geometria poligoanelor. arii

Geometria poligoanelor. Arii

CUPRINS

INTRODUCERE

CAPITOLUL I. SUPRAFEŢE POLIGONALE

I.1. Poligoane. Suprafeţe poligonale convexe

I.2. Descompunerea suprafeţelor poligonale

I.3. Echivalenţa pe mulţimea suprafeţelor poligonale

CAPITOLUL II. ARIA SUPRAFEŢELOR POLIGONALE

II.1. Aria suprafeţelor poligonale

II.2. Calculul ariilor suprafeţelor poligonale

II.3. Suprafeţe măsurabile. Aria discului

II.4. Compararea ariilor

CAPITOLUL III. ASPECTE METODICE PRIVIND

PREDAREA GEOMETRIEI

III.1. Aspecte psiho-pedagogice ale predării geometriei

III.2. Aspecte metodice privind predarea noţiunii de arie în

gimnaziu

III.3. Probleme cu arii

BIBLIOGRAFIE

ANEXE

3

6

6

12

20

30

30

41

45

51

60

60

65

71

79

81

2


INTRODUCERE

Ca ştiinţă, geometria îşi are originile în antichitate. Primele cercetări de

geometrie, consemnate în documente, datează de patru mii de ani şi erau

destinate măsurătorilor de teren, construcţiilor şi calculelor astronomice. De

aici şi cuvântul geometrie – măsurarea pământului.

Una din primele cărţi de geometrie, rămasă din acea perioadă este

semnată de matematicianul Ahmes, carte ce tratează despre dreptunghiuri,

triunghiuri isoscele şi unghiuri şi care prezintă şi o primă relaţie ce permite

calculul ariei cercului şi anume aria unui cerc de rază R poate fi aproximată

prin aria unui pătrat de latură R (ceea ce conduce la o aproximare a

numărului egală cu 3,160… ). Să mai amintim şi faptul că vechii egipteni

cunoşteau că un triunghi cu laturile 3, 4, 5, unităţi este dreptunghic şi foloseau

acest triunghi pentru construcţia dreptelor perpendiculare şi în particular pentru

fixarea direcţiei Est-Vest.

Preocupări în dezvoltarea matematicii, în general, şi a geometriei, în

mod deosebit, au avut Thales din Milet (640-548 î.e.n.), Pitagora (580-500

î.e.n.), Aristotel (384-322 î.e.n.), Arhimede ( 287-212 î.e.n.), Euclid (300 î.e.n.)

şi foarte mulţi alţii.

Reţinem aportul deosebit ce la avut Euclid în studiul geometriei prin

lucrarea sa „Elemente”, care cuprinde 13 cărţi ce conţin rezultate de geometrie

şi, deşi nu în totalitate sau sub aceeaşi formă, unele din axiomele sau

postulatele formulate de el (celebrul postulat V) se regăsesc printre axiomele

geometriei de azi pentru că la el apare prima dată formularea postulatului al V-

lea, postulat ce stă la baza geometriei studiate în şcoală; aceasta poartă numele

– geometrie euclidiană. Printre problemele studiate în prima carte găsim şi

câteva legate de teoria ariilor, egalitatea lor. Scopul lucrării este de a ordona şi

3


demonstra teoremele descoperite de predecesorii săi. Aici a fost iniţiată şi

tradiţia de a indica sfârşitul unei demonstraţii prin cuvintele “Quad erat

demonstrandum” (ceea ce trebuia demonstrat ).

După cum am spus, lui Arhimede i se datorează numeroase rezultate,

dar nu numai în geometrie. O proprietate a mulţimii numerelor reale, cunoscută

sub numele de „axioma lui Arhimede” stă la baza teoriei măsurării – în

particular, teoria ariilor. Iată forma sub care apare ea azi: „pentru orice număr

real x există un număr întreg n unic, astfel încât n ≤ x < n+1” (acest număr

este numit partea întreagă a lui x ).

Dintre matematicienii care s-au evidenţiat de-a lungul timpului în

studiul geometriei reţinem contribuţia lui D. Hilbert (1862-1943 ) care, în

lucrarea sa „Grundlagen der Geometrie”, elaborează prima axiomatizare a

geometriei euclidiene conform cu exigenţele ştiinţei moderne.

În şcoală, studiul axiomatic al geometriei se face astăzi după modelul

dat de G. D. Birkhoff (1884-1944), matematician american, care prezintă un

sistem axiomatic uşor modificat ca acela al lui Hilbert. El este în esenţă „Euclid

aduis la zi”, adică sistemul lui Euclid din Elemente completat şi prezentat ca un

sistem axiomatic, semiformalizat, motiv pentru care poate fi numit „sistemul

axiomatic” Euclid-Hilbert.

Cunoscând acum sistemele axiomatice, care toate conduc la construcţia,

pe căi diferite, a geometriei euclidiene, este momentul să menţionăm unele

concluzii referitoare la o analiză comparativă a lor. Aceasta o vom face din

două puncte de vedere şi anume: primul, considerând aceste sisteme axiomatice

ca şi sisteme axiomatice semiformalizate, în cadrul problemelor generale, şi al

doilea în legătură cu aspectele metodologice pe care le ridică predarea

geometriei în învăţământul gimnazial şi liceal la noi în ţară.

Referitor la aspectele metodice ale predării geometriei euclidiene vis-à-

vis aceste sisteme axiomatice, vom menţiona mai întâi faptul că la noi în ţară,

4


până în anul 1978, geometria a fost predată pe baze neaxiomatice. Noţiunile

primare erau „cunoscute” sau „descrise” intuitiv, principiile fundamentale erau

introduse atunci când erau menţionate ca atare, erau prezentate ca rezultate

„intuitiv evidente”. Se obţinea astfel o teorie matematică, pornită de pe baze

intuitive şi care se constituia într-o construcţie logico-deductivă coerentă şi

într-un grad abstract. Acest mod de a face geometrie este esenţial cel din

Elementele lui Euclid.

Oricare ar fi sistemul axiomatic care ar sta la baza predării geometriei,

considerăm că următoarele aspecte se pot lua în considerare, în primul rând

înţelegerea punctului de vedere axiomatic în studiul geometriei euclidiene şi

predarea axiomatică a geometriei trebuie realizată concret, tratarea este logico-

deductivă şi sistematică, combinată permanent cu interpretări intuitive.

În conformitate cu acesta şi cu manualul, vom nota dreapta care trece

prin două puncte A şi B cu AB, segmentul închis determinat de aceasta cu

[AB], segmentul deschis cu (AB) şi atunci când nu e pericol de confuzii

distanţa dintre punctul A şi B cu AB.

Programa de matematică pentru clasa a VII-a prevede studiul axiomatic

şi proprietăţile ariilor suprafeţelor plane. Manualul oferă un material bogat, atât

teoretic cât şi practic pentru acest capitol.

Studiul ariilor nu înseamnă numai stabilirea unor formule de calcul, ci

şi demonstrarea unor teoreme importante sau rezolvarea unor probleme de

geometrie plană.

În primul capitol am prezentat suprafeţele poligonale, descompunerea

în suprafeţe triunghiulare şi echivalentele ce le putem stabili între acestea.

Capitolul al doilea oferă studiul axiomatic al ariei suprafeţelor poligonale, cu

folosirea lor la studiul ariei discului şi cu aplicaţii practice. Următorul capitol

este axat pe studiul metodic al noţiunii de arie, probleme cu arii şi un test de

evaluare a cunoştinţelor elevilor referitor la capitolul arii.

5


CAPITOLUL I.

SUPRAFEŢE POLIGONALE

I.1. Poligoane. Suprafeţe poligonale convexe

Definiţia 1.1.1.Se numeşte mulţime convexă o mulţime de puncte într-un

plan care are următoarea proprietate: dacă P, Q sunt două puncte distincte ale

mulţimii M, atunci M conţine toate punctele segmentului (PQ), adică P, Q M

(PQ) M.

Exemple de mulţimi convexe:

Exemplul 1. Mulţimea vidă şi mulţimea formată dintr-un singur punct

sunt considerate mulţimi convexe.

O mulţime formată dintr-un număr finit n ( n > 1 ) de puncte este convexă.

Exemplul 2. Orice dreaptă, semidreaptă, segment sunt mulţimi convexe.

Exemplul 3. Un plan, semiplan sunt mulţimi convexe.

În figura 1.1 deosebim două tipuri de mulţimi:

Figura 1.1.

6


Discul cu centrul în O şi raza R ( ex. a ) este mulţime convexă;

exemplele b) şi c) nu sunt mulţimi convexe. Deducem, deci, că pentru a arăta

că o mulţime este convexă este suficient să punem în evidenţă două puncte S, T

ale acestei mulţimi pentru care (ST) este inclus în mulţime.

Teorema 1.1.1 Intersecţia a două mulţimi convexe este o mulţime

convexă.

Demonstraţie: Fie M1 şi M2 două mulţimi convexe şi S, T M1

M2. Atunci S, T M1 şi S, T M2 . Cum M1 şi M2 sunt mulţimi convexe, avem

(ST) M1 şi (ST) M2 . De aici deducem (ST) M1 M2 , ceea ce ne arată

că şi M1 M2 este mulţime convexă.

Generalizare. Orice intersecţie de mulţimi convexe este o mulţime

convexă.

În baza acestei teoreme, interiorul unui unghi, interiorul unui triunghi

sunt mulţimi convexe.

Observaţia 1. Exemplele din figura 1.1 b), c) ne arată că reuniunea

a două (sau mai multe) mulţimi convexe nu este în general o mulţime convexă.

Definiţia 1.1.2. Fie P1, P2, … , Pn, Pn+1 n+1 puncte situate într-un plan. Se

numeşte linie poligonală (de la P1 la Pn+1) mulţimea punctelor L = [P1P2] U… U

[PnPn+1].

Punctele P1, P2, … , Pn, Pn+1 se numesc vârfurile liniei poligonale L, iar

segmentele [P1P2], [P2P3], …, [PnPn+1] se numesc laturile liniei L.

Două vârfuri Pk, Pk+1 se numesc vârfuri vecine (consecutive, alăturate),

iar laturile [Pk-1Pk], [PkPk+1] laturi vecine ( consecutive, alăturate ).

Definiţia 1.1.3 O linie poligonală se numeşte simplă dacă oricare

două laturi vecine sunt disjuncte.

7


Exemple de linii poligonale:

a) b)

c) d) e)

Figura 1.2

Exemplele din figura 1.2. c); d); e); reprezintă linii poligonale simple.

Definiţia 1.1.4. O linie poligonală P=P1P2 . . . Pn Pn +1 se numeşte poligon

(cu n laturi) dacă :

i. Pn+1 = P1 (adică P este o linie poligonală închisă)

ii. este simplă

iii. oricare două laturi nu aparţin aceleaşi drepte

(laturi vecine).

Notăm un poligon P cu vârfurile P1,P2,. . . , Pn+1 cu P=P1 P2 . . .Pn sau mai

simplu P.

Exemplele din figura 1.2. e),d) reprezintă un poligon cu 4 laturi (vârfuri)

respectiv 5 laturi (vârfuri). De astfel, etimologia cuvântului poligon este

grecească, polys =numeros, gonia, gonos =unghi, unghiuri.

8


In concordantă cu acestea este şi utilizarea prescurtării n-gon pentru un

poligon cu n vârfuri (pentagon, hexagon, octogon etc.). Fac excepţie

poligoanele cu trei unghiuri (triunghiuri) sau cu patru unghiuri (patrulater).

Definiţia 1.1.5. Numim frontiera poligonului P mulţimea Fr P alcătuită

din vârfuri şi din punctele interioare laturilor poligonului P, adică ceea ce apare

când desenăm poligonul P.

Definiţia 1. 1.6. Segmentul [Pi Pj ]care nu sunt laturi se numesc

diagonale.

Definiţia 1. 1. 7. Un poligon P este convex dacă oricare ar fi [ Pk Pk+1] o

latură a sa există un semiplan delimitat de dreapta Pk Pk+1 care conţine toate

vârfurile sale cu excepţia vârfurilor Pk şi Pk+1.

a) b)

EMBED PBrush

c)

Figura 1.3

Exemplele a) şi b) din figura 1.3 reprezintă poligoane convexe ;

poligonul c) nu este convex.

9


Definiţia 1. 1. 8. Fie P un poligon convex. Se defineşte interiorul

poligonului convex ca fiind intersecţia semiplanelor delimitate de suporturile

laturilor poligonului şi care conţin vârfurile nesituate pe laturile respective

(figura 1.4).

EMBED PBrush

Figura 1.4

Teorema 1. 1. 2. Un poligon convex nu este o mulţime convexă, dar

interiorul unui poligon convex este o mulţime convexă.

Demonstraţia este imediată, dacă ţinem seama de definiţia 1.1.2. şi 1.1.4.

şi observaţia 1 (în cazul poligonului) şi pentru interiorul poligonului de

definiţia 1.1.8. şi teorema 1.1.1.

Reamintim în continuare câteva clase de poligoane des utilizate în practică.

Definiţia 1.1.9

1. Patrulaterul cu două laturi paralele se numeşte trapez;

2. Patrulaterul cu laturile paralele două câte două se numeşte

paralelogram;

3. Paralelogramul cu două laturi vecine perpendiculare se

numeşte dreptunghi;

4. Paralelogramul cu laturile congruente se numeşte romb;

5. Un romb care este dreptunghi se numeşte pătrat.

10


Figura 1.5

Definiţia 1.1.10. Un poligon convex se numeşte regulat dacă toate

laturile şi unghiurile sunt congruente.

Dintre toate poligoanele regulate cu denumiri consacrate amintim

triunghiul echilateral şi pătratul.

Pentru n laturi ( n > 4) se va folosi terminologia: pentagon regulat etc.

Observaţia 2. Orice poligon regulat este convex şi inscriptibil într-un

cerc şi se poate circumscrie unui cerc.

Definiţia 1.1.11. Pentru orice poligon regulat, definim apotema ca fiind

distanţa de la centru cercului circumscris la laturi ( sau raza cercului înscris).

Definiţia 1.1.12. Se numeşte suprafaţă poligonală [P]. reuniunea unui

poligon convex P cu interiorul sau Int (P), adică [P]=def P Int P. Poligonul P se

11


zice că limitează pe [ P] (sau este frontiera lui [P] ), iar Int (P) se mai numeşte

interiorul lui [P].

O suprafaţă poligonală cu trei laturi se numeşte suprafaţă trilaterală

(triunghiulară), cu patru laturi suprafaţă patrulateră, etc.

Definiţia 1.1.13. Se numeşte suprafaţă poligonală o mulţime de puncte

din plan, care este reuniunea unui număr finit de suprafeţe poligonale convexe,

acestea având două câte două interioarele disjuncte.

I.2. Descompunerea suprafeţelor poligonale

Definiţia triunghiurilor congruente (sau, în general, a poligoanelor

congruente) s-a introdus pornind de la axiomele de congruenţă. Intuitiv două

poligoane sunt congruente dacă prin suprapunere ele coincid exact, în toate

părţile lor (laturi, unghiuri). In acest caz elementele lor congruente se numesc

omoloage.

Intuiţia ne arată că va trebui să determinăm o corespondenţă bijectivă

între elementele omoloage ale celor două poligoane pentru a preciza congruenţa

lor.

12


Figura 1.6

De exemplu, în figura 1.6. poligoanele ABCD si EFGH sunt

congruente dar nu în această ordine. Corespondenţa între elementele omoloage

este ; ; şi şi respectiv, , ,

, .

Prin urmare, conform acestei corespondenţe si ţinând seama de

elementele omoloage corespondenţa se mai scrie ABCD FGHE.

Se pune problema cum putem stabili congruenţa suprafeţelor poligonale

(sau, mai general, asemănarea lor). Fie deci M şi M’ două mulţimi de puncte

din plan.

Definiţia 1.2.1. Mulţimile M şi M' sunt congruente si vom nota

M M ' dacă există o aplicaţie f : M M astfel ca pentru orice pereche

de puncte P , Q M să avem ( P Q ) ( f ( P) f (Q ) ).

Funcţia f cu această proprietate se numeşte izometrie. ( fig.1.7).

Figura 1.7

13


Definiţia 1.2.2. Mulţimile M şi M’ sunt asemenea şi vom nota

M ~M’ dacă există un număr k > 0 şi o funcţie bijectivă f : M M’ astfel

ca pentru orice pereche de puncte P, Q M să avem :

PQ= kf ( P ) f ( Q ).

Funcţia f cu această proprietate se numeşte asemănare, iar numărul k se

numeşte raport de asemănare. Să facem observaţia că pentru k = 1 avem

congruenţa. ( fig.1.8. )

EMBED PBrush

Figura 1.8

Teorema 1.2.1. Dacă triunghiurile ABC şi A’B’C’ sunt congruente,

atunci [ ABC ] [ A’B’C’].

Demonstraţie. Fie Δ ABC şi Δ A’B’C’ şi fie E, F Int ( ABC), (fig. 1.9).

Figura 1.9

14


Construim aplicaţia f : [ABC] [A’B’C’] definită astfel: E’ =f ( E),

F’=f(F) şi BAE B’A’E’, CAP C’A’P’ , (AE) (A’E’),

(AF) (A’F’), (în baza axiomei de construcţie a unghiurilor şi segmentelor este

asigurată unicitatea acestei corespondente). Avem astfel definită o bijecţie.

Din construcţie şi din ipoteză deducem că AEF şi A’E’F’ de unde (EF) =

(f(E)f(F)). Deci [ABC] [A’B’C’].

Definitia 1.2.3. Numim transversala într-un triunghi orice segment ce

uneşte un vârf cu un punct situat pe latura opusă.

In figura 1.10. AM este transversala în ΔABC.

A

B M CFigura 1.10

Observaţia 3. Fie P un poligon simplu şi fie A, B P. O linie poligonală

care leagă punctele A şi B situată in interiorul poligonului P determină

poligoanele P1 si P2 ale căror suprafeţe poligonale sunt disjuncte (figura 1.11).

Figura 1.11

Vom spune că suprafaţa poligonală [P] a fost descompusă prin suprafeţe

poligonale [P1] si [P2]. Avem deci [P] = [P1] U [P2].

15


Convenţie. Pentru simplificarea scrierilor, în cele ce urmează vom mai folosi si

notaţia (pentru descompunere).

În baza observaţiei de mai sus, din definiţia 1.2.3. rezultă că :

[ABC] = [AMB] + [AMC]

Se poate deduce imediat că putem repeta de mai multe ori acest

procedeu; operaţia se va numi descompunere transversală a suprafeţei

poligonale trilaterale (a triunghiului).

Figura 1.12

[ABC] = [T1] + [T2] + [T3] + [T4]

sau

[ABC] = i

Putem astfel generaliza operaţia de descompunere transversală şi să

considerăm o descompunere transversală a suprafeţei triunghiulare [ABC] în

familia {[Ti]} i = 1,…,n, astfel se poate scrie [ABC]= i.

16


Observaţia 4. Modul de a considera o descompunere transversală a unui

triunghi nu este unic. In figura 1.12. am considerat transversala AM.

Putem însă să considerăm transversala

BN şi să obţinem descompunerea

transversală în {[ Tk]} k=1,…,m şi să

scriem [ABC]=Σ [T K ].

Adică, pentru aceleaşi triunghiuri ABC

putem determina mai multe

descompuneri transversale ale suprafeţei

[ABC].

Firesc, ne punem problema posibilităţii descompuneri unei suprafeţe

poligonale oarecare şi mai ales forma suprafeţelor poligonale care oferă cea

mai avantajoasă descompunere. Forma este cea triunghiulară, observaţie

intuitivă. Deci am putea descompune o suprafaţă poligonală în suprafeţe

triunghiulare ?

Definiţia 1.2.4. Se numeşte descompunere triunghiulară a suprafeţei

poligonale [P] , o familie finită de suprafeţe triunghiulare {[T i]}i=1,…,n. care

verifică următoarele condiţii:

i. [P] = ( sau [P] = )

ii. interioarele a oricăror două triunghiuri oarecare sunt disjuncte:

Int (Ti) Int (Tj) = ; i j

iii. fiecare punct interior unui triunghi Ti este interior lui P,

i = 1,… , n.

iv. fiecare punct interior lui P este interior sau pe un triunghi T i,

i = 1, … , n.

17


Astfel, [P] se exprimă ca reuniune de suprafeţe triunghiulare cu

interioarele disjuncte .

Definiţie 1.2.5. Fie [P] o suprafaţă poligonală şi fie {[ T i ]}i=1,…,n o

descompunere triunghiulară. Dacă fiecare triunghi Ti permite o descompunere

transversală în suprafeţe triunghiulare [Ti ,k] se obţine o altă descompunere

triunghiulară a lui [P].

Spunem că descompunerea {[Ti,k]}i,k este mai fină decât descompunerea

{[Ti]} i considerată. (figura 1.13.).

Figura 1.13

Putem realiza o descompunere, imediată, triunghiulară a unui poligon

convex dacă ducem diagonalele dintr-unul din vârfuri, în acelaşi timp să

observăm că descompunerea nu este unică ( figura 1.14 )

Figura 1.14

În ambele cazuri observăm că descompunerea este realizată din

triunghiuri ale căror vârfuri sunt vârfuri ale poligonului P .

18


Aceasta ne permite să enunţăm:

Teorema 1.2.2. Fiecare suprafaţă poligonală [ P ] se poate descompune

în suprafeţe triunghiulare [ Ti ], astfel încât fiecare vârf al fiecărui triunghi Ti să

fie un vârf al poligonului P .

Teorema 1.2.3. O suprafaţă poligonală convexă cu n laturi ( n > 3) se

poate descompune în n-2 suprafeţe triunghiulare.

Demonstraţie. Arătăm mai întâi ca o suprafaţă poligonală convexă cu n

laturi se descompune într-o suprafaţă triunghiulară şi o suprafaţă poligonală

convexă cu n-1 laturi.

Figura 1.15

Se consideră poligonul convex P = P1P2…Pn şi dreapta P1 P3 (fig.1.15.).

O dreaptă care nu este suportul unei laturi a lui P are cel mult două

puncte cu P, prin urmare dreapta P1 P3 intersectează poligonul P numai în P1 si

P3. Rezultă că punctele P4, P5 ,…,Pn sunt de aceeaşi parte a lui P1 P 3 , ceea ce

înseamnă că P1P3P4 …Pn este un poligon convex.

Deoarece P3 se află în interiorul unghiului P2 P1 Pn rezultă că si P2 si Pn se

află deoparte si de alta a dreptei P1 P 3 , adică interiorul triunghiului P1 P2P3 si

poligonul P1 P 3 P 4 …Pn se află în semiplane opuse având astfel intersecţia vidă.

Pe de altă parte este evident că:

[P]=[P1P2P3 ] + [P1P3P4…Pn]

Aplicând succesiv acest rezultat suprafeţelor poligonale [ P1P3P4…Pn]

etc., care au câte o latură mai puţin decât precedenta se obţine teorema.

19


Consecinţă. Orice suprafaţă poligonală poate fi descompusă în suprafeţe

triunghiulare. (fig.1.16.).

EMBED PBrush

Figura 1.16

I.3. Echivalenţe pe mulţimea suprafeţelor poligonale

Definitia 1.3.1. Două suprafeţe ( P ) şi ( P’) sunt echivalente aditiv

dacă pot fi descompuse într-un număr finit de suprafeţe triunghiulare

congruente două câte două .

Vom nota această relaţie [P] ~ [P’] .

Iată câteva suprafeţe poligonale aditiv echivalente (figura 1.17).

Figura 1.17.

20


[ABCD]~[A’B’C’D’]

Teorema 1.3.1. Dacă două poligoane convexe sunt congruente, atunci

suprafeţele poligonale respective sunt aditiv echivalente.

Demonstraţie . Fie poligoanele P = P1P2…Pn si P = P1P2…Pn cu P P’.

Desigur putem considera pentru fiecare poligon mai multe descompuneri.

Fie descompunerea obţinută ducând diagonalele din vârfurile omoloage

P1 si P’1. În Δ P1P2P3 si în Δ P’1P’2P’3 avem ( P1 P2 )(P’1P’2), (P2P3)(P'2 P’3) :

P1 P2 P3 P’1 P’2 P’3

Deci, de aici rezultă congruenta celor două triunghiuri,

Δ P1 P2 P3 ΔP’1 P2’P’3 . Analog pentru celelalte triunghiuri, în baza teoremei

1. 2. 1. vom putea scrie [ P1 P2 P3 ][ P’1 P’2 P’3] şi de aici va rezulta [P][P’].

Observaţia 5. In baza acestei teoreme, definiţie 1. 3. 1. se mai poate

formula teorema şi astfel : Două suprafeţe poligonale [P] şi [P’] sunt aditiv

echivalente dacă se pot descompune în suprafeţe poligonale congruente două

câte două .

Definiţia 1.3.2. Două suprafeţe poligonale [ P ] şi [ Q ] sunt

echivalente prin complement dacă există suprafeţe poligonale :

{[ Pi ]} i=1,n si {[ Qi ]} i=1,n , Pi Qi , i=1,n şi

21


[ P ] + [Pi ] ~ [ Q ] + [ Qi ] .

Vom nota această relaţie [ P ] ~ [ Q ]

Înainte de a trece la enunţul câtorva din proprietăţile acestor relaţii, să

vedem câteva exemple.

Exemplul 1. Două paralelograme cu baze şi înălţimi respectiv egale sunt

echivalente prin complement sau aditiv echivalente .

Demonstraţie. Fie paralelogramele ABCD şi ABEF cu baza AB şi

aceeaşi înălţime h. Deosebim două cazuri:

Cazul 1. E( DC). Avem atunci

[ABCD] = [ ABED] + [BCE]

[ ABEF] = [ABED] + [ADF]

ΔBCE ΔADF

Din aceste rezultate, conform definiţiei 1. 3. 1. avem [ABCD][ABEF].

Cazul 2. E, F ( CD)

Avem relaţiile

[ABCD]+[EDH ] = [ABCEH ]

[ABEF] + [ EDH ] = [ABHDF] (1)

Pe de altă parte avem:

[ABHDF] = [ABH] + [ ADF ]

[ABCEH]=[ABH ]+[BCE ] (2)

ΔBCE ΔADF

Din relaţiile ( 1 ) si ( 2 ) rezultă deci [ ABHDF ][ABCEH ] şi de aici în baza

definiţiei 1. 3. 2. avem [ABCD] [ ABEF ] .

22


Consecinţă. Orice paralelogram este aditiv echivalent sau echivalent

prin complement cu un dreptunghi având dimensiunile egale cu baza şi

înălţimea paralelogramului .

Exemplu 2. Orice triunghi este aditiv echivalent cu un paralelogram

având aceeaşi bază şi înălţimea jumătate din înălţimea triunghiului dat .

Demonstraţie. Fie ΔABC cu înălţimea AD . Fie M mijlocul lui AD.

Ducem prin M o paralelă la BC si considerăm punctele H, F de intersecţie a

acestei paralele cu laturile (AB) şi (AC).Alegem EHF în aşa fel încât F(HE)

şi (HE) (BC). În baza construcţiei avem:

ΔCEF ΔAMF

[BCEH ] = [ BCFH] + [CEF ]

[ ABC ] = [ BCFH ] + [AHF]

De

aici putem scrie

[ABC] ~ [ BCEH]

Consecinţă. Orice suprafaţă triunghiulară este aditiv echivalentă cu o

suprafaţă dreptunghiulară având dimensiunile egale cu baza şi jumătate din

înălţimea triunghiului.

Exemplu 3. Fie patrulaterele P=ABCD , Q≠A’B’C’D’ , şi

R=A”B”C”D” astfel ca DB AB , A’D’A’B’ , ( AB ) (A’B’) , (A’D’)

(DB), (A”B”) 2(A’D) , (A’B’) 2(A”D”) si A”D” A”B”.

În aceste condiţii [ P]~ [Q] şi [Q] ~ [R].Atunci [P]~ [R].

23


[P]~[Q] pentru ca [P] = [ABD] +[DBC]

[Q] = [A’B’C’]+[A’C’D’]

Δ ABC ΔA’B’C’,ΔBDC ΔB’D’C’

[Q]~[R] pentru ca [Q]=[A’N’M’] + [A’M’D’] + [N’M’B’] + [N’C’B’]

[R]=[B”C”M”] + [N”B”M”] + [A”N”M”] + [A”B”M”]

ΔA’M’D’ ΔN”B”M” ; ΔA’N’M’ ΔB”C”M”,

ΔM’N’B’ ΔA”N”M”; ΔB’C’M’ ΔA”D”M”.

Ţinând seama de cele două descompuneri ale aceluiaşi poligon [Q],

suprapuse, obţinem o nouă descompunere a suprafeţei poligonale [Q] în

suprafeţele triunghiulare [A’O’N’], [B’S’C’], [A’D’M’] [A’M’O’], [O’M’S’],

[ S’M’C’] şi patrulaterul [ON’B’S’] şi fig .1.18

Efectuând aceeaşi descompunere (suplimentară) şi în suprafeţele

poligonale [P] şi [R]’ obţinem descompunerea din figura 1. 19. si figura 1. 20.

24


Avem [ P ] = [AON] + [BSD] + [BMQ] + [O1MS1] + [S1MC] + [ONBS]

Cu congruentele Δ AON ΔA’O’N’ Δ BMO1 ΔA’M’O’

Δ BSD Δ B’S’C’ Δ O1MS1 ΔO’M’S’

(3)

Δ BDM Δ A’D’M’ Δ S1MC Δ S’M’C’

ONBS O’N’B’S’

[ R ] = [B”O”1C”] + [ S”M”D”] + [B”Q1”M”] + [B”M”N”] + [A”O”S”] +

+ [ S”D”A”] + [O”N”M”S”]

Cu congruenţele Δ B”O”1C” Δ A’N’O’ Δ B”O”1M” ΔA’O’M’

Δ S”M”D” Δ S’B’C’ Δ A”O”S” Δ O’M’S’ (4)

Δ B”M”N” Δ A’D’M’ Δ S”D”A” Δ S’M’C’

O”N”M”S” O’N’D’S’

Comparând descompunerile (3) şi (4) putem afirma că [P] şi [R] au fost

descompuse în poligoane congruente două câte două, deci [ P ] ~ [ R ].

Din aceste cazuri particulare (ex.3) apare firesc întrebarea dacă putem

generaliza rezultatele obţinute sau nu. Înainte de a da teorema ce grupează

proprietăţile relaţiilor de echivalentă, dăm fără demonstraţie următoarea

teoremă:

Teorema 1.3.2. Punctele interioare comune a două poligoane P şi Q

(dacă există formează mulţimea tuturor punctelor interioare ale unei mulţimi

finite de poligoane din care nu exista două să aibă puncte interioare comune

(figura 1.21.).

25


Figura 1.21.

Teorema 1.3.3. Relaţiile ~ şi ~ sunt relaţii de echivalentă.

Demonstraţie. Din definiţiile celor două relaţii rezultă imediat

proprietăţile de reflexivitate şi simetrie. Pentru tranzitivitate vom lucra separat

pentru cele două relaţii.

a.) Ne propunem să demonstrăm că dacă [P] , [Q] , [R] sunt trei suprafeţe

poligonale astfel încât [P] ~ [Q] si [Q] ~ [R] atunci [P] ~[R].

Din [P] ~ [Q] rezultă că există mulţimile de poligoane {[Pi]}i=1,…n şi

{[Qi]}i=1,…n două câte două congruente (Pi Qi , i=1,…,n) astfel încât :

[ P ] = [ Pi ] si [ Q ] = [ Qi ] ( 5 )

Analog, din [Q] ~ [R] avem mulţimile de poligoane {[Q j’]}j=1,…m şi

{[Rj]}j=1,…m două câte două congruente (Q’j Rj ) , j=1,…m astfel încât :

[ Q ] = [Q”j ] si [ R ] = [ R j ] ( 6 )

Familiile de mulţimi Qi, i=1,…n şi Q’j, j=1,…m realizează pentru suprafaţa

poligonală [Q] două descompuneri care, suprapuse, formează o altă

descompunere a lui [Q] în suprafeţe poligonale pe care le vom nota

{[Qi Q’j ]}i=1,…n; j=1,…m; ( vezi ex.3 )

Conform teoremei 1.3.2. mulţimea punctelor comune interioare

poligoanelor Qi si Q’j coincide cu mulţimea punctelor interioare ale unei

mulţimi formată din poligoanele Qi Qj cu interioarele două câte două disjuncte.

In plus, fiecare punct interior lui Qi este interior lui [Q], deci este sau interior

sau pe un anumit Q’j , deci sau interior sau pe anumiţi Q i Q’j , pentru orice i=1,

…n;j=1,…,m (def.1.2.4.). Conform aceleiaşi definiţii avem ca {[QiQ’j]}i,j

realizează o descompunere în triunghiuri (sau poligoane ) a lui [Q i] si deci

[Qi]= [Qi Q’j] , i=1,…n. Din ( 5 ) vom avea atunci [ P i ] =[QiQ’j ],i=1,…n şi deci

şi [P] poate fi împărţit în poligoane congruente cu mulţimea {Qi Q’j } i ,j (în

26


ex.3. familia { Qi Q’j } i , j este formată din poligoanele QiQj cu interioarele

două câte două disjuncte.

În plus, fiecare punct interior lui Qi este interior lui [Q], deci este sau

interior sau pe un anumit Qj’, deci sau interior sau pe anumiţi QiQj’. Conform

aceleiaşi definiţii, avem că {[QiQj’]},i,j realizează o descompunere în triunghiuri

(sau poligoane) a lui [Qi] şi deci [Qi]= , i=1,…,n. Din (5) vom avea

atunci [Pi]=[QiQj’], i=1,…, n. şi deci şi P poate fi împărţit în poligoane

congruente cu mulţimea {QiQj’}i,j (în ex.3, familia {QiQj’}i,j este formată din

poligoanele A’O’N’, B’S’C’, A’D’M’, A’M’O’, O’M’S’, S’M’C’,

O’N’B’S’).

Analog raţionamentul pentru [R]. rezultă în final că [P] [R].

b) Ne propunem să demonstrăm că dacă [P] [Q] şi [Q] [R] atunci [P]

[R].

Dacă [P] [Q] atunci există poligonul S1, astfel ca

[P]+ [S1] [Q]+ [S1]. (7)

Iar dacă [Q] [R] atunci există poligonul S2 astfel încât:

[Q]+ [S2] [R]+ [S2]. (8)

Notăm cu [S’] mulţimea punctelor comune lui S1 şi S2 si [S1], respectiv

[S2’] mulţimea punctelor [S1] care nu sunt interioare lui [S2] (respectiv din [S2]

care nu sunt interioare lui [S1]). Avem deci [S1]=[S’]+[S1’] şi [S2]=[S’]+[S2’].

Dacă înlocuim în (7) şi (8) avem:

]P]+[S]+[’S1 [’]Q]+ [S]+[’S1 [’

[Q]+[S’]+[S2’] [R] +[S’]+[S2’]

de unde, adăugând convenabil [S2’] respectiv [S1’] avem:

[P]+[S’]+[S1’]+[S2’] [Q] +[S’]+[S1’]+[S2’]

27


[Q]+[S’]+[S2’] +[S1’] [R] +[S’]+[S2’]+[S1’]

Aplicând acum tranzitivitatea relaţiei şi ţinând seama de definiţia 1.3.2.

avem [P] [R] (adică teorema este demonstrată). Din aceste teoreme şi rezultate

se poate imediat demonstra.

Teorema 1.3.4. Două triunghiuri de baze şi înălţimi egale sunt

echivalente.

Problemă. Fie M un punct pe diagonala AC a paralelogramului ABCD.

Ducem prin M paralele la AB şi AD şi notăm intersecţia acestor paralele cu

laturile (AD),(BC) respectiv cu E,F,G,H (vezi figura 1.22). În acest caz

paralelogramele EMHD şi FBGM sunt echivalente.

Figura 1.22.

Soluţie:

Ducem prin H şi G paralele la diagonala Ac. Se notează punctele de

intersecţie cu laturile AD, respectiv AB prin L şi O. Din construcţie

MGCMHC, deci înălţimile celor două triunghiuri considerând aceeaşi

bază MC, sunt egale. Deci HH’GG’.

Pe de altă parte, paralelogramele EMHD şi AMHD sunt echivalente prin

complement, având aceeaşi bază MH şi înălţimi egale (deoarece FH // AD).

Analog MFBG AMGO (aceeaşi bază MG şi înălţimi egale).

În paralelogramele AMGO şi AMHD sunt echivalente prin complement

(aceeaşi bază AM şi înălţimi egale HH’ şi GG’).

28


Avem deci, conform teoremei 1.3.3. echivalenţa prin complement între

paralelogramele EMHD şi MFBG.

În încheierea acestui capitol, din exemplele şi teoremele date şi

demonstrate se desprinde ca o concluzie faptul că noţiunile de aditiv

echivalenţă şi echivalenţă prin complement se pot reuni într-o noţiune generală

de echivalenţă.

Definiţia 1.3.3. Două suprafeţe poligonale [P] şi [P’] sunt echivalente

dacă sunt aditiv echivalente sau echivalente prin complement.

Vom folosi în acest scop notaţia [P] [P’].

CAPITOLUL II.

ARIA SUPRAFEŢELOR PLANE

II.1. Aria suprafeţelor poligonale

După cum ştim, aflarea ariei unei mulţimi de puncte este o operaţie de

măsurare. Este astfel necesar introducerea unei unităţi de măsură. Intuitiv s-a

folosit ca unitate ca unitate de arie o suprafaţă pătratică de latură 1.

Se poate măsura direct o suprafaţa poligonala P, dacă P se descompune

într-un număr finit de unităţi de suprafaţă. (figura 2.1)

29


Figura 2.1.

Pentru alte mulţimi (suprafeţe poligonale) procesul direct de măsurare nu

se poate aplica (figura 2. 2.).

Figura 2.2.

şi aceasta pentru că nu permite descompunerea exactă în unităţi de

suprafaţă (unităţi pătratice de arie). Iată de ce este nevoie de reconsiderarea

formei poligonale care să stea la baza determinării ariei oricărui poligon,

suprafeţe poligonale. Înainte însă este necesar să definim funcţia arie.

Vom folosi ca notaţie S mulţimea suprafeţelor poligonale în planul

euclidian.

Definiţia 2.1. 1. 0 funcţie :S+ se numeşte funcţie arie dacă verifică

următoarele axiome:

A1. Dacă suprafeţele poligonale [P,] si [P2] sunt congruente, atunci

(P1)=(P2).

A2. Dacă suprafeţele poligonale [P1] şi [P2] sunt disjuncte sau se

intersectează doar în vârfuri sau pe laturi, atunci (P1U P2)=(P1)+(P2);

30


respectiv convenţiei făcută în capitolul precedent (P1+ P2)=(P1)+(P2), vezi

figura 2.3.

Figura 2.3.

A3. Dacă [ABCD] este o suprafaţă pătrata de latură unitate (adică

[ABCD] este o unitate de suprafaţă), atunci (ABCD)= 1 .

Observaţia 1. Înainte de axioma A3 , să observam că, dacă funcţia :+

satisface axiomele A] si A2 , atunci şi funcţia obţinută prin înmulţirea funcţiei

definită mai sus cu un număr real pozitiv , satisface de asemenea proprietăţile

A1 şi A2. Cel puţin din acest motiv suntem în faţa unei infinităţi de funcţii "arie"

şi, deci, o dificultate suplimentară în alegerea aceleia potrivite. Această

problemă se rezolvă prin introducerea axiomei A3 care fixează o anumită

funcţie din cele de mai sus cu rolul de arie a unei suprafeţe plane.

Aşa cum am amintit mai sus e nevoie să stabilim o modalitate de a

calcula aria oricărei suprafeţe poligonale. În baza teoremelor 1.2.2. şi 1.2.3. în

baza cărora orice suprafaţă poligonală se poate descompune în suprafeţe

triunghiulare, deducem că pentru a calcula aria suprafeţelor poligonale [P]

(oarecare), e necesar să stabilim o formulă pentru aria suprafeţei triunghiulare.

Teorema 2.1.1. În orice triunghi, produsul unei laturi cu înălţimea

corespunzătoare este acelaşi oricare ar fi latura aleasă.

Demonstraţie

31


Fie ABCD în care considerăm că ADBC, BEAC, CFAB. Vrem să

demonstrăm că avem relaţiile BC AD=AC BE=ABCF.

Deoarece şi rezulta că ADC BEC şi deci

putem scrie raportul laturilor (de asemănare).

, de unde avem AD BC = AC BE.

Analog pentru triunghiurile ACF şi ABE. Cu aceasta teorema este

demonstrată.

Definiţia 2.1.2. Numim caracteristică a triunghiului acest număr.

Definiţia 2.1.3. Definim aria unei suprafeţe triunghiulare [ABC],

caracteristica triunghiului ABC, înmulţită cu un număr dat k, fixat o dată pentru

totdeauna şi acelaşi pentru orice triunghi.

Rezultă că, dacă în ABC

avem ADBC, atunci

(ABC)=kBCAD.

Ne propunem în continuare să arătam că

astfel definită aria unei suprafeţe triunghiulare,

sunt verificate axiomele ariei (A1-A3) şi, de asemenea, să determinăm valoarea

constantei k.

Prima axiomă este verificată imediat. Fiind date două triunghiuri

congruente ABC şi A'B'C' (am văzut în capitolul precedent că, în acest caz şi

suprafeţele triunghiulare [ABC] şi [A'B'C’] sunt congruente - teorema 1.2.1.1,

32


şi fiind considerate înălţimile AD, respectiv A'D' (ADBC, A'B'B'C') din

congruenţa ADBA'D'B’ avem AD=A'D'.

Atunci (ABC)= kBCAD = k A’D’ B’C’ şi deci axioma A1 este

verificată.

Să încercăm să verificăm axioma A2.

Teorema 2.1.2. Dacă un triunghi este împărţit prin transversala AM în

triunghiurile T1 şi T2, atunci aria suprafeţei triunghiulare [ABC] este egală cu

suma ariilor suprafeţelor triunghiulare [T,] si [T2].

Demonstraţie. Fie [T1]=[ABM] şi [T2] =

[AMC]. Din definiţia ariei unei suprafeţe

triunghiulare, considerând ADBC avem:

(ABM)+(AMC)=kBMAD+kMCAD=

=kAD(BM+MC)=kADBC=(ABC)

Teorema 2.1.3. Dacă un triunghi oarecare ABC este împărţit într-un

mod oarecare prin drepte într-un număr oarecare, dar finit, de triunghiuri Tk,

aria suprafeţei triunghiulare [ABC] este totdeauna egală cu suma ariilor

suprafeţelor tuturor triunghiurilor Tk.

Demonstraţie. Să arătam mai întâi că, efectuând numai descompuneri

transversale în triunghiuri Tk, aria suprafeţei triunghiulare [ABC] este suma

ariilor tuturor suprafeţelor triunghiulare [Tk]k=1,…,n adică, dacă:

[ABC]= atunci (ABC)= (Tk).

Într-adevăr, să presupunem adevărată teorema pentru o descompunere

transversală în familia de triunghiuri {Tk}k=1,…,n şi să arătăm că este adevărată

şi pentru o descompunere în n+1 triunghiuri.

33


Pentru a obţine o descompunere transversală a triunghiului ABC în n+1

triunghiuri, e suficient să efectuăm, în familia {Tk}k=1,…,n o descompunere

transversală a triunghiului Tn, obţinând triunghiurile Tn’ şi Tn+1

’ cu proprietatea

[Tn]= [Tn’ ]+[Tn+1

’] şi Int (Tn’ )Int(Tn+1

’)= şi pentru care, aplicând teorema

2.1.2. avem:

(Tn)= (Tn’)+ (Tn+1

’ ) (2)

Notând acum:

Tk’= (3)

Am construit o nouă familie de triunghiuri {Tk}k=1,…,n+1.

În plus, folosind rezultatele (1) , (2 ) , (3 ) vom avea

(ABC)= (Tk’).

Să arătam acum că aria suprafeţei triunghiulare [ABC] nu depinde de

descompunerea folosita. Fie pentru aceasta o descompunere oarecare în

triunghiuri {Tk} şi să considerăm segmentele determinate de vârfurile

triunghiurilor T, situate în interiorul

triunghiului ABC sau pe (BC) şi de

punctul A.

Se obţine astfel o

descompunere transversală a lui ABC

în triunghiurile {Ti}i=1,..,n, adică

(ABC)= (Ti’).

Suprapunând cele două descompuneri, se obţine o mulţime de triunghiuri şi

patrulatere. La rândul lor construind o diagonală în fiecare patrulater se obţine

în final o descompunere în triunghiuri {Tik} a suprafeţei triunghiulare [ABC].

Vârfurile fiecărui triunghi Tik se vor găsi numai pe două laturi ale unui

triunghi Ti, respectiv ale unui triunghi Tk, fapt ce rezultă imediat din

34


construcţie. Aceasta ne arată că familia {[Tik]}i,k realizează o descompunere

transversală atât pentru un triunghi Tk, cât şi pentru un triunghi Ti. Vom avea

atunci:

(Ti)= (Tik) şi deci (ABC)= (Ti) = (Tik).

Pe de altă parte, (Tk)= (ik) şi însumând ariile tuturor triunghiurilor

Tk, vom avea (Tk) = (Tik).

Comparând ultimele rezultate vom avea (ABC)= (Tk), rezultat care

ne arata că aria triunghiului ABC nu depinde de descompunerea făcută. Cu

aceasta, teorema este demonstrată.

Observaţia 3. Teorema 2.1.3. enunţată mai sus, este în acelaşi timp şi

verificarea celei de-a doua axiome a ariei. Deci formula pentru calculul ariei

unui triunghi dată prin definiţia 2.1.3. verifică cele două axiome ale ariei.

Problema. Să se demonstreze că distanţele de la un punct al medianei

AA’ a triunghiului ABC până la laturile AB şi AC sunt în raport invers cu

aceste laturi.

Rezolvare. Considerăm BC=a şi fie M(AA'), BA'=A'C=a/2. Ducem

MPAB (PAB), MNAC(NAC), ADBC, MD'BC, D,D'BC.

Unind pe M cu B şi C se formează:

ABA’; AA’C; MAB; MAC;

MBA’; MCA' . Vom avea

(ABA’ )=kBA’AD=1/2 k aAD

(ACA’ )=kADA’C=1/2 k aAD.

De aici deducem

(ABA’ )=(ACA’ ) (4)

De asemenea (MA’B)=kMD’BA’=1/2 kaMD’

35


(MA’C)=kA’CMD’=1/2 kaMD’

De unde deducem (MA’B)=(MA’C) (5)

Comparând rezultatele (4) şi (5) avem (AMB)=(AMC). De unde vom

putea scrie:

kABMP=(AMB)=(AMC)=kACMN de unde obţinem

ABMP=ACMN sau raportul cerut . Să încercăm acum să definim

aria unui poligon (a unei suprafeţe poligonale). Fie [P] o suprafaţă poligonală,

în baza teoremelor 1.2.2. şi 1.2.3. din capitolul precedent există o familie de

suprafeţe triunghiulare {[Ti]}i care permite descompunerea triunghiulară a

suprafeţei [P]. Urmează firesc definiţia.

Definiţia 2.1.4. Fie [P] o suprafaţa poligonală. Definim aria suprafeţei

poligonale [P] ca fiind suma ariilor suprafeţelor triunghiulare ce realizează o

descompunere a suprafeţe [P].

Teorema 2.1.4. Aria unei suprafeţe poligonale [P] este independentă de

descompunerea aleasă.

Demonstraţie. Pentru suprafaţa poligonală [P] presupunem două

descompuneri triunghiulare {[Ti]}i şi {[Tk’]}k (în figura 2.4.). Este prezentat un

heptagon oarecare căruia i s-au pus în evidenta două descompuneri

triunghiulare).

Figura 2.4.

Suprapunând cele două descompuneri, un triunghi al unei descompuneri

36


determină pe cealaltă familie de descompunere triunghiulară, triunghiuri sau

poligoane ce, la rândul lor, pot fi descompuse în triunghiuri. Fie această familie

notată {[Tik]}i,k.

În baza teoremei 2.1.3. aria fiecărui triunghi Ti este suma ariilor

triunghiurilor componente Tik. Însumând ariile tuturor triunghiurilor Ti avem

astfel:

(Ti) = (Tik)

In mod analog găsim (Tk’) = (Tik)

De unde deducem (Ti) = (Tk’) şi astfel teorema este

demonstrata.

Observaţia 4. Astfel definită aria unei suprafeţe poligonale [P], aceasta

verifică atât axioma A1, cât şi axioma A2 din definiţia ariei unei suprafeţe

poligonale ( definiţia 2.1.1.).

Observaţia 5. Până aici am putut lucra atât cu aria unei suprafeţe

triunghiulare oarecare, fără să fim obligaţi să fixăm valoarea constantei k. Este

şi acesta un exemplu la observaţia 1 din acest paragraf.

Verificarea celei de-a treia axiome a ariei duce

de fapt la determinarea valorii lui k.

Fie deci [ABCD] o suprafaţă pătrată de latură

1. Conform celor arătate mai sus, putem

descompune suprafaţa în suprafeţele

triunghiulare [ABC] şi [ACD] şi vom avea:

(ABC) =(ABC)+ (ACD).

În baza axiomei A1 verificată şi a definiţiei 2. 1. 3, avem:

(ABC) =(ACD) = k.

37


Considerând suprafaţa ABCD o unitate de suprafaţă, având deci aria

egală cu 1, vom avea 2k=1, de unde obţinem valoarea constantei k, şi anume

k=1/2. Am obţinut astfel relaţia care permite calculul ariei oricărei suprafeţe

triunghiulare.

Teorema 2.1.5. Aria oricărei suprafeţe triunghiulare este egala cu

jumătate din produsul unei laturi cu înălţimea corespunzătoare.

Problemă. Să se calculeze aria unei suprafeţe triunghiulare având baza

şi înălţimea respectiv egale cu 42 şi 20 (unităţi de lungime).

Rezolvare.

Fie [ABC] suprafaţa triunghiulară. Dacă

notăm o latură cu b (baza) şi înălţimea cu h,

conform teoremei 2.1.5. vom avea:

(ABC)= (6)

Înlocuind cu valorile date obţinem (ABC)=420 (unităţi de arie).

Problemă. Să se calculeze aria unui triunghi, ştiind că înălţimea sa este

36, iar cele două laturi care pleacă din vârf sunt de 85 şi 60.

Rezolvare. În ABC considerăm AB=85, AC=60, AD=36, ADBC.

Pentru a calcula lungimea bazei BC se aplică

teorema lui Pitagora în ABD şi găsim BD=77, iar

din ADC găsim DC=48.

Avem astfel BC=125 şi de aici, folosind (6)

găsim (ABC)=1125 (unităţi de arie).

Problemă. Lungimile laturilor unui patrulater ABCD sunt (în unităţi de

măsură) AB=18, BC=10, CD=10, AD= 15 şi diagonala BD=15. Să se calculeze

aria suprafeţei patrulatere.

38


Rezolvare. În patrulaterul dat ABCD, diagonala BD realizează o

descompunere triunghiulară; avem deci (ABCD)=(ABD)+(BCD).

Dar triunghiurile ABD şi BCD sunt isoscele

având bazele AB şi respectiv BD şi, în urma

calculelor vom avea (ABD)=108 (unităţi de arie)

(BCD)= şi deci aria (ABCD)=108+

(unităţi de arie.).

Problemă. Să se arate că, folosind calculul ariilor suprafeţelor

poligonale şi axiomele ariei ca suma distanţelor unui punct variabil M, situat în

interiorul unui triunghi echilateral, la laturile triunghiului este constantă. Să se

determine această constantă.

Rezolvare.

Fie triunghiul echilateral ABC de latură a. Considerăm N,P,Q picioarele

perpendicularelor duse din M pe laturile

BC, AC respectiv AB ale triunghiului .

Vom avea imediat (ABC)= .

Aplicând axioma A2 vom avea:

(ABC) =(AMB)+(MBC)+(AMC).

Calculând ariile celor trei

triunghiuri AMB, MBC, AMC vom avea:

aMN+aMP+aMQ=(ABC)= , de unde obţinem relaţia:

MN+MP+MQ=(ABC)= .

II.2. Calculul ariilor suprafeţelor poligonale

39


Din definiţiile ariei unei suprafeţe triunghiulare şi a unei suprafeţe

poligonale date în paragraful precedent, vom reţine câteva reguli de calcul

pentru ariile diferitelor suprafeţe poligonale particulare.

Teorema 2.2.1. Dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu catetele c1

şi c2, vom avea: (ABC)= .

Aplicaţie. Să se determine înălţimea unui triunghi dreptunghic având

catetele 30 şi 40 (unităţi de lungime) folosind calculul ariilor.

Rezolvare.

Se calculează aria în două moduri. Notăm cu a

ipotenuza triunghiului şi h înălţimea

corespunzătoare, vom obţine din calculul ariei h=

.

Ca aplicaţie numerica se obţine h=12 .

Teorema 2.2.2. Dacă [ABCD] este o suprafaţă pătratică cu 2 latura a,

aria va fi: (ABCD)= a2.

Demonstraţie.

Vom scrie [ABCD]= [ABC]+[ACD].

Aplicând teorema precedentă triunghiurilor

dreptunghice ABC şi ACD vom avea:

(ABCD)=(ABC)+(ACD) = + =

Teorema 2.2.3. Dacă [ABCD] este o suprafaţă

dreptunghiulară cu dimensiunile a şi b, atunci (ABCD)= ab.

Demonstraţia acestei teoreme se poate face în mai multe moduri. Iată în

continuare două dintre ele.

Demonstraţia 1.

40


Descompunem suprafaţa dreptunghiulară astfel:

[ABCD]=[ABC]+[ACD]. Aplicam pentru aceste triunghiuri rezultatul

teoremei 2. 2. 1. (fiind dreptunghice) şi

vom avea:


Demonstraţia 2. Construim pătratul cu latura a+b vom avea:

[MNPD]=[AMEB]+[ENQB1+[BQPC]+[ABCD] ENQB şi ABCD sunt

dreptunghiuri, deci (ENQB)=(ABCD).

AMEB este un pătrat cu latura a şi deci

(AMEB)=a2.

BQPC este un pătrat cu latura b şi deci

(BQP

C)=b2.

MNPD este un pătrat cu latura a+b şi

deci (MNPD)=(a+b)2.

Cu aceasta, vom avea aşadar:

(a+b)2=a2+b2+2(ABCD) de unde după calculele efectuate ajungem la

relaţia căutată pentru calculul ariei suprafeţei dreptunghiularei [ABCD].

Problema. Laturile unui dreptunghi sunt de 54, respectiv 6 (unităţi de

lungime). Sa se afle latura unei suprafeţe pătratice a cărei arie este egală cu aria

suprafeţei dreptunghiulare.

Rezolvare. Se calculează aria suprafeţei dreptunghiulare şi avem =324

(unităţi de arie). Din formula pentru aria suprafeţei pătratice se obţine a=18

(unităţi de lungime).

Teorema 2.2.4. Fie ABCD un paralelogram având baza AB=a şi DE=h.

Aria suprafeţei [ABCD] poate fi calculată astfel:

41


(ABCD)=ah. (adică produsul unei baze cu înălţimea).

Demonstraţie.

Putem descompune suprafaţa paralelogramului în [ABCD]=[ABD]+[DBC],

unde ABCCDB şi deci

(ABD)=(CDB)= , de unde

obţinem:

(ABCD ) = + = .

Teorema 2.2.5. Aria rombului este jumătate din produsul

lungimilor diagonalelor sale.

Demonstraţie.

Notăm cu d1=AC şi d2=BD. Ţinând

seama de proprietăţile rombului, vom

avea:

[ABCD]=[ABD]+[BCD] şi d1d2.

De aici vom avea:

(ABD)=(BCD )= .

Problema. Să se calculeze aria unui romb având latura de 8 şi o

diagonală de 14.

Teorema 2.2.6. Aria trapezului este jumătate din produsul dintre

înălţime şi suma bazelor.

Demonstraţie.

Fie ABCD un trapez cu bazele BC şi AD. Notăm BC=b1; AD=b2 şi

AE=h; AEBC.

Avem [ABCD]=[ABC]+

[ADC]

42


Cum triunghiurile ABC şi ADC au aceeaşi înălţime (distanţa dintre

bazele trapezului) vom avea:


Consecinţă. BC+AD este dublul liniei mijlocii, prin urmare aria

suprafeţei ABCD se mai poate reţine şi sub forma: aria este egală cu produsul

dintre înălţimea trapezului şi linia mijlocie.

Teorema 2.2.7. Fie A1,A2,…,An un poligon convex regulat, având latura

egală cu l şi apotema ap. Aria suprafeţei poligonale [P] va fi

(P)= , unde am notat P=A1A2...An.

Demonstraţie. (A1A2...An)=(A1A2O)+(OA2A3)+…

+(OA1An)=n(OA1A2)= .

Observaţia 6. Ţinând seama de faptul că nl reprezintă perimetrul

poligonului; reţinem aria ca fiind jumătate din produsul dintre perimetrul şi

apotema poligonului.

Observaţia 7. Dacă numărul laturilor poligonului este par, aria sa este

egală cu jumătatea razei cercului circumscris, înmulţită cu perimetrul

poligonului obţinut unind vârfurile din două în două.

Justificarea acestei afirmaţii este imediată.

Fie n=2k numărul laturilor poligonului P=A1A2...An. Atunci poligonul

P'=A1A3A5 ...An-1 va avea k laturi, iar lungimea unei laturi l1=A1A3=A2An.

43


Pentru două triunghiuri alăturate OA1A2 şi A1AnO ale poligonului P

avem congruenţa OA1A2OA1An, de unde OA1A2An.

În acest caz ariile vor fi (OA1A2)(OA1An)=

De aici rezulta imediat rezultatul din

observaţia 7.

Teorema 2.2.8. Aria unui poligon convex circumscris unui cerc este

egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul său şi raza cercului înscris.

II. 3. Suprafeţe măsurabile. Aria discului

Deşi cercul nu este o figura poligonală, iar discul nu este o suprafaţă

poligonală, totuşi considerăm să introducem aici şi deducerea formulei pentru

calculul ariei discului, având în vedere faptul ca teoria se bazează pe aria

suprafeţei poligonale.

Definiţia 2.3.1. O mulţime se numeşte suprafaţă măsurabilă dacă

există un număr unic notat () mai mare sau egal cu aria oricărei suprafeţe

poligonale incluse în şi mai mic sau egal decât aria oricărei suprafeţe

poligonale care include pe .

44


Definiţia 2.3.2. Se numeşte disc cu centrul în O şi rază R mulţimea:

[(O,R)]=(O,R) Int (O,R).

Definiţia 2.3.2. Se numeşte sector de cerc determinat de arcul al

cercului (O,R), reuniunea segmentelor [OM], unde M .

Teorema 2.3.1. i) Şirul format din ariile poligoanelor regulate convexe

înscrise în cerc, al căror număr de laturi creşte prin dublare,este crescător şi

mărginit superior;

ii) Şirul format din ariile poligoanelor regulate convexe circumscrise

corespunzătoare este descrescător şi mărginit inferior.

Demonstraţie:

i) Fie P=A1A2...An. şi P’=B1B2...Bn două poligoane convexe înscrise,

acesta din urmă fiind obţinut prin unirea fiecărui vârf al poligonului P cu

jumătăţile arcurilor alăturate.

Vrem sa arătam că

(P)<(P’).

Pentru calculul ariilor celor

doua poligoane ne vom folosi de

observaţia 6 si observaţia 7 din

paragraful precedent. Notăm deci

p=perimetrul poligonului P,

ap=apotema poligonului [P]. Vom

avea:

45


(P)= şi (P’)=

Dar cum ap<R avem imediat (P)<(P'), şirul format din ariile

poligoanelor înscrise este monoton strict crescător..

ii) Fie P=A1A2...An şi P'=B1B2...Bn poligoane circumscrise, acesta din

urmă obţinut prin intersecţia a două laturi adiacente ale lui P cu tangentele

duse prin mijloacele arcelor determinate de acestea. Avem (P)= şi

(P’)= . În triunghiul A1MB1, m( )= , avem B1M<A1B1; de aici vom

putea scrie B1B2n<A1N şi 2B1B2n<A1A2 şi deci p>p’.

Avem astfel (P)>(P’)

Am folosit aceeaşi notaţie pentru p şi p’, respectiv perimetrele celor două

poligoane. Putem spune şi aici că şirul format din ariile poligoanelor

circumscrise, obţinute prin celor dublarea numărului de laturi, este monoton

strict descrescător. Pentru a verifica şi proprietatea de mărginire, este suficient

să facem observaţia că aria oricărui poligon înscris este mai mică decât aria

oricărui poligon circumscris. Cu aceasta, teorema este demonstrată.

Teorema 2. 3. 2. Un disc [(O,R)] este o suprafaţă măsurabilă

a cărei arie se calculează astfel:

[(O,R)]=R2.

Demonstraţie Fie P=A1A2...A2n un poligon înscris, P’=B1B2...B2n un

poligon circumscris. Notăm:

şi

46


Din observaţia 7 din paragraful precedent şi din faptul că (P)<(P’)

vom putea scrie:

= (P) <(P’)= . (1)

Dar, din modul de definire a lungimii cercului vom avea:

< < .

Înlocuind în (1) aceasta relaţie vom obţine: şi de aici:

(P)<<(P’) .

Deci numărul R2 verifică condiţiile din definiţia unei suprafeţe

măsurabile.

Să arătam acum că numărul R2 este singurul număr care verifică aceste

condiţii. Considerăm aceleaşi poligoane P=A1A2…A2n înscrise şi P'=B1B2....B2n

circumscrise, pentru care este adevărata relaţia (1 ) .

Conform axiomelor de continuitate exista un număr real unic

x astfel încât:

< x < .

sau, simplificând, avem:

< < .

Dar şi reprezintă perimetrele a doua poligoane oarecare, unul

înscris şi celalalt circumscris; ori din definiţia lungimii cercului, acest număr,

care este mai mare decât perimetrul oricărui poligon înscris şi mai mic decât

perimetrul oricărui poligon circumscris, este tocmai numărul care reprezintă

47


lungimea cercului, adică 2R. Avem deci , de unde se obţine .

Cu aceasta teorema este demonstrată.

Teorema 2. 3. 3. Sectorul de cerc determinat de arcul AB este o

suprafaţă măsurabilă şi aria lui este egala cu:

s=

unde, prin am înţeles măsura arcului AB în grade sexagesimale ,

iar prin măsura arcului AB în radiani. Demonstrarea acestei teoreme este

imediată folosindu-ne de aceleaşi consideraţii ca şi pentru aria discului.

Problema. Se consideră trei semicercuri cu centrele pe aceeaşi dreapta

şi situate în acelaşi semiplan, astfel încât suma diametrelor semicercurilor mai

mici să reprezinte diametrul celui de-al treilea. Să se arate că suprafaţa plană

cuprinsă între cele trei semicercuri au aceeaşi arie cu discul cu diametrul egal

cu tangenta comună celor două semicercuri mai mici.

Rezolvare. Considerăm AC=2a; BC=2b şi notăm ariile celor două

semicercuri cu diametrele AC şi BC cu 1= a2 şi 2= b2, iar aria semicercului

cu diametrul AB cu 3= (a2+b2).

Aria suprafeţei plane cerute este = 1 + 2 + 3= ab.

Din trapezul dreptunghic NMO1O2 avem NO2=b, MO=a, O1O2 = a+b şi

deci MN2 = O1O22 - (MO1 – NO2)2 = (a+b)2 - (a - b)2 = 4ab.

De aici MN =2 , iar aria discului cu diametrul MN este ab.

48


Observaţie. Fie D punctul de pe semicercul cu diametrul AB astfel ca

CD să fie tangenta comună a celor două semicercuri mai sus considerate

(cercurile mici). Suprafaţa haşurată aceeaşi din problema precedenta (şi

cunoscută sub numele de secera lui Arhimede) este echivalentă - are aceeaşi

arie cu discul de diametrul (CD).

Într-adevăr , [(O3, DO3)] =DO32 , dar ADB este dreptunghic, cu

unghiul drept D şi aplicând teorema înălţimii vom avea DC=2 . Cu aceasta,

[(O3, DO3)] = ab.

II.4. Compararea ariilor

Teorema 2.4.1. Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal

cu pătratul raportului de asemănare.

Demonstraţie. Fie ABC şi A'B'C' două triunghiuri asemenea:

49


Vom arăta că:

Considerăm ADBC şi A’D’B’C’. Se formează astfel perechile de

triunghiuri asemenea ABD A'B'D' şi ADCA'D'C'. Rezultă deci

Dar (ABC)= , (A’B’C’)= şi vom putea scrie:

Consecinţa. Raportul ariilor a două suprafeţe poligonale asemenea este

egal cu pătratul raportului de asemănare.

Observaţie 8. La poligoanele regulate, raportul de asemănare este egal cu

raportul razelor cercurilor circumscrise, cu raportul razelor cercurilor înscrise

sau cu raportul apotemelor lor. Avem astfel:

Problema. Într-un triunghi se duce o paralelă la o latură la 5/8 de vârf din

înălţime. Care este aria triunghiului dat dacă aria celui din interior este de 75?

50


Rezolvare. Fie ABC cu înălţimea AD şi MN paralela la BC,

(MN)(AD)={O}.

Avem: .

Aplicând teorema 2.4.1. vom avea:

de unde, după înlocuire obţinem

(ABC)=192.

Problema. Să se descompună o suprafaţă

triunghiulară în trei

suprafeţe de aceeaşi arie, prin

paralele la o latura a

triunghiului.

Rezolvare.

Presupunem problema

rezolvată şi fie triunghiul ABC

în care considerăm ADBC, MN//BC, PQ//BC şi (MN)(AD)={E},

(PQ)(AD)={F}. Vom avea:

(AMN)=(MPQN)=(PBCQ) şi deci

(AMN)=(MPQN)=(PBCQ)=

Aplicând teorema 2. 4. 1. pentru triunghiurile AMN si ABC, respectiv

APQ şi ABC vom obţine:

, de unde sau AE= AD.

, de unde sau AF= AD.

51


Teorema 2.4.2. Raportul ariilor a două triunghiuri care au un unghi

congruent (sau suplementar) este egal cu raportul produselor laturilor care

cuprind acest unghi.

Vom deosebi două cazuri.

Cazul 1. Triunghiurile au un unghi congruent. Fie pentru aceasta ABC

cu înălţimea CH şi A’B’C’ cu înălţimea C’H’; B(AB’), C(AC’). Avem:

(ABC)= , (AB’C’)= .

Dar CHAB, CH'AB' şi deci

ACH ACH’.

De aici vom avea:

şi vom putea scrie:

Cazul 2. Triunghiurile au un unghi suplementar. Fie pentru aceasta

ABC şi A’B’C’ cu A(BB’), C(AC’) şi fie CHAB, CH’AB’

(înălţimile celor două triunghiuri). Din

AHCAH’C’ avem:

.

Pe de alta parte putem scrie:

52


Cu aceasta teorema este demonstrată.

Teorema 2.4.3. Doua poligoane aditiv echivalente au aceeaşi arie.

Demonstraţia este imediată, dacă ţinem seama de definiţia echivalentei

aditive şi de axiomele ariei.

Teorema 2.4.4. Două poligoane echivalente prin complement au aceeaşi

arie

Demonstraţie. Fie [P] [P']. Atunci există poligoanele R şi Q cu

proprietăţile: [R][Q] şi [P] [P’]+[Q]. (1)

Aplicând acum teorema 2.4.3. şi axioma ariei avem:

(P)+(R)=(P’)+(Q).

Dar (R)=(Q), de unde găsim (P)=(P’). Din cele de mai sus putem

formula o singură teoremă care leagă cele două relaţii de echivalenţă .

Teorema 2.4.5. Două poligoane care se află în aceeaşi relaţie de

echivalenţă au aceeaşi arie. Această afirmaţie ne conduce la studiul teoremei

reciproce.

În capitolul precedent am arătat că două triunghiuri care au baze şi

înălţimi egale sunt echivalente (teorema 1.2.4). De asemenea o echivalenţă

absolută nu se poate stabili fără să introducem axiomele ariilor, respectiv

axioma lui Arhimede.

lată în continuare, câteva rezultate care fac legătura între poligoane cu

aceeaşi arie şi poligoane echivalente.

Teorema 2.4.6. Fie a şi h, respectiv a’, h’ bazele şi înălţimile a două

paralelograme. Dacă ah = a’h’,

atunci cele două paralelograme

sunt echivalente prin complement.

53


Demonstraţie. Fie dd' şi dd' ={O}. Alegem pe d segmentele OC =

a, OE = a', O(CE) şi pe d’ segmentele OA=h şi OD=h', O(AD).

Ducem prin A,E,C,D paralele la dreptele d respectiv d', obţinând dreptunghiul

BHFG. Din ah = a’h’, avem sau

Dar OD=h’, FG=h+h’, HD=OC=a şi HF=a+a’. Deci şi de aici

HDOHFG de unde putem spune că O(HG).

Prin urmare [ABCO] si [DFEO] sunt echivalente prin complement în

baza problemei din capitolul precedent.

Observaţie 9. Ţinând seama de calculul ariei unui paralelogram, teorema

precedentă poate fi formulată şi astfel: două paralelograme care au aceeaşi arie

sunt echivalente prin complement (sau aditiv echivalente).

Consecinţa 1. Două dreptunghiuri care au aceeaşi arie sunt echivalente.

Consecinţa 2. Orice paralelogram având baza a şi înălţimea h este

echivalent cu un dreptunghi având o latura 1 si cealaltă latura ah/1.

Teorema 2.4.7. Fiecare poligon simplu este echivalent prin complement

cu un dreptunghi de latura dată.

Demonstraţie. În baza exemplului 2 din capitolul precedent, orice

triunghi este echivalent cu un paralelogram.

Notăm baza şi înălţimea acestui paralelogram cu a şi h. În baza

consecinţei 2 şi teoremei 2.4.6., acest paralelogram este echivalent cu un

dreptunghi, având o latură dată 1 şi cealaltă latura ah/1. Deci, pentru triunghi

este adevărată teorema.

Să consideram un poligon. El poate fi descompus în triunghiuri. Fiecare

din aceste triunghiuri este echivalent cu un dreptunghi cu o latura egală cu 1.

Aşezăm unul lângă altul aceste dreptunghiuri cu laturile lor egale; se obţine

astfel un dreptunghi echivalent cu un poligon dat.

54


Consecinţă. Orice poligon simplu este echivalent prin complement cu

un dreptunghi având aceeaşi arie cu un poligon dat.

Teorema 2.4.8. Dacă două poligoane simple au aceeaşi arie, ele sunt

echivalente prin complement.

Demonstraţie. Fie P1 şi P2 cele două poligoane pentru care (P1)=(P2).

În baza consecinţei teoremei 2.4.7., fiecare este echivalent cu un dreptunghi

având aceeaşi arie. Fie deci D1 şi D2 cele două dreptunghiuri cu (D1)=(D2) .

Dar, conform consecinţei 1 a teoremei 2.4.6. cele două dreptunghiuri

sunt echivalente şi deci, în baza tranzitivităţii relaţiei de echivalenţă, avem

echivalenţa celor două poligoane.

Teorema 2.4.9. Două triunghiuri echivalente prin complement ce au

bazele egale au şi înălţimile egale.

Demonstraţie. Fie a baza comună. Conform teoremei 2.4.3. aceste

triunghiuri au aceeaşi arie. Notam h respectiv h’ înălţimile celor două

triunghiuri. Avem şi de aici h = h’.

Teorema 2.4.10. Dacă două triunghiuri au aceeaşi bază şi aceeaşi arie,

sunt aditiv echivalente.

Demonstraţie. Fie T1 şi T2 cele două triunghiuri pentru care avem

(T1)=(T2) şi fie baza comună. Din relaţia pentru arii obţinem: , de

unde h = h’.

In baza consecinţei exemplului 2 din capitolul precedent, fiecare triunghi

este echivalent cu un dreptunghi de laturi a şi n/2. Cum aceste dreptunghiuri

sunt congruente şi relaţia de echivalenţă este tranzitivă, rezultă aditiv

echivalenţa triunghiurilor.

Teorema 2.4.11. Dacă două triunghiuri au aceeaşi arie

atunci sunt aditiv echivalente sau echivalente prin complement.

55


Demonstraţie. Fie ABC şi A'B'C cele doua triunghiuri având

(ABC) = (A'B'C' ) .

Cazul 1 . Dacă o latură a triunghiului ABC este congruentă cu o latura a

triunghiului A'B'C', teorema este demonstrată prin teorema 2.4.10.

Cazul 2. Fie (A’C’)>(AC). Considerăm ABC cu baza BC şi D(BC) cu

ADDB; fie E (AC), AEEC.

Considerăm în continuare F(DE) cu CF= , M(CF), F(MC) cu

MCA’C’. Notăm cu {I}=BMDE, deci IF//BC.

Fie BNID. Avem:

(BMC)= =BCBN=(BNHC)=(ABC).

Dar (ABC)=(A’B’C’) şi deci vom avea (MBC)=(A’B’C’) şi în

plus, cele două triunghiuri au aceeaşi bază A’C’=MC.

În baza teoremei 2.4.10. avem [BMC] [A’B’C’] de unde

[ABC] [A’B’C’].

În baza celor afirmate mai sus putem da teorema următoare:

Teorema 2.4.12. Două poligoane sunt echivalente dacă şi numai dacă au

aceeaşi arie.

Problema. Cunoscând că la un trapez baza mare este de 40, baza mică de

28 şi înălţimea de 12, să se calculeze ariile triunghiurilor care se formează prin

prelungirea laturilor neparalele ale trapezului.

56


Rezolvare. Fie ABCD trapezul dat, {M}=ABCD şi MFBC,

{E}=MFAD. Avem: MADMBC, de unde putem scrie:

.

Din teorema 2.4.1. avem:

(2)

Dar (MBC)=(MAD)+(ABCD).

(3)

Aria trapezului ABCD se

poate calcula şi vom obţine

(ABCD)=408. Din relaţiile (2) şi

(3) se obţine astfel: (MAD)=245 şi (MBC)= 163.

Problema . Să se demonstreze că triunghiurile formate pe laturile

neparalele ale uni trapez cu vârful comun pe dreapta ce uneşte mijloacele

bazelor sunt echivalente.

Rezolvare.

Fie trapezul ABCD, fie M, N mijloacele bazelor AD, respectiv BC,

OInt(ABCD) şi OEAD, OFBC. Avem:

(ABNM)=(MNCD) (4) şi de asemenea :

57


(OAM)= =(OMD)

(ONB)= =(ONC).

Din aceste relaţii şi din (4) vom avea :

(OAB)=(ABNM)-(ONB)=(MNCD)+(OMD)-(ONC)=

=(ODC),

deci triunghiurile OAB şi OCD sunt echivalente având aceeaşi arie.

CAPITOLUL III.

ASPECTE METODICE PRIVIND PREDAREA GEOMETRIEI

ÎN GIMNAZIU

III.1. Aspecte psiho-pedagogice ale predării geometriei în gimnaziu

Formarea conceptelor geometrice ridică probleme de ordin

psihologic şi pedagogic deosebite. Procesul prin care se ajunge la

conceptele geometrice abstracte, ca entităţi mintale, este un proces

complex şi îndelungat. El începe odată cu primele percepţii şi imagini

şi abia spre vârsta de 11-12 ani se conturează entităţile mintale

desprinse de suportul material, senzorial, care 1-a generat.

În această etapă, a gândirii formale, elevul poate efectua operaţii

asupra unor propoziţii admise ipotetic adevărate, fără a fi verificat

veridicitatea lor printr-o operaţie concretă. Presupunem că dreptele d 1 şi

58


d2 sunt paralele fără a verifica această presupunere printr-o activitate

practică. Aceste posibilităţi nu apar spontan, ca o consecinţă automată a

sporirii numărului de achiziţii ce trebuie cultivate, exersate.

Deducem aşadar că operaţiile logico-deductive se situează pe un

alt plan decât cel al raţionamentului concret, deoarece sunt operaţii cu

concepte abstracte din realitate.

Sintetizând principalele aspecte ale dezvoltării stadiale a

inteligenţei şi gândirii copilului, ca şi relaţia dintre structurile

operatorii ale gândirii, Jean Piaget conclude: "In realitate, daca studiul

matematic se bazează pe structuri care de altfel corespund structurilor

inteligentei», înseamnă că tocmai pe o organizare progresivă a acestor

structuri operatorii trebuie bazată didactica matematicii." Ori, psihologic,

operaţiile derivă din acţiuni, care interiorizându-se se coordonează în

structuri.

Din citatul de mai sus reţine atenţia două aspecte:

1) dezvoltarea progresivă a inteligenţei face posibil studiul geometriei

bazată pe demonstraţii numai pe un anumit palier al acestei dezvoltări .

2) principiul intuiţiei îşi păstrează o valoare didactica de necontestat.

Cu privire la primul aspect sunt posibile două întrebări:

a) poate fi corelată aceasta dezvoltare ?

b) ce s-ar întâmpla dacă, fără a fi atins acest stadiu, încercăm

să-i învăţăm pe elevi geometria bazata pe demonstraţii ?

Ne interesează, în mod deosebit, răspunsul la a doua întrebare.

O astfel de încercare cu siguranţă va favoriza handicapul şcolar. Un

răspuns mai edificator , la aceasta întrebare ni-1 dă Freudeuthal spunând: "Intr-

o zi copilul se va întreba "de ce" şi este de folos să începem geometria

sistematică înainte ca acel moment să fi venit. Ba mai mult, i-ar putea dăuna cu

adevărat Dacă am căzut de acord asupra predării geometriei ca un mijloc de a-i

59


face pe copii să simtă forţa spiritului omenesc a propriului lor spirit, nu trebuie

să-i lipsim de dreptul de a face ei însăşi descoperiri. Cheia geometriei este

expresia "de ce". Numai ucigaşii de bucurii vor înmâna cheia mai devreme”.

Scopul tuturor achiziţiilor geometrice ale elevilor din clasele I-V trebuie

să fie pregătirea, prefigurarea abilităţilor specifice etapei gândirii formale.

Aceasta presupune necesitatea pregătirii elevului pentru a descoperii

perfecţiunea raţionamentului geometric.

Cu privire la principiul intuiţiei, în geometrie, sunt necesare câteva

precizări. Intuiţia geometrică este o intuiţie activă, nu o simplă imagine, o urmă

senzorială a obiectelor percepute. Ea este o imagine mintală, "interiorizată",

construită printr-o activitate perceptivă.

Aceasta etapa a gândirii formale, poate fi atinsă numai atunci când

elevul îşi poate forma concepte, deoarece el nu va supune unor operaţii logice

obiectele materiale pe care le-a cercetat (desenele geometrice), ci conceptele

abstracte pe care şi le-a format .

Conceptele geometrice fiind abstracţiuni, în ele nu reţinem imaginea

concretă a obiectelor, aşa cum am perceput-o senzorial ci ideea care rămâne

prin abstragerea proprietăţilor comune, generale şi esenţiale, îmbinate într-o

unitate în plan mintal.

Conceptele geometrice sunt reflectări idealizate ale unor proprietăţi de

spaţialitate ale obiectelor şi fenomenelor lumii reale. De exemplu, conceptul de

poliedru nu cuprinde nici o referire la forma feţelor, la măsura diedrelor care

apar. Acestea (dimensiunile date) nu sunt proprietăţi comune tuturor poliedre-

lor. La baza formaţii acestui concept stă, însă cercetarea unor obiecte reale,

desprinderea de către elevi a proprietăţilor lor pur spaţiale. El trebuie să

neglijeze natura materialului, culoarea etc. şi să desubstanţializeze aceste forma

până la a obţine entităţi mintale, de o perfecţiune care nu este posibilă decât pe

un plan mintal.

60


Elevul operează cu noţiuni şi concepte la toate disciplinele de

învăţământ. Formarea conceptelor geometrice spre deosebire, de cele din

ştiinţele naturii, are o anumită specificitate sau, cu alte cuvinte, există o

deosebire între o experienţă fizică şi una logico-matematică. În timp ce la

ştiinţele naturii, concluziile desprinse din efectuarea unor raţionamente se

supun unor verificări prin experienţe cu substanţe sau obiecte, la geometrie se

supun unor cercetări, abstracţiuni, entităţi ce au o perfecţiune care nu poate

exista decât în mintea noastră. De asemenea, după efectuarea unor generalizări

sub forma de concepte, formule, teoreme, reguli, acestea vor fi aplicate asupra

unor abstracţiuni.

Un concept geometric nu se poate crea spontan, el se formează în cursul

unui proces psihic asupra căruia îşi pun amprenta imaginaţia, creativitatea,

puterea de generalizare şi abstractizare, deci fiecare din ele are o "istorie de

formare".

O altă caracteristică a conceptelor geometrice constă în aceea că ele

formează sisteme ierarhice şi nu sunt entităţi mintale izolate. Unele au un grad

mai mare de generalitate iar altele mai restrâns. Conceptul de triunghi, spre

exemplu, care reflectă ceea ce este general pentru această întreaga clasă de

figuri geometrice este mai general decât cel de triunghi isoscel, echilateral,

dreptunghic, etc.

Operaţiile cu conceptele geometrice se realizează întotdeauna pe plan

mintal. Din aceasta cauza nu vom confunda secţionarea reală a unui cub

(tăierea efectivă) cu determinarea secţiunii deoarece uneori nici nu vom face

acest lucru, ci doar ni-1 vom imagina. O secţiune într-un corp geometric la

clasa a VIII-a va fi doar intuită, ea va fi determinata din raţionamente, vom

demonstra că aceasta este triunghi, paralelogram, trapez, etc.

Toate aceste forme pure vor fi situate de elevi într-un spaţiu idealizat

obiectiv, ale cărui submulţimi vor fi figurile geometrice. Această idee, de spaţiu

61


obiectiv, apare numai atunci când copilul îşi dă seama de independenţa poziţiei

unor corpuri faţă de altele sau de poziţia sa.

Pentru copil există un "spaţiu grafic", acesta fiind spaţiul ce prezintă

anumite particularităţi. Spaţiul grafic al copilului adică peretele, tabla, foaia de

hârtie reprezintă pentru el un mediu al desenelor" , al figurilor desenate, cu

două dimensiuni în care, pentru a o reprezenta şi pe cea de a treia dimensiune a

corpurilor se recurge la artificii.

Treptat, elevul învaţă să-şi utilizeze acest spaţiu, să-1 identifice pe cel al

tablei, cu cel al foii de caiet. El trebuie să identifice figura de pe spaţiul tablei

cu cea de pe caiet.

Profesorul trebuie sa cunoască evoluţia acestor concepte la copil

precum şi unele referiri filozofice în legătură cu aceasta. Kant afirma că:

"geometria este o ştiinţă care determină însuşiri ale spaţiului în mod sintetic şi

aprioric." Ce trebuie să fie reprezentarea spaţiului ca o atare cunoaştere despre

el sa fie posibilă? El trebuie să fie din capătul locului, intuiţie, căci dintr-un

simplu concept nu se pot scoate propoziţii care-l depăşesc, ceea ce se întâmplă

doar în geometrie.

Figura geometrică apare pentru elevii clasei a VI-a în doua ipostaze:

1) ca reflectare idealizată a unor proprietăţi spaţiale pure;

2) ca posibilitate de concretizare a unor concepte.

Deci, figura geometrică apare atât in procesul de trecere de la concret la

abstract cât şi în procesul de trecere de la concept la imagine, de la concept la

ceea ce numim concept figural.

La nivelul clasei a VI-a elevii nu trebuie să confunde figura geometrică

cu desenul geometric. Figura geometrică este, pe de o parte, o entitate abstractă,

care reflectă, asemenea oricărui concept o proprietate pură, idealizată, iar pe de

altă parte, o entitate mintală intuitivă. Cu ajutorul ei ne intuim conceptele. În

cursul rezolvării problemelor nu ne putem dispensa de aportul figurii

62


geometrice, ci ne folosim de ea pentru a reprezenta simplificat unele operaţii

mintale.

Dacă elevii cu care începem studiul sistematic al geometriei, respectiv

cei din clasa a VI-a, nu şi-au format conceptele geometrice (de punct, dreapta,

segment, unghi) ca entităţi mintale, confundând figura geometrică cu desenul

geometric, atunci poate apărea următoarea contradicţie: profesorul supune

unor operaţii logico-educative figurile geometrice, conceptele figurale, în timp

ce elevul încearcă să aplice aceste operaţii unor desene, să se situeze într-o

pregeometrică grafică.

În procesul de substanţializare a figurilor geometrice, distingem în

gimnaziu următoarele etape:

1) interpretarea grafică în care figura geometrică este o figură desenată;

proprietăţile ei sunt proprietăţile desenului;

2) interpretarea conceptuală în care ea este un mijloc de intuire a unui concept

având toate atributele acestuia.

În predarea geometriei o atenţie deosebită trebuie să se dea şi

simbolurilor, notaţiilor, convenţiilor de desen, de reprezentare, de redactare

simbolică a unui raţionament.

Deoarece toate cunoştinţele, cu excepţia celor din primul capitol

intitulat "Introducere intuitiva", constituie o disciplină integral deductivă,

neînţelegerea unei verigi generează dificultăţi din ce în ce mai mari, astfel încât

elevul în acea verigă îşi pierde încrederea în corectitudinea raţionamentelor

sale. Este necesar ca profesorul să sesizeze la timp acea verigă, să urmărească

ierarhizarea conceptelor geometrice, procesele psihologice implicate în

formarea lor.

III.2. Aspecte metodice privind predarea noţiunii de arie in gimnaziu

63


Noţiunea de arie a unei suprafeţe nu este o noţiune nouă pentru elevii

clasei a VII-a, deoarece în clasa a IV-a şi a V -a elevii au calculat pe baza unor

formule date, aria triunghiului, pătratului, dreptunghiului, rombului, trapezului.

Prin exerciţii şi probleme cu aplicaţii practice rezolvate elevii au observat că

unele suprafeţe au întinderi mai mari decât altele deci şi aria lor este mai mare

- astfel se pune problema definirii noţiunii de arie şi sublinierea proprietăţilor

ei plecând de la a compara "întinderile" unor suprafeţe poligonale.

Elevii cunosc compararea suprafeţelor poligonale prin suprapunere, dar

aceasta comparare nu este întotdeauna posibilă. În acest sens este necesar să

prezentăm elevilor două dreptunghiuri cu dimensiunile (de ex.: de 6 cm şi 8

cm, respectiv de 4 cm şi 12 cm), despre care elevii văd că au aceeaşi arie dar

prin suprapunere nu coincid.

În vederea introducerii noţiunii de arie am pornit de la următoarele

precizări:

1 ) reamintesc elevilor ce este un poligon cerându-le să recunoască şi să

deseneze o linie poligonală convexă;

2) introduc noţiune de interior a unui poligon convex;

3) voi insista mai mult asupra poligoanelor convexe.

Astfel, am introdus noţiunea de suprafaţă poligonală convexă, ca fiind

reuniunea mulţimii punctelor unei linii poligonale convexe şi a celor

interioare, ei.

Am insistat asupra descompunerii unei suprafeţe poligonale convexe în

triunghiuri fie prin ducerea diagonalelor, fie prin unirea unui punct din

interiorul poligonului cu vârfurile acestuia (fig.3.1.).

64


Figura 3.1.

Voi cere elevilor să descompună aceeaşi suprafaţă poligonală convexa

în mai multe moduri. Pentru a rezolva problema comparării întinderilor unor

suprafeţe poligonale este necesar să ataşăm fiecărei suprafeţe câte un număr

real. Astfel aceste numere le putem compara, deci se pune problema găsirii

unui procedeu prin care, fiecărei suprafeţe poligonale considerate să-i

corespunda un număr real care să îndeplinească anumite condiţii.

La baza justificărilor instructive a formulelor ariilor, la început a stat

presupunerea ca aria unui pătrat de latura 1 este 1 .Acoperind apoi, un pătrat de

latura a cu pătrate de latura 1, putem demonstra ca aria acestuia este a2.

Demonstrarea ultimei propoziţii ridică probleme deosebit de dificile în cazul în

care a este număr iraţional. De aceea pornind de la faptul că toate poligoanele

se pot descompune nu în pătrate, ci în triunghiuri pentru calculul ariilor trebuie

să pornim de la aria triunghiului.

Aria triunghiului este prin definiţie jumătatea produsului dintre o latură

şi înălţimea corespunzătoare ei. Demonstrând că produsul dintre o latură a unui

triunghi şi înălţimea corespunzătoare ei este acelaşi, oricare ar fi o latură şi

înălţimea corespunzătoare ei, înseamnă că putem face ca fiecărui triunghi din

plan să-i corespundă un număr real şi numai unul egal cu jumătatea produsului

dintre lungimea unei laturi şi înălţimea corespunzătoare ei.

Bineînţeles, elevii pot pune întrebarea de ce aria unui triunghi este

jumătatea produsului dintre lungimea unei laturi şi înălţimea corespunzătoare.

În acest sens vom construi o funcţie arie raportata la nivelul de cunoştinţe al

elevilor evidenţiind proprietăţile ei.

65


1) Pornind de la definiţia ariei triunghiului şi de la faptul că lungimile

laturilor sunt numere reale pozitive, deducem ca aria triunghiului este un

număr real pozitiv. Aria unui triunghi este un număr pozitiv .

2) Fie două triunghiuri congruente ABC şi A'B'C' cu înălţimile AD şi A'D' ,

corespunzătoare laturilor BC respectiv F'C' (fig.3.2). Din congruenţa

triunghiurilor rezultă că înălţimile corespunzătoare sunt congruente, deci :

[AD][A'D']

[BC][B'C'] , rezulta că

Figura 3.2.

Deci triunghiurile congruente au arii egale. Adică din ABC A'B'C '

rezultă (ABC) = (A'B'C' ).

3) Fie ABM şi AMC două triunghiuri rezultate prin descompunerea

transversală a triunghiului ABC, ducem înălţimea AD şi avem:

(ABM) = ; (AMC) = . Dar

(ABC) = =(ABM)+(AMC).

Deci: (ABC) =(ABM)+(AMC).

66


Figura 3.3.

4) Fie ABC un triunghi cu o latură de lungime 2 şi înălţimea co-

respunzătoare de lungime 1 (unităţi de lungime). Deci aria triunghiului este

egala cu 1. (unităţi de arie). In concluzie putem spune ca pe mulţimea

suprafeţelor triunghiulare este definită o funcţie cu valori în mulţimea

numerelor reale pozitive care îndeplineşte toate proprietăţile unei funcţii arie:

proprietatea de pozitivitate, congruenţă, aditivitate, exista un triunghi a cărui

arie este egală cu unitatea .

Pe baza ariei triunghiului putem defini aria unui patrulater oarecare şi

să demonstrăm ariile dreptunghiului, pătratului, paralelogramului, trapezului,

etc.

Plecând de la faptul că orice poligon convex se poate descompune în

triunghiuri vom defini aria unui patrulater ca fiind suma ariilor triunghiurilor

descompunerii.

Pentru a demonstra aceasta descompunere este necesar ca la elevii

ciclului gimnazial să pornim de la ducerea diagonalelor.

Dacă ABCD este un poligon convex, atunci

(ABC)+(ADC) =(BCD)+(ABD).

67


Figura 3.4.

Dacă AC şi BD sunt diagonalele paralelogramului şi O punctul de

intersecţie, pe baza proprietăţii de aditivitate avem că:

(ABC)+(ADC) =(AOB)+(BOC)+(AOD)+(DOC)=

=(BOC)+(DOC)+(AOB)+(AOD) =(BCD)+(ABD).

Introducem definiţia ariei unui patrulater convex.

Definiţia 3. 2. 1. Aria unui patrulater convex ABCD este numărul

(ABCD)=(ABC)+(ADC).

Putem trece la definirea ariei patrulaterelor particulare, demonstrând

următoarea lemă:

Lema: Dacă triunghiul A'BC are vârful A’ pe paralela prin A la BC,

atunci, (ABC)=(A’BC) (fig.3.5.).

(ABC)=

(A’BC)= , unde M şi M’

sunt înălţimile corespunzătoare

laturii BC duse din A respectiv A’. Dar

[AM][A'M'], deci (ABC)=(A’BC).

Figura 3.5.

Deci distanţa de la punctul A de pe dreapta a la dreapta d (a // d) este

aceeaşi pentru toate punctele Aa.

Introducem în continuare formula

calculului ariei unui paralelogram.

Fie ABCD un paralelogram

unde AD este paralelă şi

68


congruentă cu BC, deci triunghiul ACB este congruent cu triunghiul ACB,

deci ele au ariile egale. Figura 3.6. Atunci aria paralelo-

gramului este:

(ABCD)=2(ABC)= 2 =

Deci aria unui paralelogram este egală cu produsul dintre o latură a sa şi

înălţimea corespunzătoare ei.

Aria pătratului, a dreptunghiului, a rombului rezultă ca şi consecinţă, ele

fiind paralelograme particulare, ţinând seama de construcţia unei diagonale

(triunghiulare).

In scopul consolidării noţiunii de arie a unor poligoane, a proprietăţii

funcţiei arie este necesar să rezolvăm o serie de probleme prin care să punem în

evidenţă faptul că suma ariilor triunghiurilor în care un poligon este împărţit

este aceeaşi oricare ar fi această împărţire (triunghiurile fiind disjuncte),

precum şi alte tipuri de probleme.

III.3. Probleme cu arii

Problema 1. Definiţi aria unui patrulater concav ca diferenţă a ariilor a

două triunghiuri. Aveţi nevoie de vreo lemă în prealabil? (figura 3.7.).

Rezolvare:

Unim pe A cu C şi ducem dreapta BD care

intersectează pe AC în M. Triunghiurile ABM şi

BMC cu latura comună BM şi AM şi MC în

prelungire. Pe baza proprietăţii de aditivitate a

ariilor triunghiurilor obţinem:

(ABC)=(ABM)+(BMC). (1)

69


Dar (ABM)=(ABD)+(AMD). (2)

Figura 3.7. Analog (BMC) =(BCD)+(MDC).

(ABC)=(ABD)+(AMD)+(MDC)+(BDC) sau

(ABC) - (ACD)=(ABD)+(BDC).

Lema respectivă este: Dacă D este vârful interior triunghiului determinat

de cele trei vârfuri A,B,C atunci (ABC) - (ACD)=(ABD)+(BDC).

Patrulaterul fiind concav, totdeauna un vârf este interior triunghiului

determinat de celelalte vârfuri ale sale.

Observaţia 1 Dacă ABCD este un patrulater concav şi punctul D este

interior triunghiului determinat de vârfurile ABC, numim aria patrulaterului

ABCD diferenţa (ABC) - (ABD).

Problema 2. Dacă ABCD este un patrulater convex şi M un punct

interior laturii AB, să se arate că: (ABCD)=(MBCD)+(AMD).

Rezolvare.

(ABCD)=(BDC)+(ABD)+(ABD) =

=(BDC)+(MBD)+(AMD) =

=(MBCD)+(AMD).

Figura 3.8.

Problema 3. Fie patrulaterul convex ABCD, M

şi N două puncte interioare laturilor AB şi DC. Să se arate că:

(ABCD)=(AMND)+(MNCB).

Rezolvare.

(ABCD)=(AMD)+(DCMB) (1)

(MBCD) = (MND)+(MNCB) (2)

Figura 3.9.

Atunci (ABCD)=(AMD)+(MND)+(MNCB). În patrulaterul MNDA avem:

70


(ABCD) =(AMD)+(MND)+(MNCB)=(MNDA)+(MNCB).

Propun elevilor problema următoare: Fie ABCD un patrulater convex,

M(AB); N(BC) ; P(DC); Q(AD). Să se demonstreze că:

(ABCD) =(MNPQ)+(BMN)+(CNP)+(PDQ)+(AQM).

Observaţie: Problema propusă este o extindere a problemei 3.

Problema 4. Definiţi aria unui pentagon. În cazul acestei probleme

trebuie să demonstram înainte o lemă.

Lema. Fie pentagonul convex ABCD. Ducem oricum o diagonală şi

pentagonul se descompune într-un patrulater şi un triunghi a căror sumă de arii

este constantă (figura 3.10.). Aceasta constantă o numim aria pentagonului

convex.

Figura 3.10.

Ducem EC o diagonală, iar din extremităţile lui EC ducem o diagonală

EB. În acest caz avem:

(EDC) +(ABCE)=(EDC)+(ECB)+(EBA)=(EDCB)+(EBA).

Deci lema este demonstrată.

Problema 5. Să se calculeze aria unui triunghi în funcţie de măsurile a

două laturi şi a unghiului dintre ele.

71


Rezolvare.

Fie AB = c, AC=b, m( ) =c’ (figura 3.11.).

Avem:

(ABC)= , dar sin A= ,

Deci CD = ACsin A.

Atunci (ABC)=

.

Figura 3.11.

Problema 6. Să se construiască un triunghi de aceeaşi arie cu un patrulater

ABCD (figura 3.12.)

Rezolvare. Fie CE // BD; CEAD={E}. Vom

avea (BDC)=(BDE).

(ABCD)=(ABD)+(BDC)=

=(ABD)+(BDE)=(ABE).

Figura 3.12. Deci

ABE este triunghiul căutat.

Folosind noţiunea de arie putem demonstra în cadrul cercului de

matematică cu elevii mai talentaţi şi interesaţi în studiul matematicii teoreme

importante din geometrie plană (teorema lui Pitagora, teorema fundamentală a

asemănării, teorema bisectoarei, formula lui Heron).

Problema 7. Pătratul construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic

este echivalent cu suma pătratelor construite pe catete.

72


Observaţie. Dacă notam laturile triunghiului ABC cu BC = a, AC = b, AB = c,

problema de mai sus duce la relaţia a2=b2+c2 , adică bine cunoscuta teoremă a

lui Pitagora. (figura 3.13).

Demonstraţie.

Considerăm triunghiul ABC

dreptunghic în A şi suprafeţele

pătratice [AEDC] şi [BGKC]

construite astfel: B(AE), deci

latura pătratului BGKC are latura

egala cu a. Unim pe D cu K şi ducem

prin Q perpendiculare pe DE şi AB.

Fie F şi H respectiv picioarele

acestor perpendiculare.

Figura 3.13.

În aceste condiţii avem ABCDKC, deci (ABC)=(DKC). Tot din

congruenţă avem FG = c şi (EHGE)=a2.

De asemenea mai notăm (AEDC) = b2, (BCKG)=a2, (ABC)= .

Conform axiomei de aditivitate vom avea:

a2=(BCKG) =(CDK) +(FKG) +(FGM) +(BCDM)=

=(BCDM) +(FMG) +(BGH) +(ABC)=

=(BCDM) +(FMG) +(BEM) +(EMGH)+(ABC)=

=(ACDE)+(FEHG)=b2+c2, adică ceea ce trebuia demonstrat.

Observaţie. Aşa cum am demonstrat teorema lui Pitagora cu ajutorul

ariilor pot fi demonstrate si celelalte teoreme cunoscute (a catetei, a

înălţimii).

73


Problema 8. Fie d1,d2,d3 trei drepte paralele, cu transversalele comune s

şi s' care le intersectează în punctele A,B,C respectiv A', B',C'. Atunci avem:

(teorema fundamentala a asemănării).

Demonstraţie. Consideră mai întâi cazul când cele doua transversale se

intersectează în Ad1. ( figura 3.14.).

Fie CHd2, C'H'd2, BEs'. Din

ipoteza d2 // d3 avem CH=C'H'.

În acest fel

( BCB’ )=(BC'B' ) (1)

Triunghiurile ABB' şi BB'C' au

aceeaşi înălţime. Putem deci scrie:

Figura 3.14

(2)

Analog vom obţine:

Din relaţiile (1), (2), (3), vom obţine:

Pentru cazul general, considerăm s’//s’’ aşa încât As’’. Pentru

transversala s’ şi s’’ se poate folosi cazul precedent, deci:

74


dar A’B’’=AB’, B’’C’’=B’C’ deoarece laturile opuse într-un paralelogram sunt

egale (ca lungimi) şi obţinem: ceea ce trebuia demonstrat.

Problema 9. Fie triunghiul ABC şi AD, bisectoarea unghiului A, D(BC) .

Atunci : (teorema bisectoarei).

Demonstraţie. Pentru ABD şi ADC se

poate aplica teorema 2.4.2. (cazul

unghiurilor suplimentare şi vom avea:

Figura 3.15. (4).

Calculate aceste arii, considerând AH înălţimea triunghiului ABC, vom avea:

(5).

Problema 10 . Fiind dat triunghiul ABC cu lungimile laturilor BC= a, AC = b,

AB =c. Să se calculeze aria triunghiului.

Rezolvare. Pentru calculul ariei S a triunghiului considerăm înălţimea AH şi

presupunem fără a restrânge generalitatea, H(BC). Folosind teorema lui

Pitagora de mai multe ori în AHB şi în AHC, în urma calculelor vom obţine:

75


.

Notând , vom avea:

, de unde

Figura 3.16.

Pentru aria triunghiului ABC vom folosi definiţia şi vom obţine:

(ACDE) (6).

Relaţia (6) care ne dă aria unei suprafeţe triunghiulare în funcţie de

lungimile ariilor este cunoscută sub numele de formula lui Heron .

76


BIBLIOGRAFIE

1. ALBU, A.C. - Fundamentele matematicii, Ediţia a II-a

revăzută şi completată, Editura GIL,

2004

2. ALBU, A.C. si alţii - Geometrie pentru perfecţionarea

profesorilor, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti 1983

3. BOTEZ, M. St. - Probleme de geometrie, Editura tehnică,

Bucureşti 1976

4. BRÂNZEI, D. - Bazele raţionamentului geometric,

Editura Academiei R.S.R., Bucureşti

1983

5. CERGHIT, I. - Metode de învăţământ, Editura

Didactică şi Pedagogică, Bucureşti 1976

6. CERGHIT, I. - Perfecţionarea în şcoala modernă,

Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti 1983

7. ENGHIŞ, P.;

ENGHIŞ, G.

- Note de curs. Univ."Babes-Bolyai" Cluj

- Napoca

8. ENGHIS, P.

MANTIA, A.

- Spatii RICCI conform recurente, Rev

”Studio”, Univ."Babes-Bolyai" Cluj -

Napoca 1976

77


9. FORDER, H.G. - Fundamentele geometriei euclidiene,

Bucureşti 1970

10. HADAMARD, J. - Lecţii de geometrie elementară,

geometrie plana, Ed.Tehnica, Bucureşti

1960

11. HOLLINGER, A. - Probleme de geometrie pentru clasele VI

- VIII, Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti 1987

12. MIHĂILEANU, N.;

NEUMANN, M.

- Fundamentele geometriei, Editura

Didactică şi Pedagogică, Bucureşti

1973.

13. MIHĂILEANU, N.N. - Lecţii complementare de geometrie,

Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti 1976

14. MIRON, R.

BRÂNZEI, D.

- Fundamentele aritmeticii şi geometriei,

Editura Academiei R.S.R, Bucureşti

1983

15. MOISE, EDWIN - Geometrie elementară dintr-un punct de

vedere superior, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti 1980

16. SINGER, M. - Învăţarea geometriei prin exerciţii,

Editura Sigma, 2005

17. RUSU, EUGEN - Metodica predării geometriei, Editura

Didactică şi Pedagogică, Bucureşti 1968

18. RUS, I.; VARNA D. - Metodica predării matematicii Curs

litografiat Univ."Babes-Bolyai" Cluj -

Napoca 1976.

78


79

geometria poligoanelor. arii

Documents