11. GRINZI CU ZBRELE, METODA

SECIUNILOR

11.1. Etape n aplicarea metodei A doua metod analitic pentru calculul eforturilor din barele grinzilor cu zbrele este metoda seciunilor care se bazeaz att pe teorema solidificrii ct i pe teorema echilibrului prilor. Metoda se utilizeaz de obicei pentru verificarea rezultatelor eforturilor din bare stabilite n urma utilizrii metodei izolrii nodurilor (v. cap. 10), dar poate fi folosit i ca metod direct pentru calculul eforturilor din bare.

Etapele de calcul la aplicarea acestei metode (utilizat ca metod de verificare) sunt :

1) Se verific condiia de determinare static i invariabilitate geometric, conform relaiei:

2N = b + r , unde s-a notat cu N numrul nodurilor, cu b numrul barelor, iar cu r numrul legturilor exterioare simple. 2) Se calculeaz reaciunile din legturile exterioare. 3) Se procedeaz la o secionare a grinzii cu zbrele, recomandndu-se ndeplinirea urmtoarelor condiii:

- seciunea trebuie s despart grinda n dou pri distincte; - seciunea aplicat trebuie s ntlneasc cel mult trei bare de efort necunoscut; - alegerea celor trei bare de efort necunoscut, se face astfel nct aceste bare secionate s nu fie toate trei paralele, sau toate trei concurente n acelai punct.

4) Pentru una din cele dou pri obinute n urma secionrii se scriu trei ecuaii de echilibru. Scrierea ecuaiilor se face astfel nct s se obin un sistem de ecuaii independente n vederea unei rezolvri rapide. De exemplu, pentru o grind cu tlpi paralele, una dintre ecuaii va fi ecuaia de proiecie a forelor pe direcia normal la direcia tlpilor, iar celelalte dou, ecuaii de proiecie de moment n raport cu punctele de intersecie n care se ntlnesc dou cte dou, direciile eforturilor cutate. 5) Se rezolv sistemul de ecuaii stabilit la punctul anterior i se figureaz eforturile gsite pe o schem de fore a grinzii n ansamblul ei. 6) Verificarea se face pentru un efort calculat, considernd o alt seciune.

93

11.2. Aplicaii

A11.1. Utiliznd metoda seciunilor, s se determine numai eforturile din barele grinzii cu zbrele ntlnite de seciunea I - I (fig. 11.1).

3 a

2P 4P

3P

4 a4 a 4 a

P I

I 4 a

Fig. 11.1.Rezolvare: Grinda cu zbrele din figura 11.1 a fost rezolvat n capitolul precedent, urmrindu-se verificarea rezultatelor obinute anterior cu metoda izolrii nodurilor, numai pentru barele secionate. Astfel, seciunea I - I desparte grinda cu zbrele n dou pri. Se alege una din cele dou, de exemplu partea din stnga (fig. 11.2). Aceasta este supus aciunii forelor exterioare date i de legtur, precum i eforturilor din cele trei bare secionate. Condiia de echilibru a prii alese, se exprim prin trei ecuaii de proiecie (conform teoremei echilibrului prilor), ecuaii care se aleg astfel nct fiecare din acestea s aib cte o singur necunoscut.

2P

4 a4 aV1=2P

2 S24

3

5

x D251

y

H1=4P

3 a

I35

Fig. 11.2.Pentru calculul efortului din talpa inferioar I35 se scrie ecuaia de proiecie de moment n raport cu punctul 2, deoarece celelalte dou eforturi necunoscute sunt concurente n acest punct i nu intervin n ecuaie:

==+= PIaIaHaVM 320 0334 353511)2( . 94

Aplicnd acelai raionament pentru calculul efortului din talpa superioar S24, se scrie a doua ecuaie de proiecie tot de moment, dar de aceast dat n raport cu punctul 5, punct n care eforturile D25 din diagonal i I35 din talpa inferioar sunt concurente:

PSaSaPaVM38 03428 24241)5( ==+= .

Cel de-al treilea efort, D25 din diagonal se stabilete din ecuaia de proiecie de fore pe direcia vertical, deoarece S24 i I35 sunt orizontale i deci au proiecia nul pe direcia vertical:

0 05322sin2 2525251 ==+=+= DDPPDPVYi .

A11.2. S se calculeze eforturile din barele nsemnate, utiliznd metoda seciunilor pentru grinda din figura 11.3.

9

30 kN

10

753

6 84

1

2

3,0

60 kN 30 kN

4,0 4,0 4,0 4,0

Fig. 11.3.

Rspuns : S46 = -80 kN, D36 = -50 kN, M87 = 30 kN, I97 = 80 kN.

95

Fig. 11.4

3P3 3P3A11.3. S se calculeze eforturile din barele nsemnate, utiliznd metoda seciunilor pentru grinda cu zbrele din figura 11.4.

l

l

l

l

l l

3 5

l Rspuns : 2 6

S35 = -3P, D45 = -2P, I46 = 2P.

l l 4

1

A11.4. S se stabileasc mrimea forei orizontale Q n funcie de valoarea forei verticale P, astfel nct efortul din diagonala 2-3 s fie nul (fig. 11.5). Rspuns :

Se calculeaz reaciunile H1 = Q(), V1 = (2P-Q)/4(), V5 = (2P+Q)/4(). Se secioneaz barele 1-3, 2-3 i 2-4 i se scrie ecuaia de proiecie de moment n raport cu punctul aflat la intersecia prelungirilor barelor 1-3 i 2-4. Se afl D23 = (P-Q) 5 /3=0 i deci Q = P. Verificarea poate fi efectuat prin izolarea barei 2-4, scriind ecuaia de proiecie de moment n nodul 4 : Q1-V14=0.

Fig. 11.5.

P

Q

4,0 4,0 m

2,0

1,0

6 2

5

4

3 1

A11.5. S se stabileasc eforturile din barele 7-9, 8-9 i 8-10 pentru grinda cu zbrele compus din figura 11.6. Rspuns : Sistemul este simetric i este alctuit din dou grinzi cu zbrele simple, articulate ntre ele n nodul 6. Se calculeaz numai reaciunile din articulaia 11: H11 = 105 kN(), V11 = 90 kN (); secionnd barele cerute rezult : N97 = -75 2 kN, N10-8 = -15 2 kN, N98 = -15 kN.

Fig. 11.6.

a a

1

3

2

4

a a a

5 60 kN

6

a a a

11 10

9

60 kN60 kN

8

7

96

11. GRINZI CU ZBRELE, METODA11.1. Etape n aplicarea metodei11.2. Aplicaii