LIST¼A DE SUBIECTE TEORETICEPENTRU PREG¼ATIREA TESTULUI UNIC

Capitolul 1: Spatii vectoriale (liniare)

(1) Spatii vectoriale. Exemple algebrice. Reguli de calcul într-un spatiu vectorial (partial cudemonstratie).

(2) Combinatie liniar¼a �nit¼a. Sisteme de generatori ai unui spatiu vectorial. Familie de vectoriliniar independent¼a / liniar dependent¼a. Operatii cu familii de vectori. Propriet¼ati (partialcu demonstratie).

(3) Baz¼a a unui spatiu vectorial si reper. Caracteriz¼ari echivalente (familie liniar independent¼amaximal¼a, sistem de generatori minimal). Coordonatele unui vector. Teoreme privindexistenta si utilizarea reperelor (partial cu demonstratie !).

(4) Spatii vectoriale de tip �nit. Exemple. Dimensiunea unui spatiu vectorial. Lema decompletare.

(5) Teorema schimbului a lui Steinitz (inclusiv demonstratia !).(6) Metoda pivotului (Gauss). Lema schimbului singular (inclusiv demonstratia).(7) Reprezentarea unui vector într-un reper. Matricea de trecere de la un reper la altul.

Modi�carea reprezent¼arii unui vector la schimbarea reperelor (inclusiv demonstratia).(8) Teorema rangului (inclusiv demonstratia). Criterii pentru determinarea naturii unui sistem

de vectori.(9) Subspatiu vectorial. Suma si intersectia de subspatii. Propriet¼ati (partial cu demonstratie).(10) Acoperire liniar¼a. Subspatiul vectorial generat de o multime. De�niri echivalente (partial

cu demonstratie).(11) Teorema dimensiunii a lui Grassmann (inclusiv demonstratia !).(12) Sum¼a direct¼a de subspatii vectoriale. Teorema de echivalent¼a a sumei directe, cu demon-

stratie (inclusiv demonstratia !). Suplement direct al unui subspatiu vectorial.(13) Relatia de echivalent¼a asociat¼a unui subspatiu vectorial. Consecinte (partial cu demon-

stratie).(14) Variet¼ati liniare asociate unui sistem de ecuatii liniare. Exempli�care.

Capitolul 2: Operatori liniari

(1) Operatori liniari. Exemple. Propriet¼ati (partial cu demonstratie).(2) Comportarea subspatiior vectoriale prin operatori liniari (inclusiv demonstratia). Nucleu.

Imagine.(3) Rangul unui operator liniar si defectul s¼au. Teorema dimensiunii privind operatorii liniari

(inclusiv demonstratia !). Consecinte.(4) Comportarea multimilor liniar independente si a sistemelor de generatori prin operatori

liniari (partial cu demonstratie).(5) Teorema de prelungire prin liniaritate. Izomor�smul spatiilor vectoriale de tip �nit de

aceeasi dimensiune (inclusiv demonstratia). Consecinte.(6) Teorema fundamental¼a de izomor�sm.(7) Reprezentarea matriceal¼a a operatorilor liniari de�niti pe spatii vectoriale de tip �nit.

Modi�carea matricei unui operator liniar la schimbarea reperelor (inclusiv demonstratia !).(8) Spatiul vectorial al operatorilor liniari. Compunearea a doi operatori liniari. Operator

invers (inclusiv demonstratii).(9) Propriet¼atile aplicatiei de reprezentare a unui operator prin matrice asociate (Leg¼atura

dintre operatiile cu operatori liniari si operatiile cu matricele corespunz¼atoare lor, partialcu demonstratie). Consecinte.

1

2 LIST ¼A DE SUBIECTE TEORETICE PENTRU PREG ¼ATIREA TESTULUI UNIC

(10) Valori proprii ai unui endomor�sm. Ecuatia caracteristic¼a a unui endomor�sm de�nit pespatii de dimensiune �nit¼a sau a unei matrice p¼atratice. Invarianta polinomului caracter-ictic la schimbarea bazelor (inclusiv demonstratia).

(11) Vectori proprii ai unui endomor�sm. Algoritm de calcul în cazul unui endomor�sm de�nitpe spatii de dimensiune �nit¼a. Subspatii proprii. Dimensiune algebric¼a si geometric¼a aunei valori proprii. Propriet¼ati (inclusiv demonstratii !).

(12) Endomor�sme diagonalizabile de�nite pe spatii de dimensiune �nit¼a. Matrice diagonali-zabil¼a. Puterile unei matrice diagonalizabile. Teorema de caracterizare a endomor�smelordiagonalizabile (inclusiv demonstratia !).

(13) Subspatii invariante ale unui endomor�sm. Operatii cu subspatii invariante. Nucleul stabilsi imaginea stabil¼a a unui endomor�sm de�nit pe spatii de dimensiune �nit¼a. Caracteri-zarea subspatiilor invariante ale unui endomor�sm diagonalizabil.

(14) Forma canonic¼a Jordan a unui endomor�sm de�nit pe spatii de dimensiune �nit¼a. ReperJordan. Algoritm de jordanizare. Teorema de caracterizare a jordanizabilit¼atii.

(15) Functionale liniare. Dualul algebric al unui spatiu liniar. Baze asociate canonic. Modalit¼atide reprezentare a functionalelor liniare. Exempli�care.

(16) Functionale biliniare. Reprezentarea matriceal¼a în cazul spatiior de dimensiune �nit¼a.Modi�carea matricei unei functionale biliniare la schimbarea reperelor (inclusiv demon-stratia).

(17) Functionale biliniare simetrice. Propriet¼atile matricei de reprezentare (inclusiv demon-stratii).

(18) Functionale p¼atratice reale. Reprezentarea matriceal¼a si forma algebric¼a a unei functionalep¼atratice reale. Functionala biliniare simetrice polar atasat¼a unei functionale p¼atraticereale. Propriet¼ati (partial cu demonstratie). Clasi�carea functionalelor p¼atratice reale si amatricelor p¼atratice reale.

(19) Forma canonic¼a a unei functionale p¼atratice reale (matrice p¼atratice reale). Signatura uneifunctionale p¼atratice reale. Teorema inertiei a lui Sylvester (inclusiv demonstratia !).

(20) Metoda lui Gauss de aducere a unei functionale p¼atratice reale la forma canonic¼a. Comen-tarii si exempli�care.

(21) Metoda lui Jacobi de aducere a unei functionale p¼atratice reale la forma canonic¼a. Comen-tarii si exempli�care.

(22) Metoda vectorilor si valorilor proprii de aducere a unei functionale p¼atratice reale la formacanonic¼a. Comentarii si exempli�care.

(23) Functionale complexe liniare în primul argument si conjugat liniare în al doilea argument.Reprezentarea matriceal¼a în cazul spatiior de dimensiune �nit¼a. Modi�carea matricei uneifunctionale de acest tip la schimbarea reperelor (inclusiv demonstratia).

(24) Functionale complexe hermitiene. Reprezentarea matriceal¼a în cazul spatiior de dimensiune�nit¼a. Modi�carea matricei unei functionale de acest tip la schimbarea reperelor (inclusivdemonstratia).

(25) Functionale p¼atratice hemitiene. Reprezentarea matriceal¼a si forma algebric¼a. Functionalacomplex¼a hermitian¼a polar atasat¼a unei functionale p¼atratice hemitiene. Forma canonic¼aa unei functionale p¼atratice hemitiene. Signatura unei functionale p¼atratice hemitiene.

Capitolul 3: Spatii euclidiene

(1) Produs scalar real. Spatiu euclidian. Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz si teoremalui Pitagora (cu demonstratie !).

(2) Produs scalar complex. Spatiu unitar. Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz si teo-rema lui Pitagora (cu demonstratie !).

(3) Unghiul a doi vectori. Vectori ortogonali. Baze ortogonale. Procedeul de ortogonalizareGram-Schmidt (partial cu demonstratie !). Baze ortonormate.

(4) Reprezentarea matriceal¼a a produsului scalar pe spatii de dimensiune �nit¼a. Propriet¼atilematricei Gram.

LIST ¼A DE SUBIECTE TEORETICE PENTRU PREG ¼ATIREA TESTULUI UNIC 3

(5) Multimi ortogonale de vectori. Propriet¼ati. Subspatii ortogonale. Complement ortogonal.Teorema de descompunere în subspatii ortogonale (cu demonstratie).

(6) Proiectia ortogonal¼a a unui vector pe un subspatiu. Caracterizare. Algoritmul de deter-minare a operatorului de proiectie.

(7) Reprezentarea functionalelor biliniare (complexe liniare în primul argument si conjugatliniare în al doilea argument) în spatii euclidiene (unitare).

(8) Operatori liniari adjuncti. Propriet¼ati (partial cu demonstratie).(9) Endomor�sme autoadjuncte. Propriet¼ati (partial cu demonstratie).(10) Endomor�sme ortogonale. Propriet¼ati (partial cu demonstratie).Capitolul 4: Spatii normate. Spatii metrice.(1) Spatii metrice. Elemente de topologie. Convergent¼a. Completitudine.(2) Spatii normate. Exempli�care în spatii �nit dimensionale. Legatura între spatiile metrice

si spatiile normate.(3) Regula paralelogramului în spatii normate. Legatura între spatiile euclidiene si spatiile

normate.(4) Functii Lipschitziene. Contractii. Principiul contractiei (cu demonstratie !).(5) Polinoame de matrice. Teorema Hamilton-Cayley (cu demonstratie). Consecinte.(6) Norme matriceale. Functii analitice de matrice. Exempli�care.

O selectie a unor importante rezultate teoretice.

(1) Reprezentarea unui vector într-un reper. Matricea de trecere de la un reper la altul.Modi�carea reprezent¼arii unui vector la schimbarea reperelor (inclusiv demonstratia).

(2) Metoda pivotului (Gauss). Lema schimbului singular (inclusiv demonstratia).(3) Teorema dimensiunii a lui Grassmann (inclusiv demonstratia !).(4) Rangul unui operator liniar si defectul s¼au. Teorema dimensiunii privind operatorii liniari

(inclusiv demonstratia !). Consecinte.(5) Reprezentarea matriceal¼a a operatorilor liniari de�niti pe spatii vectoriale de tip �nit.

Modi�carea matricei unui operator liniar la schimbarea reperelor (inclusiv demonstratia !).(6) Propriet¼atile aplicatiei de reprezentare a unui operator prin matrice asociate (Leg¼atura

dintre operatiile cu operatori liniari si operatiile cu matricele corespunz¼atoare lor, partialcu demonstratie). Consecinte.

(7) Valori proprii ai unui endomor�sm. Ecuatia caracteristic¼a a unui endomor�sm de�nit pespatii de dimensiune �nit¼a sau a unei matrice p¼atratice. Invarianta polinomului caracter-ictic la schimbarea bazelor (inclusiv demonstratia).

(8) Functionale biliniare. Reprezentarea matriceal¼a în cazul spatiior de dimensiune �nit¼a.Modi�carea matricei unei functionale biliniare la schimbarea reperelor (inclusiv demon-stratia).

(9) Forma canonic¼a a unei functionale p¼atratice reale (matrice p¼atratice reale). Signatura uneifunctionale p¼atratice reale. Teorema inertiei a lui Sylvester (inclusiv demonstratia !).

(10) Produs scalar real. Spatiu euclidian. Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz si teoremalui Pitagora (cu demonstratie !).

(11) Produs scalar complex. Spatiu unitar. Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz si teo-rema lui Pitagora (cu demonstratie !).

(12) Reprezentarea functionalelor biliniare (complexe liniare în primul argument si conjugatliniare în al doilea argument) în spatii euclidiene (unitare).

(13) Operatori liniari adjuncti. Propriet¼ati (partial cu demonstratie).(14) Functii Lipschitziene. Contractii. Principiul contractiei (cu demonstratie).(15) Polinoame de matrice. Teorema Hamilton-Cayley (cu demonstratie). Consecinte.