1 INSPECTORATUL COLAR JUDEEAN PRAHOVA COALA CU CLASELE I VIII RARE VOD PLOIETI IINNTTEERRFFEERREENNEE NN

UUNNIIVVEERRSSUULL CCOOLLIIII PUBLICAIE PERIODIC(APARE LA DOU LUNI) A LUCRRILOR PREZENTATE DE ELEVI LA SIMPOZIOANELE INTERJUDEENE DE MATEMATIC I BIOLOGIE PLOIETI NR. 6, IANUARIE2012 2 Coordonatori: Prof. Daniela Badea Prof. Venera Georgescu

Colaboratori:Prof. Luminia Corneci Prof. Ion Badea Tehnoredactare:Prof. Mihaela Gavriloiu Elev Cernamorcenco Rebeca

Copert: Prof. Daniela Badea

Comitet de organizare al simpozioanelor : Director prof. Ion DumitracheProf. Daniela Badea Prof. Venera Georgescu Prof. Mihaela Gavriloiu

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a RomnieiInterferene n universul colii (online) = ISSN 2069 8690ISSN L = 2069 8690

Responsabilitatea privind coninutul articolelor revine n totalitate autorilor.Toate drepturile asupra przentei ediii aparincolii cu cls. I-VIII Rare VodPloieti 5 O OR RG GA AN NI IZ ZA AT TO OR R: :coala cu Clasele I-VIII Rare-VodPloieti Director:profesor I Io on n D Du um mi it tr ra ac ch he e Profesor matematic D Da an ni ie el la a B Ba ad de ea a Profesor informatic M Mi ih ha ae el la a G Ga av vr ri il lo oi iu u C CO OO OR RD DO ON NA AT TO OR R: :Profesor matematic D Da an ni ie el la a B Ba ad de ea a C Co ol la ab bo or ra at to or ri i: : prof. I Io on n B Ba ad de ea aColegiul Spiru Haret Ploietiprof. L Lu um mi in ni i a a C Co or rn ne ec ci i SAM Ing. Gh. Pnculescu Vlenii de Munte Prof. I Io on n B Ba an nc ci iu u coala Radu Stanian Ploieti I IN NS ST TI IT TU U I II I I IM MP PL LI IC CA AT TE E: : Inspectoratul colar Judeean Prahova Insp. c.General:prof. Gheorghe Borovin Insp. matematic:prof. Felicia Georgescu Insp. matematic:prof. Sorin Bucur M MO OT TT TO O. .. .. . Existimatematicipure,imatematiciaplicate.nmatematicilepure, cercettorulface"c cu um mt tr re eb bu ui ie e, ,c ce ep po oa at te e";nmatematicileaplicate,face"c ce e t tr re eb bu ui ie e, , c cu um m p po oa at te e". .. .. .. . G Gr ri ig go or re e M Mo oi is si il l A AR RG GU UM ME EN NT T: :nsocietateacontemporansuccesularelabazoameniicaretius comunice,sgndeasci s raionezeeficient, sdezvolteproblemeledevia,soperezecudatemultiple,scolaborezenechipeisdemonstrezeo puternic motivare pentru ceea ce fac. Pentruformareacompetenelornecesarestrbateriidrumuluisprecheia succesuluitrebuiescreemelevilornotriposibilitateadea-imanifestainiiativantoatedomeniilevieiicolareipersonale,slepermitemalegereametodeipotrivite, dintr-o diversitate de metode cunoscute, s-i ndrumm pentru a putea s acioneze la cele mai ridicate standarde. DesfurmanulacestaediiaaII-aasimpozionlui,sperndsdevino tradiie, din dorina de a spori motivaia elevilor pentru nvarea matematicii, de a le schimba acestora optica fa de ,,viitorulincert, de a apropia teoria de practic i de cotidian. Departedeafiotiinaridiformal,matematicaestestrnslegatde muzic,poezie,pictur,culturngeneral,reprezentndfundamentulatotceea censeamnviaadinjurulnostru.Sartmcmatematicanunseamn recitareade teoremesauscriereacu mna tremurndpetableakilometride formule ci un prilej de creativitate, imaginaie i descoperire. 6 Aplicaii ale geometriei n trigonometrie i algebr Autor: Maria Aldeaclasa a VII-a coala :Rare Vod Ploieti Profesor ndrumtor: Daniela Badea Bine ai venit ,copii ,la ora de geometrie!Astzi vom vorbi despre aplicaii n trigonometrie, Vom vorbi despre un cerc, despre un ptrat i vom vedea cum arat un patrulater schimbat, Dup doar 12 slide-uri, lecia se va termina Dar la sfrit vei realiza, C ai nvat trigonometria nAABCunghiulAaremsurax(x= 900),iarlungimealaturiiBCestea.Sse determine raza cercului circumscris triunghiului. Fie O centrul cercului circumscrisAABC i R lungimea razei acestuia. Considerm cazul cnd090 < x .ABOC este isoscel, OB = OC = R, iar m x BC m BOC 2 ) ( ) ( = = Z . Construim nlimea OO`, O`eBC. Avem O`C = O`B = 2a i m x OC O = Z ) ` ( . DinAO`OC dreptunghic obinem 1sin`OC OOC = ( ) 1sin 2 xaR = AplicmteoremacosinusuluinBOC A iobinem( )( )( ) 22 cos 1 22 cos 1 22 cos 2 2 cos 2222 2 2 2 2 2xaRxaRx R R a O OC OB OC OB BC= = = + = 7 2xnBOC A avem( ) ( ) xxC m B m == Z = Z00902180.ConstruimnlimeaBB`,B`eOCDinAB`BC dreptunghic n B` obinem( ) x a x a C BC BB cos 90 sin sin `0 = = = , iar din` BOB Adreptunghic n B` rezult( ) 3 2 sincos2 sincossin`xx aRxx aBBBOB= = = Observnd c n soluiile anterioare expresiile gsite pentru R nudepind de lungimile laturilor AB si AC , se poate gsi o alt exprimare alungimii lui R particularizndAABC, considerndu-l isoscel cu AB = AC.nlimea din A intersecteaz BC n M i cercul circumscris n A`. Avem( ) . 2 ` ,2,2` R AAaBMxBAA m = = = ZnAABM dreptunghic n M2sin 2sinxaAMBAB = = n AABA` dreptunghic n B ( ) 42cos2sin 42cos`x xaR RAABAA = = = Dinrelaiile(1),(2),(3)i(4)determinateanteriorncelepatrusoluiiderezolvareputem determina cteva identiti trigonometrice i anume: - din relaiile (1) i (2) ( )( ) 5 22 cos 1sin2 cos 1 2sin 22xxxaxa = = - din relaiile (1) i (3)( ) 6cos sin 2 2 sin2 sincossin 2x x xxx axa = = - din relaiile (1) i (4)( ) 7 2cos2sin 2 sin2cos2sin 4sin 2x xxx xaxa = = Egalitatea (7) ce se poate obine din cea anterioar, nlocuind x cu 2x. Cazul 090 > x se trateaz similar innd cont de faptul c( ) ( ) = Z = x BAC m BC m 2 2 8 ( ) ( )( )xx BAC mO m x BOC m == Z = Z001018022 36022 360.Obinem deci ( ) xaR=0180 sin 2(8). Deobservatcpentruoriceunghicumsuraxcuprinsntre00i1800,dinrelaiile(1)i(8) obinem( ) x x =0180 sin sin . Ca urmare relaiile (5), (6) i (7) sunt valabile( ) ( ). 180 , 00 0e xDacntr-unABC A notmb AC a BC c AB = = = , , ,dinrelaia(1)avem CcBbAaRsin 2 sin 2 sin 2= = = RCcBbAa2sin sin sin= = = , adic teorema sinusurilor. Fie AB un diametru fix al unui cerc de centru O i raz R, iar M un punct arbitrar pe cerc. Tangenta n M la cerc taie tangentele n A i B , respectiv n P i Q. a) S se arate cOPQ Aeste dreptunghic n O i.2BQ AP R =b) Dac( )060 = ZBOM m s se determine aria trapezului ABQP n funcie de R. c) Determinai aria trapezului ABQP n cazul general. a) Cum tangentele duse din acelai punct la cerc au aceeai lungime QB QM = i PM = PA De asemeneaMOP AOP Z ZiQOM QOB Z Z . Vom avea ( ) ( ) ( )( ) ( ) =Z + Z= Z + Z = Z0902BOM m AOM mQOM m POM m POQ mOPQ Aeste dreptunghic Aplicnd teorema nlimii n acest triunghi obinem = MP MQ OM2.2BQ AP R =b) Cnd( )060 = ZBOM m 030 = Z Z QOM QOB i33300Rtg R BQ = = , ROMPO 230 sin0 = = , 3 60 sin0R OP AP = = iariatrapezuluieste .33 42333212RRRR SABQP= ||.|

\|+ =c) Notm( ) o = ZBOM m . Din congrueneleMOP AOP A A si MOQ BOQ A A rezult c 9

22OM PQS SPOQ ABQP= = .Cum 2otg R QB =i 2octg R AP = |.|

\|+ = + = + = 2 2o octg tg R QB AP MQ MP PQ = 2cos2sin2cos2sin2sin2cos2cos2sin2 2o oo ooooo+=||||.|

\|+ = R

Amplificnd cu 2, folosind relaia (7) din problema 1 i formula trigonometric fundamental obinemo sin22RSABQP = .Fiindcamvzut cteva aplicaiiale geometriein trigonometrie prin deducereaformulelor de la problema 1, s nu uitm nici frumuseea problemelor de algebr.n acest context, n trapezul ABPQ construim OS || AP, SePQ i MN || QB, NeAB.Notm AP = x i BQ = y. Observm c OS este linie mijlocie n trapezul ABQP i conform teoremei liniei mijlocii n trapez2 2y xOSBQ APOS+= += ,adic media aritmetic a numerelor x si y. Din punctul a) al problemei avemOPQ A dreptunghic. Aplicnd teorema catetei avem y x OM y x OM BQ AP MQ MP OM = = = =2 2,adic media geometric a numerelor x iy.CumOMN MOS Z Z caunghiurialterneinterne y xxyOSOMMNMNOMOMOSMNO OMS+= = = A A2~2adic media armonic a numerelor x si y. Comparnd lungimile laturilor n triunghiurile dreptunghiceASOM i AMONvom avea BQ < MN < OM < OS < APxy xy xy xy xy s+s s+s 22, adicinegalitatea mediilor pentru dou numere pozitive, cu meniunea c egalitatea are loc dac i numai dac x = y ceea ce nseamn c ABQP este dreptunghi. 10 Matematica i muzica Autori: Martin Alexandra&Pop Carmen Luiza,clasa a XI-a Liceul Teologic Penticostal BetelOradea Profesor Coordonator: Chiiu Gabriela Matematica este o limb i o tiin. -Lucian Blaga Matematicaesteindubitabilbazatuturortiinelor.Eastudiazrelaiicantitative, modeledestructur,deschimbareidespaiu.Eafolosetestructurilogice, algoritmiiformulepentruadasensiaaprofundadiferiteletiine naturale.Fizica,astronomia,chimiairestultiinelordepindn maremsurdematematicpentruaaveaunfundament. Matematicas-adezvoltatdatoritnevoiiomuluideaface calculeuzualenvedereacomercializrii,msurrii suprafeelorichiar n astronomie. Civilizaiile antice s-au preocupat dematematic,ncercndmereusoaprofundezeisoneleag. Eaestevzutcaolimbinternaional,indiferentdeetniesaudesex,oricine poate s o nvee i s o comuniceprinrezolvarea problemelor. Matematicanu influeneaz doar tiinele naturale, ci i filozofia i chiar muzica. Contrar credinei populare, matematica poate fi vzut ca o art ntruct influeneaz artele: muzica, dansul, sculptura etc.Gameleinotelemuzicale,intervalele,armonia,structuraichiaracordurilesuntbazatepe formulematematice.Acustica,fenomenulfizic,arelabazcalcululmatematic.Tempo-ul,ritmul, intensitateaifrecvenasuntexprimatenvalorimatematice.Labazadansuluistmicarea coordonat cu precizie de timpi. ncazul dansatorilor profesioniti, traiectoriile descrise de acetia pe podean timpul dansuluiformeazfiguri geometrice complexe Sculpturan esen este crearea frumosuluiprinformegeometrice,simetricesauasimetriceifractali.Fractaliisuntobiecte geometriceneuniforme,fragmentate, cu proprietatea c o parte din respectivul obiect se aseamn foarte mult cu obiectul mare. Un nor este un fractal, un munte, un val, un vrtej sau un fulger. Dei matematicatindesabstractizezenatura,eaomblnzete,oexplic,oraionalizeaz.nprimul rnd,muzicaesteplcutauzuluidatoritstructuriicomplexedatdeformuleiprincipii matematice.Seciuneadeaur(en.goldenratio)eraconsideratdectreanticicareprezentnd proporiile perfecte n orice domeniu i fost deseori ncorporat n structura unei linii melodic, prin pstrarea proporiilor n frecvenele utilizate. Tot aa este utilizat i irul lui Fibonacci (secvena de numereincarefiecarenumrseobinedinsumaprecedentelordoudinir),deiurecheauman deseorinurecunoateacestetipare.Intonaiaestebazatintegralpeteoremafundamentala aritmeticii. Gama cromatic este bazat pe algebra abstract. Pitagora, cunoscut pentru teorema ce i poartnumele,afostprimulomcealegatmuzicadematematic.PentruPitagora,totcese ntmplannaturputeafiexprimatnfracii,inclusivmuzica.Cuajutorulfraciilor,elacalculat distana dintre frecvenele notelor. i totui, chiar i un om care nu tie s scrie sau s citeasc (pe baza c nu este afon) poate deosebi muzica plcut de cea nestructurat. De aceea o linie melodic 11 nestructurat este catalogat drept scietoare i chiar i un copil mic i-ar pune minile la urechi i s-ar ncrunta.naldoilearnd,cntatullauninstrumentmuzicalestefoarte uor,odatnelesprincipiulcestlabaz.Prinabloanei tipare, muzica este accesibil oamenilor. Linia melodic este uor construit cu ajutorul combinatoricii. Avem doar 7 note muzicale, darcuajutorulcombinatoriciiaufostcreatemilioanedepiese originale, ce au micat i sensibilizat o lumentreag. Prin tipare de ton-semiton au fost create gamele i acordurile i aceste tipare audatmuziciilogicistructur.Estemultmaiuors-ispui unui elev c exist 7 note recurente ce creeaz noi linii melodice, dectcexist5000denotece trebuienvateiordonate(fr s existe un model sau ablon!) pentru a creea frumosul. Muli matematicieni cunoscui au cntat la uninstrumentmuzical:MaxPlanckpianist,RichardFeynmanlabongo,AlbertEinstein violonist,DeMorganflautist,Grassmanpianisticompozitorimulialii.Lagrangea mrturisit c i-a plcut ndeosebi muzica, deoarece la fiecare a patra msur, putea s se detaeze de mediulnconjurtorisrezolveproblemematematicecomplexe.Muzicaafostinspiraialui. Diriclet a fost i el sensibil la muzic n acest fel, simindu-se fermecat de muzic. Aadar,amdemonstratcmatematicaesteotiin,dar potrivitlui Blaga,este i olimb.Un argumentnacest sensarfifaptulc,incontient,prinmatematicsunt exprimate idei care fr ea i limbajul ei unele noiuni ar fideneconceput.Matematica,asemenilimbiiengleze sauromneareunlimbajbinestabilit:aretermeni matematici ce au fost inventai datorit nevoii oamenilor de a se exprima matematic. Limbajul este unul riguros i binedefinit,darnuestencunulfinit.Periodicse adaugtermeninoinacestdicionarmatematic,datoritprogresuluitehnologiccenecesito constant aprofundare n matematic. Matematica mai poate fi vzut i ca un limbaj alminii. Nu vorbescdementalezaluiFodor,cideraionamentelelanivelulminiiicomenzilepecare creierul le d. Contient sau incontient, din punct de vedere matematic, creierul d unele comenzi corpului de a se mica ntr-un anumit sens, de a alerga, de a dansa sau de a face micri precise. Tot aa,compozitorul,artistul,creeazocapodopercontientsauincontient,datoritbagajuluide informaiidelanivelulminii.Chiardaccompozitorulnuestecompletcontient,elsefolosete ntocmai de numerele lui Fibonacci sau de fraciile lui Pitagora. Fie M(Matematica) o mulime a tuturor tiinelor i artelor. M = {astronomie, fizic, chimie, ., muzic, desen, dans, sculptur, }Muzica = limb universal (1) not a = muzic 12 a inclus n M (2) (1),(2) => Matematica = limb universal Lucrul cel mai frumos este s foloseti muzica pentru a explica noiuni matematice: .Ecuaiilecudounecunoscute,teoremaluiPitagorasauceaaluiThalessunt msuridincnteceleunuiprofesordinRmnicuVlcea.Dasclul,chitaristdeplcere,i-a transformat orele de matematic n piese muzicale. Elevii claselor la care pred, se declar ncntai de inedita medot de predare. "Ceilali profesori vin la ore i predau direct la tabl. El, cu chitara, e mai amuzant. Altfel, matematica e o materie grea", spune unul dintre elevi. Ceilaliprofesoriarfuraieimetoda,darnustaubinecumuzica.nschimb,nusesfiescsl apreciezepecolegullor."Agsitcevafoartefrumos,smbinemuzicacumatematica.Fiindla Liceu de Art, dnsul, tiind s cnte i la chitar, mi se pare ceva foarte drgu", afirma unul dintre profesori.ProfesorulDragosConstantinescuare57deani.Avrutmereusfieprietenoscueleviiluiia descoperitcmatematicasenvamairepedepemuzic."Fiindextremdeabstract,uneorieste greoaie, anumitelucrurinu pot fiinelese. Ei, aceste miciversurisaumicimelodiiajut sfixeze. Amcompusmelodiiiamnceputsnregistrez.Joacaadevenitochestieextremdeserioas.n momentul de fa am un album - Matematica pe note", spune profesorul Dragos Constantinescu.(1) nconcluzie,afirmaiaconformcreiaMatematicaesteolimbiotiinesteadevrat. Matematicaainfluenatlumeancdelanceputurileei,datoritimportaneieinlumeancare trim. Ea st la baza fizicii, a astronomiei i a muzicii i considerm c este pertinent s admitem c fr matematic lumea nu ar fi aa cum o cunoatem noi. Aadar,fie c suntem oameni de tiin, melomani sau elevi, matematica este punctul nostru comun care ne leag. 13 Mandala Autor: eleva Vasc Alexandra, clasa a III-a coala Nr 174 Constantin BrncuiBucureti Prof. uicu Daniela Liliana Creareauneimandalencepeprinadesenauncerc. Mandalapoatefitotattdesimplprecumdeseneleunui copilsautotattdecomplexprecumimaginilesacre createdectreclugriitibetani.Mandaleleauaprut dinnevoiafascinantaomuluideacunoatepropria realitateinterioar,deapunedeacordaceast cunoatere cu nelepciunea trupului i de a trezi n el nsuisentimentuldeafinarmoniecuUniversul. AacumexplicLamaNubpaChodakGzatso, mandalelesuntmanifestrileaureoleiluminoaseale fiinei.Cuvntulmandalacareprovinedinsanscrit, limbaveche care se vorbea n India, se traduce ca cercul sacru. n tibetan,termenuldemandalaestekyil-korcarenseamncentrui circumferin.ntradiiaestic,mandalelesugereazunciclucomplet.Lafelinritualurilecare includ anul liturgic. ntr-uncerc,centrulestentotdeaunaprezentiiatrageprivirea,chiardacestemarcatsaunu. Capacitatea cerculuide a-i atrage i de a-ifocaliza atenianseamn c tefacemaipuin atentla ceea ce se ntmpl n afara lui. Aa cum tiu cei care mediteaz, concentrarea ateniei asupra unui singurlucruproduceorelaxaregeneralncorp:respiraiadevinemaiprofund,btileinimiise ncetinesc.Acesteschimbriuureazprocesulnaturaldevindecareacorpului.Vindectorii tradiionalifolosescmandalelenmodintuitiv, deoarece formalor circular organizeaz percepia, gndirea i reaciile fizice ntr-un mod care le este benefic. n urm cu 2300 de ani, matematicianul grec Arhimede declara: Dai-mi un punct de sprijin i am smic Universul!.Afirmaiai-abulversat pni pe rafinaii gnditori elini contemporani cu el, obinuiicusavanteleiprovocatoarelejocurialeminii.Nuntmpltor,civilizaiaeuropeana pstratpnastzicelebrabutad.DarArhimedes-areferitlaorealitatemultmaiprofund, considerndcdinpunctpotevoluatoateliniile,toateformele,orictdecomplexearfi.Desigur, aceast poate prea o constatare banal. Dar, n general, adevrurile mari sunt simple, dei adeseori haina pe care o mbrac este una sofisticat i tocmai de aceea complicat. CuimaimultvremenaintealuiArhimede,undeva,ninimamisteriosuluiifabulosului continent asiatic, afirmaia grecului genial fusese dovedit nu doar n planul formelor, ci i n planul ideilor.Potrivitvechilornelepiindieni,punctul,nunumaicreprezentaesenaoricreistride existen materialsau spiritual, darnsui Universul,nesenialitatea sa iindiferent de scara de reprezentare,puteafireduslaunpunct.Caurmare,punctulastatlabazaapariieiunuistil geometrico-arhitectual sacru, al crui termen de ordine a fost mandala. 14 Prin desen, trecem atenia dinspre exterior ctrelumeanoastrinterioar.Tiparele noastrementalesereflectnformele specificeistructurilecareiaunateren interiorulcercului.Emoiilenoastresunt oglindite de culorile utilizate. Atuncicndomandalaeste complet,avemocaziasneoglindim ntr-o imagine interesant, ntreaga, adesea foartefrumoas,carenereprezintntru- totul.Putemprivicuatenieicuriozitate latoateelementeleiculorileprezente, pentru a capta o viziune mai ampl asupra proprii noastre viei. Pe lng toate acestea mai exist i oseriedealtebeneficiicumarfi:activareapotenialuluicreativ,exprimareemoional,linitirea minii, relaxarea. Desenareamandaleloresteometodsimpl,carearecascoplegareapunctelorntreele,formnd astfelomatrice.Nusuntnecesarecunotinededesensaupictur.Fiecarepoatedafruliber creativitiiproprii.Desenulesteoplcereiorelaxarepentrucorp,sufletispirit.Problemelei blocajelesedizolvaproapedelasine,permindastfelrspndireapcii,linitiiiarmoniein interiorul fiinei noastre. Am desenat inoila coalmandale dupabloane sauchiar singuri sine-au plcutfoarte mult. Imi doresc s gsesc cat mai multe modele noi i de cate oriam timp liber s le pot colora n voie. 15 Muzica matematicii Eleva:Pcurariu Loredana , clasa a IX-a Liceul Teoretic Tata-Oancea ,Boca Prof. Musti Liliana UncitatcelebruafirmcMatematicaeste muzicaraiunii.Daroareceauncomunacestedou tiine i arte? Se spune c ascultarea muzicii clasice duce lambuntireaabilitilormatematice,daric stpnirea unor noiuni elementare dematematic ajutla nelegereateorieimuzicale.Totui,legturadintrecele dou este mult mai profund. Matematicaestetiinanumereloriaformelor, o tiin care a aprut din dorina oamenilor de a nelege i aexprimalumeanconjurtoare.icumsunetulfacepartedinaceastlume,nuestedemirarec matematicapoatefifolositpentrudescriereasauconstruireaacesteiarmoniiasunetelornumite muzic. V-aintrebatvreodatdecepianulareclapealbeinegreacrorordineserepetla fiecare 7 clape albe? Sau de ce chitara are 6 corzi de grosimi diferite, iar vioara numai 4... i cum se acordeazacesteinstrumente?Teoriamuziciinevinenajutorcutoateacesterspunsuriinu numai. Orice melodie este o mpletire armonioas i structurat a unor sunete. Trsturile cele mai importante ale muzicii sunt ritmul i tonalitatea. Ritmul este cel care ne face s ne legnm de pe un picior pe altul sau s dm dincapatunci cnd ascultm un cntec carene place.Aici, tempo-uli msurajoacunrolimportant: tempo-ulstabiletectdealert trebuiecntatmelodia,iarmsura dmuziciioanumitpulsaie(indicndcitimpisuntntr-omsuricaredintreeisunt accentuai). Astfel,ea poate fi de 2/4 (dou ptrimi), 3/4 (trei ptrimi), 4/4 (patru ptrimi) sau alte msurichiarmaicomplicate.Tonalitatea saunlimeasunetelor este determinat defrecvenalor. Cu ct un sunet este mai ascuit sau mai nalt, cu att frecvena sa este mai mare. De exemplu, cu ct o coard de chitar estemaintins,cuatteavibreazmairepedeisunetulobinutestemaiascuit.nfunciede nlimea lor, principalele sunete au fost denumite Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si i organizate n game. Peclaviaturaunuipiansepoateobservasuccesiuneaacestorgame,undeclapelealbereprezinta notele de mai sus, iar cele negre reprezint sunete care se afl ca tonalitate undeva la jumtate ntre notele vecine. nrudireamatematiciicumuzicaareaplicaiidintrecelemaidiverse.npredarea matematicii pot fi folosite conceptele de ritm i msur pentru a evidenia legtura dintre nmulire, mprireioperaiicufracii.Deexemplu,ntr-omelodiecarearemsura3/4,sumaduratelor notelordinfiecaremsurtrebuiesfiedetreiptrimi(msurilesuntseparatentreeleprinbare verticale): 16 Deasemenea,gameleiintervalele muzicalepotfideajutornnelegereaunor noiunimatematiceelementarecumarfiirurile, intervalelesaumulimile.Dacnegndimla claviaturaunuipian,observmcnoteleclapelor albeserepetdin7n7.Dacnlocuimnordine fiecarenotcuunnumrdela1la7,obinemun irdenumerealecruielementeserepetdin7n 7.

DintrematematicieniiromnipreocupaidelegturadintrematematicimuzicsedistingeDr. Dan Tudor Vuza, a crui pasiune pentrumuzica duslaelaborarea unor noi teoriialestructurilor ritmice.Rezultatelecercetrilorsaleaufostpublicatenrevisteinternaionaleprestigioasede cercetarematematic,iarUniversitateadinChicagoainclusncadrulleciilordematematic muzical un capitol special numit Canoanele ritmice ale lui Vuza. Pornind de la proprietile matematice ale structurii muzicii, oamenii de tiin au mers chiar maideparteiauconstruitalgoritmicomplecidecalcul,obinndprogramecomputerizatecare transform muzica n imagini caleidoscopice sau structuri geometrice n continu micare. Cutoateacestelucrurinminte,poatecdataviitoarecndveiascultaomelodievvei gndi i la armonia matematic ce st n spatele muzicii care v ncnt. 1. George St. Andone ,,Varia Mathematica, Ed.Tineretului, Bucureti, 1969, colecia Lyceum 2. Florica T.Cmpan ,,Variate aplicaii ale matematicii, Ed. Ion Creang , Bucureti,1984, colecia Alfa 17 Geometria: linii si culori Autori: Anghel Oana &Crciun Oana, clasa a -a Liceul Teoretic Murfatlar ConstanaCoordonator: prof. Cranga Cleopatra Matematica estengeneraldefinitcatiincestudiazrelaiilecantitative,modelelede structur,deschimbareidespaiu.nsensmodern, matematicaesteinvestigareastructurilorabstractedefiniten mod axiomatic folosind logica formal. Structurileanumeinvestigatedematematiciau deseorirdcinilentiinelenaturale,celmaiadesnfizic. Matematicadefineteiinvestigheazistructuriiteorii proprii,nspecialpentruasintetizaiunificamultiple cmpurimatematicesuboteorieunic,ometodce faciliteazngeneralmetodegenericedecalcul.Ocazional, matematicieniistudiazuneledomeniialematematiciistrict pentruinteresulabstractexercitatdeacestea,ceeacele transformntr-o abordare mai degrablegat de art dect de tiin. Dinpunctdevedereistoric,ramurilemajoreale matematiciiauderivatdinnecesitateadeafacecalcule comerciale,deamsuraterenuriideapredetermina evenimenteastronomicecuscopuriagriculturale.Aceste domeniispecificepotfifolositepentruadelimitanmod generic tendinele matematicii pn n ziua de astzi, n sensul delimitriiatreitendinespecifice:studiulstructurii,spaiului i al schimbrilor. Studiulstructurii sebazeaznmod generic pe teorianumerelor:iniial studiulnumerelor naturale,numerepare,numereimpareapoinumere ntregi,continundcunumereraionaleinsfrit numere reale, ntotdeauna corelate cu operaiile aritmetice ntreacestea,toateacesteafcndpartedinalgebra elementar.Investigareanprofunzimeaacestorteoriii abstractizarealoradusnfinallaalgebraabstractcare studiazprintrealteleineleicorpuri,structuricare generalizeazproprietilenumerelornsensulobinuit. 18 Conceptulindispensabilnfizicdevector,generalizatnsensuldespaiuvectorialistudiatn algebra linear este comun studiului structurii i studiului spaiului. Studiulspaiuluipornetenmodnaturaldelageometrie,ncepnddelageometria euclidianitrigonometriafamiliarntreidimensiuniigeneralizatapoilageometrie neeuclidian,carejoacunrolesenialnteoriarelativitii.Omulimedeteoriilegatede posibilitatea unor construcii folosind rigla i compasul au fost ncheiate de teoria Galois. Ramurile modernealegeometrieidiferenialeigeometrieialgebriceabstractizeazstudiulgeometriein direcii distincte: geometria diferenial accentueaz uzul sistemului de coordonate i al direciei, pe cndgeometriaalgebricdefineteobiectelemaidegrabcasoluiiladiverseecuaiipolinomiale. Teoria grupurilor investigheaz conceptul de simetrie n mod abstract, fcnd legtura ntre studiul structuriiialspaiului.Topologiafacelegturantrestudiulspaiuluiistudiulschimbrilor, punnd accent pe conceptul continuitii. Studiul schimbrii este o necesitate mai ales n cazultiinelor naturale, unde msurarea i prediciamodificrilorunorvariabileesteesenial.Calcululdiferenialafostcreatpentruacest scop,porninddeladefiniiarelativnaturalafunciilordintrediversedimensiuniiratalorde schimbaren timp,metodele de rezolvare ale acestora fiind ecuaiile difereniale. Din considerente practice, este convenabil s se foloseasc numerele complexe n aceast ramur. O ramur important a matematicii aplicate este statistica, aceasta utiliznd teoriaprobabilitiicare faciliteaz definirea, analiza i predicia unorfenomene, i care este folosit ntr-o multitudine de domenii. 19 Euclid Realizat de Neacu Adrian Clasa a V-a A coala Rare Vod Ploieti

Dactiinaitehnicaprogreseazastzintr-unritmmairapid dect n orice alt perioad din istoria omenirii nu este totui cazul srenunmlamodestieisnenchipuimcacestlucrus-ar datorauneiinteligenemaiascuiteaomuluidinzilele noastre. Odinioarnuexistaupeplanetanoastrdectctevalocuri rzlee unde activitatea era consacrat progresului tiinei, i chiar acolo tiina era rezervat pentru civa privilegiai. Astzinvmntulsedezvoltdincencemaimultiptrundencetulcuncetulntoate regiunile planetei. Savaniisuntrecruaiastfeldintr-omasdeoamenidincencemaimareisuntpuiimediat, datorit mijloacelor noastre rapid de comunicaie, la curent cu descoperirile colegilor lor. Progreseleattdespectaculoaselacareasistmastzinusedatorescnsexclusiv contemporanilor. Acetia au primit drept motenire rezultatele obinute de predecesorii lor. EucliddinAlexandria(greac:,Euclides),originardin Damasc(cca.325.Hr.-265.Hr.)afostunmatematiciangreccarea tritipredatnAlexandrianEgiptntimpuldomnieiluiPtolemeuI (323 .Hr. 283 .Hr.). Despre viaa lui Euclid nu s-au pstrat nici un fel dedate,deaceeasespunecviaaluiseconfundcuopera.Darnici aceasta nu s-a pstrat n ntregime. Stihia,n traducere romneasc Elementele, tradusn peste 300 n afara de cartea Sde limbi, n care Euclid pune bazele aritmeticii i ale geometrieiplaneispaiale,s-aumaipstratctevacridintrecare: Datele,lucrarececuprindeteoremeiproblemecarecompleteaz Elementele, precum i Optica, privit ca o geometrie a "razei vizuale". A iniiat tradiia de a indica sfritul unei demonstraii prin expresia latin: QuoderatdemonstrandumsauQ.E.D.,ntraducere:Ceeaceerade demonstrat. 20 *Euclid din Alexandria, Egipt este cel mai important matematician al antichitii, cunoscut datorit tratatului su n matematici, Elementele. Puine sunt cunoscute despre viaa matematicianului, cu excepia faptului c a predat in Alexandria. Exist alte informaii despre Euclid date de un autor oarecare, dar nu se crede ar fi adevarat. Prima informaie a fost dat de un autor arab care susinea c Euclid a fost fiul lui Naucrate si c s-a nscut in oraul Tyr. A doua este c Euclid s-a nscut in Megara. n realitate, a fost un Euclid al Megarei care a fost filozof si a trit cu aproximativ 100 de ani nainte de Euclidul Alexandriei. In acea perioad Euclid era un nume foarte comun i s-au facut multe confuzii si a fost dificil s se gseasc informaii despre Euclidul Alexandriei. Unele ipoteze indic c Euclid a fost un caracter istoric, iar altele nu. Niciunadintrelucrrilesaleareprefa,decinuputemaflanimicdesprecaracterulsuaacum putem la ali matematicieni greci. Toate lucrrile lui Euclid au fost scrise de o echip de matematicieni din Alexandria care au folosit numele caracterului istoric, Euclid al Megarei care a trit cu 100 de ani inainte. ToiceicareaucontribuitlascrirealucrriloraucontinuatsscriecrisubnumeleEucliddup moartea acestuia. Toate teoremele date de matematician au fost demonstrate. Aceast axiom a fost enunat n antichitate de ctre gnditorul Euclid, n cartea sa Elemente, fiind cea de a cincea i ultima axiom dat de autor la nceputul lucrrii. Importana ei probabil ca fost evident i pentru Euclid, pentru c primele 28 de propoziii pe care le prezint pot fi demonstrate i frea.Astzi,geometriacarenurespectaxiomeleluiEuclidsenumetene-euclidian,iarcea care nu respect axioma paralelelor (dar le respect pe celelalte) se numete absolut. ncercrilefcutede-alungula2000deanideademonstraacestrezultatauduslaunpasfoarte mare n nelegerea a ce este matematica. Doudrepte tiatede osecantsentlnescdeaceaparteasecanteipentrucaresumaunghiurilor internedeaceeaiparteasecanteiemaimic dectsumaadouunghiuridrepte. 21 Principiul cutiei (principiul lui Diriclet) Lungu Beatrice-Gabriel& Tiriboiu Florentin-Eduard Profesor: PRVULESCU EUGENIAcoala POPESTI, Jude Giurgiu Porninddelafaptulclamulteconcursuriiolimpiadesuntpropusesprerezolvare probleme ale cror soluiise pot obinemai uor dac sefolosete principiulcutieilui Dirichlet, am considerat c este interesant s prezint cteva problemen care se aplic principiul lui Dirichlet. ChiardacprincipiulcutieiluiDiricheletsebazeazpeunadintrecelemaisimpleobservatii matematice, rezolvarea problemelor folosind aceast metod nu este o sarcin prea uoar.1)Formaceamaisimpl.Dacaezmn+1obiectenncutii,atuncicelpuin2 obiecte vor fi n aceeai cutie Aezmobiectelencutientr-omaniercaresfiectmaidefavorabilpentru concluzia principal. Cu alte cuvinte, le aezm astfel nct s nu existe o cutie n care s punemdouobiecte.Consummastfelnobiecteinfiecarecutieesteaezatcte un obiect. Obiectul cu numrul n+1 trebuie s fie i el pus ntr-o cutie oarecare. Dar n acea cutie exist deja un obiect pus anterior. Aadar, n acea cutie vor fi dou obiecte.2)Formageneral.Dacaezmkn+1obiectenncutii,atuncicelpuink+1obiecte vor fi n aceeai cutieArtaicntr-ocoalcu367deelevi,celpuin2iserbeazziuade natere n aceeai zi a anului. 22 ntr-unannebisectsunt365dezile;ntr-unanbisectsunt366dezile. Alegem n = 366 i observm c ncoalsuntn+1 elevi. Aplicm principiul cutiei n forma (1), obiectele fiind cei n+1 elevi ai colii iar cutiile zilele unui an. mprim deci eleviidupcriteriulzileidenatere,adicaezmobiectelencutii.Celpuindoi elevi vor avea aceeai zi de natere. Artai c ntr-o clas cu 37 de elevi exist cel puin 4 n aceeai zodie. Suntn=12zodiicutiii37=3n+1obiecte(elevi).Aplicmprincipiul cutiei n forma general (2), pentru n=12 i k=3Aici cuvntul obiecte desemneaz lucruri,fiine, numere , figuri geometrice mai general elementealemediului;cuvntulcutiidesemneazgrupedeobiectestabilitedup anumite criterii. Artai c n orice mulime format din 5 numere naturale exist dou a cror diferen este divizibil cu 4. Lamprireaunuinumrla4potaprearesturile0,1,2,3.Aplicm principiulcutiei(nforma1))pentrun=4.( Suntn=4cutii-corespunztoarecelor4 resturi in+1=5obiectele- cele 5numere considerate). Rezult c cel puin dou numere vor da acelai rest r la mprirea la 4. Ele sunt deci de forma 4k+r i 4l+r. Diferena lor este (4k+r) (4l+r) = 4(k-l) adic este un numr divizibil cu 4.Artaicoricumamconsidera17puncteninteriorulunui ptratculaturade1m,celpuindouvorfiladistanmai mic de m. Ideea problemei este cninteriorul unui ptrat cu latura l , distana maxim dintre dou puncte este strict maimicdect.ntr-adevrestelungimea diagonaleiidistanadintre oricaredoupuncteestecelmult(situaiecorespunzndcazuluincarepunctelesuntdou vrfuri opuse). mprim ptratul dat , cu latura de 1 mn 16 ptratecongruente(n=16cutii).Aplicmprincipiulcutiei(forma1));dincele17puncte,celpuin2vorfin interiorulaceluiaiptrat;daracestaarelaturalideci distanadintreceledoupuncteestemaimicdectm 23 O plimbare n timp a misteriosuluinumr Eleve: Cimpoies Carla &Cojman Mirela Roxana Clasa a VIIIa C Liceul Teoretic Lupeni coala General Nr. 2 Prof. coordonator: Velcea Emilia Numrul,cainumruldeauresteun strvechitovardegndirealomuluiiomrturisire sigurainteresuluisupentrucunoatereaprecisa lucrurilor de care se vedea nconjurat. Studiulapariieiidedezvoltriinoiunilorde ntindereidenumrattdeimportantepentrugndirea uman, au o nsemntate imens pentru istoria cunoaterii, a tiinei, a tehnicii i pentru dezvoltarea tiinelor nat urii i a culturii matematice. Numrul,carei-afrmntatmiideanipeceimai marimatematicieniailumiii-adezvluitadevratasaidentitatenanul1882ncercetrile matematicianului Ferdinand von Lindemann (1852 - 1939).Genialulinetiutorul"geometru"careadescoperitnumaruls-arputeasfifostun mpletitor de nuiele sau alt meteugar, dar oricine a fost, aflase cea mai minunat tain, a Cerului, a Soarelui, a Orizontului i a Lunii pline.Valoarea=3pentrumsurareacerculuisefolosetedeseorinlucrrilecurenteale topometrilor i n manualele dematematic, timp de mai multe secole dup apariia "Matematicii". Este probabil c aceast valoaresse fi obinut separat, mai nti, pentru lungimea circumferinei iapoipentruariacercului,frssefisesizatlegturantreceledoumrimi.S-arputeaca aceastcoincidendintrevalorileluinambelecazurisfifostrezultatulunormsurtori empiricesausemiempirice.Depild,ariacerculuiseiaechivalentcu

dinariaptratului,iar lungimea circumferinei se lua egal cu perimetrul unui hexagon regulat nscris n cerc.Pe papirusul Rhind (1700 .I.C.) scribul Ahmes calculnd aria unui disc a utilizat (

)

. Vechiievreiutilizauvaloarea3pentrunumarul,nsbabilonieniimaiexacifoloseauncalcule

. 24 Arhimedeaestimatvaloarealui,circumscriindinscriindunuicercpoligoanecu96 laturi. A obinut astfel o foarte bun aproximaie i anume:

. Problema 48 din papirusul Rhind, din care rezult noua valoare a numrului are urmtorul cuprins:"Comparareaarieicerculuiiaptratuluicircumscris".Aceastproblemacontinuat s-ipreocupepematematicieniidinveacurileurmtoaredndnaterelaproblemacuadraturii cerculuiitotodatistorianumrului.Afostproblemacarestrnitmultcuriozitateipasiune cutndu-isoluiatimpdedoumilenii.Problemacuadraturiicerculuii-apreocupatpe pitagonicienincdinsecolulalVI-leai.I.C.Informaiimaipreciseipreioasedesprecuadratura cercului se afl n lucrrile lui Hippocrate din Chios. Antifon,geometruateniandinsecolulalV-lea.I.C.asustinutcariacerculuiputeafi obinutprinmetodapecareofolosimazi,darcareatuncierainadmisibil,aceeadeanscrien cercpoligoaneregulatedeunnumrtotmaimaredelaturi.Anceputprinanscriencerc poligoane regulate de unnumr tot maimare delaturi.Anscrisn cerc triunghiul echilatral, apoi mprindarcelesubntinsedelaturindoupriegaleanscrisunhexagonregulatdupcare continund a obinut un poligon cu 3 . 2" laturi care coincide cu cercul cnd n , deoarece orice poligonestecuadrabiladicsepoateconstruintotdeaunaunptratechivalentcuunpoligondat, rezult c i cercul este cuadrabil.Antifon nu a artat metoda practic prin care s-ar putea construi acestptratechivalentcuunpoligondat,avndunnumrinfinitdelaturi,cis-amulumits-i constate existena. Altsoluiedeaceeainatur,afostpropusdeunelevalluiPitagora(secolulalV-lea .I.C.)-BrysondinHeracleea.DinideileluiAntifoniBrysons-apstratsugestiadeacompara ariilepoligoanelornscriseicircumscriseunuicerccuaceeaacerculuiiastfels-apututstabili dubla inegalitate, exprimat acum n trigonometrie , prin care s-a ajuns la o prim aproximare a lui i anume: . ArhimedeainutseamadeideileluiAntifoniBryson,acalculatperimetrelecelordou pologoane cu

laturi, cel nscris i cel circumscris cercului i a determinat numarul cu doua zecimale exacte ( = 3,14). Unul dintre cei mai mari matematicieni hindui, Aryabhata, n cartea intitulat Aryabhativa a considerat = 3, 1416 i a calculat o tabl de sinusuri. Astronornul i filozoful Cijan - Hen (78-139), pe baza unor considerente necunoscute nou, conchidecptratullungimiicircumferineiseaflnraportul

cuperimetrulptratului circumscris,ceeacecorespundelavaloarea.Aceastaproximare,cuoeroare mai mic de 0,019 , se folosete apoi de nenumrate ori n chimie. LiuHueiapreciazexactitatearezultatului,bazndu-sepefaptulcariacerculuiestemai 25 mic dect aria unei figuri alctuite din poligonul regulat nscris i din dreptunghiurile construite pe laturile poligonuluiavnd laturile opuse tangente la cerc. Calculndpnlaunpoligoncu3072laturi,elgseteoaproximaremaiexact= 3,14159. Opreocupareconstantamatematicienilorafostamelioratprindiferitemetodea aproximaiei numrului . Astfel, istoria matematicii consemneaz formulele de calcul ale lui ca:

(formula lui Leibnitz)

(formula lui Wallis)

(

)(formula lui Euler) cu care se obine aproximaia dorit a numrului . nanul1873americanulShankscalculeazfrafolosi altcevadecthrtie,creionulipropria-irbdare,707zecimaleale numrului fcnd numai o greeal la a 528 zecimal.nanul1882,princercetrilematematicianuluiFerdinand Lindeman,numrulcareafrmntatmiideanipeceimaimari matematicieni ai lumii i-a dezvluit adevrata identitate.Numrul este transcendent, deoarece valoarea sa nu se poate preciza printr-o combinaie n numrfinitdeoperaiiaritmeticesaualgebrice.Serspundeaastfelnegativlaunadincelebrele problemealeantichitii:problemacuadraturiicercului.Aadar,nusepoateconstruicuriglai compasul un ptrat de arie echivalent cu a unui cerc dat.nanul1989,doiamericani,utiliznduncalculatordeosebitdeperformantaustabilit primele 1.011.196.691 zecimale ale numrului . Iat i alte aproximaii ale numrului : cam mare

destul de precis 26 acceptabil excelent -Raportuldintrelungimeacerculuiidiametrulsus-anotatcudupiniialacuvntului pLpLoc periferia in limba greac? L= 2r - Nava spaial Vozager, care a prsit de curnd sistemul nostru solar, trimis n1978cusperanaunuicontactcualtecivilizaii,coninealturidealtemesajei desenulalturat,pmnteniiconsiderndu-lunadincelemaiimportantedescoperiri ale lor?

1. E. Kalman, Istoria matematicii n antichitate , Edit. t., Bucureti, 1963, pag. 165-1662. A. P. Inkevici, Istoria matematicii n evul mediu, Edit. t., Bucureti, 19633. Costel Chite, GM, nr.1/1983 4. Ioan Dncil, Matematica gimanziului ntre profesor i elev, Edit. Corint, 1996, pag. 154-156 5. FI. Cmpan, Povesti despre numere miestre., Edit. Albatros, 1981, pag. 64-109 6. Emilia Velcea, Revista Matematic Cardinalul din Craiova, Nr 2, 2006, pag. 1-3 D=2r 27 coalageneral numrul 2Lupeni ValeaJiului,consideratprintrecelemaifrumoasezonealepmntuluiromnesc,cuprinsntre ramificaiilenaltealeMunilorRetezatlanord,Vlcan,Parngi urianul la sud, are forma unei albii lung de 46 km, care a fost locuit dincelemaivechitimpuri,mrturiefiinddescoperirilearheologice completate cu prima referin scris din anul 1247. Numeroi localnici s-au ndreptat spre minerit, dar lipsind colile acetia se pregteau direct la locul de munc. Mineritul a devenit ocupaia principal a localnicilor i el s-a dezvoltat foarte mult dup 1884. Se simea tot mai mult necesitatea nfiinrii unor uniti de nvmnt. Primeledatedespreexistenauneicoliprimarecomunesuntmenionatenanul1853la Lupeni, Paroeni, Brbteni. n anul 1924 an memorabil n dezvoltarea nvmntului romnesc nLupenis-aconstruitlocalulc.Gen.Nr.2dectreSocietateaCarboniferLupeniValea Jiului.coala dispunea de 8 sli de clas spaioase,laborator, subsol amenajat pentru desfurarea activitilor practice. A funcionat cu 300 de elevi i 8 cadre didactice.Dupreformanvmntuluidin1848senregistreazunsaltcalitativnviaacolii. Numrul elevilor a fost n continu cretere. n anul 1980 n-a scapat de tavalugul buldozerelor comuniste, ca urmare a dezvoltarii industriei miniere,alucrrilorsubteranedinzonalocaluluicolii,cldireas-afisuratiarcoalaafost strmutatla15septembrie1981ntr-unsediunoucelactual.Are24slideclas,cabinetde biologieipsihologie,laboratoaredefizic,informatic,chimieibibliotec.nanul1999an aniversar 75 de ani de la nfiinarea colii avea 1240 elevi, 46 de clase i 55 de cadre didactice.Mulidintreabsolveniicoliisuntpersonalitimarcantennvmntulsuperior,nviaa medical, justiie, directori de instituii i ntreprinderi. Dragostea insuflat multor elevi pentruaceast coal , i-a determinat s revin dascli dup terminarea studiilor chiar n aceast instituie.De asemeneamuli elevi au obinut nenumrate premiila olimpiadele colare,fazajudeeani au participat la etapa naional la matematici fizic Formaiileartisticeauprimittitluldelaureat,iarlacompetiiilesportives-auobinutlocuri fruntae la nivel naional.Laexameneledesfritdeciclugimnazialeleviicoliinoastres-ausituatpeprimelelocuri totdeauna n ora i pe locuri fruntae n jude. nprezentfuncionmcu34declase,780deelevi,51cadredidacticesisuntemstructuraa LICEULUITEORETICLUPENI.ncoalanoastraseorganizeazconcursulinterjudeteande matematic ,,Discipolii lui Pitagora la care va invitam cu drag. 27 Mulimi Elev: Trac Violeta Ctlina, clasa aVI-a coala cu clasele I-VIII Gh. Popescu Mrgineni-Slobozia, jud. Olt Prof.ndrum. Iuliana Trac Omulimeesteocolectiedeobiecte(numiteelementelemulimii)denaturoarecare,bine determinateibinedistincte. A,B,C,...notaiipentrumulimi; a, b, c, ... x, y, z, ... notaii pentru elementele mulimilor Noiunea de mulime este considerat primar i ea este explicat pe baza exemplelor. S dm cteva exemple de mulimi::...} , ..., , 2 , 1 {*n N = .Mulimea numerelor naturale :...} , 2 ..., , 4 , 2 {0n N = .Mulimea numerelor pareMulimea numerelor impare:...} , 1 2 ..., , 3 , 1 {1 = n N . ...} , ..., , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ..., , {..., n n Z = .Mulimea numerelor ntregi:Mulimea numerelor iraionale I, conine fraciile zecimale neperiodice , de exemplu 2 . Mulimea punctelor din plan, egal deprtate de un punct fixat din acelai plan, cercul . Mulimeavid,notatprinC.Caexemplu,mulimeapunctelordeintersecieadoudrepte paralelesituate n acelai plan este o mulime vid. VomutilizanotaiacunoscutX x e ,pentruelementeleceaparinmulimiiX,iX x e pentru elementele ce nu aparin luiX. Dac notm cu p(x) o proprietate a elementului x, mulimea punctelor care au respectiva proprietate se noteaz cu)} ( { x p x X = . 28 DacX x e rezult cp(x) este adevrat. DacX x erezult cp(x) este fals. Relaia de incluziune notatY X _ , nsemn c oricare ar fiX x e , atunci iY x e . Relaia de incluzine strictY X cnsemn c X este o parte proprie a lui Y. Relaia de egalitate se definete astfel, dacY X _i n acelai timpY X _ , atunciY X = . Dac } , , , { , } , , , , , , { d c b a B g f e d c b a A = = ,atuncioricarearfiB x e ,rezultcA x e ,ca urmareA B c . Putem reprezenta cele dou mulimi prin diagrame Euler-Venn. -Proprietile relaiei de incluziune: -Reflexivitatea X X _-Tranzitivitatea Y X _ iZ Y _implicZ X _-AntisimetriaY X _iX Y _implicZ X =mulimii X se noteaz cu) (X . Exemplu:Fie } , , , { d c b a A = .MulimeaprilorluiAeste }} , , , { }, , , { }, , , { }, , { }, , { }, , { }, , { }, , { }, , { }, { }, { }, { }, { , { ) ( d c b a d c b c b a d c d b c b d a c a b a d c b a A C = Reuniunea} { B x A x x B A e v e = Intersecia} { B x A x x B A e . e = Fig.1.1. 29 Complementarea} { ) ( A x x A A C e = =Mulimi disjuncteC = B ADiferena a dou mulimi} { B x A x x B A e . e = Dac notm cu I muimea universal, atunciA I A =Am utilizat n cele de mai sus simbolurile pentru operaii logice. Simbolul. pentru operatorul i, simbolulv pentru sau, iar pentru implicaie, simbolul . Vom utiliya de asemenea simbolurile numite cuantificatori: cuantificatorul universal, notat avnd semnificaia oricare ar fi cuantificatorul existenial, notat- cu semnificaia exist. De exemnplu, propoziia: Oricare a r fi x, exist y astfel nct y=2x, se scrie astfelx y y x 2 = - . ) ( , ) ( X x X e C eDac) ( ) ( X A X A e eDac ) ( , ) ( ) ( , X B A X B A X B A ee e Sconsidermomulimecarenuseconinepesinecaelement.Deexemplu,dac M M M e = } 2 , 1 { . 30 Fie acum C, mulimea tuturor mulimilior care nu se conin ca element } { M M M C e = . Mulimea C astfel definit prezint urmtoarele situaii: (i)Pedeoparte,dacC Ce nseamncCareproprietateaelementeleorsaleideci C Ce . (ii)Pe de alt parte, dacC Ce , atunci nu se conine ca element adicC Ce . n ambele situaii ajungem la o contradicie. Dup modelul acestui exemplu se pot da i alte mulimi paradoxale . Acest lucru a pus n eviden o slbiciune a teoriei mulimilor, aa cum a fost ea dezvoltat de G.Cantor. Pentru a remedia aceast situaie, a fost dezvoltat teoria claselor de ctre K.Godel i P.Bernays.O clas M este mulime dac exist o alt clas C astfel nctC M e . DacB B A B A = cDemonstraie a)Intr-adevr,fieB A xe .CumB x A x B A e e c , ,caurmareB x e .Deci B B A c. b)Invers, dacB x e , i A x B A e c , ca urmareB A xe . Deci B A Bc.. DacA B A B A = c . Demonstraie. a)DinB x A x B A e e c ,rezult cB A x e .Ca urmare,B A A cb)DacB A x e ,B x A x e . e ,caurmareA x e ,deciA B A c .nconcluzie A B A = .c.c.t.d. 31 B C A C B A c c c . Demostraie.1)DinB x A x B A e e c , . DacB y C y A C e e c , , adicB C c . 2)Invers,A y C y e e , atunciB y e . Ca urmare,B Ac . DacA B B A c c . ntr-adevr,B x A x B A e e c , . S considetmB y e , atunciA y e , deciA B c . Diferena a dou mulimi. Am definit} { B x A x x B A e . e = , sau echivalent,B A B A = . Proprietile diferenei mulimilor. ) ( ) ( ) ( C B C A C B A = ) ( ) ( ) ( C B C A C B A = ) ( ) ( ) ( C A B A C B A = ) ( ) ( ) ( C A B A C B A =C = A A) ( ) ( C B A C B A = Fig. 1.2. Fig.1.3. 32 Se poate demonstra c) ( ) ( C B A C B A = . Demonstraie. 1)Artmc) ( ) ( C B A C B A c .FieC B A x e ) ( .Atunci C B x C x B x A xe e e e , , . Ca urmare,) ( , C B A x C B x A x e e e . 2)ArtmcC B A C B A c ) ( ) ( .Fie) ( C B A x e ,rezultc C x B x A x e . e . e , adicC B A x e ) ( . Diferena simetric Diferena simetric notat cuA se definete prin relaia) ( ) ( A B B A B A = A . Fig. 1.5.) ( ) ( A B B A B A = ADumitru Buneag, Lecii de algebr, Craiova, Editura Universitaria, 2002. Fig. 1..4. 33 Numarul de Aur Cocrt Eduard &Oprian Gabriel coala cu clasele I-Viii,,Mihai Eminescu Ploieti Profesor ndrumator: Militaru Corina Cunoscutnantichitatedevechiinelepi,iarapoinevulmediudemariinvai filosofi, geomani, preoi, alchimiti sau ocultiti, numrul de aur a ascuns ntotdeauna mari mistere. n viaa de zi cu zi folosim cuvntul proporie pentru a compara prile unor obiecte in privinamrimiisaucantitii.Elementulcomunceunetetiina,matematica,arta, natura, domeniicareaparentnupotfiirelaionate este numrul / proporia deaur. Raportul de aur este un numr iraional,poate fi calculat din ecuaia: Numruldeaurestereprezentatprinideograma=1,618..............,iarasemeneanumere nesfrite i-a fascinat pe oameni nc din antichitate. Celmaiimportantconceptmatematicasociatcunumruldeauresteirullui Fibonacci,unirdenumerencarefiecareseobinedinsumacelordoudinainteasa: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55etc.mprindoricenumrlapredecesorulsu,seobine aproximativ numrul de aur. Aceste valori au mai puin importan practic, nimeni nu st smsoare exact atunci cnd creeaz o oper de art, dar arat c exist olegtur strns ntre matematic i art. OperamatematicaluiLucaPacioli(1445-1517) , aremarelemeritdeafiadusnateniamatematicieniloriartitilorvremiinumruldeaurideapropuneconexiunintreacestnumrifrumuseeaexprimatnpicturi.LucaPaciolil-acunoscut peLeonardodaVincilaMilano,lacurteaduceluiLudovicoSforza,undeLeonardoerapictorulcurii,iarPaciolifuseseinvitatspredea matematica.Ceidoiaudevenitfoartebuniprieteni..naceast perioadLucaPacioliscrielucrarea Divinaproporione , ncaretrateazreflectareanartiarhitectura raportuluideaur 34 pecarelnumetepentruprimadat proporiedivin .Lucrareaeste importantipentrufaptul castrnitinteresuldeosebitaluiLeonardodaVinci,npicturilesaleMonaLisa,Madonantrestnci respectndraportuldeaur.Astzicercetricomplexeauajunslaconcluziacntreaganatur i chiar ntreg universul este structurat respectnd fidel proporia perfect i exact a numrului de aur. Marile construcii antice, precum piramidele sau templeleicatedralele respectdeasemenea proporiafidelaacestui numrdeaur.Elereprezintarmoniai perfeciunea n creaie. lgsim:flori(dispunereapetalelor),insecte (depildafurnicaarecorpulmpritntrei segmente,dupdiviziuneadeaur),cochilia melcului(spiraladeaur).Chipulomuluiare labaz acest principiu. Deexemplu, raportul dintredistanadelaliniasursului(undese unescbuzele)pnlavrfulnasuluiidela vrfulnasuluipnlabazasaeste aproximativraportuldeaur.inmodsigur nusimicdiniisuntdispuitotconformaceluiasprincipiusica,desifarasail cunoasca ,medicii stomatologi il folosesc Inanumitecazurisauca,atuncicandscrieti,ducetiinstinctivliniadinmijloca litereiE aproximativ la 2/3 de baza=raportul de aur. nfizicamodernndomeniulcvasicristalelor i al gurilornegre s-au identificatproprietilegatedeproporia deaur. Existadepinfocaiaiproporieide aurcarencearcsoidentifice pretutindeni,dariscepticicarencearcsdemonstrezecexistena einnatur estedatoratdoarcoincidenelor. 35 Unde este Fibonacci ? Elev Fronoiu Andru&erban Aurel Cosmin, clasa a XI-a D Colegiul Spiru Haret, Ploieti Prof. Popovici Anca DefinimirFibonaccicafiindunirdenumerecresctori nemrginit definit prin relatia de recuren de ordinul 2 :xn=xn-1+xn-2, cu x0 i x1 daide unde se obine formula termenului general : Xn=

[(

)

(

)

] Pentru oricen N*seconsiderdreptunghiulDculungimile laturilor1in.Careestenumrulandedispuneriadmisibile,fr suprapuneri de dale 1x2 n D? S considerm o numerotare (de la 1 la n) a patratelor P din D. Fiexn,1numrul acelor dispuneri de dale pentru care patratul acoperit cu celmaimareindece este cel cu indice i. Considernd i dispunerea ,,vid va intra n discuie i an,i. Apare formula:xn=xn,n+xn,n-1++xn,1(1) Trecnd n n n+1 avem: xn+1=xn+1,n+1+xn+1,n++xn+1,1 (2) Printr-o corespondena injectiv evident constatm egalitilexn+1,i=xn,i i prin scderea egalitilor (1)i(2)obinemxn+1=xn+1,n+1+xn.Darxn+1,n+1estenumericegalcunumrulxn-1aldispunerilor dalelor din X n dreptunghiul 1x(n-1), deci egalitatea precedent devine xn+1=xn-1+xn. Este bine cunoscut relaa derecurenFibonacci, dar contextualdefinitordeaiciniseparemultmai convingtordectcelclassical,,perechilordeiepuri nemuritori.Seobservievidentelex1=1(doar dispunerevid)ix2=2(ceavidiacoperireacuo dal), xn coincide cu numrul lui Fibonacci. 123in 123inn+1 36 Este numit dupmatematicianulLeonardo din Pisa cunoscut sub numele de Fibonacci (fiul lui Bonacci). n 1202 el a publicat o carte intitulat ,,Cartea despre abac care cuprindea ansamblul tuturor cunotinelor de aritmetic i algebr din acea vreme. 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21, xn=xn-1+xn-2, x0 =1i x1=1.2=1+1; 3=1+2; 5=2+3 etc. Fiecare termen se obtine prin adunarea celor 2 termeni imediat precedeni. Spirala Fibonacci este construit n felul urmtor: SpiralaFibonaccidescriemodeleisecvenedecreterealeobiectelornaturaledelacochiliade nautilus, pe un micro-nivel, pn la galaxii, pe un macro-nivel. FibonacciestecunoscutipentruProporiadeAur,numrprezentntoatelucrurile frumoase.ProporiadeauresteraportuldintreoricenumrdinirulluiFibonacciinumrul imediat precedent, adic xn/xn-1.Aceasta tinde spre (fi) =1,618033989 Avnd xn i xn-1, termeni ai irului Fibonacci, raportulxn-1/xn este egal cu aproximativ 0.618. Dac nmulimacestnumrcu360obinemaproximativ 222,5.Apoiscdemdin360unghiulobinuti rezultununghicumsurade137,5 0=unghiulde aur. 37 nnaturirulluiFibonaccipoatefigsitdelacochilia melcilor,ladispunereafrunzelorpetulpinaplantelorpnlaaezarea stelelor ntr-o galaxie. Designulcochilieimelculuiurmeazospiralcare nou ne-ar fi greu s o trasm cu pixul. Fiind studiat maiamnunit,s-aajunslaconcluziacaceastspiralurmretedimensiunile date de secvena lui Fibonacci.Numrulpetalelorfloriloreste,decelemaimulteori,un numr al secvenei Fibonacci:- Unele specii de crin, irisul au 3 petale; - Viorelele, trandafirul slbatic, lalelele au 5 petale; -Unele margarete au 13 petale; -Unele specii de cicoare au 21 petale; -Ptlagina si unele specii de piretru au 34 petale; - Margaretele ,,Ziua Sf. Mihail au 55 petale; -Florile din familia Asteraceae au 89 petale. Multe plantei dezvolt frunzele njurultulpineiconform secveneiluiFibonacci.Conurile depinrespectodispuneredat denumereleluiFibonacci,floareasoareluilafel,ineleledepe trunchiurile palmierilor respect numerele lui Fibonacci, etc. Motivul pentrutoateacesteaesterealizareauneieficienemaxime.Urmnd secvenaFibonacci,frunzeleunorplantesedispun,astfelncat,s ocupe ct mai puin spaiu i s ocupe o suprafaa ct mai mare. 38 ntr-unstup,mpriinumruldealbinedesexfemininlanumruldealbinedesex masculin i vei obine 1.618. . Aceasta structura extraordinar poate fi ncadratantr-undreptunghincaresepoateconstruiperfectspirala lui Fibonacci. Toate piramidele au proprietatea c msura oricrei mediane, dusdinvrfpeoricarelaturabazei,mparitlajumatatedinlaturabazeidunnumrfoarte aproape de phi. ntabloul,,BunaVestire,realizatdeLeonardo dinVinci,liniileorizontalesuntmereuunmultiplude 0,618caiceleverticale.Elempartntotdeaunatabloul n pri aflate n raport de 0,618.Faauman,ianumedistanantre ochi,distanadintreguriochisi distana dintre nas i ochi i dimensiunea gurii, toate raportate una la cealalt d unnumrfoarteapropiatdephi.nstiia esteticiiseconsidercfaaestecuattmai placutochiuluicuctacestedimensiuni respect secventa lui Fibonacci mai bine.Falangeleminiimsoarnmedie 2,3,5i8cmconformimaginiidemaijos,numereconsecutive n irul lui Fibonacci. RelaiadintreirulluiFibonacciiproporiadeauresteadeseorinumit,,formulafericirii deoarece arat, ntr-un oarecare fel, existena unei sfere de contiin i armonie n ntregul univers. 39 Fascinanta poveste a mulimilor de numere Popa I. Ctlin coala General cu clasele I-VIII Nr. 3 Media Prof. ndrumtor Solomon Marinela Felicia Motto: Obiectul matematicii este att de serios, nct este util s nu pierdem ocazia pentru a-l face puin mai distractiv. Blaise Pascal Suntsimplunotate:N;Z;Q;R\QiR.ntrenoifievorbaamaflatcarfiunaC,darne abinem s vorbim despre ea, deoarece e prea complex pentru noi. Am spus simplu, dar n spatele acestor litere se afl adevrate povetipe care ncerc s le redau mai jos. V propun s ne detam lumea n care trim i s intrm n minunata lume a povetilor, iar eroii notri vor fi numerele. Ca orice poveste s ncepem cu Afostodatcaniciodatnvremurindeprtateomiccomunitate,numitmulimea numerelor naturale, ce se ascundea n spatele literei N i avea ceteni simpli i modeti, numerele naturale. Numerelenaturaleeraufoartedisciplinate,astfelnctntotdeaunacndsefceaprezena, primulcareseprezentalaapeleracelmaimicdintreele,numitzeroinotat0.Dupelvenea urmtorul, 1, apoi 2, 3, i aa mai departe pn pierdeau irul. Astfel, declarau c sunt o infinitate, adic irul lor este infinit.{ } ... , ..., , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 n N =Dac N i punea stelu n frunte, pe 0 nu l mai chema la apel i astfel N devine N*. 40 { } ... n, ..., 5, 4, 3, 2, , 1 * = NNumerele naturale erau tare jucue i fceau echilibristic pe o dreapt pe care o numeau ax i ntotdeauna pe 0 l luau ca origine, iar celelalte se aezau n dreapta lui n ordine ncepnd cu 1, 2, 3 i aa mai departe, pstrnd aceeai distan ntre ele.

012 3 4 Astanuerasingurapreocupareaacestornumerecicteraziuademare,segrupaui desfuraudiferiteactivitipecarelenumeauoperaii.Aveaumulteoperaiidardebaz considerau: adunarea, scderea, nmulirea i mprirea. Aceste operaii pentru ele erau o joac dar cu o regul strict i anume: - rezultatul operaiei trebuia s aparin tot comunitii lor, adic lui N. De aici au pornit i necazurile: nu toate operaiile puteau fi efectuate cu succes, cum doreau ele! Astfel, ntr-o zi dou dintre ele,le-au demonstrat celorlalte c scderea de bti de cap. Exemplificarea a fost fcut de numerele 24 i 8: N 24 - 8 dar16 8 24 e e = NAstfel comunitatea numerelor naturale a fost nevoit s accepte i ali ceteni, i anume pe-1, -2, -3 i aa mai departe, care s-au oferit s le ajute i s formeze o nou comunitate mai cuprinztoare, numit mulimea numerelor ntregi i s se noteze cu Z. S nu nelegei c N i-a pierdut identitatea, doar c a fost,, acaparat de Z i s-a mpcat cu urmtoarea situaie:Z N c , adic orice nr. natural este i ntreg. Astfelnelegereaafostcanumerelenaturalesipstrezeloculpeax,iarcelenou venite s se aeze tot n ordine dar de la 0 spre stnga i s poarte n fa semnul -, de care s nu se despart niciodat . 41 Astfel, { } ... 4, 3, 2, 1, 0, 1, - 2, - 3, - 4, - ..., = Z

. n urma negocierilor s-a decretat: - numerele din stnga lui 0 se numesc numere ntregi negative; - numerele din dreapta lui 0 i pstreaz denumirea de numerele naturale nenule, dar se mai pot numi i nr. ntregi pozitive; - 0 nu este nici pozitiv, nici negativ. Fericite c au rezolvat problemele, s-au apucat iar de operaii dar au constatat cu mhnire c totui i aici o operaie din cele patru nu putea fi efectuat cu succes. Este vorba despre mprire. Dou numere alese la ntmplare au exemplificat: Z 18 : 2 dar9 2 : 18 e e = ZDinmulimeaustrigatalte2numere,4i3,careauspuscproblemaloresteimaigrav, deoarece niciZ e 3 : 4 i niciZ e 4 : 3 . Ce credei c s-a ntmplat? S-au lsat nvinse de probleme? Nici vorb! S-au reunit toate elementele lui Z i dup lungi discuii, au hotrt urmtoarele: -comunitateatrebuiesacceptenoimembriiimpreunsformezeonounou comunitate numit mulimea numerelor raionale i s se noteze cu Q. - noii membrii pot avea forme diferite fa de numerele. ntregii anume: s poarte linie de fracie, adic s ia forma unei mpriri neefectuate sau cu virgul atunci cnd efectum mprirea. -4-3 -2 -1 0 12 34 42 )`e e = * , ; Z n Z mnmQAstfelpentru nr: a) 5 i 20,4 5 : 2 sau 525 : 22,5 2 : 5 sau 252 : 5= == = b) 1 i 3 ==> 000 , 3131 : 3) 3 ( , 0 ... 3 3333333333 3333333333 3333333333 3333333333 , 0313 : 1= == = = c) 9 i 4 ==> 25 , 2494 : 9) 4 ( , 0 ... 4 4444444444 4444444444 4444444444 4444444444 , 0949 : 4= == = = La rndul ei, pentru c i-a rezolvat problema, mulumea nr. ntregi Z, a trebuit s accepte i s se mpace cu ideea cQ Z N impliciti c c cQ Z . Acum pare c lucrurile s-au aezat i toate operaiile puteau fi efectuate. Aceasta pn ntr-o zi cnd cineva a propus o nou activitate numit extragerea rdcinii ptrate pe care au notat-o cu ajutorul radicalului, . S-a constatat cQ n e n este ptrat perfect, adic{ } ... 225, ..., 16, 9, 4, 1, , 0 e n . . 15 225 , 2 4 , 1 Q Q Q e = e = eDar,. ... ; 5 ; 3 ; 2 Q eiaufost declarate iraionale. Lor li s-a adugat un nr. cunoscut sub denumirea greceasc pi i care are valoarea3,14159 = t ... sau nr. de forma 0,101001000 43 Acestenr.iraionalefiindungruprestrnss-auhotrtslepropunnumerelorraionalesse reuneasc i s formeze o nou mulime mai cuprinztoare i mai complet. Argumentulacestoraianumecunde-sdoiputereacretele-anduplecatiastfelnr.raionale au acceptat reuniunea cu cele iraionale dar cu o condiie: fiecare cu regulile sale. Comunitatea nou format s-a numit mulimea numerelor reale i s-a notat cu R. Aceast mulime credea c le tie pe toate i este atotcuprinztoare, adic: . R Q Z N c c cDeclara peste tot c se ntinde de la minus la plus infinit i c nu-i poate gsi nici un cusur. + ) ; ( + = Ri ce credei, c aa a fost? n nici un caz, ca n orice poveste exist i un personaj negativ, care d lucrurile peste cap. ncazulnostru,personajelenegative,erauchiarnumerelenegativecareauvenitcuocererei anume: s li se calculeze i lor rdcina ptrat! Ce credei: este posibil n R? Dac nu, ce se va ntmpla oare? Pnaflmrspunsul,euvspuncm-amurcatpeoa,iv-amspuspovesteamulimilorde numere aa cum am neles-o eu. Restul poate descoperii voi ce s-a mai ntmplat... 44 Matematica, roman... Eleva: Stuparu Cristina, cls a VIII- a A Liceul Teoretic Peciu Nou Prof coordonator: Marioara Cobrac ntotdeaunaamasociatmatematicacuun roman.Unroman,lung,careparesnusemai termine,cupersonajeattdenumeroase,nctnu i poi ine minte pe toi, iar fiecare capitol pare s fiediferitunuldealtul,dartotuilegatentreele. Iardacnucitetiprimapagin,nuveiputea nelege restul. Aceastaedefiniiapecarepotsodau matematiciiacum,dupmaimultdezeceanide cndamfcutcunotincueaprimaoar fiind,bineneles,lagrdiniiapoi,nclasa nti.nspeatuncimisepreaojoactotul. nvamcifrele,leadmiramformele,ncercamslescriuctmaifrumos,ssemenecuceledin manual. Scriam numai cu stiloul, pentru a m determina s le scriu perfect. Dar anii au trecut, eu am scris mii de cifre, iar povestea matematicii a nceput s ia contur. Acela a fost doarcuvntul nainte al romanului. Cele mai multe amintiri pe care le am legate de matematic sunt cele din gimnaziu, respectiv din clasa a V-a. Atunci am simit c descopr adevrata matematic, nu calculele pe care le fcusem pn n momentul acela. Aveam o coal nou, bineneles, clas nou, profesori i materii noi. Dar pe lng toate acestea, am avut parte de descoperiri.Primaorde matematic, o dup amiaz de septembrietrzie.Aveamun caietdematematic studenesc,cugrijliniatde mama.nfaameaseaflau ctevacreioane,pixuri colorateioradier.Am nceputsconstruiescun aviondintr-unliniaripixuri, dar l-am scpat din mn cnd amauzitscrituluii. Profesoaradematematic, inndnbraecatalogulimens (pe vremea aceea) i cteva cri vechi i foarte groase, a intrat zmbind n clas. 45 Nu pot s exprim n mod clar ceea ce simeam poate team, poate emoie, poate nerbdare. Dareramsigurcurmasavempartedemomentefrumoase.igndurileauavutdreptate. Profesoara noastr, o femeie cu un suflet mare, dup cum aveam s aflu mai trziu, a nceput s ne povesteasc despre matematica de gimnaziu, de prile ei frumoase, dar i de problemele mai grele. Dar zmbetul ei m-a ncurajat s pesc cu bine n acea lume plin de surprize. Oreleaucontinuatcu descoperireanumerelorprime,a factorului comun, a teoremei mpririi curestiadivizibilitii.Apoi,am trecutlaproblemeilageometrie. Toateacestelucrurinoimiplceau, iartemelepecareleprimeamnum deranjaudeloc;dimpotriv,m bucuramatuncicndvedeamcpot rezolvaexercitiiiamcunotine legatedematematic.mifcusemo mapplindeformule,desenei definiii,coloratecurouiverdei aranjateconformordiniidinmanual. Cusiguran,matematicaigsiseun loc n s ufletul meu. Bineneles,aniiautrecut,matematicaadevenitmaicomplicat,iarfiind,maimari, colegii au ncetat s mai nvee, s-i fac temele i s vin n mod regulat la ore. ns eu am rmas mereu n locul din prima banc de la fereastr, pentru c simt c i sunt recunosctoare matematicii. nc de mic, am fost atras de cifre, iar acum nu pot s nu mi art mulumirea. Matematica rmne o poveste fr sfrit, dar pe parcursul vieii, sunt sigur c voi ajunge mcar la jumtatea ei.

46 Fractali Autor. Sofran Kati,clasa a IX-a Liceul Teoretic ,,Sf. Kiril i Metodii-TimiProf. Boboiciov Adriana Colocvial,unfractaleste"ofigurgeometricfragmentatsaufrntcarepoatefidivizatn pri,astfelnctfiecaredintreacesteasfieocopieminiaturalantregului".Termenulafost introdusden1975iestederivatdinlatinesculfractus,nsemnnd "spart" sau "fracturat".Fractalul, ca obiect geometric, are n general urmtoarele caracteristici: Are o structur fin la scri arbitrar de mici. Este prea neregulat pentru a fi descris n limbaj geometric euclidian tradiional. Este autosimilar . Are dimensiunea Hausdorff mai mare dect dimensiunea topologic. Are o definiie simpl i recursiv. Deoareceparidenticilaoriceniveldemagnificare,fractaliisuntdeobiceiconsideraicafiind infinitcompleci.Printre obiectelenaturalecareaproximeazfractaliipnlaunanumitnivelse numrnorii,lanurilemontane,arceledefulger,liniiledecoastifulgiidezpad.Totui,nu toate obiecteleautosimilaresuntfractalideexemplu,liniareal(oliniedreaptEuclidian)este autosimilar, dar nu ndeplinete celelalte caracteristici. Matematicadinspatelefractaliloraaprutnsecolul17,cndfilosofulGottfriedLeibniza consideratautosimilaritatearecursiv(deigreisegndindu-secnumailiniiledreptesunt autosimilare n acest sens). Abia n 1872 a aprut o funcie al crei grafic este considerat azi fractal, cnd Karl Weierstrass a dat un exemplu de funcie cu proprietatea c este continu, dar nedifereniabil. n 1904, Helge von Koch, nesatisfcut de definiia abstract i analitic a lui Weierstrass, a dat o definiie geometric a unei funcii similare, care se numete astzi fulgul lui Koch. n 1915, Waclaw Sierpinski a construit triunghiuli,unanmaitrziu,covorulluiSierpinski.Laorigine,acetifractaligeometriciaufost descrii drept curbe n loc de forme bidimensionale, aa cum sunt cunoscute astzi. Ideea de curbe autosimilare afost preluat dePaul Pierre Lvy, care, nlucrarea saCurbe i suprafeen plan sau 47 spaiuformatedinparisimilarentreguluidin1938,adescrisonoucurbfractal,curbaCalui Lvy. GeorgCantoradat,deasemenea,exempledesubmulimialeaxeirealecuproprieti neobinuite aceste mulimi Cantor sunt numite astzi fractali. Funciileiteratenplanulcomplexaufostinvestigatelasfritulsecolului19inceputul secolului20deHenriPoincar,FelixKlein,PierreFatouiGastonJulia.Totui,frajutorul graficiipecalculatormoderne,einuputeauvizualizafrumuseeanumeroaselorobiectepecarele descoepriser. n anii 1960, Benot Mandelbrot a nceput s cerceteze autosimilaritatea n lucrri precum Ct de lungestecoastaMariiBritanii?Autosimilaritatestatisticidimensiunefracional.nsfrit,n 1975,Mandelbrotainventattermenul"fractal"pentruadenumiunobiectalcreidimensiune Hausdorff-Besicovitch este mai mare dect dimensiunea topologic a sa. A ilustrat aceast definiie matematic cu imagini construite pe calculator. 1.Triunghiul lui Sierpinski se obine pornind de la un triunghi i decupnd recursiv triunghiul (central) format de mijloacele fiecrei laturi. 2.Fulgul de zpad al lui Koch - se obine pornind de la un triunghiechilateralisenlocuietetreimeadinmijlocdepe fiecare latur cu doua segmente astfel nct s se formeze un nou triunghiechilateralexterior.Apoiseexecutaceiaipaipe fiecaresegmentdelinieaformeirezultate,lainfinit.Lafiecare iteraie,perimetrulacesteifiguricretecupatrutreimi.Fulgul Kochesterezultatulunuinumrinfinitdeexecuiialeacestor pai, si are lungime infinit, n timp ce aria sa rmne finit. De aceeaFulgulKochsiconstruciilesimilaresuntnumiteuneori curbe monstru. 48 sunt:MulimealuiMandelbrot, Mulimea lui Cantor, Covorul lui Sierpinski, Curba dragon, Curba lui Peano, Mulimea Julia etc. Benoit Mandelbrot parintele fractalilor a cercetat relaia dintre fractali si natur. El a artat cannaturexistmulifractaliicacetiapot modelacuprecizieunelefenomene.Mandelbrot mpreuncucolaboratoriisiauintrodustipurinoidefractalipentruamodelalucrurimai complexe, cum ar fi arborii i munii. Conceptul de similitudine poate fi extins ntr-o anumit msur prinintroducereaunormicischimbrinseriadetransformri similareaa-numiteleperturbri.Dacintroducemanumite perturbrintr-unarborefractaluniform,rezultatulpoatesemna cu un copac real, un coral sau cu un burete. Fractaliaproximativipotfiobservaiuornnatur;aceste obiecteafieazostructurauto-similarlaoscarmare,dar finit.Exempledefractalidinnatur:norii,fulgiidezpad, cristalele, lanurile montane, fulgerele, reelele de ruri, liniile de coast. Arboriisiferigilesuntfractalinaturalicarepotfimodelaiuorpecalculatorfolosindun algoritm recursiv. Natura recursiv este evident n aceste exemple o ramur a unui arbore sau o frunz a unei ferigi este o copie n miniatura a ntregului: nu identice, dar similare. O alt plant la care se poate observa uor auto-similitudinea este conopida(saubroccoli). Conopida Incorpuluman,potfimodelatecuajutorulfractalilor:ramificaiile venelor i arterelor, structura rinichiului i a scheletului, inima i sistemul nervos. Mulimea Julia Mulimea lui CantorCovoru lui Sierpinski 49 TiparedefractaliaufostdescoperitenpicturileartistuluiamericanJacksonPollock.Dei picturileluiPollock'sparafidoarstropihaotici,analizacomputerizatadescoperittiparede fractali n opera sa. Fractaliisuntdeasemeneapredominaninartaiarhitecturaafrican.Caselecirculareaparn cercuridecercuri,caseledreptunghiularendreptunghiuridedreptunghiuriiaamaideparte. Astfeldetiparesegsescintextileisculpturileafricane,precuminprulmpletitncodie.Structura rinichiului Complexitatea si proprietaile uimitoare ale fractalilor le permit acestora s modeleze lucruri din diferitedomenii:biologie,geografie,hidrologie,meteorologie,geologie,economie,medicin, psihologie,astronomie(modeleazastructuraUniversului,distributiagalaxiilorsidistributia craterelor pe luna in filmul Apollo 13, o imagine a lunii a fost generata folosind fractali). nmatematic,funciilefractale se comport ca isistemelehaoticein careschimbri aleatoare asupravalorilordepornirepotmodificavaloareafuncieinmoduriimprevizibile,ninteriorul frontierelor sistemului. Faimoasa Mulime Mandelbrot demonstreaz aceast legtur dintre fractali si teoria haosului dintr-o ecuaie matematic foarte simpl se produc rezultate foarte complexe.

Pentru anelegefractalii, trebuie distinse acele proprietaifundamentale carenuseschimb dela unobiectstudiatlaaltul.Prinstudiereastructuriifractaleasistemelorhaotice,eposibilsse determine punctele critice in care predictibilitatea unui sistem dispare. Scopulgeometrieifractaleesteaceladeaoferiometodingenioasadecunoatere,princare fenomene complexe pot fi explicate pornind de la nite reguli simple. Oricinepoatecreeapeisajedeosebiteiimaginiatrgtoarecuajutorulfractalilor,deoarece existpeInternetomulimedeprogramesoftwaregeneratoaredefractali.Astfel,oricinepoate generafractali,neavndnevoiescunoascnoiunimatematicecomplexetotcetrebuiesfaca estesmodificefunciacaregenereazfractalulialiparametri,isselectezeniteculori.De asemenea,vputeicompunepropriamuzicfractalcuajutorulunorprogramesoftware specializate. 50

http://www.wealllovescience.blogspot.com/2009/01/despre-fractali.html http://ro.wikipedia.org/wiki/Fractal http://www.fractali.org/ 51 Paradoxurile lui zenon Autor: Nicolae Brndue, clasa a IX-a Liceul Teoretic Sfinii Kiril i Metodii-Timi Coordonator: prof. Adriana Boboiciov Motto:"n timp ce exist indicii subtile despre infinit n lucrurile pe care le facem i le vedem, exist de asemenea i paradoxuri profunde ce se afl foarte aproape de suprafaa lucrurilor"(Sir John D. Barrow). Zenon a fost un filozof grec presocratic, din sudul Italiei, membru alcoliifilozoficedinElea,ntemeiatdeParmenide.Vprezentmn acestarticoltreidincelemaicunoscutepatruparadoxurialeluiZenon, uneledintrecelemaifaimoase,maidurabile,maiocanteimai interesante paradoxuri, formulate de filozoful eleat n anul 450 .Hr. Filozoful grec Zenon, discipol al lui Parmenide, a trit n secolul al cincilea. Hr. ine-alsatmotenire cteva paradoxurifoarte profunde a crorrezolvareneinvitsmeditmasupranoiunilordeinfinitide micare.AfostnumitdeAristotelfondatoruldialecticii(formvechede gsire a adevrului, cunoscut i drept arta interlocuiunii). Zenonaformulat maimulte raionamente,cunoscuteca "ParadoxurileluiZenon",pentru asusineideilementoruluisuParmenidedesprenumeresau despremicare.Paradoxurilesuntargumenteaparentcorectecareduclaconcluziicesunt nmod evident false. Provocarea este de a se descoperi ce anume s-a greit n aceste raionamente. Nici una dintrescrierileluiZenonnuaajunsnmoddirectla noi,cidoarpovestiteirepovestitedealifilozofi greci.nacestarticolvomenumera,dupcumam menionatilanceputularticolului,pecelemai cunoscute trei dintre acestea.Argumentulncearcsdemonstrezec micarea dintr-un punct n altul este imposibil. Un om pleac de la borna ce indic 0 km la borna ce indic 1 km.Zenonspune:Casparcurgaceastdistande unkilometru,omulparcurgemaintijumtatede kilometru(adicjumtatedindistanatotal),apoi jumtatedindistanarmas,apoijumtatedin distanacarei-amairmasitotaa,astfelcniciodatnuvaajungelafinal,pentrucaceast 52 diviziunearputeaexistalainfinit.ncercaastfelZenonsrefuzeideeacexistinfinitulcu adevrat? Celde-aldoileaparadoxalluiZenon,"Ahileibroascaestoas",ncearcs demonstreze concluzia conform creia cel care aleargmai repedenulvantreceniciodat pe cel care alearg mai ncet. Aceasta va fi susinut i de Aristotel n "Physica" dou secole mai trziu. S ne imaginm o ntrecere ntre celebrul atlet Ahile i un rival mai lent, transformat de legend ntr-o broascestoas(laaceavremebroascaestoaserasimbolulnelepciunii).Spresupunemc Ahile are o vitez de dou ori mai mare dect cea a estoasei. estoasa are un avans de 1 km fa de Ahile(acestaplecnddinorigine).Oricinevatrageconcluziacpeste2kmAhilevaajunge estoasa. Folosindu-sedeparadoxulprezentatanterior, Zenonnespunealtceva:cndAhileajungela1 km,estoasaaajunsla1kmijumtate,iarcnd Ahile ajunge la 1 km i jumtate, broasca a ajuns la 1kmitreisferturiiaamaideparte,astfelc niciodatAhilenuvareuisntreacbroasca estoas. Altreileaparadox,cunoscutcafiind "paradoxul sgeii", ne spune c o sgeat aflat n micarentrepuncteleAiBnuseafllaun moment dat nici n punctul A, pentru c a plecat de acolo,nicinpunctulB,cn-aajunsncacolo. DacreducidistanaABlalungimeasgeii,nseamncsgeataeste,defapt,nrepaus.Cum concluzia este evident fals, este vorba de un paradox din domeniul logicii. Paradoxurilesuntnstrnslegturcuceeacenoinumiminfinit,temcei-aprovocat deopotrivpeteologiipeoameniidetiin,carencearcshotrascdaclacceptmsaul respingem. Exist infinit n natur sau reprezint doar un numr foarte mare? Este real sau este doar cevateoretic,esteprescurtareapentrunemrginit,pentrufoartemaresaufoartemic?Albert Einsteinspunea:"Doulucrurisuntinfinite:Universuliprostiauman,nsnusuntsigurn legtur cu primul". naceastlumecapricioas,nimicnuestemaicapriciosdectfaimapostum.Unadin victimelecelemairemarcabilealelipseidejudecataposteritiiesteeleatulZeno.Dupcea inventat patru argumente, toate nemsurat de subtile i de profunde, majoritatea filozofilor care i-au urmat au spus despre el c este numai un arlatan ingenios i c argumentele sale nu sunt dect nite sofisme.Dupdoumiideaniderespingerecontinu,acestesofismeaufostrepusendrepturi, devenind temelia unei renateri a matematicii prin tratarea conceptului de infinit... Existlucruricarepardenecrezutcelormaimulioamenicarenus-auocupatde matematic , a spus Arhimede la un moment dat . S se fi gndit el oare la filosoful grec Zenon (n. cca489.e.n),careaprodusmultediscuiilavremearespectivcupovesteantreceriintreeroul grec Ahile i broasca estoas ? Dar iat paradoxul: 53 Ahile alearg de zece ori mai repede dect o broasc estoas . i atunci, ca s fie generos, el d animalului un avans de 100 demetri . Dincauza acestuiavans, elnu poate ajungeniciodat broasca estoas . n momentul n care Ahile a parcurs cei 100 de metri, broasca estoas a naintat cu 10m, cndAhile a parcursi aceti 10m,broasca tot mai are un avans de 1m . Cu rsuflarea pierdut,Ahileparcurgeiacestmetru,dar,vai!Broascaestedinnounaintealui,chiardac numai cu 1/10 m, deci cu 10 cm . Dup ce a parcurs i aceti 10 cm, broasca estoas tot mai este cu 1 cm naintea lui Ahile, pe scurt, orict de mic ar fi avansul, n acest mod Ahile nu ajunge niciodat din urm buclucaa broasc, ea ctignd ntrecerea . Dup acest raionament, ns, un alergtor mai rapid n-ar putea ajunge din urm pe un altul, dac acesta a fost cndva naintea lui i nicio main n-ar putea ajunge din urm o alt main care merge mai ncet . Acesta este ns un neadevr . Totui, unde este greit raionamentul lui Zenon ? n definitiv, ajunge s ne gndim unde se afl broasca estoas atunci cnd Ahile a parcurs o distan mai mare, s zicem 200 m . ntruct n acest timp ea a parcurs doar 20 m, se afl abia la 120 m, deci este depit cu mult .Aceastistorioarantreceriinuestedeloclipsitdesens.Earidicproblema:lace distan de punctul de plecare ajunge Ahile broasca estoas ? Distana aceasta rezult, evident, din : 100+10+1+1/10+1/100+1/1000+... Darcumsepoatecalculaoasemeneasum,ncarenuexistunultimtermen?Faptulc Zenon nu putea rezolva aceast problem se datora, ntre altele, modului de scriere folosit de greci, nepotrivitpentruasemeneaconsideraii.Dacvomscriesumasubforma111,111...=111,(1), atunci i un elev de clasa a V-a tie c aceasta nseamn 111 intregi si 1/9 m de punctul de plecare . Dar Zenon a complicat prea mult problema . Dac Ahile s-ar ntrece cu frumoasa Elena, care aleargcuovitezdedouorimaimici,politicosfiind,i-ardacuplcereunavansde1km, cnd o ajunge din urm ? Dup Zenon, la 1 km Elena mai are un avans de 1/2 km, dup aceast jumtate de kilometru, nc 1/4 km etc. Pe scurt, punctul n care o ajunge este dat de suma : 1+1/2+1/4+1/8+ ... Fr Zenon, am gndi astfel : dac Ahile a alergat 2 km, Elena a parcurs 1 km . Cu avansul ei de 1 km, ea este n acelai punct cu Ahile, deci : 1+1/2+1/4+1/8+ ... 2 Nu este, oare, remarcabil c, adunnd un ir nesfrit de termeni, obinem totui un numr ca 2 ? Unirdeacelaifelpareafi:1+1/2+1/3+1/4+1/5....S-arzicecelsedeosebetede precedentul doar prin faptul c s-a mai adugat puin . Ar putea rezulta atunci 3 sau 4 . Greeal ! Acest puin ajunge ca irul s nu aib nicio sum ! n cele din urm ea se ridic mai sus dect orice numr, orict de mare ar fi el ! Pentru a strni i curiozitatea elevilor de liceu, vom spune c, mult mai trziu, cu mijloacele analizeimatematice,acesteextinderialenoiuniidesumdelacazulfinitlacazulinfinitaufost numite serii . Seria anterioar, a inverselor numerelor naturale, 1+1/2+1/3+...+1/n+...a fost numit serie armonic, ea fiind convergent dac irul sumelor pariale ataat ei, este convergent . 57 ORGANIZATOR:coala cu Clasele I-VIII Rare-VodPloieti Director:profesor Ion Dumitrache Profesor biologie Venera Georgescu Colaboratori: prof. Daniela Badea prof. Luminia Corneci - - SAM Ing. Gh.Pnculescu Vlenii de Munte prof. Mihaela GavriloiuPARTENERI: Inspectoratul colar Judeean Prahova Insp. c. Gen:prof. Gheorghe Borovin Insp. Biologie:prof. Silvia Olteanu SPONSOR: S.C. Cati S.R.L. Ploieti Ing. Ctlin MoisescuMOTTO... coalaoricndeonchisoarecndnvtorulvafimrginit,eoricndogrdincnd acestavafiunomdespiritcarevatisinteresezepeeleviisipentruobiectulce propune. Mihai Eminescu ARGUMENT: ncdin1959,ONUadedicatfiecareananumitorproblememajore,cuo importan globalpentruomenire,ncercndsatragateniaasupralorisndemne statelelumiilaaciunepentrupromovareasaurezolvarealor.Astfel,naceastjumtate deveacs-ausrbtoritAnulInternaionalalDrepturilorOmului,AnulInternaionalal Reconcilierii,AnulInternaionalalDeerturilorialDeertificrii(2006),Anul Astronomiei (2009), Anul Internaional al Biodiversitii (2010) etc.n spiritul acestei tradiii, anul 2011 a fost declarat:Anul Internaional al Chimiei, al crui scop este acela de a atrage tinerii ctre aceast tiin i a concentra atenia oamenilor asupra rolului pe care l joac chimia n viaa noastr, pornind de la gastronomie i ajungnd pn la medicin i tehnologie. Sub sloganul "Chimia, viaa noastr, viitorul nostru", se vor aniversa i 100 de ani de cnd Marie Curie a primit al doilea Premiu Nobel, cel pentru chimie, acum vor fi srbtorite i femeile care i-au adus contribuia la dezvoltarea tiinelor. Anul Internaional al Pdurilor pentru a ne reaminti ct de importante sunt pentru noi pdurile i viaa care se adpostete n interiorul lor (UNESCO). Mesajul transmis de iniiatori - pdurile sunt vitale pentru supravieuirea i bunstarea oamenilor de pretutindeni. Anul European al Voluntariatului are la baz o serie de documente ale unor instituii europene care recunosc contribuia voluntariatului la evoluia societii i a cetenilor ei. Aceasta reprezint, o form de cetenie activ la nivelul btrnului continent ce ar trebui sprijinit de autoriti la nivel naional, regional i local. Tot acum, vor fi aniversai 10 ani de la demararea Anului Internaional al Voluntariatului, celebrat n 2001, la iniiativa Organizaiei Naiunilor Unite. 52 Pdurea de stejar Perju Ciprian Profesor : Adriana Sclu coala Andrei Mureanu, Ploieti Prahova Mreul stejar cu crengile sale ramnificate crete pn la o nlime de 40m, triete pn la 800 ani i ofer adpost unei numr foarte mare de animale si plante. Este un arbore foios , cruia i cad toate frunzele n fiecare an. El se gsete n toata Europa. De la vrful coroanei pn la capetele rdcinilor stejarul este locuit pe toata durata anului. Unstejarmaturpoatesaibpnla50.000deghinde,deipuinedintreacesteavorcreteise vortransformancopacinoi. Majoritatea ghindelor sunt mncate de psri i de animale, fie cnd sunt nc n copac, fie dup ce cad la pmnt. Pentru a germina ghindele rmase au nevoie de o surs permanent de umiditate. Primvara,candstejaruladormitsetrezetedinsomnuldeiarniaparprimelefrunze,ncepe ciclulanual.Apareoabundendeinsectencopac,acesteaatragndlarndulloromulimedeanimale i psri insectivore. 53 Psrileauzonedeoperarespecifice:pitulicea mic,piigoiulalbastruipiigoiulmareialtele ocupvrfulcopaculuiiarpetrunchiulrobust triesc ticlenii i ciocnitoarele. Subcopac,lasolsegsescmclendrii,mierlele, pitigoiimarisicintezoii care ateapt s cad ceva de sus.Noaptea, alte vietai apar ca s profite de ospul de omizisaufluturi. Lichenii,careserspndesctreptatde-alungulmultoranipetrunchiuliperamurilestejarului, ascundfluturiivaletifluturiiptaidecovor,iarfrunzelemoartedelasolulpduriiascund fluturele comun cu evantai. In prile moarte ale copacului, larvele de lemn, rdtile i ali gndaci, precum i viespele de lemn saptuneleprotectoarencarevorvorajungelamaturitate-doardacscapdeciocanitoare.Dar stejarul rezist acestor atacuri. Primadefoliereestencurndnlocuitcuo generaieulterioar,numit"frunzele lammas", care la nceput sunt armii i treptat senverzesc. La baza copacului revenirea soarelui aduce la viaalteplantecumsunt:primulele, anemonelesivioletele.Mreulstejararat celmaiimpresionant vara, cnd arefrunziul complet,darnacestelunicalde,adesea secetoaseelfaceunmareefortde supravieuiasc.Lafelcaoriceplant,stejarulcreteitrieteprinfotosintez-fabricilesale(frunzele)sunt acionatedeenergiasoarelui.Eltrebuiesadunesubstanenutritive(minerale) iapadinsolisletransportepentreagasanlime-ipnlacelemaindeprtatecrengi, rmurele i frunze. ntr-o zi de var, un singur copac poate s absoarb peste 450 l ap. 54 Vietile i plantele care triesc pe stejar i lng el rmn active vara.Fluturelefir de pr purpuriu poate sa colonizezefrunzisul dinvrful copacului,n timp cemaijos poate s se gaseasc fluturele mprat purpuriu. Pe trunchiul copacului triesc mutele stejarului. In lumina serii se ivesc crbuii i multe alte insecte. Luminasoareluisepoateinfiltraprintreramurilestejaruluipnlasolulpdurii,undeierburile, ferigile i murii ofer substane nutritive pentru animalele care pasc i care se hrnesc cu plante, de le oareci de camp i iepuri pn la cprioare.Bine camuflai de frunze se gsesc sitarul de pdure, o pasre terestr.Rdcinile ramificate pot ascunde vizuina unei vulpi care un se ferete smnnce viermi i larve - i n jurul unui stejar acestea exist din abundent. Ghindeleseformeazntimpullunilorde varicadnprimelesptmniale toamnei. Acestea atrag mulimi de psri i deanimalecaresehranesccuelepeloc, sauletransportpentrualestocadrept proviziideiarn.Printrecolectoriseafla gaiteleiveverielecareadeseai transportproviziilepedistanedestulde mari.Maitrziuuitdeopartedinele-n acest fel stejarul se rspndete.Dacestetinutlaumezeal,ghindava producefrunzeprimavara;puietulpoates creasc 15 cmn 6luni, dar vor trece 100 de ani pn va fi considerat matur. 55 Odat cu sosirea toamnei apar ciupercile care cresc pe lemnul viu al trunchiului stejarului, formnd straturimaroniiasemeneaunortreptecumarginicrestate.Dinlemnulramurilormoarteale stejarului rsare ciuperca scoic. Treptat,stejarulsepregtetepentrusomnuldeiarn, nchizndalimentareacuhraniapdelaradacini formndundopcadeplutnpunctulncarefrunzase fixeazpeoramur.Astfelsevaseretrageifrunzele odinioarverzidevinaurii,morsicad. Frunzeleczutedincopacifurnizeazproviziirmelor, acesteafiindcelemaiocupatetoamna.Transformarea acestorfrunzenhumusnpmntasigurproviziipentru copacipentrumilioaneledemicroorganismedinmediul su.njurulsuseaflalilocuitoriaipmntului:pduchi de lemn i furnici. n aceast perioad a anului pdurea abund de pianjeni, plasele lor ca de borangic acoperind toate straturile stejarului. Acetia nu se consum doar unii pe alii pentru a supravieui; ei sunt mncai la rndullor. Prezena lorn copac atrage o sumedenie depsri, care sengra pentru iarnsauii adun puterile pentru lunga migratiune . : Lavenireaiernii,stejarulestebinepregtitpentruoperioaddeabstinenta.Niciacumelnueste gola.Trunchiulsubtrnirobustesteacoperitcuiederiuneorivsc,precumicumuchi, alge,lichenisauferigi. Toate frunzele copacului dispar iar sistemul de absorbie a apei i a substanelor nutrtive din sol este nchis.Etimpulsomnului.Labaz,printrermielefrunzelorczute,oareceledepdure, oareceledecmpichitcanulrmnactivincutareahraneinecesare,iarla rndulloracetiasuntvnaidenevstuicisivulpi. Printre ramurile dezgolite veveria i poate construi o vizuin din care plec apoi n cutarea hranei, deoarece ea nu hiberneaza. Adancsubstejar-aproximativ1,5msubpmnt-bursuculsemihiberneaznvizuin, aventurndu-se afar doar cnd vremea este blnd. 56 Gorunulsaustejarulsesilcretemaiverticaliare trunchiulmaisubtiredecatstejaruleuropean, crengile crescnd la nlime pe trunchiul su. Poate atinge30mnlime,trietepnla800deanii are o frunz lung i conic . Ghindele sale cresc pe tulpini scurte. Gorunul crete pe dealuri i nu n vi. Dincoloderelaxareideefectelebeneficeale micrii n aer liber, aerul ionizat din pdure ajut la circulaiasngelui,oxigeneazcreieruliuureaz respiraia.Mai mult decat att, aerul pdurii conine substane volatile care au rolul de a inhiba sau chiar de a stopadezvoltareaunormicrobipericuloi. Aceste substanesenumescbactericidenaturale,iarunsingur hectardepadurematurdestejaremitenatmosfer dou kilograme de asemenea an tibiotice naturale. Pdureaesteunaspiratordepraf

Celmaiimportantmotivpentrucarepdurileartrebui sexistenimediatavecintateamarilororaeeste rolul lor de a filtra atmosfera. Ele acioneaz nu doar ca unfiltruchimic,consumnddioxiduldecarboni eliminndoxigen,ciicaunfiltru,copaciiacionnd ca o perdea care reine particulele de praf. -Manualul de biologie clasa a 5-a -Internet (Google, diverse sit-uri educaonale) 57 Omul i mediul de viaa : Degradarea biodiversitii Elev: Marinescu Dorina, clasa aVII-a coala cu clasele I-VIII Gh. Popescu ,Mrgineni-Slobozia, jud. Olt Prof.ndrum. Aurelia Gheorghe Biodiversitateacuprindevarietateagenelor,aspeciiloriaecosistemelorcareconstituie viaa pe pmnt.Pe Planeta Albastra pnn prezent aufost descoperite, descrise i aflndu-sen diferite grade de cerecetare cca. 1,82 milioane de specii de organisme vii, dintre acestea: -cca. 1,04 milioane sunt insecte; -325 mii sunt specii de plante verzi (fotosintetice) i ciuperci; -41 mii sunt specii de vertebrate (peti, reptile, amfibieni, psri i mamifere). Au rmas, probabil, puine specii de vertebrate de descoperit, dar este posibil, ca zeci de mii despeciideinsectesfie,nc,necunoscute.Deasemeneaunnumrimaimarede microorganismeateaptsfiestudiate.Niciospecieaprutnbiosfernus-aivitntmpltor. Fiecare i are rostul, menirea ei n acest uria mecanism biologic care alctuiete biodiversitatea.Principalulindicatordupcaresejudeccalitateamediuluilconstituiereducerea diversitiibiologice.Dispariiapetermenscurtauneispeciinuarelabazdectcauzeale activitiiantropice,legatedirectde schimbrileclimaticeprovocatedepoluare. Dispariiaorganismelorviiconstituieceamai marepierderebiologiciecologicaepocii noastre, ea fiind totalmente ireversibil. Fiecare ar,ca,dealtfel,ntreagaplanet,dispunede treicategoriideresurseimportante:resurse materiale ,resurseculturalesiresurse biologice.Primeledou,fcndpartedinviaa nostr cotidian, fiindu-se aproape de noi, nu le neglijm. In schimb,noi, umanitatea, neglijm bogiile,resurselebiologice,nfptuindprin aceastaograveroarestrategic,pecareovor regreta nviitor. Biodiversitatea esten scderela nivelmondial,iaraceast tendint nu dsemne de inversare sau de ncetinire n prezent, suntem martorii unei pierderi constante a biodiversitii cu consecine profunde pentru lumeanatural i pentru bunstarea oamenilor. Cauzele principale sunt schimbrilecareseproducnhabitatulnatural.Acesteaaulocdatoritsistemelordeproducie agricolintensiv, construciilor, exploatrii carierelor, exploatrii excesive a pdurilor, oceanelor, rurilor,lacurilorisolurilor,invaziilordespeciistrine,poluriii-totmaimult-datorit schimbrilor climatice la nivel global. 58 Omenireaeste ea nsi o parte a biodiversitii i existena noastr n lume ar fi imposibil fraceasta.Calitateavieii,competitivitateaeconomic,forademuncisecuritatea,toatese bazeaz pe acest capital natural.Biodiversitateaeste esenialpentruserviciile ecosistemelor,adicserviciilepe careleofernatura:reglarea climei,apaiaerul,fertilitatea soluluiiproduciadealimente, combustibil,fibreimedicamente. Aceastaesteesenialpentru meninereaviabilitiipetermen lungaagriculturiiiapescuitului istlabazamultorprocese industrialeiaproducieide medicamentenoi.Revoluiile agricoleiindustrialeau determinatschimbridramaticei accelerate n utilizarea terenurilor, intensificarea agriculturii, urbanizare i abandonarea terenurilor. n schimb, acestea au dus la prbuirea multor practici (de exemplu, metodele agricole tradiio nale) careajutaulameninereapeisajelorbogatenbiodiversitate.Cretereapopulaieiiactivitile economice,mpreuncuschimbriletehnologiceimodelulnostrudeviapoliticicultural, inducopresiunesporitasupraecosistemelor.Aciunilenoastremodifichabitatele,clima, supraexploateaz resursele, polueaz i faciliteaz raspndirea speciilor straine cu potenial invaziv. Dactendinaactualcontinu,pierdereabiodiversitiisevaaccelera.Planteleianimalele formeazpatrimoniulnaturaluneiri,auneinaiuniElesuntrezultatulamilioanedeanide evoluie, a milioane de ani de activitate a naturii n spaiul respectiv. Valoarea lor este inestimabil. Ele constituie, n plus, o imens surs de bogii neexploatate sau n curs de exploatare, de hran i medicamente.Dispariianaturalaunorspeciisauvarietieste,deasemenea,unlucruobinuit, consideratcaunfenomennormal,pentrusimplulfaptcaevoluiavieiinbiosfereste,cu siguran,ocreaiedediversitatederennoire.Romniaesteunadintarileeuropenecuuncapital naturaldeosebitdediversibineconservatdatoritainterferenteipeteritoriulariiacinciregiuni biogeografice,respectivAlpina,Continentala,Panonica,StepicasiaMariiNegre.Deasemenea, datoritapozitieigeograficeaRomniei,floraifaunaprezintainfluenteasiaticedinsprenord, mediateaneenedinspresudicomponentecontinentaleuropenedinsprenord-vest.Romniaesteo tara cu o diversitate biologica ridicata, exprimata atat la nivel de ecosisteme, cat i la nivel de specii. Ecosistemele naturalei seminaturale reprezinta aproximativ47%dinsuprafatatarii. Diversitatea floreiiafauneisereflectaiinfaptulcaRomniadeinecelemaimaripopulatiidelupi,ursi, capre negre i rasi din Europa, ct i extinse habitate forestiere i alpine nealterate, asociate lanului muntos al Carpatilor.Invedereaconservariidiversitatiibiologice,peteritoriulRomnieisuntconstituite963de ariinaturale protejate,care reprezinta peste 7% din suprafata tarii. Printre acestea sunt 3 rezervatii alebiosferei,4situriRamsar,2situricareauprimitDiplomaEuropeanapentruariiprotejate acordatadeConsiliulEuropei,13parcurinationalesi13parcurinaturale,careconstituiebaza 59 retelei ecologice Natura 2000.Din reteaua nationala de arii protejate, Delta Dunarii se distinge, att casuprafata(580.000ha),cticanivelaldiversitatiibiol