fizica

Mihai Hotinceanu

Fizica Note de Curs, ntrebri, probleme

(ediie revizuit i completat)

Editura Universitii Petrol-Gaze din Ploieti 2008

3

CUPRINS

LIST DE NOTAII ................................................................................................ 7 MODULUL I. OSCILAII I UNDE ......................................................................... 9 1. OSCILAII .......................................................................................................... 10

1.1 INTRODUCERE ........................................................................................... 10 1.2 OSCILAII MECANICE ................................................................................ 10

1.2.1 Oscilaii liniare libere .......................................................................... 10 1.2.2 Oscilaii amortizate.............................................................................. 12 1.2.3 Oscilaii ntreinute .............................................................................. 15 1.3 Compunerea oscilaiilor ......................................................................... 17 1.3.2 Compunerea oscilaiilor de aceeai direcie i perioad ................. 17 1.3.3 Compunerea oscilaiilor perpendiculare ........................................... 18 1.3.4 Compunerea oscilaiilor cu aceeai direcie i pulsaii diferite (fenomenul de bti). ................................................................................... 19

2. PROPAGAREA OSCILAIILOR. UNDE MECANICE ........................................ 21 2.1 INTRODUCERE ........................................................................................... 21 2.2 UNDA PLAN TRANSVERSAL ................................................................ 22 2.3 ECUAIA COARDEI VIBRANTE ................................................................. 24 2.4 PROPAGAREA UNDELOR LONGITUDINALE ........................................... 25 2.5 PROPAGAREA UNDELOR N LICHIDE ...................................................... 26 2.6 PROPAGAREA UNDELOR N GAZE .......................................................... 27 2.7 DISPERSIA UNDELOR. VITEZA DE GRUP ................................................ 28 2.8 GAMA UNDELOR MECANICE .................................................................... 29 2.9 INTENSITATEA SUNETULUI I PRESIUNEA SONOR ........................... 30 2.10 FENOMENE COMUNE UNDELOR ............................................................ 31 2.11 EFECTUL DOPPLER ACUSTIC ................................................................ 32

3. PROBLEME. MODELE OPERAIONALE ......................................................... 34 TEST DE AUTOEVALUARE .............................................................................. 42 BIBLIOGRAFIE .................................................................................................. 46 RSPUNSURI TEST AUTOEVALUARE ........................................................... 46

MODULUL II. ELECTRICITATE I MAGNETISM .................................................. 47 4. ELECTROSTATICA ........................................................................................... 49

4.1 INTRODUCERE ........................................................................................... 49 4.1.1 Despre interaciune ............................................................................. 49 4.1.2 Despre cureni electrici ....................................................................... 51 4.2 Legea lui Coulomb ................................................................................. 52

4.3 CMPUL ELECTRIC ................................................................................... 54 4.4 FLUXUL CMPULUI ELECTRIC. TEOREMA LUI GAUSS ......................... 57 4.5 LUCRUL MECANIC AL FORELOR CMPULUI ELECTRIC. POTENIALUL ELECTRIC ................................................................................ 59 4.6 SUBSTANA N CMP ELECTRIC ............................................................. 64

4.6.2 Polarizaia electronic ......................................................................... 68 4.6.3 Discontinuitatea vectorilor i la suprafaa de separaie a doi dielectrici polarizai ...................................................................................... 71 4.6.4 Feroelectricitatea, piezoelectricitatea i piroelectricitatea .............. 75

FIZIC

4

4.7 CAPACITATEA ELECTRIC. CONDENSATOARE ................................... 77 4.7.1 Condensatoare legate n serie ........................................................... 78 4.7.2 Condensatoare legate n paralel ........................................................ 79

4.8 ENERGIA ELECTROSTATIC ................................................................... 81 4.8.1 Energia electrostatic a unui sistem de sarcini punctuale ............. 81 4.8.2 Energia electrostatic a distribuiilor continue de sarcin ............. 82 4.8.3 Energia electrostatic n funcie de cmpul electric........................ 82

5. ELECTROCINETICA ......................................................................................... 85 5.1 CURENTUL ELECTRIC .............................................................................. 85 5.2 CURENTUL ELECTRIC N CONDUCTOARE ............................................. 88

5.2.1 Legea lui Ohm ..................................................................................... 88 5.2.2 Tensiunea electromotoare. Legea lui Ohm ....................................... 91 5.2.3 Energia i puterea n curent continuu............................................... 93 5.2.4 Teorema transferului maxim de putere ............................................. 93 5.2.5 Reele electrice (n curent continuu) ................................................. 94

5.3 CURENTUL ELECTRIC N GAZE ............................................................... 97 5.4 CURENTUL ELECTRIC N LICHIDE ........................................................... 99

5.4.1 Introducere .......................................................................................... 99 5.4.2 Legile electrolizei ................................................................................ 100

5.5 CURENTUL ELECTRIC N SEMICONDUCTORI ........................................ 102 5.5.1 Noiuni generale .................................................................................. 102 5.5.2 Semiconductori intrinseci .................................................................. 102 5.5.3 Semiconductori extrinseci ................................................................. 104 5.5.4 Densitatea curentului ntr-un semiconductor .................................. 107

5.6 ALTE TIPURI DE CURENI ELECTRICI .................................................... 109 5.6.1 Curentul optoelectronic ..................................................................... 110 5.6.2 Curentul acustoelectric ...................................................................... 110 5.6.3 Curentul termoelectric ....................................................................... 110 5.6.4 Cureni de emisie termoelectric ...................................................... 110 5.6.5 Cureni de deplasare .......................................................................... 111

5.7 GENERATOARE ELECTRICE .................................................................... 111 5.7.1 Surse chimice de tensiune electromotoare. ..................................... 111 5.7.2 Pile de combustie ............................................................................... 113 5.7.3 Pile termoelectrice. ............................................................................. 114 5.7.4 Celule solare. ...................................................................................... 115

6. MAGNETOSTATICA.......................................................................................... 116 6.1 CMPUL MAGNETIC AL CURENTULUI ELECTRIC ................................. 117 6.2 FORE CARE ACIONEAZ NTR-UN CMP MAGNETIC ...................... 120

6.2.1 Fora Lorentz ....................................................................................... 120 6.2.2 Fora electromagnetic ...................................................................... 120 6.2.3 Fora electrodinamic ........................................................................ 121

6.3 SUBSTANA N CMP MAGNETIC ........................................................... 121 7. MICAREA PARTICULELOR N CMPURI ELECTRICE I MAGNETICE ..... 125

7.1 INTRODUCERE ........................................................................................... 126 7.2 MICAREA N CMP ELECTRIC STATIC ................................................. 126 7.3 MICAREA N CMP MAGNETIC .............................................................. 127

7.3.1 Micarea n cmp magnetic transversal i omogen ........................ 127 7.3.2 Micarea n cmp magnetic omogen ................................................ 128

7.4 APLICAII ................................................................................................... 129 7.4.1 Filtre de viteze ..................................................................................... 129

ERROR! NO TEXT OF SPECIFIED STYLE IN DOCUMENT.

5

7.4.2 Tubul catodic ....................................................................................... 132 7.4.3 Spectrometrul de mas ....................................................................... 133 7.4.4 Determinarea sarcinii specifice a electronului ................................. 134 7.4.5 Acceleratoare de particule .................................................................. 136 7.4.6 Elemente de optic electronic .......................................................... 140

8. PROBLEME. MODELE OPERAIONALE ......................................................... 143 TEST DE AUTOEVALUARE .............................................................................. 173 BIBLIOGRAFIE .................................................................................................. 178 RSPUNSURI TEST AUTOEVALUARE ........................................................... 178

MODULUL III. ELECTROMAGNETISM ................................................................. 179 9. INDUCIA ELECTROMAGNETIC ............................................................... 180

9.1 Fenomenul de inducie electromagnetic ............................................ 1809.2 Energia cmpului magnetic ................................................................... 182

10. ECUAIILE LUI MAXWELL ......................................................................... 18310.1 Inducia electromagnetic i curentul de deplasare ......................... 18310.2 Ecuaiile lui Maxwell ............................................................................. 186

11. UNDE ELECTROMAGNETICE .................................................................... 18911.1 Oscilaii i unde electromagnetice...................................................... 18911.2 Polarizarea undelor electromagnetice ................................................ 193

11.2.1 Starea de polarizare a undelor electromagnetice .................... 19311.2.2 Propagarea undelor electromagnetice n medii anizotrope .... 19811.2.3 Birefringena provocat ............................................................. 20011.2.4 Efectul Kerr ................................................................................. 20011.2.5 Efectul Cotton - Moutton ............................................................ 20211.2.6 Efectul Faraday ........................................................................... 20211.2.7 Alte efecte de birefringent provocat ..................................... 20311.2.8 Efectul Pockels ........................................................................... 203

11.3 Fenomene produse de undele electromagnetice .............................. 20311.3.1 Interferena luminii ..................................................................... 20411.3.2 Difracia luminii ........................................................................... 20711.3.3 Absorbia luminii ........................................................................ 20911.3.4 Dispersia luminii ......................................................................... 210

12. PROBLEME. MODELE OPERAIONALE ................................................... 211BIBLIOGRAFIE .................................................................................................. 217

MODULUL IV. FIZIC CUANTIC 13. ELEMENTE DE MECANIC CUANTIC .................................................... 219

13.1 Introducere ............................................................................................ 21913.1.1 Noiuni introductive .................................................................... 21913.1.2 Funcia de und. Relaiile lui Heisenberg ................................. 22213.1.3 Ecuaia lui Schrdinger .............................................................. 224

13.2 Aplicaii ale ecuaiei lui Schrdinger .................................................. 22613.2.1 Microparticula liber ................................................................... 22613.2.2 Microparticula n groapa unidimensional de potenial .......... 22713.2.3 Bariera de potenial. Efectul tunel ............................................. 23213.2.4 Oscilatorul liniar armonic........................................................... 23413.2.5 Atomul de hidrogen i ionii hidrogenoizi. ................................ 238

BIBLIOGRAFIE .................................................................................................. 241ANEXE .................................................................................................................... 269 ANEXA 1. ............................................................................................................... 243

14. VECTORI I OPERAII CU VECTORI......................................................... 243

FIZIC

6

14.1 Introducere. Clasificare ....................................................................... 24314.2 Operaii de adunare i scdere ........................................................... 244

14.2.1 Adunarea vectorilor ................................................................... 24414.2.2 Scderea vectorilor .................................................................... 24614.2.3 Descompunerea vectorilor ........................................................ 246

14.3 Operaii de nmulire ............................................................................ 24714.3.1 Produsul unui vector cu un scalar. .......................................... 24714.3.2 Produsul scalar a doi vectori. ................................................... 24714.3.3 Produsul vectorial a doi vectori ................................................ 24814.3.4 Produsul mixt a trei vectori ....................................................... 25014.3.5 Dublul produs vectorial a trei vectori ....................................... 250

14.4 Operaii de derivare i integrare ......................................................... 25014.4.1 Derivarea unui vector ................................................................ 25014.4.2 Integrarea unui vector ............................................................... 25114.4.3 Gradientul unei funcii scalare .................................................. 25214.4.4 Divergena unui vector .............................................................. 25314.4.5 Rotorul unui vector .................................................................... 254

14.5 Formule vectoriale ............................................................................... 25514.6 Teoreme de calcul vectorial ................................................................ 255

ANEXA 2. ............................................................................................................... 25715. PROBLEME PROPUSE CU REZULTATE .................................................. 257

ANEXA 3 ................................................................................................................ 311 LUCRRI DE LABORATOR ............................................................................. 311

7

LISTA DE NOTAII Mrimea fizic UM x - elongaia m A - amplitudinea m F - fora N - pulsaia -1s T - perioada s - frecvena -1s E,W - energia J m - masa kg

- densitatea 3kgm - lungimea de und m S - suprafaa 2m V - volumul 3m

v,u - viteza ms

a - acceleraia 2ms t - timpul s q,Q - sarcina electric C E

- intensitatea cmpului electric Vm

V - potenialul electric V - fluxul unui vector - L - lucrul mecanic J P - puterea W C - capacitatea electric F - permitivitatea electric F

m

I - intensitatea curentului electric A U - tensiunea electric V R - rezistena electric - rezistivitatea m - conductivitatea -1 -1 m H

- intensitatea cmpului magnetic Am

FIZIC

8

B

- inducia magnetic T - permeabilitatea magnetic H

m

c - viteza de propagare a luminii n vid ms

PS

- vectorul Poynting 2J

m s L - inductana H n - indicele de refracie -

LX - reactana inductiv CX - reactana capacitiv

Z - impedana - funcia de und 3/2m

9

MODULUL I. OSCILAII I UNDE

Obiectivele modului

Cunoaterea noiunilor de baz ale fenomenelor periodice Tipuri de oscilaii Compunerea oscilaiilor Propagarea oscilaiilor Modele de operare cu ajutorul cunotinelor acumulate

Cuprins Modulul I

1. OSCILAII ...................................................................................................... 10

1.1 Introducere .............................................................................................. 10 1.2 Oscilaii mecanice .................................................................................. 10

1.2.1 Oscilaii liniare libere .................................................................... 10 1.2.2 Oscilaii amortizate ....................................................................... 12 1.2.3 Oscilaii ntreinute ....................................................................... 15

1.3 Compunerea oscilaiilor ......................................................................... 17 1.3.2 Compunerea oscilaiilor de aceeai direcie i perioad .......... 17 1.3.3 Compunerea oscilaiilor perpendiculare .................................... 18 1.3.4 Compunerea oscilaiilor cu aceeai direcie i pulsaii diferite (fenomenul de bti). ................................................................ 20

2. PROPAGAREA OSCILAIILOR. UNDE MECANICE .................................... 21 2.1 Introducere .............................................................................................. 21 2.2 Unda plan transversal ........................................................................ 22 2.3 Ecuaia coardei vibrante ........................................................................ 24 2.4 Propagarea undelor longitudinale ........................................................ 25 2.5 Propagarea undelor n lichide ............................................................... 26 2.6 Propagarea undelor n gaze .................................................................. 27 2.7 Dispersia undelor. Viteza de grup ......................................................... 28 2.8 Gama undelor mecanice ........................................................................ 29 2.9 Intensitatea sunetului i presiunea sonor .......................................... 30 2.10 Fenomene comune undelor ................................................................. 31 2.11 Efectul Doppler acustic ........................................................................ 32

3. PROBLEME. MODELE OPERAIONALE ..................................................... 34 TEST DE AUTOEVALUARE .............................................................................. 42 BIBLIOGRAFIE .................................................................................................. 46 RSPUNSURI TEST AUTOEVALUARE ........................................................... 46

FIZIC

10

adnotaii ...

1. OSCILAII

1.1 Introducere

In general, orice fenomen n cursul cruia se transform periodic sau pseudoperiodic, reversibil sau parial reversibil, energia, dintr-o form n alta poart numele de oscilaie. Evident, exist o mare diversitate de tipuri de oscilaii care pot fi clasificate n funcie de natura energiilor sau a mrimilor fizice periodice care caracterizeaz fenomenele. Astfel, oscilaiile pot fi:mecanice (vibraii), electrice, electromagnetice, electromecanice, termice, nucleare etc.

Oscilaiile efectuate de un sistem izolat, care a intrat n oscilaie, la un moment dat, sub aciunea unei cauze externe care dup aceea nu mai acioneaz asupra sistemului, se numesc oscilaii libere sau oscilaii proprii ale sistemului respectiv. Frecvena unei oscilaii libere se numete frecvena proprie a sistemului.

Dac sistemul nu este izolat ci pierde energie n timpul oscilaiilor atunci oscilaiile sale se numesc amortizate (amplitudinea acestora scade n timp). Amortizarea poate fi mpiedicat prin transmitere de energie din exterior ctre sistemul care oscileaz. In acest caz oscilaiile sistemului se numesc oscilaii ntreinute. Dac frecvena aciunii externe care menine oscilaia este egal cu frecvena proprie a sistemului atunci oscilaiile vor cpta amplitudinea maxim;acesta constituie fenomenul de rezonan.

1.2 Oscilaii mecanice 1.2.1 Oscilaii liniare libere

Oscilaiile liniare libere constau n deplasarea periodic a unui sistem n jurul unei poziii de echilibru n prezena unui cmp de fore elastice. Un cmp de fore elastice poate fi considerat ca un cmp central caracterizat prin aceea c,

OSCILAII

11

adnotaii

n orice punct, fora aplicat n acel punct este orientat spre centrul forelor iar modulul ei este proporional cu distana de la centrul forelor (poziia de echilibru-O) la punctul de aplicaie (figura 1.1). F kx (1.1) Constanta de proporionalitate k poart (Figura 1.1) numele de constant elastic. Sistemele mecanice care execut micri oscilatorii libere au n poziia de echilibru ( )x oenergia potenial zero iar energia cinetic maxim. n timpul oscilaiilor energia cinetic se transform n energie potenial i invers. Ecuaia micrii unui punct material, cu masa m, asupra cruia acioneaz fora elastic 1.1 este ma kx sau 0mx kx (1.2) Notnd

20km (1.3)

ecuaia micrii devine 2 0ox x (1.4) Soluia general a acestei ecuaii este 0 01 2

i t i tx C e C e (1.5) Sau

0sin( )x A t (1.6) n legea de micare (1.6) mrimea A poart numele de amplitudine a micrii,

0 se numete pulsaie iar 0t , faz a micrii. Se observ c elongaia x a micrii se repet, dup un interval de timp T, numit perioad a micrii i care are expresia

0

2 2 mTk

(1.7) Apelnd la expresia 1.6 se poate calcula viteza i acceleraia micrii

2 20 0 0cos( )dxv x A t A xdt

(1.8)

x

m F0

Figura 1.1

FIZIC

12

adnotaii ...

2 20 0 0sin( )dva x A t xdt

(1.9) Energia total a punctului material este suma dintre energia cinetic ( )cE i energia potenial ( )pE

2 22 2 2 20

02 2 2 2 2x

c pm Amv mv kx kAE E E F dx (1.10)

Mrimile x, v i a, a cror expresii sunt, respectiv, 1.5, 1.8 i 1.9, sunt reprezentate grafic n figura 1.2.

Din expresiile menionate i din figura 1.2 se observ c elongaia x i acceleraia a sunt n opoziie de faz iar viteza v este defazat naintea elongaiei cu

2 .

Micarea oscilatorie studiat mai sus reprezint un caz ideal. ntr-o astfel de micare s-a inut seama doar de fora elastic (for conservativ) dar au fost neglijate forele neconservative exterioare cum ar fi forele de frecare. n lipsa acestora energia total are aceeai valoare tot timpul. Astfel de oscilaii care au loc fr pierderi de energie poart numele de oscilaii nedisipative.

1.2.2 Oscilaii amortizate n realitate oscilatorul pierde energie (prin frecare, radiaie) n timpul oscilaiilor i din acest motiv amplitudinea acestora scade n timp pn devine

Figura 1.2

v x

, ,x v a

t

a

A

2o A o A

o A2o AA T

OSCILAII

13

adnotaii

egal cu zero. Acest tip de oscilaii, disipative de energie, poart numele de oscilaii (vibraii) amortizate. Pentru viteze de oscilaie relativ mici forele de rezisten ale mediului sunt proporionale, n fiecare moment, cu viteza oscilatorului i sunt ndreptate n sens opus vitezei

reyF v x (1.11) n expresia de mai sus este un coeficient de rezisten a mediului care depinde de forma i volumul oscilatorului ct i de natura (vscozitatea) mediului n care are loc oscilaia. Ecuaia micrii n acest caz, devine ma x kx sau 0mx x kx (1.12) Utiliznd notaiile

20km i 2

m (1.13)

Ecuaia micrii 1.12, devine 202 0x x x (1.14) Cutnd soluia ecuaiei difereniale 1.14 sub forma ntx e , se obine

2 20( 2 ) 0

nte n n Rdcinile ecuaiei caracteristice 2 202 0n n sunt

2 21,2 0n (1.15) n acest fel, soluia general a ecuaiei difereniale 1.14 este

2 2 2

2 0 01 2 ( ) ( )1 2 1 2

t tn t n tx C e C e C e C e (1.16) n funcie de cum este valoarea rezistenei mediului (mai slab sau mai puternic) fa de valoarea forei elastice, rdcinile 1.15 pot fi complexe sau reale. Se disting, n acest fel, mai multe cazuri.

Cazul 1, corespunztor frecrilor relativ mici 20( ) . n acest caz rdcinile 1.15 sunt complex conjugate 2 21,2 0n i (1.17) Iar soluia general 1.16 devine

FIZIC

14

adnotaii ...

1 2 0( ) sin( )t i t i t tx e C e C e A e t (1.18)

Analiznd 1.18 se observ c n acest caz avem de a face cu o micare oscilatorie avnd perioada

2 20

2 2T

(1.19)

Adic mai mare dect perioada 00

2T a oscilaiilor libere.

De asemenea, amplitudinea acestei micri

0tA A e

scade exponenial n timp;scderea este cu att mai pronunat cu ct factorul de amortizare este mai mare. Graficul micrii oscilatorii amortizate este reprezentat n figura 1.3 Amortizarea oscilaiilor poate fi caracterizat cu ajutorul mrimii, numit decrement logaritmic al amplitudinii, care reprezint logaritmul natural al raportului a dou amplitudini care se succed la un interval de o perioad adic a dou amplitudini succesive, de aceeai parte a poziiei de echilibru

0 ( )1 0

ln ln lnt

Tnt T

n

A A e e TA A e

Cazul 2, corespunztor frecrilor relativ mari 0( )

( )x t

oA

oA

toA e

t

Figura 1.3

OSCILAII

15

adnotaii

n acest caz, deoarece rdcinile 1.15 sunt negative, rezult c x tinde exponenial ctre zero;este cazul unei micri aperiodice.

1.2.3 Oscilaii ntreinute Oscilaiile pot fi meninute adic amortizarea poate fi mpiedicat dac oscilatorul primete energie din exterior. Considernd c aportul de energie din exterior se face cu o for periodic 1sinext oF F t (1.21) Ecuaia de micare n prezena forei elastice ( )kx , a forei de rezisten a mediului ( )x i a forei exterioare 0 1( sin )F t este 0 1sinmx x kx F t Sau 2 00 12 sin

Fx x x tm

(1.22) Soluia ecuaiei difereniale neomogene 1.22 se obine prin nsumarea soluiei ecuaiei omogene, care are forma 2 21 0 0 0sin( )

tx A e t (1.23) i o soluie particular de forma membrului drept 2 1sin( )x A t (1.24) Datorit amortizrii, soluia 1x poate fi neglijat dup un interval de timp suficient de mare;de aceea, oscilaiile sistemului vor fi descrise, dup acest interval de timp, numai de soluia particular 2 1sin( )x x A t (1.25) Micarea descris de aceast soluie se numete n regim staionar;ntr-un asemenea regim, oscilaiile sistemului se efectueaz cu o frecven egal cu cea a forei de ntreinere i nu cu frecvena proprie. Pentru a gsi constantele A i se introduce 1.25 n 1.22 1 1cos( )x A t ; 21 1sin( )x A t (1.26) 2 2 01 1 1 1 0 1 1sin( ) 2 cos( ) sin( ) sin

FA t A t A t tm

(1.27) sau

2 2 00 1 1 1 1 1( ) sin( ) 2 cos( ) sinFA t A t tm

(1.28)

FIZIC

16

adnotaii ...

Dezvoltnd 1sin( )t i 1cos( )t i identificnd coeficienii lui 1sin t i 1cos t din cei doi membri ai relaiei astfel obinute, rezult

2 2 00 1 1( ) cos 2 sinFA Am

(1.29.a) 2 21 1( )sin 2 cos 0oA A (1.29.b) Din sistemul 1.29 se deduc A i

02 2 2 2 2

1 1( ) 4o

FAm

(1.30)

12 21 0

2tg (1.31)

Dependena amplitudinii A de pulsaia 1 a forei exterioare este reprezentat n figura 1.4;se observ c, coeficientul are rolul unui parametru. Micarea este deci ntreinut de ctre fora exterioar i dup ncetarea regimului tranzitoriu, n care exist i oscilaii proprii ale sistemului, acesta intr n regim staionar, frecvena micrii fiind egal cu frecvena de vibraie a forei exterioare. Maximul amplitudinii, pentru cazul cnd variaz frecvena, se poate afla derivnd expresia amplitudinii, 1. 30, n funcie de pulsaie i egalnd-o cu zero

1 A

2 1

1

Figura 1.4

OSCILAII

17

adnotaii

2 2 2 200 1 1 1

31 2 2 2 2 2 2

0 1 1

2( )( 2 ) 82 0

( ) 4

FdA md

. (1.34)

De unde 2 2 2 21 0 1 1( ) 2 0 . (1.35) Deoarece 1 0 nu este un caz de extrem pentru A, rezult c frecvena r pentru care amplitudinea oscilaiilor este maxim (numit fenomen de rezonan) este 2 20 2r . (1.36) Valoarea maxim a amplitudinii se obine nlocuind 1.36 n 1.30

0max 2 202

FAm

. (1.37)

Din aceast expresie rezult c maximul amplitudinii este cu att mai mare cu ct coeficientul de amortizare este mai mic, tinznd la infinit cnd tinde la zero. Cu ct coeficientul este mai mic cu att pulsaia de rezonan r este mai apropiat de pulsaia proprie 0 .

1.3 Compunerea oscilaiilor Micrile oscilatorii studiate n paragraful 1.2 reprezentau situaiile n care asupra punctului material aciona doar o singur for elastic. Un punct material poate fi ns supus simultan aciunii mai multor fore elastice i dac considerm c fiecare din ele este cauza unei oscilaii Atunci putem spune c acel punct material este supus aciunii simultane a mai multor oscilaii. Intereseaz micarea care rezult din compunerea acestor oscilaii. Vor fi studiate cteva cazuri particulare.

1.3.1 Compunerea oscilaiilor de aceeai direcie i perioad Fie dou oscilaii de aceeai direcie (x) i aceeai perioad 2T

1 1 1

2 2 2

sin( )sin

x A tx A t

(1.38)

n urma compunerii acestora, rezult o oscilaie de forma

FIZIC

18

adnotaii ...

sinx A t (1.39) unde 1 2x x x (1.40) nlocuind n 1.40 expresiile lor din 1.38 i 1.39, n urma identificrilor, se gsete

1 1 2 21 1 2 2

sin sin sincos cos cos

A A AA A A

(1.41)

Rezolvnd sistemul 1.41, se gsete 2 21 2 1 2 2 12 cosA A A A A (1.42) 1 1 2 2

1 1 2 2

sin sincos cos

A AtgA A

(1.43)

Amplitudinea micrii rezultante 1.42 depinde de valoarea diferenei de faz 2 1 2 1t t

Dac 0 (oscilaii n faz), atunci 1 2A A A (1.44) Dac (oscilaii n opoziie de faz), atunci 2 1A A A (1.45) Dac

2 (oscilaii n cuadratur), atunci

2 21 2A A A (1.46)

1.3.2 Compunerea oscilaiilor perpendiculare Fie un punct material supus simultan la dou oscilaii perpendiculare (pe direciile x i y);considerm c cele dou oscilaii au aceeai pulsaie.

1

2

sin

sin

x A t

y B t

(1.47)

Eliminnd timpul, din 1.47 se va gsi ecuaia general a traiectoriei punctului material care este ecuaia general a unei elipse nscrise ntr-un dreptunghi cu laturile 2A i 2B

2 2 22 1 2 12 2 2 cos sinx y x yA BA B (1.48) Dac 2 1 1 ,n cu n=0, 1, 2, atunci 1.48 devine

OSCILAII

19

adnotaii

By xA

(1.49) adic punctual material se mic pe o dreapt. Dac 2 1 , 0,1, 2,...

2n n atunci 1.48 devine

2 2

2 2 1x yA B

(1.50) Adic punctual material se mic pe o traiectorie eliptic centrat la axele ox i oy care sunt i direciile de oscilaie a celor dou oscilaii care se compun. n cazul n care A=B=R expresia 1.50 devine

2 2 2x y R (1.51) Adic micarea are loc pe un cerc cu raza R. n figura 1.5 sunt reprezentate unele din situaiile prezentate mai sus.

Valoarea vitezei n fiecare punct al traiectoriei i sensul n care este parcurs traiectoria se determin dup relaiile

2 2 2 2x yv v v x y cu 1cosx A t i 2cosy B t

Observaie. Dac cele dou oscilaii perpendiculare au pulsaii diferite atunci traiectoriile micrilor rezultante sunt curbe complicate numite figuri Lissajous. Forma acestora depinde de valoarea diferenei de faz i de raportul perioadelor lor de oscilaie.

Figura 1.5

y

x B

A

y

xB

A

y

x B

A

a) 0 b) 0 / 2 b) / 2

FIZIC

20

adnotaii ...

1.3.3 Compunerea oscilaiilor cu aceeai direcie i pulsaii diferite (fenomenul de bti).

Considerm dou oscilaii paralele cu pulsaii diferite

1 12 2

sinsin

x A tx A t

(1.52)

Unde 1 2, i Compunnd cele dou oscilaii, se obine 1 2 sin sin 2 cos sinx x x A t A t A t t (1.53) Din expresia 1.53 se observ c micarea rezultant are amplitudinea 2 cosrezA A t (1.54)

Modulat periodic cu perioada

2A

T (1.55)

Observaie. Dac cele dou oscilaii care se compun au amplitudini egale (cazul prezentat mai sus) atunci amplitudinea rezultant variaz ntre zero i 2A iar dac amplitudinile sunt diferite atunci amplitudinea rezultant variaz

ntre 1 2A A i 1 2A A . Tot din expresia 1.53 se observ c perioada micrii rezultante este

2 2 AT T (1.56)

Rezultatele prezentate mai sus sunt reprezentate grafic n figura 1.6

t

Figura 1.6

2A

2A

T

2AT

x

PROPAGAREA OSCILAIILOR. UNDE MECANICE

21

adnotaii

2. PROPAGAREA OSCILAIILOR. UNDE MECANICE

2.1 Introducere

Oscilaiile unui punct material dintr-un mediu se transmit din aproape n aproape datorit forelor de interaciune dintre particulele mediului. De fapt, propagarea oscilaiilor ntr-un mediu reprezint transportul energiei oscilaiilor prin acel mediu. Dac n cursul propagrii energia oscilaiilor se transform n alte forme de energie (de exemplu n energie termic) atunci se spune c acel mediu este absorbant.

Oscilaiile se propag sub form de unde. n general se poate considera c o und reprezint o perturbaie (mecanic, electromagnetic) care se propag n spaiu, din aproape n aproape, prin intermediul unui cmp (cmp de fore elastice, de presiune, cmp electromagnetic).

Dac v reprezint viteza de propagare a unei unde (numit vitez de faz) dup o anumit direcie atunci distana parcurs de und n timpul unei perioade T de oscilaie se numete lungime de und vvT (2.1) unde poart numele de frecven. Un tip de unde (perturbaii) importante din punct de vedere fizic este cel al undelor periodice, la care funcia de und (mrimea perturbat) ,x t are proprietatea

, , , 1,2,..x t x t nt n (2.2) Aceasta nseamn c ntr-un punct dat (x=ct.), funcia ia aceeai valoare cnd t variaz cu cantitile T, 2T, 3T, Echivalent, aceasta nseamn c la un anumit moment t funcia ia aceeai valoare cnd x crete sau descrete cu cantitile , 2 2 ,..vT vT , , ,x t x nvT t x t nT (2.3) Din 2.2 i 2.3 rezult c funcia de und are forma x vt Notnd ,u x vt derivatele pentru funcia sunt

FIZIC

22

adnotaii ...

2 2 2 2

22 2 2 2, vx u t u

Rezult

2 2

2 2 21 0

x v t (2.4)

Dac unda se propag ntr-un mediu omogen, izotrop i neabsorbant atunci funcia de und are forma , , , ,x y z t r t iar ecuaia 2.4 devine

2

2 21 0v t

(2.5)

Ecuaiile 2.4 i 2.5 poart numele de ecuaia diferenial a undelor. Soluia general a ecuaiei 2.4 este 1 2,x t f x vt f x vt (2.6) sau

, x xx t f t tv v

(2.7) Cei doi termeni corespund superpoziiei a dou unde Primul termen corespunde undei progresive, adic undei care se propag n sensul axei 0x iar cel de al doilea termen corespunde undei regresive care se propag n sens opus. Dac unda se propag ntr-un singur sens atunci, evident, se folosete un singur termen al funciei. Dac ns unda se reflect, atunci se utilizeaz ambii termeni.

Locul geometric al punctelor care au la un moment dat aceeai faz, adic x vt ct sau x vt ct poart numele de suprafa de und. Se observ c viteza cu care se deplaseaz aceste suprafee este

dxvdt

i din acest motiv se numete vitez de faz. n funcie de forma suprafeelor de und, undele pot fi clasificate n unde plane, sferice, elipsoidale etc.

2.2 Unda plan transversal


23

adnotaii

Vom considera un mediu omogen i izotrop n care propagarea undelor are

loc fr atenuare. Dac toi oscilatorii situai ntr-un plan perpendicular pe direcia de propagare a undei oscileaz n faz atunci unda este plan. Fie un oscilator (surs de oscilaii) S (figura 2.1) care oscileaz dup legea

, , sin sin 2s ty x t x t A t A T (2.8) Oscilaiile care au loc pe direcia y i se propag pe o direcie perpendicular x, poart numele de oscilaii transversale. Considernd doar unda progresiv (care se propag de la S spre P), funcia de und n punctul P va fi (vezi i 2.7)

, sin

sin sin 2 sin

pxx t f t A t tv

x t xA t A A t kxv T

(2.8)

n expresia 2.8, mrimea

2kv

(2.9) Poart numele de numr de und i este egal cu numrul de lungimi de und care sunt cuprinse n 2 uniti de lungime. n general se definete vectorul de und,

2k kn n (2.10) unde n este versorul direciei de propagare a undei. Astfel, ecuaia undei plane monocromatice care se propag pe direcia k are forma

, sinr t A t kr (2.11) Ecuaia t kr const Sau

Px S

nA

Ax

Figura 2.1

FIZIC

24

adnotaii ...

x y zt k x k y k z const (2.12) Reprezint ecuaia unui plan la un moment dat t (suprafa de und) iar vectorul k

este perpendicular pe acest plan.

2.3 Ecuaia coardei vibrante Considerm o coard AB fixat la capete de-a lungul axei 0x ( Fie M un punct de pe coarda AB i fie PQ un element de coard cu lungimea dx din jurul punctului M. n timpul vibraiei coardei, la un moment t, elementul de coard PQ va ocupa poziia P Q fiind tensionat de forele T i T T T .

Rezultanta acestor fore pe axa oy tinde s readuc elementul P Q n poziia PQ. Valoarea acestei fore este sin sinydT T T (2.13) unde .dx

x

Unghiurile fiind mici dytgdx

i 2

2y

x x (2.14)

n acest fel 2.13 devine

2

2yydT T dx

x (2.15)

Dac m este masa corzii i l lungimea acesteia, masa unitii de lungime este ml

i din legea a doua a mecanicii se obine

x

a)

y

'P

'M

'Q

( )P x

M

( d )Q x x

A

B

'P

'Q

( d )Q x x

( )P x

y

y

dyy xx

'T

T

'

( , )x t

b)

Figura 2.2


25

adnotaii

2

2yydT dx

t (2.16)

Egalnd 2.15 cu 2.16 se gsete

2 2

2 2 0y y

Tx t

(2.17) Se observ c ecuaia diferenial 2.17 are aceeai structur cu ecuaia diferenial a undelor 2.4 n care

trTv v (2.18)

Este viteza undelor transversale din coard.

2.4 Propagarea undelor longitudinale

Undele longitudinale se propag att n medii solide ct i n fluide (lichide i gaze);undele transversale se propag numai n medii solide. La undele transversale oscilaiile particulelor mediului se fac perpendicular pe direcia de propagare a undei n timp ce la undele longitudinale particulele mediului

elastic oscileaz pe direcia propagrii undei, astfel nct n mediu exist n orice moment o succesiune de deformaii de comprimare i destindere. Pentru a obine ecuaia de propagare a undelor longitudinale ntr-un mediu solid elastic cu densitatea i modulul de elasticitate E vom considera o epruvet sub forma unei bare de seciune S (figura 2.3). Fie o perturbaie F produs n planul AB al barei, pe direcia barei, i care se propag de-a lungul acesteia (axa 0x). n timpul propagrii undei de-a lungul barei, Planul de abscis x devine x+X iar planul de abscis x+dx devine

.x dxx dx X Lungimea poriunii dx a elementului de bar cu volumul dV=Sdx trece la valoarea

x dx Xx dx X x X dx dxx (2.19)

Legea lui Hooke n acest caz se scrie astfel

1X Fx E S

(2.20)

i 2

2XdF ES dx

x (2.21)

FIZIC

26

adnotaii ...

Pe de alt parte legea a doua a dinamicii n acest caz se scrie astfel

2

2XdF dm a dV dx

x (2.22)

Egalnd expresiile pentru dF din 2.21 i 2.22, se gsete

2 2

2 2 0X X

Ex x

(2.23)

Comparnd 2.23 cu 2.4 se gsete viteza de propagare a undelor longitudinale ( )lv ntr-un mediu elastic cu densitatea i modulul de elasticitate E

lEv (2.24)

2.5 Propagarea undelor n lichide

Propagarea undelor n lichide poate fi studiat prin analogie cu propagarea undelor longitudinale n bare unde n locul barei se va considera un cilindru

plin cu un lichid. O perturbaie produs la un capt al cilindrului se va propaga sub forma unei unde progresive de-a lungul cilindrului constnd n variaii ale densitii lichidului. Deoarece lichidele au conductivitate termic mic iar n cazul oscilaiilor sonore frecvena este mare (perioada mic), cldura nu are timp s se disipe n mediu i n acest fel propagarea sunetelor este adiabatic. Pentru lichide legea lui Hooke are forma

1dV Vdp (2.25)

S

Figura 2.3

A

B

F

x d xX d dx X

d dV S x d 'V

x


27

adnotaii

unde dp este presiunea exterioar care acionnd asupra volumului V produce variaia dV a acestuia; joac rolul lui E i poart numele de modul de compresibilitate.

Urmnd acum acelai raionament ca i n cazul prezentat n paragraful 2.4, se gsete pentru viteza de propagare a undelor n lichide, expresia

lichidepv

(2.26)

unde 0p p p i 0 Mrimile 0p i 0 reprezint presiunea i densitatea fluidului n absena undei iar p i n prezena acesteia.

2.6 Propagarea undelor n gaze

Deoarece gazele ca i lichidele fac parte din categoria fluidelor rezult c n gaze se propag doar undele longitudinale. Dac frecvena oscilaiilor care se propag este mic (perioada este mare) atunci n timpul unei perioade de comprimare i rarefiere ntre regiunea n care se propag unda i mediul nconjurtor are loc schimb de energie. Aceasta face ca regiunea n care se propag unda s rmn la temperatur constant;spunem c avem de a face cu un proces izoterm de propagare a oscilaiilor. Dac frecvena este mare (perioada mic) atunci n timpul unei perioade nu poate avea loc un schimb energetic astfel nct propagarea este adiabatic. Propagarea izoterm respect legea pV const i astfel

10,p dV V dp dV V dpp

(2.29) Comparnd 2.27 cu 2.25 i fcnd raionamentul din paragraful 2.5 se gsete pentru viteza de propagare izoterm n gaze, expresia

izotpv (2.28)

Propagarea adiabatic se face respectnd legea acestei transformri p V const (2.29)

FIZIC

28

adnotaii ...

unde pv

CC

este exponentul adiabatic.

Din 2.29 se obine

1dV V dpp

i pentru viteza propagrii adiabatice expresia

adp RTv (2.31)

S-a considerat c acel gaz este ideal i respect ecuaia gazelor perfecte ,p RT unde este masa molar a gazului, T este temperatura absolut a

gazului iar R este constanta gazelor perfecte.

2.7 Dispersia undelor. Viteza de grup

Pn n prezent au fost studiate fenomenele legate de propagarea undelor considernd c acestea au forma 2.11 adic sunt unde monocromatice caracterizate de frecvena

2 . n practic se ntlnesc situaii n care avem

de a face cu propagarea unor unde compuse dintr-un numr foarte mare de unde sinusoidale cu frecvene foarte apropiate ntre ele. Dac o und monocromatic se propag cu viteza v, numit vitez de faz i care depinde de frecvena acesteia, atunci grupul (pachetul) de unde se va deplasa cu o vitez

gv , numit vitez de grup. Altfel spus, viteza de grup, care difer de viteza undelor componente, reprezint viteza cu care se deplaseaz maximul amplitudinii rezultante i deci al densitii de energie a undei. Dac considerm cazul simplu a dou unde monocromatice cu frecvenele

11 2 i

22 2 i numerele de und 1 1

2k i 2 22 ,k atunci maximul

amplitudinii rezultante la momentul 0t se va gsi n punctul de abscis 0x unde undele sunt n faz 1 0 1 0 2 0 2 0 2 1 2 1 0, 0t k x t k x t k k x (2.32)


29

adnotaii

Fie 0t dt i 0 ,x dx momentele, respectiv abscisele pentru care fazele din nou coincid, adic avem un maxim de amplitudine 2 1 0 2 1 0 0t dt k k x dx (2.33) innd seama de 2.32, expresia 2.33 devine 2 1 2 1 0dt k k dx (2.34) Astfel viteza maximului de amplitudine, adic viteza de grup, este

2 12 1

gdxvdt k k k

(2.35)

n general viteza de grup are expresia

2gvdd vkd dvv v

dk dk d d

(2.36) Fenomenul prin care undele cu frecvene diferite se propag cu viteze diferite poart numele de dispersie a undelor.

2.8 Gama undelor mecanice

Undele mecanice existente n natur ocup o anumit gam de frecvene. Clasificarea acestora este dat n tabelul 2.1

Tabelul 2.1

Denumirea domeniului

Infrasunete (Infraacustica)

Sunete (Acustica)

Ultrasunete (Ultraacustica)

Hipersunete (Hiperacustic)

Gama de Frecvene (Hz) 20 108

Undele mecanice care impresioneaz urechea uman, adic produc o senzaie auditiv, poart numele de sunete. Pentru ca o und mecanic s produc senzaie auditiv, sunt necesare, de fapt, mai multe condiii: s aib o durat mai mare de 0, 05 secunde, s aib o frecven cuprins ntre 16-20000Hz,

FIZIC

30

adnotaii ...

s aib o valoare minim, numit prag de audibilitate (de exemplu pentru o frecven de 310 Hz acesta este de 12 210 )

Wm

.

Trebuie de precizat c urechea uman nu reacioneaz proporional cu mrimea excitaiei. Dac intensitatea excitaiei (I) crete n progresie geometric, intensitatea senzaiei (S) crete n progresie aritmetic (legea Weber-Fechner).

22 11

lg IS S SI

(2.37) De asemenea trebuie spus c urechea uman are sensibilitatea maxim n domeniul de frecvene cuprins ntre 3 310 3 10 .Hz Vibraiile cuprinse ntre 0-16Hz, numite infrasunete, nu sunt sesizate de urechea uman dar sunt percepute de anumite animale, psri i peti. De asemenea oscilaiile cu frecvena mai mare de 20kHz (ultrasunetele) sunt percepute de lilieci, delfini, cini, nari, roztoare. Ultrasunetele, care pot fi produse prin efectul piezoelectric sau prin fenomenul de magnetostriciune, cunosc o gam larg de aplicaii: sonolocaia, ecografia, defectoscopia nedistructiv, sudarea i lipirea cu ultrasunete, detensionarea cu ultrasunete, prelucrarea i curirea cu ultrasunete, amestecarea lichidelor nemiscibile, obinerea de aerosoli etc.

2.9 Intensitatea sunetului i presiunea sonor Fie o und sonor care transport energia total dW printr-o suprafa S (normal la viteza undei v) n intervalul de timp dt. n acest interval de timp unda sonor se propag pe distana dl. Energia total este suma dintre energia cinetic a particulelor care oscileaz i energia potenial elastic de deformare. Fluxul de energie reprezint cantitatea de energie (dW) care trece prin suprafaa S n unitatea de timp

1 dW S dl vS dt S dt

(2.38)

unde este densitatea de energie. Valoarea medie n timp a fluxului de energie poart numele de intensitate a undei (sunetului)


31

adnotaii

I v (2.39) O alt mrime care caracterizeaz unda sonor n fiecare punct al ei este presiunea sonor SP dat de diferena dintre presiunea p, ntr-un punct, n prezena undei i presiunea 0p n acelai punct n absena undei 0SP p p (2.40) n cazul undelor sonore, perturbaia care se propag este o perturbaie a presiunii iar legea lui Hooke este(vezi i 2.20) S F XP x E ES x x

(2.41)

innd seama de 2.8, pentru 2.41 se gsete

2 cos 2S t xP x EA T

(2.42)

Deoarece lEv i ,vT se gsete

2 cos 2

2 sin 22

St xP x vA

T Tt xvA

T T

(2.43)

Presiunea sonor maxim este

max2

SP vAT (2.44)

Din 2.43 se observ c presiunea sonor este defazat cu 2 n urma funciei de

und .

2.10 Fenomene comune undelor

Cu ajutorul undelor se pot obine urmtoarele fenomene: reflexia, refracia, dispersia, interferena, difracia, atenuarea i polarizarea (doar pentru undele transversale). Studiul acestor fenomene se va face doar pentru undele

electromagnetice.

FIZIC

32

adnotaii ...

S

( )SS R R

2.11 Efectul Doppler acustic

Efectul Doppler const n variaia frecvenei recepionate de un receptor dac sursa i receptorul sunt n micare relativ. n acest caz se disting trei situaii: sursa S este mobil i observatorul O este fix, sursa S este imobil i observatorul O este mobil, sursa S i observatorul O sunt mobile. Se va analiza prima situaie n care sursa S se apropie de observatorul O fix cu viteza sv (figura 2.4). Fie o vibraie care pornete de la sursa S la momentul t.

Ea va ajunge n punctual O la momentul SO

tv

, unde v este viteza de propagare a vibraiei. Dup o perioad T, adic la momentul t+T, pleac de la sursa S a doua vibraie;sursa S a parcurs ntre timp spaiul sSS v T . A doua vibraie ajunge la observatorul (receptorul) O dup timpul

sSO SS SO v T

t T t Tv v

(2.45) Diferena, n timp, ntre cele dou vibraii recepionate de observatorul O este

s sv T v vt T T Tv v

(2.46)

Figura 2.4

Deoarece 1v T , unde este lungimea de und iar este frecvena vibraiilor, se obine

s

vv v

(2.47)


33

adnotaii

Din expresia 2.47 se observ c la apropierea sursei de vibraie S de un observator fix O, frecvena vibraiilor recepionate este mai mare dect frecvena vibraiilor emise . Dac sursa S se ndeprteaz de observatorul O, atunci

,ss

v v vT Tv v v (2.48)

Fcnd un raionament analog i pentru celelalte situaii, se poate completa tabelul 2.2

Tabelul 2.2 S mobil (cu viteza sv )

O fix S fix

O mobil (cu viteza ov ) S mobil(cu viteza sv ) O mobil (cu viteza ov )

sv vT T

v

s

vv v

0

vT Tv v

ov v

v

s

o

v vT Tv v

os

v vv v

FIZIC

34

adnotaii ...

3. PROBLEME. MODELE OPERAIONALE

1. Punctul O al unei bare elastice cu modulul de elasticitate

1027 10

NEm

i densitatea 3 32,7 10kgm

oscileaz dup legea 3sin10y A t . S se calculeze:

a) lungimea de und, b) distana de punctul O la care se gsete primul punct

al barei n care legea de micare este 3sin 10

6y A t

Rezolvare

a) 1; , 10,18E Eu m .

b) 2 , 0,846 12

x x m . 2. Un corp cu masa m=1kg, legat de un resort, este scos din poziia de echilibru pe distana de 4cm, dup care este lsat liber s oscileze. n resort ia natere o for elastic de 0, 16N. S se calculeze factorul de amortizare , tiind c dup 10s amplitudinea micrii devine de 10 ori mai mic i s se scrie legea de micare n acest caz lund ca origine a coordonatelor, poziia de echilibru i ca origine a timpului, momentul n care corpul este lsat liber.

Rezolvare Din 0

tA A e se gsete 101 1 1ln ln10 2,3log10 0, 23A st A t t

PROBLEME. MODELE OPERAIONALE

35

adnotaii

Legea de micare este 0 sin ,tx A e t unde 1 2 2 2

0 00,23 , 4 ,ks A cmm

2 100

66,6F smA

,

4 (la 00,t x A )

0,34 sin 66,64

tx e t cm

3. Dou coarde din acelai material au aceeai lungime i sunt supuse la aceeai tensiune F. n ce raport se afl perioadele lor proprii de oscilaie, dac diametrul unei coarde este de dou ori mai mare dect diametrul celeilalte?

Rezolvare

11 21 1

1 1 1 42 2 2

v F F Fl l S l d

22 22

1 42

v Fl d

1 22 1

;d dacd

2 1 1 22 , 2d d

4. Vibraia modului fundamental pentru o coard de lungime l n care tensiunea este egal cu F, este descris de ecuaia

, sin cosxy x t A tl

n care l este lungimea corzii iar x este abscisa

unui punct oarecare de pe coard. S se determine energia de vibraie a corzii.

Rezolvare Fie un element de pe coard cu masa ,dm dx unde este masa

unitii de lungime a elementului de lungime dx. Viteza acestui element este

sin siny xv A tt l

iar viteza maxim max sin xv A l

Energia de vibraie a corzii va fi energia cinetic maxim a acesteia 2

2 2 21 1 sin2 2

y xdW dx A dxt l

FIZIC

36

adnotaii ...

2 2 2 2 2

0

1 1sin2 4

l xW A dx A ll

cu 2 F

l l ,

2 2

4A FWl

5. Dou unde sinusoidale plane, avnd vitezele 1v i 2v i lungimile de und 1 i 2 , se propag dup aceeai direcie i n acelai sens.

a) S se afle viteza u de deplasare n spaiu a locului n care oscilaiile fiecrei unde sunt n faz.

b) S se afle distana ntre dou puncte consecutive din spaiu, pentru care diferena de faz dintre cele dou unde crete cu 2 .

Rezolvare Ecuaiile celor dou unde sunt

11 1

1 1sin 2 v xy A t

22 2

2 2sin 2 v xy A t

a) n punctul de coordonat x cele dou faze coincid, deci

1 2

1 2 2

v vx xt t , 1 2

1 2

1 2

1 1

v v

x t

Viteza de deplasare a acestui punct va fi 1 2 2 1

2 1

v vdxudt

Scriem c diferena de faz ntre punctele de coordonate x i x variaz de la la 2 ;atunci

1 21 1 2 2

2 2v vx xt t

1 21 1 2 2

2 2 2v vx xt t

Scznd cele dou ecuaii, se obine 1 2

1 2


37

adnotaii

6. Micarea unui arc elicoidal are legea de micare

5 3 sin 2 cos 2 m2x t t . Se cere: a) S se arate c aceast micare este oscilatorie armonic i s se determine

elementele micrii; b) Care este viteza unui punct al arcului dup timpul

1 s2

t ?

Rezolvare Legea de micare a unei oscilaii armonice este:

sin sin cos sin cosx A t A t t Comparnd cu legea de micare

5 3 sin 2 cos 2 m2x t t Se gsete: 5

2A ,

6 , 2 .

Pentru perioad, respectiv frecven, se gsete: 2

T , 2 1 sT ,

1 1 HzT

.

b). d 7 cos 10 cos 2 10 cos m sd 6 6

xv A t tt

7. O bar cilindric din oel, ncastrat la un capt, avnd raza 1cmr i lungimea 1ml , este supus la captul liber aciunii unei fore de 100 N a crei direcie coincide cu axa de simetrie a barei. Presupunnd c dup nlturarea forei bara efectueaz oscilaii longitudinale i cunoscnd pentru oel 11 2

N1,9 10m

E i 3 3kg 8 10m

, s se calculeze:

a) Viteza de propagare a oscilaiilor n bar i lungimea de und corespunztoare primului mod de vibraie;

b) Energia de vibraie a barei. Rezolvare

a) 3 m4,86 10 sEv ,

FIZIC

38

adnotaii ...

4 4 ml b) Din 21

2W k l , F k l i 1 F ll

E S se obine:

2 2

52

1 1 8,3 10 J2 2

F l F lWE S E r

8. Un corp cu masa de 1kg legat de un resort, este scos din poziia de echilibru pe distana de 4 cm , dup care este lsat liber. n resort ia natere o for elastic de 0,16 N . S se calculeze factorul de amortizare, tiind c dup 10 secunde amplitudinea micrii devine de 10 ori mai mic i s se scrie legea micrii n acest caz, socotind ca origine a constantelor, potenialul de echilibru i ca origine a timpului, momentul n care punctul material este lsat liber.

Rezolvare Fie ecuaia oscilaiei libere amortizate:

0 e sin tx A t Amplitudinea micrii este 0 e tA A unde 0A este amplitudinea iniial. Avem: 0 e tAA

; 10 01 1 2,3 4 ln 2,3 log log 0, 23s

10 0, 4A A

t A t A

Pulsaia micrii este:

2 2 10 66,6 s Unde pulsaia proprie a micrii neamortizate este:

2 104000 4000 s

1km

n momentul cnd 4x , ecuaia devine,

4 4 sin te t , iar 0t , de unde: sin 1 ,

2

Deci, legea micrii este: 0,23 4 sin 66,6

2tx e t .


39

adnotaii

9. De captul liber al unui resort spiral (vertical) a crui constant elastic este 110 N mk este suspendat un corp cu masa 0, 2 kgm . Corpul este deplasat n jos fa de poziia de echilibru, prin ntinderea resortului cu 0 10cmy dup care este lsat liber s oscileze. Oscilaiile sunt amortizate, cu factorul de amortizare 0,5 . S se calculeze:

a) Perioada de oscilaie, b) Faza iniial a micrii, considernd ca moment iniial

momentul n care corpul este lsat liber s oscileze 0cu 0v ;

c) Ct la sut din energia iniial se pierde datorit amortizrii, dup prima perioad? Dar dup trei perioade?

Rezolvare

a). 20 50km , 2 0,25 , 2 20 7,053

2 0,8908T b). Ecuaia micrii este: 0 e sin ty a t pentru 0t ,

010 sina viteza la momentul t este:

0 0d e cos e sin d t tyv a t a tt

Care, pentru 0t , este 0 0v de unde rezult:

00 cos sina i tg 14 85 55' , sin 0,99746 0

10 10,027 cm0,99746

a c). energia oscilatorului la momentului iniial este:

2 2 20 0 0

1 1 sin2 2

E k y k a Dup o perioad T , energia este: 2 2 21 0

1 sin2

TE k a e

FIZIC

40

adnotaii ...

Iar dup n perioade:

2 2 20

1 sin2

n TnE k a e

Energia disipat prin amortizare, dup prima perioad, este:

2 2 21 0 1 01 1 sin2 TE E E k a e Iar procentul de energie disipat este:

2 0,890810

1 1 1 1 0, 41 0,59 59%T TE e e eE

Dup trei perioade, procentul de energie disipat este:

6 3 2,43710

1 1 1 1 0,069 0,931 93,1%T TE e e eE

10. Interferena undelor sonore poate fi studiat cu ajutorul unui tub Konig (figura 3.1) format din dou ramuri 1ABC x i 2ADC x , ramura ADC putnd culisa i astfel putndu-se modifica lungimea acesteia. Tubul este prevzut cu dou deschideri A i B . Un diapazon care d 1000 de vibraii pe secund vibreaz la unul din capetele tubului (exemplu captul A ).

Cunoscnd c acesta vibreaz cu amplitudinea 0,03 cmA s se calculeze:

a) Lungimea de und a sunetului produs, b) Ecuaia undei rezultante la cellalt capt al tubului n

urmtoarele dou cazuri:

A C

1x

B

D

2x

Figura 3.1


41

adnotaii

b1) 12

1m1,34m

xx

; b2) 12

1m1,17 m

xx

Rezolvare

a). 31 340 0,34m

10v T

b). Ecuaia undei n punctul C va fi: sin y b t

unde trebuie determinai b , i . Fie ' siny A t atunci vibraia la distana x de punctual de

producere este:

' sin 2 t xy AT

b1). 2 2 2 cosb A A A A unde:

2 122 2 0,34 2 0,34x xx

22 1 cos 2 1 cos 2 2b A A A 2 0,06cmb A

33

2 2 5 10 10T

; sin 0 sin 2tg 0cos 0 cos 2

A bA b ; 0

Avem: 32 sin 5 10 0y A t ; 30,06 sin 5 10 cmy t b2). 2 2 0,17 0,34

x ; 22 1 cos 2 0b A

deci sunetul nu se aude. 11. Captul liber al unui fir vertical de oel, lung de 1m , este supus la oscilaii de tensiune. Care trebuie s fie frecvena minim a oscilaiilor pentru ca firul s se rup, din cauza rezonanei?

Se d: 3 3 7,8 10 kg m , 11 22 10 N mE .

La rezonan se ndeplinete condiia:

4

l , 4 4 ml

FIZIC

42

adnotaii ...

114

32 10 210 5070 m s 7,87,8 10

Ev

05070 1267,5Hz 4

v

12. Care este lungimea L a unei coarde, dac la scurtarea ei cu 10cm frecvena oscilaiilor crete de 1,5 ori, tensiunea n coard rmnnd aceeai?

Rezolvare 2 L

12 2

FL L m

v v

11,52( 10)

FL m

Din ultimele dou egaliti prin mprire obinem 1,5( 10)L L , 30cmL .

TEST DE AUTOEVALUARE

I.1. Reprezentarea i compunerea oscilaiilor poate fi fcut a) doar analitic;

b) doar cu ajutorul numerelor complexe;

c) doar cu ajutorul fazorilor;

d) n toate cele trei moduri prezentate mai sus.

Figura 3.2

F

F

2L

Justificai ...


43

adnotaii

I.2. Frecvena micrii ntreinute a unui oscilator este egal cu frecvena forei din exterior

a) n tot timpul micrii, b) n timpul regimului tranzitoriu,

c) dup ncetarea regimului tranzitoriu, d) n nici una din variantele a, b, c.

I.3. Fenomenul de rezonan se realizeaz atunci cnd: a) oscilaia este amortizat, b) oscilaia este forat i pulsaia a forei exterioare este legat de pulsaia proprie 0 i de factorul de amortizare prin relaia 2 20 2 , c) oscilaia ndeplinete condiia 0 , d) oscilaia ndeplinete condiia .

I.4. Care este relaia ntre constanta elastic k a unui fir elastic cu lungimea l, seciunea S i modulul de elasticitate a) ;E Sk

l

b) lkE S

;

c) ;k E S l d) 2.k E S l

Justificai ...

Justificai ...

Justificai ...

FIZIC

44

adnotaii ...

I.5. Un punct material are o micare n jurul poziiei de echilibru descris de legea sin .x A t Care este semnificaia mrimii A? a) distana instantanee fa de poziia de echilibru; b) distana maxim fa de poziia de echilibru; c) distana medie fa de poziia de echilibru.

I.6. Un punct material cu masa 10m g oscileaz dup legea 5sin ( )6

x t cm

.Care este valoarea maxim a forei care acioneaz asupra punctului material?

I.7. Un oscilator cu masa 21,6 10m kg oscileaz dup legea

0,1sin( )8 8

x t m.Se cere: a) perioada oscilaiei; b) viteza maxim a oscilatorului;

c) timpul n care oscilatorul parcurge distana de la 2A la 3 .

2A

I.8. Care este lungimea l a unei coarde,dac la scurtarea ei cu 10 cm frecvena oscilaiilor crete de 1,5 ori;tensiunea n coard rmne aceeai.

Justificai ...

Justificai ...

Justificai ...

Justificai ...


45

adnotaii

I.9. O coard de oel cu densitatea 3 37,7 10kgm

i diametrul 1D mm este ntins cu fora 100F N .Care este valoarea vitezei de propagare a undelor transversale din coard?

Justificai ...

47

Modulul II. ELECTRICITATE I MAGNETISM

Obiectivele modului

Cunoaterea noiunilor de baz ale fenomenelor electrice i magnetice

Fenomene electrostatice Curentul electric continuu i alternativ Magnetostatica Micarea particulelor ncrcate electric n cmpuri electrice i

magnetice, aplicaii

Cuprins Modulul II

4. ELECTROSTATICA ....................................................................................... 49 4.1 Introducere .............................................................................................. 49

4.1.1 Despre interaciune ...................................................................... 49 4.1.2 Despre cureni electrici ................................................................ 51

4.2 Legea lui Coulomb ................................................................................. 52 4.3 Cmpul electric ....................................................................................... 54 4.4 Fluxul cmpului electric. Teorema lui Gauss ....................................... 57 4.5 Lucrul mecanic al forelor cmpului electric. Potenialul electric ...... 59 4.6 Substana n cmp electric .................................................................... 64

4.6.2 Polarizaia electronic .................................................................. 68 4.6.3 Discontinuitatea vectorilor D

G i EG

la suprafaa de separaie a doi dielectrici polarizai ..................................................... 71 4.6.4 Feroelectricitatea, piezoelectricitatea i piroelectricitatea ........ 75

4.7 Capacitatea electric. Condensatoare .................................................. 77 4.7.1 Condensatoare legate n serie ..................................................... 78 4.7.2 Condensatoare legate n paralel .................................................. 79

4.8 Energia electrostatic ............................................................................ 81 4.8.1 Energia electrostatic a unui sistem de sarcini punctuale ....... 81 4.8.2 Energia electrostatic a distribuiilor continue de sarcin ....... 82 4.8.3 Energia electrostatic n funcie de cmpul electric ................. 82

5. ELECTROCINETICA ...................................................................................... 85 5.1 Curentul electric ..................................................................................... 85 5.2 Curentul electric n conductoare .......................................................... 88

5.2.1 Legea lui Ohm ............................................................................... 88 5.2.2 Tensiunea electromotoare. Legea lui Ohm ................................. 91 5.2.3 Energia i puterea n curent continuu ........................................ 93 5.2.4 Teorema transferului maxim de putere ....................................... 93 5.2.5 Reele electrice (n curent continuu) ........................................... 94

5.3 Curentul electric n gaze ........................................................................ 96 5.4 Curentul electric n lichide ..................................................................... 99

5.4.1 Introducere .................................................................................... 99 5.4.2 Legile electrolizei .......................................................................... 100

FIZIC

48

" adnotaii ...

5.5 Curentul electric n semiconductori ..................................................... 102 5.5.1 Noiuni generale ........................................................................... 102 5.5.2 Semiconductori intrinseci ........................................................... 102 5.5.3 Semiconductori extrinseci .......................................................... 104 5.5.4 Densitatea curentului ntr-un semiconductor ............................ 107

5.6 Alte tipuri de cureni electrici ............................................................... 109 5.6.1 Curentul optoelectronic ............................................................... 110 5.6.2 Curentul acustoelectric ............................................................... 110 5.6.3 Curentul termoelectric ................................................................. 110 5.6.4 Cureni de emisie termoelectric ................................................ 110 5.6.5 Cureni de deplasare .................................................................... 111

5.7 Generatoare electrice ............................................................................ 111 5.7.1 Surse chimice de tensiune electromotoare. .............................. 111 5.7.2 Pile de combustie ........................................................................ 113 5.7.3 Pile termoelectrice. ...................................................................... 114 5.7.4 Celule solare. ................................................................................ 115

6. MAGNETOSTATICA ..................................................................................... 116 6.1 Cmpul magnetic al curentului electric ............................................... 117 6.2 Fore care acioneaz ntr-un cmp magnetic ..................................... 120

6.2.1 Fora Lorentz ................................................................................ 120 6.2.2 Fora electromagnetic ................................................................ 120 6.2.3 Fora electrodinamic .................................................................. 121

6.3 Substana n cmp magnetic ................................................................ 121 7. MICAREA PARTICULELOR N CMPURI ELECTRICE I MAGNETICE ..................................................................................................... 126

7.1 Introducere ............................................................................................. 126 7.2 Micarea n cmp electric static ........................................................... 126 7.3 Micarea n cmp magnetic .................................................................. 127

7.3.1 Micarea n cmp magnetic transversal i omogen .................. 127 7.3.2 Micarea n cmp magnetic omogen .......................................... 128

7.4 Aplicaii ................................................................................................... 129 7.4.1 Filtre de viteze .............................................................................. 129 7.4.2 Tubul catodic ................................................................................ 132 7.4.3 Spectrometrul de mas ............................................................... 133 7.4.4 Determinarea sarcinii specifice a electronului .......................... 134 7.4.5 Acceleratoare de particule .......................................................... 136 7.4.6 Elemente de optic electronic .................................................. 140

8. PROBLEME. MODELE OPERAIONALE .................................................... 143 TEST DE AUTOEVALUARE ............................................................................. 173 BIBLIOGRAFIE ................................................................................................. 178 RSPUNSURI TEST AUTOEVALUARE .......................................................... 178

ELECTROSTATICA

49

" adnotaii

4. ELECTROSTATICA

4.1 Introducere

4.1.1 Despre interaciune

Fenomenele electrice i magnetice au loc n regiuni ale spaiului numite

cmpuri. Cmpul electric poate fi produs ntr-o regiune a spaiului fie aducnd

sarcini electrice n regiunea n care urmeaz s se produc cmpul, fie folosind

n acea regiune un cmp magnetic a crui valoare variaz n timp; cmpul

electric i manifest prezena prin fore care se exercit asupra corpurilor

ncrcate electric. Cmpul magnetic poate fi produs ntr-o regiune a spaiului

fie aducnd magnei n regiunea n care urmeaz s se produc cmpul, fie

lsnd s treac cureni electrici n acea regiune, fie folosind n acea regiune un

cmp electric a crui valoare variaz n timp; cmpul magnetic i manifest

prezena prin fore care se exercit asupra corpurilor parcurse de cureni

electrici macroscopici sau moleculari. Cmpul electromagnetic este un

ansamblu de dou cmpuri, unul electric i altul magnetic, care se genereaz

reciproc, coexistnd n acelai loc i timp, cmpul electric (component a

cmpului electromagnetic) lund natere la orice variaie a cmpului magnetic

sau n timpul apariiei acestuia, iar cmpul magnetic lund natere la variaia

cmpului electric.

Din cele artate se observ c originile cmpurilor menionate, din punctul de

vedere al teoriei macroscopice, constau ntr-o distribuie de sarcini i cureni

electrici. Sarcina electric este o mrime fizic ce caracterizeaz strile de

electrizare a corpurilor. Se numete stare de electrizare a unui corp acea stare

special n care corpul respectiv este capabil s exercite fore electrice asupra

altor corpuri. Astfel de stri de electrizare se pot obine n diferite moduri: prin

frecare, prin contact cu un corp electrizat, prin efecte chimice, prin nclzire,

prin iradiere cu radiaii emise de substane radioactive, prin ntindere sau

compresiune etc.

FIZIC

50

" adnotaii ...

Sarcinile electrice sunt de dou feluri: pozitive i negative. S-a stabilit c

sarcina electric a unui corp ( q ) nu poate lua dect valori distincte, multipli

ntregi ai unei sarcini elementare ( e ), care este unitatea natural pentru sarcina

electric:

, 1, 2,3.....q n e n= = Valoarea absolut a unitii naturale de sarcin electric este, n sistemul

internaional, egal cu 191,6021 10 C;e = coulombul (simbol C) este unitatea de msur pentru sarcina electric. Particulele care au sarcin electric egal cu

e sunt electronul (cu sarcina e ), protonul i pozitronul (cu sarcina e+ ) etc. Sarcina electric are trei proprieti fundamentale:

sarcina electric se conserv;

sarcina electric este cuantificat;

sarcina electric este relativist invariant.

Spunem c un corp este ncrcat electric dac numrul sarcinilor elementare de

un anumit semn este mai mare dect numrul sarcinilor elementare de semn

opus din acel corp. Experienele au artat c cele dou feluri de electricitate

apar n acelai timp i n cantiti egale. Deci, ntr-un sistem fizic izolat, suma

algebric a sarcinilor electrice repartizate n diferitele puncte ale sistemului

este constant . Aceasta este legea conservrii sarcinilor electrice.

caracteristic fundamental a materiei, fie ea sub form de cmp sau de

substan, este discontinuitatea ei. Cele mai mici entiti din care este format

materia se numesc particule "elementare" . Toate particulele elementare

cunoscute pn n prezent au numai trei valori posibile ale sarcinii electrice:

, 0e+ sau e . Aa cum s-a artat mai sus sarcina electric a oricrui corp este un multiplu ntreg al sarcinii elementare: , 1, 2,3.q n e n= = Sarcina elementar a corpurilor este relativist invariant. Doi observatori, unul

n repaus fa de sarcina electric i altul n micare fa de ea, msoar una i

aceeai valoare a sarcinii electrice.

Sarcinile electrice pot fi considerate punctiforme sau pot fi distribuite liniar,

superficial i n volum. Dac o sarcin electric q este distribuit liniar pe o lungime l atunci densitatea liniar de sarcin electric ( )este dat de

0

dd

liml

q ql l

= = . (4.1)

ELECTROSTATICA

51

" adnotaii

Analog densitatea superficial de sarcin electric ( ) i cea volumic ( ) sunt date de expresiile:

d d,d d

q qS V

= = . (4.2)

4.1.2 Despre cureni electrici

Micarea ordonat a sarcinilor electrice constituie cureni electrici. Curentul

electric este caracterizat printr-o mrime fizic denumit intensitate a

curentului electric. Prin intensitate I a curentului electric care trece printr-o

suprafa elementar dat, se nelege o mrime fizic care se msoar prin

cantitatea de electricitate ce trece prin acea suprafa n unitatea de timp:

dlimdt o

q qIt t

= = . (4.3) n Sistemul Internaional (S.I.), unitatea de intensitate a curentului electric este

amperul (simbol A ). "Curgerea" cantitii de electricitate poate fi reprezentat

printr-un vector ( jG

), ndreptat de-a lungul micrii sarcinilor electrice i avnd

modulul egal cu cantitatea de electricitate care traverseaz n unitatea de timp

unitatea de suprafa normal pe direcia de curgere

d dI j S j S n

= = GG G G , (4.4) unde nG este versorul normalei la suprafaa d S prin care trec sarcinile electrice (vezi figura 1.).

n funcie de variaia mrimilor care descriu fenomenele electromagnetice, din

teoria macroscopic se disting urmtoarele patru regimuri:

nGjG

SG

d

Figura 4.1

FIZIC

52

" adnotaii ...

regimul static, n care mrimile nu variaz n timp, nu se produc transformri

energetice, fenomenele electrice se produc independent de cele magnetice, iar

cele dou cmpuri (electric i magnetic) se pot studia separat;

regimul staionar, n care mrimile nu variaz n timp, dar spre deosebire de

regimul static, interaciunile cmpului cu substana sunt nsoite de transformri

electrice;

regimul cvasistaionar, n care mrimile variaz suficient de lent pentru a se

putea neglija radiaia cmpului electromagnetic;

regimul nestaionar sau variabil, n care mrimile variaz n timp, n cazul cel

mai general.

Se va ncepe cu studiul regimului static care face obiectul electrostaticii.

4.2 Legea lui Coulomb

n anul 1785 Coulomb a stabilit c dou sarcini electrice punctiforme 1q i 2q

(figura 4.2) interacioneaz cu o for proporional cu produsul sarcinilor,

invers proporional cu ptratul distanei dintre ele i este dirijat dup dreapta

care unete cele dou sarcini

1 212 12 2121

4q qF u Fr

= = G GG . (4.5)

1FG i

FG

1uG

2rG

1rG

q2

q1

q

qi

2FG

iuG2

uG

FG

irG

Figura 4.2

ELECTROSTATICA

53

" adnotaii

Din expresia (4.5), cunoscut sub numele de formula lui Coulomb, rezult c

dac produsul 1 2 0q q > , adic ambele sarcini au acelai semn, 12FG este orientat n direcia versorului 12u

G i tinde s resping sarcina 2q fa de sarcina 1q . Dac ns produsul 1 2 0q q < , adic sarcinile au semn opus, atunci fora 12F

G este orientat n sens opus versorului 12u

G i atrage sarcina 2q spre 1q . Formula (4.5) se aplic numai pentru sarcinile punctiforme sau altfel spus

pentru sarcini ale cror dimensiuni sunt neglijabile n raport cu distana r

dintre ele.

n expresia (4.5) mrimea fizic ( 0 r = ) poart numele de permitivitate (constant dielectric) a mediului n care se afl cele dou sarcini i

caracterizeaz proprietile electrice ale mediului; r este permitivitatea relativ a mediului iar 12 -18,854 10 F mo = este permitivitatea absolut a vidului.

Dac ntr-o regiune a spaiului se gsesc, n repaus, mai multe sarcini electrice

punctiforme 1 2, ,..., nq q q atunci fora cu care acioneaz acestea asupra sarcinii

punctiforme fixe q este (figura 4.2):

2

1 14

n ni

i ii i i

q qF F ur

= == = . (4.6)

La gsirea acestei fore se aplic principiul superpoziiei (a independenei

aciunii forelor).

d qdF G

dFG

)(12 ruG

r

qrGir

G q

V

dV

z

yx

Figura 4.3

FIZIC

54

" adnotaii ...

Dac sarcinile electrice au o distribuie n volum cu densitatea atunci se poate delimita un volum infinitezimal dV astfel nct sarcina din interiorul

acestuia, d dq V= , s poat fi considerat punctiform. Conform legii lui Coulomb (4.5) sarcina dq acioneaz asupra sarcinii q cu o for (figura 4.3):

2

1 dd ( ) ( )4

q qF r u rr

= G G . (4.7)

Integrnd (4.7) dup tot volumul V n care se gsete sarcina electric, se

gsete fora de interaciune dintre densitatea volumic de sarcin i sarcina q

2

( ) d( ) ( )4

i

V

q r VF r u rr

= G G . (4.8)

Dac densitile de sarcin electric sunt superficiale sau liniare atunci expresia (4.8) devine:

2

( )d( ) ( )4

i

S

q r SF r u rr

= G G , (4.9)

2

( ) d( ) ( )4

iq r lF r u rr

= G G , (4.10)

unde dS este elementul de suprafa de pe suprafaa S pe care este distribuit

sarcina electric cu densitatea superficial iar dl este elementul de lungime de pe curba pe care este distribuit sarcina electric cu densitatea liniar .

4.3 Cmpul electric

Faptul c ntre sarcinile electrice apar fore de interaciune arat c spaiul din

jurul unei sarcini electrice capt o nsuire special i anume, c asupra

oricrei sarcini electrice introduse n acest spaiu se exercit aciuni care se

manifest sub form de fore pe care le numim fore electrice. Se nelege deci

prin cmp electric (electrostatic) spaiul din jurul unei sarcini electrice sau

distribuii de sarcini electrice n care se manifest existena forelor electrice.

Intensitatea cmpului electric ntr-un punct oarecare al acestuia este o mrime

fizic numeric egal cu fora care acioneaz asupra unitii de sarcin electric

pozitiv situat n acel punct i avnd orientarea forei

FEq

=GG

. (4.11)

ntr-adevr din (4.5) se poate scoate expresia

ELECTROSTATICA

55

" adnotaii

112 2 12 2 121

4qF q u q Er

= =G , (4.12)

unde

11 1221

4qE ur

= G

, (4.13)

reprezint intensitatea cmpului electric generat de sarcina electric

punctiform 1q la distana r n punctul n care se gsete sarcina 2q ; modulul

este ns acelai n orice punct situat la distana r .

Pentru o multitudine de sarcini electrice punctiforme fixe 1 2, ,..., nq q q , cmpul

electric ntr-un punct P (figura 4.4) este dat de expresia

2

1

14

ni

iPi iP

qE ur=

= G G . (4.14)

Pentru distribuii continue de sarcin electric se obine (pornind de la (4.11) i

(4.8), (4.9) i (4.10))

2

1 ( )d( ) ( )4

i

V

r VE r u rr

= G G (distribuie volumic), (4.15)

2

1 ( )d( ) ( )4

i

S

r SE r u rr

= G G (distribuie superficial), (4.16)

2

1 ( )d( ) ( )4

ir lE r u rr

= G G (distribuie liniar). (4.17)

PE1GPu1

GPr1G

q2

q1

P

qiiPuGP

u2G

iPrG

iPEG

PE2G

EG

Pr2G

Figura 4.4

FIZIC

56

" adnotaii ...

Din formula de definiie a intensitii cmpului electric (4.11), se observ c

acesta este un cmp vectorial. Aceasta nseamn c fiecrui punct al cmpului i

se poate ataa un vector. Dac alegem ca sarcin de prob o sarcin electric

pozitiv unitate, 1q = + , atunci conform cu (4.11), fora cu care acioneaz cmpul asupra ei este egal numeric cu intensitatea cmpului.

Curbele la care sunt tangeni vectorii cmpului se numesc linii de cmp.

Intuitiv, pot fi nelese aceste linii i fcnd urmtorul raionament: dac ntr-un

cmp electric se introduce o sarcin punctiform infinit de mic (pentru ca

propriul ei cmp electric s nu modifice cmpul n care a fost introdus) i dac

aceast sarcin ar fi lsat s se deplaseze infinit de ncet, n fiecare moment

sub aciunea forelor electrice, atunci aceast sarcin ar descrie o traiectorie

numit linie de cmp. O linie de cmp este caracterizat printr-un sens care,

convenional, este sensul de deplasare al unei sarcini electrice pozitive

introduse n cmp. Deci liniile de cmp electric pornesc din sarcinile electrice

pozitive i se termin n sarcinile electrice negative (figura 4.5).

Figura 4.5

a)

d) c)

b)

ELECTROSTATICA

57

" adnotaii

4.4 Fluxul cmpului electric. Teorema lui Gauss

Fluxul cmpului electric printr-o suprafa S se definete prin expresia (figura

4.6):

nd (d ) d cos( , )SS S S

E S E Sn E S E n = = = GG G GG G , (4.18) unde nG este versorul normalei la elementul de suprafa dS . Altfel spus se numete flux electric printr-o suprafa, o mrime numeric egal

cu numrul liniilor de cmp care trec prin acea suprafa.

Pentru fluxul cmpului electric este valabil legea lui Gauss a crui enun este

urmtorul Fluxul intensitii cmpului electric printr-o suprafa nchis de

form arbitrar este numeric egal cu 0/q unde q este sarcina electric din interiorul suprafeei i este egal cu zero atunci cnd q este n exteriorul

acesteia.

ntr-adevr, s considerm o sarcin electric q situat n interiorul unei

suprafee oarecare S (figura 4.7)

Fluxul cmpului electric prin suprafaa S este

2

0

0 0 0

d cosd d cos4

d 44 4

S

S S S

S

S

q SE S E Sr

q q q

= = = = = =

GGv v vv

. (4.19)

Dac n interiorul suprafeei se gsesc mai multe sarcini electrice atunci (4.19)

se scrie astfel

nG

SG

d

EG

)(S

Figura 4.6

FIZIC

58

" adnotaii ...

10

1dn

S ii

E S q=

= = GGv . (4.20)

Dac sarcina electric punctual se afl pe suprafaa nchis S atunci fcnd

un calcul asemntor celui dat de (4.19) unde, se obine 0/ 2S q = . Pentru cazul sarcinii electrice q situat n exteriorul suprafeei nchise S

(figura 4.8), fluxul cmpului electric din unghiul solid d va fi dat de suma

dintre fluxul prin suprafaa dS i fluxul prin suprafaa ,dS :

2 2

0 0

d cos d 'cos4 4 '

Sq S q S

r r = + , (4.21)

0 0

( d ) d 04 4

Sq q = + = .

Teorema lui Gauss (4.19) i formula lui Coulomb servesc la calculul cmpului

electric (vezi anexa 1).

Dac se consider o distribuie spaial de sarcin electric cu densitatea atunci din (4.19) se obine

1d dSS V

qE S V = = = GGv , (4.22)

unde V este volumul din interiorul suprafeei nchise S .

Utiliznd teorema Green-Ostrogradski:

d div dSS V

E S E V = = GG Gv , (4.23) din (4.22) i (4.23) rezult:

div (sau )E E = = G G

. (4.24)

nG

SG

dEG

)(S

Figura 4.7

q

d

ELECTROSTATICA

59

" adnotaii

Expresia (4.24) este formula local sau diferenial a teoremei lui Gauss.

Deoarece operatorul n coordonate carteziene are forma

i j kx y z = + +

GG G i x y zE E i E j E k= + + GG G G ,

expresia (4.24) se mai poate scrie i astfel:

x y zE E Ex y z

+ + = . (4.25) Expresiile (4.24) sau (4.25) arat c sursele cmpului electrostatic sunt

sarcinile electrice (statice).

n punctele din spaiu n care nu exist sarcini electrice, adic ( ), , 0x y z = , ecuaia (4.24) devine

div 0E =G , (4.26) relaie care poart numele de ecuaia lui Laplace.

n concluzie, dac ntr-un punct 0 = , atunci div 0E =G i din acest punct nu pornesc linii de cmp iar dac ntr-un punct div / 0E = G , acel punct reprezint o surs de cmp electric.

4.5 Lucrul mecanic al forelor cmpului

fizica

Documents