

JK

;0vMH

Hzz

zz

yy

xx

OrotO

C

O

1

1

(10.104)

Alte exemple de corpuri în mişcare de rotaţie cu axă fixă sunt prezentate în figura 10.22.

Pentru discul de rază R şi masă M din figura 10.22,a torsorul

impulsurilor în polul fix CO este:

k

2

MR k J0

0

J00

0J0

00J

K

;0vMH

H 2

zz

zz

yy

xx

rotO

C

O

Fig. 10.22




Pentru discul de rază R şi masă M din figura 10.22,b torsorul impulsurilor faţă de polul fix O este:

.k MR

2

3k J0

0

J00

0JJ

0JJ

K

;iR MvMH

H2

zz

zz

yyyx

xyxx

rotO

C

O

Pentru bara de lungime l şi masă M ce se roteşte cu viteza unghiulară

în jurul articulaţiei O, torsorul impulsurilor faţă de polul fix O este

(fig.10.22,c):

.k

3

lMk J0

0

J00

0J0

000

K

; j2

lMvMH

H 2

zz

zz

yyrotO

C

O

c) Rigid în mişcare elicoidală cu axă fixă. În cazul general cândcentrul de masă nu se află pe axa mişcării elicoidale (fig.10.23), torsorulvectorilor impuls, faţă de polul fix 1O este:

.vMOOJvSK

;k Mv jMviMvvMHH

C1OOOO

zyxC

O

1

1

(10.105)

Dacă centrul de masă se află pe axa mişcării elicoidale, caz des întâlnitîn tehnică (şurubul, burghiul etc), torsorul vectorilor impuls are expresia:

.k J jJiJ

0

0

JJJ

JJJ

JJJ

JK

;k MvvMH

H

zzyzxz

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

OO

z

O

1

1

(10.106)



294 MECANICĂ

d) Rigid în mişcare plan-paralelă. În aceste caz distribuţia de vitezese obţine prin suparpunerea a două câmpuri de viteze corespunzătoareunei mişări de translaţie şi unei mişcări de rotaţie. Momentul cinetic faţăde polul O (fig.10.24) se va calcula corespunzător celor două câmpuri deviteze cu ajutorul relaţiei (10.97):

.JvSK K K

; jMviMvvMHH

OOOrotO

tr OO

yxCO

(10.107)

Dacă O C , şi planul director [] este plan de simetrie, momentelecentrifugale sunt nule 0JJ yzxz , iar torsorul vectorilor impuls areurmătoarea exprimare:

.k J0

0

J00

0JJ

0JJ

JK

; jMviMvvMH

H zz

zz

yyyx

xyxx

CrotC

yxC

C

(10.108)

Ştiind că distribuţia de viteze în mişcarea plan-paralelă, faţă de centrulinstantaneu de rotaţie (C.I.R.) este asimilabilă cu cea a unei rotaţii în

jurul unei axe instantanee care trece prin C.I.R., se pot folosi rezultatelede la mişcarea de rotaţie cu axă fixă. Astfel, torsorul impulsurilor faţă de

O , este:

Fig. 10.23 Fig. 10.24




.k JJK

; jMviMvvMHH

zrot

yxC

(10.109)

De exemplu, pentru discul de rază R şi masă M (fig.10.25) ce serostogoleşte fără alunecare pe un plan orizontal cu viteza Cv

şi viteza

unghiulară

torsorul impulsurilor faţă de are expresia:

.k MR

2

3JJK

;iMR vMHH

2rot

C

(10.110)

e) Rigid în mişcare cu punct fix. În acest caz originea sistemuluide referinţă mobil se alege în punctul fix 1O , iar viteza unghiularăinstantanee are componentele după cele trei axe (v. fig.10.26). Torsorulvectorilor impuls în polul fix 1O are următoarele componente:

.

JJJ

JJJ

JJJ

JK

;k Mv jMviMvvMH

H

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

OO

zyxC

O

11

1

Dacă axele sistemului de referinţă sunt orientate după axele principale

de inerţie în raport cu polul 1O , momentele centrifugale sunt nule, iar torsorul impulsurilor are următoarele componente:

Fig. 10.25

C

H

kI

vc

I

Fig. 10.26

z

x

yOO

1

C

k0

Hc



296 MECANICĂ

.k J jJiJ

J00

0J000J

K

;k Mv jMviMvvMH

Hzzzyyyxxx

z

y

x

zz

yy

xxrotO

zyxC

O

1

1


1. Să se calculeze randamentulunui plan înclinat cu un unghi

,30 dacă coeficientul defrecare este m=0,3.

Rezolvare. Se considerăcorpul de greutate G din figura10.27, care alunecă pe planul

înclinat de unghi a, pe distanţa l.Randamentul mecanic conform relaţiei (12.31) este:

.cossin

sin

lcosGlsinG

lsinG

LL

L

L

L

PU

U

C

U

Înlocuind m=0,3 şi ,30 rezultă:

.8,65658,02/33,05,0

5,0

30cos3,030sin

30sin0

0

2. Un ciocan cu aer comprimat, cântărind Q=1500 N, este ridicat laînălţimea h=0,75 m de n=84 ori pe minut.

Să se calculeze puterea consumată de maşină, dacă randamentul

acesteia se compune din 855,01 corespunzător mecanismului de

comandă şi 76,02 pentru piston şi glisierele ciocanului.

Rezolvare. Randamentul total al maşinii este:

Fig. 10.27




.65,076,0855,021 Lucrul mecanic pentru o ridicare a sarcinii Q este:

.J112575,01500hQL1 Lucrul mecanic efectuat timp de un minut:

.J94500112584LnL 1 Puterea utilă a maşinii este:

.W157560

94500

t

LPU

Puterea consumată de maşină:.kW423,2W2423

65,0

1575PP U

C

3. Presiunea gazelor pe pistonul unui motor este .m/ N105 p 25Diametrul pistonului este d=0,2 m, iar lungimea cursei este s=0,4 m.

Rezolvare. Forţa ce acţionează asupra pistonului este:

.50004 2,01054d p pAF

2

5

2

Lucrul mecanic corespunzător pentru o cursă va fi:

.J20004,0105sFL 31

Puterea maşinii rezultă:

.W66,1046660

2000100

t

L N

t

LP 1

4. Să se determinemomentele de inerţie polare

BAO J,J,J şi momentele de

inerţie axiale zyx J,J,J ale

barei omogene de lungime lşi masă m (fig. 10.28).

Fig. 10.28



298 MECANICĂ

Rezolvare. La distanţa y faţa de O se detaşează un element delungime dy. Se aplică relaţia (10.49):

;12

lm

8

l

8

l

l3

m

dyyl

mdl

l

mJ

233

2/l

2/l

2

L

2O

;3

lmdyyl

mdll

mJJ

2l

0

22BA

,0Jiar 12

lmJJJ y

2

Ozx

masa m a barei fiind distribuită de-alungul axei Oy.

5. Să se determine momentele deinerţie axiale ale unei plăci omogene,dreptunghiulare având dimensiunile dinfigura 10.29, şi masa M.

Rezolvare. Se detaşează un elementde suprafaţă dA sub forma unuidreptunghi de lungime b şi înălţime dy. Seaplică relaţia (1051):

.12

hM

8

h

8

h b

h b

Mdy by

h b

MdA

A

MJ

2332/h

2/h

2

A

2x

În mod analog, rezultă: .12

bMJ

2

y

.h b

12

MJJJJ 22

yxOz

Fig. 10.29




6. Pentru placa omogenă de masă Msub forma unui sfert de cerc (fig.10.30) de

rază R, să se calculeze momentele de inerţieaxiale şi centrifugal. Rezolvare. Se detaşează un element de

arie dA = r dr dq, cu ajutorul coordonatelor polare r şi q, la distanţele x = r cosq şi y = r sinq faţă de axele de coordonate Ox şirespectiv, Oy. Se aplică relaţiile (10.51) şi(10.52):

ddsinAMdAy

AMJ 22

A

2x

.4

mR d

2

2cos1

4

R

R

M4dsind

A

M 22/

0

4

2

2/

0

2R

0

3

Deci, .

2

mR JJJJiar

4

mR J

2

yxOz

2

y

.2

mR d

2

2sin

4

R

R

M4dcossind

A

M

ddcossinA

MdAxy

A

MJ

22/

0

4

2

2/

0

R

0

3

3

A

xy

7. Să se calculeze momentele deinerţie planare şi axiale, ale unui

paralelipiped de masă M, avânddimensiunile din figura 10.31.

Rezolvare. Se detaşează un elementde volum dV=dxdydz la distanţele x, y şirespectiv z faţă de planele sistemului dereferinţă, cu originea în centrul de masăal paralelipipedului (v. fig.10.31).

Fig.10.30

Fig. 10.31



300 MECANICĂ

Se aplică relaţiile de tipul (10.53). Momentele de inerţie planare sunt:

;12

ma bca

12

1

abc

m

1

z

1

y

3

x

abc

M

dzdydxxabcMdVx

VMJ

23

2

c

2

c

2

b

2

b

2

a

2

a

3

2

a

2

a

2

b

2

b

2

c

2

c

2

V

2yOz

.12

mcdzdydxz

abc

MdVz

V

MJ

22a

2

a

2 b

2

b

2c

2

c

2

V

2xOy

.12

mbdzdydxy

abc

MdVy

V

MJ

22

a

2

a

2

b

2

b

2

c

2

c

2

V

2xOz

Aplicând relaţiile (12.47) se determină momentele de inerţie axiale:

;c b12

mJJJ 22

xOzxOyx

;ca12

mJJJ 22

xOyyOzy

; ba12

mJJJ

22yOzxOzz

5. Să se calculeze momentele deinerţie mecanice ale unui conomogen de masă M, rază R şiînălţime H (fig. 10.32).

Rezolvare. Conul este un corp

de rotaţie, curbe ce limitează Fig. 10.32




suprafaţa de rotaţie este o dreaptă de ecuaţie y = (R/H) x, în planul xOy(v. fig. 10.32). Aplicând relaţiile (10.56) şi (10.57) rezultă:

;MR 103dxx

HR

2HR M3dxxy

2VMJ 2H

0

4

4

4

2

H

0

4x

.MH5

3dxx

H

R x

HR

M3dxxyx

V

MJ 2

H

0

2

2

22

2

H

0

22yOz

Aplicând relaţiile (10.57) rezultă următoarele momente de inerţie:

;H4R M20

3

MH5

3

MR 20

3

JJ2

1

JJ2222

yOzxzy

;MR 20

3J

2

1JJ 2

xxOyxOz

.H2R M10

3MH

5

3MR

10

3JJJ 2222

yOzxO

6. Pentru placa omogenă demasă M, având forma şidimensiunile din figura 10.33 a săse determine momentele de

inerţie ,Jx yJ şi momentul

centrifugal .J xy

Rezolvare. a) Notând cuA

densitatea superficială a plăci,masa ei este:

.a16a2a2a6a2M 2AA

S-a considerat placa omogenă formată dintr-un dreptunghi a6a2

şi un pătrat a2a2 .Aplicând relaţiile lui Steiner (10.60) de două ori, pentru cele două

suprafeţe, rezultă:

Fig. 10.33



302 MECANICĂ

12

a2a2a2a3a6a2

12

a6a6a2J

2

A

2

A

2

Ax

;3

Ma46

3

a46a16

3

a736a5a2a2

222A

4A2

A

12

a2a4aa12

12

a2a12J

22

A22

A

22

Ay

.3

Ma10

3

a10a16

3

a160a3a4

222

A

4

A2

2A

Aplicând relaţiile lui Steiner pentru momentele centrifugale (12.63)rezultă:

.Ma6a6a16

a96a5a3a2a20a3aa6a20J222

A

4AAAxy

7. Volantul unui motor Diesel are diametrulexterior D=2R=1,6m, diametrul interior d=2r=1,2m,iar grosimea coroanei a=0,13m (fig. 10.34). Greutatea

specifică a oţelului fiind ,m/ N1072 33 să se

calculeze energia sa cinetică la o turaţie de 360 rot/min.

Rezolvare. Se aplică relaţia (10.53), detaşându-

se un element de volum dV d d dx , la distanţa r faţă de axa volantului. Momentul de inerţie este:

.2

r R M

4

ar R 2

ar R

Ma

4

r R 2

V

M

dddxV

Mdxdd

V

MdV

V

MJ

2244

22

44

2

0

R

r

3a

0

3

V

2x

Fig. 10.34




Energia cinetică este dată de relaţia (10.78):

.g2700

nr R a

30

n

2

r R

g

V

2

1

J2

1

E

24422222

xc

Pentru aplicaţia numeric rezultă:

G=8,230 kN, J=420 kg. m2; w=37,68 rad/s; Ec =29. 104 J.

8. Un regulator cu bile de masă m1 are un manşon de masă m care

alunecă de-a lungul unei tije verticale

(fig.10.35). Întregul ansamblu se roteşte în jurulaxului vertical cu viteza unghiulară variabilă w.Ştiind că momentul de inerţie al suportului înformă de T este J, să se calculeze energiacinetică totală a regulatorului, neglijândgreutăţile barelor de susţinere de lungime l.

Rezolvare. Energia cinetică totală aregulatorului este suma energiilor cinetice ale

părţilor componente aflate în mişcare: suportulîn formă de T, cele două bile şi manşonul.

.J2

1E 2

1

-Energia cinetică a celor două bile care, au o mişcare de rotaţie în jurul axului vertical cât şi o mişcare de rotaţie în jurul articulaţiilor A,

respectiv B, cu viteza unghiulară .dt/d1

.ml212sinlam

212E 1

21

222

12

-Energia cinetică a manşonului, care are o mişcare de rotaţie în jurul

axului vertical şi o mişcare de translaţie de-a lungul axei cu viteza 2v , de

forma :sinl2v2

.sinl4m

2

1

2

am

2

1E 2

1

22

2

22

23

Fig.10.35



304 MECANICĂ

Energia cinetică totală a sistemului este:

22

1

222

2

2

1

222

1

2

sinl42

a

m2

1

lsinlamJ2

1

E

9. Pneul de rază r şi masă M alunui automobil ce execută un viraj derază R, se rostogoleşte fără alunecare,

pe un drum orizontal. Ştiind că viteza

centrului roţii estev

c

, să se calculezeenergia sa cinetică (v. fig. 10.36).

Rezolvare. Mişcarea absolută aroţii este o rotaţie cu un punct fix (O)şi prin urmare, energia sa cineticăconform (12.87) se va scrie astfel:

.J000J0

00J

,,2

1E

z

y

x

zz

yy

xx

zyxc

unde:

.R

v;

r

v;0 c

zc

yx ; ;MR 4

Mr JJ 2

2

zzxx

.

2

Mr J

2

yy

Deci,

.R 4

r

2

3Mv2

1

R

vr

v0

MR 4

Mr 00

02

Mr 0

00MR 4

Mr

R

v;

r

v;0

2

1E

2

2

2c

c

c

22

2

22

ccc

Fig. 10.36




10. O bară omogenă OA, de lungime l şi

greutate

G , se deplasează într-un plan vertical(fig. 10.37), astfel încât extremităţile O şi Aalunecă de-a lungul a doi pereţi perpendiculari.

Cunoscând viteza la un moment datvO , să se

determine impulsul barei şi momentul cinetic înraport cu centrul de masă C şi cu centrulinstantaneu de rotaţie I.

Rezolvare. Poziţia centrului instantaneu derotaţie se află la intersecţia perpendicularelor ridicate în O şi A pe direcţiilecelor două viteze. Faţă de C. I. R. vitezele punctelor C şi O sunt:

.coslOviar Cv OO de

unde ,cos2

vviº

cosl

v OC

O

ştiind că .

2

lC

Impulsul barei conform (12.96) este:

.cosg2

GvMvH OC

Momentul cinetic al barei în raport cu polul C conform (10.119) este:

.cosg12

vlG

12

MlJK

O

OC

rotC

Momentul cinetic al barei în raport cu I se poate determina aplicând

relaţia (12.102) sau (12.120):

.cosg3

vlG

2

l

cosg2

vG

cosg12

vlGHCK K OOOrot

C

11. Mecanismul planetar din figura 10.38 este format din roata fixă

1 de rază R, manivela 2 de masă 2M şi lungime r R OO 21 , având o

mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară 2 în jurul unei axe perpendiculare

Fig. 10.37

A

C

I

O

vc

v 0



306 MECANICĂ

ce trece prin 1O , şi roata mobilă 3 de masă 3M

şi rază r, antrenată de manivela 2. Să se

determine momentul cinetic total al sistemuluide corpuri în polul fix 1O .

Rezolvare. Momentul cinetic al sistemului

este un vector orientat după axa zO1 ,

perpendiculară pe planul în care are locmişcarea, fiind egal cu suma momentelor cineticeale părţilor componente:

.K K K K 3O

2O

1OO 1111 (10.123)

Momentul cinetic al roţii fixe (1) este: 0;0K 11

O1

Momentul cinetic al manivelei (2):

.

3

r R MJK 2

2

22O

2O 11

(10.124)

Momentul cinetic al roţii (3) conform relaţiei (10.110) este: ,vMr R JHCOK K

21 O333

C13

C3

O

în care se înlocuieşte:

.r R r v;

r

r R ;

2

r MJ 23O

23

233

C 2

Rezultă:

.Mr R 2

r R r MK 23

2

233

O1

(10.125)Înlocuind (10.124) şi (10.125) în (10.123) rezultă momentul cinetic

al sistemului de corpuri:

.r 3R 2M3r R M2

6

r R K 32

2O1

.

Fig.10.38

y

x

3

1

R

2

3

O2 r

I2

O1




10.11 PROBLEME PROPUSE

1. Ecuaţiile mişcării unui mobil de masă m = 2 kg, sunt: x = 2sint şi y

= cos(m). Să se determine lucrul mecanic între t = 0 şi sec2

t .

R: L = 3 j

2. Ecuaţiile mişcării unui punct material de masă m = 1 kg, sunt: x = t şiy = et, (m). Se cere lucrul mecanic efectuat de la t = 0 la t = 2sec.

R: L = 4 J

3. Un punct material de masă şi descrie un arc din cercul de rază R,cuprins între A(0;R) şi B(R;0). Să se determine lucrul mecanic efectuatde forţa ale cărei componente sunt: X = mxy şi Y = my2.

R: L = 0

4. Fie eclipsă 1

4

y

9

x 22

, şi forţa de componente X = mx şi Y = -

my, care acţionează asupra mobilului de masă m, ce se deplasează pecurbă. Să se determine poziţia de echilibru stabil.

R: x = 0

5. Fie parabola cubică y = x3 pe care este situat un punct material demasă m, asupra căruia acţionează forţa F de componente X = mx şi Y =mg. Să se găsească poziţia de echilibru stabil.

R: A(x = 0; y = 0) B( 3g271y;

g31x )

6. O pompă cu puterea de 3678,75 w şi randamentul 0,6, terbuie săridice 900 m3 de apă la înălţimea de 9 m. De cât timp este nevoie pentruaceasta?

R: t = 10 ore.

7. Un automobil având (împreună cu încărcătura) greutatea de 2tf,



308 MECANICĂ

parcurge distanţa de 30 km cu viteza de 25 km/h, pe un drum care urcă cu 50m. Coeficientul de frecare al drumului este de 0,05. Să se determine puterea

motorului automobilului, dacă randamentul lui este de 0,6.R: Pm = 7063,2 W

8. Cât de mare trebuie să fie diametrul pistonului unei maşini cuabur, cu un cilindru, la presiunea aburului de 9,8 N/cm2 asupra pistonului,viteza pistonului v = 2 m/s şi puterea maşini de 55 153, 25 W?

R: d = 0,3 m

9. Pe roata unei mori de apă, cu un randament de 0,6 cade apă de lao înălţime de 3 m. Ce cantitate de apă trebui să cadă pe roată, într-osecundă, ca să i se transmită o putere de 10.036, 25 W.

R:3m

8

5Q

10. Pe o linie de tranvai circulă 300 vagoane cu viteza medie de 15km/h. Greutatea fiecărui vagon este de 12 t. Forţa de frecare la înaintare

a vagonului este de 0,02 din greutatea sa. Să se determine puterea maşinilor centralei de forţă a tramvaielor.

R: P = 22,43 . 105 W.

11. Un mobil de masă nu descrie partea din parabola y2 = 2x, cuprinsăîntre x = 2 şi y = 8. Să se determine lucrul mecanic efectuat de forţaorizontală F = 2my.

R: m3

112

L

12. Asupra unui corpacţionează o forţă a căeridependenţă de distanţăeste ilustrată în figura10.39. Cât este lucrulmecanic al forţei?

R: L = 300J Fig. 10.39.




13. Un om pune în mişcare pe o suprafaţă orizontală un corp de masăm = 20 kg acţionând asupra lui cu o forţă F = 50 N. Direcţia forţei face cu

orizontala un unghi = 30o

iar acţiunea omului asupra corpului durează 3secunde. Forţele de frecare sunt neglijabile. Cât este lucrul mecanic efectuatde om?

R: L = 421,8J

14. O macara ridică un corp cu masa m = 300 kg la înălţimea h = 5mcu o viteză constantă. Cât este lucrul mecanic efectuat dacă g = 10m/s?Dacă ridicarea corpului se face accelerat cu a = 2m/s2, cât este lucrul

mecanic în acest caz.R: a) L = 15.000 J b) L = 18.000 J

15. Energia necesară baterii ţesăturii cele mai dense, s-a constatatcă este echivalentă cu lucrul mecanic efectuat de un corp în greutate de10 N, căzând de la 0,45 m înălţime. Ştiind că baterea se face în 0,025 s,să se determine puterea Pc a unui electromotor, cu randamentul = 0,8

care ar executa această operaţie.R: Pc = 0,41kW

16. Două resorturi suntmontate într-un tub orizontal fix,fiind separate printr-un pistonmobil. Primul resort are oconstantă de elasticitate k 1 şi

este fixat de cilindru. Al doileaare constanta k 2 şi este ghidatde tija unui piston mobil. În starenedeterminată se cunoaşte d. Celucru mecanic trebuie efectuat pentru a realiza contactul între primul

piston şi tija celui de-al doilea?R: k

2(k

1+k

2)d2/2k

1

17. O rabotează efectuează 10 curse de lucru pe minut, fiecare

Fig. 10.40.

d

F

k1 k2



310 MECANICĂ

având lungimea de 1,8 m. Cunoscând că pentru deplasarea uniformă amasei în cursa de lucru este necesară o forţă de 4 kN, să se determine

lucrul mecanic şi puterea efectivă a maşinii.R: L = 7,2 kJ; P = 1,63 CP

18. Să se calculeze momentele de inerţie Jox, Jo1x1, Joy, Jo, Jo1 alesuprafeţei cuprinse între cercurile de rază R şi r, distanţa între centrelecelor două cercuri fiind a, iar masa M.

R:

oyxoooyoxo

2222

oy

22

22

xo

2

22

22

ox

JJJ;JJJ

);r R (M;4

)r R (MJ

;r R

a41

4

MR J

;R r R

a41r

4

MJ

111

11

19. Să se determine momentele deinerţie geometrice principale centrale şidirecţiile principale centrale de inerţie,

pentru suprafaţa compusă dindreptunghiuri din figura 10.42.

R: ;mm1074,1I 46oy

.mm1036,3I 46yz

'45103;'4513;519,02tg o2

o1

45min

44max mm103,9I;mm10553,1I

Fig. 10.41.

Fig.10.42




Fig. 10.44

Fig. 10.43.

20. Pentru bara cotită AOBD,omogenă, de masă M să se determine:

a) Poziţia centrului de greutate a barei; b) Momentele de inerţie mecanice

Joz şi Jcz’, unde cz’ este axa centrală paralelă cu oz, care trece prin centrulde masă al barei.

R:

a) ;a292,0z;a414,0y;a707,0x ccc

b) Ma820,0J;Ma491,1J 2'cz

2oz

21. Să se determine axele, momentele şi razele de inerţie principalecentrale pentru secţiunea plană din figura 10.44 formată dintr-un profilU-20 şi un cornier cu aripi inegale 80x120x10.

R: Poziţia centrului de greutate faţăde sistemul C

1y

1z

.mm6,22z;mm5,44y cc Momentele de inerţie geometrice:

46

yz

48cz

46cy

mm1066,9I

;mm1072,3I

;mm1066,8I

Momentele principale centrale de

inerţie: 47max2

46min1

mm10017,4II

;mm1069,5II

22.Să se determine momentul de inerţie polar Jo, al sistemului de

corpuri din figura 10.45, format dintr-o bară omogenă OA de lungime 8aşi greutate G şi cercul material de rază R = 3a şi greutate 2G.

R: gGa33,281J

2

0



312 MECANICĂ

23. Să se determine momentele de inerţie mecanic axial Jxx

, al unuitor de rază R şi greutate specifică , generat de un cerc de rază r.

R: )r 3R 4(R g2

r J 222

xx

24. Pentru sistemele de puncte materiale din fig. 10.47 săse deter-mine poziţia centrului de masă (CM) şi momentele de inerţie principalecentrale, în următoarele cazuri: a) pentru două puncte materiale de masem1

şi m2 situate la distanţa l; b) trei puncte materiale dispuse în vârful

Fig. 10.45 Fig. 10.46

Fig.10.47.




unui triunghi isoscel; c) patru puncte materiale dispuse în vârfurile unei piramide triunghiulare regulate.

Răspuns:

a)21

221

zyx

21

12

21

21 mm

lmmJJ;0J;

mm

lml;

mm

lml

b) yxz2

1y

21

221

x

21

20 JJJ;am

2

1J;

mm2

hmm2J;

mm2

hmy

c)2

1z

21

2212

1yx

21

20 amJ;

mm3

hmm3am

2

1JJ;

mm3

hmz

25. Un tor de rază R, având greutatea specifică ,generat de un cerc de rază r, se roteşte în jurul axei Oxcu n ture/min. Să se calculeze energia cinetică a torului.

R: )r 3R 4(r R g3600

nE 222

23

26. Un cub omogen de masă m şi muchie 2a seroteşte cu viteza unghiulară în jurul unei axe cecorespunde cu o diagonală principală. Să se determinemomentul cinetic K

0 al cubului, unde O este un vârf al cubului situat pe

axa de rotaţie.

R: 3

ma2K

2

o

27. Un cilindru circular drept de masă M, raza bazei R şi înălţime H,se roteşte cu o viteză unghiulară în jurul unei axe orizontale ce trece

prin centrul de masă C. Axa de simetrie a cilindrului formează unghiul cu axa de rotaţie. Să se determine momentul cinetic al cilindrului în raportcu centrul de masă C.

R:

24222

c cosR 36sin)HR 3(12

M

K

Fig. 10.48.



314 MECANICĂ

28. Să se determine momentul cinetic al barei cotite .

R:

k 3

11

j2

1

i2

1

3

mb

K

2

o

29. Roata cilindrică de rază r şi greutateG se rostogoleşte fără alunecare în interiorulunei suprafeţe cilindrice fixe de rază R, prinintermediul unei manivele OA de greutate P.Să se calculeze energia cinetică a sistemuluide corpuri dacă manivela are viteza unghiulară

0 (fig. 10.49).

R: 2o

2

)G9P2(g12

)r R (E

30. Un corp punctiform de masă m semişcă pe o traiectorie circulară de rază R subacţiunea unei forţe centrale de atracţie

2r k F , a cărei direcţie trece prin centrul

cercului, iar k = const. Să se calculeze: a)energia cinetică; b) energia potenţială; c)energia totală; d) momentul cinetic al corpului.

R: R 2

k EVE;

R

k V;

R 2

k E t ; R mk K 0

31. Pentru determinarea masei unui tren de marfă, între locomotivăşi primul vagon s-a intercalat un dinamometru. Într-un interval = 2minute dinamometrul a indicat o forţă medie F = 105 N. În acest timptrenul a atins viteza v = 57,6 km/h, plecând din repaus. Coeficientul defrecare este = 0,1. Să se calculeze masa trenului.

R: t5,98

gv

Fm

Fig. 10.49

A(m)

F

O

Fig. 10.50



31511. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE DINAMICII

11

TEOREMELE FUNDAMENTALE ALEDINAMICII

11.1. Teorema variaţiei energiei cinetice ........................ 31711.1.1. Cazul punctului material ................................. 31711.1.2. Cazul solidului rigid ........................................ 31811.1.3. Teorema conservării energiei mecanice ........... 319

11.2. Teorema impulsului ................................................. 31911.2.1. Cazul punctului material .................................. 31911.2.2. Cazul solidului rigid ........................................ 32011.2.3. Teorema conservării impulsului ..................... 320

11.3. Teorema momentului cinetic ................................... 32111.3.1. Cazul punctului material .................................. 321



316 MECANICĂ

11.3.2. Cazul solidului rigid ......................................... 32111.3.3. Teorema conservării momentului cinetic ....... 322

11.4. Probleme rezolvate .................................................. 32311.5. Probleme propuse .................................................... 329




11TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE

DINAMICII

11.1. TEOREMA VARIAŢIEI ENERGIEI CINETICE

11.1.1. Cazul punctului material

Teorema variaţie energiei cinetice stabileşte legătura care există întrevariaţia energiei cinetice a punctului şi lucrul mecanic efectuat de rezultantaforţelor active şi pasive ce acţionează asupra punctului în acelaşi interval

de timp.În figura 11.1 se consideră un punct

material A de masă m, aflat sub acţiunea

unor forţe a căror rezultantă este F

, înmişcare cu viteza v

. Pornind de la ecuaţia

fundamentală a dinamicii

,amF

şi înmulţind ambii membri cu deplasarea

elementară r d

, se obţine:

,vdt

r dcăştiind,r ddt

vdmr dF

.2

vdmr dFsau.vdvmr dF

2

În membrul stâng al egalităţii recunoaştem lucrul mecanic elementar

dL, iar în membrul drept diferenţiala expresiei 2/vm 2, adică tocmai

diferenţiala energiei cinetice; relaţia devine:

dEdL (11.1)Relaţia (11.1) exprimă teorema variaţiei energiei cinetice sub formă

Fig.11.1



318 MECANICĂ

diferenţială: variaţia energiei cinetice în intervalul de timp dt este egală culucrul mecanic efectuat în acelaşi interval de timp de către rezultanta forţelor

ce acţionează asupra punctului material.Dacă se consideră un interval finit de timp t, corespunzător uneideplasări finite între poziţiile OA , iniţială şi 1A , finală ale punctului mate-rial, vom avea:

.LEEsau,dLdE 1OO1

A

A

E

E

1

O

1

O

(11.2)

Relaţia (11.2) este expresia matematică a teoremei variaţiei energiei

cinetice sub formă finită al cărei enunţ este: variaţia energiei cinetice a unui punct material într-un interval de timp t, este egală cu lucrul mecanic alrezultantei forţelor ce acţionează asupra lui corespunzător deplasării efectuateîntre cele două poziţii, iniţială şi finală, în acelaşi interval de timp.

Cu alte cuvinte, pentru ca energia cinetică să crească cu o anumităcantitate, este necesar să se producă un lucru mecanic, echivalent cuaceastă creştere de energie cinetică.

11.1.2. Cazul solidului rigid

Rigidul poate fi asimilat cu un sistem de puncte materiale,nedeformabil, în număr infinit de mare, masa fiecărui punct fiind infinitde mică, astfel că expresia (11.2) se păstrează şi în cazul solidului rigid.

În concluzie, pentru sistemele materiale având legături ideale(nedeformabile şi fără frecare) teorema variaţiei energiei cinetice a

sistemului este egală cu lucrul mecanic al forţelor exterioare.La aplicarea teoremei variaţiei energiei cinetice este indicat a seurmări etapele următoare:

-în funcţie de mişcările pe care le au corpurile ce formează sistemul,se stabilesc distribuţiile de viteze corespunzătoare poziţiilor iniţială şi finală;

-se determină expresiile energiilor cinetice ale sistemuluicorespunzătoare celor două poziţii alese, calculând energia fiecărui corpşi însumând;

-se pun în evidenţă forţele exterioare şi se calculează lucrul mecanic




total produs de aceste forţe prin deplasarea sistemului între cele două poziţii alese; dacă la momentul iniţial sistemul este în repaus, atunci ;0EO

-mărimile calculateext

1OO1 LşiE,E se introduc în relaţia (11.2) şi seobţine o legătură între pătratul vitezei şi parametrul de poziţie al elementuluiales pentru studiul mişcării; se derivează relaţia în raport cu timpul şi seobţine expresia acceleraţiei liniare sau unghiulare a elementului respectiv.

11.1.3. Teorema conservării energiei mecanice

Dacă forţele ce acţionează asupra punctului sau sistemului material

sunt conservative şi derivă dintr-o funcţie de forţă U (x, y, z), atuncilucrul mecanic elementar este egal cu diferenţiala funcţiei de forţă, con-form (10.8) şi (10.11):

dVdUdL .În acest caz teorema variaţiei energiei cinetice (11.1) se scrie:

,0VEdsaudVdUdE rezultă că:

.constEVE m (11.3)Relaţia (11.3) exprimă teorema conservării energiei mecanice: “dacă

forţele ce acţionează asupra unui sistem material sunt conservative, atuncienergia mecanică a sistemului rămâne constantă în tot timpul mişcării(adică se conservă).“

11.2. TEOREMA IMPULSULUI


Fie un punct material de masă m, aflat în mişcare cu viteza v

subacţiunea unor forţe a căror rezultantă este F

(fig. 11.2). Ecuaţia

fundamentală a dinamicii amF

se poate scrie astfel:

.Fdt

vdm

(11.4)

Având în vedere că masa punctului este constantă relaţia (11.4) devine:



320 MECANICĂ

FHsauF

dt

vmd

(11.6)

Relaţia (11.5) exprimă teoremaimpulsului: “derivata în raport cu timpula impulsului unui punct material esteegală cu rezultanta tuturor forţelor (dateşi de legătură) ce acţionează asupraacestui punct.”


Ştiind că rigidul este format dintr-o infinitate de puncte materiale demasă elementară, ce ocupă un domeniu închis din spaţiu, toate modurilede exprimare a teoremei impulsului unui sistem discret de puncte materialerămân valabile şi în cazul unui solid rigid:

,R R H pa (11.6)

sau ,R R aM pa

c

unde ,R R R paext

reprezintă rezultanta forţelor

exterioare, active şi pasive ce acţionează asupra rigidului.Aceste ecuaţii vectoriale se pot proiecta pe axele unui sistem

cartezian de referinţă, obţinându-se trei ecuaţii scalare:

;ZZH;YYH;XXH paz

pay

pax (11.7)

sau ,ZZzM;YYyM;XXxM pac

pac

pac (11.8)

unde aaa Z,Y,X sunt componentele scalare ale rezultantelor forţelor ac-tive, date, iar p p p Z,Y,X sunt componentele scalare ale rezultantei forţelor

pasive de legătură.

11.2.3. Teorema conservării impulsului

Dacă rezultanta forţelor exterioare, active şi pasive ce acţioneazăasupra sistemului material este nulă, atunci impulsul se conservă.

Dacă 0R R pa

conform relaţiei (11.6) rezultă:

Fig.11.2




.constvMHsau0H c (11.9)

Relaţia (11.9) exprimă teorema conservării impulsului care se enunţă

astfel:”centrul de masă al sistemului material se mişcă rectiliniu şi uniform,sau îşi păstrează starea de repaus, după cum viteza lui, în momentul cândse anulează rezultanta forţelor exterioare este diferită sau egală cu zero.“

11.3. TEOREMA MOMENTULUI CINETIC


Reluând ecuaţia fundamentală amF

, şi înmulţind-o vectorial lastânga cu vectorul de poziţie în raport cu un punct fix 1O (fig.11.2) obţinem:

Fr dt

vdmr

. (11.10)

Membrul stâng se poate scrie şi sub forma vmr dt

d dacă se

observă că .0vmdt

r d

. Aşadar, relaţia (11.10) devine:

Fr vmr dt

d , sau

,MK 11 OO

(11.11)

se obţine astfel teorema momentului cinetic (11.11) pentru un punct ma-terial, care se enunţă astfel: “derivata în raport cu timpul a momentuluicinetic faţă de un punct fix 1O , este egală cu momentul forţei rezultante

care acţionează asupra punctului, calculat faţă de acelaşi pol fix.“


Toate formele sub care a fost prezentată teorema momentului cinetic, pentru un sistem discret de puncte materiale, se extind la orice sistemmaterial deci şi la un rigid, cu observaţia că sumele finite se înlocuiesc cu

integrale, cu excepţia momentului rezultant al sistemului de forţe exterioare.



322 MECANICĂ

Faţă de un pol fix 1O , teorema momentului cinetic (11.11) pentrusolidul rigid se poate scrie sub forma:

,MMK pO

aOO 111

(11.12)

unde extO

pO

aO 111

MMM

reprezintă momentul rezultant al forţelor

exterioare, active şi pasive ce acţionează asupra rigidului.Se poate demonstra că teorema momentului cinetic poate fi aplicată

şi faţă de centrul de masă C al sistemului material respectiv, fără caforma ei să se schimbe:

.MK

ext

cc

(11.13)

Relaţia (11.13) exprimă teorema momentului cinetic al rigidului faţăde centrul de masă: “derivata în raport cu timpul a momentului cinetic înraport cu centrul de masă al unui solid rigid, este egală cu momentulrezultant al forţelor exterioare, active şi pasive, faţă de acelaşi pol C.“

Relaţia vectorială (11.12) se poate proiecta pe axele unui sistemcartezian de referinţă cu originea în 1O , obţinându-se trei ecuaţii scalare:

,MMK ;MMK ;MMK pz

azz

py

ayy

px

axx (11.14)

11.3.3. Teorema conservării momentului cinetic

Dacă momentul rezultant al forţelor exterioare în raport cu un pol fixsau cu centrul de masă este nul, atunci momentul cinetic al sistemuluimaterial considerat rămâne neschimbat, adică se conservă.

Deci, dacă ,0MMM p

O

a

O

ext

O 111

, conform relaţiei (11.12) rezultă:.constK sau0K

11 OO (11.15)

Teorema momentului cinetic faţă de centrul de masă este:

.,constK rotc

(11.16)

adică, momentul cinetic este egal cu un vector constant.





1. Un cilindru şi o sferă de aceeaşi masă M şi aceeaşi rază R (fig.11.3), se rostogoleşte fără alunecare pe un plan înclinat de unghi a.Aplicând teorema variaţiei energiei cinetice să se determine raportulacceleraţiilor centrelor de masă,cunoscând coeficientul de frecarede rostogolire s.

Rezolvare. Se aleg cele două poziţii iniţială [0] şi finală [1]. În

poziţia iniţială OE = 0. În poziţia

finală, faţă de centrul de masă,corpul are o energie de translaţie şio energie cinetică de rotaţie.

.J2

1Mv

2

1EEE 22

crot1

tr 11

Lucrul mecanic al forţelor exterioare efectuat în timpul deplasăriicorpului de rotaţie, între cele două poziţii este:

.xcosGR

sxsinGL 1O

Înlocuind în (13.5) expresiile energiei şi lucrului mecanic, rezultă:

.cosR

ssinGxJ

2

1Mv

2

1 22c

Faţă de centrul instantaneu de rotaţie I, avem .R

vc

Deci .R /JM

xcosR

ssinMg2

v2

2c

Derivând în raport cu timpul şi ţinând cont că cvdt/dx , rezultă:

Fig.11.3



324 MECANICĂ

.gMR /J1

cosR

ssin

a 2c

Pentru cilindru 2c MR 2

1J , iar pentru sferă 2s MR

5

2J .

Raportul acceleraţiilor centrelor de masă este:

.15

14

MR /J1

MR /J1

a

ak

2c

2s

sc

cc

2. Un transportor cu bandă (fig.11.4) este antrenat de un motor electric printr-un cuplu de

moment OM . Să se calculeze

acceleraţia unei piese turnatede greutate P aşezată pe

bandă. Rolele de antrenare şisusţinere au aceeaşi rază R şi

greutate G. Rezolvare. Pentru

calculul acceleraţiei sedetermină mai întâi viteza la pătrat aplicând teorema energiei, după carese derivează relaţia obţinută. Pentru aceasta se consideră sistemul iniţial

în repaus 0EO . La un moment dat, piesa are viteza v, iar rolele w = v/

R.

Energia cinetică a sistemului într-o poziţie oarecare, finită este:

.GPg2

v

g2

GR

2

12v

g

P

2

1E

222

1

Dacă se consideră deplasarea piesei între cele două poziţii x, roleles-au rotit cu unghiul q = x/R.

Considerând piesa fixată pe bandă, lucrul mecanic total este:

.xsinPR

M

sinxPMLO

O1O

Fig.11.4




Aplicând teorema variaţiei energiei cinetice rezultă:

,xsinPR

M

GPg2

v O2

şi derivând în raport cu timpul, rezultă acceleraţia piesei:

.gGPR

sinPR Ma O

3. În capătul D al unui fir inextensibil, înfăşurat pe discul A de rază r,

acţionează o forţă P

sub unghiul a, faţă deorizontală. Discul A de rază r, este solidar cudiscul B de rază R = 2r, care se rostogoleşte

pe un plan orizontal (fig.11.5). Întregulansamblu are masa m = P/g şi raza de inerţie

.r R i Să se determine unghiul a maxim pentru

care corpul se rostogoleşte fără patinare şiacceleraţia centrului de masă al disculuicorespunzătoare acestui unghi maxim dacăcoeficientul de frecare la alunecare este m = 0,1.

Rezolvare. Se reprezintă toate forţele active şi pasive ce acţioneazăasupra discului. Discul are o mişcare plan-paralelă. Se aplică teoremaimpulsului (două ecuaţii scalare) şi teorema momentului cinetic (o ecuaţiescalară) în raport cu axa ce trece prin centrul de masă:

;cosPTxm C (1);0sinPP Nym C (2)

;TR Pr JC (3)

La aceste ecuaţii se adaugă relaţiile: T=mN; ;r 2aC

.Rr g

PmiJ 2

C Din relaţia (2) rezultă N=P(1-sin), care înlocuită în

(1) dă:

Fig.11.5



326 MECANICĂ

.gcossinax CC (4)

Făcând toate înlocuirile în (3) rezultă condiţia de echilibru la limită:

,sin1RPrPr 2

gcossinRr

g

R

sau .cos1sin13 (5)

În ecuaţia trigonometrică (5) se înlocuiesc:

;2

tgtundet1

t1cosşi

t1

t2sin

2

2

2

şi rezultă

2

t1

t

2

3

de unde .279,03/21

1

2tgt max

Deci .2131279,0arctg2max

Acceleraţia centrului de masă

.s/m85,8gcossin1,01,0a 2maxmaxC

4. Un disc de masă m=70kg şi rază R=1m (fig.11.6) este accelerattimp de 2 minute din poziţia de repaus, pânăla o turaţie n=240 rot/min. Frecarea în axuldiscului este dată prin coeficientul

1,0O , iar raza axului este Or =0,1 m.

Să se determine: a) momentul cuplului cetrebuie aplicat roţii pentru a obţine aceastăacceleraţie; b) îndepărtând cuplul, în câttimp şi după câte rotaţii se va opri discul.

Rezolvare. a) Acceleraţia unghiularăa discului este:

.s/rad1560230

240

t30

n

t

2O

Fig.11.6




Teorema momentului cinetic faţă de axa de rotaţie conduce

la: ,MMJ fr CO de unde rezultă momentul cuplului:

. Nm19,1481,9701,01,0152

170mgr

2

mR MJM

2

OO

2

fr OC

b) Pentru a afla timpul în care discul se opreşte, după îndepărtareacuplului, se aplică teorema variaţiei momentului cinetic, scrisă sub forma:

deci,0undetMJ 1f fr O1O

.sec16,1288,91,01,060

24014,31

gr 60

nR

M

Jt

2

OO

2

fr

OOf

Legea spaţiului unghiular este:

N22

t 2f

, de unde rezultă numărul de rotaţii:

74,2734

16,128

154

t

N

22f

rotaţii.

5. Corpul A de masă 1m =60 kg este suspendat prin intermediul unui

fir inextensibil trecut peste scripetele B de masă 2m =6 kg şi înfăşurat pe

tamburul D a ruloului E, care se poate rostogoli fără alunecare pe două

şine paralele, înclinate faţă de orizontală cu unghiul 30 . Tamburul D

de rază R = 0,4 m este legat rigid de ruloul E de rază r = 0,2 m, masa lor comună fiind egală cu 2m = 100 kg, iar raza de inerţie în raport cu axa

ruloului i = 0,3 m. Neglijând frecarea la rostogolire, frecarea în axulscripetelui şi masa firului să se determine: a) acceleraţia corpului A; b)viteza corpului A după ce a coborât pe înălţime cu s = 1 m, ştiind că lamomentul iniţial sistemul s-a aflat în repaus; c) eforturile din fir; d)coeficientul de frecare de alunecare minim astfel încât tamburul D şiruloul E să se rostogolească fără alunecare (fig.11.7).



328 MECANICĂ

Rezolvare. a) Se izoleazăcorpurile, înlocuind legăturile

interioare cu reacţiunilecorespunzătoare. Se reprezintăvitezele liniare şi unghiulare alefiecărui corp. Aplicând teoremaimpulsului (11.16) şi teoremamomentului cinetic (11.20) celor trei corpuri ale sistemuluirezultă ecuaţiile scalare:

;Acorpul pentru;sgmvm 1111 (1);Bscripetele pentru;r sr sJ 222122 (2)

;EruloulşiDtamburul pentru;sTsingmvm 2333 (3)

;cosgm N0 3 (4)

;RsrTJ 233 (5)

La aceste ecuaţii se adaugă relaţiile:

,imJ;2r m

J;r v;r R r v 233

222

2333221

sau, prin derivare rezultă:

.

r R

r aa;

r R

a;

r

a 13

13

2

12

(6)

Eliminând 21 s,s şi T din ecuaţiile (1)...(5) şi ţinând cont de (6) rezultă

o ecuaţie având ca necunoscută a1.

.s/m778,2gr imr R m5,0m

sinr R r mr R ma 2

223

2

21

3

2

11

b) Legile de mişcare ale corpului A sunt:

.2

t778,2s;t778,2v;s/m778,2a

2

112

1

Eliminând timpul între tsşitv 11 rezultă:

Fig. 11.7




.s/m35,21778,22sa2v 2111

c) Eforturile din fir sunt:

. N40,42277,281,960agms 111

Înlocuind s1 în relaţia (2) rezultă: ;r

1

r

a

2

r mss

22

1222

21 deci

. N06,4142

778,264,422

2

amss 12

12

d) Coeficientul minim de frecare de alunecare se determină dinecuaţia (3) ştiind că la limită T = mN:

;amssingmcosgm 33233min

cosgm

r R /r amstg

3

132min

.233,030cos8,9100

2,0/2,0778,210006,41430tg


1. Peste scripetele a cărui greutate propriese neglijează (fig. 11.8) este trecut un fir de caresunt prinse greutăţile G şi P. Se cere greutatea P

pentru ca:a) în două secunde de la pornirea din repaus,sistemul să aibă viteza v = 6 m/s;

b) după nouă metri de la pornire, din repaus,sistemul să aibă viteza v = 6 m/s.

R: a)3g

3gGP

b)

2g

2gGP

Fig. 11.8.



330 MECANICĂ

2. O greutate G = 20 N trebuie împărţită în două părţi G1 şi G

2, astfel

încât prinse de cele două capete ale unui fir care trece peste un scripete

fără greutate proprie, sistemul parcurge 4m în primele două secunde dela pornire din repaus. Aceiaşi problemă pe un plan înclinat (fig. 11.9 b) deunghi şi coeficientul de frecare .

R: a) G1 = 8N; G2 = 12N. b) G1 = 8,42 N; G2 = 11,58 N.

3. Un corp de greutateG, alunecă din B pe un planînclinat de unghi şicoeficient de frecare (AB = l). În A se înscrie peun cerc de rază R, pe care

alunecă fără frecare. Secere raza cercului pentru caacest corp să ajungă în D(fig. 11.10).

R: R = l/2 (sin - cos)

4. Considerând greutatea scripeţilor neglijabilă, să se determine vitezagreutăţii G, după ce a coborât s metri. Coeficientul de frecare între plan

şi greutatea P este (Fig. 11.11 .

Fig. 11.9

Fig. 11.10




R: PG4

PG2gs2v

5. O locomotivă demasă M trage un vagon demasă m, cu viteza constantăv0, în momentul în care sedesprinde vagonul. După celocomotiva a mai parcurs distanţa d, i se taie forţa de tracţiune, urmând

să se oprească datorită frecării de coeficientul .Să se determine timpul între oprirea vagonului şi cea a locomotiveidacă v0

= 72 km/h, = 0,5, M = 4m şi d = 50 m.R: t = 20 s.

6. O bicicletă coboară o pantă sub unghiul (sin = 0,1)cu 18 Km/h. Pe ce distanţă

minimă poate fi frânată, frânareafăcându-se numai la roata dinfaţă? Ce valoare are coeficientul de frecare în acest caz (fig.11.12). Se dau: AC’ = d = 0,6 m;CC’ = h = 0,8 m.

R: s = 3,58 m; = 0,85

7. Un corp de masă m = 2 kg(fig. 11.13) este lăsat liber de laînălţimea H = 4,5 m, să aluneceîntr-un jgheab de formă oarecare,după care se înscrie pe o suprafaţăcilindrică de rază R = 2 m. Să sedetermine forţa cu care corpulapasă pe suprafaţa cilindrică în

punctul B, dacă lucrul mecanic al

Fig. 11.11

Fig. 11.12

H B

A

gm

R

Fig. 11.13



332 MECANICĂ

forţei de frecare pe întrgul traseu este L’ = 40 J. Se consideră g = 10 m/s.

R:

N10R

L2

mgR H23 N

8. Un automobil cu masa m = 200 kg, îşi sporeşte viteza în 10 sec.,de la v1 = 36 Km/h până la v2 = 54 Km/h. Să se determine surplusul de

putere necesar.R: P = 5 KW

9. Doi cilindri (fig. 11.14, 11.15) de masă m şi rază R, unul gol şi altul plin, se rostogolesc fără alunecare pe un plan înclinat aspru, de unghi.Să se determine raportul acceleraţiilor centrelor de masă, ştiind că pleacăde la acelaşi nivel.

R: g p GG a34a

10. Să se determine viteza şi acceleraţia centrului de masă al unuicorp de revoluţie de masă m şi rază R, ce se rostogoleşte fără alunecare

pe un plan înclinat de unghi . Coeficientul de frecare la rostogolire

este s, iar , unghiul de frecare la rostogolire. Se înlocuieşte masa redusă

Fig. 11.14 Fig. 11.15




Fig. 11.17

mr = J/R 2 şi tg = s/R.

R:

kggcos

)sin(

mm

ma

xgcos

)sin(

mm

m2

V

r

G

r

2

G

, unde k < 1.

11. Un fir inextensibil este legat cu un capăt de un corp A de greutateQ şi cu celălalt capăt de o greutateP şi o greutate suplimentară P/2. Firuleste trecut peste un scripete Cconsiderat fără frecare şi de masăneglijabilă. După parcurgereaspaţiului S1

, greutatea P/2 întâlneşteinelul D care o opreşte. După

parcurgerea spaţiului S2 greutatea P

se opreşte (fig. 11.16).

Se cere să se determinecoeficientul de frecare de alunecare dintre corpul A şi planul orizontalaspru cu ajutorul teoremei energiei cinetice şi lucrului mecanic.

R:

Q2

P3SQPSQ

Q2

P3PSQP

2

P3S

21

21

12. O greutate P este ataşatăde un fir trecut peste un cilindrude aceeaşi greutate P şi de razăr. Cilindrul se rostogoleşte fărăalunecare pe o suprafaţăorizontală plană. Se cere să se

determine viteza şi acceleraţia

Fig. 11.16



334 MECANICĂ

centrului cilindrului după ce greutatea s-a deplasat pe verticală cu distanţah (fig. 11.17).

R: g52a;gh

54v

13. Un bloc glisant A (fig. 11.18), degreutate G = 1000 N este în legătură, printr-un sistem de scripeţi cu o sarcină P = 400

N, conform schemei mecanice din schiţă.

Cunoscând că sistemul este lansat din repausşi neglijând frecarea, să se determine: a)viteza blocului glisant A după 5 sec; b)distanţa parcursă de blocul A atunci cândviteza sa atinge valoarea 5 m/s.

R: a) v = 2,13 m/s b) h = 29,3 m

14. O uşă glisantă de greutate G = 100 N care se deplasează pe oşină orizontală cu ajutorul rolelor B şi C, se deschide cu ajutorul uneicontra greutăţi A de greutate P = 75 N, ca în figura 11.19. Se cere să sedetermine viteza contragreutăţii A în momentul când aceasta atinge solul,dacă sistemul iniţial se găsea în repaus şi dacă se neglijează frecările.

R: s/m76,3P2G

Pgh2v

Fig.11.18

Fig. 11.19




15. Se dă sistemul de corpuri din figura

11.20, acţionat de un cuplu de moment M0. Săse calculeze acceleraţia corpului G.

R: GR 9

)GR M(g4a 0

16. Un transportor cu bandă este antrenatde un motor electric, printr-un cuplu de momentM0. Să se calculeze acceleraţia unei cărămizide greutate P, considerând-o fixă pe bandă(fig.11.21).

R:

GPR

sinPR Mga 0

17. Se dă sistemul de corpuri omogene din figura 11.22, care porneştedin repaus sub acţiunea greutăţilor proprii. Discul de pe planul orizontal

se rostogoleşte fără alunecare, coeficientul de frecare la rostogolire estes. Să se calculeze acceleraţia corpului de greutate P

.

R:

Q3GP2R

sQPR g2a

Fig. 11.20

Fig. 11.22 Fig. 11.21



336 MECANICĂ

18. Se dă bara OA = l omogenă de greutate G acţionată de o greutate

Q prin intermediul unui fir fără greutate trecut în B peste un scripete mic(OA=OB). Să se calculeze viteza unghiulară a barei în momentul în caretrece prin poziţia orizontală, ştiind că bara era iniţial în repaus la = 60o

(fig. 11.23).

R: Q3G2l

)]12(Q4G[g3

19. Se dă sistemul de corpuri omogene din figura 11.24, alcătuit din bara AB = l de gerutate G, discul de greutate P şi rază R şi corpul degreutate Q. Să se calculeze viteza greutăţii Q pentru o poziţie q a barei,

considerându-se că sistemul porneşte din repaus la q = q0.

R:

2

0

cos3G

2PQ

)GQ2)(sin(singlv

20. Se dă sistemul de corpuri din figura 11.25 care se mişcă în sensulindicat de figură, având la momentul iniţial energia cinetică cunoscută

E0. În acest moment se taie cureaua de transmisie. Să se calculeze drumul

Fig. 11.24 Fig. 11.23




parcurs de greutatea 2G până la oprire, timpul corespunzător şi acceleraţiaîn mişcarea de coborâre.

Momentul de inerţie axial al

troliului este g2

GR 9J

2

1 .

R:

13

g4

a;G34

E13

x

;gG17

E4

4

13t

0

1

0op

21. Se consideră un arbore gol lainterior, având razele R şi r şi lungimea l.Greutatea specifică a materialuluiarborelui este . Să se determine vitezaunghiulară iniţială care terebuie imprimată

arborelui pentru ca greutatea G să seridice la înălţimea h (fig. 11.26).

R:244

20 GR 2)r R (l

hgG4

22. O bară de greutate G şi lungimel este lansată în plan vertical cu

0, sub

un unghi de 30o

(fig. 11.27). Să sedetermine:a) după ce unghi viteza este

0/2. Ce valoare are acceleraţia unghiu-

lară ; b) se presupune că bara se mişcă în plan orizontal cu frecarea , sub

ce unghi de la pornire viteza unghiulară este0/2 şi cât este în acest caz.

R: a) 030;cosl2

g3

Fig. 11.25

Fig. 11.26

0



338 MECANICĂ

b) l2

g3;

g4

l 2

23. O bară de greutate G şilungime l are lipit la capăt un discde greutate G/2 şi rază l/3.Sistemul este articulat în O şi cadedin poziţia orizontală în poziţiamarcată cu unghiul . Să se

determine acceleraţiaunghiulară în această poziţie(Fig. 11.28).

R: cosl15

g14

24. Glisorul A de masă M(fig. 11.29), care are

posibilitatea să se mişte înghidajul orizontal, este legat cuun romb BCOD, format din

patru bare de aceiaşi lungime lşi masă m fiecare. Arcul de constantă k este fixat între vârfurile C şi Dale rombului. Mecanismul se află înrepaus, iar arcul CD, nesolicitat cândunghiul CAD este 90o. Ce vitezăiniţială v

0 trebuie să i se imprime

glisorului, pentru ca vârful rombuluiB să se deplaseze în B’, dacă BO =2 B’O. Se neglijează frecările înarticulaţii şi ghidaje.

R: m5M3

lk 625,0v

220

Fig. 11.28

Fig. 11.27

Fig. 11.29




25. Închizătorul OA (fig.11.30) sub formă unei plăci dreptunghiulareomogene de masă m, are posibilitatea de a se roti în jurul unei axe orizontale

ce trece prin O. Închizătorul este legat cuun cablu trecut peste scripeţii B şi C iar încapătul opus este fixată contragreutatea Dde masă m1. Închizătorul se menţine în

poziţ ie or izontală prin intermediulelementului E. Ştiind că OA = OB = l, săse determine viteza unghiulară = () aînchizătorului după înlăturarea fixatorului E.

La ce valoare m1 viteza unghiulară aînchizătorului în poziţia inferioară va fi dedouă ori mai mică în comparaţie cu cazulabsenţei contragreutăţii D.

R: )sin1(m3m2

1sin1m22sinm

l

g6

1

12

m64,0)22(8

m3m1

26. Într-un tub vertical estemontat un resort cu constanta deelasticitate k (fig. 11.31). În capătulsuperior este aşezat un piston mobilcu masă M, iar pe piston se

aşează o bilă de masă m. Resortulse menţine în stare comprimată delungime L, de un zăvor. La ceînălţime va sări bila dacă eliberămresortul, prin înlăturarea zăvorului.Lungimea resortului nedeformateste L0

. Se neglijează frecările.

R: )Mm(g2)LL(k

h

20

Fig. 11.30

Fig. 11.31



340 MECANICĂ

27. Troliul din figura 11.32, de greutate G şi rază R = 2r şi r, este

legat de corpul de greutate G,înălţime 4r, printr-un fir paralel cu planul înclinat. Se dau frecările

4

11 şi

4

32 .

Să se determine tensiunea dinfir T, corpurile fiind în mişcare şilăţimea corpului de înălţime 4r, pentrua fi la limita răsturnării (BC = r).

R: r 24

41 b;sin

24

G5T

28. Un cub de greutate G şi latură l = 2R şi un cilindru de greutate Gşi rază R sunt situate pe un planînclinat de unghi (figura 11.33).

Între cub şi plan există frecarea 1.Se cere coeficientul de frecare

2

între cilindru şi plan pentru cacilindrul să nu alunece în mişcare.Se vor determina condiţiile cacorpurile să rămână în contact întimpul mişcării.

R: 5tg5212

tg15

1;;tg

3

12121

29. Roata de greutate G şi rază R este legată printr-o bară fără greutate proprie la jumătatea laturii unui cub de greutate G şi latură l = 2R.

Ştiind că între plan şi cub nu există frecare, să se determine tensiuneaîn bară şi frecarea pentru ca roata să nu alunece.

Fig. 11.32

Fig. 11.33

G

G

R

1

2




R: tg5

2;sin

5

GT

30. Două corpuri sunt prinsede capetele unui fir inextensibil, aşacum se indică în figura 11.35 Primulcorp se află pe o suprafaţă cuasperităţi, iar al doilea atârnă de fir.Dacă se imprimă sistemului oanumită viteză, astfel încâtcorpul 1 să se deplaseze spredreapta, sistemul parcurgedistanţa h1. Dacă se imprimăsistemului aceiaşi viteză,orientată spre stânga, aceasta

parcurge distanţa h2.

Determinaţi coeficientul defrecare. Se cunoaşte raportul n= m1/m2.

R:)hh(n

hh

21

21

31. Să se determine momentul motor Mm, necesar demarării sistemului decorpuri din figura 11.36, cu acceleraţiaunghiulară 1. Se cunosc razele troliului2, r

2 şi R

2, a roţii 1, r

1 şi momentele de

inerţie mecanice J1 şi J

2.

R: QR

r r JM

2

211redm , unde

momentul de inerţie redus al sistemuluide corpuri este:

Fig. 11.35

h2 h

1

m1

m2

Fig. 11.34

G

G

Fig. 11.36

O2

O1

Mm

1

Q

12

3



342 MECANICĂ

2

2

21

2

2

121red R

r r

g

Q

R

r JJJ

32. Dintr-o placă pătrată de greutate 4G şi latură 2l se taie o porţiune pătrată de greutate G şi latură l , apoi se suspendă cu ajutorul unui resort.Resortul are constanta elastică K = 4G/l . Pentru poziţiile de echilibru

static din figura 11.37 să se determine perioada micilor oscilaţii.

R: g

17

4T)c, b;

g32T)a

l l

33. Fie o placă pătrată articulată în A de greutate G şi latură l , decare este lipită o bară de greutate G şi lungime l . Să se determine perioadamicilor oscilaţii ale sistemului susţinut de un resort, a cărei constantăelastică este k = 4G/l .

R:

g16

112T)h,g,f ;

g4

112T)e

;g2

l2T)d;

g4

72T)c;

g22T) b;

g4

72T)a

l l

l l l

Fig. 11.37




34. Trei bare egale de lungime l şi greutate G (fig. 11.39), fiecaresunt articulate formând un triunghi echilateral. Să se determine perioada

micilor oscilaţii în jurul artuculaţiei o, axafiind perpendiculară pe planul figurii şi în jurul axei () lungimea pendululuimatematic, sincron cu pendulul fizic astfelformat.

Presupunând că se scoate bara AB.Să se determine viteza unghiulară

0, cu

care trebuie rotit sistemul în jurul unei axe,

pentru ca barele OA şi OB să rămână la60o între ele.

R:l

l l l l g

3) b4

3;

2

3)a 2

0'00

35. Două bare de aceiaşi lungime l şi greutate G, sunt sudate întreele formând unghiul de 60

o. Ele oscilează în jurul articulaţiei O. Să se

determine perioada micilor oscilaţii.

Fig. 11.38

Fig. 11.39



344 MECANICĂ

Bara AO se prinde cu un resort, de constantă k = 4G/l , în poziţieorizontală. Unde trebuie prins resortul, pentru ca perioada micilor oscilaţii

să fie ca în cazul anterior. Dar dacă unghiul dintre ele este obtuz, de 120

o

?

R:l l

l

356,0'x)c;465,0x) bg3

342T)a

36. Bara cotită sub un unghi drept (figura 11.41) are AB de lungimel şi greutate G, şi AC de lungime 2l şi greutate 2G. În punctul C un resortsusţine bara. Acest resort suspendat vertical cu greutatea G la capăt sealungeşte cu l /4. Să se determine perioada micilor oscilaţii.

Fig. 11.40

Fig. 11.41

CA

A C




R:g11

22T) b;

g31

62T)a

l l

37. Un fir elastic neîntins, are lungilea L = R = 1/5 m. El se alungeştecu R/4 când, în poziţie verticală, se atârnă G la extremitate. Firul se

prinde de un disc plin de greutate G şi din care se decupează un disc derază R/2. Să se determine perioada micilor oscilaţii.

R: s2,0T) b;s4,0T)a

38. Două corpuri degreutăţi G şi 2G sunt legateîntre ele printr-o bară fără

greutate proprie. Între primulcorp şi plan este frecare de

coeficient . Sistemul este lansat cu 0v pe planul orizontal.

a) Se cere forţa F din bară în timpul mişcării; b) Ce se întâmplă când bara are greutatea proprie G.

R: 3

G2F)a

GF:G2corpul) b

g

GaF:Gcorpul

;2

GF: bara

1

1

Fig. 11.42

Fig. 11.42



346 MECANICĂ

39. Un disc de rază R şigreutate P şi un corp de greutate

G sunt legate cu un fir şi situate pe două plane înclinate de unghi ca în figură. Frecarea întrecorpul G şi plan este 1 =0,25.

Se cere coeficientul defrecare2 între disc şi plan, pentruca în timpul mişcării acesta să nualunece pentru: a) P = 10G ; P =

0,1 G; c) P = 0,1GR: a) 2 = 0,272; b)

2 =

0,28; c) 2 = 0,3

40. Într-un vas de lăţime AB= l şi înălţime AC = l/2 se pune apă

până la jumătate din înălţime. Vasulcu apă are greutatea G. De vas se

prinde un fir de care se suspendăgreutatea P (frecare între vas şi soleste = 0,5). Să se determinegreutatea P, pentru ca în mişcare apasă fie pe punctul de a ieşi din vas(fig. 11.44).

R: P = 2G

41. O placă dreptunghiulă degreutate G, lăţime l , înălţime l/2, esteţinută în echilibru de două greutăţiP, aşezate cu frecare pe două planeînclinate de unghi , astfel încât Geste pe punctul de a aluneca în jos(fig. 11.45). Dacă se rupe un fir careva fi tensiunea în firul rămas şi ce

forţă de reacţiune se va exercita

Fig. 11.43

Fig. 11.44

Fig. 11.45




asupra cadrului ştiind că 1 este coeficientul dec frecare între cadru şi

greutate .

R:

P2PG

)PG(2G

21

G2 N

ga

cossinPT

1

1

1

42. Într-un vas emisferic, este situată o bară AB de greutate G şi

lungime l =R fără frecare. Bara vaaluneca din poziţia iniţială reprezentatăîn figură. Să se determine când trece prin

poziţia orizontală ce forţe de reacţiuneva exercita asupra vasului cât şireacţiunile în poziţia iniţială (fig. 11.46).

R:

60

G313 N;

60

G37 N

30

G319 N

21

43. Discul de rază R şigreutate G, are sudat o bară delungime 2R şi greutate G.Discul este articulat în O şi

legat în B cu un fir. Dacă serupe firul, să se determinereacţiunile din O la începutulmişcării. Dacă se rupearticulaţia, care este tensiuneadin fir?

R:41

G58T;G

65

38YA

Fig. 11.46

Fig. 11.47



348 MECANICĂ

44. Un disc de rază R = 0,5 m,greutate G = 10N are centrul de

masă în A. Bara AB se roteşte cuturaţia n = 1200 rot/min. În B estesuspendată greutatea P = 5N, iar înC există un reazem (BC = CA =0,5m). Să se determine vitezaunghiulară de precesie .

R: s/rad24,0

45. O bară de greutate (1) G = 10 N, lungime l = 0,5 m este prinsă în B pe bara AB de lungime l = 1m şi Q = 4N.În A este suspendată o greutate P =12N. Bara (1) se roteşte cu turaţia n =360 rot/min, în jurul lui B. Unde trebuieamplasat reazemul D pentru ca vitezaunghiulară de precesie să fie = 0,5

rad/s.R: AD = 0,446 m Fig. 11.49

Fig. 11.48



34912. PRINCIPIUL LUI D'ALEMBERT

12

PRINCIPIUL LUI D’ALEMBERT

12.1. Forţa de inerţie ....................................................... 35112.2. Torsorul forţelor de inerţie ..................................... 354

12.3 Probleme rezolvate ................................................... 35612.4. Probleme propuse .................................................... 375



350 MECANICĂ




12PRINCIPIUL LUI D’ALEMBERT

12.1. FORŢA DE INERŢIE

Se consideră un corp 1C de masă m, asimilat cu un punct material,

aflat iniţial în repaus sau în mişcare rectilinie şi uniformă având, deci,acceleraţia nulă (fig.12.1). Pentru a-i

imprima o acceleraţie a corpului 1C ,

trebuie să acţionăm asupra lui cu un altcorp 2C , numit agent motor sau corp ac-celerant. Mărimea acestei acţiuni esteforţa 21F

, care conform principiului acţiunii

forţei este:.amF21

(12.1)

Corpul 1C , numit şi corp accelerat va acţiona asupra corpului 2C , cu oforţă

12F

egală şI de sens contrar, conform principiului acţiunii şi reacţiunii:

.FamFF i2112

(12.2)

Această forţă 12F

ce acţionează asupra agentului motor, se numeştereacţiune sau forţă de inerţie şi se notează cu .amFi

Deci, forţa de inerţie este o forţă reală pentru agentul motor şi oforţă fictivă pentru corpul accelerat, căruia i s-a modificat starea demişcare.

Forţa de inerţie se poate pune în evidenţă de oricine doreşte să punăîn mişcare un corp, împingându-l cu mâna. El întâmpină o rezistenţă carese resimte cu atât mai mult, cu cât corpul are o masă mai mare sau cucât i se imprimă o acceleraţie mai mare.

Fie un punct material de masă m, aflat în mişcare sub acţiunea unor

forţe date a căror rezultantă este aF

şi a unor forţe de legătură a căror

Fig.12.1



352 MECANICĂ

rezultantă este pF

..amFF pa

(12.3)

Relaţia (12.3) se poate scrie astfel:rezultă,Famcăştiind,0amFF i pa

.0FFF i pa

(12.4)S-a ajuns astfel la o ecuaţie analoagă cu ecuaţiile de echilibru din

statică; aceasta este ecuaţia de echilibru dinamic fictiv a lui d’Alembert.Ea permite enunţarea următorului principiu al lui d’Alembert:

“dacă pe lângă forţele date şi de legătură, s-ar aplica asupra punctului

material şi forţa de inerţie atunci sistemul de forţe astfel obţinut ar fi înechilibru.“Cu alte cuvinte, forţele active, pasive şi de inerţie formează în orice

moment un sistem de forţe în echilibru.Pentru mai multă claritate, să studiem cazul unui pendul matematic

(fig.12.2). Punctul de masă m este legat cu unfir inextensibil de un punct fix O şi lăsat liber într-o poziţie oarecare. Asupra punctului

acţionează forţa activă, dată G

-greutatea punctului şi forţa pasivă, de legătură S -efortul

din fir. Dacă se ataşează punctului şi forţa deinerţie amFi

atunci sistemul de forţe se va

afla în echilibru. Dar acest echilibru este însăun echilibru dinamic fictiv. Aşadar, ecuaţia(12.4) devine: .0FSG i

(12.5)

Principiul lui d’Alembert scris sub forma (12.4) conduce la o metodăde studiu comodă şi utilă în aplicaţiile tehnice, numită metodacinetostatică.

În felul acesta problemele de dinamică se tratează ca şi cele dincinematică şi statică, de unde îi vine şi denumirea de metodă cineto-statică.

Adică, se face o analiză a mişcărilor corpurilor, se calculeazăacceleraţiile şi se scriu ecuaţiile de echilibru din statică, după ce s-aureprezentat toate forţele active, pasive şi de inerţie.

În cazul rigidului se pune şi condiţia ca momentul rezultant al forţelor

Fig.12.2




active, pasive şi de inerţie să fie nul. Ecuaţiile de echilibru fictiv sunt:

;0R R R i pa

(12.6)

.0MMM iO

pO

aO 111

(12.7)

Principiul lui d’Alembert, în cazul rigidului se poate enunţa astfel:“forţele exterioare active şi pasive ce acţionează asupra rigidului, împreunăcu forţele de inerţie, formează la orice moment un sistem de forţe înechilibru“.

Relaţiile (12.6) şi (12.7) pot fi restrânse în una singură dacă se observă

că aR

şi aO1

M

reprezintă elementele torsorului forţelor exterioare active,

pO

p

1MşiR

-elementele torsorului forţelor exterioare pasive iar

iO

i

1MşiR

elementele torsorului forţelor de inerţie. Astfel se poate scrie:

,0FFF iO

piO

aiO 111

relaţie care exprimă sub forma cea mai generală principiul lui d’Alembert: “torsorul forţelor exterioare active şi pasive împreună cu torsorul

forţele de inerţie dau un torsor nul“ sau “torsorul forţelor exterioare dateşi de legătură este echilibrat de torsorul forţele de inerţie“.În cazul general, ecuaţiile vectoriale (12.6) şi (12.7) se proiectează

pe axele unui sistem cartezian de referinţă, obţinându-se şase ecuaţiiscalare de echilibru fictiv:

.

;0MMM

;0MMM

;0MMM

;0ZZZ

;0YYY

;0XXX

iz

pz

az

iy

py

py

ix

px

ax

i pa

i pa

i pa

(12.8)

Aceste ecuaţii servesc la studiul problemelor de dinamică prin metodeutilizate în statică, determinându-se reacţiunile dinamice şi a legilor de mişcare.

Indicaţii privind aplicarea metodei cinetostatice:-se izolează corpurile, în cazul unui sistem suprimându-se legăturile

acestora;-înlocuirea legăturilor interioare şi exterioare cu reacţiunile cores-

punzătoare;-analiza cinematică a sistemului de corpuri şi stabilirea relaţiilor dintre



354 MECANICĂ

acceleraţiile liniare şi unghiulare ale corpurilor;-introducerea forţelor şi momentelor de inerţie fiecărui corp în parte;

-scrierea ecuaţiilor de echilibru dinamic, fictiv între forţele date, delegătură şi de inerţie, pentru fiecare corp în parte;-rezolvarea sistemului de ecuaţii astfel obţinut şi determinarea legilor

de mişcare şi a reacţiunilor dinamice.

12.2. TORSORUL FORŢELOR DE INERŢIE

În relaţiile vectoriale ce exprimă principiul lui d’Alembert pentrusolidul rigid (12.6) şi (12.7) intervin: rezultanta forţelor de inerţie iR şi

momentul rezultant al forţelor de inerţie iO1

M

, în raport cu un pol fix sau

centrul de masă al rigidului. Acest ansamblu format din cei doi vectori

iO

i

1M,R

formează torsorul forţelor de inerţie. Simbolic se notează astfel:

.M,R F iO

iiO 11

(12.9)

În continuare se va determinatorsorul forţelor de inerţie pentru un rigidîn mişcare generală. În figura 12.3 seconsideră un asemenea rigid în mişcaregenerală faţă de un sistem de referinţăfix 1111 zyxO . Mişcarea generală estecaracterizată de parametrii cinematici

şivO . Un punct A, oarecare al rigidului,

sediul unei mase elementare dm, areacceleraţia a

.Acestui punct i se poate

ataşa forţa de inerţie .dmaFd i

Ataşând fiecărui punct al rigidului câte o forţă de inerţie elementară,se ajunge astfel la un sistem de vectori distribuiţi continuu în interioruldomeniului (S) din spaţiu ocupat de solidul rigid. Torsorul acestui sistemde forţe de inerţie va avea componentele:

,HHdt

d

dmvdt

d

dmdt

vd

dmaFdR SSSS

ii

Fig. 12.3




Deci, .aMHR Ci

(12.10)

Rezultanta forţelor de inerţie este egală cu impulsul derivat în raport

cu timpul, luat cu semnul minus

,K ddt

d

Hdr dt

ddm

dt

vdr dmar Fdr M

S

O

SSSS

iiO

1

1

Deci, .K M 11 O

i

O

(12.11)

Se menţionează că masa elementară dm, nu variază în timp şi deciintroducerea ei sub operatorul d/dt este permisă, iar schimbarea ordineiîntre operaţiile de integrare şi derivare este de asemenea permisă deoareceintegrarea (însumarea) se face pentru un moment dat (instantaneu) deci,nu în timp. Pentru a justifica complet transformările care au condus la

relaţia (12.11) se menţionează că ,0dmvr cei doi vectori fiind

coliniari.Relaţia (12.11) arată că momentul forţelor de inerţie faţă de un pol

fix (sau faţă de centrul de masă) este egal cu derivata momentului cineticîn raport cu timpul, calculat faţă de acelaşi pol, luat cu semnul minus.

Expresia generală a torsorului forţelor de inerţie în polul fix O1 este:

.K M

;aMHR F

11

1

OiO

Ci

iO

(12.12)

Din (12.12) rezultă că torsorul forţelor de inerţie, localizat în polul fix1O este egal cu torsorul impulsurilor derivat în raport cu timpul şi luat cu

semn schimbat. Simbolic se poate scrie:

.K ,Hdt

dM,R

1111 OOiO

iO

(12.13)

În aplicaţiile practice, torsorul forţelor de inerţie este indicat să sereducă în centrul de masă al rigidului. Torsorul forţelor de inerţie, faţă de

centrul de masă al rigidului are expresia:



356 MECANICĂ

.K M

;aMHR F

rotCiC

Ci

iC

(12.14)

Comparând teoremele impulsului (11.6) şi momentului cinetic (11.12)cu principiul lui d’Alembert (12.6) şi (12.7) observăm o analogie perfectă:

Teoremele impulsului: Principiul lui d’Alembert:

.0MMM

;0R R R

;K MM

;HR R iO

pO

aO

i pa

O pO

aO

pa

111111

(12.15)


1. O bară omogenă de lungime l şi masă m (fig.12.4) articulată încapătul O, este lăsată să cadă liber din poziţia orizontală. Să se determineşi să se reprezinte torsorul forţelor de inerţie în centrul de masă, în polul

fix O şi într-un punct pe axa centrală a forţelor de inerţie. De asemeneasă se calculeze reacţiunile dinamice din artculaţia O pentru o poziţieoarecare a barei şi legea de mişcare.

Rezolvare. Se alege un sistem de referinţă mobil Oxy, solidar cu bara. În figura 12.4 a. s-a reprezentat torsorul forţelor de inerţie în centrul

de masă. Torsorul are următoarele elemente:

Fig.12.4




.k

12

mlk JJK M

; j2

lmi

2

lmamR

F 2

CCrotC

iC

2C

i

iC

Torsorul forţelor de inerţie în polul O (fig.12.4,b) are expresia:

.k 3

mlk JJK M

; j2

lmi

2

lmamR

F2

CCrotO

iO

2C

i

iO

Forţele de inerţie, după axa centrală se reduc la o forţă unică egală

cu rezultantaC

i amR . Cunoscând torsorul forţelor de inerţie în polul

O, ecuaţia axei centrale se determină cu relaţia:

,0yXxYMOz

unde ,2mlXşi2mlY;3mlM 2

2

Oz

rezultând .0y3x3l2 2 Făcând intersecţia cu axa Ox (y = 0) rezultă punctul V de coordonate

,0yişl3/2x VV punct al axei centrale.

Torsorul forţelor de inerţie în punctul V are componentele (fig.12.4,c):

.0M

; j2lmi2lmamR FiV

2Cii

V

Conform principiului lui d’Alembert forţa activă, dată G

, forţa pasivă

de legătură jYiXR OOO

împreună cu iR

, formează un sistem de

forţe în echilibru. Ecuaţiile scalare de echilibru dinamic fictiv sunt (v.

fig.12.4,c):



358 MECANICĂ

;0sinmg2

lmX;0X 2

Oi (1)

;02

lmcosmgY;0Y Oi (2)

;02

llm

3

2cosmg

2

l;0M

iO (3)

Din ecuaţia a (3)-a rezultă ,cos

l

g

2

3

dt

d2

2

din care prin integrare

se obţine viteza unghiulară a barei:

ştiind că ,dt

d

d

d

dt

d

deci ,dcos

l

g

2

3d

00

, de unde:

.sinl

g32 (4)

Înlocuind expesiile lui w şi e în relaţiile (1) şi (2) rezultă reacţiunile

dinamice:.cosmg25,0Yşisinmg5,2X OO

2. Un cilindru omogen de rază R şi masă m se rostogoleşte pe un planorizontal aspru sub acţiunea forţei Q(t)= 0,12 mg (t + 1) şi a cuplului de

moment M(t) = 0,24 mg R ( t2 + t). Săse calculeze timpul t1 după care forţa

de aderenţă îşi schimbă sensul şi timpul

t2 după care cilindrul începe să

patineze. Coeficientul de frecare dealunecare este m = 0,14 iar frecarea de rostogolire se neglijează (fig.12.5).

Rezolvare. a) La timpul t = 0, M(t) = 0, cilindrul la începutul mişcării

este tras cu forţa Q(t), forţa de aderenţă T fiind orientată spre stânga.

Fig.12.5




După un timp 1t forţa de aderenţă îşi schimbă sensul, roata trasă (cilindrul)

devenind roată motoare. La momentul 1t forţa de aderenţă este nulă.

După reprezentarea torsorului forţelor de inerţieC

i amR şi

,JM CiC

ecuaţiile de echilibru dinamic fictiv sunt:

;0ma1tmg12,0;0X Ci (1)

.0ttR mg24,0J;0M 2CCi

(2)

Ştiind căR a şi

2mR J C

2

C rezultă prin înlocuire, 1tg12,0a C

şi ,tt48,01t12,0 2 de unde 25,0t1 secunde.

b) În situaţia când roata devine motoare, la un timp 2t ea începe să

patineze. Forţa de aderenţă este spre dreapta, iar condiţia de patinare lalimită este, T = mN. Ecuaţiile de echilibru dinamic fictiv sunt:

;0 Nma1tmg12,0;0XCi

(3)

;0mg N;0Yi (4)

.0 NR JttR mg24,0;0M C2

Ci (5)

Din ecuaţiile (4) şi (5) rezultă că .g1tg12,0aC

Înlocuind în (5) expresia lui Ca , ştiind că ,2/mR JşiR /a 2CC

rezultă:

.tt48,031t12,0 2

Dacă m = 0,14 rezultă ecuaţia 09t6t8 2 cu soluţia acceptabilă

t2

= 0,75 sec.

3. Aplicând principiul lui d’Alembert, să se determine acceleraţiacentrului de masă al cilindrului 3 şi eforturile din fir pentru sistemul de

corpuri din figura 12.6,a. Sistemul este format din prisma 1 de greutate



360 MECANICĂ

Q, scripetele 2 de rază R şi greutate Q/2 şi cilindrul 3 de greutate 2Q.Firul, considerat inextensibil este înfăşurat pe cilindru şi trecut peste

scripetele 2. Coeficientul de frecare la rostogolire a cilindrului pe planulorizontal este s, iar frecarea în axul scripetelui se neglijează.

Rezolvare. Se analizează mişcările corpurilor, se reprezintăacceleraţiile liniare şi unghiulare. Se izolează corpurile (fig.12.6,b), sereprezintă toate forţele active, pasive şi de inerţie:

Ecuaţiile scalare de echilibru dinamic sunt:

-pentru prisma 1: ;0SamQ;0Y 111i (1)

-pentru scripetele 2: ;0R SJR S;0M 2221O2 (2)

-pentru cilindrul 3: ;0TamS;0X 332i (3)

;0Q2 N;0Yi (4)

.0sNTR JR S;0M 332C (5)

Relaţiile între acceleraţiile liniare şi unghiulare ale corpurilor sunt:

;R 2

aa;R 2R a 3

13321

Se exprimă toate acceleraţiile în funcţie de 3a :

.R

a2;

R

a;a2a 3

23

331 (6)

Momentele de inerţie mecanice sunt:

Fig.12.6




;g

QR 4

2

R 4mJ;

g4

QR

2

R mJ

223

3

222

2 (7)

Înlocuind în sistemul de ecuaţii relaţiile (6) şi (7) şi eliminând

necunoscutele 21 S,S , T şi N, rezultă o ecuaţie în 3a din care obţinem:

.g

13

R /s12a3

(8)

Înlocuind a3 în ecuaţiile (1) şi (2) rezultă eforturile:

.Q13 R /s58S;Q13 R /s49S 21

4. Un buştean 1 de formă cilindrică, de greutate 2Q, este suspendat prin intermediul unui cablu trecut peste troliul 2, degreutate Q şi raze r, respectiv R = 2r (fig. 12,7).Raza de inerţie a troliului este 2r i . Considerândcă sistemul se pune în mişcare din repaus şi că între

cablu şi buştean nu există alunecare, să se determineacceleraţia centrului de masă al buşteanului şieforturile dinamice din cele două ramuri ale cablului.

Rezolvare:

Se reprezintă forţa şi momentele de inerţie pentru cele două corpuri, în sens invers acceleraţiilor.Se izolează corpurile, înlocuind legăturile interioarecu reacţiunile S1 şi S2. Ecuaţiile de echilibru dinamic

fictiv pentru fiecare corp în parte sunt:

(1)

0MS2r 3

S2r 3

;0M

0Q2FSS;0Y

i112c

i121i

(2) 0MSr Sr 2;0M i2210

Dar: 111i1 a

g

Q2amF ;

Fig. 12.7



362 MECANICĂ

g

ar Q

2

g

r

a2

8

r g

g

Q2JM 11

2

11i1 ;

g

ar Q4

r a2r 2

gQmiJM

1

1222

222

i2

Relaţiile cinematice:r

a2;

2

r r

2

r 3ICa 1

11111

r

a2

;r r 1

2112

Din primele două ecuaţii rezultă:r 3

1M

2

FQS i

1

i1

2 ;

Din ultimele două ecuaţii rezultă:r 3

2M

r

MS i

1

i2

1 .

Înlocuind eforturile S1 şi S

2 în prima ecuaţie, obţinem:

2

1 sm03,1g19

2

a

, acceleraţia buşteanului.Eforturile dinamice, după înlocuirea lui i

2i1

i1 MşiM,F , vor fi:

Q73,0Q19

14S1 ; Q05,1Q

19

20S2

5. Două bareomogene (fig. 12.8),OA = a şi OB = b,rigidizate între ele,formând un unghidrept în O, sunt arti-culate de un ax verticalîn jurul căruia se rotesccu viteza unghiularăconstantă 0

. Greuta-tea pe unitatea delungime fiind q, să se Fig. 12.8




determine viteza unghiulară 0 pentru care cele două bare formează unghiuri

egale faţă de axa verticală. Rezolvare:

De-a lungul barelor, forţele elementare de inerţie au o distribuţietriunghiulară. Rezultantele acestor forţe de inerţie acţionează la distanţa2/3, faţă de vârful O, din lungimea barei. Rezultantele forţelor de inerţieau expresiile:

cosg2

qaamR 2

2

ci1 1 ;

sin

g2

q bamR 2

2

ci2 2

Ecuaţia de echilibru dinamic fictiv este:0cos

3

2R sin

2

bQsina

3

2R cos

2

aQ;0M i

22i110

Înlocuind Q1 = a q, Q

2 = b q şi i

2i1 R ,R , rezultă:

2sin)a b(

)cosasin b(333

222

Pentru = 450, rezultă: g)a b(

)a b(

2

2333

222

.

6. O sferă omogenă de rază R şi masă m1 este aşezată pe o scândură

de masă m2, aşezată la rândul ei pe o masă fixă (vezi figura 12.9., a).Coeficientul de frecare la alunecare între sferă şi scândură este 1, iar coeficientul de frecare la alunecare între scândură şi masa fixă este 2.Scândura este trasă orizontal cu o forţă F, astfel încât alunecă pe masă.

Să se calculeze: a) forţa de frecare dintre corp şi scândură; b) acceleraţiilescândurii şi a centrului de greutate al sferei; c) acceleraţia unghiulară asferei; d) poziţia axei instantanee de rotaţie a sferei.

Aplicaţie numerică: m1 = 1 kg; m

2 = 4 kg; R = 0,1 m; F = 24,8 N;

1

= 2 = 0,2. Rezolvare:

Se izolează corpurile ca în figura 12.9, b, reprezentându-se toateforţele active, pasive şi de inerţie. Ecuaţiile de echilibru dinamic fictiv

pentru fiecare corp în parte sunt:



364 MECANICĂ

Fig. 12.9.

Cilindrul 1

;0TR J;0Z

;0gm N;0Y

;0amT;0X

1i

11i

c11i

Scândura 2

0gm N N,0Y0amTTF,0X

212i

2221i

La aceste ecuaţii se adaugă relaţiile: 2222c NT;R aa (6)a) Din relaţiile (2), (4), (5) şi (6) rezultă:

)mm(g)gm N(T 212122 ;2

21212 m

)mm(gTFa

(7)

Din relaţiile (1), (3) şi (6) rezultă:

1

21

2121c11 TJ

R mam)R a(mamT (8)

Înlocuind a2 din (7) în (8), rezultă T

1 sub forma:

JR m

mm

1

)mm(gFT

22

1

2

2121

unde 21 R m

5

2J pentru sferă.

Condiţia de nealunecare este: gmT 111




Aplicaţie numerică:

2

54

41

)41(8,92,08,24T1

Sfera se rostogoleşte fără alunecare. b) Acceleraţiile centrului sferei şi al scândurii, conform (1) şi (7)

sunt:

2

1

1c sm1

kg1

N1

m

Ta

2

2

212112 sm5,3

4

)41(81,92,018,24

m

)mm(gTFa

c) Acceleraţia unghiulară a sferei, conform relaţiei (3), este:

2

1

11 srad251,012

15

R m

T

2

5

J

TR

d) Poziţia axei instantanee de rotaţie a sfereiAcceleraţiile celor două corpuri fiind proporţionale cu vitezele, se

pot scrie relaţiile:

c

c

c

2

R R R

aa , de unde m04,0

15,31,01

aaR aR

c2

cc

Centrul instantaneu de rotaţie de află deasupra centrului sferei, pediametrul vertical, la distanţa 0,04 m faţă de C.

7 . O placă dreptunghiulară de masă m, având dimensiunile din figura12.10, se roteşte în ajurul unui axvertical cu viteza unghiularăconstantă . Ea este menţinută în

poziţia reprezentată în figură, prinintermediul unui fir AB. Să sedetermine reacţiunile dinamice dinfir şi articulaţia O.

Rezolvare:

Se detaşează o suprafaţă

elementară de arie dA şi masăelementară dm, asupra căreia Fig. 12.10.



366 MECANICĂ

acţionează o forţă elementară de inerţie iFd . Expresiile acestora sunt:

b

dxxh

dxydA ; dxh b

xhm2

dAA

M

dm 2 ;

dxx b

m2dmxdmadF 2

2

22

ci

de unde: 3

bm2dxx

b

m2F

22

b

02

2i

Poziţia rezultantei forţelor de inerţie se determină aplicând teorema

lui Varignon pentru sistemele de forţe coplanare:

h3

8dxx

b2

h3

3

bm2

dx b

xm2

b

xh

2

1

F

dF2y

y b

0

342

b

02

22

i

i

c

Rezultanta forţelor de inerţie este paralelă cu axa Ox la distanţa 3h/8 faţă de aceasta.

Ecuaţiile de echilibru dinamic pentru forţele ce acţionează asupra plăcii sunt:

0hSgm b3

2Fh

8

3;0M

0gmY;0Y

0SFX;0X

ii0

0i

i0i

Înlocuind forţa de inerţie rezultantă Fi, rezultă:

gh

b8 b3

12

mS;gmY;

h

b8 b3

12

m bm

3

2X 2

022

0 .

8. În capătul D al unui fir inextensibil, înfăşurat pe discul A de rază r,

acţionează o forţă P sub unghiul faţă de orizontală (fig.12.11). DisculA de rază r este solidar cu discul B de rază R = 2r, care se rostogoleşte

pe un plan orizontal. Întregul ansamblu are masa m = P/g şi raza de

inerţie r R i . Să se determine unghiul maxim pentru care corpul




se rostogoleşte fără patinare şiacceleraţia centrului de masă al

discului, corespunzătoare acestui unghimaxim, dacă coeficientul de frecare laalunecare este = 0,1.

Rezolvare:

Se reprezintă toate forţele active, pasive şi de inerţie, rezultanta forţelor de inerţie în sens invers acceleraţiei a,şi momentul forţelor de inerţie în sens

invers lui .Ecuaţiile de echilibru dinamic fictivsunt:

;0JTR Pr ;0M

;0PsinP N;0Y

;0amcosPT;0X

cc

i

ci

La aceste relaţii se adaugă ecuaţiile:

.r R gPimJ;r 2a; NT 2

cc

Reacţiunea normală N înlocuită în prima relaţie conduce la:

g)cossin(a c Din ecuaţia a treia, făcând toate înlocuirile, rezultă:

cos1)sin1(3Aceasta este o ecuaţie trigonometrică, în care se înlocuiesc:

2t1t2sin

şi

2

2

t1t1cos

, unde

2tgt .

Rezultă:2

t1

t

2

3

de unde 279,0

3

21

1

2tgt max

Deci: '1231279,0arctg2max

Acceleraţia centrului de masă este:2

maxmaxc sm85,8g)cossin1,01,0(a .

Fig. 12.11.



368 MECANICĂ

9. Un troliu de masă m = 2P/g, având raza de inerţie r R i , are posibilitatea să se rostogolească fără

alunecare pe un plan înclinat de unghi , sub acţiunea unei forţe Pce acţionează în capătul A al firuluiînfăşurat pe circumferinţa de rază R =2r. Să se determine: a) acceleraţiacentrului de masă al troliului; b) valoareamaximă a unghiului , pentru care troliulse rostogoleşte fără alunecare, ştiind că

= 2/3. Rezolvare:

Se reprezintă forţele active date şi cele pasive de legătură. În sensinvers acceleraţiei a şi acceleraţiei unghiulare , se reprezintă torsorulforţelor de inerţie.

Ecuaţiile de echilibru dinamic fictiv sunt:

;0MTr Pr 2;0M;0cosP2cosP N;0Y

;0sinPsinP2FT;0X

icc

i

ii

La aceste ecuaţii de adaugă:

r

a;

r

ar 2

g

P2imM;a

g

P2amF 22i

ci

Prin înlocuirea acestor expresii, sistemul de ecuaţii devine:;JPr 2r T;cosP3 N;sinP3amT c

Înlocuind forţa de aderenţă T în ultima relaţie, rezultă:

g

ar P4Pr 2)sinP3am(r , deci: g

6

sin32a

b) Valoarea maximă a unghiului rezultă din ecuaţia (1):

sinP3g

6

sin32

g

P2cosP3 .

Ştiind că = 3

2, rezultă: 3

1sincos , ecuaţie trigonometrică, din

Fig. 12.12.




care, prin ridicare la pătrat, se obţine:9

82sin sau

'22319

8arcsin2

1max

10. Un troliu de rază R = 2r (fig. 12.13), având greutatea 3Q şi raza

de inerţie r R i , este lăsat să cadăliber din poziţia de repaus, asupra luiacţionând şi forţa din firul înfăşurat pecircumferinţa de rază 2r, în capătul căruia

este fixată prisma 1 de greutate Q. Săse determine acceleraţia centrului demasă al troliului şi eforturile din fire.

Rezolvare:

Se izolează corpurile, înlocuindu-selegăturile interioare cu eforturile S1

şi S2.

Se reprezintă toate forţele active, pasiveşi de inerţie.

Ecuaţiile scalare de echilibru dina-mic sunt:

Corpul 1:

;0FQS;0Y i11i

Corpul 2:

;0Mr 2Sr S;0M

;0SQ3FS;0Y

i212c

1i22i

La aceste relaţii se adaugă expresiile:

222

2i22

i21

i122 a

g

r Q6imM;a

g

Q3F;a

g

QF;r a .

Eliminând eforturile S1 şi S2 rezultă acceleraţia g6

1aa 12

Eforturile din fire sunt: S1 = 1,5 Q şi S2 = 4Q

Fig. 12.13.



370 MECANICĂ

11. O placă dreptunghiulară de lungime l , lăţime h şi greutate P se

poate roti în jurul unui axorizontal Ox, fără frecare. Placaformează unghiul a cu axulvertical AB, în jurul căruia seroteşte cu viteza unghiularăconstantă . Placaeste menţinută în echilibru prinintermediul unui arc de constantă

k, perpendicular pe axa derotaţie AB. În starea nede-formată a arcului placa for-mează unghiul

0 cu axa AB.

Să se determine reacţiuniledinamice din lagărele A şi B şiunghiul . Aplicaţie numerică: l

= 2m; h = 1m; k = 175 kN/m;

= 20 rad/s; P = 10kN; 0 =2o

şiOA = l /3.

Rezolvare:

Se calculează torsorul forţelor de inerţie în polul O:

0;i j j;0k

i

g3

lPiJ)k J jJ(

dt

dK M

sinunde jsin2

l

g

PamR

22

2yzzzyz0

i0

2c

i

i0

Momentul cinetic este:

k J jJ0

0

JJ0

JJ0

00J

JK zzyz

zzzy

yzyy

xx

00

Momentul de inerţie centrifugal se calculează cu formula:

Fig. 12.14.




g3

lP)JJ(2sin

2

JJJ

2

'y'z'y'z

yz

unde 'zJ şi 'yJ sunt momentele de inerţie faţă de axele proprii (vezi

problema 2.2.2):

12

h

3g

PJJJ;

g12

hPJ

22

'yx'z'y

l

Forţele active şi de inerţie fiind coplanare, XA = X

B = 0. Ecuaţiile

scalare de echilibru dinamic sunt:

;0g3

PY

3

2Y

3;0M

;0PZ;0Z

;02g

PYY;0Y

22

BAxi0

Ai

2BAi

l l l

l

Rezolvând sistemul de ecuaţii, rezultă:

PZ;g6

PY;

g3

PY

A

2

A

2

B l l

Forţa F din arcul de constantă k este: )sin(sink yk F 0 l ,

dacă 00sin , atunci ).(k F 0 l

Pentru determinarea unghiului la echilibru dinamic, se va scrie osumă de momente faţă de axa Ox, numai pentru placă:

0g3

Pa

2PcosF;0M 2

2

x0 l l l

Se aproximează sin , cos 1 şi rezultă:0

g3

P

2P)(k 2

2

0 l l

l l

de unde: 95,478

350

g3

P

2

Pk

k 00

2

0

l l

l

Cu unghiul stabilit se înlocuieşte sin 90 = 0,16 în expresiile reacţiunilor

dinamice, rezultând: kN10Z;kN33,21Y;kN66,42Y AAB



372 MECANICĂ

12. O placă materială de formaunui sfert de cerc de rază R, masă m şi

greutate G, se află într-un plan vertical,articulată în O şi rezemată în A (fig.12.15). Placa se roteşte în jurul axuluivertical cu viteza unghiulară constantă. Să se determine pentru ce valoare alui reacţiunea din A se anulează?

Rezolvare:

Poziţia centrului de masă al plăcii

faţă de sistemul de referinţă cu origineaîn O se determină cu relaţia cunoscută:

23

R 4

4

45sinR

3

2sinR

3

2OC

o

3

R 445sinOCyx o

cc

Momentele de inerţie mecanice Jox

, Joy

, Jxy

sunt:

2

R mJ;

4

R mJJ

2

xy

2

oyox

Torsorul forţelor de inerţie faţă de polul fix O este:

0 j;iideoarece,k JiJK M

;ixg

GamHR

2xyxy0

i0

2cc

i

i0

dar

. jJiJ

0

0

J00

0JJ

0JJ

JK yyxy

zz

yyyx

xyxx

00

Poziţia axei centrale a forţelor de inerţie se obţine aplicând teorema

lui Varignon: i0

iv MR y , de unde: R

8

3

2

R 4m

J

xm

J

R

My xy

2

c

2xy

i

i0

v

Fig. 12.15.




Făcând sumă de momente în polul O, pentru NA = 0, rezultă viteza

unghiulară :

;0GxR y;0M ciV0

R 3

g8deunde,G

3

R 4

3

R 4

g

GR

8

3 22

13. O placă dreptun-ghiulară de masă m, cudimensiunile din figura 12.16,

este fixată de un ax verticalAB. Placa se roteşte cuviteza unghiulară constantă, în jurul axului vertical. Săse determine reacţiuniledinamice din lagărele A şi B.

Rezolvare:

Poziţia centrului de

masă al plăcii este:

3

hyşi

3

bx cc

S-au determinat următoarele momente de inerţie mecanice:

12

h bmJ;

6

bmJ;

6

hmJ xy

2

y0x0

Torsorul forţelor de inerţie în polul O este:

0 j;iiunde,k JiJK M

;i3

bmixmamHR

2xyxy

i0

22cc

ii0

unde jJiJ

0

0

J00

0JJ

0JJ

JK y0xy

z0

y0yx

xyx0

00

;

Ecuaţiile scalare de echilibru dinamic sunt:

Fig. 12.16.



374 MECANICĂ

;0MGxh5,0xh5,1x;0M;0GY;0Y

;0R XX;0X

i0cBA0

Bi

iBAi

Înlocuind datele cunoscute, sistemul devine:

h1

12h bm

h3 bgmx5,0x5,1

3

bmxx

2BA

2BA

Rezultă:12

bm

h3

bgmx;Gy;

h3

bgm

12

bm5x

2

AB

2

B

14. Un tambur cu raza r = 0,05 m este ataşat unui disc cu raza R =0,10 m (fig.12.17). Discul şi tamburul auîmpreună masa m = 6 kg şi o rază de inerţiei = 0,12 m. Un fir este înfăşurat pe tamburulde rază r şi tras cu o forţă F = 25 N. Dacădiscul se rostogoleşte fără alunecare, să sedetermine: a) acceleraţia unghiulară adiscului şi acceleraţia centrului său de masă;

b) valoarea minimă a coeficientului defrecare la alunecare, compatibilă cu aceastămişcare.

Rezolvare:

Se reprezintă torsorul forţelor de inerţie faţă de centrul de masă,forţele active G şi P şi cele pasive, T şi N.

Ecuaţiile de echilibru dinamic sunt:

;0r FMR T;0M

;0G N;0Y

;0R TF;0X

icc

i

ii

Fig. 12.17.




unde: ;R

a;miJM;amR 2

cic

i

Înlocuind forţa de aderenţă T din prima ecuaţie în ultima, rezultăacceleraţia centrului de masă:

22222

sm85,0)12,010,0(6

)05,010,0(10,025

)iR (m

)r R (R Fa

;

La limită T = N, din prima relaţie rezultă:

372,09,86

85,0625

gm

amF


1. Un punct material de masă m face corpcomun cu o roată de masă M şi rază R (fig.12,18). Să se determine frecarea dintre roată şisol, pentru ca aceasta să se rostogolească fără

să alunece.

R: 2m2)mM3(M

)mM(m2

2. O placă pătratăde greutate G şi latură l,articulată în O, susţinută

de firul BC, este înrepaus în poziţia I. a) Săse determine reacţiunileîn O, imediat dupăruperea firului, precum şireacţiunile după cădereaîn poziţia II; b) Aceeaşi

problemă pentru placa din

figura 12.19, b.

Fig.12.18.

Fig. 12-19.



376 MECANICĂ

R: a)

8

G17Y;

8

G15X

8

G5

Y;8

G3

X

AA

AA

b)

10

G13Y;

10

96X

5

G2Y;0X

AA

AA

3. Între ce limite variazăelementele încastrării, când

pendulul cu fir de lungime lşi bila de greutate G

oscilează sub 600, ca înfigura 12.20 Să se verificeîn poziţia I prin solidificareasistemului.

R:

I) l G2

3M;

4

G5Y;

4

3GX AAA

II) l G5M;G3Y;0X AAA

III) l G2

3M;

4

G5Y;

4

3GX AAA

4. Într-un plan orizontal, un fir ABC(AB = BC = l = 2 m) este fixat în A şi trece

peste un cui B (fig. 12.21). Din C selansează un mobil cu viteza v0 = 12 m/s. a)Să se determine tensiunea în fir şi timpul

până ce firul este în poziţia AD şi AE; b)Aceeaşi problemă în plan vertical.

R:

a)

.sec9t;G3,6T

.sec9

t;G7,26T

22

11

Fig. 12.20

Fig. 12.21.




b)

)AE pozitiaîn(G0,1T

;G6,1T;G7,3T

3

21

5 . Într-un plan orizontal sunt trei cuie A,B, C, formând vârfurile unui triunghi echilateralde latură l (fig 12.22). Legat în A şi înfăşurat în

jurul celor trei cuie este un fir cu o bilă în capăt,de greutate G (la început este în A). Bila estelansată cu viteza v, perpendicular pe fir. Se

cere tensiunea T în fir când acesta sedesfăşoară. Se neglijează frecarea.

R: .3

TT;

2

TT;

v

g

GT 1

31

2

2

1 l

6 . a) Să se determine tensiunile T1 şi T2 în barele 1 şi 2 care prindgreutatea G de o bară AB, în jurul căreia sistemul se roteşte cu viteza

unghiulară (AB = l ); b) Aceeaşi problemă când bara AB este orizontalăiar sistemul se roteşte în jurul ei; c) Sistemul se roteşte în jurul axei verticalece trece prin A (fig. 12.23).

R: a)

2

1

g8

3GT;3

g82

3GT

2

22

1

l l

Fig. 12.22

Fig. 12.23



378 MECANICĂ

b)2

3G

g8

G3T;

2

G

g8

G3T

2

2

2

1

l l

c)g8

G3

2

3GT;

g8

3G3

2

GT

2

2

2

1

l l

7 . O bară omogenă de lungime l şi greutateG (fig. 12.24) este articulată la capătul O deaxa verticală (D), în jurul căreia se roteşte cu

viteza unghiulară constantă . Pentru ce valoarea vitezei unghiulare , reacţiunea normală din Ase anulează?

R:

cos

g

2

32

l

8. O tijă omogenă de greutate P şi lungime l ,

este articulată la un capăt şi menţinută sub ununghi , cu ajutorul unui fir BC (fig. 12.25). Barase roteşte în jurul unui ax vertical cu vitezaunghiulară constantă . Să se determine efortulstatic şi dinamic din firul BC. Aplicaţie numerică:P = 50 N; = 450; l = 2 m; = 3 rad/s.

R: . N40T; N25T

sing3tg2

1

PT

dinst

2

l

9. Să se determine acceleraţiile corpurilor de greutate P şi Q, legateîntre ele printr-un fir trecut peste troliul 2 de raze r 1 şi r

2. Planul înclinat

are unghiul , iar frecările şi masa troliului se neglijează (fig. 12.26).

R: ;gr Qr P

sinr Qr r P

a ;gr Qr P

sinr r Qr P

a 22

21

2221

322

21

212

11

Fig. 12.24

Fig. 12.25




10. Punctul material E, de masă m1 = 2 kg, alunecă fără frecare peun ax orizontal 1, fiind legat de un arc de constantă k = 10 N/cm şi

lungime l0 = 20 cm, în stare nedeformată. Punctul material D, de masăm2 = 3 kg, este fixat pe o altă bară 2 orizontală, perpendiculară pe axul

vertical OO1 care se roteşte cu o viteză unghiulară = 10 rad/s. Ştiind

că AO = OO1 = O

1B = OD = 20 cm, calculaţi forţa din arcul deformat şi

reacţiunile dinamice din lagărele A şi B (fig.12.27.

R:

. N3200Y; N20X

; N3

100Y; N40X

BB

AA

Farc = 100 N

11. Un disc omogen de rază r = 10 cm şi masă m1 = 3 kg se roteşte în

jurul unui ax vertical AB cu viteza unghiulară = 10 rad/s. Discul estemenţinut sub un unghi prin intermediul unui arc elicoidal de constantă k =10 N/cm. La momentul iniţial, discul formează unghiul

0 = 100 iar arcul

este nedeformat. Discul se poate roti în jurul axului orizontal OD, situat la

distanţa r/2 faţă de centrul discului. Punctul material D de masă m2 = 0,4

Fig. 12.26 Fig. 12.27



380 MECANICĂ

kg este situat pe acelaşi ax orizontal. Dacă AO= OB = 50 cm, să se calculeze unghiul , forţa

din arcul de constantă k şi reacţiunile dinamicedin lagărele A şi B (fig. 12.28).

R:

; N32,33Z

; N11,2Y; N07,2X

; N91,0Y; N39,1X

; N98,3F;5,11

A

BB

AA

arco

12. Un inel de diametru d = 30 cm şi masăm

1 = 3 kg este articulat în D, în capătul unei

bare OD de lungime l 1 = 20 cm, perpendiculară

pe axul vertical OE. Inelul este menţinut sub ununghi faţă de verticală, prinintermediul unui arc avândconstanta de elasticitate k = 6 N/cm. În capătul barei de lungime l 2

= 25 cm se află greutatea K demasă m

2 = 0,5 kg. În poziţia iniţială,

inelul avea poziţia verticală, iar arcul era nedeformat. Întregulansamblu se roteşte în jurul axeiverticale cu viteza unghiularăconstantă = 10 rad/s (v. fig.12.29). Dacă AO = 40 cm şi OB

= 60 cm, calculaţi: a) unghiul pecare îl formează inelul cu verticala;

b) forţa din arc; c) reacţiuniledinamice şi statice din lagărele Aşi B.

R:

a) ;07,13 o ; N05,41Farc

b) ; N98,9Y; N3,46X; N3,34Z; N52,2Y; N96,23X

BB

AAA

Fig. 12.28

Fig. 12.29




13. O bară dreaptă 1 de lungime l1

= 0,30 m este articulată în O1 de o altă bară 2 orizontală de lungime l2 = 0,05 m,

sudată la rândul ei de un ax vertical ABîn jurul căruia se roteşte cu o vitezăunghiulară constantă = 10 rad/s (fig.12.30). În capătul barei 1 de masă M =10 kg se află punctul material D de masăm = 1 kg, legat de axul vertical prin

intermediul unui arc de constantă k = 20 N/cm. Ştiind că AO = OB = 0,6 m,calculaţi: a) unghiul pe care îl formează

bara 1 (în poziţia iniţială bara era verticalăşi arcul nedeformat); b) reacţiunile dinarticulaţia O1; c) reacţiunile din lagăreleA şi B.

R: a) ;2,4 o

b) ; N8,107Z; N3,24Y 0101 c)

0XX

; N8,107Z; N5,49Y; N6,18Y

BA

ABA

14. O bară dreaptă 1 de masă m =10 kg şi lungime l

1= 0,30 m este articulată

în O1 de o altă bară dreaptă 2 de lungime

l2 = 0,10 m, sudată la rândul ei de un axvertical AB, ce se roteşte cu o vitezăunghiulară constantă

1 = 20 rad/s (fig.

12.31). La capetele barei 1 sunt fixatedouă arcuri de constante k 1 = 10 N/cmşi k 2 = 20 N/cm. În starea nedeformatăa arcurilor, bara formează unghiul =50 cu axa verticală. Dacă OA = OB =

0,60 m, calculaţi: a) forţele din cele douăarcuri; b) reacţiunile dinamice din

Fig. 12.30

Fig. 12.31




R: .159,0;G11

1ac

17 . Pentru sistemul de corpuri din figura 12.34, să se determinemomentul motor M

m, astfel încât sistemul să demareze cu acceleraţia

unghiulară 1. Se cunosc greutăţile corpurilor P, Q, G, razele R

1, r

2, R

2 şi

raza de inerţie i2 a troliului.

R: 2

2

21

2

2

2121red

2

211redm

r

R R

g

P

r

iR

g

QR

g2

GJ

unde,r

R R PJM

18. Prisma A de masă m este legată prin intermediul unui fir inextensibil trecut peste scripetele B, de un cilindru D de rază R şi masă2m ce se rostogoleşte pe un plan înclinat de unghi (fig . Neglijândfrecarea de rostogolire şi frecarea în axul scripetelui B, să se determine:a) coeficientul minim de frecare de alunecare pentru ca cilindrul să serostogolească fără alunecare; b) valoarea maximă a unghiului , pentru

care este posibilă rostogolirea fără alunecare, dacă = 0,3.

Fig. 12.34



384 MECANICĂ

R:

;14

1

)a min

627

;141

351966

2tg) b

omax

2max

19. Pe cilindrul 1 de masă m1 este înfăşurat un fir inextensibil, trecut

peste scripetele 2 de masă m2. În capătul firului este fixată o prismă 3 demasă m

3 (fig. 12.36). Cilindrul se rostogoleşte fără alunecare pe traversele

4 de masă m4, care se deplasează pe un plan orizontal neted. Să se

calculeze acceleraţia absolută a centrului de masă al cilindrului şi al corpului3. De asemenea, să se determine eforturile din ramurile I şi II ale firului.În calcule se vor considera: m2 = 0,5m1; m3 = 0,75m1; m4 = 0,25m1

R:

.gm3

71S;gm

36

7S

;g95a;g

92a

1II1I

3c

Fig. 12.35

Fig. 7.36



38513. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL

13

DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL

13.1. Dinamica punctului material liber ........................... 38713.2. Dinamica punctului material cu legături .................. 38913.3. Dinamica punctului material în mişcare relativă ...... 391

13.3.1.Ecuaţia fundamentală a mişcării relative .......... 39113.3.2. Cazul forţelor complementare nule. Reper

inerţial .............................................................. 39213.3.3. Repausul relativ ............................................... 392

13.4. Probleme rezolvate .................................................. 39313.5. Probleme propuse ................................................... 400



386 MECANICĂ




13DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL

13.1. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL LIBER

Mişcarea punctului material în vid.

Mişcarea punctului material în vid (în aer cu neglijarea rezistenţeiaerului) reprezintă un exemplu de mişcare a unui punct material liber.

Se consideră un punctmaterial de masă m, aruncat dela suprafaţa Pământului cuviteza iniţială Ov

sub unghiul

faţă de orizontală (fig.13.1).Se pune problema determinării

traiectoriei unui astfel de punct,cunoscând forţele şi condiţiileiniţiale. Neglijând rezistenţa

aerului şi a vântului lateral, mişcarea punctului este plană iar singuraforţă care acţionează asupra lui este greutatea proprie .gmG

Se alegeun sistem de referinţă fix Oxy, cu originea în poziţia iniţială a punctuluimaterial. Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării punctului se obţin proiectând

pe axele sistemului de referinţă, ecuaţia fundamentală a dinamicii scrisă

sub forma:,Gam

(13.1)

rezultând două ecuaţii scalare:

.mgym;0xm (13.2)Integrând succesiv în raport cu timpul (13.2) se obţin proiecţiile

vectorului viteză şi ale vectorului de poziţie:

;Cgtvy;Cvx 2y1x (13.3)

Fig. 13.1



388 MECANICĂ

.CtC2

gty;CtCx 42

2

31 (13.4)

Ecuaţiile (13.4) reprezintă ecuaţile parametrice ale traiectoriei.Constantele de integrare se determină din condiţiile iniţiale:

.sinvy;cosvx;0y;0x,0tla OO (13.5)Astfel relaţiile (13.3) şi (13.4) ne dau:

.0C;0C;sinvC;cosvC 43O2O1 (13.6)

Introducând valorile constantelor în (13.4) rezultă:

.sintv2

gty;costvx O

2

O (13.7)

Eliminând parametrul t între cele două ecuaţii, se obţine ecuaţiaexplicită a traiectoriei:

.xtgcosv2

gxy

22O

2

(13.8)

Traiectoria este deci o parabolă care trece prin origine, avândconcavitatea în jos. Din punct de vedere balistic, interesează înălţimea

maximă maxh şi bătaia d.Bătaia se găseşte intersectând parabola (13.8) cu axa Ox, adică

pentru y=0 rezultă:

.g

2sinv

g

tgcosv2xd

2O

22O

B

(13.9)

Relaţia (13.9) ne arată că pentru o viteză Ov , dată bătaia maximă

(distanţa de la punctul de lansare, la punctul de cădere), se obţine pentru

un unghi de lansare =45o. Deci, .g/vd 2Omax

Înălţimea maximă atinsă de punctul material, faţă de orizontala cetrece prin punctul de lansare, pentru un unghi oarecare , se obţine punândîn ecuaţia (13.8) condiţia:

,0tgcosv2

gx2

dx

dy22

O

rezultă .g2

2sinvx

2O

v

(13.10)




.g2

v

g2

sinvxyh

2

Oy22

Ovmax

(13.11)

Înălţimea maximă se obţine la o abscisă egală cu jumătate din bătaie.Înălţimea maximă (13.11) se poate afla cunoscând componenta verticalăa vitezei iniţiale, indiferent de valoarea componentei orizontale a vitezei.

Coordonatele vârfului parabolei sunt: .g2/sinv;g2/2sinvV 2O

2O

Conform relaţiei (13.11) rezultă că la o viteză iniţială constantă, pentruun unghi de lansare =90o, rezultă înălţimea maximă atinsă de punctulmaterial:

,1sin,g2

vy

2O

max (13.12)

adică, când punctul este lansat pe verticală.

13.2. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL CULEGĂTURI

Dinamica punctului material pe cercul vertical.Se consideră (fig.13.2) un punct material de masă m, lansat din poziţia

Ao cu viteza iniţialăOv

pe cercul vertical de rază R.Dacă punctul A este legat prin intermediul unui fir de centrul O,

legătura este unilaterală, iar dacă el se mişcă în interiorul unui tub de razăR, legătura este bilaterală.

Se pune problema determinării mişcării(a vitezei funcţie de poziţie) şi a reacţiuniinormale N, pe cercul vertical.

Traiectoria fiind circulară, se poate utilizasistemul de coordonate naturale. Ecuaţiafundamentală a dinamicii este:

. NGam

(13.13)Asupra punctului acţionează două forţe

G

, greutatea punctului şi N

, reacţiuneanormală. Forţele de frecare se neglijează. Fig.13.2



390 MECANICĂ

Proiectând ecuaţia vectorială (13.13) pe axele sistemului de referinţă,rezultă ecuaţiile scalare:

;sinmgdtdvm (13.14)

.cosmg NR

vm

2

(13.15)

Din prima ecuaţie (13.14) se obţine legea vitezei, dacă se deriveazăîn raport cu variabila şi se ţine seama de d/dt=v/R:

,dsingR dvvsau,sinmgdt

d

d

dv

m0

v

vO

sau .1cosgR 2

v

2

v 2O

2

, rezultă

.cos1gR 2vv 2O

2 (13.16)Deci, pe măsură ce unghiul creşte, viteza lui se micşorează.Pentru a afla unghiul la care viteza se anulează, se pune condiţia ca

viteza să se anuleze v = 0, în relaţia (13.16). Rezultă:

.gR 2

v1cos

2O

v (13.17)

Din ecuaţia a doua (13.15) se obţine reacţiunea N în funcţie deunghiul .vşi O

.cos32mgR

mv N

2O (13.18)

Punând condiţia ca reacţiunea normală N să fie zero, se obţine din(13.18) unghiul pentru care se anulează aceasta:

.cos3

2

gR 2

v1

3

2cos V

2O

N

(13.66)




13.3. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL ÎN MIŞCARERELATIVĂ

13.3.1. Ecuaţia fundamentală a mişcării relative

Faţă de un sistem de referinţă presupus fix, ecuaţia fundamentală adinamicii punctului material stabilită de Newton este:

,Fam (13.20)

unde a reprezintă acceleraţia absolută a punctului material.

Uneori în aplicaţiile tehnice este necesar să se studieze mişcarea unuicorp, asimilat cu un punct material faţă de un sistem de referinţă mobil.

În cinematică s-a stabilit relaţia după care se compun acceleraţiile înmişcarea relativă a punctului:

.aaaa ctr a

(13.21)

Înlocuind relaţia (13.21) în (13.20) rezultă:

,Faaam ctr

sau

.amamFam ctr

(13.22)

În expresia (13.22) apar două forţe de inerţie complementare, carese însumează vectorial cu rezultanta F

a forţelor date şi de legătură ale

punctului. Acestea sunt: ,Fam itt

forţa de inerţie de transport şi

,Fam icc

forţa de inerţie Coriolis. Cu acestea, ecuaţia fundamentală

a mişcării relative (13.22) devine:

.FFFam ic

itr

(13.23)

Comparând cele două ecuaţii fundamentale (13.20) şi (13.23), seconstată că în cazul când mişcarea se raportează la un reper mobil, pelângă forţele exterioare date şi de legătură trebuie considerate şi forţelede inerţie de transport şi Coriolis.



392 MECANICĂ

13.3.2. Cazul forţelor complementare nule. Reper inerţial

O problemă de mare interes practic este aceea de a cerceta dacă, şi înce condiţii există repere mobile faţă de care ecuaţia fundamentală a mişcării

punctului material, se scrie la fel ca şi faţă de un sistem de referinţă fix.Pentru aceasta, condiţiile ce trebuiesc îndeplinite sunt ca: acceleraţia

de transport ta

şi acceleraţia Coriolisca

, să fie nule.

Acceleraţia de transport şi acceleraţia Coriolis sunt nule, atunci cândsistemul de referinţă mobil are o mişcare de translaţie, rectilinie şi

uniformă .0aşi0a,0 tt

Aceste sisteme de referinţă, faţă de care ecuaţia fundamentală a punctului material în mişcare relativă are aceeaşi formă ca şi faţă de unreper fix, se numesc sisteme inerţiale.

13.3.3. Repausul relativ

Repausul relativ poate fi considerat un caz particular al mişcării rela-tive, când punctul material este în repaus faţă de sistemul mobil, dar înmişcare o dată cu acesta faţă de sistemul fix. Într-o asemenea situaţie,viteza şi acceleraţia relativă sunt nule.

Având în vedere expresia forţei de inerţie Coriolis:

,vm2F r ic

(13.24) precum şi ecuaţia fundamentală a mişcării relative (13.23), rezultă pentru

condiţia de repaus relaţia:,0FF i

t

(13.25)adică forţele date şi de legătură, împreună cu forţa de inerţie de transportformează un sistem de forţe în echilibru. Relaţia (13.25) reprezintă condiţiade echilibru relativ a punctului material.

În tehnică problema repausului relativ se întâlneşte adeseori în studiulregulatorilor.




13.4. PROBLEME REZOLVATE1. Un punct material de masă m

începe să se mişte în vid, sub influenţaunei forţe variabile F (t) reprezentatăgrafic în figura 13.3. Ştiind căa=const.>0, b= const.>0 şi că forţa F(t) nu-şi schimbă direcţia, să se

determine legea de mişcare x (t) a punctului material. Rezolvare. Forţa variabilă F (t)

se modifică după legea:

. b/at pentru,0

, b/at0 pentru; btatF

a) Pentru , b/at0 ecuaţia fundamentală a dinamicii punctului

material este:

.tm

b

m

axsau btaxm (1)

Integrând de două ori relaţia (1) rezultă:

.0C,0x,0t pentru,Ctm2

bt

m

ax 11

2

.0C,0x,0t pentru,Ctm6

btm2ax 22

32

Legea de mişcare x (t) este:

. b/at pentru,tm6

bta3tx 2

(2)

.

mb3

axrezultã b/atPentru

2

3

B (3)

b) Pentru t>a/b, ecuaţia fundamentală a dinamicii este:

Fig. 13.3



394 MECANICĂ

,0xm (4)integrând de două ori rezultă:

.mb2aCiar ,

mb2ax, b/at pentru,Cx

2

12

2

1

,mb6

aCiar ,

mb3

a

b

ax, b/at pentru,Ct

mb2

ax

2

3

22

3

2

2

.mb6

at

mb2

atx,deci

2

32

2. O barcă de masă m începesă se deplaseze în linie dreaptă(fig.13.4) pe suprafaţa unui lac cu

vitezaOv

, învingând rezistenţa apei.La un moment dat, motorul bărcii seopreşte. Cunoscând forţa de

rezistenţă a apei de forma vk R ,

unde v

este viteza bărcii iar k = const > 0, m = 48kg şi Ov =10 m/s, să sedetermine: a) coeficientul k al rezistenţei apei, dacă după parcurgerea a50 metri, viteza bărcii devine 5 m/s şi de asemenea găsiţi timpul în care

barca a parcurs această distanţă; b) distanţa maximă pe care o parcurge barca şi timpul necesar parcurgerii acestei distanţe.

Rezolvare. a) Ecuaţia fundamentală a dinamicii este:

.0xm

k xsauxk xm (1)

Ecuaţia caracteristică a ecuaţiei diferenţiale:

.m

k r ;0r iilesoluţcu0r

m

k r 21

2

Soluţia ecuaţiei diferenţiale este:

.eCCx tm

k

21

Fig.13.4




Din condiţiile iniţiale t = 0; x = 0 şi Ovx , rezultă constantele deintegrare:

,vk

mCşiv

k

mC O2O1 deci

tm

k

O e1vk

mx iar viteza va fi

.evvt

m

k

O

(2)

Punând condiţiile din enunţul problemei, rezultă:

,e105şie110k

48

50

tm

k t

m

k

(3)

prin eliminarea luit

m

k

e rezultă k = 4,8 N. s/m.Din condiţia a doua a relaţiei (3), prin logaritmare rezultă timpul:

.2ln102lnk

mtdeci

2

1lnt

m

k

(4)

b) Legea orară (2) în acest caz are expresia:

.m100e1100limxundedee1100x t1,0

tmax

t1,0

Distanţa maximă parcursă de barcă după oprirea motorului este de 100metri într-un timp (teoretic) infinit.

3. Un punct material sedeplasează sub acţiunea unei forţecentrale de atracţie egală cu

,e/m10F 3

unde m este

masa punctului şi r raza polară (fig.13.5). Punctul pleacă de pe axa

polară la distanţa O=1 m cu o

viteză iniţială Ov =2 m/s, înclinată

faţă de orizontală cu unghiul

.45

Aplicând ecuaţia lui Binet să se găsească ecuaţia traiectoriei = (q), ştiind că mişcarea se realizează cu viteză areolară constantă.

Fig. 13.5



396 MECANICĂ

Rezolvare. Înlocuind expresia forţei de atracţie F în ecuaţia lui Binet

(13.45) rezultă:

,C

1011

d

d22

2

(1)

în care constanta ariilor C se determină cu relaţia (13.39):

.245sin21sinvC OO (2)

Înlocuind valoarea constantei 2C în (1) rezultă ecuaţia

diferenţială a mişcării punctului.

.041

d

d2

2

(3)

Ecuaţia caracteristică 04r 2 are soluţiile .2r ;2r 21

Soluţia ecuaţiei diferenţiale este: .eCeC1 2

22

1

Ecuaţia traiectoriei este: ,eCeC

12

22

1

(4)

unde 21 CşiC sunt constante de integrare ce se determină din

condiţiile iniţiale: .2v,2v,1,0,0t OOO

Punând condiţiile iniţiale în relaţia (4) rezultă:

,1CCdeci,CC

11 21

21

(5)

şi

,

eCeC

eC2eC2v

222

21

22

21

(6)

unde ,sinvC2

OO2

comform relaţiei (13.40).




Punând condiţiile: q = 0, r = 1, 1vO în relaţia (6) rezultă:

.2

1CCdeci,2CC

C2C22v 212

21

21O

(7)

Din (5) şi (7) se obţin constantele .4/1Cşi4/3C 21 În final ecuaţia traiectoriei punctului în coordonate polare este:

.ee3

422

4. Cu ce viteză Ov

trebuie să lansăm un punct material de masă m pe cercul vert ical de rază R, astfel încât parabola descrisă dupădesprinderea punctului de cerc, să treacă prin centrul O al cercului. Seneglijează frecarea dintre punctul material şicerc, precum şi rezistenţa aerului (fig. 13.6).

Rezolvare. Asupra punctului acţionează

două forţe: G

greutatea proprie şi N

reacţiunea normală.Condiţia de desprindereîn punctul B, este ca reacţiunea normală N

să se anuleze.Unghiul corespunzător punctului de

desprindere este dat de relaţia (13.66):

.gR 2

v1

3

2cos

2O

N

(1)

Din (1) rezultă:

.cosgR 3vgR 2 N2O (2)

Viteza în punctul B este dată de relaţia (13.63):

.cosgR 2gR 2vv N2O

2B (3)

Înlocuind relaţia (2) în (3) rezultă:

.cosgR cosgR 2cosgR 3v N N N

2

B

(4)

Fig. 13.6



398 MECANICĂ

După desprinderea de cerc, punctul material descrie o parabolă.Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei în sistemul Oxy sunt:

,CtC2

gty;CtCx 43

2

21 (5)

unde constantele de integrare 4321 CşiC,C,C se determină din

condiţiile iniţiale:

;cosR yy;sinR xx;0tla NB NB (6)

.sinvy;cosvx NB NB

Înlocuind condiţiile (6) în (5) rezultă ecuaţiile parametrice aletraiectoriei:

.cosR sintv2

gty;costvsinR x N NB

2

NB N (7)

Punând condiţia ca x = 0, y = 0 şi eliminând timpul în (6) rezultă:

.cos2

singR v

N

N2

2B

(8)

Înlocuind (4) în (8) rezultă .3

3cosdeci

3

1cos N N

2 (9)

Înlocuind valoarea lui Ncos în (2) rezultă viteza iniţială:

.32gR v2O

5. Să se studieze mişcarea relativă a unui manşon de masă m, de-alungul unei tije rectilinii care se roteşte uniform într-un plan orizontal, cuviteza unghiulară wo (fig.13.7).

Rezolvare. Asupra manşonului acţionează greutatea gmG


, forţele complementare de transport itF

şi respectiv

Coriolis icF

. Ecuaţia vectorială ce descrie mişcarea manşonului M de-a

lungul barei OA, conform (13.72)este:




.FF Ngmam it

icr

(1)

Expresiile forţelor complementare sunt:

; jxm2vm2F Or Oic

.imxF 2O

it

Proiectând ecuaţia (1) pe axa mobilă Ox,

obţinem:

.0xxsaumxxm 2O

2O (2)

Integrând ecuaţia de mişcare (2) rezultă

soluţia:.eCeCx t

2t

1OO (3)

Constantele de integrare se determinădin condiţiile iniţiale:

;CCx:rezultã0x;xx;0tla 21OO

de unde .

2

xCC O

21 Legea de

mişcare va fi: .tchxx OO Reacţiunea tijei are componentele pe axele Oy şi Oz, egale cu:

.mg N

;tshxm2xm2F N

z

OO2O

icy

6.

Un vas conic având unghiul lavârf 2a se roteşte în jurul axei sale cuviteza unghiulară w = const. (fig.13.8).În interiorul vasului se află în repausrelativ o bilă de masă m. Să se determine

poziţia de repaus relativ (prin înălţimeah) şi reacţiunea normală N din partea

peretelui.

Rezolvare. Asupra punctului

Fig.13.7

Fig.13.8



400 MECANICĂ

acţionează forţele .Fşi N,G it

Ecuaţia de repaus relativ este:

.0F Ngm it

(1)

care proiectată pe sistemul de axe mobil Oxy conduce la:

)3(.0costgmhsinmg N

)2(;0cosmgsintgmh2

2

Din ecuaţia (2) rezultă:

,tggh 22

iar din ecuaţia (3):

.sin

mg

sin

cosmgsinmg N

2


1. Punctul material de masă m începe să se mişte din starea derepaus sub acţiunea forţei F(t) de direcţie constantă. Mărimea acestei

forţe F(t) = a – bt, unde 0consta şi .0const b Să se determine

timpul şi distanţa parcursă de punct până la schimbarea direcţiei mişcării.

R:

2

11 b

a

m3

a2

ts; b

a2

t

2. Corpul de masă m, fixat la extremitatea unui arc nedeformat, seaflă în repaus pe un plan orizontal neted. Axa arcului este orizontală. Laun moment dat (t = 0), corpului i se imprimă viteza v0, de-a lungul axeiarcului. Forţa de elasticitate a arcului, în funcţie de deformaţiile sale l,

este de forma: ,k F 3 unde .0constk Să se determine în cazul

cărei deformaţii a arcului viteza corpului se va diminua de n ori în




comparaţie cu viteza sa iniţială.

R:

2

220

nk

1nvm2

3. Un corp de masă m, fixat la extremitatea unui arc nedeformat (fig.13.9), este pus în mişcare rectilinie pe un plan orizontal neted cu vitezainiţială v

0, îndreptată de-a lungul axei arcului. Forţa din arc este proporţională

cu deformaţia arcului , adică ,k F unde .0constk În paralel cu

arcul este fixat un amortizor, iar

forţa de rezistenţă a amortizoruluieste 2vcR unde v este vite-

za pistonului, iar 0constc .Să se găsească viteza iniţială amasei m, pentru ca ea să parcurgăspaţiul l .

R:

m

c2

20 e1m

c21c2

mk v

l l

4. Glisorul 1 şi corpul 2 de masă m, ataşat de el cu ajutorul unui arcelicoidal având constanta k, se găsesc în stare de repaus pe un plan înclinatneted, care formează un unghi cu orizontala (fig. 13.10). La un momentdat (t = 0), glisorul începe să se mişte de-a lungul planului cu viteza constantău, comprimând arcul şi punând în mişcare corpul 2 de masă m. În timpul

mişcării corpul întâmpină o forţă derezistenţă a mediului, proporţională

cu viteza lui, de forma ,vcR

unde 0constc considerândoriginea pentru coordonata x,

poziţia de repaus a corpului , să sedetermine ecuaţia de mişcare pe

planul înclinat. Se va nota:

Fig. 13.9

Fig.

13.10



402 MECANICĂ

2 pm/k iar c/m = 2p.

R: t pet p1 pu2 pu2tutx

5. Un cilindru circular drept demasă m se cufundă, rămânând în

poziţie verticală, într-un lichid a căruidensitate este (vezi figura 13.11).La momentul iniţial cilindrul aflat în

repaus, iar baza sa inferioară atingeasuprafaţa lichidului. Înălţimeacilindrului este h, iar aria suprafeţeisecţiunii transversale este A.

Neglijând forţele de rezistenţă, iar masa considerând că este

,hAm să se determine viteza

cilindrului în acel moment când baza sa superioară coincide cu suprafaţalichidului.

R: hgv

6. O roată de rază R, situată la înălţimeaH deasupra solului (fig. 13.12), se roteşte cuviteza unghiulară . De roată se desprinde o

picătură de apă care atinge solul în punctul B,sub centrul roţii. Să se determine timpul decădere al picăturii şi să se stabilească punctulA din care s-a desprins picătura.

R :

g

gHg2R R hgR 2t

222422

ttg

Fig. 13.11

Fig. 13.12




7 . O cutie de masă m = 50kg coboară pe un plan înclinat ( = 60o)

cu frecare 3/1 plecând din repaus (fig. 13.13). După ce parcurge

distanţa 35l întâlneşte un arc de constantă k. Să se determine: a)

viteza cu care cutia întâlneşte arcul; b) legea mişcării cutiei după ceîntâlneşte arcul, presupunând că momentul întâlnirii corespunde la t = 0;c)constanta k astfel încât deformaţia maximă a arcului să fie x

m = 0,5m.

R: a) s/m10cossing2v l

b) tsinvtcos1ax B21

m

k ;cossingaunde 1

c)

m/ N2000

cossinxg2vx

mk m

2B2

m

8. De la ce înâlţime h dăm drumul unui punct material de masă m,

pentru ca el să parcurgă traseul ABC şi să treacă de C. Pe zona BC seînscrie pe un cerc de rază R (fig. 13.14).

60o

k

l

Fig. 13.13 Fig. 13.14



404 MECANICĂ

R: R 2

5h

9. Un punct material de masă m este lansat pe verticală din poziţia Acu viteza iniţială v

0 şi se înscrie pe traiectoria ABC (fig. 13.15). Se cere:

a) viteza cu care trebuie lansat punctul pentru reacţiunea în C să seanuleze; b) neglijând frecările şi rezistenţa aerului, la ce distanţă d vacădea?

R: s/m10v0 m8d

10. Un punct material M, de greutate G = 10N, este suspendat de un fir

OM = 30cm fixat în O (13.16). Punctul material se roteşte în jurul axeiverticale pe o traiectorie circulară, iar vârful OM descrie un con cu unghiul la

vârf 2 = 120o. Să se determine viteza v

a punctului material şi tensiuneadin fir.

R: v = 210 cm/s T = 20 N

11. Un punct material de masă m se află pe un cerc vertical de rază R

= 1m. Cu ce viteză vA trebuie lansat, pentru ca el să se desprindă de pe un

Fig. 13.15 Fig. 13.16




cerc sub un unghi = 30o (fig.3.17). Dacă se lansează în vid, la

ce distanţă d faţă de bazasemicercului va cădea?

R: s/m46,2vA

m9,1d

12. Un punct material se depla-sează sub acţiunea unei forţe centralede atracţie egală cu F = -10 m/ 3,

plecând de pe axa polară la distanţa

0 = 1 m, cu viteza iniţială v

0 = 2 m/s,

înclinată faţă de orizontală cu unghiul 0

= 45o. Aplicând ecuaţia lui Binet,să se găsească ecuaţia traiectorieiştiind că viteza areolară e constantă(fig. 13.18).

Răspuns:

22 ee34

13. Aplicând teoremaimpulsului, să se afle traiectoriaşi distanţa la care cade un punctmaterial de greutate G, aruncatdin vârful unei clădiri înalte de h= 20m, cu o viteză iniţială v0 =20 m/s, orizontală, fără a lua înconsiderare rezistenţa aeruluifig. 13.19).

R: a) 20x80

1y 2

b) xB = 40m

Fig. 13.17

Fig. 13.18

Fig. 13.19



406 MECANICĂ

14. Cu ce viteză v0 arun-

căm un punct material de masă

m, de la baza unui plan înclinatde unghi , astfel încât, părăsind planul, să cadă la distanţa d,fără a lua în considerare freca-rea şi rezistenţa aerului (fig.13.20). Aplicaţie numerică: l =10 m, = 30o, d = 10 m.

R: v0 = 13,15 m/s

15 . Un punct material de masă m estelansat cu o viteză iniţială v

0 = 7 m/s

orizontală, pe cercul vertical de rază R =2m (13.21). Să se determine:a) viteza în punctul B; b) cu ce viteză v0

trebuie lansat pentru a trece de punctul C.R: a) vB = 3 m/s

b) s/m10v0

16 . Un tren are împreună cu locomo-tiva m = 30.000 kg. În mişcare cu vitezăfoarte mică îi este necesară oforţă de tracţiune de 600 N

pentru învingerea frecării.Locomotiva menţine o viteză

de 72 km/h, cu puterea de 60kW. Presupunând că la oriceviteză frecarea este aceeaşi,iar rezistenţa aerului kv2, să sedetermine cu cât scade vitezadupă 1 km dacă se „taie” aburii(fig. 13.22).

R: v = 30 km/h

Fig. 13.20

Fig.

13.21

0v

A(m)

F(t)

y

x Fig. 13.22




17 . Un punct de masă m se mişcă pe un plan orizontal neted Oxy,sub acţiunea forţei F(t) direcţionată paralel cu axa Ox. Modulul forţei

variază conform legii F = bt2

, unde .0const b Viteza iniţială 0v faceun unghi faţă de direcţia de acţiune a forţei F. Să se determine ecuaţiatraiectoriei punctului.

R:

ctgy

sinv

y

m12

bx

4

0

18. Punctul material demasă m se mişcă într-un planvertical pe un inel de rază R (fig.13.23). La momentul iniţial,

punctul s-a aflat în A pediametrul orizontal al inelului şii s-a imprimat viteza iniţială v0

.Coeficientul de frecare dealunecare între punct şi inel este. Să se determine valoarea cea mai mică a vitezei iniţiale v

0, pentru ca

punctul să atingă extremitatea opusă a diametrului orizontal B.

R:

2

2

0 41

e1R g6v

19. Un corp de masă m

cade pe Pământ, vertical într-o atmosferă liniştită, cu vitezaconstantă v0 = mg/k, unde

.0constk (fig. 13.24)

La înălţimea h deasupraPământului întră într-uncurent de aer, care sedeplasează orizontal cu viteza

.u Forţa existentă care

B AR

M 0v

Fig. 13.23

Fig.13.24



408 MECANICĂ

acţionează asupra corpului în fluxul de aer este ,vk R r

unde r v

este

viteza corpului în raport cu fluxul de aer. Determinaţi mărimea abaterii orizontale

x(h) a corpului de la direcţia iniţială verticală, în momentul căderii pe Pământ.

R:

2g

h

2e1

g

huhx

k

munde

20. Un punct material M de masă m se mişcă într-un plan vertical,

fiind atras de polul O cu forţar mk F

şi întâmpinând rezistenţa

aerului ,vmcR

unde

.0constc,0constk În momentul iniţial, punctul seafla în A(0, h) şi este lansatcu viteza orizontală v

0 (fig.

13.25). Se cere: a) să se

scrie ecuaţiile diferenţiale alemişcării; b) să se integrezeecuaţiile diferenţiale şi să sestabilească ecuaţiile

parametrice ale traiectoriei,

dacă .k 2c

R: a) 0xk xcx

gyk ycy

b)t

2

c

0 etvx

k

ge10t

2

c

k

ghy

t2

c

21. Un conveior cu bandă transportoare AB de lungime l = 7 m,este fixat în A printr-o articulaţie şi ridicat sau coborât în B, după dorinţă.

Nisipul se descarcă în B de pe bandă şi apoi cade liber până la nivelulsolului în C. Cunoscând că banda se deplasează cu o viteză constantă v

0= 3 m/s, să se determine: a) distanţa d maximă posibilă dintre A şi C; b)

Fig. 13.25

0v

y

A

x

G

F

R

r




unghiul corespunzător .

R: a) m87,8cossinv

g2

112sing2

v

d 20

20

max

l

l

b) 710221sinv

g22cos 03

20

l

22. Nisipul se descarcă în A de pe un conveior orizontal cu bandă,într-o pâlnie ca în schiţă (fig. 13.27). Pentru ce domeniu de viteză a

benzii nisipul va intra în pâlnia BC? Viteza benzii este v(m/s).

Fig. 13.26

Fig. 13.27



410 MECANICĂ

R:s

m35,7vm45,2

23. Un proiectil este tras de la marginea unei faleze de 150 m cu oviteză iniţială de 20 m/s, la un unghi de 30o faţă de orizontală (fig. 13.28).

Neglijând rezistenţa aerului, să se determine: a) distanţa pe orizontală dela tun până în locul unde proiectilul va lovi apa; b) înălţimea maximădeasupra apei care va fi atinsă de proiectil.

R: a) xmax

= 3.774,3 m b) ymax = 658,7 m

24. Un corp cade într-un puţ de adâncime h (fig.13.29). Forţa deatracţie a Pământului este F = mgx/R, unde R este raza Pământului, iar xdistanţa de la corp la centrul Pământului. Să se determine: a) legea demişcare x = x(t); b) viteza şi timpul în care corpul cade fără viteză iniţială.

R: a) tR

gcosR x b)

R 2

h1hg2v

Fig. 13.28




R

hR arccos

g

R t

25 . Să se determine viteza iniţialăv0 şi unghiul sub care trebuie aruncatun punct material de masă m, pentru acădea perpendicular pe planul AB înB(4,3) (fig. 13.30).

R: v0 = 9,20 m/stg = 2,833; = 70o30’

26. Un punct A de masă m, acţionat dedouă forţe, se mişcă uniform cu viteza v0 pe parabola y2 = 2px. Forţa

1F

este paralelă cu axa parabolei, iar 2F

este dirijată spre focarul C al parabolei (fig. 13.31). Să se determine mărimile acestor forţe (ştiind că

raza de curbură este

y

y1 2

32

).

Fig. 13.31

Fig. 13.29

Fig. 13.30



412 MECANICĂ

R:

2

px4

vmFF

20

21

27 . Ştiind că un punct de masă m cade în aer pe verticală după

legea ,1ek

gt

k

gtx tk

2

unde t este timpul, g acceleraţia

gravitaţională, iar 0constk , să se determine expresia forţei de

rezistenţă a aerului R. Axa x este îndreptată pe verticală în jos.R: vk mR

28. Un punct material de greutate Q execută o mişcare rectilinie

după legea ,t2cos4

r tcosr tx

l unde t este timpul, este

pulsaţia, iar r şi l constante. Să se determine cea mai mare valoare aforţei F, forţă sub acţiunea căreia punctul execută mişcarea.

R:

l

r 1r

g

QF 2

29. Un punct material liber, de masă m, descrie elipsa 1 b

y

a

x2

2

2

2

.

Acceleraţia punctului este tot timpul paralelă cu axa Oy. La timpul t = 0,coordonatele punctului sunt x = 0, y =

b, iar viteza v0. Să se determine forţa

care acţionează asupra punctuluimaterial (fig. 13.32).

R: j

ya

bvF

33

220

Fig. 13.32




30. Un punct de masă m = 20 g descrie sub acţiunea unei forţe

centrale, care-l atrage după legea lui Newton, o elipsă de semiaxe 0,1 mşi 0,8 m în 50 de secunde. Să se determine forţa de atracţie maximă şiminimă. (1 N = 105 dyn)

R: Fmax = 19,7 dyn; Fmin = 1,2 dyn

31. Viteza iniţială a unui proiectil este v0 = 490 m/s. Sub ce unghifaţă de orizontală trebuie să lansăm proiectilul din origine, pentru ca sănimerească punctul de coordonate x = 700 m şi y = 680 m?

R: = 45o

32. Să se determine sub ce unghi faţă de axa orizontală trebuielansat din origine un punct de masă m, astfel încât el să atingă dreapta(d) într-un timp minim (fig.13.33).

R: 090sau1tgtg Viteza iniţială v

0 trebuie să fie perpendiculară pe dreapta (d).

33. Un mobil este lansat pe un plan înclinat de unghi = 30o (fig.13.34) şi ajunge în M cu viteza v

0 = 10 m/s, apoi sare în P pe un plan înclinat,

tot de unghi = 30o, cu un coeficient de restituire k = 1. Să se determinedistanţele MP şi PQ.

R: MP = 20 m; PQ = 6,4 m.

Fig. 13.33 Fig. 13.34



414 MECANICĂ

34. Un mobil lansat pe un plan înclinat de unghi = 30o se opreşte

după 5 m. Frecarea are coeficientul 3

3

a) Să se determine cu ceviteză v

0 a fost lansat; b) Cu ce viteză v

0 mobilul loveşte un perete vertical.

Se cere coeficientul de restituire la ciocnire pentru ca mobilul să cadă la jumătatea distanţei dintre perete şi punctul de lansare în mişcare parabolică.

R: a) v0 = 10 m/s b) k = 0,5

35 . Un pendul este lansat din

poziţia I (cu = 60o faţă deverticală), cu viteza .gvA l

Firul are lungimea l , iar de el estesuspendată greutatea G (fig.13.35). Când tensiunea din fir este

3G2

3T (poziţia II), firul se

rupe. În acel moment greutateaeste la 2l deasupra solului. La cedistanţă x atinge solul?

R:

222B

2

2

tg2vx

l

36 . Să se determine vitezainiţială v0 a unui mobil care, lansatsub unghiul (fig. 13.36)dinextremitatea unei trepte deînălţime 1/2 şi lungime l , sare dintreaptă (coeficientul de restituire laciocnire este k = 0,5).

R: 3

g2v0

l

Fig. 13.35

Fig. 13.36




37 . Pe un disc de greutate neglijabilă şi rază R este trecut un fir de caresunt prinse greutăţile 2G şi G. OB este orizontală când corpul G este lansat

cu viteza v0. În momentul lansării, din A cade o picătură de apă. Să sedetermine viteza picăturii pentru ca aceasta să cadă (în mişcare) chiar pe G.Să se determine, de asemenea, proiecţiile vitezei picăturii şi greutăţii G înmomentul ciocnirii.

R: R g26

1v;R g2

3

1v G0

2

R g

3v;R g23

1

vv yx0

38. Dintr-un punct O se lansează un mobil de masă m, cu viteza v0= 50 m/s, sub un unghi de 30o. După timpul t = 1 s, el loveşte plasticdeasupra unui stâlp un alt corp de masă m. Unde ar fi căzut primuluimobil dacă mişcarea sa era neîntreruptă şi unde cad acum cele douăcorpuri?

Răspuns: s = 212,5 m; s’ = 104,5 m

39. De la înălţimea h deasupra punctului A al unei emisfere fixe (fig.

13.39) se lasă să cadă un punct material care loveşte perfect elasticemisfera. Cât trebuie să fie h, pentru ca după ciocnire punctul material

Fig. 13.37 Fig. 13.38



416 MECANICĂ

să cadă în B. Dar dacă ciocnireaeste plastică?

R: N,5129;R 1,0h 0 N fiind locul în care punctul materialse desprinde de emisferă.

40. Fie o emisferă fixă de razăR (fig. 13.40). În B cade un mobilde la înălţimea h = AB şi se ciocneşte cu emisfera. Coeficientul derestituire este k = 0,5. a) Să se determine h pentru ca după ciocnire

mobilul să sară în C (unghiul BOC = 60o); b) Dacă unghiul BOC = 45o şiciocnirea ar fi perfect elastică, se cere h pentru ca mobilul să sară în O’(pe fundul vasului emisferic).

R: a) h = 3,14 R4,2

R h) b

41. Fie cercul de sârmă, fix, vertical, de rază R (fig. 13.41). Să sedetermine viteza orizontală vA cu care trebuie lansat un inel de greutateG pe cerc pentru ca punctele B şi C, definite prin unghiuri de 60o cuverticala, inelul să exercite o forţă de reacţiune N = 5 G pe cerc. Caresunt vitezele şi acceleraţiile în aceste puncte?

R: R g2

9

v;R g2

11

v CB 302

g

a;g57,5a CB

Fig. 13.39

Fig. 13.40 Fig. 13.41



41714. NOŢIUNI DE VIBRAŢII MECANICE

14

NOŢIUNI DE VIBRAŢII MECANICE

14.1. Definiţii. Clasificarea vibraţiilor mecanice .............. 41914.2. Vibraţiile libere neamortizate .................................. 420

14.2.1. Constantele elastice ale câtorva sistememecanice .......................................................... 42014.2.2. Stabilirea ecuaţiei diferenţiale ........................ 422

14.3. Vibraţii libere amortizate ......................................... 42414.4. Vibraţii forţate neamortizate .................................... 42714.5. Vibraţii forţate amortizate ......................................... 42914.6. Probleme rezolvate ................................................... 432

14.7. Probleme propuse ..................................................... 435



418 MECANICĂ




14NOŢIUNI DE VIBRAŢII MECANICE

14.1. DEFINIŢII. CLASIFICAREA VIBRAŢIILOR MECANICE

Prin vibraţii se înţeleg oscilaţiile sistemelor elastice, adică mişcărileoscilatorii ale unor mase în jurul unei poziţii de echilibru, asupra lor acţionând forţe de readucere elastice.

Sistemul mecanic elastic este un ansamblu format din unul saumai multe mase (corpuri) cu legăturile lor interioare şi exterioare în careapar vibraţii mecanice. Un sistem este elastic dacă în componenţa saintră cel puţin un element care se deformează elastic.

Teoria vibraţiilor mecanice se ocupă cu studiul caracteristicilor

cinematice şi dinamice ale sistemelor elastice în scopul combaterii şi prevenirii efectelor dăunătoare ale vibraţiilor sau a utilizării lor în diferiteaplicaţii tehnice. Vibraţiile mecanice pot avea şi un rol pozitiv, de exemplu,în cazul ciocanelor vibratoare pneumatice sau mecanice, a transportoarelor vibratoare etc. Inginerul trebuie să cunoască bine legile care guverneazăfenomenele vibratorii, pentru a aplica după caz măsurile care se impun.

Vibraţiile mecanice se pot clasifica după o serie de criterii:a) După numărul gradelor de libertate sau parametrii independenţi

care definesc la un moment oarecare, poziţia tuturor elementelor sistemului

vibrant, sunt: vibraţii în sisteme cu unul, cu două sau mai multe grade delibertate şi cu un număr infinit de grade de libertate. Un corp rigid legatelastic, a cărui mişcare vibratorie constă dintr-o translaţie pe o direcţiecunoscută sau o rotaţie în jurul unei axe date, are un singur grad delibertate.

b) După tipul solicitării elementului elastic, sunt: vibraţii deîntindere-compresiune, de răsucire sau torsiune şi încovoiere.

c) După tipul ecuaţiei diferenţiale a mişcării din care decurg oserie de proprietăţi ale mişcării - vibraţiile sunt: liniare şi neliniare.

d) După natura acţiunii forţei exterioare, vibraţiile sunt: libere



420 MECANICĂ

sau naturale-sunt datorate unei deplasări sau impuls iniţial; forţate sauîntreţinute-sunt vibraţiile produse de o forţă exterioară periodică;

autoexcitate-sunt produse de o cauză interioară sistemului; parametrice-datorită variaţiei unui parametru al sistemului.e) După legea de variaţie a amplitudinii în timp, vibraţiile sunt:

neamortizate când amplitudinea rămâne constantă în timp şi amortizatecând amplitudinea scade în timp.

De asemenea, vibraţiile pot fi deterministe sau aleatorii. Dacăeste deterministă, ea are o formă bine definită, astfel încât valoareaelongaţiei la un anumit moment se deduce complet (cunoscând funcţia

care o descrie). Dacă vibraţia este aleatorie (întâmplătoare) valoareaelongaţiei la un moment dat nu poate fi dedusă decât pe bază statistică,indicându-se probabilitatea de apariţie a unor amplitudini şi frecvenţe.

În acest capitol se vor studia vibraţiile liniare ale sistemelor mecanicecu un singur grad de libertate, considerând pe rând că vibraţiile suntlibere neamortizate şi amortizate, forţate neamortizate şi amortizate.

Vibraţia unui sistem se studiază adesea pe baza unui model alcătuitdintr-o singură masă şi un resort (element elastic). Poziţia masei fiind

definită de o singură coordonată independentă x sau , se spune că sistemulare un singur grad de libertate.

14.2. VIBRAŢIILE LIBERE NEAMORTIZATE

14.2.1. Constantele elastice ale câtorva sisteme mecanice

Constanta elastică a unui sistem elastic se calculează pe bazaformulelor de determinare a deformaţiilor statice din Rezistanţamaterialelor. Astfel, pentru un sistem ce execută vibraţii de întindere-compresiune (fig.14.1,a), la care elementul elastic este o bară omogenăde lungime l şi aria secţiunii transversale A, constituită dintr-un materialcu modulul de elasticitate E, săgeata statică sub secţiunea unei forţeaxiale F este:

.EA

lF

x st (14.1)




Conform relaţiilor (14.1), constanta elastică este:,

l

EA

x

Fk

st

(14.2)

unde produsul EA reprezintă rigiditatea la întindere-compresiune. Pentru un sistem la care elementul elastic este supus la încovoiere,

constanta elastică se determină în acelaşi fel. De exemplu, pentru barade lungime l, încastrată la un capăt şi liberă la celălalt (fig.14.1,b),deformaţia statică sub acţiunea unei forţe verticale F este:

.E3

Flx

z

3

st (14.3)

Constanta elastică conform relaţiei (14.3) rezultă:

,l

E3

x

Fk

3z

st

(14.4)

în care E reprezintă modulul de elasticitate longitudinal; z momentul deinerţie geometric al secţiunii barei; produsul zE reprezintă rigiditatea laîncovoiere a barei.

Discul de masă m, din figura 14.1,c execută vibraţii de torsiune deoareceelementul elastic, bara de lungime l, este supusă la răsucire. Bara are modululde elasticitate transversal G şi momentul de inerţie geometric polar al secţiunii

p . Deformaţia de torsiune sub acţiunea unui moment M este:

.

G

lM

p

st

(14.5)

Constanta elastică a sistemului conform (14.5) rezultă:

Fig. 14.1

l

x -kxm

EAl

Eiz m

-kx x l

GI p

-k

ma. b. c.



422 MECANICĂ

,l

GMk p

st

(14.6)

unde produsul pG reprezintă rigiditatea la torsiune a barei.

14.2.2. Stabilirea ecuaţiei diferenţiale

Dacă asupra sistemului vibrant nu acţionează forţe perturbatoare,iar forţele de amortizare sunt neglijabile, vibraţiile sistemului sunt libere

neamortizate. Ele se mai numesc vibraţii naturale sau proprii. Astfel,sistemele elastice prezentate în figura 14.1, execută vibraţii libere dacăsunt scoase din poziţia de echilibru şi lăsate să oscileze.

Cel mai simplu model mecanic, alunui sistem elastic ce execută vibraţiilibere neamortizate este prezentat în figura14.2; un punct material de masă m fixatla extremitatea unui arc elicoidal de

constantă K, masă neglijabilă şicaracteristică elastică liniară. Punctul se poate deplasa fără frecare pe osuprafaţă orizontală.

Asupra punctului acţionează numai forţa elastică, care caută să-lreaducă în poziţia de echilibru static.

Ecuaţia diferenţială a mişcării se obţine proiectând ecuaţiafundamentală a dinamicii pe direcţia mişcării, care se alege ca axă Ox:

.0xm

k xsaukxxm (14.7)

Notând cu ,m

K p2 pulsaţia proprie a sistemului, se obţine:

,0x px 2 (14.8)ecuaţia diferenţială a mişcării vibratorii cu soluţia generală de forma:

x = A cos pt + B sin pt, (14.9)unde constantele A şi B se determină din condiţiile iniţiale ale mişcării: la

t = 0, .vx,xx OO

Fig. 14.2

K x-kx

(m)




Constantele devin:

. p/vB;xA OO (14.10)

Soluţia ecuaţiei diferenţiale (14.9) se va scrie:

, ptsin p

v ptcosxx O

O (14.11)

care se mai poate pune şi sub forma: , ptsinax (14.12)

unde noile constante de integrare, amplitudinea a şi faza iniţială au, încazul general, expresiile:

.v/ pxarctgşi p/vxa OO

2

O2O (14.13)

Soluţia ecuaţiei diferenţiale este o sinusoidă (14.12), deci sistemul

execută o mişcare oscilatorie armonică, cu pulsaţia ,m

k p perioada

k

m2T şi frecvenţa .

T

1f

Dacă se ţine seama de faptul că ,x/mgK st expresia pulsaţiei proprii a sistemului se mai poate scrie astfel:

.x

g

m

k p

st

(14.14)

Se observă că pulsaţia proprie a vibraţiei, perioada şi frecvenţa depindnumai de mărimile intrinseci ale sistemului vibrant, adică de constantaelastică şi de masă, nedepinzând de amplitudinea vibraţiei şi deci de

condiţiile iniţiale ale mişcării.Pentru sistemul ce execută vibraţii de torsiune din figura14.1,c ecuaţia

diferenţială se scrie:

,0 p2 (14.15)

unde pulsaţia proprie este ,J

k p (14.16)

în care J reprezintă momentul de inerţie mecanic faţă de axa de rotaţie.



424 MECANICĂ

14.3. VIBRAŢII LIBERE AMORTIZATE

În natură nu există vibraţii libere care să se menţină la infinit cuaceeaşi amplitudine. Din cauza frecărilor în sistemul oscilant -frecăricare fac ca energia mecanică a sistemului vibrant să fie treptat disipatăîn căldură sau alte forme de energie- amplitudinea mişcării scade continuu.Se spune că vibraţiile libere se amortizează. O astfel de mişcare nu maieste periodică, dar este considerată mişcare vibratorie.

Frecările care apar în sistem pot fi de natură vâscoasă (frecări în

fluide-amortizoare cu lichid sau aer-), fie de natură coulombiană (frecareuscată). În continuare se vor considera frecările din sistem de naturăvâscoasă, la care forţa de rezistenţă este proporţională cu viteza maseim. Acest lucru este echivalent cu introducerea în sistemul vibrant a unuiamortizor, format dintr-un cilindru umplut cu ulei şi un piston cu orificii,legat în paralel cu elementul elastic.

Modelul mecanic al unui asemenea sistem ce execută vibraţii libereamortizate, este prezentat în figura 14.3. Amortizorul având constanta de

amortizare c este legat în paralel cu arcul având constanta elastică K.Masa m se deplasează în lungul axei x, având acceleraţia x şi viteza.xv Între cilindrul amortizorului şi piston

viteza relativă este x ; ei îi corespundeforţa de frecare vâscoasă xc , de sensopus vitezei, deci de acelaşi sens cu forţaelastică.

Ecuaţia diferenţială a mişcării masei

m este:.0kxxcxm (14.17)

Împărţind cu m şi notând

, pm

k ,n2

m

c 2 (14.18)

ecuaţia devine:

.0x pxn2x 2 (14.19)

Ecuaţia caracteristică este: ,0 pnr 2r 22 cu rădăcinile:

Fig. 14.3

c

k

(m)x

cx-kx




. pnnr 222,1 (14.20)

Felul mişcării depinde de natura acestor rădăcini.a) Amortizare subcritică. Cazul amortizării slabe este cazul cel mai

des întâlnit, când rădăcinile (14.20) sunt complexe; deci:

0 pn 22 Dacă se înlocuieşte , p pn 2

122 soluţiile (14.20) sunt:

,ipnr 12,1 (14.21)iar soluţia ecuaţiei diferenţiale va fi:

tip

2tip

1nttipn

2tipn

1 1111 eCeCeeCeCx

(14.22)Utilizând relaţiile lui Euler:

,t psin2

ee;t pcos

2

ee1

tiptip

1

tiptip 1111

(14.23)

Soluţia generală (14.23) se mai poate scrie sub forma:

,t psinBt pcosAsinex 11nt (14.24)

sau sub forma: .t psinaex 1nt

(14.25)Constantele de integrare A şi B, sau a şi se determină din condiţiileiniţiale. Considerând cazul general de condiţii iniţiale, adică la t = 0, x =

Ox şi ,vx O atunci aceste constante au valorile:

, p/nxvB;xA 1OOO respectiv

.nxv/x parctg; pnxvxa OOO1

2

1OO2O

Mişcarea descrisă de ecuaţia (14.25) este o vibraţie modulată înamplitudine; este o vibraţie pseudoperiodică de pulsaţie 1 p , dar cu amplitudi-nea funcţie de timp. Reprezentarea grafică a mişcării descrise de ecuaţia(14.25) este dată în figura 14.4.

Mişcarea are pseudopulsaţia 1 p şi pseudoperioada 1T :

. p

2T

1

1

(14.26)

Decrementul logaritmic al amortizării reprezintă logaritmul natu-ral al raportului a două amplitudini succesive; el reprezintă un indice al



426 MECANICĂ

intensităţii amortizării:

.nTelnae

ae

lna

a

ln 1

nT

Ttn

nt

2

1 1

1

(14.27)

b) Amortizarea critică se obţine atunci când 0 pn 22 deci

rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt egale şi reale: .nr 2,1 Soluţiaecuaţiei diferenţiale este:

.tCCeteCeCx 21ntnt

2nt

1 (14.28)

Cu aceleaşi condiţii iniţiale, ea devine:

.xtnxvex OOOnt

(14.29)

Lipsa funcţiilor trigonometrice, indică absenţa caracterului oscilatoriusau pseudoperiodic. Deci, mişcarea are un caracter amortizat şi este

aperiodică. Reprezentarea grafică a mişcării este dată prin una din curbeledin figura 14.5.

Punând condiţia 22 pn prin notaţiile (14.18), rezultă coeficientulcritic de amortizare:

.mk 2cm

k

m4

ccr 2

2

(14.30)

În afara coeficienţilor c, n şi definiţi mai înainte, care caracterizează

un amortizor, se mai foloseşte în teoria vibraţiilor factorul de amortizare:

Fig. 14.4 Fig. 14.5




.c

c

cr

(14.31)

c) Amortizarea supracritică, se obţine când ,0 pn 22 adică rădă-cinile ecuaţiei caracteristice (14.20) sunt reale, distincte şi ambele nega-tive.

Dacă:.r şir notam, pnr 221112,1

Soluţia ecuaţiei diferenţiale (14.19) este:

.ececx t2

t1

21 (14.32)Sub această formă a soluţiei generale, apare clar caracterul amortizat

al mişcării, curbele exponenţiale tind la zero. Şi în acest caz lipsa funcţiilor trigonometrice arată absenţa oricărui caracter pseudoperiodic sauoscilator. Mişcarea are un caracter aperiodic amortizat. Pentru ointensitate dată a amortizării, reprezentarea grafică a ecuaţiei (14.32)are una din formele din figura 14.5, funcţie de valoarea vitezei iniţiale.

14.4. VIBRAŢII FORŢATE NEAMORTIZATE

Un sistem mecanic elastic execută vibraţii forţate dacă asupra luiacţionează o forţă care întreţine mişcarea. Forţa care întreţine mişcarea

poate fi armonică, periodică sau aleatorie. În continuare se va studiacazul când asupra masei m acţionează o forţă armonică .tsinFtF O Modelul mecanic al unui sistem cu un grad de libertate, format din masam şi arcul de constantă K, ce execută vibraţii forţate sub acţiunea forţeiarmonice .tsinFO este reprezentat în figura 14.6.

Ecuaţia diferenţială a mişcării masei m este

,tsinFkxxm O

împărţind ecuaţia cu m şi notând

cu2 p =K/m, rezultă:

,tsinm

Fx px O2 (14.33)

unde p reprezintă pulsaţia proprie

Fig. 14.6

k (m) xF(t)

-kxF

0sint



428 MECANICĂ

a sistemului iar pulsaţia forţei perturbatoare F (t).Ecuaţia (14.33) este o ecuaţie diferenţială de ordinul doi cu coeficienţi

constanţi, neomogenă. Soluţia acestei ecuaţii se compune din soluţiaecuaţiei omogene la care se adaugă o soluţie particulară de formatermenului liber:

.tsinX ptsinaxxx O pom (14.34)

Constanta OX , amplitudinea soluţiei particulare se determină dincondiţia ca acestă soluţie să verifice ecuaţia (14.34).

,tsinXx;tcosXx 2O pO p

şi înlocuind ,tsinmFtsin pXtsinX O2O2O

rezultă.Ax

p1

1

k

F

pm

F

X Ost2O

22

O

O

(14.35)

unde stx reprezintă deformaţia statică sub acţiunea forţei OF , iar OAfactorul de amplificare al vibraţiei forţate cu următoarea expresie:

.

p1

1

x

XA 2

st

OO

(14.36)

Cu aceste notaţii soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale este:

.tsinAx ptsinax Ost (14.37)

Se observă că mişcarea masei m nu mai este armonică, ea rezultând

acum din compunerea a două mişcări armonice de pulsaţii diferite p şi .În realitate, datorită amortizării, componenta proprie dispare suficient

de repede pentru ca în regim staţionar (permanent) să nu ne mai interesezedecât componenta forţată a vibraţiei. În acest caz mişcarea va fi armonicăcu pulsaţia egală cu pulsaţia forţei perturbatoare de ecuaţie:

.tsin

p1

1

k

FtsinAxtx

2O

Ost

(14.38)




Mărimea OA , numită factor de amplificare, după cum se observădin relaţia (14.36) este egală cu raportul dintre amplitudinea vibraţiei forţate

OX şi deformaţia statică a sistemului ,xst şi depinde de pulsaţia forţei perturbatoare şi pulsaţia proprie a sistemului p.Valorile absolute ale factorului de amplificare OA sunt reprezentate în

figura 14.7, în funcţie de pulsaţia relativă / p.Se observă că pentru =p, OA tinde spre infinit; prin urmare şi

amplitudinea vibraţiei forţate tinde la infinit.Apare aşa numitul fenomen derezonanţă, extrem de periculos pentruorice sistem mecanic vibrant.

În tehnică, zona delimitată devalorile pulsaţiei relative =0,85...1,15;denumită zonă de rezonanţă sau zonăcritică, se caută să se evite. De aceeaîn construcţia de maşini şi instalaţiiindustriale se urmăreşte ca sistemelemecanice vibrante să se situeze în afaraacestei zone, fie în zona =0...0,85

numită zonă subcritică, caracterizată prin construcţii masive (pulsaţia proprie

are valori mari), în general supradimensionate, fie în zona 1,15denumită zonă supracritică, caracterizată prin construcţii mai uşoare. Înaceastă ultimă zonă pe măsură ce creşte, factorul de aplificare OAscade către zero, şi are loc fenomenul de autocentrare.

Trecerea prin zona de rezonanţă, fie într-un sens fie în altul, nu este periculoasă dacă are loc într-un timp suficient de mic.

14.5. VIBRAŢII FORŢATE AMORTIZATE

Modelul mecanic al unui sistem elastic ce execută vibraţii forţateamortizate este asemănător cu cel prezentat în figura 14.3, cu deosebireacă masei m, i se aplică o forţă perturbatoare F(t) armonică. Un asemeneamodel complet este prezentat în figura alăturată 14.8.

Ecuaţia diferenţială a mişcării este:

Fig. 14.7



430 MECANICĂ

tsinFkxxcxm 0 (14.39)

Dacă se împarte la m, şi se utilizează notaţiile (14.18) ecuaţia (14.39)

devine:

.tsinm

Fx pxn2x O2 (14.40)

Ecuaţia (14.40) este oecuaţie diferenţială deordinul doi cu coeficienţiconstanţi, neomogenă.Soluţia generală secompune, ca şi în cazul

precedent, din soluţiaecuaţiei omogene şi o soluţie particulară:

,tsinXt psinaexxtx O1nt

pom

(14.41)

în care 221 n p p este pseudopulsaţia vibraţiei libere amortizate, -

pulsaţia forţei perturbatoare, a şi -constante de integrare, OX şi -

amplitudinea şi faza iniţială a vibraţiei forţate.Primul termen al soluţiei generale (14.41) reprezintă vibraţia proprie,iar al doilea, vibraţia forţată. Datorită amortizării, vibraţia proprie seanulează foarte repede, aşa că după trecerea fazei tranzitorii se poateconsidera soluţia staţionară dată numai de vibraţia forţată.

Înlocuind soluţia particulară tsinXx O p în ecuaţiadiferenţială (14.40) şi identificând coeficienţii lui sin şi cos, rezultă:

,Ax

p pn2

p1

1

K

FX 1st

2222

OO

(14.42)

,

p1

p pn2

tg2

(14.43)

Fig. 14.8




cu următoarele semnificaţii: stx -deplasarea sistemului mecanic subacţiunea forţei statice OF ; 1A -factorul de amplificare în cazul vibraţiilor

forţate amortizate, având expresia:

.

p pn2

p1

1

x

XA

2222st

O1

(14.44)

Deoarece numitorul expresiei (14.44) este o sumă de pătrate, factorulde amplificare 1A este finit pentru orice pulsaţie relativă /p. Se poate

defini o rezonanţă de amplitudine, care are loc când factorul de amplificaredevine maxim.

Se observă că pentru n=0, se regăseşte expresia factorului deamortizare OA ce corespunde sistemului fără amortizare.

Reprezentarea grafică a factorului de amplificare 1A , pentru diferite

valori ale amortizării 2n/p, în funcţie de pulsaţia relativă /p, este datăîn figura 14.9.

Examinarea acestor curbe arată următoarele:a) cu cât amortizarea este mai mare, amplitudinea la rezonanţă este

mai mică; b) efectul amortizării se resimte numai

în vecinătatea zonei de rezonanţă, în restcurbele practic coincid; rezultă că unamortizor este util pentru un sistem carelucrează în aproprierea rezonanţei, sau

ocazional, trece prin rezonanţă;c) pentru valori ale lui > 1,5,amplitudinea vibraţiei forţate este maimică decât săgeata statică ;1AdeoarecexX 1stO

d) curbele au maximul deplasat puţinîn stânga rezonanţei sistemelor neamortizate; pulsaţia de rezonanţă se

obţine anulând derivata în raport cu afactorului de amplificare .A1 Fig. 14.9



432 MECANICĂ

14.6. PROBLEME REZOLVATE1. Să se stabilească ecuaţia diferenţială a mişcării şi perioada pentru

sistemul vibrant din figura 14.10. Rezolvare.Forţa de amortizare în polul B este .vcF BB forţa din

A se determină din egalitatea momentelor faţăde polul C:

. bFaF BA Rezultă

,a

v bvdar ,

a bvc

a bFF AB

BBA deci

,xa

bc

a

bvcF

22

AA

unde x este deplasarea pe orizontală a masei m. Aplicând ecuaţiafundamentală a dinamicii, masei m, rezultă:

sau ,xa bckxxm

2

.0mkxxa bmcx

2

Masa m execută vibraţii libere amortizate.Coeficientul de amortizareechivalent este:

.ca

bc

2

e

Pulsaţia vibraţiilor amortizate este:

.m2

cmk n p p

2e22

1

2. Un electromotor având greutatea Q = 8000 N este montat la capătulunui suport format din două grinzi orizontale, încastrate la celălalt capăt(fig14.11). Grinzile sunt confecţionate din profile I din oţel având modululde elasticitate .m/ N101,2E 211 Distanţa de la axul motorului până la

punctul de încastrare este l = 1 m. Rotorul electromotorului, de greutateP = 2000 N are o excentricitate e = 0,1 mm faţă de axa de rotaţie.

Fig. 14.10

k x

(m) A

a

b

B

c




Turaţia de regim este n = 1000rot/min.

Să se aleagă profilul în aşafel încât amplitudinea vibraţiilor forţate să nu depăşească a = 0,15mm. La ce turaţie se producefenomenul de rezonanţă. Seneglijează greutăţile grinzilor şiforţele de amortizare.

Rezolvare. Proiecţia pe verticală a forţei perturbatoare, datorită

excentricităţii rotorului, este:.

30

nunde,tsine

g

PF 2i

(1)

Ecuaţia diferenţială a mişcării pe verticală a electromotorului areforma:

.tsineg

Pkyy

g

Q 2 (2)

Săgeata statică a suportului format din cele două profile , este:

.

l

E6

f

Qk undede,

2E3

Qlf

3z

stz

3

st

(3)

Ecuaţia diferenţială (2) devine:

.lQ

gE6g

Q

k punde,tsine

Q

Py py

3z222

(4)

Vibraţia forţată este dată de soluţia particulară a ecuaţiei diferenţiale(2), fiind de forma ,tsinYy O unde amplitudinea vibraţiei forţaterezultă:

.

1 p

1e

Q

PY

2O

(5)

Profilul se alege astfel încât, la pornirea electromotorului rezonanţasă fie exclusă. Pentru aceasta este nevoie ca p În acest caz, OY

este pozitiv şi trebuie să avem:

Fig. 14.11

l

e Fl



434 MECANICĂ

.a

e

Q

P1

psau.a

1 p

1e

Q

P2

2

(6)

Ţinând seama de valoarea (4) a lui p, rezultă:

.a

e

Q

P1

gE6

Ql32

3. ,s5,10430

100014,3

30

n 1

.m1072,8

1015,08000

101,020001

101,281,96

180005,104

26

3

3

11

2

Din tabele se alege un profil 16 care are I=935 cm4.

Pulsaţia proprie a sistemului este:

.s1171800

10935101,281,96

lQ

gE6 p 1

811

3z

Amplitudinea vibraţiei forţate este:

.m1015,0

101,0

1

5,104

117

101,0

800

2000

1 p

1e

Q

PY

3

32

3

2O

Fenomenul de rezonanţă se produce atunci când p = , adică

,11730

n rez

de unde: .min/rot112030117

n rez





1. Dacă de resortul de lungime l 0 se suspendă greutatea G, el se

alungeşte cu40

0

l l Acest resort se aşează pe o masă orizontală cu

frecare = 0,5 , avândun capăt fixat în A (fig.14.12). Masa m degreutate G de la capătulresortului se lansează cuviteza v0 = 10m/s. Luândl 0 = 0,5m, să se calculezeunde se va opri primadată masa m. (OB = ?)

R: m8

9OB

2. Două mase egale m = 5kg, sunt fixate de capătul

unui resort pe care-l alungesc cu40

0

l l unde l 0 = 1m

(fig. 14.13). Se rupe firul şi cade una din mase. Se cere săse determine legea de mişcare a celeilalte mase rămase.

R: t9cos8

1

8

1

x

3. O masă m = 3kg legată deun resort se deformează static cul 0 = 0,1m. Masei i se aplică o forţăP0 = 20N, oscilaţiile având perioada

sec

99,9

2T

. (fig. 14.14). Să se

Fig.14.12

Fig.14.13

Fig.14.14



436 MECANICĂ

determine legea de mişcare a masei m ştiind că la t = 0 avem x = 0 şi v0= 0.

R: t99,9cos6,60t10sinx

4. Două arcuri sunt legate în serie (fig. 14.15). Primul arc arelungimea l1 = 1m şi se alungeşte cu l 1 = 0,1m când de el este suspendatăgreutatea P = 30N. Al doilea arc are lungimea l 2 = 1m şi se alungeşte cul 2 = 0,2m pentru acelaşi P. Sistemul este aşezat pe o masă orizontală, iar în capăt fixat corpul de masă m = 1kg. Dacă masa m se deplasează cu x

0

= 0,5m, să se determine legea de mişcare.

R: t10cos2

1x

5. Mecanismul unui elipsograf este format din bara 1, de masă marticulată în O. Capătul opus este articulat de o altă bară 2, orizontală demasă 2m. Legătura între cele două bare este făcută prin intermediul unuiarc spiral de constantă k = 19,6Nm/rad. Capetele A şi B glisează pedouă ghidaje perpendiculare.

Neglijând masele celor două culise,să se determine perioada micilor

oscilaţii (vibraţii) ale sistemului. În poziţia reprezentată în figura 14.16arcul este nedeformat.

R: T0= 0,293s

6 . Mecanismul hipocicloidal din figura 14.7.8 este format din tija 1 demasă M = 2,5m, articulată în A de un disc de rază r şi masă m. Discul 2 se

poate rostogoli în interiorul unei suprafeţe cilindrice de rază R = 2r (fig.

14.17).

Fig.14.15

Fig.14.16




Să se determine pulsaţia micilor oscilaţii alesistemului de corpuri.

R:r g20

7 . Să se verifice legea coservării energieimecanice la x = 0, la t = 0 şi la extremitateatraiectoriei orizontale, în mişcarea masei m, datăde ecuaţiile:

;tsin3tcos3x tsin3tcosx

8. Sistemul de corpuri din figura 14.18 esteformat din corpul 1 de masă m1 = 6kg, ce se poatedeplasa într-un ghidaj vertical prin intermediul unuiscripete 2 de masă m

2= 4kg, şi un cablu având la

un capăt montat un arc de constantă k = 4,8kN/m.Pentru atenuarea vibraţiilor corpul 1 este legat deun amortizor având constanta de amortizare c =0,48kNs/m. Capătul arcului primeşte o excitaţiearmonică S(t), de amplitudine S0 = 4mm.Determinaţi pulsaţia de rezonanţă a vibraţiilor şiamplitudinea la rezonanţă.

R: p = 0 = 40s-1; xrez = 2mm

9. Un corp cu masa M = 1kg execută oscilaţiiarmonice pe un plan orizontal (14.19). În momentultrecerii corpului prin poziţia deechilibru, o bucată de plastilină cumasa m = 0,21kg se ataşează deaceasta. Cum se modificăamplitudinea oscilaţiilor?

R: mM

M

A

A

2

1

Fig.14.17

Fig. 14.18

Fig.14.19



438 MECANICĂ

10. Pe o suprafaţăorizontală se sprijină fără

frecare un corp de masăM = 1kg, fiind prins întredouă resorturi identice deconstantă k = 30N/m (fig. 14.20). Pe corp se află o şaibă cu masa m =0,5kg. Sistemul corp-şaibă este pus în mişcare oscilatorie armonică.Determinaţi amplitudinea maximă a oscilaţiilor pentru care sistemul poateoscila ca un întreg, fără ca şaiba să alunece pe corp. Coeficientul defrecare între corp şi şaibă este = 0,4 iar g = 10m/s2.

R: m1,0k 2

gMmAmax

11. Aripa unui avion, având masa m este introdusă într-un tunelaerodinamic pentru efectuarea testelor.Ea este suspendată prin intermediul unuiarc cilindric elicoidal de constantă k

1 şi

un arc spiral de constantă k 2

, fixat în punctul A (fig. 14.21). Centrul de masăC al acestei aripi se află la distanţa a faţăde punctul de suspendare. Cunoscândmomentul masic de inerţie JA, să se de-termine ecuaţiile diferenţiale ale mişcăriivibratorii şi ecuaţia pulsaţiilor proprii.

R:

0k k ak k mk JmJ 12

22

121c

4

c

Fig.14.20

Fig.14.21



43915. ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ

15

ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ

15.1. Deplasari reale si deplasari virtuale ........................ 441

15.2. Principiul lucrului mecanic virtual (deplasarilor

virtuale) ......................................................................... 445

15.3. Principiul vitezelor virtuale (puterilor virtuale) ......... 446

15.4. Principiul lui Torricelli ............................................... 447

15.5. Ecuatiile lui Lagrange ................................................ 448

15.5.1. Forte generalizate .............................................. 448

15.5.2. Ecuatiile lui Lagrange de speta întâi ............... 450

15.5.3. Ecuatiile lui Lagrange de speta a doua ............ 451

15.5.4. Ecuatiile lui Lagrange în cazul fortelor

conservative .................................................... 453



440 MECANICĂ

15.6. Probleme rezolvate ................................................... 454

15.7. Probleme propuse .................................................... 473




15

ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ

15.1. DEPLASĂRI REALE ŞI DEPLASĂRI VIRTUALE

Se consideră un punct material A, aflat la un moment dat într-o poziţieoarecare, de vector de poziţie r

, fie în stare de repaus fie în stare de mişcare,

sub acţiunea unui sistem de forţe a căror rezultantă este F

.(vezi fig.15.1).

Punctul se va deplasa din poziţia sa reală A, de vector de poziţier , într--

o poziţie infinit vecină A’ de vector de poziţie r dr

,în timpul elementar dt.

Variaţia elementară a vectorului de poziţie r d

,se numeşte deplasarereală infinitezimală, a punctului material.

Deci, deplasarea reală este o deplasare infinitezimală a unui punctmaterial sau a unui corp pe suprafaţa sau curba care reprezintă legătura.

Această deplasare are loc sub acţiunea forţelor exterioare direct

Fig. 15.1

z

O

x

y

(C)A(t)

A"

A'(t+dt)r

F

dr

r



442 MECANICĂ

aplicate şi este compatibilă cu legăturile.Deplasarea reală ţine seama de legea de mişcare şi se notează astfel:

k dz jdyidxr d

(15.1)Deplasarea reală corespunde cu noţiunea matematică de dife-

renţială a funcţiei vectoriale )t(r r . Lucrul mecanic elementar al forţei

F

ce acţionează asupra punctului material, se exprimă sub forma:

r dFdL

(15.2)

În afară de deplasarea reală a punctului, se pot imagina şi alte deplasări

imprimate arbitrar punctului material, fără a se ţine seama de forţeleexterioare care acţionează asupra lui. O asemenea deplasare infinit vecinăse poate considera deplasarea AA’’. Deoarece poziţia A’’ este fictivă,deplasarea AA’’ se numeşte deplasare virtuală şi se notează cu

r .

Deplasarea virtuală este o deplasare infinitezimală a punctului saua corpului considerat, posibilă sau fictivă, compatibilă sau necompatibilăcu legăturile. Această deplasare nu ţine seama de legea mişcării punctului,este independentă de timp şi de forţele exterioare ce acţionează asupra

lui. Timpul este considerat, deci, un parametru constant şi arbitrar.Deplasarea virtuală este de asemenea infinitezimală şi se notează:

k z jyixr

(15.3)

Lucrul mecanic corespunzător unei deplasări virtuale r , se numeşte

lucru mecanic virtual şi se exprimă prin relaţia:

r FL

(15.4)

Deplasările elementare reale se notează cu simbolul d, iar cele virtuale

cu , ambele simboluri având semnificaţia operatorului diferenţial.În cazul unui punct material A, obligat să rămână pe suprafaţa fixă

de ecuaţie f(x, y, z) = 0, deplasările AA’ şi AA’’ sunt deplasări posibile,conţinute în planul tangent la suprafaţă (vezi fig.15.2 a).

Această legătură este scleronomă şi olonomă, deoarece timpul nuapare explicit şi nici derivatele lui x, y, z. Legătura impune restricţii poziţiilor

punctului, nu şi vitezelor.O deplasare posibilă reprezintă, deci orice deplasare compatibilă

cu legăturile impuse, deplasarea reală fiind una din deplasările posibile.




Deplasările care nu sunt situate în planultangent, sunt incompatibile cu legăturaimpusă punctului material, deci virtuale.

În cazul unei legături de tipul f(x, y, z, t) =

0, reonomă şi olonomă, cum se prezintă în figura15.2 b, punctul este obligat să rămână în per-manent contact cu o suprafaţă mobilă.

Deplasările AA’ şi AA” sunt deplasăricompatibile cu legătura, iar deplasarea AA”’,o deplasare incompatibilă cu legătura.

Deplasările incompatibile cu legăturile pot deveni compatibile, dacă, înainte de

efectuarea deplasării, punctul material esteeliberat de legături şi se introduc forţele delegătură corespunzătoare.

La un sistem material cu mai multelegături, se poate suprima una din legături,înlocuind-o cu forţa de legătură corespunză-toare. În asemenea cazuri o deplasarevirtuală a sistemului material, este cea com-

patibilă cu legăturile rămase.

Fig. 15.2

a) legătură scleronomă şiolonomă

A

A'''

A'

A"

r

dr

f(x, y, z) = 0 A

A'

A"

dr

r

A'''

f(x, y, z, t) = 0

(t+dt)

( t )

b) legătură reonomă şiolonomă

N

G

B

A

N

G

Fig. 15.3

B



444 MECANICĂ

De exemplu, la corpul din figura 15.3 se poate suprima legătura din

A, introducând o reacţiune normală N

; deplasarea virtuală compatibilă

cu legătura rămasă este o rotaţie infinitezimală în jurul punctului B.Din cele prezentate până aici, rezultă că deplasarea virtuală r

poate

să corespundă şi cu o deplasare reală.Deplasarea este virtuală deoarece nu ţine seama de forţele ce

acţionează asupra sistemului iar timpul este un parametru arbitrar şi con-stant. Deplasările care nu respectă legătura, sunt numite deplasări virtualeincompatibile cu legătura.

Observaţie: Se precizează că deplasarea virtuală poate fi aplicatăşi unui punct material aflat în repaus, spre deosebire de deplasarea reală,care are sens numai în probleme de dinamică.

Noţiunile de deplasare reală şi deplasare virtuală se pot aplica şisistemelor de puncte materiale sau de rigide.

În cazul unui sistem de “n” puncte materiale Ai, de vectori de

poziţie ir

, având coordonatele generalizate q1, q2…qh, vectorii de poziţie

au expresia:

t,q...q,q,qr r h321ii

(15.5)Deplasarea reală în cazul acestui sistem, a cărei poziţie depinde de

“h” parametrii geometrici independenţi, are expresia:

dtt

r dq

q

r .....dq

q

r dq

q

r r d i

h

h

i2

2

i1

1

ii

(15.6)

sau

h

1k

ik

k

ii dt

tr dq

qr r d

, i = 1, 2...n (15.7)

Deplasarea virtuală are expresia;

h

h

i2

2

i1

1

ii dq

q

r .....q

q

r q

q

r r

(15.8)

sau

0tr deoarece,n....2,1i,qqr r i

h

1k k

k

ii

(15.9)




15.2. PRINCIPIUL LUCRULUI MECANIC VIRTUAL

(DEPLASĂRILOR VIRTUALE)Principiul lucrului mecanic virtual este un principiu general care se

aplică atât la rezolvarea problemelor de statică cât şi a celor de dinamică.Spre deosebire de celelalte metode, principiul deplasărilor virtuale prezintăavantajul că nu introduce în calcule forţele de legătură (dacă legăturile suntideale). Folosirea acestui principiu permite să se determine atât condiţiilede echilibru, cât şi ecuaţiile de mişcare ale unui sistem material supus la

legături fără frecare, eliminând din ecuaţiile respective forţele de legătură.În cazul când este necesară determinarea unor reacţiuni este posibil a sefolosi principiul deplasărilor virtuale după ce în prealabil legătura respectivăa fost suprimată şi înlocuită cu elementele mecanice corespunzătoare.

Pentru un punct material în echilibru static sau dinamic, rezultantaF

a tuturor forţelor este nulă. Înmulţind scalar această forţă cu deplasa-

rea virtuală r

, obţinem lucrul mecanic virtual care este nul:

0r FL

(15.10)

În cazul unui sistem de puncte în echilibru static sau dinamic, pentru orice deplasări virtuale, compatibile sau incompatibile cu legăturile,suma lucrurilor mecanice elementare virtuale corespunzătoare tuturor forţelor în echilibru, este nulă:

n

1ii 0r FL

(15.11)

În problemele de statică în calculul lucrului mecanic virtual total

trebuie introduse forţele exterioare, active şi pasive. Forţele interioare seintroduc numai dacă sistemul cuprinde şi corpuri deformabile. Dacălegăturile sunt ideale, lucrul mecanic al forţelor pasive este nul.

0FFF pi

aii

(15.12)În problemele de dinamică în calculul lucrului mecanic virtual total,

pe lângă forţele specificate anterior pentru statică, se introduc forţele deinerţie.

Astfel că:

0FFFF ii

pi

aii

(15.13)



446 MECANICĂ

În cazul unui sistem de puncte materiale supus la legături ideale(fără frecare) lucrul mecanic virtual al forţelor de legătură este nul.

În problemele de statică, principiul lucrului mecanic virtual se scriesub forma (15.11), în care

iF

, reprezintă forţele exterioare date, şi are

următorul enunţ: “condiţia necesară şi suficientă pentru ca un sistemde puncte materiale să se afle în repaus sub acţiunea unui sistem de forţedate, exterioare este ca lucrul mecanic virtual al acestor forţe să fie nul”.

Pentru un sistem de puncte în mişcare expresia matematică a principiului lucrului mecanic virtual este:

0r FFL

n

1iiiai

(15.14)

Enunţul principiului este: “lucrul mecanic virtual al forţelor exterioare, date şi a forţelor de inerţie pentru un sistem de puncte înechilibru dinamic, pentru deplasări compatibile cu legăturile, este nul”.

Pentru un sistem de rigide relaţia (15.14) se completează, introducând pentru fiecare rigid, torsorul forţelor de inerţie:

n

1ii

ii

ai

n

1ii

ii

ai MMr FFL

(15.15)Avantajul aplicării principiului lucrului mecanic virtual, faţă de alte

metode studiate, constă în aceea că, pentru determinarea legii de mişcarea unui sistem material, sunt eliminate din calcule reacţiunile.

În cazul legăturilor cu frecare, forţele şi momentele de frecare, se potintroduce ca forţe şi momente exterioare date, luându-se astfel înconsiderare.

15.3. PRINCIPIUL VITEZELOR VIRTUALE(PUTERILOR VIRTUALE)

Principiul vitezelor virtuale reprezintă o altă formă de exprimare a principiului lucrului mecanic virtual, dat de relaţia (15.11):

0r FLn

1i

ii

Considerând că deplasările virtuale ir au loc în acelaşi timp t,




rezultă că: tvr ii

iar 0vFttvFL

n

1ii

n

1ii

Cum t 0, expresia principiului vitezelor virtuale este:

n

1ii 0vF

(15.16)

Adică: “suma puterilor virtuale dezvoltate de forţele exterioare, dateşi de forţele de inerţie, este nulă”.

Acest principiu se aplică în special mecanismelor pentru stabilireacondiţiilor de echilibru. Pentru aceasta se dă unui corp din sistem pe care-l considerăm element motor, o viteză virtuală arbitrară ca sens şi mărime,care să imprime sistemului o mişcare compatibilă cu legăturile sale. Încontinuare se efectuează o analiză cinematică, stabilind vitezele fiecăruicorp şi în final se aplică principiul vitezelor virtuale dat de relaţia (15.16).

Forma generală a principiului vitezelor virtuale (puterilor virtuale) este:

n

1i

n

1ii

ii

aii

ii

ai 0MMvFF

(15.17)

unde iv

şi i

sunt vitezele virtuale.

15.4. PRINCIPIUL LUI TORRICELLI

Acest principiu este un caz particular al principiului lucrului mecanicvirtual, când asupra sistemului acţionează numai greutăţile proprii, iar legăturile sunt ideale (fără frecare).

Înlocuind în expresia (15.11) a principiului lucrului mecanic virtual,forţele

k gmk ZGF iiii

, rezultă:

n

1iii

n

1iii

n

1iiiiiiiii 0zgmzzzZyYxXr F



448 MECANICĂ

Deoarece Xi= Y

i= 0, iar

0zgMMzgzmgL cc

n

1iii

(15.18)unde M este masa sistemului de puncte iar zc - cota centrului de greutatea sistemului. În această relaţie s-a aplicat teorema momentului staticconform căreia:

n

1cii zMzm (15.19)

Din relaţia (15.18) rezultă principiul lui Torricelli sub forma:

0z c (15.20)

adică: “poziţia de echilibru a unui sistem material, cu legături ideale, supusacţiunii greutăţii proprii, corespunde unui extrem al cotei centrului de masă”.

Deci, centrul de masă al sistemului ocupă o poziţie extremă carecorespunde echilibrului nestabil când z

c este maxim, echilibru stabil când

zc este minim sau echilibru indiferent când zc este constant.Pentru determinarea condiţiei de echilibru se calculează la început

coordonata zc a centrului de masă faţă de un triedru fix, după care aceastase diferenţiază în raport cu parametrul ales pentru asigurarea echilibrului.

15.5. ECUAŢIILE LUI LAGRANGE

15.5.1. Forţe generalizate

Ecuaţiile lui Lagrange permit determinarea ecuaţiilor diferenţiale alemişcării unui sistem format din “n” puncte materiale sau corpuri, având“h” grade de libertate. Aceste grade de libertate sunt date de parametriigeometrici independenţi (distanţe sau unghiuri) care determină complet

poziţia sistemului material la un moment dat, în raport cu un sistem dereferinţă. Aceşti parametrii independenţi se vor nota cu qk

(k = 1,2…h) şi poartă numele de coodonatele generalizate ale lui Lagrange.

Deci, numărul coordonatelor generalizate este egal cu numărul

gradelor de libertate. Coordonatele generalizate permit efectuarea unui




studiu al mişcării într-un spaţiu cu mai multe dimensiuni. Legăturilemecanice ale sistemului material se consideră de tipul f(x,y,z,t) = 0,

reonome şi olonome.Întrucât poziţia întregului sistem depinde de cele h coordonategeneralizate, vectorul de poziţie al unui punct din sistem va depinde deaceste coordonate şi de timp:

n...3,2,1iunde,t,q....q,q,qr r h321ii

(15.22)

Deplasarea virtuală r i , concepută ca diferenţială este:

k k

i

33

i

22

i

11

i

iq

q

r .....q

q

r q

q

r q

q

r r

sau

h

1k k

k

ii )n....3,2,1i(,q

q

r r

(15.23)

Deoarece deplasările virtuale sunt independente de timp şi inde-

pendente între ele, 0t

r i

.

Notând cu iF rezultanta tuturor forţelor care acţionează asupra

punctului “i” din sistem şi cu ir

,deplasarea sa virtuală, lucrul mecanic

virtual total în coordonate generalizate este:

h

1k k

n

1i k

ii

h

1k k

k

in

1ii

n

1iii q

q

r Fq

q

r Fr FL

(15.25)

Se notează:

n

1ik

k

ii Q

qr F

Deci:

hh332211

h

1k k k qQ....qQqQqQqQL

(15.26)

Forţa generalizată Qk are dimensiuni de forţă sau moment după cumcoordonata generalizată qk , are dimensiuni de distanţă sau unghi.

Forţa generalizată Qk este o mărime scalară, care, amplificată cu



450 MECANICĂ

variaţia elementară a unei singure coordonate generalizate, dă lucrulmecanic efectuat de ansamblul forţelor care se exercită asupra sistemului

când variază doar această coordonată.Forţa generalizată Qk , se poate exprima astfel:

k k

n

1i k

n

1iii

k

iik q

Lsau,

q

L

q

r F

q

r FQ

(15.27)

Conform expresiei (15.27) forţa generalizată Qk este egală cu

derivata lucrului mecanic total al forţelor ce acţionează asupra sistemului,

în raport cu coordonata generalizată qk . Calculul unei forţe generalizateQ

k , corespunzătoare coordonatei generalizate q

k , se face determinând

lucrul mecanic elementar virtual când variază numai qk , cu q

k , şi

împărţind rezultatul final la qk .

15.5.2. Ecuaţiile lui Lagrange de speţa întâi

Se consideră un sistem format din “n” puncte materiale de mase mi

şi vectori de poziţie ir

, în raport cu un sistem de referinţă fix. Sistemul de

puncte materiale are “h“ grade de libertate. Pentru studiul mişcăriisistemului material, se aplică mai întâi principiul lui D’Alambert şi apoi

principiul lucrului mecanic virtual, pentru punctul Ai de masă m

i:

0amF iii

(15.28)

0r amF iiii

(15.29)Relaţia (19.29) reprezintă principiul lucrului mecanic virtual pentru punctul A

i de masă m

i. Pentru întregul sistem de “n” puncte avem:

0r amFn

1iiiii

(15.30)

Înlocuind expresia (15.23) a deplasării virtuale ir

în (15.30) rezultă:

0qqr amF

h

1k k

k

i

n

1iiii

(15.31)




Inversând ordinea de însemnare în relaţia (15.31) rezultă:

h

1k k

n

1i k

i

iii 0qq

r

amF

(15.32)

Deplasările virtuale qk (k = 1, 2...h), fiind independente între ele şidiferite de zero, pentru ca relaţia (15.32) să fie satisfăcută, este necesar ca coeficienţii lor să fie nuli, adică:

0q

r amF

n

1i k

iiii

, unde k = 1, 2....h (15.33)

Relaţia (19.33) se poate scrie astfel:

n

1i k

iii

n

1i k

ii q

r am

q

r F

(15.34)

Membrul stâng reprezintă forţa generalizată Qk , iar relaţia (19.34)devine:

n

1ik

iiik q

r amQ

, unde k = 1, 2....h (15.35)

Acest sistem de h ecuaţii (15.35) este cunoscut în literatura despecialitate sub denumirea de ecuaţiile lui Lagrange de speţa întâi.Acest sistem de ecuaţii reprezintă o sinteză a celor două principiidiferenţiale ale mecanicii analitice: principiul lui D’Alambert şi principiullucrului mecanic virtual.

15.5.3. Ecuaţiile lui Lagrange de speţa a doua

Deoarece folosirea ecuaţiilor de mişcare sub forma (15.35) nu estecomodă, forma lor poate fi prelucrată prin transformarea membrului drept,conform relaţiei cunoscute:

dt

udvvu

dt

d

dt

vdu

(15.36)

Membrul drept al relaţiei (19.35) devine:



452 MECANICĂ

n

1i

n

1i k

iii

k

iii

n

1i

n

1i

n

1i k

iii

k

iii

n

1i

i

k

ii

k

iii

q

r

dt

dvm

q

r vm

dt

dq

r

dt

dvm

q

r v

dt

dm

dt

vd

q

r m

q

r am

Se poate arăta că:k

i

k

i

q

v

q

r

şik

i

k

i

q

v

q

r

dt

d

Astfel, ţinându-se seama de relaţiile (15.22) şi (15.7) rezultă că:

dtt

r dq

q

r r d i

h

1k k

k

ii

, i = 1, 2.....n şi

h

1k

ik

k

iii t

r q

q

r

dt

r dv

, i = 1, 2.....n. (15.38)

Derivând parţial această viteză, în funcţie de vitezele generalizate qk ,

rezultă:

k

i

k

i

q

r

q

v

(15.39)

Pe de altă parte, inversând ordinea de derivare, în expresia:

k

ii

k k

i

q

v

dt

r d

qq

r

dt

d

(15.40)

Înlocuind relaţiile demonstrate (15.39) şi (15.40) în (15.37) rezultă:

n

1i

n

1i

2i

k

i

2i

k

i

n

1i

n

1i

n

1i k

iii

k

iii

k

iii

2

v

qm

2

v

qm

dt

d

q

vvm

q

vvm

dt

d

q

r am

(15.41)

n

1i

2ii

k

n

1i

2ii

k 2

vm

q2

vm

qdt

d

(15.37)




Ştiind că: E2

vmn

1

2ii

, este energia cinetică a sistemului, ecuaţiile

lui Lagrange de speţa întâi se transformă în ecuaţiile lui Lagrange despeţa a doua, astfel:

k

k k

Qq

E

q

E

dt

d

, k = 1, 2......h (15.42)

Relaţiile (15.42) cunoscute ca ecuaţiile lui Lagrange de speţa adoua, reprezintă un sistem de h ecuaţii diferenţiale corespunzătoare celor

h coordonate generalizate.

15.5.4. Ecuaţiile lui Lagrange în cazul forţelor conservative

Ecuaţiile lui Lagrange (15.42) pot fi transformate dacă forţageneralizată Q

k derivă dintr-o funcţie de forţă U (q

1, q

2 ....q

h, t) astfel încăt:

k k q

U

Q

, unde k = 1, 2....h (15.43)În acest caz U se numeşte pseudofuncţie de forţă, iar forţa

generalizată Qk se numeşte conservativă.

Înlocuind expresia forţei generalizate conservative în (15.42) rezultă:

k k k q

U

q

E

q

E

dt

d

, unde k = 1, 2....h (15.44)

Trecând termenul din dreapta în stânga şi înlocuind funcţia compusăa lui Lagrange:

VEUEL (15.45)rezultă:

0

q

UE

q

UE

dt

d

k k

, deoarece 0q

U

k

(19.46)

Deci 0qLqLdtd k k

, unde k = 1, 2....h (19.47)



454 MECANICĂ

Relaţiile (19.47) reprezintă o nouă formă a ecuaţiilor lui Lagrange,ecuaţiile generale de mişcare, pentru un sistem material supus la legături

reonome şi olonome. Ele reprezintă un sistem de h ecuaţii diferenţiale deordinul doi, în raport cu coordonatele generalizate qk , care în condiţii destul

de largi, conduc la soluţii unice, care satisfac condiţiile iniţiale referitoare

la poziţii (qk )

0 şi viteze iniţiale 0k q P..

Funcţia lui Lagrange, L = E - V, numită şi potenţial cinetic esteegală cu diferenţa dintre energia cinetică totală a sistemului şi energia

potenţială totală. Ea depinde de coordonatele generalizate qk şi vitezele

generalizatek

q , şi de timp.


1. Pentru sistemul format din două bare articulate în C şi rezemateîn A, B şi D, să se determine reacţiunea statică din A, cunoscând forţeleP şi distanţa a (fig. 15.4).

Rezolvare:

Rezolvare: Se înlocuieşte reazemul A cu reacţiunea normală YA şi se

dă o deplasare virtuală sistemului compatibilă cu legăturile rămase. Lucrulmecanic virtual total este:

0Pa2aP6a3YL 122A

dar 21 aa2CC de unde 12 2 înlocuind rezultă:

0aP2P12Y6Pa2Pa12aY6L 1A111A

Fig. 15.4




Rezultă că: P6

10YA Procedând în mod asemănător, rezultă şi

celelalte reacţiuni din B şi D, respectiv P3

16YB şi PYD .

2. Se dă sistemul de bare drepte rezemate în B,articulate în C, şi încastrateîn A. Cunoscând forţele de

acţiune P şi Q, unghiurile aşi b şi distanţa a, să sedetermine momentul dereacţiune din A.

Rezolvare:

Se înlocuieşte încastrarea cu o articulaţie, în care acţioneazămomentul de reacţiune MA. Se dă o deplasare unghiulară virtualăsistemului de bare, compatibilă cu legăturile rămase (v. fig. 15.5) Lucrul

mecanic virtual este:0asinQ2a2sinPML 211A

dar 21 a3a4CC , de unde 12 3

4 .

Înlocuind în L rezultă:

0

3

4asinQ2a2sinPML 111A

sau 0sinQ3

8sinP2ML 1A

;

Rezultă:

sinQ3

4sinPa2MA

3. Aplicând principiul deplasărilor virtuale să se determine momentulde reacţiune din încastrarea A. (v. fig. 15.6,a). Asupra sistemului

Fig. 15.5



456 MECANICĂ

acţionează forţa distribuită uniform q şi forţele P1=6aq şi P

2= 0,5aq.

Rezolvare:

Se înlocuieşte încastrarea A cu o articulaţie în care acţioneazămomentul M

A, ce urmează a fi determinat. Se dă o deplasare virtuală

compatibilă cu legăturile rămase. Corpul 1 se deplasează cu 1. iar

corpul 2 cu 2 în jurul articulaţiei A, respectiv reazemul E. Deplasarea

pe verticală a articulaţiei D este: 21D a2a4v , deci 12 2 .

Lucrul mecanic virtual este:

Fig. 15.6




0a3PaQa4PaQML 112212111A

sau:

0qa18qa2qa2qa6ML 12

22

12

12

1A

Înlocuind 12 2 rezultă:

0qa18qa4qa2qa6ML 12222

A , de unde

qa6M 2A .

4. Asupra sistemului format din două bare cotite, articulate în A, B şi

C acţionează forţele distribuite uniform, forţa unitară fiind q = 10kN/m(fig. 15.7). Să se determine reacţiunea orizontală din A, notată cu HA.

Rezolvare:

Se înlocuieşte articulaţia A cu o rezemare în care acţionează peorizontală necunoscuta H

A. Se dă sistemului de corpuri o deplasare

compatibilă cu legăturile rămase după ce se stabileşte poziţia punctului (1,T) echivalentă cu CIR al elementului 1. Acest punct se află în prelungirea

dreptei BC intersectată cu normala pe rezemarea AD. Introducând notaţiilecorespunzătoare se reprezintă în figura 15.7 b, deplasările pe verticală şi

pe orizontală ale punctelor structurii, devenită mecanism, prin înlocuireaarticulaţiei. Poziţia punctului (1,T) se stabileşte prin raportul de asemănareal triunghiurilor formate. Deplasarea pe verticală a punctului C este:

21c 24v , deci 12 2 Lucrul mecanic virtual total pentru forţele H

A, Q

1 şi Q

2 este:

01Q5,0Q12HL 22111A , sau 012205.070H12L 1A de unde

kN25,6HA

5. Se dă sistemul format din trei bare, din figura 15.8, asupra căruiaacţionează o forţă distribuită uniform q şi o forţă concentrată P=qa. Săse determine momentul M

A din încastrarea A. Se cunosc dimensiunile

corpurilor prin cota a.



458 MECANICĂ

Rezolvare: Se transformă încastrarea A în articulaţie, în careacţionează necunoscuta M

A. Sistemul format din trei corpuri se

transformă în mecanism. Se dă sistemului o deplasare virtuală unghiulară

compatibilă cu legăturile rămase. Se stabileşte poziţia punctului(2,T)echivalentă cu CIR al elementului 2. Acest punct(2,T) se află la intersecţia

Fig.15.7




prelungirilor barelor 1 şi 3. Se introduc notaţiile corespunzătoare şi se

stabilesc diagramele deplasărilor unghiulare şi liniare, pe orizontală şiverticală ale punctelor mecanismului. Relaţiile intre deplasările liniare şi

Fig.15.8



460 MECANICĂ

unghiulare rezultă din aceste reprezentări:

21c a3a3v , deci 21 32D a3a6u ,

deci 123 22 Lucrul mecanic virtual total, pentru P, Q şi M

A corespunzător acestor

deplasări liniare şi unghiulare este:

0a5,1Qa2PML 123A sau

0qa5,4qa2M2qa5,4qa2M2L 122

A12

12

1A

Rezultă: 2A qa25,1M

6. Bara cotită articulată în A şi rezemată în B, din figura 15.9, esteîncărcată cu un sistem de forţe distribuite uniform forţa unitară fiind q.Cunoscând dimensiunile ei, să se determine momentul MD din secţiuneaD. (punctul de sudură dintre bara D B şi bara cotită A C E)

Rezolvare:

Punctul de sudură D, dintre cele două bare se înlocuieşte cu oarticulaţie în care apar două momente de sensuri contrare M. Corpul iniţial

devine mecanism format din două elemente 1 şi 2. Se determină poziţia punctului (2,T) echivalent cu CIR al elementului 2. Se stabileşte diagramadeplasărilor unghiulare şi verticale (v. fig.15.6.6.b) Lucrul mecanic virtual

total este: 12D1D a5,3QMML unde aq7Q .

Relaţiile între deplasările unghiulare sunt: 21D a3a4v , deci

12 3

4 . Înlocuind 2 şi Q în expresia lucrului mecanic virtual,

rezultă:

0qa5,24M3

7qa5,24

3

4MML 1

2D1

21D1D

Rezultă 0qa5,24M3

7 2D sau 2

D qa5,10M

7. Asupra sistemului de corpuri din figura 15.6.7, a articulate în A, B

şi C acţionează două forţe P şi Q. Să se determine reacţiunea orizontalăXB din articulaţia B.




Rezolvare:

Se înlocuieşte articulaţia B cu o rezemare în care acţioneazănecunoscuta X

B (fig. 15.10). Sistemul de corpuri devine mecanism. Centrul

instantaneu al elementului 2 este2I obţinut prin intersecţia dreptelor A C

şi perpendiculara din B. Se dă o deplasare virtuală unghiulară faţă de

Fig. 15.9



462 MECANICĂ

punctele A şi2I respectiv 1 şi 2 . Deplasările liniare ale punctelor C

şi B suntc

r şiB

r perpendiculare pe2IA

respectiv pe2IB

. Relaţia

între deplasări este:221c CIACr şi

22B BIr . Deoarece

2R ICCA 2 şi R 2BI2 rezultă 21 şi 1B R 2r .

Lucrul mecanic virtual total al forţelor P, Q şi XB este:

2B21

2XI2QI1PA

XR 2Q bPa

MMMLB221

sau

0XR 2 bQaPL 1B , de undeR 2 bQaPXB

8. Să se determine eforturile din barele C E şi B E ale grinzii cu zăbrele

din figura 15.11, a încărcată cu forţele 2P şi 3P , în nodurile D, G şi B. Rezolvare:

a) Efortul din bara CE se determină suprimând această bară şiînlocuind-o cu efortul N

5 şi –N

5.sistemul se transformă într-un mecanism

cu un grad de libertate căruia i se determină centrele absolute şi relative.Se trasează cele două diagrame ale deplasărilor virtuale pe verticală şi

orizontală ale nodurilor. Principiul lucrului mecanic virtual (fig. 15.11, b)

Fig. 15.10




Fig. 15.11



464 MECANICĂ

se scrie astfel:

0

3

a4 N

3

a3PaP2a2P2L 25122 .

Relaţia între deplasări este: 21B a3av deci 21 3 . Lucrul

mecanic virtual devine:

03

a4 Na3PaP2a2P2L 25

.

Deci aP93

a4 N5 de unde

4

P39 N5 .

b) Efortul din bara BE se determină suprimând această bară care seînlocuieşte cu efortul N4 şi –N4. Sistemul se transformă într-un mecanism

patrulater BCDE, căruia i se dă o deplasare unghiulară virtuală .Diagramele care reprezintă deplasările pe verticală şi orizontală alediagramelor virtuale sunt reprezentate în figura 15.11,c.

Efortul N4 din bara BE rezultă din condiţia:

0a60cos N3

a

60sin N3

a

3PL0

4

0

4

sau 0a2

1 N

3

a

2

3 NPaL 44

de unde N

4=P..

9. Să se determine efortul N din bara KC a grinzii cu zăbrele dinfigura 15.12. Asupra acestei grinzi acţionează forţele P, 2P, 3P şi 4P. Iar lungimile barelor orizontale sunt egale cu a, şi unghiurile barelor din modul

E este 300. Rezolvare:

Efortul din bara KC se determină suprimând bara şi înlocuind legătura

suprimată cu efortul N şi N . Suprimând această bară sistemul devine

mecanism patrulater BCFK iar subsistemul II se poate roti în jurul lui E,devenit centru instantaneu de rotaţie. Dăm o deplasare unghiulară în

jurul acestui punct. Deplasările punctelor C, D şi F sunt perpendiculare

pe razele instantanee. Efortul din bara KC rezultă din condiţia:




0r sin Nr 30cosP2r PL CF0

D , sau

a22

3 N

3

a4

2

3P2aPL ; deoarece

2

3

a2

3a

KC30BEtg

KCBK in 0

deci:

060 rezultă

0a3 NP4PL

cu3

3P5 N

10. Să se determine efortul N din bara CD a grinzii cu zăbrele din figura15.13. Se dau forţa P şi distanţa a.

Rezolvare:

Se elimina bara CD şi se înlocuieştecu efortul N. Structura BCDE devine

Fig. 15.12

Fig. 15.13



466 MECANICĂ

mecanism paralelogram. Dăm o deplasare virtuală x structurii I,translatată în poziţia A’ B’ C’. Efortul din bara CD se determină din

condiţia: 0x45cos NxPxP2L 0 .

rezultă: 3P3 N .

11. Asupra sistemului de bare din figura 15.14, acţionează forţele P1

şi P2. La mijlocul barelor BC şi respectiv CD. Ştiind că lungimile acestor

bare sunt egale BC=CD=2a,să se determine reacţiunea orizontală şi

momentul de reacţiune din încastrarea D. Rezolvare: Pentru determinarea

reacţiunii orizontale HD, transformămîncastrarea D în rezemare şi dăm o depla-sare liniară virtuală orizontală x, bareiCD. (v. fig. 15.14,b)

Lucrul mecanic virtual total alforţelor P

1, P

2 şi H

D este:

b c Fig. 15.14.

a




023a

PxPxH

IEPxPxHL

212D

2212D

.

Ştiind că2

3a30cosaEI 0

2 ; 2a4x . Rezultă:

0x4

1

2

3PPHL 12D

; deci 21D PP

8

3H

b) Pentru determinarea momentului de reacţiune din încastrarea Dse transformă în articulaţia D în care acţionează momentul MD, necunoscut.Dăm o deplasare virtuală sistemului de corpuri, devenit mecanism

patrulater(v. fig. 15.14,c). Momentul de reacţiune MD rezultă din condiţia:

21323D 2

3aPaPML

dar 23c a4a2r , deci 32 2

1

.

Deci 0P2

1

2

3aaPML 312D

, de unde

aPP4

3M 21D

.

12. Să se determine relaţia dintre forţele P ,Q şi cuplul de momentM, astfel încât mecanismul din figura 15.15 să se găsească în echilibrulstatic. Bara AC este orizontală, iar OA = a, OB = b, OC = c şi unghiurile şi cunoscute.

Rezolvare:

Se dă o deplasare virtuală unghiulară 2 în jurul centrului

instantaneu I al elementului AC. Elementele 1şi 3 vor primi deplasările

1 şi 3 .



468 MECANICĂ

Condiţia de echilibruexprimată prin lucrul mecanic

virtual total este:

3A

B

AB

Mr cosP

r QM

r Pr QL

dar

1B br ;

21A AIar ;

32c cICr de unde rezultă

11

23

sinc

sina

AI

a

c

CI

c

CI

Lucrul mecanic virtual este:

0sinc

sinaMacosPQbL 111

.

Deci

cosPaQbsina

sincM .

13. Bara AB de lungimea l şigreutatea G se reazămă fără frecareîn punctele A şi D. Să se determineunghiul corespunzător poziţiei deechilibru a barei (v. fig. 15.16).

Rezolvare:

Se aplică principiul lui Toricelli

0Zc . Faţă de sistemul de referinţă

Fig. 15.15

Fig. 15.16




cu originea în D, cota elementului de masă este: tgasin2

lZc .

Prin diferenţiere, rezultă

0cos

acos

2

l

cos

1acos

2

lZ

22c

.

Pentru echilibru static 3 a2cosl

.

14. În figura 15.17 se reprezintă suspensia cu mecanism paralelograma unui scaun pentru autovehicule,asupra căruia acţionează greutateaG a conducătorului auto. Pentru

poziţia reprezentată în figură cuunghiurile şi dimensiunile b, l,d să se determine forţa dinamortizorul 3.

Rezolvare: Relaţia între forţadin amortizor F . Şi greutatea

conducătorului auto G , se

determină din condiţia

0r Gr FL cc

(1)

Faţă de un sistem de referinţăcu originea în o, vectorul de poziţieal articulaţiei C este :

; jsinicos br c l l jGG

;

; jsinFicosFF

iar jcosisinr c l l ;

Înlocuind în relaţia(1), rezultă

: 0)cosGl

cossinFlsincosFl(L

Fig. 15.17



470 MECANICĂ

Se obţine:

sin

cosGF . (2)

Din teorema sinusului aplicată în triunghiul O’CD, rezultă:

cosd2a

sindsin22 l l

(3)

Înlocuind(3) în (2) obţinem în final forţa de amortizor:

cosd2dctgdG

F 22 l l

15. Mecanismul pentru divizarea pieselor turnate este acţionat demomentul M prin intermediul manivelei OA = r. Biela AB transmitemişcarea pistonului D prin intermediul plăcii triunghiulare echilateraleBCD. Ştiind că: DOAB 1 , CDCO1 , 015 şi 0120OAB (fig.15.18).Să se determine reacţiunea normală N din partea piesei turnate asupra

pistonului D.

Rezolvare:

În punctul A acţionează forţa

r

MFA , iar în D reacţiunea N.

Legăturile între cele două forţe se poate obţine în acest caz, cu principiul

Fig. 15.18

a b




vitezelor virtuale(puterilor virtuale) exprimat prin relaţia(8.4):

0V NVFVF DAAi

n

1i

Se construieşte planul vitezelor pentru mecanism. Din figura 8.18, brezultă următoarele: triunghiul pbd, este isoscel iar

VBD k pbVV de asemenea triunghiul pab este isoscel iar

Vom obţine: V0

AVBD k pa

2

3230cosV2k pbVV

VVA k abk paV

unde Vk reprezintă scara la care s-a construit planul vitezelor..

Înlocuind în prima relaţie rezultăVVA k pa3 Nk paF sau

r 3

3M N .

16. Asupra roţii(1) de greutate P şi rază R 1 acţionează cuplul de

moment Mm. Această roată pune în mişcare roata(2) de greutate G şiraze r 2 respectiv R 2 (fig. 15.19). Pecircumferinţa de rază R 2 Esteînfăşurat un fir în capătul căruia estefixată greutatea Q. Să se determinecuplul motor astfel încât sistemul de

corpuri să demareze cu acceleraţiaunghiulară

1. Se cunoaşte raza de

inerţie a roţii(2) 222 R r i

Rezolvare: Se reprezintă forţeleşi momentele de inerţie în sens inversacceleraţiilor liniare şi unghiulare. Sedă sistemului o deplasare virtuală

compatibilă cu legăturile. Lucrul Fig. 15.19.



472 MECANICĂ

mecanic virtual al forţelor şi momentelor, active şi de inerţie este:

0SFSQMMML i32

i21

i11m ; (1)

Relaţiile între deplasările virtuale sunt:

2211 r R ;

22R S , de unde

1

2

12 r

R ; 1

2

21

r

R R S ;

Relaţiile între acceleraţii sunt: 2211 r R ; 22R a , de unde

1

2

12 r

R ; 1

2

21

r

R R a ;

Expresiile forţelor şi momentelor de inerţie sunt:

1

2

213

i3 r

R R

g

Qa

g

QamF ;

1

211

21111i1 g2PR 2R mJM ;

12

12222

i2 r

R gGr R JM .

Înlocuind în expresia lucrului mecanic virtual, rezultă:

0r R R

gQ

r R R

Qr R

gGr R

g2PR

ML 1

2

2

21

2

211

2

1221

21

m1

sau 1

2

2

212121

2

21m r

R R

g

Q

g

R GR

g2

PR

r

R R QM





1. Două bare de greutate G şi lungimea 3l sunt articulate în A ladistanţa AB = AB’ = l (fig. 15.20). Pentru a sta sub un unghi 2 = 60o

suntr legate cu un fir orizontal la distanţa a)2

ABx ; b)

2

ACx . Să

se calculeze tensiunea din fir.

R: a) 3GT ; b)

3

3G2T

2. Patru bare egale de lungimea l , sunt articulate între ele astfel

încât într-un plan orizontal formează un pătrat (fig. 15.21). Vârfurile C şiD sunt legate între ele printr-un fir elastic de lungime naturală 20 l l

(în poziţia iniţială firul este întins). Se cer forţele F în cele două vârfuri,

perpendiculare pe fir, astfel încât firul să capete lungimea4

5 0l . Acest fir

atârnat vertical, cu greutatea G la capăt se alungeşte cu

2

0l .

R: F=0,265 G

Fig. 15.20 Fig. 15.21



474 MECANICĂ

3. O sferă de greutatea G şi raza R se reazemă pe bara AB de

greutate 2G şi lungimea 4R (fig. 15.22). Sistemul este prins de un peretecu un fir orizontal. Să se determine tensiunea în fir când = 60o.

R: 13GT

4. Şurubul 1 al mecanismului de presare din figura 15.23 are pasulh. Asupra lui acţionează cuplul de moment M ce transmite forţa de presare

prin intermediul barei articulate 2 ce formează unghiul cu orizontala.Să se determine forţa de reacţiune Q din partea piesei presate, asupra

pistonului 3.

R:

tgh

M2Q

5. Două bare de lungimea l 1 şi greutate G1 respectiv l 2; şi greutate G2

sunt articulate în B. În C se reazemă

bara BC pe un plan orizontal, iar în Aeste articulată bara AB (fig. 15.24).Cunoscându-se unghiurile şi şidistanţa h să se determine forţa Porizontală, necesară pentru această

poziţie de echilibru.

R:

sin2

coscosGGP 21

Fig.15.22 Fig. 15.23

Fig. 15.24




6 . Să se determine reacţiunile din încastrarea A pentru grinda din

figura 15.25, ştiind că: M0 = qa2

; şi F = qa, unde q este forţă unitară.

R: 2A qa4M ; qa

2

3YA

7 . Aplicând metodadeplasărilor virtuale să secalculeze eforturile din

barele grinzii cu zăbrele dinfigura 15.26, ştiind că AB =AC = a, CD = 2a.

R: PSSS 321 ;

2

5PS4 ; 2PS5

8. Mecanismul limitator pentru deschiderea orificiului de eliminarea

zgurei din furnale este prezentat în figura 15.27. Orificiul este normal închis,sub acţiunea contragreutăţii A de greutate P. Mecanismul are bielele CK =DF, BE = OO1 =O2O3 =CD În poziţia de funcţionare normală OB formeazăunghiul , cu verticala, iar KC unghiul . Să se determine forţa Q deapăsare asupra dopului 2, dacă OB = b, OA = a, 090BOA ;

090PCD .

R:

sin b

cossinaPQ

Fig. 15.25

Fig. 15.26



476 MECANICĂ

9. Masa orizontală pentru ridicarea laminatelor, prezentată în figura15.28, este acţionată demanivela OA = O1D = r şi

momentul M. Dacălaminatul are greutatea Q şimasa este în poziţiaorizontală, să se determinedeformaţia f a arcului alcărui capăt apasă pe

pârghia D. Se cunoaşte coeficientul K de elasticitate al arcului şi0

1 90BDO .

R:

coskr cosQar Mb

f 2

10. Aplicând principiul deplasărilor virtuale să se determine reacţiuneadin reazemul B, pentru sistemul de bare din figură. Barele au greutăţi neglijabileiar forţele aplicate au mărimile cunoscute indicate pe desen (fig. 15.29).

R: P NB

Fig. 15.27

Fig. 15.28




Fig. 15.31

11. Mecanismul de reglarea lagărului axial din figura 15.30

este acţionat de momentul M prin intermediul angrenajului curoţile conice 2 si 3 de raze r

2; r

3

şi a şurubului 4 cu pasul h. Ştiindcă pana de reglare are unghiul şi lagărul axial este acţionatde forţa Q să se determinemomentul M.

R:

tgr 2hr QM3

2

12. Două bare legate degreutate G şi lungime l , suntaşezate ca în figura 15.31. şilegăturile cu un fir CE. Să se de-

termine tensiunea din fir laechilibru, cunoscând unghiurile şi .

R:

sincos2sincos

sinsinG2T

Fig. 15.30

Fig. 15.29



478 MECANICĂ

13. Patru bare de greutate G şi lungimel se reazemă pe două cuie C şi C’, având

distanţa 2a între ele (fig. 15.32). Se cereunghiul sub care se aşează sistemul deechilibru. În D acţionează forţa P

R:

l

a

P2G4

PG4sin 3

14. Fie două bare AB şi CD de greutate2G şi o lungime 2l din care este articulată

bara BD, de greutate G şi lungimea l . Pentrua obţine poziţia din figura 15.33 se leagăsistemul cu un fir vertical AD. Să se detrminetensiunea din fir

R: T = 3 G

15 . Trei bare egale de greutate G şi lungimea l sunt legate cu firulAD de lungimea l (fig. 15.34). Se cere la echilibru tensiunea din fir.

R: 3252

GT

Fig. 15.34 Fig.15.33

Fig. 15.32




16 . Patru bare sunt articulateîn A de un tavan. Barele BC şi BC’

au greutatea G şi lungimea l , iar barele AC şi C’A au greutatea P şi

lungimea 3l (fig. 15.35). Firul AB

care ţine sistemul în echilibru arelungimea l . Se cere forţa T în fir, laechilibru.

R:2

PGT

17. Fie patru bare articulate. Barele AB şi A’B’ au greutatea 2G şilungimea 2l , iar barele BC şi B’C au greutatea G şi lungimea l . Pentru asta în poziţia din figură, barele sunt legate cu un fir vertical (fig. 15.36).Să se determine forţa T din fir.

R: 4

G7T

18. Sistemul de corpuri din figura 15.37 se pun în mişcare din acţiuneagreutăţilor proprii. Să se determine acceleraţia cu care coboară corpul(1),de greutate 5Q cunoscând: forţa Q, razele R, raza de inerţie a corpului(2),

2R i2 , unghiul şi coeficientul de frecare la rostogolire s.

Fig. 15.35

Fig. 15.36



480 MECANICĂ

R: g

16

336

cosR 2

ssin6

a1

19. Să se determine momentulmotor M

m ce trebuie aplicat la axul

rotii(1), pentru ca sistemul de corpuridin figura 15.38, să demareze cuacceleraţia unghiulară 1. Se cunoscrazele R 1,R 2,R 3, forţa Q şimomentele masice de inerţie J1 ;şiJ2

Se neglijează masele scripetilor(3)şi (4) de raza r şi frecările din sistem.

R: 2

311redm R

R R

2

QJM

Fig.15.37

Fig. 15.38




unde

2

2

31

2

2

1

21red R

R R

g4

Q

R

R JJJ

20. Un transportor cu bandă este antrenat de un motor electric cedezvoltă un cuplu de moment Mm. Să determine acceleraţia unui corpde greutate P, aşezat pe

bandă. Se cunosc razele R şi greutăţile G ale rolelor deantrenare şi susţinere (fig.15.39). Banda transportoareformează unghiul cuorizontala.

R:

g

GPR

sinPR Ma m

21. Sistemul de bare articulat di figura 15.40este format din barele 1 şi 2 de greutăţi P

1 şi P

2

ce formează unghiul între ele. Articulaţiile O2 ,O1 şi A se află pe aceeaşi dreaptă iar AO1 = O1O2.Bara O2B se află în poziţie verticală,

perpendiculară pe AB. Să se determine forţa dinarc pentru poziţia de echilibru din figură.

R:

ctgPPF21

22. Mecanismul planetar din figura 15.41 este format din bara 1articulată în O pe care sunt fixate roţile de raze R şi r. Asupra barei 1acţionează momentul M1

iar asupra roţii 2 momentul M2. Dacă O

1A =

O3B , O

1O

3 = 8R/3, R = 4R/3, şi AB || O

1O

3, să se determine legătura

între M1 şi M

2 pentru această poziţie de echilibru a mecanismului.

R: 12 M41

9

M

Fig. 15.39

Fig.15.40



482 MECANICĂ

15.7.23. Scripetele 3 cu axă mobilăde rotaţie, de greutate P este suspendatcu un fir peste scripeţii 1 şi 2 de rază r (fig. 15.42). De axul scripetelui 3este fixat cu un fir corpul 4 de greutate Q. Să se determine momentul M

ce acţionează asupra roţii 1 pentru echilibrul sistemului de corpuri şideformaţia arcului de constantă k, corespunzătoare acestei poziţii deechilibru.

R: k 2

)QP(f ;

2

r )QP(M

Fig.15.41

Fig. 15.42



BIBLIOGRAFIE 483

BIBLIOGRAFIE

1. CEAUŞU, V., ENEŞAN, N. - Probleme de mecanică, Editura"Corifeu", Bucureşti, 2002.

2. BACRIA,V., - Macanică, I.P. "Traian Vuia", Timişoara,1980. 3. BEER, P.F., JOHNSTON, R.E., - Vector Nechanics for Engineers

- Dinamics. Mc Graw - Hill Companies, New York, 1996. 4. BÎRSAN,G.M., ALEXA,P., BORS,I., - Mecanica, vol. I,II, I.P. Cluj-

Napoca, 1983. 5. BRINDEU,L., - Mecanică-Dinamică, I.P. "Traian Vuia",

Timişoara,1981. 6. BUTENIN,I.V.,LUNT,I.L.,MERKIN,D.R., - Kurs teoreticeskoi

mehaniki, tom I,II, "Nauka", Moskva, 1985. 7. CÂNDEA,I. şi colectiv, - Mecanica, Univesitatea "Transilvania"

Braşov, 1992. 8. CÂNDEA. I., CONSTANTIN, FL., şi alţii, - Mecanica - Statica

- Teorie şi aplicaţii. Editura Universităţii Transilvania din Braşov, 2002.



484 MECANICĂ

9. CONSTANTIN,Fl., - Mecanică, Universitatea din Braşov, 1989.10. CONSTANTIN,Fl., - Mecanica-Statica, Universitatea "Transilvania"

din Braşov, 1991.11. CONSTANTIN,Fl., şi colectiv,- Mecanica-Cinematica, Univer-sitatea "Transilvania" din Braşov, 1993.

12. CONSTANTIN,Fl., şi colectiv, - Mecanica-Culegere de probleme

- Statica - Universitatea "Transilvania" din Braşov, 1996.13. CONSTANTIN,Fl., COTOROS L., - Mecanică - Teorie şi

aplicaţii. - , Editura "Lux Libris", Braşov, 1996.14. CONSTANTIN,Fl. şi colectiv - Mecanica, Statica - Culegere

de probleme - Editura "Elida", Braşov, 2000.15. CONSTANTIN, FL., SECARĂ, E. - Culegere de probleme -

Dinamica.Editura "Lux Libris", Braşov, 2003.16. CONSTANTIN, FL. Probleme de mecanică - Cinematica şi

dinamica.Editura "Lux Libris", Braşov, 2004.17. CONSTANTIN, FL. - Statica şi aplicaţiile ei tehnice. Editura

"Tehnopress", Iaşi, 2005.18. CONSTANTIN FL. - Aplicaţii ale staticii în construcţii. Editura

"Lux Libris" Braşov, 2008.19. KITTEL,C.,KNIGHT,W.,RUDERMAN,M., - Mechanics -Berkeley Physics Cours,vol.I E.D.P., Bucureşti, 1981 (traducere).

20. KOLESNIKOV,K.S. şi colectiv, Sbornik zadaci po teoreticeskoi

mehanike, "Nauka", Moskva, 1983.21. LUGOJANU, RUX., ENESCU, I., - Mecanica - Editura "Lux Libris",

Braşov, 1998.22. MESCHCHERSKY,I.V., -Collection of problems in theoretical

mecanics, The higher school publishing house, Moscow,1968.23. MOSU,N.,CONSTANTIN,Fl., - Mecanică, Universitatea dinBraşov, 1981.

24. MOSU,N.,DELIU, Gh.,LUGOJANU, R.,ACHIRILOAIE,P.,CONSTANTIN,Fl., - Mecanica tehnică - pentru subingineri, Univer-sitatea "Transilvania" din Braşov, 1979.

25. MOSU,N., DELIU,Gh., SIRBU,N., CÂNDEA,I., CONSTANTIN,Fl.,DUMITRU,O., - Mecanica pentru subingineri, E.D.P. Bucureşti, 1981.

26. OLARIU,V., SIMA,P.,BENCHE,L., MOSU,N., DELIU,Gh.,



BIBLIOGRAFIE 485

TOFAN,M., CÂNDEA,I., CONSTANTIN,Fl., LUGOJANU,R.,VLASE,S., ROSCA,I., SECARĂ,E., SOFARIU,I., - Mecanică - Lucrări

de laborator , Universitatea din Braşov, 1987.27. OLARIU,V., SIMA,P.,BENCHE,L., MOSU,N., DELIU,Gh.,TOFAN,M., CÂNDEA,I., CONSTANTIN,Fl., LUGOJANU,R., VLASE,S.,ROSCA,I., SECARĂ,E., SOFARIU,I., - Mecanică - Culegere de probleme,vol.I,II Universitatea din Braşov, 1988.

28. PLAVITA,C., şi colectiv, - Probleme de mecanică, fizică şi

acustică, E.D.P., Bucureşti, 1981.29. POPA, AL., EPARU, N., RUSU, L. Probleme de mecanică -

Statica. Editura Universităţii din Ploieşti, 2001.30. POPOVICI,M.,STAICU,St., - Mecanică tehnică vol.I,II,III,Editura tehnică, Bucureşti,1982.

31. RADES,M., - Metode dinamice pentru identificarea sistemelor

mecanice, Editura Academiei R.S.R., Bucureşti, 1979.32. RADOI,M.,DECIU,E., - Mecanica, E.D.P., Bucureşti, 1977.33. RILEY, F.W., STURGES, D.L., - Engineering Mechanics -

Dinamics. John Wiley & Sons, inc., New York, 1996.

34. RIPIANU,A. şi colectiv - Culegere de probleme de mecanicătehnică, vol.I,II, I.P. Cluj-Napoca, 1986.

35. RIPIANU,A., POPESCU,P., BALAN,B., - Mecanică tehnică, E.D.P.,Bucureşti, 1979.

36. SARIAN,M., şi colectiv - Probleme de mecanică, E.D.P. ,Bucureşti, 1975.

37. SECARĂ,E., CONSTANTIN, F., - Mecanică - Teorie şi aplicaţii,Editura Lux Libris, Braşov, 2000.

38. SECARĂ,E., Mecanică - Statica, Reprografia Universităţii din Braşov,Braşov, 1977.39. SECARĂ, E., Mecanică - Cinematica, Editura Lux Libris, Braşov,

2000.40. SERBU,AD., CURTU,I., LUGOJANU,R., MUNTEANU,M.,

BOLFA,TR., - Mecanică şi rezistenţa materialelor - Culegere de

probleme, Universitatea dinBraşov, 1978.41. SIMA,P., OLARIU,V., MACOVEI,M., - Mecanică tehnică,

Aplicaţii - Statica,Editura tehnică, Bucureşti, 1990.



486 MECANICĂ

42. VLASE, S. - Dinamica. Editura Infomarket, Braşov, 2005.43. VOINEA,R., VOICULESCU,D., CEAUŞU, - Mecanică, E.D.P.

Bucureşti 1983.44. Probleme de mecanică - date la concursurile profesionalştiinţifice, ed. lll-a, IP "Transilvania", Timişoara, 1981.

mecanica - teorie si aplicatii

Documents