Despre Fractali şi aplicaţii în matematică, informatică, artă, filozofie

Prof Pilat Elena Mihaela-Liceul Teoretic „Callatis”,mihaelapilat31@yahoo.comProf Grozeanu Adela-Liceul Teoretic „Callatis”,agrozeanu@yahoo.co.ukProf Bechir Ghiulnar-Liceul Teoretic „Callatis” -ghiulnar68@yahoo.comProf Serea Nicoleta-Liceul Industrial “Ion Bănescu”, nicolserea@yahoo.comElev clasa a X-aB Donisan George - Liceul Teoretic „Callatis”, dony_dony_2009@yahoo.comElev clasa a X-aB Ferent Mihai - Liceul Teoretic „Callatis”, ferent_mihai@yahoo.comElev clasa a XI-aB Carp Florin Cristian - Liceul Teoretic “Callatis”, lordchristi@yahoo.comElev clasa a XIID Olăraşu Irina - Liceul Teoretic “Callatis”

Abstract Lucrarea prezintă rezultate obţinute prin elaborarea unor programe ce generează obiecte matematice de tip fractali. S-au obţinut imagini şi obiecte ce simulează diverse forme reale şi care s-au grupat în expoziţii cu imagini deosebite privind aplicaţii ale fractalilor. În lucrare a fost aprofundată şi partea "filozofică" a fractalilor,încercand să se raspundă la multe întrebări despre timp, natură, viaţă, cosmos etc. Proiectul a fost lansat pe platforma etwinning, unde au participat, alături de România şi următoarele ţări: Turcia, Franţa, Grecia, Croaţia, şi Bulgaria. Elevii au publicat şi un site unde se găsesc rezultatele muncii lor: http://fractali.hi2.ro

1.IntroducereÎn ultimii ani au fost analizate formele existente în natură. Dacă la începutul

acestui secol în centrul atenţiei au fost doar atomii sau stelele, pulsarii sau quasarii, acum sunt studiate şi cele mai banale fenomene care dovedesc o complexitate redutabilă. Au fost analizate forme existente în natură: cristale, frunze, fum şi nori. Teoriile abordate „au lăsat să se întrevadă ceea ce în filozofie se numeste schimbare de paradigmă”.

Lindenmayer a lucrat cu drojdii şi fungi filomentoşi studiind modele de crestere a diferitelor tipuri de alge. Au fost concepute cu această ocazie L-systems pentru a descrie

formal dezvoltarea unui astfel de organism simplu multicelular. Mai târziu, acest sistem a fost extins pentru a descrie plante superioare şi structuri complexe de tip cracă.

L-systems sunt cunoscute ca sisteme parametrice definite ca un triplu G=(V,ʊ, P) unde-V (afabetul) este un set de simboluri care contin elemente care pot fi înlocuite (variabile).- ʊ (pornirea, axioma sau iniţiatorul) este un şir de simboluri din V care definesc starea initială a sistemului-P un set de reguli de producţie sau de producţii care definesc modul în care variabilele pot fi înlocuite cu combinaţii de alte variabile.Exemplu L-system pentru modelarea sistemului de creştere a algelor (Lindenmayer’s) Variables:AB n=0:A Constants:nom n=1:ABStart:A n=2: ABARules:(A->AB), (B->A) n=3: ABAABWhich produces: n=4: ABAABABA

Natura recursivă a regulilor L-system duce la auto-similaritate şi astfel formele fractale pot fi usor de descrise cu un L-system. Modelul plantelor cu aspect natural, formele organice sunt la fel de usor de definit şi de cresterea nivelului de recursivitate. Cu cât nivelul de recursivitate este mai ridicat, cu atât modelul devine mai complex. Sistemele Lindenmayer sunt de asemenea populare în generarea de viaţă artificială. Una din problemele deschise spre a fi cercetate ar fi că având o structură, să găsim acel L-system care poate produce structura.

Web Turtle este un program distractiv de desenare ce foloseste „Turtle Graphics” creat de Bill Kendrick (1997-2004). Grafica Turtle este un element cheie al limbajului de programare Logo (un limbaj de programare folosit pentru programarea funcţională). Un turtle are 3 atribute: o poziţie, o orientare şi un stilou care are la rândul său urmatoarele caracteristici: lăţimea, poziţia faţă de sfârşituil paginii.2.Fractalii

Termenul fractal provine din latinescul fractus care înseamnă „spart”, „fracturat”. Acest termen a fost introdus de Benoit Mandelbrot în 1975. Un fractal este unobiect matematic care are o structură detaliată la orice scară. În structura unui fractal fiecare parte este asemănătoare cu fractalul întreg, este autosimilar). Fractalii sunt generaţi prin iteraţia despre care am vorbit anterior în cazul L-system. Fractalii reprezintă ceva ce nu se încadrează în limitele cunoscute ale geometriei euclidiene sau ale calculului diferenţial, infinmitezimal. Sunt forme fară arie care umplu o suprafaţă din care cauză s-a declanşat la un moment dat infernul matematicienilor care au dat şi un nume acestei situaţii „Teoria haosului”. Comportamentul haotic a fost observat în laboratoare pe o varietate de sisteme (circuite electrice, lasere, economie, crestere a populaţiei în raport cu suprafata ocupată). Teoria haosului a apărut abia la sfarsitul secolului al XX-lea deoarece înainte se credea ca toate fenomenele sunt cauzate de alte fenomene. În era apariţiei calculatoarelor au putut fi studiate aceste fenomene cu ajutorul calculatoarelor prin crearea unor

simulatoare. Haos = un sistem dezordonat şi incontrolabil în care o mică schimbare poate duce la modificări foarte mari ale sistemului masurate la un moment ulterior, chiar dacă starea sistemului este complet dependentă de condiţiile iniţiale.Voi exemplifica aici „Triunghiul lui Sierpinski.” Acesta se poate obţine în 2 moduri. Putem împarţi un triunghi în 4 părţi egale, apoi fiecare din cele 4 triunghiuri obţinute se împart din nou. Continuând acest proces la infinit, am putea trasa linii de divizare infinit de mici.A 2-a metodă ar consta în confecţionarea unui triunghi din carton pe care îl ştanţăm. Prima dată decupăm triunghiul din mijloc, apoi realizam câte o gaură mai mică la fiecare din cele 3 triunghiuri din colţuri. Se continuă la infinit.

Intrebarea la care nu s-a raspuns nici pană azi constă în aflarea ariei care acoperă această formă. Avem un numar infinit de găuri care acoperă fiecare bucăţică plină din triunghi. Forma acoperă o suprafaţă nulă? Aria este zero? Dacă îndepărtăm acum la fiecare pas un sfert din aria care a ramas, restul de ¾ este încă acoperit şi chiar dacă se repetă foarte mult această operaţie, întotdeauna va rămâne mai mult decat s-a luat. Deci aria nu este zero?.3. Exemple de fractali:Curba lui Koch

Figura 1. Curba lui Koch

Avem o linie de lungime infinită ce înconjoară un spaţiu finit.Covorul lui Sierpinski

Este un exemplu de corp geometric despre care nu se poate preciza dacă este o curbă sau o suprafaţă.Se repartizează într-un anume mod „golurile” pentru a realiza o „sită naturala” în pătrat. La

Figura 2. Covorul lui Sierpinski

început avem un pătrat plin, pe care îl împarţim în 9 bucăţi egale din care se elimină mijlocul. În mod recurent, se generează celelalte obiecte, numarul acestora devinind extrem de mare.Praful lui Cantor        O  altă  variantă,  la  fel  de  cunoscută  în  lumea fractalilor, este praful lui Cantor. Ideea de generare este aceeaşi.  Se  porneşte  de  la  un iniţiator ce este şi în acest caz un segment de dreaptă. Legea de generare presupune doar îndepărtarea treimii din mijloc a segmentului.

Figura 3.Praful lui Cantor        În  acest  mod,  prin  repetarea  la  nesfârşit a legii, se obţine o structură alcătuită dintr-un  set de puncte, structură caracterizată printr-o dimensiune dată de relaţia:                                                      Df = Ln(2) / Ln(3) = 0.63092.....Din  nou  o  structură  particulară,  cu  dimensiune  intermediară cazurilor cunoscute de geometria euclidiană,.nici  de  dimensiune  zero,  specifică punctului, dar nici de dimensiune 1, specifică liniei, ci 0.63092.. Un mic "monstru" matematic, scufundat într-o linie, dar care are identitate doar în spaţiul 0.63092...

Mulțimea lui Mandelbrot este un fractal care a devenit cunoscut în afara matematicii atât pentru estetica sa, cât și pentru structura complicată, care are la bază o definiție simplă. Acest lucru se datorează în mare parte eforturilor lui Benoît Mandelbrot și ale altora de a populariza acest domeniu al matematicii. Mulțimea lui Mandelbrot se definește ca fiind mulțimea acelor puncte c din planul complex pentru care aplicând în mod repetat polinomul complex z2 + c (pornind de la z = 0) rezultatul rămâne în interiorul unui disc de rază finită.

Figura 4. Multimea lui Mandelbrot

Un fractal tridimensional - buretele lui Menger se obtine folosind covorul lui sierpinskiMandelbrot argumentează că o multime neregulată cu cât este marită, tot mai multe

neregularitati devin vizibile şi că asemenea abstracţiuni geometrice se potrivesc mai bine cu lumea fizică decât curbele şi suprafeţele netede.

Figura 5. Buretele lui MengerL. F Richardson studiază în 1961 variaţiile lungimilor diverselor coaste măsurate cu compasul pe hartă. Ɛ-etalon L(Ɛ)-variaţii ale lungimilor aproximative ale diverselor coasteN(Ɛ) numărul de paşi de lungime Ɛ cu prinşi cu compasul şi a(Ɛ) α b(Ɛ) înseamnă că a(Ɛ)

şi b(Ɛ) variază la fel cand Ɛ->0+ adică tinde la o constantă nenulă când Ɛ->0+ avem:

L(Ɛ)=N(Ɛ) ƐαƐ-p, p>0Pentru cerc p=0(constantă) dacă Ɛ suficient de mic în raport cu raza de curbură. Alte curbe prezintă un exponent p>0, iar lungimea lor creşte nedefinit şi spunem că aceste curbe sunt nerectificabile.Exponentul 1+p al lui 1/N(Ɛ) este defapt o „dimensiune fractală.”Această determinare a măsurii fractale prin acoperirea curbei cu discuri de raza Ɛ este exact cea utilizată de Pontriaghin si Schnirelman în 1932 pentru a defini dimensiunea de acoperire. Vom vorbi în acest context de curba Helge von Kock(1904). Pornim cu un segment etalon(inittiatorul) care se împarte în 3 segmente congruente şi se înlocuieste segmentul din mijloc cu cele două laturi ale unui triunghi echilateral avandu-l ca bază şi situat deasupra lui (generatorul).

Folosind iteraţia, se repetă aceeaşi procedură cu toate cele 4 segmente obţinute. Iată cum depinde lungimea de etalonul de masură.Stadiul 0 Ɛ 1=1 N(Ɛ1)=1 L(Ɛ1)=1

Stadiul 1 Ɛ2= N(Ɛ2)=4 L(Ɛ1)= N(Ɛ2) Ɛ2=4* =4/3

Stadiul 3 Ɛ3= N(Ɛ3)=42 L(Ɛ3)= N(Ɛ3) Ɛ3=

Prin inductie avem Ɛn= N(Ɛn)=4n-1 L(Ɛn)= N(Ɛn) Ɛn= care tinde la infinit

Rezultă dimensiunea fractală rezultă D=1+p=log

=1,2618

4. Dimensiunea fractalăDupă cum se observă din calcule este o masură a regularităţii sau a asprimii unei

forme, adică gradul în care o formă umple spaţiul. În concluzie, ea este estimată ca raport

algoritmic al unor proprietăţi la diferite scări. Un punct are dimensiunea 0. Dreptele şi curbele au dimensiunea 1. Planele şi suprafetele au dimensiunea 2, iar spaţiul are dimensiunea 3. Exemplele prezentate nu se înscriu în această logică. Aceste curbe au dimensiuni fracţionare care ne indică raporturi algoritmice.Fractalii pot fi folosiţi la comprimarea imaginilor, rata de compresie fiind cam 1:10000. Un fişier poate fi comprimat într-unul cu extensia IFS. Un fişier cu extensia IFS este un sistem care conţine coduri Iterated Function System în format ASCII.Sistemul Funcţiei Iterate (IFS) este un sistem care iterează un set de transformări afine contractive. (Transformarea afină este o relaţie geometrică ce pastrează forma de baza şi integritatea unei figuri).  Alexander F. Walz consideră un fractal ca fiind o schemă copiată de o infinitate de ori într-un spaţiu finit.Dacă un obiect  compus din elemente asemenea cu el are dimensiunea D, poate fi împărţit în nD  elemente de n ori mai mici, atunci dimensiunea sa fractală este dată de relaţia:

        Condiţia  necesară  pentru valabilitatea aceastei formule este asemănarea dintre obiect şi piesele sale constitutive,  această  aproximare  a  dimensiunii fractale se mai numeşte dimensiune de  auto-asemănare. Condiţia  ca  o  figură geometrică să fie fractal este ca numărul de obiecte geometrice generate recurent să fie  extrem  de  mare.  Există  aşa  numiţii  fractali uniformi,  obţinuţi prin aplicarea unui  unic factor de scară, fractali  neuniformi,  obţinuţi   prin  aplicarea simultană  a  doi  factori  de  scară  şi  fractali  aleatori,  care  se generează absolut întâmplător.

Metode de evaluare a dimensiunii fractaleMetodele de evaluare a dimensiunii fractale trebuie să verifice în principiu dacă există o lege de tip putere între un parametru şi scara de masură. Am prezentat mai sus metoda prin care Richardson a studiat variaţia lungimii coastelor folosind metoda compasului.Metoda compasului se aplică în cazul curbelor, conturului unei figuri şi presupune determinarea unei relaţii exacte dintre lungimea (aproximativă) curbei în funcţie de scara de masură utilizată. Se defineste scara s ca raport între deschiderea

compasului. Începând cu s=0.3 şi pânã la s=0.01 , se determinã numãrul n(s) de segmente cu care se poate aproxima conturul mãsurat şi implicit valoarea aproximativã a lungimii ui=ni(si) *si . Apoi, într-un grafic dublu logaritmic se plaseazã punctele experimentale (log(u)vs(log(s)). Se determinã panta dreptei d trasate printre punctele experimetale şi se poate determina dimensiunea fractalã atasatã D=1+d.

Figura 6. Metoda compasuluiMetoda box-counting

Aceasta este cea mai performantă metodă pentru analiza fractală deoarece se pretează foarte bine pentru structuri complexe. Avantajul constă mai ales în posibilitatea implementării cu ajutorul calculatorului în vederea unei evaluari automate. Se urmareşte modul în care numărul de celule necesare pentru a acoperi structura de mãsurat variază în funcţie de latura acestor celule. Se alege un pãtrat ca care sã acopere complet structura mãsuratã, apoi se divide pe rând latura pãtratului la 2, 4, 8, ... (s=1/2, 1/4, 1/8, ....) şi se numãrã celulele în care existã elemente ale structurii de mãsurat. (N(s)). Din şirul de mãsurãtori efectuate cu latura celulei de mãrime s1, s2, ...sn se verificã dependeţa de tipul N(s) = csD, de unde se deduce şi D. După cum se vede, algoritmul se pretează la o implementare recursivă, foarte avantajoasă din punctul de vedere al facilitătii programarii. Metoda “sand box” Este asemanatoare cu metoda descrisă anterior, se evaluează un parametru M(R) în functie de raza R a unei sfere ce creste progresiv de la un Rmin pâna la un Rmax Metoda “slite island” Se aplică pentru evaluarea dimensiunii fractale cuprinse între 2 si 3 pentru suprafete rugoase. Fiind dată o suprafaţă rugoasă, se marchează un interval cuprins între minimul absolut al cotelor tuturor punctelor ce alcatuiesc figura obiectului de evaluat şi maximul absolut al acestora.

Chiar dacă oamenii sunt unici precum fulgii de zăpadă, fiecare scormoneşte neîncetat dupa răspunsuri care generează cunoaştera. Chiar dacă este vorba de viaţă, dragoste sau ştiintă, raspunsurile găsite ridică alte întrebari. Imaginează-le precum nişte lanţuri nesfârşite care se leagă la infinit, precum un fractal. În momentul în care cineva crede că a găsit un răspuns, riscă să se ciocnească de o altă întrebare, pierdut într-o spirală de întrebări, devenind astfel şi mai confuz. Este ca o încercare disperată de a te apropia de linia orizontului care se îndepărtează din ce în ce mai mult pe măsură ce încerci să îl atingi.

Figura 7. Captura site fractali : http://fractali.hi2.ro

BIBLIOGRAFIE[1] http://er.adrianmoisei.com/fractali[2] http://virtualia.ong.ro/00/nadina_00.htm[3] Alain Boutot „Iventarierea formelor” Editura Nemira, Bucuresti, 1997[4] http://video.google.com/videoplay?docid=874719564027220461”[5] http://virtuallearning.ning.com/forum/topics/web-turtle-and-applications[6] Marin Vlada, Ioan Nistor Adrian Posea „Grafica pe calculator în ;limbajul Pascal şi C” Editura Tehnică[7] www.sonic.net/nbs/webturtle/examples[8] http://en.wikipedia.org/wiki/L_system[9] http://algorithmicbotany.org/papes/#abop[10] http://fmi.unibuc.ro/ro/pdf/2009/diverse/Fractali.pps[11] K Devlin-Vârsta de aur a matematicii, Editura Theta, Bucuresti, 2000[12] J.-F.Gornyet-Physique et structures fractales, Masson Paris 1992[13] B. Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman, 1982[14] B. Mandelbrot- Obiecte fractale, Editura Nemira[15]Articole şi note matematice Stefan Frunza 1998 Conf. Dr. Facultatea de matematică, Univ. „Al. I. Cuza”, Iasi[16] http://www.descopera.org/teoria-haosuluui