matematica in decursul istoriei

8/15/2019 Matematica in Decursul Istoriei

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-in-decursul-istoriei 1/6

Matematica in decursul istoriei

Pasca Gabriela

A. Evoluţia geometriei în decursul timpului

Noţiunile geometrice s-au cristalizat de-a lungul veacurilor prin abstractizarea

unor elemente din realitatea înconjurătoare. S-a convenit ca obiectele geometrice să nu

se deosebească după masă, culoare, densitate şi eventualele neregularităţi. S-a ajuns

astfel la forme spaţiale uşor de clarificat, care se întind în trei dimensiuni: lungime,

lăţime şi înălţime. stfel, un corp în spaţiu are trei dimensiuni, o suprafaţă plană numai

două dimensiuni, iar o dreaptă o singură dimensiune.

!arcurg"nd în mod cronologic evoluţia geometriei în decursul dezvoltării umane,

trecem în mod obligatoriu prin următoarele etape:

#$ Geometria empirică %&''' î. (. ) *' î. (.$. +ei ce au avut preocupări practice au

fost babilonienii şi apoi egiptenii. +ei dint"i cunoşteau modalităţile de calcul pentru

ariile dreptungiurilor precum şi suma măsurilor unui triungi. ai t"rziu egiptenii,

obligaţi de nevoile practice impuse de agricultură şi construcţii de edificii au utilizat

construcţii de ungiuri drepte cu ajutorul triungiului cu laturile de ,/,0 unităţi. +a

metodă, adevărul geometric rezultă din verificări e1perimentale. +a interpretare

filosofică, adevărul geometriei este prezentat ca un secret, dezvăluit de zei, păstrat şi

transmis din generaţie în generaţie, în casta preoţilor.

2) Geometria preeuclidiană %*'' ) '' î. (.$ se dezvoltă în 2recia antică în şcoliîncise cum ar fi 3ales, !itagora şi !laton. +a ştiinţă, geometria se desprinde de

str"nsa dependenţă de probleme practice şi se a1ează pe cercetarea 4adevărului pur5.

+a metodă, adevărul se stabileşte prin raţionament, prin deducţia logică.

6nterpretarea filosofică diferă însă de la o şcoală la alta. 3ales reprezintă puntea de

legătură între geometria egipteană şi cea greacă7 deşi este primul care foloseşte

metoda deductivă, el are în vedere obiectul practic %pleacă de la probleme practicesau ajunge la ele$.



doua şcoală a lui !itagora dezvoltă modalităţi de a construi teoreme în mod

abstract cu ajutorul raţionamentelor. ici se descoperă teoreme importante legate de

geometria triungiului şi a poliedrelor regulate.

!laton înfiinţează 4cademia5 care acordă o importanţă deosebită geometriei.

ici apare idee de construcţie geometrică cu ajutorul riglei şi a compasului.3) Geometria euclidiană %'' ) &'' î. (.$ s-a ocupat de sistematizarea cunoştinţelor

acumulate în perioadele precedente într-un sistem logico ) deductiv. 8e aceea,

intervalul este acordat nu numai adevărurile neevidente7 obiectul principal al

cercetării este distincţia între adevăruri de bază 4a1iome5 şi adevărurile deduse

4teoreme57 se studiază şi demonstrează teoreme care prin conţinutul lor nu au st"rnit

p"nă atunci interes. 9n interes edificator este propoziţia: 4o latură a unui triungieste mai mică dec"t suma celorlalte & laturi5. uclid încearcă să elucideze întrebarea

dacă această propoziţie trebuie înscrisă printre a1iome sau printre teoreme. cest

e1emplu este edificator pentru rigoarea cu care uclid studiază elementele

geometriei. ;n cele # cărţi ale 4lementelor5, autorul pune bazele geometriei şi a

raţionamentului deductiv.

;n această perioadă se fac cercetări euristice care duc la descoperirea de noi

adevăruri. rimede se ocupă de cercetări geometrice legate de mecanică, fizică,

tenică, reuşind să rezolve probleme de calcul ariilor şi volumelor care prefigurează

apariţia calculului integral.

4) Etapa de declin şi stagnare %&'' î. (. ) #0'' d. (.$.

ceastă perioadă nu are descoperiri importante, neapăr"nd noi adevăruri în

întreaga matematică.

5) Etapa modernă %sec. al <=6-lea p"nă în prezent$ ridică o varietate considerabilă de

probleme, metode, obiective şi legături între disciplinele matematice. stfel >en?

8escartes %#0@*-#*0'$ creează în #*A geometria analitică care propune metode de

rezolvare a problemelor de geometrie prin reprezentarea punctelor în sistem de

coordonate, realiz"nd demonstraţii cu totul diferite dec"t cele ale lui uclid.

6ndependent unul de celălalt, B. C. 2auss %#AAA-#D00$, N. 6. EobacevsFG %#A@& )

#D0*$ şi Hanos IolGai %#D'&-#D0'$ construiesc geometrii neeuclidiane. ;n #D0/



Iernard >iemann construieşte modele pentru aceste geometrii, care în loc de plan

folosesc sfera sau pseudosfera.

ai t"rziu 8avid (illent %#D*&-#@/$ structurează noţiunile geometriei

euclidiene într-un sistem a1iomatic deductiv, necontradictoriu şi complet.

;n paralel cu geometria se dezvoltă analiza, apăr"nd metode noi de studiu%teoria curbelor şi suprafeţelor, geometria diferenţială $. Celi1 Blein %#D@-#@0&$

include geometria euclidiană şi cea neeuclidiană în geometria proiectivă.

nul #@#0 este important pentru geometrie deoarece lbert instein a arătat

că forţa gravitaţională poate fi e1plicată consider"nd spaţiul sub formă cvadri-

dimensională a geometriei lui >iemann. ceasta dovedeşte că spaţiul însuşi este

neeuclidian. 2eometria euclidiană, descriind intuiţia noastră, e1primă la scarăredusă că !ăm"ntul este plan, dar la scară largă putem vorbi de spaţiu neeuclidian.

B. Numerele complexe şi geometria

Numerele comple1e au fost introduse în matematică pentru a face posibilă

rezolvarea unor ecuaţii de gradul al 66-lea care nu admit rădăcini reale. S-a pornit de

la ecuaţia& # ' x + = care nu admite rădăcini reale.

;n secolul al <=6-lea, +ardan utiliza în mod formal simbolul a− cu a ∈ R ,

'a > pentru a descrie rădăcinile ecuaţiei& #' /' ' x x− + = cu numerele 0 #0+ − şi

0 #0− − numite numere imaginare.

3ot în secolul al <=6-lea, cu ocazia unor 4turniruri ştiinţifice5 N. Contana zis

3artaglia %#0''-#00A$ găseşte formula de rezolvare a ecuaţiilor de gradul al 666-lea

care conduce către numere imaginare.

;n secolul al <6<-lea, prin 2auss şi +aucG, se reuşeşte o reprezentare a

numerelor imaginare cu obiecte matematice cunoscute. stfel, 2auss reprezintă

numerele imaginare prin punctele unui plan în raport cu un reper ertonormat,

foloseşte simbolul # i− = şi adoptă denumirea de număr comple1. +aucG observă

că numerele comple1e pot fi obţinute aplic"nd asupra numerelor reale şi a simbolului



i , cu& #i = − , regulile de adunare şi înmulţire din R . Jbservă şi concluzionează că

numerele comple1e pot fi scrise sub forma a ib+ cu ,a b ∈ R .

8escoperirea interpretării geometrice a numerelor comple1e este legată de

matematicienii B. Kessel %#A/0-#D#D$, H.>. rgand %#A*D-#D&&$ şi 2. C. 2auss

%#AAA-#D00$.

B. Kessel publică pentru prima dată o interpretare geometrică a numerelor

comple1e în #A@@ la +openaga. Eucrarea sa a fost descoperită după o sută de ani.

2eometrul francez H.>. rgand publică în #D'* 4ssai sur une mani?re de

repr?senter les Luantit?s imaginaires5 în care interpretarea geometrică a numerelor

comple1e este intens utilizată, demonstr"nd teorema fundamentală a algebrei. ult

timp, această lucrare a fost ignorată. 8upă redescoperirea lucrării, în lumeamatematică mondială devine preponderentă denumirea de diagramă rgand care se

utilizează frecvent. ;n literatura de specialitate rom"nească nu a fost precizată

această denumire. Ea noi se utilizează termenul propus în #D&# la >ancG: 4afi1 al

lui M pentru numărul comple1#% $ z A M

−

= 5.

arele matematician 2. C. 2auss conturează încă din #A@@ interpretarea

geometrică a numerelor comple1e, iar în #D&D publică o teorie completă a numerelor

comple1e în care foloseşte diagrama rgand care este denumită şi 4interpretarea lui

2auss5.

C. eg!tura între algebr! şi geometrie

8in Iiblie aflăm că maceta unui bazin făcut de (irane din 3Gre pentru regele

Solomon 4era rotundă, av"nd #' coţi de la o margine la alta ... şi o linie de treizeci de

coţi în măsura circumferinţei5. Eesne de înţeles că valoarea numărului era .

atematicienii babilonieni îl considerau pe egal cu ,#&0 iar grecii dar şi cinezii

au fost de părere că pot să-l determine pe , cu suficientă precizie, compar"nd

cercul cu un poligon al cărui număr de laturi să fie ales astfel înc"t respectivul poligon să apro1imeze c"t mai bine forma circulară. ;n 0'' d. (., cinezii au arătat

că numărul se află între ,#/#0&@&* şi ,#/#0&@&A.



;n anul #0@A, Eudolp din BMln a utilizat o metodă asemănătoare, reuşind

performanţa calculării a & zecimale e1acte. poi în secolul al <=66-lea Hon Kallis

calculează valoarea lui astfel:& & / / * *

& # . . 0 0 A

= × × × ×

... . Secolul al <=666-lea prin

Hoann Eambert reuşeşte să elucideze problema legată de numărul , arăt"nd că estenumăr iraţional, deci nu poate fi e1primat printr-un număr raţional. ;n secolul al <<-

lea şi al <<6-lea, cu ajutorul calculatorului se reuşeşte calculul numărului cu un

număr impresionant de zecimale.

6storia formării conceptului de număr a traversat întreaga istorie. ;n şcoala lui

!itagora se considera că numerele raţionale sunt specifice pentru descrierea naturii.

Eegenda spune că pitagoricienii ai interzis divulgarea 3eoremei lui !itagora,deoarece aceasta arăta că raportul dintre diagonala şi latura unui pătrat nu este număr

raţional. 9nul dintre învăţăcei, (ippasus din etapont, neţin"nd seama de

interdicţie, transmite teorema. !entru această faptă, (ippasus a fost pedepsit de zeul

mărilor !oseidon prin scufundarea corabiei în care se afla.

3ot prin intermediul geometriei s-au introdus rădăcinile cubice.

atematicianul +ristop >udolf %#0@@-#0/0@ a propus notaţiile şi pentru rădăcina pătrată, respectiv cubică. cceptarea numerelor iraţionale s-a făcut

abia în secolul al <6<-lea.

6deea de corespondenţă a fost prezentă în mintea oamenilor din preistorie,

relev"nd o dependenţă între elemente din domeniul geometriei, apoi posibilitatea de

a e1prima această dependenţă prin formule, termenul de funcţie fiind introdus în

matematică în secolul al <=66-lea de către matematicianul şi fiosoful german 2. K.Eeibnitz %#*/*-#A#*$. ai t"rziu Eeonard uler %#A'A-#AD$ introduce notaţia % $ f x

şi menţionează funcţia ca o mărime variabilă care depinde de o variabilă.

;n ţara noastră 8imitrie !ompeiu %#DA-#@0/$ alături de 2eorge 3iteica şi

3raian Ealescu reprezintă marii matematicieni care s-au preocupat de geometrie,

aplic"nd elemente de teorie a numerelor comple1e.

!roblema 4dacă ABC

este un triungi ecilateral şi M un punct arbitrar în planul său, lungimile MA , MB , MC sunt laturile unui triungi eventual degenerat5

poartă numele lui 8imitrie !ompeiu. cesta demonstrează at"t sintetic, c"t şi



utiliz"nd operaţii cu numere comple1e, realiz"nd încă o dată legătura între geometrie

şi algebră.

J mare cucerire ştiinţifică a constituit-o teoria lui +opernic %#/A-#0/$

publicată sub titlul 48e revolutionibus orbium coelestium5 în care arată că nu

Soarele se roteşte în jurul !ăm"ntului ci !ăm"ntul şi celelalte planete se rotesc în jurul Soarelui.

J descriere matematică a acestor mişcări este dată de Bepler %#0A#-#*'$ pe

baza unor observaţii minuţioase, efectuate în două etape: începute de 3Gco Ira?

%#0/*-#*'#$ şi continuate de Bepler. eritul lui Bepler este că a realizat o sinteză a

observaţiilor pe care le-a trecut de la faze de 4tabele de observaţii5 la faza de 4legi5

e1primate printr-o formă matematică.8in tabelele de observaţie a dedus că orbitele planetelor nu sunt mişcări

circulare, deşi abaterea de la forma circulară este mică.

ai t"rziu Eeverrier %#D##-#DAA$ descoperă din calcul că se pot prevedea

fenomene sau se pot realiza fenomene precum lansarea sateliţilor.

Neton %#*/-#A&@$ dă e1plicarea legilor lui Bepler cu ajutorul calculului

diferenţial şi interpol. Eegile lui Bepler sunt str"ns legate de studiul elipsei.

6ată că geometria face parte dintr-un întreg -numit ştiinţ!, gener"nd, cre"nd,

rezolv"nd şi argument"nd necesitatea studiului interdisciplinar.

matematica in decursul istoriei

Documents