C u r s 4

DISTRIBUŢIA MOLECULELOR UNUI GAZ

ÎN CÂMP GRAVITAŢIONAL

4.1 FORMULA BAROMETRICĂ În mişcarea lor dezordonată, moleculele unui gaz se distribuie uniform în volumul vasului astfel că în medie în unitatea de volum este conţinut un acelaşi număr de molecule. În starea de echilibru, presiunea şi temperatura manifestă aceleaşi valori în întreg volumul. Toate aceste afirmaţii funcţionează atâta vreme cât moleculele gazului nu sunt agresate de forţe exterioare care să le modifice în volumul incintei repartiţia spaţială. În realitate, asupra moleculelor gazului acţionează forţa de gravitaţie. Dacă nu ar exista agitaţia termică, moleculele de aer ar cădea pe Pământ formând un covor subţire de molecule de aer pe suprafaţa terestră, iar în absenţa atracţiei gravitaţionale toate moleculele ar evada în spaţiu spre infinit. Mişcarea de agitaţie termică şi atracţia gravitaţională împiedică atât căderea moleculelor pe Pământ cât şi răspândirea lor spre infinit determinând stabilirea unei repartiţii moleculare a cărei lege ne propunem să o stabilim în cele ce urmează. Pentru aceasta vom considera o coloană verticală de aer şi

vom presupune că aproape de suprafaţa Pământului la z = 0, presiunea aerului este p0 în timp ce la altitudinea z valoarea presiunii este p aşa cum se poate urmări în figura 4.1. La o variaţie a altitudinii cu dz presiunea va varia cu dp. Cantitatea dp este o măsură a diferenţei greutăţilor coloanelor de aer având ariile bazelor egale cu unitatea şi înălţimile z+dz şi z.

dp gdzρ= − (4.1) unde ρ este densitatea aerului iar g acceleraţia

gravitaţională. Dacă m0 este masa unei molecule iar n numărul moleculelor din unitatea de volum, 0n mρ = ⋅ (4.2)

Înlocuind în (4.2) p cu nkbT, rezultă 0

B

m pk T

ρ = şi obţinem:

0

B

m gdp pdz

k T= − (4.3)

din care,

0

B

m gdp dzp k T= −

Considerând că temperatura este aceeaşi la orice altitudine ( presupunere ce nu este tocmai concordantă cu realitatea ) se obţine prin integrare:

Figura 4.1

z

dz p

p-dp

p0 z =0

21

0ln lnB

m gp z

k T= − + C (4.4)

unde ln C reprezintă constanta de integrare. Ecuaţia (4.4) este echivalentă cu,

0

B

m gz

k Tp C e−

= ⋅ (4.5) Constanta C se determină impunând condiţia ca la z = 0 presiunea să fie p0. Se obţine formula barometrică

0

B

m gz

k T0p p e

−

= (4.6) ce reprezintă legea scăderii presiunii cu altitudinea. Ţinând seamă că Bp nk T= obţinem şi pentru variaţia densităţii moleculelor cu altitudinea o expresie similară cu (4.6):

0

0B

m gz

k Tn n e−

= (4.7) În realitate temperatura variază cu altitudinea astfel că ecuaţiile (4.6) şi (4.7) vor funcţiona corect numai pentru diferenţe de altitudine relativ mici, pentru care modificarea temperaturii nu este semnificativă.

De asemenea aceste calcule nu au considerat dependenţa acceleraţiei gravitaţionale de altitudine, considerând constantă valoarea pentru g. Pentru altitudini mai mari trebuie să se ţină seama că acceleraţia gravitaţională scade cu altitudinea urmând legea:

2( )

( )

M Mg r

r R h= γ = γ

+ 2 (4.8)

unde 2

2

m N

Kg−11γ = 6,67 ⋅10 ⋅ . M este masa Pământului iar R raza medie a acestuia. Se

ajunge astfel la formula barometrică corectată

00 exp 1

B

m g Rp p Rk T R h

⎡ ⎤⎛= − − ⎞⎢ ⎥⎜ +⎝ ⎠

⎟⎣ ⎦

(4.9)

Din această formulă se constată că pentru z →∞ presiunea ar avea o valoare nenulă:

0

B

m gR

k T0p p e

−

∞ = (4.10) Aceasta înseamnă că atmosfera Pământului ca şi a altor planete ar trebui să se întindă la infinit şi că în întreg Universul ar trebui să avem o densitate a gazului diferită de zero. Cum numărul moleculelor este finit iar Universul infinit va trebui să considerăm că atmosfera terestră nu este în stare de echilibru şi că există o difuzie continuă a gazului spre infinit. Difuzia va continua încă milioane de ani deoarece un număr infim de molecule participă la fenomen. Alte corpuri cereşti mai mici ca de exemplu Luna dacă au avut atmosferă au pierdut-o de alungul milioanelor de ani.

4.2 LEGEA LUI BOLTZMANN Formula barometrică (4.7) numită şi formula lui Laplace conţine la exponenţială expresia a energiei potenţiale a moleculei la înălţimea z. Se poate afirma că această 0m gz

22

formulă exprimă numărul n al particulelor din unitatea de volum a căror energie este în funcţie de numărul n0 de particule din unitatea de volum a căror energie este

nulă (s-a considerat ca nivel de referinţă pentru energie U = 0, energia particulelor la cota zero). Nu există nici un motiv pentru care am putea crede că s-ar obţine o altă lege de variaţie a densităţii moleculare cu altitudinea dacă în locul greutăţii moleculare am considera o altă forţă ce acţionează asupra acestora (expresia energiei potenţiale U căpătând în consecinţă o altă formă).

0U m gz=

Prin urmare, dacă gazul se află într-un câmp de forţe oarecare astfel că particulele sale dobândesc o energie potenţială U, densitatea de particule care au dobândit această energie potenţială se calculează cu formula lui Boltzmann:

0B

Uk Tn n e

−

= (4.11)

Această formulă arată că fracţiunea 0

nn

de particule ce au căpătat energia U depinde atât

de valoarea acestei energii cât şi de temperatură constatare ce ne determină să considerăm temperatura ca o mărime ce determină distribuţia particulelor ca funcţie de energia lor. În virtutea acestei distribuţii observăm că numărul moleculelor cu energii mari este mai mic şi anume, cu atât mai mic cu cât valoarea lui U este mai mare. De

asemenea cu cât temperatura este mai scăzută cu atât mai repede fracţiunea 0

nn

scade cu

creşterea valorilor U.

4.3 NOŢIUNEA DE „PROBABILITATE ” Este interesant a interpreta atât formula barometrică cât şi legea lui Boltzmann prin prisma teoriei probabilităţilor.

Vom înţelege prin eveniment aleatoriu acel eveniment ale cărui condiţii de realizare în cadrul unui raţionament particular nu sunt cunoscute şi nu pot fi prevăzute. Presupunând că dispunem de un teanc de bancnote având aceeaşi valoare, pachet alcătuit din bancnote cu numere de serie pare şi impare. Prin extragerea unei bancnote din pachet putem obţine o bancnotă cu număr de serie par sau impar. Astfel extragerea unei bancnote cu număr de serie par este un eveniment aleatoriu.

Dacă se extrag 11 bancnote, nu se poate prevede câte dintre acestea au numere de serie pare si câte au numere impare. Este posibil ca toate cele 11 bancnote să aibă numere de o aceeaşi paritate. În toată această incertitudine există totuşi şi o anumită regularitate: dacă se repetă extragerea de un număr foarte mare de ori, numărul de extrageri în care s-au obţinut numere de serii pare tinde să egaleze numărul de extrageri ale seriilor cu numere impare. Acelaşi lucru se întâmplă şi prin aruncarea unei monezi care poate cade cu marca în sus sau cu stema. În ambele exemple se spune că probabilitatea de realizare a

unui eveniment anume din cele două posibile se apropie de valoarea 12

când numărul

experimentelor tinde spre infinit. Desprindem astfel următoarea definiţie pentru probabilitate: “probabilitatea unui eveniment este limita către care tinde raportul între numărul de evenimente realizate şi numărul total de evenimente când acesta din urmă tinde la infinit”.

23

Dacă din N încercări evenimentul dorit s-a realizat de N ′ ori, probabilitatea w a acestui eveniment se exprimă prin formula

lim NwNN

′=

→ ∞ (4.12)

Pentru exemplele ilustrate rezultă 12

w = .

4.3.1 TEOREMA DE SUMARE A PROBABILITĂŢILOR Vom examina acum încă un exemplu care ne va permite să enunţăm o axiomă fundamentală a calculului probabilităţilor ce ne va furniza o altă definiţie a probabilităţilor.

Presupunem că într-o cutie se găsesc 20 de bile colorate, 5 dintre acestea sunt albe iar restul de 15 bile sunt negre. Evident şansa ca la o extragere să obţinem o bilă neagră este mai mare decât şansa de a extrage o bilă albă. Oricare ar fi culoarea, probabilitatea ca

la o extragere să scoatem o bilă având una dintre cele două culori este egală cu 120

.

Probabilitatea ca la o extragere să extragem o bilă de culoare albă (indiferent care din cele 5) este de 5 ori mai mare decât probabilitatea de extragere a unei bile indiferent de

culoare, adică 520

. Probabilitatea ca la o extragere să scoatem bilă neagră va fi 1520

.

În exemplul considerat 520

este probabilitatea de a extrage una dintre bilele albe şi cum

extragerea se va face o singură dată, nici o altă bilă nu mai poate fi extrasă, astfel că alte evenimente nu mai sunt posibile. Cu alte cuvinte la o singură extragere un singur eveniment se poate produce cu o anumită probabilitate.

Teorema însumării probabilităţilor afirmă că “dacă w1, w2, w3,......, etc. sunt probabilităţile mai multor evenimente incompatibile, probabilitatea de realizare a unuia dintre ele este egală cu suma probabilităţilor tuturor acestor evenimente”. Exemplul cu extragerea bilelor permite să se definească probabilitatea evenimentului considerat ca “raportul dintre numărul de cazuri favorabile realizării sale şi numărul cazurilor posibile (considerând că toate evenimentele sunt echiprobabile)”.

Revenind la formula lui Boltzmann scrisă sub forma

0

B

Uk Tn e

n

−= (4.13)

conform celor prezentate constatăm că raportul 0

nn

din această formulă are chiar

semnificaţia unei probabilităţi. Într-adevăr, nu are importanţă care dintre cele n0 molecule a dobândit energia potenţială U, astfel că n0 reprezintă numărul total de cazuri posibile. Dintre acestea numai n molecule au dobândit energia U şi acestea vor reprezenta numărul de cazuri favorabile. Raportul însuşi va reprezenta probabilitatea ca fiecare dintre cele n0 molecule să dobândească energia U.

24

4.3.2 TEOREMA PRODUSULUI PROBABILITĂŢILOR Se referă la probabilitatea de realizare a unui eveniment compus constând în realizarea simultană a două sau mai multor evenimente independente, înţelegând prin evenimente independente evenimentele în care probabilitatea de realizare a unuia dintre ele nu depinde de realizarea sau de nerealizarea celorlalte.

Teorema produsului probabilităţilor afirmă că „ probabilitatea de realizare concomitentă a două sau mai multor evenimente independente este egală cu produsul probabilităţilor fiecăruia dintre evenimente luate separat.”

4.3.3 PROBABILITATEA ŞI VALOAREA MEDIE Să presupunem că dorim să determinăm o mărime a printr-un număr mare de observaţii N. Rezultatul măsurătorilor a evidenţiat valoarea a1 în N1 cazuri, valoarea a2 în N2 dintre cazuri, etc. Prin definiţie, valoarea medie a lui a va fi:

1 1 2 2 3 3

1 2 3

................

i ii

i

N aN a N a N a

aN N N N+ + +

=+ + +

=∑∑

(4.14)

Având în vedere că , putem scrie: ii

N =∑N

31 21 2 3 ........ i

ii

NN Na a a a

N N N N= + + + =∑ N

a (4.15)

Cum însă raportul iNN

reprezintă câtul între numărul Ni al realizărilor estimatului ai şi

numărul cazurilor posibile N, acest raport defineşte probabilitatea wi de a obţine valoarea ai. Prin urmare,

1 1 2 2 3 3 ..... i ia w a w a w a w a= + + + =∑ (4.16) ceea ce înseamnă că ”valoarea medie a mărimii a este deci egală cu suma produselor între estimările parţiale obţinute prin măsurătorile efectuate şi probabilităţile asociate acestor estimări”. 4.3.4 NOŢIUNEA DE DISTRIBUŢIE FUNCŢIA DE DISTRIBUŢIE Sensul noţiunii de distribuţie presupune considerarea unor exemple sugestive atunci când se urmăreşte încadrarea statistică a problemei. Dacă de exemplu este vorba de a stabili distribuţia populaţiei unei ţări după vârsta fiecărui individ se constată că demersul ar fi total lipsit de sens, întrucât numărul variantelor de vârstă este infinit în timp ce numărul indivizilor este finit. Nu se poate stabili decât numărul probabil al persoanelor a căror vârstă se plasează în interiorul unui anumit interval de valori. Într-adevăr, când se afirmă despre o persoană că are 18 ani nu se urmăreşte să se înţeleagă că persoana are 18 ani, zero luni, zero zile, zero minute şi zero secunde ci că vârsta acelei persoane este cuprinsă între 18 ani şi 19 ani. Tot aşa analizând distribuţia particulelor după valorile vitezelor se va urmări să se stabilească numărul particulelor ale căror viteze (sau componente de viteză ) se plasează într-un anumit interval al valorilor vitezelor (sau

25

al componentelor vitezelor). Evident că numărul nΔ al particulelor conţinute în unitatea de volum ale căror viteze se plasează într-un anumit interval al vitezelor cuprinse între v şi v este cu atât mai mare cu cât intervalul v+ Δ vΔ este mai mare: n a vΔ Δ= (4.17) unde a este un coeficient de proporţionalitate.

Este de asemenea evident că a nu poate fi o constantă deoarece va depinde de valorile vitezelor în condiţii fizice prestabilite. Astfel, pentru intervale identice ca mărime, dar de valori diferite ale vitezelor, numărul particulelor nu va fi acelaşi aşa cum se întâmplă şi în cazul persoanelor cu vârste cuprinse între 99 şi 100 de ani şi între 30 şi 31 ani din cauza faptului că intervalul de vârstă este acelaşi în ambele cazuri. Aceasta înseamnă că în formula (4.17) coeficientul a este o funcţie de viteză.

nΔ

( )a f v= (4.18) În sfârşit este evident că trebuie să fie proporţional cu numărul n al particulelor conţinute în unitatea de volum, astfel că se obţine pentru (4.17) forma:

nΔ

( )n nf v vΔ = Δ (4.19)

Cantitatea nnΔ va reprezenta fracţiunea de molecule din unitatea de volum ale căror

viteze se situează în intervalul de valori cuprins între v şi v + vΔ . Funcţia f(v) se numeşte funcţie de distribuţie .

Dacă în formula (4.19) considerăm 1vΔ = , obţinem:

( )n f vnΔ

= (4.20)

Altfel spus, funcţia ( )f v reprezintă fracţiunea din numărul total de particule cu vitezele cuprinse într-un interval de valori ale vitezei în jurul valorii v egal cu unitatea. Prin trecere la limită în (4.19) se obţine:

( )dn f v dvn= (4.21)

Raportul dnn

din formula (4.21) reprezintă probabilitatea ca toate moleculele gazului

conţinute în unitatea de volum să aibă o viteză cuprinsă în intervalul (v, v+dv). Observăm că şi f(v) este o probabilitate şi anume probabilitatea ca toate moleculele din unitatea de volum a gazului să aibă valorile vitezelor plasate în jurul valorii v într-un interval al valorilor egal cu unitatea. Această funcţie probabilitate se numeşte densitate de probabilitate.

Revenim asupra ecuaţiei (4.7) pentru care vom obţine că se poate calcula n0 ca funcţie de numărul total N al moleculelor conţinute în intervalul unei coloane atmosferice infinite cu secţiunea egală cu unitatea. Avem:

00

0

exp B

m gzN n dz

k T

∞ ⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ (4.22)

din care rezultă:

00

B

m gn N

k T= (4.23)

şi (4.7) dobândeşte forma:

26

0 expB B

m g m gzn N

k T k T0⎡ ⎤

= −⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.24)

Numărul de particule conţinute într-un volum având secţiunea egală cu unitatea şi înălţimea dz este dN = ndz astfel că (4.24) se scrie:

0 0exp dzB B

m g m gzdNN k T k T

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦ (4.25)

Cum dN este numărul de molecule care se află între z şi z+dz , iar N este numărul total

de molecule din întreg volumul considerat, raportul dNN

reprezintă probabilitatea

ca oricare particulă din cele N să se afle în elementul de volum de arie egală cu unitatea şi înălţime dz la o altitudine de valoare egală cu z. Funcţia

dP

( ) 01 expB B

m g m gzd dNf zdz N dz k T k T

0⎡ ⎤= = = −⎢ ⎥

⎣ ⎦

P (4.26)

reprezintă probabilitatea de prezenţă a oricărei molecule în unitatea de interval de altitudine în jurul valorii z, fiind deci pe de o parte o densitate de probabilitate de localizare, iar pe de altă parte o funcţie de distribuţie după altitudinea z numită distribuţie Boltzmann. Funcţia f(z) satisface condiţia de normare:

0

( ) 1f z dz∞

=∫ (4.27)

care exprimă faptul că dacă particula există, ea va fi localizată undeva în Univers. Întrucât reprezintă energia potenţială a particulei în câmpul gravitaţional presupus uniform, în virtutea relaţiei (4.26) putem scrie:

0U m gz=

0 1exp expB B B B

m g U Ud (4.28) dz = dUk T k T k T k T

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

P =

S-a obţinut astfel probabilitatea ca orice moleculă să aibă energia potenţială gravitaţională în intervalul ( U, U+dU ) .

4.4 DISTRIBUŢIA MOLECULELOR DUPĂ COMPONENTELE VITEZEI

Să considerăm un vas cilindric ce conţine un gaz ideal aflat în câmpul gravitaţional terestru. În interiorul vasului gazul se află în echilibru iar moleculele sale sunt distribuite pe o întreagă gamă a valorilor vitezelor. Ne propunem să stabilim expresia matematică a legii care generează această distribuire a moleculelor după componentele carteziene ale vitezelor. Vom alege axele de coordonate ca in figura 4.2, cu axa OZ paralelă cu generatoarea vasului cilindric.

Figura 4.2

0zn

z

x

z0 = 0

nz

y

Evident, câmpul gravitaţional va afecta componenta vz a vitezei moleculei astfel că vom analiza nu

27

distribuţia după valorile vitezelor moleculelor ci după valoarea componentei vz a vitezei moleculei. Frânarea gravitaţională face ca valoarea vz a vitezei să scadă cu creşterea cotei z. Astfel dacă la cota z0 = 0 valoarea vz este , valoarea sa la cota z rezultă din conservarea energiei:

0zv

0

2 20 0

02 2z z

m v m vm gz= + (4.29)

Evident, moleculele a căror energie cinetică 0

20

02zm v

m gz≤ nu se pot ridica la o înălţime

care să depăşească cota z. Pentru a se putea ridica la cota z moleculele din această categorie trebuie să satisfacă relaţia:

0

2

2zv

zg

= (4.30)

Ajunse la cota z, acestea se vor opri apoi vor cădea accelerat spre cota z0 = 0. Să mai considerăm la o cotă z arbitrară un strat cilindric gazos de înălţime dz

având ariile bazelor egale cu S. În acest strat gazos, moleculele sunt în mişcare. Printre ele se vor găsi molecule ce se deplasează paralel cu axa Oz în sus şi în jos. Moleculele ascendente pot depăşi cota z dacă au componente vz ce depăşesc 2gz , în timp ce moleculele descendente pot avea componente vz de valoare cuprinsă între zero şi infinit. În condiţii de echilibru când numărul moleculelor din strat este constant, numărul moleculelor descendente trebuie să fie egal cu numărul moleculelor ascendente. Numărul de particule cu viteze cuprinse între şi

0zv0 0z zv dv+ care traversează în timpul tΔ

suprafaţa aflată la z0 = 0 este egal cu 0 0 000 0z z z z zdn S v t n f ( v ) S v t dv⋅ ⋅ ⋅ Δ = ⋅ ⋅ ⋅ Δ ⋅ . Dintre

acestea numai acelea cu 20zv ≥ gz se pot ridica la o înălţime ce depăşeşte cota z.

Numărul lor se exprimă prin relaţia:

0 01 0

2

( )z z zgz

N n S t f v v dv∞

= Δ ⋅∫ 0

z

(4.31)

Numărul N2 de molecule ce străbat aceeaşi suprafaţă coborând şi pătrunzând astfel în stratul de grosime dz va fi:

2 00

( )z zN n S t f v v dv∞

= Δ ⋅ ⋅∫ (4.32)

astfel că la echilibru, N1 = N2 sau:

0 0 0

0 02

( ) ( )zz z z z z

gz

nzf v v dv f v v dv

n

∞ ∞

⋅ = ⋅∫ ∫ ⋅

z

(4.33)

Diferenţiind relaţia (4.29) pentru z = constant, obţinem:

0 0z z zv dv v dv= (4.34)

28

Exprimând din (4.7) 0

znn

, (4.33), devine:

0

0

0 0

( ) exp ( )z z z z zB

m gzzf v v dv f v v dv

k T

∞ ∞⎡ ⎤⋅ = −⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫ (4.35)

Rezultă,

0

0( ) ( )expz zB

m gzf v f v

k T⎡ ⎤

= −⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.36)

sau sub o formă echivalentă,

0

0( ) ( ) expz zB

m gzf v f v

k T⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.37)

Această ecuaţie nu funcţionează decât dacă se ţine seama de conservarea energiei şi de izotropia mişcării de agitaţie termică ce reclamă dependenţa funcţiei de distribuţie de şi nu de întrucât în cazul agitaţiei termice direcţia şi sensul vitezei nu sunt semnificati-

2zv

zv

ve. Expresiile pentru ( )0zf v şi ( )zf v compatibile cu (4.29), (4.36) şi (4.37) sunt de

forma:

0

0

20( ) exp

2z

zB

m vf v A

k T

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ (4.39)

2

0( ) exp2

zz

B

m vf v A

k T⎡ ⎤

= −⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.38)

unde A este o constantă ce urmează a fi estimată din condiţia de normare

20( ) exp 1

2z

z z zB

m vf v dv A dv

k T

∞ ∞

−∞ −∞

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫ = (4.40)

Integrala conţinută în această expresie este de tip Poisson:

2exp x dx παα

∞

−∞

⎡ ⎤− ⋅ =⎣ ⎦∫ (4.41)

unde 0

2 B

mk T

α ≡ în acest caz particular. Rezultă

12

0

2 B

mA

k T⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎠

⎟ (4.42)

iar funcţia de distribuţie, devine:

122

01( ) exp2 2

zzz

z z B B

mdnf v

n dv k T k Tπ0m v⎡ ⎤⎛ ⎞

= = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

(4.43)

Graficul acestei funcţii de distribuţie este schiţat în figura 4.3 pentru două temperaturi diferite. Se constată conform relaţiei (4.42) că valoarea A depinde de temperatură, astfel că la temperaturi mai scăzute probabilitatea vitezelor mici este mai mare.

29

Densitatea de probabilitate (funcţia de distribuţie) atinge la orice temperatură valoarea maximă egală cu A pentru vz = 0.

T1

T2

T1< T 2

vz

Figura 4.3

f(vz)

De remarcat că rezultatele de până acum ignoră acceleraţia g a gravitaţiei ceea ce

permite să generalizăm expresia funcţiei de distribuţie şi la celelalte două componente x şi y, adică:

( )1

220 0exp

2 2x

xB B

m m vf v

k T k Tπ⎡ ⎤⎛ ⎞

= −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

(4.44)

( )1

22 00 exp2 2

yy

B B

m vmf v

k T k Tπ

⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (4.45)

30