fizica

7/18/2019 Fizica

http://slidepdf.com/reader/full/fizica-56927a1ac4047 1/5

- 37 -

3. Ecuaţiile lui Maxwell

3.1. Forma integrală a ecuaţiilor lui Maxwell

Forma cea mai generală a legii lui Ampère (2.75) sau (2.77) reprezintă primaecuaţie a lui Maxwell:

∫∫ ∫ ΓΓ

Γ ⋅+⋅=⋅ SS dSD dtd

dS j dlH

rrr

(3.1)sau:

dS tE j dlB

S 00∫ ∫ΓΓ

⋅⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∂∂ε+µ=⋅r

rr

(3.1’)

unde:

M t

P j jlib

r

rrr

×∇+∂∂+= (3.2)

este densitatea curentului total măsurată în 2m/A .Trecerea de la relaţia (3.1’) la (3.1) se face ţinând seama de relaţiile (2.110),

(2.132) şi de teorema lui Stokes aplicată vectorului M

r

:( ) , M H B , P E D

00

rrrrrr

+µ=+ε= ( ) dSM dlMS∫ ∫Γ

Γ

⋅×∇=⋅ rr

Curba închisă Γ din (3.1’) limitează osuprafaţă de arie

ΓS prin care trece un curent cu

densitatea:

tE j

0 ∂∂ε+r

r

Sensul de parcurs pe curba Γ este corelat cusensul curentului prin suprafaţa

ΓS .

Legea inducţiei electromagnetice (legea lui Faraday), (2.83), reprezintă a doua ecuaţiea lui Maxwell:

BSS

dtd dS

tB dSB

dtd dlE r

r

rr

Φ−=⋅∂∂−=⋅−=⋅ ∫∫∫

ΓΓΓ

(3.3)

Legea fluxului magnetic (2.60) reprezintă a treia ecuaţie a lui Maxwell:

∫∫ =⋅S

0 dABr

(3.4)

Legea lui Gauss (2.23) reprezintă a patra ecuaţie a lui Maxwell:

( )0

leglib0

S0

q d 1 d1 dAE

ε=υ υρ+ρ

ε=υ υρ

ε=⋅ ∫∫∫∫∫∫∫∫

r

(3.5)

unde densitatea de sarcină legată este dată de relaţia (2.106) :

P leg

r

⋅∇−=ρ (3.6)

Cele patru ecuaţii ale lui Maxwell sunt relaţiile fundamentale aleelectromagnetismului. Se aplică numai la medii care sunt în repaus în raport cu axele decoordonate, iar aceste axe nu trebuie să fie în mişcare accelerată (nu trebuie să sufere nicirotaţii). Forma integrală a ecuaţiilor lui Maxwell pentru câmpul electromagnetic este utilă

7/18/2019 Fizica


- 38 -

pentru a rezolva problemele care au o simetrie sferică, cilindrică sau rectangular ă unidimensională. Această limitare se datorează faptului că forma integrală a legilor se refer ă la o regiune întinsă a spaţiului.

3.2. Forma diferenţială (locală) a ecuaţiilor lui Maxwell

Forma diferenţială a ecuaţiilor lui Maxwell se obţine din forma integrală a acestora,folosind teorema lui Stokes şi teorema divergenţei.

Generalizând legea lui Ampère (2.76) sau (2.78) obţinem prima ecuaţie a luiMaxwell:

tD j H

lib ∂∂+=×∇r

rr

(3.7)

sau:

tE

c1 j B 20 ∂

∂+⋅µ=×∇r

rr

(3.8)

Legea inducţiei electromagnetice (2.84) reprezintă forma diferenţială a ecuaţiei adoua a lui Maxwell:

tB E ∂∂−=×∇

rr

(3.9)

Legea fluxului magnetic (2.58) reprezintă forma diferenţială a ecuaţiei a treia a luiMaxwell:

0 B =⋅∇ r

(3.10)

Legea lui Gauss (2.27) reprezintă a patra ecuaţie a lui Maxwell sub formă diferenţială:

00

leglib Eερ=

ε

ρ+ρ=⋅∇

r

(3.11)

Aceste ecuaţii sunt valabile şi în medii neomogene, neliniare şi anizotrope.Dacă aplicăm operatorul ∇ ecuaţiei (3.9) şi folosim faptul că divergenţa unui rotor

este nulă, obţinem:

( ) 0 B t

0

E =⋅∇∂∂−=

=

×∇⋅∇ r

43421

r

⇒ ct. B =⋅∇ r

⇒ 0 B =⋅∇ r

Am presupus că la un moment dat Br

⋅∇ este egal cu zero, astfel că această relaţie estevalabilă la orice moment de timp, pentru fiecare punct din spaţiu. Ecuaţiile (3.9) şi (3.10)formează o pereche, deoarece pot fi obţinute una din cealaltă.

Dacă luăm divergenţa ecuaţiei (3.8) şi folosim legea conservării sarcinii electrice(2.37):

0

t

jdiv =

∂

ρ∂+r

⇒

t

j

∂

ρ∂−=⋅∇ r

obţinem:

( ) 0 E tc

1 j

0

B 20 =⋅∇

∂∂+⋅∇⋅µ=

=×∇⋅∇

rr

43421

r

⇒ ( ) t

1 t

c E t

0

2

0 ∂ρ∂

ε=

∂ρ∂µ=⋅∇

∂∂ r

⇒

ct. E0

+ερ=⋅∇

r

7/18/2019 Fizica


- 39 -

Presupunând că pentru fiecare punct din spaţiu, la un moment de timp arbitrar, Er

⋅∇ şi ρ sunt simultan egale cu zero, atunci constanta este egală cu zero şi obţinem ecuaţia(3.11) . Astfel ecuaţiile (3.8) şi (3.11) formează a doua pereche de ecuaţii ale lui Maxwell.

Pentru a descrie complet un câmp electromagnetic se completează ecuaţiile luiMaxwell cu relaţii numite legi de material, care descriu proprietăţile individuale ale mediului.Într-un mediu izotrop, liniar şi staţionar, legile de material se exprimă pe baza relaţiilor(2.43) , (2.100) sau (2.111) şi (2.122) sau (2.133):

)i

E E j rrr

+σ= (3.12)

Ee P0

rr

⋅ε⋅χ= sau e 1 ,E E Dr r 0

χ+=εε=⋅ε⋅ε= rrr

(3.13)

Hm M rr

⋅χ= sau m 1 ,H H Br r 0

χ+=µµ=⋅µ⋅µ= rrr

(3.14)

Înlocuind (3.2) şi (3.6) în (3.8) – (3.11) , obţinem ecuaţiile lui Maxwell în funcţie

de vectorii P,B,E rrr

şi Mr

:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ ×∇+

∂

∂+µ=∂

∂−×∇ M t

P j t

E c

1 Blib0

2

rr

rr

r

(3.15)

0 t

B E =∂∂+×∇r

r

(3.16)

0 B =⋅∇ r

(3.17)

0

libP

Eε

⋅∇−ρ=⋅∇

r

r

(3.18)

Pentru a particulariza ecuaţiile lui Maxwell la un mediu omogen, izotrop, liniar şistaţionar vom folosi relaţiile (2.109) , (2.111) , (2.110) , (3.6) , (2.122) , (2.133) , (2.134) şi

leglib ρ+ρ=ρ .

( ) , MHB , HmM , P , PED , ED , D0leg0r 0lib

rrrrrrrrrrrr

+µ=χ=⋅∇−=ρ+ε=εε=ρ=⋅∇

m1 , HHBr r 0

χ+=µµ=µµ= rrr

⇒

D1 1EDPr

0

rrrr

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ε

−=ε−= ⇒ ( ) E1P0r

rr

ε−ε= (3.19)

libr r

1 1D1 1P ρ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ε

−=⋅∇⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ε

−=⋅∇ rr

⇒ lib

r leg

1 1 ρ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ε

−=ρ− ⇒

leglib ρ+ρ=ρ =

libr

lib 1 1 ρ⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ε

−−ρ ⇒ r

lib ε

ρ=ρ (3.20)

r 0

B mB mM

µµχ=

µχ=

rrr

⇒ B1

Mr 0

r rr

⋅µµ

−µ= (3.21)

Înlocuind (3.19) – (3.21) în (3.15) – (3.18) obţinem:

7/18/2019 Fizica


- 40 -

( ) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ µµ

−µ×∇µ+

∂∂ε−εµ+µ=

∂∂µε−×∇ B

1

tE 1 j

tE B

r 0

r

00r 0lib000

r

rr

r

r

⇒

r r 00lib0

B B tE j B

µ×∇−×∇+

∂∂εµε+µ=×∇

r

r

rrr

⇒

tE j B

r 0r 0lib0r ∂∂εεµµ+µµ=×∇r

rr

⇒ lib

j t

E Br

rr

µ=∂∂εµ−×∇ (3.22)

0 t

B E =∂∂+×∇r

r

(3.23)

0 B =⋅∇ r

(3.24)

0

libr

lib 1 1

Eε

ρ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ε

−−ρ

=⋅∇ r

⇒ r 0

lib Eεε

ρ=⋅∇

r

⇒ ε

ρ=⋅∇ lib E

r

(3.25)

Trecerea la forma generală a ecuaţiilor lui Maxwell se face pe baza următoarelorînlocuiri:

0 ε→ε ,

0 µ→µ , ρ→ρ

lib , j j

lib

rr

→ (3.26)

Aceasta este o regulă generală de trecere de la ecuaţiile (3.22) – (3.25) exprimate în

funcţie deliblib

j,,,r

ρµε la ecuaţiile (3.8) – (3.11) exprimate în funcţie de j,,,00

r

ρµε .

Ecuaţiile (3.22) – (3.25) pot fi scrise în funcţie de vectorii B,D,E rrr

şi Hr

:

lib j

tD H

rr

r

=∂∂−×∇ (3.27)

0 t

B E =∂∂+×∇r

r

(3.28)

0 B =⋅∇ r

(3.29)

lib D ρ=⋅∇

r

(3.29’)

Aplicând vectorului jr

din (3.2) operatorul divergenţă, obţinem:

( ) ( )43421

rrrr

0

MP t

j jlib

=

×∇⋅∇+∇∂∂+⋅∇=⋅∇ ⇒

( )leg

lib t t

j ρ−

∂∂+

∂

ρ∂−=⋅∇

r

⇒ ( )leglib

t

j ρ+ρ∂∂−=⋅∇

r

⇒

0 t

j =∂

ρ∂+⋅∇ r

(3.30)

Am folosit legea conservării sarcinii libere ( 0 t

j lib

lib =∂

ρ∂+⋅∇

r

) şi am obţinut o

generalizare a legii conservării sarcinii. Ecuaţia (3.30) mai poate fi obţinută din relaţia(3.27) prin aplicarea operatorului divergenţă şi folosind relaţia (3.29’):

7/18/2019 Fizica


- 41 -

( ) ( )lib

j D t

Hrrr

⋅∇=⋅∇∂∂−×∇∇ ⇒ 0

t

j lib

lib =∂

ρ∂+⋅∇

r

(3.30’)

Am obţinut cazul particular al legii conservării sarcinii libere în acord cu relaţiile(3.26).

Ecuaţiile lui Maxwell sunt liniare, întrucât nu conţin produsul dintre două sau mai

multe variabile ori derivate ale acestora. Rezultă că dacă 11 B,E

rr

satisfac ecuaţiile lui Maxwell pentru

11 j j ,rr

=ρ=ρ , iar22

B,E rr

satisfac ecuaţiile lui Maxwell pentru22

j j ,rr

=ρ=ρ , atunci

2121BB,EE

rrrr

++ satisfac aceleaşi ecuaţii pentru2121

j j j ,rrr

+=ρ+ρ=ρ , astfel că se verifică

principiul superpoziţiei. În cazul mediilor neliniare, Pr

şi Mr

sunt funcţii complicate de Er

şi

Br

, astfel că principiul superpoziţiei nu se aplică lalib

ρ şilib

jr

. Toate materialele devin

neliniare la intensităţi mari ale câmpurilor.

fizica

Documents