lectia v produsul mixt. aplicatii la calculul distantelor

Produsul mixt: de�nitie, proprietatiDistante

Baza reciproca a unei baze

Lectia V

Produsul mixt. Aplicatii la calculul distantelor

Oana Constantinescu

Oana Constantinescu Lectia V



Table of Contents

1 Produsul mixt: de�nitie, proprietati

2 Distante

3 Baza reciproca a unei baze




De�nitia produsului mixt

De�nition

Fie tripletul ordonat de vectori liberi u, v , w ∈ V. Produsul mixt

al celor trei vectori se noteaza cu (u, v ,w) si se de�neste prin

(u, v ,w) =< u, v × w >

Observatie: Din proprietatile produdului scalar si vectorial, rezulta

imediat ca produsul mixt e o aplicatie triliniara

( , , ) : V × V × V → R.


Proprietatile produsului mixt

Theorem

Produsul mixt are urmatoarele proprietati:

(a) daca B = {i , j , k} este o baza ortonormata pozitiva si

u = x1i + x2j + x3k , v = y1i + y2j + y3k , w = z1i + z2j + z3k ,atunci

(u, v ,w) =

∣∣∣∣∣∣x1 x2 x3

y1 y2 y3

z1 z2 z3

∣∣∣∣∣∣ .(b) Semnul produsului mixt (u, v ,w) se schima daca se permuta

doi dintre factorii sai dar nu se schimba daca se permuta circular

toti cei trei factori.

(c) (u, v ,w) = 0 ⇔ u, v ,w sunt vectori coplanari.

(d) (Interpretarea geometrica) Daca u, v ,w sunt necoplanari,

atunci |(u, v ,w)| reprezinta volumul paralelipipedului construit pe

cei trei vectori.

Interpretare geometrica



Distanta de la un punct exterior unui plan la acel plan

Se stie ca daca π este un plan si A un punct exterior planului,

distanta de la A la π este minimul lungimilor segmentelor ce unesc

punctul A cu punctele planului. Mai exact, daca AA0 ⊥ π, A0 ∈ π,atunci d(A, π) = AA0.


Distanta d(A, π)Pentru a determina formula de calcul, se considera A(rA),B(rB) ∈ π si a, b doi vectori necoliniari din −→π .Se construieste paralelipipedul asociat vectorilor

−→BA, a, b. Se

foloseste interpretarea geometrica a produsului mixt si formula

volumului unui paralelipiped. Se obtine:

d(A, π) =|(rA − rB , a, b)|‖ a × b ‖

.

Distanta dintre doua drepte necoplanare

Date doua drepte necoplanare d1 si d2 ce trec prin punctele A1(r1),respectiv A2(r2), de vectori directori a1, a2, distanta dintre cele

doua drepte reprezinta minimul lungimii segmentelor ce unesc un

punct de pe d1 cu un punct de pe d2. Si anume

d(d1, d2) =lungimea segmentului PQ, unde PQ este perpendiculara

comuna celor doua drepte, P ∈ d1, Q ∈ d2.Pentru a calcula d(d1, d2) se construieste paralelilipedul pe

vectorii−−−→A1A2, a1, a2. Se observa ca PQ este chiar inaltimea

paralelipipedului, deci

d(d1, d2) =|(r2 − r1, a1, a2)|‖ a1 × a2 ‖

.

Distanta dintre doua drepte necoplanare




De�nition

Fie B = {e1, e2, e3} o baza in V. Se numeste baza reciproca bazei

B o baza B∗ = {e∗1, e∗

2, e∗

3} cu proprietatile:

< e∗i , e j >= δij =

{1, i = j

0, i 6= j∀i , j ∈ 1, 3.

Theorem

Pentru orice baza B exista o unica baza reciproca B∗ la fel

orientata cu B.



e∗1 =e2 × e3

(e1, e2, e3), e∗2 =

e3 × e1(e1, e2, e3)

, e∗3 =e1 × e2

(e1, e2, e3).



Aplicatie

Example

Rezolvati sistemul de ecuatii vectoriale:< a, x > = m

< b, x > = n

< c , x > = p

unde a, b, c sunt trei vectori necoplanari si m, n, p ∈ R.

Indicatii: Vectorii a, b, c �ind necoplanari formeaza o baza in V.Fie B∗ = {a∗, b∗, c∗} baza reciproca acesteia.

Descompunem vectorul necunoscut in aceasta baza:

x = αa∗ + βb∗+ γc∗.


Aplicatie

Rezulta ca α =< x , a >= m, β =< x , b >= n, γ =< x , c >= p.Deci sistemul are solutia unica:

x =1

(a, b, c)(mb × c + nc × a + pa × b).

Concluzii

In aceste prime cinci lectii am reusit sa studiem spatiul liniar

euclidian al vectorilor liberi, spatiu pe care l-am si orientat. Am

studiat temeinic proprietatile produsului scalar, vectorial si mixt.

Aceste produse au aplicatii in calculul lungimilor unor segmente, al

masurii unghiurilor, al ariei unui triunghi sau paralelogram, al

volumului unui paralelipiped, al distantelor de la un punct la o

dreapta, de la un punct la un plan ori dintre doua drepte

necoplanare.

Tot proprietatile produselor de vectori ne ajuta in rezolvarea

ecuatiilor sau sistemelor de ecuatii vectoriale.

Am vazut de asemenea ca, �xand o baza, �ecarui vector liber i e

asociaza coordonatele sale in acesta baza:

B = {i , j , k}.........u = xi + y j + zk .

Astfel se obtine un izomor�sm de spatii liniare

f : V → R3, f (u) = (x , y , z).

Concluzii

Dar si oricarui punct din spatiu ii putem asocia un triplet de numere

reale. Anume, se considera un reper cartezian de origine O si baza

B si punctului arbitrar P i se asociaza coordonatele vectorului sau

de pozitie in raport cu baza reperului.

P(x , y , z)⇔ rP =−→OP = xi + y j + zk .

Astfel, �xand un punct O ∈ S, se obtine o bijectie

S → R3, P → (x , y , z).Am stabilit de asemenea formula schimbarii de repere atat in cazul

general, cat si pentru reperele ortonormate, in plan si in spatiu.

Suntem pregatiti sa gasim o legatura subtila intre multimea

punctelor spatiului S si spatiul liniar V (ce este izomorf cu R3).

Astfel, in cursurile urmatoare vom studia spatiul a�n euclidian 3

dimensional E 3 cat si subspatiile sale a�ne: dreapta si planul.

lectia v produsul mixt. aplicatii la calculul distantelor

Documents