Noiuni teoretice

Functii derivabile

CUPRINS NoTiuni teoretice..2

Derivata unei functii ntr-un punct 2

Operatii cu functii derivabile. Derivatele unor functii uzuale ..5

Proprietatile functiilor derivabile ...10

AplicaTii ..18

Notiuni teoretice

I. Derivata unei funcii ntr-un punct

I.0o Originea noiunii de derivat

Au existat dou probleme, una fizic - modelarea matematic a noiunii intuitive de vitez a unui mobil - i alta geometric - tangenta la o curb plan -, care au condus la descoperirea noiunii de derivat. Am folosit de mai multe ori referiri la viteza unui mobil, dar abia acum vom putea da definiia matematic a acestui concept.

I.1o Definiia derivatei unei funcii ntr-un punct

Fie o funcie : E R (ER) i, x0 punct de acumulare al mulimii E. Reinem c este definit in x0.

DEFINITIA 1:

1) Se spune c are derivat n punctul x0, dac exist ( n )

notat cu (x0);

2) Dac derivata (x0) exist i este finit se spune c funcia este derivabil n

x0.

Observaii. 1. Se poate ntmpla ca (x0) s existe i s fie . 2.Trebuie remarcat c problema existenei derivatei sau a derivabilitii

nu se pune n punctele izolate ale mulimii E (dac E are astfel de puncte!).

Presupunem c (x0) exist; fcnd translaia x x0 = h, atunci din relaia de definiie rezult c

DEFINITIA 2:

Dac o funcie : E R este derivabil n orice punct al unei submulimi FE, atunci se spune c este derivabil pe mulimea F. In acest caz, funcia F R, x (x) se numete derivata lui pe mulimea F i se noteaz cu . Operaia prin care se obine din se numete derivarea lui .TEOREMA 1. Orice funcie derivabil ntr-un punct este continu n acel punct.

Demonstraia este simpl: Presupunem c : E R este derivabil n punctul xE, deci limita din definiia 1 exist i este finit.

n general reciproca teoremei este fals. Un exemplu este funcia modul n origine.

n studiul existenei limitei unei funcii ntr-un punct un criteriu util l-a constituit egalitatea limitelor laterale. Adaptm acest criteriu la studiul derivabilitii unei funcii ntr-un punct, innd cont c existena derivatei implic n fond existena unei anumite limite.

DEFINITIA 3.

Fie ER i x0E un punct de acumulare pentru E. Dac limita

exist (n R barat ), atunci aceast limit se numete derivata la stnga a funciei n punctul x0.Dac , n plus, aceast limit exist i este finit, atunci se spune c este derivabil la stnga n punctul x0.

n mod similar se definesc derivata la dreapta i noiunea de funcie derivabil la dreapta n x0.

TEOREMA 2. Dac : E R este derivabil n punctul x0E, atunci este derivabil la stnga i la dreapta n x0 i nnnnnnnnnnnnnReciproc, dac este derivabil la stnga i la dreapta n x0 i dac , atunci este derivabil n x0 i

Dac E=[ a, b], faptul c este derivabil n a (respectiv b) revine la aceea c este derivabil la dreapta n punctul a (respectiv la stnga n b).

Exemplu : Pentru : RR, (x) =| x |, avem

Similar se obine c:

,

regsim c nu este derivabil n punctul x = 0.

I.2o Interpretarea geometric a derivatei

Dac : (a, b)R este o funcie derivabil ntr-un punct x0 (a, b), atunci conform relaiilor

graficul lui are tangent n x0 (sau mai corect n punctul (x0, (x0)), anume dreapta de ecuaie

Aadar (x0) este coeficientul unghiular al tangentei la graficul lui , n punctul (x0,(x0)). Dac (x0)= (n sensul c limita din definiie este infinit), atunci tangenta n (x0, (x0)) este paralel cu axa Oy.

Fr nici o dificultate , se poate vorbi de semitangent la dreapta sau la stnga ntr-un punct la un grafic, n legtur cu derivatele laterale respective n acel punct. Geometric, pentru o funcie derivabil ntr-un punct, direciile semitangentelor la dreapta i stnga la grafic n acel punct coincid.

Dac ntr-un punct x0, este continu i avem (sau invers), atunci punctul x0 se numete punct de ntoarcere al graficului lui .

Dac o funcie : E R (ER) este continu ntr-un punct x0E, dac exist ambele derivate laterale, cel puin una dintre ele fiind finit, dar funcia nu este derivabil n x0, atunci se spune c x0 este punct unghiular al graficului lui (fig.2.). Intr-un punct unghiular cele dou semitangente, la stnga i la dreapta, formeaz un unghi

Exemple :

Pentru funcia (x) = , scriem ecuaia tangentei n punctul x0 = 1.

Avem i ecuaia cerut este

(fig. 3).

II. Operaii cu funcii derivabile. Derivatele unor funcii uzuale

Am ntlnit deja exemple de funcii derivabile. Este util o sintez a derivatelor funciilor uzuale i se impune stabilirea unor reguli generale de derivare a sumelor, produselor, compunerilor etc. de funcii derivabile.

II.1o Derivatele ctorva funcii uzuale

a) Orice funcie constant : R R, (x)=c este derivabil pe R, cu derivata nul

(1).

b) Funcia putere : R R, (x) = xn ( n real i x > 0) este derivabil pe R i (x)=nxn-1.

(2).

c) Funcia logaritmic : (0, ) R, (x) = ln x este derivabil pe domeniul de definiie i are derivata

(3).

d) Funciile trigonometrice , g: R R, ( x ) = sin x, g( x )=cos x sunt derivabile pe R i pentru orice x avem

(sin x) = cos x(cos x)= -sin x

Demonstraiile tuturor acestor derivate se fac uor folosind definiia derivatei.

II.2o Reguli de derivare

In continuare artm c pentru funcii ca , g : ER derivabile, E R, funciile + g, -g, fg etc. au aceeai proprietate.

TEOREMA 3. Presupunem c , g sunt derivabile n punctul x0E i o constant.

Atunci :

(a) suma + g este derivabil n x0 i

(b) este derivabil n x0 i

(c) produsul g este o funcie, derivabil n x0 i

Demonstraia se face de asemenea uor folosind definitia derivatei.

Generaliznd se obine urmtorul

COROLAR. Dac 1, 2,k sunt funcii derivabile n punctul x0, atnuci suma 1 + 2 + +k, respectiv produsul 12k sunt derivabile n x0 i, n plus:

i

Teorema 4. Presupunem c i g sunt derivabile n x0 i c . Atunci funcia ct este derivabil n x0 i, n plus :

II.3o Derivarea unei funcii compuse i a inversei unei funcii

Trecem acum la stabilirea altor dou teorema generale de derivare, relativ la compunere i inversare. Deosebit de important este formula de derivare a funciilor compuse. In acest sens, are loc

TEOREMA 5. Fie I, J intervale i dou funcii. Dac este derivabil n punctul x0I, i g este derivabil n punctul y0=(x0), atunci funcia compus G= g este derivabil n x0 i G(x0) = g(y0)f(x0). Dac este derivabil pe I, g este derivabil pe J, atunci gf este derivabil pe I i are loc formula :

Demonstraie. Avem de artat c

Considerm funcia ajuttoare F:IR, definit prin

Funcia F este continua n punctul y0 deoarece

Pe de alt parte, pentru orice xx0 avem

Intr-adevr dac f(x) = (x0), atunci ambii termeni sunt nuli, iar dac (x) (x0), atunci (x) y0 i, conform funciei ajuttoare , deci relaia precedent este dovedita n ambele cazuri. Observnd c F(f(x))F(f(x0)=F(y0)=g(y0) i trecnd la limit (xx0) relaia precedent rezult c

TEOREMA 6. Fie : I J o funcie continu i bijectiv ntre dou intervale. Presupunem c este derivabil ntr-un punct x0I i (x0) 0, atunci inversa g=f-1 este derivabil n punctul y0=f(x0) i, n plus,

Demonstraie. Mai nti trebuie s punem condiia pentru c limita ; yy0. Din faptul c yy0 rezult c xx0 i, n plus,

.

Trecnd la limit cnd yy0, rezult c g(y)g(y0) adic xx0 i ultimul raport tinde ctre . Primul raport din relaia de mai sus va avea limit, deci funcia g este derivabil n punctul y0. Ceea ce trebuia de demonstrat.

Aceast teorem se folosete la aflarea derivatelor unor inverse de funcii. Cum ar fii arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.

II.4o Derivatele funciilor uzuale i a regulilor de derivare

I. Reguli de derivare

1.

2.

3.

4.

II. Tabloul de derivare al funciilor elementare

Funcia

DerivataDomeniul de derivabilitate

c(constant)0R

x1R

xnnxn-1R

xr, r realrxr-1cel puin

ln x

exexR

axaxln aR

sin xcos xR

cos x-sin xR

tg x

cos x

ctg x

sin x

arcsin x

(-1, 1)

arccos x

(-1, 1)

arctg x

R

arcctg x

R

Toate aceste derivate se demonstreaz uor folosind definiia derivatei i teorema 6. Teorema de derivare a funciilor compuse mpreun cu tabloul anterior permite obinerea urmtoarelor formule utilizate (unde u = u(x) este o funcie derivabil).

Tabloul de derivare al funciilor compuse

FunciaDerivataDomeniul de definiie

uu

unnun-1u

urrur-1uu>0

u>0

ln u

u>0

eueuu

auau(ln a) u

sin uucos u

cos u-usin u

tg u

cos u

ctg u

sin u

arcsin u

u2 x0 (respectiv pentru xU, x < x0), deci f(x0) ( 0, f(x0) ( 0, de unde f(x0) = 0.

Observaii. 1) Dac nu ar fi fost interval deschis, de exemplu I=[a, b] i x0=a (sau x0=b), atunci teorema nu ar fi fost adevrat pentru c (x) nu ar fi fost definit pentru x< a, respectiv pentru x > b (fig. 5 a).

2) Reciproca teoremei lui Fermat este n general fals: din faptul c este derivabil ntr-un punct x0 i (x0)=0 nu rezult c x0 este punct de extrem. De exemplu, pentru funcia (x)=x3 avem (0)=0, dar punctul x0=0 nu este punct de extrem local pentru c este strict cresctoare (fig. 5 b). Se mai spune c teorema lui Fermat d condiii necesare de extrem, dar nu i suficiente.

y yy

y=x3

0

0ab x x0 x

a.bc.

Fig 5.

Teorema lui Fermat are o interpretare geometric evident : n condiiile enunului, ntr-un punct de extrem, tangenta la grafic este paralel cu axa Ox ( fig. 5 c).

Dac : I(R este o funcie derivabil pe un interval deschis I, atunci zerourile derivatei pe I sunt numite i puncte critice ale lui pe I; teorema lui Fermat afirm c punctele de extrem local sunt printre punctele critice. In practic, pentru determinarea punctelor de extrem ale unei funcii derivabile pe un interval deschis sau pe o reuniune de intervale deschise, se rezolv mai nti ecuaia (x)=0. Vom vedea mai trziu cum putem decide care din soluiile acestei ecuaii sunt puncte de extrem pentru .

4.2 Teorema lui Rolle

O funcie : [a, b] (R (a< b) se numete funcie Rolle dac este continu pe intervalul compact [a, b] i derivabil pe intervalul deschis (a, b).

Teorema care urmeaz este o consecin a rezultatelor privind funciile i a teoremei lui Fermat, foarte util n aplicaii.

Teorema 8. (teorema lui M. Rolle, 1652- 1719). Fie : [a, b]( R a< b o funcie Rolle astfel nct (a)= (b), atunci exist cel puin un punct c(a, b) astfel nct (c)=0.

Demonstraie. Funcia fiind continu (conform teoremei lui Weierstrass) este mrginit i i atinge marginile n [a, b]. Fie m= M=

.Apar trei cazuri :

I. M> (a). Exist un punct c [a, b] astfel nct M=(c) (M fiind atins) i, evident, c a, ab (dac c= a sau b, atunci M= (c) ar fi egal cu (a)= (b), absurd); aadar, c (a, b) i cum c este maxim local, atunci conform teoremei lui Fermat (c)=0.

II. m< (a). Similar.

III. m= M. Atunci funcia este constant pe [a, b], deci (c)=0 pentru orice c (a, b).COROLAR. Intre dou zerouri ale unei funcii derivabile pe un interval se afl cel puin un zerou al derivatei.

Demonstraie. Fie : I(R derivabil pe un interval I i a, b I, a< b, zerouri ale lui . Atunci (a)=0=(b) i putem aplica teorema lui Rolle pe intervalul [a, b].

Teorema lui Rolle admite o interpretare geometric evident: dac segmentul determinat de punctele (a, (a)), (b, (b)) este paralel cu axa Ox, atunci exist cel puin un punct ntre a i b n care tangenta la graficul lui este paralel cu axa Ox (fig. 6).

Observaii. Toate condiiile din enunul teoremei lui Rolle sunt necesare, n sensul c dac s-ar renuna la vreuna din ele, atunci concluzia nu ar mai fi ntotdeauna adevrat.

a) Dac ar fi continu numai pe intervalul deschis (a, b), exemplul funciei

arat c nu se anuleaz pe intervalul (0, 1) dei (0)=(1). (fig. 7).

b) Dac (a) (b), este suficient s considerm funcia (x)= x pe [0, 1] (fig 8).

c) Dac nu ar fi derivabil pe ntreg intervalul (a, b), concluzia teoremei ar fi fals, aa cum arat exemplul funciei (x)=| x | pe intervalul [-1, 1].

4.3 Teorema lui Lagrange i teorema lui Cauchy.

TEORAMA 9. (teorema lui J. Lagrange, 1736- 1813, a creterilor finite). Fie o funcie Rolle pe un interval compact [a, b]. Atunci c (a, b) astfel nct

(b)- (a)= (b- a)(c)

Demonstraie. Vom considera funcia auxiliar F(x)=(x)+kx, x [a, b], cu k o constant real , pe care o vom determina din condiia F(a)= F(b). Aadar avem c,

yyy

11

y= xy= x

(a)=(b)

0 a c b x 01 x 0 1 x

Fig 6. Fig 7.Fig 8.

(a)+ ka= (b)+ kb, deci k= . Pentru acest k, funcia F verific condiiile teoremei lui Rolle i, ca atare, exist un punct c (a, b) n care F(c)=0. Pe de alt parte , F(x)=(x)+k, x (a, b), deci (c)+ k= 0, (c)+ = 0 i se obine relaia din enun.

Observaii. 1) Relaia din enun y se mai numete formula creterilor finite sau formula de medie pentru derivabilitate ). Notnd (= rezult 0< (< 1 i

c= a+ ((b- a)(a+ ((b- a)), cu 0< (< 1.

2) Ca i n cazul teoremei lui Rolle,

punctul c nu este unic. Interpretarea

geometric a teoremei lui Lagrange rezult

din interpretarea geometric a derivatei i 0a c b x

este urmtoarea: exist cel puin un punct

c(a, b) pentru care tangenta la graficul lui in Fig 9.

(c, (c)) este paralel cu coarda determinat

de punctele (a, (a)), (b, (b)) (fig 9).

3) Putem aplica teorema lui Lagrange restriciei lui la orice subinterval [a, x] [a, b], unde a< x( b. Atunci (x)- (a)= (x-a)(c) cu a (a, x) nu neaprat unic, depinznd de x; uneori se scrie c= cx, ca atare, (x)- (a)= x- a)(cx). Este important de remarcat c dac x( a, atunci cx( a.

Iat acum un corolar al teoremei lui Lagrange, care este util n a decide derivabilitatea unei funcii ntr-un punct.

COROLAR. Fie o funcie definit ntr-o vecintate V a punctului x0, derivabil pe V\{x0} i continu n x0. Dac exist limita , atunci (x0) exist i (x0)=(. Dac limita este finit, atunci este derivabil n x0.

Demonstraie. Aplicnd teorema lui Lagrange funciei pe un interval [x, x0]V, x< x0, rezult =(cx) cu x< cx< x0,, deci (cci cx(x0, dac x(x0, x(. Din definiia derivatei lui F n punctele a i b, exist (>0 depinznd de ( astfel nct din faptul c |x- a|>( (respectiv |x- b|>( ) s rezulte c

Deoarece F(a)+( a, x-a

=> a= ( b=1-e ( b=-2.

Prin urmare pentru ca s fie derivabil n e trebuie ca a= i b= -2.

P5. Fie aR, : R(R o funcie continu n a. S se arate c funcia g: R(R, g(x)=|x-a| f(x) pentru orice xR, este derivabil n a dac i numai dac (a)=0.Matematic, Constana,1997

Soluie :

Explicitm funcia g

Pentru ca funcia g s fie derivabil n a trebuie ca

=>(f(a)= 0, ceea ce este evident.

P6. Fie : R( R dat prin : (x)= .S se determine parametrii reali a, b, c astfel nct s fie derivabil de dou ori pe R i pentru valorile gsite s se calculeze .

Colegiul de Informatic, Cluj Napoca, 1996

Soluie :

Pentru ca s fie derivabil de dou ori pe R trebuie s fie continu. este continu pe R-{0} deoarece este compunere de funcii elementare. Pentru ca s fie continu n punctul o trebuie ca

=> c=1Dac este continu pe R* atunci este i derivabil .In continuare studiem derivabilitatea n punctul 0. este derivabil n punctul 0 ( .

=> b= -1Caz I. x(0

Caz II. x>0

Conform celor dou cazuri derivata funciei este :

.Pentru ca funcia s fie de dou ori derivabil pe R trebuie ca .

=> a=.

Dup aflarea lui a, b , c funcia devine

.

P7. S se arate c :

Matematic, Piteti, 1996

Soluie :

Considerm cele dou cazuri , cnd x=1 i cnd x1.

Caz I. x=1

Se obine suma primelor n numere naturale care se demonstreaz prin inducie matematic: .

Caz II. x1

.Derivnd aceast relaie se obine

, tocmai ce era de demonstrat.

P8. Fie :[-1, 1](R o funcie care verific relaia x( f(x)( x+ x2, oricare ar fi x [-1,1]. Artai c este derivabil n origine i calculai (0).

Matematic, Iai, 1990

Soluie :

x0 => 0(f(0)(0 => f(0)=0;

x>0 => ( (;

x (

P9. Fie : R(R, (x)= . S se calculeze derivata de ordinul n a funciei , n N*.

Academia Tehnic Militar, 1996

Soluie :

Fie 1(x)= i 2(x)= .

Presupunem c pentru k( 2 i demonstrm c

EMBED Equation.3 Analog se calculeaz i derivata de ordinul n a funciei f2 care este

P10. S se arate c nu exist nici un polinom, a crui restricie la intervalul [0, 1] s fie egal cu funcia :[0, 1](R dat de (x)= ln(1+ x).

nvmnt economic 1981

Soluie :

Presupunem c exist P= a0xn+ a1xn-1++anR[x] astfel nct restricia sa la [0, 1] s coincid cu funcia . Deoarece P este un polinom de grad n, derivata sa de ordin (n+1) este nul, P(n+1)(x)=0 pentru orice x[0, 1].

Presupunem c :

P11. S se arate c au loc inegalitile :

Matematic, Braov, 1990

Soluie :

Fie f(x)=sin x: care verific condiiile teoremei lui Rolle, deci putem spune c este o funcie Rolle. Aplicnd teorema lui Lagrange rezult c

P12. Verificai aplicabilitatea teoremei lui Lagrange pentru funcia :[a, b](R, a, b>0, definit prin (x)=1+xlnx i demonstrai inegalitile

Informatic, Iai 1996

Soluie :

=> este continu pe [a, b] i derivabil pe (a, b) fiind o compunere de funcii elementare.

Aplicnd teorema lui Lagrange rezult c

Cum a< c< b rezult c

.

EMBED MS_ClipArt_Gallery

(4).

PAGE 25

_1048761765.unknown

_1049104502.unknown

_1049188275.unknown

_1050563988.unknown

_1050566321.unknown

_1050650732.unknown

_1050654293.unknown

_1050657153.unknown

_1050660043.unknown

_1051169043.unknown

_1051171941.unknown

_1051173098.unknown

_1051174624.unknown

_1053191880.unknown

_1053198646.unknown

_1053198681.unknown

_1053198112.unknown

_1051174736.unknown

_1051173859.unknown

_1051174259.unknown

_1051172078.unknown

_1051170347.unknown

_1051171341.unknown

_1051169222.unknown

_1051170202.unknown

_1051166813.unknown

_1051168880.unknown

_1050660356.unknown

_1050658987.unknown

_1050659756.unknown

_1050659880.unknown

_1050659316.unknown

_1050658376.unknown

_1050658503.unknown

_1050658353.unknown

_1050655522.unknown

_1050655834.unknown

_1050655965.unknown

_1050656817.unknown

_1050655766.unknown

_1050655340.unknown

_1050655441.unknown

_1050655042.unknown

_1050651611.unknown

_1050651968.unknown

_1050653735.unknown

_1050653861.unknown

_1050653031.unknown

_1050653470.unknown

_1050651832.unknown

_1050651357.unknown

_1050651519.unknown

_1050651082.unknown

_1050567405.unknown

_1050569676.unknown

_1050650176.unknown

_1050650488.unknown

_1050569772.unknown

_1050568226.unknown

_1050569399.unknown

_1050567770.unknown

_1050568155.unknown

_1050566814.unknown

_1050567362.unknown

_1050566741.unknown

_1050564991.unknown

_1050565895.unknown

_1050566232.unknown

_1050565348.unknown

_1050564627.unknown

_1050564959.unknown

_1050564175.unknown

_1050491370.unknown

_1050519001.unknown

_1050521094.unknown

_1050562314.unknown

_1050563218.unknown

_1050563352.unknown

_1050522421.unknown

_1050519295.unknown

_1050520192.unknown

_1050519068.unknown

_1050517636.unknown

_1050517945.unknown

_1050518236.unknown

_1050517690.unknown

_1050517108.unknown

_1050517597.unknown

_1050516781.unknown

_1050488627.unknown

_1050490912.unknown

_1050491187.unknown

_1050491275.unknown

_1050491048.unknown

_1050489331.unknown

_1050490860.unknown

_1050488942.unknown

_1049189104.unknown

_1049191004.unknown

_1050488030.unknown

_1049190598.unknown

_1049188908.unknown

_1049188946.unknown

_1049188837.unknown

_1049109948.unknown

_1049186565.unknown

_1049187801.unknown

_1049188195.unknown

_1049188252.unknown

_1049187876.unknown

_1049187668.unknown

_1049187769.unknown

_1049187731.unknown

_1049187229.unknown

_1049184369.unknown

_1049185992.unknown

_1049186121.unknown

_1049184685.unknown

_1049111192.unknown

_1049111238.unknown

_1049111011.unknown

_1049106846.unknown

_1049107692.unknown

_1049109852.unknown

_1049106879.unknown

_1049106180.unknown

_1049106315.unknown

_1049105786.unknown

_1048767593.unknown

_1049099693.unknown

_1049100703.unknown

_1049100980.unknown

_1049102091.unknown

_1049100729.unknown

_1049100236.unknown

_1049100683.unknown

_1049100132.unknown

_1049010539.unknown

_1049010914.unknown

_1049011178.unknown

_1049010647.unknown

_1049010430.unknown

_1048769420.unknown

_1049009801.unknown

_1048766202.unknown

_1048766416.unknown

_1048766489.unknown

_1048767488.unknown

_1048766433.unknown

_1048766296.unknown

_1048766320.unknown

_1048766268.unknown

_1048764230.unknown

_1048764494.unknown

_1048764775.unknown

_1048764248.unknown

_1048763430.unknown

_1048763779.unknown

_1048764014.unknown

_1048763803.unknown

_1048763825.unknown

_1048763729.unknown

_1048763752.unknown

_1048763688.unknown

_1048762223.unknown

_1048762876.unknown

_1048763395.unknown

_1048761840.unknown

_1048762063.unknown

_1048761803.unknown

_1048590624.unknown

_1048670228.unknown

_1048672958.unknown

_1048676211.unknown

_1048761699.unknown

_1048761734.unknown

_1048761645.unknown

_1048673100.unknown

_1048675927.unknown

_1048673017.unknown

_1048671401.unknown

_1048672074.unknown

_1048672792.unknown

_1048671658.unknown

_1048671103.unknown

_1048671197.unknown

_1048671023.unknown

_1048594517.unknown

_1048669510.unknown

_1048670085.unknown

_1048670148.unknown

_1048669581.unknown

_1048669065.unknown

_1048669251.unknown

_1048668029.unknown

_1048591299.unknown

_1048594307.unknown

_1048594377.unknown

_1048592027.unknown

_1048591177.unknown

_1048591242.unknown

_1048590669.unknown

_1048496278.unknown

_1048507146.unknown

_1048585583.unknown

_1048585991.unknown

_1048588692.unknown

_1048590094.unknown

_1048587855.unknown

_1048585632.unknown

_1048584426.unknown

_1048584986.unknown

_1048585389.unknown

_1048507486.unknown

_1048500311.unknown

_1048505514.unknown

_1048505578.unknown

_1048501427.unknown

_1048505430.unknown

_1048499930.unknown

_1048500039.unknown

_1048496322.unknown

_1048428904.unknown

_1048430003.unknown

_1048431767.unknown

_1048431958.unknown

_1048430501.unknown

_1048429093.unknown

_1048429718.unknown

_1048429000.unknown

_1048415240.unknown

_1048416668.unknown

_1048428248.unknown

_1048428785.unknown

_1048415899.unknown

_1048413468.unknown

_1048413770.unknown

_1048410312.unknown