191

ANEXA II

Lungimi de flambaj ale stâlpilor structurilor multi etajate II.1 Baze teoretice Cazurile fundamentale pentru lungimile de flambaj ale barelor comprimate prezentate în capitolul 2 au un caracter teoretic, întâlnindu-se arareori în practică. CondiŃiile reale de rezemare sau legare în structuri a barelor comprimate diferă de cele mai multe ori de cazurile fundamentale. CondiŃiile reale de rezemare se încadrează de regulă între cazurile teoretice fundamentale, aşa cum se arată în Figura II.1.

Fig. II.1: Cazuri teoretice şi reale de rezemare

Pentru determinarea lungimilor de flambaj a stâlpilor structurilor multietajate, trebuie făcută distincŃia între structurile cu noduri fixe, sau cele cu noduri deplasabile. O structură poate fi considerată cu noduri fixe dacă este destul de rigidă la încărcări orizontale, pentru a putea considera orice eforturi suplimentare adiŃionale generate de deplasările orizontale. Astfel, o structură poate fi considerată cu noduri fixe dacă sistemul de contravântuire reduce deplasările orizontale cu cel puŃin 80% faŃă de aceeaşi structură, având aceleaşi elemente structurale de rezistenŃă, dar necontravântuită. În această situaŃie, pentru calculul lungimilor de flambaj ale stâlpilor, se poate considera structura ca fiind împiedicată pentru deplasări laterale, aşa cum se arată în Figura II.2. Orice structură care nu îndeplineşte această condiŃie minimală trebuie considerată în calcul ca fiind cu noduri deplasabile. Aşa cum se arată în Figura II.2, un stâlp dintr-o structură cu noduri fixe nu prezintă deplasări relative ale punctelor de legătură cu restul structurii şi în această situaŃie, valoarea coeficientului lungimii de flambaj va fi întotdeauna maxim 1. Stâlpul va fi astfel tratat ca o bară cu rezemări elastice la rotire, dar cu reazeme rigide pentru deplasarea laterală, rigiditatea la rotire fiind dată de rigiditatea la încovoiere a elementelor cu care se interconectează stâlpul în structură (stâlpii şi grinzile de la nivelul superior şi inferior). Pentru structurile cu noduri deplasabile, aşa cum se arată în Figura II.3, un stâlp din structură prezintă deplasări relative ale punctelor de legătura cu restul structurii şi în această situaŃie valoarea coeficientului de flambaj este întotdeauna mai mare sau la limită egal cu 1 şi are o valoare nelimitată superior. Stâlpul va fi tratat ca o bară cu rezemări elastice atât pentru rotire cât şi pentru deplasarea laterală. O metodă simplificată pentru calculul lungimilor de flambaj a stâlpilor din structurile în cadre multietajate a fost formulată de Wood (1974). Această formulare a fost introdusă în Anexa E a versiunii ENV a EN1993-1-1 (ENV, 1992) şi este prezentată în continuare.

192

Fig. II.2: CondiŃii de rezemare pentru stâlpi din structuri cu noduri fixe

Fig. II.3: CondiŃii de rezemare pentru stâlpi din structuri cu noduri deplasabile

II.2 Determinarea lungimilor de flambaj ale stâlpilor structurilor multietajate cu metoda Wood Lungimea de flambaj Lcr a unui stâlp dintr-un cadru cu noduri fixe poate fi obŃinută din diagrama prezentată în Figura II.4. Lungimea de flambaj Lcr a unui stâlp dintr-un cadru cu noduri deplasabile poate fi obŃinută din diagrama prezentată în Figura II.5. Factorii de distribuŃie a rigidităŃii η1 şi η2 (Figura II.6) sunt obŃinuŃi cu relaŃiile:

12111

11 KKKK

KK

C

C

++++=η (II.1)

22212

22 KKKK

KK

C

C

++++=η (II.2)

193

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,5

0,525

0,55

0,575

0,6250,6

0,65

0,95

0,85

0,9

0,8

0,75

1,0

0,675

0,7

Incastrat Articulatη2

Incastrat

Articulat

η1

Fig. II.4: Raportul Lcr /L dintre lungimea de flambaj şi

lungimea teoretică a unui stâlp dintr-un cadru cu noduri fixe

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,0

1,05

1,1

1,15

1,251,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,81,9

2,0

2,2

2,42,6

2,83,0

4,0

5,0

Incastrat Articulatη2

Incastrat

Articulat

η1

Fig. II.5: Raportul lf /L dintre lungimea de flambaj şi

lungimea teoretică a unui stâlp dintr-un cadru cu noduri deplasabile

194

K11

K21

K12

K22

Factor de distributie η1

K1

K1

KC

Factor de distributie η2

Stalp de verificat

Fig. II.6: Factori de distribuŃie pentru stâlpii continui

Când grinzile nu sunt solicitate la eforturi axiale, rigiditatea lor poate fi determinată în conformitate cu Tabelul II.1, respectiv Tabelul II.2, cu condiŃia rămânerii în domeniul elastic a grinzilor sub acŃiunea momentelor de calcul. Tabel II.1

Caz Rigiditatea K a grinzilor în cazul cadrelor cu noduri fixe

1

θ θ

0.5I

KL

=

2

θ

0.7I

KL

=

3

θ

1.0I

KL

=

Tabel II.2

Caz Rigiditatea K a grinzilor în cazul cadrelor cu noduri deplasabile

1 θ θ

1.5I

KL

=

2

θ

0.75I

KL

=

3

θ

0.75I

KL

=

K2

195

Pentru structurile clădirilor în cadre rectangulare cu planşee din beton, cu topologia structurii regulată şi încărcare uniformă, se pot adopta, pentru grinzi, rigidităŃile din Tabelul II.3. Tabel II.3

Rigiditatea K a unei grinzi dintr-o structur ă cu planşee din beton armat

CondiŃii de încărcare pentru grindă Structură cu noduri

fixe Structură cu noduri

deplasabile

Grinzi care suportă direct planşeul din beton armat

1.0I

L 1.0

I

L

Alte grinzi încărcate direct 0.75I

L 1.0

I

L

Grinzi solicitate numai la acŃiunea momentelor de la extremităŃi

0.5I

L 1.5

I

L

Dacă momentul de calcul al unei grinzi depăşeşte momentul de rezistenŃă elastic 0/el y MW f γ , se

poate considera grinda articulată în acel punct. Dacă grinzile sunt solicitate la eforturi axiale, rigiditatea lor trebuie corectată în consecinŃă. Pentru aceasta se pot utiliza funcŃiile de stabilitate. O alternativă simplă constă în neglijarea surplusului de rigiditate datorat întinderii axiale şi considerarea efectelor compresiunii axiale cu valorilor aproximative prezentate în tabelele II.4 şi II.5. Tabel II.4

Caz Rigiditatea K a grinzilor în cazul cadrelor cu noduri fixe

1.

θ θ

0.5 1 1.0E

I NK

L N

= −

2.

θ

0.75 1 1.0E

I NK

L N

= −

3.

θ

1.0 1 1.0E

I NK

L N

= −

în care: 22E LEIN π=

Următoarele relaŃii se pot utiliza ca alternativă la valorile date în diagramele din Figurile II.4 şi II.5: (a) cadre cu noduri fixe:

1 2 1 2

1 2 1 2

1 0.145( ) 0.265

2 0.364( ) 0.247fl

L

η η η ηη η η η

+ + −= − + − (II.3)

196

(b) cadre cu noduri deplasabile:

0.51 2 1 2

1 2 1 2

1 0.2( ) 0.12

1 0.8( ) 0.60fl

L

η η η ηη η η η

− + −= − + + (II.4)

Tabel II.5

Caz Rigiditatea K a grinzilor în cazul cadrelor cu noduri deplasabile

1. θ θ

1.5 1 0.2E

I NK

L N

= −

2.

θ

0.75 1 1.0E

I NK

L N

= −

3.

θ

1.0 1 0.4E

I NK

L N

= −

în care: 22E LEIN π=

II.3 Metoda Merchant - Rankine Metoda Merchant-Rankine (Merchant, 1954), este o procedură practică de proiectare care permite determinarea rezistenŃei ultime a unei structuri multietajate cu noduri deplasabile, în ipoteza că toate îmbinările structurii sunt perfect rigide. Încărcarea ultimă a structurii care cedează printr-o formă de instabilitate inelastică se determină funcŃie de încărcarea critică elastică a structurii şi de încărcarea de cedare a structurii prin configuraŃie de mecanism, obŃinută printr-o analiză plastică de ordinul I. Valoarea multiplicatorului încărcării de calcul pentru a provoca cedarea structurii αf (corespunzător încărcării ultime) se calculează cu expresia:

pcrf ααα9.011 += (II.5)

în care: αcr este coeficientul de multiplicare al încărcărilor de calcul pentru a provoca instabilitatea

elastică a structurii; αp este coeficientul de multiplicare al încărcărilor de calcul pentru a provoca cedarea

structurii prin configuraŃie de mecanism (analiza plastica de ordinul I). Limitele de aplicare a acestei metode sunt:

104.0 ≤≤p

cr

αα

(II.6)

197

Structura este corespunzătoare din punct de vedere al rezistentei şi stabilităŃii dacă valoarea multiplicatorului αf este cel puŃin unitara. Dacă structura este cu noduri fixe, este de aşteptat ca raportul αcr/αp să fie mare. În aceste condiŃii încărcarea ultimă de cedare a structurii va fi apropiată de încărcarea de cedare a structurii prin configuraŃie de mecanism, obŃinută printr-o analiză plastică de ordinul I. Dacă structura este cu noduri deplasabile, este de aşteptat ca raportul αcr/αp să fie mic. În aceste condiŃii încărcarea ultimă de cedare a structurii va fi apropiată de încărcarea critică elastică a structurii (Maquoi şi Jaspart, 2002). Verificarea unei structuri multietajate este relativ uşor de efectuat cu aceasta metodă, în condiŃiile în care există la dispoziŃie un program de calcul numeric adecvat pentru analiza de flambaj şi analiză plastică. Limitările metodei exclud stâlpii cu zvelteŃe foarte mare şi de aceea nu este necesar să se ia în considerare efectele de ordinul II cauzate de imperfecŃiunile elementelor sau de deplasări.

198

ANEXA III

Lungimi de flambaj ale stâlpilor structurilor parte r În cazul barelor cu efort de compresiune constant în lungul lor (a se vedea Figura III.1a), coeficientul de flambaj µ se prezintă în Tabelul III.1.

.

. .lg2 lg1

Ig2

ls

Ig1

Is

P2

P1Is

Is

P1+P1

.

.

ll1

l2

.

.

ll1

l2I2

I1

P2

P1

P1+P1

.

.

ll1

l2I2

I1

P2

P1

P1+P1

Fig. III.1: Determinarea lungimii de flambaj a) şi b) stâlpi cu secŃiune constantă; c) stâlpi cu secŃiune variabilă

Tabelul III.1: CoeficienŃi de flambaj µ pentru stâlpii carelor cu un nivel cu secŃiune constantă şi

cu încastrare elastică la partea superioară CoeficienŃi µ pentru stâlpii carelor cu un nivel cu secŃiune constantă şi cu încastrare

elastică la partea superioară

s

s

g

g

g

g

s

g

I

l

l

I

l

I

r

rk

+==

2

2

1

1

Prindere în fundaŃie

0 0.2 0.3 0.5 1.0 2.0 3.0 10.0

încastrată 2.0 1.50 1.40 1.28 1.16 1.08 1.06 1.0 articulată - 3.42 3.0 2.63 2.33 2.17 2.11 2.0

În cazul barelor cu efort de compresiune variabil, discontinuu în lungul lor (a se vedea Figura III.1b), coeficientul de flambaj µ se prezintă în Tabelul III.2.

Tabelul III.2: CoeficienŃi µ pentru stâlpii (conform Fig. III.1b) CondiŃii de rezemare

Capătul interior Capătul superior 1

2

l

l 3

2

1 ≤P

P 1

2

1 =P

P

cu rotiri şi deplasări libere 0.3 0.6 1.0

1.8 1.5 1.3

2.,0 1,7 1,6

cu rotiri împiedicate şi deplasări libere

0.3 0.6 1.0

1.0 0.9 0.8

1.2 1.0 0.,9

cu rotiri libere şi deplasări împiedicate

0.3 0.6 1.0

0.6 0.5 0.5

0.6 0.6 0.6

Încastrat

cu rotiri şi deplasări împiedicate

0.3 0.6 1.0

0.5 0.4 0.4

0.5 0.4 0.4

a) b) c)

199

În cazul barelor cu secŃiune în trepte, lungimile de flambaj depind de raportul dintre rigidităŃile părŃii superioare şi ale părŃii inferioare ale stâlpului, de felul legăturii la cele două extremităŃi, respectiv de raportul P1/P2. (a se vedea Figura III.1c). Valorile coeficienŃilor 1µ şi 2µ sunt

prezentate în tabele detaliate în STAS 10108/0-78, în funcŃie de tipul de legătură între stâlpi şi riglă şi de posibilitatea de deplasare laterală a capătului superior al stâlpului (a se vedea Figura III.2).

a) b) c) d)

Fig. III.2: Legăturile la capătul superior al stâlpilor halelor a) rotiri şi deplasări libere; b) rotiri împiedicate şi deplasări libere; c) deplasări împiedicate şi

rotiri libere; d) deplasări şi rotiri împiedicate. În cazul în care stâlpii cadrului au o singură treaptă (a se vedea Figura III.1c) şi sunt îndeplinite condiŃiile 2 1/ 0.6l l ≤ şi 1 2/ 3P P ≥ , coeficienŃii de flambaj µ se pot lua din Tabelul III.3.

Tabelul III.3

CondiŃii de fixare ale capetelor CoeficienŃi µ pentru: partea inferioară a

stâlpului ( )1µ când: Capătul interior

Capătul superior 1.03.0

1

2 ≥≥I

I 5.01.01

2 ≥>I

I

partea superioară

( )2µ

cu rotiri şi deplasări libere 2.5 3.0 3.0 cu rotiri împiedicate şi deplasări libere 2.0 2.0 3.0 cu rotiri libere şi deplasări împiedicate 1.6 2.0 2.5

Încastrat

cu rotiri şi deplasări împiedicate 1.2 1.5 2.0 De asemenea, pentru cazuri practice, valorile multiplicatorilor lungimii de flambaj, µ , se pot

obŃine din Tabelul III.4, conform valorilor η, a raportului s

g

l I

h Iη ⋅

⋅ şi abacei de mai jos.

200

Tabel III.4: Valorile factorului „η” pentru diverse tipuri de structuri şi abaca pentru determinarea multiplicatorului lungimii de flambaj

Structură cu noduri fixe Structură cu noduri deplasabile Valori factor η Curba „A” Curba „B” Curba „C” Curba „A” Curba „B” Curba „C”

3

2

1

3

4

1

2

1

4

3

16

Ig = momentul de inerŃie al grinzii; lg = lungimea grinzii; Is = momentul de inerŃie al stâlpului; ls = lungimea stâlpului; lks = lungimea de flambaj a stâlpului; h = înălŃimea stălpului.

ks

s

l

l

s

g

l I

h Iη ⋅

⋅