l - 8_1

Facultatea de INGINERIE AEROSPAŢIALĂ Catedra de ŞTIINŢE AEROSPAŢIALE “ELIE CARAFOLI”

MIŞCAREA ÎN JURUL CERCURLUI

MENIUL PRINCIPALCUPRINS:

Introducere

Elemente teoretice

Desfăşurarea lucrării

Rezultate şi concluzii

Laborator de MECANICA FLUIDELOR - Lucrarea nr. 8 76


INTRODUCERE

Cuprins Elemente teoretice Desfăşurarea lucrării Rezultate şi concluzii

Acest studiu este deosebit de interesant, având aplicaţii importante la studiul

profilelor aerodinamice. Apelând la aparatul matematic oferit de transformările conforme

se pot determina o serie de caracteristici ale mişcării în jurul profilelor aerodinamice.

Configuraţia care stă la baza acestei metode cuprinde un dublet peste care se

suprapune acţiunea unui curent uniform. Câmpul mişcării evidenţiază generarea unei

frontiere fluide de formă circulară, alcătuită din linii de curent. Frontiera menţionată

împarte spaţiul mişcării în două domenii: cel interior în care se află fluidul vehiculat de

dublet; cel exterior unde curge fluidul curentului uniform. Acesta este un prim model care

se studiază. O variantă mai utilă, care permite şi evaluarea unei forţe echivalentă cu

portanţa, se obţine adăugând la configuraţia de mai sus, un vârtej.



ELEMENTE TEORETICE

Cuprins Introducere Desfăşurarea lucrării Rezultate şi concluzii

Studiul se face pornind de la scrierea potenţialului complex f(z) pentru această

combinaţie:

(8.1)

Elementele care alcătuiesc configuraţia descrisă de formula (8.1) sunt:

– curentul uniform de viteză U∞ , paralelă cu axa Ox, pe sensul spre -∞;

– un dublet plasat în origine, orientat corespunzător în raport cu sensul curentului

uniform;

Aceste două elemente generează frontiera fluidă circulară care interesează şi care

are centrul în origine, punctul în care este situat dubletul.

– un vârtej centrat în jurul originii, orientat în sens trigonometric.

Scrierea formulei (8.1) s-a făcut astfel încât să se evidenţieze raza cercului, notată

cu a .

Din expresia potenţialului complex dată de (8.1) se deduce viteza complexă:

(8.2)

Tot din expresia potenţialului complex (8.1), prin separarea părţii reale şi a părţii

imaginare, se determină potenţialul φ şi respectiv funcţia de curent ψ .

(8.3)

(8.4)

În relaţia (8.4) scrierea funcţiei de curent a implicat adăugarea unei constante prin

care ecuaţia ψ = 0 să corespundă cercului de rază a .

În continuare, fie din expresia vitezei complexe, fie din expresia potenţialului φ, se

determină componentele vitezei reale. În coordonate polare aceste componente sunt:

(8.5)



(8.6)

Prin particularizare, r = a , din relaţiile (8.5) şi (8.6) se obţine viteza pe cerc:

(8.7)

(8.8)

După cum se cunoaşte, în funcţie de intensitatea vârtejului Г , pe cerc rezultă două

puncte în care viteza este zero. Poziţia lor este dată de coordonata unghiulară θ:

(8.9)

în care unghiul ν este soluţia ecuaţiei:

(8.10)

Se observă, din ecuaţia (8.10), că cele două puncte de viteză nulă pe cerc există

doar în cazul în care intensitatea circulaţiei Г este corelată cu intensitatea curentului

uniform U∞

Pentru viteza pe cerc se mai scrie:

(8.11)

Există cazul particular, atuci când , în care cele două puncte de

viteză nulă pe cerc se suprapun, ν=π/2 .

Când intensitatea circulaţiei Г depăşeşte valoare de mai sus, punctul de viteză nulă

din câmpul mişcării se desprinde de cerc şi se plasează în exteriorul acestuia, pe axa

verticală de simetrie a cercului.

Pe cerc, coeficientul de presiune se poate calcula cu relaţia:

(8.12)

Aşa cum se reamintea la început, această configuraţie permite evaluarea unei forţe

portante (perpendiculară pe curentul U∞), forţă ce acţionează pe cerc şi care se deduce din

formula Kutta-Jukovski, având modulul:

(8.13)



DESFĂŞURAREA LUCRĂRII

Cuprins Introducere Elemente teoretice Rezultate şi concluzii

Programul permite vizualizarea spectrului liniilor de curent în exteriorul cercului, a

distribuţiei de viteze pe cerc şi a distribuţiei de presiuni pe cerc, pentru diferite valori ale

circulaţiei Г.

În program, intensitatea circulaţiei apare înscrisă “GAMA”. Alegând corespunzător

aceste valori se pot vizualiza diferitele cazuri posibile, inclusiv cazuri particulare

interesante obţinute pentru Г = 0 ; . În program s-a considerat viteza

curentului uniform U∞ = 1. Ştiind că raza cercului este fixată la valoarea a = 70 se poate

determina valoarea circulaţiei Г la care cele două puncte de viteză nulă se suprapun la

poziţia corespunzătoare lui ν = π / 2 .

Citirea ecranului grafic este facilitată de afişarea diferitelor elemente în culori

adecvate.

Utilizarea programului se face astfel:

a. se lansează aplicaţia LUCRAREA 8;

b. apare ecranul pe care se introduc datele aplicaţiei:

═══════════════════════════════════════════════════FACULTATEA de INGINERIE AEROSPATIALACatedra de STIINTE AEROSPATIALE "ELIE CARAFOLI"═══════════════════════════════════════════════════

Introduceti datele problemei:

* * * * * * * * * * * * * * * *

█ Intensitatea circulaţiei GAMA în jurul cercului,

█ recomandat GAMA = [ 0 - 1200 ] : . . . . . . .

█ Intervalul de temporizare,

█ recomandat t = [100 - 1000] : . . . . . . .

c. urmează ecranul grafic în care se construieşte spectrul liniilor de curent

(fig.8.1). Viteza de derulare a trasării respectivelor linii de curent depinde de



temporizarea care s-a ales la ecranul precedent şi de performanţele

calculatorului.

Fig. 8.1 revenire la text

Pe ecran apar înscrise o serie de informaţii:

– în colţul din stânga sus este menţionat conţinutul ecranului respectiv, în

cazul fig. 8.10 „ Spectrul liniilor de curent ”. Sub acest înscris este afişată intensitatea

circulaţiei, care a fost introdusă de la tastatură „ GAMA = .........” ;

– în interiorul cercului, în partea de sus este figurat cu linie groasă un arc de

cerc de lungime proporţională cu intensitatea circulaţiei Г, sub care este înscris textul

G A M A

sens trigonometric ;

– în partea din dreapta a ecranului, puţin deasupra axei Ox este figurată

viteza curentului uniform, pentru a marca sensul acesteia ;

– cât timp se derulează construcţia spectrului liniilor de curent, în colţul din

dreapta sus apare mesajul „ Aşteptaţi se lucrează ”. În acest interval de timp nu trebuie

acţionată tastatura sau mouse -ul.



După ce se termină construcţia spectrului mişcării, mesajul anterior dispare şi apare

în partea de jos dreapta a ecranului anunţul „ Apăsaţi tasta ENTER ”, prin care se

determină trecerea la următorul ecran.

d. ecranul care urmează prezintă în culori adecvate distribuţia de viteze pe cerc.

Sunt trasaţi, raportat la linia cercului pe direcţia normală la aceasta, vectorii de viteză. Prin

culori distincte se evidenţiază zona pe care viteza este în sens trigonometric, respectiv în

sens orar.

Aceeaşi distribuţie de viteze este trasată şi în raport cu diametrul orizontal al

cercului (a se vedea zona din interiorul cercului).

Prin apăsarea tastei ENTER se trece la următorul ecran grafic, fig.8.3.

e. Pe noul ecran este prezentată, în culori, distribuţia presiunii pe cerc. Şi aici, sunt

două reprezentări ale aceleiaşi distribuţii: în partea de sus apare distribuţia raportată la linia

cercului, vectorii fiind dirijaţi pe normala exterioară la cerc; în partea de jos se face o

reprezentare în raport cu o axă paralelă cu diametrul orizontal.

Codul culorilor este înscris pe ecran, fig.8.3.




REZULTATE ŞI CONCLUZII

Cuprins Introducere Elemente teoretice Desfăşurarea lucrării

Se rulează programul pentru diferite valori ale circulaţiei Г. Identificaţi şi rulaţi

cazurile particulare.

Analizaţi spectrul liniilor de curent: poziţia punctelor de viteză nulă, desimea

liniilor de curent în diferite zone, consecinţele respectivului spectru al liniilor de curent

(acestea vor fi corelate cu distribuţia de viteze şi de presiuni).

Analizaţi distribuţia de viteze pe cerc, corelată cu intensitatea circulaţiei Г.

Aceeaşi analiză pentru distribuţia de presiuni. Observaţi simetriile care se

realizează şi care confirmă apariţia unei forţe perpendiculară pe viteza U∞ .

Utilizaţi relaţiile de calcul pentru a determina deferite aspecte: condiţia ca cele două

puncte de viteză nulă să coincidă; valoarea rezultantei presiunilor pe cerc.

Observaţie: nu atribuiţi acest spectru al curgerii ce spectrul curgerii în jurul cercului

pentru fluidul real (efectul forţelor de frecare modifică fundamental spectrul mişcării).

În continuare imaginile ecranelor pentru diferite valori ale datelor aplicaţiei: fig.

8.4, fig. 8.5, fig. 8.6, fig. 8.7, fig. 8.8, fig. 8.9.

Cuprins Introducere Elemente teoretice Desfăşurarea lucrării Rezultate şi concluzii



Fig.8.4 revenire la text

Fig.8.5 revenire la text



Un alt caz este:




l - 8_1

Documents