sinteza am ii – semestrul ii˘ conf. dr. lucian maticiuc ...maticiuc/didactic/sinteza_semestrul...

Sinteza AM II – Semestrul II Conf. dr. Lucian Maticiuc

Facultatea de Hidrotehnica, Geodezie si Ingineria Mediului

Analiza Matematica II, Semestrul II,

Conf. dr. Lucian MATICIUC

Sinteza – Analiza Matematica IIFormule

Cap. I Integrala definita. Primitive

1. Se numeste primitiva a functiei f pe [a, b] o functie F cu proprietatea ca este derivabilape [a, b] si are loc F ′ (x) = f (x) , ∀x ∈ [a, b]

2. Daca f admite primitiva F atunci multimea {F + C, C ∈ R} se numeste tot integralanedefinita a lui f si se noteaza cu

∫f (x) dx

3. Integrala definita∫ ba f (x) dx este un numar, pe cand primitiva unei functii este o functie

(iar integrala nedefinita este multime infinita de functii)

4. Formula lui Leibniz-Newton. Fie f o functie integrabila si care admite primitive pe[a, b]. Atunci are loc ∫ b

af (x) dx = F (x)|ba = F (b)− F (a) ,

oricare ar fi F o primitiva a lui f

5. Metoda de integrare prin parti. Daca f, g sunt derivabile cu derivatele continue peintervalul I , atunci ∫

f (x) g′ (x) dx = f (x) g (x)−∫f ′ (x) g (x) dx

6. Formula de integrare prin parti pentru integrale definite∫ b

af (x) g′ (x) dx = f (x) g (x)

∣∣∣ba−∫ b

af ′ (x) g (x) dx

7. Exemple standard ın care se foloseste metoda de integrare prin parti:∫xneax dx

∫xn lnm xdx∫

eax sin (bx) dx

∫eax cos (bx) dx∫

xn sin (ax) dx

∫xn cos (ax) dx∫ √

x2 + a2dx

∫ √a2 − x2dx

1

Lucia

n Mati

ciuc


8. Prima metoda de schimbare de variabila. Fie functiile u : I → J si f : J → R, unde I, Jsunt intervale. Daca u este derivabila pe I iar f admite primitive pe J atunci functiaf (u)u′ : I → R admite primitive pe I si are loc∫

f (u (x))u′ (x) dx = F (u (x)) + C,

unde F este o primitiva a lui f

9. Practic: notam y := u (x) si deci dy = u′ (x) dx iar∫f (u (x))u′ (x) dx =

∫f (y) dy = F (y) + C = F (u (x)) + C

10. Prima metoda de schimbare de variabila pentru integrala definita. Daca u este deriva-bila pe J cu derivata continua si f este continua pe I , atunci∫ b

af (u (x))u′ (x) dx =

∫ u(b)

u(a)f (y) dy = F (u (b))− F (u (a))

11. Folosim forma canonica a trinomului de gradul 2

ax2 + bx+ c = a

(x+

b

2a

)2

+−∆

4a,

unde ∆ = b2 − 4ac.

De exemplu,

6x− x2 − 5 = −x2 + 6x− 5 = −(x2 − 6x)− 5 = − (x− 3)2 + 9− 5 = 4− (x− 3)2

12. A doua metoda de schimbare de variabila. Fie functiile u : I → J si f : J → R, undeI, J sunt intervale. Daca f e continua pe J iar u este strict monotona si derivabila pe Iiar inversa sa v : J → I are derivata continua pe J atunci functia f (u) : I → R admiteprimitive pe I si are loc ∫

f (u (x)) dx = F (u (x)) + C

unde F este o primitiva a lui fv′, adica∫f (y) v′ (y) dy = F (y) + C

13. Practic: facem substitutia x = u−1 (y) = v (y) deci dx = v′ (y) dy iar∫f (u (x)) dx =

∫f (u (v (y))) v′ (y) dy =

∫f (y) v′ (y) dy = F (y) +C = F (u (x)) +C

14. A doua metoda de schimbare de variabila pentru integrala definita. In aceleasi ipotezeca mai sus avem ∫ b

af (u (x)) dx =

∫ u(b)

u(a)f (y) v′ (y) dy

2

Lucia

n Mati

ciuc


15. Practic: notam y := u (x) deci avem si x = u−1 (y) = v (y)⇒ dx = v′(y) dy∫ b

af (u (x)) dx =

∫ u(b)

u(a)f (u (v (y))) v

′(y) dy =

∫ u(b)

u(a)f (y) v

′(y) dy

16. Substitutia trigonometrica x = a sin y sau x = a cos y. Daca folosim substitutia x =a sin y atunci

dx = (a sin y)′dy = a cos ydy

six = a sin y ⇔ y = arcsinx/a .

17. Calculul primitivelor functiilor rationale. Pentru calculul primitivelor unei functiirationale P (x)

Q(x) se parcurg urmatoarele etape:

(a) Daca gradP (x) ≥ gradQ (x) atunci se va ımparti P la Q si se va obtine P (x)Q(x) =

C (x) + P1(x)Q(x) unde gradP1 (x) < gradQ (x).

(b) Se va descompune numitorul Q (x) ın factori ireductibili, adica

Q (x) =k∏i=1

(x− αi)rik∏j=1

(x2 + βjx+ γj

)sj= (x− α1)r1 · · · (x− αk)rk

(x2 + β1x+ γ1

)s1 · · · (x2 + βlx+ γl)sl .

(c) Fractia rationala P1(x)Q(x) (suntem ın cazul cand gradul numaratorului este mai mic

strict decat gradul numitorului) se va descompune ın fractii simple (utilizand descom-punerea de mai sus):

P1 (x)

Q (x)=

k∑i=1

ai(x− αi)ri

+l∑

j=1

bjx+ cj(x2 + βjx+ γj

)sj .18. Calculul primitivelor unor expresii irationale.

Fie integralele de forma∫R(x,(ax+ b

cx+ d

) p1q1 ,(ax+ b

cx+ d

) p2q2 , ...

)dx undeR este o expresie

rationala. Aceste integrale se reduc la integrale rationale cu ajutorul substitutiei

ax+ b

cx+ d= ts

unde s este cel mai mic multiplu comun al numitorilor q1, q2, ...

19. Calculul primitivelor unor expresii irationale.

Fie integralele de forma∫xm (a+ bxn)p dx undem,n, p ∈ Q (integrale binome). Aceste

integrale se reduc la integrale rationale doar ın urmatoarele trei situatii (cu ajutorulsubstitutiilor respective):

(i) Daca p este numar ıntreg (pentru substitutie vezi cazul precedent)

3

Lucia

n Mati

ciuc


(ii) Dacam+ 1

neste numar ıntreg si ın acest caz este utila substitutia a+bxn = ts unde

s este numitorul lui p

(iii) Dacam+ 1

n+ p este numar ıntreg si ın acest caz este utila substitutia

a+ bxn

xn= ts

unde s este numitorul lui p

20. Calculul primitivelor unor expresii ce contin functii trigonometrice. Fie integralele

de forma∫R (sinx, cosx) dx unde R (a, b) este o expresie rationala ın a si b. Aceste

integrale se reduc la integrale rationale cu ajutorul urmatoarelor substititutii:

(i) Daca R (− sinx, cosx) = −R (sinx, cosx) atunci este utila substitutia cosx = t

(ii) Daca R (sinx,− cosx) = −R (sinx, cosx) atunci este utila substitutia sinx = t

(iii) Daca R (− sinx,− cosx) = R (sinx, cosx) atunci este utila substitutia tgx = t

(iv) Substitutia universala tg(x2

)= t

21. Sunt utile urmatoarele formule trigonometrice

sin2 x+ cos2 x = 1,

sinx cosx =sin 2x

2, sin2 x =

1− cos 2x

2, cos2 x =

1 + cos 2x

2,

sinx =2t

1 + t2, cosx =

1− t2

1 + t2, unde t = tg

(x2

),

sinx =t√

1 + t2, cosx =

1√1 + t2

, unde t = tg (x) .

22. Aplicatii ale integralei definite. Aria unei suprafete plane (a unui domeniu din R2).Daca domeniul este dat de D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b , f1 (x) ≤ y ≤ f2 (x)} atunci ariadomeniului D este data de

A (D) =

∫ b

a[f2 (x)− f1 (x)] dx

23. Lungimi de curbe (ın plan si spatiu). Avem trei cazuri:

(a) Curba este data explicit de (C) : y = f (x) , a ≤ x ≤ b atunci lungimea curbei estedata de

L (C) =

∫ b

a

√1 + (f ′ (x))2dx.

(b1) Curba este ın plan si este data parametric de (C) :

{x = x (t)y = y (t)

, a ≤ t ≤ b atunci

lungimea curbei este data de

L (C) =

∫ b

a

√(x′ (t))2 + (y′ (t))2dt

4

Lucia

n Mati

ciuc


(b2) Curba este ın spatiu si este data parametric de (C) :

x = x (t)y = y (t)z = z (t)

, a ≤ t ≤ b

atunci lungimea curbei este data de

L (C) =

∫ b

a

√(x′ (t))2 + (y′ (t))2 + (z′ (t))2dt.

5

Lucia

n Mati

ciuc


Cap. II Integrale improprii

1. Fie f : [a,∞) → R, o functie integrabila Riemann pe intervale compacte de tipul [a, b],∀ b > a. Integrala

∫∞a f (x) dx se numeste integrala improprie de primul tip. Daca

limb→∞

∫ ba f (x) dx exista si este finita vom spune ca integrala improprie

∫∞a f (x) dx este

convergenta (C) si vom scrie∫ ∞a

f (x) dx = limb→∞

∫ b

af (x) dx.

O integrala care nu este convergenta se va numi divergenta (D).

2. Fie a > 0. Integrala ∫ ∞a

1

xαdx

este convergenta pentru α > 1 si divergenta pentru α ≤ 1.

3. Integrala∫∞−∞ f (x) dx se poate defini prin egalitatea∫ ∞

−∞f (x) dx = lim

b→∞

∫ a

−bf (x) dx+ lim

b→∞

∫ b

af (x) dx =

∫ a

−∞f (x) dx+

∫ ∞a

f (x) dx

4. Sa observam ca ın exemplele date mai ınainte, pentru a calcula integralele improprii, secalcula mai ıntai integrala Riemann (pe interval finit) cu ajutorul primitivei iar apoi setrecea la limita. Astfel daca avem f : [a,∞)→ R integrabila Riemann pe orice intervalcompact de tipul [a, b], ∀ b > a, astfel ıncat f admite primitiva F atunci, ın cazul ın careexista lim

x→∞F (x) = F (∞), are loc∫ ∞

af (x) dx = F (x)|∞a = F (∞)− F (a)

5. Fie f, g : [a,∞)→ R doua functii astfel ıncat f, g ≥ 0 pe [a,∞). Daca exista limita

limx→∞

f (x)

g (x)= ` ∈ [0,∞]

atunci:

(a) Daca ` <∞ atunci, daca integrala improprie∫∞a g (x) dx este (C), obtinem ca inte-

grala improprie∫∞a f (x) dx este (C).

(b) Daca ` > 0 atunci, daca integrala improprie∫∞a g (x) dx este (D), obtinem ca inte-

grala improprie∫∞a f (x) dx este (D).

6. Criteriul ın α. Fie f : [a,∞)→ R astfel ıncat f ≥ 0 pe [a,∞). Atunci

(a) Daca ∃ α > 1 astfel ıncat limx→∞

xαf (x) < +∞ atunci∫∞a f (x) dx este (C).

(b) Daca ∃ α ≤ 1 astfel ıncat limx→∞

xαf (x) > 0 atunci∫∞a f (x) dx este (D).

6

Lucia

n Mati

ciuc


7. Teorema este echivalenta cu urmatoarele afirmatii:

(a) Presupunem ca existaα ∈ R astfel ıncat limx→∞

xαf (x) = ` ∈ (0,∞). Atunci∫∞a f (x) dx

este (C) daca α > 1 si (D) daca α ≤ 1.

(b) Presupunem ca exista α ∈ R astfel ıncat limx→∞

xαf (x) = 0. Atunci∫∞a f (x) dx este

(C) daca α > 1.

(c) Presupunem ca exista α ∈ R astfel ıncat limx→∞

xαf (x) = +∞. Atunci∫∞a f (x) dx este

(D) daca α ≤ 1.

8. Fie f : [a, b) → R, o functie integrabila Riemann pe intervale compacte de tipul [a, c],∀ a < c < b si care satisface lim

x↗bf (x) = ∞. Integrala

∫ ba f (x) dx se numeste inte-

grala improprie de al doilea tip. Daca limc↗b

∫ ca f (x) dx exista si este finita vom spune ca

integrala improprie∫ ba f (x) dx este (C) si vom scrie∫ b

af (x) dx = lim

c↗b

∫ c

af (x) dx

9. Punctul b de mai sus spunem ca este punct singular.

10. Integrala ∫ b

a

dx

(b− x)λ

este convergenta pentru λ < 1 si divergenta pentru α ≥ 1.

11. Analog se poate studia natura integralei∫ b

a

dx

(x− a)λ, λ ∈ R.

Observam ca se integreaza functia f : (a, b] → R, f (x) =1

(x− a)λcare este continua

deci integrabila pe orice interval compact [a, c] ⊂ (a, b]. Se obtine ca

∫ b

a

dx

(x− a)λ=

+∞ , λ ≥ 1,

(b− a)−λ+1

1− λ, λ < 1.

12. Criteriul ın α. Fie f : [a, b)→ R astfel ıncat f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b). Atunci

(a) Daca ∃ λ < 1 a.ı. limx↗b|x− b|λ f (x) <∞ atunci

∫ ba f (x) dx este (C).

(b) Daca ∃ λ ≥ 1 a.ı. limx↗b|x− b|λ f (x) > 0 atunci

∫ ba f (x) dx este (D).

7

Lucia

n Mati

ciuc


13. Teorema este echivalenta cu urmatoarele afirmatii:

(a) Presupunem ca exista λ ∈ R astfel ıncat limx↗b|x− b|λ f (x) = ` ∈ (0,∞). Atunci∫ b

a f (x) dx este (C) daca λ < 1 si (D) daca λ ≥ 1.

(b) Presupunem ca exista λ ∈ R astfel ıncat limx↗b|x− b|λ f (x) = 0. Atunci

∫ ba f (x) dx

este (C) daca λ < 1.

(c) Presupunem ca exista λ ∈ R astfel ıncat limx↗b|x− b|λ f (x) = +∞. Atunci

∫ ba f (x) dx

este (D) daca λ ≥ 1.

8

Lucia

n Mati

ciuc


Cap. III Integrale curbilinii

1. Multimea punctelor din plan (x (t) , y (t)) , t ∈ [a, b], ımpreuna cu reprezentarea para-

metrica (C) :

{x = x (t)y = y (t)

, t ∈ [a, b], se numeste curba plana.

2. Multimea punctelor din spatiu (x (t) , y (t) , z (t)) , t ∈ [a, b], ımpreuna cu reprezentarea

parametrica (C) :

x = x (t)y = y (t)z = z (t)

, t ∈ [a, b], se numeste curba ın spatiu.

3. Ecuatiile parametrice ale cercului sunt{x (t) = r cos t,

y (t) = r sin t, t ∈ [0, 2π] .

4. Ecuatiile parametrice ale elipsei sunt{x (t) = a cos t,

y (t) = b sin t, t ∈ [0, 2π] .

5. Cantitateads =

√|x′ (t)|2 + |y′ (t)|2dt

se numeste elementul lungime de arc de pe curba.

6. Pentru o curba data explicit (C) : y = y (x) , x ∈ [a, b], elementul lungime de arc estedat de

ds =

√1 + |y′ (x)|2dx

7. Pentru o curba (C) :

x = x (t)y = y (t)z = z (t)

, t ∈ [a, b], elementul lungime de arc este dat de

ds =

√|x′ (t)|2 + |y′ (t)|2 + |z′ (t)|2dt

8. Teorema de reducere a integralei curbilinii de primul tip:∫(C)

f (x, y) ds =

∫ b

af (x (t) , y (t))

√|x′ (t)|2 + |y′ (t)|2dt

9. Teorema de reducere a integralei curbilinii de primul tip (ın cazul ın care curba estedata explicit prin ecuatia y = y (x) , x ∈ [a, b])∫

(C)f (x, y) ds =

∫ b

af (x, y (x))

√1 + |y′ (x)|2dx.

9

Lucia

n Mati

ciuc


10. In cazul unei curbe ın spatiu (C) data prin ecuatiile parametrice (C) :

x = x (t)y = y (t)z = z (t)

,

t ∈ [a, b], obtinem formula de calcul

∫(C)

f (x, y, z) ds =

b∫a

f (x (t) , y (t) , z (t))

√|x′ (t)|2 + |y′ (t)|2 + |z′ (t)|2dt.

11. Daca vom considera f ≡ 1 vom obtine lungimea curbei (C) notata cu ` (C)

` (C) =

∫(C)

ds

12. Teorema de reducere a integralei curbilinii de al doilea tip∫(

_AB)

P (x, y, z) dx+Q (x, y, z) dy =

=

∫ b

a

[P (x (t) , y (t))x′ (t) +Q (x (t) , y (t)) y′ (t)

]dt,

unde curba pe care se intergreaza este arcul (_AB).

13. Teorema de reducere a integralei curbilinii de al doilea tip∫(

_AB)

P (x, y, z) dx+Q (x, y, z) dy +R (x, y, z) dz =

=

∫ b

a

[P (x (t) , y (t) , z (t))x′ (t) +Q (x (t) , y (t) , z (t)) y′ (t) +R (x (t) , y (t) , z (t)) z′ (t)

]dt

14. Conditia necesara si suficienta ca o integrala curbilinie sa fie independenta de drum.

In conditiile: D un domeniu deschis si conex, P,Q doua functii continue pe D, (_AB) o

curba neteda pe portiuni, avem ca integrala

I =

∫(

_AB)

P (x, y) dx+Q (x, y) dy

este independenta de drumul (_AB) daca si numai daca exista functiaF (x, y) diferentiabila

ın D astfel ıncat avem

dF (x, y) = P (x, y) dx+Q (x, y) dy, (x, y) ∈ D (1)

15. O functieF care verifica ecuatia (1) se numeste primitiva a formei diferentialeP (x, y) dx+Q (x, y) dy. Avand ın vedere expresia diferentialei unei functii

dF (x, y) =∂F

∂x(x, y) · dx+

∂F

∂y(x, y) · dy,

10

Lucia

n Mati

ciuc


deducem ca, conditia (1) este echivalenta cu∂F

∂x(x, y) = P (x, y)

∂F

∂y(x, y) = Q (x, y)

(2)

16. Conditia (1) din teorema de mai sus defineste faptul ca forma diferentiala P (x, y) dx+Q (x, y) dy este forma diferentiala totala exacta. Deci Teorema precedenta afirma ca ointegrala curbilinie este independenta de drum daca si numai daca forma diferentialacare se integreaza este exacta.

17. Pentru integralele care nu depind de drumul ales este valabila formula lui Leibniz-Newton, adica are loc∫

(_AB)

P (x, y) dx+Q (x, y) dy = F (B)− F (A) .

18. Din conditia (2) obtinem, derivand partial, legatura dintre P si Q pentru ca integralacurbilinie sa nu depinda de drum

∂P

∂y(x, y) =

∂Q

∂x(x, y) , ∀ (x, y) ∈ D (3)

19. Conditia necesara si suficienta ca o integrala curbilinie sa fie independenta de drum.

Fie P,Q,R trei functii continue pe D ⊂ R3, (_AB) o curba ın spatiu neteda pe portiuni.

Integrala

I =

∫(

_AB)

P (x, y, z) dx+Q (x, y, z) dy +R (x, y, z) dz

este independenta de drumul (_AB) daca si numai daca exista functia F (x, y, z) dife-

rentiabila ın D astfel ıncat avem

dF (x, y, z) = P (x, y, z) dx+Q (x, y, z) dy +R (x, y, z) dz, (x, y, z) ∈ D (4)

20. O functieF care verifica ecuatia (4) se numeste primitiva a formei diferentialeP (x, y, z) dx+Q (x, y, z) dy +R (x, y, z) dz. Avand ın vedere expresia diferentialei unei functii

dF (x, y, z) =∂F

∂x(x, y, z) · dx+

∂F

∂y(x, y, z) · dy +

∂F

∂z(x, y, z) · dz,

deducem ca (4) este echivalenta cu

∂F

∂x(x, y, z) = P (x, y, z)

∂F

∂y(x, y, z) = Q (x, y, z)

∂F

∂z(x, y, z) = R (x, y, z)

(5)

11

Lucia

n Mati

ciuc


21. Conditia (4) din teorema de mai sus defineste faptul ca forma diferentialaP (x, y, z) dx + Q (x, y, z) dy + R (x, y, z) dz este forma diferentiala totala exacta. DeciTeorema de mai sus afirma ca o integrala curbilinie este independenta de drum daca sinumai daca forma diferentiala care se integreaza este exacta.

22. Pentru integralele care nu depind de drumul ales este valabila formula lui Leibniz-Newton, adica are loc∫

(_AB)

P (x, y, z) dx+Q (x, y, z) dy +R (x, y, z) dz = F (B)− F (A)

23. Din conditia (5) obtinem, derivand partial, legatura dintre P,Q siR pentru ca integralacurbilinie sa nu depinda de drum

∂P

∂y(x, y) =

∂Q

∂x(x, y) ,

∂Q

∂z(x, y) =

∂R

∂y(x, y) ,

∂R

∂x(x, y) =

∂P

∂z(x, y) , ∀ (x, y, z) ∈ D

(6)

24. De exemplu, sa se studieze daca urmatoarea forma diferentiala este exacta si ın cazafirmativ sa se calculeze o primitiva a ei:

ω =(4x3y3 − 3y2 + 5

)dx+

(3x4y2 − 6xy − 4

)dy.

In cazul nostru P (x, y, z) = 4x3y3 − 3y2 + 5 si Q (x, y, z) = 3x4y2 − 6xy− 4. Se verificamai ıntai egalitatea (6)

∂P

∂y(x, y) =

∂Q

∂x(x, y) = 12x3y2 − 6y

apoi se rezolva sistemul (5) integrandu-se una din ecuatii.

Se va obtine

∂F

∂x(x, y) = P (x, y)⇒ F (x, y) =

∫P (x, y) dx = x4y3 − 3xy2 + 5x+ c (y) .

Folosind acum ecuatia a doua avem

∂F

∂y(x, y) = Q (x, y)⇔ 3x4y2 − 6xy + 0 + c′ (y) = 3x4y2 − 6xy − 4

⇔ c′ (y) = 0⇔ c (y) = c

DeciF (x, y) = x4y3 − 3xy2 + 5x+ c, c ∈ R

12

Lucia

n Mati

ciuc


Cap. IV Integrala dubla

1. Teorema de reducere a integralei duble la o integrala iterata ın cazul domeniului drept-unghiular

D ={

(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

= [a, b]× [c, d]

este ∫∫(D)

f (x, y) dxdy =

∫ b

a

(∫ d

cf (x, y) dy

)dx.

2. Atunci cand integram ın raport cu o variabila vom considera cealalta variabila dreptconstanta. De exemplu,∫ 5

2

(5xy2 − 2x3

)dy =

(5xy3

3− 2x3y

)∣∣∣∣y=5

y=2

=

(5x · 53

3− 2x3 · 5

)−(

5x · 23

3− 2x3 · 2

).

Sau∫ 1

0

y

(1 + x2 + y2)3/2dy =

1

2

∫ 1

0

(1 + x2 + y2

)−3/2 ·(1 + x2 + y2

)′ydy =

= (folosind prima metoda de schimbare de variabila) =

=1

2

(1 + x2 + y2

)− 32

+1

−32 + 1

∣∣∣∣∣∣y=1

y=0

= −[(

2 + x2)− 1

2 −(1 + x2

)− 12

]=

1√x2 + 1

− 1√x2 + 2

.

3. Teorema de reducere a integralei duble la o integrala iterata ın cazul unui domeniu datde

D ={

(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)}, (7)

este: ∫∫(D)

f (x, y) da =

∫ b

a

(∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)f (x, y) dy

)dx

4. Pentru a determina daca domeniul este de tipul celui de mai sus trebuie sa:

(i) desenam mai ıntai domeniul D(ii) proiectam domeniul D pe axa Ox si obtinem limitele de variatie pentru variabila x(i.e. a ≤ x ≤ b)(iii) luam x ∈ [a, b] arbitrar si prin x ducem o paralela la axa Oy care va intersectadomeniul D ın curbele ϕ1 (x) si ϕ2 (x).

Deci obtinem explicitarea (7).

5. Formula lui Green (formula de legatura ıntre integrala curbilinie de specia a II-a siintegrala dubla):∮

(C)P (x, y) dx+Q (x, y) dy =

∫∫(D)

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy,

unde D ⊂ R2 este un domeniu ınchis si marginit de curba ınchisa si neteda (C).

13

Lucia

n Mati

ciuc


6. Fie {x = x (ξ, η) ,

y = y (ξ, η) , (ξ, η) ∈ ∆

Determinantul functional al transformarii (jacobianul) este

J (ξ, η) =D (x, y)

D (ξ, η)

def=

∣∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂ξ

∂x

∂η

∂y

∂ξ

∂y

∂η

∣∣∣∣∣∣∣∣ .7. Elementul de arie este

dxdy = |J (ξ, η)| dξdη.

8. Teorema de schimbare de variabila ın integrale duble:∫∫(D)

f (x, y) dxdy =

∫∫(∆)

f (x (ξ, η) , y (ξ, η)) |J (ξ, η)| dξdη.

9. Daca domeniul este dat de inegalitati, atunci, pentru a desena domeniul, trebuie maiıntai sa desenam curbele date de egalitati. Atunci domeniul D este domeniul marginitde acele curbe.

10. Coordonatele polare sunt (ρ, θ) iar ecuatiile de legatura sunt{x = ρ cos θ

y = ρ sin θ, ρ ∈ [0,+∞), θ ∈ [0, 2π] (8)

Jacobianul ın cazul trecerii la coordonate polare este dat de:

J (ρ, θ) =D (x, y)

D (ρ, θ)

def=

∣∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂ρ

∂x

∂θ

∂y

∂ρ

∂y

∂θ

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ cos θ −ρ sin θ

sin θ ρ cos θ

∣∣∣∣∣ = ρ

11. Ecuatia unui cerc centrat ın origine si de raza R este

x2 + y2 = R2.

12. Ecuatia unui cerc centrat ın A (a/2, 0) si de raza a/2 este

(x− a/2)2 + y2 = a2/4⇔ x2 + y2 = ax.

13. Ecuatia unui cerc centrat ın A (0, a/2) si de raza a/2 este

x2 + (y − a/2)2 = a2/4⇔ x2 + y2 = ay.

14. Discul (cercul cu interiorul lui) centrat ın origine si de raza R este dat de

x2 + y2 ≤ R2.

14

Lucia

n Mati

ciuc


15. Daca D este discul x2 + y2 ≤ R2, atunci coordonatele polare sunt cele date de (8) cuρ ∈ [0, R] , θ ∈ [0, 2π] .

16. Daca D este dat de x2 + y2 ≤ R2 cu y ≥ 0 (semidiscul superior), atunci coordonatelepolare sunt cele date de (8) cu ρ ∈ [0, R] , θ ∈ [0, π] .

17. Daca D este dat de x2 + y2 ≤ R2 cu x, y ≥ 0 (semidiscul din primul cadran), atuncicoordonatele polare sunt cele date de (8) cu ρ ∈ [0, R] , θ ∈ [0, π/2] .

18. Daca D este interiorul de cerc x2 + y2 ≤ ax, atunci

x2 + y2 ≤ ax⇔ (x− a/2)2 + y2 ≤ a2

4.

DeciD este interiorul unui cerc de centruA (a/2, 0) si de raza a/2. Coordonatele polaresunt cele date de (13). Din desen se vede ca θ ∈ [−π/2, π/2]. Pentru a gasi domeniullui ρ folosim inegalitatea care da domeniul:

x2 + y2 ≤ ax⇒ ρ2 ≤ aρ cos θ ⇔ ρ ≤ a cos θ

deci ρ ∈ [0, a cos θ].

19. Daca D este interiorul de cerc x2 + y2 ≤ ay, atunci

x2 + y2 ≤ ay ⇔ x2 + (y − a/2)2 ≤ a2

4.

DeciD este interiorul unui cerc de centruA (o, a/2) si de raza a/2. Coordonatele polaresunt cele date de (13). Din desen se vede ca θ ∈ [0, π]. Pentru a gasi domeniul lui ρfolosim inegalitatea care da domeniul:

x2 + y2 ≤ ay ⇒ ρ2 ≤ aρ sin θ ⇔ ρ ≤ a sin θ

deci ρ ∈ [0, a sin θ].

20. Aria unui domeniu plan. Fie D ⊂ R2 un domeniu plan. Aria lui este data de integraladubla

A =

∫∫(D)

dxdy

15

Lucia

n Mati

ciuc


Cap. V Integrale de suprafata

1. Daca suprafata (S) este data de reprezentarea parametrica

(S) : x = f (u, v) , y = g (u, v) , z = h (u, v) , (u, v) ∈ ∆

(u si v sunt parametrii ai unui punct M (x, y, z) de pe suprafata), atunci:

2. Definim determinantii functionali

A : =D (g, h)

D (u, v)=

∣∣∣∣∣ g′u g′v

h′u h′v

∣∣∣∣∣ , B :=D (h, f)

D (u, v)=

∣∣∣∣∣ h′u h′v

f ′u f ′v

∣∣∣∣∣ ,C : =

D (f, g)

D (u, v)=

∣∣∣∣∣ f′u f ′v

g′u g′v

∣∣∣∣∣ .3. Definim cantitatile

E :=(f ′u)2

+(g′u)2

+(h′u)2

, G :=(f ′v)2

+(g′v)2

+(h′v)2.

siF := f ′u · f ′v + g′u · g′v + h′u · h′v .

4. Cosinusii directori sunt dati de formulele

cosα = ± A√A2 +B2 + C2

, cosβ = ± B√A2 +B2 + C2

, cos γ = ± C√A2 +B2 + C2

.

(9)

5. Are loc egalitateaA2 +B2 + C2 = EG− F 2.

6. Forma diferentiala

dσ =√EG− F 2dudv =

√A2 +B2 + C2dudv

se numeste elementul de arie al suprafetei (S).

7. Aria suprafetei (S) data parametric este data de integrala dubla

AS =

∫∫(S)

dσ =

∫∫∆

√EG− F 2dudv

8. Daca suprafata este data explicit prin ecuatia z = f (x, y), (x, y) ∈ D, atunci luandx = u, y = v, z = f (u, v) vom obtine ca elementul de arie este dat de

dσ =√

1 + p2 + q2dxdy,

undep = f ′x , q = f ′y .

16

Lucia

n Mati

ciuc


9. Aria suprafetei (S) data explicit este data de integrala dubla

AS =

∫∫(S)

dσ =

∫∫D

√1 + p2 + q2dxdy

10. Ecuatiile parametrice ale sferei x2 + y2 + z2 = R2 suntx = R sinϕ cos θ ,

y = R sinϕ sin θ ,

z = R cosϕ ,

, ϕ ∈ [0, π] , θ ∈ [0, 2π] , (10)

unde ϕ este unghiul facut de vectorul de pozitie−−→OM cu axaOz, iar θ este unghiul facut

de proiectia lui−−→OM pe planul xOy cu axa Ox. In acest caz

E =(x′ϕ)2

+(y′ϕ)2

+(z′ϕ)2

= . . . calcule . . . = R2

G = (x′θ)2 + (y′θ)

2 + (z′θ)2 = . . . calcule . . . = R2 sin2 ϕ

F = x′ϕx′θ + y′ϕy

′θ + z′ϕz

′θ = . . . calcule . . . = 0.

Deci elementul de arie al suprafetei este

dσ =√EG− F 2 dθdϕ = R2 sinϕ dϕdθ

11. Ecuatiile parametrice ale cilindrului suntx = R cos θ ,

y = R sin θ ,

z = u ,

, θ ∈ [0, 2π] , u ∈ (−∞,+∞) .

In acest cazE = (x′θ)

2 + (y′θ)2 + (z′θ)

2 = . . . calcule . . . = R2

G = (x′u)2 + (y′u)2 + (z′u)2 = . . . calcule . . . = 1

F = x′θx′u + y′θy

′u + z′θz

′u = . . . calcule . . . = 0.

Deci elementul de arie al suprafetei este

dσ =√EG− F 2 dθdϕ = R2 dθdu.

12. Teorema de reducere a integralei de suprafata de primul tip la o integrala dubla (daca(S) este data parametric):∫∫

(S)f (x, y, z) dσ =

∫∫∆f (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v))

√EG− F 2dudv.

13. Teorema de reducere a integralei de suprafata de primul tip la o integrala dubla (daca(S) este data de ecuatia explicita z = z (x, y), (x, y) ∈ ·):∫∫

(S)f (x, y, z) dσ =

∫∫∆f (x, y, z (x, y))

√1 + p2 + q2dxdy.

17

Lucia

n Mati

ciuc


14. Formula de reducere a unei integrale de suprafata de al doilea tip la o integrala desuprafata de primul tip∫∫

(S)Pdydz +Qdzdx+Rdxdy =

∫∫(S)

(P cosα+Q cosβ +R cos γ) dσ, (11)

unde cosα, cosβ, cos γ sunt cosinusii directori ai normalei pe fata aleasa a suprafetei,dati de formulele (9).

15. In cazul unei reprezentari parametrice a suprafetei (S), are loc formula generala dereducere a unei integrale de suprafata de al doilea tip la o integrala dubla∫∫

(S)Pdydz +Qdzdx+Rdxdy = ±

∫∫∆

(A · P +B ·Q+ C ·R) dudv.

16. Formula lui Stokes:∫(L)

Pdx+Qdy+Rdz =

∫∫(S)

(∂R

∂y− ∂Q

∂z

)dydz+

(∂P

∂z− ∂R

∂x

)dzdx+

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy,

unde (S) este o suprafata marginita de curba (L).

17. Daca se ia drept suprafata un domeniu plan D (adica z = 0) formula lui Stokes devineformula lui Green, adica∫

(L)Pdx+Qdy =

∫∫(D)

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy,

unde (D) este domeniul marginit de curba (L).

18. Formula lui Stokes se poate rescrie∫(L)

Pdx+Qdy +Rdz

=

∫∫(S)

[(∂R

∂y− ∂Q

∂z

)cosα+

(∂P

∂z− ∂R

∂x

)cosβ +

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)cos γ

]dσ

18

Lucia

n Mati

ciuc


Cap. VI Integrala tripla

1. Teorema de reducere a integralei triple ın cazul unui paralelipiped dreptunghic:∫∫∫[a,b]×[c,d]×[g,h]

f (x, y, z) dxdydz =

∫ b

a

(∫∫[c,d]×[g,h]

f (x, y, z) dydz

)dx

=

∫ b

a

(∫ d

c

(∫ h

gf (x, y, z) dz

)dy

)dx.

2. Teorema de reducere a integralei triple ın cazul unui corp cilindric:

DacaV =

{(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D , g1 (x, y) ≤ z ≤ g2 (x, y)

}, (12)

atunci ∫∫∫Vf (x, y, z) dxdydz =

∫∫D

(∫ g2(x,y)

g1(x,y)f (x, y, z) dz

)dxdy

3. Pentru a determina daca domeniul V este de tipul celui de mai sus trebuie sa:

(i) desenam mai ıntai domeniul V

(ii) proiectam domeniul V pe planul xOy si obtinem domeniul plan de variatie pentru(x, y) (i.e. (x, y) ∈ D)

(iii) luam (x, y) ∈ D arbitrar si prin (x, y) ducem o paralela la axa Oz care va intersectadomeniul V ın suprafetele g1 (x, y) si g2 (x, y).

Deci obtinem explicitarea (12).

4. Planele de coordonate sunt date de

xOy : z = 0

xOz : y = 0

yOz : x = 0

5. Axele de coordonate sunt date de

Ox : y = z = 0

Oy : x = z = 0

Oz : x = y = 0

6. Ecuatia unei sfere centrata ın origine si de raza R este

x2 + y2 + z2 = R2.

7. Bila (sfera cu interiorul ei) centrata ın origine si de raza R este data de

x2 + y2 + z2 ≤ R2.

19

Lucia

n Mati

ciuc


8. Ecuatia unui con cu varful ın origine si cu axa de simetrie Oz este

x2 + y2 = z2.

9. Conul cu interiorul lui este dat de

x2 + y2 ≤ z2.

10. Ecuatia unui cilindru cu axa de simetrie Oz este

x2 + y2 = R2.

11. Cilindrul cu interiorul lui este dat de

x2 + y2 ≤ R2.

12. Formula lui Gauss–Ostrogradski (face legatura dintre integrala tripla si integrala desuprafata de specia a doua):∫∫∫

V

(∂R

∂z+∂P

∂x+∂Q

∂y

)dxdydz =

∫∫SPdydz +Qdzdx+Rdxdy,

unde S este suprafata care margineste corpul V .

13. Folosind teorema de reducere a integralelor de suprafata de al doile tip la integralelede suprafata de primul tip obtinem∫∫∫

V

(∂R

∂z+∂P

∂x+∂Q

∂y

)dxdydz =

∫∫S

(P cosα+Q cosβ +R cos γ) dσ

14. Elementul de volum dxdydz este dat de

dxdydz = |J (ξ, η, ζ)| dξdηdζ,

unde ecuatiile de legatura suntx = x (ξ, η, ζ) ,

y = y (ξ, η, ζ) ,

z = z (ξ, η, ζ) , (ξ, η, ζ) ∈ ∆

iar jacobianul transformarii este

J (ξ, η, ζ)def=

D (x, y, z)

D (ξ, η, ζ)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂x

∂ξ

∂x

∂η

∂x

∂ζ

∂y

∂ξ

∂y

∂η

∂y

∂ζ

∂z

∂ξ

∂z

∂η

∂z

∂ζ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣20

Lucia

n Mati

ciuc


15. Coordonatele cilindrice sunt date dex = ρ cos θ,

y = ρ sin θ,

z = z, cu ρ ∈ [0,∞), θ ∈ [0, 2π] , z ∈ (−∞,∞) .

Jacobianul transformarii este

J (ρ, θ, z) =

∣∣∣∣∣∣∣∣cos θ −ρ sin θ 0

sin θ ρ cos θ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = . . . calcule . . . = ρ.

Deci elementul de volum dxdydz este ın cazul coordonatelor cilindrice

dxdydz = ρ dρdθdz.

16. Coordonatele sferice (sau coordonate polare ın spatiu) sunt date dex = ρ sinϕ cos θ,

y = ρ sinϕ sin θ,

z = ρ cosϕ, ρ ∈ [0,∞), ϕ ∈ [0, π] , θ ∈ [0, 2π]

(13)

Jacobianul transformarii este

J (ρ, ϕ, θ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣sinϕ cos θ ρ cosϕ cos θ −ρ sinϕ sin θ

sinϕ sin θ ρ cosϕ sin θ ρ sinϕ cos θ

cosϕ −ρ sinϕ 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = . . . calcule . . . = ρ2 sinϕ

Deci elementul de volum dxdydz este ın cazul coordonatelor sferice

dxdydz = ρ2 sinϕdρdϕdθ.

17. Volumul unui corp V este dat de

V (V ) =

∫∫∫Vdxdydz

18. Daca V este interiorul de sfera x2 + y2 + z2 ≤ R2, atunci coordonatele sferice sunt celedate de (13) cu ρ ∈ [0, R] , ϕ ∈ [0, π] , θ ∈ [0, 2π] .

19. Daca V este x2 + y2 + z2 ≤ R2 cu z ≥ 0 (interiorul de sfera din semispatiul superior),atunci coordonatele sferice sunt cele date de (13) cu ρ ∈ [0, R] , ϕ ∈ [0, π/2] , θ ∈ [0, 2π] .

20. Daca V este x2+y2+z2 ≤ R2 cu x, y, z ≥ 0 (interiorul de sfera din primul octant), atuncicoordonatele sferice sunt cele date de (13) cu ρ ∈ [0, R] , ϕ ∈ [0, π/2] , θ ∈ [0, π/2] .

21

Lucia

n Mati

ciuc


21. Daca V este interiorul de sfera x2 + y2 + z2 ≤ az, atunci

x2 + y2 + z2 ≤ az ⇔ x2 + y2 +(z − a

2

)2≤ a2

4.

Deci V este interiorul unei sfere centru A(0, 0, a2

)si de raza a

2 . Coordonatele sfericesunt cele date de (13). Din desen se vede ca ϕ ∈ [0, π/2] si θ ∈ [0, 2π]. Pentru a gasidomeniul lui ρ folosim inegalitatea care da domeniul:

x2 + y2 + z2 ≤ az ⇒ ρ2 ≤ aρ cosϕ⇔⇔ ρ ≤ a cosϕ

deci ρ ∈ [0, a cosϕ].

22

Lucia

n Mati

ciuc


Cap. VII Ecuatii diferentiale

1. Ecuatii diferentiale cu variabile separabile.

2. Ecuatii diferentiale liniare.

3. Ecuatii diferentiale de ordin n, omogene sau neomogene, cu coeficienti constanti.

23

Lucia

n Mati

ciuc

sinteza am ii – semestrul ii˘ conf. dr. lucian maticiuc ...maticiuc/didactic/sinteza_semestrul...

Documents