geometria in spatiu

14
GEOMETRIE ÎN SPAȚIU Spațiul, o mulțime de puncte. Punctele , dreptele, planele sunt considerate submulțimi ale spațiului. Punctul nu are dimensiune, dreapta are o dimensiune (1D), planul are două dimensiuni (2D), spațiul are trei dimensiuni (3D). AXIOMELE GEOMETRIEI ÎN PLAN ȘI SPAȚIU Ax1. Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă; orice dreaptă, conține cel puțin două puncte distincte. Ax2. Prin trei puncte necoliniare trece un singur plan; orice plan conține cel puțin trei puncte necoliniare. Ax3. Dacă două puncte distincte aparțin unui plan, atunci dreapta determinată de ele este inclusă în acel plan. Ax4. Dacă două plane distincte se intersectează (au un punct în comun), atunci intersecția lor este o dreaptă. Ax5. În spațiu există cel puțin patru puncte necoplanare. Ax6. Printr - un punct A exterior unei drepte d se poate construi o singură paralelă d’ la acea dreaptă. A B C A B C D A B A B d d A d’ A

Upload: flori-nela

Post on 08-Jul-2016

141 views

Category:

Documents


5 download

DESCRIPTION

geom VIII teorie

TRANSCRIPT

Page 1: Geometria in Spatiu

GEOMETRIE ÎN SPAȚIU

Spațiul, o mulțime de puncte.

Punctele , dreptele, planele sunt considerate submulțimi ale spațiului.

Punctul nu are dimensiune, dreapta are o dimensiune (1D), planul are două dimensiuni (2D), spațiul are trei dimensiuni (3D).

AXIOMELE GEOMETRIEI ÎN PLAN ȘI SPAȚIU

Ax1. Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă; orice dreaptă, conține cel puțin două puncte distincte.

Ax2. Prin trei puncte necoliniare trece un singur plan; orice plan conține cel puțin trei puncte necoliniare.

Ax3. Dacă două puncte distincte aparțin unui plan, atunci dreapta determinată de ele este inclusă în acel plan.

Ax4. Dacă două plane distincte se intersectează (au un punct în comun), atunci intersecția lor este o dreaptă.

Ax5. În spațiu există cel puțin patru puncte necoplanare.

Ax6. Printr - un punct A exterior unei drepte d se poate construi o singură paralelă d’ la acea dreaptă.

A B

C

A B

C

D

A B

A B d

d

A d’

A

Page 2: Geometria in Spatiu

DETERMINAREA PLANULUI

1. Trei puncte necoliniare determină un (singur) plan.

2. O dreaptă şi un punct exterior ei, determină un plan.

3. Două drepte concurente a şi b determină un plan.

4. Două drepte paralele a şi b determină un plan .

POZIȚIILE RELATIVE A DOUĂ DREPTE ÎN SPAȚIU

drepte concurente (drepte ce se intersectează într-un punct)

MĂSURA UNGHIULUI DINTRE CELE DOUĂ DREPTE ESTE DATĂ DE CEA MAI MICĂ MĂSURĂ A UNGHIULUI

FORMAT DE CELE DOUĂ DREPTE. DACĂ UNGHIUL ARE MĂSURA DE 90O ATUNCI DREPTELE SUNT

PERPENDICULARE.

drepte paralele ( drepte coplanare ce nu au nici un punct comun. Considerăm că UNGHIUL ARE 0O )

drepte necoplanare (sunt situate în plane diferite; măsura unghiului dintre cele două drepte, este măsura unghiului format

de paralelele lor, duse printr-un punct oarecare, convenabil ales sau determinat de noi)

b

a O

b’

a’

O b

a

I

b

a

b’

a’

O

II

b

a

A B

C

A B

C

a b

a b

Page 3: Geometria in Spatiu

POZIȚIILE RELATIVE A UNEI DREPTE FAȚĂ DE UN PLAN

o dreaptă d poate avea în comun cu un plan , un punct: A (dreapta înțeapă planul în punctul A)

scriem:

Def. O dreaptă d, este perpendiculară pe un plan , dacă d este perpendiculară pe orice dreaptă din planul .

ÎN PROBLEME, PENTRU A DEMONSTRA CĂ O DREAPTĂ d ESTE PERPENDICULARĂ PE UN PLAN FOLOSIM

TEOREMA 1: Dacă o dreaptă d este perpendiculară pe două drepte concurente a și b dintr- un plan ,

atunci dreapta d este perpendiculară pe planul .

TEOREMA 2 : Dintr - un punct M se poate duce o unică perpendiculară pe un plan .

TEOREMA 3 : Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două plane, atunci planele sunt paralele.

TEOREMA 4 : Există un unic plan perpendicular într - un punct dat, pe o dreaptă dată.

TEOREMA 5 : Două drepte perpendiculare pe un plan sunt paralele.

A

d

A

b a

c

d

e

A

b

a

d

Page 4: Geometria in Spatiu

PROIECȚII ORTOGONALE

Tipuri de proiecții :

Proiecția centrală (de centru dat O) :

proiecția punctului A pe planul este intersecția dreptei AO cu planul punctul B.

Proiecția paralelă ( de direcție dată, d ) :

proiecția punctului A este intersecția paralelei prin A cu planul , punctul C.

Proiecția ortogonală : Proiecția punctului A pe planul este piciorul perpendicularei din A pe planul adică A’ .

Dacă atunci punctul A coincide cu proiecția lui pe planul , A’.

notăm:

citim: proiecția punctului A pe planul este punctul .

A

A’ A = A’

A

B

O

C

A d

Page 5: Geometria in Spatiu

PROIECȚIA UNEI DREPTE d PE UN PLAN

Proiecția unei drepte d pe un plan , este o dreaptă d’ ( dacă d nu este perpendiculară pe planul )

scriem:

citim: proiecția dreptei d pe planul este d’.

Proiecția unui segment MB pe un plan este un segment M’B’, cel mult egal cu segmentul dat MB.

UNGHIUL FĂCUT DE O DREAPTĂ d, CU PLANUL , ESTE UNGHIUL FĂCUT DE ACEA DREAPTĂ d, CU

PROIECȚIA EI d’, PE PLANUL .

- citim: măsura unghiului făcut de dreapta d și planul este egală cu măsura unghiului

măsura unghiului este cuprinsă între 0o și 90

o.

Lungimea proiecției A’B’ a unui segment AB pe un plan , este egală cu produsul dintre

lungimea segmentului AB și cosinusul unghiului făcut de dreapta suport d cu planul respectiv .

A M B d

A’ M’ B’ d’

A

M B

d

A’ M’ B’ d’

B = B’ M’ d’

M

A

d

A’

A

B d

d’’

d’ B’ A’

M

B’ d’ A = A’

B d

Page 6: Geometria in Spatiu

o dreaptă d poate avea în comun cu un plan , două puncte: A și B (dreapta d este inclusă în planul , Ax3)

scriem:

TEOREMA: CELOR TREI PERPENDICULARE ( T. 3 )

Fie un plan, A un punct, și a o dreaptă, . Dacă și ,

atunci .

TEOREMA1: RECIPROCĂ TEOREMA2: RECIPROCA ÎNTĂRITĂ

ÎN PROBLEME, PENTRU A DEMONSTRA CĂ O DREAPTĂ d ESTE PERPENDICULARĂ PE UN PLAN MAI

FOLOSIM TEOREMA2 : RECIPROCA ÎNTĂRITĂ A TEOREMEI CELOR TREI PERPENDICULARE

A B

d

A

a

A’ B

Page 7: Geometria in Spatiu

dreaptă d, poate să nu aibă în comun cu un plan , niciun punct (dreapta d este paralelă cu planul )

Def. O dreaptă d este paralelă cu un plan dacă nu au niciun punct comun.

scriem: .

ÎN PROBLEME, PENTRU A DEMONSTRA CĂ O DREAPTĂ a ESTE PARALELĂ CU UN PLAN FOLOSIM

TEOREMA 1: Dacă o dreaptă a este paralelă cu o dreaptă b inclusă într- un plan , atunci dreapta a

este paralelă cu planul sau inclusă în acel plan .

TEOREMA 2: Dacă o dreaptă a, este paralelă cu o dreaptă b care la rândul ei înțeapă un plan în punctul B, atunci

dreapta b este inclusă în planul .

d

a

b

a

b B

Page 8: Geometria in Spatiu

POZIȚIILE RELATIVE A DOUĂ PLANE

două plane pot să nu se intersecteze ( adică sunt paralele )

Def. Două plane sunt paralele dacă nu au punct comun.

ÎN PROBLEME, PENTRU A DEMONSTRA CĂ DOUĂ PLANE SUNT PARALELE FOLOSIM

TEOREMA1. Două plane sunt paralele dacă unul dintre ele conține două drepte concurente, amândouă paralele

cu celălalt plan.

TEOREMA2. Două unghiuri situate în plane diferite, ce au laturile paralele două câte două, sunt congruente sau

suplementare.

TEOREMA3. Printr - un punct A, exterior unui plan , există un unic plan ce conține punctul A paralel cu planul .

TEOREMA4. Două plane distincte și paralele cu al treilea plan sunt paralele între ele;

b a

M

B

A O

N M Q P

A

Page 9: Geometria in Spatiu

TEOREMA6. ( TEOREMA LUI THALES ÎN SPAȚIU )

Trei sau mai multe plane paralele, determină pe două drepte oarecare pe care le intersectează, segmente respectiv proporționale.

Pentru trei plane

Pentru patru plane

b

a

A

B

C

D

A’

Ț

B’

C’

D’

Page 10: Geometria in Spatiu

CALCULUL DISTANȚELOR

Distanța dintre două puncte A și A’: lungimea segmentului determinat de cele două puncte.

Distanța de la un punct A la o dreaptă d : lungimea segmentului determinat de acel punct A și piciorul perpendicularei pe

acea dreaptă d.

Distanța de la un punct A la un plan : lungimea segmentului determinat de acel punct A și piciorul perpendicularei pe acel

plan .

Distanța de la o dreaptă d la un plan : lungimea segmentului determinat de orice punct A al dreptei d și piciorul perpendicularei

pe acel plan .(considerăm că )

Distanța dintre două plane și : lungimea segmentului determinat de orice punct A al planului și piciorul perpendicularei

pe planul .

A

A’

A A’

A’

d

A

A

A’

A

A’

d

Page 11: Geometria in Spatiu

două plane pot avea puncte în comun ( Ax4. sunt plane concurente )

TEOREMA1. ( „ACOPERIȘULUI” )

Două drepte a și b paralele, conținute în plane diferite și ce se intersectează după o dreaptă c, sunt

paralele cu dreapta lor de intersecție c.

TEOREMA2. („FIERĂSTRĂULUI”)

Un plan determină pe două plane paralele și , pe care le intersectează, două drepte paralele.

a

b

b

a

c

Page 12: Geometria in Spatiu

UNGHI DIEDRU

Def. Reuniunea punctelor unei drepte cu punctele a două semiplane mărginite de dreapta d se numește UNGHI DIEDRU.

scriem - dreapta comună d se numește muchia diedrului

citim : unghiul diedru dintre și

- cele două semiplane se numesc fețele diedrului

Def. Unghiul determinat de intersecția unui plan , perpendicular pe muchia diedrului , cu fețele diedrului și se numește

UNGHI PLAN corespunzător DIEDRULUI.

Măsura unghiului diedru este egală cu măsura unghiului plan, corespunzător diedrului.

scriem:

Def. Două plane concurente sunt perpendiculare dacă determină unghiuri diedre drepte.

scriem:

d

d

O A B

A

O B

Page 13: Geometria in Spatiu

TEOREMA1. Dacă o dreaptă d este perpendiculară pe un plan dat , atunci orice plan care conține dreapta d este

perpendicular pe planul dat .

TEOREMA2. Două plane sunt perpendiculare dacă unul dintre ele conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt.

d

d

Page 14: Geometria in Spatiu

TEOREMA3. Dacă două plane și sunt perpendiculare, atunci orice dreaptă d conținută în unul dintre ele și

perpendiculară pe dreapta lor de intersecție a, este perpendiculară pe celălalt plan .

TEOREMA4. Dacă două plane și sunt perpendiculare, atunci perpendiculara dintr - un punct A al primului plan ,

pe al doilea plan , este conținută în primul plan .

A

d

a

A B