INTRODUCERE

Autorii au conceput lucrarea de fa, intitulat ndrumtor i aplicaii pentru studiul individual la mecanic partea I: statica, ca un material necesar studenilor pentru consolidarea cunotinelor teoretice i formarea deprinderii rezolvrii corecte a problemelor de static. Materialul prezentat se adreseaz n primul rnd studenilor din nvmntul tehnic superior de construcii, urmrind programa analitic unic n vigoare la disciplina Mecanic, de la Universitatea Tehnic de Construcii Bucureti, pentru specializrile: construcii i instalaii pentru construcii, dar poate fi utilizat i de ctre studenii de la alte specializri din nvmntul politehnic. Capitolele ndrumtorului corespund materiei predate i abordate la seminar pentru Static, prima diviziune a disciplinei Mecanic. Fiecare capitol din primele unsprezece, prezint la nceput elemente teoretice, sub o form sintetic sau sub o form mai dezvoltat, necesare pentru nelegerea strategiilor de rezolvare adecvate tipurilor de probleme. Etapele de urmat n rezolvarea problemelor sunt detaliate n continuare, fiind reluate n cuprinsul aplicaiilor rezolvate integral. O serie de aplicaii sunt propuse pentru studiul individual. Acestea au rspunsuri i indicaii unde este cazul, pentru orientarea i verificarea rezultatelor obinute. Capitolul 12 Probleme recapitulative grupeaz aplicaii care pot fi rezolvate pentru pregtirea examenului de la finalul semestrului. Aplicaiile din acest capitol, cu toate c pstreaz un grad moderat de dificultate, sunt importante, deoarece unele probleme cupleaz elemente teoretice prezentate n capitole diferite, dezvoltnd un mod de gndire sintetic din partea studentului i nu bazat pe automatisme. Autorii consider c este necesar pstrarea unui echilibru ntre: formarea unor deprinderi corecte de abordare a problemelor, prin exemple clare, cu trsturi puternice i accentuarea unei metodologii specifice i, independena n gndire i mobilitate n alegerea unor ci ct mai directe de soluionare.

3

n acest sens, aplicaiile rezolvate n lucrarea de fa evideniaz, sub forma unui model, etapele eseniale n soluionare pentru fiecare capitol n parte. O atenie sporit trebuie acordat etapei n care fenomenul studiat este transpus sub forma unui model matematic. Spre exemplu, exprimarea condiiei de echilibru pentru un sistem de fore se face prin scrierea unor ecuaii de proiecie care formeaz sisteme algebrice. Este la latitudinea rezolvitorului s-i aleag cele mai potrivite ecuaii de proiecii (evantual cu o singur necunoscut), pentru ca rezolvarea s fie ct mai simpl i scutit de eventuale complicaii de calcul. Se poate spune c acesta este un punct de plecare n formarea unui raionament riguros n gndirea viitorului inginer, avnd drept scop gsirea celor mai simple soluii, cu toate avantajele care decurg de aici. Capitolul 13 intitulat Probleme de concurs furnizeaz studenilor enunurile problemelor de static, care au fost date i propuse la concursul profesional de la disciplina Mecanic, desfurat n Universitatea Tehnic de Construcii, n ultimii patru ani. Din punct de vedere metodologic, se recomand studenilor (ca o regul general), citirea cu atenie a enunului problemei de mai multe ori, pentru a nelege fenomenul i a stabili o strategie de rezolvare potrivit. Desenele sau schemele trebuie s fie clare, cuprinznd toi vectorii utilizai n aplicaie. Rspunsurile trebuie redactate cu claritate (sintax, ortografie). Verificarea rezultatelor din punctul de vedere al omogenitii relaiilor obinute i al dimensiunilor este obligatorie. La finalul rezolvrii este necesar interpretarea rezultatelor cu referire direct la cerinele din enunul problemei. innd cont de complexitatea aplicaiilor numerice, de regul este permis utilizarea unui calculator. Cunoaterea i utilizarea corect a tuturor funciilor este obligatorie. Erorile cele mai frecvente sunt produse la utilizarea funciilor trigonometrice i de aceea s-a considerat util reluarea unor funcii i relaii trigonometrice fundamentale n Anexa C. Poziiile centrelor de mas pentru corpurile omogene uzuale sunt prezentate n Anexa A, iar Anexa B furnizeaz unele relaii trigonometrice ntr-un triunghi oarecare.

Autorii

4

1. OPERAII CU VECTORI1.1. Sumarea i multiplicarea vectorilor cu o mrime scalarVectorii sunt entiti matematice, caracterizai de mrime, direcie, sens i punct de aplicaie. Sumarea a doi vectori concureni ntr-un punct O, se realizeaz dup regula paralelogramului (fig. 1.1). De altfel, multe din operaiile cu vectori studiate de algebra vectorial pot fi deduse cu ajutorul acestei reguli. Folosind pentru vector, notaia cu simbolul barat la partea superioar, se scrie: b c c =a +b (1.1) a Din regula paralelogramului rezult c sumarea este o operaie n cadrul creia nu este important ordinea de sumare, ceea ce nseamn c aceast operaie este comutativ:

O Fig. 1.1. a b

c =a +b =b +a

(1.2)

Se observ c se poate obine acelai c=a+b rezultat dac se realizeaz un triunghi al O vectorilor (fig. 1.2), n care un vector echipolent Fig. 1.2. cu a , are originea n extremitatea vectorului b . Vectorul c , numit vector rezultant sau rezultant, va avea originea comun cu originea primului vector (punctul O), i extremitatea n extremitatea celui de-al doilea vector. Construcia grafic din figura 1.2 este numit regula triunghiului, i este echivalent cu regula paralelogramului. Sumarea vectorilor este o operaie asociativ. Astfel, pentru trei vectori a , b i c , vectorul rezultant se calculeaz n dou etape: se procedeaz la sumarea primilor doi vectori, apoi la suma obinut se sumeaz cel de-al treilea vector (fig. 1.3). Acelai rezultat se obine i dac se sumeaz mai nti ultimii doi vectori, apoi primul vector (fig. 1.4), ceea ce se scrie:

(a + b ) + c = a + (b + c )

(1.3)

Sumarea mai multor vectori conduce la generalizarea regulii triunghiului, stabilindu-se regula conturului poligonal, vectorul rezultant5

avnd originea comun cu primul vector, iar extremitatea n extremitatea ultimului vector. b a a+b (a+b)+c Fig. 1.3. c a b b+c a+(b+c) Fig. 1.4. c

Cea mai simpl operaie de multiplicare a vectorilor este multiplicarea cu un scalar (sau cu o mrime scalar).Mrimea scalar este o entitate caracterizat printr-un numr. Dac este un scalar, atunci prin multiplicarea vectorului a cu scalarul nelegem un vector a care are urmtoarele caracteristici:

mrimea este egal cu produsul dintre i modulul vectorului a ; direcia aceeai cu cea a vectorului a ; sensul este acelai cu sensul vectorului a dac este pozitiv, sau de sens opus dac este negativ; punctul de aplicaie coincide cu al vectorului a .

1.2. Versorii i componentele ortogonale ale unui vectora , unde a este mrimea vectorului a , este a adimensional, are mrimea egal cu unitatea i are aceeai direcie cu vectorul a , atunci u se numete versorul direciei vectorului a . Versorii direciilor predefinite furnizeaz mecanismul obinuit de exprimare a vectorilor. Astfel, orice vector se poate exprima n funcie de versorul direciei sale:

Dac vectorul u =

a=a u

(1.4)

Fie un sistem de axe triortogonal cartezian drept Oxyz, pentru care versorii acestor axe sunt i , j i k . Regula paralelogramului ne permite s descompunem un vector a n trei componente reciproc ortogonale scrise a x i , a y j i a z k (fig. 1.5), astfel nct:

6

a = axi + a y j + az k

(1.5)

Relaia (1.5) reprezint expresia analitic a vectorului a n raport cu sistemul de axe Oxyz. Numim proieciile vectorului a pe cele trei axe, mrimile scalare ax, ay, i az (fig. 1.6), care se scriu n funcie de unghiurile , i pe care le face vectorul a cu cele trei axe Ox, Oy i respectiv Oz: a x = a cos , a y = a cos i a z = a cos (1.6) Aceste cosinusuri sunt numite cosinusurile directoare ale vectorului a . ntre ele exist relaia:cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1

(1.7) z

z azk axi x O P a ayj y M Fig. 1.5. az

a ax

ay Fig. 1.6.

y

x

Mrimea vectorului a este dat de expresia:2 2 a = ax + a 2 + az y

(1.8)

Dintre proprietile sumrii i multiplicrii cu un scalar prezentate n paragraful anterior, de mare importan n aplicaii sunt urmtoarele dou relaii: dac c = a + b , atunci:c x = a x + bx c y = a y + by c z = a z + bz

(1.9)

dac este un scalar, atunci:

a = a xi + a y j + a z k7

(1.10)

Expresiile (1.9) se pot generaliza n cazul sumrii a n vectori concureni. Astfel se enun teorema proieciilor:Suma proieciilor pe o ax a unui sistem de vectori concureni este egal cu proiecia pe aceeai ax a vectorului rezultant.

1.3. Produsul scalar a doi vectoriProdusul scalar a doi vectori a i b , este definit astfel:a b = a b cos

(1.11)

unde este unghiul dintre cei doi vectori. Acest produs, aa cum i arat numele, este un scalar i apare n mod evident din relaia de definiie (1.11) c acest produs este comutativ, adic: a b = b a a u = a (1)cos = Pr u a i se obine proiecia vectorului a pe direcia versorului u . Proieciile unui vector pe axele de coordonate definite n relaiile (1.6), se pot scrie i sub forma:a x = a i , a y = a j i a z = a k

(1.12) (1.13)

Dac vectorul a este nmulit scalar cu un versor u , atunci

(1.14)

innd cont c versorii axelor de coordonate sunt reciproc ortogonali, atunci:i j = j k = k i = 0 i i = j j = k k =1

(1.15)

O proprietate important este aceea c produsul scalar este distributiv fa de operaia de sumare, adic: a (b + c ) = a b + a c (1.16)

Proprietile de distributivitate i comutativitate ale produsului scalar sunt utilizate la stabilirea unor relaii de importana practic:

a b = a x bx + a y by + a z bz2 2 a a = ax + a 2 + az = a y 2

(1.17) (1.18)

8

Relaia (1.18) se poate stabili i din relaia de definiie (1.11): a a = a a cos(0 ) = a2

Din relaiile (1.11) i (1.17) se poate exprima unghiul format de doi vectori atunci cnd sunt cunoscute proieciile acestora:cos = a x bx + a y b y + a z b z a b = 2 2 2 ab a x + a y + a z2 bx2 + b y + bz2

(1.19)

1.4. Produsul vectorial a doi vectoriAl doilea produs stabilit ntre doi vectori a i b , este produsul vectorial notat a b i reprezint un vector c (fig. 1.9) care are urmtoarle caracteristici: mrimea c = a b sin unde este unghiul (mai mic de 180) dintre vectorii a i b ; direcia perpendicular pe planul format de cei doi vectori; sensul stabilit cu regula urubului (fig. 1.7) sau regula minii drepte (fig. 1.8); originea n punctul de concuren al celor doi vectori a i b .

a c < 180 b b

a c

Fig. 1.7.

Fig. 1.8.

Aplicnd relaia de definiie, se observ c produsul vectorial nu este comutativ (este anticomutativ): b a = a b , dar este distributiv fa de operaia de sumare: a (b + c ) = a b + a c . 9 (1.21) (1.20)

Produsele vectoriale care se stabilesc ntre versorii axelor de coordonate, trebuie s respecte convenia admis n Mecanica Teoretic de a se lucra n sistemul de referin drept: i j = j i = k ; j k = k j = i ; k i = i k = j i i = j j = k k = 0 (1.22) (1.23)

Exprimnd vectorii a i b n funcie de proieciile lor, produsul vectorial se exprim sub forma unui determinant care are pe prima linie versorii axelor, iar pe urmtoarele linii proieciile celor doi vectori: i a b = ax bx j ay by k az = bz

(1.24)

= (a y bz a z b y )i + (a z bx a x bz ) j + (a x b y a y bx )k

c b

h=b sin a Fig. 1.9.

Mrimii produsului vectorial i se poate da o interpretare geometric, i anume aria aceea c reprezint paralelogramului avnd ca laturi cei doi vectori a i b (fig. 1.9): c = a b = a b sin = a h

1.5. Produsul mixt i dublul produs vectorial a trei vectoriDou operaii de multiplicare, fiecare implicnd trei vectori, sunt n mod firesc necesare n Mecanic: produsul mixt i dublul produs vectorial.Produsul mixt are ca rezultat un scalar i se obine prin efectuarea unui produs scalar dintre un vector cu produsul vectorial a altor doi vectori:

c (a b )

(1.25)

O interpretare geometric a produsului mixt este aceea c reprezint volumul unui paralelipiped ale crui laturi au ca lungimi mrimile celor trei vectori. Una din proprietile produsului mixt este aceea c prin permutarea vectorilor care l formeaz, valoarea calculat nu se schimb: c (a b ) = a (b c ) = b (c a ) 10 (1.26)

Cunoscnd expresiile analitice ale celor trei vectori, produsul mixt se exprim sub forma unui determinant:cx c (a b ) = a x bx cy ay by cz az bz

(1.27)

Dac doi din cei trei vectori au proieciile proporionale (sunt paraleli), atunci produsul mixt este nul. Justificarea se face apelnd la proprietile determinanilor: dac dou linii ale determinantului sunt proporionale, atunci valoarea acestuia este zero. Din punctul de vedere al interpretrii geometrice, proporionalitatea a doi vectori are drept consecin starea de coplanaritate a celor trei vectori, ceea ce nseamn c volumul paralelipipedului este nul.Dublul produs vectorial a trei vectori se scrie:

a (b c )

(1.28)

i este o mrime vectorial care are direcia normal la planul celor doi vectori din parantez a (b c ) = (a c )b (a b )c (a b ) c = (a c )b a (b c ) Relaiile de mai sus sunt utile n dinamic. (1.29) (1.30)

1.6. Aplicaii A1.1. Se consider punctele A(2, 3, 1), B(3, 1, 2) i C(1, 2, 0). Se cere:a) s se exprime analitic vectorii, AB , BA , AC , BC i OA , unde punctul O reprezint originea unui reper triortogonal cartezian drept Oxyz; b) s se determine modulele vectorilor AB , AC , BC i OA i versorii direciilor vectorilor AB i AC ; c) s se calculeze cosinusurile directoare ale vectorului a = 2 AB 3 AC n raport cu reperul Oxyz; d) s se afle unghiul dintre direciile vectorilor OA i BC ; e) s se calculeze aria triunghiului ABC (coordonatele punctelor A, B i C sunt exprimate n metri).

11

Rezolvare:

a) AB = ( x B x A ) i + ( y B y A ) j + ( z B z A ) k = 5 i + 4 j 3 kBA = 5 i 4 j + 3 k = AB

AC = 3 i + 5 j k ,

BC = 2 i + j + 2 k ,

OA = 2 i 3 j + k

b) AB AB = ( x B x A ) 2 + ( y B y A ) 2 + ( z B z A ) 2 == 5 2 + 4 2 + ( 3)2 = 50 = 5 2 = 7,07

AC = 32 + 5 2 + ( 1)2 = 35 = 5,92

BC = OA =

( 2)2 + 12 + 2 2

= 9 =3 = 14 = 3,74AB AB = 5i + 4 j 3k = 2 (0,5 i + 0,4 j 0,3 k ) 5 2

( 2)2 + ( 3)2 + 12

u AB =

u AC =

AC AC

=

35 (3 i + 5 j k ) 35

c) a = 2 AB 3 AC = 2(5 i + 4 j 3 k ) 3(3 i + 5 j k ) = i 7 j 3 k

a = 59cos =cos =

aX 1 = = 0,1302 a 59aY 7 = = 0,9113 a 59

cos =

aZ 3 = = 0,3906 a 59

Verificare:

cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 0,13022 + ( 0,9113)2 + ( 0,3906)2 = 0,9999 1d) cos OA , BC =

(

)

OA BC OA BC

=

( 2 i 3 j + k ) ( 2 i + j + 2 k ) =14 9

12

=

( 2 ) ( 2 ) + ( 3) 1 + 1 2 =3 14

14 = 0,2673 OA , BC = 7430' 14i j k AB AC = 5 4 3 = 11i 4 j + 13 k 3 5 1

(

)

e) S ABC

1 = AB AC 2S ABC =

,

1 306 112 + 4 2 + 132 = = 8,75 m 2 2 2

( )

A1.2. Se dau vectorii: a (2, 1, 3), b (1, 2, 2), c (4, 2, 1) i d (0, -2, -3) alecror proiecii n raport cu un reper triortogonal cartezian drept Oxyz, sunt exprimate n metri. Se cere: a) s se exprime analitic i s se reprezinte grafic cei patru vectori, n raport cu un reper triortogonal cartezian drept Oxyz; b) s se calculeze modulele vectorilor a , b , c i d , versorii direciilor acestora i poziiile lor (date de cosinusurile directoare) n raport cu reperul Oxyz; c) s se calculeze expresiile urmtoare i s se precizeze care dintre acestea nu au sens (motivnd alegerea): d E2 = a b c d + c E1 = a 2b + c + 3 E3 = (a d ) b E4 = (c b ) d E5 = (a c ) (d b ) E7 = (a d )(b b ) E9 = (b a )(d a ) E 6 = c (c d ) E8 = (b c ) (d a ) E10 = (c d ) (a c )

d) s se determine unghiurile dintre direciile vectorilor a i b , c i d respectiv b i d ; e) s se afle proiecia vectorului sum a + c , pe direcia vectorului d ; f) s se calculeze proiecia vectorului diferen D = b c , pe direcia vectorului sum S = a + b + d ; g) s se calculeze aria triunghiului determinat de vectorii b i c ; h) s se afle aria paralelogramului determinat de vectorii a i c ; i) s se afle volumul tetraedrului determinat de vectorii c , a i b ; j) s se calculeze volumul prismei format de vectorii d , a i b ; 13

k) s se afle volumul paralelipipedului format de vectorii b , c i d ; l) s se gseasc valorile parametrilor reali x, y i z care satisfac relaia: xa yb + zc = 2d ; m) s se determine parametri reali x i y astfel nct vectorul e = a xb + 2 yd s fie perpendicular pe planul xOy.Rspuns:

e) Prd (a + c ) = 3,88m ; f) PrS D = 5,61m ; g) S = 6,80 m 2 ; h) S = 7,83m 2 ; i) V = 5,50m 3 ; j) V = 9,67m 3 ; k) V = 44,00m 3 ; l) x = 2,514 ; y = 1,600 ; z = 1,657 ; m) x = 2,00 ; y = 1,25 .

d) (a , b ) = 12219' ; (c , d ) = 11504' ; (b , d ) = 7920' ;

A1.3. Se d punctul A(3, 4, 5). Acesta se proiecteaz pe cele trei plane decoordonate ale reperului Oxyz n punctele Ax, Ay i Az. S se arate c: OA x + OA y + OA z = 2OA .

A1.4. S se arate c ntr-un triunghi echilateral ABC, nscris n cercul cu centruln punctul O, exist relaia:AB + AC = 3 AO .

A1.5. Se d o piramid cu vrful n punctul V i baza un paralelogram ABCDale crui diagonale se intersecteaz n punctul O. S se demonstreze c:VA + VB + VC + VD = 4VO .

A1.6. Se dau punctele A(2, 3), B(, 2) i C(4,1), unde R. S se determineparametrul real astfel nct: a) vectorii CA i CB s fie ortogonali; b) punctele A, B i C s fie coliniare.Rspuns: a) = 2,00 ; b) = 1,25 .

A1.7. S se determine pe cale vectorial ecuaia dreptei care trece prin puncteleA(3, 2) i B(2, 1).Rspuns: 3 x y + 7 = 0 .

14

2. SISTEME DE FORE CONCURENTE2.1. GeneralitiUn sistem de fore concurente reprezint o mulime de fore care au suporturile concurente. Punctul de concuren al direciilor forelor poate fi: un punct material i atunci forele componente sunt vectori legai; un punct constitutiv al unui solid rigid i atunci forele sistemului sunt vectori alunectori (glisani). Un sistem de fore concurente se poate nlocui cu o for unic numit rezultant, care s aib acelai efect cu efectul simultan al tuturor forelor sistemului. Aceast operaie de reducere a unui sistem de fore concurente la cel mai simplu sistem echivalent - rezultanta, se numete compunere sau sumare a forelor. Condiia necesar i suficient ca dou sau mai multe sisteme de fore concurente sa fie echivalente, este ca acestea s aib aceeai rezultant (exprimat ca vector liber). Un sistem de fore concurente care are rezultanta nul, se numete ehivalent cu zero, n echilibru sau nul.

2.2. Compunerea forelor concurenteCompunerea a dou fore concurente F1 i F2 de mrimi cunoscute, este rezolvat prin metoda grafic, aplicnd regula paralelogramului forelor (fig. 2.1, a). Astfel, rezultanta forelor se obine prin operaia de sumare vectorial:

R = F1 + F2 ,i are mrimea:

(2.1)

R = F12 + F22 + 2 F1 F2 cos ,15

(2.2)

Relaia (2.2) reprezint aplicarea teoremei cosinusului n triunghiul OAB (fig. 2.1, a). Direcia rezultantei R , n raport cu cele dou fore F1 i F2 , este dat de unghiurile si . Acestea se obin prin aplicarea teoremei sinusurilor n acelai triunghi OAB:

F1 F R = 2 = sin sin sin Observaie:

(2.3)

construiete un vector F2 echipolent (paralel, de acelai sens i egal) cu fora F2 . Rezultanta R este vectorul care are originea n originea forei F1 i

Rezultanta se mai poate obine aplicnd regula triunghiului forelor, echivalent cu regula paralelogramului. Astfel, n extremitatea forei F1 se

extremitatea, n extremitatea forei F2 (fig. 2.1, b).

BF2

RF1

F2

RF1

F2

O

Aa Fig. 2.1. b

Dac sistemul este format din mai multe fore concurente, atunci rezultanta acestora se poate obine cu ajutorul metodei grafice, utiliznd regula conturului poligonal. Astfel, se ajunge la construcia grafic cunoscut sub numele de poligonul forelor. Laturile poligonului sunt reprezentate de vectori echipoleni cu forele concurente, rezultanta unind originea primei fore cu extremitatea ultimului vector echipolent (fig. 2.2).

F3 Fn F1

R = Fii =1

n

Observaie: Dac poligonul forelor este nchis, adic extremitatea vectorului echipolent cu ultima for din poligon coincide cu originea primei fore, atunci rezultanta este nul i sistemul de fore concurente este echivalent cu zero (nul sau n echilibru). 16

F n F3

F2

F 2Fig. 2.2.

Compunerea mai multor fore concurente de mrimi cunoscute, se realizeaz de regul aplicnd metoda analitic. Metoda analitic ofer un rezultat exact, spre deosebire de metoda grafic prezentat mai sus, al crui rezultat este unul aproximativ, depinznd de precizia construciei grafice. Totodat metoda analitic se preteaz foarte bine i la realizarea unui calcul automat. Procedeul const n parcurgerea urmtoarelor etape: se exprim cele n fore ale sistemului Fi (i = 1,..., n) sub form analitic n raport cu un sistem de referin:

Fi = X i i + Yi j + Z i k

(2.4)

se folosete teorema proieciilor pentru calculul proieciilor rezultantei pe axele sistemului de referin:

X = Xi ,i =1

n

Y = Yi ,i =1

n

Z = Zii =1

n

(2.5)

se scrie rezultanta sub form analitic i se calculeaz mrimea ei:

R = Fi = X i + Y j + Z k R = X 2 + Y 2 + Z 2i =1

n

(2.6)

se calculeaz direcia rezultantei (dat de cosinusurile directoare) i apoi se reprezint grafic rezultanta:

X Y Z , cos R = , cos R = R R R Se observ c se poate face urmtoarea verificare: cos R =cos 2 R + cos 2 R + cos 2 R = 1

(2.7)

(2.8)

2.3. Descompunerea unei foreDescompunerea unei fore reprezint operaia invers a compunerii forelor concurente. Astfel, prin descompunerea unei fore R n n componente concurente pe suportul su, se nelege nlocuirea lui R (deci a unei singure fore date) cu nite fore Fi (i = 1,..., n) , astfel nct s existe urmtoarea egalitate vectorial:

Fi = Ri =1

n

(2.9) 17

n mod aparent, relaia anterioar i omoloaga ei (2.6) de la compunerea forelor sunt identice, dar n relaia de la compunere fora R este unica necunoscut cu forele Fi (i = 1,..., n) cunoscute, n timp ce n relaia de mai sus problema este invers, fiind n necunoscute vectoriale, forele Fi (i = 1,..., n) i o singur cunoscut fora R .

Concluzie:

n general, soluionarea problemei descompunerii n mod determinat nu este posibil dect dac se introduc unele restricii sau condiii suplimentare.Bineneles c exist o infinitate de modaliti prin care se pot impune restricii, dar numai cteva sunt de interes n problemele teoretice sau practice inginereti. De exemplu, cele mai frecvente cazuri de descompunere a unei fore R sunt urmtoarele:

n problema plan, prin dou fore concurente pe suportul su, cunoscndu-se: cele dou direcii ale forelor; mrimea unei fore i direcia celeilalte; mrimile ambelor fore; o for ca vector (n modul, direcie i sens); n problema tridimensional, prin trei fore dup direcii date, necoplanare, concurente pe suportul su.

2.4. Aplicaii A2.1. Un sistem alctuit din patru fore concurente i coplanare de mrimicunoscute, acioneaz conform figurii 2.3, a. Se dau: F1 = 13 N, F2 = 6 N,F3 = 15 N i F4 = 3 3 N. S se calculeze i s se reprezinte grafic rezultanta sistemului de fore concurente (sistemul echivalent cel mai simplu).

Rezolvare: O problem de acest tip (sisteme de fore concurente) se poate rezolva prin metoda analitic, parcurgnd urmtoarele etape: 1) Se alege un sistem de referin convenabil, cu originea n punctul de concuren al forelor i avnd axele coliniare cu ct mai multe fore din sistem. 2) Se descompun forele sistemului n componente paralele cu axele reperului (fig. 2.3, b) i apoi se calculez proieciile forelor pe axe. 18

Se va ine cont de faptul c proieciile forelor pot fi pozitive sau negative, n funcie de sensurile componentelor respective. X 1 = 13N F1 Y1 = 0 N

4 X 3 = F3 cos 3 = 15 5 = 12 N F3 Y = F sin = 15 3 = 9 N 3 3 3 5 X 4 = 0N F4 . Y4 = 3 3N yF2

1 X 2 = F2 cos 60 o = 6 = 3N 2 F2 Y = F sin 60 o = 6 3 = 3 3N 2 2 2y

F2 F1 = X 1 X2 x

Y2 O A(-4,-3) F4 F3a

= 60 F1x

X3

3 OF4 = Y4

F3b

Y2

Fig. 2.3.3) Se calculeaz rezultanta sistemului de fore

Cu ajutorul teoremei proieciilor se determin proieciile rezultantei pe axele sistemului de referin:4 X = X i = 13 + 3 12 + 0 = 4 N i =1 R 4 Y = Y = 0 + 3 3 9 3 3 = 9 N i i =1

Expresia analitic a rezultantei n raport cu reperul Oxy i mrimea (modulul) ei vor fi:

R = X i + Y j = 4 i 9 j R R = X 2 + Y 2 = 4 2 + ( 9 )2 = 97 = 9,85 N

19

Direcia rezultantei este definit de cosinusurile directoare:

cos R =

X 4 Y 9 = = 0,4061 , cos R = = = 0,9137 R 9,85 R 9,85

R = 66 i R = 156 .

Soluia este = 66 i = +156 (fig. 2.4, a). n cazul de fa (problema plan) este mult mai comod s se exprime direcia rezultantei prin unghiul pe care aceasta l face cu axa Ox:

yy O

F2 O A(-4,-3)F4 F3

= 156oX = 66 o x

3 = 60F3

F2

F1 x

Y

R

R = Fii =1

4

F4

a

b

Fig. 2.4.

Y 9 = = 2,25 = 66 X 4 4) Se reprezint grafic rezultanta sistemului de fore (fig. 2.4, a). tg =5) Verificarea rezultatului obinut.

Se poate realiza prin metoda grafic a compunerii forelor concurente (regula poligonului), construindu-se la scar poligonul forelor (fig. 2.4, b), cu care se determin rezultanta. Dup cum se poate observa mrimile forele din figurile 2.3 i 2.4, a, difer de cele din figura 2.4, b. Explicaia este urmtoarea: primele trei figuri reprezint nite scheme (schie) ale sistemului de fore i ale rezultantei calculate prin metoda analitic, pe cnd figura 2.4, b (poligonul forelor), este o 20

construcie grafic n urma creia rezultanta sistemului se obine n mod corect numai dac forele sunt reprezentate la scar.

A2.2. Se d un sistem alctuit din trei fore concurente i coplanare, toate avndaceeai mrime F1 = F2 = F3 = F . Forele F1 i F2 i respectiv F2 i F3 formeaz ntre ele unghiul = 30 . a) s se calculeze rezultanta celor trei fore folosind cele trei metode: grafic, geometric i analitic; b) ntre ce valori este cuprins mrimea rezultantei, dac unghiul este variabil?Rspuns: a) R = 3,73F ; b) F R 3F .

cunoscute F2 = 2 F1 = 90 kN. Unghiul dintre cele dou fore este = 60 . S se determine: a) rezultanta celor dou fore folosind cele trei metode: grafic, geometric i analitic; b) care este locul geometric al rezultantei R i ce valori poate lua aceasta dac unghiul este variabil?Rspuns: a) R = 119,1 kN; b) 45kN R 135kN.

A2.3. Se consider dou fore concurente i coplanare F1 i F2 , de mrimi

sistem de fore concurente a crui rezultant R are mrimea R = 70 N.

A2.4. Forele F1 i F2 , avnd mrimile F1 = 100 N i F2 = 40 N, formeaz una) s se calculeze unghiul format de cele dou fore;

b) s se verifice pe cale grafic i analitic rezultatul obinut la punctul a) (avnd ca date de intrare F1 , F2 i unghiul respectiv, se va calcula rezultanta R ).Rspuns: a) (F1 , F2 ) = 14653' .

yF1

A2.5. Fie sistemul de fore concurente icoplanare din figura 2.5, n care toate forele au mrimile egale: F1 = F2 = F3 = F , F fiind o for cunoscut. S se calculeze pe cale analitic rezultanta sistemului de fore i apoi s se verifice rezultatul obinut folosind metoda grafic sau geometric.

= 30 F2 O x

F3

21

Fig. 2.5.

3 1 i F j Rspuns: R = F 1 2 2 A2.6. Sistemele de fore concurente din figura 2.6, sunt reprezentate la scar. Cunoscndu-se c lungimea unei diviziuni a caroiajelor corespunde unei mrimi P (exprimat n newtoni) pe scara forelor, se cer urmtoarele:

a) s se calculeze i s se reprezinte grafic rezultanta fiecrui sistem de fore; b) se poate modifica mrimea unei fore a sistemului din figura 2.6, b astfel nct sistemul de fore concurente s fie unul echivalent cu zero? n caz afirmativ, care este fora n cauz i ce mrime trebuie s aib aceasta? c) ce for trebuie adugat sistemului din figura 2.6, c astfel nct acesta s fie echivalent cu sistemul de fore din figura 2.6, d?y F2 O F3a

y F2F1

F1 x F4

F3 O F4b

x

y F2 OF3 F3

y F2F1

O x F1 F4d

x F5

F4c

Fig. 2.6.

A2.7. Fie sistemele de fore concurente din figura 2.7, de mrimi cunoscute,care difer de cele de la A2.6 prin aceea c forele nu mai sunt reprezentate la 22

scar. Se cere s se calculeze i s se reprezinte grafic rezultanta fiecrui sistem de fore n cazurile: a) b) c) d)F1 = 2 P 2F2 = 4 P

F3 = 6 P 5

(fig. 2.7, a) (fig. 2.7, b) (fig. 2.7, c) (fig. 2.7, d)

F1 = 6 P 3 F1 = 2 P 13F1 = 15 P

F2 = 6 P 3 F2 = 4 P 3 F2 = 5 P 10

F3 = 3P 2 F3 = 3P 10F3 = 26 P

y F2 OF1

y F2

= 60 = 45F3

F1

= 45x O

= 30x

A(-2,-4)F3

a

b

y

B(3,2)

y E(-1,3) F2 F1 O x D(4,3)

= 60F2 OF1

F3

x

C(3,-6)c

F3

d

Fig. 2.7.

Rspuns:

a)

R = 6 Pi 12Pj23

c)

R = Pi + 2 3 3 Pj

(

)

b)

R = 3Pi + 6 3 3 Pj

(

)

d)

R = 7 Pi 2 Pj

A2.8. Fie sistemele de fore concurente n care mrimile forelor suntproporionale (sunt date la scar) cu laturile paralelipipedului dreptunghic de dimensiuni cunoscute (fig. 2.8). S se calculeze i s se reprezinte grafic rezultanta sistemelor de fore n fiecare caz.

zF2

z F3 y a x O F4 2abF3 z

a F3 x

OF1

F2 2a F1 y

2aa

2a

F2

z F1 O 2ac

F3 a x 2a

F2 y a xF1

F4 y

O 2ad

2a

Fig. 2.8.

A2.9. S se descompun grafic i analitic fora F dup dou direcii cunoscuteale vectorilor a i b . Se dau: a) F (1,6 ) , a (3,2 ) i b ( 1,4 ) ; b) F (6,3) , a (2,1) i b ( 2,1) .Rspuns:

a) Fa (3,2) i Fb ( 2,8) ; b) Fa (0,0) i Fb (6,3) .

24

3. STATICA PUNCTULUI MATERIAL3.1. Aspecte teoreticeAsupra unui punct material acioneaz un sistem de fore concurente. Punctul material liber poate ocupa orice poziie n spaiu. Punctul material liber are trei grade de libertate n spaiu i dou grade de libertate n plan: NGL=NMAX.GL=3(2). Punctul material cu legturi poate ocupa numai anumite poziii n spaiu, permise de legturi. Legtura unui punct material cu mediul nconjurtor este independent de forele date, i poate fi privit ca o restricie de natur geometric impus punctului material. Legturile punctului material se pot materializa astfel: cu fire (legturi unilaterale); cu bare (legturi bilaterale); prin restricia ca punctul material s rmn pe o suprafa sau pe o curb (legturi unilaterale sau bilaterale). Fiecare legtur simpl va suprima punctului material cte un grad de libertate. Aadar, n cazul punctului material cu legturi, numrul de grade de libertate NGL = 2, 1 sau 0. Conform axiomei legturilor, fiecare legtur simpl se nlocuiete cu o for de legtur (reaciune) corespunztoare care s aib acelai efect mecanic cu cel al legturii suprimate. Prin urmare, sistemul de fore care acioneaz asupra punctului material poate fi alctuit din dou tipuri de fore: fore date care admit o rezultant Rd ; fore de legtur care la rndul lor pot furniza o rezultant Rl . Condiia necesar i suficient pentru ca un punct material aflat n repaus s-i pstreze aceast stare, este ca sistemul de fore date ( Rd ) i de legtur ( Rl ) care acioneaz asupra lui s fie n echilibru (rezultanta lor s fie nul). 25

Expresia matematic a condiiei de echilibru este:

R = Rd + Rl = 0

(3.1)

Relaia (3.1) reprezint ecuaia vectorial de echilibru a sistemului de fore care acioneaz asupra punctului. Proiectat pe axele sistemului cartezian drept Oxyz se obin ecuaiile scalare pentru echilibru:m n X i , d + X i , l = 0 j =1 i =1 n m Yi , d + Yi , l = 0 , j =1 i =1 n m Z i , d + Z i , l = 0 i =1 j =1

(3.2)

unde: n reprezint numrul de fore date, iar m numrul de fore de legtur ale punctului material. Din punct de vedere geometric, condiia necesar i suficient pentru echilibru este ca poligonul forelor (realizat cu toate forele care acioneaz asupra punctului) s fie nchis. n cazul punctului material cu legturi reale (aspre, cu frecare) mai apare o for de frecare T care se opune tendinei de micare i care este situat: n planul tangent, dac legtura este o suprafa cu frecare; n lungul tangentei dac legtura este o curb. Ecuaiile scalare de echilibru (3.2) se vor completa cu condiia:T Tmax = N = N tg

(3.3)

unde:

coeficientul de frecare de alunecare;N reaciunea normal; unghiul de frecare.

n statica punctului material exist trei tipuri de probleme: a) problema direct: se cunoate sistemul de fore date care acioneaz asupra punctului material;

26

se cere s se determine poziia de echilibru i prin urmare, necunoscutele vor fi parametri de poziie (n numr de 3 n spaiu sau 2 n plan) care vor preciza poziia n care punctul material se afl n repaus. n cazul problemei directe, punctul material este liber i deci, NGL=NMAX.G.L.= 3 (2). b) problema invers: se cunosc: poziia de echilibru i sistemul de fore date; se cere s se determine sistemul de fore de legtur (reaciunile) care reprezint necunoscutele problemei. n cazul problemei inverse, punctul material este fixat cu un numr minim de legturi i deci NGL = 0. c) problema mixt: se cunosc: o parte a parametrilor geometrici care definesc poziia de echilibru, precum i unele condiii privind sistemul de fore date i de legtur; se cere s se afle restul parametrilor de poziie i restul condiiilor privind forele date i de legtur, care constituie necunoscutele problemei. n acest caz, 0 < NGL < NMAX.G.L.

3.2. Aplicaii A3.1. Dou bare MA i MB care fac ntre ele un unghi = 60 i care suntdispuse ntr-un plan vertical, susin un punct material M, de greutate G = 600 N, conform figurii 3.1, a. S se determine forele care apar n cele dou bare sub aciunea punctului material M. Rezolvare: O problem de static a punctului material se rezolv parcurgnd urmtoarele etape de calcul: 1) Se stabilete gradul de mobilitate al punctului material i se precizeaz tipul i necunoscutele problemei. n cazul de fa, deoarece problema este plan, NMAX.G.L.= 2, iar NLEG.S .= 2, deoarece cele dou legturi simple sunt reprezentate de barele MA i MB. Numrul de grade de libertate (NGL) ale punctului material se calculeaz, aplicnd relaia:

NGL=NMAX.G.L.-NLEG.S. =2-2=0unde:

NMAX.G.L numrul maxim de grade de libertate; NLEG.S. numrul de legturi simple independente.27

Dac gradul de mobilitate este nul (NGL=0), nseamn c punctul material M este fixat de ctre legturile (barele) MA i MB, iar problema este invers. Aadar, necunoscutele problemei vor fi forele T A i TB care sunt eforturile din cele dou bare. Observaie: Pentru problema mixt NGL=1 n problema plan i NGL=2 sau 1 n problema spaial. 2) Se realizeaz schema de fore. Construcia grafic din figura 3.2, b rezult n urma izolrii punctului material M i a ncrcrii acestuia cu: fora dat G ; forele de legtur T A i TB (provenite din nlocuirea legturilorconform axiomei legturilor).TA

y

A

= 60 = 60Ba

OM x Gb

G

TA

TB

= 60TB

MG

c

Fig. 3.1.3) Se scrie ecuaia vectorial de echilibru a punctului material:

R = Rd + Rl = 0 G + TA + TB = 04) Se alege un sistem de referin convenabil i proiectndu-se pe axe ecuaia vectorial de echilibru, se obin ecuaiile scalare de echilibru:

X i = 0 TA cos TB = 0 Yi = 0 TA sin G = 0 n urma rezolvrii sistemului de ecuaii rezult necunoscutele problemei: 28

G 1200 3 = = 400 3N = 692,8 N TA = sin 3 T = Gctg = 600 3 = 200 3N = 346,4 N B 3 5) Verificarea i interpretarea rezultatelor.

Verificarea se poate face printr-o metod grafo-analitic. Se deseneaz poligonul forelor (care va fi unul nchis, deoarece R = 0 ) i prin relaii geometrice sau trigonometrice adecvate se afl necunoscutele problemei. Pentru problema dat poligonul forelor este un triunghi dreptunghic (fig. 3.1, c) n care se pot aplica funciile trigonometrice:

sin = ctg =

G G A = = 692,8N A sin B B = Gctg = 346,4 N G

Comentarii:

reaciunea TB a rezultat cu semn negativ n urma calcului, adic sensul real al forei TB este opus celui de pe schema de fore; bara MB este comprimat ( TB < 0 ), iar bara MA este ntins ( T A > 0 ); cnd realizm poligonul forelor, reaciunile se orienteaz cu sensurile lor reale; barele sub aciunea reaciunilor (a eforturilor) pot fi comprimate sau ntinse, pe cnd firele nu pot fi dect ntinse sub aciunea tensiunilor din fire.

A3.2. Un punct material M, avnd greutatea G = 40 N , este susinut prinintermediul barei MB i a firului MA. Asupra punctului material M acioneaz forele F1 = 100 N i F2 = 50 N care fac ntre ele un unghi M F2 = 30 (fig. 3.2.). Avnd n A vedere c att barele ct i forele = 30 = 30 sunt situate ntr-un plan vertical, s se determine efortul din bara MB i tensiunea din firul MA. F1 G BRspuns:T A = 292,5 N ; TB = 180,0 N .

Fig. 3.2. 29

A3.3. Un punct material P, de greutate G = 100 N , este suspendat prinintermediul barelor PA i PB, situate ntr-un plan vertical, conform figurii 3.3. S se determine reaciunile (eforturile) din bare n fiecare dintre cazurile a), b), c) i d). Se cunoate =45. S se interpreteze rezultatele obinute.Rspuns:

a) T A = TB = 70,7 N ; b) T A = 141,4 N i TB = 100 N ; c) T A = TB = 70,7 N ; d) T A = 100 N i TB = 141,4 N .

A

= 45

P

B PG

A

B

G

a

b

P A

P B G

A

G

Bd

c

Fig. 3.3.

A3.4. Un punct material M, de greutate G = 120 N , este suspendat de un tavanprin intermediul unui fir. Punctul aflat n repaus este acionat i de o for orizontal F = 60 N conform figurii 3.4. S se studieze starea de echilibru static a punctului material. Rspuns: Poziia de echilibru a punctului material poate fi dat de unghiul pe care firul l face cu verticala = 2634' , iar tensiunea din fir F M este T = 134,2 N .G

Fig. 3.4.

G = 70 N , este suspendat de un tavan prin intermediul unui fir. S se determine mrimea forei

A3.5. Un punct material M, avnd greutatea

30

orizontale F cu care trebuie acionat punctul material M, astfel nct n poziia de echilibru a punctului, firul s fac un unghi = 60 cu verticala (fig. 3.4).Rspuns: F = 121,2 N .

conform figurii 3.5, fixeaz un punct material P, de greutate G = 100 N . Asupra punctului acioneaz o for F . S se determine reaciunile (eforturile) din bare n fiecare dintre cazurile a), b), c), d), i e). Se cunoate: F = 30 N , = 30 i = 60. S se interpreteze rezultatele obinute.Rspuns:

A3.6. Barele PA i PB aflate ntr-un plan vertical n diverse configuraii,

a)T A = 148,0 N i TB = 113,2 N ; b)T A = 76,0 N i TB = 71,6 N ; c) T A = 203,2 N i TB = 200,0 N ; d) T A = 100 N i TB = 100 N ; e) T A = 20,0 N i TB = 86,6 N .

F

A

G P Pa

A B A

PG

B

F

A Gd

b

F

P

B G

P F

G

Bc

A

B

e

Fig. 3.5.

A3.7. Un punct material M, avnd greutatea G = 50 N , este acionat de

greutile P = 20 N i Q = 40 N , prin intermediul a dou fire trecute peste doi scripei de dimensiuni neglijabile, conform figurii 3.6. S se studieze starea de echilibru static a punctului material M. 31

Rspuns: Poziia de echilibru a punctului material M, poate fi definit de unghiurile i pe care cele dou fire le fac cu orizontala = 4032' i = 6740' . Trebuie remarcat c problema are soluii, n cazul general, numai dac este ndeplinit o condiie de compatibilitate: P Q G P + Q (care rezult imediat n urma condiiilor de definiie a funciilor trigonometrice ale unghiurilor i sau din triunghiul forelor).

D

Ca/2

M

P G Q A3a/4 Fig. 3.7.

a/4

B

Fig. 3.6.

A3.8. Un inel M, de mas m cunoscut, aflat n planul unui ptrat de latur a,este acionat de patru resorturi ideale MA, MB, MC i MD. Cele patru resorturi au aceeai constant elastic k. S se determine fora F care trebuie aplicat punctului material M astfel nct acesta s ocupe poziia din figura 3.7.Rspuns: Asupra punctul material M care se gsete n echilibru n poziia indicat, acioneaz ase fore: patru fore elastice care provin din nlocuirea resorturilor, greutatea G = mg j i fora F . Se obine: F = ak i + mg j .

GFig. 3.8.

A3.9. Un punct material de greutate G, acionatFde o for orizontal F se afl pe un plan nclinat cu unghiul fa de orizontal. Coeficientul de frecare de alunecare este cunoscut. S se afle valorile pe care le poate avea F astfel nct punctul material s se afle n echilibru cu frecare pe planul nclinat, conform figurii 3.8.Rspuns: G tg ( ) F G tg ( + ) .

32

a/2

4. REDUCEREA SISTEMELOR DE FORE OARECARE4.1. Operaia de reducere a unui sistem de fore n raport cu un punct oarecare. Torsor.Considerm un sistem de fore oarecare acionnd asupra unui solid rigid. Operaia prin care se determin efectele unui sistem de fore oarecare acionnd asupra unui solid rigid ntr-un punct oarecare al acestuia, poart numele de reducerea sistemului de fore n raport cu punctul amintit. Aceast operaie de reducere apeleaz la noiunile de rezultant ( R ) i de moment rezultant ( M O ) al unui sistem de fore n raport cu un punct:

M O = M i (O ) = ( M iOx )i + ( M iOy ) j + ( M iOz )k = = M Ox i + M Oy j + M Oz k

R = Fi = ( X i )i + ( Yi ) j + ( Zi )k = X i + Y j + Z k ;

(4.1) (4.2)

Se definete ansamblul celor doi vectori R i M O concureni n punctul O ca formnd torsorul sistemului de fore n punctul dat i se noteaz O ( R , M O ) .

Torsorul sistemului de fore reprezint un sistem de fore echivalent cu cel iniial, ns cu mult mai simplu. Noiunea de torsor permite formularea condiiei generale de echivalen a sistemelor de fore: Dou sau mai multe sisteme de fore acionnd asupra unui solid rigid sunt echivalente dac au acelai torsor definit n raport cu un acelai punct arbitrar.

4.2. Invarianii unui sistem de fore fa de punctul de reducereSe observ c rezultanta R a sistemului de fore este aceeai indiferent de punctul de reducere (reprezentnd primul invariant sau invariantul vectorial

33

al operaiei de reducere), n timp ce momentul rezultant M O variaz de la un punct de reducere la altul conform relaiei: M O1 = M O + O1O R (4.3) Al doilea invariant al sistemului de fore este invariantul scalar, reprezentat de produsul scalar R M O . Pentru a pune n eviden acest nou invariant, se nmulete scalar cu R relaia (4.3)

R M O1 = R M O + R (O1O R ) Este evident c produsul mixt R (O1O R ) = 0 i atunci rezult:R M O1 = R M O

(4.4)

Observaii:

Comparnd cei doi invariani trebuie s se fac unele precizri: Invariantul scalar este un numr i deci nu depinde n nici un fel de alegerea unui nou sistem de axe (translatat sau rotit). Invariantul vectorial (rezultanta) R ( X , Y , Z ) poate fi privit ca un vector liber la alegerea unui nou sistem de referin, dar parametrii si directori sunt invariani numai fa de sistemele de referine translatate. O combinaie a celor doi invariani conduce la definirea unui al treilea invariant, cu mult mai important dect al doilea invariant, privit din punctul de vedere al interpretrii mecanice. Acest invariant este proiecia momentului rezultant pe direcia rezultantei (dac R 0 ), care se noteaz cu M R : R MO M R = M O u R = M O cos( M O , R ) = (4.5) R i reprezint un raport a doi invariani. n relaia (4.5) u R este versorul rezultantei. Un sistem de fore are doi invariani: R i R M O sau R i M R .

Componenta momentului rezultant M R = M R u R reprezint un minim pentru mulimea vectorilor moment al oricrui sistem de fore care are R 0 , atunci cnd se schimb punctul de reducere.34

4.3. Torsor minim, axa centralCunoscnd sistemul de fore care acioneaz asupra unui solid rigid, se pune ntrebarea care este valoarea minim a torsorului i n ce puncte de reducere se stabilete aceast valoare. Dup cum s-a artat, la reducerea sistemelor de fore, din componena torsorului numai momentul se modific atunci cnd se modific punctul de reducere. Dac momentul rezultant M O se decompune n dou componente: M R (dup direcia rezultantei) i M N (dup direcia normalei la rezultant), se constat c la schimbarea punctului de reducere variaz numai componenta M N , n timp ce componenta M R este invariant. Concluzia este c valoarea minim a momentului rezultant M O este obinut n punctele pentru care componenta normal M N se anuleaz, iar valoarea acestui minim este: M R XM Ox + YM Oy + ZM Oz (4.6) = M MIN = M R= O R X 2 +Y2 + Z2 Prin urmare, torsorul minim este alctuit din rezultanta R i momentul minim M MIN = M MIN u R . Pentru sistemele de fore care au R = 0, noiunea de torsor minim nu are sens. Pentru a afla poziia punctelor de reducere pentru care torsorul este minim, se poate pune condiia ca M O s fie coliniar cu R , adic se restabilete condiia ca valoarea componentei normale M N s fie nul. Dac expresia rezultantei este: R = Xi + Yj + Zk , (4.7) fie O1(x,y,z) un punct pentru care se va scrie condiia de coliniaritate: (4.8) M O1 = M O + O1O R = R n care dezvoltm produsul vectorial: i j k M O1 = M Ox i + M Oy j + M Oz k + x y z = (4.9) X Y Z= ( M Ox yZ + zY )i + ( M Oy zX + xZ ) j + ( M Oz xY + yX )k

Condiia de coliniaritate (4.8) M O1 = R se poate scrie sub forma: M Ox yZ + zY M Oy zX + xZ M Oz xY + yX = = X Y Z ceea ce reprezint o dreapt obinut ca intersecia a dou plane. 35

(4.10)

Locul geometric al punctelor pentru care torsorul unui sistem de fore cu rezultant nenul este minim este o dreapt care se numete axa central. Observaie:

Dac M R = 0 , atunci axa central se identific cu suportul rezultantei, deoarece torsorul minim are forma particular: min ( R ,0) .

4.4. Cazurile de reducere ale unui sistem de fore oarecare. Sisteme echivalente.Clasificarea sistemelor de fore se poate face n sisteme echivalente cu zero i sisteme de fore oarecare. Sistemele de fore oarecare se clasific la rndul lor, n sisteme de fore echivalente cu unul din cele dou elemente de baz ale staticii (fora i cuplul), apoi n sisteme generale (numite i diname). Funcie de componentele torsorului sistemului de fore desprind urmtoarele cazuri de reducere:

O

( R , M O ) , se

1) R = 0 i M O = 0 , adic torsorul este nul O (0,0) caz n care sistemul de fore este n echilibru sau sistemul de fore este echivalent cu zero; 2) R = 0 i M O 0 , sistemul de fore dat este echivalent cu un cuplu, iar torsorul se scrie O (0, M O ) ; 3) R 0 i M O = 0 , adic torsorul este alctuit numai din rezultant, O (R ,0) . Sistemul de fore este echivalent n acest caz cu o singur for (rezultanta, al crei suport trece prin punctul de reducere O. Se noteaz prescurtat RUT-O (rezultant unic care trece prin O). 4) R 0 i M O 0 este cazul n care este necesar introducerea unui al treilea criteriu de clasificare: invariantul scalar. Astfel se deosebesc subcazurile: a) R M O = 0 , adic R M O , sau componenta M R = 0 conduce la stabilirea sistemului echivalent cel mai simplu a unei fore unice (rezultanta) care nu trece prin punctul de reducere O. Se noteaz prescurtat RUNT-O (rezultant unic care nu trece prin O). n punctele situate pe axa central, 36

M MIN = 0 , adic MIN (R ,0) , iar axa central coincide cu suportul rezultantei. Se aplic n acest caz teorema lui Varignon. b) R M O 0 , este cazul sistemelor de fore generale, sistemul de fore este echivalent cu o dinam, iar torsorul mimin MIN ( R , M MIN ) are ca dreapt suport axa central.Concluzia este c sistemele de fore pot fi clasificate n dou mari categorii: sisteme particulare de fore (echilibru, cuplul i rezultanta unic care trece sau nu prin punctul de reducere) i sisteme generale (diname). Sinteza cazurilor discutate este prezentat n tabelul urmtor: Tabelul 4.1. Cazurile de reducere ale sistemelor de foreNr. caz

R0 0

MO0

R MO0 0 0 0

Cazul de reducereEchilibru Cuplu Rezultant unic care trece prin punctul de reducere O (RUT-O) Rezultant unic care nu trece prin punctul de reducere O (RUNT-O). Dinam

Sisteme de fore

1. 2. 3. 4.a)

*0

* *

Particulare

b)

*

*

Generale

Not: * - rezultanta R sau momentul rezultant M O sunt nenule.

4.5. Aplicaii A4.1. Dou fore F1 i F2 avnd fiecare mrimea P 2 , acioneaz pe feelelaterale ale cubului de latur a cunoscut (fig. 4.1, a). S se stabileasc torsorul sistemului de fore n raport cu punctul O, apoi cazul de reducere i s se reprezinte sistemul echivalent cel mai simplu.Rezolvare: Expresiile analitice ale celor dou fore sunt: F1 = Pj + Pk ; F2 = Pj + Pk . Vectorul rezultant se obine: R = F + F = 2 Pk . Momentul rezultant al sistemului de fore fa de punctul O se afl sumnd momentele forelor, calculate n raport cu acelai punct O:1 2

37

i M O ( F1 ) = OA1 F1 = a 0 i

j 0 P j

k 0 = aPj + aPk P k 0 = aPi P

M O ( F2 ) = OA2 F2 = 0 a 0 P

Momentul rezultant este: M O = M O ( F1 ) + M O ( F2 ) = aP(i j + k ) n concluzie, torsorul n punctul O al sistemului celor dou fore este: R = 2 Pk ; M O = aP(i j + k ) Acesta este reprezentat n figura 4.1, b. La stabilirea cazului de reducere este necesar s se calculeze mai nti invariantul scalar: R M O = 2aP 2 0 .z z z

R MR

F2 a O F1x a a y

MO

R OA. C.

Ox

y x

y

a

bFig. 4.1.

c

Cazul de reducere este 4, b deoarece R 0; M O 0; R M O 0 , iar sistemul echivalent cel mai simplu este torsorul minim, constituit din rezultanta R = 2 Pk i momentul minim. Aceste din urm se calculeaz cu relaia (4.6): 2aP 2 M MIN = M R = = aP i deci M MIN = M MIN u R = aP k . 2P Torsorul minim se gsete pe axa central care a crei expresie analitic se obine nlocuind proieciile rezultantei i momentului rezultant n (4.10): aP y 2 P + 0 aP 0 + x 2 P aP 0 + 0 = = 0 0 2P Deoarece rezultanta nu are proiecii pe axele Ox i Oy, atunci expresiile de la numrtorul primelor dou rapoarte se egaleaz cu zero i deci y = a/2 x = a / 2

38

Axa central este dreapta paralel cu axa Oz i se obine la intersecia celor dou plane paralele cu planele de referin xOz i yOz. Pe aceast ax central se reprezint torsorul minim (fig. 4.1, c).

A4.2. Corpul prismatic din figura 4.2, a este acionat de dou fore cunoscute nmodul: F1 = P i F2 = 3P . S se calculeze torsorul n punctul O i B i s se reprezinte sistemul echivalent cel mai simplu.z z a 2

B(0,a,2a)2a

F2 O

F12a y x

O

R

a a y

x

a

MR

aFig. 4.2.

b

Rspuns: R = 2 Pi + 2 Pk ; M O = 2aPi 2aPj; M B = M O + BO R = 2aPj 2aPk Axa central se afl la intersecia planelor: x + z = a ; y = a / 2 , iar

momentul minim este: M MIN = aPi aPk (fig. 4.2, b).

A4.3. Se cere s se afle fora F3 i coordonatele punctului C din planul xOy princare trece suportul ei, astfel nct reducnd sistemul de fore n punctul O (fig 4.3), sistemul s fie echivalent cu un cuplu paralel cu axa Oy. F1 = F2 = P 2.z

Rspuns: Dac expresia forei necunoscute F3 este: F3 = X 3 i + Y3 j + Z 3k , atunci din condiia ca rezultanta s fie nul R = F1 + F2 + F3 = 0 , se stabilete: X 3 = 0; Y3 = 2 P; Z 3 = 0. Momentul forei F3 se calculeaz funcie de coordonatele

F2

a 2a 2a y

Ox

F1

punctului C(xC, 0, zC): M O ( F3 ) = 2 zC Pi 2 xC Pk . Condiia ca momentul rezultant s fie un vector 39

Fig. 4.3.

coliniar cu axa Oy, este ca proieciile acestuia pe axele Ox i Oz s fie nule: M Ox = aP + 2 zC P = 0 xC = a M Oz = 2aP 2 xC P = 0 zC = a / 2

A4.4, A4.5. Un corp de forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza un ptratde latur 2a i nlime a este acionat de patru fore avnd aceeai mrime P (fig. 4.4 i 4.5). S se stabileasc pentru fiecare caz n parte: a) torsorul n origine i s se reprezinte acesta; b) cazul de reducere; c) ecuaia axei centrale; d) torsorul minim i s se reprezinte acesta.z z

F3 F4x

F2 O2a

a 2a y

F2 O

F1 F3 F4

a 2a y

F1 Fig. 4.4.

x

2a

Fig. 4.5.

Rspuns: A4.4: a) O ( R = Pj + Pk ; M O = 2 Paj + 2 Pak ) ; b) Cazul 4a: RUNT-O ( R M O = 0 ); c) Intersecia a dou plane: (P1): x = 2a i (P2): y z = 0; d) MIN ( R = Pj + Pk ; M R = 0) . A4.5: a) O ( R = 2 Pk ; M O = 2 Pai 3Paj 2 Pak ) ;

b) Cazul 4b: dinam ( R M O = 4 P 2 a 0 ); c) Intersecia a dou plane: (P1): x = -1,5a i (P2): y = a; d) MIN ( R = 2 Pk ; M R = 2 Pak ) .

40

5. REDUCEREA SISTEMELOR DE FORE COPLANARE I A SISTEMELOR DE FORE PARALELE. CENTRUL FORELOR PARALELESistemele de fore coplanare i sistemele de fore paralele fac parte din categoria sistemelor de fore particulare, adic acele sisteme de fore la care invariantul scalar este nul ( R M O = 0 ).

5.1. Reducerea sistemelor de fore coplanareFie un sistem de fore coplanare de forma:

Fi = X i i + Yi j ; i=1,,n

(5.1)

Sistemul de fore coplanare aflat n planul xOy, se reduce ntr-un punct arbitrar O (formeaz un sistem echivalent n acel punct) la un torsor de tipul:

O

R = X i + Y j M O = M Oz k = ( xY y X ) k

(5.2)

Sistemul echivalent cel mai simplu (torsorul minim) este:R = X i + Y j min R M O R =0 M min = R2

(5.3)

Aadar, sistemul de fore coplanare se poate reduce la o rezultant unic, al crui suport este axa central. Ecuaia axei centrale, care rezult prin particularizarea expresiei generale a axei centrale din relaia (4.10), este de forma:M Oz xY + yX = 0

(5.4)

Relaia (5.4) reprezint ecuaia unei drepte care intersecteaz axele de M M coordonate Ox i Oy n punctele: A Oz , 0 i B 0 , Oz . X Y 41

Observaii: n cazul sistemelor de fore coplanare care admit o rezultant nenul, se poate aplica teorema lui Varignon, deoarece sistemul se reduce la o rezultant unic:MO = Rd

(5.5)

unde: d este braul rezultantei. Avnd n vedere c vectorii rezultant R i moment rezultant M O sunt ntotdeauna ortogonali (R M O = 0 R M O ) , n cazul sistemelor de fore coplanare nu exist cazul de reducere numrul 4,b (dinam). Celelalte cazuri de reducere: echilibru, cuplu, rezultant unic al crui suport trece (RUT-O) / nu trece (RUNT-O) prin punctul de reducere, rmn ns valabile (vezi tabelul 4.1, pagina 37).

5.2. Reducerea sistemelor de fore paraleleFie un sistem de fore paralele cu axa Oz, de forma: Fi = Z i k , i = 1,, n (5.6) Un astfel de sistem de fore paralele cu axa Oz, n urma operaiei de reducere fa de un punct arbitrar O, formeaz un torsor care are urmtoarele componente:

O

R = Z k M O = M Ox i + M Oy j

(5.7)

Sistemul de fore paralele se poate reduce la o rezultant unic iar torsorul minim al forelor este:

min R = Z k

M min = 0

(R M O = 0 )

(5.8)

Axa central este o dreapt paralel cu axa Oz care neap planul xOy n punctul A(x , y), iar coordonatele x i y au urmtoarele expresii:n xi Fi M Oy x = = i =1 Z Z n yi Fi M Ox i =1 = y = Z Z

(5.9)

42

S-a presupus c rezultanta R are proiecia pe axa Oz pozitiv (Z > 0), iar forele componente ale sistemului Fi intersecteaz planul xOy n punctele Ai(xi , yi).Observaie: Observaiile fcute n subcapitolul 5.1. n cazul sistemelor de fore coplanare, rmn valabile i pentru sistemele de fore paralele, ca pentru orice sistem de fore particulare.

5.3. Centrul forelor paralelePentru a exista un astfel de punct al centrului forelor paralele, notat cu C, sistemul de fore paralele trebuie s ndeplineasc urmtoarele condiii: rezultanta s fie diferit de zero (R 0 ) ; forele s fie vectori legai. Centrul forelor paralele este un punct fix C ( xC , yC , zC ) prin care trece dreapta suport a rezultantei R i reprezint chiar punctul de aplicaie al acesteia. innd cont de condiiile de mai sus, rezultanta este un vector legat.

Coordonatele centrului forelor paralele C vor fi:n n xi Fi xi Fi xC = i =1 = i =1 n R Fi i =1 n n yi Fi zi Fi i =1 , zC = i =1 yC = n n Fi Fi i =1 i =1

(5.10)

n cazul forelor paralele cu axa Oz, avem : Fi = R = Z = Z i .i =1 i =1

n

n

Observaie: Sumele de la numrtor, din relaiile (5.9) i (5.10) se numesc momente statice i sunt sume algebrice. Fiecare proiecie a forei Fi a sistemului i respectiv, fiecare coordonat xi, yi sau zi, particip la sumare cu semnul lor.

43

Dac numrul forelor paralele ale sistemului tinde spre infinit (cazul forelor paralele distribuite), n expresiile coordonatelor xC , yC i zC , sumele finite ( ) devin integrale ( ), iar forele Fi devin fore elemntare dF. Astfel, relaiile (5.10) devin:

xC =

D xdF D dF

, yC =

D ydF D dF

, zC =

D zdF D dF

(5.11)

Poziia centrului forelor paralele C ( xC , yC , zC ), are urmtoarele proprieti: nu se schimb dac forele (vectori legai) care alctuiesc sistemul i modific direcia continund s rmn paralele ntre ele; nu se modific dac toate forele sistemului sunt multiplicate cu o mrime scalar; este invariabil n raport cu forele, deci nu depinde de sistemul de axe considerat.

5.4. Aplicaii A5.1. Se consider sistemul de fore coplanare din figura 5.1, a, alctuit dinpatru fore de mrimi cunoscute: F1 = P 13 , F2 = 3P , F3 = 2 P 2 i F4 = 5 P . Valorile lui P(kN) i a(m) sunt date. S se reduc sistemul de fore coplanare n raport cu punctul O i apoi s se calculeze i s se reprezinte grafic sistemul echivalent cel mai simplu.Rezolvare: 1) Se reduce sitemul de fore n raport cu polul O, adic se calculeaz torsorul O al sistemului de fore n raport cu punctul O.

Acest operaie presupune calculul celor dou componente vectoriale: rezultanta sistemului de fore R i momentul rezultant M O al forelor n raport cu punctul O.

1.a) Calculul rezultantei R a sistemului de fore

Se aplic metoda analitic de calcul: fiecare for a sistemului se descompune n componente paralele cu axele sistemului de referin (fig. 5.1, b), stabilind proieciile forelor pe axe i n final, scriind analitic forele.

44

y A4 B1

F4F3

B2

A3a a

y

F4 X 4F3

X3

B3 F1 F2

Y3 F2 Y2 x a ab

a

a

F1

Y1

a

O a a A1 aa

a

O a X1 a

a

A2 a

x

Fig. 5.1.

F1 = F1 cos i + F1 sin j = = P 13 3a 2a j = 2 P i + 3P j i + P 13 a 13 a 13

F2 = F2 j = 3P jF3 = F3 cos i F3 sin j = 2 P 2 2 2 i 2P 2 j = 2 P i 2 P j 2 2

F4 = F4 i = 5P iObservaie: Se observ c forele Fi , se puteau calcula analitic i folosind relaia (1.4), exprimnd fora n funcie de versorul direciei sale. Vom exemplifica doar pentru fora F1 :

F1 = F1u1 = F1

(0 2a )i + (3a 0) j = A1B1 = P 13 A1B1 (2a )2 + (3a )2 2a i + 3a j = 2 P i + 3P j a 13

= P 13

Rezultanta are urmtoarea expresie analitic (care se obine n urma aplicrii teoremei proieciilor):45

a

R = Fi = ( 2 P + 0 2 P + 5P )i + (3P + 3P 2 P + 0 ) j = P i + 4 P ji =1

4

Mrimea rezultantei este:R = P 2 + (4 P )2 = P 17

1.b) Calculul momentului rezultant M O , al sistemului de fore, n raport cu polul O Calculul momentului rezultant M O se poate efectua n dou variante: modul analitic:M O = M O (F i ) = OA1 F1 + OA 2 F2 + OA 4 F4 =i =14

i = 2a

j

k

i

j k

i

j

k

0 2 P 3P

0 + 3a 0 0 + 0 4a 0 5P 0 0 5P 0

0= 0

= 6aP k + 9aP k 20aP k = 5aP k ( M O (F3 ) = 0 deoarece punctul O aparine suportului forei F3 )

aplicnd teorema lui Varignon (fig. 5.1, b):M O = Y1 2a + Y2 3a + X 3 4a Y3 4a X 4 4a = 6aP + 9aP 20aP = 5aP 14 244 4 3=0

M O = 5aP k

Torsorul sistemului de fore n raport cu punctul O este:

O

R = P i + 4P j

M O = 5aP k

2) Se verific calculul torsorului sistemului de fore n punctul O (ales n etapa precedent).

Verificarea se poate efectua n dou moduri: aplicnd teorema lui Varignon dac nu a fost utilizat la punctul 1.b pentru calculul momentului rezultant M O ; aplicnd relaia (4.3) pentru care se calculeaz momentul rezultant al sistemului de fore n raport cu alt punct, aa cum se va prezinta n continuare.

46

Se calculeaz momentul rezultant al forelor sistemului n raport cu punctul A3 , care a fost ales din motive de simplificare a calculului:M A3 = M A3 (F i ) = A3 B1 F1 + A3 B2 F2 =i =14

i = 4a 2P

j a

k

i

j

k

3P

0 + a 0 0 0 3P

0 = 14aP k 3aP k = 17aP k 0

Se aplic relaia (4.3) i rezult:

i

j

k 0= 0

M O = M A3 + OA3 R = 17aP k + 4a 4a P 4P

= 17aP k + 12aP k = 5aP kceea ce nsemn c momentul rezultant M O a fost calculat corect.3) Se stabilete cazul de reducere. M O 0 Sistemul de fore coplanare se reduce la cazul RUNT-O R M O = 0 R 0

4) Se calculeaz torsorul minim al sistemului de fore.R = P i + 4P j min (R M O ) R = 0 M min = R2

5) Se exprim ecuaia axei centrale, conform relaiei (5.4):M O xY + yX = 0 5aP x 4 P + yP = 0 5a 4 x + y = 0

Punctele de intersecie ale axei centrale (notat cu A.C.) cu axele Ox i Oy 5a vor fi: P1 (0 , 5a ) i P2 , 0 . 4 6) Se reprezint grafic sistemul echivalent cel mai simplu: o rezultant unic pe axa central (fig. 5.2). 5aP = 1,21a . Se observ c: M O = Rd , unde d = 17 P

47

Aceasta se poate verifica foarte uor, braul rezultantei d fiind nlimea triunghiului dreptunghic OP1P2.y P (0,5a ) 1 Axa Central (A.C.)

R

5 P2 a,0 4

d

O a a a a

a

a

a

a

x

Fig. 5.2.

A5.2. Se consider sistemul de fore paralele din figura 5.3, a. Forelecomponente au mrimile cunoscute: F1 = F , F2 = 5 F , F3 = 4 F , F4 = 2 F iar OA = 2l , AB = l i BC = 3l . Valorile lui F(kN) i l(m) sunt date. S se reduc sistemul de fore coplanare n raport cu punctul O i apoi s se calculeze i s se reprezinte grafic sistemul echivalent cel mai simplu.Rezolvare: 1) Calculul torsorului sistemului de fore paralele n raport cu polul O ( O ):

R = ( F1 + F2 + F3 F4 ) j = ( F + 5F + 4 F 2 F ) j = 6 F jM O = F2 OA + F3 OB F4 OC = 5 F 2l + 4 F 3l 2 F 6l = 10 Fl

M O = 10 Fl k

O

R = 6F j

M O = 10 Fl k

48

y

F2

yF3

R

O F1

C A B F4a

x

O

D xC A.C. x

b

Fig. 5.3.2) Verificarea torsorului forelor O , n raport cu punctul O.M A = F1 OA + F3 AB F4 AC = F 2l + 4 F l 2 F 4l = 2 Fl

M A = 2 Fl ki M O = M A + OA R = 2 Fl k + 2a 0 j 0 6F k 0 = 2 Fl k + 12 Fl k = 10 Fl k 0

Relaia de mai sus se verific, deci calculul a fost efectuat corect!3) Identificarea cazului de reducere. M O 0 cazul 4a (RUNT-O) R M O = 0 R 0

4) Calculul torsorului minim al sistemului de fore paralele.

R = 6F j min M min = 0

5) Ecuaia axei centrale

Este suficient s calculm doar xC, adic abscisa punctului D (fig. 5.3, b), pentru c axa central, fiind suportul rezultantei, va fi paralel cu Oy. 49

xC =

Fi xii =1 4

4

=

Fii =1

F1 0 + F2 OA + F3 OB F4 OC M O 10 Fl = = = 1,67l R F1 + F2 + F3 F4 6F

6) Reprezentarea rezultantei unice a fost realizat n figura 5.3, b. Observaie:

Dac considerm forele Fi ca fiind vectori legai cu punctele de aplicaie n O, A, B i C, atunci i rezultanta va fi un vector legat avnd originea n punctul D.

A5.3. tiind c sistemele de fore coplanare din figura 5.4. sunt reprezentate lascar, s se determine torsorul forelor n origine i s se reprezinte sistemul echivalent cel mai simplu, n toate cele patru cazuri. Se cunosc: mrimea diviziunii caroiajului a(m) i mrimea forei P corespunztoare unei diviziuni.

y

F1 F3 F2 ya

F3 x

y

F1 F2

O

Ob

x

F1 F2 F3 xc

y F1 O F3 F2 x

F4

F4d

Fig. 5.4.Rspuns:

a) b) c) d)

R Pi Pj 2 Pi 3 Pi 2 P j

MO 8aPk 24aPk 22aPk 2aPk

Ecuaia axei centrale y = 8a x = 24a y = 11a 2 x 3 y = 2a

50

A5.4. Se dau sistemele de fore coplanare din figura 5.5 pentru care se cunoscmrimile tuturor forelor: F1 = 2 P 10 , F2 = 4 P , F3 = 3P i F4 = 2 P 2 . S se determine i s se reprezinte grafic torsorul forelor n origine i sistemul echivalent cel mai simplu. Se cunosc: mrimea diviziunii caroiajului a(m) i mrimea P(kN).Rspuns:R Pi + 2 Pj 0 5 Pi 4 Pj 3 Pj

MO4aPk 12aPk 14aPk 20aPk

a) b) c) d)

Ecuaia axei centrale 2 x y = 4a 4 x + 3 y = 14a 3 x = 20a

y F3

y

F1

F2 OaF1

x

O

F4

F2 xb

y

y

F4

F1

F4

F3

F3

F2 F2

O

xc

Od

F1 x

Fig. 5.5. 51

A5.5. Un sistem de fore paralele de mrimi cunoscute: F1 = P , F2 = F4 = 2 P ,

F3 = 4 P i F5 = 3P , acioneaz pe un paralelipiped dreptunghic conform figurii 5.6. Fiind date valorile pentru P(kN) i a(m), se cere:

a) s se calculeze i s se reprezinte grafic torsorul forelor n punctul O; b) s se determine suportul rezultantei; c) considernd sistemul de fore ca fiind vectori legai i avnd punctele de aplicaie cunoscute (fig. 5.6), s se determine centrul forelor paralele.Rspuns:

F3 z

F2

F1

A(2a,2a )

O B(2a,2a ) y C (2a,4a )

a) R = 2 Pk

M O = 2aPi + 5apj ;13 5 c) C a, a, a . 2 2

xF4

F5Fig. 5.6.

A5.6. Pentru sistemul de fore paralele din figura 5.7 se cunosc: mrimile

forelor F1 = 5 P , F2 = 2 P , F3 = P , F4 = 3P i F5 = 4 P , valorile lui P(kN) i a (m). Punctele de aplicaie ale forelor sunt indicate pe figur. S se determine: a) torsorul forelor n punctul O; b) centrul forelor paralele.F2

z

F1

Rspuns:

OF3

a) R = Pk ,

A( a,3a,0 ) B(a,2a,0 ) E (2a,4a,0) y

M O = 2aPi + 20apj .b) C ( 20a,2a,0 ).

C (3a,2a,0 ) x

D(4a, a,0 )F5 F4

Fig. 5.7. 52

6. CENTRE DE MAS PENTRU BARE I PLCI OMOGENE6.1. Centre de mas pentru bare omogeneSe consider o bar avnd masa total M uniform distribuit pe lungimea ei (notat L). Se spune c bara este omogen atunci cnd densitatea unitii de lungime = M/L este constant. Presupunem c bara se afl n planul xOy i este alctuit din elemente simple (segmente de bar rectilinii, circulare, etc). Deoarece lungimile elementelor (li) i poziiile centrelor de mas Ci(xi,yi) ale acestora se cunosc ntr-un sistem de axe dat, atunci poziia centrului de mas al barei alctuit din astfel de elemente, are expresia :

xC = i =1n

li xi;

n

lii =1

yC = i =1n

li y i(6.1)

n

lii =1

6.2. Centre de mas pentru plci omogenePentru o plac plan omogen care poate fi descompus n subdomenii simple ca form (cu ariile Ai i coordonatele centrelor de mas Ci(xi,yi) cunoscute), centrul de mas al plcii este dat de :

xC = i =1n

Ai xi;

n

Aii =1

yC = i =1n

Ai yi(6.2)

n

Aii =1

Observaii : Dac domeniul dat (bar sau plac) este repartizat n spaiul tridimensional, atunci relaiile (6.1) i (6.2) conin i a treia coordonat a centrului de mas care are expresia similar primelor dou. Utilizarea teoremelor Pappus-Guldin permite calculul ariei laterale (Al) i a volumului (V) pentru corpurile de rotaie, cu formulele : (6.3) Al = 2 LAB d unde LAB este lungimea barei omogene care prin rotaie, genereaz aria lateral, iar d este distana de la centrul de mas al barei la axa de rotaie ; V = 2 Ap d (6.4) unde Ap este aria plcii omogene care prin rotaie genereaz volulmul, iar d este distana de la centrul de mas al plcii, la axa de rotaie. 53

6.3. Etape n rezolvarea problemelor1) Se analizeaz geometria domeniului dat pentru a-l diviza ntr-un numr minim de subdomenii simple (vezi Anexa A). 2) Pentru fiecare subdomeniu se reprezint poziia centrului de mas. 3) Se alege un sistem unic de axe care este ataat domeniului dat. La aceast alegere sunt importante dou criterii pentru uurina rezolvrii problemei : 3.1. Definirea centrelor subdomeniilor s fie ct mai uor de stabilit n sistemul de axe ales. 3.2. Atunci cnd este posibil, axele s treac prin ct mai multe centre de mas ale subdomeniilor. ndeplinirea celui de-al doilea criteriu micoreaz numrul operaiilor elementare de calcul. n acest sens, pentru cazul particular al simetriei de reflectare n raport cu o ax coninut n planul domeniului, una dintre axele sistemului trebuie s fie axa de simetrie, deoarece centrul de mas aparine acestei axe. 4) Se stabilete caracteristica geometric (lungimea sau aria) fiecrui subdomeniu i a cordonatelor corespunztoare fiecrui centru de mas. 5) Utiliznd dup caz relaiile (6.1) sau (6.2), se calculeaz coordonatele centrului de mas cerut. 6) Se reprezint poziia centrului de mas.

6.4. Aplicaii A6.1. S se determine poziia centrului de mas pentru bara omogen dinfigura 6.1, a cunoscnd raza R = 3a.1

y3a

3

y O O3 C3yC

3a 3a

R=3a

O2

O3 C3

x

x

C2 3a 3a 3a

3a

3a 3a

C2 C xC

3a

aRezolvare:

bFig. 6.1.

c

1) Bara este alctuit din trei bare elementare (fig. 6.1, b): dou bare rectilinii (numerele 1 i 2) i o bar semicircular (numrul 3). 2) Se reprezint centrele de mas ale celor trei bare elementare.

54

3) Se alege un sistem de referin care are originea n centrul barei 1, axa orizontal Ox prin centrul de mas ale barei 3, iar axa vertical Oy prin centrul barei numrul 2 (fig. 6.1, b). Alegerea acestui sistem de axe ortogonal conduce la stabilirea a patru coordonate nule din ase pe care le au centrele celor trei elemente, ceea ce imprim avantajul unui numr minim de operaii aritmetice la calculul centrului de mas al barei date. 4) Este necesar stabilirea pentru fiecare element n parte, a lungimii sale i a coordonatelor centrului de mas corespunztor elementului : l3 = 3 a l1 = 6a l2 = 6a Elem. 1 x1 = 0 Elem. 2 x2 = 0 Elem. 3 x3 = 3a + 6a / y = 0 y1 = 0 y2 = 3a 3

Se folosete relaia O3C3 = R

sin 3

calculul coordonatei x3 = OO3 + O3C3 .

3

n care 3 =

2

(vezi anexa A), la

5) Se aplic relaia (6.1) pentru cele trei bare elementare (n = 3) : 3 6a 3 a (3a + ) li xi l3 x3 = 3(2 + ) a 2,16a = = xC = i =1 3 4+ l + l + l 6a + 6a + 3 a li 1 2 3i =1

yC =

l yi =1 i

3

i

li =1

3

=

i

l2 y2 6 a 6a (3a ) = = 0,84a l1 + l2 + l3 3a (4 + ) 4 +

6) Reprezentarea centrului de mas este prezentat n figura 6.1, c. La final se poate aprecia poziia centrului de mas ca fiind plasat n interiorul triunghiului format de centrele de mas ale celor trei elemente de bar, ceea ce reprezint n cazul problemei de fa o verificare calitativ a rezultatului.

A6.2. S se determine poziia centrului de mas pentru bara omogen dinfigura 6.1, a cunoscnd raza R.Rezolvare: 1) Bara se consider ca fiind alctuit din trei bare elementare A1O (bar semicircular), OA (bar rectilinie) i A2A3 (bar sfert de cerc). 2) Se reprezint poziiile centrelor C1, C2 i C3 (fig. 6.2, b).

55

A1 O1R

A3

A1 O1 O22R

y

1

C3 A3 C1R

C3 C O2 C2

A2

O

2

2R

A2 x

4R

4R

a

Fig. 6.2.

b

3) Se alege ca sistem de referin, sistemul care ncadreaz bara, aceasta fiind plasat n primul cadran ; cotele centrelor C1, C2 i C3 sunt uor de identificat (fig. 6.2, b). 4) Se scriu lungimile i coordonatele ale centrelor de mas pentru fiecare element: l1 = 2R / 2 = R l3 = 2 2 R / 4 = R l2 = 4 R sin 1 2 R A1O x1 = O1C1 = R ; OA2 x2 = 2 R ; A2 A3 x3 = 2 R + C2C3 cos / 4 = 1 y = 0 4R 2 y1 = R y3 =

unde distana C2C3 (v. anexa A) se determin pentru unghiul 2=/4 cu relaia: C2C3 = (2 R ) sin 2

2

= 2R

sin( / 4) 4 R 2 = /4 TABELUL 6.1. lixi liyi(5) (6) 2

5) Calculele se efectueaz folosind tabelul 6.1:

Corpul (i)(1)

li (2)

xi(3)

yi(4)

A1O (1) OA2 (2) A2A3 (3)

R4R R

2R/ 2R 2R+4R/

R 0 4R/

2R 8R2 2R2+4R2

R20 4R2

Sumnd valorile din coloana a doua, se stabilete lungimea total a barei care este L = li = 2 R(2 + ) , iar apoi sumnd valorile din coloana a cincea ii =1 3

56

respectiv a asea, se afl momentele statice care sunt: S y = Ai xi = 2 R 2 (7 + )i =1

3

i S x = Ai yi = R 2 (4 + ) .i =1

3

Utiliznd relaiile (6.1) obinem coordonatele: Sy 7 + S 4+ = xC = R 1,97 R; yC = x = R 0,69 R L 2 + L 2(2 + )6) Centrul de mas C este reprezentat n figura 6.2, b.

A6.3. Placa omogen trapezoidal are dimensiunile cunoscute: B, b i h(fig. 6.3, a). S se calculeze cota yC a centrului de mas. y h B x b/2 b y h/2 x y h/3 b+(B-b)/3

x

aFig. 6.3.

b

c

Rezolvare: Exist mai multe variante de descompunere a plcii trapezoidale ntr-un numr minim de elemente simple (dou). Astfel se pot condidera urmtoarele cazuri de mprire a unui trapez : un dreptunghi i un triunghi, un dreptunghi din care se scade un triunghi i dou triunghiuri. Se prezint primele dou cazuri de descompunere. Cazul 1. Placa trapezoidal se poate descompune ntr-o plac dreptunghiular cu aria A1= bh i coordonata centrului de mas y1=h/2 (fig. 6.3, b), precum i ntr-una triunghiular cu aria A2=(B-b)h/2 i coordonata centrului de mas y2=h/3 (fig. 6.3, c). Sistemul de axe ales plaseaz placa trapezoidal n primul cadran, cu toate coordonatele centrelor pozitive. Utiliznd relaia (6.2), se calculeaz: bh 2 ( B b)h 2 + A1 y1 + A2 y 2 h( B + 2b) 2 6 yC = = = ( B b) h A1 + A2 3( B + b) bh + 2 Cazul 2. Se consider o plac dreptunghiular cu aria A1=Bh (fig 6.4, b), din care se scade o plac triunghiular cu aria A2=(B-b)h/2 (fig. 6.4, c).

57

y h

b

y h/2 x

y 2h/3 b+2(B-b)/3 x

B

x

B/2

aEvident se obine acelai rezultat:

bFig. 6.4.

c

Bh 2 2( B b)h 2 A1 y1 A2 y 2 h( B + 2b) 2 23 yC = = = . ( B b) h A1 A2 3( B + b) Bh 2

A6.4. S se determine poziia centrului de mas pentru placa omogen dinfigura 6.5, a. Raza cercului R este cunoscut. R R R R R Ra b

=R

R

Fig. 6.5.Rezolvare:

Placa se descompune n urmtoarele patru plci simple (fig 6.5, b) avnd urmtoarele forme: 1) ptrat cu latura R; y 2) semicerc cu raza R; 3) triunghi dreptunghic isoscel avnd catetele egale tot cu R; C4 C1 4) sfert de cerc cu raza R (deoarece acesta se x C3 scade, aria sa se consider negativ). C2 Calculele pot fi organizate n tabelul 6.2, n mod asemntor cu cel de la aplicaia A6.2. n figura 6.6 s-au reprezentat centrele de mas pentru fiecare plac simpl component, apoi s-a ales un sistem Fig. 6.6. de axe dup catetele triunghiului dreptunghic. 58

Corpul (i)(1)

Ai(2)

xi(3)

yi(4)

Aixi(5)

TABELUL 6.2. Aiyi

R R2/2 R2/2 R2/4

2

-R/2 0 R/3 R+4R/3

R/2 4R/3 R/3 R4R/3

R /2 0 R3/6 R3/4R3/3

3

R3/2 2R3/3 R3/6 -R3/4+R3/3

(6)

Se efectueaz sumele pe coloanele 2, 5 i 6, dup care se calculeaz coordonatele centrului de mas cu relaiile (6.2): R 3 (3 8) / 12 R (3 8) xC = 2 = = 0,052 R R (6 + ) / 4 3(6 + ) R 3 (4 3 ) / 12 R (4 3 ) = yC = 2 = 0,198 R 3(6 + ) R (6 + ) / 4

A6.5. S se calculeze pentru corpul de rotaie din figura 6.7 aplicnd relaiile(6.3) i (6.4) (teoremele Pappus-Guldin), cunoscndu-se raza R: a) aria lateral; b) volumul.Rezolvare:

a) Pentru calculul ariei laterale se consider bara omogen plan ABC din figura 6.8, care este alctuit din dou arce sfert de cerc, cu centrele cercurilor n O1 i O. y O1 R O O 45 C2 C Fig. 6.7. Fig. 6.8. A 45 C1 R B x O1

R

R

59

Centrele de mas C1 i C2 se gsesc pe bisectoarele arcelor. Se scrie : sin 45 2 R 2 O1C1 = OC 2 = R =

4 Cu relaia (6.3) se calculeaz aria corpului de rotaie : Al = 2 LABC d unde d reprezint distana msurat de la centrul de greutate al barei ABC la axa

de rotaie Oy : d =

l i xii =1 2

2

li =1

=

l xi =1 i

2

i

i

L ABC

; deci Al = 2 li xi = 2 (l1 x1 + l2 x2 ) .i =1

2

Dar l1 = l2 =

2 2 R , x2 = OC 2 cos 45 = R . 2 2 2 Dup nlocuiri, se obine aria lateral: Al = R ., x1 = R O1C1 cos 45 = b) Volumul corpului de rotaie se stabilete cu relaia (6.4), considernd placa omogen plan din figura 6.9, care este alctuit din trei domenii elementare plane : o plac ptrat OBO1A din care se scade placa sfert de cerc cu centrul n O1 i se adaug placa sfert de cerc cu centrul cercului n O. Placa din figura 6.9 se rotete n jurul axei Oy, iar distana d = xC. Volumul generat este : x V = 2A unde : Fig. 6.9. pentru placa ptrat : A1 = R 2 i x1 =

R

y

A 45 C2 C1 O1

O 45 C3 C

B

Axi =1 3

3

i i

Ai =1

= 2 Ai xii =1

3

i

R , pentru placa 2 4 R , iar pentru sfert de cerc O1AB care se scade : A2 = R 2 , x2 = R 4 3 4 R. placa sfert de cerc OBC : A3 = R 2 , x3 = 4 3 (14 3 ) 3 Rezult V = R = 2,4 R 3 . 6

60

7. CENTRE DE MAS PENTRU BLOCURI OMOGENE I CORPURI COMPUSE7.1. Centre de mas pentru blocuri omogeneFie un bloc omogen (avnd densitatea = M/V, constant), care poate fi descompus ntr-un numr i de subdomenii simple ca form i care au volumele Vi i coordonatele centrelor de mas Ci (xi, yi, zi) cunoscute. Poziia centrului de mas C (xC, yC, zC) al blocului omogen, n raport cu un sistem de referin xOyz, este dat de expresiile urmtoare:

xC = i =1n

Vi xi,

n

Vii =1

yC = i =1n

Vi yi Vii =1

n

, z C = i =1n

Vi zi Vii =1

n

(7.1)

7.2. Centre de mas pentru corpuri compuseSe consider ca fiind corpuri compuse, acele sisteme realizate din combinaii de mai multe tipuri de corpuri: puncte materiale, bare, plci, volume. Astfel, corpurile compuse reprezint sisteme eterogene de corpuri. Poziia centrului de mas C (xC, yC, zC) pentru corpurile compuse, n raport cu un sistem de referin xOyz, se determin cu relaiile urmtoare:

xC = i =1n

mi xi,

n

mii =1

yC = i =1n

mi yi mii =1

n

, z C = i =1n

mi zi mii =1

n

(7.2)

Observaii: n relaiile (7.1) i (7.2), numitorii reprezint volumul total al blocului i 61

respectiv masa total a corpului compus:

Vi = VBloc i mi = M Corp ;i =1 i =1

n

n

Volumele corpurilor de rotaie se pot determina i utiliznd relaiile (6.4) adic una din teoremele Pappus-Guldin; Etapele parcurse n rezolvarea problemelor n care intervin blocurile omogene sau corpurile compuse sunt similare cu cele descrise n subcapitolul 6.3 (pentru bare i plci omogene) existnd urmtoarele deosebiri:

elementele simple vor fi puncte materiale sau corpuri omogene (blocuri, plci, bare); coordonatele centrului de mas se vor calcula cu relaiile specifice: (7.1) n cazul blocurilor omogene, sau (7.2) n cazul corpurilor compuse.

7.3. Aplicaii A7.1. S se determine poziia centrului de mas pentru blocul (corpul) omogendin figura 7.1. Se cunoate valoarea lui R (m).Rezolvare: 1) Se mparte blocul omogen n corpuri elementare (simple)

Blocul omogen este alctuit din trei blocuri elementare:

corpul 1: semisfera de raz 3R ;corpul 2: cilindrul circular drept de raz R i nlime 4 R ; paralelipipedul dreptunghic avnd dimensiunile

corpul 3: 4R 4R R .

2) Se reprezint centrele de mas ale celor trei blocuri omogene elementare. 3) Se alege un sistem de referin convenabil.

Pentru blocul dat se adopt un sistem care are originea n centrul de mas C2 al corpului 2, iar axa vertical Oz n coinciden cu axa de simetrie a ntregului corp (fig. 7.1). Alegerea acestui sistem triortogonal de axe xOyz, conduce la simplificarea calculului deoarece axa Oz fiind ax de simetrie a corpului, atunci centrul de mas se va afla pe aceast ax, i atunci:xC = y C = 0 .

Aadar, trebuie calculat doar coordonata zC a centrului de mas.

62

4) Calculul volumelor i stabilirea coordonatelor centrului de mas pentru fiecare element simplu n parte.

Calculele se pot organiza fie ntr-un tabel, fie direct (n cazul cnd avem dea face cu puine corpuri simple), cum se prezint n continuare. z

C1 R 2RC

3R

y OC24R R

2R 2R

x C3

2R

2R

Fig. 7.1. Corpul 1 (semisfera): 2 V1 = (3R )3 = 18 R 3 3 z1 = 2 R + 3 (3R ) = 25 R C1 0,0, 25 R 8 8 8

Corpul 2 (cilindrul circular drept):V2 = R 2 (4 R ) = 4 R 3 z 2 = 0 C 2 (0,0,0 )

63

Corpul 3 (paralelipipedul dreptunghic):V3 = (4 R )(4 R )(R ) = 16 R 3

R 5 5 z3 = 2 R + = R C3 0,0, R 2 2 2 5) Se calculeaz coordonatele centrului de mas.

Se aplic relaiile (7.1), n cazul de fa doar pentru determinarea coordonatei zC a centrului de mas, deoarece xC = yC = 0 .

zC =

Vi zii =1 n

n

18 R 3 =

Vii =1

25 5 R + 4 R 3 0 + 16 R 3 R 8 2 = 1,61R 3 3 3 18 R + 4 R + 16 R

6) Reprezentarea centrului de mas al blocului (fig. 7.1).C (0; 0; 1,61R )

m1 = 3m (pentru semisfer), m2 = 2m (pentru cilindrul circular drept) i m3 = 5m (pentru paralelipipedul dreptunghic). S se determine poziia centrului de mas al corpului, cunoscndu-se m (kg).

A7.2. Pentru blocul din figura 7.1 se cunosc masele corpurilor simple:

Rezolvare:

Se alege acelai sistem de axe din aplicaia A7.2. i se calculeaz doar coordonata zC a centrului de mas (deoarece xC = yC = 0 ), aplicnd relaiile (7.2). Bineneles c z1, z2 i z3 rmn identice cu cele calculate n aplicaia A7.2. zC =

m zi =1 i

3

i

3m =

mi =1

3

25 5 R + 2 m 0 + 5m R 8 2 = 0,31R 3m + 2m + 5m

i

C (0; 0; 3,31R )

A7.3. S se determine poziia centrului de mas pentru corpul omogen dinfigura 7.2. Se cunoate a(m).Rspuns: C (0; 0,425a; 0,667 a )

64

z

3a4a

O y

4a

x Fig. 7.2

A7.4. S se determine poziia centrului de mas pentru corpul omogen dinfigura 7.3, cunoscndu-se a(m).Rspuns: C ( 0,056 a; 0,389 a; 0,833a )

z a a a a

O a x Fig. 7.3. 65 a a

y

A7.5. Fie corpul compus din figura 7.4, alctuit dintr-o plac omogen,semicircular, de mas m1 i o bar omogen, n form de semicerc, de mas m2 . Avnd n vedere c ambele corpuri au aceeai raz R, se cere s se determine raportul celor dou mase astfel nct centrul de mas al corpului compus s se afle n punctul C.

R=14,16a C

m2

2 Rspuns: m2 = m1 3

A7.6. Se consider corpul din figura 7.5,m1

alctuit dintr-un bloc omogen, n form de semisfer de raz cunoscut R i mas m1 i un altul n form de con circular drept de mas m2 . a) S se determine nalimea Fig. 7.4 conului hcon, astfel nct centrul de mas al corpului compus s se afle n punctul C. b) Considernd cunoscute densitile celor dou blocuri 1 i 2 , s se determine nlimea conului astfel nct centrul de mas al corpului compus din con i semisfer s se afle n acelai punct C?Rspuns: a) hcon =

3m1 R ; b) hcon = R 3 1 2m2 2

m2C

m1

Fig. 7.5. 66

8. STATICA SOLIDULUI RIGID8.1. Etape n studiul echilibrului sistemelor de fore acionnd asupra unui solid rigid n problema plan1) Stabilirea gradului de mobilitate i tipului de problem (direct, invers sau mixt). 2) Reprezentarea schemei de fore : - forele distribuite se nlocuiesc cu rezultanta lor (rezultanta are mrimea ariei suprafeei distribuiei, direcia i sensul aceleai cu al forelor paralele distribuite, iar suportul rezultantei trece prin centrul forelor paralele) ; - aplicnd axioma legturilor , se reprezint reaciunile din legturi ; 3) Se identific numrul de necunoscute i se stabilete n mod adecvat strategia de rezolvare, innd cont i de cerinele din enunul problemei ; 4) Scrierea condiiei de echilibru pentru solidul liber sau cu legturi ideale (fr frecare) sub una din urmtoarele trei variante : 4.1. Varianta I (fr restricii) X i = 0, (8.1,a) Yi = 0, M Oz = ( xiYi yi X i ) = 0. 4.2. Varianta II X i = 0, (8.1,b) M Az = M Az ( Fi ) = 0, M Bz = M Bz ( Fi ) = 0, cu restricia ca punctele A i B s nu se afle pe o direcie normal direciei axei de proiecie a forelor (aici axa Ox). 4.3. Varianta III M Az = M Az ( Fi ) = 0, (8.1,c) M Bz = M Bz ( Fi ) = 0, M Cz = M Cz ( Fi ) = 0, Pentru aceast variant, restricia este ca cele trei ecuaii de proiecie de momente (n raport cu axe paralele cu Oz) s fie scrise n raport cu trei puncte necoliniare A, B i C, puncte n care axele neap planul forelor xOy. n cazul legturilor cu frecare la alunecare se adaug condiiilor de echilibru (8.1) i inegalitile de forma: 67

Ti i N i (8.2) unde solidul are n rezemri punctuale cu frecare (i = 1,2,...,n), iar Ti, Ni i i sunt : fora de frecare, reaciunea normal i coeficientul de frecare la alunecare din reazemul i. n cazul legturilor cu frecare la rostogolire, se adaug condiiilor de echilibru (8.1) i inegalitile de forma: T N (8.3) M r sN (8.4) unde solidul reazem cu frecare la rostogolire, iar Mr i respectiv, s reprezint momentul de frecare la rostogolire i respectiv, coeficientul de frecare la rostogolire. Fenomenul de frecare la rostolire este nsoit de fenomenul de frecare la alunecare, iar relaiile (8.3) i (8.4) trebuie ndeplinite simultan pentru ca solidul sa-i pstreze starea de repaus. Starea limit de echilibru n condiiile prezenei frecrii este dat de considerarea egalitilor n locul inegalitilor din (8.2), (8.3) i (8.4).5) Verificarea rezultatelor se face scriind alt ecuaie de proiecie pentru echilibrul forelor din schema de fore de la punctul 2. 6) Interpretarea rezultatelor este o etap important mai ales atunci cnd sunt mai multe soluii care trebuie filtrate din punctul de vedere al limitrilor fizice sau reaciunile sunt negative, ceea ce nseamn c sensul lor este opus celui presupus iniial.

8.2. Aplicaii A8.1. Bara OA = 1,2 m este articulat n O i acionat de greutatea G = 250 N.tiind c bara are o greutate p = 100 N/m i c este acionat i de greutatea Q = 500 N, se cere s se afle distana OB la care se afl greutatea Q, astfel nct poziia de echilibru a barei s fie orizontal (fig. 12.2, a).

1,20p= 100 N/mG HO O VO a

0,60x BQ P b

G

A

O

x

BQ

A

Fig. 8.1.

68

Rezolvare: Bara OA are o posibilitate de a se roti n jurul articulaiei din O, deci are un grad de libertate. n poziia de echilibru, se reprezint schema de fore (fig. 8.1, b): - se nlocuiete articulaia (legtura) din O cu reaciunile necunoscute HO i VO; - fora uniform distribuit (greutatea proprie) se nlocuiete cu rezultanta ei: P=pOA=100 1,2=120 N care acioneaz n centrul de greutate al distribuiei, adic la jumtatea barei; - firul vertical din A se nlocuiete dup secionare cu tensiunea avnd intensitatea G. Necunoscutele din problem sunt reaciunile HO i VO, precum i distana x=OB la care acioneaz greutatea Q. Din cele trei ecuaii de proiecie (8.1, a), ultima furnizeaz relaia pentru calculul necunoscutei x: M O = 0 x Q 0,60 P + 1,20 G = 0 , rezult x = 0,456 m. Celelalte ecuaii de echilibru se scriu: X i = H O = 0, Yi = 0 VO Q P + G = 0, VO =370 N. Verificarea este ultima etap n rezolvarea unei probleme de static i aceasta este obligatorie. Se verific condiia ca momentul rezultant n alt punct, n A de exemplu, s fie identic nul: M A = 0,6 P + (1,20 x) Q VO 1,20 =

= 0,6 1,20 + (1,20 0,456) 500 370 1,20 = 72 + 372 444 = 0

A8.2. S se calculeze reaciunile din ncastrarea stlpului peron dinfigura 8.2, a. p=1kN/m C1,0

B

30

y0,3

CP MA Y4,0

F=2 kN

X

B

3,0

A1,2 1,8

HA VA

x

1,8

a

Fig. 8.2.

b

Rezolvare: Schema de fore este reprezentat n figura 8.2, b: - fora uniform distribuit p se nlocuiete cu rezultanta P=p(1,2+1,8)= = 3 kN, pe direcie vertical, n centrul forelor paralele al ncrcrii distribuite; - se descompune fora F: X = Fcos 30=1,732 kN, Y = Fsin30=1 kN;

69

- dup suprimarea ncastrrii, se reprezint cele trei necunoscute n A: HA, VA i MA. Condiia de echilibru se exprim prin sistemul de ecuaii: X h = H A + X = 0, Yh = VA P Y = 0;

= P 0,3 Y 1,8 X 4 + M A = 0. care se determin dup nlocuiri: HA=1,732 kN; VA = 4 kN; MA = 9,628 kNm. Verificarea se face punnd condiia ca suma momentelor forelor n raport cu un alt punct, de exemplu B, s fie identic nul: M B = P 1,5 Y 3 X 1 H A 3 + V A 1,2 + M A =A

M

= 3 1,5 1 3 1,732 1,732 3 + 4 1,2 + 9,628 0

A8.3. S se determine tensiunile din firele cu care este prins placa dinfigura 8.3, cunoscnd greutatea G = 40 N i dimensiunile plcii dreptunghiulare: AB = 30 cm, AD = 10 cm. Rspuns: T1 =25,98 N, T2 =15 N, T3 =30 N. 2 1T1 T3

A D

T2 G

B E

30

3

Fig. 8.3.

A8.4. Bara AB lung de 4 m, este articulat n captul A i sprijinit n captul B(fig. 8.4) fiind acionat de greutatea proprie G = 20 N i prin intermediul unui fir, de greutatea P =30 N. S se calculeze reaciunile din legturi tiind c AD = 1 m. Rspuns: HA= 25,98 N (), VA= 17,5 N (), VB= 17,5 N (). D CP0,3

A 60

O 0,9 1,1

h=1,2

G

F

Q

30 Fig. 8.4.

B Fig. 8.5.

A8.5. S se calculeze valoarea minim pe care trebuie s o aib contragreutateaQ, astfel nct s nu se deschid clapeta din figura 8.5, sub aciunea forei distribuite liniar (presiunea unui lichid).70

Rspuns: Rezultanta forei distribuite este egal cu aria triunghiului presiunilor, dirijat pe direcia centrului de greutate al acestuia (F = p h / 2). Din condiia de moment nul n raport cu articulaia O, rezult Q = 8,633 kN.

B A 45a T 45

DF

CR

F