laborator 1 functii de transfer

7/22/2019 Laborator 1 Functii de Transfer

1/6

LABORATOR NR. 1: MODELAREA MATEMATICA A PROCESELORCONTINUE

Obiectivele lucrrii

a) studiul unor modele matematice pentru procese continue; b) simularea sistemelor continue folosind instructiunile din mediul MATLAB.

Scopul acestei lucrari de laborator este prezentarea unor exemple de modelare matematica a proceselorcontinue. Astfel, se porneste de la ecuatiile ce descriu functionarea proceselui si se ajunge la deducerea unui

model intrare iesire !functia de transfer).

Exemplul 1:

"ie un carucior de masa constanta Mce se deplaseaza pe un plan orizontal, fara frecare. Se considera ca

marime de intrare !cauza) forta Faplicata asupra caruciorului, iar ca marime de iesire !efect) deplasarea xacaruciorului fata de pozitia initiala. #n figura de mai jos pozitia initiala a caruciorului este marcata cu A. Suntcunoscute constanta de elasticitate ka resortului si masa Ma caruciorului. Se neglijeaza frecarea cu aerul sise presupune ca resorul este initial relaxat.

Modelul matematic se obtine scriind relatiile matematice care descriu ec$ilibrul fortelor ce actioneazaasupra corpului de masa M. "orta F%a egala suma dintre forta elastica Fesi forta de inertie Fi&

! ) ! ) ! )e i

F t F t F t= +

unde

! ) ! )

! ) ! )

e

i

F t kx t

F t Mx t

=

= &&

'relucrand relatiile de mai sus, se obtine&

! ) ! ) ! ); !() (Mx t kx t F t x+ = =&&

Aceasta relatie se poate rescrie, notand marimea de intrare cu u si marimea de iesire cu &

! ) ! ) ! ); !() (; !() (My t ky t u t y y+ = = =&& &

Modelul matematic rezultat este o ecuatie diferentiala liniara de ordinul ##.

*onsiderand conditii initiale nule ! !() (; !() (y y= =& ) se poate obtine modelul matematic intrare+iesire de

tip functie de transfer, aplicand transformata Laplace in relatia anterioara&, ! ) ! ) ! )s MY s kY s U s+ =


2/6

,

! ) -! )

! )

Y sG s

U s Ms k = =

+

Obs: Dac se aplic !a"s#$!maa Laplace u"ei %e!i&ae $b'i"emLaplaced

sdt

ia! pe"!u $ i"e(!ala

$b'i"em -Laplace

dts

) ia! pe"!u m!imile i"sa"a"ee ( ) ( )Laplacei t I s ) ( ) ( )Laplacey t Y s

Deci #u"c'ie %e !a"s#e! a"e!i$a!a a #$s $b'i"u as#el:

! ) ! ) ! ); !() (; !() (My t ky t u t y y+ = = =&& &

A&em %e #ap:

,

,! ) ! ) ! ); !() (; !() (

d yM t ky t u t y y

dt+ = = =&

P!i" aplica!ea !a"s#$!maei Laplace $b'i"em: ( ), ! ) ! )Ms Y s kY s U s+ =

*i as#el !e+ul #u"c'ie %e !a"s#e!,

marime de iesire ! ) -! )

marime de intrare ! )

Y sG s

U s Ms k = = =

+

Exemplul ,:

"ie sistemul de suspensie al unei masini reprezentat in figura de mai jos. Suspensia masinii este reprezentata

aproximati% printr+un resort si un amortizor !unul elastic si unul $idraulic), caracterizate prin constantele ksi

. Masina, de masa constanta M, intalneste pe sosea o deni%elare de inaltime x!cauza), fapt ce determinadeplasarea ype %erticala a caroseriei automobilului). #n absenta deni%elarii, caroseria masinii se gaseste lainaltimea y(.

Se scriu relatiile matematice ce descriu comportarea sistemului in regim static !deni%elarile sunt absente petraseul masinii) si in regim dinamic !deni%elarile sunt prezente pe traseul masinii).

#n regim static, caroseria se afla la inaltimea y( fata de sol. esortul este deformat numai sub actiuneagreutatii masinii. /otand cu l(deformarea sub actiunea greutatii masinii, se obtine&

(Mg kl=

#n regim dinamic, asupra corpului de masa Mactioneaza reactiunile din resort si amortizorul $idraulic, fortade inertie si greutatea&

(! ) ! )Mg My k l x y x y+ = + + && & &

'relucrand relatiile de mai sus, se obtine relatia.

My y ky x kx + + = +&& & &


3/6

"olosind notatia u pentru marimea de intrare de comanda, relatia precedenta se poate rescrie sub forma&

, (My y ky u ku t + + = + && & &

#n conditii initiale nule, se aplica transormata Laplace si se obtine modelul matematic de tip functie detransfer&

,! )

s k

G s Ms s k

+

= + +

Ce!i"e

Studiul modelelor matematice prezentate in lucrare.

Simularea modelelor intrare iesire !functii de transfer) in mediul Matlab. 'entru aceasta %or fi folositesemnale de tip impuls !se obtine functia pondere), de tip treapta !se obtine raspunsul indicial) si de tipdreptung$iular.

*um se poate implementa o func0ie de transfer 1n Matlab&

m.file simulin2.mdlM=100

k=1

num=[1];

den=[M 0 k];

G=tf(num,den)

figure(1);

step(G);

hold on;

axis([0 100 -01 !1])

figure(!);

impulse(G);

hold on;

axis([0 "0 -0# 0#])

M=100

k=100

num=[1];

den=[M 0 k];

G=tf(num,den)

figure(1);

step(G,$r$);

figure(!);

impulse!3,4r4)

Se ob0in figurile&

Malab

Simulin2

Simulin2 Librar Bro5ser

"ile/e5 mdl.!model) Se selecteaz6&

+ *ommonl 7sed Bloc2s pentru

+ Sources pentru

+ *ontinuos pentru

Se construieste sc$ema in mdl&

'rin apasare cu dublu clic2 pe&


4/6

0 20 40 60 80 100

0

0.5

1

1.5

2

Step Response

Time (sec)

Am

plitude

0 10 20 30 40 50 60 70-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

step ob0inem

Se seteaz6 Sep ime cu (.8 secunde deci treapta %a fi

aplicata dupa (.8 secunde;I"iial &alueeste %aloarea de la care s+a pornit treapta ( inacest caz

-i"al &alueeste %aloarea la care se opre9te treapta - 1nacest caz

La func0ia de transfer T!a"s#e! #c" este initial&

9i %a fi setat6 astfel&


5/6

:- pentru num6rator 9i :-(( ( - pentru numitor, ceea ce

este ec$i%alent cu -(( ( - -(( -s s s + + = + !se poateobser%a c6 se trec doar coeficien0ii)

aca se sc$imba functia de transfer se ob0ine sc$ema&


6/6

'entru a ob0ine r6spunsul la impuls se sc$imba stepu+ul cuun generator de semnal 1n und6 dreptung$iular6 setat astfel

&

?xerci0iul -& Se repet6 1ntreaga procedur6 din Simulin2 9i pentru func0iile de transfer&

a) ( )

-( -

-

sG s

s s

+=

+ +; b) ( )

-( -

sG s

s s

+=

+ c) ( )

-(G s

s=

d) ( )

@

-( -

@ -

sG s

s s s

+=

+ + +

?xemplu& fie func0ia de transfer ( )

@

sG s

s s

+=

+ +. ?cua0ia diferen0ial6 corespunz6toare acestei func0ie de

transfer se ob0ine astfel&

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ), ,

@ @

@

ds

dtU s Y s u t y t Y s s d d d

G s Y s s s U s s y t u t U s dt dt dt s s

+ = = + + = + + + = + + +

( ) ( )( )

( )( )

,

,@ B A

d y t dy t du t y t u t

dt dt dt+ + = +

?xerci0iul & S6 se scrie ecua0iile diferen0iale corespunz6tore func0iilor de transfer de la ex- !punctele a)+d))

laborator 1 functii de transfer

Documents