3

CAPITOLUL 1 Problema celor trei corpuri: Micarea absolut

Problema celor trei corpuri const n studiul micrilor efectuate de trei corpuri sub influena gravitaiei dintre ele; se face abstracie de influen gravitaional a altor corpuri, sistemul fiind considerat izolat, iar corpurile nsei sunt considerate ca puncte materiale ntruct n cazul corpurilor cereti aceasta ipoteza este ndeplinit cu o bun aproximaie (distane mari n raport cu dimensiunea). Micarea absolut este micarea efectuat de cele trei corpuri ntr-un sistem de referin considerat fix sau inerial .

Fig. 1.1. Reprezentarea celor 3 corpuri in sistemul inerial i a 2 corpuri in sistemului mobil xyzP0 Fie ',,0 mmm masele corpurilor. Micarea este descris de funciile:

)(''

)(

)(00

t

t

t

,

soluii ale sistemului de ecuaii de micare:

220

220

20

20

000

'''

'

''':'

':

''

'

':

mfmrr

r

mfmpmP

fmmrr

r

fmmmP

rr

r

mfm

rr

r

mfmmP

(1)

Asupra lui 0P acioneaz P i P.

4

Ca i n cazul problemei celor dou corpuri se pot obine proprietai ale micrii cu ajutorul integralelor prime ale sistemului de ecuaii (1) adic cu ajutorul acelor relaii ntre vectorii de poziie i viteze ce nu depind de timp, cu alte cuvinte sunt invariante n timp. Soluia general a sistemului (1) depinde de datele iniiale (vectorii de poziie i vitezele la momentul iniial, 6 vectori adic 18 componente scalare; din integralele prime obinem numai 10 constante). n concluzie, n cazul general al unui sistem constituit din n 3 corpuri soluia nu se obine prin cuadraturi . Pentru integrarea sistemului ecuaiilor de miscare n cazul 3n se folosesc metode aproximative analitice sau numerice. Micarea relativ

Micarea relativ este micarea efectuat de dou dintre cele trei corpuri ntr-un sistem de referin cu originea n cel de-al treilea corp. Fie xyzP0 acest sistem (vezi Fig.1.1); drept origine se alege corpul cu masa mai mare, ntruct el are efectul gravitaional preponderent n sistem. n sistemul considerat, micarea este data de:

)(''),( trrtrr

Pentru obinerea acestor funcii se folosesc ecuaiile micrii relative. Obinem: 00 '';

rr

i deci 00 ''; rr

innd seama de ecuaiile (1) se obine sistemul:

rr

rfm

rr

rmmf

r

rr

rfm

rr

rmmf

r

2220

2220

11'')'(

'

''

'11

')(

(2)

care constituie ecuaiile micrii relative. ntruct cele dou ecuaii sunt de aceeai forma, ne vom ocupa doar de prima ecuaie. Introducnd coordonatele carteziene, putem scrie:

222222222222 )'()'()'(;''''; zzyyxxzyxrzyxr

Proiectnd pe axe, din (2) rezult:

3332

2

3332

2

3332

2

'''

'

'''

'

'''

'

rzzz

fmrz

dtzd

ryyy

fmry

dtyd

rxxx

fmrx

dtxd

(3)

unde )( 0 mmf Sistemul (3) poate fi pus sub forma:

5

,

,

,

32

2

32

2

32

2

zR

rz

dtzd

yR

ry

dtyd

xR

rx

dtxd

(4)

unde

3'

'''1'

rzzyyxx

fmR . (5)

Se observ c pentru m=0 obinem R=0 i sistemul (4) devine:

32

2

32

2

32

2

;;rz

tz

ry

ty

rx

tx

, (6)

adica ecuaiile ce descriu micarea relativ n problema celor dou corpuri. Pentru a deosebi aceasta micare de micarea n cazul general dat de (4) s-a folosit

operatorul t

n loc de dtd

.

Se observ deci c zR

yR

xR

,, sunt acceleraii ce corespund prezenei corpului de mas

m. Problema s-a redus la integrarea sistemului (4). Pentru integrarea ecuaiilor de micare n problema celor trei corpuri s-a elaborat metoda variaiei constantelor. Acesta metoda a fost iniiat de ctre Euler n lucrarea Theoria motus Lunae (1753) i dezvoltat de ctre Lagrange n lucrarea Mcanique analytique(1788); metoda variaiei constantelor n problema celor trei corpuri este cunoscut sub denumirea metoda lui Lagrange. Metoda variaiei constantelor Dup cum am vzut n problema celor dou corpuri, descris de (3), integrarea se poate face prin cuadraturi i obinem soluiile: ),,();,,();,,( iiiiii tzztyytxx (7)

unde ii , , 3,1i sunt elementele orbitei. Pentru fixarea ideilor ne vom referi la cazul micrii eliptice heliocentrice. Rezult ,,eai ; ii ,, , unde 00 Mtn este anomalia medie la epoca t0. Evident, din (7) se pot obine componentele vitezei n micarea neperturbat. Astfel:

),,(

),,(

),,(

ii

ii

ii

tztz

tyty

txtx

(8)

6

n micarea heliocentric efectul gravitaional preponderent l are Soarele, a crui mas m0 este cel puin de 1000 de ori mai mare dect masele planetelor. Rezult c aceeleraiile perturbatoare sunt mici i astfel micarea perturbat pe un interval mic de timp poate fi aproximat cu micarea neperturbat data de (3). Cu alte cuvinte, la t0 se poate considera R = 0, de unde rezult problema celor dou corpuri. Pasul I: Datele iniiale pentru sistemul (3) sunt, evident:

)(,)( 0000 trrtrr ,

adic valorile vectorului de poziie i a vitezei observate pe orbita real la momentul t0.

0r

Fig. 1.2. La t > t0 micarea va fi descris de o conic ce are un punct comun P(t0) cu orbita real. De aceea aceast orbita a fost numit orbit osculatoare la orbita real. Evident, orbita osculatoare are n focar corpul P0 (Soare). Odat cu creterea intervalului de timp (t-t0) orbita real se va abate tot mai mult de orbita osculatoare, rezult ca acesta aproximaie este valabil doar pentru un anume interval de timp. n particular, n cazul micrii heliocentrice, este valabil pe un interval de la cteva zile la cteva luni. Orbita osculatoare este numit i orbita keplerian. Noiunea de osculaie din mecanica cereasc este mai slab dect cea din geometrie unde se definete noiunea de plan osculator. Pasul II: Momentul iniial t0 poate fi arbitrar. Deci la orice moment putem introduce curbe kepleriene (osculatoare), evident, diferite, adic date de seturi de elemente ale orbitei osculatoare diferite, depinznd de momentul ales; tocmai aceasta este prima problem a variaiei orbitei, cci elementele orbitei nu vor mai fi constante, ci depind de epoca aleas. Prin urmare soluia (7) pentru sistemul (3) capt forma: (9) )](),(,[;)](),(,[;)](),(,[ tttzztttyytttxx iiiiii i problema se reduce la obinerea elemenelor orbitei n funcie de timp. Aplicnd metoda variaiei constantelor asupra sistemului (4) se poate arta ca acesta capt forma:

7

3

1

3

1

,,

,,

i riiriir

i riiriir

R

R

, 3,1r (10)

unde am notat :

qp

zzqpyy

qpxx

qp,

),(),(),(

),(),(

,

numit paranteza lui Lagrange, p i q fiind dou elemente arbitrare din mulimea ,,eai ; ii ,, (putem avea numai sau sau mixt i vom calcula toate

cele trei combinaii). Se poate arta ca parantezele lui Lagrange au urmtoarele proprieti: i) [p,p]=0 ii) anticomutativitate: ],[, pqqp

iii). Parantezele Lagrange nu depind explicit de timp, adic: 0],[

qpt

Proprietatea a 3-a este folosit pentru calculul parantezelor lui Lagrange. ntruct parantezele lui Lagrange nu depind de timp, se alege ca acest calcul s se fac pentru t adic pentru trecerea la periheliu (pericentru), caz n care expresia parantezei este mai simpl. Calcul se poate face urmnd calea din tratatul Celestial Mechanics al lui W.M. Smart, i se obine:

0],[

,sin],[

,0],[

i

ici

0],[ ea . 0],[,21

],[ enaa

2

2

2

2

2

2

1],[cos

1],[

121

],[

cos121

],[

0],[],[],[],[

e

enaei

e

enae

enaa

ienaa

iieia

Comentarii:

1. Dup am menionat, metoda variaiei constantelor a fost iniiat de Euler n Theoria motus Lunae (1753) i dezvoltat de ctre Lagrange n lucrarea Mcanique analytique (1788). Aceast metod a devenit ulterior o metod general de integrare a ecuaiilor difereniale.

2. Neobinnd rezultate satisfctoare cu noua metod (metoda variaiei constantelor) n cazul micrii Lunii, din cauza unor ipoteze simplificatoare, Euler a conceput o nou metod, i anume metoda integrrii numerice. Ea a fost

8

dezvoltat n secole XIX XX cptnd o mare rspndire odat cu apariia calculatoarelor electronice. Contribuii importante au adus Gau, Adams, Runge-Kutta.

Sistemul lui Lagrange

nlocuind expresiile parantezelor lui Lagrange n sistemul (10) obinem:

eR

nae

eeiR

ena

i

aR

nadtd

eR

enae

iR

ena

i

dtd

iR

ena

idtd

RR

ena

iR

ena

idtdi

Rnae

eeRenae

dtde

Rnadt

da

22

2

222

2

2

22

22

2222

22

2

2

2

1

11

1

12

tg2

1

12

tg

1

)( cosec12

tg

1

)( cosec

1

11

11

2

(11)

sistemul Lagrange este constituit din 6 ecuaii difereniale, necunoscutele fiind elementelor orbitei: a semiaxa mare a orbitei , e - excentricitatea, nclinarea orbitei, - longitudinea nodului ascendent, - longitudinea periheliului si longitudinea medie la epoc. Prin integrarea sistemului n prima aproximaie (Smart, 1953) se obine o soluie analitic pentru aceste elementele ale orbitei. Capitolul se incheie cu prezentarea elementelor orbitei planetei Mercur obinute de Le Verrier (LeVerrier, 1859). Integrarea sistemului Lagrange (11) nu se poate efectua n termeni finii, ntruct funcia perturbatoare R se exprim n funcie de elementele orbitei sub form de serie trigonometric multipl:

cos'cos' 0 CmcmR (**) Calculul se poate face urmnd calea din tratatul Celestial Mechanics al lui W.M. Smart. unde c i C depind de a,e,i (unde constanta f a fost introdus n c i C)...

iar 0

0

''

''''

MiiM

kkjj

Cu

,...2,1,0

,...2,1,0

,...2,1,0

k

j

i

9

n fine c i C se exprim sub form de serii convergente. Integrarea sistemului (11) se face prin metoda aproximrii succesive. Prin urmare soluia se caut sub forma:

...

...

210

210

aaaa (12)

Unde ( 00 ,...,a )sunt elementele osculatoare la epoca t=0 iar 11 ,...,a sunt perturbaiile

de ordin 1, iia,..., fiind perturbaiile de ordinul i. Pentru obinerea perturbaiilor de ordinul 1 adic pentru obinerea soluiei:

1010 ,..., aaa , se consider n funcia R valorile elementelor oculatoare la

epoca, adic 00 ,...,a . Dac inem cont c R are expresia din (**)., atunci elementele orbitale n prima aproximaie, n urma integrrii sistemului Lagrange, se pot scrie sub forma:

cos1

0

0

0

Jmt

i

e

a

i

e

a

, (13)

sin

'1

0

0

0

Kmt , (14)

unde n (13) pentru a avem 0 . Elementele medii ale orbitei planetei Mercur obinute de Le Verrier Efemerida lui Le Verrier este calculat pentru epoca 1850 + t , planul orbitei lui Mercur fiind raportat la ecliptic i echinociul 1850 (unitatea de timp t este anul iulian 365d,25). Elementele medii ale orbitei sunt (Le Verrier,1859): - longitudinea nodului:

20000835,''06430,''4225,''3'3346 tto ; - inclinarea orbitei:

20000056,''006314,''016,''8'07 tti o . Pentru longitudinea medie precizm:

- longitudinea medie la epoc 1 ianuarie 1850, 12h : 89,"19'153270

o - miscarea medie sideral a planetei fr precesie: 58181,"0163815an/ N

- precesia: 21 89112000,''023572,''50 tt

La N adugm precesia general: t02370,"01 i innd cont de cele precizate, obinem longitudinea medie ( )()70023,"0( 210 tOtNt ):

200011289,''044100,''538106689,''19'15327 tto ;

10

Longitudinea periheliului crete din cauza perturbaiilor planetelor, perturbaii care au urmtoarele valori, unitatea de timp fiind anul iulian (Le Verrier,1859; Chazy,1928): Aciunea planetei: Venus. 280,64 Pmnt........................... 83,61 Marte. 2,55 Jupiter 152,59 Saturn 7,24 Uranus... 0,14 Neptun.......................... 0,06 Total. 526,83 527/secol Incluzand precesia, longitudinea periheliului are expresia (unitatea de timp fiind anul iulian):

20001111,''0503,''1'775 tto ,5308'5' ;

- excentricitatea: 22

10 0000009,''004195,''02056105,0' ttteteee ; - semiaxa mare:

3870987,0a . Prelucrnd observaiile momentelor de contact ale trecerilor planetei Mercur peste discul Soarelui, Le Verrier obine longitudinea corectat a periheliului ( )(' 2corectat0corectat tOtcorectat ):

20001111,''0,55'775 ttocorectat 9138,93'13' Remarc: Avansul periheliului lui Mercur este: l,3/seco38"an/3830,"05308,"559138,"55'' corectat Poincare a artat c metoda aproximaiei succesive iniiate de Langrange nu este o metoda adecvat pentru studiul comportamentului sistemului pentru intervale mari de timp, ci doar pentru intervale de sute cel mult mii de ani. Odat cu lucrrile lui Poincare, s-au elaborat noi metode pentru studiul soluiei ecuaiilor de micare din problema celor n corpuri. Odat cu perfecionarea calculatoarelor electronice, s-a studiat comportamentul Sistemului Solar prin integrarea numeric a ecuaiilor de micare. S-a obinut c cel puin pentru milioane de ani sistemul solar este stabil.