1

GENERALITĂŢI

Proprietăţile mecanice ale materiei au constituit obiect de studiu

încă din timpurile de început ale civilizaţiei umane. În particular,

materialele, cele din care omul îşi confecţiona diferite bunuri, au

început să fie dezvoltate din vremuri imemoriale, prin olărit, ţesături

şi mai apoi, prin prelucrarea metalelor neferoase, în epoca bronzului.

Se poate spune că istoria descoperirilor prin care diferitele “materii

prime” au fost transformate în “materiale” utile omului, este însăşi

istoria civilizaţiei.

Prin acest efort s-a căutat izolarea acelor proprietăţi ale

diferitelor materiale, care se dovedeau cele mai utile. Mai târziu,

obiectivul a fost optimizarea materialelor, adică modificarea

structurii lor cu scopul de a le îmbunătăţi una sau alta dintre

proprietăţi. De exemplu, vânătoarea a devenit mai eficace atunci

când vârfurile de săgeţi au fost făcute din silex, o piatră care putea fi

spartă în aşa fel încât să formeze muchii şi vârfuri ascuţite. Nu orice

piatră însă putea fi prelucrată astfel (prin mijloacele din acea vreme).

Neîndoielnic, întrebarea “de ce numai anumite pietre au această

proprietate” a apărut în mintea omului primitiv, dar răspunsul avea să

se lase aşteptat câteva milenii.

Un alt exemplu interesant din perspectivă istorică este inventarea

şi perfecţionarea oţelurilor. Aceasta s-a desfăşurat pe parcursul a

câtorva milenii, cea mai rapidă evoluţie înregistrându-se, desigur, în

ultimii aproximativ 150 de ani. De-a lungul acestei istorii, efortul

principal a fost îndreptat spre îmbunătăţirea rezistenţei materialului la

diverse solicitări; oţelurile trebuiau să susţină sarcini din ce în ce mai

mari înainte de rupere. Cu timpul, din întâmplare sau prin diverse

încercări empirice, s-au obţinut oţeluri pentru care, pe măsură ce

rezistenţa se îmbunătăţea, deformaţiile erau mai mici. În limbajul de

astăzi am spune că, între ductilitate şi rezistenţa la rupere există o

relaţie inversă. Mai târziu s-a observat că această situaţie nu este

specifică oţelurilor, ci este o caracteristică a majorităţii materialelor

inginereşti.

În prezent, structuri foarte complicate sunt construite din

materialele cele mai diverse. Multe dintre acestea sunt supuse la

2

încărcări mecanice semnificative şi deci proprietăţile mecanice ale

ansamblului sunt de maximă importanţă pentru buna lui funcţionare.

În acest sens se pot da multe exemple clasice, unele evidente: poduri,

supuse la propria greutate, la greutatea vehiculelor care le traversează

dar şi la solicitări produse de vânt şi de cutremure; structurile de

rezistenţă ale construcţiilor, care sunt supuse, în linii mari, la aceleaşi

tipuri de solicitări statice şi dinamice (variabile în timp), structuri

industriale de mari dimensiuni, cum ar fi cuptoarele de topire a

metalelor, care sunt supuse atât la solicitări mecanice prin greutatea

proprie, cât şi la solicitări termice, prin cicluri de încălzire – răcire.

Alte exemple, mai puţin discutate, de structuri intens solicitate

mecanic, sunt sistemele micro – electro – mecanice (micro –

electromechanical systems, MEMS) şi sistemul osos al omului şi

animalelor. MEMS – urile sunt sisteme mecanice formate din bare şi

membrane care sunt construite (“gravate”) pe un cip de siliciu, în

timp ce partea electronică de comandă şi control este integrată pe

acelaşi cip. Ele sunt folosite în special ca senzori de presiune şi

acceleraţie, dar pot fi folosite şi în alte scopuri, de exemplu, ca

actuatori microscopici. Aceste structuri sunt intens solicitate

mecanic, adeseori până aproape de rupere, în condiţii dinamice

dificile (la rezonanţă). Ele sunt însă deosebit de rezistente deoarece

materialul din care sunt realizate este un mono – cristal. O situaţie

similară există la sistemul osos. Acesta este structurat la multiple

scări şi s-a dezvoltat astfel încât să preia sarcinile cu maximă

eficienţă şi consum minim de material.

Practica inginerească impune, în general, două tipuri de restricţii

asupra comportării mecanice a structurilor. Pe de o parte, ele nu

trebuie să cedeze sub sarcinile normale de lucru (sau chiar sub sarcini

mai mari, aplicate accidental), iar pe de altă parte nu trebuie să se

deformeze excesiv. Prima condiţie este evidentă şi se aplică în

majoritatea cazurilor. A doua este necesară numai în unele cazuri. Un

astfel de exemplu îl constituie paletele rotoarelor turbinelor de abur

sau ale motoarelor de avion (turbine cu gaz). Acestea sunt supuse la

încovoiere de fluidul în mişcare, dar şi la întindere, de o importantă

forţă centrifugă datorată vitezelor unghiulare foarte mari cu care se

învârt rotoarele. În plus, ansamblul lucrează la temperaturi ridicate.

Condiţia de rezistenţă la rupere pentru aceste structuri este evident

3

necesară. În plus, este necesar ca paletele să nu se deformeze (să-şi

mărească lungimea) în timpul funcţionării mai mult decât distanţa

dintre vârful lor şi carcasă, pentru a evita ruperea paletelor şi / sau a

carcasei. Această toleranţă este însă mică, deoarece un spaţiu mare

între palete şi carcasă duce la pierderi inadmisibile ale fluidului de

lucru.

Aceste două condiţii, cea de rezistenţă şi cea de deformaţie, fac

obiectul studiilor mecanicii materialelor şi structurilor, cunoscută şi

ca rezistenţa materialelor sau ca mecanica solidului deformabil.

Este necesar să se sublinieze distincţia făcută mai sus între

comportarea materialelor şi cea a structurilor. Desigur, a doua o

include pe prima. În plus, răspunsul structurilor, compuse din multe

elemente (componente, piese, organe) încărcate complex, depinde de

modul în care sarcinile sunt transmise şi distribuite pe fiecare

element, de geometria structurii, a încărcării şi a modului în care

structura este susţinută (rezemată). Ruperea este, în esenţă, un proces

microscopic, local, adică ea este produsă de sarcini şi solicitări

locale, care depind de întreaga structură şi de încărcarea ei globală.

Există astfel o ierarhie de scări spaţiale la care studiul unei structuri

trebuie să se efectueze: de la scara globală, de exemplu, a unui întreg

pod, până la scara fiecărui element, de exemplu, cea a fiecărui nit al

podului respectiv. Această ierarhie poate fi extinsă spre scările mai

mici, spre microstructură, mergând în intimitatea materialului din

care sunt construite elementele cele mai solicitate. Sarcina

inginerului este aceea de a identifica această ierarhie şi de a elabora

modelul de calcul corespunzător. Obiectivul principal al disciplinei

rezistenţa materialelor este de a prezenta conceptele şi metodologiile

de bază în acest proces.

Tipuri de comportări mecanice ale materialelor

În acest paragraf se va defini răspunsul generic al unui material la

solicitări externe. Aceasta este o restrângere a discuţiei de la

răspunsul unei întregi structuri, la cel al materialului din care ea este

realizată. Este ca şi cum s-ar porni de la scara unei structuri încărcată

cu sarcini complexe (fig. 1.a),

4

s-ar face un “zoom-

in” la scara uneia

dintre componentele

sale (fig. 1.b) şi apoi

un alt “zoom-in” prin

care se izolează un

mic volum de

material din acea

componentă (fig.

1.c). Se presupune că

acest volum de

material, de exemplu

un cub, este încărcat cu tensiuni constante pe toate feţele sale, adică

este suficient de mic încât gradienţii (variaţiile tensiunii de la un

punct la altul) sunt neglijabili. Acest volum de material reprezintă un

“punct material” la scara elementului de structură din figura 1.b.

Răspunsul materialului la solicitarea din figura 1.c se poate

determina experimental. Pentru aceasta se folosesc epruvete cu

secţiuni circulare sau dreptunghiulare, care sunt solicitate la întindere

sau la compresiune. Una dintre condiţiile de bază ale unui astfel de

test este ca tensiunile să fie constante în întregul volum de material

testat. O epruvetă cilindrică tipică este reprezentată schematic în

figura 2. Ea are trei zone: două capete de prindere şi o zonă

centrală. Cele două capete au secţiune mai mare decât zona centrală,

astfel încât

Figura 2

tensiunile aici să aibă valori mai reduse. La capete se prinde epruveta

în maşina de încercat. Zona centrală a epruvetei este cea în care se

face măsurarea. Ea este de obicei prelucrată foarte fin (la rugozităţi

mici) şi are diametrul constant d0 (dacă secţiunea este circulară), pe o

Figura 1

5

lungime Lc, ceea ce asigură uniformitatea tensiunilor în întregul

volum de material.

Formele şi dimensiunile epruvetelor pe care se fac încercări în

vederea determinării caracteristicilor materialelor, sunt precizate în

standarde specifice. Pentru încercarea la întindere a materialelor

metalice, la temperatura ambiantă, trebuie avute în vedere

prevederile standardului SR EN 10002 – 1 (anul 1995). Pentru

exemplificare, în tabelul 1 se dau dimensiunile epruvetelor cu

secţiune circulară, proporţionale, adică pentru care L0 = 5 d0.

Încercarea constă în aplicarea unei forţe F de întindere sau de

compresiune la capetele epruvetei şi în măsurarea lungirilor ΔL (sau

scurtărilor) epruvetei între două repere aflate la distanţa L0, din zona

centrală, calibrată. Pentru fiecare “treaptă de încărcare a epruvetei”

se determină perechile de valori F, ΔL. Tensiunea σ se determină cu

formula σ = F / S0, în care S0 = π d02

/ 4, este aria iniţială a secţiunii

epruvetei. Deformaţia specifică ε se calculează cu relaţia ε = ΔL / L0.

Perechile de valori σ, ε, determină experimental, pentru materialul

respectiv, relaţia dintre tensiuni şi deformaţiile specifice, prin puncte

care pot fi reprezentate grafic într-un plan σ, ε.

Tabelul 1

Diametrul

d0

mm

Aria

secţiunii

iniţiale,

S0

mm2

Lungimea

iniţială

între repere,

L0

mm

Lungimea

calibrată

minimă, Lc

mm

Lungimea

totală,

Lt

mm

20±0,150 314,2 100±1,0 110 Depinde de modul de fixare

a epruvetei în

fălcile maşinii; în principiu: Lt

> Lc + 2d0

10±0,075 78,5 50±0,5 55

5±0,040 19,6 25±0,25 28

Testul poate fi efectuat şi invers, controlând deplasarea (viteza)

relativă a celor două capete ale epruvetei şi măsurând forţa /

tensiunea necesară. A doua modalitate de testare are un avantaj net

prin aceea că în cazul producerii unei instabilităţi a procesului de

deformare (rupere sau localizare a deformaţiei), maşina de testare

caută să reducă forţa aplicată, făcând astfel posibilă continuarea

6

testului şi în regimul post-critic. În cazul celuilalt tip de test, maşina

caută să menţină forţa constantă, epruveta fiind distrusă catastrofic

(ruptă) în momentul atingerii punctului critic.

Răspunsul unui material generic la o astfel de încărcare, adică cu

o tensiune axială este reprezentat în figura 3 şi se numeşte curbă

caracteristică a materialului. Sunt reproduse două curbe tensiune -

deformaţie specifică: cea cu linie continuă corespunde mărimilor

inginereşti, iar cea cu linie întreruptă, mărimilor reale.

Curbele au trei

regiuni bine definite.

Pentru tensiuni şi

deformaţii mici, ambele

sunt lineare şi coincid

(regiunea OA). Aceasta

este regiunea linear

elastică. Dacă sarcinile

aplicate sunt eliminate,

epruveta revine la forma

şi dimensiunile iniţiale,

punctul reprezentativ

revenind de la A la O pe

acelaşi drum parcurs în

timpul încărcării. Panta

acestei linii se numeşte modul de elasticitate lineară, modulul lui

Young sau modulul de elasticitate longitudinal şi se notează cu E.

Între punctele A şi B comportarea materialului continuă să fie

elastică, dar curba caracteristică este nelineară. Dincolo de punctul B

epruveta intră în zona de deformare plastică. B se numeşte punct de

curgere, iar tensiunea corespunzătoare, c, este tensiunea de curgere

sau limita de curgere. Tensiunea corespunzătoare punctului A, p, se

numeşte limita de proporţionalitate.

Începutul deformării plastice este dificil de definit fără

ambiguitate, în practică. De aceea, poziţia punctului B se stabileşte

convenţional pentru o deformaţie specifică remanentă (plastică, εp)

de 0.2% (sau 0.002).

Dacă faza de încărcare este oprită dincolo de punctual B, de

exemplu în C, şi epruveta este descărcată, curba caracteristică de

Figura 3

7

descărcare parcurge linia CD. Aceasta este paralelă cu OA şi deci are

panta E. Descărcarea este elastică. Deformaţia specifică totală în C,

, este compusă dintr-o componentă elastică, e, şi una plastică, p.

După descărcare, deformaţia remanentă a epruvetei are valoarea p.

Această comportare a materialului subliniază cele prezentate

anterior, referitor la faptul că deformaţia elastică şi cea plastică se

produc în paralel. Materialul continuă să se deformeze elastic chiar şi

atunci când punctul caracteristic este dincolo de B. Tensiunea în

punctul curent este σ = Ee. Această observaţie este însă de puţin

ajutor în practică pentru că ceea ce se măsoară este deformaţia

specifică totală, , şi nu componentele ei.

Dacă epruveta este reîncărcată din punctul D, curba urmează

linia DC, iar punctul de curgere se mută în C. Tensiunea de curgere,

c a crescut după deformarea plastică. Se spune că materialul s-a

ecruisat. Acest efect poate fi folosit pentru creşterea durităţii

(hardness) şi a rezistenţei (strength) materialelor inginereşti metalice.

În continuare, punctul caracteristic urmează curba CE, ca şi cum

deformarea epruvetei nu ar fi fost întreruptă.

Deformaţia plastică este uniformă în întregul volum al zonei

centrale a epruvetei, iar aria secţiunii transversale scade continuu, pe

măsură ce lungimea epruvetei creşte. Se constată că variaţia de

volum corespunzătoare deformaţiei plastice este nulă. Acest mod de

deformaţie este reprezentat schematic în figura 3. La un moment dat

însă, deformaţia se localizează într-o gâtuire a epruvetei. În această

zonă aria secţiunii transversale scade dramatic, în timp ce forţa care

se aplică epruvetei este aproximativ constantă. În consecinţă,

tensiunile reale în zona respectivă cresc rapid, iar în afara zonei de

localizare rămân aproximativ constante. Aceasta corespunde

“ridicării” rapide a curbei trasată cu linie întreruptă, între punctele E

şi F, ajungând respectiv în E' şi F'. Valorile mari ale tensiunilor din

zona de localizare (gâtuire) duc, în final, la ruperea epruvetei. Pentru

un material ductil, procesul are loc prin “cavitaţie,” adică prin

nucleerea unui gol pe axa epruvetei, gol care creşte pe măsură ce

deformaţia continuă de la E la F. În punctul F, “ligamentele” de

material delimitate de acest gol axial şi suprafaţa externă a epruvetei

cedează prin forfecare.

8

Curba notată σing

, care reprezintă mărimile inginereşti, coboară

dincolo de punctul E. Această comportare este posibilă numai în

cazul în care viteza de deplasare relativă a celor două capete ale

epruvetei este controlată în timpul testului (nu forţa aplicată). Când

deformaţia se localizează, deplasarea creşte brusc, iar maşina reduce

forţa aplicată.

O altă observaţie importantă cu privire la curbele din figura 3

este legată de energia de deformaţie. Energia de deformaţie este

echivalentă cu aria de sub curba caracteristică. În cazul de faţă se

reduce la un singur termen pentru că sunt aplicate numai tensiuni

normale, pe o singură direcţie şi xxdW . Energia totală stocată

şi disipată în timpul încărcării (în punctul C), este aria de sub curba

OABC (haşurată în fig. 3). Această energie este generată de maşina

de încercare, sub formă de lucru mecanic. După descărcare (linia

CD), aria triunghiului CDD' reprezintă energia elastică care este

“recuperată.” Aceasta este energia de deformaţie care a fost stocată

în interiorul materialului în timpul încărcării. Aria OABCD

reprezintă energia disipată în procesul de deformare plastică. Cea mai

mare parte (~ 98 %) din această energie este transferată mediului sub

formă de căldură. Este important de notat că pe măsură ce punctul C

se apropie de E, cea mai mare parte din lucrul mecanic efectuat de

sistemul de încărcare este disipată în procesul de deformare plastică.

Figura 4

Nu toate materialele răspund identic la solicitările mecanice. De

fapt, există o foarte mare variabilitate în acest sens. Un exemplu este

reprezentat în figura 4, care conţine două curbe caracteristice: pentru

9

un oţel carbon şi pentru aluminiu pur (policristalin). Curba

corespunzătoare oţelului carbon prezintă câteva particularităţi în

vecinătatea punctului de curgere. Imediat după începutul curgerii

(deformării plastice) tensiunea scade brusc, astfel încât se pot defini

două puncte (limite) de curgere: unul superior şi unul inferior.

Urmează un scurt platou şi o zonă de ecruisare. Curba

corespunzătoare aluminiului nu are particularităţi deosebite, fiind

similară cu cea generică, prezentată în figura 3.

Încercările de laborator prin care au fost obţinute curbele din

figura 4, au fost făcute în mediul ambiant şi la temperatura camerei.

Este important de observat că, dat fiind că temperatura de topire

a diferitelor materiale este diferită, nu ne putem aştepta ca răspunsul

măsurat la o temperatura dată să fie similar. Pentru a aduce discuţia

la un numitor comun, adică pentru a putea compara diferite

materiale, se foloseşte aşa numita “homologous temperature” Th

definită ca raportul dintre temperatura curentă T şi temperatura de

topire a materialului respectiv Tt (pentru polimeri se foloseşte

temperatura de tranziţie “glass transition temperature” – de

vitrificare) Th = T/Tt. Pentru cele două materiale în discuţie,

temperaturile Tt sunt: 1538o

C pentru oţelul carbon şi 660o

C pentru

Al. Deci la temperatura camerei (200 C), temperaturile “omoloage”

Th sunt 0.013 şi respectiv 0.03. Trebuie menţionat că totuşi, chiar

dacă încercările ar fi fost făcute la aceeaşi valoare a homologous

temperature Th , curbele caracteristice ar fi fost diferite. Aceasta se

datorează faptului că microstructurile şi mecanismele de deformare

sunt diferite de la material la material.

Efectul temperaturii asupra comportării mecanice a unui material

dat este reprezentat calitativ în figura 5. Creşterea temperaturii are

următoarele consecinţe: modulul de elasticitate scade uşor (panta

curbei caracteristice în zona elastică este mai redusă), punctul de

curgere se mută la tensiuni mai mici şi deformaţia la rupere creşte

simţitor. Pe acest efect se bazează prelucrarea la cald a materialelor.

Prin încălzire la o temperatură apropiată de temperatura de topire,

materialul devine mult mai ductil şi curge la tensiuni mult mai mici

decât la temperaturi coborâte.

10

Figura 5

Problema poate fi pusă şi invers: o structură construită dintr-un

material care este ductil la temperaturi de lucru normale poate deveni

fragilă dacă temperatura coboară accidental sub ceea ce este

considerat normal la proiectare. Un exemplu proeminent în acest sens

este cel al unei serii de accidente petrecute în timpul celui de-al

doilea război mondial, în care nave de război s-au rupt pur şi simplu

în două, aparent fără o cauză bine determinată, atunci când intrau în

zona arctică a oceanului Atlantic. Cauza a fost elucidată mai târziu,

când s-a descoperit că oţelul din care erau construite navele trecea

printr-o tranziţie de fragilizare la temperaturi în jurul celei de –10 oC.

Acest şir de evenimente tragice a constituit în mare măsură factorul

declanşator pentru iniţierea studiilor care au dus la naşterea

disciplinei Mecanica Ruperii.

Alte utilizări practice ale efectului de fragilizare a materialelor,

asociat cu scăderea temperaturii, sunt în biologie şi în producţia de

micro şi nano-pulberi. În biologie, ţesuturile care trebuie studiate la

microscop se îngheaţă pentru a putea fi tăiate (microtome) în felii

subţiri şi pregătite pentru observaţie. La fel, una dintre metodele de

producţie a pulberilor este cea criogenică: materialul respectiv se

răceşte la temperaturi sub –100 oC după care este supus unei

operaţiuni de aglomerare (ball milling). Aceste pulberi (ceramice sau

metalice) pot fi apoi folosite pentru a produce aliaje (prin sinterizare)

sau materiale compozite (prin compactare).

Modalitatea standard de reprezentare grafică a efectului

temperaturii asupra curgerii materialelor este curba, σ –T, tensiune –

temperatură (sau temperatura Th), pentru o deformaţie specifică ε

dată. Un exemplu generic este prezentat în figura 6.

11

Pe măsură ce temperatura

creşte, tensiunea necesară pentru a

produce deformaţia specifică

respectivă, scade continuu. La

temperaturi înalte se ajunge la un

platou, tensiunea încetând să scadă

în continuare. Acest platou se

numeşte “a-termal”.

Trebuie considerat şi efectul

vitezei (ratei) de deformare asupra

curbei caracteristice a materialului. Acest efect este intuitiv şi a fost

experimentat de nenumărate ori de către fiecare dintre noi. Un

exemplu este modul în care resimţim interacţiunea cu apa dintr-un

bazin (apa fiind aici materialul “testat”): intrând încet în apă, ea pare

că nu opune nici o rezistenţă; sărind însă de la trambulină, rezistenţa

opusă este evidentă. Aceasta sugerează că pe măsură ce deformăm un

material mai repede, tensiunea necesară producerii unei anumite

deformaţii specifice trebuie să fie din ce în ce mai mare.

Acest efect este de obicei reprezentat grafic sub forma unei curbe

tensiune, σ, – viteza (rata) de deformare, , în coordonate semi-

logaritmice (fig. 7). O astfel de curbă se trasează pe baza mai multor

teste, fiecare fiind făcut pentru altă valoare a vitezei de deformare .

Se reprezintă tensiunea corespunzătoare pentru o deformaţie

specifică dată (aleasă). Rata de deformare se măsoară în s-1

, iar

domeniul de rate de deformare importante în practică, este

aproximativ 10-4

… 1 s-1

. Testele curente de laborator (pentru

încercarea materialelor) se fac, de obicei, în domeniul 10-4

… 10-2

s-1

.

Operaţiunile de deformare curente (la rece şi la cald) se fac în

domeniul 10-3

… 1 s-1

, iar în procesele de deformare foarte rapidă,

cum ar fi penetrarea proiectilelor prin ţinte, ratele de deformare sunt

de ordinul 103 … 10

5 s

-1. Există teste de laborator pentru încercarea

materialelor la rate de deformare mari, însă acestea necesită aparatură

specială, de tipul barei Hopkinson.

Se pot distinge trei domenii ale curbei σ - . Pentru valori mici

(I), practic valoarea tensiunii σ nu depinde de viteza de deformare ,

iar curbele caracteristice determinate pentru rate diferite se suprapun.

Unele materiale, cum ar fi aluminiul, sunt foarte puţin sensibile

Figura 6

12

la rata de deformare şi pentru

întregul domeniu de rate

importante în practică, curg la

aceeaşi tensiune. Majoritatea

calculelor inginereşti se fac în

acest domeniu, deci se

presupune că răspunsul

materialelor este puţin

dependent de rata de deformare.

Aceasta este în mod clar o

aproximaţie, bună pentru unele, dar mai puţin bună pentru multe

dintre materialele folosite în inginerie. Motivul principal pentru

adoptarea pe scară largă a acestei aproximaţii este faptul că

simplifică semnificativ calculul structurilor.

Pentru al doilea domeniu al curbei (II), tensiunea σ variază liniar

cu log . Acest domeniu se extinde până la rate foarte mari, care sunt

întâlnite în procesele de rupere dinamică, penetraţie şi fragmentare

( > 102 s

-1). Unele materiale inginereşti, cum ar fi aliajul Ti-6%Al-

4%V, folosit intens pentru componente care lucrează în medii

corozive (de exemplu, în corpul uman!) sau la temperaturi înalte,

prezintă numai acest domeniu al curbei, pentru toate ratele de

deformare de interes practic. Dincolo de acest regim (III), tensiunea

σ creşte rapid cu .

O altă serie de încercări folosite pentru caracterizarea

comportării materialelor este formată de testele de fluaj şi relaxare.

Testul de fluaj constă în încărcarea materialului la o tensiune (uneori

cu o forţă) constantă şi în măsurarea deformaţiei specifice în timp.

Ceea ce deosebeşte un astfel de test de cele descrise mai sus, este

faptul că valoarea tensiunii aplicate este sub limita de curgere, astfel

încât, într-un test cvasi-static (de durată obişnuită), singura

deformaţie care este de aşteptat să se producă este cea elastică.

Totuşi, dacă trece un timp suficient de lung, chiar o tensiune mică

poate duce la deformaţii plastice (permanente) importante. Acest

efect este cu atât mai pronunţat cu cât temperatura este mai ridicată.

Un exemplu clasic de astfel de comportament este cel al ţevilor de

plumb (din instalaţiile electrice) fixate orizontal la exteriorul

clădirilor vechi. În câţiva zeci de ani aceste ţevi se curbează sub

Figura 7

13

propria greutate: materialul curge. Un fenomen similar este observat

şi la alte materiale, “mai dure”, cum ar fi oţelurile, dar devine

măsurabil numai la temperaturi relativ ridicate (Th ~ 0.8).

Testul de relaxare a tensiunilor este oarecum opus celui de fluaj.

La acest test materialul este încărcat la o tensiune, după care

deformaţia specifică este menţinută constantă. Cel mai simplu

exemplu este cel al strângerii cu şuruburi a două flanşe ale unei

conducte. În condiţii normale (discutate mai sus), forţa (tensiunea)

din şuruburi nu variază. Pentru multe materiale, însă, se constată că

tensiunea scade în timp, iar îmbinarea luată ca exemplu se slăbeşte.

Ca şi în cazul fluajului, relaxarea este mai pronunţată pe măsură ce

temperatura creşte.

Originile fizice ale comportării mecanice a materialelor

Aşa cum s-a menţionat mai sus, comportarea mecanică a

materialelor este extrem de variată. În aceleaşi condiţii de mediu şi

încărcare, materiale diferite se comportă diferit. Este important a se

înţelege ce anume determină acest fapt. Unul dintre factori a fost deja

discutat: raportul dintre temperatura la care se face testul şi cea de

topire, deci cât de aproape este materialul respectiv de punctul la care

încetează să mai fie un corp solid. Cei mai importanţi factori, însă,

sunt legaţi de structura internă a materialului.

Această legătură între microstructura şi comportarea mecanică a

materialelor a fost un obiectiv pentru câteva generaţii de cercetători

în domeniu. Ea formează obiectul de studiu al metalurgiei fizice. Mai

recent, s-a demonstrat faptul că fenomenologia observată la scară

macroscopică este determinată nu numai de ce se întâmplă la scară

microscopică (de ordinul a 1-10 m, de exemplu), ci de întreaga

ierarhie de scări spaţiale, de la cea atomică până la cea macroscopică.

A devenit evident că o înţelegere reală şi un control efectiv asupra

comportării materialelor (din punct de vedere mecanic, termic,

electronic, magnetic etc) este posibil numai înţelegându-l în

integralitatea lui. Astfel, ştiinţa materialelor a trecut din sfera

metalurgiei fizice în cea a fizicii corpului solid şi chiar a fizicii

cuantice şi a mecanicii statistice. În ziua de astăzi, bazele teoretice

ale dezvoltării materialelor noi fac parte mai mult din fizică decât din

inginerie.

14

În cele ce urmează se vor prezenta numai câteva aspecte,

esenţiale, pe baza cărora să se poată înţelege de ce materialele se

comportă elastic şi plastic şi ce fenomene fizice controlează această

comportare. Pentru aceasta este necesar să coborâm până la scara

atomică sau moleculară şi să renunţăm la descrierea de mediu

continuu a corpului solid, cu care suntem obişnuiţi. La acest nivel,

corpurile trebuie privite ca fiind medii discrete, compuse din atomi

şi/sau molecule, care interacţionează unele cu altele, prin câmpuri.

Pentru simplitatea discuţiei, se va considera un material mono-

atomic, aşa cum sunt toate metalele.

La scara atomică astfel de materiale (metale, ceramici) au

aspectul unei reţele cristaline. Atomii sunt aşezaţi în poziţii specifice

în reţea, de exemplu, în nodurile acesteia. Reţelele cristaline sunt

clasificate în 6 tipuri sau singonii (cubic, hexagonal, tetragonal,

ortorombic, monoclinic şi romboedric). Cele mai multe materiale

inginereşti au reţele fie cubice, fie hexagonale. Singonia cubică are

patru clase: cubic simplu, care nu se întâlneşte în natură în condiţii

normale, cubic cu feţe centrate (de exemplu Al, Ni), cubic cu volum

centrat (de exemplu Fe, V) şi cubic de tip diamant (de exemplu Si,

Ge). Dintre materialele cu reţele hexagonale se pot menţiona Zn şi

Mg. Detalii cu privire la aceste aspecte se pot găsi în tratatele de

cristalografie.

Pentru discuţia de faţă este suficient să se considere cea mai

simplă reţea cristalină, cea cubic simplă (fig. 8). În această reţea,

atomii sunt aşezaţi în colţurile fiecărui cub elementar (sau celulă

unitară), iar latura cubului, a0, este

parametrul reţelei. În materialele

metalice a0 este de ordinul a 1 Å,

sau 10-10

m. În cele ceramice sau

semiconductoare, această distanţă

este ceva mai mare (de circa 2 Å).

Atomii interacţionează prin

intermediul unor forţe care pot fi

de natură ionică, covalentă sau

van der Waals. Legătura ionică

este de tip electrostatic şi este dominantă în solidele în care atomii

aşezaţi în nodurile reţelei cristaline sunt ionizaţi (ioni) ca, de

Figura 8

15

exemplu, la sarea de bucătărie (NaCl). Aceasta este o legătură

puternică, care se exercită la distanţă mare. Legătura covalentă se

datorează faptului că electroni ai unui atom sunt în comun cu unul

sau mai mulţi vecini ai lui, atunci când aceştia sunt suficient de

aproape pentru ca orbitele lor să se suprapună. Legătura covalentă

este tot o legătură puternică, dar care are o rază de acţiune mai

redusă. În metale, o parte dintre electronii de valenţă sunt puşi în

comun şi, efectiv, atomii devin ioni pozitivi. Fiind însă “cufundaţi”

în această “mare electronică” de sarcină negativă, ei sunt ecranaţi şi

deci nu interacţionează electrostatic (adică între ei nu apar forţe de

respingere). Electronii liberi formează o bandă de conducţie la scara

întregii reţele cristaline şi asigură o bună conductivitate electrică şi

termică a majorităţii metalelor. Trebuie menţionat că unele metale de

tranziţie au o componentă covalentă semnificativă în legăturile lor

atomice. În sfârşit, interacţiunea de tip van der Waals se datorează

dipolilor induşi şi este tipul dominant de interacţiuni interatomice în

solidele formate de gazele nobile (He, Ar, Xe, Ne) la temperaturi

scăzute şi în polimeri. Gazele nobile au nivelele electronice complete

şi deci nu pun electroni în comun cu atomii vecini. Totuşi, sarcina

electrică a unui atom dat fluctuează spaţial, deşi rămâne constantă ca

medie pe întregul atom. Aceste fluctuaţii (pentru un atom dat) duc la

formarea unui dipol de sarcină a cărui mărime şi orientare în spaţiu

fluctuează. Atunci când doi astfel de atomi sunt suficient de apropiaţi

unul de celălalt, fluctuaţiile unuia induc dipoli în cel vecin. Aceşti

dipoli induşi au viaţa extrem de scurtă, însă suficientă pentru a

genera forţe de natură electrostatică între atomii vecini aflaţi în

interacţiune.

Forţele interatomice sunt definite de o mărime numită potenţial

interatomic. Aceasta este, în esenţă, o lege constitutivă la scară

atomică, care poate fi stabilită prin calcule de fizică cuantică. O

formă funcţională generică, pentru astfel de interacţiuni (una dintre

cele mai simple), este potenţialul Lennard-Jones:

612

r

a

r

ae4)r(u , (1)

16

care este expresia energiei de interacţiune a doi atomi aflaţi la

distanta r. În relaţia (1), e este unitatea de energie, iar a este cea de

distanţă. Forţa de interacţiune dintre cei doi atomi este:

f(r) = - du / dr. (2)

Potenţialul Lennard-Jones este un excelent model pentru

interacţiunile de tip van der Waals. Funcţiile (1) şi (2) sunt

reprezentate grafic în figura 9, prin expresiile adimensionale u/e

Figura 9

şi -fa/e (notate în fig. 9). Forţa interatomică f(r) este de atracţie

(negativă), când distanţa dintre atomi este mare (r >> a), trece prin

zero la aproximativ r = 1.12246a şi devine de respingere când cei doi

atomi sunt apropiaţi (r < a). Repulsia puternică la distanţe r mici se

explică, în principal, ca o consecinţă a principiului de excluziune al

lui Pauli.

Acest fapt sugerează că atomii au tendinţa să se aglomereze

datorită forţei de atracţie, însă nu se pot suprapune, rămânând entităţi

distincte. Poziţia relativă de minim energetic corespunde celei în care

forţa de interacţiune este zero. Această condiţie determină valoarea

parametrului a0, al reţelei (fig. 8).

17

Originea elasticităţii materialelor

Pentru a descrie originea fizică a elasticităţii materialelor

cristaline, de tip metalic şi ceramic (comportarea elastică a

materialelor polimerice şi a cauciucurilor este de natură diferită şi nu

se discută aici), se vor face referiri la reţeaua cristalină din figura 8 şi

anume la răspunsul ei la deformarea după una din direcţiile aliniate

cu axele principale (muchiile cubului reprezentativ). Pentru

simplitate, se va considera că un atom interacţionează, prin

potenţialul Lennard-Jones, numai cu vecinii lui cei mai apropiaţi. De

exemplu, atomul A interacţionează numai cu cei 6 vecini ai săi aflaţi

la distanţa a0: atomii B, C, D, E, F şi G (fig. 8). În acest caz,

parametrul reţelei, a0, este determinat de valoarea minimă a

potenţialului: a0 = 1.12246a.

În configuraţia nedeformată, valoarea forţei care acţionează

asupra fiecărui atom este nulă, atât pentru că forţa f = 0 în punctul M

(fig. 9), cât şi datorită simetriei reţelei. Se presupune, apoi, că reţeaua

este deformată, prin întindere uniaxială, în direcţia orizontală din

figura 8. Distanţa dintre atomii A, B şi C creşte, în timp ce cea dintre

A şi D, E, F şi G rămâne aproximativ constantă (creşte mult mai

puţin decât cea în direcţia deformării; această variaţie se neglijează).

Având în vedere curbele din figura 9, distanţa între A, B şi C creşte

corespunzător creşterii distanţei OM la OM’, iar energia unui atom

creşte de la cea corespunzătoare punctului P la cea corespunzătoare

lui P’. Această creştere de energie este energia de deformare stocată

în material în timpul deformării. Aşa cum s-a discutat în paragrafele

precedente, energia de deformare este asociată cu deformaţia elastică.

În elasticitate se presupune, de cele mai multe ori, că ecuaţia

constitutivă este lineară, deci tensiunile sunt proporţionale cu

deformaţiile specifice. În limbajul curent, aceasta însemnă că forţa

dintre doi atomi este proporţională cu deplasarea în raport de poziţia

de echilibru. Aceasta este tot o consecinţă a formei funcţionale a

potenţialului interatomic. Dacă punctul de echilibru este în M

(energie minimă şi forţă rezultantă zero), deformaţia duce la mutarea

punctului curent pe curba -fa/e din figura 9 în M” (nivel de energie

mai ridicat şi forţă nenulă între doi atomi. Trebuie notat că deşi forţa

dintre doi atomi nu este zero, datorită simetriei reţelei forţa rezultantă

18

(totală) rămâne nulă, deci atomul este în echilibru). Aceasta poate fi

aproximată cu o mutare a punctului curent, nu pe curba reală (curba -

fa/e) din M în M”, ci pe tangenta la curba reală, dusă în punctul M,

adică din M în N. În aceste condiţii, forţa este proporţională cu

deplasarea dintre doi atomi şi materialul este linear elastic.

Este necesar să fie re-subliniat că aceasta este numai o

aproximaţie, care este cu atât mai bună cu cât deplasările

(deformaţiile specifice) sunt mai mici. De fapt, reţeaua cristalină se

comportă elastic nelinear.

Aproximarea curbei reale -fa/e cu tangenta în punctul M, este

echivalentă cu aproximarea curbei energiei (u/e) cu o parabolă având

vârful în punctul P. Curbura parabolei, ca şi panta tangentei,

corespund modulului de elasticitate, E.

Efectul temperaturii asupra modului de elasticitate este bine

cunoscut: când temperatura creşte, E scade uşor. Acest efect poate fi

explicat tot cu ajutorul curbelor din figura 9. În fizica corpului solid,

temperatura este asociată cu mişcarea de vibraţie a atomilor în jurul

poziţiilor lor de echilibru. Cu cât temperatura creşte, cu atât

amplitudinea vibraţiilor (energia cinetică) creşte. Temperatura zero

absolut corespunde cu încetarea totală a mişcării atomice şi de aceea

nu poate fi atinsă. Dacă potenţialul interatomic ar avea variaţia într-

adevăr parabolică (şi legea constitutivă ar fi linear elastică), atomii ar

vibra, la orice temperatură, în jurul aceleiaşi poziţii de echilibru,

căreia îi corespunde punctul P, pe curba u/e din figura 9. Cum nu

aceasta este realitatea, potenţialul fiind “mai abrupt” spre r mic şi

“mai puţin abrupt” spre r mare, mărirea temperaturii are ca efect

mutarea punctului în jurul căruia vibrează atomii spre dreapta, adică

spre P’. Aparent, parametrul reţelei, a0, creşte cu temperatura, ceea ce

este cunoscut la scară macroscopică ca dilatare termică. În acelaşi

timp, pe măsură ce reţeaua se dilată, curbura potenţialului scade, ceea

ce este echivalent cu reducerea valorii modulului de elasticitate, E.

Desigur, această prezentare este simplificată. Reţelele cristaline

reale sunt mai complexe, iar interacţiunile interatomice sunt şi ele

mai complexe şi cu raza de acţiune mai mare decât s-a considerat

aici. Toate acestea aduc în discuţie particularităţile materialului.

Totuşi, comportamentul general este acelaşi, iar acest exemplu

simplu este suficient pentru a oferi o imagine completă asupra

19

fenomenelor fizice relevante din mecanica solidului deformabil şi

rezistenţa materialelor.

Originea plasticităţii materialelor

În prezentarea precedentă s-au considerat numai deformaţii

elastice; atunci când încărcarea este eliminată, interacţiunile

interatomice aduc reţeaua la configuraţia de echilibru. În acest

proces, forţele interatomice execută lucru mecanic împotriva

mecanismului de încărcare, eliberând energia elastică stocată. Acum

trebuie înţeles cum o astfel de reţea se deformează plastic

(permanent).

Pentru aceasta se consideră tot reţeaua din figura 8, a cărei

proiecţie în plan este reprezentată în figura 10 (cercuri goale). Se

presupune că această reţea este supusă la o solicitare de forfecare.

Dacă deformaţia este

omogenă, ea capătă

configuraţia din figura

10.a (cercuri pline).

Deformaţia specifică de

forfecare este 0xy a .

Cum atomii

interacţionează prin

potenţialul din figura 9, se

poate calcula variaţia energiei şi forţei unui atom, în timpul acestei

perturbări. Pentru deplasări mici , forţa care acţionează în plan

orizontal şi caută să restaureze configuraţia iniţială, nedeformată, a

reţelei este sin)cosa(f 0 , unde 0a/tg . Când deformaţiile

sunt mari, forţa are abateri de la această predicţie, pentru că alte

perechi de atomi încep să interacţioneze. În orice caz, când = a0,

configuraţia nedeformată a reţelei este regăsită şi forţa este din nou

nulă (energia este minimă). Astfel, variaţia forţei orizontale (şi deci a

tensiunii de forfecare) este o funcţie periodică cu perioada a0. Ea este

reprezentată calitativ în figura 10.b. Panta acestei curbe în origine

este echivalentă cu modulul de elasticitate la forfecare (transversal),

G.

a b

Figura 10

20

Analiza arată că reţeaua cristalină poate fi deformată plastic prin

forfecare, prin alunecarea unui întreg plan atomic în raport cu cel

vecin. Acest mod de deformare este neomogen şi este reprezentat în

figura 11. Configuraţia din figura 11.c corespunde unei deformaţii

permanente şi este în echilibru. Diferenţa dintre geometria reţelei

nedeformate din figura 11.a şi cea din figura 11.c constă în prezenţa

celor două “trepte” pe suprafeţele laterale ale cristalului. Aceste

defecte nu pot fi anihilate de către procesele termodinamice

(fluctuaţii) la temperaturi normale.

Totuşi, un calcul sumar al energiilor şi forţelor necesare pentru a

produce perturbarea din figura 11.c arată că acest mod de

deformare este imposibil. Tensiunile de forfecare necesare ar fi

a b c

Figura 11

de aproximativ 4 ordine de mărime mai mari decât cele efectiv

măsurate în laborator (de exemplu, comparând cu tensiunea de

curgere, care marchează începutul deformării plastice).

Situaţia a fost clarificată de Taylor, Orowan şi Polyani, care au

introdus noţiunea de dislocaţie în anul 1934, idee rămasă relativ

nedezvoltată până la sfârşitul celui de al doilea război mondial. O

dislocaţie este un defect al reţelei cristaline, care face posibilă

tranziţia dintre configuraţiile 11.a şi 11.c, cu un consum relativ mic

de energie. Conceptul este simplu: dacă forfecarea cristalului

(deplasarea relativă a două plane atomice ca în fig. 11.b) este dificil

să se producă în mod omogen (întregul plan atomic alunecă

simultan) ca în figura 11.b, ea ar trebui să se producă în mod

neomogen. În loc ca fiecare legătură interatomică dintre cele două

plane care se mişcă relativ să fie deformată, se vor deforma un număr

relativ mic de legături interatomice, la un moment dat. Modul acesta

21

de deformare este exemplificat, schematic, în figura 12. Se

observă că figura 12.b este echivalentă cu figura 11.b şi

demonstrează că

a b c

Figura 12

deformaţia se produce progresiv, defectul părând că se “deplasează”

de la stânga la dreapta, sub acţiunea forţelor externe aplicate

cristalului. Desigur, această “deplasare” este aparentă; ea nu implică

nici un fel de transport de masă. De asemenea, dislocaţia nu este un

obiect în sine, ci mai degrabă un câmp de deplasări.

În virtutea celor de mai sus se poate spune că o dislocaţie este un

“element de deformare plastică.” Deformarea la scară mai mare se

produce prin intermediul unui număr foarte mare de dislocaţii, care

se “mişcă” (se propagă) prin material. Un singur astfel de defect

produce o “treaptă” pe suprafaţa cristalului, cu înălţimea a0, sau

aproximativ 1 Å. Pentru a se produce o deformaţie macroscopică,

trebuie ca un număr mare de dislocaţii să parcurgă şi să iasă din

cristal, pe acelaşi plan cristalografic sau pe plane paralele învecinate.

Deşi macroscopic suprafaţa laterală a unui astfel de cristal pare

netedă şi deformaţia pare omogenă, la scară microscopică,

deformaţia plastică nu este omogenă, iar suprafaţa este formată dintr-

o succesiune de “trepte” de dimensiuni variabile, dar nu mai mari de

câteva zeci de Å.

Într-un material nedeformat în prealabil, se află aproximativ 109

dislocaţii pe cm2 de secţiune. În timpul deformaţiei plastice

macroscopice, noi dislocaţii sunt produse, în timp ce foarte multe

“ies” din material. Dislocaţiile produc deformaţia plastică numai

când ies din material (sau ajung la limitele dintre grăunţii cristalini,

în cazul materialelor policristaline). Cele stocate nu fac decât să

crească energia internă a reţelei cristaline. De asemenea, o parte

dintre dislocaţii sunt “imobile” şi se constituie în obstacole foarte

22

puternice pentru cele mobile. Acesta este mecanismul ecruisării

materialelor, prin care tensiunea necesară continuării curgerii plastice

creşte, pe măsură ce materialul se deformează (şi densitatea

dislocaţiilor imobile creşte).

Energia consumată în timpul deformaţiei plastice şi care nu este

stocată în deformaţia legăturilor interatomice (energie de

deformaţie), este, de fapt, lucrul mecanic necesar mişcării

dislocaţiilor prin material, care se transformă în căldură. Mecanismul

de conversie al lucrului mecanic în căldură este, de asemenea, asociat

cu mişcarea dislocaţiilor; mişcarea acestor defecte produce vibraţii

ale reţelei cristaline sau fononi. Fononul este o construcţie

conceptuală (particulă fictivă), analoagă celei de foton al energiei

electromagnetice şi reprezintă o cuantă de energie sonoră sau de

vibraţii elastice, care se propagă prin corpuri cristaline, cu frecvenţe

comparabile cu cele ale sunetelor.

Mecanica dislocaţiilor, interacţiunile lor şi implicaţiile acestora

în deformaţia macroscopică a corpurilor solide cristaline, a fost

intens studiată în ultimii 50 de ani şi este un domeniu relativ bine

înţeles. Numeroase tratate au fost scrise pe această temă. Sinteza şi analiza structurilor mecanice. Locul calculului de

rezistenţă în inginerie

Proiectarea este o activitate de creaţie, cu implicaţii

multidisciplinare. Pentru rezolvarea unei probleme, proiectantul

trebuie să primească informaţii care să-i permită să formuleze

problema dată în termeni numerici. Dacă tema pe care a primit-o

conţine condiţii calitative, la care nu s-au asociat şi termeni

cantitativi, este de aşteptat ca soluţia să fie nesatisfăcătoare, cel puţin

din unele puncte de vedere.

Scopul primordial al proiectării este de a obţine cel mai bun

sistem posibil pentru un ansamblu de cerinţe impuse. Pentru aceasta

se concepe un sistem candidat şi se studiază cum se comportă acesta.

În inginerie în general, precum şi în construcţia unei maşini, a unui

utilaj sau a unei instalaţii, o componentă de bază este structura de

rezistenţă, care reprezintă un ansamblu mecanic cu o funcţionalitate

riguros definită, ca de exemplu: preluarea diverselor sarcini,

23

asigurarea unei anumite poziţii relative între subansamble,

posibilitatea efectuării unor mişcări relative între unele componente,

asigurarea unei stabilităţi statice şi dinamice, garantarea unei

rigidităţi impuse etc. În limbajul ingineresc obişnuit structura de

rezistenţă se numeşte mai simplu structură.

Calculele de rezistenţă, de stabilitate, de durabilitate, dinamice

etc au în vedere structura de rezistenţă în ansamblu, componentele

acesteia, precum şi alte elemente, componente sau subansamble ale

maşinii, utilajului sau instalaţiei care se proiectează. Aceste calcule

constituie o componentă importantă a proiectării dar ele pot fi duse

la bun sfârşit numai după ce alte aspecte, de principiu sau de detaliu,

au fost clarificate. Este cazul cerinţelor beneficiarului, a costurilor

impuse, a termenelor acordate, a materialelor disponibile, a

tehnologiilor accesibile, a volumului producţiei, a durabilităţii cerute

produsului, a exigenţelor ecologice etc.

Figura 13

Totdeauna calculele inginereşti trebuie să aibă în vedere

satisfacerea optimă a funcţiilor şi cerinţelor fundamentale ale

proiectării, ceea ce conduce la concluzia că disocierea procesului de

calcul de cel de proiectare implică riscul unor consecinţe

nefavorabile, care pot fi grave, greu de anticipat. O prezentare

concisă şi sugestivă a acestor corelaţii multiple se face în schema din

figura 13.

Sinteza şi proiectarea structurii de rezistenţă trebuie realizate în

aşa fel încât aceasta (adică structura) să fie sigură pentru valori clare

ale parametrilor funcţionali riguros definiţi, în condiţiile îndeplinirii

24

unor cerinţe severe şi adesea contradictorii privind costurile,

termenele de execuţie, dimensiunile de gabarit, greutatea, fiabilitatea,

aspectul estetic etc. Îndeplinirea acestor cerinţe duce la considerarea

unor restricţii pe care trebuie să le satisfacă calculele, cele mai des

întâlnite fiind: valorile maxime ale tensiunilor, deplasărilor şi/sau

deformaţiilor, coeficientul de siguranţă la flambaj, la rupere sau la

oboseală, minimum de sensibilitate la imperfecţiuni de execuţie, de

montaj sau de exploatare, frecvenţele modurilor fundamentale de

vibraţii, viteza de deformare în curgerea plastică staţionară, durata de

viaţă, greutatea, volumul, rigiditatea la diverse solicitări, momentele

de inerţie ale secţiunilor barelor, stabilitatea statică şi dinamică,

comportarea la solicitări dinamice etc. Mai pot fi avute în vedere

diferitele moduri de rupere, suprasarcinile la transport, la montaj sau

în exploatare, precum şi prevederile diverselor legi, standarde, norme

etc

Figura 14

În prezent, marea majoritate a calculelor inginereşti cerute pentru

sinteza, proiectarea şi analiza unui produs se fac cu metoda

elementelor finite (MEF). În condiţiile proiectării asistate de

calculator (CAD) şi a fabricaţiei asistate de calculator (CAM),

analiza prin calcul devine o componentă a unui proces unitar –

integrat, aşa cum se poate vedea în figura 14.

Trebuie remarcat faptul că în succesiunea CAD – CALCUL –

CAM există un proces iterativ de proiectare – calcul – execuţie. În

25

acest proces se realizează succesiv operaţii de sinteză şi de analiză

ale prototipului şi ale modelului pentru calcul (fig. 14). La fiecare

iteraţie a procesului se aduc îmbunătăţiri ale prototipului şi/sau ale

modelului de calcul, până când se ating performanţele dorite ale

întregului proces. Analiza modelului unei structuri de rezistenţă este

un calcul numeric de verificare, adică se realizează pentru o anumită

geometrie definită dimensional, pentru o încărcare dată şi condiţii de

rezemare bine precizate şi se obţin valorile deplasărilor, tensiunilor,

reacţiunilor în reazeme, frecvenţelor vibraţiilor proprii etc. Nu este

însă evident (în cazul general) cum trebuie modificată structura

pentru ca aceasta să răspundă cât mai bine ansamblului cerinţelor

impuse. Deci nu se poate concepe o tehnică generală de optimizare

automată, care să rezolve orice problemă, de orice natură. Ce se

poate face, este elaborarea unei metodologii de proiectare optimă.

Programele de calcul actuale au implementate proceduri speciale

de optimizare care permit determinarea prin calcul automat a

valorilor optime ale unor parametri de proiectare astfel încât să fie

satisfăcute un set de condiţii impuse unei funcţii obiectiv, definită de

utilizator.

Modelul de calcul

Noţiuni de teoria modelării

Elaborarea unui model este primul demers în încercarea de

abstractizare legată de un fenomen real observabil, de elaborare a

unei teorii care să-l explice şi să-i anticipeze evoluţia.

Modelele utilizate în ştiinţă şi în tehnică sunt sisteme teoretice

(logic – matematice) sau materiale cu ajutorul cărora pot fi studiate

indirect proprietăţile, comportarea în anumite condiţii date şi

transformările unor alte sisteme mai complexe, denumite sisteme

originale, cu care modelele au anumite asemănări, analogii sau

similitudini. Modelul reprezintă o simplificare, o reflectare numai

parţială a fenomenului sau obiectului original, neglijându-se anumite

laturi neesenţiale pentru studiul căruia îi este destinat, cu scopul de a

oferi un instrument mai accesibil investigaţiei teoretice şi / sau

experimentale.

26

Modelele pot fi teoretice (ideale) când sunt construcţii sau

reprezentări logic – matematice, ca de exemplu modelele atomului,

modelele cosmologice, modele de calcul etc, sau materiale, ca de

exemplu, macheta unei nave, un calculator analogic sau numeric etc.

Modelele teoretice sunt o verigă intermediară între experienţă şi

teoria propriu-zisă, cuprinzătoare şi exactă a sistemului studiat,

reprezentând un mijloc de verificare a ipotezelor enunţate la

elaborarea teoriei. Modelele teoretice sunt adesea ansambluri de

ipoteze formulate pe baza analogiei, presupuse, cu un sistem a cărui

teorie este, în esenţă, cunoscută; din aceste ipoteze pot fi deduse

consecinţe verificabile experimental. Adesea sunt utilizate modele

intuitive, care facilitează interpretarea teoriei şi raportarea ei la

obiectul real.

Modelele materiale permit abordarea pe cale experimentală a

unor probleme care nu pot fi rezolvate pe cale analitică, fie pentru că

nu există metode de calcul adecvate, fie că metodele existente sunt

prea laborioase şi costisitoare. Ele pot fi de aceeaşi natură fizică cu

sistemele originale – modele prin similitudine – fiind diferite de

acestea prin ordinul de mărime al dimensiunilor şi al valorilor

caracteristice (de exemplu, constantele fizice ale materialelor

folosite). Modelele pot fi şi de altă natură fizică decât sistemele

originale – modele prin analogie - caracterizate prin ecuaţii

matematice de aceeaşi formă cu cele ale sistemelor pe care le

modelează.

Utilizarea modelării în cele mai variate domenii ale ştiinţei şi

tehnicii s-a dovedit deosebit de fructuoasă şi eficientă, căpătând o

extindere spectaculoasă în ultimele decenii, ca urmare a aportului

adus de electronică în toate tipurile de procese de modelare. Mai mult

decât atât, apariţia şi dezvoltarea ciberneticii, informaticii şi

calculatoarelor electronice au dus la un proces de unificare a

modelării, analogiei, similitudinii şi simulării într-un sistem integrat,

cu performanţe remarcabile şi eficienţă ridicată.

Calculatoarele sunt de fapt modele: cele analogice sunt modele

ale unor relaţii matematice, iar cele numerice ale unor algoritmi. În

urmă cu câteva decenii, calculatoarele analogice şi cele numerice se

dezvoltau în paralel, oarecum independent. Modelarea pe

calculatoare analogice avea însă un neajuns: pentru fiecare tip de

27

problemă era necesară realizarea unui alt model. În prezent acest

neajuns s-a înlăturat ca urmare a utilizării unor algoritmi adecvaţi,

care permit simularea pe calculatorul numeric a modelelor

analogice, în acest fel calculatorul numeric devenind universal.

În numeroase domenii ale ştiinţei şi ingineriei se utilizează tot

mai mult sisteme complexe, interactive de modelare experimentală şi

prin calcul. De exemplu, un model (sau un ansamblu de mai multe

modele) al unei structuri este investigat prin una din metodele

cunoscute: tensometrie electrică rezistivă, fotoelasticitate,

interferometrie holografică. Informaţiile furnizate de determinările

experimentale sunt convertite – de către un convertor analog numeric

– în informaţii numerice, care se introduc într-un calculator, pe care,

simultan cu investigaţia experimentală, se execută calculele

corespunzătore unui model de calcul al aceleaşi structuri. Din

confruntarea informaţiilor obţinute prin cele două căi de investigare

se formulează decizii, care duc la perfecţionarea modelului

experimental, al celui de calcul şi al structurii care se studiază.

Procesul continuă până când se elaborează configuraţia optimă a

structurii respective.

Elaborarea unui model corect şi eficient al unui sistem original

reprezintă o sinteză a tot ceea ce se ştie despre acel sistem. Paradoxal

este faptul că, pentru a modela corect un fenomen, este necesară

cunoaşterea cât mai cuprinzătoare a sa, ceea ce este în opoziţie cu

nevoia de a-l cerceta. De asemenea modelul trebuie să fie adecvat

scopului urmărit. Un model excesiv de complicat – care îşi propune

să aibă în vedere toate aspectele şi detaliile posibile ale fenomenului

original – poate deveni costisitor, greoi sau chiar inoperant. Un

model simplist, prea sumar, poate fi incorect, ca urmare a neglijării

unor aspecte importante ale sistemului investigat.

În concluzie, un model M al unui sistem original S este un alt

sistem S’, care este echivalent cu S din anumite puncte de vedere şi

care poate fi studiat mai uşor ca S. Din determinarea pe S’ (adică pe

M) a unor informaţii se deduc informaţii corespunzătoare pentru S.

Echivalarea sau înlocuirea lui S’ cu S poate fi exactă sau

aproximativă. În domeniul teoriilor formale se pot construi sisteme

S’ care sunt riguros echivalente cu S, din anumite puncte de vedere,

ca, de exemplu, modelele din geometrie. În alte cazuri, modelul este

28

o construcţie teoretică care aproximează realitatea. Dacă această

construcţie teoretică este redată prin relaţii matematice, aceste relaţii

împreună cu interpretarea lor constituie modelul matematic al

sistemului care se studiază.

Modelele pentru calculele inginereşti, în general, sunt modele

matematice aproximative ale structurilor care se studiază.

Pentru trecerea de la structura reală la modelul ei de calcul nu

există algoritmi şi metode generale care să asigure elaborarea unui

model unic, care să aproximeze, cu o eroare prestabilită, cunoscută,

piesa sau structura care urmează să se calculeze. În general este

posibil ca pentru o structură să se elaboreze mai multe modele, toate

corecte dar cu performanţe diferite. Modelul pentru analiza unei

structuri se elaborează pe baza intuiţiei, imaginaţiei şi experienţei

anterioare a celui care face modelarea şi modelul trebuie să

sintetizeze eficient toate informaţiile disponibile referitoare la

structura respectivă.

Figura 15

Trebuie remarcat faptul că utilizarea calculatoarelor în analiza

structurilor a devenit indispensabilă, dar aceasta prezintă pericolul că,

“seduşi” de facilităţile şi automatismul sistemului de calcul, adesea

pierdem din vedere că rezultatele obţinute nu sunt altceva decât

29

consecinţele ipotezelor care au stat la baza modelului de calcul, a

configuraţiei modelului şi a algoritmilor utilizaţi pentru analiza

respectivă. Din acest impas nu se poate ieşi decât pe seama intuiţiei,

imaginaţiei şi experienţei.

Având în vedere că toate calculele “le face calculatorul”, sarcina

care rămâne proiectantului este de elabora modele adecvate şi

performante, ceea ce dovedeşte importanţa acestora.

Elaborarea modelului de calcul şi analiza efectuată cu acesta sunt

etape componente ale unui proces relativ complex, de concepţie şi

fabricaţie şi trebuie să servească la realizarea, în condiţii riguros

definite, a unui anumit produs. În acest context, modelul de calcul nu

poate fi conceput decât după ce a fost proiectată într-o primă formă –

eventual, în cadrul unui proces preliminar CAD – piesa sau structura

care trebuie să fie calculată. Urmează ca în etape succesive, având în

vedere rezultatele obţinute, să se modifice – în vederea ameliorării

performanţelor realizate – atât proiectul produsului cât şi modelul de

calcul. În acest scop se efectuează numeroase testări, adaptări,

optimizări şi validări, aşa cum rezultă din schema din figura 15.

Modelul conceptual

Prima şi cea mai importantă etapă a elaborării unui model

performant este cea de realizare a modelului conceptual, primar sau

fundamental. Pornind de la desenul piesei sau structurii care

urmează să fie analizată şi având în vedere cerinţele impuse de

procesul de calcul, se fac următoarele “operaţii”:

- se decide care sunt elementele constructive ale structurii, care

vor deveni componente ale modelului de calcul;

- se stabilesc elementele structurii care nu vor fi avute în vedere

la elaborarea modelului, fiind apreciate ca accesorii sau detalii lipsite

de importanţă, din punctul de vedere al scopului calculului;

- se aleg formele geometrice pe care se vor defini componentele

modelului, adică: linii, suprafeţe sau volume, avându-se în vedere şi

tipurile de componente care se vor defini pe aceste elemente

geometrice: bare, plăci, corpuri masive;

- se hotărăsc modalităţile de aplicare a sarcinilor (forţe şi

momente concentrate şi/sau distribuite, acceleraţii, presiuni,

temperaturi etc) şi care sunt componentele modelului care le vor

30

prelua. Această operaţie implică şi determinarea riguroasă a valorilor,

direcţiilor şi coordonatelor punctelor de aplicaţie ale sarcinilor. Se

vor stabili cazurile de încărcare ale modelului;

- se identifică condiţiile de rezemare ale structurii şi se decide

modul în care aceste condiţii vor fi “modelate” şi anume: blocarea

deplasărilor, introducerea unor forţe de frecare etc. Dacă este cazul,

se vor stabili mai multe variante ale condiţiilor de rezemare;

- se decid condiţiile generale de elaborare şi utilizare ale

modelului: metodele şi algoritmii de calcul care se vor utiliza,

tipurile de materiale şi proprietăţile lor, zonele de interes deosebit (de

exemplu, unde se presupune că tensiunile au valori mari) şi

modalităţi de verificare ale modelului şi ale rezultatelor obţinute cu

el.

Modelul conceptual trebuie să aibă în vedere valorificarea tuturor

informaţiilor disponibile privind structura (condiţii şi regimuri de

funcţionare, de montaj, de avarie etc) şi modalităţile de utilizare ale

rezultatelor obţinute prin calcul. Modelul trebuie să asigure, de fapt,

o simulare satisfăcătoare – din anumite puncte de vedere, bine

precizate – a comportării structurii în exploatare.

Factori care determină elaborarea modelului de calcul

La elaborarea modelelor de calcul trebuie să se aibă în vedere o

multitudine de aspecte şi factori, dintre care cei mai importanţi se

prezintă în cele ce urmează.

Nivelul la care se face modelarea. Pentru o anumită fază a

procesului de proiectare şi în funcţie de scopul calculului, modelarea

se poate face la nivelul întregii structuri (maşina sau utilajul în

ansamblu), la nivelul substructurilor (subansamble ale maşinii) sau al

componentelor acestora (elemente sau organe ale maşinii). Utilizarea

calculatoarelor face posibilă modelarea şi analiza prin calcul a unui

utilaj, a unei instalaţii sau a unei maşini ca un tot unitar, aşa cum sunt

acestea în realitate, ca, de exemplu un autobuz, un pod rulant, un

recipient, o combină pentru recoltarea cerealelor, un avion, o

locomotivă, o maşină de frezat, o pompă etc. Pentru etape ulterioare,

se pot “extrage” din structura dată componente, al căror studiu să fie

detaliat.

31

Metoda de calcul. În general, mai întâi se alege metoda de

calcul, din diverse considerente obiective sau subiective, ca, de

exemplu: cunoaşterea metodei, existenţa programelor, cerinţele unor

norme, scopul calculului etc. Elaborarea modelului se face în

conformitate cu cerinţele metodei, care include ipoteze, simplificări,

aproximări, delimitări ale aplicabilităţii etc. De exemplu, pentru o

metodă analitică se vor face simplificările specifice, pentru metoda

elementelor finite se va face “discretizarea” modelului şi se vor

defini elementele finite adecvate, pentru metoda diferenţelor finite se

va face discretizarea şi definirea diferenţelor având în vedere

ecuaţiile diferenţiale ataşate problemei etc.

Elaborarea modelului de calcul trebuie corelată strict cu metoda

de calcul, deoarece un calcul foarte exact nu poate suplini sau

compensa o modelare deficitară, nerealistă, ineficientă. De asemenea,

un calcul efectuat cu o metodă foarte precisă, laborioasă şi

costisitoare, pe un model aproximativ, simplist, este o risipă,

deoarece rezultatele nu vor avea performanţe mai bune, fiind

determinate de calităţile modelului.

Trebuie menţionat faptul că în ingineria actuală se folosesc

numeroase şi variate metode de calcul, ceea ce arată că fiecare

metodă are avantajele, dezavantajele şi limitele sale. Se pare că în

viitor se vor promova proceduri, algoritmi şi programe mixte sau

hibride, care să reunească mai multe metode de calcul, în vederea

valorificării avantajelor fiecăreia.

Scopul calculului. Beneficiarii calculelor inginereşti pot solicita

informaţii diverse în legătură cu modul cum se va comporta structura

în anumite situaţii, adică rezultatele calculului trebuie să dea – pe cât

posibil – răspunsuri neechivoce la întrebări precis formulate (adesea

beneficiarii trebuie informaţi ce poate oferi calculul). Consecinţa

acestei situaţii este că trebuie efectuate, de regulă, mai multe tipuri de

analize, care să ofere informaţiile dorite. În principiu, este posibil ca

pe acelaşi model, să se efectueze mai multe tipuri de analize, ca, de

exemplu, analiză statică, de stabilitate, de vibraţii etc. Dar într-o

astfel de situaţie este foarte posibil ca performanţele modelului şi

calitatea informaţiilor obţinute să nu fie satisfăcătore pentru toate

variantele de analiză. Se ajunge astfel la cerinţa ca modelul să fie

elaborat având în vedere scopul calculului. În general, foarte rar este

32

necesar să se creeze un model complet nou pentru fiecare tip de

analiză. Adesea se foloseşte un model de bază, destinat uneia din

variantele de calcul şi acestuia i se aduc modificările cerute de

celelalte tipuri de analize.

Pentru clarificarea şi fixarea ideilor se dau, pe scurt, câteva

exemple:

- pentru determinarea valorilor maxime ale tensiunilor, trebuie

efectuate “analize locale”, specifice, în zonele cu concentratori;

- pentru analize dinamice, trebuie acordată cea mai mare atenţie

aspectelor modelării maselor şi amortizărilor;

- pentru calculele de oboseală sau durabilitate este importantă

cunoaşterea precisă a caracteristicilor mecanice ale materialelor la

solicitări variabile;

- pentru analizele termice trebuie definite foarte precis sursele de

căldură, inclusiv parametrii lor, şi valorile constantelor fizice ale

transmiterii căldurii prin conducţie, convecţie şi radiaţie;

- pentru structurile cu deplasări mari trebuie precizate variaţiile

mărimilor şi direcţiilor sarcinilor în timpul procesului de deformaţie.

Simplitatea modelului. Marea majoritate a structurilor

inginereşti sunt de o mare complexitate în ceea ce priveşte formele

geometrice, sarcinile, reazemele şi caracteristicile mecanice ale

materialelor din care sunt realizate. Este cazul carcaselor, batiurilor,

instalaţiilor, utilajelor de proces, maşinilor de toate tipurile etc.

Elaborarea unui model care să aibă în vedere cele mai mici detalii ale

structurii reale ar deveni foarte costisitor sau chiar imposibil de

realizat, în condiţii rezonabile, în ceea ce priveşte costul şi durata de

timp necesară. Se impune astfel considerarea unei structuri

“ipotetice” simplificate, adică a unui model de calcul raţional.

Trebuie analizat cu discernământ dacă, într-un anumit context,

elaborarea unui model mai complicat, care are costuri mai mari (în

timp şi bani), se justifică prin câştigul de informaţii suplimentare,

comparativ cu o variantă mai simplă.

Concepţia de calcul. Structura care se calculează trebuie să

corespundă unor cerinţe de funcţionalitate, siguranţă şi eficienţă

economică. Siguranţa exprimă proprietatea structurii ca într-un

interval de timp dat să satisfacă, la nivelul performanţelor sale,

condiţiile de exploatare, ţinând seama de destinaţia şi importanţa

33

ansamblului în care trebuie să se integreze (fiabilitatea). Concepţia

clasică de calcul este cea deterministă, care consideră o siguranţă

absolută, care acoperă toate incertitudinile printr-un coeficient de

siguranţă. Concepţia actuală este probabilistă, care ţine seama de

caracterul aleatoriu al parametrilor structurii şi al sarcinilor, siguranţa

structurii fiind evaluată prin probabilităţile diferitelor comportări

posibile pe durata exploatării structurii. Având în vedere că cerinţele

de economicitate şi siguranţă sunt contradictorii, o proiectare a unei

structuri optime se obţine numai printr-o evaluare corectă şi realistă a

siguranţei acesteia.

Rezultatele să fie acoperitoare. Modelul trebuie elaborat astfel

încât rezultatele calculului trebuie să fie într-o măsură raţională şi

rezonabilă acoperitoare, adică să ofere o marjă suplimentară de

siguranţă care să compenseze faptul că analiza este aproximativă. În

ceea ce priveşte procesele de calcul, utilizarea calculatoarelor oferă

garanţia unei fiabilităţi foarte mari a acestora şi a unui nivel de

încredere ridicat al rezultatelor.

Corelarea modelului cu condiţiile existente. Modelul este o

componentă a unui ansamblu complex, care include un mare număr

de condiţii şi restricţii, adesea contradictorii. Deci elaborarea

modelului se face totdeauna într-un anumit context, pentru un set de

condiţii impuse, riguros definite. Structura reală, realizată fizic, are

abateri efective în ceea ce priveşte dimensiunile, formele geometrice,

sarcinile efective (nominale, de calcul, maxime, accidentale, de

avarie, de montaj, de transport, de exploatare etc), condiţiile de

rezemare, caracteristicile fizice şi mecanice ale materialelor, faţă de

cele considerate în proiect şi deci şi la elaborarea modelului. Prin

urmare este neraţional să se elaboreze un model foarte performant,

costisitor şi laborios, dacă valorile numerice ale datelor “de intrare” –

pentru care se face calculul – sunt afectate de incertitudini sau de

erori relativ mari. Prin urmare, modelarea şi analiza trebuie făcute cu

o precizie limitată, raţională, bine definită, în cadrul acesteia

structura reală putând fi simplificată şi “idealizată” printr-un model

corespunzător.

De asemenea, pe parcursul diverselor faze ale elaborării unui

proiect, sau ale realizării unui produs, sunt necesare modele diferite,

determinate de informaţiile disponibile în etapa respectivă. Frecvent,

34

pentru calcule preliminare, se utilizează modele mult simplificate,

comparativ cu modelele destinate unor calcule de verificare, în faze

finale ale proiectării. De exemplu, pe modele simple se fac

dimensionări şi analize la solicitări statice, în fazele de proiect

preliminar şi apoi se au în vedere analize de stabilitate, dinamice, de

oboseală, de durabilitate etc, pe modele mai sofisticate, elaborate pe

baza formei finale a proiectului.

Pentru numeroase domenii inginereşti – ca, de exemplu, utilajele

energetice, vehiculele de toate categoriile, construcţiile civile şi

industriale etc – s-au elaborat diverse prescripţii, norme şi standarde

privind modelele de calcul, evaluarea sarcinilor, variantele analizelor

obligatorii etc. Aceste normative pot avea caracterul unor

recomandări sau pot fi obligatorii, ele putând fi aplicate unor ramuri

industriale, la nivel naţional sau pot fi internaţionale. În aceste

condiţii trebuie ca elaborarea modelului să fie astfel făcută încât el

să realizeze încadrarea corectă a situaţiei reale în ipotezele şi

prevederile de detaliu ale normelor respective. Unele programe de

calcul au implementate proceduri care conţin astfel de condiţii

speciale. În ultimii ani au apărut şi norme cu recomandări privind

modul cum să se elaboreze unele modele de calcul. De exemplu,

pentru industria de automobile se recomandă care să fie

caracteristicile de bază ale modelelor pentru diversele componente,

cum ar fi blocul motor, caroseria, cutia de viteze etc.

Bibliografie

1. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,

Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,

Bucureşti, 2006.

2. Gheorghiu, H., Constantinescu, I.N., Hadăr, A., Petre, C.,

Methodes numeriques pour le calcul des structures de resistance,

Editura BREN, Bucureşti, 1999.

3. Hadăr, A., Constantinescu, I.N., Gheorghiu, H., Coteţ, C.E,

Modelare şi modele pentru calcule în ingineria mecanică, Editura

Printech, Bucureşti, 2007.