Metode Numerice – Semestrul II – Laborator 3 1

Laborator Nr. 3: Rezolvarea ecuaţiilor prin metoda iterativă

1. Enunţul temei Se dau ecuaţiile: a. ( ) 01 =−−= xxxf b. ( ) 01 =+−= xxxf c. ( ) 01 =−= xxf Să se găsească soluţiile lor.

2. Rezolvare: Pentru derularea unui algoritm iterativ este necesară cunoasterea unei reguli sau

funcţii g(x) şi a unui punct de start p0. Secvenţa de determinare a punctelor pi (i=1, 2 ...) se bazează pe relaţia:

pi+1 = g(pi) i = 0, 1, ... (1)

Condiţiile de convergenţă ale secvenţei (1) sunt: - Funcţiile g(x) şi g'(x) sunt continue pe intervalul [a,b] care conţine punctul fix P = g(P)

soluţie a lui f(x) - | g'(p) | < 1 pe intervalul [a,b] Interpretarea grafica a secventei (1) şi a condiţiilor de mai sus sunt date în figura 1.

a) convergenţă b) divergenţă

Fig. 1.

Pentru a se putea folosi metoda iterativă ecuaţiile f(x)=0 trebuie transformate în relaţii de forma x=g(x).

Pentru ecuaţiile de mai sus funcţiile g(x) corespunzătoare sunt: a. ( ) 01 =+= xxg b. ( ) 01 =−= xxg c. ( ) 01 =−+= xxxg Derivatele g’(x) corespunzătoare sunt:

a. ( )x

xg2

1=′

b. ( )x

xg2

1−=′

c. ( )x

xg2

11−=′

Dumitru Dragomir 2

Analizând variaţiile funcţiilor |g’(x)| se constată că pe un interval destul de larg ele se menţin la o valoare inferioară lui 1 satisfăcând condiţia de aplicare a metodei de calcul iterativă.

Ca urmare, putem proceda la realizarea unui document de calcul EXCEL compus din 3 foi, câte una pentru fiecare ecuaţie.

Vom exemplifica în continuare mersul de lucru pentru rezolvarea primului caz, iar pentru următoarele două cazuri se va proceda prin asemănare.

Fig.2.

Pasul 1: Crearea tabelului necesar trasării diagramelor funcţiilor folosite. Acest pas nu este necesar din punctul de vedere strict al algoritmului de rezolvare iterativă.

Totuşi, el este foarte util pentru punerea în evidenţă a variaţiilor şi ne poate ajuta să înţelegem şi, mai mult, să “simţim” problema. Etapele sunt următoarele:

- Se generează capul de tabel din figura 2, dispus pe verticală, în celulele A1:A5 - În celulele B1 şi C1 se introduc valorile 0 şi 0.25 - Folosind autocompletarea prin tehnica drag and drop, se extinde domeniul B1:C1 până la

celula N1 inclusiv - În celula B2 se introduce formula =1+SQRT(B1) - În celula B3 se introduce formula =B1 - În celula B4 se introduce formula =B1-1-SQRT(B1) - În celula B5 se introduce formula =1/2/SQRT(B1). Rezultatul afişat aici va fi #DIV/0!

ceea ce corespunde unei pante verticale a funcţiei g(x) - Se selectează domeniul B2:B5 şi se extinde pentru autocompletare până la coloana N

inclusiv. Pasul 2: Trasarea diagramelor funcţiilor. Folosind ca domeniu comun al variabilei x domeniul B1:N1 se generează diagramele celor

patru funcţii calculate pe rândurile 2, 3, 4 şi 5. Pentru această etapă se foloseşte butonul Chart Wizard de pe bara cu butoane Standard a

programului EXCEL sau comanda Insert>Chart.

Metode Numerice – Semestrul II – Laborator 3 3

Pasul 3: Rezolvarea prin metoda iteraţiilor succesive. - Se generează capul de tabel din celulele P1:T1 - În celula Q2 se introduce o valoare de start arbitrară pentru variabila x, de exemplu 0.1 - În celula R2 se introduce formula =1+SQRT(Q2) - În celula Q3 se introduce formula =R2 echivalentul formulei de iteraţie xi+1=gi - În celula R3 se introduce formula =1+SQRT(Q3) - În celula S3 se introduce formula =ABS((R3-R2)/(Q3-Q2)). Observaţie: Aici a fost

folosită o formulă de calcul a derivatei prin diferenţe finite în loc de a folosi formula echivalentul în EXCEL a expresiei analitice găsită la punctul 2. Dacă doriţi să folosiţi această expresie, atunci formula de introdus este ABS(1/2/SQRT(Q3)). Oricum, aceasta nu influenţează evoluţia iteraţiilor deoarece valorile lui g’ nu intervin în formulele metodei iterative, ele fiind incluse în acest tabel numai pentru a verifica dacă pe parcursul rezolvării valorile lui g’ depăşesc valoarea 1 şi cum influenţează acest lucru stabilitatea metodei de calcul.

- În celula T3 se introduce formula =ABS(Q3-Q2) pentru calculul erorii absolute a variabilei x, adică expresia εx=|xi+1-xi|

- Se selectează domeniul Q3:T3 şi se extinde până când eroarea ex devine acceptabil de mică (de exmplu sub 10-4). În această aplicaţie aceasta se întâmplă la iteraţia a 10-a, adică la rândul 12

Valoarea obţinută pentru x ca soluţie a ecuaţiei f(x)=0 este aici de aproximativ 2.618, valoare foarte apropiată de ceea ce s-ar obţine dintr-o rezolvare analitică.

Se observă că această valoare a lui x corespunde punctului de intersecţie dintre diagramele funcţiilor g(x) şi y=x, respectiv de intersecţie între diagrama funcţiei f(x) şi axa x.

3. Discuţii cu privire la cazurile b şi c Cazul b este asemănător cu cazul a. Totuşi, studiind configuraţia graficului funcţiei g(x)

din figura 3 şi valorile derivatei |g’(x)| se constată motivaţia convergenţei mult mai slabe a procesului iterativ, soluţia cu precizia de 10-4 fiind obţinută aici abia la iteraţia a 29-a.

Fig.3.

Dumitru Dragomir 4

Cazul c a fost considerat pentru situaţia când ecuaţia f(x)=0 nu conţine un termen în x direct separabil. În acest caz se face artificiul x=f(x)+x echivalentul lui f(x)=0 şi rezultă funcţia g(x)=f(x)+x.

Aspectul foii de calcul pentru acest caz este cel din figura 4. În toate cazurile soluţia se obţine într-un număr de iteraţii în funcţie de valoarea de start a

variabilei x, la acest ultim caz pentru xstart=0.5 numărul de iteraţii fiind de 10.

Fig.4.